Свойства интегральных операторов типа Урысона и их приложения к разрешимости нелинейных интегро-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

3if

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. В. И. РОМАНОВСКОГО

РГО ОД На правах рукописи

О р ft rtf /--.-у —.

НУРЕКЕНОВ Тохтар Кемелбаевич

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА УРЫСОНА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

А ВТО РЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1993

Рвбота выполнена в Институте теоретической и прикладной математика ВАН Республики Казахстан.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

член-корреспондент АН РУ Ш.А.АЛИШЕ

' • доктор физико-математических наук ' П.П.ЭАБРБЙКО .(г.Минск)

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН Тадхнки стана Э.Ы.Ю'ХАМАДИЕВ (г.Душанбе)

* Ведущая организация: Институт проблем управления РАН.

Защита диссертации состоится ",

0 3 часов на заседании Специализированного совета

Д 015.IV.21 при Институте йатематпки иы.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент, ул.Ф.Ходааев 29.

^ С диссертацией иожно ознакомиться в библиотеке Института математики лм.В.И.Романовского АН РУ.

Ученый сокретарь •

'Специализированного совета

доктор физ.-ыат.наук Ц>Ь - ] Ш.А.ХАШШОВ

' Нелинейные интегральные, интегро-двф^еренциельные и ййффв-ренциалыше уравнения в функци о кальки:-: пространствах кзляются одним из основных методов исследований в задачах современной физики и техники

Диссертация посзяїдена изучении свойств нелинейны): интегральных операторов и применению их системам интегральны:-: уравнений в банаховых и фул.сдионзльнш: пространствах.

Изучение нелинейных и інтегральних-уравнений в функциональных пространствах требует, чтобы соответствующие интегральные операторы обладали хорошими геометрическими свойствами. Поэтому в первой главе диссертации изучаются своіістза компактности, непрерывности (по .мера и по норие) и литвдезостн в скисле автора нелинейных операторов Урысона з терминах их ядер. Полученные результати этой главы позволяют исследовать все такие интегральные, интегро-диф^зренциальные и дифференциальные уравнения, а так не краевые задачи, которые могут быть сведены к уравнениям с вполне непрерывными и непрерывными оператора.1.::!, деясгзуыдими в некоторых банаховых пространствах. В частности, как известно, такие свойства операторов Урке ока позволяют решать вопросы о существовании и единственности решений у различных нелинейных уравнений , последовать методы приближенных реизниа нелинейных уравнении, позволяют исследовать точки бифуркаций нелинейных урав-!эний, наследовать структуру спектра и т.д. Отметлы, в частности-;то теория нзлинейкнх ннтегро-диффэренциальных уравнений тесно вязана, с одной стороны, с разлитом теорий нелинейных кнгегрзаь-!'Х уравнений, так как в правую часть идаегро-диффоренцкалъных равнений входяг интегральные операторы, с другоЦ стороны- с рзз-итием теорий обыкновенных дифференциальных уравнений в банахов-и пространстве по той причине, что широкие классы интагро-диф~'

ференциаяьных уравнений можно рассматривать как обыкновенные дифференциальна уравнения в некотором функциональном или счено-мериом пространстве. Поэтому, по мере возможности, целесообразно исследовать все эти выше указанные вопросы в связи между собой. С этой целью в диссертации изучаются следующие вопроси: -

а) фундаментальные свойства нелинейных интегральных операторов: компактность, непрерывность (по мере и по норме) и липницевость и с ними связанные следующие задачи: вопросы существования и единственности рвений для уравнений:

■ Q ■

<^х зсСр) — ^

ст! ос*'

■5Т =.£

~^пгг*

(2)

(3)

(*)

Кп{.°) = (^Н^лг<)}

б) вопросы существования иг-периодических решений уравнений (2) и (3), причем полученные результаты в этом направлении являются новыми и для конечномерного случая, г) вопросы применимости уравнений (1)-(^) к задачам математической физики, в частности, применимости системы (4) к разрешимости нелинейного уравнения колебания мембраны и струны.

Разработанные вопросы для интегрального уравнения (1)'и для уравнений (Н)-(4) являются основами современных задач нелинейных интегральных, иктегро-дифференциалъных уравнений как с точки зрения теории так и прилокений. Это и определяет актуальность исследованных проблей в диссертации на данном этапе развития теории нелинейных уравнений и анализа.

5 ,

На л том путл в дкссетрация необходимо было решить следующие конкретные задачи. .

I) Изуч .ить свойства интегральных операторов Урысона в простран-зтвах /_р_

•>) Изучить разрешимость нелинейных: уравнений (І)-О) в подходящих функциональных пространствах .

Для решении атих задач были использованы методы функцій действительных переменных. В честности, били использованы к рь^р:;-Зотаны следующие методы: и)!Летод, основании:; па свойства /.«ра-геэдсри- функция}(непрерывна ло И почти при всех фиксированных ($&) измерима по совокупности лерекеавых С$р) при каадом фиксированном И ,с) Метод, освов&ішшл ш сходимости по морс— функции і\($,°} 10 Г, либо г.оч-?ипри каждом фиксированном Се'/? непрерывна по мере относителл-10 В ТОМ СІ-ШСЛЄ , ЧТО )~А >£_/ =0

уш У <Г > О ари ИгГ* а* , либо функция К(*,<7,11) из-

■•.ерима по совокупности переменных. Здесь и в дальнейшем дополнй-:елыш предполагается, что суперпозшионко измерима.

О Метод, основанный на свойства Витаик-Краонооольского: семей-:тво функций 1Щ в банаховом пространстве )>( имеет абсо-іютно непрерывные нормы, если для каждого € >0 существует ■

£ ><? такое, что при , 1{%Ь)Х(Ю$<£*?т& X (*)

С £

:араістерисїическая функция множества & . г) Метод, основан-

ий на свойства Лузина.

Итак по указанными методами для операторов Урысона и урав-ієиий (!)-(**) о'ыли получены следующие основные результаты дисертацій:

I) Разработаны основи теории нелинейных интегральных опера-оров Урысона е следующем смысле:: I) Обнаружен один общй ф>ул-екентель.ц."'. ф«кт.Пусть, например, фуикцдя ‘£1*Х$Л$->-

тЩ . где С1с 1п^йс!$н -ограничзнкые измеримые

б

множества, удовлетворяет условию Каратеодори, тогда для полной непрерывности оператора Урысона

/I /К (ь°: ^со)^! ^ (5)

дэйствуэдиго из / (&) в 1_ &) достаточно, а в случае, когда

нз зависит от СГ£ О. и необходимо выполнение сле-

дующего условия

йп. 5^ ^ С^О}СС (О) /с 1(7 с/в = о ,,л

^ея&—0 НОСИ *1 0_ 7 ' >

ь

Отмети:;, что в последнем случае условно (б)лереходит к следующему уелоз/.» ( 'Г' ):

Л. / /] К С* лев)4а/с/- =-о

•*а'Е-ю АХЦ^Іо* Є .

■-^е^0 0>ІЧ ,иє^"

Тогда ясно, что для полной непрерывности оператора Урысо-на(5), действующего из і-р^У ~ °°) в < оо^

достаточно выполнение условия (6) к чтобы функции ДзсОї) ^ имели равностепенно абсолютно непрерывные кормы в 1.^(0.) Р Из последнего утверждения вытекают все известные теоремы о полной непрерывности линейных и нелинейных интегральных операторов, действующих в 1~р , которые имеют приложение к практическим задачам, Б частности, она включает в себя регулярные нелинейные интегральные операторы в смысле работы [і ] , классы ^ -ограниченных и - усиленно ограниченных операторов, выделенных в [9] ,г151 ’ а такЕе о0'^*0 теорему 1.12(25/ ,

С.І78, причел; построек пример вполне непрерывного оператора Урысона, ядро которого не удовлетворяет условиям этой теоремы, Е то ке время удовлетворяет условии (б). Следует отметить что этот ре зультат является новым дане для линейных интегральных операторов он включает в себя теорему 2 из [з] , СЛІ9.-В случае ^ -о

?

іаничешшх операторов условие (б) переходит а уелрзпе ( •£ ).

