Непертурбативные решения в моделях четырехфермионного взаимодействия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1 {М, О) - модель

1 Физические поля и собственные состояния

1.1 Определение физических полей.

1.2 Одночастичные состояния.

1.3 Двухчастичные собственные состояния.

1.4 Состояния рассеяния.

1.5 Связанные состояния.

2 Динамическое отображение на шредингеровские поля.

2.1 Построение динамического отображения.

2.2 Связь коэффициентных функций с волновыми функциями рассеяния.

3 Сравнение динамических отображений.

3.1 Динамическое отображение на гп - поля.

3.2 Пространство представления.

3.3 Условия совместности отображений.

3.4 Проверка условий совместности.

4 Выводы.

Глава 2 4-х фермионное взаимодействие

1 Частично диагонализуемые модели.

1.1 Операторная реализация и пространство Фока.

1.2 Свойства динамического отображения.

2 Контактные четырехфермионные модели.

2.1 Диагонализация и физические поля.

2.2 Линеаризация гейзенберговских уравнений.

3 Высшие коэффициентные функции.

3.1 Приведение к нормальной форме.

3.2 Производящий функционал.

4 Выводы. лава 3 Функциональные представления и релятивистские модели.

1 Условия линеаризации.

2 Представления континуальным интегралом.

2.1 Нерелятивистский случаи.

2.2 Релятивистский случай.

2.3 Взаимодействие киральных фермионных полей.

2.4 Модель Тирринга.

3 Проблема связанных состояний.

4 Выводы. 112 лава 4 Неэквивалентные представления и симметрии.

1 Мотивировка модели и нерелятивистский предел.

2 Симметрии модели.

3 Преобразования Боголюбова и диагонализация.

4 Спонтанное нарушение симметрии.

4.1 Конденсаты и алгебра квазиспина.

4.2 Обобщения квазиспиновой алгебры.

4.3 Переход к "адронному" базису.

5 Выводы.

Глава 5 Двухчастичные состояния и перенормировка тонкой подстройкой.

1 Голдстоуновские бозоны и галилеевская инвариантность.

2 Перенормировка тонкой подстройкой.

2.1 Одночастичный сектор.

2.2 Двухчастичный сектор.

2.3 Другие расширения.

2.4 Физические условия перенормировки.

3 Выводы.

Глава 6 Теория перенормировок как Теория расширений.

1 Элементы теории расширений.

1.1 Основные определения.

12 Расширения в гильбертовом пространстве.

1.3 Дельта-потенциал в теории расширений.

1.4 Расширения в пространства Понтрягина.

2 Голдстоуновская мода "против" теории расширений.

2.1 Регуляризация и перенормировка для резольвенты.

2.2 Резольвента в теории расширений.

3 Выводы.

Г'лава 7 Трехчастичные связанные состояния в 4-х фермионной модели.

1 Трехчастичный сектор для QQQ"Kaнaлa.

2 Трехчастичный сектор для ААА-камала.

3 Решение уравнений Фаддеева для связанных состояний с нулевым полным угловым моментом.

4 Выводы. 198 Заключение 200 Приложения 205 А Коэффициентные функции динамического отображения. 205 В Операторная форма Фурье-преобразования. 207 С Нормировка "подменяюш;их" операторов. 208 В Интегралы, детерминанаты, комбинаторика. 210 Литература

Основные сокращения и обозначения

КЭД), КХД- квантовая (электро) хромо/динамика НЙЛ~ Намбу-Йона-Лазинио (модель)

КАС) ККС- канонические (антж) коммутационные соотношения ГУ гейзенберговские уравнения ГП- гейзенберговские поля ЭМП- электромагнитное поле

БС- Бете-Солпитера (уравнение, амплитуда, матричный элемент) БКШ- Бардина-Купера-Шриффера (модель) х,у,2- трехмерные вектора координат; V-- вектор скорости р, q, к, 1, г, 8, к- вектора импульсов к), Е(к)- "голый" и физический одночастичные спектры Ел, £'2(Р,к)- двухчастичные спектры (главы 1-5) ш, и/или М- "голые" и/или перенормированные массы Са/з, €32 = 1, - антисимметричный тензор (главы 2, 4, 5) ер, = 1, - вектор Маркова-Юкавы

глава 3) ie, € —> +0, - малая мнимая добавка

глава 3) €ОД2 ~ коэффициенты разложения (5.16)

глава 5) ФА(ж)- гейзенберговские ферми-поля

Фа(А)- физические (пробные) ферми-поля (главы 2, 3, 4) 11л(х)- биспинорное ферми- поле

глава 4) Н[ф](<)- заданный исходный гамильтониан

Щфj{t), Н{А}-' гамильтониан в диагональной и/или в нормальной форме |- эрь.штово сопряжение (главы 1, 2, 3, 4)

ААк), Ад (к)- операторы рождения и уничтожения физических полей АА(к,*), af (к, *)-гейзенберговские оперторы Ф{ч\р)" поле билинейного источника (главы 2, 3) ф{х) - грассмановы поля

глава 3) ф(А{х)— компоненты кирального физического поля

глава 3)

ФАд(к), ААд'АПМА(к)а/?- волновые функции в импульсном представлении фдА(х.)-- волновые функции в координатном представлении (главы 5, 6)

6А(х = 0) I—-у / 7г—гг = 7г-А = —- — регуляризация обрезанием Л {27гу б-д-А V*

Р- оператор импульса

С- оператор (генератор) преобразования Боголюбова

глава 4) лал~ составной оператор (голдстоуновского бозона) (главы 4, 5) 5ф(а:), JА¡,{x) гейзенберговские токи (главы 2, 3, 4)

Зф{х), з'АфА{х), jф{x)- токи физических (пробных) полей (главы 2, 3) 7'', а, матрицы Дирака и их комбинации (главы 3, 4) комплексное, операторное, матричное сопряжение (главы 4, 5, 6) Т— замыкание оператора или замыкание области

глава 6) J- комплексное сопряжение

глава 6) а±(х)- дефектные элементы

глава 6) фт- вектора пространства 'Нщ, т > О

глава 6) Кт{х)~ резольвента оператора Т

глава б) метрический тензор пространства Понтрягина

глава 6) обобщенные дефектные элементы из пространства Н-п

глава 6) ф)- абстрактный бра-вектор произвольного пространства

глава 6) 1А]- вектор-столбец пространства Понтрягина

глава 6)

Общая характеристика и актуальность работы.

Фундаментальной теоретической проблемой современной квантовой физики являются механизмы формирования связанных состояний и перестройки вакуума в различных, в том числе неперенормируемых моделях квантовой теории поля (КТП). Непертурбативная природа связанных состояний в квантовой хромодинамике (КХД) и в физике конденсированного состояния вызывает многочисленные попытки развития непертурба-тивных методов в КТП, нацеленных прежде всего на получение явных не-пертурбативных решений соответствую пхих теоретических моделей [1 .

В частности, модели с 4-х фермионным взаимодействием естественно возникают при решении широкого класса задач, как в теории элементарных частиц, так и в теории конденсированных сред. Они используются для описания таких непертурбативных эффектов, как спонтанного нарушения симметрии и режима низкоэнергетической адронизации в КХД, или возникновения ш;ели в спектре сверхпроводника. Популярным примером является модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ), [2] -[10], первоначально возникшая еще до появления концепции кварков, как теория эффективного взаимодействия нуклонов.

В современной формулировке - это модель с кварковыми стспсняАш свободы, плотность лагранжиана которой построена с учетом наблюдаемых в природе симметрии КХД, где, кроме точной динамической - цветовой симметрии, имеется ряд приближенных симметрии. В секторе самых легких кварков это ароматовая изотопическая 311 (2) и тесно связанная с ней киральная 5(7А(2) х5Г/д (2) симметрии, признанные существенными для понимания свойств самых легких адронов. Модели контактного четырех фермионного взаимодействия оказываются особенно полезны для выявления механизма нарушения этих симметрии, в частности, динамической генерации фермионных масс, вызванной спонтанным нарушением кйральной симметрии.

Попытки построения математически корректной но физически содержательной теории на основе 4-х фермионного взаимодействия с помощью теории возмущений и/или метода Тамма-Данкова предпринимались еще Гейзенбергом [И] и Ландау [12].

Известно, однако, что к неперенормируемым контактным взаимодействиям типа НИЛ не могут быть применены подходы и оценки на базе методов обычной теории возмущений: вычисления на основе 4-х фермион-ных моделей сталкиваются с "размножающимися" ультрафиолетовыми расходимостями интегралов по 3-х или 4-х мерному импульсному пространству. Эти расходимости интерпретируются, как правило, путем введениея параметра обрезания Л, что не только ограничивает область применимости модели [7], но и является не вполне корректной математической процедурой.

