Метод динамических отображений в нерелятивистских моделях квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Построение собственных состояний

1 (ЛГ,@) - модель

1.1 Определение физических полей.

1.2 Одночастичные состояния

1.3 Двухчастичные собственные состояния.

1.4 Состояния рассеяния

1.5 Связанные состояния.

2 Модель контактного четырехфермионного взаимодействия типа "ток 0 ток".

2.1 Описание модели.

2.2 Задача на собственное значение гамильтониана.

2.3 Общее решения для двухчастичной задачи.

3 Перенормировка тонкой подстройкой.

3.1 Одночастичный сектор.

3.2 Двухчастичный сектор.

3.3 Условия перенормировки.

Глава 2 Динамическое отображение

1 Динамическое отображение для (./V, О) - модели.

1.1 Построение динамического отображения.

1.2 Связь коэффициентных функций с волновыми функциями рассеяния.

2 Динамическое отображение для модели контактного че тырехфермионного взаимодействия типа " ток ® ток".

2.1 Операторная реализация и пространство Фока.

2.2 Свойства динамического отображения.

2.3 Построение динамического отображения.

Глава 3 Сравнение динамических отображений

1 Динамическое отображение на in - поля

2 Пространство представления.

3 Условия совместности отображений.

4 Проверка условий совместности.

Глава 4 Линеаризация гейзенберговских уравнений

1 Модель нерелятивистского четырехфермионного взаимодействия без векторного тока

2 Представления континуальным интегралом. 101 Заключение 108 Литература

Актуальность проблемы.

Хорошо известно, что решения уравнений Гейзенберга (ГУ) являются операторными обобщенными функциями, произведение которых плохо определено уже в самих уравнениях, тогда как корректное определение полевых уравнений подразумевает знание качественных свойств их решений, которые, в свою очередь, весьма сингулярным образом зависят от вида этих уравнений. Так как динамические уравнения квантовой теории поля пишутся для гейзенберговских операторов, а наблюдаемые величины выражаются их матричными элементами по физическим состояниям, построенным над физическим вакуумом в терминах операторов физических полей, то любую квантово-полевую задачу можно, таким образом, свести к проблеме определения гейзенберговских операторов в представлении физических полей [1], [2]. Выбор такого представления неединственнен и определяется дополнительными условиями, связанными со свойствами пространства интересуемых физических состояний. Именно такая постановка задачи рассмотрена в настоящей работе. Проблема состоит в построении соответствующего динамического отобра-ЭЮСИНЯ гейзенберговских полей (ГП) на физические поля в виде степенного ряда нормальных произведений физических полей - разложения Хаага.

Выход, предлагаемый стандартной теорией возмущений, основан на предположении, что произведение гейзенберговских полей может быть определено через произведение исходных свободных полей, а решения гейзенберговских уравнений могут быть построены по теории возмущений в представлении взаимодействия в пространстве Фока перенормированных (по теории возмущений) свободных полей [3], [4], [5]. Однако, на этом пути сложно иметь дело с неперенормируемыми (по теории возмущений),

5— в частности, 4-х фермионными моделями и получать описание связанных состояний, спонтанного нарушения симметрии и других непертурбатив-ных эффектов. Само же существование представления взаимодействия оказывается запрещено теоремой Хаага.

Здесь представляется более уместным более последовательное использование процедуры канонического квантования, применимой, в равной степени, как к перенормируемым, так и к неперенормируемым (по теории возмущений) теориям поля.

Такая попытка предпринята в настоящей работе. Развиваемый подход, использует идею разложения Хаага или "динамического отображения" , сводящего произведения гейзенберговских полей к нормально упорядоченным произведениям выбранных определенным образом физических полей, и тесно связан с процедурой "одевания" Л.Д. Фаддеева. Подобные методы берут начало в работах Р.Хаага [6], Л.Д.Фаддеева [7], М.И.Широкова [8]-[10], и др. [11], и развивались А.С.Шварцем [12], Х.Уме-дзавой с сотрудниками [1], и О.В.Гринбергом [13]. Проблема придания смысла гейзенберговскому полю распадается, таким образом, на две части.

