Вакуумные эффекты в калибровочных теориях в присутствии внешнего поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Топологическая структура поляризационного оператора фотона в однородном внешнем неабелевом поле.

1.1. Вклад скалярных кварков в антисимметричную часть поляризационного оператора.

1.2. Вклад спинорных кварков в антисимметричную часть поляризационного оператора.

1.3. Вклад спинорных кварков в симметричную часть поляризационного оператора

1.4. Вычисление ПО на фоне инстантона.

Обсуждение результатов.

Глава 2. Свободная энергия в (2 + 1)-мерной SU(2) модели

КХД на фоне конденсата калибровочного поля.

2.1. Энергетический спектр возбуждений и свободная энергия

2.2. Вклад глюонов в плотность свободной энергии.

2.3. Вклад кварков в плотность свободной энергии

Обсуждение результатов.

Глава 3. Эффективный лагранжиан для интерференции магнитного и хромомагнитного полей.

3.1. Интерференция произвольных постоянных полей.

3.2. Интерференция магнитного и хромомагнитного полей

3.3. Разложения по слабому электромагнитному полю.

Обсуждение результатов.

Оглавление

Глава 4. Магнитный катализ.

4.1. Магнитный катализ нарушения Р-четности в массивной модели

Гросса-Нэве.

Фазовая структура модели при Н — О

Магнитный катализ динамического нарушения Р-четности (Н ф 0)

Магнитный катализ при ненулевой температуре Т

Обсуждение результатов

4.2. Магнитный катализ в Р-четной, кирально инвариантной трехмерной модели с четырехфермионным взаимодействием.

Фазовая структура модели при Н —

Эффективный потенциал при Н ф

Явление магнитного катализа.

Обсуждение результатов

4.3. Хромомагнитный катализ цветовой сверхпроводимости

Модель и ее эффективный потенциал

Случай Я =

Случай Нф

Обсуждение результатов

Исследование структуры физического вакуума представляет собой принципиальную задачу квантовой хромодинамики (КХД). Как известно, отличительной чертой КХД является наличие непертурбативных вакуумных образований в виде кваркового и глюонного конденсатов, (qq) и ({ots/^G^GpJ} соответственно [1]. Другой характерной особенностью неабелевых калибровочных полей является их сложная топологическая структура. Особое внимание при этом уделяется таким известным классическим решениям уравнений калибровочного поля с нетривиальными топологическими свойствами как монополи и инстантоны [2, 3]. На фоне подобных полей поведение взаимодействующих кварков и глюо-нов невозможно адекватно описать в рамках теории возмущений [4]. Непертурбативные вычисления в неоднородных внешних полях являются чрезвычайно сложной задачей. Одним из способов изучения влияния конденсатных полей на характер протекания процессов взаимодействия элементарных частиц при высоких энергиях является применение метода точных решений для волновых функций и функций Грина частиц во внешних калибровочных полях достаточно простой конфигурации, моделирующих истинное сложное распределение вакуумного поля [5] (см. также [6]). Если предположить, что внешнее поле слабо меняется на масштабе размера адронов, то можно применить модель однородного цветового поля G^ — const. Такую полевую конфигурацию можно задать векторными потенциалами А^ одного из двух калибровочно неэквивалентных типов. Поле первого типа, называемое ковариантно постоянным, выделяется условием [-DM,GQ/з] = 0, где Dм = дц — , прямыми скобками [ ] обозначен коммутатор. Поле второго типа можно привести калибровочным преобразованием к такому виду, что вектор-потенциал не зависит от координат и = iG[7] (см. также [8], где найдены точные решения уравнения Дирака в подобном поле, и [9], где исследовано свойство суперсимметрии задачи о фермионе в неабелевом хромомагнитном поле). Всюду ниже мы будем подразумевать вторую конфигурацию глюонного конденсата.

