Многочастичные системы и непертубативная теория поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ ?

§

на правах рукописи

«О /

ГОРСКИЙ Александр Сергеевич

МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ И НЕПЕРТУРБАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

УДК 530.145

Работа выполнена в Государственном Научном Центре РФ Институте теоретической и экспериментальной физики.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат.наук,

член-корреспондент РАН Л.Н.Липатов, ПИЯФ им.П.Б.Константинова РАН, г. Санкт-Петербург;

доктор физ--мат.наук Ю.М.Макеенко, ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва;

доктор физ.-мат.наук, академик РАН В.А.Рубаков, ИЯИ РАН, г.Москва.

Ведущая организация: Математический институт им.Стеклова РАН, г. Мои

Защита состоится " 7 " а-/х-ре.л~5<_ 1998г. в &1 часов на засед.

диссертационного совета Д 034.001.01 Государственного Научного Центра РФ статута теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Мое Б.Черемушкинская 25, ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Автореферат разослан " 2. " _ 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Ю.В.Терехов

Общая характеристика работы

гссертащш обсуждаются вопросы, связанные с эффективным описанием систем, в >рых тем или иным образом возникает пространство модулей или коллективных >динат. Коллективные координаты появляются при рассмотрении многих задач 1еют существенно различное происхождение. Они могут описывать эффектив-степени свободы, существенные в том или ином режиме в теориях поля, которые влятотся полностью интегрируемыми. Режим может определяться кинематикой гссса, либо выбором специальных топологически нетривиальных далных. В си-шях, когда имеется несколько коллективных степеней свободы, как правило, в >ии имеется скрытая интегрируемость, происхождение которой связано с сим-эийным характером пространства модулей. В диссертации развит подход, полющий единым образом описывать динамические системы на различных про-шствах модулей калибровочных теорий в терминах функционального интеграла, зывается, что подход работает при описании эффективных действий в четырех-тых суперсимметричных калибровочных теориях и позволяет ввести правильные :ени свободы в вакуумном секторе суперсимметричных теорий с сильным взаи-жствием.

)пишем общую картину, сложившуюся на настоящий момент, в классе задач, в >рых необходимо изучать характеристики пространств коллективных координат.

1 Модули как непертурбативные степени свободы эффективных теорий поля

кние области сильной связи остается одной из ключевых задач квантовой тео-ноля. Так как методы теории возмущений в области сильной связи не работают, вная надежда состоит в обнаружении новых'эффективных степеней свободы, в шнах которых можно будет развивать теорию возмущений по другим параме-л, отличным от константы связи в исходной теории. Наиболее ярким примером зствования неэквивалентных теорий поля на разных масштабах энергии является гговая хромодинамика (КХД). При высоких энергиях теория описывается в терме кварков и глюонов, в то время как при низких энергиях применим киральный 'анжиан, определяющий эффективное низкоэнергетическое действие. Степенями оды в киральном лагранжиане являются поля бесцветных мезонов и барионов, .раметры низкоэнергетического действия не могут быть определены из общих щипов и фиксируются феноменологически.

)бщая структура низкоэнергетических действий определяется принципами сим-эии. Ожидается, что эффективные действия наследуют полный набор тождеств

Уорда из исходной теории поля. Часть тождеств Уорда аномальна, однако хор известно, что аномалии, будучи связанными с явлением пересечения уровней, ц< ренормируются и допускают эквивалентное описание в инфракрасных и ультра летовых терминах. В силу этого обстоятельства, выполнение аномальных тожд Уорда также накладывается в качестве требования к эффективной теории. В час сти, аномальные тождества Уорда, связанные с кнральной симметрией, фиксир лагранжиан мезонов, а тождества Уорда для конформной симметрии - дилатон эффективный лагранжиан.

