Связанные задачи механики трещин в теории ползучести с поврежденностью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ФЕДИНА Мария Ефимовна

СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ С ПОВРЕЖДЕННОСТЬЮ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2004

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Астафьев Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Радченко Владимир Павлович; доктор физико-математических наук, профессор Вильдеман Валерий Эрвинович

Ведущая организация: Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится "_/«£-_" 2004 года в /Л- часов

на заседании диссертационного совета Д 212.218.06 при Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного В. С

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Поскольку единой, математически развитой и завершенной теории роста трещин в сплошной среде к настоящему моменту не существует, особенно интересны и актуальны исследования, затрагивающие и объединяющие несколько областей механики: актуальными представляются связанные задачи континуальной механики поврежденности и теории ползучести. Континуальная механика поврежденности является новым и активно развивающимся разделом механики деформируемого твердого тела. В настоящее время большое внимание привлекают исследования взаимного влияния процесса накопления повреждений и напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в рамках континуальной механики поврежденности в различных связках: поврежденность - упругость, повре-жденность - пластичность, поврежденность - ползучесть. В рамках диссертационной работы рассматривается класс задач о стационарной и медленно растущей трещинах в условиях ползучести с учетом процесса накопления повреждений, что позволит усовершенствовать существующие критерии распространения трещины, получить новые формулы для вычисления скорости ее роста и, следовательно, прийти к более точным оценкам прочности и долговечности элемента конструкции.

Цель исследования заключается в изучении напряженно-деформированного состояния и поля повреждений в окрестности вершины трещины в рамках связанной постановки задачи теории ползучести с механикой повре-жденности.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен новый подход к изучению напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в связанной постановке задачи, основанный на построении асимптотических разложений на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным размером тела).

2. Найдена новая асимптотика дальнего поля, которая "управляет" конфигурацией области полностью поврежденного материала, в отличие от классической асимптотики Хатчинсона - Раиса - Розенгрена (HRR).

3. Исследована конфигурация области полностью поврежденного материала, оценены ее форма и размеры для различных значений материальных констант.

Практическая ценность. Проведенное в диссертационной работе исследование полей напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в связанной постановке задачи (связка ползучесть - поврежден-ность) позволит оценить скорость роста трещины и, следовательно, прийти к более точным оценкам

конструкции.

"""ьйзд ПОТЕКА I

Г А 9

о:> 2Ь)и акт ЬЦо^

Достоверность результатов обеспечена строгостью математической постановки и проводимых преобразований, подтверждается сравнением результатов с известными решениями других авторов.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку:

- на девятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 25 - 27 мая 1999;

- на десятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2000;

- на научных семинарах "Актуальные проблемы математики и механики" кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета, Самара, 2000, 2001;

- на межвузовском школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 25 - 30 сентября 2000;

- на второй межвузовской конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", Самара, 11 - 13 сентября 2001;

- на всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2004;

- на научном семинаре кафедры безопасности информационных систем Самарского государственного университета, Самара, 2004;

- XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" , St. Petersburg, June 24 - July 1, 2004;

- XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 15 - 21 August, 2004.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертационной работы изложены в тринадцати научных публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 107 наименований и двух приложений. Работа изложена на 163 страницах машинописного текста, включая 8 таблиц и 55 рисунков.

Основная часть результатов выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 02-01-00311-а, 00-01-81067-Бел2000-а).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается текущее состояние проблем, связанных с определением напряженно-деформированного состояния и конфигурации области полностью поврежденного материала в окрестности вершины стационарной и медленно растущей трещины в связанной постановке. Обосновывается актуальность и новизна темы исследования, формулируются цели и задачи работы, приведены основные полученные результаты исследования.

Исследованию полей напряжений, деформаций и сплошности (поврежден-ности) в связанной постановке задачи в различных связках (упругость -поврежденность, пластичность - поврежденность, ползучесть - поврежден-ность и более сложных) в последнее время уделяется значительное внимание. Связанность постановки задачи обусловлена необходимостью описания влияния накопления микродефектов в теле с макроскопической трещиной на напряженно-деформированное состояние с одной стороны, и, с другой стороны, желанием учесть обратный процесс, а именно, процесс изменения напряженно-деформированного состояния вследствие образования и роста микродефектов.

Известно1, что накопленные в теле с макротрещиной повреждения приводят к отсутствию характерной как для линейной, так и для нелинейной механики разрушения сингулярности поля напряжений в окрестности вершины трещины, либо к ее существенному ослаблению.

При изучении напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины часто используется подход в стиле "теории погранично-

п 2 tt tt3

го слоя или принцип микроскопа , в рамках которых изучается непосредственная окрестность вершины трещины, и в такой постановке трещина предполагается полубесконечной, а истинные граничные условия заменяются условиями асимптотического сближения с полем напряжений на бесконечности (например, особое упругое решение).

Моделирование разрушения вблизи вершины трещины осуществляется с помощью введения либо зоны процесса, в которой происходит активное накопление повреждений, либо области полностью поврежденного материала (или так называемой зоны насыщения, в которой параметр поврежденности (или сплошности) достиг своего критического значения и, следовательно, по-врежденность больше не накапливается и все компоненты тензора напряжений обращаются в нуль).

Однако, задача нахождения конфигурации областей полностью поврежденного материала, либо области активного накопления повреждений у вершины трещины не является еще полностью исследованной.

1 Астафьев В. И., Григорова Т. В. Распределение напряжений и поврежденности у вершины растущей в процессе ползучести трещины // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. No. 3. С. 160-166.

Muralcami S., Hirano Т., Liu Y. Asymptotic fields of stress and damage of a mode I creep crack

in steady-state growth // Int. J. Solids Structures. 2000. V. 37. No. 43. P. 6203-6220.

Jin Z. H., Batra R. C. Crack shielding and material deterioration in damage materials: an

antiplane shear fracture problem // Arch. Appl. Mech. 1998. No. 68. P. 247-258.

Zhao J., Zhang X. On the process zone of a quasi-static growing tensile crack with power-law

elastic-plastic damage // Int. J. of Fracture. 2001. V. 108. P. 383-395.

2 Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law haráening materia]//J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16. P. 1-12.

3 Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.гНаука, 1974. 640 с.

В диссертационной работе приведено новое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности в связанной постановке задачи, моделирование процесса роста трещины с введением области полностью разрушенного материала, и определения ее геометрии; показано, что влияние процесса накопления повреждений проявляется в изменении не только ближнего поля напряжений (поля напряжений в непосредственной окрестности вершины трещины), но и дальнего поля напряжений (поля напряжений на большом удалении от вершины трещины).

В первой главе приведены постановка и решение задачи о стационарной трещине антиплоского сдвига в связке ползучесть - поврежденность с введением автомодельной переменной. Показано, что распределение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия задачи на бесконечности, так как это граничное условие в бесконечно удаленной точке не приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала, построенных на основе двучленного, трехчленного и четырехчленного разложений скалярного параметра сплошности. Невозможность формулировки граничного условия в бесконечно удаленной точке как требования асимптотического сближения искомого решения с решением HRR можно объяснить тем обстоятельством, что размеры области полностью поврежденного материала превосходят размеры зоны доминирования решения HRR, так что зона, где справедливо решение HRR частично или полностью охвачена областью полностью поврежденного материала и, следовательно, геометрия последней не может управляться асимптотикой HRR.

Поэтому для степенных определяющих соотношений теории ползучести

кинетического уравнения, постулирующего степенной закон накопления повреждений,

начальных условий и граничных условий в бесконечно удаленной точке в более общей форме

(1)

(2)

Оц (Я, ф) = СЯ3а^ (<р) (Я —► оо)

(3)

была введена автомодельная переменная вида

аналогичная введенной Риделем4 для случая асимптотического сближения решения с решением НЫЛ. В соотношениях (1) - (4) ф - параметр сплошности (о> = 1 — ф - параметр поврежденности); еу - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести; аХ] - компоненты тензора напряжений, $1} = &1] — РкА]/3 - компоненты девиатора напряжений; <хе = ^/Зs^s^J2 -интенсивность напряжений; В, п, А, т- константы материала,

(Тар, = аа\ + ¡Зае + (1 - а - ¡3)акк

- эквивалентное напряжение, где о\ - максимальное главное напряжение, Okk

- гидростатическое напряжение, константы а и /? находятся экспериментально. Разрешающая система уравнений была представлена с помощью автомодельной переменной.

уравнение равновесия

(5)

условие совместности, сформулированное для скоростей деформаций ползучести и 7д2,

ÔR { д<р '

(6)

где

= ^

кинетическое уравнение

TRz + rlz\

„дф (ту

(7)

Решение системы уравнений (5) - (7) должно удовлетворять граничным условиям:

условию отсутствия поверхностных усилий на верхнем берегу трещины

T<pz(R, <Р = тг) = О

и условию симметрии на ее продолжении

trz(R,<P = 0) = 0.

