Связанные (пластичность-поврежденность) задачи механики деформируемых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Курнышева Наталья Александровна

Связанные (пластичность-поврежденность) задачи механики деформируемых сред

01 02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 2007

003066560

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный университет"

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Радаев Юрий Николаевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Ковалев Владимир Александрович

доктор физико-математических наук Миронов Борис Гурьевич

Ведущая организация Институт проблем механики РАН

Защита состоится " 7 а " октября 2007 г в час на заседании диссертационного совета ДМ 212 300 02 при ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева" по адресу 428000, г Чебоксары, ул К Маркса, 38, ауд 406

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева"

Автореферат разослан

"А"

сентября 2007 :

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212 300 02, кандидат физико-математических наук / С Ю Радаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Теория связанных (пластичность-поврежден-ность) задач имеет важные приложения во многих областях техники (оценка прочности и несущей способности конструкций, обработка металлов), в геофизике и геологии Моделирование напряженно-деформированного состояния пластических тел с рассеянным полем микроповреждений является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, особенно в применении к выяснению вопросов устойчивого состояния и распространения трещин Данная тематика актуальна в плане совершенствования расчетов на прочность элементов конструкций Теоретические рассмотрения и экспериментальные данные свидетельствуют о существенном влиянии рассеянного поля микроповреждений, локализованных в зонах пластического течения у концентраторов напряжений (трещины, вырезы и другие дефекты), на распределение напряжений в теле Решение связанной плоской и осесим-метричной задачи механики деформируемых тел имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость Актуальным представляется также учет анизотропии распределения поврежденности в основных уравнениях математической теории пластичности

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разные годы был сделан Б Д Анниным, Г И Быковцевым, Д Д Ивлевым, А А Ильюшиным, А Ю Ишлинским, Л М Качановым, В Д Клюшниковым, В В Соколовским, С А Христиановичем, Е И Шемякиным

Согласно сложившейся традиции, основополагающими для континуальной механики поврежденности следует считать работы Л М Качанова и Ю Н Работнова Ценность этих первых работ, признанных ныне классическими, заключается в возможности применения единой схемы представления поврежденности для ее описания Сущность нового подхода заключалась в использовании новой переменной — параметра поврежденности, отражающей присутствие в теле поврежденности (или различных видов повреждений)

Заметный вклад в развитие механики поврежденности сделали А А Ваку-ленко, Н Ф Морозов, Л М Качанов, Ю Н Работнов, Ю Н Радаев, С А Шестериков

Целью работы являются

• Исследование напряженно-деформированного состояния жесткопласти-ческого тела с рассеянным полем анизотропных микроповреждений

• Обобщение понятия поля скольжения на случай связанных состояний

• Развитие численных методов расчета поля напряжений, поврежденности и сетки скольжения, позволяющих найти решения пространственной, плоской и осесимметричной задач

На защиту выносятся следующие положения-

1 Развит алгоритм построения тензорных мер анизотропной поврежден-ности, исходя из распределения по ориентациям микродефектов в пространстве

2 Дана геометрическая и механическая интерпретация собственных элементов (главных направлений и спектра поврежденности) тензора поврежденное™

3 Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе

4 Проанализирована замкнутая система трехмерных кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений Показано, что система основных трехмерных кинематических соотношений является правильно определенной и принадлежит к гиперболическому типу Обобщено понятие характеристического конуса Д Д Ивлева на случай связанных пространственных состояний

5 Показано, что система основных соотношений в случаях плоского и осесимметричного связанного состояния относится к гиперболическому типу, что позволяет обобщить ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний Вычислен наклон линий скольжения в среде с анизотропным распределением микроповреждений

6 Предложен численный метод расчета главных напряжений, поврежденности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растягиваемого образца в постановке плоского деформированного состояния с учетом накопления анизотропной поврежденности Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности и сетка линий скольжения Проведен численный анализ задачи о локализации пластических деформаций в пределах шейки одноосно растягиваемого образца в осесиммет-ричной постановке по обобщенной схеме полной пластичности

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем

1 Рассмотрены вопросы математического представления анизотропного состояния поврежденности, обобщающие классические модели Качанова-Работнова на случай связанных состояний

2 Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений

3 Обобщено ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний, получены уравнения для характеристик связанного состояния

4 Найдены соотношения, интегрируемые вдоль линий главных напряжений Показано, что система основных соотношений связанных (пластичность-поврежденность) задач относится к гиперболическому типу

5 Разработан численный метод расчета главных напряжений, поврежден-ности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза одноосно растягиваемого образца с учетом анизотропного распределения микроповреждений Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины нормального отрыва в одноосно растягиваемом образце в плоской постановке с учетом накопления анизотропной поврежденности и о локализации пластических деформаций и повреждений в пределах шейки одноосно растягиваемого образца по обобщенной схеме полной пластичности Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности, сетка линий скольжения и найдена предельная растягивающая нагрузка

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории пластичности, применением классических методов механики сплошных сред, достаточно хорошим качественным и количественным согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными по геометрии изостатических траекторий

Практическая значимость результатов Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих тел, применяемых в инженерной практике при оценке жесткости и устойчивости элементов конструкций

Апробация работы Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах

• Научный семинар "Современные проблемы математики и механики под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю Н Радаева Самара, Самарский государственный университет, 20052007 гг,

• 14-я Зимняя школа по механике сплошных сред Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 28 февраля - 3 марта 2005 г,

• Третья межвузовская научно-практической конференция "Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике ", посвященная памяти профессора Л И Кудряшова Самара, Самарский государственный университет, февраль 2006 г,

• VI Международный научный симпозиум "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела Тверь, Тверской государственный технический университет, 28 февраля - 3 марта 2006 г,

• Международная молодежная научная конференция "XXXII Гагарин-ские чтения " Москва, Институт проблем механики РАН, 4-8 апреля 2006 г,

• Семинар по механике сплошной среды им JI А Галина под руководством докторов физико-математических наук, профессоров В М Александрова, В Н Кукуджанова и А В Манжирова Москва, Институт проблем механики РАН, 28 апреля 2006 г,

• Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д Д Ивлева Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева, 28 июня 2006 г,

• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006 г,

• 35th Solid Mechanics Conference Krakow, 4-8 September, 2006,

• Межвузовская научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики " Тула, Тульский государственный университет, 28 - 30 ноября 2006 г,

• 15-я Зимняя школа по механике сплошных сред Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г,

• Международная молодежная научная конференция "XXXIII Гагарин-ские чтения " Москва, Институт проблем механики РАН, 3-7 апреля 2007 г,

• Международная конференция "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" Саратов, Саратовский государственный университет, 27 августа - 1 сентября 2007 г

Публикации По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ Работы с соавторами выполнены на паритетных началах

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Объем работы —188 страниц, включая 12 рисунков и графиков, 1 таблицу и список литературы из 199 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы Приведен обзор литературы по соответствующей проблематике Изложены основные положения диссертационной работы по главам

В первой главе вводится понятие тензорных мер анизотропного состояния поврежденности

Раздел 1.1 посвящен тензору поврежденности второго ранга Анизотропное состояние поврежденности формально может быть представлено с помощью скалярной функции от векторной переменной единичной длины п

Значения этой функции суть поврежденности, измеренные для каждого данного направления Вычислить поврежденности можно в результате анализа тонкой структуры поврежденности, задавшись при этом определенной мерой поврежденности Одной из таких мер является сокращение эффективной площади плоского элемента, нормального вектору п

Для актуального состояния поврежденности, вследствие распределенных микродефектов, передающая нагрузку от одной части тела на другую эффективная площадь элемента (¿Л*(п) оказывается меньше, чем площадь этого элемента без учета его микроструктуры поврежденности <М(п) Таким образом, можно определить функцию ориентации

/ \ ЛА*{п)

?(П) = М(п) (1)

Переменную ? будем называть ориентационным распределением поврежденности Ориентационное распределение поврежденности выражается формулой с-^-1,

<; = \Лг(Сп<Е> п), С= , (2)

где тензор С может быть интерпретирован как тензор деформации Фингера с градиентом в Тензор поврежденности второго ранга мы определим посредством следующего соотношения

Т> = 1-^С (3)

ВI 2 представлена геометрическая модель пространственного поврежденного состояния, обобщающая одномерную модель Качанова-Работнова

Эквивалентный неповрежденный тетраэдр 0*Р*СЦ*11* получается в результате преобразования тетраэдра ОРС^Я линейным оператором \/СгС (см рис 1) В силу уравнений (1) векторные элементы йА и ¿А* связаны следующим соотношением , ,т _ ,А ,л.

«¿А = (I - Б) «¿А, (4)

или в главных плоскостях поврежденности

(¿А^ = (1 — £>(/?)) <1А(р) (по (5 не суммировать, /3 = 1,2,3) (5)

Последнее уравнение позволяет дать механическую интерпретацию собственных значений тензора поврежденности главные поврежденности выражают сокращение несущей нагрузку площади элементов, нормальных главным осям поврежденности, так как это определяется формулами (5)

В I 3 рассматривается тензор поврежденности произвольного четного ранга 2в

В I 4 приводится вычисление тензора поврежденности по данным экспериментов Уравнение (2) может быть разрешено относительно тензора поврежденности в виде

1-Б =

п)[5п®п-1]<*Я, (6)

Рис 1 Трансформация поврежденного объемного элемента, опирающегося на главные оси поврежденности, в эквивалентное неповрежденное состояние

где интегрирование производится по сфере единичных направлений S

Таким образом, тензор поврежденности второго ранга может быть вычислен, исходя из известного (в том числе определенного экспериментально) локального распределения поврежденности в зависимости от направления ? = ?(п)

С целью проверки адекватности рассматриваемых ориентационных распределений поврежденности в качестве примера рассмотрим двумерное распределение поврежденности в концевой зоне коррозионной трещины в низколегированной стали 30G2 после 400 часов выдержки в водородсодержащей среде Для оценки поврежденности в концевой зоне трещины брались пробы микротвердости по Кнупу (Knoop microhardness), численные значения Н которой обычно выражаются в условных единицах твердости Испытания микротвердости проводились в трех направлениях под углами —30, 0, +45 градусов к линии трещины в пределах расстояния 250/шг, где микротвердость практически не отличается от таковой для неповрежденной стали По этим экспериментальным данным производится расчет компонент тензора поврежденности второго ранга

Во второй главе разрабатывается математическая модель, базирующаяся на уравнениях, включающих уравнения равновесия, условие пластичности, уравнение несовместности приращений пластических деформаций, соотношения ассоциированного закона течения с учетом повреждений, а также уравнения, определяющие изменение главных поврежденностей в зависимости от приращений деформаций в изостатической координатной системе

В II 1 представлено обобщение классического условия текучести Треска Сокращение эффективной площади происходит вследствие скольжения (см рис 2)

скольжения

Рис 2 Математическая модель сокращения эффективной площади Наряду с напряжениями следует рассмотреть эффективные напряжения, которые, учитывая соосность тензора напряжений и тензора поврежденно-сти, можно представить в виде

а,

*? =

(по J не суммировать)

(7)

Обобщенное условие текучести для грани призмы Треска имеет форму

' - <4 = 2к,

(8)

а для ребра

о? =аЭ = а$±2к (9)

В II 2 вводится закон накопления повреждений, принимая во внимание соосность тензора напряжений, тензора поврежденности и тензора скоростей пластических деформаций, примем в простейшей форме

сШ^ = К^п (ск^ ) Ле^ (по ] не суммировать), К, > 0 (10)

В II 3 рассматривается закон течения тела с рассеянными микроповреждениями Он принимается в форме /(сг^, и|, = 0, а обобщенный ассоциированный закон течения в виде

def = dA^-3 да,

Для грани (8) обобщенный ассоциированный закон есть Множитель АЛ. исключается на основании

dA =_а-до2^-!)^-^]_ = (12)

KiS&iidefi^ + tf-lfKiSgnfdeP)^ 1-D2 к

В результате обобщенный ассоциированный закон течения микроповрежденного тела для грани призмы Треска примет вид

^- = (/3-1 )da2~dau = lfda-2 + (/? - l)<foi, (13)

где „ _1 — £>i

KjSgn (def) С!+ (J3- l)3 K2sgn (ctef) <r2

sgn (<fef) = +1, sgn (def) = -1 Из (13) следует обобщенное условие несжимаемости (точнее условие сжимаемости)

<fef = -(/?-l)<fef (15)

Для ребра (9) обобщенный ассоциированный закон течения имеет форму р dAi р dk2 , р dAi dA2 . .