В 4-х фермионных моделях теории конденсированного состояния реальный фермион всегда движется при температуре Г > О в более или менее известной, реальной среде либо из таких же как он фермионов, либо в решетке с более или менее равномерно распределенным зарядом противоположного знака, что приводит к естественному обрезанию либо на энергии Ферми, либо на дебаевской частоте, замораживающих Л. В то же время, простое обрезание расходящихся интегралов в полевых моделях типа НЙЛ требует дополнительных математических предписаний и их определенного физического истолкования. Если же допустить возможность самосогласованного описания эффективным контактным че-тырсхфсрмионным взаимодействием области низкоэнсргстичсской адро-низацжи, то, по видимому, следует избегать внесения заранее дополнительных "больших внутренних параметров" в такую, "неизлечимо" нерелятивистскую теорию и потребовать от основных возникающих физических характеристик, чтобы они оставались конечными в пределе Л оо. Другими словами, необходимо указать естественный механизм "размерной трансмутации" нефизического для данной области энергий параметра Л в наблюдемые физические величины.

Оказывается, что такой механизм и математическая природа "непере-нормируемых" ультрафиолетовых расходимостей вскрываются в рамках теории расширений: сильная сингулярность полевого взаимодействия в этих моделях не допускает построения корректного квантовомеханиче-ского гамильтониана в Гильбертовом пространстве. Поэтому гамильтониан в каждом К-частичном Фоковском секторе должен рассматриваться в рамках предписаний, основанных на теории самосопряженных расширений симметрических операторов [13], [14], в том числе, с выходом в пространства с индефинитной метрикой [15], например, в пространства Понтрягина [16]-[25]. Как указано в [15], только таким путем можно уйти от тривиального нульзарядного решения [12] в этих моделях.

С этой точки зрения весьма привлекательны оказываются нерелятивистские контактные 4-х фермионные модели, которые в рамках теории расширений допускают наличие точных аналитических решений в трехмерном пространстве, в одно- и двух- частичном секторе. Эти решения, в свою очередь, позволяют исследовать и трехчастичный сектор, и могут послужить основой как для изучения механизмов бозонизации и конденсации, так и для возможных релятивистских обобщений в духе [26].

Следует отметить, что предлагаемые здесь точно решаемые в двухчастичном секторе полевые модели контактного взаимодействия с участием векторных токов приводят к сильно сингулярным парным потенциалам, которые в современной теории расширений проявляются как локальные и, в тоже время, сепарабельжые возмЛтдения конечного ранга, содержащие конечное число произвольных параметров расширения, имеющих ясный физический смысл.

Таким образом, контактное 4-х фермионнос полевое взаимодействие может оказаться физически даже более содержательным, и, в то же время, более предсказательным чем популярное нелокальное сепарабельное 4-х фермионное взаимодействие, допускающее бесконечно параметрический произвол 271-Г30

Описание адронов на основе эффективного 4-х фермионного лагранжиана обычно связано с различными вариантами процедуры бозониза-ции. Например, локальная бозонизация [31]-[33] приводит к различным типам сигма - моделей [34] - [45], достоинства и недостатки которых хорошо известны. Другой существующий подход к этой задаче основан на суммировании диаграмм для 2-х фермионной (четырехточечной) функции Грина в релятивистской КТП, что по сути эквивалентно решению уравнения Бете-Солдитера (БС) [46], к которому, фактически, приводит и метод билокальной бозонизации [47]-[60].

Не вдаваясь в детальный анализ этого подхода, заметим лишь, что прямое применение уравнения БС сопряжено со значительными принципиальными и техническими сложностями [46], [61], [62], [63]. Поскольку, по образному выражению Эддингтона, "электрон вчера и протон сегодня не могут образовывать связанного состояния", практическое использование этого уравнения для описания связанных состояний, даже с простым лесничным ядром, предполагает (за редкими исключениями [63], [64]) ту 47], или иную [65]-[69] (приближенную) одновременную редукцию его к точно решаемому и, как правило, нерелятивистскому уравнению Шре-дингсра (или Липпмана-Швингера). Лишь имея такие явные (хотя и приближенные) спектры и волновые функции связанных состояний, уже описывающие, однако, главный - непертурбативный эффект "связанности", можно затем вычислять различные релятивистские поправки на запаздывание, отдачу и т.д. [70], [71]. Для позитрония, например, роль такого точно решаемого уравнения играет уравнение Шредингсра с ку-лоновским потенциалом [73], По существу, все известные точные решения в КЭД, как самих уравнений БС в лесничном приближении (в том числе [63], [64]), так и их одновременных (квазипотенциальных) аналогов [74], являются тем или иным способом релятивизации все того же нерелятивистского кулоновского решения для атома водорода [72]. С другой стороны, масштаб собственно квантовополевого процесса е+е~ -аннигиляции, - комптоновская длина волны электрона, в КЭД в 137 раз меньше боровского радиуса соответствующего связанного состояния. Такая иерархия масштабов позволяет, с одной стороны, при определении связанного состояния, в первом приближении пренебречь его аннигиля

II II цией, а, с другой стороны, позволяет не отличать точечную аннигиляцию связанных е+е~ от аннигиляции свободных [70], [73]. Полагая, что, при подходящем выборе "диагонализующих конституентов", эта качественная картина формирования связанных состояний должна так или иначе воспроизводиться в любой квантовой теории поля, неизбежно приходим к заключению, что они формируются, в первую очередь, "упругими" вкладами, содержапщми одинаковое число операторов рождения и уничтожения "диагонализуюпщх конституентов", а не аннигиляцион-ными (флуктуационными) членами в ее гамильтониане, изменяюпщми число этих частиц.

Си с» "1—' с» другой стороны, хорошо известно, что решения уравнений 1 ейзен-берга являются операторными обобщенными функциями, произведение которых уже в самих уравнениях плохо определено, тогда как корректное определение уравнений поля подразумевает знание качественных свойств их решений, которые, в свою очередь, весьма сингулярным образом зависят от вида этих уравнений [75]-[80] (далее всюду й — 1):

•9,*„{х,1) = [*.(х,1) ,Н{Ф}] =Л?! (0.1)

Подход стандартной теории возмуш;ений основан на предположении, что произведение гейзенберговских полей может быть определено через произведение исходных свободных полей, а решения гейзенберговских уравнений могут быть построены по теории возмущений в представлении взаимодействия в пространстве Фока перенормированных (по теории возмущений) свободных полей [76], [81]. Однако, на этом пути сложно иметь дело с неперенормируемыми (по теории возмущений), в частности, 4-х фермионными моделями и получать описание связанных состояний и указанных выше непертурбативных эффектов, а само существование представления взаимодействия оказывается запрещено теоремой Хаага.

Поэтому, здесь представляется более уместным более последовательное использование процедуры канонического квантования [76], [79], [82], применимой, в равной степени, как к перенормируемым, так и к непере-нормируемым (по теории возмущений) сингулярным теориям поля.

Такая попытка предпринята в настоящей работе. Развиваемый подход, использует идею разложения Хаага или "динамического отображения" , сводящего произведения гейзенберговских полей к нормально упорядоченным произведениям выбранных определевпым образом физических полей, и тесно связан с процедурой "одевания" Л.Д.Фаддеева. Подобные методы берут начало в работах Р.Хаага [84], Л.Д.Фаддеева [85 М.Й.Широкова [86]-[89], и др. [90], и развивались А.С.Шварцем [91 Х.Умедзавой с сотрудниками [92], и О.В.Гринбергом [94]-[96 .

Проблема придания смысла гейзенберговскому полю распадается, таким образом, на две части.

Первая часть состоит в выборе представления коммутационных соотношений, в пространстве которого гамильтониан являлся бы самосопряженным оператором [91]. Для этого достаточно построения операторной реализации (0.2) начальных гейзенберговских полей Ф(х, ¿0) через начальные физические поля А(х, Ло) = л[л], которая, с одной стороны, была бы "как-то" согласована с одновременными каноническими (анти) коммутационными соотношениями ((КАС), ККС) как для гейзенберговских Ф(х,А), так и для физичеких полей а, с другой стороны, должна быть ассоциирована с определенной операторной реализацией для заданного функционалом полей Ф(х, л) гамильтониана: приводящей к единственному стабильному вакууму |0) и стабильному одночастичному состоянию | 1,к) с определенным спектром £'(к) [91]:

Я[Д] 10) = Уи;о 10); Аа{\а) 10) = 0; V - объем пространства; (0.6) [Я, Ал(к)] |0) = Е{к)А1{к) |0) = Е(к) I 1,к) = (Я - | 1,к>. (0.7)

Это позволяет, во-первых, в качестве базиса для построения сепара-бельного гильбертова пространства представления использовать фоков-ское пространство, натянутое на вакуум и прямые произведения собственных одночастичных состояний полного гамильтониана, и последовательно определять в нем динамику 2,3,.п - частичных возможных соб

0.2) (0.3)

0.4)

Н{Ф(х,л)} = фЯ[А],

0.5) ственных состояний полного гамильтониана, избегая трудностей связанных с теоремой Хаага [75]-[83]. Во-вторых, поскольку рассматриваемый полный гамильтониан по определению не зависит от времени, он имеет один и тот же вид в терминах гейзенберговских и начальных полей, а сами гейзенберговские поля получаются простым сдвигом по времени начальных полей, генератором которого является полный гамильтониан.

Таким образом, физические поля, - это, по определению, одночастич-ные поля, построенные по выбранному вакууму (0.6) и одночастичному спектру полного гамильтониана (0.7), собственные для его квадратичной кинетической части и "максимально" диагонализующие его в высших секторах, если только таковые имеются.