Первая часть состоит в выборе представления коммутационных соотношений, в пространстве которого гамильтониан являлся бы самосопряженным оператором. Для этого достаточно построения операторной реализации Ф(х, ¿о) ==> ¿о)] начальных гейзенберговских полей

Ф(х,^о) через начальные физические поля ^(х, £о) = ф[А], которая, с одной стороны, была бы "как-то" согласована с одновременными каноническими (анти) коммутационными соотношениями ((КАС), ККС) как для гейзенберговских Ф(х,£), так и для физичеких полей а, с другой стороны, должна быть ассоциирована с определенной операторной реализацией для заданного функционалом полей Ф(х,£) гамильтониана

6—

Н{Ф(х,£)} Я [А], приводящей к единственному стабильному вакууму 10) и стабильному одночастичному состоянию | 1, к) с определенным спектром Е{к). Это позволяет, во-первых, в качестве базиса для построения сепарабельного гильбертова пространства представления использовать фоковское пространство, натянутое на вакуум и прямые произведения собственных одночастичных состояний полного гамильтониана, и последовательно определять в нем динамику 2,3,.п - частичных возможных собственных состояний полного гамильтониана, избегая трудностей связанных с теоремой Хаага. Во-вторых, поскольку рассматриваемый полный гамильтониан по определению не зависит от времени, он имеет один и тот же вид в терминах гейзенберговских и начальных полей, а сами гейзенберговские поля получаются простым сдвигом по времени начальных полей, генератором которого является полный гамильтониан.

Таким образом, физические поля, - это, по определению, одночастич-ные поля, построенные по выбранному вакууму и одночастичному спектру полного гамильтониана, собственные для его квадратичной кинетической части и "максимально" диагонализующие его в высших секторах, если только таковые имеются.

Выделяются два существенно различных выбора начального момента времени ¿о? приводящих, соответственно, к принципиально различным наборам физических полей:

Фаддеев, Широков) £0 = 0 : операторное начальное условие (8) ИтФ(х,*) = Ф№(х.О)] {■0[Л]} = полное пространство Фока нет дополнительных полей для связанных состояний н<йн0{А} + н1{А}, (**

Гринберг, Умедзава) —оо : неоператорное начальное условие (w) bmja I Ф(х,*) - ^in(x,f) I b) = 0 неполное пространство Фока необходимо новое поле Vin для каждого связанного состояния H Н0{Агп} + H0{Vin}+! ., (*)

Здесь | а), | 6) произвольные нормируемые состояния; А-операторы рождения, уничтожения физических состояний; (w) и (s) отмечают слабые и сильные (операторные) равенства соответственно.

В то время, как для релятивистски ковариантных моделей наличие такой операторной реализации, по видимому всегда, означает или сильную (операторную), или слабую (на матричных элементах), эквивалентность ее какой либо свободной теории поля (*), диагональные операторные реализации вида (**) с требуемыми свойствами всегда существуют, по крайней мере для нерелятивистских (нековариантных) моделей типа Ли, рассматриваемых в диссертации. Причем, как показано в главе 1, для них оказывается возможным, ценой "спонтанного" нарушения одной из внутренних симметрий, объединить в одном поле и операторы рождения и уничтожения; для фермионов такая операторная реализация может даваться, например, преобразованием Боголюбова, изменяющим "глубину дираковского подвала" для отдельных компонент фермионного поля.

Другой характерной чертой вторично квантованных теорий для систем с бесконечным числом степеней свободы, также тесно связанной с теоремой Хаага, является наличие в теории унитарно неэквивалентных представлений ККС для операторов рождения и уничтожения частиц.

8—

Действительно, наличие сюрьективного отображения любого континуума, например отрезка [0,1], на множество {| щ, п2,.)}, (п € базисных векторов пространства состояний квантовой системы, в представлении чисел заполнения, позволяет считать {| П2,.)} континуумом, т.е. множеством, которое не может быть использовано в качестве базиса сепарабельного гильбертова пространства. Понятно, что выбор произвольного счетного подмножества из множества {| пх,п2,.)} даст нам желаемый базис, однако существенная неоднозначность подобного выбора как раз и приводит к существованию представлений, унитарно неэквивалентных в том смысле, что вектора одного представления не будут являться линейной суперпозицией векторов другого. Это обстоятельство кардинально отличает рассматриваемую ситуацию от ситуации, возникающей в квантовой механике, с ее сепарабельным пространством состояний. Требование единственности вакуума выделяет представления Фока, в которых просто контролировать самосопряженность (гамильтониана), но оно не является, вообще говоря, необходимым.