= =-ГГ^ - гт^ (16)

В результате преобразований (16) приводится к виду dep dep

-7Г- = da3 - Ei2da2 - ~Euduu = dcr3 - E22dc2 - Ег^ь (17)

¿1 ¿2

______________________________________ ■ (14)

где

51 = [(1 - £>i)(A - 1) [<t2K2 - (& - 1)V3K3] +

+(1 - £>2)2(1 - £>i)_1(A - 1)3№ - 1)<т3К3] x

X [<71(J2K!K2 - ax^KiKsOSz - l)3 - <т2<г3К2Кз(А - l)3]

52 = [(1 - ДгХА - 1) hKj - (ft - 1)V3K3] +

+(1 - А)2(1 - Д0_1(& - l)3(/?i - 1)<73K3] x

x [о-цстаК^г - OTjOaKiKsGSi - l)3 - <r2cr3K2K3(ft - l)3] (l-A)№-C6S,-l)VsKgJ

' ' =

О p _ _--L/i;- _

2 21 (tktjKjK, - а&зКгКзЦк - 1)3 - <т2Сг3К2К3(А - 1); Обобщенный закон сжимаемости микроповрежденного тела

-<fef = (А - l)<fef + (02 - 1 )def (18)

<Ti<T2KiK2 — сг^зК^К^/Зг -(1 - D2) № - 1)3 _ (ft- - a2o-3K2K3(ft l)3o-3K3] -1)3

0"I<T2KIK2 — СГ1<7ЗК1КЗ(/32 -(1 - D2f( 1 - Di) 1)3- "ЧА CT2O-3K2K3(/3I - 1)V3K3 -1)з;

<Ti<T2KjK2 — СТхстз^Кз^г -(1 - £>i)2(l - Г>2) 1)3- ■ o-2a3K2K3(/3i - 1)3<т3К3

В II 4 рассматривается общая термодинамическая модель накопления анизотропной поврежденности в твердых телах, сформулированная на основе метода скрытых переменных состояния В этой части работы устанавливается связь между сокращением эффективной площади и возрастанием энтропии

В II 5 приведены уравнения несовместности микроповрежденной среды Несовместность поля деформаций проявляется как неоднородность в уравнениях совместности (точнее несовместности) деформаций

ek,:eimndmd%defn = dr)kl, (19)

где Щ1 — тензор расхождения Кренера, который выражается через тензор плотности дислокаций а^ (е*,у — дискриминантные символы)

Ш = ~ (еьДаг., + eh3diak]) (20)

Тензор плотности дислокаций определяется уравнением = a^dSi, где Ьк — вектор Бюргерса, dSi — векторный элемент площади, ограниченный контуром Бюргерса, через который проходит достаточно много линий дислокаций

В II 6 разрабатывается математическая модель связанной задачи математической теории пластичности, базирующаяся на уравнениях, включающих

1 Уравнения равновесия в инвариантной форме

V (т = 0 (21)

Здесь спектральное разложение тензора напряжений Коши имеет вид

а = ffil ® 1 + (Тггп ® m + 0311 ® n (22)

Уравнения равновесия в изостатической сетке

diOi + «23 (01 — 02) + «32 (01 — 03) = 0,

d2<T2 4- К31 ("2 - 03) + «13 (02 — ffi) = 0, (23)

d3a3 + «12 (03 - 01) + к21 (03 - 0ъ) = 0,

где

к23 = -1 [(ш V) ш], «32 = -1 [(п V) п],

«13 = -m [(1 V)l], /с31 = -т [(n V)n], (24)

к12 = -n [(1 V) 1], к21 = -n [(т V) т],

через (4 обозначена производная по направлению изостатической траектории с номером к 1 д

dk = —гт (по к не суммировать, к = 1,2,3), (25)

— ортогональные криволинейные изостатические координаты, дг] — компоненты метрического тензора

2 Уравнения равновесия в приращениях

V (da) = 0, (26)

где спектральное разложения вектора приращения напряжений da = 1 ® Idaj + m ® mda2 + n <S> nda3+

+1 ® ш (огд - 02) <hj3 + 1 ® n (03 - <n) dw2+ +m <8> 1 (01 - cr2) d^>3 + m ® n (<Г2 ~ 03) dojx+

+n ® 1 (0-3 - 01) du>2 + n ® m (02 - 03) dc^i

Уравнения равновесия в приращениях относительно линий главных напряжений представлены в виде

didoi + «2з (d<Ti — da2) + «32 (doi — 03) +

+ (2«i3 + «31 + d2) [(ci - <r2) ähi3] +

+ (2k12 + «21 + d3) [(0-3 - Ol)dw2] = 0, d2da2 + K31 (d<r2 - daz) -I- кi3 (dcr2 - <7i) +

+ (2K23 + «32 + di) [(<ri - <x2) dwz] + (28)

+ (2k2i + K12 + d3) [(<72 - (73) dui] = 0, d3da3 + «12 (¿03 - dat)+ K21 (da3 - a2) +

+ (2k32 + «23 + di) [(<73 - (7i) dw2] +

+ («i3 + 2/C31 + <k) [(£72 - <73) dwi] = 0

3 Уравнение совместности малых деформаций в приращениях имеет вид

—dS = V х dP = 0, (29)

где dP = (V х de)T

Физические компоненты тензора несовместности dS в изостатической координатной сетке вычисляются в форме

dS<п> = — d2d2d£3 — d3d3de2 + («21 ~~ K3i) {de3 — de2) + +d3 («21 (de3 - <fe2)) - d2 («31 (de3 - de2)) -—«23K32 (de2 + de3 — 2<fei) - n3id2de3— -K21d3de2 — «32did£2 — re23dide3, ds<12> = d2d1ds3 + (¿2 [«зг («fes - <fei)] + «3idi (<fe3 - de2) --K23d2de3 + K31 (de3 - de 1) (к32 - к23) Компоненты dS<22>, dS<33>, dS<23>, dS<31> получаются циклической перестановкой индексов в (30)

4 Условие совместности для приращений поворотов имеет вид

V dü = 0 (2díí = V х du) (31)

В изостатической системе координат уравнение совместности для приращений поворотов (31) имеет вид

(к23 + К32) dOi + («13 + К31) dü2 + («и 4- К21) dfi3+ ,„„,

+didí!i + d2dü2 + d3dQ3 = 0 1 j

5 Соотношения Коши, записанные для приращений перемещений, имеют форму

2de = (V <g> du) + (V ® du)T, (33)

или в изостатической сетке

de f = «13 du<2> + «i2dM<3> + didií<i>, def = «23du<1> + K21du<3> + d2du<2>, de£ = «32du<l> + K3idit<2> + d3du<3>, -«i3du<i> - K23du<2> + £¿2du<i> + d\du<2> = 0, '

—«i 2du<i> — K32du<3> + d3du<i> + dxdu<3> = 0, -«2idti<2> - «3id'U<3> + d3du<2> + d2du<3> = 0

6 Условие текучести тела с рассеянными микроповреждениями Обобщенное условие текучести для грани призмы Треска имеет форму (8), для ребра — (9)

7 Закон течения тела с рассеянными микроповреждениями принимается для грани в виде (13), а для ребра — (17), (18)

Третья глава посвящена классификации, характеристикам и интегрируемым соотношениям связанной системы уравнений теории пластичности

В III 1 представлены характеристики связанных уравнений теории пластичности и дается обобщение понятия конуса характеристических направлений Д Д Ивлева на случай связанных состояний

Математическая модель базируется на замкнутой системе соотношений (9), (10), (17), (18), (28), (30), (32), (34)

При течении на ребре обобщенной призмы Кулона-Треска два главных напряжения равны = 02 Предположим, что Di = D2, в этом случае А = /?2 = ß и а? = а!

Замкнутая система кинематических соотношений для связанного состояния

(/? - 1) («13^М<2> + Ki2dw<3> + di<iw<i> + K2zdu<x> + K2idw<3> +

+^2^м<2>) + K32ciw<i> + K3idu<2> + d3dw<3> = 0, , gv -/ci2du<i> - /i32cfct<3> + сМи<1> + didu<3> = 0,

-K2idw<2> - Kzidu<3> + dsdu<2> + d2du<3> = 0

Данная система правильно определена для нахождения трех неизвестных du<i>, du<2>, du<3> имеется ровно три уравнения Система (35) является квазилинейной системой уравнений в частных производных первого порядка, так как характеристическое уравнение

(/? - 1)^ 09 - 1 ж<2> 7V<3> iV<3> О ]У<!>

О iV<3> ^<2>

имеет три различных вещественных корня

N<3> = 0, N<3> = ±V(J8 - 1)\/W<i> + ^<2> (37)

Учитывая условие нормировки, (37) можно представить в виде

= 0 (36)

iV<3> = 0, N<3> = ±у (38)

Тем самым конус характеристических направлений, известный из теории идеальной пластичности, обобщается на случай связанного состояния

В III 2 рассматриваются случаи плоской пластической деформации и осе-симметричной деформации, и было показано, что система основных соотношений относится к гиперболическому типу, что позволяет для каждого из указанных случаев обобщить понятие поля скольжения на случай связанных состояний Линии скольжения для связанного состояния наклонены иначе, чем линии скольжения при идеально пластическом течении

1 Связанное осесимметричное пластическое течение, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона-Треска аг = а2 = а3 ± 2к

Уравнения совместности ci?<n> = 0, dS<2г> = 0 относительно главных приращений dei, dei можно формально рассматривать независимо от остальных соотношений связанной осесимметричной задачи Главная часть этой системы имеет вид

Í—d3d3de 2 = , 5зз

—d3a3de! + (/?i -1)—ад&ц + (/32 -1)—ад&з =

5зз Su Su

Характеристическое уравнение может быть представлено в форме

1 ,

О

дъъ

5зз \ 5п 5зз

(А-1 (А-1)^

5и 5зз 5п

и имеет два действительных корня Характеристики осесимметричной связанной задачи

уш^ /Т^ог ,4П,

= (40)

2 Плоское деформированное состояние характеризуется условием = 0 Обобщенное условие пластичности Треска выражается уравнением

= <«>

Уравнение совместности относительно главного приращения йе\ можно формально рассматривать независимо от остальных соотношений плоской задачи Главная часть этого уравнения есть ^ 1

—ЭгЭзск!--(/3-1) дгдгйе! + =0 (42)

522 511

Характеристическое уравнение, которое получается по главной части (42), указывает на его гиперболичность Характеристики плоской связанной задачи

т^Ы (43)

В III 3 приведены инварианты плоской и пространственной связанной задачи, сохраняющие свои значения вдоль линий главных напряжений Их удается построить в четырех случаях, подробно описанных в тексте диссертационной работы

В четвертой главе разработан новый численный метод решения связанных пространственных, плоских и осесимметричных задач математической теории пластичности по обобщенной схеме полной пластичности Хаара— Кармана Особенностью предложенного метода является использование счета вдоль изостатических траекторий для задач со свободной от напряжений границей Продемонстрирована возможность сведения физической постановки задачи к математической задаче Коши

В третьей главе диссертационной работы была доказана гиперболичность полученной системы уравнений с частными производными, а следовательно, и корректность (разрешимость, единственность и устойчивость решения) постановки указанных задач (связанных пространственной, осесимметричной и плоской) Получены дифференциальные уравнения характеристических линий, учет которых позволяет правильно определить область зависимости решения от начальных данных и существенно упростить расчетную схему, что представляется важным при построении эффективного алгоритма расчета

Работоспособность метода продемонстрирована на примере задач о напряженном состоянии в пределах шейки одноосно растягиваемого цилиндрического образца и о напряженном состоянии у вершины трещины при одноосном растяжении полосы с трещиной нормального отрыва

В IV 1 построена разностная схема, аппроксимирующая систему уравнений в частных производных для случая связанной пространственной задачи Разностная схема для плоской связанной задачи приведена в IV 2, а для осесимметричной в IV 3

