Математические модели деформирования и разрушения в условиях ползучести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

004ЬИ7ьэЗ

На правах рукописи

Степанова Лариса Валентиновна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 2 СЕН 2010

Пермь - 2010

004607653

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН Анатолий Арсангалеевич АДАМОВ

доктор технических наук, профессор Московского инженерно-физического института Евгений Михайлович МОРОЗОВ

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Института физики прочности и материаловедения СО РАН Юрий Павлович СТЕФАНОВ

Ведущая организация: Исследовательский центр проблем энергетики Казанского научного центра РАН, г. Казань

Защита диссертации состоится «¿23» года в 14 часов на за-

седании диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан « гиомо-

2010 г.

Ученый секретарь /")/

диссертационного совета, /{/¡.[Ыь/А-л Березин И.К.

доктор технических наук / У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Поскольку единой, математически развитой и завершенной теории роста трещин в сплошной среде к настоящему моменту не существует, особенно интересны и актуальны исследования, затрагивающие и объединяющие несколько областей механики: актуальными представляются связанные задачи континуальной механики поврежденности и теории ползучести. Континуальная механика поврежденности является новым и активно развивающимся разделом механики деформируемого твердого тела.

Под поврежденностью обычно понимают сокращение упругого отклика тела вследствие уменьшения эффективной, несущей нагрузку площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой, обусловленного образованием и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещин, дислокаций, микро-пор, поверхностных микротрещин).

Поскольку повреждения тела существенно влияют на характер его разрушения, то становится очевидным, что и механика разрушения и механика поврежденности призваны решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела. В простейшем варианте поврежденность можно описать некоторым скаляром, структурным параметром - параметром сплошности, введенным JI.M. Качановым. Ю.Н. Работнов ввел функцию, равную нулю в начальном состоянии и единице в момент разрушения, которую можно принять за меру охрупчивания. Эту функцию естественно назвать поврежденностью. Работы JI.M. Качанова и Ю.Н. Работнова стали основополагающими для континуальной механики поврежденности.

Влияние поврежденности на развитие трещин и модели предразрушения и задержки разрушения исследовались A.A. Вакуленко и Н.Ф. Морозовым. Весомый вклад в конкретизацию уравнений состояния теории установившейся ползучести и длительной прочности на основе введения скалярной меры поврежденности принадлежит С.А. Шестерикову. Вопросам докритического роста трещин в условиях ползучести с учетом процессов накопления повреждений и коррозионного растрескивания металлов в водородсодержащей среде с позиций континуальной механики поврежденности посвящены исследования В.И. Астафьева. Математические модели накопления повреждений на закритической стадии деформирования и структурного разрушения композиционных материалов представлены в работах В.Э. Вильдемана, Ю.В. Соколкина и A.A. Ташкинова. Математическая модель накопления анизотропной поврежденности в твердых телах, позволяющая описывать распределение поврежденности по ориентациям, предложена Ю.Н. Радае-вым. Численному моделированию процессов деформирования, поврежденности и континуального разрушения нелинейных материалов и конструкций посвящены работы В.Н. Кукуджанова и Н.Г. Бураго. Математическая теория деформирования и разрушения сложных сред, к которым относятся неоднородные среды, содержащие микропоры, трещины, включения и другие особенности структуры,

предложена E.B. Ломакиным. В рамках этой теории на основе решения задач о пластическом течении тел при различных условиях нагружения показано, что связанная с наличием повреждений зависимость пластических свойств материала от вида напряженного состояния существенным образом изменяет значения предельных нагрузок.

Результаты экспериментальных исследований масштабно-структурных уровней интенсивной пластической деформации и усталостного разрушения на ме-зоуровне представлены в работах Т.Ф. Елсуковой и В.Е. Панина, где выявлены механизмы «разрыхления» материала в вершине трещины, необходимого для ее продвижения.

Среди зарубежных авторов следует упомянуть Z.P. Bazant, J. Betten, H.D. Bui, J.L. Chaboche, H. Gao, D. Gross, P.I. Kattan, D. Krajcinovic, J.B. Leblond, J. Le-maitre, G.A. Maugin, Z. Mroz, S. Murakami, Q.S. Nguyen, H. Riedel, G.Z. Voyiadjis.

Исследования по тематике диссертационной работы поддерживались РФФИ (проекты 96-01-01064-а, 99-01-01246-а, 00-01-81067-Бел2000-а, 02-01-00311-а, 06-08-01059-а, 08-01-99023-р-офи, 08-08-00971-а), грантом Президента РФ (МК - 6717. 2006.1), а также частично финансировались французским правительством (Bourse du Gouvernement Français, Ministère des Affaires Étrangères; No. 445025F).

Цель исследования заключается в разработке математических моделей описания деформирования и разрушения элементов конструкций с дефектами в условиях ползучести с учетом процессов накопления рассеянных микроповреждений, оценке влияния рассеянной поврежденности на механические поля в окрестности вершины трещины на основе анализа связанных задач теории ползучести и поврежденности; анализе напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическое описание процесса накопления микроповреждений вблизи вершины макротрещины на основе введения области полностью поврежденного материала, внутри которой параметр сплошности достиг своего критического значения. Геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления рассеянных повреждений. Зависимость, в соответствии с которой изменяется граница области полностью поврежденного материала с течением времени.

2. Асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности у вершин трещин нормального отрыва, антиплоского и поперечного сдвига в условиях ползучести в связанной формулировке задачи (в связке ползучесть - поврежденность) с использованием автомодельной переменной и автомодельного представления решения. Высшие приближения в асимптотических разложениях механических полей на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области

полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, с характерным линейным размером образца).

3. Промежуточная асимптотика полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности у вершины трещины в среде с поврежденностью в связанных задачах теории ползучести и континуальной механики поврежденности.

4. Численный анализ уравнений задачи об антиплоской деформации образца с трещиной, сформулированных в терминах автомодельной переменной, проведенный методом конечных разностей.

5. Исследование собственных значений нелинейных задач на собственные значения, к которым сводятся проблемы определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями, методом возмущений в задаче антиплоского сдвига. Точная аналитическая формула, выражающая зависимость собственного значения, соответствующего нелинейной задаче, от показателя нелинейности материала и от собственного значения, отвечающего линейной задаче.

6. Приближенная оценка собственных значений в нелинейных задачах на собственные значения, к которым приводит анализ напряженно-деформированного состояния у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями.

7. Исследование влияния скоростей упругих деформаций у вершины растущей трещины в упругом нелинейно-вязком материале с учетом процессов накопления повреждений. Зависимость скорости роста трещины от параметров материала в поврежденной среде.

8. Приближенные аналитические решения задач о трещине, находящейся под действием поперечного сдвига, а также под действием смешанного нагружения (нормальный отрыв и поперечный сдвиг), в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния. Поля напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в образце, подвергнутому смешанному нагружению (отрыв и поперечный сдвиг) при различных значениях коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Характер особенностей скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

Установлено промежуточно-асимптотическое поведение напряжений у вершины трещины в среде с поврежденностью в связанной постановке задачи (ползучесть - поврежденность).

С использованием автомодельной переменной проведено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и поврежденности у вершины трещины в условиях ползучести в связанной (ползучесть - поврежденность) плоской постановке задачи. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала. В рамках концепции

маломасштабной поврежденности определена геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления повреждений. На основании проведенного асимптотического анализа и полученного численного решения нелинейной задачи на собственные значения установлена новая асимптотика дальнего поля напряжений, определяющая геометрию этой области и приводящая к близким конфигурациям области полностью поврежденного материала, построенным с помощью двух-, трех- и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности.

Предложен способ определения всего спектра собственных значений нелинейных задач на собственные значения, следующих из проблем определения напряженно-деформированного состояния вблизи края трещины или острого выреза в материале со степенным определяющим уравнением, основанный на методе возмущений. Показано, что метод возмущений для задачи антиплоского сдвига позволяет найти аналитическую зависимость собственного значения от показателя нелинейности материала и собственного числа, соответствующего линейной задаче. В нелинейных задачах на собственные значения, получаемых при применении метода разложения по собственным функциям компонент тензора напряжений у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига, получены приближенные оценки собственных значений. Найден весь спектр собственных чисел, но не только собственное число, соответствующее задаче Хатчинсона - Райса -Розенгрена.

Включены скорости упругих деформаций в анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины растущей трещины в поврежденной среде в связанной постановке (в комбинации "упругость - ползучесть - повре-жденность").

Рассмотрен класс задач о трещинах в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести. Получены приближенные аналитические решения задач о трещине, находящейся под одновременным действием нормальной растягивающей нагрузки и поперечного сдвига, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону ползучести в предположении реализации плоского деформированного и плоского напряженного состояний для различных значений коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений представляется различными функциональными зависимостями в ансамбле клинообразных областей (секторов), вводимых в рассмотрение в окрестности вершины трещины. Выявлен характер особенностей скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и проводимых преобразований; основывается на последовательном использовании современных математических методов и классических подходов

нелинейной механики сплошных сред; подтверждается сравнением результатов с известными решениями других авторов и имеющимися экспериментальными данными, согласованностью результатов, полученных различными способами.

Научная и практическая значимость результатов. Теория связанных (ползучесть - поврежденность) задач имеет важные приложения во многих областях техники: оценка прочности и долговечности инженерных конструкций, проектирование и эксплуатация энергосилового оборудования. Проведенное в диссертационной работе исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности у вершины трещины в связанной постановке задачи позволит усовершенствовать существующие критерии распространения трещины и получить новые формулы для вычисления скорости ее роста и, следовательно, прийти к более точным оценкам прочности и долговечности элемента конструкции.

Разработанные модели и методы расширяют возможности исследования процессов деформации, накопления рассеянных повреждений и разрушения. С их использованием могут рассматриваться как конкретные задачи прикладного характера, так и научного плана, обеспечивающие расширение представлений о деформационных процессах в металлах в условиях ползучести.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах:

- Семинар кафедры математического моделирования систем и процессов под руководством д.ф.-м.н., проф. П.В. Трусова, Пермский государственный технический университет (5 февраля 2010 г., Пермь);

- Научный семинар лаборатории вычислительной механики деформирования и разрушения под руководством д.т.н., проф. В.Н. Шлянникова, Исследовательский центр проблем энергетики Казанского научного центра РАН (23 октября 2009 г., Казань);

- Семинар под руководством академика РАН Н.Ф. Морозова, Институт проблем машиноведения (28 сентября 2009 г., Санкт-Петербург);

- Семинар Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН под руководством академика РАН В.П. Матвеенко (24 июня 2009 г., Пермь);

- Расширенный научный семинар кафедры математического моделирования в механике Самарского государственного университета (19 мая 2009 г., Самара);

- Семинар Отдела математической физики под руководством член-корр. РАН И.В. Воловича, МИАН им. В.А. Стеклова (26 марта 2009 г., Москва);

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством академика РАН И.Г. Горячевой, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова (6 октября 2008 г., Москва);

- Научный семинар научно-исследовательского отдела EDF (April 28, 2005; Research and Development Division, Electricité de France, Clamart, France);

- Научный семинар кафедры механики твердого тела Политехнической школы (April 7, 2005; Ecole Polytechnique, Laboratoire de Mécanique des Solides, Palaiseau, France);

- Семинар 11 Актуальные проблемы математики и механики" кафедры механики сплошных сред под руководством д.ф.-м.н., проф. В.И. Астафьева, Самарский государственный университет (2000, 2001, 2004 гг., Самара).

Различные части работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

- III Всероссийская конференция "Ползучесть в конструкциях" (29 мая - 2 июня 1995 г., Новосибирск);

- Зимняя школа по механике сплошных сред (23 февраля - 1 марта 1997 г., Пермь; 24 февраля - 1 марта 2003 г., 28 февраля - 3 марта 2005 г., 27 февраля -2 марта 2007 г., 24 - 27 февраля 2009 г.);

- XIV Международная школа по моделям механики сплошной среды (17 - 24 августа 1997 г., Жуковский);

- Международная школа-семинар Воронежского государственного университета "Современные проблемы механики и прикладной математики" (25 сентября - 30 сентября 2000 г., 4 июня - 8 июня 2002 г., 25 мая - 28 мая 2004 г., Воронеж);

- VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (23 - 29 августа 2001 г., Пермь);

- 15th International conference on computer methods in mechanics, CMM - 2003 (June 3-6, 2003, Gliwice/Wisla, Poland);

- International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations" (September 15-21, 2003, Alushta, Ukraine);

- Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"(June 24 - July 1, 2004, St. Petersburg; June 28 - July 5, 2005; June 25 - June 30, 2006; June 28 -July 5, 2007);

- 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (15 - 21 August 2004, Warsaw, Poland) ;

- Третья Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (29 - 31 мая 2006 г., Самара);

- 16th European Conference on Fracture (July 3 - 7, 2006, Alexandroupolis, Greece);

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (22 - 28 августа 2006 г., Нижний Новгород);

- Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (29 января - 2 февраля 2007 г., Самара);

- Международная конференция по математической физике и ее приложениям (8 - 13 сентября 2008 г., Самара);

- Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (30 марта - 2 апреля 2009 г., Москва);

- Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному моделированию и разработке новых материалов (7-11 сентября 2009 г., Томск);

- Вторая международная конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" (8-11 декабря 2009 г., Казань).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 40 статей, из них 18 - в российских журналах из перечня ВАК, 2 - в зарубежных рецензируемых журналах, 20 - в материалах международных и всероссийских конференций. Тематика диссертации отражена в двух монографиях, одна из которых - коллективная.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 460 наименований. Работа изложена на 385 страницах машинописного текста, включая 18 таблиц и 112 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность научного направления, приведен подробный обзор научной литературы по соответствующей проблематике, сформулированы цель работы, ее научная новизна, применение и практическая ценность. Изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В Главе I рассматривается текущее состояние проблем определения напряженно-деформированного состояния и конфигурации области полностью поврежденного материала в окрестности вершин неподвижной и растущей трещин в связанной постановке, обсуждаются характерные особенности связанных моделей упругости, пластичности, ползучести и поврежденности и их интегрирование.

Исследованию полей напряжений, деформаций и сплошности (поврежденности) в связанной постановке задачи в различных связках (упругость - повре-жденность, пластичность - поврежденность, ползучесть - поврежденность и более сложных) в последнее время уделяется значительное внимание.1

Связанность постановки задачи обусловлена необходимостью описания влияния накопления микродефектов в теле с макроскопической трещиной на напряженно-деформированное состояние с одной стороны, и, с другой стороны, желанием учесть обратный процесс, а именно, процесс изменения напряженно-деформированного состояния вследствие образования и роста микродефектов.

Установлено,2 что накопленные в теле с макрогрещиной повреждения приво-

1Кукуджанов, В.Н. Компьютерное моделирование деформирования, повреждаемости и разрушения неупру-гшс материалов и конструкции/ В.Н. Кукуджанов. - М.: МФТИ, 2008. - 215 с.

Кукуджанов, В.Н. Связанные модели упругопластичности и поврежденности и их интегрирование/ В.Н. Кукуджанов// Известия РАН. MTT. - 2006. - №6. - С. 103 - 135.

Riedel, H. Creep Crack Initiation and Growth/ H. Riedel// Encyclopedia of Materials: Science and Technology. -2008. - P. 1767 - 1773.

Bui, H.D. Fracture mechanics. Inverse problems and solutions/ H.D. Bui. - Berlin: Springer, 2006. - 375 p.

Voyiadjis, G.Z. Advances in Damage Mechanics: Metals and Metal Matrix Composites/ G.Z. Voyiadjis, P.I. Kattan. - Oxford: Elsevier, 2006. - 708 p.

2 Астафьев, В.И. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести/В.И. Астафьев, Т.В. Григорова, В.А. Пастухов// ФХММ. - 1992. -Т. 28. -№1. - С. 5-11.

Астафьев, В.И. Распределение напряжении и поврежденности у вершины растущей в процессе ползучести трещины/ В.И. Астафьев, Т.В. Григорова// Известия РАН. МТТ. - 1995. - №3. - С. 160-166.

Murakami, S. Asymptotic fields of stress and damage of a mode I creep crack in steady - state growth/ S. Murakami, T. Hirano, Y. Liu// Int. J. Solids Struct. - 2000. - V. 37. - P. 6203-6220.

Murakami, S. Computational methods for creep fracture analysis by damage mechanics/S. Murakami, Y. Liu, M.

дят к отсутствию характерной как для линейной, так и для нелинейной механики разрушения сингулярности поля напряжений в окрестности вершины трещины, либо к ее существенному ослаблению.

Моделирование разрушения вблизи вершины трещины осуществляется с помощью введения либо зоны процесса, в которой происходит активное накопление повреждений, либо области полностью поврежденного материала (или так называемой зоны насыщения, в которой параметр поврежденности (или сплошности) достиг своего критического значения и, следовательно, поврежденность больше не накапливается и все компоненты тензора напряжений обращаются в нуль). Задача нахождения конфигурации области полностью поврежденного материала, либо области активного накопления повреждений у вершины трещины не является еще полностью исследованной и для ее решения можно воспользоваться предположением о маломасштабной поврежденности, когда характерный линейный размер зоны активного накопления повреждений мал по сравнению с длиной трещины, с характерным линейным размером образца. Концепция маломасштабной поврежденности является естественным развитием гипотезы о маломасштабном пластическом течении в окрестности вершины трещины, которая часто используется при изучении напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в упругопластических материалах, в рамках которой изучается непосредственная окрестность вершины трещины, и в такой постановке трещина предполагается полубесконечной, а истинные граничные условия заменяются условиями асимптотического сближения с особым упругим решением.3

В первой главе приведены постановка и решение задачи о неподвижной трещине в среде с поврежденностью в связанной постановке (в связке ползучесть - поврежденность) с использованием автомодельной переменной, предложенной для степенных определяющих соотношений, связывающих скорости деформаций ползучести и напряжения. Характерной особенностью задач о трещинах в связанной постановке (связка "ползучесть — поврежденность") является существование у вершины трещины области полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность обращаются в нуль. Поэтому наряду с определением напряженно-деформированного состояния вблизи кончика трещины интерес представляет исследование геометрии данной области. В рамках проведенного асимптотического анализа построены асимптотические разложения

Mizuno// Comput. Methods Appl. Mech. Engng. - 2000. - V. 183. - P. 15-33.

Jin, Z.H. Crack shielding and material deterioration in damaged materials: an antiplane shear fracture problem/Z.H. Jin, R.C. Batra// Arch. Appl. Mech. - 1998. - №68. - P. 247-258.

Zhao, J. On the process zone of a quasi-static growing tensile crack with power-law elastic-plastic damage/J. Zhao, X. Zhang// Intern. J. of fracture. - 2001. - V. 108. - P. 383-395.

Tohgo, K. Elastic and elastic-plastic singular fields around a crack-tip in particulate-reinforced composites with progressive debonding damage/ K. Tohgo, T. Itoh// Int. J. of Solids and Structures. - 2005. - V. 42. - P. 6566-6585.

Castro, J.T.P. Fatigue crack growth predictions based on damage accumulation calculations ahead of the crack tip/ J.T.P. Castro, M.A. Meggiolaro, A.C.O. Miranda// Comp. Materials Science. - 2009. - V. 46. - P. 115-123.

3Райс, Дж. Напряжения, обусловленные острым вырезом в упрочняющемся упруго-пластическом материале при продольном сдвиге/ Дж. Райс//Труды Американского общества инженеров-механиков. - Серия Е. -Прикладная механика. - 1967. - №2. - С. 32-46.

компонент тензора напряжений и параметра сплошности (для больших расстояний от вершины трещины) и определена конфигурация области полностью поврежденного материала, моделируемой у кончика трещины, для различных значений показателей степеней степенного закона ползучести и кинетического уравнения накопления повреждений.

Мгновенный отклик материала, характеризуемого степенными определяющими соотношениями закона Бейли-Нортона теории установившейся ползучести

где ёц - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести; - компоненты девиатора напряжений; ае - интенсивность напряжений; "ф - параметр сплошности Качанова4 (ш = 1 — -ф - параметр поврежденности Работнова5); В, тг - константы материала, где параметр сплошности эволюционирует согласно кинетическому уравнению, постулирующему степенной закон накопления повреждений

А, т — постоянные материала, определяемые экспериментально; £ -время; ае<р1 — = аае + Ра1 + (1 — а — Р)акк - эквивалентное напряжение; и 1 - максимальное главное напряжение; <Ткк ~ гидростатическое напряжение; константы а и (3 находятся экспериментально; является нелинейно-вязким. Развитие поврежденности при малых временах после приложения нагрузки локализуется в непосредственной окрестности вершины трещины и может быть описано с помощью концепции маломасштабной поврежденности, аналогичной предположению о реализации маломасштабного пластического течения в упругопластических задачах механики трещин. Предполагается, что в окрестности вершины стационарной трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений равны нулю, а скалярный параметр сплошности достигает своего критического значения (в данном случае предполагается, что это значение равно нулю). В соответствии с гипотезой о маломасштабной поврежденности на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером образца), поле напряжений определяется решением Хатчинсона-Райса-Розенгрена (решением аналогичной задачи без учета процесса накопления повреждений 'ф = 1):

4Качанов, Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести/Л.М. Качанов// Известия АН СССР. ОТН. - 1958. - С. 26-31.