Одной из особенностей эффективных действий является их универсальност! есть несколько различных ультрафиолетовых теорий могут приводить к одинако теориям в инфракрасной области. Причиной подобной универсальности явля жесткость конструкции эффективных действий, фиксируемых симметриями зад Более того, симметрия эффективных действий может оказаться выше симме: исходных ультрафиолетовых теорий. Симметрийный характер эффективных ствий приводит к ряду нетривиальных следствий. Пожалуй, наиболее существен проявлением этих свойств является связь с теорией интегрируемых систем, правило, статистическая сумма, вычисленная в эффективной теории, оказыва так называемой т-функцвей некоторой интегрируемой системы. Последняя явля производящей функцией для законов сохранения в интегрируемой системе и, о временно, производящей функцией для корреляторов в теории поля.

Идентификация переменных в интегрируемой системе, описывающей эффек ное действие, представляет собой нетривиальную задачу. На настоящий МО! регулярный способ введения переменных в теориях, которые не являются топол ческими, отсутствует, однако имеется ряд примеров в двумерных теориях, где в 1 стве переменных интегрируемых систем выступают амплитуды перехода между личными вакуумами теории, индуцированные непертурбативными конфигуради Роль "пространственно-временных переменных" интегрируемых систем играют станты связи и источпики в теории поля. Примеры систем, связанных с иера ями двумеризовапной цепочки Тоды и уравнений Кортевега-де-Фриза (КдФ), м быть получены в двумерных сг-моделях (Вафа, Чекотти и др.) и двумерной рии гравитации (Каваи, Диграаф, Верлинде и др.) Отдельно стоит задача вы конкретных решений нелинейных уравнений в интегрируемой динамике, однако, блема решается, если учесть набор тождеств Уорда, наложенных на теорию (Да и др.).

Несмотря на возможность фиксации общей структуры эффективных действ! симметрийпых соображений, представляет интерес их непосредственное вычисл интегрированием по тяжелым модам в исходной теории поля. В рамках такого

а вводится масштаб энергий, выше которого все моды предполагаются отсумми-1нными. Непосредственное интегрирование ведется по пертурбативпым и непер-бативным флуктуапиям, причем суммирование по пертурбативпым модам пред-агает вычисление диаграмм Фейнмана, для которых введенный масштаб энергии ¡кит обрезанием. В теориях разных размерностей имеются яепертурбативные фигурации, которые учитываются в предположении, что их характерные разы ограничены на некотором масштабе. Непертурбативными флуктуациями, су-твеитшми в разных размерностях, являются инстантовы в четырехмерной теории я, монополи, вихри и солитоны разных коразмерностей в теории струн.

Ключевым обстоятельством, в значительной степени определяющим описание ертурбативных эффектов, является наличие коллективных координат решений модулей. Происхождение модулей тесно связано с наличием в исходной тео-повышенной симметрии, поэтому пространство модулей само по себе обладает ривиальными симметрийными свойствами. Простейшим примером может слу-гь пространство модулей инстантонов, размерность которого задается симметри-

I пространства-времени - трансляциями и поворотами, а также калибровочными метриями. Другими, наиболее интересным, пространствами модулей являются страпства модулей комплексных структур римановых поверхностей, модули плос-

связпостей на фиксированной двумерной поверхности, модули голоморфных век-ных расслоений на поверхностях. Каждое из них возникает при описании тех или IX непертурбативных конфигураций и может быть получено процедурой редукции тространства модулей инстантонов. В силу этого обстоятельства, универсальное странство модулей произвольного числа инстантонов является наиболее общим ектом, возникающим при описании теорий поля в размерности не выше четырех.

Интегрирование по пространству модулей, неизбежно возникающее при непосред-енном получении эффективных действий, приводит к появлению интегрируемых тем и с другой точки зрения. Дело в том, что фазовое пространство интегрируе-х систем всегда совпадает с тем или иным пространством модулей или кокасатель-

II расслоением к пространству модулей. В качестве примеров можно упомянуть архию КдФ, связанную с пространством модулей комплексных структур, или дву-шзованную цепочку Тоды, связанную с модулями плоских связвостей. В частно-[, лагранжиан Черна-Саймонса, определенный на некоторой поверхности, имеет в [естве фазового пространства пространство модулей плоских связностей на этой ерхности, а в качестве гамильтонианов могут быть выбраны любые калибро-;но инвариантные наблюдаемые. В терминах интегрируемых систем задача о видении вклада непертурбативных флуктуации в эффективное действие сводится ;ычислению средних от некоторых наблюдаемых в интегрируемых системах на ютранстве модулей.

