Свойства модулей гладкости Дитзиана-Тотика и их аналоги тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ,НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах pyкoпиev •

ДЮЖЕІІКОВА Ольга Юріївна

Властивості модулів гладкості Дітзіана — Тотіка та їх аналоги

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат

дисертації па здобуття паукового гтупеИяг кандидата фіпико-матнматичпих ппук

КИЇВ - 1995

/

Дисертацією е рукопис ,

Науковий керівник: •

доктор фіоико-математичних наук ШЕВЧУК І. О.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Професор ДОЛЖЕНКО Є. П.

кандидат фіпико-математя’тих наук

•ГЕРУСО. Ф. '

Провідна організація:

Одеський державний університет ім, І.І.Мечнікова

■ / ■"

Захист відбудеться 26 грудня 1995 р. о годнні на пт ід;иші спеціаліпо* ваної ради Д 01.66.01 при Інституті математики ЙАІІ України па адресою; 252601 Київ 4, МСП, вуя. Терещеяківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці інституту

Автореферат рояіспано 1995 р.

Вчснпи секрета]) . .

снецііїлімоваппї ради .

ГУСАК Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Класичними оцінками в теорії наближення неперервних ни відрізку функцій алгебраїчними многочленами С ПОТОЧКОВІ ОЦІНКИ типу С.М.НІКОЛЬСЬКОГО , які доведені А.Ф.Ті-

мнном , В.К.Дзядиком , Г.Фроіідом--, Ю.А.Брудшім . класичними оберненими теоремами Т* К.Дия'НГ'ГаГ^ т«ко:-і: А.Ф.'Гі-мана, воли днкт. "•4а <р;.”:т;1ану ггф.ік іеріп гику поточкового на--ийи^еїїтПкласіп функцій, оплачених па допомогою к - х модулів неперервності функції або її похідних.

Природнші інтерес викликає також задача про конструктивну характеристику рівномірного, а не поточкового, наближення функцій і, очевидно, в цьому випадку пвичайні модулі неперервності не Можуть дати необхідних і достатніх умов, оскільки вони забезпечують ці умови для поточкового наближення.

З метою одержання конструктивної характеристики рівномірного наближення класів неперервних на відріпку [—1,1] функцій можна звести справу до періодичного випадку за допомогою заміни х — соні, як це було зроблено в роботах Л.Фуксмана та інших.

Разом з тим. введені таким чином гладкості мають певну специфіку, зокрема, якщо /(.т) = .т*'"1, то звичайніш к - й модуль неперервності с^і(г,/)-« 0, хоча зрозуміло, що ан{т,/) Ф 0, де /(і) — /(СОЯ<). Для того, щоб позбутися иіеї та інших-особливостей, М.К.Потаиовим, К.Івановим,' Б.С'снДовим та іншими вводилися спеціальні конструкції відповідних гладкостей. Нарешті, останні 10 років спеціалісти п теорії функцій користуються .мабуть, найбільш вдалою З Можливих конструкцій, а самі! модулями гладкості 5?*(г,/) '.ІДітзіана і В.Тотіка. які Надалі називатимемо Л7’,-модулями гладкості (лив. напр, монографії Х.ОИї'іаи. Ч'.Тоіік,

І.О!Шевчука'. Н.Л.ПеУоіе. аСХогмИг.)

Вперше конструктивна характеристика рівномірного наближення класів функцій на множинах комплексної шйщгши п кусково-гладкою межею була одержана в роботах В.К.Дпядика , Ґ.А.Алібскова , ЮЛ.Волкова , а пгодом в роботах Є.М.Динькіна , В.В.Андріївського , П.Є.Антонюка , та інших. Ця характеристика була дана в термінах модулів гладкості функції /(пі) = де ф(и>) -

конформне відображення зовнішності круга на зовнішність розглядуваної множини.

Мета роботи.