5Работвов, Ю. Н. О механизме длительного разрушения/ Ю.Н. Работнов// Вопросы прочности материалов и конструкций. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - С. 5-7.

(1)

(2)

(3)

Начальное условие при 1 = 0и граничное условие в бесконечно удаленной точке (3) совпадают, поскольку они задаются решением задачи для "ф = 1.

Анализ размерности величин, входящих в уравнения (1) - (3), позволяет установить, что для определяющих соотношений (1), кинетического уравнения (2), начальных и граничных условий (3) существует автомодельная переменная

К = г(А1)-(п+1)/тВ1п/С* (4)

и система уравнений задачи допускает автомодельное представление решения:

Следует отметить, что граничное условие в бесконечно удаленной точке может быть сформулировано в более общей по сравнению с (3) форме

Сту(г —> оо, в, £) —> Сг3дц(в, гг) (5)

Показатель степени в подлежит определению в ходе решения задачи, С - амплитуда поля напряжений на бесконечности, определяемая геометрией реального образца и системой приложенных нагрузок.

Для степенных определяющих соотношений (1), кинетического уравнения (2) и более общих граничных условий (5) существует автомодельная переменная

д = Г (лгс"1] . (6)

В механике деформируемого твердого тела целесообразно начинать изучение явления с наиболее простой с математической точки зрения задачи - задачи о трещине антиплоского сдвига. В автомодельных переменных уравнения задачи антиплоского сдвига пространства с полубесконечной трещиной принимают вид: уравнение равновесия

(ДгдДд + твгл = 0; (7)

условие совместности, сформулированное для скоростей деформаций ползучести

(ЯтвДд = 7нг,е,

где = (£)""1да) = *=(8)

кинетическое уравнение накопления повреждений

= -8771 (т/фУ , (9)

где й = — 1/(п + 1). Решение системы уравнений (7) - (9) должно удовлетворять граничным условиям: условию отсутствия поверхностных усилий на верхнем берегу трещины тдг(Я, в = 7г) = 0 и условию симметрии на ее продолжении тД2(Я,0 = О)=О.

Асимптотическое условие сближения разыскиваемого решения с распределением напряжений Райса при Я —> оо имеет вид

оо,0) = Я-1^п+1'ту(0,п). (Ю)

Характерной чертой, присущей двумерным задачам о трещинах в связанной постановке (в связках упругость - поврежденность, пластичность - поврежден-ность, ползучесть - поврежденность), является существование особой области у вершины макроскопического дефекта - области процесса, в которой происходит активное накопление повреждений. Многие исследователи вводят в рассмотрение совокупность областей: область насыщения или область полностью поврежденного материала, в которой параметр поврежденности достиг своего критического значения и далее не эволюционирует. Область насыщения, в свою очередь, охвачена областью активного накопления повреждений, где повреждения накапливаются в соответствии с кинетическим уравнением, и, далее, эта область окружена областью неповрежденного материала. Определение границы области полностью поврежденного материала представляет собой самостоятельную задачу, для анализа которой предлагается описываемый ниже метод разложения компонент тензора напряжений и параметра сплошности в ряды по собственным функциям. Поскольку данная область, в которой параметр сплошности и все компоненты тензора напряжений равны нулю, образуется у вершины трещины, то в непосредственной окрестности вершины трещины невозможно разыскивать асимптотические разложения напряжений и параметра сплошности.

Асимптотические разложения компонент тензора эффективных напряжений и параметра сплошности разыскиваются при больших Я (при больших Я по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но малых по сравнению с характерным линейным размером рассматриваемого тела, по сравнению с длиной трещины) в форме

ф(Я, в) — 1 — Я71д^(9) — Я72д^(9) — Я7зд^(в) — Я74д^(9) — Я75д^(в)+о (Я75).

В силу асимптотических разложений (11) компоненты тензора напряжения при Я —► оо представимы в форме (асимптотический анализ уравнений показывает, что имеют место равенства ^ = /сят, .з^ = з + квтп)

ту (Я, в) = Я$т^(в) + Я°+°ттУ{е) + Я3+2атт^\в)-\-

+Кз+з«птЮ(в) + я«+4«птЦ\в) + о (Я»+4вт),

где т(?)(0) = /№)(б)> тМ(6) = ${в)-£$Шк-'Щ, 1.

1=0

Интенсивность касательных напряжений определяется асимптотическим выражением (при Я —> оо)

т/ф = Д7 (1 + Я^тМ + Д2.тг(2) + д35шТ(3) + Д4™т(4)^ + д _

где приняты обозначения

та) = г(1)(е) = /1/Л р= (/£>)Ч (/<°>)\ т = Е1!?т£А<>), ¿ = я,о, т(2) = (/2 - Л2/"2) /-2/2, г<3> = [6/з - з/,/2/-а + зл3/-4] /"2/6,

тМ = (1/2) [и - 2Ш~2 - (1/4)/!Г2 + (3/2)/?/,/-< - (5/4)/,3/-4] Г2.

Из уравнения равновесия (7) следует система обыкновенных дифференциальных уравнений

тв% + + квт + 1)тдг =°. Аг = 0,1,2,3,4,. Если ввести дополнительные обозначения

Сг = (п- 1)тЮ ч, = (п - 1) [г® + (1/2)(п - 2) (г!1))2] ,

(13)

т® + (п - 2)т«г® + (1/6)(п - 2)(п - 3) (т«)3] , г«4' + (п - + (1/2)(п - 2) (т<2>)2 +

сз = (п - 1) С4 = (п - 1)

+(1/2)(п - 2)(п - ЗХт^М2) + (1/(24))(п - 2)(л - 3)(п - 4) (г«)'

то пятичленные асимптотические разложения компонент тензора скоростей деформаций ползучести определяются формулами

7У(Я, в) = ПГ-у${0) + Я5("+т>7£,(0) + Д*(п+2т)7-?(0)+

+Д*(п+3т)7(3)(0) + + 0 (Д5(п+4т)) ^

где 7^(0) = -У$\в) = Г"1 [#(0) + £ с,(6)&-1\0)

1=1

(14)

к > 1.

Асимптотические представления (14) и условие совместности (8) приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

= К» + М + 1] /с = 0,1,2,3,4,....

{к)

(15)

Коэффициенты асимптотического разложения параметра сплошности - функции д^к\в) - находятся из кинетического уравнения накопления повреждений (9):

gU(9) = P\ дРЩ = (1/2)тГтЪ,

gW{0) = (1/3)rnfm [т® + (l/2)(m - 1) (r^)2] , gW(0) = (l/4)m/m >) + (m - lJr^M2) + (l/6)(m- l)(m - 2) (г«1))3] , g<5>(<?) = (l/5)mfm V^ + (m- l)r(1M3) + (l/2)(m- l)(r(2))2 + +(l/2)(m - l)(m - 2) (г«1»)2 r<2> + (l/24)(m - l)(m - 2)(m - 3) (r^)4] ,

Система уравнений (13), (15) была решена численно с помощью процедуры метода Рунге - Кутты - Фельберга. Система двух уравнений относительно функций ДО)(0) вместе с краевыми условиями приводит к задаче на собственные значения. Одно собственное значение, отвечающее задаче Райса,6 хорошо известно в = —1 /(п + 1). После нахождения собственного значения в и соответствующих ему собственных функций задача сводится к исследованию системы неод-

нородных линейных уравнений относительно /у'(б), где к > 1. Функции д^{в) определяются последовательно, одна за другой, что дает возможность для каждого к построить границу области полностью поврежденного материала. Граница области полностью поврежденного материала, определяемая к + 1-членным асимптотическим разложением параметра сплошности, находится из уравнения:

Результаты исследования показали, что, если в бесконечно удаленной точке граничное условие формулируется как условие асимптотического сближения с решением Райса (10), то границы области полностью поврежденного материала, определяемые двучленным и трехчленным асимптотическими разложениями параметра сплошности, значительно отличаются друг от друга и не удается построить границу области полностью поврежденного материала с помощью четырехчленного асимптотического разложения параметра сплошности, поскольку не существует корней уравнения ip(R,e) = 1 — R7ígМ — Rl2g№ — R73g^ = 0, отвечающих физическому смыслу автомодельной переменной R. Для установления асимптотики дальнего поля напряжений, управляющей геометрией области полностью поврежденного материала, граничное условие задачи формулируется в более общей форме (5), где собственное значение s подлежит определению в ходе решения задачи. Собственные значения s, ведущие к сходящимся к предельному контуру границам области полностью поврежденного материала, приведены в

6Hiee, J.R. Mathematical analysis in mechanics of fracture. Fracture. V. 2, Ed. H. Liebowitz. New York: Academic

Press, 1968. - P. 191-311. [Имеется перевод: Раис Дж. Математические методы в механике разрушения. В кн.

Разрушение. Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 204-335.]

к

(17)

Рис. 1. Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 3,5; т = 0.7п : 1 — конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 — конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 3 — конфигурация области, определяемая четырехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 4 — конфигурация области, определяемая пятичленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 5 — конфигурация области, определяемая шестичленным асимптотическим разложением параметра сплошности;

Л", = Х1{АЮт)1П°п), = х2(А1СтуИ'т)

Рис. 2. Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 7,9; т = ОЛп : 1 — конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 — конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 3 — конфигурация области, определяемая четырехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 4 — конфигурация области, определяемая пятичленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 5 — конфигурация области, определяемая шестичленным асимптотическим разложением параметра сплошности

Таблица 1. Собственные числа я для различных значений материальных констант

п = т = 1 Й = -1.5

п = 2, т = 0.7п в = -1.230291

п = 3, т = 0.7п в = -1.183013

п = 4, т = 0.7п я = -1.164790

п = 5, 771 = 0.7п Й = -1.155234

п = 6, т = 0.7я 5 = -1.149367

п = 7, т = 0.7тг Й = -1.145402

п = 8, т = 0.7п в = -1.142544

п = 9, т = 0.7п в = -1.140388

71 = 10, 771 = 0.771 5 = -1.138703

таблице 1. Границы области полностью поврежденного материала, определяемые равенствами (17), приведены на рис. 1, 2. Из рисунков ясно видно, что построенные контуры области полностью поврежденного материала сходятся к некоторому предельному контуру.

Делая вывод, можно заключить, что асимптотика Райса (10) не определяет конфигурацию области полностью поврежденного материала. Установленная новая асимптотика дальнего поля напряжений в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности ведет к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала для различных значений материальных констант определяющего соотношения и кинетического уравнения.

Для обоснования новой автомодельной асимптотики можно обратиться к численному эксперименту, в ходе которого найти численное решение системы уравнений (7) - (9) с соответствующими граничными условиями методом конечных разностей. С этой целью была введена сетка в прямоугольной области 0 ^ в ^ 7Г, 0 ^ Я ^ Ятах 1 на границе Я = Ятах которой задавались распределения напряжений согласно решению Райса. Таким образом, принималось предположение о выходе искомого решения на решение Райса на бесконечности. Результаты численного решения, найденные методом конечных разностей, представлены на рис. 3, 4. На рис. 3 показана зависимость компонент тензора напряжений, интенсивности касательных напряжений и параметра сплошности от автомодельной радиальной координаты Я (для д = тг/4). На рис. 4 показана зависимость интенсивности напряжений от автомодельной переменной Я при в = 7г/4 в двойных логарифмических координатах. Из рис. 4 видно, что при п = т = 1 при больших Я график очень близок к прямой линии, наклон которой равен —1/2, что соответствует решению Райса. Однако, при уменьшении Я, на кривой отчетливо выделяется другой прямолинейный участок, наклон которого близок к —3/2, что соответствует найденной новой промежуточной асимптотике поля напряжений при больших Я.

Рис. 3. Зависимость компонент тензора напряжений, интенсивности касательных напряжений и параметра сплошности от автомодельной переменной Л при в = 7г/4

Рис. 4. Зависимость интенсивности касательных напряжений от автомодельной переменной R при в = 7г/4 в двойных логарифмических координатах

В численном эксперименте также обнаруживается подобное поведение решения в двойных логарифмических координатах для других значений п. Таким образом, можно заключить, что найденное решение представляет собой новую автомодельную промежуточную асимптотику (когда решение перестает зависеть от деталей начальных и граничных условий) дальнего поля напряжений в задаче о трещине в среде с поврежденностью.

Для задачи о полубесконечной трещине нормального отрыва в неограниченном теле уравнения равновесия рассматриваемой задачи имеют вид

dorr , 1 дагв агг — сгце „ дагв 1 да0в , псггв . .

--1---н--= и> --1---— = и- V18J

ör г о9 г от г од г

Условие совместности деформаций, сформулированное для скоростей дефор-

маций ползучести, представляется в полярной системе координат в форме

О9 (гдёА _ дЧгг дегт д2{геое) .

2дг [г до до* г дг+г дт2 • 1 j

Кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления повреждений, имеет вид (2). Определяющие соотношения (1) представляются в форме:

3d (ae\n~l °rr ~ °оо ■ Ъ (ое\п1ото , ^

егг = -е00 = -В^-) —г_, ^ = -J. (М>

где aj = 2>(arr — ogg)2/4 + 3cr^g, в случае плоской деформации и

В /<7е\" 1 2<ТГГ — CTßff . В /<7е\П 1 2agg — CTrr . ЗВ (&е\П ' ffri

(21)

где а2 = ст^г + <т2в — аггоед + 3<т20, в случае плоского напряженного состояния.

Условия отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины имеют вид

адд{г, 9 = ±7Г, г) = 0, агв{г, 9 = ±тг, г) = 0. (22)

Граничное условие в бесконечно удаленной точке имеет форму (5), где значения в находятся в процессе решения задачи; а^(9,п) - функции, подлежащие определению.

Подобно выше рассмотренной задаче о трещине антиплоского сдвига анализ размерностей величин показывает, что может быть введена автомодельная переменная вида (6) и все уравнения задачи могут быть представлены в терминах автомодельной переменной Я. При этом уравнения равновесия задачи (18), условие совместности деформаций (19) и краевые условия (22) сохраняют свой вид, а кинетическое уравнение накопления повреждений принимает форму

= (<^еЧу/'Ф)т • (23)

Необходимо найти решение системы уравнений равновесия (18), условия совместности (19) и кинетического уравнения накопления повреждений (23), удовлетворяющее граничным условиям: условиям отсутствия поверхностных усилий на верхнем берегу трещины, условиям симметрии на ее продолжении и асимптотическому условию в бесконечно удаленной точке

<Ту(Л оо, в) -> Я$а^(9, п), (я < 0). (24)

Трехчленное асимптотическое разложение функции напряжений Эри F(Я, 9) и четырехчленное асимптотическое разложение скалярного параметра сплошности Я, 9) для больших расстояний от вершины трещины разыскиваются в виде:

ЯД, 61) = ЯА+1/(О)(0) + ДЛ1+1/(1>(0) + ДЛ2+1/(2)((9) + о(ЯАг+1), ■¡/»(Я, 9) = 1 - Юд{0\9) - - +

о (Я72),

Таблица 2. Собственные числа А, значения (/(0))"(0), /«(0), (/(1))"(0)> /(Ч(0) и (/«)" (0) в случае плоского напряженного состояния

п А (/№))" (0) /(1)(0) (/(1))"(0) /(2)(0) (/(2))" (0)

2 -0.154032 -0.568609 0.026030 0.059195 -0.001485 0.007279

3 0 -0.5 0.026039 0.002989 -0.000693 0.000099

4 0.086754 -0.465378 0.017107 -0.007461 -0.000755 0.000557

5 0.142129 -0.442391 0.011758 -0.010033 -0.000779 -0.001104

6 0.180348 -0.425683 0.008438 -0.010300 -0.000752 0.001532

7 0.208191 -0.419738 0.006260 -0.009766 -0.000698 0.001822

8 0.229306 -0.403021 0.004764 -0.008950 -0.000630 0.001990

9 0.245829 -0.395063 0.003700 -0.008062 -0.000559 0.002059

10 0.259090 -0.388592 0.002921 -0.007192 -0.000490 0.002054

где А, А1, Л2 7,71,72 и /^'(0), - неизвестные собственные значения и соб-

ственные функции, соответственно, подлежащие определению. Решение сформулированной системы уравнений разыскивается во всей плоскости за исключением полностью поврежденной зоны, примыкающей к вершине трещины и внутри которой материал не удовлетворяет сформулированной системе уравнений. Предполагается, что внутри области полностью поврежденного материала все компоненты тензора напряжений и сплошность обращаются в нуль, а на границе введенной области разыскиваемое решение должно удовлетворять условиям ф = 0, <7у = 0.

Определение функции /^(в) приводит к необходимости решения нелинейной задачи на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, называемой в современной научной литературе задачей Хатчинсона - Райса - Розенгрена. Одно собственное значение хорошо известно: А = п/(п + 1). Однако, как и ранее в задаче антиплоского сдвига, требование асимптотического выхода искомого решения на решение Хатчинсона - Райса -Розенгрена, не позволяет получить контуры области полностью поврежденного материала, сходящиеся к некоторому предельному контуру. Поэтому граничное условие в бесконечно удаленной точке принимается в более общей форме (24), где показатель й = Л — 1 подлежит определению в ходе решения нелинейной задачи на собственные значения. Новое промежуточно-асимптотическое поведение напряжений в задаче о трещине нормального отрыва в среде с поврежденностью в связанной постановке было найдено (таблица 2) и конфигурации областей полностью поврежденного материала представлены на рис. 5 для плоского деформированного состояния, на рис. 6 - для плоского напряженного состояния.

Таким образом, автомодельность связывается с нелинейной задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиаль-

Рис. 5. Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 4,6 и т = 0.7п; 1 -контур построен с помощью двучленного асимптотического разложения параметра сплошности, 2-е помощью трехчленного асимптотического разложения; 3 - посредством четырехчленного асимптотического разложения параметра сплошности (плоское деформированное состояние)

Рис. 6. Геометрия области полностью поврежденного материала для п = 3,5 и т = 0.7п (плоское напряженное состояние)

ным вопрос о множестве собственных значений - спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных.

Возвращаясь к размерным переменным, можно оценить размеры области полностью поврежденного материала и найти закон, по которому эволюционирует граница области полностью поврежденного материала

r(í) = Л(0)С,-1/,(ЛО~1/(яп). (25)

Откуда следует, что r(t) - Г^'Ч Можно отметить, что если бы условие в бесконечно удаленной точке формулировалось как условие сближения с решением Хатчинсона - Раиса - Розенгрена, то г ~ ¿(n+i)/m (но не Так как для

найденных собственных значений |s| > 1 /(п+ 1), то полученное решение приводит к меньшей скорости роста области полностью поврежденного материала.

Дифференцируя уравнение (25), можно получить выражение для скорости роста области полностью поврежденного материала:

г = -(l/(srn))fí(0)C-1''sA-1/(sm)t-(1+1/(sm)).

Откуда вытекает, что в начальный момент времени скорость роста области полностью поврежденного материала стремится к бесконечности, что соответствует мгновенному появлению описываемой области, а затем с течением времени уменьшается и в пределе (í —» оо) стремится к нулю, что легко объясняется, так как рассматриваемая трещина является стационарной. Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. Трещина является неподвижной до тех пор, пока на некотором расстоянии хс от вершины трещины сплошность (поврежденность) не достигнет своего критического значения (в данном случае ф = 0), после чего трещина увеличит свою длину (прорастет) на расстояние, равное R{Q)C~1^s{At)~1^sm^ в соотношении (25). Далее трещина останавливается, если не выполнено условие ф = 0 на расстоянии хс.

В Главе II рассмотрены нелинейные задачи на собственные значения, к которым приводят проблемы определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в материалах со степенными определяющими уравнениями и найдены 1) точная аналитическая формула, выражающая собственное значение, отвечающее нелинейной задаче, через собственное значение линейной задачи и показатель нелинейности материала, для задачи о трещине антиплоского сдвига; 2) приближенные формулы для показателя нелинейности материала, позволяющие получить асимптотические оценки для собственных чисел в задачах о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига.

В настоящее время сложилось понимание7 о необходимости определения всего

7Lu, М. Eigenspectra and orders of singularity at a crack tip for a power-law creeping medium/ M. Lu, S.B. Lee// Intern. J. of Fracture. - 1998. - V. 92. - P. 55-70.

Chen, D.H. Plastic stress singularity near the tip of a V-notch/D.H. Chen, K. Ushijima//Intern. J. of FVacture. -2000. - V. 106. - P. 117-134.

