Разработка структурно-феноменологических моделей микронеоднородных нелинейно-упругих материалов в условиях ползучести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Шапиевский, Дмитрий Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Самара
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Шапиевский Дмитрий Владимирович
РАЗРАБОТКА СТРУКТУРНО-ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МИКРОНЕОДНОРОДНЫХ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
01 02 04 — Механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Самара — 2007
Работа выполнена в Самарском государственном техническом университете
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Радченко Владимир Павлович
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор Клебанов Яков Мордухович, заведующий кафедрой «Механика» Самарского государственного технического университета,
доктор физико-математических наук, профессор Никитенко Анатолий Федорович, ведущий научный сотрудник института гидродинамики СО РАН
Ведущая организация:
Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского
Защита состоится «14» ноября 2007 г в
9оо
часов на заседании диссертационного совета Д 212 218 06 при Самарском государственном университете по адресу 443011, г Самара, ул Академика Павлова, 1, зал заседаний
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета
Автореферат разослан «. // » октября 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
„ ___*
/Глущенков В С
Общая характеристика работы
Актуальность темы Существующие на сегодняшний день теории ползучести разработаны для конструкционных и природных материалов, обладающих свойствами линейной упругости При этом общая деформация является аддитивной составляющей упругой и неупругой деформаций, и для каждой из компонент записываются свои физические уравнения состояния
Однако ряд материалов (резиноподобные материалы, природные биокомпозитные ткани, конструкционные микронеоднородные среды и другие) обладают нелинейно-упругими свойствами, поведение которых в области ползучести существенно отличается от поведения известных конструкционных материалов В частности, для природных биокомпозитных материалов наблюдается влияние деформации ползучести на мгновенно-упругую деформацию Описание такого рода эффекта (и некоторых других) на феноменологическом уровне является крайне сложной задачей и требует большого объема экспериментальных исследований Рациональное объяснение многим реологическим эффектам можно дать только анализируя напряженно-деформированное состояние материалов на микроуровне, поскольку причиной многих сложных явлений является эволюция структурных микродеформаций и соответствующих им структурных микронапряжений в материале под действием внешних нагрузок
Исследование структурных моделей материала позволяет выявить на качественном уровне некоторые его свойства, которые далее полагаются в основу построения определяющих соотношений, предназначенных для решения краевых задач и анализа напряженно-деформированного состояния
Вышеизложенное определяет актуальность диссертационного исследования и позволяет сформулировать цель настоящей работы
Целью работы является разработка структурно-феноменологической модели нелинейно-упругого материала в условиях ползучести, исследование на ее основе сложных эффектов влияния ползучести на упругую деформацию и применение модели к решению одномерных краевых задач для элементов конструкций (включая конструкции из природного биокомпозитного материала — костной ткани) Научная новизна работы заключается в следующем
1) доказано, что кривые ползучести по структурной модели (типа обобщенной модели Максвелла с нелинейно-вязкими элементами) при нагрузке могут иметь разный характер «выпуклости-вогнутости» (включая точки перегиба) а кривые обратной ползучести после полной разгрузки имеют немонотонный характер при нелинейных законах вязкого течения элементов модели и монотонно-убывающий — при линейных законах
2) разработана структурная модель микронеоднородных сред, описывающая влияние деформации ползучести на величину упругой деформации, и показано что этот эффект возможен лишь для физически нелинейно-упругого материала,
3) показано, что вследствие ползучести мгновенная нелинейно-упругая деформация проявляет одновременно свойства механической памяти, поскольку в процессе ползучести при разгрузке образца происходит полное восстановление первоначальных упругих свойств, а также вязкоупругости, так как мгновенно-упругая
деформация явно зависит от времени,
4) установлено, что при деформации образца из нелинейно-упругого материала в режиме ползучести с выдержками при постоянных напряжениях наблюдаются специфические «гистерезисные» петли на диаграмме упругого деформирования,
5) предложен феноменологический вариант кинетических уравнений ползучести, описывающий эффект влияния реологической деформации на мгновенно-упругую деформацию,
6) решен ряд прикладных задач на основании структурной модели для элементов конструкций из нелинейно-упругого материала в условиях ползучести (в том числе, для большеберцовой кости человека при естественных физиологических нагрузках)
Практическая значимость работы заключается в разработке структурной и феноменологической моделей ползучести нелинейно-упругих материалов, позволяющих описать ряд новых реологических эффектов (влияние ползучести на упругую деформацию, свойство механической памяти и вязкоупругости для мгновенно-упругой деформации, «гистерезисные» явления для нелинейно-упругой деформации вследствие ползучести и другие), что является важным вкладом в дальнейшее развитие теории ползучести С другой стороны, разработанные на их основе методы решения одномерных краевых задач для биокомпозитных материалов (костной ткани) имеют прикладное значение, поскольку могут быть полезны при разработке новых перспективных конструкционных материалов в медицине
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается адекватностью имеющихся модельных математических представлений реальному физико-механическому поведению исследуемых материалов, корректностью использования математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела, сопоставлением расчетных данных по предложенным моделям и методам с известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся
1) структурная и феноменологическая модели ползучести микронеоднородных нелинейно-упругих сред и доказательство на их основе влияния деформации ползучести на упругую деформацию,
2) математические модели и алгоритмы для описания новых эффектов влияния ползучести на упру{ую деформацию, свойство механической памяти и вязкоупругости для нелинейной упругой деформации вследствие ползучести, «гистерезисные» формы диаграмм упругого деформирования при ползучести с выдержками при постоянных напряжениях, немонотонный характер кривых обратной ползучести для обобщенной нелинейной модели типа Максвелла,
3) решение ряда новых прикладных задач на основании разработанных структурных моделей для элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов в условиях ползучести (в том числе, для большеберцовой кости человека при естественных физиологических нагрузках),
4) качественные и количественные результаты, полученные при математиче-
ском моделировании кинетики напряженно-деформированного состояния материалов и элементов конструкций из нелинейно-упругого материала
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников из 201 наименования Работа содержит 178 страниц основного текста
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г Самара, 2005), на Четвертой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое Моделирование и краевые задачи» (г Самара, 2007), на Четвертом Всероссийском научном семинаре памяти С Д Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г Екатеринбург 2006), на Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (г Новосибирск, 2006), на Всероссийской научной конференции «Математика Механика Информатика» (г Челябинск, 2006), на Международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (г Москва, 2007), на Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошных сред» (г Саратов, 2007), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук профессор В П Радченко, 2005, 2006, 2007 г г)
Публикации По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которыу приведен в конце автореферата
Работа выполнялась в рамках тематического плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений»)
Благодарности Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук В П Радченко за постановки задач и постоянное внимание к работе
Личный вклад автора Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат как постановки задач, так и результаты выполненных исследований