"Riedel H Fracture at High Temperature Bedm Springer, 1987 4^18 pp

(8) (9)

Решение задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора эффективных напряжений и скалярного параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но малых по сравнению с характерным линейным размером рассматриваемого тела, по сравнению с длиной трещины) (/2 —> оо):

^(Я,V) = + Я*1/;?^) + (<р) + ..., (* < о, ^ < 0),

(10)

V») = 1 - л7<?(0)(у) - яъ9{1)(<р) - ягд{2){ч>) + • • •, (7 < 0, 7; < 0).

Подстановка асимптотических разложений (10) в уравнения задачи (5) -(7) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций д(к\ численное решение которой позволяет найти значения собственного числа 5 (показателя степени в асимптотическом разложении эффективных напряжений) так, чтобы выполнялись граничные условия на верхнем берегу трещины, и определить угловые распределения асимптотических разложений эффективных напряжений и параметра сплошности. Полученные значения 8 даны в таблице 1. Можно отметить, что на каждом этапе необходимо решать либо систему уравнений относительно угловых распределений компонент тензора напряжений, либо уравнение относительно углового распределения параметра сплошности. Следовательно, с помощью предложенного метода удается "развязать" изначально связанную задачу.

Таблица 1: Собственные числа ,5 для различных значений материальных констант

п = т= 1 5 = -1.5

п = 2, т = 0,7п в = -1.2303

п — 3, т = 0,7п 5 = -1.1830

п = 4, тп = 0,7п з = -1.1648

п — 5, тп = 0,7п 5 = -1.1553

п — 6, ш = 0,7п я = -1.1495

п — 7, т = 0,7п а = -1.1455

п = 8, тп = 0,7п а = -1.1425

п = 9, тп — 0,7п а = -1.1405

п = 10, ш = 0,7п а = -1.1390

Так как на границе области полностью поврежденного материала параметр сплошности обращается в нуль, граница введенной области может быть

о

0.5

1.5

2.5

2

1

-3 -2 -1

0

1

2

Рис. 1: Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 5, т = О,7п : 1 - конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 - конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 3 - конфигурация области, определяемая четырехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности.

определена с помощью двучленного, трехчленного и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности:

<р) = 1 - Д5т/т - тЯ2ет7т-2/1/2 - тД3ш/т-2/2/6 = 0 (13)

и так далее.

Предложенная асимптотика дальнего поля напряжений и скалярного параметра сплошности в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала для различных значений констант определяющих соотношений и кинетического уравнения, что видно из рис. 1, 2.

Для обоснования предложенной в первой главе новой асимптотики дальнего поля напряжений, управляющей областью полностью поврежденного материала, во второй главе была исследована задача о медленном установившемся росте трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Решение этой задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора эффективных напряжений и параметра сплошности в бесконечно удаленной точке. В

ф{Ъ<р) = 1-ВГГ{ч>) = 0,

(11)

да <р) = 1 - Дэтп/т - тйы/т-2/1/2 = 0,

(12)

Рис. 2: Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 7, т = 0, 1п : 1 - конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 - конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 3 - конфигурация области, определяемая четырехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности.

случае установившегося роста трещины кинетическое уравнение в безразмерном виде приобретает следующую форму:

где т = у^ + т^.

Конфигурация области полностью поврежденного материала определяется уравнением

Используемая схема позволила построить границу области полностью поврежденного материала на основе двучленного асимптотического разложения параметра сплошности и установить, что магистральная трещина в процессе ее распространения окружена введенной областью и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала (рис. 3).

В третьей главе рассматривалась задача о медленном установившемся росте трещины нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояний в связанной постановке задачи теории ползучести с механикой поврежденности по аналогии с задачей о растущей трещине антиплоского сдвига. Разрешающая система уравнений состоит из

40 30 20 10 О -10 -20 -30

-40

п= 5

т~ =0.7п

-120-100-80 -60 -40 -2 4" 3 ■ 2 1 0 -1-2 -3

-4

О -5 -10 -15

п=5 т=0.7п X,

)

,

О 20 40 -30 -25 -20 -15 -10 -5

1 п=5

N т=0.7п V

\

у /

—

1

-15

-10

-5

Рис. 3: Геометрия области полностью поврежденного материала, охватывающей магистральную трещину, для п = 5, т = 0,7п, для наблюдателя, находящегося на разных расстояниях от вершины трещины.

уравнений равновесия

даг

1 д(тГ1

дг г дц>

оУг — <г<рр _ п даГ1р . 1 да,

ОТ Г Оф г

(16)

условия совместности деформаций, сформулированного для скоростей деформаций ползучести,

(17)

кинетического уравнения, постулирующего степенной закон накопления по-

вреждений,

дф 8Ш(рдф {<?ечи\Ш

Интенсивность напряжений в случае плоского деформированного состояния имеет вид с2 = 3(<7ГГ — сг^)2/4 + Зст2 , а в случае плоского напряженного состояния - ст2 = сг2г + <7^ — агга^ + Зсг*^. Компоненты девиатора напряжений в случае плоского деформированного состояния представляются в форме 5ГГ = —= (стгг — 2, а в случае плоского напряженного состояния -5>т = (2аУг - = (2сг^ - сггг)/3.

Решение системы уравнений (16) - (18) разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора напряжений, представленных через функцию напряжений Эри, и скалярного параметра сплошности

у>) = гЛ°/(0)М + ^/«М + (А, < 0),

(19)

ф{г, <р) = 1 - гЪдМ{(р) + о(гТ'), (71 < 0)

при г —* оо, двигаясь от бесконечно удаленной точки к окрестности вершины трещины; собственные функции и собственные значения Х],^

были определены в ходе численного эксперимента.

Используемая схема дает возможность определить геометрию области полностью поврежденного материала у вершины трещины и ее берегов, причем удается единой зависимостью г = г(<р) найти границу области полностью поврежденного материала. Собственные значения в (а = Ао — 2) показателя степени в асимптотическом разложении компонент тензора напряжений и значения (/^(0))", которые подбираются в ходе численного решения задачи, чтобы удовлетворить граничным условиям на верхнем берегу трещины, представлены в таблице 2.

В четвертой главе исследовалась задача о стационарной трещине нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояния. Приближенное решение задачи разыскивалось в виде двучленного разложения компонент тензора напряжений, представленных через функцию напряжений Эри, и трехчленного разложения параметра сплошности на бесконечности с помощью автомодельной переменной.

Численное решение задачи позволило построить области полностью поврежденного материала на основе двучленного и трехчленного разложений параметра сплошности. Из сравнения конфигураций областей полностью поврежденного материала, полученных с помощью двучленного и трехчленного асимптотических разложений параметра сплошности, видно (рис. 4, 5), что: 1) формы областей, полученных с помощью двучленного и трехчленного разложений, близки; 2) характерные линейные размеры областей отличаются несущественно.

Таблица 2: Собственные числа 5 и значения (/^(0))" в случае плоского деформированного

плоское деформированное состояние плоское напряженное состояние

n m s (/W( 0))" s (/М( 0))"

1 1 -1,5 -0,75 -1,5 -0,75

2 0,7 n -1,0 -0,5 -1,1540 -0,5686

3 0,7 n -0,7716 -0,4372 -1,0 -0,5

4 0,7 n -0,6684 -0,4092 -0,9133 -0,4658

5 0,7 n -0,6179 -0,3985 -0,8580 -0,4428

6 0,7n -0,5901 -0,3950 -0,8197 -0,4261

7 0,7 n -0,5732 -0,3943 -0,7919 -0,4134

8 0,7 n -0,5621 -0,3948 -0,7708 -0,4035

9 0,7n -0,5543 -0,3958 -0,7543 -0,3955

Следует отметить, что спектр собственных значений данной задачи и характер сингулярности компонент тензора напряжений у вершины трещины исследовался в работе Lu M., Lee S. В.5, где были получены собственные значения лишь для отдельных показателей степенного закона установившейся ползучести (п = 1, п — 3, п = 5). Полученные в настоящей работе собственные значения для всех важных с практической точки зрения показателей п совпадают с собственными значениями, определенными в работе М. Lu, S. В. Lee .

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Получены асимптотические решения задач о стационарных трещинах нормального отрыва и антиплоского сдвига в связанной постановке задачи в связке "ползучесть - поврежденность" с помощью автомодельной переменной. Построены трехчленное асимптотическое разложение компонент тензора напряжений и четырехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности на больших расстояниях от вершины (но малых расстояниях по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) для трещины антиплоского сдвига, а так же двучленное асимптотическое разложение компонент тензора напряжений и трехчленное для параметра сплошности для трещины нормального отрыва. Найдена новая асимптотика дальнего поля напряжений в задачах о стационарных трещинах типа I и III.

2. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и

5 Lu M., Lee S. В. Eigenspectra and order of singularity at a crack tip for a power-law creeping medium // Int. J. of Fracture. 1998. V. 92. P. 55-70.

