Свойства конформного радиуса и теоремы единственности для внешних обратных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

УДК 517.54

На правах рукописи

Ахметова Альбина Наилевна

СВОЙСТВА КОНФОРМНОГО РАДИУСА И ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ВНЕШНИХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003470655

Работа выполнена на кафедре математического анализа Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Леонид Александрович Аксентьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Фарит Габидинович Авхадиев, кандидат физико-математических наук, доцент Василий Петрович Микка

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится 17 июня 2009 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: г. Казань, ул. Профессора М.Т. Нужина, д. 1/37, Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н.Г. Чеботарёва, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 12 мая 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

Е.К. Липачёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одно из направлений изучения конформного радиуса определяется его связью с различными характеристиками плоской области (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной её границы и др.), широким применением в математической физике и вовлечением всех этих понятий в изопериметрические неравенства12. Другое направление связано с различными экстремальными и граничными задачами, в частности, с внешней обратной краевой задачей (окз), количество решений которой не превосходит числа критических точек конформного радиуса. Особое место в теории окз занимает вопрос единственности решения внешней задачи. Основные достижения этой теории отражены в обзорах и монографиях3456.

Целью данной работы является изучение свойств поверхности конформного радиуса при построении её над единичным кругом, исследование структуры множества значений градиента конформного радиуса для выпуклых областей, а также разработка нового подхода, основанного на поведении градиента конформного радиуса (градиентного подхода), к решению внешней окз.

Научная новизна работы состоит в следующем.

'Полна, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике/ Г. Полна, Г. Сегё. - М.: 1Ъс. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. - 336 с.

2Avkhadiev, F.G. Schmarz-Pick type inequalities/ F.G. Avkhadiev, K.-J.Wirths. - Birkhäuser Verlag, 2009. -

156 p.

3Тумашев, Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения/ Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. - 2 изд. -

Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 334 с.

4Гахов, Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д Гахов. - 3 изд. - М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры, 1977. - 640 с.

5Аксентьев, Л.А. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и её приложения/

Л.А. Аксентьев, Н.Б. Ильинский, М.Т. Нужин, Р.Б. Салимов, Г.Г. Тумашев // В кн.: Итоги науки и техники: Матем. анализ. - М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 18. - С. 69-126.

6Авхадиев, Ф.Г. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения/ Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев, A.M. Елизаров // В кн.: Итоги науки и техники: Матем. анализ. - М.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

Выделены классы областей, для которых поверхность конформного радиуса теряет свойство выпуклости при построении над единичным кругом Е для конечной области D или над внешностью единичного круга для бесконечной области D~ (сю G D~).

Получены результаты о свойствах градиента VR(f(E), /(£)) конформного радиуса R(f(E),/(С)) в терминах квазиконформных отображений7 и выделены геометрические эффекты для VR(f(rE),f(r£)), 0 < г < 1.

Введено понятие радиуса единственности (или радиуса Ф.Д. Гахова), на базе которого по функциям, определяющим неединственность решения внешней окз, получены классы единственности решения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут применяться в геометрической теории функций, а также при дальнейших исследованиях вопросов существования и единственности решения внешних окз.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор JI.A. Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2006-2009), на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарёва КГУ (руководитель — профессор Ф.Г. Авхади-ев), на VI и VII международных Казанских летних школах-конференциях (2005, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах. В статье [1], написанной совместно с JI.A. Аксентьевым и A.B. Хмельницкой, автору принадлежат теоремы 3-6. В кратком сообщении [2] в соавторстве с JI.A. Аксентьевым формулировки (и идеи доказательств) теорем при-

7Альфорс, Л. Лекции по квазиконформным отображениям/ Л. Альфорс. - М.: Мир, 1969. - 135 с.

надлежат научному руководителю, доказательства — автору. В диссертацию включены результаты, принадлежащие только автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести параграфов, объединённых в три главы, и списка литературы, содержащего 68 названий. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста и содержит 13 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор литературы по исследуемой теме, изложено содержание работы, приведён список результатов, выносимых на защиту.

Г. Хиги8 получена формула для вычисления конформного радиуса одно-связной области D в точке г в виде

R(D,z) = |/'(С)|(1 - ICI2). (1)

где z = /(£) — функция, реализующая конформное отображение единичного круга Е = {С : |С| < 1} на область D = f(E). При этом выражение (1) интерпретируется как график функции R(D, z), представляющий собой поверхность Г2 в R3 над кругом Е или областью D. Назовём эти области основаниями поверхности конформного радиуса.

В первой главе речь идет о дифференциальных свойствах конформного радиуса (1).

Д. Минда, С.-А. Ким и Д. Райт910 доказали, что необходимым и достаточным условием выпуклости (вверх) поверхности конформного радиуса над ко-

8Haegi, H. Е. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrössenf H. R. Haegi // Compositio

Mathematica. - Tom 8. - 1951. - P. 81-111.

9Minda, D. Univalence criteria and the hyperbolic metric in convex regions/ D. Minda, D.J. Wright // Rocky

Mtn. J. Math. - 1982. - V. 12. - P. 471-479.

10Kim, S.-A. The hyperbolic and quasihyperbolic metrics in convex regions/ S.-A. Kim, D. Minda // J. Anal.

- 1993. - V. 1. - P. 109-118.

нечной областью D является выпуклость D. JI.B. Ковалёв11 установил, что критерием выпуклости (вниз) поверхности конформного радиуса над бесконечной областью D~, оо £ D~, является выпуклость граничной кривой сШ~.

Выпуклость области D остаётся необходимым условием выпуклости поверхности конформного радиуса при построении над основанием Е, но не достаточным.

В § 1.1 исследуется поверхность конформного радиуса (1) для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный отрезок. Через Я+ будем обозначать поверхность конформного радиуса над конечной областью D, через 'Я- — поверхность над бесконечной областью D~, оо е D~.

Теорема 1. Поверхность Я+ конформного радиуса для выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С dD, построенная над основанием Е, не является поверхностью, выпуклой вверх.

Аналогично воздействует прямолинейный участок I границы на строение поверхности Я- конформного радиуса для бесконечной области.