Выделяются два сзчцественно различных выбора начального момента времени ¿0? приводяпщх, соответственно, к принципиально различным наборам физических полей:

Гринберг, Умедзава) Iq —со : (Фаддеев, Широков) ¿0 = 0; неоператорное начальное условие операторное начальное условие w) \\mja I t(x, t) - ф!4х, t)\b) = 0 (8)11тФ(х,Л) = Л1ф(х.О) фт[Л{п]} = неполное пространство Фока ф[А]} = полное пространство Фока необходимо новое поле Vin для каждою отсутствие дополнительных полей нового связанного состояния для связанных состояний

И Ho{Ain} + Йо{ЦЛ+? .,(*) НШ%{А} + Н1{А},

Здесь I а), | 6) произвольные нормируемые состояния; А-операторы рождения, уничтожения физических состояний; (w) и (s) отмечают слабые и сильные (операторные) равенства соответственно.

Диагональные операторные реализации с требуемыми свойствами (0.5)-(0.7) вида (ick) всегда существуют, по крайней мере, для нерелятивистских (нековариантных) моделей типа Ли [76], [92]. Причем, как показано в главе 4 настоящей работы, для них оказывается возможным, ценой спонтанного нарушения одной из внутренних симметрии, объединить в одном поле и операторы рождения и уничтожения; для фермионов такая операторная реализапия (0.2) может даваться, например, преобразованием Боголюбова (4.15), изменяющим глубину "дираковского подвала" для отдельных компонент фсрмионного поля.

Для релятивистски ковариантных моделей наличие такой операторной реализации, по-видимому всегда, означает или сильную (операторную), или слабую (на матричных элементах), эквивалентность ее какой либо свободной теории поля (а).

При построении теории возмущений в представлении взаимодействия 76], [81], предполагается, что в момент ¿0 = О представление ККС для гейзенберговских полей можно выбрать совпадающим с фоковским представлением для свободных полей фЛЛУ Однако, для поля флл"А аллл , содержащего вместе операторы и рождения Алала и уничтожения Аал'> это запрещено непосредственно теоремой Хаага [82], если только полный гамильтониан не совпадает со свободным гамильтонианом этих полей.

Столь жесткая совместимость процедуры квантования с релятивистской ковариантностью, - фактически, только на свободных теориях поля, побуждает отказаться либо от явного соблюдения этой ковариантности при описания связанных состояний как составных объектов в квантовой теории поля, либо, так или иначе, пожертвовать все же точной операторной диагонализуемостью полного гамильтониана (смотри главу 3). тт и и и и

Другой характерной чертой вторично квантованных теорий для систем с бесконечным числом степеней свободы, также тесно связанной с теоремой Хаага [84], является несчетность базиса в пространстве допустимых квантовых состояний и, как следствие, наличие в теории унитарно неэквивалентных представлений ККС для операторов рождения и уничтожения частиц [92], [83], в том смысле, что базисные вектора одного представ,ления не яв,ляются линейной суперпозицией базисных векторов другого представления. Требование единственности вакуума (0.6) выделяет представления Фока, в которых просто контролировать самосопряженность (гамильтониана), но оно не является, вообще говоря, необходимым.

Возможность вырождения вакуумных состояний приводит к спонтанному нарушению симметрии и появлению в теории голдстоуновских бозонов. В отсутствие фундаментальных скалярных полей нарзтпение осуществляется динамичкски и проявляется через ненулевые вакуумные средние операторов соответствующих составных состояний,- фермионные конденсаты. Заметим, что интерпретация голдстоуновских бозонов, как обычных связанных состояний сталкивается с определенными трудностями. В релятивистской теории это - безмассовость и, следовательно, отсутствие для них системы покоя, т.е. отсутствие системы центра масс для составляющих частиц. Казалось бы, в нерелятивистской теории поля, где условие равенства нулю энергии голдстоуновского бозона при нулевом импульсе легко удовлетворяется обычным нерелятивистским спектром, никаких проблем с ним быть не должно. Однако, при детальном рассмотрении выясняется, что, как связанному состоянию с нулевой энергией связи при нулевом угловом моменте, ему нет места и среди обычных нормируемых решений уравнения Шредингера с произвольным короткодействующим потенциалом, удовлетворяющим условиям теоремы Левинсона [98]. Проявлением точечного характера эффективного потенциала 4-х фермионного взаимодействия, формирующего годстоуновское состояние, можно считать, в частности, то, что компто-новская длина волны этой частицы значительно больше ее характерного размера и ее волновая функция имеет характер дельта-функции [52]-[55]. Как показано в главах 5, 6, для достаточно сильно сингулярного точечного потенциала в теории расширений открывается новая возможность интерпретации такой голдстоуновской моды, как собственного решения в расширенном пространстве состояний с индефинитной метрикой.

Отображение одного представления ККС на другое, вообще говоря, унитарно неэквивалентное первому, не является, вообще говоря, изоморфизмом [99]. Однако, в случае, когда одно из этих представлений есть представление гейзенберговских полей в произвольный момент времени 1, а другое, - представление физических полей в фиксированный момент времени ¿0? такое отображение носит название динамического отображения [92]. Так как динамические уравнения квантовой теории поля пишутся для гейзенберговских операторов, а наблюдаемые величины выражаются их матричными элементами по физическим состояниям, построенным над физическим вакуумом в терминах операторов физических полей, то любую квантово-полевую задачу можно, таким образом, свести к задаче определения гейзенберговских операторов в представлении физических полей. Выбор этого представления неединственнен и определяется дополнительными условиями, связанными со свойствами пространства интересуемых физических состояний, В отсутствие сколь нибудь полного описания всех возможных представлений ККС [82], [93], в общем случае, остается либо деформировать исходный гамильтониан, отбрасывая в нем "плохие" - несохраняющие число частиц (флуктуационные [81]) члены, либо, предположив существование представления Ф(х,Ао) с нужными свойствами (0.3)-(0.7) (но, возможно, с неединственным вакуумом), сосредоточиться на следствиях такого способа квантования, связанных непосредственно лишь с видом функционалов Ф[А(х,А)] и А[А] [92], [102]. Такая постановка задачи рассмотрена в первых трех главах настоящей работы.

Вторая часть проблемы, таким образом, состоит в построении соответствующего динамического отображение гейзенберговских полей на физические в виде степенного ряда нормальных произведений физических полей (разложения Хаага):

4>„(х, I) = е-"('-'") ФДх, 1„) е-* "(*-«») Щ {Р,а Щх, к)]} = Ил {АЦА]} ,

0.8) которое, как показано в данной работе, для I- локальных взаимодействий, в случае конечных решает проблему доопределения произведения гейзенберговских полей путем фиксации л(только в гамильтониане!) процедуры одновременного упорядочения [гейзенберговских полей, однозначно связанной с хорошо определенным нормальным упорядочением] физических полей. Операторная реализация (0.2) играет, очевидно, роль начального условия к этой задаче.

Несмотря на внешнюю формальную простоту (0.8) и, казалось бы, по сути технический характер, эта часть проблемы, как показывает ее обсуждение в первой главе данной работы, уже для одной и той же модели требует отдельного рассмотрения для различных динамических отображений и может порождать принципиальные ошибки даже в серьезных монографиях по КТН [92].

В недавних работах Гринберга [94]-[96], вслед за Умедзавой и др. [92 сделана интересная попытка создания на основе динамического отображения на "гп"- поля эффективного вычислительного метода непертур-бативного анализа в квантовой теории поля. Его преимупз;ества обусловлены тем, что соответствующие коэффициентные функции отвечают

II II ^ минимальному" сходу с массовой поверхности лишь по одной из частиц, автоматически соответствуют связным графам и дают одновременно трехмерное и ковариантное описание, не сталкиваясь с проблемой относительного времени, в отличие от Бете-Солпитеровского подхода. Появление дополнительных т — {ои) операторов связанных состояний {•к) обусловлено несохранением ККС в случае слабых начальных уело

ВИЙ и позволяет как раз согласовать ККС для гейзенберговских и асимптотических полей [92]. Поскольку, в терминах этих асимптотических полей полный гамильтониан, по определению, выглядит в слабом смысле как свободный [81], то, казалось бы, естественно выбрать эти поля в качестве физических. Такой подход, тесно связанный с S- матричной постановкой задачи рассеяния, является господствующей парадигмой в квантовой теории поля уже на протяжении многих лет. Трудность его, однако, состоит в том, что именно при наличии связанных состояний полный набор асимптотических in — (out) полей оказывается шире полного набора гейзенберговских (или шредингеровских) полей и является заранее неизвестным [92]! В частности, не известны ни спектры связанных состояний, фигурирующих в этом асимптотическом гамильтониане {-к), например, вида (1.93), ни само их количество. Эта проблема приобретает особую остроту в КХД, где физические кварки, если и существуют, то не могут быть получены из затравочных кварковых полей по теории возмущений [100], [101]. Это побуждает в данной работе выбрать в качестве физических полей шредингеровские поля, совпадаюпще с гейзенберговскими при ¿ = ¿0 = 0.