спектра собственных значений в задаче Хатчинсона - Райса - Розенгрена. Развернутая в работе8 дискуссия ведет к следующим вопросам общего характера:

1) Сколько сингулярных слагаемых для выбранного неупругого материала может математически существовать вблизи вершины трещины и как они могут быть определены?

2) При каких условиях то или иное слагаемое в асимптотическом разложении можно трактовать как физически обоснованное и играющее доминирующую роль?

А именно, если классическое решение Хатчинсона - Райса - Розенгрена с теоретически известным собственным значением s = — l/(n + l) не является доминирующим слагаемым в окрестности вершины трещины, то как можно найти общую функциональную зависимость s = s(n)7

Для определения всего спектра собственных значений во второй главе предлагается подход, основанный на методе возмущений. Суть предлагаемого подхода заключается в использовании метода малого параметра. Малый параметр представляет собой разность между собственным значением, отвечающим нелинейной задаче (показатель нелинейности материала п > 1), и собственным значением, отвечающим линейной, «невозмущенной» задаче (n = 1).

При рассмотрении острого выреза с раствором 2а или трещины в бесконечной плоскости, находящихся в условиях антиплоского сдвига, введение функции напряжения Ф(г, 0) такой, что тТ7_ — г_1Ф,а, т$г = —Ф,г, приводит к тождественному удовлетворению уравнения равновесия. Оставшееся условие совместности деформаций определяет уравнение для потенциальной функции Ф(г, в). Решение этого уравнения в окрестности вершины трещины или острого выреза можно искать в виде асимптотического разложения по степеням г : Ф(г, в) = rs/(0).

Условие совместности деформаций приводит к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции /(0) :

/"(п/'2+ s2f2)+sf{[(n - l)(2s - 1) + s] f + s2 [(n - l)(s - 1) + s] f2} = 0. (26)

Вместе с граничными условиями

f\e=±(*-a) = 0 (27)

уравнение (26) определяет нелинейную задачу на собственные значения s : нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение (26) содержит параметр s (собственное значение), который необходимо отыскать для нахождения нетривиального решения уравнения (26), удовлетворяющего сформулированным граничным условиям (27).

Аналитическое выражение для собственных значений задачи на собственные значения для дифференциального уравнения (26) с краевыми условиями (27)

8Hui, C.Y. Why К? High order singularities and small scale yielding/C.Y. Hui, A. Ruina// Intern. J. of Fracture. - 1995.-V. 72.-P. 97-120.

можно получить с помощью методов теории возмущений. С этой целью собственное число в представим в форме в = «о + е, где во относится к линейной, "невозмущенной" задаче не- отклонение собственного значения от значения линейной задачи, обусловленное нелинейностью. Представим показатель нелинейности п и искомую функцию /(в) в виде разложений по степеням малого параметра е :

п = щ + £71, + £2П2 + ..., Д0) = ¡о(9) + + £2/2(0) + ...,

где по = 1 и функция /о(б) относятся к линейной задаче.

Далее рассматривается метод исследования собственных значений, основанный на формулировке условия разрешимости краевой задачи для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения. В процессе использования методов возмущений возникают совокупности задач, которые должны решаться последовательно, одна за другой. При этом задача первого порядка обычно оказывается однородной, в то время как задачи высших порядков будут неоднородными, но линейными. Если соответствующая однородная задача имеет нетривиальное решение, то неоднородная задача не будет иметь решение, если только не окажется выполненным соответствующее условие разрешимости. Условие разрешимости в общем случае формулируется с помощью обращения к решению сопряженной задачи. В диссертационной работе показано, что условие разрешимости краевой задачи для неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения относительно функции /¿(б) (в задаче о трещине) формулируется следующим

Г

образом I дис10 = 0, где д(0) - правая часть неоднородного уравнения для функ-

J —7Г

ции /к(9), функция и есть решение сопряженной задачи. Условие разрешимости краевой задачи для каждой функции ¡к{0) удовлетворяется только за счет выбора коэффициента щ.. В рассматриваемой задаче об антиплоской деформации бесконечного тела с трещиной удалось найти п^ = Пк($о), что позволило вывести уравнение, связывающее п, в и Разрешая полученное уравнение относительно э, можно найти зависимость собственного значения от показателя нелинейности материала п и от собственного числа, соответствующего линейной задаче 5о :

= П(5§+250-1) + (50 -I)2 \Афо+250-1) + (80-1)2]2-4П252(250-1) ^ й ~~ 2тг(25о -1) + 2п(250 -1)

В задаче об угловом вырезе собственное значение б о определяется выражением 5о = 7г/(2(7г — а))+ктг/(п — а), к = 0,1,2,.... Поэтому формула (28) остается справедливой и для задачи об угловом выреза раствора 2а, но собственное значение линейной "невозмущенной" задачи в этом случае зависит от угла а : во = £'о(а).

Таким образом, предложен способ определения собственных значений в задаче о трещине антиплоского сдвига в материале со степенным определяющим уравнением, основанный на методе возмущений.

Метод возмущений для исследования нелинейных задач на собственные значения был применен для задач о трещинах нормального отрыва и поперечного

сдвига, для которых были получены приближенные оценки, позволяющие найти собственные значения для малых значений показателя нелинейности материала с хорошей точностью. В задаче определения напряженно-деформированного состояния у кончика трещины нормального отрыва в материале со степенными определяющими уравнениями в условиях плоского деформированного состояния получены трехчленные асимптотические разложения показателя нелинейности материала (Ао - собственное значение, отвечающее линейной задаче):

п = 1 - —+ £2п2(А0) + 0{е3), Ао — I

где для коэффициента П2 найдена точная зависимость 712 = п2(Ао) :

Ац - 2Ад - 7Ад + 11Лр + 4А0 — 5 - (Ад — 1) здп(Хо) 3 ч ^ 3

"2 =------;--75-, ^ -, Ао ^ —-;

(А0 + 1) (Ао - 1) п2= 4 А0 = 1/2; п2 — 92/81 А0 =-1/2.

2' и ^ 2'

Для п = 3 (Ао = —1/2) трехчленное асимптотическое разложение показателя нелинейности материала приводит к следующему собственному значению Аоаушр = 0.2284; точное численное решение позволяет найти, что Хпит = 0.2286. Относительная погрешность не превышает 0.09%. Таким образом, можно заключить, что полученная методом возмущений приближенная оценка собственного значения дает возможность отыскать собственное значение с хорошей точностью.

Третья глава диссертационной работы посвящена вопросам докритического роста трещин в металлах при высокотемпературной ползучести. В главе изучено влияние скоростей упругих деформаций на докритический рост трещины в упругом нелинейно-вязком материале. Естественным развитием полученных результатов является обращение к более сложным определяющим соотношениям -соотношениям для упругого нелинейно-вязкого материала

1 + и^ 1 — 21/- Зп.. _ <7ц _ вц

—+ зд (ГккОц + уВо где (Ту = =

В большинстве случаев в определяющих уравнениях упругого нелинейно-вязкого материала, в силу сложности задачи, ограничиваются рассмотрением лишь скоростей деформаций ползучести. Данное исследование представляет собой попытку включения скоростей упругих деформаций в анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины растущей трещины в поврежденной среде в связанной постановке (в комбинации "упругость - ползучесть - поврежден-ность"). В задаче о докритическом подрастании трещины нормального отрыва в условиях плоского деформированного состояния в среде с поврежденностью было найдено аналитическое представление поля напряжений сплошности

Рис. 7. Область процесса накопления повреждений, охватывающая вершину растущей трещины и ее берега, для трещин типов III и I, где xj = 2kXi (/ix(t)/Kin)2, х\ = 2жх2 {ри^/Кщ)2

при 0 < в < тг/2 ~(г, 0) = 2Ex(t) sin2 0, ^(г, д) = Ex(í) sm20, ^М) = 2£x(í)cos20, t/)(r, 0) = -Emxm(t)r cos0,

■ф V

и установлено, что скорости упругих деформаций при г —> 0 пропорциональны 1 /г, тогда как скорости деформаций ползучести являются ограниченными величинами в окрестности вершины трещины.

В третьей главе: 1) проанализированы поля напряжений, скоростей упругих деформаций, скоростей деформаций ползучести и сплошности в окрестности растущих трещин антиплоского сдвига и нормального отрыва в упругом нелинейно-вязком материале; 2) показано, что скоростями упругих деформаций в окрестности вершины растущей трещины пренебрегать нельзя по сравнению со скоростями деформаций ползучести; 3) проведено исследование "дальнего" поля напряжений (распределение напряжений при больших расстояниях от вершины трещины). Для чего дан сравнительный анализ скоростей упругих деформаций и деформаций ползучести при г —+ оо. Установлено, что скорости упругих деформаций вносят основной вклад в асимптотическое поле скоростей деформаций; 4) дана оценка скорости роста трещины; 5) определена конфигурация области накопления повреждений в окрестности вершины трещины типа III и типа I в условиях плоской деформации (рис. 7) и плоского напряженного состояния.

В Главе IV излагаются решения краевых задач механики разрушения для материала, следующего дробно-линейному закону теории установившейся ползучести. В рамках теории установившейся ползучести предполагается, что при заданной температуре между скоростью деформации ползучести и напряжением существует определенная зависимость. В большинстве случаев для описания этой функциональной зависимости используется степенной закон Бейли - Нортона. Когда применяются соотношения такого типа, оказывается, что даже для постоян-

ной температуры невозможно подобрать единые константы для всего диапазона напряжений, где необходимо учитывать ползучесть. Ю.Н. Работновым9 указывается, что сначала необходимо определить диапазон напряжений для каждого конкретного случая и для выделенного интервала изменения напряжений подобрать значения показателя степени п степенного закона теории установившейся ползучести. Таким образом, оказывается, что п = п(о) и все преимущества, связанные с применением степенной зависимости, исчезают. Для преодоления указанных сложностей были предложены принципиально другие функциональные зависимости скоростей деформаций ползучести от напряжений, в которых материальные параметры имеют четкий физический смысл.10 Опираясь на анализ экспериментальных данных для ряда металлов, С.А. Шестериков и М.А. Юмашева показали, что, если для установившейся ползучести записать соотношение

£ = В(а-аа)/{аь-а), (29)

где аа - напряжение, ниже которого нет ползучести, а/, - напряжение типа предела прочности, то удается достаточно хорошо единой зависимостью (29) описать весь диапазон изменения напряжений. Следовательно, данная модель физически более обоснована по сравнению со степенной моделью Бейли - Нортона и имеет перед ней неоспоримые преимущества. Дробная модель учитывает максимальное предельное напряжение, характеризующее мгновенное разрушение металла при температуре испытаний, она также может описывать линейную ползучесть при малых напряжениях и различие характеристик длительной прочности при растяжении и сжатии. Более того, дробная модель может учитывать наличие ненулевого предела ползучести, ограничивающего снизу диапазон напряжений, при котором развивается процесс ползучести. В настоящее время дробная модель установившейся ползучести и длительной прочности является предметом многочисленных исследований.11 Для каждого типа определяющих уравнений необходимо разработать методы решения краевых задач при расчете элементов конструкций. В диссертационной работе изучаются поля напряжений и скоростей деформаций ползучести вблизи вершины трещины для частного случая аппроксимации (29) -для дробно-линейного закона ползучести

£ = в—-—. (30)

аь-а

В уравнении (30) аь представляет собой напряжение типа предела прочности и компоненты тензора напряжений не могут превзойти данного значения.

'Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций/ Ю.Н. Работнов. - М.: Наука, 1966. - 752 с.

10Шестериков, С.А. Конкретизация уравнений состояния в теории ползучести/С.А. Шестериков, М.А. Юмашева// Известия АН СССР. МТТ. - 1984. - №1. - С. 86-92.

11Кашелкин, В.В. Метод прогнозирования длительной прочности хромоникелевых аустенитных сталей/ В.В. Кашелкин, И.А. Кузнецова, С.А. Шестериков// Известия РАН. МТТ. - 2004. - №1. - С. 182-187.

Локощенко, А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов/ A.M. Локощенко. - М.: МГИУ, 2007. - 263 с.

В четвертой главе представлены асимптотические решения задачи о трещине поперечного сдвига в условиях плоского напряженного состояния и класса задач о смешанном нагружении (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) образца с трещиной в условиях ползучести. На основании результатов исследования антиплоской деформации, проведенного методом годографа, можно предположить, что условие, характеризующее наступление предельного состояния ае = аь (или в безразмерных переменных cre = 1), реализуется лишь в одной точке - в вершине трещины. Поэтому асимптотическое разложение компонент тензора напряжений вблизи устья трещины (г —► 0) можно разыскивать в виде

<гц{г,в) = + г<Ч?)(в) + °(гС")' = 1 ~ + о(г°), а > 0,

где - функции, подлежащие определению. Для отыскания главного члена

- (0)

асимптотического разложения компонент тензора напряжении Сту имеется система уравнений равновесия и условие наступления предельного состояния <те = 1.

В последнее время смешанное нагружение элемента конструкции с трещиной, находящегося под действием растягивающей и сдвиговой нагрузок, в условиях пластического деформирования, ползучести, циклической нагрузки, вызывает особый интерес.12 Вид нагружения характеризуется параметром смешанности

M'Jarctgíl^41,

принимающим нулевое значение для трещины поперечного сдвига; значение, равное единице, для чистого растяжения; значения из интервала 0 < Мр < 1 для смешанного нагружения образца с трещиной.

Получены точные формулы, задающие поле напряжений в окрестности вершины трещины смешанного типа в предположении реализации плоского деформированного состояния для характерных значений параметра Мр. Для Мр =1/4 поле напряжений в окрестности вершины трещины определяется выражениями:

|-тг = в1 ^ в < 02 = ~ а?) = i(l + cos 20), of¡¡ = i(l -COS20), <7<°> = -isin20,

{ 02 < 0 03 = -120.89° 44) = af¡ = в + 1/2 + Зтг/4, а® = -1/2, ( 0з ^ 0 Í 04 =-30.89° = 0-0J +Зтг/4

{ ff0O) = es + I + I + I«»«, 4°) = 0з + 1 + !- icos2^, а<? = -|ВШ2Й, (и)

{ 04 ^ б ^ = 42.75° а® = = -0 + (1/2) tg(Tr/8), <$> = 1/2, Г 05 < 0 ^ 06 = 133.87° — 0 — 05 — 7г/4

{ «т£> = -05 + + icos2^, = -05 + itg| - i cos 2$, = -¿вп20, { 06 < в < 7Г а® = —(l/2)(l+cos20), ^ = —(1/2)(1—cos20), <x® = (l/2)sin20.

12Shlyanniiov, V.N. Elastic-Plastic Mixed-Mode Fracture Criteria and Parameters/ V.N. Shlyannilcov. - Berlin: Springer, 2003. - 246 p.

1 \ ¿гв

1

1

д в

Рис. 8. Угловые распределения компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины для значения Мр = 1/4. Аналитическое решение (сплошные линии) и численное решение для материала со степенным законом (п = 300)

Поле напряжений (31) и распределение скоростей деформаций ползучести иллюстрирует рис. 8, где сплошные линии показывают точное аналитическое решение (31), в то время как точки, показанные знаком «крестик», соответствуют численному решению задачи для степенного закона ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности п стремится к бесконечности.

В случае плоского напряженного состояния поле напряжений вблизи устья трещины для значения параметра смешанности нагружения Мр = 1/4 имеет вид:

|-тг ^ 0 < 0„ = -125.26° <4? = 1(1 + соз20), <т$ = 1(1 - СОЭ20), = -1ап20,

| -а - ч -р, -и — -К.— — ™гг —

ва С 0 ^ вр, вд = -96.60° <$> = 2а'? = 4= соз(0 + с3), £7™ = ип(0 + с3), с3 = 70.53°,

в0^в^в7 = -52.22° = сое 1?1зт 2т? + 4=8т 1?! сое 2Й, ■вх = вр + с3, д = в~0, 2уЗ \/3

/з ^ 2

соэ — соэ 1?! соэ 2(0 - в а) ± — зт $ 1 эт 2(0 - ,

>/3

ву ^ в < = 52.95" = 2с№ = 4= сов^ + с,), (Г® = 4= + сг), а = 78.30°,

уЗ уЗ

^ 6 ^ вс = 119.27° <$> = -4= сое д2 ап 2(0 - вв) + 4= эт^ соэ2(0 - вр), 1?2 = 0£ + с2, 2уЗ \/3

(0) 1 /д 2 ,

% Г = соэ^г Т —7= соэ^г сое2(0 - вр) ± б1П1?2 бш2(0 — вр), аов J I 2уЗ уЗ

0£ ^ в ^ 0С, 0С = 125.26° = = ~ соэ(0 + сг), сг® = зт(0 + с2), с2 = 109.47°,

V 3 л/3

{ 0( ^ в ^ 7г ст^1 = "(1 + соз20)/2, о® = -(1 - соз20)/2, а® = (1/2)вт20.

Главные члены асимптотических разложений скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины (г —» 0) определяются формулами

а а С .„..„ . 11 + 3COS20 . 11 - 3cos20 . 3 sin 20 —к^0<ва, fa—-125.26 Егг = ---. . .—, Ses = --—, егв — ---

2 ri/2a(i) ' 2 r'/V1) ' r" Ir^aW

еа<в<в0, вр = -96.60° érr = û, = =

7з I = -уо.ии trr = u, tee = V0—-, Erj = v^—¡^рГ

érr \ _ л/3 cos i?! T cos t?i cos 2(0 - 0^) ± 2 sin fl sin 2(6 - 0g)

éM J T rVV3»

•/3 cos sin 2(0 - 6p) + 2smi?! cos 2(0 - вр)

вр<в< ву, 07 = -52.22°

£rfl =

2 rV^ts)

,<0<05, 0j = 52.95° érr = 0, ^ = =

0J < в < ee, 0e = 119.27°

érr 1 _

éee J

л/3 cos i92 =F cos ê2 cos 2(0 - 0^,) ± 2 sin i?2 sin 2(в - вр)

2 rVVW

_ Уз cos sin 2(в -вр)+2 sin fl2 cos 2(0 - gg) 2 rVVW

0e<0<0c, 0C = 125.26° érr = 0, = =

гф°> таw

11 + 3 cos 20 . 11 - 3 cos 20 3 sin 20

= ./2„m ■ Eee = -Ô _i/2_m - = ;

2 г1/М7> ' ™ 2 г^сИт) ' г" 2 г'/ЗсгС?)'

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы

1. Дано математическое описание процесса накопления микроповреждений вблизи вершины макротрещины на основе введения области полностью поврежденного материала, внутри которой параметр сплошности достиг своего критического значения. Определена геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления рассеянных повреждений. Найдена зависимость, в соответствии с которой изменяется граница области полностью поврежденного материала с течением времени.

2. Выполнено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и поврежденности у вершин трещин нормального отрыва, антиплоского и поперечного сдвига в условиях ползучести в связанной формулировке задачи (в связке ползучесть - поврежденность) с использованием автомодельной переменной и автомодельного представления решения. Построены высшие приближения в асимптотических разложениях механических полей на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но все

еще малых по сравнению с длиной трещины, с характерным линейным размером образца).

3. Установлено промежуточно-асимптотическое поведение напряжений у вершины трещины в среде с поврежденностью в связанных задачах теории ползучести и континуальной механики поврежденности: показано, что асимптотическое решение, построенное методом разложения по собственным функциям, представляет собой промежуточную асимптотику механических полей при описании явления накопления рассеянных микроповреждений у вершины макротрещины.

4. Выполнен численный анализ уравнений задачи об антиплоской деформации образца с трещиной, сформулированных в терминах автомодельной переменной, проведенный методом конечных разностей. В ходе численного эксперимента обнаружен выход на промежуточную автомодельную асимптотику дальнего поля напряжений.

5. Исследование собственных значений нелинейных задач на собственные значения, вытекающих из проблем определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями, методом возмущений в задаче антиплоского сдвига позволило получить точную аналитическую формулу, которая выражает зависимость собственного значения, соответствующего нелинейной задаче, от показателя нелинейности материала и от собственного значения, отвечающего линейной задаче.

6. Дана приближенная оценка собственных значений в нелинейных задачах на собственные значения, к которым приводит анализ напряженно-деформированного состояния у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями. Показано, что описанная методика, основанная на введении малого параметра, представляющего собой разность между собственными значениями, отвечающими нелинейной и линейной задачам, и использовании аппроксимаций Паде, дает эффективный способ отыскания собственных чисел нелинейных задач на собственные значения.

7. Исследовано влияние скоростей упругих деформаций у вершины растущей трещины в упругом нелинейно-вязком материале с учетом процессов накопления повреждений. Асимптотический анализ поля скоростей деформаций у вершины трещины показал, что скоростями упругих деформаций в окрестности вершины растущей трещины пренебрегать нельзя по сравнению со скоростями деформаций ползучести, что является существенным при проведении численных расчетов для элементов конструкций с трещинами в пакетах прикладных программ, реализующих метод конечного элемента. Дана оценка скорости роста трещины в поврежденной среде.