Теорема 2. Поверхность Я~ конформного радиуса для внешности выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С 8D, построенная над основанием Е~ = {£ е С : |С| > 1}, не является поверхностью, выпуклой вниз.

В неравенствах математической физики121314 участвует величина

"Kovalev, L.V. Domains with convex hyperbolic radius j L.V. Kovalev // Acta Mathematica Universitatis

Comenianae. - 2001. - V. 70. - P.207-213. 12Хейман, B.K. Многолистные функции/ B.K. Хейман. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. - 180 с. 13Голузия, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного/ Г.М. Голузин. - 2 изд. -

М.: Наука, 1966. - 628 с.

"Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей/ Ф.Г. Авхадиев. - Уч. пособие. - Казань: Казан, ун-т, 2006. - 141 с.

г = х + гу е Б, которую будем называть комплексным градиентом (для краткости градиентом) конформного радиуса. Инициатива в изучении (2) как самостоятельного объекта принадлежит Ф.Г. Авхадиеву и К.-Й. Виртсу15. На основании поведения якобиана градиента конформного радиуса ими доказана диффеоморфность градиента и выяснено строение множества его значений в зависимости от вида области.

В § 1.2 изучается поведение градиента (2) конформного радиуса как квазиконформного отображения и строится классификация градиентных отображений для областей с выпуклыми границами на основе исследования неравенства

0< № <1. (3)

№

Достижение равенства в (3) «слева» связано с улучшением свойств градиентного отображения.

Теорема 3. Градиент (2) конформного радиуса (1) осуществляет конформное отображение области Б тогда и только тогда, когда граница И является окружностью в С.

Другие случаи квазиконформности (в том числе и вырожденные в связи с достижением равенства в (3) «справа») представлены в следующих трёх теоремах.

Пусть £>„ = {г : |ги£,г|.< 0 < а < 1, и Д, = {г : |1тг| < §}. Для выпуклой области Б справедлива

Теорема 4. Градиент (2) конформного радиуса (1) для любой выпуклой области £>, отличной от Ба и £>о, осуществляет квазиконформное отображение. Для угловой области 0 < а < 1, и полосы Д> по всей области справедливо тождество = 1.

l5Avkhadiev, F.G. The conformal radius as a function and its gradient image/ F.G. Avkhadiev, K.-J.Wirths // Israel Journal of Mathematics. - 2005. - V. 145. - P. 349-374.

При переходе ко вложенным областям f(rE), 0 < г < 1, получим К (г2)-квазиконформные отображения для любой выпуклой области f(E), где К(г2) <

Теорема 5. Градиент (2) конформного радиуса R(f(E~), /(С)) для любой области D~ с конечным выпуклым дополнением осуществляет квазиконформное отображение.

При переходе ко вложенным областям f(rE~), 1 < г < оо, получим К(1 /г2) -квазиконформные отображения для любой области f(E~), где

ВДг2) < Й-

Теорема 6. Градиент (2) конформного радиуса для любой области jD~ , за исключением Da, а 6 [1,2], с выпуклым дополнением и бесконечно удалённой точкой на границе осуществляет квазиконформное отображение. Для Da, а € [1,2], по всей области справедливо тождество = 1.

В совместной статье Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Виртса на примере одной угловой области получена структура множества значений градиента как эпициклоиды. В данной работе справедливость подобных рассуждений для любой угловой точки без ограничения общности подчеркивает

Теорема 7. Предельным множеством для угловой точки г = 0 многоугольной области D под действием градиентной функции (2) при приближении к z = 0 по радиальным направлениям будет кривая: при 0 < а < 1 - гипоциклоида, при 1 < а < 2 - эпициклоида. В случае а — 1 точке z = О будет соответствовать единственная точка на |г«| = 2.

Вторая глава посвящена исследованию единственной разрешимости внешней окз для некоторых классов функций.

Внешняя окз по параметру s состоит в односвязном случае в отыскании области Dz С С страницей Lz и регулярной в Бг функции w(z) по известным

граничным значениям

w(z) = u(s) + iv(s), 0 < s < I, (4)

i.

искомой функции, где s — дуговая абсцисса кривой Lz, I — её длина.

В процессе решения задачи сначала восстанавливается функция Х(ш) = In ^ в области Dw, ограниченной кривой Lw с уравнением (4), а затем определяется функция z(w), обратная к искомой. В постановке М.Т. Ну-жина при фиксированном значении ги(оо) = wq для однозначности функции z(w) в Dw необходимо выполнение одного условия разрешимости. В постановке Ф.Д. Гахова, когда значение щ не фиксируется, это условие служит для определения полюса wq функции z(w) и известно в теории внешних окз как уравнение Ф.Д. Гахова, который впервые его получил и доказал разрешимость16.

Исследованию числа решений уравнения Ф.Д. Гахова и получению условий единственности решения внешней окз посвящён ряд работ "1819 202122 Ф.Д. Гаховым, B.C. Рогожиным, М.Т. Нужиным, С.Н. Кудряшовым построены примеры неединственности решения уравнения Ф.Д. Гахова.

16Гахов, Ф.Д. Об обратных краевых задачах/ Ф.Д. Гадав // ДАН СССР. -1952. - Т. 86. - Л» 4. - С. 649-652.

17Кудряшов, С.Н. О числе решений внешней обратной краевой задачи/ С.Н. Кудряшов, Ф.Г. Авхадвев //

Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т. - 1971. - Вып. 8. - С. 136-143.

18Аксешъев, Л.А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи/ Л.А. Аксентъев,

Ю.Е. Хохлов, Е.А. Широкова // Мат. заметки. - 1978. - Т. 24. - С. 319-333.

19Насыров, С.Р. Единственность решения внешней обратной краевой задачи в классе спиралеобразных

функций/ С.Р. Насыров, Ю.Е. Хохлов // Изв. вузов. Математика. - 1984. - JC 8. - С. 24-27.

20Аксентъев, Л.А. О поведении конформного радиуса в подклассах однолистных областей/ Л.А. Аксен-

тьев, В .П. Микка // Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 8. - С. 20-28.