Разностные задачи являются так называемой явной схемой значения решения на следующем слое определяются через значения на предыдущем слое по явным формулам Здесь для аппроксимации используется разностное отношение "вперед", имеющее первый порядок точности

В IV 2 приведены результаты численных расчетов для связанного плоского деформированного состояния Численно определены поле изостат и значение предельной растягивающей силы при аппроксимации контура свободной границы, прямой линией для связанной плоской задачи

1 Идеально пластическая модель тела с трещиной (см рис 3)

¿AOB=j ¿BOOj ¿COE-J

Хс X¡\E

1 Вершина ' трещины О xl 1

u h h hJ

Рис 3 Поле скольжения у вершины трещины нормального отрыва (плоское деформированное состояние, случай идеальной пластичности)

Распределение напряжений в характерных пластических зонах в ABO <722 = 0, су 12 = О, <7И = 2к (к — предел текучести на сдвиг),

в0ВС 2к=2к=-<Р+2+Т'(Тг*=2'

в ОСЕ (7ц = кп, <712 = о, а22 = + 7г) Предельная нагрузка вычисляется в виде

Р* тг

— = 1 + -4kh 2

2 Модель с накоплением повреждений согласно уравнениям

dD1 = Kdef (def >0), dD2 = 0 (def < 0) Сетка скольжения была определена численно (см рис 4)

0,694И

О

0,58/г

1р,Ш

0,83 7*

А

Рис 4 Поле скольжения у вершины трещины нормального отрыва (плоское деформированное состояние, случай связанной пластичности-поврежденнооти)

Численный анализ проводился при К = 2 В этом случае решение существует всегда, поскольку всюду выполняется неравенство £>1 < 1 Рассматривался процесс нагружения по монотонно возрастающей величине горизонтального размера пластической зоны вдоль свободного берега трещины до момента пересечения границы пластической зоны с точкой Е Величина шага Л разностной схемы имеет порядок 10~4к Дальнейшее измельчение сетки не приводит к существенным изменениям величины предельной растягивающей нагрузки, что косвенно свидетельствует о сходимости вычислительного процесса

Предельная нагрузка в этом случае (результаты численного анализа)

В IV 3 приведены результаты численных расчетов для связанной осе-симметричной задачи (дискообразный вырез в теле) Численно определены поле изостат и значение предельной растягивающей силы при аппроксимации контура свободной границы дугой эллипса для связанной осесимметричной задачи

1 Идеально пластическая модель (см рис 5)

Численное решение этой задачи по схеме полной пластичности было получено Ю Н Радаевым и Ю Н Бахаревой в 2004 г Ими было найдено значение предельной нагрузки Р*/(2жкк2) в зависимости от параметра кИ (к — кривизна в вершине) и дано сравнение с приближенным подходом Бриджмена

2 Модель с накоплением повреждений Поскольку сжатие происходит в радиальном и окружном направлениях, то накопление повреждений происходит согласно уравнениям

= 0, = 0, <Ш3 = К

Сетка скольжения была определена численно (см рис 6)

Эллиптический вырез

Рис 5 Поле скольжения у вершины дискообразного выреза (осевая симметрия, случай идеальной пластичности)

1.271А

Рис 6 Поле скольжения у вершины дискообразного выреза (осевая симметрия, случай связанной пластичности-поврежденности)

Численный анализ позволяет заключить, что при кЪ, = 1/2, К = 3/2 решение существует всегда, поскольку всюду выполняется неравенство £>з < 1 Рассматривался процесс нагружения по монотонно возрастающей величине горизонтального размера пластической зоны вдоль свободного берега трещины до момента пересечения границы пластической зоны с точкой Е Величина шага А разностной схемы имеет порядок 10~4Л Дальнейшее измельчение сетки не приводит к существенным изменениям величины предельной растягивающей нагрузки, что косвенно свидетельствует о сходимости вычислительного процесса

Предельная нагрузка в этом случае вычисляются в виде

Р*

= 0,822

2тг№

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Разработан алгоритм построения тензорных мер анизотропной повре-жденности, исходя из распределения по ориентациям микродефектов в пространстве Алгоритм позволяет вывести тензор поврежденности заданного четного ранга непосредственно из известного или полученного экспериментально распределения поврежденности по ориентациям Методы и результаты, приведенные в работе, могут быть применены к анализу любой физической величины, непрерывно или кусочно-непрерывно распределенной по ориентациям

2 Дана геометрическая и механическая интерпретация собственных элементов (главных направлений и спектра поврежденности) тензора поврежденности Понятие о спектре трехмерной анизотропной поврежденности распространено вплоть до бесконечного (счетного) дискретного спектра

3 Рассмотрено жесткопластическое тело, подчиняющееся обобщенному критерию текучести Треска, с рассеянным анизотропным полем повреждений Поврежденность представляется симметричным тензором поврежденности второго ранга, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений Предложена математическая модель связанного (пластичность-поврежденность) состояния, которая базируется на уравнениях, включающих уравнения равновесия, обобщенное условие пластичности, уравнение несовместности приращений пластических деформаций, соотношения обобщенного ассоциированного закона течения с учетом повреждений, а также уравнения, определяющие изменение главных поврежденностей в зависимости от приращений деформаций Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изоста-тической координатной системе

4 Проанализирована замкнутая система трехмерных кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изо-статической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений Показано, что система основных трехмерных кинематических соотношений является правильно определенной и принадлежит к гиперболическому типу Обобщено понятие характеристического конуса Д Д Ивлева на случай связанных пространственных состояний

5 Показано, что система основных соотношений в случаях плоского и осесимметричного связанного состояния относится к гиперболическому типу, что позволяет обобщить ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний Вычислен

наклон линий скольжения в среде с анизотропным распределением микроповреждений

6 Предложен численный метод расчета главных напряжений, поврежден-ности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растягиваемого образца в постановке плоского деформированного состояния с учетом накопления анизотропной поврежденности Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности и сетка линий скольжения Проведен численный анализ задачи о локализации пластических деформаций в пределах шейки одноосно растягиваемого образца в осесимметричной постановке по обобщенной схеме полной пластичности Проведено сравнение с экспериментальными данными, полученными ранее Бриджменом

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Курнышева, Н А Пространственное пластическое течение в среде с анизотропным распределением микроповреждений /НА Курнышева, Ю Н Радаев // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) тез докл — Екатеринбург УрО РАН, 2005 - С 185

2 Радаев, ЮН О гиперболичности связанных уравнений математической теории пластичности /ЮН Радаев, Н А Курнышева // Вестник Самарского государственного университета — Естественнонаучная серия — 2005 — № 6(40) — С 89-112

3 Курнышева, Н А Поле скольжения в теле с анизотропной поврежденностью / Н А Курнышева, Ю Н Радаев / Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике труды Третьей межвузовской научно-практической конференции — Самара Издательство "Самарский университет" — 2006 — С 91-95

4 Курнышева, Н А Математическая модель связанного (пластичность-поврежден-ность) напряженно-деформированного состояния твердых тел /НА Курнышева, Ю Н Радаев //VI Международный научный симпозиум "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела", Тверь 1-3 марта 2006 г тез докл - Тверь ТГТУ, 2006 - С 35-36

5 Курнышева, Н А Механика связанных анизотропных состояний поврежденности / Н А Курнышева // XXXII Гагаринские чтения — Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 т, Москва, 4-8 апреля 2006 г — М МАТИ, 2006 - Т 1 - С 132-133

6 Курнышева, НА Чж ленный анализ плоской и ос есимметричной связанной (плас -тичность-поврежденность) задачи математической теории пластичности /НА Курнышева //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике аннот докл — Т III (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г) — Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета им НИ Лобачевского, 2006 — С 130

7 Курнышева, НА О гиперболичности связанных пространственных кинематических уравнений на ребре призмы Кулона-Треска /НА Курнышева // Вестник Самарского государственного университета — Естественнонаучная серия —

2006 - Кг 6/1(46) - С 157-166

8 Radayev, YN Numerical Analisys of Stram-Damage Coupled Problems Represented by Isostatic Co-ordmate Net / Y N Radayev, N A Kurnysheva / 35th Solid Mechanics Conference (Krakow, September 4-8, 2006) — Volume of Abstracts — P 241-242

9 Радаев, Ю H Плоская связанная задача математической теории пластичности / Ю Н Радаев, Н А Курнышева // Современные проблемы математики, механики, информатики материалы Международной научной конференции — Тула Издательство ТулГУ, 2006 г - С 180-181

10 Курнышева, Н А Связанные пространственные кинематические уравнения на ребре призмы Кулона-Треска /НА Курнышева // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) сб ст в 3 ч Ч 2 — Екатеринбург УрО РАН, 2007 — С 280-283

11 Курнышева, Н А Связанные задачи (пластичность-поврежденность) математической теории пластичности /НА Курнышева // XXXIII Гагаринские чтения —- Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 т, Москва, 3 - 7 апреля 2007 г - М МАТИ, 2007 - Т 1 - С 123-124

12 Радаев, Ю Н Трехмерные уравнения связанной задачи математической теории пластичности /ЮН Радаев, Н А Курнышева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им И А Яковлева — Сер Механика предельного состояния — 2007 — № 1 — С 90-120

13 Радаев, Ю Н Характеристические условия для связанных пространственных кинематических уравнений на ребре призмы Кулона-Треска /ЮН Радаев, Н А Курнышева // Тез докл Международная конференция "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды", Саратов, 27 августа - 1 сентября 2007 г — Саратов Издательство Саратовского государственного университета, 2007 - С 90

Подписано в печать 20 июня 2007 г Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать оперативная Объем 1,25 п л Тираж 100 экз Заказ № ЙОА 443011 г Самара, ул Академика Павлова,1 Отпечатано на УОП СамГУ

Введение

Глава I. Тензорные меры анизотропного состояния поврежденности

1.1. Тензор поврежденности второго ранга.

1.2. Геометрическая модель пространственного поврежденного состояния

1.3. Тензоры поврежденности высоких рангов.

1.4. Вычисление тензора поврежденности по данным экспериментов

1.4.1. Двумерное ориентационное распределение поврежденности в концевой зоне коррозионной трещины

1.4.2. Усталостная микропластическая поврежденность при совместном действии циклического кручения и изгиба

Глава II. Связанные уравнения математической теории пластичности

II. 1. Условие текучести тела с рассеянными микроповреждениями

II.1.1. Эффективные напряжения. Тензор эффективных напряжений

И. 1.2. Обобщенное условие текучести Треска для микроповрежденного тела.

Н.2. Закон накопления повреждений.

11.3. Закон течения тела с рассеянными микроповреждениями

11.3.1. Обобщенный ассоциированный закон течения микроповрежденного тела для грани призмы Треска

11.3.2. Обобщенный ассоциированный закон течения микроповрежденного тела для ребра призмы Треска

11.4. Внутренние параметры поврежденного пластического состояния.

11.5. Уравнения несовместности микроповрежденной среды.

11.6. Формулировка связанных уравнений механики деформируемого тела в изостатической сетке.

И.6.1. Деривационные формулы для ортогональной криволинейной сетки £2, £3.

11.6.2. Уравнения равновесия в криволинейной сетке изостат

11.6.3. Уравнения совместности приращения малых деформаций в криволинейной сетке изостат.

11.6.4. Условие совместности для приращений поворотов

11.6.5. Соотношения Коши в изостатической сетке координат

11.6.6. Условие текучести тела с рассеянными микроповреждениями.

11.6.7. Закон течения тела с рассеянными микроповреждениями

Глава III. Классификация, характеристики и интегрируемые соотношения связанной системы уравнений теории пластичности

111.1. Характеристики связанных уравнений теории пластичности. Условия гиперболичности.

Конус характеристических направлений.

111.2. Характеристические соотношения осесимметричной и плоской связанный задач.

111.2.1. Связанная осесимметричная деформация.

111.2.2. Связанное пластически плоское деформированное состояние.

111.3. Интегрируемые соотношения вдоль изостат (пространственный случай).

Глава IV. Численный анализ связанной плоской и осесимметричной задачи теории пластичности

IV. 1. Конечно-разностная схема решения связанных задач

IV.2. Влияние микроповреждений на напряженное состояние у вершины трещины нормального отрыва (плоская задача).

IV.2.1. Постановка задачи.