2) Выделены новые классы нелзаейицх шяегральных операторов 'рисона, так называемых у -ограї кчекішх к у-ус::леино огрв-іг.чєшіц/.. Ьапо:.:!1:::1, что о;.' рэтор Урис сне (5) называется ^-ог-.ьіг.'.чегінц-.:. ( о -усиленно ограниченны:.:) , если оператор сунерпо-пцлл

д с» = /<( (^о-соф

ейотзует ;:э (о*,0 <■ в М,^

і (0*Х&) , где <=о} . Пслучены Кб Обходите Г. Д00Т2-

^ ' N

очу:лоз;:л ^си^.&дакеле) у -огрйййчекносги л ^-усиленно

гр&кйч.-инссти і’ароз 'і {.«зола в тзрг::кох их й£вр.

3) Л» н но:;;:;: пр/зиах нелрерь:ькоста оператора Урысона, з лоду^ые:.: смысле. ііуить :'.л'НКЦ'л;і

улернозлцлонио .!окори«а и непрерывна по цере ло Ц з том с:.:ыс-е как угала.чо зь’ле в б). Тогда для ьс-црерызиостг. ^ -ограиичел-ого оператора. Урыоона достаточно, если $ункция ^($,<),и) нзно п :іОз::аі:т пт о' нбоо:сод;ыо , чтобы функция ~№б,&Ц)^ {{^

ірзлетзорилз условие ларзтеодси. Как известна, линейный компакт-і!і оператор являете?: непрерывным. Для оператора Урысона такое зойство имеет место, если кЪ?л) яшіо не зависит от О.

1\) Введено новое определение липыицевостй нелинейного опера-)ра. Пусть (X, Я,) , (У/у)} (£> &) линейнио метрические юстракства, причем /(£■ У -подпространство У . Будем ізорнть, что оператор /}:/\~~г^' удовлетворяет условии Лип-:ца, если случае,

получены необходимые и достаточные ювпадающііо ) условия лішх-іцєвооїй оператора Урысона суперпозиции, причоа, вычислена твчныо значения константа шынца.

5) Получены необходимые и достаточные условия (совподакжие) непрерывности по »ере нелинейного интегрального оператора Урисо-на.

в) АОКиЗбКО, 1-Ю всякий ограниченный оператор Урысоон, ядро которого представило в виде .

)/($ 5 --Д <ги)= К{$ & ■■■,$ чгц)-к'(§,5 а и)

А(.7/^< Г'»/' / 'у/' ’ т> J / \г *г'’ ' "V

где возрастающие функции по £ ^компак-

тен по пере.

7) До казано, что всякое нелинейной уравнение (I) имеет по крайней глере одно решении в , если опера-

тор Урке ока (5) является £ -усиленно ограниченный к О

8) Найден новый подход для нахождения решения для интегрс-дизде-ренцкальних уравнений (^). ^ют ыетод применялся автором для нахождения решения уравнения колебания кеыо'роны я впервые поручены теоремы локальной ресресшкости нелинейного уравнения колебания мембраны, когда его нелинейная часть относительно-^,^ удовлетворяет условию Лкяшица, а ло Ч. имеет любой порядок оро-ста.

9) Док°занн обшке теорекы существования и единственности решений для нелинейного дифференциального уравнения типа (с) типа Кара-те'сдори в £* с условием ЭС(?]=Х0бЕ , когда имеет .место условие монотонности вида

где £ -банахово пространство/ ^4У/-+ а)СхЛ)у Ц(б(*:,к]) -= о(Ик1) ■

10) доказаны общие теореиы существования и едикстаенкости

реаониЯ для ечёгакх систем дифференциальных уравнений типа Пеано и Каратеодорп с введение их к счётным системам интегральных урав нений. ' .

11) Получены необходимые и достаточные (совпадающие) условия ди^е ре кцируе кости по Фреше для одного класса нелинейных операто

ров, действующих в пространстве Ср (*-Рґаа), В частности, верно утверждение: если существует пройзводкая дрене оператора ^(\,х) по ОС из этого класса, то существует пройзводная Фрещо оператора сдвига по траекториям решений системы (3).

12) Внделен один класс счётных систем ди = ■’еренцпальпь'х уравнений, включающим в сабя класс счётних систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющих усиленным условиям Коап-Лппцпца, причём решения ’ укороченной системы сходятся к решению (3) по координатно и разномерно по '£• на щадом конечной промежутке.

ЇЗ). Получен один сЗдкй топологический вранцал Су^вОТВОЕН-ИЯ ікфисдііЧоекпх ризгнлй нелинейного ди$’[.ереицаальиоі'о уравнения ;< банаховой проутроиоїзе.

!• п_акуичвекан ч ср£Є?іічоская ценность работа. Все {;у^ультат:■ ;

диссертации н!»лтл’ии нові:ия. Работа нссиі зеоретйческ;:,; хараісі-ір с практическими иршюхеишшй. Результаты могут С:.гь приманен:.:

Д.'ИІ ІІССЛОДОЬШІІШ Ь опросов нелинейных Иіітегро-Ді!:].’ ороиц;;слі.ніх уравнений о чаотниии агоиазодиыми. їесретгчесхкаа цінності работы характориау^іся тз:і, что доказані; и разработали обаяо ^ооренн непрерывнее*)!, .чоі'пактлосги, полно;! иапрерыьноста л лиллкцезооіи нсшінєпішх ;і:ііЧ'грш)ьішх операторов, дзйс'свувдих з аросграатггах І_ , когда их ядра, вообідо гонора, но удовлетворяют услоакм (аратеодогн, в терминах ;*х ядер. Разработали основы теории полк-' іїоі!:і'!х оСыкиовеиннх д:^$8роициалхиих уравнений в банахо?.их яро-зтранотвах в смисле теоремы существования и единственности дч£-'.с-ранцируемости реяг-иид, когда правке части -рс^Л^ удеяле®-1ЗОрг<ЛУ2 условиям К о ратеи ДОрИ. Поэгоку полу ЧОННПО рйзультгтп И М3— годы яьдяисл теоретической основой и практически:.; метод;.?? ппегрег-эния нрибди.гінньх ранний зли яироких классов нелинешю': ураьгга-ііїЛ !,'зт*:гз7:-:чискіні физики, ііолинсіізі’ж лекккояенных дифференциальных уравиони:; в ^ункцкенальных пространствах и др.

CTL.yifT.vna :..;ссеотап::::. Диссертаций состоит ::г. 2.^эдйи;:г. .гре;г

глав и списка литературы.

Апробация. По результатам диссертации автор выступал на Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд, І&73), на Всесоюзном симпозиуме по теоремам вложения и их приложениям (Алма-Ата, 1973), но четвёртом Советско-Чехословацком совещании но применению методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики (Алма-Ата, 1977), ка Всесоюзной конференции по асиытотическкм методам з теории сигулнрно-возмущённых уравнений (Алма-Ата,1981) ка Всєсоїсгькх модах по теории операторов (Минск,1982), на Воронежских Зимних математических школах (Воронеж,1377,1980,1982,198' 1989) и на III, ІУ, У, УІІ, IX Казахстанских ыеызузовских конференциях по математике и механика, автор также выступил по причинению полученных результатов на 10-ом Чехословацком-Советскои совещании по приме кепи» функциональных методов и методов теории функции к задачам математической физики (Стара Тура, 1988). Основные положения диссертации были доложены тааде на научных семинарах: академика М.Ы Лаврентьева (ВЦ СО АН СССР, 1982),член-корреспондентов АН СССР А.В.Бяцадзе (МИЛН СССР,1982), С.И.Похо-каева (МЭИ, 1982), профессоров А.Г.Костюченко и Б.М Левитана (МГУ ,1982) проф.С .Б.Стечкина (МИАН СССР,1982), академиков С .!.!.Никольского (МИАН СССР,1984) и В.А.Ильина (МГУ,1984), члек-коррр. АН РУз Ш.А.Алимова (ЮТ,1982),член -корр.АН Тадг.ССР В.Я.Стецен-ко ) (ТГУ.І986) проф. В.Н.Врагова (МИ СОАН СССР,1986).