21 Аксентъев, Л. А., О классах единственности внешней обратной краевой задачи/ Л.А. Акоентьев, A.B. Казанцев, М.И. Киндер, A.B. Киселёв // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан.

ун-т. - 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.

22Аксентъев, Л.А. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций/ Л.А. Аксентъев, A.B. Казанцев, Н.И. Попов // Изв. вузов. Математика. - 1998. -№ 8. - С. 3-13.

Вопрос разрешимости внешней окз возникает и для многосвязных областей. П.Л. Шабалиным23 получено интегральное представление для решения такой задачи и выведен аналог уравнения Ф.Д. Гахова. JI.A. Аксентьевым24 установлено, что точка Wo является решением уравнения Ф.Д. Гахова тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой некоторой поверхности в R3. Используя этот факт, М.И. Киндер25 доказал, что число решений уравнения Ф.Д. Гахова не меньше порядка связности области. A.B. Киселёв и С.Р. Насыров26 выяснили структуру множества корней этого уравнения.

В § 2.1 вводится понятие радиуса единственности Ле < 1, который связан с радиусом выпуклости Лк соотношением Rk < Re < 1. Имеет место

Теорема 8. Для функции f из класса Т, состоящего из функций, для которых

7'(0

радиус единственности

>Г( С)

Ч'( о

<М, 1 < M < 00,

Reif] = min ( 1, (/ „„„-2,, _ .ч ) . где Po = \lfeT>

Mp%-2(l-P2o) Re[T\ = min f 1,

n-2

M,

радиус выпуклости

23Шабалин, П.Л. Исследование общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций: автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук/ П.Л. Шабалин; Казан, гос. ун-т. - Казань, 1977. - 12с.

24Аксентьев, Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусам обмети/ Л.А. Ак-

сентьев // Изв. вузов. Математика. - 1984. - № 2 (261). - С. 3-11.

25Киндер, М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области/ М.И. Киндер //

Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т. - 1985. - Вып. 22. - С. 104-116.

2бКиселёв, A.B. О структуре множества корней уравнения Ф.Д. Гахова для односвязной и многосвязной

областей/ A.B. Киселёв, С.Р. Насыров // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан, ун-т. - 1990.

- Вып. 8. - С. 105-115.

(Для каждой функции / найдётся соответствующее значение Re, поэтому в случае определённой функции / будем писать Re[f\, для определённого класса Т функций — Re[T\.)

Далее даются оценки R^ и Re в классе Тц (обозначение автора) функций М.Т. Нужина и для дуг Н.Е. Жуковского.

Теорема 9. В классе Т^ функций М. Т. Нужина внешняя обратная краевая задача разрешима единственным образом в круге радиуса

, а> 1, / е

ЩРн] = "7=. а > у/а

причём радиус выпуклости для этого класса функций равен

Як^я) = а > 1.

Теорема 10. Если одним из решений внешней обратной краевой задачи

является дуга Жуковского с отображающей функцией

„,>Л 1 (Vа2 + Л2 а2С \ ,

т - ; +■*+^+)■» - с > О,

шо будет существовать и второе решение. При этом радиус единственности опишется выражением

о га /27с4 + 45с2 + 16 — 2у^Г+Зс2(4 + Зс2) ^ n ^ Äe[/] = y-27с2(с2 + 1)-—<1, 0<с<+оо,

где /'(С) = С2^"(0- В случае вырождения дуги при с = 0 в прямолинейный отрезок решение будет единственным (Д>[/] = 1)-

В § 2.2 найдены необходимые и достаточные условия однозначности интегрального представления Кристоффеля-Шварца

т=а С ({-«W-ЛУ*+а'ло - й(с ■" е"'г"' <5)

11

при ctk — 1 -)- к = 1, п. Их отражает

Теорема 11. При п = 3 интегральное представление (5) определяет однозначную функцию с а = 0 тогда и только тогда, когда е'вк, к = 1,3, являются вершинами правильного вписанного в единичную окружность треугольника, при п = 4 - тогда и только тогда, когда е,вк, к = 1,4, являются вершинами вписанного в единичную окружность прямоугольника.

При п > 5 достаточным условием однозначности функции (5) с а = О является расположение егвк в вершинах правильного вписанного в окружность п-угольника.

В случае двусвязной полигональной области справедлива Теорема 12. Существует однозначное представление аналога интеграла Кристоффеля-Шварца в двусвязном случае

1 w 2 ~ J П п ^ '

где ï?i — эллиптическая тета-функция. При вырождении одной из граничных компонент в точку оно совпадает с (5).

Глава 3 посвящена исследованию поверхности конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.

Понятие конформного радиуса распространяется на многосвязные области двояким образом: с помощью универсальной поверхности наложения и с помощью отображения многосвязной области на круг с концентрическими разрезами27. Будем отождествлять конформный радиус универсальной поверхности наложения многосвязной области и конформный радиус самой многосвязной области.

27Schiffer, M.Hadamard's formula and variation oj domain functions/ M. Schiffer // Amer. J. of Math. -1946. - V. 68. - № 4. - P. 417-448.

В первом параграфе третьей главы изучено строение поверхности конформного радиуса для кольцевой канонической области.

Теорема 13. Поверхность конформного радиуса над кольцом Ет = {г : 1 < |г| < <2} состоит из следующих трёх частей:

а) поверхность над кольцом 1 < |г| < <5° является выпуклой вниз,

б) поверхность над кольцом ф'3 < |,г| < <2 является выпуклой вверх,

в) поверхность над кольцом О* < \г\ < состоит из седловых точек, О < а < /3 < 1.

Для кольца £|9д] формулируется аналогичная теорема 14.

В упомянутой выше статье Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Виртса имеется результат о строении множества значений градиента для двусвязной области, когда одна из двух выпуклых граничных компонент вырождается и область представляет собой проколотую в схз внешность выпуклой кривой. Дополнением к этому результату является

Теорема 15. Градиент конформного радиуса для кольцевой области £7[1)(Э] (£^,1]) осуществляет отображение кольца на вырожденную риманову поверхность, состоящую из двух кругов радиуса 2 с единственной точкой скрепления в нуле и кольцевой складкой вдоль границы одного из них.