• Встановити ов’яоок між модулями гладкості Дітпіана-Тотіка г-ї похідної функції / та явичайними к-ми модулями гладкості г-'і похідної періодичної функції /(/.) = /(соя/). . ,

• Поширити теорію гладкостей З.ДітпіаНа і В.Тотіка на множини комплексної площини п кусково - гладкою межею: поздувати аналог ОТ-модуля гладкості - 2?-м«ду.іь гладкості, вив* чити ного властиво» ті, подібні до властивостей:іви'іайного модуля гладкості, та в його термінах встановити конструктивну характеристику рівномірного наближення клас ів Неперервних функцій.

• Дослідити один процес наближення функцій / € А{0) анллітич-ними комплексними сплайнами.

Методика досліджень,

У роботі використовуються методі! наближення функцііі дійсної та комплексної пмішюї, покрема, скінченні ти розділені рівніші, побрнження Поповічіу, поліноміальні ядра Джексона та Ллядика, нерівності Маршо. Уітні. Дпядика. інтегральне зображення Білого аналітичних функції! '

і

Наукова новизна роботи.

j* - \ -

в Доведено, що модуль гладкості Дітпіана-Тотіка порядку к г-'і похідної функції / еквівалентний ппичайному модулю гладкості порядку к г-'і похідної функції / = /(cos t) у випадку, коли к

- парне, т непарне; для всіх інших натуральних. vjicc.v к і-г~-пнайдені відповідні------------------ '

• Нсбудоннно аналог DT-модуля гладкості на множинах комплексної площини п кусково-гладкою межею - D-модуль гладкості, для якого встановлено аналоги основних властивостей авичай-

. .них модулів гладкості.

• Одержано прямі та обернені теореми рівномірного наближення класів неперервних функцій, які виона'тютьея D-модулем гладкості, на множинахп кусково-гладкою межею. Ці теореми встановлюють конструктивну характеристику папначених класів.

• Встановлено оцінку наближення функції! / 6 A{G) аналітичними комплексними сплайнами на памкнених областях G п кпп-нігладкою межею.

Практична цінність.

Одержані результати мають теоретичний характер і можуть буї и пнггосопаннми для подальшого ропвіітку теорії наближення функцій многочленами, сплайнами, цілими функціями .

Апробація роботи.

Основні репуіьтати дисертації доповідались на:

— семінарах відділу теорії функцііі Інституту математики ЛАН України (керімшк семінару --- професор О, 1. С'тепинеиь):

Э

— математичнії! школі “Рж)и Фур 'е та їх застосування" (Україна, м.Кам’янець-Подільський, червень-лигтнь 1992 р. );

— математичній школі (ВЗМШ) "Современные методы теории функции и смежные, проблемы прикладной математики и механики " (Росія, м.Воронеж, січень 1095 р. );

.— звітних науково-практичних конференціях викладачів та аспірантів УДПУ ім.М.П.Драгоманова (1992 ■ 1995 pp.).

Публікації. По темі дисертіщії опубліковано 4 роботи. Список опублікованих робіт наведено нижче.

Структура та обсяг роботи. Робота складається in вступу, трьох розділів та списку літератури. г

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність і важливість питань, що розглядаються в дисертації, проведено стік лий огляд близьких па напрямком робіт, сформульована Мета досліджень Та їх новизна, викладено зміст роботи за розділами.

Перший розділ дисертаційної робот» присвячено дослідженню зв’язку між DT- модулем гладкості r-ї по&дної функції / та звичайним К>м модулем гладкості r-ї похідної періодичної функції f{t) ~ /(соя/.). '

У першому параграфі наводяться попередні відомості, необхідні для подальшого розгляду матеріалу.

Нехай k Є N, h € R- . Означення 1 . Вираз

k

називається к-ю симетричною різницею функціїд в точці і Є К з кроком її. ‘

Означення 2 . Модулем неперервності (гладкості) порядку. к неперервної 7іа К функції у називається функція

------- --'і. А '

-є&г} —к

Позначимо черга С простір непрервних на [—1,1] функцій / о рівномірною нормою

ІІ/ІІ-- «пах !/(®)|; .