8. На основе анализа связанных задач теории ползучести и механики поврежденности о растущей трещине антиплоского сдвига и нормального отрыва найдены главные члены асимптотических разложений компонент тензора напряжений, скоростей деформаций и скалярного параметра сплошности и установлено, что перед вершиной магистральной трещины (главной трещины) в процессе ее рас-

пространения образуется зона активного накопления повреждений, а к берегам трещины примыкает область полностью поврежденного материала. Следовательно, процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала.

9. Получены приближенные аналитические решения задач о трещине, находящейся под действием поперечного сдвига, а также под действием смешанного нагружения (нормальный отрыв и поперечный сдвиг), в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния. Найдены поля напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в образце, подвергнутому смешанному нагружению (отрыв и поперечный сдвиг) при различных значениях коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений состоит из клинообразных областей, внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями. Приведено сравнение приближенного аналитического решения с численным решением задачи для материала, следующего степенному закону ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности материала неограниченно возрастает. Для сравнения построены угловые распределения компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести в материале со степенным законом Бейли - Нортона теории установившейся ползучести для различных значений показателя нелинейности материала. Аналитическое и численное решения совпадают, что свидетельствует о достоверности результатов.

10. Показано, что дробно-линейный закон теории установившейся ползучести, в отличие от степенного закона Бейли-Нортона, позволяет в рамках единой функциональной зависимости описать как существенно нелинейное соотношение между напряжениями и скоростями деформаций, так и линейную зависимость, что, в свою очередь, дает возможность построить непрерывное распределение радиальной компоненты тензора напряжений в окрестности вершины для трещины отрыва в условиях плоского напряженного состояния и для трещин, находящихся в условиях смешанного нагружения.

11. Выявлен характер особенностей скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести. Показано, что вблизи вершины трещины (как для трещин отрыва и сдвига, так и для трещины в условиях смешанного нагружения) имеет место эффект зависимости показателя сингулярности от угла наклона радиуса к трещине. Полученное решение позволяет пролить свет на поле деформаций у устья трещины в идеально пластическом материале, поскольку условие наступления предельного состояния аналогично условию наступления пластического течения Мизеса. В отличие от задач теории идеальной пластичности при определении кинематики пластического течения у вершины трещины, когда можно отыскать лишь некоторые характерные особенности поля деформаций, в рамках развитого подхода удается определить поле скоростей деформаций в каждом из секторов.

Основные публикации по теме диссертации

Шестериков С.А., Степанова Л.В. Анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях ползучести// Известия РАН. МТТ. - 1995. - №1. - С. 96-103.

Астафьев В.И., Степанова JI.B., Шестериков С.А. Асимптотика напряженно - деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях ползучести// Вестник СамГУ. Спец. выпуск. - 1995. - С. 59-64. Astafjev V.I., Stepanova L.V., Shesterikov S.A. Crack tip asymptotic character of anti-plane stress and strain rate for linear fractional constitutive relations// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 1996. - №24. - P. 263-268. Астафьев В.И., Степанова JI.B. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины для дробно-линейного закона ползучести// Вестник СамГУ. - 1997. - №2. -С. 135-141.

Степанова JI.B., Федина М.Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (связка "ползучесть-поврежденность")// Вестник СамГУ. - 2000. - №4(18). - С. 128-145. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. - Самара: Изд-во "Самарский университет", 2001. - 632 с. Степанова JI.B., Федина М.Е. О геометрии области полностью поврежденного материала у вершины трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи (связка "ползучесть - поврежденность")//Вестник СамГУ. - 2001. -№2(20).-С. 87-113.

Степанова JI.B. Напряжения в окрестности вершины трещины поперечного сдвига в условиях плоского напряженного состояния в идеально пластическом материале//Вестник СамГУ. - 2002. - №2(24). - С. 78-84. Степанова JI.B., Федина М.Е. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной (ползучесть - поврежденность) постановке// Журнал прикл. механики и техн. физики. - 2002. - Т. 43. - №5. - С. 114-123. Степанова JI.B., Устина Ю.Н. Влияние скоростей упругих деформаций на до-критический рост трещины в упругом нелинейно-вязком материале// Вестник СамГУ. - 2002. - №4(26). - С. 84-100.

Степанова JI.B., Федина М.Е. Поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью// Вестник СамГУ. - 2004. -№2(32). - С. 62-78.

Степанова JI.B., Макарова Т.Н. Конечно-разностное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в среде с поврежденностью// Вестник СамГУ. Спец. выпуск. - 2004. - С. 95-110.

[13] Степанова Jl.В., Федина М.Е. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью// Журнал прикл. механики и техн. физики. - 2005. - Т. 46. - №4. - С. 133-145.

[14] Астафьев В.И., Степанова JI.B. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью// Известия РАН. МТТ. - 2005. - №2. - С. 145-154.

[15] Степанова JI.B. О собственных значениях в задаче о трещине антиплоского сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями// Журнал прикл. механики и техн. физики. - 2008. - Т. 49. - №1. - С. 173-180.

[16] Степанова Л.В., Федина М.Е. Автомодельное решение задачи о трещине отрыва в связанной постановке// Прикладная математика и механика. - 2008.

- Т. 72. - Вып. 3. - С. 516-527.

[17] Stepanova L.V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power-law medium// Comptes Rendus Mecanique. Academie des sciences.

- 2008. - V. 336. - №1-2. - P. 232-237.

[18] Степанова Л.В., Элекина Т.Б. Смешанное нагружение (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) элемента конструкции с трещиной в материале с дробно-линейным законом ползучести// Вестник СамГУ. - 2009. - №2(68). - С. 123139.

[19] Степанова Л.В. Асимптотика напряжений и скоростей деформаций вблизи вершины трещины поперечного сдвига в материале, поведение которого описывается дробно-линейным законом// Журнал прикл. механики и техн. физики. - 2009. - Т. 50. - №1. - С. 165-176.

[20] Степанова Л.В. Анализ собственных значений в задаче о трещине в материале со степенным определяющим законом// Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - Т. 49. - №8. - С. 1399-1415.

[21] Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. - М.: Физ-матлит, 2009. - 336 с.

Подписано в печать 1 июня 2010 г. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 2 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1858 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП СмаГУ

Введение.

1. Механика разрушения. Основные представления и результаты

2. Напряженно-деформированное состояние в малой окрестности вершины трещины. Концепция маломасштабного пластического течения.

3. Континуальная механика поврежденности

4. Связанная постановка задачи (в связке ползучесть - повре-жденность).;.

I. Краевые задачи о трещине в среде с поврежденностью в связанной постановке

1. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в условиях ползучести в среде с поврежденностью в связанной постановке.

1.1 Характерные особенности краевых задач механики трещин в связанной постановке . ■.

1.2 Автомодельная переменная в задаче о трещине в среде с поврежденностью.

1.3 Постановка связанной задачи антиплоского сдвига пространства с полубесконечной трещиной в автомодельных переменных.

1.4 Метод разложения по собственным функциям для больших расстояний от кончика трещины.

1.5 Высшие приближения в асимптотических разложениях механических полей у вершины трещины.

1.6 Конечно-разностные уравнения задачи о трещине антиплоского сдвига. Численный эксперимент.

1.7 Результаты вычислений. Сравнительный анализ геометрии областей полностью поврежденного материала.

2. Автомодельное решение задачи о трещине нормального отрыва в связанной постановке (в связке ползучесть - поврежденность).

2.1 Основные уравнения связанной задачи о трещине отрыва

2.2 Промежуточное автомодельное решение.

2.3 Асимптотическое решение задачи. Плоское деформированное состояние.

2.4 Асимптотическое решение задачи. Плоское напряженное состояние.

3. Автомодельное решение задачи о трещине поперечного сдвига

3.1 Плоское напряженное состояние. Результаты численного анализа. Конфигурация области полностью поврежденного материала.

3.2 Автомодельное решение задачи о трещине поперечного сдвига. Плоское деформированное состояние

3.3 Оценка скорости роста области полностью поврежденного материала.

4. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью

4.1 Постановка задачи о растущей трещине в среде с поврежденностью

4.2 Установившийся рост трещины. Асимптотическое решение задачи.

4.3 Геометрия области полностью поврежденного материала

II. Нелинейные задачи на собственные значения в механике трещин

1. Собственные значения в задаче о неподвижной трещине антиплоского сдвига, остром вырезе и жестком включении в материале со степенным законом.

1.1 О спектре собственных значений в задачах о трещинах

1.2 Сведение анализа напряженного состояния к нелинейной задаче на собственные значения.

1.3 Собственные значения.

1.4 Условие разрешимости.

1. Механика разрушения. Основные представления и результаты

Разрушение, происходящее путем распространения трещин, характерно как для хрупких сред, например, для горных пород, так и для современных конструкционных материалов. В качестве конструкционных материалов используются материалы, образцы из которых разрушаются при значительных общих пластических деформациях и деформациях ползучести. Стремление выяснить причины разрушения конструкций путем распространения трещины задолго до исчерпания несущей способности, стремление определить связь между свойствами сплошного материала и его сопротивляемостью зарождению и развитию трещин, усовершенствовать на этой основе способы разработки и испытания материалов и конструкций привело к становлению и быстрому развитию сравнительно нового направления в механике и в физике прочности - механики разрушения.

Основополагающей работой, давшей толчок развитию механики разрушения, стала работа английского ученого А. Гриффитса [319].1 Однако интенсивное развитие этой области знания, обусловленное потребностями инженерной практики, началось с пятидесятых годов прошлого века. Исследования, проведенные в тот период времени и в последующие два десятилетия, стали фундаментальными в теории разрушения. Это исследования Г.И. Баренблатта [24, 25, 26, 27], Е.М. Морозова [130, 131, 132, 133], М.Л. Вильямса [445, 446], Дж. Р. Ирвина [335, 336, 337, 338, 339], Е.О. Орована [382], Д. Дагдейла [299]. Первыми фундаментальными работами в этой области стали монографии В.З. Партона и Е.М.Морозова [163, 164], Л.М. Качанова [91], Г.П. Черепанова [242] и семитомная энциклопедия по

1Полный текст этой статьи приведен в книге [168]. разрушению под редакцией Г. Либовица [181].

Большое влияние на дальнейшее развитие механики разрушения и, в частности, механики трещин оказали исследования Е.М. Морозова и Я.Б. Фридмана, Г.П. Черепанова, М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, Б.В. Кострова, Л.В. Никитина и Л.М. Флитмана, A.A. Вакуленко, П.М. Вит-вицкого, В.М. Ентова, В.В. Новожилова, Ю.Н. Работнова, Р.Л. Салганика, Л.И. Слепяна, С.Я. Яремы, Дж. Гудьера, Ф. Макклинтока, Дж. Ноулса, П.Париса, Дж. Райса, Дж. Розенгрена, Г. Си, И. Стернберга, Дж. Хатчинсона, Ф. Эрдогана.

В настоящее время механика разрушения является самостоятельным и интенсивно развивающимся разделом механики твердого деформируемого тела. Сформулированы основные положения механики хрупкого разрушения, критерии распространения трещин, корректно поставлены математические задачи и тщательно разработан аппарат их решения [4, 91, 137, 141, 164, 165, 166].

Различным аспектам механики разрушения посвящены исследования Б.Д. Аннина, В.И. Астафьева, В.В. Болотина, Р.В. Гольдштейна, A.C. Кравчука, В.Н. Кукуджанова, Е.В. Ломакина, В.М. Мирсалимова, А.Б. Мовчана, Н.Ф. Морозова, С.А. Назарова, Г.П. Никишкова, Ю.В. Петрова, Ю.Н. Радаева, К.Ф. Черныха, Е.И. Шифрина.

Среди зарубежных авторов следует упомянуть H.D. Bui, Z.P. Bazant, J. Betten, K.B. Broberg, J.L. Chaboche, H. Gao, D. Gross, P. Ladeveze, J.B. Leblond, J. Lemaitre, G.A. Maugin, S. Murakami, A. Needleman, S. Nemat-Nasser, Q.S. Nguyen, F. Nilsson, J. Pan, H. Riedel, C.F. Shih, V. Tvergaard.

Сейчас внимание исследователей обращено на развитие математического аппарата линейной механики разрушения (например, привлечение теории обратных задач [50, 51, 52, 53, 283, 317] к проблеме идентификации дефектов в твердых телах, использование граничных псевдодифференциальных уравнений при решении пространственных задач линейной механики разрушения [251], применение подходов, развитых в теории асимптотических методов [360], развитие метода граничных интегральных представлений [231]), расширение использования в механике разрушения метода конечных элементов [135, 136, 252], вычисление энергетических интегралов [366], новые подходы к описанию динамического разрушения твердых тел с использованием понятия инкубационного времени разрушения [169, 369, 385], и, главным образом, проблемы нелинейной механики разрушения [17, 19, 57, 58, 67, 106, 109, 110, 125, 126, 406]. Остановимся на концепциях, подходах и методах решения задач нелинейной механики разрушения, примыкающих и смежных к ней задач, рассматриваемых и развитых в последнее время, более подробно.

В настоящее время особый интерес вызывают проблемы деформирования и разрушения наноматериалов и нанотехнологии [67, 107, 167, 171, 406]. В докладе Р.В. Гольдштейна и Н.Ф. Морозова [67], сделанном на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), посвященном обзору результатов в области моделирования, методов расчета и экспериментального исследования механического поведения (деформирования и разрушения) наномасштабных объектов и материалов, содержащих наночастицы, показана перспективность применения подходов механики деформируемого твердого тела и механики прочности и разрушения для моделирования и оптимизации функциональных характеристик нанообъектов и наноматериалов.

Перельмутером М.Н. [167] предложены расчетные модели деформирования и разрушения нанокомпозитов, связанные с описанием зоны процесса разрушения вблизи вершины трещины в структурно-неоднородных материалах при наличии областей с нарушенной структурой, воздействии физических полей и агрессивных сред. Предполагается, что зона процесса разрушения представляет собой слой конечной длины, примыкающий к трещине и содержащий материал с частично нарушенными связями между его отдельными структурными элементами. Концевая область рассматривается как часть трещины, а наличие связей между берегами трещины моделируется приложением к поверхностям трещины в концевой области сил сцепления, вызванных присутствием связей. Проведен анализ предельного равновесия и роста трещины в рамках модели концевой области: установлена зависимость сил сцепления от раскрытия трещины, определено напряженное состояние вблизи трещины с учетом внешних нагрузок и сил сцепления, рассмотрено предельное равновесие трещины на основе критерия разрушения. Анализ предельного равновесия трещины с концевой областью выполняется на основе двухпараметрического критерия разрушения с энергетическим условием развития трещины, учитывающим работу по деформированию связей в концевой области трещины. г

Задачи идентификации в механике нанокомпозитов рассматриваются Б.Е. Победрей [107, 171]: исследуются композиты, обладающие компонентами с наноструктурой, имеющими линейные размеры на порядки меньше, чем у других компонентов. Найдены эффективные характеристики таких композитов. Считается, что определяющие соотношения каждого компонента композита и его структура известны. Отмечается [171], что экспериментально найти все материальные функции для компонентов с наноструктурой очень сложно, а иногда и невозможно. Развиты модели, позволяющие построить эти материальные функции по известным эффективным характеристикам всего композита и характеристикам компонентов с наноструктурой.

В [109, 110] рассмотрены модели развития дефекта в упругих и вяз-коупругих телах при конечных деформациях. Под термином дефект понимается полость (трещина ненулевого раскрытия) или включение, существующее в ненагруженном теле, образованное или возникшее в теле при нагружении. При построении моделей вводилось понятие зоны предраз-рушения. Зона предразрушения - это часть тела, где под воздействием нагрузок, приложенных к телу, происходит изменение свойств материала. Левиным В.А., Морозовым Е.М. и Матвиенко Ю.Г. [109, 110] предложены нелокальные критерии, учитывающие, что разрушение, а значит и изменение свойств зоны предразрушения происходит не в точке или на отрезке и не мгновенно (для вязкоупругих материалов).

Кукуджановым В.Н. [103, 104, 106] предложена модель континуального разрушения поликристаллических материалов и дано ее приложение к исследованию динамических процессов локализации пластических деформаций. Модель рассматривает пластическую деформацию и разрушение как единый процесс, вызываемый движением дислокаций, а на более поздней стадии - зарождением и развитием микродефектов. Полная система определяющих уравнений относительно макропараметров связывает тензоры активных и остаточных напряжений с тензорами скоростей вязкопласти-ческой деформации и повреждаемости. Для численного моделирования процессов разрушения предложен новый численно-аналитический метод расщепления решения вязкопластических уравнений с повреждаемостью [104]. Численные решения задач континуального разрушения (разрушение упругопластических пластин с круглыми и эллиптическими макропорами и жесткими включениями при растяжении с учетом влияния микродефектов типа микропор, дислокаций и микротрещин) были получены Н.Г. Бу-раго [47, 46], Н.Г. Бураго и В.Н. Кукуджановым [43, 44, 45].

Положения механики устойчивого закритического деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения анализируются в [57, 58]. Вильдеманом В.Э. [57, 58] с помощью определящих уравнений моделируется ниспадающий участок диаграммы деформирования, отражающий явление деформационного разупрочнения на закритической стадии. В [57, 58] предложены постановки краевых задач, дающие возможность описать процессы возникновения и развития зон пластичности, областей ра-зупрочняющегося материала и зон разрушения. Для предлагаемых определяющих уравнений получены новые аналитические решения краевых задач механики закритического деформирования для стержневых систем и изотропных тел с осевой или центральной симметрией, а также численные решения физически нелинейных задач для элементов конструкций и сооружений, например, для объектов подземных горных выработок.

Ломакиным Е.В. [115, 116, 117, 118] предложены определяющие соотношения для описания нелинейно упругого и упругопластического деформирования класса сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами (что характерно для таких сред, как горные породы, бетоны, огнеупорные керамики, чугун, конструкционные графиты). В работах Е.В. Ломакина показано, что некоторые традиционные постановки краевых задач и соответствующие методы их решения для таких материалов не могут быть использованы. Это относится к задачам механики разрушения. Для преодоления указанных сложностей сформулированы новые постановки краевых задач и получены решения ряда задач, на основе которых установлено, что в условиях действия касательных напряжений величина объемной деформации вблизи отверстий и других концентраторов напряжений может быть сравнимой с величиной деформации сдвига. Зависимость деформационных свойств сред от вида напряженного состояния существенным образом влияет на характер распределения напряжений. При этом проявляется неоднородность распределения деформационных свойств в областях неравномерного напряженного состояния, и тип этой неоднородности может быть определен только в ходе решения задачи. На основе решения задач механики разрушения исследована зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от чувствительности деформационных свойств материалов к изменению вида нагружения. Обнаружено раскрытие трещины при действии касательных напряжений, предложен механизм объясняющий объемное расширение среды при действии сжимающих напряжений [115, 116, 117, 118].

Астафьевым В.И. и Ширяевой JI.K. [17] исследовано влияние воздействия водорода на снижение прочностных и пластических свойств металлов (водородное охрупчивание). Для моделирования процесса накопления повреждений в металлах в условиях водородного охрупчивания был применен подход Качанова - Работнова с привлечением скалярного параметра поврежденности, широко используемый при изучении высокотемпературной ползучести металлов. Предложены определяющие соотношения (кинетическое уравнение, описывающее эволюцию параметра поврежденности, условие пластичности и критерий локального разрушения), которые допускают наличие стационарного режима без разрушения и приводят к критерию локального разрушения по максимально допустимой величине накопленных пластических деформаций. В [17] предложена математическая модель распространения трещин в упругопластической охрупчиваю-щейся среде с привлечением параметра поврежденности. Данная модель применена к решению задачи о росте полубесконечной и конечной трещин в материале, охрупчивающемся под воздействием водородсодержащей среды.

В последнее время появились исследования, посвященные специальным разделам механики разрушения - физически и геометрически нелинейной механике трещин [245], механике динамического распространения трещин [139, 312], механике разрушения композиционных материалов [57], пространственным задачам механики разрушения [251], экспериментальным [2] и асимптотическим [360] методам механики разрушения, обратным задачам механики разрушения [283], нелинейным задачам механики разрушения [109], моделям и критериям механики разрушения [126], вопросам вязкого разрушения [354], механике контактного разрушения [94], методу конечного элемента в механике разрушения [135, 136, 252], микромеханике разрушения [127], общим закономерностям разрушения твердых тел в различных условиях (циклическое нагружение, разрушение в условиях коррозионной среды и радиационного воздействия) [40]. Фундаментальные концепции и феноменологические основания механики разрушения, математический аппарат, например, теория аналитических функций, и основные результаты как линейной механики разрушения, так и механики упругопластического разрушения, разрушения в условиях ползучести излагаются в [320, 420].