Предельные положения теорем 13 и 14 (при д —> 0 и <3 —> оо) и соответствующие предельные положения для внутреннего радиуса приводят к выводу о существенном геометрическом различии конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

[1] Ахметова, А.Н. О выпуклости поверхностей, определяемых конформным радиусом плоской области/ А.Н. Ахметова, JI.A. Аксентьев, A.B. Хмельницкая // Изв. вузов. Математика. - 2007. — № 4. - С. 3-20.

[2] Ахметова, А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса (кр. сообщ.)/ А.Н. Ахметова, JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 6. - С. 60-64.

[3] Ахметова, А.Н. Свойства поверхностей конформного радиуса для интегралов Кристоффеля-Шварца/ А.Н. Ахметова, JI.A. Аксентьев, A.B. Хмельницкая // Матер. Седьмой международ. Казан, летней научной шк.-конф. — 2005. - С. 10-И.

[4] Ахметова, А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса/ А.Н. Ахметова, JI.A. Аксентьев // Матер. Восьмой международ. Казан, летней научной шк.-конф. — 2007. - С. 19-20.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

— Доказано, что поверхность конформного радиуса для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный участок, теряет свойство выпуклости при переносе её основания на каноническую область (теоремы 1,2).

— Проведена классификация градиентных отображений (определямых конформным радиусом) областей с выпуклыми границами. Выявлены четыре случая:

¡) конформность градиента,

п) квазиконформность градиента в замкнутой области,

Ш) квазиконформность градиента в открытой области с вырождением на границе,

¿у) глобальное вырождение градиента (теоремы 3-6).

— По всему классу выпуклых функций на г-линиях уровня этих функций обоснована невырожденность градиента конформного радиуса с коэффициентом квазиконформности К (г2) < 0 < г < 1 (теоремы 4, 5).

— Для г-линий уровня решений внешней обратной краевой задачи введено понятие радиуса Ф.Д. Гахова и даны оценки этого радиуса в классе профилей Н.Е. Жуковского и классе примеров М.Т. Нужина (теоремы 8-10).

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю Л.А. Аксентьеву за постановку задач и ценные советы в процессе их решения.

л

\

Подписано в печать 07.05.2009г. Заказ М-24/09. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 110 экз. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Отпечатано с готового оригинал-макета в Издательском центре Казанского государственного университета 420008 г.Казань, ул. Кремлевская, 35.

Введение.

Глава 1. О геометрических свойствах конформного радиуса и его градиента.

§ 1.1. Дифференциальные свойства поверхности конформного радиуса

1.1.1. Случай выпуклых областей.

1.1.2. Случай областей с конечными выпуклыми дополнениями.

§ 1.2. Квазиконформные отображения, определяемые градиентом конформного радиуса.

1.2.1. Исключительные случаи квазиконформности градиента конформного радиуса

1.2.2. Особенности строения образа градиента конформного радиуса.

Глава 2. О единственности решения внешних обратных краевых задач.

§ 2.1. Радиус Гахова и теоремы единственности для решения внешних обратных краевых задач

2.1.1. Единственность решения внешней задачи в классе функций М.Т. Нужина

2.1.2. Единственность решения внешней задачи в классе дуг Н.Е. Жуковского

§ 2.2. Теоремы существования и единственности для интегралов Кристоффеля-Шварца и их аналогов в двусвязном случае.

Глава 3. Конформный и внутренний радиусы для двусвязных областей

§ 3.1. Конформный радиус, определяемый поверхностью наложения для двусвязной области.

§ 3.2. Исследование внутреннего радиуса для двусвязной области

Диссертация посвящена исследованию свойств конформного радиуса, его градиента и их приложениям в теории внешних обратных краевых задач для аналитических функций [21], [25], [52], [51], [6].

Одно из направлений изучения конформного радиуса определяется его связью с различными характеристиками плоской области (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной её границы и др.), широким применением в математической физике и вовлечением всех этих понятий в изопериметрические неравенства. Изучением конформного радиуса занимались ещё Д. Полна и Г. Сегё [44], и интерес к получению различных оценок упомянутых величин подтверждается появлением новых достижений в этой области [61], [33], [37], [1].

Г. Хиги [66] получена формула для вычисления конформного радиуса односвязной области I) в точке г; в виде |/'(С)|(1- К12), (0.1) где 2 = /(£) — функция, реализующая конформное отображение единичного круга Е = : < 1} на область D = /(-Б). При этом выражение (0.1) интерпретируется как график функции представляющий собой поверхность в Е3 над кругом Е или областью И. Назовем эти области основаниями поверхности конформного радиуса.

Д. Минда, С.-А. Ким и Д. Райт [65], [64] доказали, что необходимым и достаточным условием выпуклости (вверх) поверхности конформного радиуса над конечной областью И является выпуклость Б. Л.В. Ковалёв [63] установил, что критерием выпуклости (вниз) поверхности конформного радиуса над бесконечной областью , оо € является выпуклость граничной кривой Выпуклость области В остается необходимым условием выпуклости поверхности конформного радиуса, построенной над основанием Е, но не достаточным.

В настоящей работе выделены классы областей, для которых поверхность конформного радиуса теряет свойство выпуклости при построении над кругом Е для конечной области О или над внешностью круга Е для бесконечной области (оо £ -О-).

В неравенствах математической физики [55], [43], [23], [22], [39], [40], [2] участвует величина

2 = х + гу € Д которую будем называть комплексным градиентом (для краткости градиентом) конформного радиуса. Инициатива в. изучении (0.2) как самостоятельного объекта принадлежит Ф.Г. Авхадиеву и К.-Й. Виртсу [60]. На основании поведения якобиана градиента конформного радиуса ими доказана диффеоморфность градиента и выяснено строение множества его значений в зависимости от вида области.