Возможность вырождения вакуумных состояний приводит к спонтанному нарушению симметрии и появлению в теории голдстоуновских бозонов. В отсутствие фундаментальных скалярных полей нарушение осуществляется динамически и проявляется через ненулевые вакуумные средние операторов соответствующих составных состояний, - фермионные конденсаты. Заметим, что интерпретация голдстоуновских бозонов, как обычных связанных состояний сталкивается с определенными трудностями. В релятивистской теории, это, - безмассовость и, следовательно, отсутствие для них системы покоя, т.е. отсутствие системы центра масс для составляющих частиц. Казалось бы, в нерелятивистской теории поля, где условие равенства нулю энергии голдстоуновского бозона при нулевом импульсе легко удовлетворяется обычным нерелятивист

9— ским спектром, никаких проблем с ним быть не должно. Однако, при детальном рассмотрении выясняется, что, как связанному состоянию с нулевой энергией связи при нулевом угловом моменте, ему нет места и среди обычных нормируемых решений уравнения Шредингера с произвольным короткодействующим потенциалом.

Поскольку разложение Хаага должно содержать всю информацию о динамике системы, допускающей спонтанное нарушение симметрии, то возникает естественный вопрос: Как наличие голдстоуновских состояний может проявляться в коэффициентных функциях динамического отображения гейзенберговских ферми полей на шредингеровские физические поля, составляющие оператор рождения голдстоуновского бозона? В обычном подходе (О.Гринберга и Х.Умедзавы [13], [1]) динамическое отображение строится для произведения гейзенберговских полей в одной точке (которое, вообще говоря, плохо определено), путем введения дополнительного асимптотического скалярного (т)-поля, имеющего ненулевое вакуумное среднее и интерпретируемого как поле голдстоуновского бозона.

В данной работе показано, что в динамическом отображении на шредингеровские физические поля голдстоуновской моде отвечает константное слагаемое в коэффициентной функции при соответствующем трехопе-раторном произведении полей в разложении Хаага.

Вторая часть проблемы состоит, таким образом, в построении соответствующего динамического отображения гейзенберговских полей на физические в виде степенного ряда нормальных произведений физических полей (разложения Хаага):

Ф„(х,*) = Фв(х,*0) =» ^ {Т1 Мх, ¿о)]} ^ {ТЦА}} , которое, как показано в данной работе, для Ь- локальных взаимодействий, в случае конечных ¿о? решает проблему доопределения произведения гейзенберговских полей путем фиксации (только в гамильтониане!) процедуры одновременного упорядочения гейзенберговских полей, однозначно связанной с хорошо определенным нормальным упорядочением физических полей. Операторная реализация Ф(х, to) ¿о)] играет, очевидно, роль начального условия к этой задаче.

Несмотря на внешнюю формальную простоту и, казалось бы, по сути технический характер, эта часть проблемы, как показывает ее обсуждение в третьей главе данной работы, уже для одной и той же модели требует отдельного рассмотрения для различных динамических отображений и может порождать принципиальные ошибки даже в серьезных монографиях по КТП.

Поскольку, в терминах асимптотических in — (out) полей полный гамильтониан, по определению, выглядит в слабом смысле как свободный (**) [4], то, казалось бы, естественно выбрать эти поля в качестве физических. Такой подход, тесно связанный с S- матричной постановкой задачи рассеяния, является господствующей парадигмой в квантовой теории поля уже на протяжении многих лет. Трудность его, однако, состоит в том, что именно при наличии связанных состояний полный набор асимптотических in — (out) полей оказывается шире полного набора гейзенберговских (или шредингеровских) полей и является заранее неизвестным [1]! В частности, не известны ни спектры связанных состояний, фигурирующих в этом асимптотическом гамильтониане (-*), ни само их количество. Это приводит к необходимости путем специальной "самосогласованной" процедуры вводить в динамическое отображение дополнительные in(out) - операторы связанных состояний, что обусловленно изначальным несохранением ККС (КАС), (неполнотой набора изначально известных физических полей), и позволяет согласовать ККС для гейзенберговских и физических т{ри£) - полей [1]. Выбор же конечного значения для ¿о не требует введения дополнительных полей, непосредственно приводя к полному их набору, согласованному с ККС(КАС) для гейзенберговских полей.