Следует отметить, что такие специальные разделы механики разрушения, как механика разрушения композиционных материалов [57, 68, 195, 120, 244], физическая мезомеханика [127, 151, 419], механика разрушения горных пород [184, 227, 228, 229], выделись в самостоятельные области исследования и являются предметами растущего интереса и пристального внимания научного сообщества как в нашей стране, так и за рубежом. Со-колкиным Ю.В. и его коллегами [120] предложены нелинейные многоуровневые структурно-феноменологические модели в механике деформирования и разрушения композиционных материалов. В работах Ю.В. Соколки-на для различных линейных и нелинейных моделей композитов получены оценки влияния вклада микроструктуры в геометрические соотношения при конечных деформациях и предложена постановка связанных краевых задач микромеханики композитов, учитывающая стадию структурного накопления микроповреждений. Для описания структурного разрушения и прогнозирования прочностных свойств композитов в определяющие уравнения вводится новый материальный носитель [120] - функция повреждаемости четвертого ранга, зависящая от условий нагружения. Для замыкания уравнений краевой задачи привлекаются дополнительные уравнения, связывающие инварианты тензора структурных повреждений с инвариантами тензора структурных напряжений и деформаций. С помощью метода периодических составляющих построен новый функционал связанной стохастической краевой задачи, позволяющий наряду с прогнозированием эффективных упругих свойств также строить расчетные поверхности прочности реальных композиционных материалов. Показано, что с единых позиций возможно прогнозирование как упругих, так и прочностных свойств композиционных материалов.

Основные результаты и выводы

Сформулируем основные выводы о наиболее существенных результатах, полученных в настоящей работе.

1. Дано математическое описание процесса накопления микроповреждений вблизи вершины макротрещины на основе введения области полностью поврежденного материала, внутри которой параметр сплошности достиг своего критического значения. Определена геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления рассеянных повреждений. Найдена зависимость, в соответствии с которой изменяется граница области полностью поврежденного материала с течением времени.

2. Выполнено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и поврежденности у вершин трещин нормального отрыва, антиплоского и поперечного сдвига в условиях ползучести в связанной формулировке задачи (в связке ползучесть - повре-жденность) с использованием автомодельной переменной и автомодельного представления решения. Построены высшие приближения в асимптотических разложениях механических полей на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, с характерным линейным размером образца).

3. Установлено промежуточно-асимптотическое поведение напряжений у вершины трещины в среде с поврежденностью в связанных задачах теории ползучести и континуальной механики поврежденности: показано, что асимптотическое решение, построенное методом разложения по собственным функциям, представляет собой промежуточную асимптотику механических полей при описании явления накопления рассеянных микроповреждений у вершины макротрещины.

4. Выполнен численный анализ уравнений задачи об антиплоской деформации образца с трещиной, сформулированных в терминах автомодельной переменной, проведенный методом'конечных разностей. В. ходе численного эксперимента обнаружен выход на промежуточную автомодельную асимптотику дальнего поля напряжений.

5. Исследование собственных значений нелинейных задач на собственные значения, вытекающих из проблем определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями, методом возмущений в задаче антиплоского сдвига позволило получить точную аналитическую формулу, которая выражает зависимость собственного значения, соответствующего нелинейной задаче, от показателя нелинейности материала и от собственного значения, отвечающего линейной задаче.

6. Дана приближенная оценка собственных значений в нелинейных задачах на собственные значения, к которым приводит анализ напряженно-деформированного состояния у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями. Показано, что описанная методика, основанная на введении малого параметра, представляющего собой разность между собственными значениями, отвечающими нелинейной и линейной задачам, и использовании аппроксимаций Паде, дает эффективный способ отыскания собственных чисел нелинейных задач на собственные значения.

Т. Исследовано влияние скоростей упругих деформаций у вершины растущей трещины в упругом нелинейно-вязком материале с учетом процессов накопления повреждений. Асимптотический анализ поля скоростей деформаций у вершины трещины показал, что скоростями упругих деформаций в окрестности вершины растущей трещины пренебрегать нельзя по сравнению со скоростями деформаций ползучести, что является существенным при проведении численных расчетов для элементов конструкций с трещинами в пакетах прикладных программ, реализующих метод конечного элемента. Дана оценка скорости роста трещины в поврежденной среде.

8. На основе анализа связанных задач теории ползучести и механики поврежденности о растущей трещине антиплоского сдвига и нормального отрыва найдены главные члены асимптотических разложений компонент тензора напряжений, скоростей деформаций и скалярного параметра сплошности и установлено, что перед вершиной магистральной трещины (главной трещины) в процессе ее распространения образуется зона активного накопления повреждений, а к берегам трещины примыкает область полностью поврежденного материала. Следовательно, процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала.

9. Получены приближенные аналитические решения задач о трещине, находящейся под действием поперечного сдвига, а также под действием смешанного нагружения (нормальный отрыв и поперечный сдвиг), в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояний. Найдены поля напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в образце, подвергнутому смешанному нагружению (отрыв и поперечный сдвиг) при различных значениях коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений состоит из клинообразных областей, внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями. Приведено сравнение приближенного аналитического решения с численным решением задачи для материала, следующего степенному закону ползучести в предельном случае, когда показатель нелинейности материала неограниченно возрастает. Для сравнения построены угловые распределения компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций ползучести в материале со степенным законом Бейли - Нортона теории установившейся ползучести для различных значений показателя нелинейности материала. Аналитическое и численное решения совпадают, что подтверждает достоверность результатов.

10. Показано, что дробно-линейный закон теории установившейся ползучести, в отличие от степенного закона Бейли-Нортона, позволяет, в рамках единой функциональной зависимости описать как существенно нелинейное соотношение между напряжениями и скоростями деформаций, так и линейную зависимость, что, в свою очередь, дает возможность построить непрерывное распределение радиальной компоненты тензора напряжений в окрестности вершины для трещины отрыва в условиях плоского напряженного состояния и для трещин, находящихся в условиях смешанного нагружения.

11. Выявлен характер особенностей скоростей деформаций ползучести в окрестности' вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести. Показано, что вблизи вершины трещины (как для трещин отрыва и сдвига, так и для трещины в условиях смешанного нагружения) имеет место эффект зависимости показателя сингулярности от угла наклона радиуса к трещине. Полученное решение позволяет пролить свет на поле деформаций у устья трещины в идеально пластическом материале, поскольку условие наступления предельного состояния аналогично условию наступления пластического течения Мизеса. В отличие от задач теории идеальной пластичности при определении кинематики пластического течения у вершины трещины, когда можно отыскать лишь некоторые характерные особенности поля деформаций, в рамках настоящего подхода удается определить поле скоростей деформаций в каждом из секторов.

1. Агахи К.А. Моделирование процесса ползучести с учетом стадии предразрушения и идентификация модели/ К.А. Агахи, Ю.Г. Ба-салов, В.Н. Кузнецов, Л.В. Фомин// Вестник Самарского государственного технического ун-та. 2009. - №2(19). - С. 243-247.

2. Албаут, Г.Н. Нелинейная фотоупругость в приложении к задачам механики разрушения/Г.Н. Албаут. Новосибирск: НГАСУ, 2002. -112 с.

3. Андрианов, И.В. Асимптотическая математика и синергетика/ И.В. Андрианов, Р.Г. Баранцев, Л.И. Маневич М.: Едиториал УРСС, 2004. - 304- с.

4. Аннин, Б.Д. Упруго-пластическая задача/ Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. Новосибирск: Наука, 1983. - 238 с.

5. Аргатов, И.И. Введение в асимптотическое моделирование в механике/ И.И. Аргатов. СПб: Политехника, 2004. - 302 с.

6. Аршакуни, А.Л. Прогнозирование длительной прочности жаропрочных металлических материалов/ А.Л. Аршакуни, С.А. Шестериков// Изв. РАН. МТТ. 1994. - №3. - С. 126-141.

7. Аршакуни, А.Л. Прогнозирование длительной прочности металлов/ А.Л. Аршакуни// Изв. РАН. МТТ. 1997. - №6. - С. 126-135.

8. Астафьев, В.И. О росте трещины при ползучести с учетом пластической зоны вблизи вершины трещины/ В.И. Астафьев// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1979. - №6. - С. 154-158.

9. Астафьев, В.И. Влияние нестационарности поля напряжений на рост трещин при ползучести/ В.И. Астафьев// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1983. - №3. - С. 148-152.

10. Астафьев, В.И. Докритическое подрастание трещины при ползучести под действием переменной,нагрузки/ В.И. Астафьев// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1985. - №3. - С. 152-157.

11. Астафьев, В.И. Закономерности подрастания трещин в условиях ползучести/ В.И. Астафьев// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - №1. -С. 127-134.

12. Астафьев, В.И. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести/В.И. Астафьев, Т.В. Григорова, В.А. Пастухов// ФХММ. 1992. - Т. 28. - №1. - С. 5-11.

13. Астафьев, В.И. Асимптотика напряженно деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях ползучести/ В.И. Астафьев, Л.В. Степанова, С.А. Шестериков// Вестник Сам-ГУ. Спец. выпуск. - 1995. - С. 59-64.

14. Астафьев, В.И. Распределение напряжений и поврежденности у вершины, растущей в процессе ползучести трещины/ В.И. Астафьев, Т.В. Григорова// Изв. РАН. МТТ. 1995. - №3. - С. 160-166.

15. Астафьев, В.И. Задача о разгрузке для трещины Дагдейла/ В. И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова// Вестник СамГУ. 1997. - №4(6). - С. 103-114.

16. Астафьев, В.И. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины для дробно-линейного закона ползучести/ В.И. Астафьев, Л.В. Степанова // Вестник СамГУ. 1997. - №. - С. 135-141.

17. Астафьев, В.И. Накопление поврежденности и коррозионное растрескивание металлов под напряжением/ В.И. Астафьев, Л.К. Ширяева. Самара: Изд-во "Самарский университет", 1998. - 123 с.

18. Астафьев, В.И. Распределение напряжений вблизи вершины наклонной трещины в нелинейной механике разрушения/ В.И. Астафьев,

19. A.Н. Крутов// Изв. РАН. МТТ. 2001. - №5. - С. 125-133.

20. Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения/ В. И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова. Самара.: Изд-во "Самарский университет", 2001. - 632 с.

21. Астафьев, В.И. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностыо/

22. B.И. Астафьев, Л.В. Степанова// Изв. РАН. МТТ. 2005. - №2.1. C. 145-154.

23. Бакиров, В.Ф. Модель Леонова Панасюка - Дагдейла для трещины на границе соединения двух материалов/ В.Ф. Бакиров, Р.В. Гольд-штейн// ИПМ РАН. Препринт №620. - 1998. - 24 с.

24. Бакиров, В.Ф. Модель трещины-расслоения с областями пластического течения и разупрочнения вблизи вершины на границе соединения двух материалов/ В.Ф. Бакиров, Р.В. Гольдштейн// ИПМ РАН. Препринт №638. 1999. - 40 с.

25. Бакиров, В.Ф. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины на границе соединения материалов/ В.Ф. Бакиров, Р.В. Гольдштейн// Прикл. матем. и механика. 2004 - Т. 68. - Вып. 1. - С. 170-179.

26. Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметрич-ные трещины/Г.И. Баренблатт// Прикл. матем. и механика. 1959.- Т. XXIII. №3. - С. 434-444.

27. Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластин-ках/Г.И. Баренблатт// Прикл. матем. и механика. 1959. - Т. XXIII.- №4. С. 706-721.

28. Баренблатт, Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Устойчивость изолированных трещин. Связь с энергетическими теориями/Г.И. Баренблатт// Прикл. матем. и механика. 1959. - Т. XXIII. - т. - С. 706-721.

29. Баренблатт, Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении//Г.И. Баренблатт// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1961. - №4. - С. 3-53.

30. Баренблатт, Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике/ Г.И. Баренблатт. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. - 256 с.

31. Басалов, Ю.Г. Определяющие соотношения для реономного материала// Ю.Г. Басалов, В.Н. Кузнецов, С.А. Шестериков// Изв. РАН. МТТ. 2000. - №6. - С. 69-81.

32. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде/Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. М.: Мир, 1986. - 502 с.

33. Беспалов, В.А. Численное и экспериментальное исследование долговечности элементов конструкций, содержащих поверхностные трещины/ В.А. Беспалов, Т.Б. Гоцелюк, К.А. Матвеев, В.Н. Чаплыгин//

34. Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. III. - С. 38.

35. Болотин, В.В. Ресурс машин и конструкций/ В.В. Болотин. М.: Машиностроение, 1990. - 448 с.

36. Болотин, В.В. Распространение усталостных трещин как случайный процесс/ В.В. Болотин// Изв. РАН. МТТ. 1993. - №4. - С. 174-183.

37. Болотин, В.В. О распространении усталостных трещин в линейных вязкоупругих средах/В.В. Болотин// Изв. РАН. МТТ. 1998. - №4. - С. 117-127.

38. Ботвина, JI.P. Автомодельность накопления повреждаемости/ JI.P. Ботвина, Г.И. Баренблатт/ Проблемы прочности. 1985. - №12. -С. 17-24.

39. Ботвина, JI.P. Кинетика разрушения конструкционных материалов/ JI.P. Ботвина. М.: Наука, 1989. - 230 с.

40. Ботвина, JI.P. Разрушение. Кинетика, механизмы, общие закономерности/ JI.P. Ботвина. М.: Наука, 2008. - 336 с.

41. Броек, Д. Основы механики разрушения/Д. Броек. М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.

42. Буи, X. Д. Введение в теорию обратных задач механики материалов/ Х.Д. Буи. Караганда: Изд-во Карагандинского гос. университета, 1997. - 378 с.

43. Бураго, Н.Г. Численное решение упруго-пластических задач методом конечных элементов/ Н.Г. Бураго, В.Н. Кукуджанов// Препринт Инта проблем механики. М.: Ин-т проблем механики РАН. 1988. - 63 с.

44. Бураго, Н.Г. Численное решение задач континуального разрушения/ Н.Г. Бураго, В.Н. Кукуджанов// Препринт Ин-та проблем механики. М.: Ин-т проблем механики РАН. 2004. - 39 с.

45. Бураго, Н.Г. Обзор контактных алгоритмов/ Н.Г.Бураго, В.Н. Кукуджанов// Изв. РАН. МТТ. 2005. - №1. - С. 46-87.

46. Бураго, Н.Г. Расчет процессов разрушения/ Н.Г.Бураго// Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. - С. 146-149.

47. Бураго, Н.Г. Моделирование разрушения упругопластических тел/ Н.Г. Бураго// Вычислительная механика сплошных сред. 2009. -Т.1. - №4. - С. 5-20.

48. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости/ М. Ван-Дайк. М.: Мир, 1967. - 239 с.

49. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений/ А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Высшая школа, 1990.- 207 с.

50. Ватульян, А.О. О восстановлении формы приповерхностного дефекта в полупространстве/ А.О. Ватульян, С.А. Корейский// Доклады РАН. 1995. - Т. 334. - №6. - С. 753-755.

51. Ватульян, А.О. Идентификация плоских трещин в упругой среде/ А.О. Ватульян, А.Н. Соловьев// Экологический вестник. 2003. -№1. - С. 23-28.

52. Ватульян, А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде/ А.О. Ватульян// Прикл. матем. и механика. 2004.- Т. 68. №1. - С. 192-200.

53. Ватульян, А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела/ А.О. Ватульян. М.: Физматлит, 2007. - 224 с.

54. Вильдеман, В.Э. Краевые задачи континуальной механики разрушения. Препринт/ В.Э. Вильдеман, Ю.В. Соколкин, A.A. Ташкинов. Пермь: УрО РАН, 1992. 77 с.

55. Вильдеман, В.Э. Краевая задача,механики деформироания и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения/ В.Э. Вильдеман, Ю.В. Соколкин, A.A. Ташкинов// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1995. - №6. - С. 122-132.

56. Вильдеман, В.Э. Механика неупругого деформирования и-разрушения композиционных материалов/В.Э. Вильдеман, Ю.В. Соколкин, A.A. Ташкинов. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

57. Вильдеман, В.Э. Краевые задачи механики закритического деформирования и вопросы прочностного анализа/ В.Э. Вильдеман// IX Всероссийский-съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. ИГ. - С. 57-58.

58. Витвицкий, П.М. Пластические деформации в окрестности трещин и критерии разрушения (обзор)/ П.М. Витвицкий, В.В. Панасюк, С.Я. Ярема// Проблемы прочности. 1973. - №2. - С. 3-17.

59. Волков, С.Д. Проблема прочности и механика разрушения/ С.Д. Волков/ Проблемы прочности. 1978. - №7. - С. 3-10.

60. Волков, С.Д. Методы решения краевых задач механики разрушения. Препринт/ С.Д. Волков. Свердловск: УНЦ АН СССР. Институт металлургии, - 1986. - 68 с.

61. Вычислительные методы в механике разрушения/ Под ред. С. Атлу-ри. М.: Мир, 1990. - 392 с.

62. Гольдштейн, P.B. Трещина со связями на границе раздела материалов/ Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер// ИПМ РАН. Препринт №568. 1996. - 72 с.

63. Гольдштейн, Р.В. Трещина на границе раздела материалов с нелинейным взаимодействием берегов/ Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер// ИПМ РАН. Препринт №619. 1998. - 46 с.

64. Гольдштейн, Р.В. Рост трещин на границе соединения материалов/ Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер// Проблемы механики: Сборник статей к 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского/ Под ред. Д.М. Климова. М.: Физматлит, 2003. - 832 с.

65. Гольдштейн, Р.В. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва/ Р.В. Гольдштейн, Г.А. Шаталов// Изв. РАН. МТТ. 2006. - №4. -С. 151-164.

66. Гольдштейн, Р.В. Механика деформирования и разрушения нанома-териалов и нанотехнологии/ Р.В. Гольдштейн, Н.Ф. Морозов// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. III. - С. 72-73.

67. Гольдштейн, Р.В. Моделирование трещиностойкости композиционных материалов/ Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер// Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т. 2. - №2. - С. 22-39.

68. Екобори, Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел/ Т. Екобори. М.: Металлургия, 1971. - 264 с.

69. Зайцев, В.Ф. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям/ В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. М.: Факториал, 1997. - 512 с.

70. Закономерности ползучести и длительной прочности. Справочник/

71. Под общей ред. С.А. Шестерикова. М.: Машиностроение, 1983. -101 с.

72. Зубов, JI.M. О дислокациях Вольтерра в нелинейно-упругих те-лах/JI.M. Зубов//Доклады АН СССР. 1986. - Т. 287. - №. - С. 579-582.

73. Зубов, Л.М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих те-лах/Л.М. Зубов//Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - №5. - С. 140-147.

74. Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности/ Д. Д. Ив лев. М.: Наука, 1966. - 232 с.

75. Ивлев, Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения/ Д.Д. Ивлев// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1967. - №6. - С. 88-128.

76. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела/ Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов. М.: Наука, 1978. - 208 с.

77. Ивлев, Д.Д. Механика пластических сред. Т. 1. Теория идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2001. - 448 с.

78. Ивлев, Д.Д. Механика пластических сред. Т. 2. Общие вопросы. Жесткойластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды/ Д.Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2002. - 448 с.

79. Ивлев, Д.Д. Предельное состояние деформируемых твердых тел и •пород/ Д.Д. Ивлев и др.]. М.: Физматлит, 2008. - 832 с.

80. Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач/ A.M. Ильин. М.: Наука, 1989. - 336 с.

81. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности/ А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. М.: Физматлит, 2001. - 600 с.

82. Калиткин, H.H. Численные методы/ H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978. - 512 с.

83. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Э. Камке. М.: Наука, 1971. - 576 с.

84. Карзов, Г.П. Физико-механическое моделирование процессов разрушения/ Г.П. Карзов, Б.З. Марголин, В.А. Швецова. СПб.: Политехника, 1993. - 391 с.

85. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение/ Д. Ка-ханер, К. Моулер, С. Нэш. М.: Мир, 1998. - 575 с.

86. Качанов, JI.M. Механика пластических сред/JI.M. Качанов. JL, М.: Гостехиздат, 1948. - 216 с.

87. Качанов, JI.M. О времени разрушения в условиях ползучести/Л.М. Качанов// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. - С. 26-31.

88. Качанов, JI.M. Основы теории ползучести/Л.М. Качанов. М.: Физ-матгиз, 1960. - 456 с.

89. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности/Л.М. Качанов. М.: Наука, 1969. - 420 с.

90. Качанов, Л.М. Основы механики разрушения/Л.М. Качанов. М.: Наука, 1974. - 312 с.

91. Качанов, Л.М. Рост трещин в условиях ползучести/ Л.М. Качанов// Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - №1. - С. 97-102.

92. Кашелкин, В.В. Метод прогнозирования длительной прочности хро-моникелевых аустенитных сталей/ В.В. Кашелкин, И.А. Кузнецова, С.А. Шестериков// Изв. РАН. МТТ. 2004. - №1. - С. 182-187.

93. Колесников, Ю.В. Механика контактного разрушения/ Ю.В. Колесников, Е.М. Морозов. М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 224 с.

