Связанные состояния в четырехфермионных моделях квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

I (а правах рукописи УДК 539.12.01

СиницкгирАнаетасия Владимировна

СВЯЗАННЫЕ.СОСТОЯНИЯ В ЧЕТЫР ЕХФ Е РМ Н О ННЫХ МОДЕЛЯХ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность: 01.04.02-теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск 1997

Работа выполнена и 1Иркутском государственном университете.

Научный руководитель: доктор фшико-математических наук

А Н. Балл

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Б.В. Серебряков

' кандидат фшнко-математических наук

C.B. Лондон

Ведущая организация:

Иныитут ядерной физики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится уЯ К^. 1997 года в /У "часов на

заседании специализированного совета Д 063.32.03 в Иркутском государственном университете, по адресу: 664 003, г. Иркутск, б. Гагарина, 20, ДОГУ, корпус 1, аудитория оЬОЗ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке .ИГУ,

Автор

¿ферат;раюелал "XV i!996 года.

Ученый секретарь совета кандидат фнчико ■• ыатемашчсских наук с- ) Б.В. Мангазеев

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы.

Интерес к проблеме связанных состояний обусловлен, в первую очередь, тем, что в квантовой хоромодинамике(КХД) адроны описыла-ются как связанные состояния кварков. В пределе высоких энергий и больших передач импульса КХД обладает свойством "асимптотической свободы" (то есть ведет себя как теория без взаимодействий). Поэтому п этой области с успехом используются вычислительные методы теории возмущений.

В области же'низких энергий константа сильного взаимодействия становится большой, и теория возмущений не. работает. Очевидно, для описания физической ситуации в этом случае требуется подобрать математически более простую модель, представляющую основные черты КХД. Считается, что КХД в нипкоонергетическом пределе феноменологически описывается четырехфермиошшми моделями.

Подходящим кандидатом на эту роль-является модель На;.,бу - Иона-Лазинио (НИЛ). В своей современной формулировке это тс,орил с квар-ковыми степенями свободы. Существенным является тот факт, что плотность лагранжиана этой модели построена с учетом симметрии КХД, которые также наблюдаются в природе. Кроме точной динамической цветовой симметрии, » КХД имеется ряд приближенных симметрии. В области ;:е! ких кварков это ароматовая 511(2) симметрия и существенная для понимания самых легких адронои киральная симметрия. Йажную роль п КХД играют такжо различные меу;чпглми нарушения этих симметрий. Модель НИЛ особенно полезна для наблюдения за тем, как это происходит. В частности, динамическая генерация ферм ионных масс, вызванная спонтанным Нарушением кирг.льной симметрии, - одна из *1ерт модели НИЛ. Если лагранжиан инвариантен относительно некоторой группы преобразований О, то по теореме Нетер существуют сохраняющиеся заряды <2, генерируемые преобразованиями С. Теорема Голдстоуна утверждает: если вакуумные средние пт некоторых из зарядов ¿¡) не равны нулю, то в спектре состояний гамильтониана должны присутствовать беэмассопые состояния. Особая роль голдстоуновской моды (для двухкпарконых ароматом это пионы,

]

для трехкнаркових - "пионный октет") также может быть явно прослежена в модели НИЛ.

И модели НИЛ предполагается, что взаимодействие между кварками и антикьарками, возникающее из сложных процессов глюонного обмена, является притягивающим, и ведет к конденсации кварк - антп-кварковых па[) в вакууме, как только л то притяжение превысит критическую точку. Другие эффекты, не играющие непосредственной роли и нарушении киралыюй симметрии, при этом не рассматриваются.

Конечно, модель ПИЛ имеет своя недостатки. Один из них со-< стоит п том, что, поскольку взаимодействие между кварками предполагается точечным но характеру, то оно не описывает конфайпмента кваркеш. Однако для обсуждения многих вопросов происхождение кои-фашшеита не должно быть существенным. Например, взаимодействие адроноц под порогом образования свободных кварков не зависит от деталей механизма образования конфайпмента. '<

Лагранжиан модели ПИЛ, инвариантный относительно преобразований 54/(2) х 5(7(2) х 1/(1), имеет вид:

С = ф,у, Щ- [(^(х)0(1))2 + (${х)п*Эф(Х))*\ (1)

Т еперь встает фундаментальная проблема извлечения из этого лагранжиана информации об адронах. Описание адронов на основе этого эффективного четырехфермионного лагранжиана связано с различными вариантами процедуры бозонизации.