Данная проблема приобретает особую остроту в КХД, где физические кварки, если и существуют, то не могут быть получены из затравочных кварковых полей по теории возмущений. Это побуждает в данной работе выбрать в качестве физических полей шредингеровские поля, совпадающие с гейзенберговскими при £ = Ц — 0.

Как уже было упомянуто, в основу рассмотрения положены нерелятивистские полевые модели типа Ли: (./V, ©)-модель и модель контактного четырехфермионного взаимодействия типа "ток 0 ток". Если анализ первой модели интересен лишь с точки зрения демонстрации метода динамических отображений на примере хорошо изученой теоретико-полевой конструкции, то вторая модель интересна также и своим физическим содержанием. Она включает основные ультрафиолетовые расходимости релятивистской полевой модели, связанные с сингулярным характером взаимодействия. Однако, сохранение (при соответсвующей диагонализа-ции) числа частиц позволяет явно реализовать фоковское пространство и перевести проблему на язык потенциальной теории. Среди возможных приложений этой модели можно указать низкоэнергетический предел квантовой хромодинамики (КХД), и теории сверхпроводящего типа в физике твердого тела.

Цель работы.

Развитие непертурбативного метода динамических отображений в не-перенормируемых нерелятивистских моделях квантовой теории поля путем последовательного использования процедуры канонического квантования, получение явных решений для гейзенберговских полей в терми

12— нах шредингеровских физических полей и выяснение смысла коэффициентных функций динамического отображения и их связей с волновыми функциями рассеяния, связанных и голдстоуновских состояний.

Научная новизна.

В диссертации впервые продемонстрирована эффективность метода динамического отображения на шредингеровские физические поля при решении как самих ГУ, так и задачи о рассеянии и связанных состояниях в нерелятивистских моделях КТП со спонтанным нарушением симметрии.

Положения выносимые на защиту:

• Явные выражения для первых коэффициентных функций динамического отображения гейзенберговских полей на шредингеровские поля как в нерелятивистской (Л/-, 0)-модели, так и в неперенорми-руемой модели четырехфермионного контактного взаимодействия типа "ток® ток", допускающей спонтанное нарушение симметрии.

• Связь между точными волновыми функциями двухчастичных состояний и коэффициентными функциями динамического отображения гейзенберговских полей на шредингеровские (физические) поля.

• Условия унитарной эквивалентности динамических отображений гейзенберговских полей на шредингеровские и асимптотические физические поля.

Метод линеаризации уравнений Гейзенберга с помощью динамического отображения на шредингеровские физические поля.

Замкнутые выражения для нормального символа функционала динамического отображения гейзенберговского поля на физические поля,

13— для коэффициентных функций его нормальной формы и их производящего функционала в виде функционального интеграла по фазовому пространству для (iV, ©)- модели и нерелятивистской модели 4-х фермионного взаимодействия.

Апробация работы.

Результаты, представленные в настоящей диссертации докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯИ и ИЯФ (г. Новосибирск), на международных семинарах "X International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1995), "XI International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Санкт-Петербург, 1996), IX International Seminar QUARKS-96 (Ярославль, 1996), на международных конференциях "Problems of Quantum Field Theory" (Алушта, 1996), "Quantum Systems: New Trends and Methods" (Минск, 1996), "XXV Зимней школе ИТЭФ" (Мосва 1997), Байкальской школе по фундаментальной физике "Астрофизика и физика микромира" (Иркутск 1998).

Публикации.

Результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в 7 работах [14] - [20].

Содержание работы.

Диссертация состоит из Введения, 4-х глав и Заключения, содержит 117 страниц. Список литературы включает 75 наименований.