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определяются цели исследования, излагаются научная новизна и практическая значимость работы, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится структура диссертационной работы, а также сведения об апробации работы и публикациях
Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи В главе 1 дан краткий обзор литературы по научным проблемам, близким к теме диссертационной работы
Анализируются основные подходы при построении физических определяющих соотношений неупругого реологического деформирования на макро- и микроуровне Отмечается, что существующие на сегодняшний день теории ползучести в основном разработаны для конструкционных и природных материалов, обладающих свойством линейной упругости, при этом используется принцип аддитивности упругой и неупругой деформаций Однако ряд материалов (резиноподобные материалы, природные биокомпозитные ткани, композитные материалы) обладают нелинейно-упругими свойствами, поведение которых в области ползучести существенно отличается от конструкционных и природных промышленных материалов Анализ ряда работ, в которых экспериментально изучалось поведение природного биокомпозитного материала (костной ткани) в условиях длительного нагружения, позволил обнаружить эффект влияния ползучести на мгновенно-упругую деформацию Отмечено, что систематические исследования ползучести нелинейно-упругих материалов вообще и, в частности, описывающих эффект влияния ползучести на упругую деформацию, в научной литературе отсутствуют Хотя на возможность дрейфа упругой деформации вследствие ползучести указывалось в работах Ю П Самарина и В П Радченко Рациональное объяснение этого эффекта (как и многих других реологических эффектов) можно дать, только анализируя напряженно-деформированное состояние материалов на микроуровне, поскольку причиной многих сложных явлений является эволюция структурных микродеформаций и соответствующих им структурных микронапряжений в материале под действием внешних нагрузок
Действительно с позиций континуальной механики материал представляет собой единое целое, в го же время это очень сложная статически неопределимая система случайно ориентированных кристаллических зерен и тех частиц (атомов, молекул и тд), из которых они состоят И именно так рассматривается материал на микроскопическом (механика микронеоднородных сред, металловедение) уровне На этом уровне проанализированы физические модели пластичности и ползучести предложенные А А Аршакуни, С Б Вашдорфом, Б В Будянским, В С Ивановой, Ларсоном, С П Мельниковым, А М Мерцером, В М Розенбер-гом А А Смирновым. Стораккерсом, Хартом, С А Шестериковым, М F Ackby, A S Argon, F W Crossrnan, S Takenchi и другими Отмечено, что такие модели в параметрах состояния сложны и практически не пригодны для расчетов на феноменологическом уровне С этой точки зрения более приемлемы структурные -математические модели среды, учитывающие неравномерность развития необратимых деформаций и представляющие совокупность некоторых гипотетических элементов Основные принципы построения таких математических моделей даны в работах В Э Вильдемана, С Д Волкова, Д А Гохфельда, В С Зарубина, Ю И Кадашевича, В Ю Марины, В В Новожилова, П А Павлова, В П Радченко, К Н Русинко Ю П Самарина, Ю В Соколкина, В В Стружанова А А Таш-кинова, Ю Н Шевченко, G Masmg и других С одной стороны, исследование структурных моделей материала позволяет выявить на качественном уровне некоторые его свойства, которые далее полагаются в основу построения определяющих (физических) соотношений, предназначенных для решения краевых задач С дру-
гой стороны, структурные модели имеют самостоятельное значение и при решении краевых задач Действительно, феноменологические теории неупругого реологического деформирования со сложными свойствами среды содержат большое число параметров (до двадцати и более) и при их идентификации возникают серьезные трудности экспериментального и математического характера Это, в свою очередь, привело к активному развитию методов решения краевых задач неупругого деформирования, в которых вместо физических определяющих уравнений механики сплошных сред используются структурные модели, содержащие 5-6 параметров для описания деформаций упругости, пластичности, ползучести и процессов разрушения материалов При таком подходе структурные модели естественным образом описывают ряд тонких эффектов для материалов и элементов конструкций, которые с феноменологических позиций описать единой теорией крайне сложно И здесь возникают самостоятельные задачи детального математического исследования и анализа внутренних свойств структурных моделей с нелинейно-упругими и нелинейными вязкими элементами их поведение при нагрузке и разгрузке, характера кривых ползучести возможности использования принципа аддитивности упругой и неупругой деформаций и т д Такой анализ необходим для построения теории ползучести для нелинейно-упругих материалов Отмечается, что существующие на сегодняшний день теории неупругого реологического деформирования предложенные в работах В И Астафьева, А Н Бадаева, В В Болотина, Б В Горе-ва Ю И Кадашевича JI М Качанова Я М Клебанова, В И Ковпака В Л Колмогорова, Г Ф Лепина, А Ф Никитенко, В В Новожилова, А М Локощенко, Н Н Малинина, Ю Н Работнова, В П Радченко, Ю П Самарина, О В Соснина, С А Шестерикова, И.Ю Цвелодуба, J А Betten, J Т Boyle, F A Lcckie, J Spence и многих других авторов, разработаны для линейно-упругих материалов С целью поиска подходов для их обобщения проанализированы основные направления построения физически нелинейных теорий упругости (В В Новожилов, А И. Лурье Ю Н Радаев. А А Роговой, К Ф Черных, G А Mangin, Р J Olver и другие)
По результатам литературных данных сформулированы основные задачи диссертационной работы
Глава 2. Анализ нелинейной обобщенной модели Максвелла. В главе 2 выполнен детальный математический анализ внутренних свойств обобщенной двузвенной нелинейной модели Максвелла, локальные элементы которой наделены свойствами линейной упругости и нелинейной вязкости (рис 1), а полная система уравнений имеет вид
£, = ег+рг, е. = 1Т» Рг-^г((Тг), г =1,2, (1)
■Ьг
ааг (t) + (1 - a) cr2 (f) = и (t), (2)
e(t)=ei(t)=s2(t), (3)
где е„ ег и рг — полная, упругая деформации и деформация вязкого течения Ег — модуль упругости, ст, — напряжение, Ф, () — нелинейная (нечетная) функция вязкого течения для каждого локального элемента, er (i), е (f) — макронапряжение и макродеформация, а — «вес» первого локального элемента (а € ]0,1[)
я,
ш
2.1 сформулирована постановка задачи
Я
В пункте
главы 2В пункте 2.2 выполнен детальный математический анализ кривых ползучести на основе обобщенной модели (1)-(3) при нагрузке и разгрузке. Показано, что при линейных законах вязкого течения Ф{(а) — а^а (г = 1,2) кривые ползучести имеют стандартный вид: при нагрузке — первую (за счет перераспределения микронапряжений) и вторую стадии, а при разгрузке наблюдается асимптотически монотонно-убывающая зависимость е = Если же законы вязкого течения нелинейные (Ф,-(о") = агсг|а|п'-1 (г = 1.2)), то спектр кривых ползучести при нагрузке более сложный и исчерпывается случаями, представленными на рис. 2, а при разгрузке при < = кривые обратной ползучести вообще являются немонотонными и в зависимости от параметров а*, п, (г = 1,2) имеют вид, представленный на рис. 3.
Рис. 1. Схема двухэлементной обобщенной модели Максвелла.
л О
Рис. 2. Спектр кривых ползучести но обобщенной модели Максвелла при нагрузке.
т а
Рис. 3. Спектр кривых обратной ползучести по обобщенной модели Максвелла.
В пункте 2.3 исследована обратимость деформации неустановившегося течения по структурной модели Максвелла при разгрузке и были доказаны две теоремы, суть которых состоит в следующем: если элементы обобщенной модели (1)-(3) удовлетворяют законам линейной вязкости, то деформация неустановившегося течения обобщенной модели полностью обратима, если же хотя бы один элемент модели (1)-(3) подчиняется нелинейному закону вязкого течения, то деформация неустановившегося течения, вообще говоря, обратима не полностью.
В пункте 2,4 выполнен численный анализ модели (1)~(3) и показано, что множество кривых ползучести при нагрузке (рис. 2) и разгрузке (рис. 3) не является пустым при соответствующих значениях параметров Еа;, щ (г = 1,2).
В пункте 2.5 выполнен анализ немонотонного характера кривых обратной ползучести для модельных материалов и показано, что аналогичный эффект экспериментально наблюдается у стареющих материалов (например, бетона) Теоретически установлено, что эффекты немонотонного характера кривых обратной ползучести для стабильных (нестареющих) материалов, описываемых моделью (1)—(3), имеют определенную частичную аналогию для стареющих материалов, удовлетворяющих обобщенной линейной модели Максвелла (с линейными законами упругости м вязкости) с параметрами Ег и о4, зависящими от времени
Глава 3 Математические модели ползучести нелинейно-упругого материала.