X,

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6 -0.4 -0.2

0

0.2 0.4

Рис. 4: Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 3 и т = 0, In для случая плоского деформированного состояния: 1 - конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 - конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности.

параметр сплошности обращаются в нуль. Найдена. конфигурация введенной зоны для различных значений материальных констант определяющих соотношений и кинетического уравнения и получена оценка для скорости роста данной области.

3. Установлено, что асимптотика Хатчинсона - Раиса - Розенгрена не определяет конфигурацию области полностью поврежденного материала. Определена новая асимптотика дальнего поля напряжений в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Показано, что именно такая асимптотика поля напряжений и параметра сплошности ведет к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала для различных значений материальных констант определяющего соотношения и кинетического уравнения.

4. Получены асимптотические решения задач о растущих трещинах типа I и III. Показано, что решение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия на большом удалении от вершины трещины. Найдены главные члены асимптотических разложений эффективных напряжений и скалярного параметра сплошности при больших расстояниях от вершины трещины.

5. Установлено, что магистральная трещина (главная трещина) в процессе ее распространения окружена областью полностью поврежденного материа-

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Рис. 5: Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 3 ит = 0,7п для случая плоского напряженного состояния: 1 - конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 - конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности.

ла и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала. Причем, в рамках настоящего исследования удается единой зависимостью г = г(<р) найти границу области полностью поврежденного материала.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Астафьев В. И., Степанова Л. В., Могилевская М. Е. Автомодельное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвузовской конференции, Самара. 1999. С. 30-34. (авт. 1 с.)

2. Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в условиях ползучести в среде с поврежденностью // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвузовской конференции, Самара. 2000. С. 165-169.

3. Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в связанной постановке // Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы школы-семинара, Воронеж. 2000. С. 465-468.

»16291

4. Степанова Л. В., Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (связка " ползучесть-поврежден-ность") // Вестник СамГУ. 2000. No. 4(18). С. 128-145. (авт. 8 с.)

5. Степанова Л. В., Федина М. Е. О геометрии области полностью поврежденного материала у вершины трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи (связка"ползучесть-поврежденность") // Вестник СамГУ. 2001. No. 2(20). С. 87-113. (авт. 13 с.)

6. Степанова Л. В., Федина М. Е. Исследование геометрии области полностью разрушенного материала у вершины трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи (связка ползучесть - поврежденность) // Актуальные проблемы современной науки. Тезисы докладов второй международной конференции молодых ученых и студентов. Самара. 2001. С. 200.

7. Степанова Л. В., Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (ползучесть-поврежденность) // Новосибирск. ПМТФ. 2002. Т. 43. No. 5. С. 114-123. (авт. 4 с.)

8. Stepanova L. V., Fedina M. E. Self-similar solution of the antiplane shear fracture problem in a coupled formulation (creep-damage) // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2002. V. 43. No. 5., P. 731-738. (авт. 3 с.)

9. Степанова Л. В., Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о трещине типа I в связанной постановке // Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. Самара. 2004. Ч. 1. Т. 2. С. 475-478. (авт. 1 с.)

10. Степанова Л. В., Федина М. Е. Поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью // Вестник СамГУ. 2004. No. 2(32). С. 62-78. (авт. 8 с.)

11. Stepanova L. V., Phedina M. E. An asymptotic stress analysis of mode I crack in creeping damaged solids // XXXII Summer School - Conference "Advanced Problem in Mechanics". St. Petersburg, 2004. P. 95.

12. Phedina M. E., Stepanova L. V. Far field stress asymptotic behavior in growing creep crack problem for a damage material // XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2004. P. 86.

13. Stepanova L. V., Phedina M. E. An asymptotic analysis of mode I crack in creeping damaged solids // XXI ICTAM04 Abstract Book and CD-ROM Proceedings by IPPT PAN, Warsaw. ISBN 83-89687-01-1, 2004. P. 238.

Подписано в печать 28 мая 2004 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1081 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП СамГУ

Введение.

1. Автомодельное решение задачи о трещине типа III в связанной постановке (связка ползучесть - поврежденность)

1.1. Автомодельная переменная в задаче о росте трещины в среде с поврежденностью.

1.2. Автомодельное решение связанной задачи антиплоского сдвига пространства с полубесконечной трещиной

1.3. Метод разложения по собственным функциям (при больших значениях R).

2. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины антиплоского сдвига в условиях ползучести в среде с поврежденностью.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Асимптотическое решение задачи.

3. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины нормального отрыва в условиях ползучести в среде с поврежденностью

3.1. Постановка задачи.

3.2. Асимптотическое решение задачи

4. Автомодельное решение задачи о трещине типа I в связанной постановке (связка ползучесть - поврежденность)

4.1. Постановка задачи.

4.2. Автомодельная переменная в задаче о росте трещины в среде с поврежденностью

4.3. Автомодельное решение.

4.4. Асимптотическое решение задачи

4.5. Оценка скорости роста области полностью поврежденного материала.

Внезапные разрушения ответственных конструкций, которые происходят при сравнительно невысоких расчетных напряжениях и в спокойных условиях, при сравнительно малых деформациях после длительного времени нормальной работы, выявили необходимость более глубокого подхода к анализу прочности, подчеркнули значение трещин и их роста в проблеме разрушения, необходимость введения новых характеристик прочности, учитывающих трещиностойкость (вязкость), способность противостоять начавшемуся разрушению [15], [17] - [19] [21], [28], [41], [43], [54]. Современные экспериментальные данные убедительно свидетельствуют о постепенном развитии разрушения, о большой роли первичных дефектов, микротрещин в формировании картины разрушения. Трещины начинают развиваться задолго до полного разрушения. Конструкции из новых высокопрочных материалов, которые при стандартных испытаниях обнаруживают высокую прочность, при некоторых условиях разрушаются путем распространения трещины задолго до исчерпания расчетной несущей способности. Анализ хрупких разрушений конструкций показывает, что в очагах изломов всегда имеются начальные трещины. Разрушение не является единовременным актом, оно развивается с большей или меньшей скоростью и представляет собой некоторый, иногда длительный, процесс. Для оценки реальной прочности конструкций и пригодности тех или иных материалов, необходимо учитывать влияние трещин, определить связь между свойствами сплошного материала и его сопротивляемостью зарождению и развитию трещин, усовершенствовать на этой основе способы испытания материалов и прогнозирования долговечности элементов конструкций [12], [13], [17], [28].

Разрушение (макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения) обычно развивается параллельно с упругой или пластической деформацией твердого тела, или в условиях ползучести. Исследование скрытого разрушения (зарождение и развитие микродефектов, рассеянных по объему тела) осуществляется с помощью методов и теорий механики поврежденности - нового динамично развивающегося раздела механики деформируемого твердого тела [8], [17], [23], [37], [44], [52], [72], [75], [81].

Изменение со временем механических свойств материалов феноменологически нередко можно интерпретировать как некоторые процессы накопления повреждений, различных дефектов, микропор, трещин. Когда повреждения достигают опасного уровня, происходит разрушение. Трещинообразование начинается на самых ранних этапах деформации и связано с ростом имеющихся и возникновением новых суб- и микродефектов. В материале всегда имеется большое число различных дефектов, приводящих к высоким местным напряжениям. Повреждения можно разделить на рассеянные дефекты - малые по размерам и встречающиеся во множестве в единице объема, и крупные, магистральные трещины, появляющиеся обычно в финале процесса разрушения. Процесс накопления рассеянных повреждений можно описать путем введения некоторой априорной характеристики поврежденности [17], [23], [72], которая чаще всего трактуется как сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади составляющих его элементов, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов [8], и может быть установлена сравнением следствий теории с экспериментальными данными.

Уменьшение прочности (свойства тела сопротивляться воздействиям со стороны внешнего окружения) твердых тел часто может быть объяснено скрытым разрушением и микродефектной структурой тела. Таким образом, так как повреждения тела существенно влияют на характер его разрушения, то становится очевидным, что и механика разрушения и механика поврежденности призваны решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела [8].

В простейшем варианте поврежденность можно описать некоторым скаляром, структурным параметром 1 > ф > О (J1.M. Качанов [16]). В начальном состоянии при отсутствии поврежденности ф = 1; с течением времени функция ф убывает. Функцию ф, по сути дела, можно интерпретировать как сплошность.

Ю.Н. Работнов [22] ввел функцию и > 0, равную нулю в начальном состоянии и единице в момент разрушения, которую можно принять за меру охрупчивания. Функцию и естественно назвать поврежденностью1 (в отличие от сплошности ф); можно считать, что ф = 1 — и. Величина а; может быть интерпретирована как относительная площадь поперечного сечения, занятая трещинами. Предполагается, что скорость изменения параметра ш зависит от напряжения и от и. Такое предположение позволяет считать и за один из структурных параметров. Простейшая гипотеза состоит в том, что и есть степенная функция отношения <т/(1 — а;), это отношение может быть истолковано как среднее напряжение на площади поперечного сечения, свободной от трещин [23], [24].