Заключение

Резюмируя, отметим, что развиваемый в рамках диссертации подход имеет следующие отличительные моменты:

• Использование шредингеровских полей в качестве физических соответствует постановке операторных начальных условий уравнениям Гейзенберга в отличие от неоператорных условий при использовании в качестве физических асимптотических in — out полей. Соответствующее динамическое отображение непосредственно связано с задачей на собственные значения и отвечает операторной диагона-лизации гамильтониана в отличие от его диагонализации в слабом смысле на ¿п-полях.

• В отличии от большинства подходов к проблеме связанных состояний, основанных на исследовании решений уравнений Бете-Солпитера и Швингера-Дайсона, здесь решается задача (частичной) диагонализации полного Гамильтониана путем непосредственного построения его собственных состояний методом динамических отображений.

В этом подходе получены следующие результаты:

• На примерах различных моделей теории поля показано, что эффективным средством анализа связанных состояний, в том числе и в неперенормируемых теориях, является динамическое отображение на соответственно подобранные шредингеровские поля (to = 0), которые и выбираются в качестве физических полей. Такой выбор представляется физически более адекватным проблеме связанных состояний, поскольку для них взаимодействие никогда не "выключается". Он оказывается, также, наиболее экономным и дает единую трактовку как связанных состояний так и состояний рассеяния в терминах коэффициентных функций динамического отображения.

• Показано, что коэффициентные функции такого динамического отображения непосредственно определяют волновые функции рассеяния, волновые функции связанных состояний и состояний с бесщелевым энергетическим спектром (состояний Голдстоуна), содержат детальную информацию о динамике системы, и, таким образом, дают решение как Б-матричной задачи рассеяния, так и проблемы связанных (стационарных), так и квазистационарных состояний. Причем, можно получить замкнутые уравнения на низшие коэффициентные функции (например, двухчастичные) и при наличии несохраняющих число частиц (начиная с трех) "плохих" - флукту-ационных членов высшего порядка.

• В рамках этого подхода, в некоторых решаемых случаях показана возможность "естественной" линеаризации гейзенберговских уравнений, позволяющая получить замкнутые функциональные выражения для гейзенберговских полей в терминах физических полей.

Благодарности.

Автор от всего сердца хочет поблагодарить своих коллег и соавторов: В.М.Левианта, Д.В.Наумова и А.В.Синицкую за длительное сотудниче-ство и ценные советы.

110

Следует также добавить, что эта работа появилась на свет исключительно благодаря постоянному участию и поддержке научных руководителей диссертанта: доцента, кандидата физ.-мат. наук С.Э.Коренблита и профессора, доктора физ.-мат. наук А.Н.Валла, которым автор выражает искреннюю и глубокую признательность и благодарность.

-ill

1. H.Umezava, H.Matsumoto, M.Tachiki, Thermo Field Dynamics and Condensed States, North - Holland Publishing Company 1982.

2. Greenberg O.W., Virtues of The Haag Expansion in Quantum Field Theory, Preprint 95-99, University of Maryland, 1995, 29 p.

3. Hepp K., Theorie de la renormalisation, Springer-Verlag, 1969, 255 p. (Хепп К., Теория перенормировок, Москва, Наука, 1974, 256 стр.)

4. Silvan S.Schweber, An Introductin to Relativistic Quantum Field Theory, Petrson & Co., 1961.(имеется перевод: С.Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, Изд. иностранной литературы, 1963.)

5. Г.В.Ефимов, С.Н.Неделько, Неэквивалентные представления и фазовая структура ((f)A)d теории поля.

6. Г.В.Ефимов, Нелокальные взаимодействия квантованных полей. Москва, Наука: 1977.

7. Haag R., Dan Vidensk К., On quantum field theories, Selsk. Mat-Fys. Medd. 29 N 12, 1955, pp.1-37.

8. Фаддеев JI.Д., О разделении эффектов самодействия и рассеяния по теории возмущений, Докл. Акад. Наук СССР, 1963, 152, сс. 573-580.

9. Широков М.И., Квантовая теория поля: "одевание" против расхо-димостей. Препринт ОИЯИ Р2-6454, Дубна, 1972, 47 с.

