Связанные сейсмодинамические задачи о совместном движении трубопровода и упругой среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Постановки краевых задач динамической теории упругости применительно к вопросам сейсмодинамики. Обзор работ по сейсмодинамике подземных конструкций

§1.1. Постановка основных задач динамической теории упругости.

§ 1.2. Обзор работ по сейсмостойкости подземных сооружений трубопроводов).

Глава 2. Теорема единственности для задач динамической теории упругости с граничными условиями смешанного типа

§ 2.1. Постановка задачи. Обобщенное решение.

§ 2.2. Теорема единственности обобщенного решения в случае смешанных граничных условий с трением.

§ 2.3. Единственность решения динамических задач для областей с угловыми точками.

§ 2.4. Жесткий контакт с трением.

Глава 3. Взаимодействие трубопровода и сейсмической волны в одномерном приближении при наличии трения на границе контакта

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Решение задачи при наличии трения на границе контакта

§ 3.3. Установившийся колебательный режим.

§ 3.4. Результаты вычислений.

В сейсмологии понимают под землетрясением не только сотрясение земной поверхности, но и процесс разрушения, нарушения сплошности Земли в некоторой области (области очага), при котором потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию колебаний.

Изучение землетрясений показало, что они связаны большей частью с накоплением упругих напряжений в тектонически-активных местах земной коры. Такого рода землетрясения называются тектоническими. К ним относятся подавляющее большинство землетрясений, в том числе и катастрофические, которые вызывают значительные разрушения. Ряд из них описан в [44], [49], [52], [64], [70]. Причиной землетрясений могут служить также вулканические процессы: извержения, взрывы газа. Такие землетрясения называют вулканическими.

Всякое землетрясение является процессом, связанным с разрушением пород и большими остаточными деформациями в Земле. Чтобы классифицировать последствия землетрясений, интенсивность сотрясений Земли в различных точках определяют по специальной шкале. В настоящее время почти повсеместно пользуются 12 балльной шкалой для определения силы землетрясений. По силе и характеру разрушений землетрясения делятся на слабые - 1-3 балла, умеренные - 4 балла, сильные - 5-7 баллов, разрушительные - 8 баллов и катастрофические - 10-12 баллов. Величина и разрушительная сила землетрясений зависят от многих факторов: механизма очага, его глубины и геологического строения местности. Характер этой зависимости сложный и по этой причине область наибольших разрушений может не совпадать с эпицентром.

Сотрясения при землетрясениях всегда носят колебательный характер, хотя колебания обычно не имеют правильного вида. Неправильные колебания в первом приближении можно усреднить гармоническими

171 колебаниями Asm-^-t, где А- амплитуда, T - период. Колебания почвы при высоких частотах, около 30-100 Гц даже при неограниченной продолжительности, как правило не вызывают повреждений обычного типа - медленного дробления материала. Как показывают наблюдения, низкочастотные землетрясения с частотами не более 10 Гц сопровождаются сильными разрушениями. Характер разрушений зависит как от силы сотрясений, так и от их продолжительности. При длительности сотрясений t= 15-20 с и более даже с относительно небольшими амплитудами А= 1-2 см возникали повреждения. Причиной сильных разрушений принято считать поверхностные волны, распространяющиеся на сотни и даже тысячи километров; эти волны имеют характерную амплитуду А=10-12 см и период колебаний Г =20 с.

При исследовании землетрясений было замечено, что немалое значение на характер и разрушительную силу сейсмического воздействия имеют как механические свойства грунтов, так и подземных коммуникаций. Разрушения от землетрясений одной и той же силы заметно отличались в зависимости от качества построек, механических характеристик грунта и характера колебаний, вызванных различными землетрясениями. Даже при слабых землетрясениях подземные трубы выходили из строя, погружаясь и оседая в рыхлом грунте.

В приведенной литературе было отмечено, что учет сейсмичности данной местности при проектировании подземных коммуникаций необходим для снижения негативных последствий землетрясений. В тех местах, где сооружения были рассчитаны на характерное количество баллов для данной местности, последствия землетрясений не были столь значительными. Так землетрясение в Сан-Франциско (1906 г.) было сильнее Мексиканского (1908), но разрушений при втором было больше, что объясняется худшим качеством построек в Мексике.