Например, локальная бозонизация приводит к различным типам а -моделей, достоинства и недостатки которых хорошо известны.

Н предлагаемой работе делается попытка прямого описания связанных состояний кваркон на основе лагранллцша (1). Оуществующий подход к этой задаче основан на суммировании диаграмм релятивистской квантовой теории ноли. Классическим примером этого подхода может служить уравнение 13« ге - Солпитсра (130) (к нему же приводит и прицеп: иилок.члыкш оозопизацни/. Не касг^сь стального апплта данного полгода, заметил, чить, чю нркмое применение уравнении СО ' 1>.чря;к<'п«> со ¡н.ачи гс.чьмымч чришшпнгчы» 'Ик и 'И-ччн-мсипни ело*:-¡•ог.тяыч. /

Практическое использование этого уравнения для описания обязанных состояний, как правило, предполагает его приближенную одновременную редукцию к точнорешаемому уравнению Шредингера (или Липнмаиа - Швингера). Имея (пусть даже приближенные) спектры и волновые функции связанных состояний, "ухватывающие1' главный эффект "связанности", можно потом вычислять различные релятивистские поправки. Главной целью настоящей работы является отвег на вопрос, что для лагранжиана (1) играет роль такого точнорпшаемого уравнения. Основное приближение, которое при этом используется, -это нерелятивистское приближение, сделанное в предположении, что эффект "связанности" по своей сути имеет нерелятивистский характер. Простейший вариант возникающего при этом модельного лагранжиана имеет вид:

£(х) - *<(*) - Щ Ф„(х) + ^'(•тМ*), (2)

где изотопический индекс а = 1,2, е(р}' - энергетический спектр свободных фермионов: >

(3)

Модели (1), (2) являются неперенормируемыми с точки зрения обычной теории возмущений, поэтому при вычислении физических величин мы сталкиваемся с проблемой расходимостей интегралов в импульсном пространстве. Более того, в задачах о связанных состояниях эти расходимости возникают при формулировании определяющего условия :уществования связанного состояния и его спектра. Они порождаются сингулярностями п произведениях полевых'операторных функций и присущи любой локальной теории поля. Однако здесь устранение, возникающих бесконечностей п рамках стандартных методов перенормировки теряет смысл

В отличие от моделей сверхпроводящего типа в теории твердого гола, где имеется естественный параметр обрезания, связанный с супю-пвованием решетки неподпижных зарядов противоположного знака, тростое обрезание расходящихся интегралов п релятивистской модели

типа НЙЛ требует определенных физических обоснований. Если же в теорию не «носить дополнительных "внутренних" параметров, то, наверное, необходимо требовать от возникающих физических величин, , чтобы в пределе параметра обрезания Л, стремящегося к бесконечности, они оставались конечными.

Цель работы - построение полевой модели, допускающей точные решения и предельный переход Л -> оо, вычисление энергетических спектрон одно-, двух- и трехчастичных состояний. Нахождение волновых функций этих состояний. Обоснование этой неренормировочной процедуры и рамках теории самосопряженных расширений сингулярных операторов.

Научная новизна.

Удалось получить точные выражения для одночастичных и дыухча-стичшлх спектров и соответствующих волновых функций в неперенор-мцрусмых четырехфермионных моделях.

Устаношкчш, что в пределе параметра обрезания Л —>■ оо существуют конечные значения основных динамических величин. Таким образом показала возможность перенормировки существенно неперенормируе-мой в рамках теории возмущений модели rio крайней мере в нерелятивистском случае.

Получен о перепормировашше уравнение с фред1 ольмовым ядром на волновую функцию трехчастичного связанного состояния.

Показано, что простая регуляризация обрезанием при определенной зависимости от пего затравочных величин и наличии "тонкой подстройки" приводит к единственному самосопряженному и полуограниченному гамильтониану ь одно-, двух- и трехчастичном секторах. 1

Основные защищаемый положения.

