Проблемы ренормировки моделей с дираковскими спинорами в размерной регуляризации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

РГП од

1 I и На правах рукописи

2 ** НОГ, <РП7

ВЯЗОВСКИЙ Михаил Иосифович

ПРОБЛЕМЫ РЕНОРМИРОВКИ МОДЕЛЕЙ С ДИРАКОВСКИМИ СПИНОРАМИ В РАЗМЕРНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Н.ВАСИЛЬЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.И.СОКОЛОВ доктор физико-математических наук Л.Ц.АДЖЕМЯН

Ведущая организация:

Физико-технический институт имени А.Ф.Иоффе РАН, Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится " " 1997 г.

мин. на заседании Диссертационого Совета К063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-матеметических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан ".

70

Окгт}?ъръ 1997 г.

Ученый секретарь Диссертацинного Совета

С.Н. МАНИДА

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основная часть работы посвяхцена проблемам ренормировки двумерных моделей квантовой теории поля с четырехфермионным (4Г) взаимодействием в размерной регуляризации. В нецелой размерности существует бесконечное число независимых четырехфермионпых взаимодействий:

К = , п = 0,1,2,3,... ,

где = 1 и Тл"'-.^ - полностью антисимметризованное произведение 7-матриц ... Особенность ренормировки двумерных 4Г-ноделей в размерной регуляризации (/ = 2 +■ е состоит в том, что все взаимодействия Уп могут рождаться в качестве контрчленов. Поэтому мультипликативная ренормируемость гарантирована только для полной четырехфермионяой модели, включающей весь бесконечный набор 4Р-взаимодействий Уп. Даже простейшие модели Гросса-Нэве (взаимодействие и Тирринга (взаимодействие V]), замкнутые относительно ренормировки в размерности 6, — 2 благодаря своим внутренним симметриям, в размерной регуляризации й = 2 + с можно рассматривать только в рамках полной 4Б-модели. Полная 4Г-модель изучается сравнительно недавно; проведение расчетов в ней затруднено из-за сложности 7-матричных структур диаграмм с набором всех вершин Уп. До настоящего времени был известен расчет двухпетлевых РГ-функций (аномальных размерностей и бета-функций). В данной работе расчет аномальной размерности поля удалось продвинуть на порядок. Кроме технических трудностей, при рассмотрении полной 4Р-модели возникают также вопросы теоретического характера. В данной работе подробно рассматривается вопрос об эквивалентности ренормировок 4Г-модели в схемах с размерной регуляризацией (1=2 + е, когда число независимых 4Г-пзаимодействий бесконечно, и с каким-нибудь двумерным обрезанием, когда это число конечно.

Еще один важный с теоретической и практической точек зрения вопрос касается 2+ е-разложений критических индексов кирального фазового перехода в [/^-симметричной модели Гросса-Нэве (ГН). Эти разложения строились в предположении (оказавшемся неверным) мультипликативной ренормируемости модели ГН в размерности д. = 2 + е. В данной работе показано, как нужно строить

2 + е-разложения в модели ГН в отсутствие мультипликативной ре-нормируемости.

Другой проблемой, затронутой в диссертации, является проблема вычисления аксиальной аномалии в размерной регуляризации. Общеизвестно, что работа с аксиальными токами и другими киральными величинами в теориях со спинорными полями в размерной регуляризации наталкивается на трудности, связанные с определением матрицы 75 в нецелой размерности. Эта проблема обсуждается очень давно, существует множество рецептов обращения с 75, но все они имеют определенные недостатки. Поэтому надо стремиться не употреблять символ 75 в тех случаях, когда этого можно избежать. В данной диссертации приведен пример того, как это можно сделать при расчете аксиальной аномалии в квантовой электродинамике с размерной регуляризацией й = 4-2е. Предлагаемый метод расчета, основанный на обобщении киральных преобразований на произвольную размерность, не требует использования символов 75 и е^иХр в нецелой размерности.

Целью диссертации является исследование ренормировки полной четырехфермионной модели в размерной регуляризации с£ = 2 + £, а также анализ аксиальной аномалии в квантовой электродинамике с размерной регуляризацией (I — 4 — 2е на основе идеи продолжения киральных преобразований в произвольную размерность.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана эвивалентность ренормировок полной двумерной четырехфермионной теории в схемах с размерной и двумерной регуляризацией.