Содержание диссертации. В первой главе исследованы признаки компактности по иере и по норме, а также липшкцеззости интегральных операторов Урке она и их приложения к решениям нелинейных интегральных интегро-дифференциальных уравнений.

Начиная с классических работ А.М.Ляпунова по фигурам рввлове-сия врацакцейся жидкости все большее внимание (Шмидт Э.,Гашер-, Еітеіік А., Лихтенштейн Л., Урысон П.С., Некрасов А.И.,Немыцкий В.]

11 ' .

іазаров Н.Н., Лкстерник Л.А., Дубровский В.!.’:., Смирнов К.С.,

{раеносельский Мі-Аі, Забрейко П.П., .Мамедов Я.Дх.. ,3айнберг М.М.,

І аврент ьев М .М. ,Треногин В.А. .Похожаев С .К. Дубинскиі; Ю.А.,Ка-чуровский Р.И. идр) математиков лрлвлекапт вопросы, связанные з изучением нелинейных интегральных, иитегро-ди^ференциальикх уравнений и нелинейных уравнений 8 частных производных: о существовании и с-динствоннооти решений, о существовании собственных функций, о структуре споитра, о точках вегглэиля, о прлбл;;-їІЗиной решении у^гівиеикй а 2.д. Исследоаанне этих зопрсс-:.з у:тро— шется к ному г.е осгнетэоило, если соогзегствувняй иктегролїнуй «іирагор непрерывен или вполне лелрорюбн или обладает с^эйстьо:.; шпвкцезссти и никоторой ^ункционельнок пространстве. З з--кость :8!'.ого подхода стала ясным в начале 20-х годов наиего столетия.

; ьтп года В.В.11еі.шцкий, применяя принцип с»а?их сгображеиияй н ірянцип неподвижной точнії Иаудора, получил теореии супестзозанкя юиения медкиенного интегрального уравнения, которые содержат ;ок ч&стнмй случай .многие результаты Гаимеритейна А.,Нгли\з Р., 'оломба Н. Поэтому усилия многих математиков ъ последующие иода ю настоящее яремя были направлены на исследование полной иопре-ивности, непрерывности, лишицевостн, дифференцируемости и т.д. нтегрального оператора (5).

Кок отмечали вкне 0Д1ІШ'- яз основных методов исследований БО сех гдавах этой работа являются соображения, оспованньз из бли-оотп значений (Т.ункций почти во всех точках области их определи-

1Ш (СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ, СХОДИМОСТЬ ПО иере И ИОНО'ХОНІІОСЇЬ) г

оторые характеризуют внутренние свойства функциональных просг-анств.

В § ГЛ, I приводятся основные определения и вопомогатадь-ые сведении из талрии пространств суксфуеинх функций.

Параграф J связан с компактностью по мара «коже ~

сана функций, возрастающих по 5. 0~

ґ і С~У^

где в-(• Приведём основные характерные результаты зїого параграфа. Пусть

Лемма 3,2. Пусть /~~ ^бесконечное семейство функций 0с($17$£}-" ,5пх) возрастающих по

при фиксированных остальных переменных и удовлетворяющих условию 1ХСь,А,-,5^, где О^К0^оо ие зависит от -ДГе "Г,

Т огда иное о-с-і в о /■"" компактно по точечэой сходимости почти всюду на (2*~

Это утверждение является новым х представляет собой самостоятельный интерес. Следует отметить доказательство этой леммы.

Определение 3.2Функцию будем навивать

функцію}! суммируемой вариации, если о ив представима в виде:

гдз %-і5)ЭСЛ'5’) -зозрастающкн функции по переменно» 3-^~/^-уп

/ «X. (У ^

при ^і:кс;іроБанньа остальных переменных и удовлетворяющие условиям

Рхі (5іА> 5^Лс/:у" < < «>. ^

Теооема 3,2. Пусть {~^= -семейство функ-

ций суммируемой вариации. Пусть неравенство {/($< выполняется

• равномерно относительно . Тогда ї~ компактно по то-

чечной сходимости почти всюду.

В пункте 3.2 гл.1 введено одно функциональное пространство, которое имеет самостоятельный интерес. Пусть |/ -множество всех элементов из Х^і С°,И , дяя которых ■

7 у ^

азсц =/ад/^ Г (:іс1

. о 0

По корме (II) линейная система ]/ становится банаховым пространство!!, причём, каадое ограниченное множество из У компактно поточечной сходисости. Общность, к тому же естественность про-

ІЗ ,

странства |/ характеризуется, например, тем, что функция

’ е“"“АУ ° / О бели 5~/

ив является злииептьоід пространства функции ограниченной вариаций, в то *» времп £<= {/ • В этом пункте дано обобщенно' этого пространства на нногомерний случвй. йцедшшое ирострасстзо будем называть пространством суммируемой вариации.

я (-г, при л—», оо I) "Г,—*--Г по поре ,

2) оьмоКстсо | Хп^ шел о равностаг.зицо абсолютно шзнре;'!:г>.іио норми, Поогго.ч? продс1ь;«лявтся интерес отдельно изучить вепрзризнс'.г»'. оператора 5'ртеона. § 4 гд.1 восвяцён исследован»» ивпрерілцссгк оператора У рис: з на. Поиїдииому, такоіі подход дли опоратор:; Урксоиа соу^-сгвлуится ьпервнз. Наношиш, что оператор (но обнзам.-лю бтъ ляийПпии), дацельуюзям кз з иаінпается і!Опреги.,-їи'-і

110 миру, С’ОЛЦ ПО !1брО СХОДЯИУВОЯ Последовательность лврвдо-

;;і;т я иислодокателькестъ У}зс. такгге оходязукюм по меру. По к-:;-ру нопрор’лтишй н к^лгштинй оператор яаэыгаозгея вполне иоаре-Р!«з«кч но ”.грт. !1о «ерч непрерывный и кошіактниіі оператор ньии-хпйтоя наркп'З изпрізрітнч по норо. Аналогично оператор нягяззееог. вполне Ц'знрсрнчвли , если он непрерывен я квхдоо ограшг-шшоо мцоуосг-зо порозодит в иоипэптиов шіокооїзо..

. Те,ор».»а А Л . Цугль Д ($рл)' !з)<г@Х$—>- $\ удоі<чеї-юрват условп» Иараюпдррл, Пусть олерагор кризова (5) дейому-єі' из [...,№)(?''ї,<<ґ) ^ і_с(Л)(о<Р~'Уу . Пусіь при какдэи фчк~ еярг.данном .У энорчгор суперпозиция !(:ф) ^к(*,<г.хс<0) Л0ІІ0ТЗУЄ2 из и I, (02) (_ 1< ^ Л суя) . Тогда опо-реггор (Г;) н'нірзривоя Г.о море, '

И’; ”еор<з'я.і 4 Л дотекает, например езодую^ий результат. Если ндро Д"У0~\и} опар-'іїорз присела (5) удоэлогзорзех уо-м и на

~ ру

Д''(Ч*Ла (*&}-*• I'/«/' ? і<у

и

& Oct$ coo а> П

, 0£U •, ТО он непрерывен по мере,-

где К

a'h

В пункте hA изучается слабая непрерывность оператора Урысоаа, в пространстве непрерывных функций. В пункте 4.5 этого парагра- ' фа приведет: необходимые и достаточные условия непрерывности по нере (по точечной сходимости) оператора (5), действующего из идеального пространства в или {J

§ 5 посвящен вопросу компактности по мере оператора Урысона, основанному на свойства монотонности по S. ядра f\(s -’S -S O'а)

J V ^;

Поэтому результаты этого параграфа получаются с небольпишш кз~ ыепенипми кз результатов § 3. Методы исследования §5 введены впервые.

Б §6 первой главы изучаются свойства непрерывности и полной непрерывности оператора Урысоиа. В этом параграфе наряду с обией теоремой о полной непрерывности введены новые классы нелинейных интегральных операторов Урысона, называемые £-усиленно ограниченными, у-ограниченными, которые прекде всего представляют собой интерес с точки зрения практики. Создана замкнутая теория ^-ограниченных операторов Урксона в смысле непрерывности, компактности а ограниченности в терминах их ядер. Класс у-усиленно ограниченных операторов Урысона и класс операторов Урусова Красиоселъскогс-Ладьжекского K~L [ 4] нэ совпадает. Напри-

Л ?