Известно [10, 11], что в (2+1)-мерном аналоге квантовой хромодинамики учет радиационных поправок приводит к необходимости ввести в лагранжиан топологический член Черна-Саймонса (ЧС), что сопровождается появлением индуцированной массы калибровочного поля, не нарушающей калибровочную инвариантность теории, альтернативным по отношению к механизму спонтанного нарушения симметрии способом. Наличие члена ЧС приводит к ряду необычных явлений, таких как притяжение одноименных зарядов, экранировка магнитного поля [12-14]. Индуцированная топологическая масса играет также существенную роль в регуляризации инфракрасных расходимостей многопетлевых диаграмм [15, 16]. Очевидно, что появление у поляризационного оператора фотона (ПО) антисимметричной части означает анизотропию пространства, проявляющуюся при распространении электромагнитного поля. К последнему эффекту в (3+1)-мерной теории может приводить (см. [17]) наличие конденсата калибровочного поля.

В однопетлевом приближении вклад скалярных кварков в ПО на фоне неабелевого конденсата был вычислен в работе [18]. Для спинорных кварков была определена индуцируемая слабым внешним полем топологическая масса фотона [19].

Изучение квантовополевых теорий пониженных размерностей [12, 17, 19] интересно благодаря тесной связи этих моделей с их (3+1)-мерными аналогами [20-22], а также ввиду возможности объяснения с их помощью некоторых явлений реального мира. Так, например, метод размерной редукции, развиваемый в [23], позволяет исследовать кварк-глюонную плазму в КХДз+1 при температуре выше критической температуры фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент. Одночастичная модель двумерных электронов, взаимодействующих с внешним электромагнитным полем, применяется для объяснения квантового эффекта Холла [24, 25].

В последнее время большое количество работ посвящено изучению эффективного потенциала на фоне конденсата, а также при высоких температурах, как в однопетлевом приближении [26-31], так и с учетом многопетлевых вкладов [32-34]. При этом в высших порядках разложения по петлям возникает проблема зависимости результата от способа фиксации калибровки [35]. Предположение о наличии Ло-конденсата в КХД (см., например, [26]) приводит к важным физическим следствиям, таким как спонтанное нарушение глобальной калибровочной симметрии, устранение мнимой части эффективного потенциала, а также инфракрасной расходимости.

В течении последних лет много внимания уделяется исследованию вакуума и вакуумных эффектов в различных моделях квантовых неабелевых полей. Однако, несмотря на все усилия продвинуться в этом направлении, получить точные результаты на сегодняшний день представляется возможным только в ограниченном числе задач. В большинстве случаев результат получается в виде разложения в ряд по какому-либо малому параметру теории, и лишь иногда удается вычислить непертурбативные слагаемые. В результате, на сегодняшний день структура вакуума калибровочных моделей остается далеко не ясной. Предложены различные модели вакуума, которые позволяют получить некоторое представление о его строении и, с той или иной точностью, оценить величины физических эффектов, связанных с его нетривиальной природой. Так, одной из наиболее характерных черт вакуума КХД является наличие в нем длинноволновых случайных флуктуаций глюонного поля. Эти особенности легли в основу стохастической модели вакуума, рассмотренной, например, в работе [36]. Актуальным является дальнейшее изучению структуры вакуума с использованием модели постоянного фонового поля, которое позволяет описать некоторые наиболее характерные особенности вакуума, связанные с его непертурбативной природой.