Глава 3 посвящена разработке структурных и феноменологических моделей нелинейно-упругих сред в условиях ползучести и анализу кинетики напряженно-деформированного состояния такого рода материалов
В пункте 3.1 сформулированы постановки задач данной главы В пункте 3.2 выполнен анализ общих закономерностей напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругих реономных сред на основе структурной модели материала Для этого сплошная микронеоднородная среда моделируется структурной моделью, представляющей совокупность гипотетических локальных элементов Уравнения состояния каждого г-го элемента описываются кинетическими уравнениями вида
УЧ*) = V'(ЧЧ*). **(*)). ^(0,0) = 0, ш
*(*) = /• (чЧ*). *■(*))» ^(0) = 0; » = 1,2, „I ™
Здесь х1(р) — {х\(1), а2(1!), , х)Пх (£)) — вектор-функция нагрузок на локальный элемент Координатами вектора х'(£) в зависимости от математической природы локальных элементов могут быть микронапряжения приложенные усилия, значения температуры и т п Вектор уг($) — (у\(¿0, , угПг(Ь)) — вектор-функция, описывающая деформационные свойства локального элемента (микродеформации, микроперемещения и т д ), »?*(*) = (ч!(¿)> . , ~ вектор-функция состояния локального элемента, при помощи которой фиксируется предыстория процесса деформирования локального элемента, и <рг- вектор-функции тпг 4- переменных с вг и щ координатами соответственно
Введем вектор нагрузок ¿7 = <72, , §т), приложенный к материальной точке макросреды (макронапряжения; усилия, моменты и т д) Поскольку локальные элементы структурной модели представляют аналог статически неопределимой системы и взаимодействуют друг с другом, то к уравнениям состояния (4) необходимо добавить к\ уравнений равновесия и к% уравнений совместности деформаций локальных элементов
Г^ (х\ . , х1, дъ , Чт) =0, н = 1, 2, , ки (5)
,у1)=0, л = 1,2,. ,к2, (6)
I
где кг + к2 = щ = гщ Система уравнений (4)-(6) описывает некоторую ма-1=1
тематическую структурную модель материала, при этом то — число внутренних,
а та —внешних степеней свободы модели Равенства (5), (6) отражают структуру математической модели, а уравнения (4)—свойства ее отдельных локальных элементов
Для описания макродеформационных характеристик среды в материальной точке (объеме) вводится в рассмотрение вектор У = (Ух, У%, , Удг), координатами которого могут быть макродеформации, макроперемещения и т д Очевидно, что по аналогии со статически неопределимыми системами должна существовать функциональная зависимость, связывающая микро- и макродеформированные состояния
Гг = % (у1, у2, , у1) , (7)
Ф,(0,0, ,0) = 0, г =1,2,
где Ф, — вектор-функция с то координатами В механике деформируемого твердого тела для построения соотношений (7) используют различные гипотезы, в частности, гипотезу однородности деформаций по объему, различные методы осреднения микродеформаций и т д
Доказан ряд утверждений для структурной модели (4)-(7), основой результат которых состоит в том, что мгновенно-изменяемые (упругие) координаты вектора У могут зависеть от реологических координат вектора состояний ц Это обуславливает дрейф мгновенно-изменяемых координат за счет реологических координат В пункте 3.3 детализируются условия, приводящие к эффекту зависимости мгновенно-упругой деформации от реологической деформации, в условиях одноосной ползучести материала Рассмотрен частный случай структурной модели типа (1)-(3), в которой введены нелинейно-упругие и нелинейно-вязкие элементы, те вместо уравнения (1) используются соотношения
£"г = е, + ри ег = <Рг(аг), рг = ф,(аг), (г - 1,2) (8)
Доказан ряд теорем для структурной модели (2), (3), (8), суть которых сводится к утверждению если локальные элементы структурной модели (2), (3) (8) (и материал в целом) следуют линейным законам упругости, то при любых законах ползучести локальных элементов (и материала) упругая деформация не зависит от деформации ползучести, если же хотя бы один элемент структурной модели следует нелинейному закону упругости, то величина упругой деформации материала зависит от накопленной деформации ползучести
В пункте 3.4 выполнена расчетно-экспериментальная проверка адекватности структурной модели (2), (3) (8) на примере ползучести природного биокомпозитного материала (костной ткани), состоящим в основном из двух компонентов — минеральных веществ и органической матрицы, с ярко выраженными реологическими свойствами Для этого материала экспериментально установлено1,2, что мгновенно-упругая деформация этого материала при нагрузке ен при
'Мелнис А Э , Лайзан Я Б Нелинейная ползучесть компактной костной ткани человека при растяжении // Механика полимеров 1978 Т 14 №1 С 97-100
2Кнетс И В , Вилке Ю К Ползучесть компактной костной ткали человека при растяжении // Механика полимеров 1975 Т 11 №4 С 634-638
Ь = 0 + 0 и полной разгрузке ер после ползучести при действии постоянного напряжения существенно отличаются друг от друга, причём может выполняться как соотношение ер > ен, так и ер < ея, т.е. наблюдается эффект влияния деформации ползучести на мгновенно-упругую деформацию, при этом материал костной ткани является нелинейно упругим.
Для дальнейшего теоретического анализа модели (2), (3), (8) соотношения (8) детализированы в виде
алилт-\
е{=е1+ри = -, л = <ц<г<|а{р-\ (¿ = 1,2), (9)
К
где пг, ттц, щ, Е{ — параметры, для которых разработана методика идентификации по экспериментальным данным.
Основной полученный результат содержит следующая теорема.
Теорема. Пусть структурная модель задана соотношениями (2), (3), (9). Тогда, если щ = 1 и р\ < р*2, то при > 1 для мгновенно-упругой деформации образца при нагрузке ен и разгрузке после ползучести ер выполняется неравенство ен > ер; при 0 < п? < 1 — е11 < ер, а при п2 = 1 имеем ен = ер, где р* = (г — 1, 2) — величины деформации ползучести в локальных элемен-
тах модели, накопленные к моменту разгрузки при I = V.
На рис. 4 и 5 и в таблице приведены результаты экспериментальной проверки модели (2), (3), (9) по ползучести костной ткани. Наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и опытных данных.
О 1(10 200 МО I мин
Рис. 4. Изменение деформации костной ткани во времени: точки — экспериментальные данные; сплошная линия — расчет по феноменологической модели (10); штриховая линия — расчет по структурной модели (2). (3), (9). Цифры: 1 — а0 = 35,71; 2 — ай — 0; 3 — а0 = 53,56 МПа.
ен, % ер, %
Со, экспери- расчет экспери- расчет
МПа мент структур. феноменол. мент структур. феноменол.
модель модель модель модель
35,71 0,178 0,178 0,178 0,152 0,162 0,162
53,56 0,255 0,250 0,254 0,245 0,236 0,217
74,56 0,470 0,445 0,445 0,670 0,642 0,670
90,41 0,570 0,570 0,570 — — —
В пункте 3.5 выполнен анализ эффекта дрейфа мгновенно-упругой деформации вследствие ползучести и выполнена классификация материалов по этому эффекту.
Выполненный детальный численный анализ модели (2), (3), (9) позволяет сформулировать следующие выводы:
1) мгновенно-упругая деформация проявляет одновременно свойства механической памяти, поскольку в процессе ползучести при разгрузке образца (при t —> со) происходит полное восстановление первоначальных упругих свойств, а также вязкоупругости, поскольку мгновенно-упругая деформация явно зависит от времени;
2) при деформировании образца в режиме ползучести с выдержками при постоянных напряжениях ст = сто (с последующей разгрузкой) наблюдается специфический геометрический «гистерезис» на диаграмме упругого деформирования; весь спектр диаграмм расположен между двумя асимптотическими состояниями: диаграммой е — сто при t = 0 и диаграммой, соответствующей асимптотическому состоянию структурной модели под нагрузкой при t —)- оо.
Типичные диаграммы упругого деформирования в зависимости от параметров структурной модели схематически приведены на рис. б.
Следующим этапом работы является поиск ответов на вопросы: какое место занимают полученные результаты для микронеоднородных нелинейно-упругих материалов в условия ползучести в системе знаний механики деформируемого твердого тела? Существуют ли другие реальные материалы с похожими (хотя бы чисто формально) свойствами упругих диаграмм?
С этой точки зрения определенный интерес вызывают материалы с эффектом памяти механической формы, вызванной обратимыми фазовыми превращениями в металле. Проанализирован большой объем научных работ в этом направлении, выполненный металловедами, физиками и механиками. Отмечены работы по разработке моделей для таких материалов как на феноменологическом уровне, так и уровне механики микронеоднородных сред авторов: Бондарева E.H., Волкова С.Д., Дудукаленко В.В., Лихачева В.А., Сараева Л.А., Фрейдлина A.B., Nikamichi N., Murakami Y. и многих других.
Анализируя поведение рассматриваемых в диссертации нелинейно-упругих деформаций и материалов с механической памятью формы, отметим некоторые (чисто внешние) аналогии на феноменологическом уровне.
Во-первых, и нелинейные упругие материалы (после выдержки иод напряжением и ползучести) и материалы с памятью формы обладают эффектом механической памяти и полностью восстанавливают упругие характеристики
Y
i / / / i / j i ¡
Р J? j
v......РГ"
О 100 300 300 '.мин
Рис. 5. Изменение деформации костной ткани во времени: точки — экспериментальные данные; сплошная линия — расчет по феноменологической модели (10); штриховая линия — расчёт по структурной модели. Цифры: 1 — ст0 = 74,56; 2 — ст0 = 0; 3 - <70 = 90,41 МПа.
после разгрузки.
Во-вторых, диаграммы упругого деформирования а — е для тех и других материалов имею!' «гистерезисные» петли с горизонтальными площадками, но для нелинейно-упругих материалов упругая деформация на площадке развивается во времени вследствие ползучести, а для материалов с механической формой памяти — «мгновенно», в результате фазовых превращений и аномального изменения упругих констант в фазах.
В-третьих, для тех и других материалов описать указанные гистерезисные формы кривых упругого деформирования а — е на феноменологическом уровне (не прибегая к анализу микроструктуры) крайне сложно.
Рациональное объяснение отмеченным эффектам можно дать, только анализируя напряженно-деформ ированное состояние материалов на микроуровне либо на уровне физики твердого тела (для материалов с памятью формы),
0 „ г, , либо на уровне структурных
^ис. о. Спектр схематических диаграмм упругого дефор- \
1 * г, . п (математических) моделей
мирования е — а в условиях ползучести: 1 — 4 = 0 + 0; 4 '
14 3,2
¿2 > 4) > Г).
4 —({" — время разгрузки,
среды (для нелинейно-упругих деформаций в процессе ползучести), поскольку причиной отмеченных сложных явлений является эволюция структурных деформаций и соответствующих им структурных напряжений в материале под действием внешних нагрузок.
Таким образом, выполненный анализ в определенной мере по некоторым признакам позволил объединить нелинейно-упругие материалы в условиях ползучести и материалы с памятью формы в одну группу.