10. Широков М.И., "Одевание" и теорема Хаага, Препринт ОИЯИ Р2-7210, Дубна, 1973, 13 с.

11. Вишинеску М., Широков М.И., Процедура "одевания" в теории поля по методу возмущений и расходимости. Препринт ОИЯИ Р2-8148, Дубна, 1974, 15 с.

12. Fivel D.I., Solution of the Lee model in all sectos by dynamical algebra, Journ.Math.Phys., 11, 1970, pp. 699-705.

13. Шварц А.С., Математические основы квантовой теории поля, Москва, Атомиздат, 1975, 368 с.

14. Greenberg O.W., Study of a model of quantum electrodynamics, Preprint PP-00-020, University of Maryland, 2000, 11 p.

15. Vail A.N., Korenblit S.E., Leviant V.M., Tanaev A.B., Dynamical mapping method in nonrelativistic models of quantum field theory. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 1997, 4, No 3-4, pp.492-502, Kiev.

16. Валл A.H., Коренблит С.Э., Левиант B.M., Синицкая A.B., Танаев А.Б., Перенормировка "тонкой подстройкой" и двухчастичные состояния в нерелятивистской четырехфермионной модели, Ядерная физика, 1997, 60, вып.8, сс. 1451-1458.

17. Vall A.N., Korenblit S.E., Leviant V.M.,Sinitskaya A.V., Tanaev A.B., Fine-Tuning Renormalization and Two-particle States in Nonrelativistic Four-fermion Model, International Journal of Modern Physics A,1997, 12, No 28, pp. 5039-5052.

18. Коренблит С.Э., Танаев А.Б., Линеаризация гейзенберговых уравнений в моделях четырехфермионного взаимодействия и проблема связанных состояний, препринт Института ядерной физики им. Будкера, 2001-11, Новосибирск.из—

19. Eguchi Т., New approach to collective phenomena in superconductive models. Phys.Rev., 1976, D14, No.10, pp. 2755 - 2762.

20. Eguchi Т., Sugawara H., Extended model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. Phys.Rev., 1974, D10, pp. 4257 - 4262.

21. Greenberg O.W., Ray R., Schlumpf F., Covariant single time bound state equation. Phys.Lett., 1995, B353, pp. 284 - 288.

22. Березин Ф.А., Фаддеев JI.Д., Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. ДАН, 1961, 137, стр. 1011 - 1014.

23. Thorn С., Quark confinement in the infinite momentum frame, -Phys.Rev., 1979, D19, No.2, pp. 639 651.

24. Хакен X., Квантовая теория твердого тела, Москва, Наука, 1980, 342 стр.

25. Хуанг К., Кварки, лептоны и калибровочные поля, Москва, Мир, 1985, 382 стр.

26. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теории квантованных полей, Москва, Наука, 1984, 597 с.

27. Каменщик А.Ю., Свешников Н.А., Отсутствие свободных кварков в КХД в рамках теории возмушений, Препринт ИФВЭ 82-127 ОТФ, Серпухов 1982, 9 с.

28. Каменщик А.Ю., Свешников Н.А., Инфракрасные расходимости и асимптотические состояния кварков в квантовой хромодинамике, ТМФ, 1998, 117, N2, сс. 175-188.

29. Ф.А.Березин, Метод вторичного квантования, Наука, 1986.

30. Н.Н.Боголюбов, А.А.Логунов, А.И.Оксак, И.Т.Тодоров, Общие принципы квантовой теории поля, Наука, 1987.114—

31. Roger G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particels, McGrow-Hill Book Company, 1967.( Имеется перевод: Р.Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц, Мир, 1969.)

32. V.Volterra, Theory of Functionals and Integro-differential Equations, Dover Publications inc., 1958. ( Имеется перевод: В.Волтерра, Теория функционалов, интегральных и итегро-дифференциальных уравнений, Наука, 1982.)

33. А.А.Гриб, С.Г.Мамаев, В.М.Мостепаненко, Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях, Атомиздат, 1980.

34. Ф.С.Шварц, Математические основы квантовой теории поля, Атомиздат, 1975.

35. М.А.Евграфов, Аналитические функции, Наука, 1991.