94. Коллатц, Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений/ Л. Коллатц. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953. - 460 с.346

95. Коллатц, JI. Задачи на собственные значения/ / Л. Коллатц. М.: Наука, 1968. - 504 с.

96. Коллинз, Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение/ Дж. Коллинз. М.: Мир, 1984. -624 с.

97. Кондауров, В.И. Механика разрушения горных пород/ В.И. Конда-уров, Ш.А. Мухамедиев, Л.В. Никитин, Е.И. Рыжак. М.: Наука, 1987. - 218 с.

98. Корнеев, В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещины в зоне предразрушения при малоцикловом нагружении/ В.М. Корнеев// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. III. - С. 41-42.

99. Коскинен, М.Ф. Упругопластическая деформация плоской пластины с одиночным надрезом при продольном сдвиге/М.Ф. Коски-нен//Техническая механика. 1963. - №4. - С. 127.

100. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике/ Дж. Ко-ул. М.: Мир, 1972. - 275 с.

101. Кукуджанов, В.Н*. Микромеханическая модель разрушения неупругого материала и ее применение к исследованию локализации деформаций/ В.Н. Кукуджанов// Изв. РАН. МТТ. 1999. - №5. - С. 72 -86.

102. Кукуджанов, В.Н. Связанные модели упругопластичности и повре-жденности и их интегрирование/ В.Н. Кукуджанов// Изв. РАН. МТТ. 2006. - №6. - С. 103 - 135.

103. Кукуджанов, В.Н. Численные методы в механике сплошных сред/

104. B.Н. Кукуджанов. М.: МАТИ - РГТУ, 2006. - 158 с.

105. Кукуджанов, В.Н. Компьютерное моделирование деформирования, повреждаемости и разрушения неупругих материалов и конструкций/ В.Н. Кукуджанов. М.: МФТИ, 2008. - 215 с.

106. Курочкина, Ю.В. Об идентификации в механике нанокомпозитов/ Ю.В. Курочкина, Б.Е. Победря// Изв. РАН. МТТ. 2007. - №3.1. C. 6-12.

107. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменно-го/М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1987. - 688 с.

108. Левин, В.А. Избранные нелинейные задачи механики разрушения/В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко. М.: Физматлит, 2004. - 408 с.

109. Левин, В.А. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации/ В.А. Левин, Е.М. Морозов// Доклады РАН. 2002. - Т. 346. -№1. - С. 62-67.

110. Леонов, М.Я. Развитие мельчайших трещин в твердом теле/ М.Я. Леонов, В.В. Панасюк// Прикладная механика. 1959. - Т. 5. - №4. С. 391-401.

111. Леонов, М.Я. Механика деформаций и разрушения. Физико-математические основы теории/М.Я. Леонов. Фрунзе. Изд-во "Илим", 1981. - 236 с.

112. Локощенко, A.M. Анализ критериев длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии/ A.M. Локощенко, В.В. Назаров, Д.О. Платонов, С.А. Шестериков// Изв. РАН. МТТ. 2003. -№2. - С. 139-149.

113. Локощенко, A.M. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов/ A.M. Локощенко. М.: МГИУ, 2007. - 263 с.

114. Ломакин, E.B. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред/ Е.В. Ломакин// Изв. РАН. МТТ. 1991. -№6. - С. 66-75.

115. Ломакин, Е.В. Упругопластическое деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины в условиях плоского напряженного > состояния/ Е.В. Ломакин, Т.А. Белякова// Изв. РАН. МТТ. 2004. - т. - С. 109-118.

116. Ломакин, Е.В. Пластическое деформирование полос из материала с зависящими от вида напряженного состояния свойствами/ Е.В. Ломакин, Б.Н. Федулов// Вестник СамГУ. 2007. - №4(54). - С. 263279.

117. Ломакин, Е.В. Пластическое плоское напряженное состояние тел, свойства которых зависят от вида напряженного состояния/ Е.В. Ломакин, А.М. Мельников// Вычислительная механика сплошных сред. 2009. - Т.2. - №2. - С. 48-64.

118. Максименко, В.Н. Расчетно-экспериментальный метод определения параметров разрушения конструкций с трещинами/ В.Н. Максименко, A.B. Тягний// Журнал приклад, механики и техн. физики. -2004. Т. 45. - Ш. - С. 168-175.

119. Малинин, H.H. Технологические задачи пластичности и ползучести/ H.H. Малинин. М.: Высшая школа, 1979. - 119 с.

120. Малинин, H.H. Ползучесть в обработке металлов/ H.H. Малинин. -М.: Машиностроение, 1986. 222 с.

121. Маслов, В.П. Асимптотические методы и теория возмущений/ В.П. Маслов. М.: Наука, 1988. - 312 с.

122. Матвиенко, Ю.Г. Физика и механика разрушения твердых тел/Ю.Г. Матвиенко. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 76 с.

123. Матвиенко, Ю.Г. Модели и критерии механики разруше-ния/Ю.Г. Матвиенко. М.: Физматлит, 2006. - 328 с.

124. Миклашевич, И.А. Микромеханика разрушения в обобщенных пространствах/ И.А. Миклашевич. Минск: Логвинов, 2003. - 208 с.

125. Мирсалимов, В.М. Неодномерные упругопластические зада-чи/В.М. Мирсалимов. М.: Наука, 1987. - 256 с.

126. Моисеев, H.H. Асимптотические методы нелинейной механики/ H.H. Моисеев. М.: Наука, 1981. - 400 с.

127. Морозов, Е.М. Некоторые• закономерности в теории трещин/ Е.М. Морозов, Я.Б. Фридман// Прочность и деформациия материалов в неравномерных физических полях. М.: Атомиздат, 1968. - Вып. 2. - С. 216-253.

128. Морозов, Е.М. Вариационный принцип в механике разрушения/ Е.М. Морозов// Доклады АН СССР. 1969. - Т. 184. - №6. - С. 1308-1311.

129. Морозов, Е.М. Метод, конечных: элементов- в • механике разрушения/ Е.М; Морозов, Г.П. Никишков. М.: Наука, - 1980. - 254 с.

130. Морозов, Е.М. ANS YS в руках инженера. Механика разрушения/ Е.М. Морозов, АЛО. Муйземнек, А.С; Шадский. М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 456 с. .

131. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения/ Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. М.: Издательство ЛКИ. - 2008. -256 с.

132. Морозов, II.Ф. Математические вопросы теории трещин/Н.Ф. Морозов. М.: Наука, 1984.-256 с.

133. Морозов, Н.Ф. Дискретные и: гибридные модели в механике разрушения/Н.Ф^ Морозов, М.В. Паукшто. СПб.: Изд-во СПБГУ, 1995.- 157 с.

134. Морозов, Н.Ф. Проблемы динамики разрушения твердых тел/ Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. СПб.: Изд-во СПБГУ, 1997. - 129 с.

135. Морозов, Н.Ф: Математические модели в механике разрушения/ Н.Ф; Морозов; HIB. Поникаров/ Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций. К 60-летию со дня рождения Г.И. Быков-цева// Владивосток: Изд-во ИАПУ ДВО РАН. 1998. - С. 97-104.

136. Мураками, С. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности/ С. Мураками, Ю.Н. Радаев// Изв. РАН. МТТ. 1996. - Ж. - С. 93-110.

137. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966; - 708 с.143., Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. / А. Надаи. -Ml: Мир, 1969. 864 с.

138. Назаров, С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости/ С.А. Назаров. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1983. - 117 с.

139. Назаров, С.А. Весовые функции и инвариантные интегралы/ С.А. Назаров/ / Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990. - Т. 1. - С. 17-31.

140. Назаров, С.А. Весовые функции и инвариантные интегралы высших порядков/ С.А. Назаров, О.Р. Полякова// Изв. РАН. МТТ. 1995. -Ж. - С. 104-119.

141. Назаров, С.А. При помощи инвариантных интегралов можно вычислить все коэффициенты при младших сингулярностях поля напряжений/ С.А. Назаров// Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1996. - №22. - Вып. 4. - С. 95-99.

142. Назаров, С.А. Инвариантные интегралы в модели трещины Леонова Панасюка - Дагдейла/ С.А. Назаров// Журнал прикл. механики и техн. физики. - 1997. - Т. 38. - №5. - С. 147-155.

143. Назаров, С.А. Тензор и меры поврежденности. Инвариантные интегралы в телах с рассеянными дефектами/ С.А. Назаров// Изв. РАН. МТТ. 2001. - №2. - С. 121-131.

144. Назаров, С.А. О трехмерной формулировке критерия Новожилова квазистатического разрушения/ С.А. Назаров// Изв. РАН. МТТ. -2006. №2. - С. 118-127.

145. Найфе, А. X. Методы возмущений/А.Х. Найфе. М.: Мир, 1976. -456 с.

146. Найфе, А. X. Введение в методы возмущений/А.Х. Найфе. М.: Мир, 1984. - 535 с.

147. Нейбер, Г. Теория концентрации напряжений в призматических стержнях, работающих в условиях сдвига, для любого нелинейного закона, связывающего напряжения и деформации/Г. Нейбер// Сб. перев. и обз. ин. период, лит. 1961. - №4. - С. 71.

148. Нетер, Э. Инвариантные вариационные задачи/Э. Нетер// Вариационные принципы механики: Сборник классиков науки/ под ред. JI.C. Полак. М.: Физматлит, 1959. - 932 с.

149. Нетер, Э. Инварианты любых дифференциальных выраже-ний/Э. Нетер// Вариационные принципы механики: Сборник классиков науки/ под ред. JI.C. Полак. М.: Физматлит, 1959. -932 с.

150. Новожилов, В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности/ Прикл. матем. и механика. 1969. - Т. 33. - №2. - С. 212222.

151. Новожилов, В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах/ Прикл. матем. и механика. 1969. - Т. 33. - №5. - С. 797-812.

152. Нотт, Дж. Ф. Основы механики разрушения/Дж. Ф. Нотт. М.: Металлургия, 1978. - 256 с.

153. Основы экспериментальной механики разрушения/ И.М. Керштейн, В.Д. Клюшников, Е.В. Ломакин, С.А. Шестериков. М.: Изд-во Московского университета, 1989. - 140 с.

154. Панасюк, В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами/ В.В. Панасюк. Киев: Наукова Думка, 1968. - 246 с.

155. Панасюк, В.В. Основы механики разрушения материалов/ В.В. Панасюк, А.Е. Андрейкив, В.З. Партон. Киев: Наукова Думка, 1988. - 488 с.

156. Партон, В.З. Механика упругопластического разрушения/В.3. Пар-тон, Е.М. Морозов. М.: Наука, 1974. - 416 с.

157. Партон, В.З. Механика упругопластического разрушения/В.3. Пар-тон, Е.М. Морозов. М.: Наука, 1985. - 504 с.

158. Партон, В.З. Механика упругопластического разрушения. Часть 1. Основы механики разрушения/ В.З. Партон, Е.М. Морозов. М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 352 с.

159. Партон, В.З. Механика упругопластического разрушения. Часть 2. Специальные задачи механики разрушения/ В.З. Партон, Е.М. Морозов. М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 192 с.

160. Перельмутер, М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области/ М.Н. Перельмутер// Прикл. матем. и механика. 2007. -Т.71. - №1. - С. 152-171.

161. Пестриков, В.М. Механика разрушения твердых тел/В.П. Пестри-ков, Е.М. Морозов. СПб.: Профессия, 2002. - 320 с.

162. Петров, Ю.В. Импульсная прочность сред: разрушение и структурные превращения/ Ю.В. Петров// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. III. - С. 172.

163. Плювинаж, Г. Механика упругопластического разрушения/ Г. Плю-винаж. М.: Мир, 1993. - 450 с.

164. Победря, Б.Е. Задачи идентификации в механике нанокомпозитов/ Б.Е. Победря// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. III. - С. 174.

165. Прагер, В. Проблемы теории пластичности/ В. Прагер. М.: Гос. издательство физ.-мат. лит-ры, 1958. - 136 с.

166. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела/Ю.Н. Ра-ботнов. М.: Наука, 1979. - 744 с.

167. Работнов, Ю. Н. О механизме длительного разрушения/ Ю.Н. Работ-нов// Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - С. 5-7.

168. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций/ Ю.Н. Работнов.- М.: Наука, 1966. 752 с.

169. Работнов, Ю.Н. Введение в механику разрушения/ Ю.Н. Работнов.- М.: Наука, 1987. 80 с.

170. Работнов, Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела/ Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1991. - 196 с.

171. Радаев, Ю.Н. Континуальные модели поврежденности твердых тел. Автореферат дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук/ Ю.Н. Радаев. Москва: Институт проблем механики РАН, 1999.- 36 с.

172. Радаев, Ю.Н. Точный анализ распределения напряжений у вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния/ Ю.Н. Радаев// Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2007. - №4(54). - С. 336-365.

173. Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения/ Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. - 768 с.

174. Райе, Дж. Напряжения, обусловленные острым вырезом в упрочняющемся упруго-пластическом материале при продольном сдвиге/ Дж. Райс//Труды Американского общества инженеров-механиков.- Серия Е. Прикладная механика. - 1967. - №2. - С. 32-46.

175. Романов, А.Н. Закономерности накопления повреждений при усталостном разрушении/ А.Н. Романов// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. 2006. - Т. III. - С. 184-185.

176. Рыжак, Е.И. Условия устойчивости и формы проявления неустойчивости разупрочняющихся упругопластических тел. Автореферат дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук/ Е.И. Рыжак. М.: Институт физики Земли, 2002. 28 с.

177. Рябенький, B.C. Введение в вычислительную математику/ B.C. Рябенький. М.: Физматлит, 2000. - 296 с.

178. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещина-ми/М.П. Саврук. Киев: Наукова думка, 1981. - 324 с.

179. Саврук, М.П. Численный анализ в плоских задачах теории трещин/ М.П. Саврук, П.Н. Осив, И.В. Прокопчук. Киев: Наукова думка, 1989. - 248 с.

180. Салганик, P.JI. О хрупком разрушении склееных тел/ P.JI. Салга-ник// Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27. - Вып. 5. -С. 957-962.

181. Самарский, A.A. Теория разностных схем/ A.A. Самарский. М.: Наука, 1983. 616 с.

182. Седов, Л.И. Механика сплошной среды: T. II. М.: Наука, 1976. -576 с.

183. Сибгатуллин, Э.С. Развитие концепции Си в механике разрушения/ Э.С. Сибгатулин// Изв. РАН. МТТ. 2001. - №2. - С. 103-108.

184. Сиратори, М. Вычислительная механика разрушения/ М. Сиратори, Т. Миеси, X. Мачусита. М.: Мир, 1986. - 336 с.

185. Слепян, Л.И. Теория трещин/ Л.И. Слепян, Л.В. Троянкина. Ленинград: Судостроение, 1976. - 44 с.

186. Слепян, JI.И. Механика трещин/Л.И. Слепян. Л.: Судостроение, 1990. - 296 с.

187. Соколкин, Ю.В. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел/ Ю.В. Соколкин, A.A. Ташкинов. -М.: Наука, 1984. 115 с.

188. Соколовский, В.В. Теория пластичности/ В.В. Соколовский. М.: Высшая школа, - 1969. - 608 с.

189. Соснин, О.В. О некоторых особенностях высокотемпературного деформирования материалов/ О.В. Соснин, Б.В. Горев, И.В. Любашев-ская// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1999. - Т. 40. -т. - С. 124-135.

190. Соснин, О.В. Приближенные оценки высокотемпературной ползучести элементов конструкций/ О.В. Соснин, И.В. Любашевская// Журнал прикл. механики и техн. физики. 2001. - Т. 42. - №6. -С. 124-135.

191. Соснин, О.В. О высокотемпературной ползучести материалов и элементов конструкций/ О.В. Соснин// Проблемы механики: Сборник статей к 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского/ Под ред. Д.М. Климова. М.: Физматлит, 2003. - 832 с.

192. Соснин О.В. Сравнительные оценки высокотемпературной ползучести и разрушения конструкционных материалов/ О.В. Соснин, И.В. Любашевская, И.В. Новоселя// Журнал прикл. механики и техн. физики. 2008. - Т. 49. - №2. - С. 123-130.

193. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений/ под. ред. Ю. Мураками. М.: Мир, 1990. - Т.1. - 448 с. - Т.2. - 1013 с.

194. Степанова Л. В. О трещинах в нелинейно вязкой среде. Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук/ Л.В. Степанова. М.: НИИ механики МГУ, 1995. 131 с.

195. Степанова, JI.В. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (связка "ползучесть-поврежденность")/Л.В. Степанова, М.Е. Федина// Вестник СамГУ.- 2000. №4(18). - С. 128-145.

196. Степанова, Л.В. О геометрии области полностью поврежденного материала у вершины трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи (связка "ползучесть поврежденность")/ Л.В. Степанова, М.Е. Федина//Вестник СамГУ. - 2001. - №2(20). - С. 87-113.

197. Степанова, Л.В. Напряжения в окрестности вершины трещины поперечного сдвига в условиях плоского напряженного состояния в идеально пластическом материале/Л.В. Степанова//Вестник СамГУ. -2002. №2(24). - С. 78-84.

198. Степанова, Л.В. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной (ползучесть поврежденность) постановке/ Л.В. Степанова, М.Е. Федина// Журнал прикл. механики и техн. физики. - 2002. - Т. 43. - №5. - С. 114-123.

199. Степанова, Л.В. Влияние скоростей упругих деформаций на до-критический рост трещины в упругом нелинейно-вязком материале/Л.В.Степанова, Ю.Н. Устина// Вестник СамГУ. 2002. - №4(26).- С. 84-100.

200. Степанова, Л.В. Поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью/ Л.В. Степанова, М.Е. Федина // Вестник СамГУ. 2004. - №2(32). - С. 62-78.

201. Степанова, JI.В. Конечно-разностное решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в среде с поврежденностью/ Л.В. Степанова, Т.Н. Макарова // Вестник СамГУ. Спец. выпуск. 2004. - С. 95-110.

202. Степанова, Л.В. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью /Л.В. Степанова, М.Е. Федина // Журнал прикл. механики и техн. физики. 2005. - Т. 46. - №4. - С. 133-145.

203. Степанова, Л.В. Автомодельное решение задачи о трещине типа I в связанной постановке (связка ползучесть поврежденность)/ Л.В. Степанова, М.Е. Федина, H.A. Курнышева// Вестник СамГУ. - 2005.- №2(36). С. 125-155.

204. Степанова, Л.В. Собственные значения в задаче о трещине антиплоского сдвига в материале со степенным определяющим законом/ Л.В. Степанова, H.A. Хомутских// Вестник Сам. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-мат. науки. 2006. - Вып. 43. - С. 124-131.

205. Степанова, Л.В. Исследование собственных чисел в задаче о неподвижной трещине в материале со степенным определяющим законом/Л.В. Степанова// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - Т. 3. - Вып. 5. - С. 769-782.

206. Степанова, Л.В. Связанные задачи механики трещин/ Л.В. Степанова, М.Е. Федина. Самара: Изд-во Самарский университет, 2006.- 92 с.

207. Степанова, Л.В. Математические методы механики разрушения/

208. JI.B. Степанова. Самара: Изд-во "Самарский университет", - 2006.- 232 с.

209. Степанова, JI.B. Анализ собственных значений в задаче о трещине поперечного сдвига в материале со степенным определяющим зако-ном/JI.В. Степанова, М.Б. Федина // Вестн. Сам. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. - №2 (15). - С. 60 - 68.

210. Степанова, Л.В. О собственных значениях в задаче о трещине антиплоского сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями/ Л.В. Степанова// Журнал прикл. механики и техн. физики.- 2008. т. - С. 173-180.

211. Степанова, Л.В. Автомодельное решение задачи о трещине отрыва в связанной постановке/ Л.В. Степанова, М.Е. Федина// Прикл. ма-тем. и механика. 2008. - Т. 72. - Вып. 3. - С. 516-527.

212. Степанова, JI.В. Анализ собственных значений в задаче о трещине в материале со степенным определяющим законом/ Л.В. Степанова //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. - Ш. - С. 1332-1347.

213. Степанова, Л.В. Смешанное нагружение (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) элемента конструкции с трещиной в материале с дробно-линейным законом ползучести/ Л.В. Степанова, Т.Б. Элеки-на//Вестник СамГУ. 2009. - №2(68). - С. 123-139.

214. Степанова, Л.В. Математические методы механики разрушения/ Л.В. Степанова. М.: Физматлит, 2009. - 336 с.

215. Стефанов, Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упругохрупкопластичных материалов/ Ю.П. Стефанов// Физ. мезомеханика. 2005. - Т. 8. - №3. - С. 129-142.

216. Стефанов, Ю.П. Численное моделирование процессов деформации и разрушения геологических сред. Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук/ Ю.П. Стефанов. Томск: Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, 2008. 292 с.