Предлагаемую здесь концепцию пробных физических полей, как "диа-гонализуюпщх конетитуентов", можно, таким образом, рассматривать как попытку синтеза известной концепции квазичастиц [97] и концепции асимптотических in—, (out—) полей [79], [80].

Цели работы.

• Развитие пепертурбативного метода динамических отображений для неперенормируемых моделей четырехфермионного взаимодействия путем последовательного использования процедуры канонического квантования.

• Выяснение смысла коэффициентных функций динамического отображения на шредингеровские поля с последующим использованием их для решения задачи о рассеянии и связанных состояниях в конкретных моделях КТП.

• Получение явных решений для гейзенберговских полей в терминах физических полей.

• Построение и исследование 4-х фермионных полевых моделей, допускающих точные решения и предельный переход Л -> оо,

• Построение последовательной процедуры перенормировки для непе-ренормируемых (в обычном смысле) моделей четырехфермионного взаимодействия на языке Л— обрезания.

• Обоснование этой процедуры перенормировки в рамках теории самосопряженных расширений с выходом в пространства с индефинитной метрикой.

• Качественное описание легких адронов, как связанных состояний кварков на основе таких моделей 4-х фермионного взаимодействия. Первоочередной целью здесь является ответ на сакраментальный вопрос Э.Ферми: "Что же для этой задачи щрает роль атома водорода?"

Поэтому основное из используемых при этом приближений, - это нерелятивистское приближение, сделано в предположении, что, при подходящем выборе "конституентов", диагонализуюпщх гамильтониан (см. ниже), искомый эффект "связанности" по своей сути должен быть одновременным [47]-[60] и сохраняться в соответствующем нерелятивистском пределе.

По этой же причине в основу рассмотрения положена нерелятивист

II /л II ская полевая модель со взаимодействием типа ток 0 ток , которая, при наличии взаимодействия векторных токов, содержит основные ультрафиолетовые расходимости релятивистской полевой модели, связанные с сингулярным характером взаимодействия. Однако, сохранение (при подходящем выборе диагонализуюпщх "конституентов") числа частиц позволяет явно реализовать фоковское пространство и перевести проблему на язык потенциальной теории.

Второе, неявно используемое здесь предположение, состоит в том, что

II II радиус взаимодействия для этих диагонализуюшдх конституентов и их комптоновская длина волны считаются (как и для тяжелых кварков) значительно меньше характерного масштаба конфаймента КХД. То есть, при определении их связанных состояний конфаймент не учитывается, их 4-х фермионное взаимодействие считается контактным, а соответствую-пщй потенциал, - точечным.

Научная новизна.

1. В диссертации впервые построены точные операторные решения двухчастичного сектора для нерелятивистской ЗВ модели 4-х фер-мионного взаимодействия с участием векторных токов, со спонтанным нарушением симметрии, для полей, содержащих как операторы рождения так и уничтожения. Получен положительный ответ на вопрос о существовании связанных состояний в этой модели в пределе Л ->• схэ.

2. Дано обоснование соответсвующей процедуры перенормировки " тонкой подстройкой" в рамках теории самосопряженных расширений с выходом в пространства состояний с индефинитной метрикой путем явного построения подходящей редукции пространства Понтрягжна.

3. Установлена связь голдстоуновской степени свободы с дополнительными компонентами этого пространства.

4. На этой точно решаемой модели удалось проследить непосредственный предельный переход различных совокупностей унитарно неэквивалентных гильбертовых пространств когерентных состояний кварковых пар в пространства когерентных состояний различных "адронов", и соответствуюший ему переход от унитарно неэквивалентных представлений "кварковых" К АС к представлениям "адронных" ККС.

5. Путем аналитического и численного анализа обнаружено, что трех-частичные связанные состояния этой модели в Ефимовском случае А практически сразу выходят на соответствующий экспоненциальный асимптотический режим.

6. На примерах различных моделей теории поля показано, что эффективным средством анализа связанных состояний, в том числе и в неперенормируемых теориях, является динамическое отображение на соответственно подобранные шредингеровские поля {Iо — 0), которые и выбираются в качестве физических полей (0.2) указанных выше "диагонализуюпщх конституентов". Такой выбор представляется физически более адекватным проблеме связанных состояний, поскольку для них взаимодействие никогда не "выключается". Он оказывается, также, наиболее экономным, поскольку дает описание как связанных состояний так и состояний рассеяния в терминах коэффициентных функций динамического отображения.

АВиртуальный уровень с нулевой энергией хотя бы в двух двухчастичных подсистемах приводит к бесконечной серии сгущающихся к нулю трехчастичньтх связанных состояний

7. Показано, что коэффициентные функции этого динамического отображения определяют собственные волновые функции полного гамильтониана, содержат детальную информацию о динамике системы, ж, таким образом, дают решение как 8-матричной задачи рассеяния, так и проблемы связанных (стационарных) и нестабильных (квазистационарных) состояний. Существенно, что можно получить замкнутые уравнения на низшие коэффициентные функции (например, двухчастичные) и при наличии несохраняюпщх число частиц (начиная с трех) "плохих" - флуктуационных членов высшего порядка. Это позволяет надеяться, что обобщение на случай релятивистского взаимодействия общего вида может быть получено на пути частичной диагонализации гамильтониана с помощью подходящего Л«(ЛЭеееского преобразования [91], "сдвигающего" плохие флуктуационные члены в высшие порядки по операторам рождения, уничтожения.

8. В рамках этого подхода, в некоторых решаемых случаях, в том числе и для релятивистских моделей, показана возможность "естественной" линеаризации гейзенберговских уравнений, позволяющая получить замкнутые выражения для гейзенберговских полей в терминах физических по,лей, аналогичные решениям 2В моделей Тир-ринга, Швингера и Федербуша [75], [80], [96 .

9. В случае одновременной релятивистской 4-х фермионной потенциальной модели В.Н. Первушина с Л- потенциальным взаимодействием [49] получена нормальная форма операторных решений для этих гейзенберговских полей в виде континуальных интегралов по траекториям в фазовом {х,р}- пространстве.

Заметим также, что в релятивистских моделях 4-х фермионного взаимодействия как для дираковских так и для майорановских фермионов на этом пути удалось получить новые одночастичные решения, отличные от известных решений НЙЛ ¡105], [106].

Положения выносимые нд защиту:

• Явные выражения для первых коэффициентных функций динамического отображения гейзенберговских полей на шредингеровские поля как в нерелятивистской (iV, 6)- модели, так и в модели четы-рехфермионного контактного взаимодействия при наличии векторных токов.

• Связь коэффициентных функций динамического отображения гейзенберговских полей на шредингеровские поля с точными волновыми фзгнкциями 2-х-частичных состояний и оператором Меллера в этих моделях.

• Условия унитарной эквивалентности динамических отображений гейзенберговских полей на шредингеровские и на асимптотические физические поля.

• Метод линеаризации уравнений Гейзенберга с помощью динамического отображения на шредингеровские физические поля.

• Замкнутое выражение для нормального символа функционала динамического отображения гейзенберговского поля на физические поля, для коэффициентных функций его нормальной формы и их производящего функционала в виде функционального интеграла по фазовому пространству для нерелятивистской модели 4-х фермионного взаимодействия и в виде Т- упорядоченной экспоненты - для (iV, в)-модели.

• Замкнутое выражение для гейзенберговского поля в виде функционального интеграла по фазовому пространству от Т- упорядоченного функционала физических полей для (3-Ь1)В моделей Гросса-Нсвье и Намбу-Йона-Лазинио, аналогичное решению 2В моделей Тирринга и Швингера.

• Замкнутое выражение для нормального символа функционала динамического отображения гейзенберговского поля на физические поля в виде функционального интеграла по фазовому пространству для различных вариантов одновременной релятивистской потенциальной модели В.Н. Первупшна с 3- потенциальным взаимодействием.

• Явное описание предельного перехода от совокупности унитарно неэквивалентных представлений "кварковых" К АС при наличии спонтанного нарушения симметрии к представлению "адронных" ККС и выражения для операторов, осуществляющих замену одной спонтанно нарушенной симметрии Зи{2) другой симметрией 311 (2).

• Математическая формулировка механизма размерной трансмутации, отвечающего перенормировочной процедуре для "неперенор-мируемых", но операторно диагонализуемых 4-х фермионных полевых гамильтонианов, путем простой регуляризации обрезанием с естественной вычитательной процедурой совместно с "тонкой подстройкой" зависимости от обрезания затравочных массы и константы связи, которая в пределе снятия обрезания выделяет единственное решение в М-частичных секторах N=0,1,2,3.

• Математическое обоснование перенормировочной процедуры "тонкой подстройкой" путем построения самосопряженного расширения соответствующих квантовомеанических гамильтонианов в каждом N-частичном секторе N=0,1,2,3, с выходом в йространства состояний с индефинитной метрикой и построения соответствующей этому расширению редукции пространства Понтрягина в двухчастичном секторе.

• Точное решение для Голдстоуновской моды и механизм его трансформации в дополнительную "дефектную компоненту" решения в теории расширений. Связь массы Голдстоуновского бозона с кинетической массой (нерелятивистских) конституентных кварков.

• Точные решения для волновых функций двухчастичных связанных состояний, состояний рассеяния и Т-матрицы для нерелятивистских 4-х фермионных полевых гамильтонианов со взаимодействием векторных токов.