В конце 70-х годов моделирование роста трещины основывалось на предположении, что рост трещины происходит в том случае, если некоторая мера поврежденности достигает своего критического значения на некотором расстоянии от вершины трещины. В [1], [76] при моделировании роста трещин использовался скалярный параметр поврежденности Качалова - Работнова. В [99] параметр поврежденности связывался с величиной пористости материала и предполагалось, что процесс накопления повреждений обусловлен совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста пор в условиях высокотемпературной ползучести. В [55] в качестве меры повре

В русскоязычной литературе параметр поврежденности, как правило, обозначается буквой ш, а в англоязычной - D. жденности материала принималась величина интенсивности накопленных деформаций ползучести. Модель, описывающая рост трещины в условиях ползучести, в более общей постановке, была предложена в [2]. В рамках этой модели предполагалось, что величина критической поврежденности материала не является постоянной, зависит от уровня напряжений и убывает при возрастании интенсивности напряжений.

Экспериментальные данные [17], [23] свидетельствуют о том, что повреждение материала носит направленный характер, определяемый, в частности, напряженным состоянием. Однако, если нагружение простое, можно в известных случаях не учитывать направленность повреждений.

Геометрический подход [87] позволяет учесть анизотропию состояния поврежденности и представить эффект возрастания внутренних напряжений в среде с повреждениями с помощью понятия эффективного напряжения. Сущность этого подхода к математическому моделированию процессов накопления повреждений может быть достаточно явно продемонстрирована на примере простейшего одномерного состояния поврежденности одноосно растянутого образца [20], [95]. Рассмотрим цилиндрический образец, растягиваемый силой Р (рис. 1). Обозначим через So и S площади поперечных сечений образца в начальном неповрежденном и текущем поврежденном состояниях соответственно.

В соответствии с классической теорией Качанова - Работнова, текущее состояние внутренней поврежденности образца может быть представлено с помощью единственного скалярного параметра (параметра поврежденности) о;, который представляет собой монотонно возрастающую функцию времени 0 < и < 1.

Параметр поврежденности интерпретируется как относительное сокращение вследствие распределенных внутри образца микродефектов эффективной, несущей нагрузку площади поперечного сечения. Деградация материала объясняется как постепенное уменьшение эффективной площади, которая реально несет растягивающую нагрузку и определяет сопротивляемость образца растяжению. В силу такой интерпретации несущая нагрузку площадь оказывается равной не S, а некоторому меньшему значению S* и для параметра и имеет место следующее простое соотношение:

S*

Определенный таким образом параметр поврежденности представляет собой чисто геометрическую характеристику текущего состояния поврежденности и его изменение определяется свойствами материала и историей внешнего нагружения.

Вызванное внутренним распределением повреждений сокращение площади, несущей растягивающую нагрузку, сразу же приводит к важнейшему представлению об эффекте возрастания внутренних напряжений в теле с распределенными поврежденностями. Действительно, наряду с напряжением Р очевидно, следует рассмотреть эффективное напряжение а -S* которое в силу определения параметра поврежденности можно также представить в виде сг =

1-и

Последняя формула выражает эффект повышения уровня напряжений в поврежденном материале, поскольку 0 < и < 1.

Таким образом, можно представить вместо исходного образца другой, воображаемый неповрежденный образец, площадь поперечного сечения которого равна S* и который растягивается той же самой силой Р. Механическое а*=(т/( 1—ш) S'—(l—a)S

Рис. 1: Поврежденный и эквивалентный неповрежденный образец состояние подобного образца полностью эквивалентно текущему состоянию поврежденного образца, а изменение геометрии полностью описывается параметром поврежденности и.

То, что поврежденность чаще всего носит ярко выраженный анизотропный характер, доказывают многочисленные эксперименты по измерению хрупкой поврежденности, существующей в форме полей микротрещин различной ориентации, коррозионной поврежденности в металлах, а также поврежденности при ползучести [8].

В [95] тензорная мера анизотропной поврежденности, которая является мерой сокращения, вследствие распределенных микродефектов, реально несущей нагрузку площади поверхностного элемента в зависимости от его ориентации, вводится как симметричный тензор второго ранга.

В процессе ползучести поврежденность с течением времени возрастает. Изменение сплошности ф можно описать некоторым кинетическим уравнением где F зависит от фи некоторых других переменных, существенных для рассматриваемого процесса. Процесс разрушения прежде всего зависит от уровня напряженного состояния. В [16] скорость уменьшения сплошности (или скорость роста поврежденности) определяется эффективным напряжением а/ф dt ~ А\ф) ' где А > 0, п > 0 - постоянные (А - коэффициент, п — показатель трещино-образования).

В [22] в левой части кинетического уравнения фигурирует величина ctAj, при этом показатель (3 учитывает форму трещины. Для окончательного результата это несущественно, меняется лишь некоторая константа, которая все равно подлежит определению из опыта.

Таким образом, система уравнений классической механики сплошной среды дополняется кинетическим уравнением, описывающим эволюцию введенного параметра - параметра сплошности или поврежденности. Необходимо отметить, что распределение сплошности (поврежденности) можно определить после решения задачи нахождения напряженно-деформированного состояния в теле путем интегрирования кинетического уравнения. Данный подход решения получил название "несвязанной постановки" задачи теории упругости, теории пластичности или теории ползучести с механикой поврежденности. В этом случае учитывается влияние напряженно-деформированного состояния на рост повреждений в теле [1], [3], [4], [76]. Однако в рамках данного подхода не удается описать взаимный процесс - процесс влияния поля повреждений на эволюцию напряженно-деформированного состояния в теле. Для учета взаимного влияния изменения напряженно-деформированного состояния и поля повреждений используется так называемая "связанная постановка" задачи, когда скалярный параметр сплошности входит в определяющие соотношения рассматриваемой задачи [23].

Проблемам определения напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины как стационарной, так и распространяющейся трещины в связанной постановке задач теории упругости, теории пластичности и теории ползучести с механикой поврежденности в последнее время посвящается большое количество исследований [5] - [8], [31], [70], [71], [79], [80], [83], [88], [89], [100], [105], [106]. Основной интерес представляет оценка влияния процесса накопления повреждений на распределение напряжений и деформаций (или скоростей деформаций ползучести). С практической точки зрения важно определить скорость докритического подрастания трещины.

Можно выделить характерные особенности, свойственные двумерным задачам о стационарной и растущей полубесконечных трещинах в бесконечном теле в связанной постановке (в связках упругость - поврежденность, ползучесть - поврежденность, пластичность - поврежденность и других более сложных связках).

В [5], [б], [65], [73], [79], [80], [106], [107] показано, что влияние накопления повреждений проявляется либо в полном устранении особенности напряжений в окрестности вершины трещины, либо в значительном ослаблении сингулярности поля напряжений сг^(г, ф) = Ar~afij((p) (показатель степени а в г~а уменьшается). В [5] установлено, что эффективные напряжения crij/ф, где - параметр сплошности Качанова-Работнова, ограничены при приближении к вершине трещины, а параметр сплошности и сами компоненты тензора напряжений линейным образом уменьшаются до нуля при г —► 0. В [106] представлен асимптотический анализ полей напряжений и деформаций в окрестности растущей усталостной трещины в связанной постановке для линейно упругих определяющих соотношений. Численное исследование полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для различных значений констант тип, входящих в кинетическое уравнение, задающее степенной закон накопления повреждений, показало, что связанность постановки задачи приводит к слабой сингулярности (по сравнению с классической асимптотикой линейной механики разрушения) поля напряжений для малых значений тип, тогда как при возрастании значений данных параметров особенность напряжений вообще исчезает. В [79] и [80], где представлено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций и параметра сплошности у вершины стационарной трещины нормального отрыва в упругом нелинейно-вязком материале со степенной зависимостью между напряжениями и скоростями деформаций ползучести, также учет влияния поврежденности приводит к устранению особенности поля напряжений в окрестности вершины трещины. В [73] проведен асимптотический анализ полей напряжений, скоростей деформации ползучести и распределения повреждений в непосредственной окрестности вершины стационарной трещины нормального отрыва в условиях ползучести в среде с поврежденностью. Для описания процесса накопления повреждений использовалось кинетическое уравнение Качанова - Работнова: duj dt где х(с) = (3Ji 4- (1 — /3) J2 и Ji = ai - главное напряжение, J2 = y/SsijSij/2, Sij - компоненты девиатора тензора напряжений, А, к, /3 - материальные константы. Численный анализ, проведенный авторами [73], показал отсутствие сингулярности поля напряжений у вершины трещины.