„ер, оператор Урысона 770 с ядром j( • гд:0 К*

из

I

['!] с.381, является ^ -усиленно ограниченным, в то но

Время ^о'//г£ 10 есть 1%'о~ не удовлетворяет условии

2) теоремы I № . Практическая сторона теории ^ ~ог'

ранкчошшх операторов заключается в той, что уравнение (I) с £ -усиленным оператором всегда разрешимо.

■ Отметим, что нелинейный интегральный оператор Урысона являлся предметом исследований ряда авторов : П.С.Урысона, В.В.Немыц-

Г5 1

кого , В.!.!.Дубровского , А.1!.Некрасова ,

Н.Н.Назарова , М .А.Красносельского и Л .А.Ладиаенского

П.П.Забрейко , Я.Д.Мамедова .Р.Ойнарова я

М.Отелбаева , И.Данеша и др.

Пункт 6.1 посвящен свойствам у -усиленно ограничен:;!.;:-:

и <? -огр8к:тмшх операторов Урксояа. Приведем рсаовнко результат»,

Теорэма 6.1.__________ [15] Пусть / ^ 00 .Тогда оператор Урысона (5), .^бямаущий и а 1-(Ц) ^ ао] в Л. *•■&■)

. г /

пялпетои <! -усиленно ограниченным тогда и только тех-да,

К'ЕОНСТЯО

•7Ф с?п ;■;>}, ;/ 02} с.-»,*;’-.--. с.о.

;

1(;;д •{ "ограпи.чипннх опопаторив -,^еоч :.:осто аналогичная

. /

УКорзпа »>/!. [1Ь] Пусть /-'• '/ . Тог?а оператор -Ур;:—

со-1". (3), д';'!с?зул!у:;! пз огУ а явлло-

:к,1 г- - ограниченный тогда и только тог,’’,, когда зиюлке^о

/СИ-'А ^,.м1 1#

/] !К(‘-',11;10/гЬ) 'V; <{„(<>)п1,!

ка }

г-!! (<0(5) V('«.е^-СсГО.

Пунк'г 6,2 25 содернит условия непрерывности нелинейного опе-‘! г ор л л рис она.

Г'-ЪЮрч?. ЧТО КСр.ЧМ дикций ыиозостса Н ИЗ /. Л?

1К<нсс.■ ;>Сеол»тнр нопрсркш;!.’, если

Т"/с

г>'<н /л, О,

'-1 ~-с? V "

где "X- -характеристическая функция множества.3).

Приведём основную теорему о непрерывности оператора Урысона. Теорема 6.3. Пусть оператор Уртеона А

^ -ограничен. Пусть функция

- ( J /^ и^1(О'- Р'

непрерывна по Ц. . 1'огда оператор Урксона (5) непрерывен.

Из теоремы 6.3 вытекает важное

Следствие 6.1. Пусть К(6>^и) явно не зависит от 5

опрратор Урысона с ядром

/с,($,и) действует ИЗ Ир&)В и

компактен. Тогда /10 непрерывен.

Отметим, что б следствии 6.1 условие компактности мокко заменить с условнеа: функций из множества значений // шоеет равностепенно абсолютно непрерывные нории.

В пункте б ,3 главк I содержатся частные и общие теоремы о полной непрерывности операторов Урысона и их следствия. Для исследования полкой непрерывности примене'еи следующий критерий: Оператор Урысона (5), действующий из у Я» (е<

вполне непрерывен Е том и только в том случае, если он вполне непрерывен в СО.) и если норкы функции

АФ&Ч £Г*оо} равностепенно непрерывны. Поэтому важные зна-

г , -гг

чения имеет общие признаки полной непрерывности оператора Урысона в /-..7 . Приведём центральный результат этого пункта.

Теорема 6.8. [Гб] Пусть функция ^(5Р,и): удовлетворяет условию Каратоодори. Пусть оператор Урке она (5) с ядром действует из (°*Р£ °°) в 1(0.

Пусть .

,&т -*ч“ 11= о

^(С-гоо ПССЦЗГф* Е

17 ,

И выполнено условие: ДЛЯ любого О-ІІХ^СХ, и о< £-^о° су~ ществует &>о такое, чю при

Ь*Ч* /ГГ к (їауХСсфсіосІї/< 5

іхщ^1 а

Тогда оператор Урысона (5) вполне непрерывен. '

Условия теоремы 6.8 легко проверяются в конкретных ситуациях. Так, например, если . а

✓ л . і . , .<Х I /

вх//*1 о V

где О •с,° ~ со } '^^^<03.

^огда оператор Урысона (5) аполно непрерывен. .

[1б]в пункте 6.5 показано, что если условия теоремы 1.12 из [2 ] а.378, -го соблюдены условия теоремы бл8 и приведён пример опера-'' юра Урысона ядро которого удовлетворяет условна

геороыы 6.8, В ТО 89 вреия не удовлетворяем условию теоре.'Ш . :

Г.12 12],

§ 7 первой главы посвящён условиям липаицезости (хчзльдерово-зти) операторов Урысона. Условия Липшица а терминах ядер опера-горов Урысона, Гакиератейиа впервые применялись для установления георам существования единственности решниИ нелинейных шгхэграль-1ых уравнений Нецицнии В .В, в ряде работ . Иссле-

цованип свойств операторов Урисона в терцинах интеграла ШС*Я“)Н<г эперзые проводились в . Эта идол бота использовав з

) частности, в этой рабояо впорацо Оидо исподьэовано уолозее шпияцовостн в' форма ’

Г ■ ■' -

о.

> дальнейшем а такой $орае в работоДзН^УЗ найдены обцио уоло-цш липшицзвости оператора Урысона. В работе [;6] эта фор-(а использована впервые для вычисления яочних констант Липаица,

Гриыэр показываем что выражение, полученное в э^ой роботе длп

константы Лилкица, оказалось необходимой, но недостаточной для

установления точного значения константи Липшица. В работе [7 ]

показано, оно является достаточный, если оператор Урисона (5)

непрерывен, в 1984 году этот результат опубликован в [_

Отиатич, что идея вычисления константы Лиешица оператора Урксона

б тернинах ядра принадлежит М.Огелбаеву. В этом пункте введено

новое определение лішицевосїй оператора, действующего из одного

каграчь'скогс пространства з другое метрическое пространство* Эяа

идея дач оператора Урысона осуществлена в работах [7 ],[?/■ [їЗ’і.

Нрйэедёы основные результаты зтого пункта,

"ворона 7.Л. Пусть оператор Урусова (5) непрерызн

действуем иа ’І-*-®) оо) ь Ьу (їіу «= «у

ї'огда аквиэалбн2ны следуюциэ условия:

А

З щш'іь 7.3 исояздовавн свойства Літиицевссги .операторе (9) хВопв?.а 7.2. Пусть оператор еукерпоэкциш: (5)

двйс-гвуад ев вржиршоив І-/®) (а*-? ^ 2 пространство

^->сху ь непрерывен. Тогда

(8) и (9) аквивалентнн '

/ <Ц*+9)-Я*( • ^^ца) (<**‘'’**4 (в)

где О ~~ й: •^•с'с конеганга йишица.

2/г^' С)^- ц ^ с-о {

~ сас^ялй» 1 Лі! Рі-іХіУ ^ *

1-, если" 1 ЇО условия (8 ) и ( 9 ) зквиведектны ус

— оо-с С <оо (ГеП *-£ .

з случае существования по & производной при

сзндо.'і фиксированном А почт при всех фиксированных (

: случае, когда Р = 1 и л**? совпадают необходимее условия

:еоре(:н'?Л и теорекы I из [^] . Гёлъдеровость (лшшцезость : показателен <А ) впервые рассмотрена в [? 1 и |13Д9] .