36. Vail A.N., Korenblit S.E., Leviant V.M., at al., Few-particle bound states in nonrelativistic four-fermion model, Surveys in High Energy Physics, 1998, 13, pp.249-254

37. Швингер Ю., Частицы, источники, поля. Т.1, Москва, Мир, 1973, 502 с.

38. Швингер Ю., Частицы, источники, поля. Т.2, Москва, Мир, 1976, 475 с.

39. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, Москва, Наука, 1979, 759 с.47. де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное рассеяние, Москва, Мир, 1966, 274 с.

40. Боголюбов H.H., Логунов A.A., Оксак А.И., Тодоров И.Т., Общие принципы квантовой теории поля, Москва, Наука, 1987, 615 с.

41. Ахиезер H.H., Глазман И.М., Теория линейных операторов в гильбертовых пространствах, том I, Харьков: Вища школа, 1977, 315 стр.

42. Данфорд Н., Шварц Дж.Т., Линейные операторы, Спектральная теория, том 2, Москва, Мир, 1966, 1063 стр.

43. Ньютон Р., Теория рассеяния волн и частиц, Москва, Мир, 1969, 607 стр.

44. Липкин Г., Квантовая механика, Москва, Мир, 1977, 592 стр.

45. Фейнман Р., Хибс А., Квантовая механика и интегралы по траекториям, Москва, Мир, 1968, 382 стр.

46. Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Квантовые эфекты в интенсивных внешних полях, Москва, Атомиздат, 1980, 295 стр.

47. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Квантовая Электродинамика, Москва, "Наука", 1980, 704 с.

48. Гейзенберг В., Введение в единую полевую теорию элементарных частиц, Москва, Мир 1968, 239 стр.116—

49. Вакс Г., Ларкин А.И., О применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц. -жэтф, 1961, 40, вып.З, стр. 282 285.

50. Поляков A.M., Калибровочные поля и струны, ИТФ им. Ландау Черноголовка, 1995 сс. 1-300

51. Ефимов Г.В., Нелокальные взаимодействия квантованных полей. Москва, Наука: 1977, 367 с.

52. Вайтман А., Проблемы в релятивистской динамике квантовых полей, Москва, Наука, 1968, 184 стр.

53. Стритер Р., Вайтман А., РСТ, Спин и статистика и все такое, Москва, Наука, 1966, 251 с.

54. Бартон Г., Дисперсионные методы в теории поля, Москва, Атомиз-дат, 1968, 391 с.

55. Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. Москва, Мир: 1976, 423 с.

56. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг Хорн Р., Хольден X., решаемые модели в квантовой механике, Москва, Мир, 1991, 568 стр.

57. Kolokolov I.V., Yelkhovsky A.S., Schwinger terms as a source of gauge anomaly in hamiltonian approach, INP Preprint 87-103, Novosibirsk, 1987.

58. Vladimirov A.A., On the origin of the Schwinger anomaly, JINR Preprint E2-89-39, Dubna, 1989.

59. Рочев В.E., Уравнение Бете-Солпитера и функциональный формализм квантовой теории поля. Труды V Школы молодых ученых "Квантовая теория поля и физика высоких энергий", Москва, МГУ, 1990, сс. 126-146.

60. Rochev V.E., Saponov P.A., The four-fermion interaction in D=2,3,4: a nonperturbativ treatment, Preprint IHEP 96-109, Protvino 1996, pp.l-16.

61. Петрина Д.Я., Иванов С.С., Ребенко A.JL, Уравнения для коэффициентных функций матрицы рассеяния, Москва, Наука, 1979, 295 стр.

62. Васильев А.Н., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике, ЛГУ, Ленинград, 1976, 294 стр.

63. Колоколов И.В., Функциональное интегрирование и динамика модели Гейзенберга при высоких температурах, жэтф, 1986, 91, вып. 12, сс.2313-2318.

64. Korchemsky G.P., Quantum geometry of Dirac fermions. Int.Jour.Mod.Phys.A, 1992, 7, No2, pp.339-380.

65. Менский M.В., Группа путей, измерения, поля, частицы. Москва, Наука, 1983, 318 с.

66. Попов В.Н., Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, Москва, Атомиздат, 1975, 256 с.