IV.2.2. Общая численная схема решения плоской связанной задачи

IV.2.3. Результаты численных расчетов для связанного плоского деформированного состояния.

IV.3. Учет микроповреждений в области шейки при одноосном растяжении образца осесимметричная задача).

IV.3.1. Постановка задачи.

IV.3.2. Общая численная схема решения осесимметричной задачи с неизвестной границей.

IV.3.3. Результаты численных расчетов для связанной осесимметричной задачи (дискообразный вырез в теле)

Пластичность — это свойство твердых тел приобретать необратимые остаточные деформации, не изменяющиеся при постоянных внешних нагрузках. Основные эксперименты по изучению пластических свойств материалов проводятся над металлами, поэтому современная теория пластичности особенно связана со свойствами последних, хотя возможно ее применение к таким материалам, как горные породы, грунты, лед, сыпучие среды и т. д.

Теория пластичности — один из важнейших разделов механики деформируемого твердого тела. Она нашла широкое применение в области технологии обработки металлов давлением, оценки несущей способности конструкций, исследования распространил волн возмущений в металлах и грунтах, статике и динамике сыпучих сред. В основе математической теории пластичности лежит представление о поверхности нагружения (определяющей границу упругого поведения элемента тела в данном его состоянии) и ассоциированном законе течения, выражающем ортогональность приращения пластической деформации поверхности нагружения.

В настоящее время металлы являются единственными пластическими телами, для которых имеется достаточно данных, гарантирующих построение общей теории. В противоположность многим другим пластическим телам наиболее замечательное свойство металла состоит в его способности подвергаться обработке давлением в холодном состоянии. Для мягкого металла при обычных температурах и при надлежащим образом приложенных напряжениях может быть легко получено изменение размеров в двадцать раз, например, путем сжатия или сдвига медного цилиндра. Более сильные местные деформации создаются, когда заготовка металла выдавливается или пробивается.

Начало научного изучения пластичности металлов должно быть по справедливости отнесено к 1864 г. В этом году Треска (H. Tresca) [187] опубликовал предварительные итоги экспериментов по штамповке и выдавливанию, которые привели его к утверждению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения. Критерий течения пластических тел, главным образом грунтов, предложен раньше, например Кулоном (1773 г.). Он был применен Понселе (1840 г.) и Ренкиным (1853 г.) к таким задачам, как вычисление давления земли на подпорные стенки; однако, по-видимому, ранее важных исследований для металлов не было. Условие текучести Треска было применено Сен-Венаном (В. Saint-Venant) [189] для определения напряжений в частично пластичном цилиндре, подверженном кручению или изгибу (1870 г.), и в полностью пластичной трубе, расширяющейся под действием внутреннего давления (1872 г.) (первый шаг к решению для частично пластичной трубы был сделан Тернером в 1909 г.). Сен-Венан установил также систему пяти уравнений, связывающую напряжения и деформации при двумерном течении, и, признавая, что не хватает однозначного соотношения между напряжением и полной пластической деформацией, постулировал, что направления максимальной скорости сдвигающей деформации совпадают в каждый момент времени с направлениями максимального касательного напряжения. В 1871 г. Леви (М. Levy) [59], принимая концепцию Сен-Венана об идеально пластичном материале, предложил соотношения между напряжением и скоростью пластической деформации для пространственного течения.

В 1909 г. Хаар и Карман. (A. Haar, Th. von Karman) выдвинули условие полной пластичности [101], которое, по существу, устанавливает соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска, и оказалось, что соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности являются статически определимыми.

В период между двумя мировыми войнами проблема активно разрабатывалась германскими авторами. В 1920 и 1921 гг. Прандтль показал, что плоская задача пластичности является гиперболической, и вычислил нагрузки, необходимые для вдавливания плоского штампа в плоскую поверхность и усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Генки (Н. Непску) [24], который предложил использовать условие полной пластичности Хаара - Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния, что привело его к статически определимой системе уравнений равновесия, которая оказалась гиперболической. Однако прошло некоторое время, прежде чем были получены уравнения, связывающие изменения скорости течения вдоль линий скольжения (Гейрингер, 1930 г.), при этом они были найдены задолго до того, как была внесена ясность в корректный подход к решению плоских задач (1945 - 1949 гг.).

После 1926 г., когда Лоде измерил деформации труб различных металлов при одновременном растяжении и внутреннем давлении, было показано, что соотношения Леви - Мизеса между напряжениями и деформациями верны в первом приближении. Однако результаты Лоде указывают на определенные отклонения, и они впоследствии были подтверждены более тщательными экспериментами Тейлора и Куинни (1931 г.). Теория была тогда же обобщена в двух важных направлениях: во-первых, Рейсом (1930 г.), который принял во внимание упругую часть деформации, следуя более раннему предложению Прандтля; во-вторых, Шмидтом (1932 г.) и Одкви-стом (1933 г.), которые несколько различными способами показали, каким образом упрочнение может быть введено в систему уравнений Леви - Мизе-са. Первое обобщение было в общих чертах подтверждено экспериментами Хоэнемзер (1931 - 1932 гг.),'а второе - исследованиями Шмидта.

Таким образом, около 1932 г. была создана теория, отображающая главные пластические и упругие свойства изотропного металла при обычных температурах и находящаяся в основном в соответствии с наблюдениями.

Переводы на русский язык трудов основоположников математической теории пластичности помещены в сборник [97], состоящий из 28 статей, принадлежащих перу Сен-Венана, Леви, Мизеса, Прандтля, Генки, Рейсса, Прагера. Эти работы отражают процесс становления и развития математической теории пластичности и дают возможность в подлиннике ознакомиться с ее основными концепциями, методами и результатами, оригинальность и своеобразие которых уже к 1948 г. позволили редактору сборника утверждать: "Эта теория, которую называют теорией пластичности (в узком смысле слова), не может считаться окончательно установленной; однако исследования последних лет выяснили с несомненностью некоторые основные законы, позволяющие считать многие результаты совершенно достоверными."

Считается, что первые работы по теории пластичности в нашей стране появились в 1936 г., которые связываются с именами A.A. Ильюшина и С.А. Христиановича [103].

В послевоенные годы только в изданиях Академии наук было опубликовано свыше двухсот работ, обзор которых дан в [21].

Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок.

Для многих задач, представляющих наибольший практический интерес, вследствие математических трудностей мы вынуждены пренебрегать упругой составляющей деформации. Мы должны также пренебречь чисто упругой деформацией в непластической области. Следовательно, мы имеем дело с материалом, который является жестким, когда он напряжен ниже предела текучести, и модуль Юнга которого имеет бесконечно большое значение. Таким образом возникает модель идеально пластического тела. Распределение напряжений .в идеально пластическом теле близко к распределению напряжений в реальном металле при тех же внешних условиях тогда, когда пластический материал обладает свободой течения в некотором направлении.

Распространение математического аппарата гиперболических уравнений, описывающего плоское течение идеально пластического материала на общий трехмерный случай, явилось предметом целого ряда исследований.

В 1944 г. А.Ю. Ишлинский [46] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода в этой же работе было получено решение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара - Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским [47], который также использовал обобщенный закон пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений.

Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [36,37], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара - Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. Было установлено, что при условии полной пластичности уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности являются статически определимыми и принадлежат к гиперболическому типу. Характеристические направления при этом образуют конус, касающийся площадок максимальных касательных напряжений, построенных в его вершине.

Кинематические соотношения теории идеальной пластичности на ребре призмы Треска были исследованы в 1977 г. Г.И. Быковцевым [14]. Им же были обобщены условия совместности на линиях и поверхностях разрыва и получены лучевые разложения решений на характеристических поверхностях.

Любопытно отметить, что как статические, так и кинематические уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же, как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [52, с. 258-268].

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [1-4], Г.И. Быковцевым [14-17,43], М.А. Задояном [35], Д.Д. Ивлевым [36-44], A.A. Ильюшиным, А.Ю. Иш-линским [46-49], JI.M. Качановым [50,52], В.Д. Клюшниковым [54,55], Ю.Н. Работновым [84], БД Соколовским [94,95], JI.A. Толоконниковым [98], С.А. Христиановичем [103], Е.И. Шемякиным [104].

Стремительный рост производительности современной вычислительной техники привел к развитию численных методов решения задач математической теории пластичности [109,139,159].

Механика разрушения ветвь механики деформируемого твердого тела, которая изучает закономерности нарушения сплошности твердых тел.

Под разрушением в механике деформируемого твердого тела понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения. Разрушение обычно развивается параллельно с упругой или пластической деформацией твердого тела или в условиях ползучести. Различают две формы разрушения: скрытое разрушение — зарождение и развитие микродефектов, рассеянных по объему тела, и полное разрушение — разделение тела на части. Кроме того, различают несколько видов разрушения в зависимости от того, какие из свойств тела играют определяющую роль в наблюдаемом процессе разрушения: хрупкое (без заметных пластических деформаций)1, пластическое (вязкое)2, усталостное3

1При хрупком разрушении деформации тела обратимы вплоть до его разрушения. Образовавшиеся в результате хрупкого разрушения части тела обычно можно сложить, восстановив исходное тело. Этот вид разрушения характеризуется значительными необратимыми деформациями тела, приводящими к существенному искажению его геометрии и исчерпанию его несущей способности.

2При пластическом разрушении величина упругих деформаций тела обычно пренебрежимо мала.

3Усталостное разрушение — финальная стадия процесса развития дефектов, сопровождающего цики длительное4.

Исследование скрытого разрушения в настоящее время уже не является предметом механики разрушения, а осуществляется с помощью методов и теорий только что сложившейся новой науки — механики поврежденности. Поврежденность, следуя [156], трактуется как сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади составляющих его элементов, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещины — в упругости, дислокации — в пластичности, микропоры — при ползучести, поверхностные микротрещины — при усталости).

Основная область приложения механики деформируемого твердого тела - оценка прочности элементов конструкций. Под прочностью обычно понимают свойство тела в определенных условиях и пределах, не разрушаясь, сопротивляться воздействиям со стороны внешнего окружения (термическим, силовым, электромагнитным, химическим).

Механика разрушения, механика поврежденности и теории прочности в комплексе образуют науку, которая призвана решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела. Известно несколько видов нарушения прочности, это — потеря устойчивости, чрезмерная деформация, усталость, износ, негативное воздействие внешней среды и пр.

Экспериментальное определение прочности по моменту разрыва образцов целенаправленно стали проводить в XIX веке в связи с ростом технического прогресса. Понимание того, что разрушение — это процесс, текущий лическое пластическое деформирование тела.

4Длительное разрушение является результатом прогрессивного накопления внутренних повреждений, разупрочнения и характерно для металлов в условиях ползучести. во времени, пришло не сразу и не сразу была осознана необходимость его изучения, ссылаясь на то, что этот процесс нельзя допускать и что для этого существует система коэффициентов запаса прочности. Строение излома, особенно после работ Веллера, изучавшего явление усталости, явно указывало на протяженность разрушения во времени [32,100].

В 1907 году появилось решение К. Вигхардта плоской задачи в действительных переменных о нагружении упругой плоскости с острым угловым вырезом [193]. Были получены асимптотические формулы для напряженно-деформированного состояния в окрестности конца выреза. Практически результат этого обсуждения вылился в критерий разрушения, устраняющий появляющуюся бесконечность напряжения посредством его осреднения на некотором пространственном отрезке перед острой кромкой выреза с последующим сопоставлением полученного осредненного напряжения с характеристикой прочности ненадрезанного материала. Позднее эта идея неоднократно переоткрывалась рядом авторов, в частности Г. Нейбером и В.В. Новожиловым [69,71,72,165]. Привлекли внимание научной общественности только работы A.A. Гриффитса, появившиеся в 1920 и 1924 годах [126-128]. В этих работах развивался энергетический критерий разрушения на основе первого закона термодинамики — энергия, необходимая на создание новой поверхности тела (трещины), черпается из энергии деформации напряженного тела. Им была исследована прочность плоскости при двухосном напряженном состоянии с большим числом, правда невзаимодействующих, трещин. Получена предельная огибающая в пространстве главных напряжений для расчета разрушающих напряжений при разных длинах трещин. Эти работы стали востребованными после дополнения 1947 г. И.Л. Шимелевичем, Е. Орованом и Дж.Р. Ирвиным поверхностного натяжения твердого тела работой пластической деформации у вершины трещины [138,168]. Полагалось, что поскольку удельная работа пластической деформации у вершины трещины много больше поверхностного натяжения (удельной поверхностной энергии), то последней пренебрегали. Затем выяснилось, что удельная работа пластической деформации (вязкость разрушения) является функцией удельной поверхностной энергии, что позволило учесть эффекты окружающей среды [120]. Однако задолго до этого в 1920-х годах А.Ф. Иоффе показал, что удаление поверхностных слоев существенно повышает прочность кристалла, приближая ее к теоретической [45]. Этим была продемонстрирована роль поверхностных трещин в инициировании хрупкого разрушения, происходящего в результате последующего роста трещин, разделяющих тело на части. Он же обосновал понятие критической температуры хрупкости, отделяющей на температурной шкале области хрупкого и вязкого разрушения, понятие, которое до практической реализации довел H.H. Давиденков [28,29]. Несколько позднее И.В. Обреимов показал возможность использования энергетического критерия Гриффитса для определения параметров разрушения при отщеплении клином тонкого слоя с поверхности кристалла слюды, что привело к способу определения поверхностной энергии твердого тела [166].