• Асимптотические и численные решения для спектра и волновых функций трехчастичных связанных состояний в этой модели.

Личный вклад автора.

Вклад автора в разработку защищаемых положений и соответствзгю-шие публикации является определяюпщм.

Апробация работы.

Результаты, представленные в настоящей диссертации докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯИ и ИЯФ им. Будкера, на международных семинарах "IX International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1994), "X International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1995), "XI International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Санкт-Петербург, 1996), IX International Seminar QUARKS-96 (Ярославль, 1996), на международных конференциях "Problems of Quantum Field Theory"

Алушта, 1996), "Quantum Systems: New Trends and Methods" (Минск, 1996), "XXV Зимней школе ИТЭФ" (Мосва 1997), Байкальской школе по фундаментальной физике "Астрофизика и физика микромира" (Иркутск 1998).

Публикации.

Результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в И работах [107] - [117].

Содержание работы.

Диссертация состоит из Введения, 7 глав. Заключения и Приложения и содержит 226 страниц и 2 рисунка. Список литературы включает 189 наименований.

4 Выводы.

Таким образом, для образования трехчастичных связанных состояний в ЛАД-каналс достаточно наличия ненулевой Т-матрицы только в двухчастичном АЛ-канале, что отвечает условию тонкой подстройки i/д = 3/5. Если сопоставить фермионы Аа и Аа соответственно и,й и с? "кваркам" с конституентной массой [156] Л/дг/З тр*ш12 Л1о = 385 MeV, то из (5.8) для массы соответствующегоТолдстоуновского бозона получаем значение то = (2/5)Л1о = 154 MeV, близкое к массе пи-мезона = 140 Mev. В тоже время, "бесспиновые ржи-мезоны" являются ближайшими двухчастичными связанными состояниями с подходящими квантовыми числами, в частности, нулевым орбитальным моментом / = О и J=: 1,0 187], [188], и их масса Шрли — 2MQ фиксирует параметр 6: Т A b c:d 0. Параметр Т можно теперь зафиксировать, сопоставляя массе основного

Ol n.

01 2 3456789 10 состояния к — 1 (7.50) массу "нуклона" Мдг. Решения с к > 1 качественно отвечают тогда "нуклонным Рц-резонансам" с нулевым полным угловым моментом [189]. Заметим, что в этой упрощенной модели они построены не из трех кварков, а из двух "кварков" и "антикварка".

-1 п п

-2

-1 -0.5 О 0^

-1 -0.5 О 0:5 1

-1 -0,5 о 0.5 1

-I -0Л О 0.5 I 099950022

Вз:=0.Ш50334

БЗ = 0.99562269

-1 -0,5 О 0,5 1

Рис. 7.2. Решения с А = 1,2,3,4,5 и их Фурье-коэффициенты Д

Заключение в данной работе получены следующие результаты:

• Найдены явные выражения для первых коэффициентных функций динамического отображения гейзенберговских полей на шрединге-ровские поля как в нерелятивистской Ы-Тэта модели, так и в не-перенормируемой модели четырехфермионного контактного взаимодействия. Установлена связь этих коэффициентных функций с волновыми функциями рассеяния и связанных состояний.

• Проведено сравнение динамических отображений, отвечающих различным начальным условиям, и показана унитарная эквивалентность представлений канонических коммутационных соотношений на шредингеровских и "хп"-полях в отсутствии в Гамильтониане флуктуационных членов.

• Обнаружено, что для некоторых моделей типа Ли и релятивистских моделей 4-х фермионного взаимодействия в (3-|-1)В динамическое отображение на шредингеровские поля позволяет полностью линеаризовать уравнения Гейзенберга и получить замкнутое выражение для гейзенберговского поля как функционала от физических полей, аналогичное решениям 2Б моделей Тиррища и Швищера. Такая линеаризация является проявлением согласованности способа квантования с динамикой системы, что проявляется, в том числе, в возможной диагонализуемости гамильтониана на выбранных физических полях.

• Для таких линеаризуемых, в том числе, релятивистских моделей получены выражения для динамического отображения и его коэффициентных функций в виде функциональных интегралов по фазо

201— вому пространству и развиты методы их вычисления. Наконец, для одной нерелятивистской модели и двух типов релятивистских моделей в таком виде получены выражения непосредственно для нормальных символов гейзенберговских операторов, т.е. решена задача приведения их к нормальной форме.

• Для нерелятивистского "неперенормируемого" четырехфермионного взаимодействия сформулировалирована процедура перенормировки путем "тонкой подстройки" зависимости от обрезания затравочных масс и констант связи, которая является самосогласованной в каждом Н-частичном секторе и тесно связана с восстановлением га-лилеевской инвариантности.

• Показано, что соответствующий этой процедуре перенормировки механизм размерной трансмутации естественно формулируется на языке теории расширений соответствующего сингулярного кванто-вомеханического гамильтониана в двухчвстичном секторе.

• Получены точные решения для Голдстоуновских состояний, а также для волновых функций и Т-матриц всех двухчастичных состояний и найдена конкретная реализация соответствующего самосопряженного расширения с выходом в пространство Понтрягина.

• Обнаружено, что в теории расширений Голдстоуновское решение трансформируется в "дефектнзчо компоненту" обычного решения.

• Найдены три унитарно-неэквивалентных операторных реализации нерелятивистского четырехфермионного Гамильтониана ток ® ток, в которых задача на собственные состояния может быть изучена и решена точно.

• Показано, что спонтанное нарушение симметрии и сзчцествование соответствующих голдстоуновских мод являются неотъемлемыми свойствами четырехфермионного взаимодествия ток ® ток при наличии векторного тока с достаточно широкой симметрией. Наконец, что сами голдстоуновские моды являются проявлением нетривиальной структуры гильбертова пространства состояний полного гамильтониана, вскрываемой лишь при выходе в более широкие пространства (Понтрягина) с индефинитной метрикой.

• На этой точно решаемой модели удалось проследить непосредственный предельный переход различных совокупностей унитарно неэквивалентных гильбертовых пространств когерентных состояний м м кварковых пар в пространства когерентных состояний различных "адронов", и соответствующий ему переход от унитарно неэквивалентных представлений К АС к представлениям ККС.

• Показано, что в рассматриваемой модели трехчастичные связанные состояния возможны только в операторной реализации (в фазе) со спонтанным нарушением симметрии, для частиц различных типов и только с определенными типами спиновой симметрии волновой функции.

• Проведеный численный анализ полученных трехчастичных уравнений показал что в "Ефимовском случае" асимптотический режим начинается фактически с основного (трсхчастичного) состояния.

Для развиваемого подхода характерны следуюпщми моменты:

• Использование шредингеровских полей в качестве физических соответствует постановке операторных начальных условий уравнениям

203—

Гейзенберга в отличие от неоператорных условий при использовании в качестве физических асимптотических in — out полей. Соответствующее динамическое отображение непосредственно связано с задачей на собственные значения и отвечает операторной диагона-лизации гамильтониана в отличие от его диагонализации в слабом смысле на гп-полях.

• В отличии от большинства подходов к проблеме связанных состояний, основанных на исследовании решений уравнений Бете-Солпитера и Швингера-Дайсона, здесь решается задача (частичной) диагона-лизации полного Гамильтониана путем непосредсвенного посторо-ения его собственных состояний методом динамических отображений. Генераторы преобразований выбираются из физических соображений так, чтобы получающийся вакуум соответсвовал конденсации фермионных пар с нужными квантовыми числами, а двухчастичная задача допускала точное решение, по крайней мере, в нерелятивистском пределе. Эти соображения заимствованы из моделей БКШ и НЙЛ.

• Математической формулировкой механизма размерной трансмутации [103], отвечающего перенормировочной процедзфе для "непере-нормируемых", но операторно диагонализуемых полевых гамильтонианов является метод построения самосопряженных расширений соответствующих квантовомсанических гамильтонианов в каждом N-частичном секторе. Причем, фиксация расширения в низших (одно-, двух-частичных) секторах полностью определяет переноми-ровку в высших (трех- и более частичных) секторах,

• Простая регуляризация обрезанием совместно с естественной вычи

U U II U U II тательной процедурой, при наличии тонкой подстройки зависимости от обрезания затравочных масс и констант связи в пределе снятия обрезания выделяет из всего многообразия самосопряженных распшрений единственное расширение сразу во всех N-частичных секторах. Для псрснормирусмой модели Ли это было впервые показано Ф.А.Березиным [15 .

Благодарности.

Автор глубоко признателен проф. A.A. Андрианову за обсуждение различных проблем теории четырехфермионных взаимодействий и тонкостей квантовой теории поля, проф. В.Л. Черняку за многочисленные коструктивные критические замечания, касающиеся физки сильных взаимодействий, др. ф-м. наук Ю.Г. Шондину за ценные консультации по теории расширений, проф. В.Б. Беляеву и проф. В. Сандхасу за важные замечания по трехчастичной задаче. Приятно поблагодарить коллег А.Е. Калошина и В.А. Наумова за многочисленные дискуссии и соавторов: В.М, Левианта, Д.В. Наумова, A.B. Синицкую и А.Б. Танаева за длительное и тесное сотудничество. Однако, эта работа никогда не была бы начата и, тем более, завершена без плодотворного сотрудничества, заинтересованного внимания и постоянной поддержки основного соавтора всех публикаций и ее консультанта, профессора А.Н. Валла, которому автор выражает искреннюю благодарность.