Во время Японского землетрясения 1923 года различные районы Токио пострадали неодинаково, что объясняется различием механических характеристик грунта. Хотя это землетрясение не являлось самым сильным по характеру сотрясений, но превосходило все остальные по степени разрушений крупных городов. Было разрушено свыше полумиллиона построек. Анализ последствий этого землетрясения выявил влияние характеристик грунта на характер повреждений: по сравнению с твердыми грунтами на рыхлых грунтах сейсмическое воздействие было в 3-5 раз интенсивней.

Подземные трубы при землетрясениях в большинстве случаев повреждались в результате осевого растяжения (сжатия), которое особо интенсивно проявлялось при совпадении направления сейсмической волны с осью трубопровода. При исследовании последствий Японского землетрясения (1923) было установлено, что основная волна шла в направлении с севера на юг, и большая часть трещин оказалась в трубопроводе в этом направлении. Как правило, разрушительной являлась горизонтальная компонента колебательного движения, которая обладала наибольшей амплитудой в прямой поперечной волне (фронт волны перпендикулярен поверхности Земли). Если ориентироваться на горизонтальную компоненту колебаний, а подземные сооружения в первом приближении моделировать горизонтальным стержнем, помещенным в однородную упругую среду, то влияние сотрясений на сооружение следует определять величиной (амплитудой) смещения точек поверхности по отношению к основаниям, к которым они крепятся. Эта амплитуда при известной длине сооружения будет в первом приближении, определять его деформацию. Подземные трубопроводы, туннели разрушались при определенном критическом напряжении, равном прочности материала или элементов конструкции. При этом напряжения (а соответственно и силы), возникающие при сейсмическом воздействии, определяются модулем упругости и величиной деформации.

Одной из основных задач в области сейсмодинамики подземных сооружений является использование современных методов динамической теории упругости для правильной оценки сейсмостойкости сооружений и определения оптимальных инженерных решений. В связи, с чем необходимы эффективные модели, адекватно описывающие процессы, и практические методы расчета, основанные на теории распространения волн.

Исследование взаимодействия трубопровода (стержня) и грунта (упругой среды) при реализации различных видов контактных условий на поверхности конструкции со средой, нахождение основных параметров, ответственных за целостность конструкции и прочности ее отдельных элементов в зависимости от вида воздействия, характеристик грунта и трубопровода, получение количественных и качественных оценок пригодности традиционных моделей в инженерных расчетах определило тематику настоящей работы. В ней автор предполагает рассмотреть поведение элементов конструкций в виде стержней в упругой среде при различных контактных условиях на границе взаимодействия в одномерной и полной постановке, а также исследовать единственность решений задач динамической теории упругости в этих постановках для класса обобщенных решений.

В первой главе рассмотрены постановки динамических задач теории упругости применительно к вопросам сейсмодинамики, дан обзор текущего состояния по теме исследований и изложено ее краткое содержание. Во второй главе сформулирована и доказана теорема единственности динамических задач теории упругости для граничных условий с трением в классе обобщенных функций, а также выведено следствие из теоремы в случае областей с угловыми точками и ребрами. В третьей главе рассмотрены связанные волновые задачи взаимодействия стержня и среды в одномерной постановке при учете трения на границе контакта. Исследованы зависимости перемещений и напряжений в стержне и среде от сейсмических воздействий различных типов, характеристик трубопровода и грунта. Выявлено изменение (локальное) волнового фронта вблизи трубопровода в зависимости от его параметров. Вычислены соответствующие механические характеристики; перемещения, напряжения в среде и стержне, а также растягивающие усилия в стержне. Связанные сейсмодинамические задачи в полной постановке для установившихся колебательных режимом (дозвукового и сверхзвукового) при условии полного прилипания на границе контакта решены в четвертой главе. Каждый этап исследований заканчивается кратким комментарием о полученных результатах. В заключении приводятся основные результаты данной работы. 9

Заключение

В настоящей работе были рассмотрены волновые процессы в системе "грунт-трубопровод" при различных контактных условиях на границе взаимодействия в одномерной и полной постановке, учитывающей распространение в среде продольной и поперечной волн, а также исследованы вопросы единственности решений задач динамической теории упругости в этих постановках в классе обобщенных решений. Основные результаты данной работы заключаются в следующем:

1. Изучено связанное движение подземных конструкций, моделируемых бесконечным стержнем под воздействием сейсмической волны, заданной в виде периодической нагрузки или в виде затухающей импульсной нагрузки при наличии трения на границе взаимодействия в одномерном приближении (по пространственной переменной). Установлено, что значения максимальных касательных напряжений существенно снижаются при увеличении глубины закладки для небольших глубин, для больших глубин это снижение незначительно.