Эффект динамического нарушения симметрии, индуцированный внешними (хромо)магнитными полями носит название магнитного катализа (см. например [37-39]). Впервые такое свойство внешнего однородного магнитного поля Н наблюдалось при исследовании (2+1)-мерной (трехмерной) кирально инвариантной теории поля с четырехфермионным взаимодействием (их еще называют теориями типа Гросса-Нэве (ГН) [40]). Здесь даже при сколь угодно малой константе взаимодействия внешнее магнитное поле, также произвольно малое, приводит к динамическому нарушению киральной симметрии (ДНКС) [37-39]. Позднее было дано объяснение этому явлению на основе механизма эффективной редукции размерности пространства-времени во внешнем магнитном поле и, соответственно, усилении роли инфракрасных расходимостей в перестройке вакуума [41, 42]. Впоследствии было показано, что ДНКС индуцируется и внешним хро-момагнитным полем [20, 21, 43-46]. Кроме того, на основе исследования целого ряда теорий, было отмечено, что явление магнитного катализа ДНКС, возможно, имеет модельно независимый характер [47]. В недавней работе [48] в рамках Р-четной трехмерной модели ГН показано, что внешнее магнитное поле служит катализатором спонтанного нарушения также и Р-четности. Явление магнитного катализа уже использовалось в космологических и астрофизических исследованиях [49, 50], для построения теории высокотемпературной сверхпроводимости [48, 51, 52]. Можно с уверенностью сказать, что в будущем этот эффект найдет применение в физике элементарных частиц, физике конденсированных состояний, физике нейтронных звезд и т. д., т. е. в тех разделах науки, где принцип динамического нарушения симметрии играет основополагающую роль, а внешнее магнитное поле является объективной реальностью х).

Значительный интерес, проявленный за последнее десятилетие к изучению трехмерных теорий поля (включая и модели типа ГН [55-57]), во многом объясняется планарным характером высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП), так как электроны проводимости в ВТСП-системах скон Возможные применения эффекта магнитного катализа обсуждаются также в работах [53, 54]. центрированы в плоскостях, образованных атомами Си и О [58]. В недавнем эксперименте с высокотемпературным сверхпроводником Bi2Sr2CaCu20s [59] было обнаружено, что теплопроводность, рассматриваемая как функция внешнего магнитного поля Я, претерпевает скачкообразное изменение при некотором значении Н = Нс ~ Т2 (температура образца Т < Тс, где Тс — температура перехода в сверхпроводящее состояние). Авторы работы [59] предположили, что при Н = Нс происходит фазовый переход, индуцированный внешним магнитным полем. Вскоре было предложено феноменологическое описание (на основе функционала свободной энергии системы) этого фазового перехода как перехода первого рода с нарушением Р-четности [60]. Кроме того, были представлены и теоретические (микроскопические) объяснения этого явления на основе двух трехмерных моделей типа ГН в результате эффекта магнитного катализа динамического нарушения симметрии [48, 51]. В одной из них магнитное поле индуцирует ДНКС [51], в другой — происходит нарушение Р-четности [48]. Общей характерной чертой фазовых переходов в обеих моделях является их непрерывность. Иными словами, и киральная симметрия в [51], и Р-симметрия в [48] нарушаются в точке Н = Нс с помощью фазового перехода второго рода, что не согласуется с феноменологическим подходом работы [60].

Согласно современным представлениям в КХД при низких температурах и плотностях реализуется фаза конфайнмента, для которой адроны являются элементарными возбуждениями основного состояния, т. е. кварки не вылетают, и цветовая симметрия не нарушена. Характерной особенностью этой фазы является ненулевой киральный конденсат (qq), сигнализирующий о спонтанном нарушении киральной симметрии (СНКС). При больших температурах Т предсказывается переход системы в состояние кварк-глюонной плазмы, где кварки становятся свободными, и все симметрии лагранжиана КХД восстанавливаются. При достаточно больших значениях плотности барионов (значения Т малы) в КХД ожидается появление новой фазы с цветовой сверхпроводимостью (ЦСП). В этой фазе возможно образование связанных состояний двух кварков — куперовских пар, конденсат которых (qq) в вакууме отличен от нуля, что говорит о спонтанном нарушении цветовой симметрии.