В пункте 3.6 предложена феноменологическая реологическая модель нелинейно-упругого материала в пределах первой и второй стадий ползучести, отражающая влияние ползучести на упругую деформацию, которая является обобщением модели Ю.П. Самарина и имеет- вид:
г = е 4- р, р = и + п + и>,
и(£) = йк^) = Хк
к
к I о,
«»(*) = с(а о)т,
ып
Е{1 + аеиУ
о-к (^о)'1 - ик , А* ¡6*: (сг0)12 - Ук (*)] , Ьк (<70)'2 > ук,
Ьк Ы'2 < Щ,
где е, е, р — полная, упругая деформации и деформация ползучести, и, и, ги — вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая компоненты р, с, Ь^, 1ь ¡2, п, Е,
ае — константы материала, сто — напряжение
Разработана методика идентификации параметров модели (10) и выполнена проверка ее адекватности экспериментальным данным по ползучести костной ткани Результаты расчетов по модели (10) приведены на рис 4 и 5 и в таблице
Глава 4 Ползучесть элементов конструкций из нелинейно-упругого материала.
Глава 4 посвящена разработке методов расчета элементов конструкций из нелинейно-упругого материала в условиях ползучести В пункте 4.1 изложены постановки задач главы 4
В пункте 4.2 исследовано влияние ползучести на величину упругой деформации стержневых систем и балок на основе феноменологических уравнений для материала Доказан ряд теорем, согласно которым поведение конструкций как целого в обобщенных координат аналогично поведению одноосного образца, т е если материал конструкции подчиняемся нелинейной теории упругости, то наблюдается плавный дрейф обобщенной упругой компоненты деформации конструкции как целого за счет деформации ползучести Детально проанализирован этот эффект в зависимости от реологических параметров модели материала
В пункте 4 3 исследована ползучесть элементов конструкции из нелинейно-упругих материалов в условиях ползучести на основании структурной модели среды Разработаны методики расчета, выполнен обстоятельный вариативный численный анализ поставленных задач
В качестве прикладной задачи с использованием структурной модели решена краевая задача ползучести большеберцовой кости человека на основе ее моделирования стержнем трубчатого переменного сечения для физиологических уровней напряжения Показано, что даже для малых уровней напряжений остаточные деформации ползучести в большеберцовой кости за сутки сравнимы с упругими деформациями Отмечается что построенные модели и полученные результаты помогут медикам при лечении переломов и искривлений костей, позволят им подобрать оптимальный аутотраксплантат, обеспечивающий успешную реконструкцию пораженной кости, а также помогут инженерам в разработке новых перспективных материалов, работающих в условиях длительных нагрузок
Основные результаты диссертационной работы
1 Разработана структурно-феноменологическая модель микронеоднородного нелинейно-упругого материала в условиях ползучести и выполнен детальный анализ ее внутренних математических свойств
2. Доказано, что кривые ползучести по структурной модели при нагрузке могут иметь разный характер «выпуклости-вогнутости«' (включая точки перегиба), а кривые обратной ползучести после полной разгрузки имеют немонотонный характер при нелинейных законах вязкого течения элементов модели и монотонно-убывающий - при линейных законах
3. Выполнена классификация материалов, обладающих эффектом влияния
деформации ползучести на упругую деформацию и показано, что этот эффект возможен лишь для физически нелинейно-упругих материалов
4. Установлено, что вследствие ползучести нелинейно-упругая деформация проявляет одновременно свойства механической памяти, поскольку в процессе ползучести при разгрузке образца происходит полное восстановление первоначальных упругих свойств, а также вязкоупругости, так как мгновенно-упругая деформация явно зависит от времени Показано, что при деформировании образца из нелинейно-упругого материала в режиме ползучести с выдержками при постоянных напряжениях наблюдаются специфические «гистерезисные» петли на диаграмме упругого деформирования
5. Предложен феноменологический вариант кинетических уравнений ползучести, описывающий эффект влияния реологической деформации на мгновенно-упругую деформацию
6. Решен ряд прикладных задач на основании структурной модели для элементов конструкций из нелинейно-упругого материала в условиях ползучести (включая «конструкции» из природного биокомпозитного материала — костной ткани)
Основные результаты диссертации, опубликованные в рецензируемых журналах:
1 Радченко В П Шапиевский Д В Анализ нелинейной обобщенной модели Максвелла // Вестник Самарск госуд. техн ун -та Серия Физико-математические науки Самара, 2005 38 С 55-65 (авт 6 с.)
2 Радченко В П , Шапиевский Д В О дрейфе упругой деформации для нелинейно-упругих материалов вследствие ползучести // Вестник Самарск госуд техн ун -l'a. Серия Физико-математические науки Самара, 2006 № 43 С 99 -108 (авт 5с)
В других сборниках:
3 Радченко В П , Шапиевский Д.В К построению реологической модели, учитывающей влияние ползучести на мгновенно-упругую деформацию // Обозрение прикладной и промышленной математики 2007 Т 14 Вып 4 С 746 (авт 0,5 с )
4 Радченко В П , Шапиевский Д В. Анализ особенностей поведения обобщенной нелинейной модели Максвелла // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй Всероссийской научной конференции Ч 1 Самара СамГТУ, 2005 С. 253-255. (авт 2 с )
5 Радченко В П Шапиевский Д В О немонотонном характере кривых обратной ползучести для композиционных материалов // Механика микронеоднородных материалов и разрушение Сборник тезисов докладов IV Всероссийского научного семинара памяти профессора С Д Волкова Екатеринбург, 2006 С 51 (авт 0,5 с )
6 Радченко В П , Шапиевский Д В Нелинейные эффекты влияния ползучести на упругую деформацию в биокомпозиционных материалах // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций Тезисы докладов Всероссийской конференции Новосибирск, 2006 С 104 (авт 0,5 с )
7 Радченко В П, Шапиевский Д В Теоремы о разгрузке для реологических
7/о
нелинейно-упругих сред // Математика Механика Информатика Тезисы докладов Всероссийской научной конференции Челябинск, 2006 С 112 (авт 0,5 с)
8 Шапиевский Д В Структурная модель ползучести нелинейно-упругого микронеоднородного материала // Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» Тезисы докладов Секция Л»3 Москва, 2007" С 122-123
9 Радченко В П , Шапиевский Д В Анализ эффекта немонотонности кривых обратной ползучести // Математическое моделирование и краевые задачи Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием Ч 1 Самара СамГТУ, 2007 С 214-218 (авт 3 с)
10 Шапиевский Д В Вариант феноменологических уравнений ползучести нелинейно-упругого материала // Математическое моделирование и краевые задачи Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием Ч. 1 Самара СамГТУ, 2007 С 271-276
11 Радченко В П , Шапиевский Д В Структурная модель ползучести нелинейно-упругой компактной костной ткани // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошных сред Тезисы докладов международной конференции Саратов Изд-во Сарат ун-та 2007 С. 93-94. (авт 1с)
Подписано в печать 8 октября 2007 г Заказ №701 Тираж 100 экз Отпечатано на ризографе Самарский государственный технический университет Отдел типографии и оперативной полиграфии 443100, г Самара, ул Молодогвардейская, 244
Введение
Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи.
Глава 2. Анализ нелинейной обобщенной модели Максвелла
2.1. Постановка задачи.
2.2. Анализ кривых ползучести на основе обобщенной модели Максвелла
2.3. Обратимость деформации неустановившегося течения для структурной обобщенной модели Максвелла при разгрузке.
2.4. Численный анализ нелинейной обобщенной модели Максвелла
2.5. Анализ немонотонного характера кривых обратной ползучести
Выводы по главе
Глава 3. Математические модели ползучести нелинейно-упругого материала
3.1. Постановка задачи.
3.2. Исследование общих закономерностей напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругих реономных сред на основе структурной модели.
3.3. Структурная модель ползучести нелинейно-упругого материала в условиях одноосного напряженного состояния
3.4. Расчетно-экспериментальная проверка структурной модели ползучести микронеоднородного нелинейно-упругого материала
3.5. Анализ эффекта дрейфа мгновенно-упругой деформации вследствие ползучести.
3.6. Феноменологическая модель ползучести нелинейно-упругого материала в пределах первой и второй стадий
Выводы по главе
Глава 4. Ползучесть элементов конструкций из нелинейно-упругого материала
4.1. Постановка задачи.
4.2. Исследование влияния ползучести на величину упругой деформации стержневых систем и балок на основе феноменологических уравнений для материала
4.3. Исследование ползучести стержней из нелинейно-упругих материалов в условиях растяжения (сжатия) и изгиба на основании структурной модели.
Выводы по главе
Актуальность темы. Существующие на сегодняшний день теории ползучести разработаны для конструкционных и природных материалов, обладающих свойствами линейной упругости. При этом общая деформация является аддитивной составляющей упругой и неупругой деформаций, и для каждой из компонент записываются свои физические уравнения состояния.