217. Тихомиров, В.М. Развитие усталостных трещин смешанного типа в образцах из стали/ В.М. Тихомиров, П.Г. Суворин// Журнал прикл. механики и техн. физики. 2004. - Т.45. - №1. - С. 135-142.

218. Толоконников, Л.А. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики/ Л.А. Толоконников, В.Б. Пеньков. Тула:Изд-во ТВАИУ, 1996. - 378 с.

219. Томсон, Р. Физика разрушения/ Р. Томсон// Атомистика разрушения/ Под ред. Р.В. Гольдштейна. М.: Мир, 1987. - С. 104-144.

220. Федина, М.Е. Связанные задачи механики трещин в теории ползучести с поврежденностью. Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук/ М.Е. Федина. Самара: СамГУ, 2004. 16 с.

221. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычисле-ний/Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980. - 280 с.

222. Хальт, Я. Упруго-пластическое распределение напряжений и деформаций вокруг острой выточки при продольном сдвиге/Я. Хальт, Ф. Мак-Клинток// Механика. Сб. перев. и обз. ин. период, лит. -1959. №6.

223. Хеллан, К. Введение в механику разрушения/К. Хеллан. М.: Мир, 1988. - 364 с.

224. Хохлов A.B. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти/ A.B. Хохлов// Известия РАН. МТТ. 2007. - №2.- С. 147-166.

225. Цвелодуб, И.Ю. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов/ И.Ю. Цвелодуб. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1991. - 100 с.

226. Циглер, Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды/ Г. Циглер. М.: Мир, 1966.- 136 с.

227. Черепанов, Г.П. О распространении трещин в сплошной сре-де/Г.П. Черепанов// Прикл. матем. и механика. 1967. - Т. 31.- Вып. 3. С. 476-488.

228. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения/Г.П. Черепанов. -М.: Наука, 1974. 640 с.

229. Черепанов, Г.П. Инвариантные Г-интегралы и их приложе-ния/Г.П. Черепанов// ПММ. 1977. - Т. 41. - Вып. 3. - С. 399-412.

230. Черепанов, Г.П. Механика разрушения композиционных материа-лов/Г.П. Черепанов. М.: Наука, 1983. - 296 с.

231. Черных, К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин/ К.Ф. Черных. М.: Наука, 1996. - 288 с.

232. Шестериков, С.А. Конкретизация уравнений состояния в теории пол-зучести/С.А. Шестериков, М.А. Юмашева// Изв. АН СССР. МТТ.- 1984. т. - С. 86-92.

233. Шестериков, С.А. Неустановившаяся и установившаяся ползучесть/ С.А. Шестериков/ Машиностроение. Энциклопедия в сорока томах// М.: Машиностроение, 1994. Т. 1-3. - С. 122-123.

234. Шестериков, С.А. Анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях ползучести/ С.А. Шестериков, JI.B. Степанова// Изв. РАН. МТТ. 1995. - №1. - С. 96103.

235. Шестериков, С.А. О длительной прочности/С.А. Шестериков, С.Ю. Лебедев, М.А. Юмашева/ Проблемы механики сплошной среды. К 60-летию со дня рождения В.П. Мясникова// Владивосток: Изд-во ИАПУ ДВО РАН. 1996. - С. 80-85.

236. Шестериков, С.А. Избранные труды/ С.А. Шестериков. М.: Изд-во Московского университета, 2007. - 242 с.

237. Шифрин, Е.И. Пространственные задачи линейной механики разру-шения/Е.И. Шифрин. М.: Физматлит, 2002. - 368 с.

238. Шлянников, В.Н. Вычислительная механика деформирования и разрушения/ В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко. Казань: Казан, гос. энерг. ун-т, 2002. - 228 с.

239. Шлянников, В.Н. Параметры смешанных форм деформирования для трещины в виде математического разреза/ В.Н. Шлянников, С.Ю. Кислова// Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. - Т. 9. - Вып. 1. - С. 77-84.

240. Эшелби, Дж. Континуальная теория дислокаций/ Дж. Эшелби. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. - 247 с.

241. Aifantis, Е.С. A new form of exact solutions for Mode I, И, III crack problems and implications/E. C. Aifantis, W.W. Gerberich// Engng. Fracture Mechanics. 1978. - V. 10. - P. 95-108.

242. Akhmetzyanov, M. Study of large plastic strains and fracture in metal elements by photoelastic coating method/ M. Akhmetzyanov, G. Albaut// Intern. J. of Fracture. 2004. - V. 128. - P. 223-231.

243. Amazigo, J.C. Fully plastic crack in an infinite body under anti-plane shear/ J.C. Amazigo//Int. J. of Solids and Structures. 1974. - V. 10.- P. 1003-1015.

244. Anheuser, M. Higher order fields at crack and notch tips in power-law materials under longitudinal shear/ M. Anheuser, D. Gross//Archive of Applied Mechanics. 1994. - V. 64. - P. 509-518.

245. Aravas, N. Higher order terms in asymptotic elastoplastic mode III crack tip solutions/N. Aravas, D.A. Blazo//Acta Mechanica. 1991. - V. 90.- P. 139-153.

246. Argon, A.S. Mechanisms and mechanics of fracture in creeping alloys/ A.S. Argon. In Recent Advances in Creep and Fracture of Engineering Materials and Structures. Eds. B. Wilshire, D.R.J. Owen. Pineridge, Swansea, 1982. - P. 1-52.

247. Ascher, U. Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations/ U. Ascher, R. Mattheij, R. Russell// SIAM Classics in Applied Mathematics. 1995. - №13.

248. Astafjev, V.I. Crack tip asymptotic character of anti-plane stress and strain rate for linear fractional constitutive relations/ V.I. Astafjev, L.V. Stepanova, S.A. Shesterikov// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 1996. - №24. - P. 263-268.

249. Atkinson, C. Some boundary-value problems for the equation V • flV^V^) = 0/C. Atkinson, C.R. Champion//Q. J. Mech. Appl. Math. 1984. - V. 37. - P. 401-419.

250. Ayatollahi, M.R. Evaluation of crack tip constraint using photoelasticity/ M. R. Ayatollahi, H. Safari// Intern. J. of Pressure Vessels and Piping.- 2003. V. 80. - P. 665-670.

251. Awrejcewicz, J. Introduction to Asymptotic Methods/ J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. Boca Raton London New York: CRC Press, 2006. 242 p.

252. Bailey, P.B. Nonlinear Two Point Boundary Value Problems/ L.F. Shampine, P.E. Waltman. New York: Academic Press, 1968.

253. Barenblatt, G.I. Scaling phenomena in fluid mechanics/ G.I. Barenblatt.- Cambridge University Press, 1994. 50 p.

254. Bassani, J.L. Notch tip stress due to in a creep solid/J.L. Bassani// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1984. - V. 51. - P. 475480.

255. Bastawros, A. Experimental analysis of near-crack-tip plastic flow and deformation characteristics (I): Polycrystalline aluminum/ A. Bastawros, K.S. Kim// J. Mech. Phys. Solids. 2000. - V. 48. - P. 67-98.

256. Becker, W. Closed-form modelling of the unloading mode I Dugdale crack/ W. Becker// Engng. Fracture Mechanics. 1997. - V. 57. - №4.- P. 355-364.

257. Becker, W. About the Dugdale crack under mixed mode loading/ W. Becker, D. Gross// Intern. J. of Fracture 1988. - V. 37. - P. 163-170:

258. Beghini, M. Stress intensity factors for an inclined edge crack in a semiplane/ M. Beghini, L. Bertini, V. Fontanari// Engng. Fracture Mechanics. 1999. - V. 62. - P. 607-613.

259. Betegon, C. Two parametric characterization of elastic-plastic crack-tip fields/С. Betegon, J.W. Hancock// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1991. - V. 58. - P. 104-110.

260. Betten, J. Creep Mechanics/ J. Betten. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. - 354 p.

261. Bolotin, V.V. Stability problems in fracture mechanics/ V.V. Bolotin. -New York: Wiley, 1996. 200 p.

262. Boyle, J.T. Stress analysis for creep/ J.T. Boyle, I. Spence. Butterworths, London, 1983. Имеется русский перевод: Бойл Дж., Спеис Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир, 1986. -360 е.]

263. Broberg, К.В. Cracks and Fracture/ К.В. Broberg. London: Academic press, 1999. - 752 p.

264. Budiansky, B. Conservation laws and energy-release rates/B. Budiansky, J.R. Rice// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1973. - V. 40. -m. -P. 201-203.

265. Budiansky, B. Void growth and collapse in viscous solids/ B. Budiansky, J.W. Hutchinson, S. Slutsky// In: Mechanics of Solids. The Rodney Hill 60th Anniversary Volume. Eds. H.G. Hopkins, M.J. Sewell. 1982. -P. 13-45.

266. Bui, H.D. Propagation dynamique d'une zone endommagee dans un solide elastique fragile en mode III et en regime permanent/ H.D. Bui, A. Erlacher// C.R. Acad. Sc. Paris. Serie B. 1980. - V. 290. - P. 345.

267. Bui, H.D. Recent developments in fracture mechanics/ H.D. Bui// In: Fracture of Non-Metallic Materials. Eds. K.P. Hermann, L.H. Larsson. -1987. P. 21-32.

268. Bui, H.D. Fracture mechanics. Inverse problems and solutions/ H.D. Bui. Berlin: Springer, 2006. 375 p.

269. Chaboche, J.L. Phenomenological aspects of Continuum Damage Mechanics/ J.L. Chaboche// Theoretical and Applied Mechanics. P. German, M. Piau and D. Caillerie (Editors). IUTAM. 1989. P. 41-56.

270. Chang, T.C. Creep crack growth in an elastic-creeping material. Part I: mode III/ T.C. Chang, C.H. Popelar, G.H. Staab// Intern. J. of Fracture. 1987. - V. 33. - P. 17-30.

271. Chang, T.C. Creep crack growth in an elastic-creeping material. Part II: mode II/ T.C. Chang, C.H. Popelar, G.H. Staab// Intern. J. of Fracture. 1987. - V. 33. P. 31-45.

272. Chao, Y.J. Higher-order asymptotic crack-tip fields in a power-law creeping material/Y.J. Chao, X.K. Zhu, L. Zhang// Int. J. of Solids and Structures. 2001. - V. 38. - №21. - P. 3853-3875.

273. Chao, Y. Higher order crack tip field and its application for fracture of solids under mode II conditions/Y. Chao, S. Yang//Engng. Fracture Mechanics. 1996. - V. 54. - №3. - P. 405-422.

274. Chen, D.H. Plastic stress singularity near the tip of a V-notch/D.H. Chen, K. Ushijima//Intern. J. of Fracture. 2000. - V. 106.-P. 117-134.

275. Chen, Y.Z. Closed form solutions of T-stress in plane elasticity crack problems/ Y.Z. Chen// Int. J. of Solids and Structures. 2000. - V. 37. -P. 1629-1637.

276. Ghitaley, A.D. Elastic-plastic mechanics of steady crack growth under anti-plane shear/ A.D. Chitaley, F.A. McClintock// J. Mech. Phys. Solids. 1971. - V. 19. - P. 147-163.

277. Chow, C.L. An anisotropic theory of elasticity for continuum damage mechanics/ C.L. Chow, J; Wang//Intern. J; of Fracture. 1987. - V. 33. - P. 3-16.

278. Chow, C.L. Ductile fracture characterization with an anisotropic continuum damage theory/C.L. Chow C.L., J. Wang// Engng. Fracture Mechanics. 1988. - V. 30. - P.547-563.

279. Cocks, A.C.F. On creep fracture by voids growth/ A.C.F. Cocks, M.F. Ashby// Progress in Materials Science. 1982. - V. 27. P. 189-244.

280. Cocks, A. C. F. The growth of dominant crack in a creeping material/ A.C.F. Cocks, M.F. Ashby// Scr. Metall. 1982: - V. 16. - P. 109-114:

281. Corso, F. D. The stress concentration near a rigid line inclusion in a prestressedj elastic material. Part I. Full-field solution and asymptotics/ F D. Corso, D. Bigoni, M: Gei // J. Mech. Phys.Solids. 2008. - V. 56. - №. - P. 815-838. •

282. Delph, T.J. An analysis of the Hui-Riedel equation/ T.J. Delph, G.A. Stengle// Intern. J. of Fracture. 1989. - V. 40. - P. 295-305.

283. Dong, P. Asymptotic crack-tip fields for perfectly plastic solids under plane-stress and mixed-mode loading conditions/P. Dong, J. Pan// Trans., ASME. Journal of Applied Mechanics. 1990. - V. 57. - P.635-638:

284. Dugdale, D.S. Yielding of steel sheets containing slits/D.S. Dugdale//J. Mech. Phys. Solids. 1960. - V. 8. - P. 100-104.

285. Dyson, B:F. Continuous cavity nucleation and creep fracture/ B.F. Dyson// Scripta Metallurgica. 1983. - V. 17. P. 31-37.

286. Edmunds, T.M. Matched asymptotic expansions in nonlinear fracture mechanics. -I. Longitudinal shear of an elastic perfectly-plasticspecimen/T. M. Edmunds, J.R. Willis//J. Mech. Phys. Solids. 1976.- V. 24. P. 205-223.

287. Edmunds, T.M. Matched asymptotic expansions in nonlinear fracture mechanics. II. Longitudinal shear of an elastic work-hardening plastic specimen/T.M^Edmunds, J.R. Willis//J. Mech. Phys. Solids. - 1976. -V. 24. - P. 225-237.

288. Edmunds, T.M. Matched asymptotic expansions in nonlinear fracture mechanics. III. Longitudinal shear of an elastic perfectly plastic symmetric specimen/T.M. Edmunds, J.R. Willis//J. Mech. Phys. Solids.- 1977. V. 25. - P. 423-455.

289. Enright, W.H. Interpolants for Runge-Kutta Formulas/ W.H. Enright, K.R. Jackson, S.P. Norsett, P.G. Thomsen// ACM TOMS. 1986. - V. 12. - P. 193-218.

290. Eshelby, J.D. The continuum theory of lattice defects/J.D. Eshelby// Solids State Physics. N.Y.: Acad. Press. 1956. - V. 3. - P. 79-144.

291. Faleskog, J. Micromechanics of coalescence I. Synergetic effects of elasticity, plastic yielding and multi-size-scale voids/ J. Faleskog, C.F. Shin//J. Mech. Phys. Solids. - 1997. - V. 45. - P. 21-50.

292. Fehlberg, E. Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Waermeleitungsprobleme/ E. Fehlberg// Computing. 1970. - V. 6 -P. 61-71.

293. Fett, T. A compendium of T-stress solutions/T. Fett//Forschungszen-trum Karlsruhe. Report FZKA 6057. - 1998. - 72 p.

294. Fett, T. Mode I stress intensity factors and weight functions for short plates under different boundary conditions/ T. Fett, H-A. Bahr//Engng. Fracture Mechanics. 1999. - V. 62. - P. 593-606.

295. Filippi, S. An approximate, analytical approach to the 'HRR'-solutionfor sharp V-notches/ S. Filippi, M. Ciavarella, P. Lazzarin// Intern. J. of Fracture. 2002. - V. 117. - P.269-286.

296. Freund, L.B. Dynamic fracture mechanics/L.B. Freund. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - 563 p.

297. Gao, Y.C. Damage field near a stationary crack tip/Y.C. Gao, H.D. Bui//Int. J. Solids and Structures. 1995. -V. 32. -№14. - P. 1979-1987.

298. Gerberich, W.W. Plastic strains and energy density in cracked plates. Experiments/W.W. Gerberich// Exp. Mech. 1964. - V. 4. - P. 335344.

299. Gerberich, W.W. Plastic strains and energy density in cracked plates. Theory/W.W. Gerberich, J.L. Swedlow// Exp. Mech. 1964. - V. 4. -P. 345-351.

300. Goldman, N.L. Fully plastic crack problems: The center cracked strip under plane strain/ N.L. Goldman, J.W. Hutchinson// Int. J. Solids and Structures. 1975. - V. 11. - C. 575-592.

301. Goldstein, R. Application of invariant integrals to elastostatic inverse problems/ R. Goldstein, E. Shifrin, P. Shushpannikov// Comptes Rendus Acad. Sciences. Paris. Mecanique. 2008. - V. 336. - №1-2. - P. 108-117.

302. Golub, V.P. The non-linear mechanics of continual damage and its application to problems of creep and fatigue/ V.P. Golub// Int. Appl. Mech. 2000. - V. 36. - №3. - P. 303-342.

303. Griffits, A.A. The phenomena of rupture and flow in solids/ A.A. Griffits// Philosophical Transactions of Royal Society of London. Series A. 1921. - V. 221. - P. 163-198.

304. Gross, D. Fracture Mechanics with an introduction to micromechanics/ D. Gross, T. Seeling. Berlin: Springer, 2006. - 321 p.

305. Gross, D. The singular fields near a sharp notch with mixed boundary conditions for hardening materials under longitudinal shear/D. Gross, S.W. Yu// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 1987. - V. 8.- P. 199-203.

306. Hamam, R. Mode I fatigue crack growth under biaxial loading/R. Hamam, S. Pommier, F. Bumbieler// Intern. J. Fatigue. 2005. - V. 27. - P. 1342-1346.

307. Hamouda, H.B.H. A local approach to creep fracture by slow crack growth in an MDPE: Damage modelling/ H.B.H. Hamouda, L. Laiarinandrasana, R. Piqiues// Int. J. of Pressure Vessels and Piping.- 2009. V. 86 - №2-3. - P. 228-238.

308. Hill, R. On discontinuous plastic states with special reference to localized necking in thin sheets/R. Hill// J. Mech. Phys. Solids. 1952. - V. 1. P. 19-30.

309. Howell, P. Applied solid mechanics/ P.Howell, G. KozyrefF, J. Ockendon.- Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 452 p.

310. Hui, C.Y. The asymptotic stress and strain fields near the tip of a growing crack under creep conditions/C.Y. Hui, H. Riedel// Intern. J. of Fracture.- 1981. -V. 17.- P. 409-425.

311. Hinch, E.J. Perturbation methods/ E.J. Hinch. Cambridge: Cambridge University Presss. - 1991. - 159 p.

312. Hui, C.Y. The mechanics of self-similar crack growth in an elastic power-law creeping material/C.Y. Hui//Int. J. Solids and Structures. 1986. - V. 22. - m. - P. 357-372.

313. Hui, C.Y. Why K? High order singularities and small scale yielding/C.Y. Hui, A. Ruina// Intern. J. of Fracture. 1995. - V. 72. -P. 97-120.

314. Hutchinson, J.W. Singular behaviour at the end of tensile crack in ahardening material/J.W. Hutchinson// J. Mech. Phys. Solids. 1968. 1. V. 16. №1. - P. 13-31.

315. Hutchinson, J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip/J.W. Hutchinson// J. Mech. Phys. Solids. 1968. - V. 16. - №5. -P. 337-347.

316. Hutchinson, J.W. Constitutive behaviour and crack tip fields for materials undergoing creep-constrained grain boundary cavitation/J.W. Hutchinson// Acta Metallurgica. 1983. - V. 31. - P. 1079-1088.

317. Irwin, G.R. Fracturing arid fracture dynamics/ G.R. Irwin, J.A. Kies// Welding J. Res. Suppl. 1952.

318. Irwin, G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate/G. R. Irwin// J. Appl. Mech. 1957. - V. 24. -№3.-P. 361-364.

319. Irwin, G.R. Relation of stresses near a crack to the crack extension force/G. R. Irwin//'Proc.'IX Internat. Congr. Appl. Mech. Brussels. 1957. - P. 245-251.

320. Irwin, G.R. Fracture/G. R. Irwin//"Handbuch der Physik". Bd. VI. -Berlin: Springer. - 1958. - P. 551-590.

321. Irwin, G.R. Fracture strength relative to onset and arrest of crack propagation/ G.R. Irwin, J.A. Kies, H.L. Smith// Proceedings of the American Society for Testing and Materials. 1959. - V. 58. - P. 640657.

322. Irwin, G.R. Discuss and author's closure of 100]/G.R. Irwin, M.F. Koskinen//Trans. ASME. Journal of Basic Engineering. Series D. 1963. - V. 85. - P. 593-594.

323. Janson, J. Dugdale-crack in a material with continuous damage formation/ J. Janson// Engng. Fracture Mechanics. 1977. - V. 9. -P. 891-899.

324. Jeon, I. The role of higher order eigenfields in elastic-plastic cracks/I. Jeon, S. Im// J. Mech. Phys. Solids. 2001. - V. 49. - P. 2789-2818.

325. Jin, Z.H. Crack shielding and material deterioration in damaged materials: an antiplane shear fracture problem/Z.H. Jin, R.C. Batra// Arch. Appl. Mech. 1998. - №68. - P. 247-258.

326. Jing, P. Closed-form solutions for the mode II crack tip plastic zone shape/ P. Jing, T. Khraishi, L. Gorbatikh// Intern J. of Fracture. -2003. V. 122. - P. L137-L142.