Впервые свойства ЦСП-фазы материи обсуждались в работах [61-63] более двадцати лет назад. Недавно это явление исследовалось в рамках одноглюонного обмена в КХД [64], где доказана принципиальная возможность существования ЦСП при значениях химического потенциала д, превышающих 108 MeV [65]. Соответствующие плотности барионов столь велики, что не существуют ни в природных (нейтронные звезды), ни в лабораторных условиях (в будущих экспериментах по ион-ионным столкновениям можно получить плотности, превышающие лишь в несколько раз плотность обычной ядерной материи, что соответствует значениям /j, ~ ~ 500 MeV). Возможность наблюдения ЦСП в области промежуточных плотностей барионов доказана совсем недавно (см. [66-70], а также работы [71] и имеющиеся там ссылки) на основе различных эффективных теорий низкоэнергетической области КХД, среди которых и модель Намбу-Йона-Лазинио (НИЛ). В этих работах с учетом такой непертурбативной характеристики реального вакуума КХД, как СНКС, т.е. ненулевого кирального конденсата (qq), показано, что ЦСП-эффект может проявиться при гораздо меньших значениях ц ~ 400 MeV, т. е. уже в ближайших экспериментах по столкновению тяжелых ионов.

Важно подчеркнуть, что лагранжианы НЙЛ и КХД имеют одну и ту же группу симметрии, поэтому модель НИЛ с успехом используется для изучения свойств непертурбативного вакуума КХД, в частности, при воздействии таких внешних условий, как температура и химический потенциал [72, 73]. Эти исследования особенно важны в случаях, когда в КХД затруднено использование численных решеточных методов, т. е. при наличии химического потенциала и внешнего магнитного поля [22, 74-77]. Кроме того, именно на основе теорий НЙЛ впервые выяснилось, что сколь угодно малые внешние магнитные поля индуцируют СНКС [37, 38, 41, 39]. Этот эффект получил название магнитного катализа СНКС и находит применение в самых различных областях физики (см. обзоры [54, 78]).

Основные результаты диссертации содержатся в семи публикациях [81, 94, 107-111], докладывались на международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов-98» (МГУ, 7-10 апреля 1998), научных конференциях ОЯФ РАН «Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц», (ИТЭФ, 16-20 ноября 1998, 2 доклада; ИТЭФ, 27 ноября-1 декабря 2000), научной конференции «Ломоносовские чтения» (секция физики, апрель 2001), обсуждались на научных семинарах физического факультета МГУ, а также помещены в электронный архив [105, 112].

В заключение выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру

86 Заключение

Чеславовичу Жуковскому за научное руководство, терпение и постоянное внимание к работе, за основные идеи, положенные в основу настоящей работы, за создание творческой атмосферы; Константину Григорьевичу Клименко, внесшему большой вклад в изучение вопросов, затронутых в данной работе. Я также выражаю свою признательность доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Викторовичу Борисову, за интерес к этой работе, а также всех участников семинара «Физика высоких энергий» кафедры Теоретической физики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

1. Shifman М.А., Vainshtein A.I., Zakharov V.I. QCD and resonance physics. Sum rules // Nucl. Phys. B. 1979. V. 147. P. 385-447. QCD and resonance physics: applications // Nucl. Phys. B. 1979. V. 147. P. 448-518.

2. Belavin A., Polyakov A., Schwartz A. et al. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 85-87.

3. Callan C.G., Dashen R., Gross D.J. Toward a theory of the strong interactions // Phys. Rev. D. 1978. V. 17. P. 2717-2763.

4. Dubovikov M.S., Smilga A. V. Analytical properties of the quark polarization operator in an external selfdual field // Nucl. Phys. B. 1981. V. 185. P. 109-132.

5. Тернов И.М., Жуковский В. Ч., Борисов А.В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле. — М.: Изд. Моск. Ун-та, 1989.

6. Славное А. А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1988.

7. Brown L.S., Weisberger W.I. Vacuum polarization in uniform nonabelian gauge fields // Nucl. Phys. B. 1979. V. 157. P. 285-364. Erratum: Nucl. Phys. B. 1980. V. 172. P. 544.

8. Жуковский В. Ч. Суперсимметрия уравнения Дирака в неабелевом хромомагнитном поле // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 1137-1140.

9. Jackiw R., Templeton S. How super-renormalizable interactions cure their infrared divergences // Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 2291-2304.