В данной диссертации получены результаты, характеризующие градиент конформного радиуса в терминах квазиконформных отображений [Ц], и выделены не отмеченные в [60] эффекты для УД(/(г£|), /(г£)). 0 < г < 1, при переходе из Е в гЕ.

Интерес специалистов по геометрической теории функций к конформному радиусу вызван также его связями с различными экстремальными и граничными задачами, в частности, с внешней обратной краевой задачей (окз).

Внешняя окз по параметру 5 ([21], [52]) состоит в односвязном случае в отыскании области БгсСс границей Ьг и регулярной в функции w{z) по известным граничным значениям w(z) = u(s) + iv(s), 0 < s < I, (0.3)

Lz искомой функции, где s — дуговая абсцисса кривой Lz, I — её длина.

Как известно [21], в процессе решения задачи сначала восстанавливается функция x{w) = в области Dw, ограниченной кривой Lw с уравнением (0.3), а затем определяется функция z(w), обратная к искомой. В постановке М.Т. Нужина ([52], с. 35) при фиксированном значении w(oo) = wq для однозначности функции z(w) в Dw необходимо выполнение одного условия разрешимости. В постановке Ф.Д. Гахова ([21], с. 303), когда значение Wq не фиксируется, это условие служит для определения полюса wq функции z(w) и известно в теории внешних окз как уравнение Ф.Д. Гахова, который впервые его получил и доказал разрешимость [20].

Исследованию числа решений уравнения Ф.Д. Гахова и получению условий единственности решения внешней окз посвящен ряд работ [3], [36], [5], [59], [8], [56], [42], [29], [9], [11], [10]. Ф.Д. Гаховым [20], [21], B.C. Рогожиным [47], [48], М.Т. Нужиным [52], С.Н. Кудряшовым [34], [35] построены примеры неединственности решения уравнения Ф.Д. Гахова.

В настоящей диссертации по функциям, определяющим неединственность решения внешней окз, получены классы единственности решения на базе понятия радиуса единственности (или радиуса Ф.Д. Гахова).

Вопрос разрешимости внешней окз возникает и для многосвязных областей. П.Л. Шабалиным [57] получено интегральное представление для решения такой задачи и выведен аналог уравнения Ф.Д. Гахова. Я.А. Аксентьевым [7], [8] установлено, что точка Wq является решением уравнения Ф.Д. Гахова тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой некоторой поверхности в R3. Используя этот факт, М.И. Киндер [27], [28] доказал, что число решений уравнения Ф.Д. Гахова не меньше порядка связности области. A.B. Киселёв и С.Р. Насыров [29] выяснили структуру множества корней этого уравнения.

Градиентный подход к внешней окз даёт следующий результат: однократное покрытие нуля в множестве значений градиента будет соответствовать однократному решению внешней окз, а многократное покрытие нуля приведёт к неединственному решению окз.

Перейдём к детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из шести параграфов, объединённых в три- главы. Нумерация теорем, лемм, примеров и формул сквозная.

В первой главе речь идет о дифференциальных свойствах конформного радиуса (0.1). В § 1.1 исследуется поверхность конформного радиуса (0.1) для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный отрезок. Через будем обозначать поверхность конформного радиуса над конечной областью D, через — поверхность над бесконечной областью D~~ (оо Е D~). Имеют место

Теорема 1. Поверхность Î2+ конформного радиуса для выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С dD, построенная над основанием Е, не является поверхностью, выпуклой вверх.

Теорема 2. Поверхность конформного радиуса для внешности выпуклой области D с прямолинейным участком границы I С dD, построенная над основанием Е~ = {( G С : |£| > 1}, не является поверхностью, выпуклой вниз.

В § 1.2 изучается поведение градиента (0.2) конформного радиуса как квазиконформного отображения [14] и строится классификация градиентных отображений для областей с выпуклыми границами на основе исследования неравенства

0 < ^ < 1. (0.4)

Как уже было отмечено, задача такого построения инициирована статьей [60], результаты которой дополняются материалами данного параграфа.

Достижение равенства в (0.4) «слева» связано с улучшением свойств градиентного отображения.

Теорема 3. Градиент (0.2) конформного радиуса (0.1) осуществляет конформное отображение области И тогда и только тогда, когда граница Б является окружностью в С.

Другие случаи квазиконформности (в том числе и вырожденные в связи с достижением равенства в (0.4) «справа», соответствующие случаям вырождения диффеоморфности в [60]) представлены в следующих трёх теоремах.

Пусть Ва = {г : | < 0 < а < 1, и = {г : 11тг| < |}.

Для выпуклой области И справедлива

Теорема 4. Градиент (0.2) конформного радиуса (0.1) для любой выпуклой области И, отличной от Иа и -Оо> осуществляет квазиконформное отображение. Для угловой области 0 < а < 1, и полосы D0 по всей области

Rzz{D,z)

Rzz{D,z) 1.

При переходе ко вложенным областям f(rE), 0 < г < 1, получим К (г2)-квазиконформные отображения для любой выпуклой обла-emu f(E), где К(г2) <

В случае области = С\Й с конечным выпуклым дополнением И конформный радиус области определяет выпуклую вниз поверхность [30], [31]. Строение градиента конформного радиуса отражает

Теорема 5. Градиент (0.2) конформного радиуса /(С)) для любой области с конечным выпуклым дополнением осуществляет квазиконформное отображение.

При переходе ко вложенным областям 1 < г < оо, получим

К{1 /г2)-квазиконформные отображения для любой области где к( 1/г2) <

Для области с выпуклым дополнением Б и бесконечно удалённой точкой на границе имеет место

Теорема 6. Градиент (0.2) конформного радиуса для любой области за исключением £)а, а 6 [1,2], с выпуклым дополнением и бесконечно удалённой точкой на границе осуществляет квазиконформное отображение. Для Оа, а £ [1,2], по всей области справедливо тождество

Дгг(Дг) 1.