Следующей характерной чертой, присущей этому типу задач, является наличие либо области активного накопления повреждений, либо области полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность обращаются в нуль (рис. 2). Полностью разрушенная область у берегов трещины может быть интерпретирована как область микроветвления, когда вдоль всей траектории развития магистральной тре

Ш ■ щ главная (макро) трещина поле микротрещин

Рис. 2: Схематичное представление области полностью поврежденного материала щины возникают ортогонально ориентированные к ней микротрещины. В [5], [6] при численном определении коэффициентов асимптотических разложений компонент тензора напряжений и сплошности (угловых распределений компонент тензора напряжений и параметра сплошности) оказалось, что, начиная с некоторого значения полярного угла <рд (значение ср = тг соответствует верхнему берегу трещины, <р = 0 - ее продолжению) (рис. 3), функция, определяющая главный член асимптотического разложения параметра сплошности, начинает принимать отрицательные значения, что противоречит физическому смыслу этой величины. Данное обстоятельство привело к модифицированной постановке задачи, согласно которой решение разыскивалось для 0 < <р < (fd- Оставшаяся область ф&<<р< 7Г, локализованная в окрестности вершины распространяющейся трещины, есть полностью разрушенная зона, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность равны нулю, на границе же введенных областей должны выполняться условия непрерывности функции сплошности и компонент тензора напряжений. В [106] авторы апеллируют к невозможности выполнения граничных условий на берегах трещины и переходят к модифицированной постановке за р=о

А£ О х

Хл поверхность трещины

Рис. 3: Геометрия вершины растущей трещины: Х\0'Хч - неподвижная система координат, х\0хъ - движущаяся вместе с вершиной трещины система координат дачи, вводя область полностью поврежденного материала, примыкающую к берегам трещины.

Необходимо отметить, что вместе с асимптотическим изучением полей в окрестности вершины трещины в связанной постановке использовались и иные методы. Например, для анализа растущей трещины антиплоского сдвига в [71], [105] сделана попытка использования метода годографа. Однако авторы отказываются от проблемы интегрирования кинетического уравнения и оперируют с предполагаемым результатом интегрирования, полагая, что параметр сплошности (или поврежденности) есть функция лишь от напряжений, но не физических координат a?i, а?2, что, вообще говоря, неверно. Явная зависимость параметра сплошности от физических координат вносит сложности в процедуру метода годографа и ставит под сомнение возможность его использования для движущейся трещины.

В [71] представлены решения задач о неподвижной и растущей трещинах антиплоского сдвига в квазихрупком материале. В этой работе предполагается, что определяющие соотношения линейны до и после достижения некоторых двух характерных для этого материала значений интенсивности деформации. Для промежуточных значений справедлива степенная зависимость. С помощью метода годографа определены конфигурации каждой из трех областей, соответствующих трем различным определяющим зависимостям. Согласно предложенной модели введенные области отвечают а) неповрежденной области, б) области, в которой происходит процесс накопления повреждений, в) регион "насыщения", непосредственно охватывающий вершину трещины, в котором новые микродефекты уже не образуются. Показано, что данные области разделены окружностями с центром в вершине трещины (окружность, разделяющая область насыщения и зону активного накопления повреждений) и с центром, смещенным вправо относительно вершины трещины (граница, разделяющая неповрежденную область и зону накопления повреждений).

В уже упомянутой работе [106] представлено асимптотическое исследование усталостного роста трещины нормального отрыва в упругой среде с поврежденностью. Показано, что у вершины трещины существует область процесса - зона, в которой происходит накопление рассеянных повреждений (в отличие от области полностью поврежденного материала). Для определения границы данной области использовано то обстоятельство, что кинетическое уравнение, задающее закон накопления рассеянных повреждений, имеет две "ветви", разделяющие два состояния материала, находящегося под действием усталостного нагружения: накопление повреждений в окрестности вершины трещины и отсутствие накопления повреждений.

В [88], [89] исследованы асимптотики напряжений и параметра сплошности у вершины растущей трещины нормального отрыва. Авторы статьи, основываясь на экспериментальных данных, предполагают, что граница области, в которой происходит процесс накопления повреждений, есть полуэллипс и прямые, параллельные берегам трещины. Задавая этой гипотезой форму области процесса, можно определить асимптотические разложения компонент тензора напряжений и сплошности. Заметим, что авторы не определяют геометрию области процесса, а задают ее априори. Таким образом, задача нахождения конфигурации областей полностью поврежденного материала, либо области активного накопления повреждений у вершины трещины не является еще полностью исследованной и заслуживает особого внимания.

В [5], [6] рассмотрено докритическое подрастание трещины нормального отрыва и антиплоского сдвига в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Установлено, что в окрестности вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обраг щаются в нуль. Данная область примыкает к берегам трещины в окрестности вершины трещины и занимает область, определяемую соотношениями 7г/2 <<р<7гитг<(р < 37г/2, где (р - полярный угол. Однако в рамках данного исследования не удается найти конфигурацию этой области, поскольку результаты указывают лишь на существование вертикальной касательной к границе этой области при (р = 0. Геометрию этой области можно определить, находясь от вершины трещины на расстояниях, сравнимых с характерным линейным размером зоны полностью поврежденного материала или превышающих это расстояние.

В [31] приведено асимптотическое решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке теории ползучести и механики поврежденности с использованием автомодельной переменной2, предложенной Риде

2Процесс, развивающийся со временем, называется автомодельным, если распределение его характеристик в разные моменты времени получается одно из другого преобразованием подобия [8], [10], [27]. Свойство автомодельное™, если его удается обнаружить, часто существенно упрощает исследование и математическое описание процесса. В механике разрушения при исследовании стационарного состояния лем в [100] для степенных определяющих соотношений, связывающих скорости деформаций ползучести и напряжений. На основе упомянутых выше исследований в [31] предполагалось существование области полностью поврежденного материала, где все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности равны нулю. В силу наличия данной зоны вблизи вершины трещины нельзя разыскивать асимптотические разложения компонент тензора напряжений и параметра сплошности в непосредственной окрестности вершины трещины, как это обычно принимается в механике разрушения. Поэтому все асимптотические разложения определялись в системе координат, сдвинутой вправо от вершины на расстояние, равное характерному линейному размеру области полностью поврежденного материала. Оказалось, что, в отличие от ранее упомянутых исследований, степени в разложениях по собственным функциям параметра сплошности и компонент тензора напряжения не связаны друг с другом. Поэтому приходилось одну из степеней задавать априори (т.е. приходилось задавать асимптотическое поведение параметра сплошности), что ограничивает общность задачи. Тем не менее геометрия области полностью поврежденного материала для различных значений материальных констант при данных предположениях найдена и приведена в [31].

К числу еще неразрешенных задач, требующих детального изучения, относится оценка скорости роста трещины в условиях ползучести в среде с трещины и ее роста в упругом нелинейно вязком теле автомодель ность впервые установлена Риделем [100]. Введение автомодельной переменной упрощает с математической точки зрения поиск решения, поскольку уменьшается число независимых переменных. Более того, введение автомодельной переменной позволяет связать два предельных режима состояния трещины в упругом нелинейно вязком теле: случай коротких времен после приложения нагрузки, когда деформации ползучести локализованы в непосредственной ее окрестности, и случай достаточно больших времен, соответствующий обширным областям, в которых развиваются деформации ползучести.

Таким образом, с физической точки зрения с помощью автомодельной переменной удается описать переходный период от первого предельного состояния ко второму и получить решение (т.е. распределение напряжений), справедливое в течение переходного режима, а также оценить время перехода. поврежденностью и связанная с данным вопросом проблема сращивания "ближнего поля" - решения, полученного в окрестности вершины трещины, с "дальним полем" - заданных граничных условий на бесконечности (в задачах о росте полубесконечной трещины в бесконечном теле). Стандартным приемом сращивания "ближнего" и "дальнего" полей является использование инвариантных интегралов механики разрушения: «/-интеграла3, С*-интеграла4 и некоторых иных инвариантных интегралов [14], [17], [42] -[51], [53], [57], [58], [60], [61], [63], [64], [74], [78], [90] - [93], [96], полученных обобщением упомянутых. Однако, такие параметры не обладают свойством инвариантности в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности.

Хорошо известно, что при изучении напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины используется подход в стиле "теории пограничного слоя" [26] или "принцип микроскопа" [43], в рамках которых изучается непосредственная окрестность вершины трещины, и в такой постановке трещина предполагается полубесконечной, а истинные гра

3Для упругого тела с трещиной J-интеграл Эшелби - Черепанова - Райса представляет собой с точностью до знака скорость изменения его потенциальной энергии при увеличении длины трещины:

Г1 дщ , J = J -aij£ijdx2 — Ti-^-ds, где <?ij - компоненты тензора напряжений, ец - компоненты тензора деформаций, щ — компоненты вектора перемещений, s - длина дуги, - усилия, действующие на тело, ограниченное кривой С и поверхностью трещины.