Процедура перенормировки в " цеперенормируемои" модели контактного чегырехфермпоииого взаимодействия "токXток" с векторным TulCGM.

а Точные решения для переформированных дпухчги : ичных волновых функций сраз-оших состояний и состояний рассеяния:

1

2

С0П51

- -2 [5,(к - ч) + (~1)'<Ык + (])] + ^

Ш)

,<1)1

(95 Л)

2 „2

</2 Т г О

/с2 + Ь2'

(2тс)2 + 7 < > -Я2 4- 9я + (1 -

(5)

•(г^р^)-!^)]

—>

- (2тг2)"! Т

Ър(е) =.(у - I)2 - 1„(0) [(2т с)2 + 7 < А2 > -Я2 - (2 - 7)е2};

(б)

1-1

Л-чсо

» Точное выражение для перенормированного спектра составного голдстоуновского бозона:

ад?) I 0)^ - ^ / ^ ли- + к) - к) | 0),, ' (8)

■ (9)

б 2 д

,-р ■ 2 5

---V2.

Ш0

> Фредгольмовое интегральное уравнение на перенормиропанную волновую функцию трехчастнчных связанных состояний с различными значениями изотопспкна:

А'ГЧНгЯгФ]) - 0; ^([«Ф) - " Ж<Ъ); ^({ФЛпЧз) =Л(<Ь) + ,1(я2) - 2АШ; д{я) =

(10)

3

-<22 + о/2;

[т 6 + .(7)] [Ь - т ЯАМ = IГ ¿к к Л(к) 1п

Практическая ценность работу.

Полученные выражения для волновых функций двух- и трехчастич-ных состояний могут быть использованы и модельных вычислениях адроиных форыфакторои различных эксклюзивных процессов и для расчета ширин электромагнитных н слабых распадов.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы десять работ.

Апробация работы- Результаты, представленные и настоящей . диссертации, докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯИ и ИЯФ (г.Но-посибирск), на международных конференциях "Quantum Systems: New Trends and Methods" (Минск, 1991), "IX International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1994), "X International WorkShop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1995), "IX International Seminar QUARKS-96" (Ярославль, 1996), "Problems of Quantum Field Theory" (Алушта, 1996), "Quantum Systems: New Trends and Methods" (Минск, 199G), "XI International WorkShop. High. Energy Physics and Quantum Field Theory" (C-Пстербург, 199G).

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Содержит один рисунок и список литературы, включающий 81 ссылку. Общий объем диссертации - 113 страниц.

Во введении дается обоснование актуальности проводимых в диссертации исследований. Сформулированы основные цели диссертационной работы, дан краткий обзор ее содержания и основных результатов.

В Гласи 1 вариационным методом в представлении физических частиц рассматривается ряд четырехфермионных моделей - модель НИЛ (1), феноменологический лагранжйсШ КХД, нерелятивистская модель со скалярным взаимодействием (2). Вакуумная и одночастичнал энергии находятся как матричные элементы от оператора гамильтониана

но соответствующим состояниям. Физическим считается такое представление, который отвечает минимуму энергии вакуумного состояния, Однако при этом имеется произвол в выборе процедуры минимизации. Для третьей из рассмотренных моделей проведен анализ двухчастичного связанного состояния. Использование вариационного метода и сделанные приближения позноляют рассматривать полученные результаты как качественный анализ модели.

В Главе 2 рассматривается нерелятивистская четырехфермионная модель со взаимодействием типа J''(x)J|¡(x), где х = {х,1), ./''(ж) - фер-миопный 4-ток,

= Ф^*)«^*), 1(х) - — (ф,¡М'(х) - №а(*№(*)).

которая, помимо скалярного взаимодействия (2), содержит взаимодействие векторных токов, возникающее в нерелятивистском пределе модели (1). Соответствующий гамильтониан допускает непосредственную постановку задачи на собственное значение в каждом N - частичном секторе. Рассмотрены три различные операторные реализации, диагоналиэующие гамильтониан и связанные преобразованиями Боголюбова. Вычислены энергии вакуумного и одночастичного состояний. Проведен анализ полный исходной 5Х//(2) х 5£/д(2) х 17(1) - симметрии гамильтониана для всех трех реализаций. Прослежен механизм спонтанного нарушения и восстановления симметрии при переходе от одной из реализаций к другой. Найдены составные операторы рождения соответствующих голдстоуновских бозонов (8), удовлетворяющие соотношению: [Я,0^(0)]= 0.