*€[-1,11

Через Сг, гЄІ'І,- підмножину функцій / 6 С , які мають неперервну г-у похідну /<г) в інтервалі (—1,1).

Покладемо ______

ір(х) \/і — х2.

Розглянемо модулі неперервності, введені З.Дітоіаном і В.Тотіком. Означення 3 . ОТ-модулем неперервності (гладкості) порядку к функції / б С називається функція

їїкАьІЇ'-ЩТ’Л-- Щ* Ж1Р ІДМ*)(/^)І.

г > 0. ‘ ,

Означення 4 . ОТ-модулем неперервності (гладкості) порядку к з пар.ою г

и.^,(іЛМ = (1 + ,-^)ї<1 -.-ІІЙЙ)!

неперервної на (-1,1) функції/ назвемо функцію

Як,г(г,Я :г= яир , яир |р,(:г, к, Л.)Д^(х)(/, т)|.

г > о. '

Для кожної функції / Є С.позначимо

' //(0 := /(сой«).

Постає питання, як пов’язані £>Т-модулі гладкості ш*іГ(г, /М) із звичайними модулями гладкості Шк(т,/^). З’ясувалося, що ці модулі, як і можна було передбачити, тісно пов’язані між собою, а саме мають місце дві теореми, в яких С| = С|(А:, г), с2 — с2(к, т) -додатні числа (сталі), що залежать тільки від к та г. Доведення теореми 1 міститься в другому параграфі, а доведення теореми 2

- в третьому параграфі першого розділу.

Теорема 1 . Для будь-яких к € ГМ, г Є N і довільної функції / € С , для якої (І) неперервна, на К, мас млу.це. оцінка

' адг,/(г))<с,^,/»). т>». (1)

Теорема 2 . Для будь-яких к (= М,г € N і доцільної функції / Є Сг справедливі, оцінки

щ{т,Рг)) <МЪАь ґ]) + ’■'її/II)- ^ > »• (2)

/ікгцо к - парне, г непарне; ,

Шк{г, /») < с2 ^ I {^</.11 + г' ІІ/ІІ^ . (І < г < 2. (3)

якіцо -■ непарне, г ■ непарне:

т > 0, якщо к - непарне, г - парне:

+ тк

/ Иг К. Ї ^,К/И) , , і /* /(Г}) ,

^•{т, /' 0 < Ґ* { J Г-~----------Лі + Тк J ----(1и

\0 г ,,

_______ _. ______________________(5)

г > 0, ятгщо к • ппрне, г - парне. *

Зауважений 1. Нерівності (2) - (5) слід розуміти так: якщо права частіша прямує до нуля при т —+ 0, то існує і неперервна ц.Ч І? г-та похідна /^(<) і для неї справедлива відповідна оцінка: Зауваження 2. У випадку г — 0 теореми 1 і 2 також є вірними, що доведено Шах Л.Г.

У другому розділі роботи конструкція ОТ-модулів гладкості поширена на множину Ш комплексної площини з кусково-гладкою межею Г, яка складається із скінченного числа с/ дуг = 1, «7, з неперервною кривиною, які утворююсь в точках стику <)_, зовнішні кути а;-7г,() < <\} < 2. Клас таких множин позначимо через (С).

Розглянемо ги ;= Ф(С) = Ф((, Ш) - функцію, яка відображає конформно і однолиі'то зовнішність С\9Я множини ЙЛ на зовнішність )7/?І > 1 одиничного круга, нормовану умовою Ф,(оо) > П . НсхіГЙ £ = ф(іп) - обернена до Ф(() функція. Позначимо

Г|4д !— {£ : |Ф(0І — 1 + ^}> ЛбК,

(14- /и)-у лінію рівня множини £Ш,

тій \г С), г є Г.