4Определяя зависимость нагрузка - скорость перемещения для двух идентичных образцов, с трещинами длины I и I + ей, С*-интеграл вычисляется дифференцированием по длине трещины площади под кривой нагрузка - скорость перемещения или по формуле

С = J \^V*dx2 - aijTH^ds где W = J(7ijdiij' ничные условия заменяются условиями асимптотического сближения, например, с особым упругим решением при исследовании трещины в упруго-пластическом материале в предположении маломасштабного пластического течения [56], [69]. В этом случае говорят, что конфигурация области пластического течения "полностью управляется" особым упругим решением. Аналогичный метод для решения задачи о росте трещины в упругопласти-ческих материалах применяется при формулировке граничного условия в бесконечно удаленной точке в [62], [79], [104]. В [68] аналогичный подход используется для описания переходного периода от состояния маломасштабной ползучести (когда рост трещины описывается коэффициентом интенсивности напряжений) до состояния развитых деформаций ползучести (когда рост трещины можно описать с помощью инвариантного С* - интеграла установившейся ползучести). Первый предельный случай требует выполнения условия асимптотического сближения искомого решения с особым упругим решением, тогда как второй предельный случай предполагает выполнение иного граничного условия в бесконечно удаленной точке - условия асимптотического сближения с решением HRR.

Формулировка граничного условия в бесконечно удаленной точке в стиле "теории пограничного слоя" используется и при решении задач механики трещин в связанной постановке. Так в [71], [106], [107] исследуется напряженно-деформированное состояние у вершины трещины антиплоского сдвига [71] и нормального отрыва [106], [107] в связанной постановке в связках "упругость - поврежденность" и "пластичность - поврежденность", где предполагается, что поле напряжений непосредственно у вершины трещины искажается вследствие процесса накопления повреждений, тогда как при удалении от вершины трещины, где материал является неповрежденным, можно считать, что поле напряжений полностью определяется сингулярным упругим решением. Таким образом, принимается гипотеза, согласно которой область накопления рассеянных повреждений полностью определяется особым упругим решением.

Подобный подход используется и при постановке граничного условия в бесконечно удаленной точке в упругом нелинейно-вязком материале [67], [68].

В настоящей работе рассматривается класс задач о стационарной и растущей трещинах в нелинейно-вязком материале, определяющие соотношения которого построены на основе степенного закона Нортона установившейся ползучести, в связанной постановке в связке ползучесть - поврежден-ность с использованием автомодельной переменной, предложенной Риделем [100] для данного типа определяющих соотношений, рассматриваемого кинетического уравнения и граничных условий. Однако решения каких-либо краевых задач с использованием установленного на основе анализа размерностей свойства автомодельности решения не было получено.

Поэтому целью настоящего исследования является:

1) изучение напряженно-деформированного состояния и поля повреждений у вершины трещины в связанной постановке (ползучесть - поврежденность) с введением автомодельной переменной;

2) моделирование области полностью поврежденного материала, охватывающей вершину трещины и примыкающей к ее берегам; определение конфигурации данной области.

Проведенные исследования (отраженные в первой и четвертой главах настоящей работы) инициировали новый класс задач о растущей трещине в связанной постановке, решения которых были получены с помощью асимптотических разложений искомых величин на больших расстояниях от вершины трещины (исследовалась так называемая асимптотика дальнего поля повреждений - асимптотика на расстояниях, много больших характерного линейного размера области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) (вторая и третья главы настоящей работы).

В целом, работа состоит из четырех глав и двух приложений.

В первой главе приведены постановка и решение задачи о стационарной трещине антиплоского сдвига в связке ползучесть - поврежденность. Показано, что распределение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия задачи на бесконечности, так как это граничное условие в бесконечно удаленной точке не приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала, построенных на основе двучленного, трехчленного и четырехчленного разложений скалярного параметра сплошности. Невозможность формулировки граничного условия в бесконечно удаленной точке как требования асимптотического сближения искомого решения с решением HRR можно объяснить тем обстоятельством, что размеры области полностью поврежденного материала превосходят размеры зоны доминирования решения HRR, так что зона, где справедливо решение HRR частично или полностью охвачена областью полностью поврежденного материала и, следовательно, геометрия последней не может управляться асимптотикой HRR.

Поэтому для степенных определяющих соотношений закона Нортона теории установившейся ползучести, начальных условий и граничных условий в бесконечно удаленной точке в более общей форме была введена автомодельная переменная, аналогичная введенной Риделем для случая асимптотического сближения решения с решением HRR. Разрешающая система уравнений была переписана с помощью автомодельной переменной. Решение задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора эффективных напряжений и скалярного параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины. Показано, что в рамках предложенной схемы построения решения, на каждом этапе необходимо решать либо систему уравнений относительно угловых распределений компонент тензора напряжений, либо уравнение относительно углового распределения параметра сплошности. Следовательно, с помощью предложенного метода удается "развязать" изначально связанную задачу.

Построены области полностью поврежденного материала на основе двучленного, трехчленного и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности. Показано, что предложенная асимптотика дальнего поля напряжений и параметра сплошности в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного матриала для различных значений констант определяющих сотношений и кинетического уравнения.

Для обоснования предложенной в первой главе новой асимптотики дальнего поля напряжений, действительно управляющей областью полностью поврежденного материала, во второй главе была исследована задача об установившемся росте трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Решение этой задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора эффективных напряжений и параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины. Используемая схема позволила построить область полностью поврежденного материала на основе двучленного асимптотического разложения параметра сплошности и установить, что магистральная трещина в процессе ее распространения окружена введенной областью и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала.

В третьей главе рассматривалась задача о росте трещины нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояний в связанной постановке задачи теории ползучести с механикой поврежденности по аналогии с задачей о растущей трещине антиплоского сдвига. Приближенное решение уравнений равновесия, условия совместности деформаций, сформулированного для скоростей деформаций ползучести, кинетического уравнения, постулирующего степенной закон накопления повреждений, разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора напряжений, представленных через функцию напряжений Эри, и скалярного параметра сплошности. Таким образом, осуществлялось движение от бесконечно удаленной точки к окрестности вершины трещины.

Используемая схема дает возможность определить геометрию области полностью поврежденного материала у вершины трещины и ее берегов, причем удается единой зависимостью г = г(ф) найти границу области полностью поврежденного материала.

В четвертой главе исследовалась задача о стационарной трещине нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояний с помощью автомодельной переменной. Приближенное решение задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений функции напряжений Эри и параметра сплошности по отрицательным степеням автомодельной переменной Rx (Л < 0), при R —* оо.

Численное решение задачи позволило построить области полностью поврежденного материала на основе двучленного и трехчленного разложения параметра сплошности. Из сравнения найденных конфигураций областей полностью поврежденного материала, полученных с помощью двучленного и трехчленного асимптотических разложений параметра сплошности видно, что: 1) формы областей, полученных с помощью двучленного и трехчленного разложений, близки; 2) характерные линейные размеры областей отличаются несущественно.

Комплекс программ, разработанный с помощью среды Turbo Pascal 7.0 и математической системы символьных вычислений Maple 6.01, реализующих нахождение угловых распределений компонент тензора напряжений и параметра сплошности и определение конфигурации области полностью поврежденного материала, приведен в двух Приложениях.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Получены асимптотические решения задач о стационарных трещинах типа I (нормального отрыва) и типа III (антиплоского сдвига) в связанной постановке задачи в связке "ползучесть - поврежденность" с помощью автомодельной переменной. Построены трехчленное асимптотическое разложение для компонент тензора напряжений и четырехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины антиплоского сдвига (но малых расстояниях по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) и двучленное асимптотическое разложение для компонент тензора напряжений и трехчленное для параметра сплошности для трещины нормального отрыва. Найдена новая асимптотика дальнего поля напряжений в задачах о стационарных трещинах типа I и III.

2. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обращаются в нуль. Найдена конфигурация введенной зоны для различных значений материальных констант определяющих соотношений и кинетического уравнения.

3. Установлено, что асимптотика Хатчинсона - Райса - Розенгрена -ставшая уже классической асимптотика компонент тензора напряжений у вершины трещины для степенной зависимости между компонентами тензора напряжений и деформаций (или скоростей деформаций) - не может служить граничным условием в бесконечно удаленной точке в задаче о полубесконечной трещине в среде с поврежденностью для рассматриваемого типа определяющих соотношений и не определяет конфигурацию области полностью поврежденного материала.

4. В связанных задачах (связка ползучесть - поврежденность) о растущей трещине антиплоского сдвига и нормального отрыва найдены главные члены асимптотических разложений компонент тензора напряжений и скалярного параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины.

5. Установлено, что магистральная трещина (главная трещина) в процессе ее распространения окружена областью полностью поврежденного материала и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала. В рамках настоящего исследования удается единой зависимостью г = г(ф) найти границу области полностью поврежденного материала.