1. Поляков A.M., Калибровочные поля и струны, ИТФ им. Ландау Черноголовка, 1995 сс. 1-300

2. Волков М.К., Низкоэнергетическая физика мезонов в кварковой модели сверхпроводящего типа. -ЭЧАЯ, 1986, 17, вып.З, стр.433-471.

3. Волков М.К., Эффективные киральные лагранжианы и модель Намбу-Йона-Лазинио.-ЭЧАЯ, 1993, 24, вып., стр.81-139.

4. АН Khan А., at al. Spectroscopy and Renormalisation Group Flow of a Lattice Nambu-Jona-Lasinio Model,- Phys.Rev,, 1995, D51, pp. 3751-3780,

5. Klevansky S.P., The Nambu Jona-Lasinio model of quantum chromo-dynamics. -RevMod.Phys., 1992, 64, No.3, pp. 649 - 708.

6. Nambu Y., Jona-Lasinio G., Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity.I. Phys.Rev., 1961, 122, pp. 345-358.

7. Nambu Y., Jona-Lasinio G., Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. 11. Phys.Rev., 1961, 124, pp. 246-254.

8. Вакс Г., Ларкин А.И., О применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц. -ЖЭТФ, 1961, 40, вып.З, стр. 282 285.

9. Domitrovich P.P., Miither Н., On the analytic structure of the quark selfenergy in Nambu Jona-Lasinio models,- J.Phys.G:NucLPart.Phys., 1994, 20, pp. 1885 - 1900.

10. Bardeen J., Cooper L.N. and Schrieffer J.R., Microscopic theory of Superconductivity. Phys.Rev., 1957, 106, pp. 162-164.

11. Гейзенберг В., Введение в единую полевую теорию элементарных частиц, Москва, Мир 1968, 239 стр.

12. Ландау Л,Д. и др., О возможности формулировки теории сильно взаимодействуюпщх фермионов, Собрание трудов Л.Д. Ландау, Москва, Наука, 1969, сс. 374-392. {Phys. Rev., 1958, 111, p. 321)212—

13. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д., Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. ДАН, 1961, 137, стр. 1011 - 1014.

14. Альбеверио С, Гестези Ф., Хеэг Хорн Р., Хольден X., решаемые модели в квантовой механике, Москва, Мир, 1991, 568 стр.

15. Березин Ф.А., О модели Ли, Математический сборник, 1963, 60, N4, сс. 425-446

16. Широков Ю.М., Сильно сингулярные потенциалы в трехмерной квантовой механике. ГМФ, 1980, 42, стр. 45 - 49.

17. Широков Ю.М., Представление свободных решений для уравнений Шредингера с сильно сингулярными сосредоточенными потенциалами. ТМФ, 1981, 46, 3, стр. 291 - 299.

18. Цирова И.С., Широков Ю.М., Квантовый дельта образный потенциал, действуюпщй в р-состоянии. - ТМФ, 1981, 46, 3, стр. 310315.

19. Шондин Ю.Г., К задаче рассеяния трех частиц с 6 потенциалами. ТМФ, 1982, 51, 2, стр. 181 - 191.

20. Шондин Ю.Г., Обобпхенные точечные взаимодействия в Лз и связанные с ними модели с рациональной S матрицей.!./ = 0. - ТМФ, 1985, 64, 3, стр. 432 - 441.

21. Шондин Ю.Г., Обобщенные точечные взаимодействия в Лз и связанные с ними модели с рациональной S матрицей.!!./ =1. - ТМФ, 1985, 65, 1, стр. 24 - 34.

22. Шондин Ю.Г., Квантовомеханические модели в -Rjj, связанные с расширениями оператора энергии в пространстве Понтрягина. -ТМФ, 1988, 74, 3, стр. 331 344.

23. Dijksma А., Langer П., Shondin Yu., and Zeinstra С, Self-adjoint opra-tors with inner singularities and Pontryagin spaces. Operator Theory: Adv. AppL 2000, 118, pp. 105-175. Birkhauser Verlag, Basel.

24. Акмшин П.Г., Калиновский Ю.Л., Тяжелые кваркошш в билокаль-ной эффективной теории, ОИЯИ-Р-2-97-404, Дубна, 1997, 26 с.

25. Anikin I.V., at ai. То the lagrangian formulation of NJL-model with separable interaction. Preprint JINR E2-93-257, Dubna, 1993, 20pp.

26. Grabowski M., Low Energy Effective Ections with Composite Fields, Preprint DESY 94-146, Hamburg, 1994, 81 p.

27. Аникин И.В. и др., Модель Намбу-Йона-Лазинио с сепарабельным взаимодействием легких кварков: низкоэнергетическая физика пиона и сильный пион-нуклонный формфактор. Препринт ОИЯИ 94187, Дубна, 1994 (К 60-летию Г.В.Ефимова) сс. 14-29.

28. Anikin LV., Dorokhov А.Е., Tomio L., Pion distribution amplitude within the instanton model., Preprint JINR E2-99-339, Dubna, 1999.

29. Kikkawa K., Quantum corrections in superconductor models. -Progr.Theor.Phys., 1976, Vol.56, No.3, pp. 947-955.

30. Eguchi Т., Sugawara H., Extended model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. Phys.Rev., 1974, DIG, pp. 4257 - 4262.

31. Eguchi Т., New approach to collective phenomena in superconductive models. Phys.Rev., 1976, D14, No.lO, pp. 2755 - 2762.

32. Волков M.K,, Осипов A.A., Длины тг — тг рассеяния. ЯФ, 1984, 39, стр. 694 - 698.

33. Волков М.К., Осипов А.А., Поляризуемости пионов и каонов в квар-ковой модели сверхпроводящего типа. ЯФ, 1985, 41, стр. 1027 -1034.

34. Волков М.К., Эберт Д., Четырехкварковые взаимодействия как общий динамический источник сг модели и модели векторной доминантности. - ЯФ, 1982, 36, стр. 1265 - 1277.

35. Ebert D., Volkov M.K., Composite meson model with vector dominance based on (7(2) invariant four - quark interactions. - Z.Phys., 1983, C16, pp. 205 - 210.

36. Ebert D., Reinhardt H., Effective chiral hadron lagrangian with anomalies and skyrme terms from quark flavour dynamics. Nncl.Pbys., 1986, B271, pp. 188 - 226.

37. Ebert D., at al. Effective meson lagrangian with chiral and heavy quark symmetries from quark flavor dynamics. NucLPhys., 1995, B434, pp. 619 - 646.

38. Ebert D., at al., The (0-1-, 1+) heavy meson multiplet in an extended NJL model. Preprint DE S Y 94-166, HUP-IEP-94/14 1994, 12 pp.

39. Ebert D., at al., Scalar mesons in a chiral quark model with gluebolL, Preprint JINR E2-2000-164, Dubna, 2000, 21 pp.

40. Bel'kov A. A., Lanyov A. V., Schaale A., On the reduction ofvector and axial vector fields in a meson effective action at 0(рл). JINR-E2-94-371, 16 pp.

41. Bel'kov A. A., Lanyov A. V., Schaale A., An effective chiral meson Lagrangian at 0(pA). Preprint JINR.-E2-94-368, Dubna 1994, 14 pp.

42. Осипов A.A., Бозонизация в импульсном пространстве, ЯФ 59, 10, стр. 1849-1858.

43. Богданова Н., Попов В., Двумерная теория поля с несколькими конденсированными фазами. ТМФ, 1981, 46, 3, стр. 325 - 334.

44. Salpeter Е., Bethe Н.А., А relativistic equation for bound state problems. Phys.Rev., 1951, 84, No.6, pp. 1232 - 1242.

45. Первушин B. H., Атомы и адроны в калибровочных теориях, Лекции для молодых ученых. Препринт ОИЯИ, Р2-90-211, Дубна, 1990, 73 стр.

46. Kalinovsky Yu.L., at al. Weak interactions in a bilokal chiral theory. I. Bound states wave functions for given angular momentum. JINR-E4-91-501, Dubna, 1991, 16 pp.215—

47. Kalinovsky Yu.L., at al., Relativistic bound states. Few Body Systems, 1991, 10, pp. 87-104.

48. Pervushin V.N., Kallies W., Sarikov N.A., Pion as goldstone particle in QCD, JINR-E2-87-430, Dubna, 1987, 18 pp.

49. Первушин В.П., и др., Квантовая хромостатика как низкоэнергетическая теория адронов. Препринт ОИЯИ, Р2-87-674, Дубна, 1987, 30 стр.

50. Калиновский Ю.Л. и др., Билокальные мезонные лагранжианы и потенциальная модель, Препринт ОИЯИ, Р2-88-560, Дубна, 1988, 15 стр.