327. Kachanov, L.M. Introduction to Continuum Damage Mechanics/L.M. Kachanov. Dordrecht, Boston: Martinus Nijhoff, 1986. - 135 p.

328. Kanninen, M.F. Advanced Fracture Mechanics/ M.F. Kanninen, C.H. Popelar. New York: Oxford University Press, 1985. - 564 p.

329. Kevorkian, J. Multiple scales and singular perturbation methods/ J. Kevorkian, J.D. Cole. New York: Springer, 1996. 320 p.

330. Kim, J. Y. A tensile crack in creeping solids with large damage near the crack tip/J.Y. Kim, S.B. Lee// Intern. J. of Fracture. 2001. - V. 112.- P. 43-55.

331. Knowles, J.K. On a class of conservartion laws in linearized and finite elastostatics/J.K. Knowles, E. Sternberg// Arch. Rat. Mech. Anal. -1972. V. 44. - №3. - P. 187-211.

332. Kouzniak, N.V. Singular stresses at the tip of a sharp notch in power-law-hardening materials under antisymmetric loading/ N.V. Kouzniak, H. P. Rossmanith, M.P. Savruk// Materials Science. 1995. - V. 31. -№6. - P. 693-701.

333. Krajcinovic, D. Damage Mechanics/ D. Krajcinovic. Amsterdam:j

334. Elsevier Science B. V., 1996. 762 p.

335. Kubo, S. An analysis of creep crack propagation on the basis of the plastic singular stress field/ S. Kubo, K. Ohji, K. Ogura// Engng. Fracture Mechanics. 1979. - V. 11. - P. 315-329.

336. Landes, J.D. A fracture mechanics approach to creep crack growth. In: Mechanics of crack growth /J.D. Landes, J.A. Begley// ASTM STR 590. 1976. - P. 128-148.

337. Leblond, J.B. Mecanique de la rupture fragile et ductile/J.B. Leblond. -Paris: Hermes Science Publications, 2003. 196 p.

338. Lee, S.B. An asymptotic analysis of a tensile crack in creeping solids coupled with cumulative damage. Part I. Small damage region around the crack tip/S.B. Lee, M. Lu, J.Y. Kim//Int. J. Solids and Structures.- 1997. V. 34. - №24. - P. 3163-3178.

339. Lemaitre, J. Coupled elasto-plasticity and damage constitutive equation/J. Lemaitre// Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1985. -V. 51.-P. 31-49.

340. Lemaitre, J. A. Course on Damage Mechanics/ J. A. Lemaitre. Berlin: Springer-Verlag, 1992. - 210 p.

341. Lemaitre, J. A. Engineering Damage Mechanics: Ductile, Creep, Fatigue and Brittle Failures/ J. A. Lemaitre, R. Desmorat. Berlin: SpringerVerlag, 2005. - 402 p.

342. Li, J. Methodes asymptotiques en mecanique de la rupture/J. Li, N. Recho. Paris: Hermes Science Publications, 2002. - 262 p.

343. Liao, S. Beyond perturbation: introduction to the homotopy analysis method/ S. Liao. Boca Raton: CRC Press, 2004. 326 p.

344. Loghin, A. A nonlinear finite element eigenanalysis of antiplane shear including higher order terms/A. Loghin, N. Zhang, P. Joseph// Engng. Fracture Mechanics. 2000. - V. 66. - №5. - P. 441-454.

345. Loghin, A. Mixed mode fracture in power law hardening materials near Mode 1/ A. Loghin, P.F. Joseph// Intern. J. of Fracture. 2003. - V. 123. - P. 81-106.

346. Lu, M. Eigenspectra and orders of singularity at a crack tip for a power-law creeping medium/ M. Lu, S.B. Lee// Intern. J. of Fracture. 1998. - V. 92. - P. 55-70.

347. Mahmoud, K.M. Damage field ahead of a tensile crack in an elastic-plastic and viscoplastic material/ K. M. Mahmoud, M.K. Kassir// Intern. J. of Fracture. 1999. - V. 96. - P. 149-165.

348. Matvienko, Yu.G. Calculation of the energy J-integral for bodies with notches and cracks/ Yu.G. Matvienko, E.M. Morozov// Intern. J. of Fracture. 2004. - V. 125. - P. 249-261.

349. Maugin, G.A. The thermomechanics of plasticity and fracture/ G.A. Maugin. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 350 p.

350. Morozov,,N. High rate loading and unexpected phenomena/ N. Morozov, Y. Petrov, L. Shichobalov// Abstarct Book of 22st Int. Congress, of Theor. and Applied Mechanics. 2008. - C. 218.

351. Мои, Y. Influence of damage in the vicinity of a macrocrack tip/ Y. Мои, R.P.S. Han// Engng. Fracture Mechanics. 1996. - V. 55. - №4. - P. 617-632.

352. Murakami, S. Mechanical modeling of material damage/ S. Murakami// J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. №2. - P. 280-286.

353. Murakami, S. Computational methods for creep fracture' analysis by damage mechanics/S. Murakami, Y. Liu, M. Mizuno// Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2000. - V. 183. - P. 15-33.

354. Murakami, S. Asymptotic fields of stress and damage of a mode I creep crack in steady state growth/ S. Murakami, T. Hirano, Y. Liu//Int. J. Solids and Structures. - 2000. - V. 37. - P. 6203-6220.

355. Naramsimhan, R. A Finite Element Study of Stable Crack Growth Under Plane Stress Conditions: Part I Elastic-Perfectly Plastic Solids/ R. Naramsimhan. A.J. Rosakis, J.F. Hall// Trans, of the ASME. - 1987. -V. 54. - P. 838 - 853.

356. Naumenko, K. Modeling of Creep for Structural Analysis/ K. Naumenko, H. Altenbach. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007. - 220 p.

357. Nayfeh, A.H. Problems in Perturbation/ A.H. Nayfeh. New York: Wiley, 1985. - 426 p.

358. Nayfeh, A.H. Nonlinear oscillations/ A.H. Nayfeh, D.T. Mook. New York: Wiley, 1995. - 704 p.

359. Nayfeh, A.H. Perturbation Methods/ A.H. Nayfeh. New York: Wiley, 2000. - 425 p.

360. Neuber, H. Theory of stress concentration for shear-strained prismatical bodies with arbitrary nonlinear stress-strain law/ H. Neuber// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1961. - V. 28. - P. 544-550.

361. Nguyen, B.N. On Higher-Order Crack-Tip Fields in Creeping Solids/B.N. Nguyen, P.R. Onck, E. Van Der Giessen// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 2000. - V. 67. - №2. - P. 372-382.

362. Nikishkov, G.P. An algorithm and a computer program for the three-term asymptotic expansion of elastic-plastic crack tip stress and displacement fields/G.P. Nikishkov// Engng. Fracture Mechanics. 1995. - V. 50. -№1. - P. 65-83.

363. Orowan, E. Fundamentals of brittle behavior of metals / E. Orowan// Fatigue and fracture of metals. New York: Wiley, 1952. P. 139-167.

364. Pan, J. Analytical solutions for crack-tip sectors in perfectly plastic Mises materials under mixed in-plane and out-of-plane shear loading conditions/ J. Pan, P. C. Lin// Engng. Fracture Mechanics. 2006. -V. 73. - P. 1797-1813.

365. Perez, N. Fracture Mechanics/ N. Perez. Dordrecht: Kluwer, 2004. -299 p.

366. Petrov, Y. Incubation time based fracture mechanics/ Y. Petrov// Abstarct Book of 22st Int. Congress of Theor. and applied Mechanics, -2008. C. 243.

367. Pluvinage, G. Fracture and fatigue emanating from stress concentrators/ G. Pluvinage. Dordrecht: Kluwer, 2003. - 233 p.

368. Pop, O. Numerical and Experimental Study of the Plastic Zone in the Vicinity of the Crack Tip by the Optical Caustics Method/ O. Pop, V. Valle, M. Cottron// Mechanics of the 21st Century. ICTAM04 Proceedings. Dordrecht: Springer, 2005. - 422 p.

369. Prandtl, L. Ueber die Haerte plastischer Koerper/ L. Prandtl// Goettinger Nachr., math.-phys. 1920. - Kl. - P. 74 - 85.

370. Radayev, Y. N. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics/ Y. N. Radayev, S. Murakami, K. Hayakawa K.// Trans. Japan Soc. Mech. Engn. 1994. - V. 60A. -№580. - P. 68-76.

371. Radayev, Y. N. On the effect of the residual stresses on the crack opening displacement in a cracked sheet/ Y. N. Radayev, L.V. Stepanova// Intern. J. of Fracture. 2001. - V. 107. - P. 329-360.

372. Rahman, M. Elastic perfectly-plastic asymptotic mixed mode crack tip fields in plane stress/ M. Rahman, J.W. Hancock/ Int. J. Solids and Structures. 2006. - V . 43. - P. 3692-3704.

373. Rice, J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks/ J.R. Rice// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. Ser. E. 1968. - V. 35. - №2. - P. 379-386.

374. Rice, J.R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material/J.R. Rice, G.F. Rosengren// J. Mech. Phys. Solids.- 1968. V. 16. - №1. - P.l-12.

375. Rice, J.R. Contained Plastic Deformation Near Crack and Notches Under Longitudinal Shear/J.R. Rice//Int. J. of Fracture Mech. 1966. - V. 2.- №2. P. 426-446.

376. Rice, J.R. Mathematical analysis in mechanics of fracture. Fracture. V. 2, Ed. H. Liebowitz. New York: Academic Press, 1968. P. 191-311.

377. Имеется перевод: Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. В кн. Разрушение. Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. -Т.2. С. 204-335.

378. Rice, J.R. Limitations to the small scale yielding approximation of elastic-plastic crack-tip fields/J.R. Rice// J. Mech. Phys. Solids. 1974. - №22. - P. 17-26.

379. Rice, J.R. Continuing crack-tip deformation and fracture for plane-strain crack growth in elastic-plastic solids/ J. R. Rice, Б.Р. Sorensen// J. Mech. Phys. Solids. 1978. - №26. - P. 163-186.

380. Riedel, H. Crack loaded in antiplane shear under creep condition/H. Riedel// Z. Metallkunde. 1978. - V. 69. - P. 755-760.

381. Riedel, H. The extansion of a macroscopic crack at elevated temperature by the growth and coalescence of microvoids/ H. Riedel. In: Creep in Structures. Berlin: Springer, 1981. - P. 504-519.

382. Riedel, H. Fracture at high temperature/H. Riedel. Berlin: Springer, 1987. - 418 p.

383. Riedel, H. Tensile crack in creeping solids/ H. Riedel, J.R. Rice// Division of Engineering. Brown University Tech. Report E(ll-l)3084/64. 1979.

384. Riedel, H. Creep crack growth under small-scale creep conditions/ H. Riedel// Intern. J. of Fracture. 1990. - V. 42. - P. 173-188.

385. Riedel, H. Creep Crack Initiation and Growth/ H. Riedel// Encyclopedia of Materials: Science and Technology. 2008. - P. 1767 - 1773.

386. Rooke, D.P. A study of crack deformation and derivation of fracture energy/ D.P. Rooke, F.J. Bradshaw// In: Fracture. Proceedings of the Second International Conference on Fracture (Brighton). 1969.

387. Ruoff, R.S. Strength of nanostructures/ R.S. Ruoff, N.M. Pugno// In Mechanics of the 21st Century: Proceedings of 21st Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics. 2004. - C. 300-313.

388. Sadchev, P.L. Self-similarity and beyond. Exact solutions of nonlinear problems/ P.L. Sadchev. New York: Chapman and Hall/CRC, - 2000.- 315 p.

389. Sanders, J.L. On the Griffits-Irwin fracture theory/J.L. Sanders// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. Ser. E. 1960. - V. 27. - №2. -P. 352-353.

390. Santaoja, K. Lecture notes on thermomechanics/ K. Santaoja. Helsinki: Helsinki University of Technology, 2001. - 190 p.

391. Santaoja, K. Lecture notes on continuum thermodynamics/ K. Santaoja.- Helsinki: Helsinki University of Technology, 2006. 232 p.

392. Saxena, A. Assessment of deflection rate partitioning for analyzing creep crack growth data/ A. Saxena, D.E. Hall, D.L. McDowell// Engng. Fracture Mechanics. 1999. - V. 62. - P. 111-122.

393. Sham, T.L. Mode I crack tip fields with incomplete crack tip plasticity in plane stress/ T. L. Sham, J.W. Hancock// J. Mech. Phys. Solids.1999. V. 47. - P. 2011-2027. .

394. Shampine, L.F. Initial Value Problems for ODEs in Problem Solving Environments/ L.F. Shampine, R.M. Corless// J. Comp. Appl. Math.2000. V. 125(1-2). - P. 31-40.

395. Shih, C.F. Elastic-plastic analysis of combined mode crack problems/ C. F. Shih// Ph. D. Thesis, Harvard University, Cambridge, M-.A. 1973.

396. Shih, C.F. Small scale yielding analysis of mixed mode plane-strain crack problems/ C.F. Shih// Fracture Analysis ASTM STP 560. 1974. - P. 187 - 210.

397. Shlyannikov, V.N. Elastic-Plastic Mixed-Mode Fracture Criteria and Parameters/ V.N. Shlyannikov. Berlin: Springer, 2003. - 246 p.

398. Shlyannikov, V.N. A method for the evolution of regular components of the stress field in the plastic zone near the tip of a mode-I crack// V.N. Shlyannikov// Strength of Materials. 2006. - V. 38. - №3. - P. 248-258.

399. Sih, G.C. Some basic problems in fracture mechanics and new concepts/ G.C. Sih// Engng. Fracture Mechanics. 1973. - V.5. -№2. - P. 365-377.

400. Sih, G.C. Crack tip mechanics based on progressive damage arrow: hierarchy of singularities and multiscale segments/ G.C. Sih// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2009. - V. 51. - P. 11-32.

401. Slepyan, L.I. Models and Phenomena in Fracture Mechanics/ L.I. Slepyan. Berlin. Springer, 2002. - 576 p.

402. Sneddon, I.N. The distribution of stress in the neighborhood of a crack in elastic solid/I.N. Sneddon// Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1946. - V. 187. - P. 229-260.

403. Sneddon, I.N. Fourier transforms/I.N. Sneddon. New York, 1951. (Имеется русский перевод. Сиеддон, И. Преобразования Фурье. - М.: Иностранная литература,, 1966. - 667 с.)

404. Sneddon, I.N. The opening of a Griffith crack under internal pressure/I.N. Sneddon, H.A'. Elliot// Ouart. Appl. Math. 1946. - V. 4. - №3. - P. 262-267.

405. Song, C. Evaluations of power-logarithmic singularities, T-stresses and higher order terms of in-plane singular stress fields at cracks and multimaterial corners/C. Song// Engng. Fracture Mechanics. 2005. - V. 72. -P. 1498-1530.

406. Sotiropoulou, A. Analytic parametric solutions for the HRR nonlinear elastic field with low hardening exponents/A. Sotiropoulou, N. Panayotounakou, D. Panayotounakos// Acta Mechanica. 2006. -V. 183. - P. 209-230.

407. Stepanova, L.V. On the geometry of a totally damaged zone near a mode III crack tip in creep-damage coupled problem/ L.V. Stepanova// Proceedings of 2nd Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. CanCNSM. Vancouver. 2002. - V. 2. - 523-532.

408. Stepanova, L.V. Similarity solutions of creep-damage coupled problems in fracture mechanics/ L.V. Stepanova, M.E. Fedina// In Deformation and Fracture at the Micron and Nano Scales. Netherlands: Springer, 2006. -P. 157-158.

409. Stepanova, L. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power-law medium/ L. Stepanova// Comptes Rendus Acad. Sciences. Paris. Mecanique. 2008. - V. 336. - №1-2. - P. 232-237.

410. Su, R.K.L. Accurate determination of mode I and II leading coefficients of the Williams expansions by finite element analysis/R.K.L. Su, W.J. Feng// Finite Element in Analysis and Design. 2005. - V. 41. -P. 1175-1186.

411. Subramanya, H.Y. A three-dimensional numerical study of mixed mode (I and II) crack tip fields in elastic-plastic solids/ H.Y. Subramanya, S. Viswanatan, R. Narasimhan// Intern. J. of Fracture. 2005. - V. 136. -P. 167-185.

412. Suresh, S. B. Fatigue of material/ S.B. Suresh. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. - 573 p.

413. Tian, C. T-stress in elastic-plastic crack-tip fields/ C. Tian, W. Cui// Intern. J. of Fracture. 2005. - V. 136. - P. L9-L14.

414. Tong, J. T-stress and its implications for crack growth/ J. Tong// Engng. Fracture Mechanics. 2002. - V. 69. - P. 1325-1337.382

415. Varfolomeev, I.V. Effect of strain rate on the geometry of the plastic zone near a mode IF crack tip. Parametric analysis/ I.V. Varfolomeev, J.R. Klepaczko// Strength of Materials. 1995. - V. 27. - P. 138-145.

416. Wang, T. Higher order- asymptotic solutions of V-notch tip fields for damaged nonlinear materials under antiplane shear loading/T. Wang, Z-B. Kuang// Intern. J. of Fracture 1999. - V. 96. - P. 303-329.

417. Weertman, J. Asymptotic crack tip stress, rotation pseudo-stress and dislocation fields for mixed mode I and II cracks in elastic perfectly plastic solids/ Jl Weertman// Mechanics of Materials. 2003. - V. 35. - P. 433452.

418. Weertman, J. Mode III crack in power law hardening solid/ J. Weertman// Intern. J. of Fracture. 2005. - V. 42. - P. 2011-2032.

419. Wells, A.A. Unstable crack propagation in metals-clevage and fast fracture/ A.A. Wells// Proc. Crack propagation Symposium. Granfield, 1961. P.210-230.

420. Williams, M.L. On the stress, distribution at the. base of a stationary crack/M. L. Williams//Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. -1957.-V. 24. P. 109-114.

421. Williams, M.L. Stress singularities resulting from various boundary-conditions in angular corners of plates in tension/M. L. Williams// Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1952. - V.19. - P. 526-528.

422. Willis, J.R. Asymptotic analysis in fracture: an update/J.R. Willis// Intern. J. of Fracture. 1999. - V. 100. - P. 85-103.

423. Yang, S. Higher Order Asymptotic Crack Fields in a Power-law Hardening Materials/ S. Yang, Y.J. Gao, M.A. Sutton// Engng. Fracture Mechanics. 1993. - V. 45. - C. 1-20.

424. Yang, S. Higher order asymptotic elastic-plastic crack-tip fields under antiplane shear/S. Yang, F.G. Yuan, X. Cai// Engng. Fracture Mechanics. 1996. - V. 54. - №3. - P. 405-422.

425. Yu, S.W. Singular fields of a mode III interface crack in a power law hardening bimaterial/S.W. Yu, Z.G. Zhou// Intern. J. of Fracture. -1992. V. 57. - P. 325-347.

426. Yu, M.H. Generalized Plasticity/ M. Yu. Berlin, Heidelberg: Springer,- 2006. 448 p.

427. Yu, M.H. A new model and theory on yield and failure of materials under complex stress state/ M.H. Yu, L.N. He// Mechanical Behavior of Materials -VI/ M. Jono, T. Inoue. Oxford: Pergamon Press, 1991. - P. 841-846.

428. Yu, M.H. New System of Strength Theory/ M.H. Yu. Xian: Xian Jiaotong University Press, 1992.

429. Yuan, F.G. Analytical solutions of fully plastic crack-tip higher order fields under antiplane shear/F.G. Yuan, S. Yang// Intern. J. of Fracture.- 1995. V. 69. - P. 1-26.

430. Xia, L. Higher-order analysis of crack tip fields in elastic power-law hardening material/L. Xia, T.C. Wang, C.F. Shih// J. Mech. Phys. Solids. 1993. - V. 41. - №4. - P. 665-687.

431. Zappalorto, M. A new version of the Neuber rule acoounting for the influence of the notch opening angle for-out-of plane shear loads/ M. Zappalorto. P. Lazzarin// Int. J. of Solids and Structures. 2009. - V. 46. - №. - P. 1901-1910.

432. Zhang, W. Power law nonlinear viscoelastic crack-tip fields/ W. Zhang, C. Zhang, P. Zhang// Acta Mechanica Solida Sinica. 2003. - V. 16. -№3. - P. 269-275.

433. Zhao, J. The asymptotic study of fatigue crack growth based on damage mechanics/J. Zhao, X. Zhang// Engng. Fracture Mechanics. 1995. -V. 50. - №. - P. 131-141.

434. Zhao, J. On the process zone of a quasi-static growing tensile crack with power-law elastic-plastic damage/J. Zhao, X. Zhang// Intern. J. of Fracture. 2001. - V. 108. - P. 383-395.

435. Zhu, X.K. Fully plastic crack-tip fields for CCP and DECP specimens under tension in non-hardening materials/ X.K. Zhu, Y.J. Chao// Int. J. of Solids and Structures. 2000. - V. 37. - P. 577-598.