. Сегм*

- відстань під точки 2 є Г до (1 4- /і)-ї лінії рівня Гі + ^

т

Вибір класу (С) розглядуваних множин Шї обумовлюсться тим, що для відстані <4(z) відомі зручні співвідношення (див. Монографію В.К.Дзядика) ' “

«зРл(*) £ dh{z) < Ciph(z), в яких Сз, с-і - додатні числа (сталі), що залежать тільки від 971,

Ph(z) h(\z - , h > 0,

j, - індекс найближчої до z точки стику. Якщо декілька точок стику a.j є найближчими до і, to через jt позначимо той індекс, При якому z € Гл.

Нехай z Є Г, р :« ps(z), •

■ ^ (МК; К ~ *1 £/>}

- круг радіуса р з центром у точці г. Позначимо через Т(Г, і, к, р)

множину всіх наборів Z » {г|, із к точок, кожний з яких задовольняє умови: ‘

(a) Z{ € Г П (/[і, р\,

(b) І «і “* Zjj\ |j;- ij\kT2j^< і Ф h hj 65

Аналогічно через ?'о(Г, ІД‘,р) позначимо множину m ix наборів Zo = {.?о, z\.tit) із (к + 1)-ї точки, кожний м яких задовольняв

умови: , г

(а1) г,- Є ГП ій|Ц,

(b’) IZj - zj\> ^ 3' *'3 “ ^ *•

Н<н»й £(г. /) Цг, /; г|, і.., ?ц.) мноючлен .‘Іаграижа степеня

< к->-1, пкніі інтерполює функцію / в к різних точках г, Є С, і —

іТТ. . • .

Означення б . D-модулем неперервності (гладкості) порядку к на. Г неперервної на Г функції f назвемо функцію

й7к(т) := 57*(т, /, Г) := sup sup sup j/(z0)-L(z0, f; zu zk)\,

Лс[0,г) ІЄГ Zo€To(r,},ktP) ■

r > 0. -

У першому параграфі другого розділу для D-модуля неперервності доведено властивості, подібні до властивостей звичайного к-го модуля неперервності, означення якого наведено нижче (при викладі третього розділу). Ці властивості сформульовані в лемі 1 (нерівність типу Мнршо) і в лемі 2 (властивість нормальності).

Нехай а Найменше серед чисел 1, or і,а - найбільше серед чисел 1,«|,

Через о,,.... є,15 позначимо додатні числа (сталі), які залежать тільки від Г і к.

Лема 1 . Нехай функція / неперервна на Г, її > 0, z Є Г, р-~ ph{z), {zj,..., Zk} Є T{T,z,k,p). Для функції

g{z) := f(z) - L{z,f\zu...,zk)

справедливі нерівності

|'/(*)| < r-mh. /, Г), гегп U[z, /і, (G)

\o{z)\ < Cf) , /, Г), 2 e Г \ U[z, p).

П f> (7)

Лема 2 . Якщо її ф 2. то мне місце нерівність

щ(тіг. /. Г) < г-7 А*(г, /, Г). н Є N. (8)

<■

Зауваження 3. Якщо а ф 2, то для довільної неперервної на множині 9ЭТ функції / її ^-модуль неперервності %(т,/, Г) має властивість (8). У випадку а — 2 над.ілі додатково вимагатимемо виконання (8), не папначнючи цього спеціально. Зокрема, нерівність (7) леми 1 набуває пигляду

ІФ) І < " 5МЛ, /, Г), гбГ\£ф, ,]. (9)

У другому параграфі оа допомогою многочленних ядер Дзядика доведено п])яму теорему в термінах Б-модуля гладкості.

Позначимо череп А(9Л) клас, функцій, аналітичних в області ЙЛ\ Г та неперервних на множині Ш .