случае, когда П‘/'5гсг,и) явно не зависни от <7 хе^пе: ы 4.1 :.5г (Тозпадсівг за исключением условия непрерывности оператора Урн-юна. Как известно, если оператор Урисона действует из ^0,г'-г"}

"О ОН, вообще говоря, не действует ИЗ 2 іЦ Теорема 7.1. .установлена такке и для -таких операторов Урі> она, В случае, когда К($Р,Ф—0 в условиях теоремы 7.1 собл::-;8нц условия теореми 6.3. ■

§ 8 глазц I посвящен вопросу разрешимости нелинейных ш;тег-влышх к иигегро-диф^оренциалышх уравнаний. Результаты этого юрагрзфа получены с попадью результатов § б и § ?.

Теоремы суцеогзования я адинсївзнности решений для уравнения первые изучались^.В.Нешцши в работах , зохон

.МДуброзским в прэдполоконкя, что функция

о Ц. удоздбяворлеї условно Лип-апца о показателем 0*-<К'-І ЯриЕ-здём оензвика резугшата § 8.

Теорема 8,2.(ДЇ Пусть и опзргтр

рьюоїш А ^-усилошю ограничен, где . 1ог-

а интегральное уразиешю (І) в каждом проонроноїзз №)

де !-£&■} ИМ09Т по крайней церэ одно реиэ-

ие хФ ,

Теорема В.4.~ пусть -О, => -О- . Пусяь оуцеогвуез . •

уикц'лк ^а(®} е(р.№) гакая, что УІ^еірСЩ) . Пусть, лакг-

код выполнено условие (7), где 0<<л*-1 . Тогда интегражь-.

нов уравнение (I), где Х0Сь) £ {.р(&) имеет по крайней мере одно решение Х(*>)е1_р(Я).

В пункта 8.2 предлагается один метод нахождения решений интегро-дифференциального уравнения '

блюдекы условия теорекв 8.2. Важным ыоионтом теорема 8.4 является, то что при доказательстве её не использовано свойство компактности, благодаря результатам И.Данеша.

Глава 4 посвящена теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, В настоящее время все болео значение приобретает нелинейная теории диффоренциалышх уравнений в банаховых пространствах как с теоретической так и с практической стороны математики. Это объясняется прежде всего тем, что нелинейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах охватывают многие закиые проблемы математики и находят естественное применение в разных областях математик и. К дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах сводятся ряд задач математической физики, гидродинамики, квантовой иеханики, теории упругости и пластичности , нелинейного уравне-

ния колебания мембраны и др.

Поатому исследованием этой актуальной задачи занимались и продолжают заниматься многие математики и механики как в нашей стране, так и за рубеком.

З § I главы 2 излагается постановка вопроса и приводятся общие предположения и необходимые обозначения.

Будем говорить, что в банаховой пространстве £ верна теорема Поано, если для любого непрерывной функции -Р;^лЕ~*Е определенной не некотором открытом множестве І/СІК^ЕІ И

о .

ОїГЬТИІІ, что в условиях теоремы I В ,М .Дубровского

со-

' ,/ ,21 ' '

для любой пары (г •£/ задача Коши

, (Ю)

пив от решение, определённое з некоторой окрестности точки /а КЛк известно,, при переходе к бесконечномерным пространсвва.ч теорема Пеано теряет свою силу . Поэтому

является такне актуальніш нахождение различных общих достаточных признаков существования решений нелинейных обыкновенных диіТфзронциальних уравнении в банаховой пространство.

3 настоящей главе исследуется также задача Коими

& ■ххі.,,х:(Нг...} (П)

где производная понимаете л я пяассшшскм смысле, тогда

оператор ~ Б00бцэ

говоря, не является непрерывнш по совокупности переменных

а,х) , хотя капдая компонента непрерывна по (1}Х)

Теорема существования решений для задачи (II) впервые получена А.Н,Тихоновым , а для задачи Коши счётных систем диффе-

ренциальных уравнений второго порядка впервые получена

Пусть -есть интервал, Е -банахово простран-

ггзо,о = открытый иар из £7 , Пусть функция

^:/^х определена на Д7X 8Г. и (/^х)// з

1 о р о а сР(х)(хс Е) обозначается нелинейный непрерывный функционал • гаюй, что сТ'?{о'~:0 н ТСфо дри ЦхЦ>0 из ФФО—^О штзнает//-^.'.?—»--О . Предполагается, что обладает своЯст-

!01с: г+>Г ' '

<(**ч-ч>(х.) а-'- у <гч:уц

•до с&(?С-эк/ равномерно относительно X кз каждого шара !9прерпвен НО к Я ^ (\гО)уЮ(хк^^(х;%)$г^

рячои /и>(х.,и)1 аО(иЬії). .

Й пункте 1.3 § I задача Коші (10) рассматривается в сепера-

• бельмом банаховой пространстве Е . Предполагается, что оператор при нандом фиксированном X сильно измерим по і:

Приведем основные результаты § I главы 2.

Тоореыа 1Л[13] %сгъ выполнены все условия указанные вьг^е огносіїїельїш функции 4 Пусть ІЛІ^-Г

и пусг-ь функция СС67Х) удовлетворяет неравенству

[1 РС*,Х)-№?}/£I (ЗС)

№' : [ор?Хиопроравка по совокупности .пррененн-

ых к пусть задача Кот:

^ - и*,ч/, (и^о; (1ІС)

имоог единственное решение 2 ироисяутке іаіт1 . Тогда задача Коши (10) нут одикетасиное ресшниа обойденное ХС^) в промежутке 1ер~) 2.в. ХСІ'/ удоі-легворяеї ннгегралыюму

уравнонка’ /

X сі) ~ ас Со)-і- /У (ї, .

Теорома 1.6. <ГГ«1 пусть ь условиях георвиц 1.4 место корзьои-

сїво (ЗО Енаох:йку неравенство . ' 3) й ШгФ(х-21},

гдо функция 1~ '■ [?;г}?, [_о/Г\^']—*/'?. изкеркіга по прг,

■фиксированном £4 , иэпрзрыанг ас # для кс^дого гг . Яусгь

С1*<0 являеюя единственное абсолютно взпрзрывной функцией но (орт) , удозлэзезоряадай задача почгк везде м{$7£ Пусть дикция ^Сг?Х.) ь кввдой 2,очке 5Г пс з; равномерно миооизельао і непрерывна, То^де задача Коик (10) инееі одии-ствзкное решение в пронеаухке [Ор) * обобщенное в смысле гео-ремн 1.4. '

Теороыа 1.6 обобщает теорему Олеха в случае, когда £ со-перабелвно; . Аналогичный результат получен С,Иу$ле« используя норн некомпакіносїи Куратовского. • . .•

I- ' 23

Как выяснилось з последнее время, развитие теории бесконечных систем дифференциальных уравизниЯ имеет две тенденции. Одно направление связано с теорией оператррких уравнений, вкотрой вместо бесконечно]! системы рассматривается одно операторное уровненнез некотором банаховой пространство. Имеется и другое направление так называемое классическое, качало которого пояозс-но в работах Сгий Ъ. АЛ .Тихонова К.П .Персидского

§ 2 главы 2 яосвпзЗа вопроса'-', ■гсуксс-хвоваву.л и едМ'.сзвсиноста решений счёгных систем дафррвнцчальвнг уравнении. В пункте 2.1 излагаемся постановка вопроса, приводятся необходимее обозначения и определения* Пусзь -банахово пространство ограниченных ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЗДСЗСТСЛЬНОСЗОЙ ОС — 0^-1,' ”) с нормой

'0сЛ: , в -банзхозо пространство числовых по-

£.

спв502агелз.иоС2йй СС~{зс а:, ■■■) с нормой. —

= (' *

I-• '

?гсс:;'^р1Г.г :ч этих нрастра:?огзах счётную систему ди£$ореяцк2Ль-1ШХ ур33кб!535 (3). где "£ -2С!ЦеСТ301ШОЭ независимое переменное

I '(»• ечёгноэ .‘.шсяестзо искомы:: функций, )>,£,••• задйшше вецвеивннуз функции• лвреионних облает;! -Лр

которая оарэдолязтея неравенствами: I, -г

Г ДО О < / . ■' -- -~0. •

Функция &,%, ,%[/••) называется непрерывной по иорио ^ .