Однако, ряд материалов (резиноподобные материалы, природные биокомпозитные ткани, конструкционные микронеоднородные среды и другие) обладают нелинейно-упругими свойствами, поведение которых в области ползучести существенно отличается от поведения известных конструкционных материалов. В частности, для природных биокомпозитных материалов наблюдается влияние деформации ползучести на мгновенно-упругую деформацию. Описание такого рода эффекта (и некоторых других) на чисто феноменологическом уровне является крайне сложной задачей и требует большого объема экспериментальных исследований. Рациональное объяснение многим реологическим эффектам можно дать, только анализируя напряженно-деформированное состояние материалов на микроуровне, поскольку причиной многих сложных явлений является эволюция структурных микродеформаций и соответствующих им структурных микронапряжений в материале под действием внешних нагрузок.
Исследование структурных моделей материала позволяет выявить на качественном уровне некоторые его свойства, которые далее полагаются в основу построения определяющих соотношений, предназначенных для решения краевых задач и анализа напряженно-деформированного состояния.
Вышеизложенное определяет актуальность диссертационного исследования и позволяет сформулировать цель настоящей работы.
Целью работы является разработка структурно-феноменологической модели нелинейно-упругого материала в условиях ползучести, исследование на ее основе сложных эффектов влияния ползучести на упругую деформацию и применение модели к решению одномерных краевых задач для элементов конструкций (включая конструкции из природного биокомпозитного материала — костной ткани).
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) доказано, что кривые ползучести по структурной модели (типа обобщенной модели Максвелла с нелинейно-вязкими элементами) при нагрузке могут иметь разный характер «выпуклости-вогнутости» (включая точки перегиба), а кривые обратной ползучести после полной разгрузки имеют немонотонный характер при нелинейных законах вязкого течения элементов модели и монотонно-убывающий — при линейных законах;
2) разработана структурная модель микронеоднородных сред, описывающая влияние деформации ползучести на величину упругой деформации, и показано, что этот эффект возможен лишь для физически нелинейно-упругого материала;
3) показано, что вследствие ползучести мгновенная нелинейно-упругая деформация проявляет одновременно свойства механической памяти, поскольку в процессе ползучести при разгрузке образца происходит полное восстановление первоначальных упругих свойств, а также вязкоупруго-сти, так как мгновенно-упругая деформация явно зависит от времени;
4) установлено, что при деформации образца из нелинейно-упругого материала в режиме ползучести с выдержками при постоянных напряжениях наблюдаются специфические «гистерезисные» петли на диаграмме упругого деформирования;
5) предложен феноменологический вариант кинетических уравнений ползучести, описывающий эффект влияния реологической деформации на мгновенно-упругую деформацию;
6) решен ряд прикладных задач на основании структурной модели для элементов конструкций из нелинейно-упругого материала в условиях ползучести (в том числе, для болынеберцовой кости человека при естественных физиологических нагрузках).
Практическая значимость работы заключается в разработке структурной и феноменологической моделей ползучести нелинейно-упругих материалов, позволяющих описать ряд новых реологических эффектов (влияния ползучести на упругую деформацию, свойства механической памяти и вязкоупругости для мгновенно-упругой деформации, геометрические «гистерезисные» явления для нелинейно-упругой деформации вследствие ползучести и другие), что является важным вкладом в дальнейшее развитие теории ползучести. С другой стороны, разработанные модели и методы решения одномерных краевых задач на их основе для биокомпозитных материалов (костной ткани) имеют прикладное значение, поскольку могут быть полезны при разработке новых перспективных конструкционных материалов, позволяющих подобрать оптимальный вариант аутотрансплантата, обеспечивающего реконструкцию пораженной (или разрушенной) кости, а также при лечении переломов и искривлении костей.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается:
- адекватностью имеющихся модельных математических представлений реальному физико-механическому поведению исследуемых материалов;
- корректностью использования математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела;
- сопоставлением расчетных данных по предложенным моделям и методам с известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся:
1) структурная и феноменологическая модели ползучести микронеоднородных нелинейно-упругих сред и доказательство на их основе влияния деформации ползучести на упругую деформацию;
2) математические модели и алгоритмы для описания новых эффектов: влияния ползучести на упругую деформацию, свойство механической памяти и вязкоупругости для нелинейной упругой деформации вследствие ползучести. геометрический «гистерезис» диаграмм упругого деформирования при ползучести с выдержками при постоянных напряжениях, немонотонный характер кривых обратной ползучести для обобщенной нелинейной модели типа Максвелла;
3) решение ряда новых прикладных задач на основании разработанных структурных моделей для элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов в условиях ползучести (в том числе, для болыпеберцовой кости человека при естественных физиологических нагрузках);
4) качественные и количественные результаты, полученные при математическом моделировании кинетики напряженно-деформированного состояния материалов и элементов конструкций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников из 201 наименований. Работа содержит 178 страниц основного текста.
Выводы по главе 4
1. Показано, что эффекты влияния ползучести на мгновенно-упругую деформацию наблюдаются и для стержневых элементов конструкций в условиях растяжения (сжатия) и изгиба, причем качественно форма диаграмм нелинейно-упругого деформирования элементов конструкций в обобщенных координатах аналогична соответствующим диаграммам при одноосном растяжении образца. Другими словами, эффекты механической памяти для нелинейно-упругой деформации вследствие ползучести наблюдаются и для элементов конструкций.
2. Выполнено исследование ползучести болыпеберцовой кости человека на основе ее моделирования трубчатым стержнем переменного сечения для физиологических уровней напряжений. Показано, что даже для малых уровней напряжений остаточные деформации ползучести в болыпеберцовой кости за сутки сравнимы с упругими деформациями. Поэтому явлением ползучести нельзя пренебрегать при оперативных вмешательствах, например, по поводу переломов и ложных суставов.
3. Разработанные структурные модели нелинейно-упругого материала и методы решения простейших однородных задач на их основе могут быть полезны при лечении переломов и искривлении костей, а также в разработке новых перспективных конструкционных материалов, позволяющих подобрать оптимальный вариант аутотрансплантата, обеспечивающего успешную реконструкцию пораженной (или разрушенной) кости.
Заключение
Результаты выполненных в диссертационной работе исследований позволяют сформулировать нижеследующие выводы.
1. Разработана структурно-феноменологическая модель микронеоднородного нелинейно-упругого материала в условиях ползучести и выполнен детальный анализ ее внутренних математических свойств.
2. Доказано, что кривые ползучести по структурной модели при нагрузке могут иметь разный характер «выпуклости-вогнутости» (включая точки перегиба), а кривые обратной ползучести после полной разгрузки имеют немонотонный характер при нелинейных законах вязкого течения элементов модели и монотонно-убывающий при — линейных законах.
3. Выполнена классификация материалов, обладающих эффектом влияния деформации ползучести на упругую деформацию и показано, что этот эффект возможен лишь для физически нелинейно-упругих материалов.
4. Установлено, что вследствие ползучести нелинейно-упругая деформация проявляет одновременно свойства механической памяти, поскольку в процессе ползучести при разгрузке образца происходит полное восстановление первоначальных упругих свойств, а также вязкоупругости, так как мгновенно-упругая деформация явно зависит от времени. Показано, что при деформировании образца из нелинейно-упругого материала в режиме ползучести с выдержками при постоянных напряжениях наблюдаются специфические «гистерезисные» петли на диаграмме упругого деформирования.
5. Предложен феноменологический вариант кинетических уравнений ползучести, описывающий эффект влияния реологической деформации на мгновенно-упругую деформацию.
6. Решен ряд прикладных задач на основании структурной модели для элементов конструкций из нелинейно-упругого материала в условиях ползучести (включая «конструкции» из природного биокомпозитного материала — костной ткани).
1. Адеянов И.Е. Параллелизация задач пластичности при разрушении // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды четвертой Всероссийск. научн. конф. с межд. участием. Часть 1. Самара: СамГТУ, 2007. С. 11-13.
2. Андреев В.В., Косевич A.M., Танатаров JI.B. Деформация стержня круглого сечения при фазовом переходе // ПМТФ, 1961. №5. С. 67-76.
3. Анисимов В.Н. Описание напряженно-деформированного состояния твердых тел с позиций межмолекулярного взаимодействия // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки., 2006. № 42. С. 197-200.
4. Анисимов В.Н. Физическая модель деформированного твердого тела // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды четвертой Всероссийск. научн. конф. с межд. участием. Часть 1. Самара: СамГТУ, 2007. С. 19-24.
5. Апаев Б.А., Вороненко Б.И. Физические представления о фазовых превращениях в «запоминающих форму» сплавах // Металловед, и термич. обработка мет., 1975. №5. С. 28-36.