1.0.2 Коллективные координаты и непертурбативные амплитуды в т рии поля

Приведенные выше общие аргументы непосредственно реализуются в двух су1 ственно разных ситуациях. В первом случае речь идет о выделении некоторого с тора теории, в котором могут быть получены точные результаты, в то время I описание всей теории в терминах конечного числа эффективных координат нев можно. Проиллюстрируем данный класс задач на нескольких примерах.

В качестве первого примера рассмотрим задачу о несохранении барионного зар! в стандартной модели (т'Хоофт). Как известно, процесс, нарушающий сохрани барионного числа, может быть интерпретирован как туннельный переход в эфф тивном потенциале по коллективной координате - числу Черна

где А - неабелево калибровочное поле. Точно получить выражение для эффект! ного потенциала из первых принципов не удается, однако можно сделать модел! независимые утверждения, что он периодичен, а высота горба потенциала однознач фиксируется массой сфалеропа - конфигурации с нецелым топологическим заряде отвечающим нестабильной точке равновесия потенциала. Масштаб энергии фию руется величиной вакуумного среднего скалярного поля в теории.

Существенно, что можно рассматривать амплитуду несохранения с учетом нет} виальных внешних факторов: плотности, температуры или энергии сталкивающю частиц (Рубаков, Шапошников, Кузьмин, Рингвальд и др.) Если характерный м; штаб энергии, определяемый внешним фактором, много меньше энергии сфалеро] то квазиклассический анализ остается справедливым и имеется экспоненциалы подавление, которое можно вычислять в приближении коллективной координат Однако, при близости энергии внешнего воздействия к энергии сфалерона, прибл жеиие перестает работать и требуется полный учет вклада теории возмущений инстантон-алтиинстаптоиных конфигураций. Ни один из известных подходов не : зволяет довести до конца это вычисление, однако имеется много аргументов, ч экспоненциальное подавление остается при любых энергиях. Отметим, что в дал нейшем в суперсимметричном случае мы столкнемся с похожей картиной, где, с нако, приближение конечного числа коллективных коордипат будет работать II всех энергиях.

В качестве второго примера рассмотрим задачу о распаде ложного вакуума скалярной теории с потенциалом

У(ф) = (ф2 - а2)2 + еф.

куум в теории является дестабильным и распадается в результате фазового пе-¡ода первого рода с образованием зародыша истипного вакуума (Волошин, Коб->ев, Окунь и др.). Вновь задача допускает введение коллективной координаты -шуса пузыря, причем геометрические соображения в этом случае позволяют полу-гь явное выражение для эффективного потенциала по коллективной координате, намика пузыря может быть точно проинтегрирована, после чего находится экспо-щиально подавленная амплитуда. Как и в предыдущем примере, можно рассмо-гть индуцированный процесс, который может быть описан в том же приближении а небольших внешних энергиях и перестает работать при энергиях, сравнимых с сотой горба потенциала.

Скрытая интегрируемость, то есть наличие конечного числа коллективных коор-аат, может быть обнаружена и в процессах рассеяния. Наиболее ярким примером <ого рода является описание амплитуд при высокой энергии в КХД в реджевском киме. Было показано (Липатов, Корчемский, Фаддеев и др.), что при анализе плитуд в терминах обмена конечным числом реджеоиов можно рассмотреть го-лорфную гамильтонову систему - магнетик на конечном числе узлов с нулевым шом в каждом узле. Коллективными степенями свободы в данном случае явля-ся реджеоны с квантовыми числами вакуума - помероны, причем волновые фупк-а эффективной много^астичпсй системы совпадают с голоморфной частью амплк-цы рассеяния, а спектр гамильтоповой системы определяет интерсепт померенных лекторий.