2. Выявлено влияние на характеристики взаимодействия (перемещения и напряжения) и их амплитудные значения свойств грунта, параметров трубопровода и вида сейсмической волны. Полученные результаты могут быть использованы в инженерной практике для нахождения оптимальных решений. Исследовано явление резонанса для установившихся колебательных режимов (сверхзвуковом и дозвуковом).

3. Изучен характер взаимодействия, если на границе контакта заданы граничные условия с трением и условия идеального контакта. Выявлено, что для одних и тех параметров волны значения максимальных касательных напряжений при учете трения значительно ниже, чем при условии полного прилипания. Вычислены растягивающие силы, возникающие в стержне, приводящие к разрыву трубопровода в местах стыков и выходов к колодцам.

4. Рассмотрена задача о взаимодействии трубощювода и упругой среды в точной постановке для установившегося колебательного режима при условии полного прилипания. Установлено, что для малых глубин залегания трубопровода решение задачи в одномерном приближении отличается от решения задачи в точной постановке. Для больших глубин залегания решения задач практически совпадают. Для небольших глубин порядка трех диаметров поперечного сечения стержня различие в решениях более 40%, (для одномерной модели напряжения в трубопроводе меньше).

5. Изучена зависимость влияния характеристик трубопровода на параметры взаимодействия. Это влияние зависит от радиуса поперечного сечения трубопровода и материала трубопровода. Поле перемещений вблизи стержня в сейсмической волне почти не изменяется с глубиной для стержней малого радиуса. Локальное изменение на фронте вблизи границы взаимодействия заметно для стержней с радиусом поперечного сечения а > 0.3.

6. Доказана теорема единственности для динамических задач теории упругости в классе обобщенных решений при наличии граничных условий с трением и выведено следствие из теоремы для границ имеющих угловую точку или ребро.

7. Проведены численные эксперименты, подтвердившие теоретические исследования.

Полученные в настоящей работе результаты подтверждают достаточно хорошее совпадение модели с данными экспериментов и результатами, полученными ранее другими авторами [44], [45], [64]. Использование данной модели позволяет получить простые расчетные формулы и провести численное исследование по вопросу сейсмостойкости подземных сооружений для нахождения оптимальных инженерных решений.

1. Алексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Ь.Я.//Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Сб. Y. - Л.: Изд. ЛГУ, 1961.-С. 3-34.

2. Алексеев Н.А., Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я. Об основных уравнениях динамики грунта //ПМТФ. - 1963. - №2. - С.147-150.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции- М.: Наука.- 1973. - Т. П. - 294 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. - М.: Наука, 1969.-Т.1.-343 с.

5. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973. - 343 с.

6. Бородина С. И. Теорема единственности для задач динамической теории упругости с граничными условиями смешанного типа//Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. - М., 1994- №1. - С.60- 64.

7. Бородина С. И. Задача о взаимодействии трубопровода и среды при наличии трения на границе контакта//Современные проблемы математики, механики, информатики: Тез. Докл. Всероссийская науч. конф. - Тула, 2000.

8. Бородина С. И., Задача о взаимодействии трубопровода и среды при наличии трения на границе контакта//Известия Тульского Государственного Университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. - Тула, 2000. - Т.6. - Вып.2. Механика. - С.24-28.

9. Буллен К.Е. Плотность Земли. -М.: Мир, 1978. - 442 с.

Ю.Веклич Н А., Малышев Б. М. Распространение волн в упругих стержнях, находящихся в среде сухим трением .//Задачи механики твердого деформируемого тела. - М. Изд. МГУ, 1985. - С.64 - 99.

- 100

П.Веклич Н.А., Малышев Б. М. Распространение продольных волн в упругом стержне, находящемся в вязкой жидкости//Изв.АН СССР. МТТ, 1967 -№5.-С. 174-178.

12.Годунов CJC. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. -Новосибирск: Науч. кн., 1998. - xii. -267 с.

13.Гольдпггейн М.Н. Механические свойства грунтов. - М.: Стройиздат,

1979. - 304 с.