В статье [60] на примере одной угловой области получена структура множества значений градиента как эпициклоиды. В данной работе справедливость подобных рассуждений для любой угловой точки подчеркивает

Теорема 7. Предельным множеством для угловой точки г = 0 многоугольной области И под действием градиентной функции (0.2) при приближении к х — 0 по радиальным направлениям будет кривая: при 0 < а < 1 - гипоциклоида, при 1 < а < 2 - эпициклоида. В случае а = 1 точке 2 = 0 будет соответствовать единственная точка на

Ы = 2.

Вторая глава посвящена исследованию уравнения Ф.Д. Гахова для некоторых классов функций. В § 2.1 вводится понятие радиуса единственности Яе < 1, который связан с радиусом выпуклости R}z ([22], с. 166) соотношением Н^ < Яе < 1. Имеет место

Теорема 8. Для функции / из класса Т, состоящего из функций, для которых

J0 £П , ЛП+1 ,

С) ; ; ' м, 1 < м < оо, т радиус единственности и радиус выпуклости равны соответственно

In-2

МрГ2(1-Р§)Г V —

Re[f] = min ( 1, С/ п2,,-— ) , где р0 = \/— > / е ^ радиус выпуклости

Rem - min (l, yjj ,

Л = лет =

Для каждой функции / найдётся соответствующее значение поэтому в случае определённой функции / будем писать Re[f], для определённого класса Т функций — Re{F].)

Далее даются оценки Rk и Re в классе JF/v (обозначение автора) функций М.Т. Нужина ([52], с. 54) и для дуг Н.Е. Жуковского ([38], с. 150).

Теорема 9. В классе Тм функций М. Т. Нужина внешняя обратная краевая задача разрешима единственным образом в круге радиуса

Re[f}= min( 1, , а>1> /е^, 1

Re[FjA = а>1,

V а 9 причём радиус выпуклости для этого класса функций равен

Я>к[Рлг] = —¡==, а > 1у2а

Теорема 10. Если одним из решений внешней обратной краевой задачи является дуга Жуковского с отображающей функцией 1 /х/о^ТТ? а2 С , , то будет существовать и второе решение. При этом радиус единственности опишется выражением г/27с4 + 45с2 + 16 - 2л/4 + Зс2(4 + Зс2) 1 п Ш = \1-27с2 (с2 + 1) -±<1,0<с<+оо, где /'(С) = С2^'(0- В случае вырождения дуги при с = 0 в прямолинейный отрезок решение будет единственным (Re[f] — 1)

В § 2.2 найдены необходимые и достаточные условия однозначности интегрального представления Кристоффеля-Шварца

ЛС) = <* £ K-afaji-^A + <>■ - ПК - ¿Т"1. (°-5) при ajfc = 1 + к = 1, п. Это отражает

Теорема 11. При п = 3 интегральное представление (0.5) определяет однозначную функцию с а — 0 тогда и только тогда, когда егвк, к = 1,3, являются вершинами правильного вписанного в единичную окружность треугольника, при п = 4 - тогда и только тогда, когда егвк, А; = 1,4, являются вершинами вписанного в единичную окружность прямоугольника.

При п > 5 достаточным условием однозначности функции (0.5) с а = 0 является расположение ег9к в вершинах правильного вписанного в окружность п-угольника.

В случае двусвязной полигональной области справедлива Теорема 12. Существует однозначное представление аналога интеграла Кристоффеля-Шварца в двусвязном случае где §1 — эллиптическая тета-фунщия. При вырождении одной из граничных компонент в точку оно совпадает с (0.5).

Глава 3 посвящена исследованию поверхности конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.

Понятие конформного радиуса согласно [67], [55] распространяется на многосвязные области двояким образом: с помощью универсальной поверхности наложения и с помощью отображения многосвязной области на круг с концентрическими разрезами. Будем отождествлять конформный радиус универсальной поверхности наложения многосвязной области и конформный радиус самой многосвязной области.

В первом параграфе третьей главы изучено строение поверхности конформного радиуса для кольцевой канонической области.

Теорема 13. Поверхность конформного радиуса над кольцом Щ1&] — {г '■ 1 < М < Ф} состоит из следующих трёх частей: а) поверхность над кольцом 1 < \г\ < является выпуклой вниз, б) поверхность над кольцом < \г\ < является выпуклой вверх, в) поверхность над кольцом < \г\ < Ссостоит из седловых точек, 0 < а < (5 < 1.

Для кольца д] формулируется аналогичная теорема 14.

В [60] имеется результат о строении множества значений градиента для двусвязной области, когда одна из двух выпуклых граничных компонент вырождается и область представляет собой проколотую в оо внешность выпуклой кривой. Дополнением к этому результату является

Теорема 15. Градиент конформного радиуса для кольцевой области Е^д] осуществляет отображение кольца на вырожденную риманову поверхность, состоящею из двух кругов радиуса 2 с единственной точкой скрепления в нуле и кольцевой складкой вдоль границы одного из них.

Предельные положения теорем 13 и 14 (при д 0 и <3 —> оо) и соответствующие предельные положения для внутреннего радиуса приводят к выводу о существенном геометрическом различии конформного и внутреннего радиусов в двусвязном случае.

Выделим основные результаты работы.

Доказано, что поверхность конформного радиуса для области с выпуклой границей, включающей прямолинейный участок, теряет свойство выпуклости при переносе её основания на каноническую область (теоремы 1,2).

Проведена классификация градиентных отображений (определяемых конформным радиусом) областей с выпуклыми границами. Выявлены четыре случая: конформность градиента,

II) квазиконформность градиента в замкнутой области,

III) квазиконформность градиента в открытой области с вырождением на границе, iv) глобальное вырождение градиента (теоремы 3-6).

По всему классу выпуклых функций на г-линиях уровня этих функций обоснована невырожденность градиента конформного радиуса с коэффициентом квазиконформности К (г2) < 0 < г < 1 (теоремы 4, 5).

Для г-линий уровня решений внешней обратной краевой задачи введено понятие радиуса Ф.Д. Гахова и даны оценки этого радиуса в классе профилей Н.Е. Жуковского и классе примеров М.Т. Нужина (теоремы 8-10).