В целом, настоящая работа представляет собой исследование взаимного влияния процесса накопления повреждений и эволюции напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины стационарной и растущей трещины в рамках континуальной механики поврежденности.

Основные результаты работы опубликованы в [9], [31] - [36], [38], [39], [94], [101], [102], [103] и доложены на:

- девятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 25 - 27 мая 1999;

- десятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 29 - 31 мая 2000;

- научных семинарах "Актуальные проблемы математики и механики" кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета, Самара, 2000, 2001;

- на межвузовском школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 25 - 30 сентября 2000;

- второй межвузовской конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", Самара, 11-13 сентября 2001;

- всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2004;

- научном семинаре кафедры безопасности информационных систем Самарского государственного университета, Самара, 2004;

- XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" , St. Petersburg, June 24 - July 1 2004;

- XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 15 - 21 August 2004.

Основная часть результатов выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 02-01-00311-а, 00-01-81067-Бел2000-а).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены асимптотические решения задач о стационарных трещинах типа I (нормального отрыва) и типа III (антиплоского сдвига) в связанной постановке задачи в связке "ползучесть - поврежденность" с помощью автомодельной переменной.

Построены трехчленное асимптотическое разложение компонент тензора напряжений и четырехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности на больших расстояниях от вершины для трещины антиплоского сдвига (но малых расстояниях по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) и двучленное асимптотическое разложение компонент тензора напряжений и трехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности для трещины нормального отрыва. Найдена новая асимптотика дальнего поля напряжений в задачах о стационарных трещинах типа I и III.

2. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обращаются в нуль. Найдена конфигурация введенной зоны для различных значений материальных констант определяющих соотношений и кинетического уравнения.

3. Установлено, что асимптотика Хатчинсона - Райса - Розенгрена не определяет конфигурацию области полностью поврежденного материала. Установлена новая асимптотика дальнего поля напряжений в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Показано, что именно такая асимптотика поля напряжений и параметра сплошности ведет к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала для различных значений материальных констант определяющего соотношения и кинетического уравнения.

4. Получены асимптотические решения задач о растущих трещинах типа

I и III. Показано, что решение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия на большом удалении от вершины трещины. Найдены главные члены асимптотических разложений эффективных напряжений и скалярного параметра сплошности при больших расстояниях от вершины трещины.

5. Установлено, что магистральная трещина (главная трещина) в процессе ее распространения окружена областью полностью поврежденного материала и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала. Причем, в рамках настоящего исследования удается единой зависимостью найти границу области полностью поврежденного материала.

1. Астафьев В. И. О росте трещины при ползучести с учетом пластической зоны вблизи вершины трещины// Прикл. механики и техн. физики. 1979. No. 6. С. 154-158.

2. Астафьев В. И. Закономерности подрастания трещин в условиях ползучести// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1986. No. 1. С. 127-134.

3. Астафьев В. И. Влияние нестационарности поля напряжений на рост трещин при ползучести// Прикл. механики и техн. физики. 1983. No. 3. С. 148-152.

4. Астафьев В. И. Докритическое подрастание трещины при ползучести под действием переменной нагрузки// Прикл. механики и техн. физики. 1985. No. 3. С. 152-157.

5. Астафьев В. И., Григорова Т. В., Пастухов В. А. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести// ФХММ. 1992. Т. 2. No. 1. С. 5-11.

6. Астафьев В. И., Григорова Т. В. Распределение напряжений и поврежденности у вершины растущей в процессе ползучести трещины// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1995. No. 3. С. 160-166.

7. Астафьев В. И., Сироченко В. П. Автомодельная задача о росте трещины в среде с поврежденностью// Дифференциальные уравнения и их приложения. Тез. докладов межвуз. семинара. Самара. 1995. С. 30.

8. Астафьев В. И., Радаев Ю. Н., Степанова Л. В. Нелинейная механика разрушения. Самара.: Изд-во "Самарский Университет", 2001. 632 с.

9. Астафьев В. И., Степанова JT. В., Могилевская М. Е. Автомодельное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой межвузовской конференции. Самара. 1999. С. 30-34.

10. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Д.: Гидрометиздат, 1982. 256 с.

11. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир, 1986. 360 с.

12. Болотин В. В. Трещина Гриффитса в повреждаемой вязкоупрутой среде// Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1985. Вып. 26. С. 19-32.

13. Болотин В. В. Ресурс машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1990. 447 с.

14. Вычислительные методы в механике разрушения. (Под ред. С. Атлури) М.: Мир, 1990. 392 с.

15. Ивлев Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения// Прикл. механики и техн. физики. 1967. No. 6. С. 88-128.

16. Качанов JI. М. О времени разрушения в условиях ползучести//Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31.

17. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

18. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

19. Морозов Н. Ф., Петров Ю. В., Уткин А. А. О разрушении у вершины трещины// Физико-химическая механика материалов. 1988. No. 4. С. 75-77.

20. Мураками С., Радаев Ю. Н. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1996. No. 4. С. 93-110.

21. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. 416 с.

22. Работнов Ю. Н. О механизме длительного разрушения/ Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 5-7.

23. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

24. Работнов Ю. Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1991. 196 с.

25. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.

26. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения/ Разрушение (под ред. Г. Либовица). Т. 2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. С. 204-335.

27. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., Л.: Наука, 1972. 440 с.

28. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

29. Степанова JI. В., Макарова Т. Н. Конечно-разностное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в среде с поврежденностью// Вестник СамГУ. 2004. Специальный выпуск. С. 95-110.

30. Степанова JI. В., Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (связка ползучесть-поврежденность)// Вестник СамГУ. 2000. No. 4. С. 128-145.

31. Степанова JI. В., Федина М. Е. О геометрии области полностью поврежденного материала у вершины трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи// Вестник СамГУ. 2001. No. 2(20). С. 87113.

32. Степанова JI. В., Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (ползучесть-поврежденность)// Прикл. механики и техн. физики. 2002. Т. 43. No. 5. С. 114-123.

33. Степанова JI. В., Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о трещине типа I в связанной постановке// Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. Воронеж. 2004. Ч. 1. Т. 2. С. 475-478.

34. Степанова JI. В., Федина М. Е. Поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью// Вестник СамГУ. 2004. No. 2(32). С. 62-78.

35. Сиратори М., Миеси Т., Мачусита X. Вычислительная механика разрушения. М.: Мир, 1986. 336 с.

36. Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в условиях ползучести в среде с поврежденно-стью// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвузовской конференции. Самара. 2000. С. 165-169.

37. Федина М. Е. Автомодельное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в связанной постановке// Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы школы-семинара. Воронеж. 2000. С. 465-468.

38. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

39. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

40. Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде// При-кл. матем. и механика. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 476-488.

41. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

42. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещиню М.: Наука. Физматлит, 1996. 228 с.

43. Astafjev V. I., Sirochenko V. P. Numerical solution of self-similar creep crack grows problem// Optimisation of Finit Element Approximation. Int. Conf. Book of Abstract. St.-Petersburg. 1995. P. 31-32.

44. Astafjev V. I., Sirochenko V. P. Numerical solution of self-similar creep crack grows problem// NM-CM-96. Int. Conf. on Num. Method in Сотр. Mech. Sciences and Engineering. Book of Abstract. Miscols. 1996. P. 6.

45. Atkinson C., Eshelby J. D. The flow of energy into the tip of a moving crack// Int. J. Fracture Mechanics. 1968. V. 4. No. 1. P. 3-18.

46. Atluri S. N., Nishioka T. Path-independent integrals, energy release rates and general solution of near-tip fields in mixed mode dynamic fracture mechanics// Engn. Fracture Mechanics. 1983. V. 18. P. 1-22.

47. Bui H. D. Mecanique de la Rupture Fragile. Paris: Masson, 1978. 216 pp.

48. Bui H. D. Dualite entre les integrales independantes du contour dans la theorie des solides fissures// C. R. Acad. Sci. Paris. 1973. V. 276A. P. 1425-1428.

49. Bui H. D. Dual path independent integrals in the boundary value problems of crack// Engn. Fracture Mechanics. 1974. V. 6. P. 287.

50. Chaboche J. L. Phenomenological aspects of Continuum Damage Mechanics// Theoretical and Applied Mechanics. P. German, M. Piau and D. Caillerie (Editors). IUTAM. 1989. 41-56 pp.

51. Cherepanov G. P. Cracks in solids// Int. J. Solids Structures. 1968. V. 4. P. 811-831.

52. Cherepanov G. P. Mechanics of brittle fracture. N. Y.: McGraw Hill, 1979. 950 p.

53. Cocks А. С. F., Ashby M. F. The growth of dominant crack in a creeping material// Scr. Metall. 1982. V. 16. P. 109-114.

54. Du Z.-Z., Hancock J. W. The effect of non-singular stresses on crack-tip constraint// J. Mech. Phys. Solids. 1991. V. 39. No. 4. P. 555-567.