Величиною найкращого рівномірного наближення неперервної на 97? функції / алгебраїчними многочленами Рп = Р„(г) степеня

< 71 на^ивагться число

' Еп{/) = Е„{Л*і = МУ-Г»\У-

'» .

Теорема 3 . Нехай к € N. Якщо / € А(Ш), то при кожному натуральному п> к — 1 маг. місце нерівність

ад)< п0й(-,/,г). (ю)

її

У третьому' параграфі доведено обернену теорему рівномірного наближення функцій на множинах Ш € (О).

Неперервна і неспадна на [0, оо) функція ір називається мажорантою, якщо <£>(0) = 0. Клас всіх мажорант позначимо черет Ф.

Теорема 4 . Нелай к в М, <р Є Ф. Лкщо для заданої' на множ ині Ш функції / при кожному, импцрпльнпмц п > к — 1 в и копуе.тьея нерівність

ю

ЕЛП < у>ф,

то справедлива оцінка

(Н)

</мтп!Ш

ЧС/*»ІІг------- - - —----------4“

~’х(т,/Л ) < гііт44* І О < г < — яїтяпйШ. (і‘і)

г . ■

Наслідком результатів другого і третього параграфів е конструктивна характерне тика функцій класів, що ха|кікт?ризуютьея И-модулем гладкситі. Ця кннгтруктпвна характеристика розглядаються В четвертому параграфі.

Означення 6 . Мажорантп.у ір назвемо 1-м,ажорантою, якщо

п<г,ІТ,. „зі

Ч ті .

Множину всіх 1-мажорантп ір позначимо через Ф(.

Переформулюемо пряму теорему в термінах мажорантн <р. Теорема 5 , Нехай к Є IV, <р Є Ф"*. Йі;що / Є А(Ш) і Її кіт, /, Г) < <р(т), тпо при кожному натуральному V < к~ 1 мас місце. нерівність

Еп(П<г^М-)- (14)

п

Якщо

ііг атУЛ

І,ак' / “$от,л'=

(15)

м

то говоритимемо, що функція tp падовольняе умови типу Барі-Стєчкіна-Ульянова.

Зауважимо, що із виконання умови (15) для функції tp Є Ф ви* пливас </? Є Фа*, а отже, tp Є Фп*.

Наслідком теореми 5 і оберненої теореми 4 е наступна теорема.

Теорема 6 . Нехай мажоранта tp задовольняє умову (15). Для того, щоб

En{f) = 0(rtk), п -> оо, (16)

ТІ

необхідно і досить, щоб / Є Л(ЯЯ) і

wt(r, /, Г) = 0(ір(т)), т 0. (17)

Зауважимо, що для функції <р(т) = т1*, (і > 0, виконуються умови (15) типу Барі - Стєчкіна - Ульянова при к > |. Тоді мас місце теорема.

Теорема 7 . Нехай (і > 0, к > jj. Для того, щоб

ВД) в О(^), п -> оо,

необхідно і досить, щоб / € А(Ш) і

^(т,/,Г) = 0(А г-»0. .

Третій ролділ формально (але не ідейно) п першими двома розділами не пов’яоаний. У ньому встановлено оцінку наближення функцій / € Л((т) аналітичними плоскими сплайнами на замкнених областях G о кваяігладкою Межею. Одержані результати с доповненням до результатів ГВ.СтрілкопсШй. •

У першому параграфі розглянуто огновй) поняття, пой’яяані fo сплаіін-ішрошімаціс ю функцій / £ /1(G) на комплексній площині.

Означення 7 . Спрямлюапна :зпмкнспа жорданова крива Г називається кв азі,гладкою , якщо для будь-яких двох точок «1,^2 Є Г мас місце, співвідношення

Ая(гигч) < |г, - ги\ < л-(гьг2),

я якаліу я(г\, х?) дчпжина коротшої 3 дір' грняп? і «■»*-цялмі в точках «і і £•/, А ** А(Г) ^ мпяі .