6. Апаев Б.А., Вороненко Б.И. Эффект запоминания формы в сплавах // Металловед. и термич. обработка мет., 1973. №1. С. 24-32.
7. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.: Гостехиздат, 1952. 264 с.
8. Аршакуни А.Л. К выбору определяющих соотношений обратной ползучести металлов // Ползучесть и длительная прочность конструкций. Куйбышев: КуАИ, 1986. С. 50-56.
9. Аршакуни А.Л. Учет неоднородности деформации в кинетических уравнениях неустановившейся ползучести // Проблемы прочности, 1981. №5. С. 15-17.
10. Астафьев В.И. К вопросу о поврежденности и критериях разрушения при ползучести // Проблемы прочности, 1983. №3. С. 11-13.
11. Астафьев В.И. Описание процесса разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. МТТ, 1986. №4. С. 15-17.
12. Батдорф С.В., Вудянский Б.В. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения // Механика, 1962. №1. С. 135-155.
13. Башкинова Е.В. Обобщенные реологические модели в задачах длительной прочности и деформирования поверхностно-упрочненных элементов конструкций. Автореф. диссканд. физ.-мат. наук. Самара, 2002. 16 с.
14. Блендт Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965, 200 с.
15. Болотин В.В., Минаков В.В. Рост трещин и разрушение в условиях ползучести // Изв. РАН. МТТ, 1992. №3. С. 147-156.
16. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных микронеоднородной среды // Журнал прикл. мех. и техн. физики, 1968. №1. С. 66-72.
17. Болыпанина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформаций // Исследования по физике твердого тела. Сб. статей /' Отв. ред. М.А. Большанина. М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 193-234.
18. Бондарев Е.Н. Феноменологическая модель деформирования материалов с механической памятью формы. Дисс. .канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1979, 143 с.
19. Бондарев Е.Н., Дудукаленко В.В. О ферроупругости материалов с механической памятью формы // ПМТФ, 1979. №3. С. 122-128.
20. Бубнов А.А. Моделирование напряженного состояния трубопроводов, подвергающихся высокотемпературной водородной коррозии в неоднородном поле температур. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2007. 19 с.
21. Будянский Б.В., У-Тай-Те. Теоретическое предсказание пластических деформаций поликристалов // Механика, 1964. №6. С. 113-133.
22. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1977. 288 с.
23. Винц X. Изменение механических свойств компактной костной ткани человека в зависимости от возраста // Механика полимеров, 1975. Т. 11. № 4. С. 659-663.
24. Волков Е.А., Лихачев В.А., Разов А.И. Механика пластичности материалов с фазовыми превращениями // Вестник Ленинградского ун-та, 1984. №19. С. 30-37.
25. Волков С.Д. О методе расчета объемного структурного упрочнения элементов конструкций // Проблемы прочности, №10. 1970. С. 9-14.
26. Глазунова Н.А. Иерархическое моделирование напряженно-деформированного состояния подошв обуви // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды четвертой Всероссийск. научн. конф. с межд. участием. Часть 1. Самара: СамГТУ, 2007. С. 69-71.
27. Горев Б.В., Клопотов И.Д. Описание процесса ползучести и разрушения при изгибе балок и кручении валов уравнениями со скалярными параметрами поврежденности // ПМТФ, 1999. Т. 40. №6. С. 157-162.
28. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкция при повторном нагружении. М.: Машиностроение, 1984. 256 с.
29. Демидова И.И. Использование модельных задач для решения биомеханических проблем // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошных сред. Тезисы докладов Международной конференции. Саратов: Изд-во Саратовск. университета, 2007. С. 39.
30. Добелис М.А. Деформативные свойства деминерализованной костной ткани человека при растяжении // Механика полимеров, 1978. Т. 14, № 1. С. 101-108.
31. Дудукаленко В.В., Бондарев Е.Н. Об эффекте запоминания формы при фазовых превращениях в твердых телах // Механика деформируемых сред. Вып. 3. Куйбышев: КуГУ, 1978. С. 130-138.
32. Елисеева Е.Е., Самарин Ю.П. Применение теории управления к решению задачи о равновесии реономной среды методом конечных элементов в условиях плоского напряженного состояния // Математическая физика. Куйбышев: КуАИ, 1979. С. 107-112.
33. Еремеев В.А., Фрейдин А.В., Шарипова JI.JI. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел // Докл. РАН, 2003. 391. № 2. С. 189-193.
34. Еремеев В.А., Фрейдин А.В., Шарипова JI.J1. Об устойчивости равновесия двухфазных упругих тел // Прикл. мат. и мех, 2007. 71. № 1. С. 66-92.
35. Еремин Ю.А. Дискретное и континуальное агрегирование в конструкциях при ползучести // Теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 41-56.
36. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. 294 с.
37. Зарубин B.C., Кадашевич Ю.И., Кузьмин М.А. Описание ползучести металлов при помощи структурной модели // Прикладная механика, 1977. Т. 13. №9. С. 10-13.
38. Иванова B.C., Ермишкин В.А. К теории высокотемпературной ползучести металлов // В кн.: Структура и свойства жаропрочных металлических материалов. М.: Наука, 1973. С. 62-70.
39. Ильина Е.А., Сараев Л.А. Математическая модель изотермического фазового превращения в матрице двухкомпонентного композиционного материала / / Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2002. Вып. 16. С. 81-83.
40. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории платичности // Изв. АН СССР. МТТ, 1968. №3. С. 82-91.
41. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Обобщенная теория упрочнения // ДАН СССР, 1980. Т. 254. №5. С. 1096-1098.
42. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести металлов, учитывающая микронапряжения // Изв. АН СССР. МТТ, 1981. №5. С. 99-110.
43. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982. 216 с.
44. Качанов JI.M. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455 с.
45. Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Многоуровневая декомпозиция конструкций методом аппроксимирующих моделей // Численные и аналитические методы расчета конструкций. Труды междун. конф. Самара: СамГАСА, 1998. С. 92-96.
46. Клебанов Я.М., Давыдов А.Н. Параллелизация задач установившейся ползучести при степенной зависимости между напряжениями и скоростью деформаций // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 1999. Выи. 7. С. 38-50.
47. Кнетс И.В., Вилке Ю.К. Ползучесть компактной костной ткани человека при растяжении // Механика полимеров, 1975. Т. 11. № 4. С. 634-638.
48. Кнетс И.В., Крауля У.Э., Лайзан Я.Б. Особенности деформирования костной ткани при разгрузке и повторном нагружении // Механика полимеров, 1976. №5. С. 882-890.
49. Кнетс И.В., Малмейстер А.К. Особенности деформативности и прочности компактной костной ткани человека // Изв. АН ЛатвССР, 1977. №1. С. 5-16.
50. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулгозис Ю.Ж., Лайзан Я.Б., Янсон Х.А. Деформативноеть и прочность компактной костной ткани при кручении // Механика полимеров, 1973. №5. С. 911-918.
51. Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж., Янсон Х.А. Деформативноеть и прочность компактной костной ткани при растяжение // Механика полимеров, 1974. №3. С. 501-506.
52. Козин Р.Г., Шевченко К.Н. Напряжения в сфере при фазовых превращениях и произвольном законе упрочнения // В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 17. М.: Машиностроение, 1976. С. 191-201.
53. Козин P.P., Шевченко К.Н. Упруговязкопластические напряжения в свободной сфере при фазовых превращениях // Изв.АН СССР. МТТ, 1975. №4. С. 122-129.
54. Колмогоров В.А. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2001. 835 с.
55. Кубышкина С.Н. Разработка и применение обобщенных реологических моделей неупругого деформирования и разрушения элементов конструкций. Автореф. дисс— канд. физ.-мат. наук. Самара, 2000. 18 с.
56. Кузьмин С.Л., Лихачев В.А. Температурно-силовые критерии псевдоупругости // ФММ, 1982. Т. 53. Вып. 5. С. 886-891.
57. Ларсон, Стораккерс. Описание некоторых зависящих от времени неупругих свойств стали с помощью параметров состояния // Теор. основы инж. расчетов, 1978. М. С. 64-72.
58. Лепин Г.Ф. Ползучесть металлов и жаропрочность. М.: Металлургия, 1976. 345 с.
59. Лободюк В.А., Хандрос Л.Г. Определение макроскопического сдвига при мартенситном превращении в сплаве // ФММ, 1964. Т. 17. Вып. 6. С. 936-944.
60. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растяжении // ПМТФ, 1980. №3. С. 155-159.
61. Ломакин В.А. О деформировании микронеоднородных тел // Прикладная математика и механика, 1965. №2. С. 139-143.
62. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
63. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
64. Максименков Ю.К., Вольский А.С. К изгибу нелинейно упругих стержней // Научные труды Украинской с.-х. академии, 1979. № 224. С. 231-234.
65. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.