Даны сравнительные характеристики внутреннего и конформного радиусов в двусвязном случае (на примере кольцевых областей) (теоремы 13, 14).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17], [19] и тезисах [16], [18]. В статье [17], написанной совместно с JI.A. Аксентье-вым и A.B. Хмельницкой, автору принадлежат теоремы 3-6, теорема 7 получена совместно. В кратком сообщении [19] в соавторстве с JI.A. Ак-сентьевым формулировки (и идеи доказательств) теорем принадлежат научному руководителю, доказательства — автору. В диссертацию включены результаты, принадлежащие только автору.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель — профессор JI.A. Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2006-2009), на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КГУ (руководитель — профессор Ф.Г. Авхадиев), на VI и VII международных Казанских летних школах-конференциях (2005, 2007).

1. Авхадиев, Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства и их приложения/ Ф.Г. Авхадиев. - Препринт № 95-1. - Изд-во Казан, фонд «Математика». - Казань. - 1995. - 26 с.

2. Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей/ Ф.Г. Авхадиев. Уч. пособие. - Казань: Казан, ун-т, 2006.- 141 с.

3. Авхадиев, Ф.Г. Об одном классе однолистных функций/ Ф.Г. Авхадиев, JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 1970. - № 10.- С. 12-20.

4. Авхадиев, Ф.Г. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения/ Ф.Г. Авхадиев, JT.A. Аксентьев, A.M. Елизаров //В кн.: Итоги науки и техники: Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

5. Аксентьев, JI.A. О единственности решения внешней обратной краевой задачи/ JT.A. Аксентьев, Ю.Е. Хохлов, Е.А. Широкова // Мат. заметки. 1978. - Т. 24. - С. 319-333.

6. Аксентьев, Л.А. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения/ JI.A. Аксентьев, Н.Б. Ильинский, М.Т. Нужин, Р.Б. Салимов, Г.Г. Тумашев //В кн.: Итоги науки и техники: Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 18. - С. 69-126.

7. Аксентьев, JI.A. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области/ JI.A. Аксентьев, М.И. Киндер,C.B. Сагитова // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан. ун-т. - 1983. - Вып. 20. - С. 22-34.

8. Аксентьев, J1.A. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области/ JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 1984. - № 2 (261). - С. 3-11.

9. Аксентьев, JI. А., О классах единственности внешней обратной краевой задачи/ JT.A. Аксентьев, A.B. Казанцев, М.И. Киндер, A.B. Киселёв // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан. ун-т. - 1990. - Вып. 24. - С. 39-62.

10. Аксентьев, JI.A. О поведении конформного радиуса в подклассах однолистных областей/ JI.A. Аксентьев, В.П. Микка // Изв. вузов. Математика. 2001. - № 8. - С. 20-28.

11. Аксентьев, JI.A. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций/ JI.A. Аксентьев, A.B. Казанцев, Н.И. Попов // Изв. вузов. Математика. -1998. № 8. - С. 3-13.

12. Аксентьев, JI.A. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса для плоской области/ JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 2002. - № 4. - С. 3-12.

13. Аксентьев JI.A. Выпуклость поверхности конформного радиуса и оценки коэффициентов отображающей функции/ JI.A. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 4. - С. 8-15.

14. Альфорс, JI. Лекции по квазиконформным отображениям/ JI. Альфорс. М.: Мир, 1969. - 135 с.

15. Ахиезер, Н.И. Элементы теории эллиптических функций/ Н.И. Ахиезер. 2 изд. - М.: Наука, 1970. - 304 с.

16. Ахметова, А.Н. Свойства поверхностей конформного радиуса для интегралов Кристоффеля-Шварца/ JI.A. Аксентьев, А.Н. Ахметова, A.B. Хмельницкая // Матер. Седьмой международ. Казан, летней научной шк.-конф. 2005. - С. 10-11.

17. Ахметова, А.Н. О выпуклости поверхностей, определяемых конформным радиусом плоской области/ Л.А. Аксентьев, А.Н. Ахметова, A.B. Хмельницкая // Изв. вузов. Математика. 2007. - № 4 (539). - С. 3-20.

18. Ахметова, А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса/ Л.А. Аксентьев, А.Н. Ахметова // Матер. Восьмой международ. Казан, летней научной шк.-конф. 2007. -С. 19-20.

19. Ахметова, А.Н. Об отображениях, связанных с градиентом конформного радиуса/ Л.А. Аксентьев, А.Н. Ахметова // Изв. вузов. Математика. 2009. - № 6. - С. 60-64.

20. Гахов, Ф.Д. Об обратных краевых задачах/ Ф.Д. Гахов // ДАН СССР. 1952. - Т. 86. - № 4. - С. 649-652.

21. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д. Гахов. 2 изд. - М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры, 1977. - 640 с.

22. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного/ Г.М. Голузин. 2-е изд. - М.: Наука, 1966. - 628 с.

23. Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения/ Дж. Дженкинс. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. - 266 с.

24. Елизаров, A.M. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей/ A.M. Елизаров, Н.Б. Ильинский, A.B. Поташев. М.: Физматлит. - 1994. - 436 с.

25. Ильинский, Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации/ Н.Б. Ильинский, М.Т.Нужин. Казань: Казан, ун-т, 1963. - 139 с.

26. Казанцев, A.B. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения: дисс. . канд. физ.-матем. наук/ A.B. Казанцев; Казан, гос. ун-т. Казань, 1990. - 145 с.

27. Киндер, М.И. Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях: дисс. . канд. физ.-матем. наук/ М.И. Киндер; Казан, гос. ун-т. Казань, 1984. -146 с.

28. Киндер, М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области/ М.И. Киндер // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т. - 1985. - Вып. 22. - С. 104-116.

29. Киселёв, A.B. О структуре множества корней уравнения Ф.Д. Гахова для односвязной и многосвязной областей/ A.B. Киселёв, С.Р. Насыров // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т. - 1990. - Вып. 8. - С. 105-115.

30. Ковалёв, Л.В. Приведённые модули и теоремы искажения в теории однолистных функций: дисс. . канд. физ.-матем. наук/ Л.В. Ковалёв; Дальневост. гос. ун-т. Владивосток, 2000. - 106 с.