10. Schonfeld N. A mass term for three-dimensional gauge fields // Nucl. Phys. B. 1981. V. 185. P. 157-188.

11. Deser S., Jackiw R., Templeton S. Topologically massive gauge theories // Ann. Phys. N.Y. 1982. V. 140. P. 372-411.

12. Pisarski R., Rao S. Topologically massive chromodynamics in the pertur-bative regime // Phys. Rev. D. 1985. V. 32. P. 2081-2096.

13. Коган И. Я. Связанные состояния фермионов и сверхпроводящее основное состояние в (2 + 1)-калибровочной теории с топологическим массовым членом // Письма в ЖЭТФ. Т. 49. С. 194-197.

14. Жуковский В. Ч., Песков Н.А., Афиногенов А.Ю. Радиационный сдвиг энергии кварка в (2 + 1)-мерной модели КХД с вакуумным конденсатом // Ядерная физика. 1998. Т. 61. С. 1514-1525.

15. Carroll S.M., Field G.B., Jackiw R. Limits on a Lorentz- and parity-violating modification of electrodynamics // Phys. Rev. D. 1990. V. 41. P. 123

16. Averin A. V., Borisov A. V., Zhukovskii V. Ch. Photon polarization operator in an external nonabelian field // Z. Phys. C. 1990. V. 48. P. 457-462.

17. Ebert D., Zhukovsky V.Ch. Theory of Elementary Particles, p. 189 (Proceedings of the 31st International Symposium Ahrenshoop on the Theory of Elementary Particles, Buckow, 2-6 September, 1997). Ebert D.,

18. Zhukovsky V. Ch. Generation of QCD-induced Chern-Simons like term in QED, Preprint HU-EP-97/87, 1997; hep-th/9712016. 9 p.

19. Ebert D., Zhukovsky V. Ch. Chiral phase transitions in strong chromomag-netic fields at finite temperature and dimensional reduction // Mod. Phys. Lett. A. 1997. V. 12. P. 2567-2576; hep-ph/970132

20. Вшивцев А. С., Магницкий Б.В., Жуковский В. Ч., Клименко К.Г. Динамические эффекты в (2 + 1)-мерных теориях с четырехфермионным взаимодействием // ЭЧАЯ. 1998. Т. 29. С. 1259-1318.

21. Gusynin V.P., Miransky V.A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in (3 + 1)-dimensions // Phys. Lett. B. 1995. V. 349. P. 477-483.

22. Kajantie К., Laine M., Rummukaine К., Shaposhnikov M. 3d SU(iV) + adjoint Higgs theory and finite temperature QCD // Nucl. Phys. B. 1997. V. 503. P. 357-384; hep-ph/9704416.

23. Niemi A., Semenoff G. Axial-Anomaly-Induced Fermion Fractionization and Effective Gauge-Theory Actions in Odd-Dimensional Space-Times // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 2077-2080.

24. Тернов И.М., Жуковский Б.Ч., Борисов А.В. Квантовая механика и макроскопические эффекты. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.

25. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Vshivtsev A.S. Thermodynamic potential with condensate fields in an SU(2) model of QCD //J. Mod. Phys. A. 1998. V. 13. P. 1723-1742.

26. Meisinger P.N., Ogilvie M.C. Finite temperature quark confinement // Phys. Lett. B. 1997. V. 407. P. 297-302.

27. Weiss N. Effective potential for the order parameter of gauge theories at finite temperature // Phys. Rev. D. 1981. V. 24. P. 475-480.

28. Starinets A.O., Vshivtsev A.S., Zhukovsky V.Ch. Color ferromagnetic state in SU(2) gauge theory at finite temperature // Phys. Lett. B. 1994. V. 322. P. 403-412.

29. Skalozub V. V. Effective coupling constants in gauge theories at high temperature // Int. J. Mod. Phys. 1996. V. 11. P. 5643-5657.

30. Skalozub V., Bordag M. Once More on a Colour Ferromagnetic Vacuum State at Finite Temperature // Nucl. Phys. B. 2000. V. 576. P. 430-444; hep-ph/9905302.