66. Марина В.Ю. Неупругое деформирование деталей, работающих в условиях высоких температур // Повышение прочности деталей с/х техники. Кише-нев: КСХИ, 1983. С. 75-81.
67. Марина В.Ю. Уравнение состояния микронеоднородного тела при неизотермическом процессе деформирования // Теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 180-190.
68. Мартынов В.В., Титов П.В., Хандрос Л.Г. Упругая деформация, связанная с мартенситным превращением, в сплаве // В кн.: Металлофизика, 54. К.: Наукова думка, 1974. С. 38-46.
69. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. 322 с.
70. Мелнис А.Э. Вязкоупругие свойства компактной костной ткани человекапри продольном растяжении // Автореф. диссканд. техн. наук. Рига,1983. 22 с.
71. Мелнис А.Э., Кнетс И.В., Моорлат П.А. Особенности деформирования компактной костной ткани человека при ползучести в условиях растяжения // Механика композитных марериалов, 1979. №5. С. 861-867.
72. Мелнис А.Э., Лайзан Я.Б. Нелинейная ползучесть компактной костной ткани человека при растяжении // Механика полимеров, 1978. Т. 14. № 1. С. 97-100.
73. Мерцер A.M. Применение обобщенных уравнений состояния установившейся и неустановившейся ползучести // Теор. основы инж. расчетов, 1982. №1. С. 21-29.
74. Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во МГУ, 1965. 263 с.
75. Небогина Е.В. Разработка структурной феноменологической модели неупругого деформирования и разрушения материалов со сложными реологическими свойствами. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Самара, 2000. 22 с.
76. Никаниши Н. Смягчение решетки и природа ЭЗФ // В кн.: Эффект памяти формы в сплавах. М.: Металлургия, 1979. С. 128-154.
77. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН — НГАСУ, 1997. 280 с.
78. Никольский В.В., Никольская Т.Н. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983. 304 с.
79. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1948. 326 с.
80. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение: Ленинградское отделение, 1990. 223 с.
81. Овчинников Н.Г., Хвалько Т.А. Работоспособность в условиях высокотемпературной водородной коррозии. Саратов: Сарат. госуд. техн. ун-т, 2003. 176 с.
82. Павлов П.А. Основы инженерных расчетов элементов машин на усталость и длительную прочность. Л.: Машиностроение, 1988. 252 с.
83. Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 344 с.
84. Пфафрод P.O., Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж., Крегерс А.Ф., Янсон Х.А. Возрастные аспекты прочности компактной костной ткани при кручении // Механика полимеров, 1975. .№3. С. 493-503.
85. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
86. Радаев Ю.Н. Нелинейная теория упругости как физическая теория ноля // Вестник Самарск. госуд. ун-та. Естественнонаучная серия, 2000. №4(18). С. 87-113.
87. Радченко В.П. Влияние ползучести на величину упругой деформации слоистого композита // Механика композитных материалов, 1983. №2. С. 231-237.
88. Радченко В.П. Математическая модель неупругого дефомирования и разрушения металлов при ползучести энергетического типа // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 1996. Вып. 4. С. 43-63.
89. Радченко В.П. Об одной структурной реологической модели нелинейно-упругого материала // Прикладная механика, 1990. Т. 26. №6. С. 67-74.
90. Радченко В.П. Обратимость деформации неустановившегося течения статически неопределимой стержневой системы как целого при нагружении //
91. Прочность и надежность конструкций. Сб. научн. трудов. Куйбышев: КПтИ, 1981. С. 80-89.
92. Радченко В.П. Энергетический вариант одноосной теории ползучести и длительной прочности // Журн. прикл. и техн. физики, 1991. Nfi4. С. 172-179.
93. Радченко В.П., Андреева Е.А. Об эффекте Баушингера на стадии пластического разрушения материалов // Зимняя школа по механике сплошных сред. Сборник статей. Часть 1. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 42-45.
94. Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1, 2004. 265 с.
95. Радченко В.П., Кузьмин С.В. Структурная модель накопления повреждений и разрушения материалов при ползучести // Проблемы прочности, 1989. №10. С. 18-23.
96. Радченко В.П., Небогина Е.В., Андреева Е.А. Механизм формирования остаточных микронапряжений при одноосном упругопластическом деформировании металлов с позиций структурно-феноменологического подхода //
97. Физика прочности и пластичности материалов. Тезисы докладов XVI Меж-дунар. конф. Самара, 2006. С. 199.
98. Радченко В.П., Небогина Е.В., Басов М.В. Структурно-феноменологический подход к описанию полной диаграммы упруго-пластического деформирования // Изв. Вузов. Машиностроение, 2000. №5-6. С. 3-13.
99. Радченко В.П., Панферова Е.В. Структурная математическая модель упругопластического деформирования и разрушения металлов в одноосном случае // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 1996. Вып. 4. С. 78-84.
100. Радченко В.П., Самарин Ю.П. Влияние ползучести на величину упругой деформации слоистого композита // Механика композитных материалов, 1983. Т. 19. № 2. С. 231-237.
101. Радченко В.П., Самарин Ю.П. Влияние ползучести на обратимость упругой деформации статистически определимой стрежневой системы как целого // Прочность и надежность конструкций. Сб. научн. трудов. Куйбышев: Куйбыш. авиац. ин-т, 1981. С. 75-80.
102. Радченко В.П., Самарин Ю.П. Структурная модель стержневого типа для описания одноосной пластичности и ползучести материалов // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 109-115.
103. Радченко В.П., Шапиевский Д.В. Анализ нелинейной обобщенной модели Максвелла // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2005. № 38. С. 55-65.
104. Радченко В.П., Шапиевский Д.В. Анализ особенностей поведения обобщенной нелинейной модели Максвелла // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй Всероссийской научной конференции. Ч. 1. Самара: СамГТУ, 2005. С. 253-255.
105. Радченко В.П., Шапиевский Д.В. К построению реологической модели, учитывающей влияние ползучести на мгновенно-упругую деформацию // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007. Т. 14. Вып. 1. С. 233.
106. Радченко В.П., Шапиевский Д.В. О дрейфе упругой деформации длянелинейно-упругих материалов вследствие ползучести // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ-мат. науки, 2006. №43. С. 99-105.
107. Радченко В.П., Шапиевский Д.В. Теоремы о разгрузке для реологических нелинейно-упругих сред // Математика. Механика. Информатика. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Челябинск, 2006. С. 112.
108. Райхер Ю.Д., Русаков В.В. Теория броуновского движения в жидкости Максвелла-Фойхта // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. Часть 3. Пермь: Ин-т механ. сплошн. сред УрО РАН, 2007. С. 144-147.
109. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // Прикл. мех. и техн. физ., 2005. 46, № 5. С. 138-149.
110. Роговой А.А., Столбова О.С. Модель конечных термоупруго-пластических деформаций // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. Часть 3. Пермь: Ин-т механ. сплошн. сред УрО РАН, 2007. С .152-154.
111. Розенберг В.М. Основы жаропрочности металлических материалов. М.: Металлургия, 1973. 328 с.
112. Розовскй М.И. Ползучесть и длительное разрушение материалов // ЖТФ, Т. XXI. №11. 1951. С. 421-426.
113. Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига: Зинатне, 1989. 224 с.
114. Русинко К.Н. Теория пластичности и неустановившейся ползучести. Львов: Вища школа, 1981. 148 с.
115. Самарин Ю.П. Метод исследования ползучести в конструкциях, основанный на концепции черного ящика // Теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 3-27.
116. Самарин Ю.П. О применении теории управления к исследованию ползучести конструкций // Механика деформируемых сред. Куйбышев: Изд-во Куйбышев, ун-та, 1976. С. 123-129.
117. Самарин Ю.П. Об одном обобщенном методе разделения деформации в теории ползучести // Изв. АН СССР. МТТ, 1971. №3. С. 60-63.
118. Самарин Ю.П. Применение метода разделения деформации в теории ползучести бетона / В сб.: Механика. Новые разработки конструкций. Куйбышев: КПтИ, 1973. С. 17-21.
119. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. Куйбышев: КуГУ, 1979. 84 с.
120. Самарин Ю.П., Еремин Ю.А. Метод исследования ползучести конструкций // Проблемы прочности, 1985. № 4. С. 40-45.
121. Самарин Ю.П., Клебанов Я.М. Обобщенные модели в теории ползучести конструкций. Самара: Поволж. отд. Инж. акад. РФ-СамГТУ, 1994. 197 с.
122. Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Уравнения изометрических фазовых превращений в твердых телах с микроструктурой // Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах: Труды II международного симпозиума ОМА II. Сочи, 2001. С. 289-292.
123. Сараев Л.А., Фартушнова Е.А. Эффективные характеристики нелинейного упрочнения нестабильной фазовой структуры // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XI научной межвузовской конференции. Ч. 1. Самара: СамГТУ, 2001. С. 163-166.