Работами А.К. Дымова, а затем H.H. Давиденкова и Я.Б. Фридмана была показана зависимость вида разрушения от напряженного состояния [29,31,100].

Появление теории дислокаций в 30-х годах объяснило физические причины не только пластического деформирования, но и разрушения.

В 40-х годах P.A. Заком получено решение на основе концепции Гриффитса о критическом состоянии пространства с дисковидной трещиной

179]. Несколько позднее И.H. Снеддон получил асимптотическое решение о напряженно-деформированном состоянии в ближайшей окрестности фронта трещины [184]. Примерно в это же время Н.Ф. Мотт на основе баланса энергий получил формулу для скорости роста трещины в закрити-ческой стадии после достижения растягивающей нагрузкой критического значения по Гриффитсу [161]. В начале 50-х годов Е.Х. Иоффе получила распределение напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, движущейся с заданной скоростью [196]. Пятидесятые годы и начало шестидесятых характерны появлением обозримого числа работ Я.И. Френкеля, Ф.К. Рослера, X. Шардина, Грегса, Дж.П. Берри, К.Б. Броберг, А.К. Хеда, [99,110,113,134,178,180], посвященных принципиальным вопросам механики разрушения. Критериальное условие Ф.А. Мак-клинтока состояло в предположении, что рост трещины начинается при достижении деформацией крйтического значения на некотором расстоянии перед вершиной трещины [158]. В 1957 году M.JL Вильяме решил задачу, аналогичную задаче Вигхарда [195]. В 1958 году Ирвин использовал коэффициент при корневой особенности напряженного состояния у вершины трещины в качестве критериальной величины (силовой критерий разрушения) и одновременно показал эквивалентность силового и энергетического критериев [138]. После этих работ Ирвина стало возможным говорить о постепенном внедрении положений механики разрушения. Примерно в эти же годы появились работы М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, П.М. Вит-вицкого, С.Я. Яремы, посвященные деформационному критерию разрушения [22,60,67,77,78].

Введено предположение, что рост раскрытой щели наступит, если расстояние между противоположными точками на берегах щели на границе области действия межатомных сил достигает предельной величины. Эта схема математически аналогична предположению о наличии тонкой пластической зоны вместо области действия межатомных сил. Та же задача была решена Д.С. Дагдейлом и A.A. Уэллсом [123,194]. Вообще, все критерии, построенные на величинах, относящихся к малой окрестности вершины трещины, неизбежно сводятся к критерию Ирвина [75].

В это же время появились основополагающие работы JI.M. Качано-ва [51] и Ю.Н. Работнова [82] по механике поврежденного континуума. Ценность этих первых работ, признанных ныне классическими, заключается в возможности применения единой схемы представления поврежден-ности для описания поврежденности в упругих и упругопластических телах, а также ее развития в условиях ползучести. Сущность нового подхода заключалась в использовании новой переменной — параметра поврежденности, отражающей присутствие в теле поврежденности (или различных видов повреждений). Последующее развитие теории происходило, в частности, по пути обобщения основных положений механики поврежденного контину-ума для случая трехмерного состояния анизотропной поврежденности [111,119,136,140,141,143,148,162-164,181].

Согласно сложившейся традиции, основополагающими для континуальной механики поврежденности следует считать известные статьи JI.M. Ка-чанова [51] и Ю.Н. Работнова [82]. Вклад JI.M. Качанова в механику поврежденности выразился в большом количестве работ, посвященных в основном описанию поврежденности и кинетики ее развития в условиях ползучести и подытоженных в монографии [140]. Важное место в научном творчестве Ю.Н. Работнова занимают проблемы моделирования и расчета поврежденности и длительной прочности элементов конструкций в условиях ползучести, при циклическом нагружении и под влиянием агрессивной внешней среды. Значительный вклад в конкретизацию определяющих зависимостей теории ползучести и длительной прочности, включающих скалярную меру поврежденности, принадлежит С.А. Шестерикову [105,106].

Учет поврежденности и микронеодродности напряженно-деформированного состояния металлов при пластическом течении был выполнен В.В. Новожиловым в цикле оригинальных работ (см. сборник его научных трудов [74]). Исторический аспект проблемы, основные идеи, методы и результаты феноменологического подхода к описанию поврежденности и разрушения твердых тел подытожены в докладе [73].

Влияние поврежденности на развитие трещин и моделирование пред-разрушения и задержки разрушения рассматривались A.A. Вакуленко и Н.Ф. Морозовым [18,19].

С середины 60-х годов появляются работы, посвященные изучению поведения трещин с помощью конфигурационной силы, введенной Эшелби в 1951 году и влияющей на особенность упругого поля [107]. Соответствующее выражение имеет вид интеграла, взятого по контуру, проведенному вокруг вершины трещины, названного впоследствии интегралом Черепанова-Раиса. Причем он инвариантен по отношению к форме и размерам контура. Кроме того, этот интеграл является коэффициентом при особенности полей напряжений и деформаций в упругопластической области у вершины трещины. Это обстоятельство позволило использовать его в качестве критериальной величины в записи критерия разрушения. Плодотворность этого аппарата выразилась в возможности решения разнообразного круга задач и в применении к оценке свойств трещиностойкости материалов.

Получали развитие работы по изучению кинетических аспектов роста трещин в телах разной реологии [9,10,13,33,34,93,96].

В конце 70-х годов были предложены первые теоретические модели роста трещин в металлах в условиях ползучести с явным учетом деградации прочностных свойств металла. Моделирование основывалось на предположении, что рост трещины происходит в том случае, если некоторая мера поврежденности достигает своего критического значения на некотором расстоянии от вершины трещины. В [5,145] при моделировании роста трещин использовался скалярный параметр поврежденности Качанова-Работнова. В [175] параметр поврежденности связывался с величиной пористости материала и предполагалось, что процесс накопления повреждений обусловлен совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста пор в условиях высокотемпературной ползучести. В [118] в качестве меры поврежденности материала принималась величина интенсивности накопленных деформаций ползучести. Модель, описывающая рост трещин в условиях ползучести, в более общей постановке была предложена в [6]. В рамках этой модели предполагалось, что величина критической поврежденности материала не является постоянной, зависит от уровня напряжений и убывает при возрастании интенсивности напряжений.

Асимптотическое решение для поля напряжений у вершины трещины в упрочняющейся среде, формально пригодное и для случая установившейся ползучести, было исследовано в работах [137,174]. В работе [177] проанализировано перераспределение напряжений, вызванное влиянием упругих деформаций, для случая неподвижной трещины. В условиях ползучести происходит перераспределение напряжений у вершины подрастающей трещины. Новый тип сингулярности поля напряжений для растущей в условиях ползучести трещины был определен в [135].

Однако наиболее существенное влияние на перераспределение напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины, несомненно, оказывает величина накопленной поврежденности. Первые теоретические модели, учитывающие процесс накопления рассеянных повреждений, основывались на несвязанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. В несвязанной постановке накопленная поврежденность определялась посредством интегрирования кинетического уравнения после определения поля напряжений. Таким образом, величина накопленной поврежденности не влияет на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины. Немногочисленные работы [132,133] были посвящены конечноэлементному анализу процесса роста трещины в условиях ползучести на основе связанной постановки задачи теории ползучести с поврежденностью, предложенной впервые Ю.Н. Работновым [83].

В связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности параметр поврежденности входит в определяющие соотношения задачи и, следовательно, влияет на напряженно-деформированное состояние.

Проблема моделирования роста трещин в связанной постановке представляет собой одну из важных задач механики деформируемого твердого тела, и к настоящему времени предприняты попытки рассмотреть распространение трещины в связанной постановке. Так, в [7] дано решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в среде с поврежденностью в связанной постановке. Исследование показало, что у вершины трещины отсутствует характерное для теории трещин сингулярное поле напряжений: эффективные напряжения ограничены, сами напряжения и сплошность линейно падают до нуля, к свободным от нагрузок берегам трещины вблизи ее вершины примыкают области полностью разрушенного материала, в которых все напряжения и сплошность равны нулю.

В [8] рассмотрена задача о растущей в процессе ползучести трещины нормального отрыва в среде с поврежденностью. Результаты показывают, что к берегам растущей трещины примыкает область полностью поврежденного материала. Такое поле напряжений принципиально отличается от соответствующего сингулярного поля напряжений в несвязанной постановке задачи.

В [197] изучен усталостный рост трещины в среде с поврежденностью. Установлено, что принципиально невозможно удовлетворить граничным условиям на берегах трещины, что в свою очередь приводит к необходимости модификации постановки задачи: введения области, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность равны нулю.

Наряду с построением асимптотик полей напряжений и сплошности в окрестности вершины прорастающей трещины, как это было сделано в работах [7,8,197], в [176] введены автомодельные переменные для задачи о росте трещины в среде с поврежденностью. Однако полное решение данной задачи к настоящему времени отсутствует.

Параллельно развиваются методы оценки трещиностойкости на стадии распространения трещины при циклическом нагружении [65,108]. Повсеместное распространение находит степенная зависимость П. Р. Париса для скорости роста трещины в функции размаха коэффициента интенсивности напряжений.

Разработка основ классической механики разрушения и появление прикладных задач, связанных с созданием сложных технических систем в атомной энергетике, ракетно-космическом комплексе, нефте газо химии, привели к формированию новых направлений исследований в механике трещин, к которым можно отнести коррозионно-механическое разрушение, механику катастрофических разрушений, механику контактного разрушения, микроструктурную механику разрушения, аналитическое и численное моделирование распространения трещин при наличии связанных физико-механических полей и многие другие.

Практическая потребность в расчетах прочности на основе положений механики разрушения стимулировала разработку методических нормативных (руководящих) документов, регламентирующих методы и средства измерения характеристик трещиностойкости в разных условиях нагруже-ния [26,64-66]. В настоящее время практически ни один проект, ни одно сопровождение эксплуатации сложных технических систем, ни одна экспертиза аварийных ситуаций не обходятся без применения аппарата механики разрушения.