31. Belyaev V.M. Higher loop contributions to effective potential of gauge theory at high temperature // Phys. Lett. B. 1990. V. 241. P. 91-95.

32. Belyaev V.M., Eletsky V.L. Two loop free energy for finite temperature SU(2) gauge theory in a constant external field // Z. Phys. C. 1990. V. 45. P. 355-360.

33. Skalozub V. V. Gauge independence of the hot Aq condensate // Mod. Phys. Lett. A. 1992. V. 7. P. 2895-2903. Borisenko O.A., Bohacik /., Skalozub V. 7. condensate in QCD // Fortschr. Phys. 1994. V. 43. P. 301-348.

34. Симонов Ю.А. Конфайнмент // УФН. 1996. Т. 166, № 4. С. 337.

35. Клименко К. Г. 3-мерная модель Гросса-Нэве во внешнем магнитном поле // ТМФ. 1991. Т. 89. С. 211-221; 3-мерная модель Гросса-Нэве при ненулевой температуре и во внешнем магнитном поле // ТМФ. 1992. Т. 90. С. 3;

36. Klimenko К. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in an external magnetic field // Z. Phys. C. 1992. V. 54. P.323-330.

37. Krive I. V., Naftulin S.A. Dynamical symmetry breaking and phase transitions in a three-dimensional Gross-Neveu model in a strong magnetic field // Phys. Rev. D. 1992. V. 46. P. 2737-2740.

38. Gross D.J., Neveu A. Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories // Phys. Rev. D. 1974. V. 10. P. 3235-3253.

39. Gusynin V.P., Shovkovy I.A. Chiral symmetry breaking in QED in a magnetic field at finite temperature // Phys. Rev. D. 1997. V. 56. P. 52515253.

40. Klimenko K. G., Vshivtsev A. S., Magnitsky В. V. Three-dimensional (фф)2 model with an external nonabelian field, temperature and chemical potential // Nuovo Cim. A. 1994. V. 107. P. 439-452;

41. Вшивцев А. С., Клименко К.Г., Магницкий Б. В. Трехмерная модель Гросса-Нэве во внешнем хромомагнитном поле при конечной температуре // ТМФ. 1994. Т. 101. С. 391-401; Глюонный конденсат и трехмерная (ф ф)2 теория поля // ЯФ. 1994. Т. 57. С. 2260-2264.

42. Shovkovy I.A., Turkowski V.M. Dimensional reduction in Nambu-Jona-Lasinio model in external chromomagnetic field // Phys. Lett. B. 1995. V. 367. P. 213-218;

43. Gusynin V.P., Hong D.K., Shovkovy I.A. Chiral symmetry breaking by a non-Abelian external field in 2+1 dimensions // Phys. Rev. D. 1998. V. 57. P. 5230-5235.

44. Semenoff G. W., Shovkovy I. A., Wijewardhana L. C.R. Universality and the magnetic catalysis of chiral symmetry breaking // Phys. Rev. D. 2000. V. 60. P. 105024-105040.

45. Liu W. V. Parity breaking and phase transition induced by a magnetic field in high T(c) superconductors // Nucl. Phys. B. 1999. V. 556. P. 563-572. cond-mat/9808134.

46. Inagaki Г., Muta Т., Odintsov S.D. Dynamical symmetry breaking in curved spacetime // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1997. V. 127. P. 93-171; hep-th/9711084.

47. Semenoff G. W., Shovkovy /.A., Wijewardhana L. C.R. Phase transition induced by a magnetic field // Mod. Phys. Lett. A. 1998. V. 13. P. 11431154; hep-ph/9803371.

48. Gusynin V.P. Magnetic Catalysis of Chiral Symmetry Breaking in Gauge Theories // Ukrainian J. Phys. 2000. V. 45. № 4, 5. P. 603-609; hep-th/0001070.