51. Pervushin V.N., at al. Unification of a potential model with chiral lagrangians, JINR-E2-88-643, Dubna, 1988, 20 pp.

52. Pervushin V.N., at al, A new perturbative approach to QCD, JINR-E2-88-68, Dubna, 1988, 10 pp.55} Pervushin V.N., at al., Phenomenology of chromostatics, JINR-E2-88-78, Dubna, 1988, 14 pp.

53. Amirkhanov LV., at al., Pion as relativistic bound state in oscillator potential, JINR-E2-89-583, Dubna, 1989, 12 pp.

54. Kalinovsky Yu.L., at al., Relativistic bound states in QCD, JINR-E2-90-354, Dubna, 1990, 19 pp.

55. Amirkhanov LV., at al. Instantaneous approximation for QCD and properties of mesons, JINR-E2-90-414, Dubna, 1990, 10 pp.

56. Sarikov N.A., at al. Parameters of low-energy physics, radial excitations of 7Г, КD mesons and QCD potential, JINR-E2-91-262, Dubna, 1991, 10 pp.

57. Blaschke D., at al. Instantaneous chiral quark model for relativistic mesons in a hot and dense medium. NucI,Phys., 1995, A586, pp. 711-733.

58. Gross F., Milana J., Covariant, chiral symmetric, confining model of mesons. Phys.Rev., 1991, Vol. D43, No.7, pp. 2401 - 2417.216—

59. Gross F., Van Order J,W., Holinde K., Relativistic one boson - exchange model for the nucleón - nucleón interaction. - Phys.Rev., 1992, Vol. C45, No.5, pp. 2094 - 2132.

60. Силагадзе 3.K., Модель Вика-Куткосского Введение, Препринт 9233 ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1992, 74 с.

61. Саврин В.И., Труль А.Ю., Точное решение уравнения Бете Сол-питера с запаздывающими пропагаторами в модели Вика - Кут-косского. - ТМФ, 1996, 106, 3, стр. 407-415.

62. Fulton Т., Martin Р.С., Two-body system in Quantum Electrodynamics. Energy levels of positronium. Phis. Rev., 1954, 95, N3, pp. 811-822.

63. Скачков Н.Б., Соловцов И.Л., Релятивистское трехмерное бзаимо-действие двух фермионов., ЭЧАЯ, 1978, 9, вьщ.1, стр. 5-47.

64. Архипов А.А., К вопросу об одновременной редукции в квантовой теории поля. Труды VII семинара по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля., Протвино, 1984, том 2, с. 234-251.

65. Arkhipov А.А., Causality in the problem of singl-time reduction in quantum field theory. Preprint ШЕР-85-146, Serpuchov, 1985, 25 p.

66. Архипов A.A., Одновременная редукция формализма Бете-Солпитера для двухфермионной системы. Препринт, ИФВЭ-88-147, Серпухов, 1988, 43 с.

67. Браун М.А., Гурчумелия А.Д., Сафронова У.И., Релятивистская теория атома, Москва, "Наука", 1984, 267 с.

68. Bodwin G.T., Yennie D.R., Gregorio M.F., Recoil effects in the hy-perfine structure of QED bound states. Preprint CLNS-84/618, ANL -HEP-PR-84-57, Cornell, USA, 1984, pp.1-132.

69. Lepage G.R., Analjiic bound-state solutions in a relativistic two-body formalism with applications in muonium and positronium, Phys. Rev. 1977, A 1 6, N3, pp.863-876

70. Берестецкий В.Б., Лифшиц E.M., Питаевский Л.П., Квантовая Электродинамика, Москва, "Наука", 1980, 704 с.217—

71. Боос Э.Э., Саврин В.И., Шаблыгин Е.М., Точное решение квазипотенциального уравнения методом контурного интегрирования. -ТМФ, 1987, 72, 2, стр. 197-203.

72. Вайтман А., Проблемы в релятивистской динамике квантовых полей, Москва, Наука, 1968, 184 стр.

73. Нерр К., Theorie de la renormalisation. Springer-Verlag, 1969, 255 p. (Xenn K., Теория перенормировок, Москва, Наука, 1974, 256 стр.)

74. Стритер Р., Вайтман А., РСТ, Спин и статистика и все такое, Москва, Наука, 1966, 251 с.

75. Бартон Г., Дисперсионные методы в теории поля, Москва, Атомиз-дат, 1968, 391 с.

76. Боголюбов Н.П., Ширков Д.В., Введение в теории квантованных полей, Москва, Наука, 1984, 597 с.

77. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т., Обыще принципы квантовой теории поля, Москва, Наука, 1987, 615 с.

78. Silvan Schweber S., An Introductin to Relativistic Quantum Field Theory, Petrson & Co., 1961, 842 p. Швебер С, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, Москва, Издат-во иностранной литры, 1963, 844 стр.

79. Ефимов Г.В., Нелокальные взаимодействия квантованных полей. Москва, Наука: 1977, 367 с.

80. Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. Москва, Мир: 1976, 423 с.

81. Haag R., Dan Vidensk К., On quantum field theories, Selsk. Mat-Fjs. Medd. 29 N 12,1955, pp.1-37.

82. Фаддеев Л.Д., О разделении эффектов самодействия и рассеяния по теории возмущений. Докл. Акад. Наук СССР, 1963,152, сс. 573-580.

83. Shebeko A. V., Shirokov M.I., Unitary transformations in quantum field theory and bound states, ЭЧАЯ, 32, N1, 2001, cc. 31-95.218.87. Широков М.И., Квантовая теория поля: "одевание" против расхо-димостей. Препринт ОИЯИ Р2-6454, Дубна, 1972, 47 с.

84. Широков М.И., "Одевание" и теорема Хаага, Препринт ОИЯИ Р2-7210, Дубна, 1973, 13 с.

85. Вишинеску М., Широков М.И,, Процедура "одевания" в теории поля по методу возмущений и расходимости. Препринт ОИЯИ Р2-8148, Дубна, 1974, 15 с.

86. Fivel D.I., Solution of the Lee model in all sectos by dynamical algebra, JoumMath.Phys., 11, 1970, pp. 699-705.

87. Шварц A.C., Математические основы квантовой теории поля, Москва, Атомиздат, 1975, 368 с.

88. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Квантовые эфекты в интенсивных внешних полях, Москва, Атомиздат, 1980, 295 стр.

89. Greenberg O.W., Study of а model of quantum electrodynamics. Preprint PP-00-020, University of Maryland, 2000, 11 p.

90. Greenberg O.W., Ray R., Schlumpf F., Covariant single time bound state equation. PhysXett, 1995, B3 53, pp. 284 - 288.

91. Greenberg O.W., Virtues of The Haag Expansion in Quantum Field Theory, Preprint 95-99, University of Maryland, 1995, 29 p.

92. Мигдал А.Б., Качественные методы в квантовой теории, Москва, Наука, 1975, 335 с.98. де Альфаро В., Редже Т., Потенциальное рассеяние, Москва, Мир, 1966,274 с.

93. Березин Ф.А., Метод вторичного квантования, Москва, Наука, 1986, 319 с.

94. Каменщик А.Ю., Свепшиков Н.А., Отсутствие свободных кварков в КХД в рамках теории возмущений, Препринт ИФВЭ 82-127 ОТФ, Серпухов 1982, 9 с.

95. Каменщик А.Ю., Свешников Н.А,, Инфракрасные расходимости и асимптотические состояния кварков в квантовой хромодинамике, ТМФ, 1998, 117, N2, сс. 175-188.

96. Ефимов Г.В., Неделько СП., Неэквивалентные представления и фазовая структура (фА)4 теории поля, ЭЧАЯ, 1994, том 25, выл.З, сс. 779-843.

97. Thorn С, Quark confinement in the infinite momentum frame, -PhysMev., 1979, D19, No.2, pp. 639 651.

98. Хуанг К., Кварки, лептоны и калибровочные поля, Москва, Мир, 1985, 382 стр.

99. Vail A.N., Korenblit S.E., Leviant V.M., at al, Dynamical mapping method in nonrelativistic models of quantum field theory. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 1997, 4, No 3-4, pp.492-502.

100. Валя A.H., Коренблит С.Э., Левиант B.M., и др. Перенормировка "тонкой подстройкой" и двухчастичные состояния в нерелятивистской четырехфермионной модели, Ядерная физика, 1997, 60, вып.8, сс. 1451-1458.

101. Vail A.N., Korenblit S.E., Leviant V.M., at al., Fine-Tuning Renormal-ization and Two-particle States in Nonrelativistic Four-fermion Model, International Journal of Modem Physics A, 1997, 12, No 28, pp. 50395052.

102. Vail A.N., Korenblit S.E., Leviant V.M., at al., Few-particle bound states in nonrelativistic four-fermion model, Surveys in High Energy Physics, 1998, 13, pp.249-254

103. Коренблит С.Э., Танаев А.Б., Линеаризация Гейзенберговских Уравнений в Моделях Четырсхфермионного Взаимодействия и Проблема Связанных Состояний, Препринт ИЯФ 2001-11, Новосибирск, 2001, 35 стр.

104. Kolokolov I.V., Yelkhovsky A.S., Schwingcr terms as a source of gauge anomaly in hamiltonian approach, INP Preprint 87-103, Novosibirsk, 1987.