2. Выполнен расчет аномальной размерности поля в полной двумерной четырехфермионной модели с трехпетлевой точностью.

3. Показано, что для модели Гросса-Нэве, не ренормируемой мультипликативно в размерной регуляризации с? = 2 + е, тем не менее, имеют смысл 2 + £-разложения.

4. Предложен метод пертурбативного вычисления аксиальной аномалии в квантовой электродинамике без использования сим-

волов 75 и £1Ш\р в размерной регуляризации. Вычислена двух-петлевая аксиальная аномалия в КЭД в рамках схемы МБ.

Апробация работы.

Полученные в диссертации результаты докладывались на семинаре сектора теории диэлектриков и полупроводников ФТИ РАН, Санкт-Петербург, 1997 г.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трех научных работах.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении очерчен круг проблем, которые затрагиваются в диссертации, и дан краткий обзор литературы по этим проблемам.

Глава 1 посвящена проблеме ренормировки двумерных четы-рехфермионных моделей с размерной регуляризацией.

В этой главе рассматривается полная С'ч-симмстричная четы-рехфермионная модель в размерности И = 2 + 2е, действие которой имеет вид: ^

п=0

где у дираковеких спиноров ф, ф подразумевается "изотопический" индекс а— 1,..., /V, по которому идет суммирование во всех формах 1/>•••?/>• Эта теория содержит бесконечное число параметров (зарядов) дп, и ее ренормированные, например, в схеме МБ функции Грина зависят от всех этих зарядов. В размерности й — 2 в действии остаются только вклады "младших" взаимодействий 1^,1,2, поскольку "старшие" взаимодействия У„ (п > 2), содержащие антисимметризацию по п > 2 векторным индексам, обращаются в ноль. Поэтому в любой двумерной схеме ренормировки (с любым двумерным обрезанием) ренормированные функции Грина зависят только от трех "младших" зарядов до,1,2- Главным в первой главе является теоретический вопрос: как реализуется важнейший принцип эквивалентности всех ренормировочных схем в данном случае, когда

разные ренормированные теории, соответствующие одной неренор-мированной. содержат разное число параметров ? Ответ на вопрос дает сформулированное в разделе 1.1 утверждение: ренормированные в схеме МБ функции Грина полной 4Г-модели после подходящей УФ-конечной ренормировки зависят при й = 2 от всех зарядов дп посредством трех комбинаций, соответствующих трем "младшим" зарядам двумерной схемы.

В разделе 1.2 это утверждение проверяется в первом порядке теории возмущений прямым расчетом вершинных и собственно-энергетических диаграмм. В данном порядке рассматривается несколько схем УФ-конечной ренормировки, среди которых особую роль играет "симметричная" схема. Параллельно в первом порядке перепроверяются известные значения РГ-функций 4Г-модели (аномальной размерности поля и бета-функций зарядов).

В разделе 1.3 для доказательства утверждения об эквивалентности ренормировок строится новая схема вычитаний, Д-операция которой действует по стандартным правилам схемы МБ только на импульсные интегралы диаграмм, не затрагивая 7-матричные структуры. Показано, что ренормированные в новой схеме функции Грина, связанные конечной ренормировкой с ренормированными в схеме МБ, зависят при <1 = 2 только от новых "младших" ренор-мированных зарядов д'0 ¡¡. Эти величины являются УФ-конечными функциями всех ренормированных зарядов д„ схемы МБ и могут играть роль комбинаций зарядов, от которых зависят ренормированные функции Грина. Важным свойством новой схемы ренормировки (соответствующей "симметричной" схеме раздела 1.2) является сохранение двумерных симметрий.

Раздел 1.4 посвящен проекционным соотношениям. Так называются равенства, выражающие при (I = 2 "устранимые" ренормированные составные операторы взаимодействия п > 2 (эти операторы "по-наивному" обращаются в ноль при 6 = 2, но, фактически, не равны нулю из-за УФ-расходимостей) через младшие операторы К, о = 0,1,2. В этом разделе показано, что данные соотношения могут быть получены как следствия основного утверждения раздела 1.1.

Глава 2 посвящена исследованию свойств РГ-функций полной четырехфермионной модели в размерности (1 = 2 + 2е.