Накопец, в качестве последнего примера скрытой интегрируемости в теориях, горые не допускают точного решения, рассмотрим пороговые амплитуды в раз-чиых теориях поля. Имеются в виду амплитуды процессов, в которых часть ссн эяний (или все состояния) находятся на кинематическом пороге рождепия. Было тружено, что для данного класса процессов возникает целое семейство зануляю-;хся амплитуд (Волошин и др.). В дальнейшем возникла гипотеза, что в пороговой тематике имеются дополнительные законы сохранения - то есть скрытая интегри-гмость. Первый пример с нетривиальным законом сохраяепия был рассмотрен бановым, Троицким и Рубаковым. Коллективными степенями свободы в данном ('чае являются нулевые гармоники полей.

).3 Модули в топологических и суперсимметричных теориях поля

уши класс теорий, связанных с пространством коллективных координат, носит звапие топологических теорий поля. Они были введены в квантовую теорию поля :ттеном с целью выделения инвариантов вакуумных многообразий теорий поля, рвые примеры топологических теорий были построепы для ст-моделей и четырех-

мерных калибровочных теорий, причем в первом случае топологические теории reí рировали инварианты голоморфных отображений, а в случае калибровочных теор) они определяли инварианты пространства модулей ивстаятонов (Дональдсон и др На настоящий момент существует достаточно много примеров топологических те рий в разных размерностях, например, топологические с-модели в двумерии, теор] Черна-Саймонса в трех измерениях я топологические лагранжианы в четырехмерн< пространстве.

Во всех случаях топологические теории могут быть получены процедурой тв стования нетопологических теорий с высокой, как правило N — 2, суперсиммметрие Процедура твистования эквивалентна введению в теорию дополнительного фоново. поля, меняющего свойства фермиошшх полей. Она может быть явно проделана моделях типа Ландау-Гинзбурга, а также в N = 2 суперсимметричных калиброво ных теориях. Статистическая сумма в топологических теориях является некоторк инвариантом соответствующего пространства модулей.

Так как в приложениях часто возникают конечномерпые пространства модуле то наиболее интересны топологические теории, определяющие конечномерные фаз вые пространства. Именно на фазовых пространствах топологических теорий разво чивается динамика интегрируемых многочастичных систем с нетривиальными з конами сохранения. В качестве гамильтонианов выбираются инвариантные наблюд мые со своими константами связи. Наиболее информативным объектом оказывает! статистическая сумма возмущенной топологической теории, которая является прои водящей функцией для корреляторов. С точки зрения пространств модулей она явл ется производящей функцией для топологических инвариантов многообразий (Ви тен, Концевич, Морозов и др.).

Существенно новые возможности для описания непертурбативыой физики в силы связанных калибровочных теориях появились после получения Зайбергом и Виттенс точного эффективного действия в JV = 2 суперсимметричной теории Янга-Милл< (ЯМ). При получении эффективного действия потребовалось вычислить вклады с произвольного числа инстантонов, и решение оказалось первым примером в чет! рехмерных теориях, когда полная инстантонная сумма была найдена точно. Вторы существенно новым результатом явилось точное вычисление масс стабильных сост яний в теории при произвольном масштабе энергии. Напомним, что теория име< ненулевые однопетлевые вклады и относится к классу асимптотически свободпь теорий поля.

Несмотря на некоторую парадоксальность ситуации - явное суммирование по т сталтонам не удалось выполнить до настоящего момента - уже не осталось сомыеш в правильности полученного результата, выдерживающего различные тесты. Пр

:ислении эффективного действия были использованы три принципа, позволившие эзпачно получить окончательный результат: голоморфность (Вайнштейн, Шиф-и др.), дуальность (Моятонен, Олив и др.), а также их совместность с ренорм-гшовыми потоками. Голоморфность позволяет утверждать, что полное действие ет вид / ^(Ф ), где Ф - N — 2 суперполе - зависит только от одной голоморфной кции называемой препотенциалом. Принцип дуальности, который фиксирует !ь между режимами сильной и слабой связи, естественен в конечной, например, = 4 теории, когда очевидный модулярный параметр калибровочной теории, со-зленный из константы связи и 0-члена

геренормируется и совпадает со своим ультрафиолетова« значением. В теории с .-нормировками формулировка дуальности в высшей степени нетривиальна. Под-который на первый взгляд кажется несколько искусственным, состоит в следуем. В теорию вводится дополнительный объект - риманова поверхность, в общем 1ае высокого рода, чья матрица периодов совпадает с матрицей констант связи в ективной теории, зависящей от значения параметра порядка в данном вакууме.