В Глапе 3 исследуется двухчастичная задача на собственное зна-

\ >5

чение при конечной величине А обрезания. Найдены Точные волновые функции и энергетические спектры связанных состояний. Проведен анализ (замкнутых) уравнений Бете - Солпитера, который приводит к тем же результатам. В системе с нарушенной симметрией производится анализ спектра и волновой функции для связанного состояния, соответствующего голдстоуновскому бозону.

В Главе 4 в предположении определенной зависимости от обрезания, затравочных величин показана возможность осуществления предельного перехода Л —> оо. Дано обоснование такой процедуре перенормировки в рамках теории самосопряженных расширений. Получено выражение для перенормированной двухчастичной Т-матрицы и волновой функции связанного состояния (6).

В Главе 5 изучаются трехчастичные связанные состояния, производится классификация по изоспину и получается система уравнений на волновые функции для каждого из значений изоспина. Обсуждается самосопряженное расширение гамильтониана в трехчастичном секторе.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении произведен анализ полученного уравнения для энергии одного из двухчастичных состояний, показывающий, что это состояние является гслдстоуновской модой независимо от неличины параметра обрезания.

Основные результаты работы.

• В рамках вариационного подхода для лагранжиана Намбу - Йона-Лазинио и для феноменологического лагранжиана КХД вычислены энергетические спектры одночастичных состояний. Показано, что вариации плотности вакуумной энергии по двум различным параметрам соответствуют два типа возбуждений со своими энергетическими спектрами. Один из них - обычный спектр массивной релятивистской частицы (известное решение НИЛ). Второе же имеет линейную зависим-ость от импульса. •

Е>

• Для нерелягивистской четырсхфермионной модели со скалярным взаимодействием получены выражения для энергии одночастичного возбуждения, найдены полковая функция и масса связанного состояния двух чгигтиц, вычислена амплитуда БС. Минимизация энергии вакуума для всех трех моделей производилась по параметрам преобразования гейзенберговских полей в физические.

Такой подход, как видно из результатов во всех трех случаях, яри-

водит к неопределенности в описании: всегда имеется произвол в выборе параметров, по кот орым производится вариация. Кроме того, задача на собственное-значение может быть поставлена лишь в слабом смысле (как среднее по вакууму от соответствующих операторов), поскольку гамильтониан не является диагональным. Поэтому результаты, полученные таким способом, могут носить скорее качественный характер.

В связи с этим рассмотрен принципиально иной подход.

« Для нерелятивистской модели с четырехфермионным взаимодействием вида " ток х ток" гамильтониан был диагонализован в вакуумном, одночастичном, двухчастичном и трехчастичном секторах. Исследованы различные реализации гейзенберговских полей в фоковском пространстве, диагоналиэующие гамильтониан. При таком подходе получены значения волновых функций и энергий вакуумного, одночастичного и двухчастичного состояний.

■з Обнаружено, что исходная 30/(2) х Эи.\{'2) х 17(1) - симметрия модели нарушена в одной из трех изучавшихся реализаций. Соответствующая голдстоуиоаская мода найдена как связанное состояние из двух различных частиц, вычислена ее волновая функция.

* Проведен анализ уравнения для 'энергии этого состояния, полученного как решение задачи на собственное значение, показывающий, что этот составной бозон действительно обладает бесщеле-пым спектром как в регуляризованной, так и п перенормированной версии теории.

<з Для "неперенормируемого" четырехфермионного взаимодействия мы сформулировали процедуру перенормировки, которая является самосогласованной в каждом Лг-частичном секторе и тесно связана с процедурой построения самосопряженного расширения соответствующего кианточомеханического гамильтониана и восстановлением галнлеепской инвариантности. При этом дополнительные Граничные условия, определяющие самосопряженное расширение, играют роль условий перенормировки.