Нехай Г кваяіглндкн крива, С С С - скінченна область п межею Г, С = С иГ,

Для функцій / € Л(С) маг місце інтегральне зображення Білого

!{я)ш А [ (ІЩщ<ьс - -і /

6 (18) Де 2 € б, С = х + іу, дсг^ = ііхду, С(7 = С \ (7, 7/(г) квазіконт формне відбиття комплексної площини С ПІДНОСНО Г, яке палишае нерухомими точки крішої Г,причому ?/(()) = оо,у\у{г)\ — г.

Нехай О 6 Сі, де = [(і. а + Я) • [/;. Ь + Я] квадрат із стороною Довжини Я, N Є 14 /гд- = 77. = а +Нір/, у) = Ь + ЗНы, і, І =

____ ‘ .V- (

0, N. Зобразимо квадрат Ц у вигляді — У Q/J, де = {г =

/,;=о

з: + гу : ж Є |.Т|,.Гі+і], у € [?/;,і/;+і)} квадратні клітини розбиття <2 п кроком /,,у. які назвемо елементами ріхібиття. Означимо (3/у як об’єднання всіх С,)/.г для яких (7/,; П 6* ф 0. Надалі індекс N п Д\ опускатимемо. Квадрат (}(.} С Су назвемо внутрішнім елементом розбиття, якщо (^/, 6 О’: квадрат Сіі,} С С\у назвемо граничним «-лементом розбігття. якшо С^/.> П С6' ^ 0. Для кожного внутрішнього елемента розбиття Спобудуємо многочлен

Лагранжа Ьц := Цг,/,гступеня < к — 1, який інтерполює функцію /в к точках г,,і = \,к, таких, що Є

Т(Оц,гц, к, ^), де гц - центр квадрата. Для кожного граничного елемента розбиття ()ц візьмемо той гамий інтерполяційний многочлен Лагранжа Ьі^ = який визначено в одному о найближчих внутрішніх елементів розбиття у С О.

Означення 8 . Аналітичним плоским сплайном в області Є з квазігладкою межею Г називається функція £>д(г)

5Д(2) = _І/

* і 1 «-*? *1 і МО - *)

(' О (.»

(19)

2 € С, де //д(г) функція, яка на кожному елементі розбиття е многочленом ЛагранжЛ побудованим, для цього елементи. -

Означення 9 (див.монографіїП.М.Тамразова-, В.К.Дзядика, 1.0,Шевчука). Модулем неперервності (гладкості) порядку к, к Є IV, заданої на замкненій області Є неперервної функції / називається функція

ы*(т) :*= и>*(т,/) :і= кщ> мір шір \/(г0)~Ь(г0, /,ги Лф,^ іеП ЯоеГ0((7,і.І,/>)

де (як і раніше) через 7о(5, і, //) позначено множину всіх наборів г0 = {го, 2|,(& + 1)-* точки, кожний з яких задовольняє умови:

(a) £* € С» П ?/(і, /і|, І = 1и, .

(b) !*і *- > (ГЩГт^ * ^ -?•

У другому параграфі третього роаділу доведено лему 3, внаслідок якої вдалося дещо посилити теорему І.В.Стрілковської, а саме, одержати Теорему 8.

Лема 3 . Якщо / Є А(О), т.п для будь-якої, точки 2 Є б має місце оцінка

. ,,, . ______________________________________

— --- ~ —--- —- ї *їі-г •лгг--:*_г-;» - - Г2?П

и V- > -і ‘ и їй » а

де сі := г/(г, Г) := тіп(С — «(•

Теорема 8 . Нехай (7 - скінчґ.нна область я кпплігладкою межею Г, 0 Є (7, /Є А(С). Якгцо - -

НіптСІ

<^(г)

/

-(ІТ < оо,

г

о

то справедлива оцінка

(іІіатС* /і

},к І ~ЇТГ(,Т + /

^і/г 1 . (21)

н І)

Зауваження 4. І.В.Стріпкові ькою одержані оцінки

!/(*) - 5Д(*)| < Пг. ^Ч-.(Л) + I | (22)

та при и»ц.(т) < г". ()<»»< к.