49. Mackenzie R., Panigrahi P.K., Sakhi S. Superconductivity in 2 + 1 dimensions via Kosterlitz-Thouless Mechanism: Large N and Finite Temperature Analyses // Int. J. Mod. Phys. A. 1994. V. 9. P. 3603-3630;

50. Davydov A.S. // Phys. Rep. 1990. V. 190. P. 191.

51. Krishana K., Ong N.P., Li Q. et al. Plateaus Observed in the Field Profile of Thermal Conductivity in the Superconductor Bi2Sr2CaCu20s // Science. 1997. V. 277. P. 83-85.

52. Laughlin R.B. Magnetic Induction of dx2y2 + idxy Order in High-Tc Superconductors // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 5188-5191.

53. Barrois B.C. Superconducting quark matter // Nucl. Phys. B. 1977. V. 129. P. 390-396.

54. Frautschi S. C. «Asymptotic freedom and color superconductivity in dense quark matter», in Proceedings of the Workshop on Hadronic Matter at Extreme Energy Density, Ed., N. Cabibbo, Erice, Italy (1978).

55. Bailin D., Love A. Superfluidity and superconductivity in relativistic fermion system // Phys. Rept. 1984. V. 107. P. 325-400.

56. Rajagopal К., Shuster E. Applicability of weak-coupling results in high density QCD // Phys. Rev. D. 2000. V. 62. P. 085007-085023.

57. Rapp R., Schafer Т., Shuryak E.A., Velkovsky M. Diquark Bose Condensates in High Density Matter and Instantons // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 53-56; High density QCD and instantons // Ann. Phys. 2000. V. 280. P. 35-99.

58. Langfeld K., Rho M. Quark condensation, induced symmetry breaking and color superconductivity at high density // Nucl. Phys. A. 1999. V. 660. P. 475-505; hep-ph/9811227.

59. Gastineau F., Nebauer R., Aichelin J. Thermodynamics of the 3-flavor NJL model: chiral symmetry breaking and color superconductivity; hep-ph/0101289. 27 p.

60. Schwarz T.M., Klevansky S.P., Papp G. Phase diagram and bulk thermo-dynamical quantities in the Nambu-Jona-Lasinio model at finite temperature and density // Phys. Rev. C. 1999. V. 60. P. 055205-055210.

61. Alford M. Color superconducting quark matter, hep-ph/0102047. 31 p.; Kerbikov B.O. Color Superconducting State of Quarks, hep-ph/0110197. 17 p.

62. Ebert D., Kalinovsky Yu.L., Munchow L., Volkov M.K. Mesons and diquarks in a NJL model at finite temperature and chemical potential // Int. J. Mod. Phys. A. 1993. V. 8. P. 1295-1312.

63. Inagaki Т., Odintsov S.D., ShiVnov Yu.L Dynamical symmetry breaking in the external gravitational and constant magnetic fields // Int. J. Mod. Phys. A. 1999. V. 14. P. 481-504.

64. Vshivtsev A.S. et al. Phys. Part. Nucl. 1998. V. 29. P. 523.

65. Klimenko K. G., Magnitsky В. V., Vshivtsev A.S. A gluon condensate and the three-dimensional (ф — ф)2 field theory // Phys. Atom. Nucl. 1994. V. 57. P. 2171-2175.

66. Жуковский В. ¥., Худяков В.В. Топологическая структура поляризационного оператора фотона в однородном внешнем неабелевом поле // Ядерная физика. 1999. Т. 62. С. 1889-1897.

67. Боголюбов Н.Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1973. С. 199.

68. Novikov N.A., Shifman М.А., Vainshtein A.I. et al. Calculations in external fields in quantum chromodynamics: technical review // Fortschr. Phys. 1984. V. 32. P. 585-622.

69. Chibisov В., Dikeman R.D., Shifman M., Uraltsev N. G. Operator Product Expansion, Heavy Quarks, QCD Duality and its Violations // Int. J. Mod. Phys. 1997. A12. P. 2075-2133; hep-ph/9605465.

70. Nodland В., Ralston J.P. Nodland and Ralston Reply // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 1958.

71. Trottier H.D. Vacuum condensate in (2+l)-dimensional gauge theories // Phys. Rev. D. 1991. V. 44. P. 464-472.

72. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.