$<*} я "очке СС,~ •■) . ОСЛЙ для любого £ >о су-

посткусь* д >О 1'аксе, чхо из /!0С.-Хо!17-~^ слсдуе"

^-р •»

Оснозкой результат § 2 содержится в теореме 2.3.

. Теорема 2,3, (ГЛ Пусть функции удовлетворяв? следующий условзяи: а) непрерывны в каждой точке ■Г,£^(%^с-.упри фяксарозаннои ^ , кэкертго по £ поп каждом'

фиксированном *2Г<г 4е » б) удовлетворяет неравенствам £;*Л$, где 2* £fin, <«*»;бслп

■ Тогда через каждую точку проходит хотя бы одно

ограниченное решение системы (3), удовлетво-

ряющее начальному условию Л74/=^ определённое в некоторой промежутке изменения і .

Следует отметить, что некоторые обобщения результатов А.Н.Тихонова содержатся в работе Демдинга К, . Далее в § 3 этой главы исследованы вопроси построения приближённых решений и дифференцируемость решений по начальным данным, А В частности, 2 теореме 3.5 показано, если оператор

■ имеет производную ©реше по X , то решение задачи (II) имеет

производную Фреи по начальный .данным ,%*;■■] в ^ . В это^

же параграфа показано, что если э условиях теоремы К,П.Персидского о существования и единственности решений, свойство непрерывности функции ^СІ}Х) по Ь заменить свойством измеримости по ■£ , то утверждение теорзиы К.П.Персиддкого остаётся в силе,

Основным моментом доказательствапвяяется то, что фуакции

становится измеримыми, если семейство равностепенно непрерывно [14], .

Глава 3 посвяцсиа применению теории счётных систеи я ковочных систем дифференциальных уравнений к нвлинзйгкм колсСанияк ‘ ыомбраны и дзиу-окияи, описываемых диффорвнциальниии уравнениями.

В последнее время усилия многих математиков били направлены

■ на изучение так эазываеиых нелокальных проблем теория дифференциальных уравнений.-Среди втих проблей видное место занимает вопрос существования периодичеаких рамени* (дзййсшій) обыкновенных дифференциальных-уравнений в конечномерных и бесконечномерных пространствах.

. Теория нелинейных колебаний <г»-периодических решений была аадодена в работах Пуанкаре и Ляпунова, идеи которых плодотворно сказываются на работах других авторов вплоть до настоящего времени» Ей посвящена обширная литература. Тем на менее, если

исключить дифференциальные уравнения второго порядка, то для произвольных нелинейных колебаний в настоящее время по суцост-ву получены лишь отдельное частике результаты, более точно изучены системы уравнений, содержащие так называемые ” калые параметры" (см.напр., монография Малкина И.Г. , Боголюбова Н.Н. к Мптропольского Ю,А. , -Хейла Дж. и др.).

Основным методом исследования периодических решений з настоящей главе является метод точечных преобразовании - метод Коаи-Пуанкарв в конечномерных и бесконечномернцх пространствах.

В § 2 главы 3 рассмотрим те арены суцсствозаинл ^-нериодп-ыских роиений конечных систем дифференциальных уравнений.

В большинстве работ сущеттвовоние неотрицательных ^-перио-цпеских решений конечных систем дифференциальных уравнений доказывается в лредлсло&виш, '«то спектр матрицы монодроми легмг нутри круга радиуса .Б данной работе но тробуется

ишь существование не более двух собственных значений о^Лс-1 отрицы монодроми Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(к)

гу систему будем записывать в векторной форме:

Ж (»> ■

'дем предполагать, что функция р :$Х

і1) я. ■ ■ ■ і л. » непрерывны по совокупности переменных: н 1~- С, Кроме того будем считать, что уравнение

3) с начальным условней ХіЬ0)~Х, 1,цсет единственное реке-

о ОС.СІг)— в промежутке С0,00] .В этой

Ччае равенством «^ДА= Хіі,КТп) при кандом ~Ь эеделён оператор, ставящий в соответствие каждому •£, значе-з з точке £ решения уравнения (13).

Основные результаты § 2 содержатся в теорема 2.1,

Теорема 2.1. [П1 Пусть правые части системы (12) удовлетворяют неравенствам

^ оЯ"Гы*>, <»)

*/" / , , •

где, функции С^(х) ~ '/А/">и) никрерцыш, прочей (Ц Ст-ги) «. С1-сЬ)^ с^. с(}^и/ . Пусть иитрл|;а

МОНОДРОИ8 \/^и]°) М'.иоНаиХ СЯСТУЛ1Ы

^ ^иох ■

кииег соСс'гьоннь'й вектор А' >-О с оооствспрш:,; аначшшеи I

С* ^

Пусть ,| И^^5'(5.ЛЬ --Л --Ц, , где -ьы.О’’-црое полой;-

-ОДЫЮи чг.сло (последней услоы'.е всегда виг.илакется, если

Тогда оиояеаа (12) кпкет по краШшй шри и дао ксо-градгп'елг,-

::сг. и) •керлодпчуокче р ол .

1!г 'Х^оромр 2,1 шл-екае?, что лоякал гчч• • ^ ( .{ <^с} )

. . ' ? > 1' ' где /ц'<-’0 ! , у/,01;леч;10Г;;к:л;.г !.сро^^а;:г;;у^ / V; ;

с^. определяет ое!>о:;от!;о ;л;и:^ор^нцллльчпх ураьнеа::;:

(12) правк;; ЧЗСТИ которых 'уЛОМСЧЛОрНО'! Н0рГл};С)12ТЬЦ!‘ ( 7*' ) .

В § 3 ослоинчг результата § 2 и^раивоеип сч;./:а..ч-. • •..■ о.:

ди^лррнциьлыш урашшн!Й.

- § ‘г 1\Л52!; 5 Г.1СЬ/;Й1; иДЛОЛу аОЛОЛйГИч^-ЛЛН'У ;ЗрГЛ;..уцс-

ездоь'киш «-периодических: ришони!. систсы ебгкиояош.к';; ла^р-рэншгадьных уравиетШ а ковечнотрных л безкоиично^чриих аро-

странить ах.

Персия кдзя прншнеьиа ьрагркш; иекторних иолен пршшлло-г;.пт Ьерл^ыц; 11. н ХьггшаК Л. . ]■ аллцокиоо ра^Ы’^ле оа'ок

на йодш./ оОанзи случай полу;ш;е ’а рмз^о Красносельского !лд. к Пирона Л.II, , ' .

Все вииеука&анике результата ирляютсл ';ис;т>;и:'Л .:л;, чл)л:;! то-пологлчоскох'о принципа о иллидлиллой гочио олеллгилс. Колл-Г1;- чь~

. 27 ■

каре, сформулированного в работе /10 / , котреє находит применение и в случае бесконечномерного пространства, когда оператор

Кози-Пуанкаре не является вполне непрерывным. ,

Рассмотрим в вещественном балахоном пространстве £ обыкновенное дифференциальное уравнение

(15)

где А СІ) -линейный непрерывны;; оператор (непрерывно зависящий от і:<=(г оз ,<=*>) по норме операторов), а -впол-

не непрерывен а тон смысла, что он непрерывен по совокупности переменных СІрс] с X Ь и прообразует тополо-

гическое произведение каждого конечного промежутка изменения £ на любой иар Е в множество компактное в £ . Пусть операторы /Па, в ар) * -периодичны по г5 . Предполагается, что ка:кдое начальное условно Х(о)~Х„ определяет единственное решение ХСІ)~ЗС{6рр„) уравнения (15), определённое в нроменутке Ц°;с°] • Пусть исір) оператор Кози-Пуанкаре уравнения (15) определённый разенстзом ИСір]осо~ ХСІо^) Через І/С^Х°) обозначим оператор Коаи-Пуаннро линейного уравнения • .

^.хУ/сОг^о

3 дальнейшем дополнительно полагаем, что точки спектра оператора У&£°) кекаї внутри круга радиуса . Пусть

~ТС£)зс~[і- \fa-pjf[иа&х-ус£р)х/

Зсновным результатом § ^ главы 3 является

Теорема 4-Л.ПОІ (топологический принцип). Пусть на граница ^ некоторой ограниченной области ОсЕ вполне непрерывное зекторное поле

Ш = х-Х(°)в(°,*) меет ненулевое вращение У (^(р)- іі^^рхуХ (о<Ы<о^Хс$)

пусть наконец, множество

Компактно.