55. Ehrlacher A. Path-independent Integral for the Calculation of the Energy-release Rate in Elastodynamics// In: Advances in Fracture Research. CFA Paris, Fracture 81, 1981. Ed. D. Francois. V. 5. P. 2187-2194.

56. Eshelby J. D. The Force on an Elastic Singularity// Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1951. V. A244. P. 87-112.

57. Feng X.-Q., Yu S.-W. Analyses of damage localization at crack tip in a brittle damage matherial// Engn. Fracture Mechanics. 1996. V. 53. No. 2. P. 169-177.

58. Fletcher D. C. Conservation laws in linear elastodynamics// Arch. Rat. Mech. Anal. 1976. V. 60. P. 329-353.

59. Freund L.B. Energy flux into the tip of an extending crack in an elastic body// J. Elasticity. 1972. V. 2. P. 341-349.

60. Freund L. В., Hutchinson J. W. High strain-rate crack growth in rate-dependent plastic solids// J. Mech. Phys. Solids. 1985. V. 33. No. 2. P. 169-191.

61. Goldman N. L., Hutchinson J. W. Fully plastic crack problems: The center-cracked strip under plane strain// Int. J. Solids Structures. 1975. V. 11. P. 575-591.

62. Gunter W. Uber einige Randintegrale der Elasto-Mechanik// Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 1962. No. 14. P. 53-72.

63. Hayhurst D. R., Dimmer P. R., Morrison C. J. Development of continuum damage in creep rupture of the notched bars// Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1984. A311. P. 103-129.

64. Hayhurst D. R., Leckie F. A. In: Mechanical Behavior of Materials, Proceeding of ICM4. J. Carlsson and Ohlson, Eds., Pergamon Press, Oxford. 1984. V. 2. P. 1195-1212.

65. Hui C. Y., Riedel H. The asymptotic stress and strain fields near the tip of a growing crack under creep conditions// Int. J. of Fracture. 1981. V. 17. P. 409-425.

66. Hui C. Y. The mechanics of self-similar crack growth in an elastic power-law creeping material// Int. J. Solids Structures. 1986. V. 22. No. 4. P. 357-372.

67. Hult J. A. H., McClintock F. Elastic-plastic stress and strain distribution around sharp notches under repeated shear// Proc. 9th Int. Congress on Applied Mechanics. 1956. V. 8. P. 51-58.

68. Hutchinson J. W. Singular behavior at the end of tensil crack in a hardening material// J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16. P. 13-31.

69. Jin Z. H., Batra R. C. Crack shielding and material deterioration in damaged materials: an antiplane shear fracture problem//Arch, of Appl. Mech. 1998. No. 68. P. 247-258.

70. Kachanov L. M. Introduction to Continuum Damage Machanics. Dordrecht, Boston: Martinus Nijhoff, 1986. 135 pp.

71. Kim J.-J., Lee S.-B. A tensile crack in creeping solids with large damage near the crack tip// Int. J. of Fracture. 2001. V. 112. P. 43-55.

72. Knowles J. К., Sernberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics// Arch. Rat. Mech. Anal. 1972. V. 44. P. 187-211.

73. Krajtinovic D. Damage Mechanics. Amsterdam: Elsevier Science В. V., 1996. 762 pp.

74. Kubo S., Ohji K., Ogura K. An analysis of creep crack propagation on the basis of the plastic singular stress field// Engn. Fracture Mechanics. 1979. V. 11. P. 315-329.

75. Kumar V., German M. D., Shih C. F. An engineering approach for elastic-plastic fracture analysis// Report NP-1931 on Project 1237-1 for Electric Power Research Institute. Palo Alto. California, 1981.

76. Landes J. D., Begley J. A. A fracture mechanics approach to creep crack grows/ In: Mechanics of Crack Growth. ASTM STP 590.1976. P. 128-148.

77. Lee S. В., Lu M., Kim J. Y. An asymptotic analysis of a tensile crack in creeping solids coupled with cumulative damage Part I. Small damage region around the crack tip// Int. J. Solids Structures. 1997. V. 34. No. 24. P. 3163-3178.

78. Lee S. В., Lu M., Kim J. Y. An asymptotic analysis of a tensile crack in creeping solids coupled with cumulative damage Part II. Small damage region around the crack tip// Int. J. Solids Structures. 1997. V. 34. No. 10. P. 1183-1197.

79. Lemaitre J. A. Course on Damage Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 210 pp.

80. Lu M., Lee S. B. Eigenspectra and order of singularity at a crack tip for a power-law creeping medium // Int. J. of Fracture. 1998. V. 92. P. 55-70.

81. Luccioni В., Oiler S., Danesi R. Coupled plastic-damaged model// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996. V. 129. No. 1-2.

82. Mahmoud К. M., Kassir M. K. Damage field ahead of a tensile crack in an elastic-plastic and viscoplastic material// Int. J. of Fracture. 1999. V. 96. P. 149-165.

83. Makarova T. N., Stepanova L. V. Finite Difference method in a creep damage coupled mode III crack problem// XXXII Summer School -Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2004. C. 73.

84. Мои Y., Han R. P. S. Influence of damage in vicinity of a macrocrack tip// Engn. Fracture Mechanics. 1996. V. 55. No. 4. P. 617-632.

85. Murakami S. Mechanical modelingof material damage// J. Appl. Mech. 1988. V. 55. No. 2. P. 280-286.

86. Murakami S., Hirano Т., Liu Y. Asymptotic fields of stress and damage of a mode I creep crack in steady-state growth// Int. J. Solids Structures. 2000. No. 37. P. 6203-6220.

87. Murakami S., Liu Y., Mizuno M. Computational methods for creep fracture analysis by damage mechanics// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. V. 183. P. 15-33.

88. Noether E. Invariante Variations Problem// Kgl. Ges. Wiss. Nachr. Gottingen. Math-Physik. Kl. 1918. s. 235-257.

89. Olver P. J. Conservation laws in elasticity I. General results// Arch. Rational Mech. Anal. 1984. V. 85. P. 119-129.

90. Olver P. J. Conservation laws in elasticity II. Linear Homogeneous isotropic elastostatics// Arch. Rational Mech. Anal. 1984. V. 85. P. 131-160.

91. Olver P. J. Symmetry Groops and Path-Independent Integrals/ In: Fundamentals of Deformation and Fracture. Eshelby Memorial Symposium, Sheffild 2-5 April, 1984. eds. B.A. Bilby et al. Cambrige: Cambrige University Press, 1985. P. 57-71.

92. Phedina M. E., Stepanova L. V. Far field stress asymptotic behavior in growing creep crack problem for a damage material// XXXII Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2004. C. 86.

93. Radayev Y. N., Murakami S., Hayakawa K. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics// Trans. Japan Soc. Mech. Engn. 1994. V. 60A. No. 580. P. 68-76.

94. Rice J. R. A Path Independent Integral and the Approximate of Strain Concentration by Notches and Cracks// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1968. No. 35. P. 379-386.

95. Rice J. R., Rosengren G. F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material// J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16. P. 1-12.

96. Riedel H., Rice J. R. Tensile crack in creeping solids/ In: Fracture Mechanics. Twelfth Conference ASTM STP 700. 1980. P. 112-130.

97. Riedel H. The extansion of a macroscopic crack at elevated temperature by the growth and coalescence of microvoids/ In: Creep in Structures. Berlin: Springer, 1981. P. 504-519.

98. Riedel H. Fracture at High Temperature. Berlin: Springer, 1987. 418 pp.

99. Stepanova L. V., Fedina M. E. Self-similar solution of the antiplane shearfracture problem in a coupled formulation (creep-damage)// Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2002. V. 43. No. 5., P. 731-738.

100. Stepanova L. V., Phedina M. E. An asymptotic stress analysis of mode I crack in creeping damaged solids// XXXII Summer School Conference "Advanced Problem in Mechanics". St. Petersburg, 2004. P. 95.

101. Stepanova L. V., Phedina M. E. An asymptotic analysis of mode I crack in creeping damaged solids // XXI ICTAM04 Abstract Book and CD-ROM Proceedings by IPPT PAN, Warsaw. ISBN 83-89687-01-1, 2004. P. 238.

102. Varias A. G., Shin C. F. Quasi-static crack advance under a range of constraints steady-state fields based on a characteristic length// J. Mech. Phys. Solids. 1993. V. 41. No. 5. P. 835-861.

103. Wang Т., Kishimoto K. Higher order fields for damaged nonlinear antiplane shear notch, crack and inclusion problems// Engn. J. Mech. A. Solids. 1999. No. 18. P. 963-986.

104. Zhao J., Zhang X. The asymptotic study of fatigue crack growth based on damage mechanics// Eng. Frac. Mech, 1995. V. 50. No. 1. P. 131-141.

105. Zhao J., Zhang X. On the process zone of a quasi-static growing tensile crack with power-law elastic-plastic damage// Int. J. of Fracture. 2001. V. 108. P. 383-395.