73. Polyakov A.M. Thermal properties of gauge fields and quark liberation // Phys. Lett. B. 1978. V. 72. P. 477-480.

74. Susskind L. Lattice models of quark confinement at high temperature // Phys. Rev. D. 1979. V. 20. P. 2610-2618.

75. Elze H.-ThMuller В., Rafelski J. Interfering QCD/QED Vacuum Polarization, hep-ph/9811372. 16 p.

76. Rafelski J., Elze H.-Th. Electromagnetic Fields in the QCD Vacuum, hep-ph/9806389. 16 p.

77. Соколов А. А., Тернов И.М., Жуковский В. Ч., Борисов А.В. Калибровочные поля. М.: Изд-во МГУ, 1986.

78. Жуковский В. Ч., Клименко К.Г., Худяков В.В. Магнитный катализ в Р-четной, кирально инвариантной трехмерной модели с четырех-фермионным взаимодействием // ТМФ. 2000. V. 124. Р. 323-338; hep-ph/0010123.

79. Уиттекер Э. Г., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 2. — М: ГИФМЛ, 1963.

80. Rosenstein В., Warr B.J., Park S.H. // Phys. Rep. 1991. V. 205. P. 59.

81. Klimenko K. G. Phase structure of generalized Gross-Neveu models // Z. Phys. C. 1988. V. 37. P. 457; Song D. Y. Four-fermion interaction model on R2 x S1: A dynamical dimensional reduction // Phys. Rev. D. 1993.

82. Vanderheyden В., Jackson A.D. A random matrix model for color superconductivity at zero chemical potential // Phys. Rev. D. 2000. V. 61. P. 076004-076013.

83. Ebert D., Kaschluhn LKastelewicz G. Effective meson-diquark la-grangian and mass formulas from the Nambu-Jona-Lasinio model // Phys. Lett. B. 1991. V. 264. P. 420-425.

84. Ebert jD., Klimenko K.G., Toki H. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity in a (2 + l)-dimensional Nambu-Jona-Lasinio model // Phys. Rev. D. 2001. V. 64. P. 014038-014051;

85. Ebert D., Khudyakov V. V., Klimenko К G., Zhukovsky V. Ch. The Influence of an External Chromomagnetic Field on Color Superconductivity, hep-ph/0106110. 27 p.1. Список литературы 99

86. Ebert D., Klimenko K.G., Toki H., Zhukovsky V.Ch. Chromomagnetic Catalysis of Color Superconductivity and Dimensional Reduction // Prog. Theor. Phys. 2001. V. 106. P. 835-849; hep-th/0106049. 12 p.

87. Жуковский В. Ч., Худяков В.В. Свободная энергия в (2+1)-мерной SU(2) модели КХД на фоне конденсата калибровочного поля // Ядерная физика. 2001. Т. 64. С. 135-142.

88. Жуковский В. Ч., Худяков В. В. Структура поляризационного оператора фотона во внешнем неоднородном неабелевом поле // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. № 4, С. 18-21.

89. Жуковский Б.Ч., Худяков В. В., Разумовский А. С. Эффективный Лагранжиан для описания интерференции магнитного и хромомагнитного полей / / Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2001. № 1, С. 13-15.

90. Жуковский В. Ч., Клименко К. Г., Худяков В. В., Эберт Д. Магнитный катализ нарушения Р-четности в массивной модели Гросса-Нэве и высокотемпературная сверхпроводимость // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73, Вып. 3. С. 137-142.

91. Жуковский В.Ч., Клименко К. Г., Худяков В. В., Эберт Д. Хромомагнитный катализ цветовой сверхпроводимости // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 74, Вып. 11. С. 595-600.

92. Ebert D., Khudyakov V. V., Klimenko K.G., Toki H., Zhukovsky V.Ch. Chromomagnetic Catalysis of Chiral Symmetry Breaking and Color Superconductivity, hep-ph/0108185. 12 p.