105. Vladimirov A.A., On the origin of the Schwinger anomaly, .JINR Preprint E2-89-39, Dubna, 1989.

106. Рочев B.E., Уравнение Бете-Содпитера и функциональный формализм квантовой теории поля. Труды V Школы молодых ученых "Квантовая теория поля и физика высоких энергий", Москва, МГУ, 1990, сс. 126-146.

107. Rochev V.E., Saponov P.A., The four-fermion interaction in D=2,3,4: a nonperturbativ treatment, Preprint IHEP 96-109, Protvino 1996, pp.l-16.

108. Петрина Д.Я., Иванов С.С, Ребенко А.Л., Уравнения для коэффициентных функций матрицы рассеяния, Москва, Наука, 1979, 295 стр.

109. Васильев А.Н., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике, ЛГУ, Ленинград, 1976, 294 стр.

110. Gross D.J., Neveu A., Pbys. Rev., 1974, D 10, p.3235.

111. Kogut J.B., Stephanov M.A., Toublan D., Phys. Lett, 1999, B464, p.183

112. Kogut J.B., at al., QCD-like Theories at Finite Baryon Densty, Preprint SUNY-NTG-00/11 pp.1-40, (hep-ph/0001171)

113. Трейман С, Джекив Р., Гросс Д., Лекцж по алгебре токов, Москва, Атомиздат, 1977, 232 с.

114. Адлер С, Дашен Р., Алгебры токов и их применение в физике частиц, Москва, Мир, 1970, 435 с.

115. Гитман Д.М., Фрадкин Е.С., Шварцман Ш.М., Квантовая электродинамика с нестабильным вакуумом, Москва, Шаука, 1991, 293 с.

116. Фейнман Р., Хибс А., Квантовая механика и интегралы по траекториям, Москва, Мир, 1968, 382 стр.

117. Попов В.Н., Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, Москва, Атомиздат, 1975, 256 с.

118. Райдер Л., Квантовая теория поля, Москва, Мир, 1987, 512 с.

119. Глимм Дж., Джаффе А., Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов, Москва, Мир, 1984, 445 стр.

120. Колоколов И.В., Функциональное интегрирование и динамика модели Гейзенберга при высоких температурах, ЖЭТФ, 1986, 91, ВЫП.12, сс.2313-2318.

121. Kolokolov I.V-, Functional representation for the partition function of the quantum Heisenberg ferromagnet, Phys. Lett., 1986, 114A, N2, pp.99-104.

122. Kolokolov I.V., Functional integration method for ID localization, multipoint correlators and persistent current in mesoscopic ring at arbitrary magnetic fields. Preprint BUDKERINP 93-12, Novosibirsk, 1993,

123. Lunev F.A., Pure bosonic path integral representation for fermionic determinants, non-Abelian Stokes theorem, and quasiclassical approximation in QCD, hep-th/9609166.

124. Korchemsky G.P., Quantum geometry of the Dirac fermions. Definitions of Spinor Functional, JINR Prepiiut E2-89-498, Dubna, 1989.

125. Korchemsky G.P., Quantum geometry of the Dirac fermions. Dimensional Extension of the Spinor Functional, JINR Preprint E2-89-499, Dubna, 1989.223—

126. Korchemsky G.P., Quantum geometry of the Dirac fermions. Dimensional Reduction of the Spinor Functional, JINR Preprint E2-89-500, Dubna, 1989.

127. Korchemsky G.R, Quantum geometry of the Dirac fermions. JINR Preprint E2-89-575, Dubna, 1989.

128. Korchemsky G.R, Quantum geometry of Dirac fermions. mEJour.Mod.Piiys.A, 1992, 7, No2, pp.339-380.

129. Менский М.Б., Группа путей, измерения, поля, частицы. Москва, Наука, 1983, 318 с.

130. Краснов М.Л., Интегральные уравнения, Москва, Наука, 1975, 303 с.

131. Швингер Ю., Частицы, источники, поля. Т.1, Москва, Мир, 1973, 502 с.

132. Швингер Ю., Частицы, источники, поля. Т.2, Москва, Мир, 1976, 475 с.

133. Винницкий СИ. и др. Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике, УФН, 1990, 160, вып.6, сс. 1-49.

134. Дубровин Б.А,, Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, Москва, Наука, 1979, 759 с.

135. Тавхелидзе А.Н., Токарев В.Ф., Структура основного состояния и свойства функций Грина от бесцветных операторов в модели Швин-гера., -ЭЧАЯ, 1985, 16, вып.5, стр.973-1104.

136. Тавхелидзе А.Н., Токарев В.Ф., Структура вакуума в калибровочных теориях и бесцветные переменные., -ЭЧАЯ, 1990, 21, вьш.б, стр.1126-1186.

137. Siegel W., Fields, Preprint YITP-99-67, 710 pp., hep-th/9912205.

138. Архипов A.A, Саврин В.И., Асимптотические условия LSZ и динамические уравнения в квантовой теории поля., -ЭЧАЯ, 1985, 16, вып.5, стр. 1091-1125.

139. Андрианов A.A., Андрианов В.А., Калибровочная модель Намбу-Иона-Лазинио как низкоэнергетическое приближение КХД. ТМФ, 1992, 93, стр. 67 - 86.

140. Silagadze Z.K., S0(8) colour as possible origin of generations, Preprint, Budker INP 93-93, Novosibirsk, 1993.

141. Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф., Калибровочные теории в физике элементарных частиц, Москва, Мир, 1987, 624 с.

142. Соловьев В.Г., Теория атомного ядра. Ядерные модели, Москва, Энергоиздат, 1981, 295 стр.

143. Липкин Г., Квантовая механика, Москва, Мир, 1977, 592 стр.

144. Гриб A.A., Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля, Москва, Атомиздат 1978, 127 стр.

145. Хакен X., Квантовая теория твердого тела, Москва, Наука, 1980, 342 стр.

146. Переломов A.M., Обобщенные когерентные состояния и их применения, Москва, Наука, 1987, 249 стр.

147. Смородинский Я.А., Шелепин А.Л.,1Пелепин Л.А., Групповые и вероятностные основы квантовой теории, УФН, 1992, 162, N 12, сс.1-95.

148. Малкин И.А., Манько В.И., Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, Москва, Наука, 1979, 319 стр.

149. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, том I, Москва, Наука, 1973, 294 стр.

150. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, том II, Москва, Наука, 1974, 295 стр.

151. Зелевинский В.Г., Дополнительные главы квантовой механики (Операторные методы). Учебное пособие, НГУ, Новосибирск, 1983, 82 стр.

152. ФейнманР., Статистическая механика, Москва, Мир, 1975, 407 стр.

153. Jackiw R., A Nonrelativistic Chiral Solution in One Dimension, Journal of Nonlinear MatL Pbys., 1997, 4, m-4, pp. 261-270.

154. Ржд M., Саймон Б., Методы современной математической физики, том IV, Москва, Мир, 1982, 428 стр.

155. Ньютон Р., Теория рассеяния волн и частиц, Москва, Мир, 1969, 607 стр.

156. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, том II, Москва, Мир, 1978, 395 стр.

157. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, Москва, Мир, 1979, 587 стр.

158. Ахиезер Н.И., Глазман И.М., Теория линейных операторов в гильбертовых пространствах, том I, Харьков: Вища школа, 1977, 315 стр.

159. Данфорд Н., Шварц Дж.Т., Линейные операторы. Спектральная теория, том 2, Москва, Мир, 1966, 1063 стр.

160. Рихтмаер Р., Принципы современной математической физики, том I, Москва, Мир, 1982, 486 стр.

161. Павлов Б.С., Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой, ТМФ, 1984, 59, 345-353.

162. Макаров К.А., Мележик В.В., Мотовилов А.К., Точечные взаимодействия в квантовой задаче трех частиц с внутренней структурой. ТМФ, 1995, 102, 258.

163. Макаров К.А., Мележик В.В., Две стороны медали: эффект Ефимова и коллапс в системе трех частиц с точечными взаимодействиями. ТМФ, 1996, 107, 415-432.

164. Giacconi Р., Maltoni Р., Soldati R., Nonperturbative nature of the Aharonov-Bohm scattering amplitude, hep-th/9706198.

165. Крейн М.Г., Лангер Г.К., О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространсве Пк;,(1), Функц. анализ и его прилож., 1971, 5, вып.2, сс. 59-71.226—

166. Ситенко А.Г., Лекции no теории рассеяния, Киев, "Вища школа", 1971, 260 стр.

167. Меркурьев СП., Фаддеев Л.Д., Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, Москва, Паука, 1985, 308 стр.

168. Шмид Э., Цщельман X., Проблема трех тел в квантовой механике, Москва, Наука, 1979, 272 стр.

169. Яфаев Д.Р., К теории дискретного спектра трехчастичного оператора Шредингера, Математический сборник, 1974, 94, N8, сс. 567593.

170. Терентьев М.В., Введение в теорию элементарных частиц, Москва, ИТЭФ, 1998, 235 стр.

171. Close F.E., An introduction to quarks and partons, Academic Press, 1979, 438 p.

172. Barnett R.M. at al. Review of Particle Properties, Phys. Rev., 1996, D54, N1, p.47, p.lOO.