Тогда Jr равнение (1-0 икеет по крайней иере одно <^-перпод::~

Дадое в Ы'оа парзгрг^е Дь-ызян рад тоорзи о «-иириодичоски;. рооеииях ураикишн (гЗ) і, рпзких функциональни/ пписа'ранстза^-г,ки-а'ории яелявїся часгкнмк u.'iyvijvz уоорекы 4-Л. •

^ 5 главы 3 иосвіі’Авн иркы-.-нини;..; хьорик счо'/ио;, jv.-tuiui i;cja:-нсИнух 1й.':огралып;;.\ уризисннУ к р::5рс;:!шоо?іі іи.'ллі^лішги ураи,;;.-1ІИІ1 КОдебйШі HOUfip.UlIL!, Б иуиню 5.1 с ‘і нрііЬіідЗиа ІіОСїг.іНОі) l-.it задачи п npoj}tr,;oii і:раьі..;;ч/л:ь::и!: аийлкь, Ну.-.".і ---:(^, ),#-• /•'.1

Іі iijuiau 5,2 «і ? кр.,з;идкзок ипродолои;:;;, u-Jvj-зі-■. д;пл;з дак:;г па -л-иор;:;’. ,Vym:ii»:DU...гьнил ^рос^ро;.::- .

Б ПуЩіТО 5,3 J 3 r’JittiiU 3 риССУ.й.'рПЬаеі'СП Є1W..О"-'-:,'. Симой ицїОі'р-:Лі.нш, уразис-іши іій?,а: -- i-t°H і*)-!

ческое ролеііііо.

ї' .

(І?)

(І* )

гэ

Основным результатом пункта 5.3 § 5 главы 3 является „Теорема 5.3.2.Ы а) Пусть функция удовлетворяет условна Кэратеодорл. б) Пусть отображение -£&7иМУг*) = {/1.,^«епрерквно при К8ЯД0М фиксированном 0-^] '/ ла Ч-єЄр . в том смысле, что иэ 11ик//о/1[Г'г'0 следует

при К'-* .с) Пусть при фиксированном II удовлетворяет

уелозга Липшица:

Тогда система интегральннх уразпеннЛ (16)-(19) имеет по крайней мере одно реаение

уф^{исб)/ф^фШ]]е С(о,£Ь0г

где '/Уо) = £цо а}) К, [ +1 п, (Ц % оО] - [а/Ь “'"А *~Ф}

при этом 5СНКЦКЯ Ч&) = {исЬ,мас4),1МС&,${о}€С&$Р) ' является решением системы интегро-диф^ерзнциальных уравнений

^•Ч>1 а) ~ ^

-/■ -1.-- Г]£,„ '20->

7^- о * .

В пункте 5Л § 5 указано достаточное условие, при котором репе--ния укороченных систем интегральных уравнений сходятся к репению системы интегро-дифференциальнюс уравнений (20). . ,

В пункте 5.5 § 5 главы 3 посвящен применению результатов пунктов 5.3 и 5 Л к разрешимости нелинейного и уравнения мембраны

рол) = | ^

с'краевым и начальным условиями

Ц~0 «а £ ^ Ч(х,0)~ (^(х) ^ (22)

Определение, функцию С(_ , определённую равенством

ОО

и(хф) ~ ^ ^,,СЬи1лн'х-1и'пКХг

- ‘*у1=-г

назовем обобщениям решением задачи (с1)-\£2}, еали функция иф = {и.,„({-)] нвлнется реи:енивм системы (2.0), где

л И. й ^ •

и.РСХ)—^ а^ш^гл^,\гпх и (х.и)^

К1;И=1| ^

<„£^ = 0~Л5^7? У ~?±-. & ({,«?№=

сч> I н-ГЧн*- /' ; "

- |х {Н1>

' ф ' ' 'V1-' *',* = •/

%О0

21 “»,«*'»'•’^Ытс^ а, ,#£,-£.)Лх,.

Основным результатом пункт 5.5 § 5 глаьи 3 нсаиохся

Т е о рола 5.4.1 (1 У|0 с, о еще нн ои решенио -задачи (21)-(22) ойладае?

сле^увдвкй свойствами: (01) £/«>., ;; Ц(р’)--// (■}>/,/О,

I- ■'■о " '°%' "Ибг)'

(С2) -Ыч/4-^ ('£)~Ш')?йО («) £:.ч (!Р(Ц№>~0

• ,-д. > '

гдо 0«*£-^о ^4 (х;0~,£-. , (0'!) ог;.иама«;- со

* 14,, •

слабый реиоале;,! I. сгеолк раенредолвлиу,

С дедуси отвадь, чю резулхкати 5 - 1.га;п: 3 г рззрскс^зсти ниланвйного уразиьмкя кодеб&шш пеморыш, расоиотринкоги *;.«и ь згой параграфа получены впервие. Е случае, когда задача (21)-(22) били исследованы рядом евтороь: И судер Немке , Хартман и Винтер Алексеевич л Ор;;ич

Роадесашеиский и Янапко , Лионе . , Курекеиои .

Оомовваз рзгулмагк дсосоргсщш опубявкэБшы г рангах {'10—18].

31

ЛИТЕРАТУРА

I . Красносельский U.Л.,Забрейко П.П., Соболевский П.Е. - Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.-’

М.: Наука,1966.

2. Справочная математическая библиотека,интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968.

3. Канторович JI.B., Акилов Г.П.Функциональный анализ. М.:

Наука, 1977. .

Красносельский М.Л. и Ладыженский л.Л.-Условия полной непрерылности оператора П.С. Урысона,действующего в пространствах [__ Тр. Московского матем. общества ,1954 ,т.3с.307--320. '

5. Нурекеноз Т.К. Условия полно/1 и слабой непрерывности нелинейного интегрального оператора П.С. Урысона.- В сб. материалы первой научной конференции молодых математиков и механиков г. Алма-Аты. Алма-Ата, 1969, с. 157-167,

6. Ойнароз Р. и Отелбаев. Критерий сжимаемости-операторов Урысона,-Докл. АН СССР, 1980,,т. 255 ,?.'<■ б , с. I3I6-I3I8

7. Нурекеноз Т.К. Необходимые и достаточные признаки выполнимости условий Липшица операторов суперпозиции и Урысона,- Деп.

в ВИНИТИ, № 1459-81. '

8. Ойнаров Р.,Отелбаев М.- Критерий липшицевости и сишао-мости нелинейных интегральных операторов.- Сибирский матам, журнал, 1984, т. 25, Ц%, с. II6-I27.

9. Нурекенов Т.К. Полная нопрерывнооть и гельдеровость операторов Урысона и,их приложения к разрешимости нолиней- ' ’

ных интегро-дифферанциальинх уравнений.- Алма-Ата, 1984.43с. Деп в ВИНИТИ, № 4009 -С**.

10. Нурекенов Т.К. Топологически}! принцип существования

ю- пэриодячвсних реззний обыкновенного дилере падального

уравнения в банахово:.! пространство и о существовании решений

нелинейных интегральных уравнений.- Рос, /к Ьгт. $У">р.~Торо-£осцу сиьА Арр(?СС-. ис1ьгО-) 197-2, &(1о^гас/^и?-3} Р. 1&* №°-

И, Нурэкеиов Т.К. Тесрекц сущос'гьоъаная неотрицательных ПерИОДНЧ'ОСК'ЛК решений конечных и счетных систои дифференциальных ураининий и мпрема существования ргииияй счетных систе дц£~ с][,оронцпа:.ишх уравнений,- С.Опг>п ел-~к~. Л£(<-£к, [/кл'/ С.о.^с>1^ис'^

19 ?? 1э (3), С. 1 г?~

12,Иур01.зков Т.К. Тиор-л:,.,.) су^остианпя и единственности р«-аеиий задач;: Коак дчя нелинейного ойыхпив^п.!ох-и дп^еренцпаль--ного уравиош!.- Ди-^еронцпалишо уравнени», 19?9 ,1, ХУ, V 4 , с. б£9"о>:>.