Целью работы является моделирование напряженно-деформированного состояния пластических тел с рассеянным полем микроповреждений, что является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, особенно в применении к выяснению вопросов распространения трещин. Обобщение понятия поля скольжения на случай связанных состояний. Расчет влияния рассеянного поля микроповреждений на распределение напряжений в теле с помощью связанной краевой задачи (пластичность-поврежденность) составляет основу работы, а также развитие численных методов расчета поля напряжений и поврежденности, позволяющих найти решения плоской и осесимметричной связанных (пластичность-поврежден-ность) задач математической теории пластичности, описываемых гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Актуальность темы заключается в следующем:

Теория связанных (пластичность-поврежденность) задач имеет важные приложения во многих областях техники (оценка прочности и несущей способности конструкций, обработка металлов), в геофизике и геологии. Моделирование напряженно-деформированного состояния пластических тел с рассеянным полем микроповреждений, является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, особенно в применении к выяснению вопросов устойчивого состояния и распространения трещин. Данная тематика актуальна в плане совершенствования расчетов на прочность элементов конструкций. Теоретические рассмотрения и экспериментальные данные свидетельствуют о существенном влиянии рассеянного поля микроповреждений, локализованных в зонах пластического течения у концентраторов напряжений (трещины, вырезы и другие дефекты), на распределение напряжений в теле. Решение связанной плоской и осесиммет-ричной задачи механики деформируемых тел имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. В связи с этим тематика работы, несомненно, является актуальной. Связанная постановка позволяет учесть искажение пластического течения анизотропным полем микроповреждений и одновременно возрастание повреждений в процессе накопления пластических деформаций. Актуальным представляется также учет анизотропии распределения поврежденности в основных уравнениях математической теории пластичности.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

Рассмотрены вопросы математического представления анизотропного состояния поврежденности. В рамках математической модели поврежденность представляется тензором поврежденности. Тензорная мера анизотропной поврежденности является мерой сокращения, вследствие распределения микроповреждений, реально несущей нагрузку площади двумерного элемента тела в зависимости от его ориентации. Тензорная мера анизотропной поврежденности вводится как симметричный тензор второго ранга, который имеет три взаимно ортогональных главных направления (главные оси поврежденности) и три соответствующих собственных значения (главные поврежденности). Считается, что ортонормированный базис тензора поврежденности ориентирован точно так же, как и базис из собственных векторов тензора напряжений.

Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений, которая оказывается наиболее удобной для представления и анализа уравнений связанной задачи. Обобщено ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний, получены уравнения для характеристик связанных задач. Найдены соотношения, интегрируемые вдоль линий главных напряжений. Показано, что система основных соотношений связанных (пластичность-поврежденность) задач относится к гиперболическому типу.

Разработан численный метод расчета главных напряжений, поврежденности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза одноосно растягиваемого образца с учетом анизотропного распределения микроповреждений. Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растягиваемого образца в плоской постановке с учетом накопления анизотропной поврежденности и о локализации пластических деформаций и повреждений в пределах шейки одноосно растягиваемого образца по обобщенной схеме полной пластичности. Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности, сетка линий скольжения и найдена предельная растягивающая нагрузка.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории пластичности и теории поврежденности, применением классических методов механики сплошных сред, достаточно хорошим качественным и количественным согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными по геометрии изостатических траекторий.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопластических тел, применяемых в инженерной практике при оценке жесткости и устойчивости элементов конструкций.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение

1. Разработан алгоритм построения тензорных мер анизотропной повреж-денности, исходя из распределения по ориентациям микродефектов в пространстве. Алгоритм позволяет вывести тензор поврежденно-сти заданного четного ранга непосредственно из известного или полученного экспериментально распределения поврежденности по ориентациям. Методы и результаты, приведенные в работе, могут быть применены к анализу любой физической величины, непрерывно или кусочно-непрерывно распределенной по ориентациям.

2. Дана геометрическая и механическая интерпретация собственных элементов (главных направлений и спектра поврежденности) тензора поврежденности. Понятие о спектре трехмерной анизотропной поврежденности распространено вплоть до бесконечного (счетного) дискретного спектра.

3. Рассмотрено жесткопластическое тело, подчиняющееся обобщенному критерию текучести Треска, с рассеянным анизотропным полем повреждений. Поврежденность представляется симметричным тензором поврежденности второго ранга, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений. Предложена математическая модель связанного (пластичность-поврежденность) состояния, которая базируется на уравнениях, включающих уравнения равновесия, обобщенное условие пластичности, уравнение несовместности приращений пластических деформаций, соотношения обобщенного ассоциированного закона течения с учетом повреждений, а также уравнения, определяющие изменение главных поврежденностей в зависимости от приращений деформаций. Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе.

4. Проанализирована замкнутая система трехмерных кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений. Показано, что система основных трехмерных кинематических соотношений является правильно определенной и принадлежит к гиперболическому типу. Обобщено понятие характеристического конуса Д.Д. Ивлева на случай связанных пространственных состояний.

5. Показано, что система основных соотношений в случаях плоского и осесимметричного связанного состояния относится к гиперболическому типу, что позволяет обобщить ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний. Вычислен наклон линий скольжения в среде с анизотропным распределением микроповреждений.

6. Предложен численный метод расчета главных напряжений, поврежденности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза. Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растягиваемого образца в постановке плоского деформированного состояния с учетом накопления анизотропной поврежденности. Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности и сетка линий скольжения. Проведен численный анализ задачи о локализации пластических деформаций в пределах шейки одноосно растягиваемого образца в осесимметрич-ной постановке по обобщенной схеме полной пластичности. Проведено сравнение с экспериментальными данными, полученными ранее Бриджменом.

1. Аннин, Б.Д. Одно точное решение осесимметричной задачи идеальной пластичности / Б.Д. Аннин // Прикл. мех. и техн. физика. — 1973. - т. - С. 171-172.

2. Аннин, Б.Д. Групповые свойства и точные решения уравнений пластичности Мизеса и Треска / Б.Д. Аннин // Теоретична и прилож-на механика: труды IV конгресса. — Кн. 1. — София: БАН, 1981. — С. 644-649.

3. Аннин, Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д. Аннин, В.О. Бытев, С.И. Сенатов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. 143 с.

4. Аннин, Б.Д. Упруго пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. — Новосибирск: Наука, 1983. — 240 с.

5. Астафьев, В. И. О росте трещин при ползучести с учетом пластической зоны вблизи вершины трещины / В. И. Астафьев // ПМТФ. — 1979. №6. - С. 154-158.

6. Астафьев, В. И. Закономерности подрастания трещин в условиях ползучести / В. И. Астафьев // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. — 1986. №1. - С. 127-134.

7. Астафьев, В. И. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести / В. И. Астафьев, Т. В. Григорова , В. А. Пастухов // ФХММ. 1992. - Т. 28. - №1. - С. 5-11.

8. Астафьев, В. И. Распределение напряжений и поврежденности у вершины растущей в процессе ползучести трещины / В. И. Астафьев,

9. Т. В. Григорова // Изв. РАН. — Мех. тверд, тела. — 1995. — №3. — С. 160-166.

10. Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения / В. И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, JI.B. Степанова. — Самара: Издательство "Самарский университет", 2001. — 632 с.

11. Бартенев, P.M. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии / P.M. Бартенев, Д. Шерматов, А.Г. Бартенева // Высокомолекулярные соединения. — 1998. V. А40. - №9. - С. 1465-1473.

12. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / B.JI. Бердичевский. — М.: Наука, 1983. — 448 с.

13. Блох, В.И. Теория упругости / В.И. Блох. — Харьков: Издательство Харьковского университета, 1964. — 484 с.

14. Болотин, В.В. О распространении усталостных трещин в линейных вязкоупругих средах / В.В. Болотин // Изв. АН. — Механика твердого тела. 1998. - №. - С. 117-127.

15. Быковцев, Г.И. Свойства уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности / Г.И. Быковцев, И.А. Власова // Механика деформируемых сред: межвуз. сб. — Куйбышев: Куйбышевский гос. университет, 1977. Вып. 2. - С. 33-68.

16. Быковцев, Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 528 с.

17. Быковцев, Г.И. К теории осесимметричного состояния идеально пластического материала / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев, Т.Н. Мартынова // Прикл. мех. и техн. физика. — 1963. — №5. — С. 102-108.167

18. Быковдев, Г.И. О свойствах общих уравнений теории идеальной пластичности при кусочно-линейных потенциалах / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев, Т.Н. Мартынова // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. 1965. - №1.

19. Вакуленко, А. А. Определение скорости распространения трещин / A.A. Вакуленко, Н. Ф. Морозов , А. В. Проскура // ФХММ. —1993. — Вып. 3. С. 137-140.

20. Вакуленко, А. А. Расчет времени задержки разрушения / A.A. Вакуленко, Н. Ф. Морозов-, А. В. Проскура // Исследования по упругости и пластичности. Механика разрушения. Теория и эксперимент. — 1995. №17. - С. 19-22.

21. Вакуленко, A.A. Континуальная модель среды с трещинами / A.A. Вакуленко, M.JI. Качанов // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. — 1971. №4. - С. 159-166.

22. Вакуленко, A.A. Теория пластичности / A.A. Вакуленко, M.JI. Качанов // Механика в СССР за 50 лет. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1972.

23. Витвицкий, П.М. О разрушении пластинок со щелью / П.М. Витвиц-кий, М.Я. Леонов // Прикладная механика. — 1961. — №5.

24. Волков, С.Д. Проблема прочности и механика разрушения / С.Д. Волков // Проблемы прочности. — 1978. — №7. — С. 3-12.

25. Генки, Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки // Теория пластичности: сб. ст. — М.: Гос. издательство иностр. литературы, 1948. — С. 80-101.168

26. Гиббс, Дж. В. Термодинамика. Статическая механика / Дж.В. Гиббс. М.: Наука, 1982. - 584 с.

27. ГОСТ 25.506-85. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении. — М.: Издательство стандартов, 1985. — 61 с.

28. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Дж. Адкинс. — М.: Мир, 1965. — 456 с.

29. Давиденков, H.H. Динамические испытания маталлов / H.H. Дави-денков. 2-е изд. - М.: ОНТИ, 1936. - 395 с.

30. Давиденков, H.H. Проблема удара в металловедении / H.H. Давиденков. М.; Л.: Издательство АН СССР. ОТН, 1938. - 116 с.

31. Давиденков, H.H. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца / H.H. Давиденков, Н.И. Спиридонова // Заводская лаборатория. 1945. - Т. XI. - С. 583-593.

32. Дымов, А.К. Сопротивление материалов / А.К. Дымов. — 1933.

33. Екобори, Т. Научные основы прочности и разрушения материалов / Т. Екобори; Пер. с японского. — Киев: Наукова думка, 1978. — 352 с.

34. Журков, С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел / С.Н. Журков // Вестник АН СССР. 1968. - №3. - С. 496-527.

35. Журков, С.Н. Кинетические концепции прочности твердых тел / С.Н. Журков // Изв. АН СССР. — Неорганические материалы. — 1967. Т.З. - №10. - С. 1767-1771.

36. Задоян, М.А. Пространственные задачи теории пластичности / М.А. Задоян. М.: Наука, 1992. - 382 с.169

37. Ивлев, Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред / Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика. — 1958. Т. 22. - Вып. 1. - С. 90-96.

38. Ивлев, Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях / Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 124. - №3. - С. 546-549.

39. Ивлев, Д.Д. Об одном частном решении общих уравнений теории идеальной пластичности в цилиндрических координатах при условии пластичности Треска / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. — ОТН мех. и машиностроения. — 1959. — №1. С. 132-133.

40. Ивлев, Д.Д. К теории осесимметричного напряженного состояния при условии пластичности Треска / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. — ОТН мех. и машиностроения. — 1959. — №6. — С. 112-114.

41. Ивлев, Д.Д. О вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство / Д.Д. Ивлев // Прикл. мех. и техн. физика. — 1960. Ш. - С. 75-78.

42. Ивлев, Д.Д: Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. — М.: Наука, 1966. 232 с.

43. Ивлев, Д.Д. Механика пластических сред: в 2 т. Т. I. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. — М.: Физматлит, 2001. — 448 с.

44. Ивлев, Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев. М.: Наука, 1971. - 231 с.

45. Ивлев, Д.Д. Об условии полной пластичности для осесимметричного состояния / Д.Д. Ивлев, Т.Н. Мартынова // Прикл. мех. и техн. физика. 1963. - №3. - С. 102-104.170

46. Иоффе, А.Ф.Деформация и прочность кристаллов / А.Ф. Иоффе, М.В. Кирпичева, М.А. Левитская // Журнал русского физико-химического общества. — Часть физическая. — 1924. — Вып. 56. — С. 489-503.

47. Ишлинский, А.Ю. Осёсимметрическая задача пластичности и проба Бринелля / А.Ю. Ишлинский // Прикл. матем. и механика. —1944. — Т. 8.-Вып. З.-С. 201-224.

48. Ишлинский, А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости / А.Ю. Ишлинский // Уч. зап. МГУ. Механика. — 1946. — Вып. 117. С. 90-108.

49. Ишлинский, А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел / А.Ю. Ишлинский. — М.: Наука, 1986. 360 с.

50. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.