В разделе 2.1 выводятся формулы, связывающие значения РГ-функций в схеме МБ и в "симметричной" схеме ренормировки, введенной в первой главе, во втором порядке теории возмущений: две цетли для бета-функций и три петли для аномальной размерности. Одновременно выполняется прямая проверка в указанном приближении независимости при= 2 от старших зарядов дп (п > 2) "симметричных" апомальной размерности и бета-функций младших зарядов $д12 (это свойство является следствием аналогичного свойства функций Грина).

В разделе 2.2 приведен полный расчет трехпетлевой апомальной размерности поля в "симметричной" схеме, основанный на свойстве этой схемы сохранять двумерные симметрии. Вместе с полученными формулами связи РГ-функций в разных схемах это дает значение аномальной размерности в полной четырехферммонпой модели в схеме МБ с трехпетлевой точностью.

В разделе 2.3 обсуждается смысл 2+е-разложений критических индексов г) и V в модели Гросса-Нэве, которая не замкнута в размерной регуляризации (I = 2+2г и, поэтому, должна быть рассмотрена в рамках полной 4Р-модели. Показано, что полная модель имеет фиксированную точку "типа Гросса-Нэве" д, = {д„+, п = 0,1,2,3,...} с <?о» ~ -1 9ь* — 0(53) > 1), значения РГ-функций в которой по обычным правилам определяют нужные 2 + е-разложения. Ранее выполненные расчеты 2 + г-разложений, таким образом, оказываются верными только в начальных порядках по е (до г4 для г) и б"3 для и).

Глава 3 посвящена вычислению аксиальной аномалии в безмассовой квантовой электродинамике (КЭД).

Отправной точкой являются введенные в разделе 3.1 преобразования спинорных полей гр,ф, естественным образом обобщающие обычные хиральные преобразования в размерности 6 = 4 на произвольную размерность й, причем без использования символов 75 и Далее для таких преобразований выводится тождество Уорда, имеющее вид — На, где - канонический нетеров ток, соответствующий рассматриваемым преобразованиям (А = ~ мультииндекс). Тождество Уорда показывает, что симметрия явно нарушена в размерной регуляризации е? = 4 - 2е, причем нарушающий оператор оказывается "устранимым" в размерности (1 = 4,

так как он содержит ашисимметризованное произведение пяти 7-матриц.

Раздел 3.2 посвящен ренормировке составных операторов, входящих в тождество Уорда. Отсутствие символов 75 и е^ур позволяет произвести ренормировку в схеме МБ по обычным правилам, после этого можно перейти к пределу £ = 0. При подстановке в тождество Уорда проекционного соотношения, выражающего при £ = 0 ренор-мированный "устранимый" оператор Лгл через обычные операторы, получается соотношение

для ренормированных в схеме МБ операторов, где Р1Ш - тензор на-пряженностей КЭД, а скобки [• • •] в правой части обозначают полную антисимметризацию по индексам. Сворачивая обе части с четырехмерным тензором срцърз/н, получаем обычное соотношение для аномалии дивергенции аксиального тока с некоторым коэффициентом а, который должен быть вычислен.

В данной главе коэффициент а вычисляется в схеме МБ с двух-петлевой.точностью двумя способами: в разделе 3.3 - по выражению через коэффициенты проекционного соотношения для Л^, а в разделе 3.4 - методом ренормгруппы. Оба способа дают одно и то же значение а, причем оно содержит нетривиальный двухпетлевой вклад.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Для удобства чтения диссертации ряд выкладок и справочных формул вынесен в три приложения.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

А.Н.Васильев, М.И.Вязовский, С.Э.Деркачев, Н.А.Кивель, 06 эквивалентности ренормировки в обычной и размерной регуляризации для 2В-четырехфермионных взаимодействий. Теоретическая и Математическая Физика 107 (1996), 27-46

2. А.Н.Васильев, М.И.Вязовский, С.Э.Деркачев, Н.А.Кивель, Трех-петлевой расчет аномальной размерности поляуф в полной11ц-симметричной четирехфермионной модели. Теоретическая и Математическая Физика 107 (1996), 359-371

3. М.И.Вязовский, Н.А.Кивель, Анализ аксиальной аномалии с помощью проекционной техники в размерной регуляризации. Теоретическая и Математическая Физика 109 (1996), 372-380