14.Дюво Г., Лионе Ж. - Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука,

1980. -383 с.

15.3амыпшяев б.в. Яковлев Ю.С. Динамические нагрузки при подземных взрывах. - Л.: Судпромгиз, 1967. -387 с.

16.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. - М.: Изд. МГУ, 1990. -310 с.

17.Ильюшин А. А., Рашидов Т.Р. О действии сейсмической волны на подземный трубопровод//йзв. АН УзССР. Сер. техн. наук, 1971. -№1. -С.35 -41.

18.Исраилов М. Ш. Динамическая теория упругости и дифракции волн. -М.: Изд. МГУ, 1992. - 204 с.

19.Исраилов М. Ш. Связанные задачи сейсмодинамики трубопровода// Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика - М., 1996- №5. -С.41-45.

20.Красников Н.Д. Динамические свойства грунтов и методы их определения. - Л.: Стройиздат, 1970. -240 с.

21. Красников Н.Д. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений из грунтовых материалов. - М.: Энергоиздат, 1981. - 240 с.

22. Купрадзе В.Д. Методы потенциалов в теории упругости. - М.: Физматлит, 1963. - 472 с.

23. Ляв А. Математическая теория упругости. - М. - Л.: ОНТИ, 1935. -674 с.

-10124. Ляхов Г.М. Основы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах. - М.: Недра, 1974. - 192 с.

25. Ляхов Г.М., Полякова Н И. Волны в плотных средах и нагрузки на сооружения. М.: Недра, 1967. - 232 с.

26. Магницкий В.А. Основы физики Земли. - М.: Геодезиздат, 1953. -290 с.

27. Малышев М.В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений. -М.: Стройиздат, 1980. - 136 с.

28.Морс Ф.М., Фешбах Р. Методы теоретической физики. Т.1. - М.: -Иностранная литература, 1958. -930 с.

29.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

30. Никитин Л.В. Динамика упругих стержней с внешним сухим трением//Успехи механики, 1988. - Т.П. -Вып.4. - С.53-106.

31.Никитин Л.В. Продольные колебания упругих стержней при наличии сухого трения//Изв. АН СССР. МТТ, 1978. - №6. - С. 137- 145.

32. Никитин Л. В. Распространение волн в упругом стержне при наличии сухого трения//Инж. ж., 1963. - Т.З. - Вып.1. - С. 126-130.

33.Никитин Л. В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. - М.: Московский лицей, 1998. - 272 с.

34.Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. - 872 с.

35.Новожилов В.В. Вопросы механики сплошных сред. - Л.: Судпромгиз, 1989.-396 с.

36.Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

37.Носов С.Е. Теорема единственности решения задач динамической теории упругости приграничных условиях с винклеровекого и импедансного типов//Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. -М., 1995,- №5. - С.66-70.

38.0лвер Ф. Асимптотика и специальные функции. - М.: Наука, 1990. -528 с.

- 102

39. Партон В.З., Берлин П И. Методы математической теории упругости. -М : Наука, 1981.-688 с.

40. Партон В.З., Перлин П И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.-311 с.

41. Петрашень Г. И. Основы математической теории распространения упругих волн//Во si росы динамической теории распространения сейсмических волн. - Л.: Наука, 1978. - Вып. XYIII. -248 с.

42. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. -М.: Наука, 1986. -328 с.

43.Райе Л ж. Механика очага землетрясения. - М.: Мир, 1982. - 217 с.

44. Рассказовский К.С. Последствия Ташкентского землетрясения. -Ташкент: Изд. ФАН УзССР, 1967. - 190 с.

45.Рашидов Т.Р. Динамическая теория сложных систем подземных сооружений Ташкент: Изд. ФАН УзССР, 1973. - 180 с.

46. Рашидов Т.Р. Колебания сооружений взаимодействующих с грунтом Ташкент: Изд. ФАН УзССР, 1975. - 202 с.

47. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. -М.: Физматиз, 1961. - 365 с.

48. Рахматулин Х.А., СагомонянАЯ., Алексеев Н.А. Вопросы динамики фунтов. - М. Изд. МГУ, 1964. - 239 с.

49. Рихтер И.Ф. Элементарная сейсмология. - М.: Иностранная Литература, 1963. - 670 с.