51. Качанов, Л.М. Вариационные принципы для упругопластических сред / JI.M. Качанов // Прикл. мат. и мех. — 1942. — Т.6. — Вып.2-3. С. 187-196.

52. Качанов, Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести / Л.М. Качанов // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. - №8. - С. 26-31.

53. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. — М.: Наука, 1969. 420 с.

54. Кинематика разрушения листовой аустенитной стали на заключительной стадии деформирования / A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов,

55. О.И. Марусий и др. // Проблемы прочности. — 1989. — №3. — С. 16-21.

56. Клюшников, В.Д: Математическая теория пластичности / В.Д. Клюшников. — М.: Издательство МГУ, 1979. — 207 с.

57. Клюшников, В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности / В.Д. Клюшников. — М.: Издательство Московского университета, 1994. — 189 с.

58. Коллатц, Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений / Л. Коллатц. — М.: Издательство иностр. литературы, 1953. — 460 с.

59. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М.: Издательство иностр. литературы, 1964. — 830 с.

60. Ландау, Л.Д. Статическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Наука, 1976. 584 с.

61. Леви, М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости / М. Леви // Теория пластичности: сб. ст. — М.: Гос. издательство иностр. литературы, 1948. — С. 20-23.

62. Леонов, М.Я. Механика деформаций и разрушения / М.Я. Леонов. — Фрунзе: Илим, 1981. — 236 с.

63. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. — М.: Гостехтеоретиздат, 1955. — 492 с.

64. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

65. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1980. 512 с.

66. Методика определения допускаемых дефектов в металле оборудования и трубопроводов во время эксплуатации АЭС. — М-02-91.— М., 1991.

67. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости при циклическом нагружении: метод, указания. М.: ИМАШ РАН, 1993. - 53 с.

68. Механика катастроф. Определение характеристик трещиностойкости конструкционных материалов: метод, рекомендации. — М.: ФЦНТП ПП "Безопасность", МИБ СТС, Ассоциация КОДАС. Т. 1. 1995. -360 с; Т. 2. - 2001. - 254 с.

69. Мураками, С. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности / С. Мураками, Ю.Н. Радаев // Изв. РАН. — Мех. тверд, тела. 1996. - №4. - С. 93-110.

70. Нейбер, Г. Концентрация напряжений / Г. Нейбер; пер. с нем.; под ред. А.И. Лурье. — М.: Гостехиздат, 1947. — 204 с.

71. Никитин, JI.В. Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему" участку диаграммы / J1.B. Никитин, Е.И. Ры-жак // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - №2. - С. 155-161.

72. Новожилов, В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В. В. Новожилов // Прикл. матем. и мех. — 1969. — Т.ЗЗ. т. - С. 212-222.

73. Новожилов, В. В. К основам теории равновесных трещин в хрупких телах / В. В. Новожилов // Прикл. матем. и мех. — 1969. — Т.ЗЗ. — №5. С. 797-812.

74. Новожилов, В. В. О перспективах феноменологического подхода к проблеме разрушения / В. В. Новожилов // Механика деформируемых тел и конструкций. — М.: Машиностроение, 1975. — С. 349-359.

75. Новожилов, В. В. Вопросы механики сплошной среды / В. В. Новожилов. — Л.: Судостроение, 1989. — 400 с.

76. Об условии в конце трещины / Л.А. Галин, Я.В. Фридман, Г.П. Черепанов, Е.М. Морозов, В.З. Партон // Докл. АН СССР. 1969. -Т. 187. - №4. - С. 754-757.

77. Онат, Е. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца / Е. Онат, В. Прагер // Механика. Сб. переводов. М.: Издательство АН СССР, 1955. - №4(32). - С. 93-97.

78. Панасюк, В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / В.В. Панасюк. — Киев: Наукова думка, 1968. — 246 с.

79. Панасюк, В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов / В.В. Панасюк. — Киев: Наукова думка, 1990. — 545 с.174

80. Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. — М.; JL: Обо-ронгиз, 1939. 640 с.

81. Поздеев, A.A. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения / A.A. Поздеев, П.В. Трусов, Ю.И. Няшин. — М.: Наука, 1986. 232 с.

82. Положий, Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. — М.: Высш. школа, 1964. — 560 с.

83. Работнов, Ю. Н. О механизме длительного разрушения / Ю. Н. Ра-ботнов // Вопросы прочности материалов и конструкций. — М.: Издательство АН СССР, 1959. С. 5-7.

84. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1966. - 752 с.

85. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

86. Радаев, Ю.Н. Предельное состояние шейки произвольного очертания в жесткопластическом теле / Ю.Н. Радаев //Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. 1988. - №6. - С. 69-75.

87. Радаев, Ю.Н. Теория конечных деформаций сплошных сред / Ю.Н. Радаев. — Самара: Издательство Самарского гос. университета, 1997. 103 с.

88. Радаев, Ю.Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос. университета. — 1998. — №2(8). — С. 79-105.

89. Радаев, Ю.Н. Континуальные модели поврежденности твердых тел: дис. . д-ра физ.-мат. наук / Ю.Н. Радаев / — М., 1999. — 380 с.175

90. Радаев, Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос. университета. — 1999. — №4(14). — С. 70-93.

91. Радаев, Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности / Ю.Н. Радаев // Изв. РАН. — Мех. тверд, тела. 2000. — №5. - С. 27-45.

92. Радаев, Ю.Н. Об одном численном методе решения осесимметричной задачи теории пластичности / Ю.Н. Радаев, Ю.Н. Бахарева // Вестник Самарского гос. университета. — 2004. — Второй спец. выпуск. — С. 52-64.

93. Радаев, Ю.Н. О гиперболичности связанных уравнений математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, H.A. Курнышева // Вестник Самарского гос. университета. — 2005. — №6(40). — С. 89-112.

94. Регель, Н.Б. Кинетическая природа прочности твердых тел / Н.Б. Ре-гель, А.П. Слуцкер, Э.Е. Томашевский. — М.: Наука, 1974. — 560 с.

95. Соколовский, В.В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками /В.В. Соколовский // Прикл. мат. и мех. 1950. - Т. 14. - Вып. 1. - С. 75-92.

96. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.

97. Тамуж, В.Г. Микромеханика разрушения полимерных материалов / В.Г. Тамуж, B.C. Куксенко. Рига: Зинатне, 1978. - 294 с.

98. Теория пластичности: сб. ст. / под ред. Ю.Н. Работнов. — М.: Издательство иностр. литературы, 1948. — 452 с.176

99. Толоконников, JI.А. Механика деформируемого твердого тела / Л.А. Толоконников. — М.: Высшая школа, 1979. — 318 с.

100. Френкель, Я.И. Введение в теорию металлов / Я.И. Френкель. — М.: ГИТТЛ, 1950.

101. Фридман, Б.Я. Механические свойства материалов: в 2 т. / Б.Я. Фридман. — М.: Машиностроение, 1974. — Т. 1. — 472 е.; Т. 2. — 368 с.

102. Хаар, А. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности: сб. ст. — М.: Гос. издательство иностр. литературы, 1948. — С. 41-56.

103. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. — М.: Го-стехиздат, 1956. — 480 с.

104. Христианович, С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре / С.А. Христианович. // Мат. сб. Новая серия. — 1936. — Т. 1. — Вып. 4. С. 511-534.

105. Христианович, С.А. К теории идеальной пластичности / С.А. Христианович, Е.И. Шемякин // Инж. ж. — Мех. тверд, тела. — 1967. — №4. С. 86-97.

106. Шестериков, С. А. Конкретизация уравнений состояния в теории ползучести / С. А. Шестериков, М. А. Юмашева // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. 1984. - №3. - С. 126-141.

107. Эшелби, Дэю. Континуальная теория дислокаций / Дэю Эшелби; пер. с англ.; под ред. Б.Я. Любова. — М.: Иностр. лит., 1963. — 247 с.

108. Ярема, С.Я. Об основах и некоторых проблемах механики усталостного разрушения / С.Я. Ярема // Физико-химическая механика материалов. 1987. - №5. - С. 17-29.

109. Armen, Н. Assumptions, models, and computational methods for plasticity / H. Armen // Computer-Aided design. — 1979. — V. 11. — Issue 6. P. 161-174.

110. Berry, J.P. Some kinetic consideration of the Griffith criterion for fracture. Pt. I, II / J.P. Berry //J. Mech. and Phys. Solids. I960. - V. 8. -No. 3. - P. 194-216.

111. Betten, J. Damage tensors in continuum mechanics / J. Betten // J. de Mecanique The orique et Appliquee. -1983. V. 2. - No. 1. - P. 13-32.

112. Betten, J. Applications of tensor factions in continuum damage mechanics / J. Betten // Int. J. Damage Mechanics. — 1992. — V. 1. — No. 1. P. 47-59.

113. Broberg, K.B. The propagation of a brittle crack / K.B. Broberg // Arkiv for Fysik. I960. - Bd. 18. - H. 10. - P. 159-192.

114. Chaboche, J.L. Continuum damage mechanics: Part I — General concepts / J.L. Chaboche // J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. - No. 1. -P. 59-64.

115. Chaboche, J.L. Continuum damage mechanics: Part II — Damage growth,crack initiation, and crack growth / J.L. Chaboche //J. Appl. Mech. — 1988. V. 55. - No. 1. - P. 65-72.

116. Chow, C.L. Ductile fracture characterization with the anisotropic continuum damage theory / C.L. Chow, J. Wang // Eng. Fracture Mech. 1988. - V. 30. - P. 547-563.

117. Ciancio, V. On the representation of dynamic degrees of freedom / V. Ciancio, J. Verhas //J. Non-Equilib. Thermodyn. — 1993. — V. 18. — P. 39-50.

118. Cocks, A. C. F. The growth of dominant crack in a creeping material / A. C. F. Cocks, M. F. Ashby // Scr. Metall. 1982. - V. 16. -P. 109-114.

119. Cordebois, J. P. Anisotropic damage in elasticity and plasticity / J. P. Cordebois, F. Sidoroff // J. de Mecanique Theorique et Appliquee. — 1982. Numero Special. - P. 45-60.

120. Dahl, J.M. The strength of materials at aggressive medium / J.M. Dahl // Trans. Strength Problems of Deformed Bodies. — СПб: Издательство СПб АН по проблемам прочности, 1997. — Т. 1. — С. 61-68.

121. Davison, L. Thermodynamic constitution of spalling elastic bodies / L. Davison, A.L. Stevens // J. Appl. Phys. -1973. V. 44. - P. 668-674.

122. Dragon, A. A continuum model for plastic brittle behavior of rock and concrete / A. Dragon, Z. Mroz // Int. J. Eng. Sci. 1979. - V. 17. -No. 2. - P. 121-137.

123. Dugdale, D.S. Yielding of steel sheets containing slits / D.S. Dugdale // J. Mech. and Phys. Solids. I960. - V. 8. - No. 2. - P. 100-108.179

124. Ericksen, J.L. Tensor Fields / J.L. Ericksen // Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, Vol.III/1. Ed. by S. Flugge. Berlin: Springer, 1960. - P. 794-858.

125. Frocht, M.M. Photoelasticity / M.M. Frocht. Vol.I. - John Wileg&Sons, New York, 1949. - 411pp.; Vol.11. - John Wileg&Sons, New York, 1948. - 505pp. (Vol.I., pp. 57-63.)

126. Gilman, J.J. Alan Arnold Griffith, An Appreciation / J.J. Gilman // Fracture: A Topical .Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. by G.P. Cherepanov. — Melbourne: Krieger Publ. Corp., 1998.

127. Griffith, A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids / A. A. Griffith // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1920. - V.221. -P. 163-198.

128. Griffith, A.A. The theory of rupture / A. A. Griffith // Proc. 1st. Congr. Appl. Mech. Delft, 1924. - P. 55-63.

129. De Groot, S.R. Non-Equilibrium Thermodynamics / S.R. De Groot, P. Mazur. — Amsterdam: North-Holland, 1962.

130. Gyarmati, I. Non-Equilibrium Thermodynamics / I. Gyarmati. — Berlin: Springer, 1970.

131. Hayhurst, D. R. The role of continuum damage in creep crack growth / D. R. Hayhurst, P. R. Brown, C. J. Morrison // Phyl. Trans. Roy. Soc. — 1984.-V. A311.-P. 131-158.180

132. Hayhurst, D. R. Estimates of the creep rupture lifetime of structures using finite element method / D. R. Hayhurst, R R. Dimmer, M. W. Chernuka // J. Mech. and Phys. Solids. 1975. - V. 23. -P. 335-355.