ГЗ, Нурсконов 1Д. Кр;!1 ЛШПЛ’Це 6 ОС и 11 и а ^ р р £ УрисО)::':.--Й?и- АН Кн;-ЛСР, сор. Мэкке* ::г:емнуичииг ш,1^; ;3,с, 79-5:2,

]Ч. Нуреконов ТлС. О ре.^нпг,:-'. ^чотиих дь^^рсициа-

лыих урышош;:!, Дп1т;}йропцчаль>а:л чрьтыи.з,- 7984, 1 9,

с. хс^о-к^г.

13, Нурикои:);: Т .К, О о одни;; К"аосп I.у-Ьни,-; интегр-.л!-них опориюроь Ур^асг?;,-Сяо;.роки!; кич'и:.;. куриал, х'98э, т. ХХ;1,

!,-■ 3, о ъ 2X9.

16. Уоярвия полной иопрэрш-лос'!':: оператора Урноони.--Докл. АН СССГ, 191-1,2. 321, 5, с, 905-909.

I?, Нуракоиов Т.К. Применении счет;.'.Я систему ьа?г.;пой-шо: инкигрсаььпх уравнении к раирьоп-.сл.сц:;! кол:иппного уравнения колебания к&мо'рали.- Пзь. АН ГК, сор. ц>!ог.п<-матом!,П1~ ческан, 1992, К" 5, г.. 30-40.

16= Нурецонив тли 0 Суи-ч-СТБОпиИИ!! И ВДИЬОТВЦШШС’л'П ре-

аонля о Л;! к!: о I) з 11 н о V о дЦи зрикс^ьл^ниг';- ур.-;’-кс-:!И>: ^ баи а:; о::-и: просарйштае.~ Веоякк:: АН ?.-;, 195,?, 2,с.ър-о6.

33

АННОТАЦИЯ

Диссертация чкзикриз интеграл операторларшшг хоссалартга ва уларнинг Банах ва функционал Лазодарда берилган интеграл ва интегро-да^М'еренцкая тенглачалар системаларига тадбкклаошш

С *

урганшга багтзланган.

Диссертация уч бобдан ибера?. Епргегчи бобда улчсв ва норма болота ко:.*лактлшглк ало:.;атларл, хрлда Урнсон тшлдагл интеграл опегагорларн’лнг лштпзугаги ва узлухспзллгл уларнинг- ядролари хсссаларп б;[лал боглалган.

Бнрлнчл бобдаги асссгЛ натюхалар ^уНидагклардан иборат:

1. Урысон опсраторшпшг тула узлукеизллгл да^ддагл уму:.-;л.1

теорет лсботлалган. Гу теорешдан интеграл операторларшшг тула узлукслзлдгл хак^дагл шълум георекалар келкб чдкрдл, хусу-сан, у потенциал тлдлдагл Ч1:з:п$лп интеграл олераторларнлнг ком-пактллллгп дакддагд ?.:аълут.1 Л.В.Канторович теоремаслли уз ичига эладл. Бу теорема.’гар.'шнг иу йукализда галалдлган бонда авторлар излашспларпдан £а{л;л ва уму:гсйлигя пундаяи, улар з^урютан контр-кисоллар билак тулдлрилган. - ‘

2. ^ - чегаралалган ва ^ - кучлп чегараланган деб

ношшнган чизл^слз ттеграл Урнсон операторларпнллг лиги слнф-лари ажратилган. Агар нос Урысон операторл кучлй чегараланган булса, у ходда барча члзлкспз Урысон тенгламалари ечимга эга

п А

эканлнги иоботланган.

Пккличл бобда биршчп маротиба Банах £азсслда унг томошт бпртомонлаиа ба>"оларш! ^аноатлантлрувчи Каратеодорп турлдагл члзшулз оддай дп^ференцлал тенгламалар ечкмларпшмг г’агз^удлкги ва ягоналигл ^шущагк ут.тушй теоремалар исботлаяган. Бу теоре-малар наткжалари скфатида г.гаълуы теоремалар (насалап, Браудер теоре:."асл) келлб чп^ади. Балах Фазослда Каратеодорп турлдагл

ХХШ'зреЕц."ая '*-с;:гл;.‘.'^л;гГ“г: салцпг: хрпгзг* янп* уоул газдаф газ: Банах сссос:;^ Кар^содог-:: С-уютгхг.::^ у-^схгз Оунздетар ф/мт cmno:-cv:,;ojo~:^a jojvn (::oai:.pi.'it калту. су усул Скорая -Дрсг-С;Г-; ::с:;па^:: lr.v,r/-) 6or;icic:;a::;.^a y;yu Л odor :жс:-;;-..:;л

ос "С.'с?. К'.::, ус;.-:. су уеули

О * - ,J '

ys с:::::.: куллаоигак.

* " .; " * ^

zz.py.iLi? :.и-, п-Ч'глар 6у;ккц

cuixk;::; с^за’-л'^о;: сг^и1. :ч\л..;.,:;.о:: vzzz£

Учп1:~ (.'об 0;r/.jrc: хл. ьос;^:;?а- c.iz:zm: uuv...

in;'”-;! i:;;!:"'! i-я :;с:.’с'>-:..':.гпг.нп: :;,"c;;^r;: ?uicfju-~r)iuc 5\_д;~

о, • ' * ' - ‘ "

С-A С ■.Z1.—.,, .

” Ч ' *.; . •' . ,

е J L.V *\----., -- С . . С./. :*. , .1'." -J.’ * \ ’ -‘j‘> -л -..’Г -. .. . .’. <". '*“

. у~ ... . ( ' '

к;~;г пк.г.: Счи.га гхс:^;; 'лЛ ^.сс,'

1 О ■ ' *

l%~- .

£ U U К Л П У

The dissertation ie devoted to the investigation of the qualities a£ non-linear intogrc.1 operators ur.d to their applications to the eye ten;,*.' of iufcocral, слй intogral-dlf/c-rontial oqimtioas in Banach apace and functional one..

The cUfjuc-i-tation coneiato oX three chapters. In the firat chapter, tbs features of conipac tneas on measure and norm, and oc the continuity and Ltpochitc of integral operators of Uryoon typo in terna of its kernel arc investigated.

She main results of the firat chapter ea-es 1

1. The general theorem on tho complete continuity of Uryaon operator ia proved, and from which the well-known General theorems on full continuity of integral operators follows. In particular, this general theorem includes tho known L.V.Kantorovich theorem on the compactness of linear integral operators of potential type. Tho community and the difference of these theorems from another authors, working in this direction, ia that those theorems are supported by tho counterexarapleo.

2. The new cln.sscs of non-linear integral Uryaon operators, called as q-limifced and q-atrcngthly United are selected. It'3 proved, that any non-linear Uryaon equation i3 solvable, if the corresponding Uryaon operator 13 q-strengthly limited.

In the 3ccond chapter the general theorems of existence and ' uniqueness of ordinary differential equation of Karateodory type in Bar.ach space (when the right aide satisfies tho one-sided estimates) from which the series of known theorems (for example, Erauder theorem) follows as a result are proved.

Under the investigation of Korateodori type differential equation in Banach space the new method is suggested: the approxima-' tion method of Xrirateodori function in Banach spaco by the continuous functions ( at present, thio method is called a3 a Scort3-

Dragoni property). and the passage to the limit method for discrepancy under the lebeoque integral. Later, thia approach vras used by the other authors in the inclusion theory in Banach spaces. The'quality theory of counting systems of non-linear ordinary differential equations in the sense of existence and uniqueness theorems, tho difforotiability oil initial data of the solutions are worked out.

The third chapter ifi devoted to the application of the received reaulta of the fii-3t and second chapters to the probleas of the (material) point and membrane movement oscillations.

The main roaulto of this chapter are the following:

1. The alone common typological principle of the periodical solutions of non-linear differential equation in Banach spoce existence in obtained.

2. The common local thooren on the solvability of the mixed

problem of the membrane (oscillation) viuve equation, when the

right Bide contains the non-linearity of any order of the increaj

alone U-solution io proved. -