шо-зд < с{ (я,

де С стала, що належить тільки під о і Г.

ОГшдпі оцінки (22) і (2-ї) ніш птнюїьп нерівності (21).

На закінчення автор висловлює щиру вдячність науковому керівнику Ігорю Олександровичу Шевчуку ма постановку над ач, постійну підтримку і увагу до роботи.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1 Дюженкова О.К). Апроксимація сплайн-функціями в областях о квалі гладкою межею // Збірник науковігх праць студентів та аспірантів. —Київ: КДПІ ім.М.П.Драгоманова, 1992. —С. 131 - 136.

2 Дюженкова О.К). Зауваження до апроксимації аналітичними сплайнами в областях а квапігладкою межею // Краевые па* дачи для дифференциальных уравнений. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. — С. 37 - 43.

3 Дюженкова О.К). Наближення сплайн-функціяШ в областях d квапігладкою межею // Збірних наукових праць студентів,

аспірантів, стажистів і викладачів..Переяслав-Хмельницький,

1993..С. 173 • 175.

4 Дюженкова О.К). О равномерной оценке на областях с углами // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики : Теп. докл. ВЗМШ ( 25

. янв. I февр. 1995 г.). — Воронеж. 1995. - С.93 .

to

ДюженковаО.К). "Свонстиа модули гладкости Дитзшша-Тотика и их аналоги”.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.01 - математиче-

ский анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 1995.

П;И!ШШЖ!ТГЛ лшееппишя. посвяшённая построению II изучению iUIiu^iTn МОДУЛЯ ПП "!С'<**Т!Т *^ТТТ*^Т*ЛТТ!*’ НЯ vm*4- •

плекгноп плоскчнти г кусочно-гладкой границей, а также устано-влснию конструктивно!» характеристики равномерного приближения функций в терминах этого модуля гладкости. В работе также изучена связь между модулем гладкости Дитзиана-Тотика г-й производной функции / и обычным модулем к-м модулем гладкости г-й производной функции /(f) = /(cost). Кроме того, п диссертации получена одна оценка сплайн-анпроксимации на областях комплексной ПЛОСКОСТИ.

DyujenkovaO.Yu. “Propel ties of Hie moduli of smoothness of Ditzia.il-Totik and theirs analogues”.

Doctor of Philosophy thesis . speciality 01.01.01 mathematical analysis. Institute of Mathematics. National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 199G.

The thesis to !>e defended is devoted to construction and investigation of the analogue of DiUiaii-Tot.ik uiodul of smoothness on the. sets, of complex plane with pieccwise-sinooth boundary and to establishing of constructive charai (eristic of uniform approximation of functions in the terms of this uiodul of smoothness. The relation between DT-luodul of smoothness of the r-s derivative of function / and usual Itiodul of smoothness of the r-s derivative of function /(/) ■= /(cos/.) is investigated ill this papci as well. Besides, one estimate of spline-approximation on the domains of complex plan is pmoved in this paper.

Ключові слова: модуль гладкості, пряма теорема, обернена теорема, конструктивна характеристика, скінченні та розділені різниці, інтерполяційний многочлен Лагранжа, інтегральне зображення функцій, ЙНіїЛІТИЧНИЙ плоским с плайн.

Підп. до друку 14.11.95, Формат 60x84/16 Папір друк. Офг. друк. Ум. друк. арк. 1,10 Ум. фарбо-відб. 1,16 Обл. вид. арк. 0,7 'Віраж 100 пр. Зам. 245 Безкоштовно.

Підготовлено і віддруковано в Інституті математики НЛН України 252601 Київ 4, МСТІ, вуя. Терещенківська, 3.