50. Сабодаш П.Ф., Математическое моделирование очага землетрясений// Изв. Высших учебных заведений, сер. Геодезия и аэрофотосъемка, 1996. - №4. - с. 3 - 13.

51. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. - М.: Недра, 1974. - 192 с.

52. Саваренский Е.Ф., Кирнос Д.П. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 545 с.

- 103

53. Сагомонян А. Я., Поручиков В. Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. - М.: Изд. МГУ, 1970. =118 с.

54. Слепян Л.И., Нестационарные упругие волны. - Л.: Судостроение, 1972.-374 с.

55. Слепян Л.И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

56. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.II, T.IY. - М.: Наука, 1974.

57. Смирнов В. И. О сингулярных решениях волнового уравнения и уравнений упругости/УТруды сейсмологического института, 1936. - М-Л.: Изд. АН СССР. - 30 с.

58.Смирнов В. И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний при наличии осевой симметрии// Труды сейсмологического института, 1933. - М.-Л.: Изд. АН СССР. - 49 с.

59. Соболев С.Л.// Гл. 12 в кн. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики 4.2. - М.-Л.: ОНТИ, 1937.-1000 с.

60. Соболев С.Л., Уравнения математической физики. - М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1947.-440 с.

61.Соболев С.Л., Купрадзе В.Д. К вопросу о распространении упругих волн на границе двух сред с различными упругими свойствам и//Труды сейсмологического института. - Л.: Изд. АН СССР, 1930. - №10. 2-1 с.

62. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: ГИФМЛ, 1959. -439 с.

63.Тихонов А. Н., Самарский Уравнения математической физики. - М. Наука, 1972. -736 с.

64.Уразбаев М.Т. Сейсмостойкость упругих и гидроупругих систем. -Ташкент: Изд. "Фан" УзССР, 1966. - 254 с.

65. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. - М.: Мир, 1974.-159 с.

66. Филиппов А. Н. Распространение продольных упругих волн в стержне, окруженном средой типа ВинклераУ/Вестник МГУ. Сер.1. Математика. Механика, 1983. -№1. - С.74-78.

67. Фриддендер Ф. Звуковые импульсы. - М.: Иностранная литература, 1962.-232 с.

68.Цытович НА., Гер-Мартиросян З.Г. Основы прикладной геомеханики в строительстве. - М.: Высш. Шк., 1981. - 317с.

69. Швец BJO., Л ушников В.В., Швец Н.С. Определение строительных свойств грунтов. - Справочное пособие. - К.: Будивельник, 1981. -104 с.

70. Шебалин М. К. Сильные землетрясения. - М.: Наука, 1997. - 546 с.

71. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности (курс лекций).- Новосибирск.; Изд. НГУ, 1968. - 336 с.

72.Яковлев Ю.С. Гидродинамика взрыва. - Л: Судпромгиз, 1961. - 313 с.

73. Achenbach J.D. Transient shear waves in two joined elastic quarter spaces // SLAM J. Appl. Math., 1969. - Vol.27. - №1. - p. 116-121.

74. Gurlin M.E., Toupin R.A. A uniqueness theorem for the displacement boundary-value problem of linear elastodynamics//Quart. Appl. Math., 1965. - Vol. 23.-№l.-p.79-81.

75. Hayes M., Payne L.E. On the displacement boundary-value problem of linear e 1 astodуnamiсs/'/Quart. Appl. Math., 1968. - Vol.26. - №2. - p.291 -293.

76. Knops R.J., Payne L.E. Uniqueness in classical elastodynamics//Arch. Rat. Mech. Anal., 1968. - Vol. 27. -№5. -p.349-355.

77.Knops R.J., Payne L.E. Uniqueness theorem in linear elasticity. - Berlin (a. o.), 1971.-130 p.

78. Knops R.J., Levine H.A., Rayne L.E. Non-existence, instability and growth theorems for solutions of a class of abstract nonlinear equations with

- 105appiications to nonlinear elastodynamics//Arch. Rat. Mech Anal., 1974. -Vol.55, - p.52-72.

79. Parnes R. Elastic response to a time-harmonic torsion-force acting on a bore surface//lnt. J. Solids Structures, 1983. - Vol.19. -№ 10. - p.925-934.

80. Woods R. Vibration of solids and foundations/ ASME. Ser E. J. Appl. Math., 1970. - Vol. 23. - №5. -p.901-924.