124. Смирнов А.А. Молекулярно-кинетическая теория металлов. М.: Наука, 1966. 488 с.
125. Соловьев Л.А., Хачип В.Н. Сверхэластичность никелида титана // ФММ, 1974. Т. 38. Вып. 2. С. 433-439.
126. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986. 95 с.
127. Стружанов В.В., Башуров В.В. Модификационная модель Мазинга // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2007. №1(14), с. 29-39.
128. Утенькин А.А., Свешникова А.А. Влияние длительности нагрузки на деформационные свойства компактного вещества кости // Архив анатомии, гистологии и эмбриологии, 1973. Т. 64. №4. С. 14-20.
129. Филоненко-Бородич М.М., Изюмов С.М., Олисов Б.А., Кудрявцев И.Н., Мальчинов Л.И. Курс сопротивления материалов. Часть 2. М.: Гостехиздат, 1956. 539 с.
130. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970. 545 с.
131. Фрейдин А.Б. Приближение малых деформаций в теории фазовых превращений при деформировании упругих тел // Исслед. по упругости и пластич, 1999. № 18. С. 166-290.
132. Фрейдин А.Б. Равновесие, устойчивость и кинетика двухфазных деформаций упругих тел // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошных сред. Тезисы докладов Международной конференции. Саратов: Изд-во Саратовск. университета, 2007. С. 109.
133. Фрейдин А.Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел. //8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 23-29 авг,, 2001: Аннотации докладов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001. С. 512,
134. Фрейдин А.В., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. Часть 1. Основные соотношения // Изв. АН. МТТ, 1994. № 4. С. 91-109.
135. Фрейдин А.В., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. Часть 2. Несжимаемые материалы с потенциалом, зависящем от одного из инвариантов тензора деформаций // Изв. АН. МТТ, 1994. № 5. С. 49-61.
136. Хажинский P.M. О теории ползучести и длительной прочности металлов // Изв. АН СССР. МТТ, 1971. №6. С. 29-36.
137. Харт. Уравнения состояния для неупругой деформации металлов // Теор. основы инж. расчетов, 1976. №3. С. 40-50.
138. Хачин В.Н., Гюнтер В.Э., Соловьев J1.A. Деформационные эффекты и эксергия материалов с термоупругим мартенситным переходом // ФММ, 1975. Т. 40. Вып. 5. С. 1013-1021.
139. Хачин В.Н., Гюнтер В.Э., Соловьев Л.А. Неупругие эффекты и термоупругое мартенситное превращение в никелиде титана //В кн.: Материаловедение (физ. и хим. конденсир. сред.). №3. Воронеж, 1975. С. 47-54.
140. Цвелодуб И.Ю. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1991. 201 с.
141. Черных К.Ф. Комплексная нелинейная теория упругости // Успехи механики, Т. 1. №4. 2002. С. 121-161.
142. Шадрин В.В. Влияние модификации наполнителя на механические свойства резины // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. Часть 3. Пермь: ин-т механ. сплошн. сред. УрО РАН, 2007. С. 262-265.
143. Шапиевский Д.В. Структурная модель ползучести нелинейно-упругого микронеоднородного материала // Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения». Тезисы докладов. Секция №3. Москва, 2007. С. 122-123.
144. Шевченко Ю.Н., Марина В.Ю. Структурная модель среды при неизотермическом процессе нагружения // Прикладная механика, 1976. №12. С. 19-27.
145. Шестериков С.А., Локогценко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов // Механика деформируемого твердого тела. Т. 13. В сб.: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 3-104.
146. Шестериков С.А., Мельников С.П., Аршакуни А.Л. К выбору уравнений состояния при ползучести // Проблемы прочности, 1980. №6. С. 77-81.
147. Эффект памяти формы в сплавах / Под редакцией В.А. Займовского. М.: Металлургия, 1979, 472 с.
148. Янсон Х.А., Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж. Физиологическое значение изменения объема кости при деформировании // Механика полимеров, 1974. №4. С. 695-703.
149. Bazant Z.P. Theory of Creep and Shrinkage in Concrete Structures: A Precis of Recent Developments // Mechanics Today. Vol. 2. New York: Pergarnon Press, 1975. P. 1-93.
150. Bazant Z.P., Kim S.S. Can the creep curves for different loading ages diverge? // Cem. and Concr. Res., 1978. 8. №5. P. 601-611
151. Bazant Z.P. and Osman E. Double Power Law for Basic Creep of Concrete // Materials and Structures (RELEM, Paris), 1976. 9. P. 3-11.
152. Bazant Z.P. and Panula L. Practical Prediction of Creep and Shrinkage of Concrete // Structural Engineering Report № 78-3/640, Northwestern University (March 1978).
153. Bazant Z.P. and Wu S. T. Rate-Type Creep Law of Aging Concrete Based on Maxwell Chain // Materials and Structures (RILEM, Paris), 1974. 7. P. 45-60.
154. Betten J.A. Net-stress analysis in creep mechanics // Ing. Arch., 1982. V. 52. №6. P. 405-419.
155. Boyle J.Т., Spence J. Stress analysis for creep. London: Butterworths, 1983. 284 p.
156. Branson D.E., Meyers B.L. and Kripanarayanan K.M. Time-Dependent Deformation of Non-composite and Composite Prestressed Conerete Structures // Highway Research Record, № 324. 1970. P. 15-43.
157. Grossman F.W., Askby M.F. The nonuniform flow of polycrystals by power-low creep // Asta met., 1975. Vol. 23. №4. P. 425-440.
158. Currey J.D. Anelasticity in bone and echinoderm skeletons //J. Experim. Biol, 1965. Vol. 43. P. 279-392.
159. Delaey L., Krishnan R., Tus H., Warlimont H. Fermoelastisity and the memory effect associated with martensitic transformation. Parts 1-3 // Journ. Mater. Sci., 1974. V. 9. P. 1521-1538.
160. Khachin V., Solovev L. Anelastic behavior of materials during martensitic transformations // Phys. Stat. Sol.(a), 1975. V. 30. P. 671-684.
161. Lakes R.S., Saha S. Behavior of bone under prolonged loading in torsion // In: Biomech. Symp. ASME, AMD. Vol. 23. 1977. P 225.
162. Leckie F.A. Some Structural Theorems of Creep and Their Implications // Advanced in Creep Design: Applied Science Publishere. London, 1971. P. 49-63.
163. Mangin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. London: Chapman & Hall, 1993. 276 pp.
164. Murakami Y. Lattice softening, phase stability and elastic anomaly of the P-AuCuZn alloys // Journ. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. №5. P. 1350-1361.
165. Nielsen L.F. Reply to Discussions of Nielsen's Paper on the applicability of Modified Dischinger Equations // Cement and Concrete Research. 1978. 8. P. 123-128.
166. Nikamishi N. Pseudoelasticity in Au-Cd thermoelastic martensite // Phyl. Mag. 1973. V. 28. №2. P. 277-282.
167. Olver P.J. Application of Lie Groupes to Differential Equations. New York: Springer, 1968. 312 pp.
168. Owen W. Shape memory effect and applications: an overview // Shape-memory effects in alloys. N.Y.-Ld. 1975. P. 305-318.
169. Radaeyv Yu.N., Murakami S., Hayakawa K. Matematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics // Trans. Japan Soc. Mech. Eng, 1994. V60A. №580. P. 68-76.
170. Rodriguez C., Brown L. The mechanical properties of SME alloys // В кн.: The shape-memory effect in alloys. N.Y.—Ld. 1975. P. 29-46.
171. Sacamoto H., Otsuka K., Shimizu K. Rubber like behaviour in CuAINi alloys // Scr. Met., 1977. V. 11. №7. P. 607-614.
172. Samarin Y.P. System analysis for creep in material and structure // Advanced series in mathematical science and engineering. Word federation publishers company. Atlanta, Georgia. 1996. 295 c.
173. Sedlin E.D. A rheological model of cortical bone // Acta Orthop. Scand., Suppl. 83, 1965. 77 p.
174. Shape memory effects in alloys / Edited by Jeff Perkins. Plenum Press. New York. 1975. 462 p.
175. Smith J.W., Walmsley R. Factors affecting the elasticity of bone // J.Anat., 1959. Vol. 93. N 4. P. 503-523.
176. Takenchi S., Argon A.S. Steady-state creep of single-phase crystalline matter at high temperature // J. Mater. Sci., 1976. Vol. 11. №8. P. 1542-1566.
177. Tong H., Wayman C. Some stress-temperature-energy relationships for thermoelastic martensitic transformations // Scr. Met., 1974. V.8. №2. P. 93-102.
178. Wayman C., Shimizu K. The shape-memory («marmem») effect in alloys // Met. Sci. J. 1972. V. 6. №9. P. 175-185.