« Построена система уравнений для трехч.астичных волновых функ-

■ ций со всеми возможными значениями изотопического спина, осуществлена Фаддеевская редукция этой системы и проанализированы полученные уралнснил Фаддесва.

. « Показано, что предложенная процедура перенормировки при снятии регуляризации (обрезанием) приводит к единственным с<Шосо-пряженным расширениям в одно-, двух- и трехчастичном секторах модели и тем самым, по существу, полностью определяет (самосопряженный) гамильтониан полевой модели в терминах параметров расширения в двухчастичном секторе.

• Таким образом, найдены три унитарно-неэквивалентных операторных реализации четырехфермионного гамильтониана, в которых задача на собственные состояния может быть изучена и решена точно.

в Показано, что спонтанное нарушение симметрии и существование соответствующих голдстоуновских мод являются неотъемлемыми свойствами четырехфермионного взаимодействия "токхток" при наличии векторного тока с достаточно Широкой симметрией.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A.N. Vail, V.M. Leviant, A.V. Sinitskaya, The realization of Nambu - Jona-Lasinio type model on the physical states. - J1NR Rapid Comm. 6(57)-92, Dubna, 1992, pp. 50-5G.

2. A.N. Vail, V.M. Leviant, A,V. Sinitskaya, Solution of the Heisenberg equation by the method of dynamical mappings, JINR-E2-9Z-^97, Dubna, 1992, 24 pp.

3. A.N. Vail, S.E. Korenblit, V.M. Leviant and A.V. Sinitskaya, Analysis of one particle excitations in phenomenological models of QCD. - Proceedings of International Workshop on Quantum Systems: New Trends and Methods, ed. A.O.Barut et.al., World Scientific, 1995, pp.89-lJ6."

4. A.N. Vail, S.E. Korenblit, V.M. Leviant and A.V.Sinitskaya, Vacuum and one particle excitations in model of foui-neutrino contact interaction.

- Proceedings of IX International Work-Shop. High Energy Pliysics and Quantum Field Theory.(Zvenigorod 1991), ed. B.B. Levtchenko, Moscow State University Publishing House, 1(195, pp. 371-374.

A.N. Vail, S.E. Korenblit, V.M. Leviant and A.V.Sinitskaya, Operator realizations of eigeustates problem in nonrelativistic current - current model, - Proceedings of X International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory.(Zvenigorod 1995), eil. B.B. Levtchenko, V.l. Savrin, Moscow State University Publishing House, 199G, pp. 384-388.

6. A.V. Sinitskaya, E.V. Pavlova, Solution of the Bethe-Salpeter equations for bound states in nonrelativistic four - fermion interaction model. -Proceedings of X International. Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory. (Zvenigorod 1995), ed. B.B. Levtchenko, V.l. Savrin( Moscow State University Publishing House, 1996, pp. 339-391.

7. A.N. Vail, S.E. Korenblit, V.M. Leviant pnd A.V.Sinitskaya, Composite Goldstone modes in nonrelativistic four-fermion model. - Prof eedings of IX International Seminar QUARKS-9G (Yaroslavl' 199G), ed. by V.Matveev et. al., INR Moscow, 1996, to be published. ^ ч

8.., A.N. Vail, S.E. Korenblit, V.M. Leviant, A.B. Tnnnev and A.V.Sinitskaya, Fine-tuning renormalization and bound states in non-relativistic four-fennion model. - Proceedings of International Conference "Problems of Quantum Field Theory" (Alushta 199Ö), JJNR-E2-96-369, Dubna, 1900.

9. A.H. Валл, O.E. Коренблит, B.M. Лепиант, A.B. Танаев, A.B. Си-ницкая, Перенормировка тонкой подстройкой и связанные состойся в нерелятивистской четырехфермионной модели. - Изпехтмя Пысших Учебных Заведений. Физика, вып.4, 'Издательство Томского университета, 1997, принято к публикации.

10. A.II. Валл, С.Е. Коренблит, В.М. Левнаит, А.Б. Танаев, A.B. Синипкая, Перенормировка тонкой подстройкой и двухчастичные состояния п нерелятивистской четырехфермионной модели. - ЯФ. т. С>'). isbTri.fj, 1997, принято к публикации.