133. Head, A.K. The growth of fatigue cracks / A.K. Head // Phil. Mag. -1953. — V. 44. Ser. 7. - №356. - P. 925-938.

134. Hui, C. Y. The asymtotic stress and strain field near the tip of a growing crack under creep conditions / C. Y. Hui, H. Riedel // Int. J. of Fracture. 1981. - V. 17. - P. 409-425.

135. Hult, J. Creep in Continua and Structures / J. Hult / Topics in Applied Continuum Mechanics. Ed. by J.L. Ziegler. — Vienna: Springer, 1974. — P. 137-155.

136. Hutchinson, J. W. Singular behavior at the end of tensile crack in a hardening material tip"/ J. W. Hutchinson //J. Mech. Phys. Solids. — 1968. V. 16. - P. 13-31.

137. Irwin, G.R. Fracture / G.R. Irwin / Handbuck der Physik. Bd. 6. -Berlin: Springer-Verlag, 1958. P. 551-590.

138. Xiao-Mo, Jiang. Spread-of-plasticity analysis of three dimensional steel frames / Jiang Xiao-Mo, Chen Hong, J.Y. Richard Liew // J. of Constructional Steel Research. 2002. - V. 58. Issue 2. - P. 193-212.

139. Kachanov, L.M. Introduction to Continuum Damage Mechanics / L.M. Kachanov. — Dordrecht; Boston: Martinus Nijhoff, 1986. — 135 pp.

140. Krajcinovic, D. Constitutive equations for damaging materials / D. Krajcinovic // J. Appl. Mech. 1983. - V. 50. - P. 355-360.181

141. Krajcinovic, D. Damage mechanics / D. Krajcinovic // Mech. Materials. 1989. - V. 8. - P. 117-197.

142. Krajcinovic, D. Damage mechanics / D. Krajcinovic. — Amsterdam: Elsevier Science B. V., 1996. 762 pp.

143. Krajcinovic, D. The continuous damage theory of brittle materials. Part I: General theory / D. Krajcinovic, G.U. Fonseka //J. Appl. Mech. — 1981. V. 48. - No. 4. - P. 809-815.

144. Kubo, S. An analysis, of creep crack propagation on the basis of the plastic singular stress field / S. Kubo, K. Ohji, K. Ogura // Eng. Frac. Mech. — 1979. V. 11. - P. 315-329.

145. Lee, E. Plastic flow in a V-notched bar pulled in tension / E. Lee // J. Appl. Mech. 1952, - V. 19. - P. 331-336.

146. Lee, E. Elastic-plastic deformation at finite strains / E. Lee //J. Appl. Mech. 1969. - V. 36. - P. 1-6.

147. Lemaitre, J. A Course on Damage Mechanics / J. Lemaitre. — Berlin: Springer-Verlag, 1992. 210 pp.

148. Lemaitre, J. Aspect phenomenologique de la rupture par endommagement / J. Lemaitre, J.L. Chaboche // J. de Mechanique Appliquée. 1978. - V. 2. - P. 317-365.

149. Lemaitre, J. Mechanics of Materials / J. Lemaitre, J.L. Chaboche. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

150. Love, A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity / A.E.H. Love. — New York: Dover Publications, 1944. — 643 pp.182

151. Lubarda, V.A. Damage tensors and the crack density distribution / V.A. Lubarda, D. Krajcinovic // Int. J. Solids Structures. — 1993. — V. 30. No. 20. - P. 2859-2877.

152. Lur'e, A.I. Three-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity / A.I. Lur'e. — Interscience Publishers. — New York; London; Sydney, 1964. 494pp. (TYansl. from Russian by D.B. McVean, Ed. by J.R.M. Radok).

153. Malvern, L.E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium / L.E. Malvern. — Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice — Hall, 1969. 714 pp.

154. Maugin, G. A. Internal variables and dissipative structures / G. A. Maugin // J Non-Equilib. Thermodyn. 1990. - V. 15. -P. 173-192.

155. Maugin, G.A. The Thermomechanics of Plasticity and Fracture / G. A. Maugin. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — 350 pp.

156. Maxwell, J.C. On the Equilibrium of Elastic Bodies / J.C. Maxwell // The Transaction of the Royal Society of Edindurgh. 1853. - V. 20. -P. 87-120.

157. McClintock, F.A. Ductile fracture instability in shear /

158. F.A. McClintock // J. Appl. Mech. 1958. - V. 25. - P. 581-588.

159. Mitchell, G.P. Numerical solutions for elastic-plastic problems /

160. G.P. Mitchell, D.R. Owen // J. Eng. Comput. 1988. - V. 5. - No. 4. -P. 274-284.

161. Moriguti, S. Fundamental theory of dislocations of elastic bodies. Ogo Sudaku Rikigaku / S.' Moriguti // Applied Math, and Mechanics. — 1947. No. 1. - P. 87-90.

162. Morozov, E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks / E.M. Morozov // FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. by G.P; Cherepanov. — Melbourn: Grieger Publ. Comp., 1998. P. 440-449.

163. Murakami S. Anisotropic Aspects of Material Damage and Application of Continuum Damage Mechanics / S. Murakami / Continuum Damage Mechanics — Theory and Applications. Eds. D. Krajcinovic and J. Lemaitre. Wien: Springer-Verlag, 1987. - P. 91-133.

164. Murakami, S. Mechanical modeling of material damage / S. Murakami // J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. - No. 2. - P. 280-286.

165. Murakami, S. A Continuum Theory of Creep and Creep Damage / S. Murakami, N. Ohno / Creep in Structures. Eds. A. R. S. Ponter and D. R. Hayhurst. Berlin: Springer-Verlag, 1981. - P. 422-444.

166. Neuber, H. Uber die Berücksichtigung der Spannungskonzentration bei Festigkeitsberechnungen / H. Neuber // Konstruction. —1968. — V. 20. — P. 245-251.

167. Obreimoff, J.W. The splitting stregth of mica / J.W. Obreimoff // Proc. Of the Royal Society of London. Ser. A. - V. CXXVII. - 1930. -No. 804. - P. 290-297.

168. Onat, E.T. Effective properties of elastic materials that contain penny shaped voids / E.T. Onat // Int. J. Engng. Sei. 1984. - V. 22. -No. 8-10.-P. 1013-1021.

169. Orowan, E.O.: Transactions Inst. Engrs. Shipbuild. — Scotland. — 1945. V. 89. - P. 165.

170. Prager, W. A Geometrical discussion of the slip line fild in plane plastic, flow / W. Prager // Trans. Roy. Inst. Tech., Stockholm. -1953. No. 65.

171. Radayev, Y.N. Constitutive models of anisotropic damage and modeling of damaging microprocesses in solids / Y. N. Radayev // Вестник Самарского гос. университета. — Естественнонаучная серия. — Второй спец. выпуск. 2003. — С. 74-86.

172. Radayev, Y.N. On directional average of the local anisotropic damage / Y. N. Radayev // Int. J. Fracture. 2004. - V. 128. - P. 293-307.

173. Radayev, Y.N. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics / Y. N. Radayev, S. Murakami, K. Hayakawa // Trans. Japan Soc. Mech. Engn. 1994. - V. 60 A. -No. 580. - P. 68-76.

174. Rice, J. R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material / J. R. Rice, G. F. Rosengren // J. Mech. Phys. Solids. 1968. - V. 16. - P. 32-48.

175. Riedel, H. The extension of a macroscopic crack at elevated temperature by the coalescence of microvoids / H. Riedel // Creep Structures: Proc. 3rd Symp., Leicester., 1980. Berlin: Springer, 1981. - P. 504-519.185

176. Riedel, H. Fracture at High Temperature / H. Riedel. — Berlin: Springer, 1987. 418 pp.

177. Riedel, H. Tensile crack in creeping solids / H. Riedel, J. R. Rice // ASTM STP 700. 1980. - P. 112-130.

178. Roesler, F.C. Brittle fracture near equilibrium / F.C. Roesler // Proc. Phys. Soc, Sec. B. 1956. - V. 69. - Pt. 10. - №442. - P. 981-992.

179. Sack, R.A. Extension of Griffith theory of rupture of three dimension / R.A. Sack // Proc. Phys. Soc. 1946. - V. 58. - P. 729-736.

180. Schardin, H. Photogr. et cinematogr. ultra-rapides / H. Schardin. — Paris: Dunod, 1956. P. 301.

181. Seweryn, A. On the criterion of damage evolution for variable multiaxial stress states / A. Seweryn, Z. Mroz // Int. J. Solids Structures. — 1998. — V. 35. No. 14. - P. 1589-1616.

182. Simo, J.C. Strain- and stress- based continuum damage models — I. Formulation / J.C. Simo, J.W. Ju // Int. J. Solids Structures. -1987. -V. 23. №7. - P. 821-840.

183. Smith, G.F. On Isotropic Integrity Basis / G.F. Smith // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. - V. 18. - P. 282-292.

184. Sneddon, I.N. The distribution of stress in the neighborhood of a crack in an elastic solid / I.N. Sneddon // Proc. Roy. Soc. Ser.A. — 1946. — V. 187. P. 229-260.

185. Spencer, A.J.M. Theory of Invariants / A.J.M. Spencer // Continuum Physics. V. I. Ed. A. C. Eringen. — New York: Academic Press, 1971. — P. 239-353.

186. Spencer, A.J.M. The Theory of Matrix Polynomials and its Application to the Mechanics of Isotropic Continua / A.J.M. Spencer, R.S. Rivlin // Arch. Rat. Mech. Anal. 1958, 1959. - V. 2. - P. 309-336.

187. Tresca, H. Mémoire sur l'écoulement des corps solides soumis à de fortes pressions / H. Tresca // C. R. Acad. Sei. Paris. 1864. - V. 59. -P. 754.

188. Truesdell, C. The Classical Field Theories / C. Tïuesdell, R.A. Toupin / Principles of Classical Mechanics and Field Theory. — Encyclopedia of Physics. Vol. III/l. Ed. S. Flügge. - Berlin: Springer, 1960. -P. 226-793.

189. Wang, A. Plastic flow in a deeply notched bar with semi-circular root / A. Wang // Quart. Appl. Math. 1954. - V. 11. - P. 427-438.

190. Wang, C.C. On Representations for Isotropic Function. Part I, II / C.C. Wang // Arch. Rat. Mech. Anal. 1969. - V. 33. - P. 249-287.

191. Washizu, K. A note on the conditions of computibility / K. Washizu // J. Math. Phys. 1958: — No. 36. - P. 306-312.

192. Weighardt, K. Über Spalter und Zerressen elastischer Korper / K. Weighardt // Zeitsehr. für Math, und Phys. 1907. - Bd. 55. -No. 1/2. - P. 60-103.

193. Wells, A. A. Application of fracture mechanics at and beyond general yielding / A. A. Wells // Brit. Yielding J. 1963. - V. 10. - No. 11. -P. 563-570.

194. Williams, M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack / M.L. Williams // Journ. Appl. Mech. 1957. - V. 24. - No. 1. -P. 109-114.

195. Yoffe, E.H. The moving Griffith crack / E.H. Yoffe // Phil. Mag. -1951. V. 42. - Pt. 2; - P. 739-750.

196. Zhao, Jun. The asymptotic study of fatigue crack growth based on damage mechanics / Jun Zhao, Xing Zhang // Eng. Fract. Mech. — 1995. — V. 50. No. 1. - P. 131-141.

197. Zheng, Q.-S. Theory of Representation for Tensor Functions: A Unified Invariant Approach to Constitutive Equations / Q.-S. Zheng // Appl. Mech. Rev. 1994. - V. 47. - P. 545-587.

198. Ziegler, H. Some extremum principles in irreversible thermodynamics with applications to continuum mechanics / H. Ziegler // Progress in Solid Mechanics. Eds. I. N. Sneddon and R. Hill. — Amsterdam: North-Holland, 1963. V. 4. - P. 93-193.