31. Ковалёв, Л.В. Дифференциальные свойства конформного радиуса/ Л.В. Ковалёв // Тез. докл. 3-й Дальневосточной конф. по матем. моделир. Владивосток. - 1999. - С. 31.

32. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений/ В. Коп-пенфельс, Ф. Штальман. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. - 406 с.

33. Костюченко, Е.В. Задача об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области/ Е.В. Костюченко. Препринт К2 18.- Владивосток: Дальнаука, 1998. 17 с.

34. Кудряшов, С.Н. О единственности решения внешних обратных краевых задач/ С.Н. Кудряшов //IV науч. конф. аспирантов Ро-стовск. ун-та: Материалы. Ростов н.Д. - 1962. - С. 56-59.

35. Кудряшов, С.Н. О числе решений внешних обратных краевых задач/ С.Н. Кудряшов // Изв. вузов. Математика. 1969. - № 8. -С. 30-32.

36. Кудряшов, С.Н. О числе решений внешней обратной краевой задачи/ С.Н. Кудряшов, Ф.Г. Авхадиев // Тр. семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т. - 1971. - Вып. 8. - С. 136-143.

37. Кузнецов, В.О. О свойствах конформного радиуса области/ В.О. Кузнецов // Зап. науч. семинаров ПОМИ. Т. 276. - 2001.- С. 237-252.

38. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. 5-е изд. - М.: Наука, 1987. -688 с.

39. Митюк, И.П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы/ И.П. Митюк. Краснодар: Кубан. ун-т, 1980. - 90 с.

40. Митюк, И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций/ И.П. Митюк. Краснодар: Кубан. ун-т, 1985. - 94 с.

41. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения/ С.Г. Михлин. М.: ОГИС, 1949. - 380 с.

42. Насыров, С.Р. Единственность решения внешней обратной краевой задачи в классе спиралеобразных функций/ С.Р. Насыров, Ю.Е. Хохлов // Изв. вузов. Математика. 1984. - № 8. -С. 24-27.

43. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике/ Г. Полиа, Г. Сегё. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962.- 336 с.

44. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч./ Г. Полиа, Г. Сегё.- М.: Наука, 1978. 2 ч.- 431 с.

45. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного/ И.И. Привалов. 13-е изд. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

46. Птолемей, К. Альмагест или математическое сочинение в тринадцати книгах/ К. Птолемей. М.: Наука, 1998. - 672 с.

47. Рогожин, B.C. О единственности решения внешней обратной краевой задачи/ B.C. Рогожин // Учен. зап. Казан, ун-та. Казань. -1957. - Т. 117. - № 2. - С. 38-41.

48. Рогожин, B.C. О числе решений внешней обратной краевой задачи/ B.C. Рогожин // Учен. зап. Ростовск.н/Д ун-та. Ростов н/Д.- 1959. Т.66. - № 7. - С. 155-158.

49. Сагитова, C.B. Исследования по обратным краевым задачам в многосвязных областях: автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук/ C.B. Сагитова; Казан, гос. ун-т. Казань, 1984. - 12 с.

50. Савелов, A.A. Плоские кривые/ A.A. Савелов. М.: Физматгиз. -1960. - 290 с.

51. Салимов, Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости/ Р.Б. Салимов. Казань: КВВКИУ, 1970. - 364 с.

52. Тумашев, Г.Г. Обратные краевые задачи и их приложения/ Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. 2-е изд. - Изд-во Казан, ун-та, 1965.- 334 с.

53. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц. В 3-х т. Т. III. - 8-е изд. - М.: Наука, 2003. - 728с.

54. Форд, JI.P. Автоморфные функции/ JI.P. Форд. М.:ОНТИ, 1936.- 340 с.

55. Хейман, В.К. Многолистные функции/ В.К. Хейман. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. - 180 с.

56. Хохлов, Ю.Е. О разрешимости внешних обратных краевых задач для аналитических функций/ Ю.Е. Хохлов // ДАН СССР. 1984.- Т. 278. № 2. - С. 298-301.

57. Шабалин, П.Л. Исследование общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций: автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук/ П.Л. Шабалин; Казан, гос. ун-т. Казань, 1977. -12 с.

58. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного/ Б.В. Шабат. 2-е изд., переработанное и дополненное. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

59. Широкова, Е.А. О единственности корня уравнения Гахова/ Е.А. Широкова // Изв. вузов. Математика. 1981. - № 11. -С. 64-68.

60. Avkhadiev, F.G. The conformal radius as a function and its gradient image/ F.G. Avkhadiev, K.-J.Wirths // Israel Journal of Mathematics.- 2005. V. 145. - P. 349-374.

61. Avkhadiev, F.G. Schwarz-Pick type inequalities/ F.G. Avkhadiev, K.-J.Wirths. Birkhauser Verlag, 2009. - 156 p.

62. Finkelstein, M. On the relation between measures and convex analytic functions/ M. Finkelstein // Illinois j. math. 1968. - V. 12. - № 2. -P. 175-183.

63. Kovalev, L.V. Domains with convex hyperbolic radius/ L.V. Kovalev // Acta Mathematica Universitatis Comenianae. 2001. - V. 70. -P. 207-213.

64. Kim, S.-A. The hyperbolic and quasihyperbolic metrics in convex regions/ S.-A. Kim, D. Minda //J. Anal. 1993. - V. 1. -P. 109-118.

65. Minda, D. Univalence criteria and the hyperbolic metric in convex regions/ D. Minda, D.J. Wright // Rocky Mtn. J. Math. 1982. -V. 12. - P. 471-479.

66. Haegi, H. R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrössenj H. R. Haegi // Compositio Mathematica. T. 8. -1951. - P. 81-111.

67. Schiffer, M.Hadamard's formula and variation of domain functions/ M. Schiffer // Amer. J. of Math. 1946. - V. 68. - № 4. - P. 417-448.

68. Szegö, G. On the capacity of a condenser/ G. Szegö // Bull. Amer. Math. Soc. 1945. - V. 51. - № 5. - P. 325-350.