1аличие непрерывного семейства вакуумных состояний можно понять из елгдуго : соображений. В Л1 = 2 теории затравочный лагранжиан для скалярных полей, >бразузощихся по присоединенному представлению калибровочной группы, содер-'потенциал

как суперсимметрия требует занулепия энергии основного состояния, то скаляр-поля могут принимать любое значение в картановской подалгебре калибровочной пты ф — &ад{а\,..., аПс). Таким образом, мы вновь сталкиваемся с пространством гективяых координат - вакуумных средних скалярного поля,'которое носит в гратуре название кулоновской ветви пространства модулей. Заметим, что есте-:няо пользоваться калибровочно инвариантными координатами и^ — Тг < фк >. ор точки на кулоновской ветви эквивалентен выбору конкретного вакуума в тео-поля и задает масштаб, на котором определена эффективная константа связи. В ей точке пространства модулей, после выпадения конденсата, теория эффективно ювится абелевой.

'иманова поверхность, описывающая теорию, вводится таким образом, чтобы щинаты кулоновской ветви пространства модулей определяла точки ветвления и »ражались в пространство модулей комплексных структур поверхностей. Матрица юдов поверхности связана указанным выше образом с константами связи, опре-■нными именно в данной точке пространства модулей. Для введения новых объ-

т = + 2тг0, 92

(3)

У(ф)=Тг[ф,ф+}\

(4)

ектов, обладающих хорошими трансформационными свойствами относительно I образования дуальности, которое теперь превращается в модулярное преобразоваг необходимо ввести на римановой поверхности подходящий дифференциал ¿5. Й1 гралы от даяного дифференциала по циклам на поверхности

где i,j = 1 ,....,NC— 1 для калибровочной группы SU{NC), преобразуются друг ч« друга при модулярных преобразованиях.

Как было показано, именно интегралы от дифференциала dS по циклам опр< ляют спектр стабильных состояний, насыщающих границу Богомольного-Прасг Соммерфельда (БПС). Например, общая формула для БПС спектра в SU{2) тео имеет вид

где квантовые числа п,т отвечают "электрическим" я "магнитным" состояш Не должно вызывать удивления то обстоятельство, что спектр, полученный из ] коэнергетического действия, фиксирует спектр масс сколь угодно тяжелых БПС стояний. Дело в том, что БПС спектр входит в центральный заряд алгебры су] симметрии и, таким образом, имеет аномальное происхождение. С другой сторс любые аномалии не переиормируются квантовыми поправками и могут вычислят как в ультрафиолетовой теории, так и в инфракрасной области.

Оба вспомогательных объекта - риманова поверхность и дифференциал на - вводятся искусственно, поэтому выяснение их роли в общем контексте описе вакуумного сектора теории поля представляется чрезвычайно актуальным.

1.0.4 Коллективные координаты в теории струн

Прогресс в описании низкоэиергетических суперсимметричных калибровочных рий инициировал изучение дуальности в теории струя. Оказалось, что для фо; лировки дуальности в теории струн необходимо ввести новые объекты, получив название О-браН (Польчинский и др.). Открытые струны могут оканчиватьс. £>-бранах, поэтому на: струны может быть наложено граничное > условие Дири Более того, /Хбраиам приписывается заряд в секторе Рамон-Рамоиа. С помо! Л-браи струнная дуальность может быть определена самосогласованно, прич< теории струн может быть введено три типа дуальностей (Халл, Таунсенд, Витт др.).

Так как теория суперструн не содержит аномалий 'только в десятпмерном странстве, автоматически возникает вопрос о роли оставшихся шести измере

Km = (па(щ))г + (maD(u2))\

|ультаты последних лет ясно указывают, что дополнительные размерности сле-:т отождествлять с нулевыми модами скалярных нолей присутствующих в четы-;мердых теориях поля. В наиболее общей ситуации в d = 4, отвечающей N — 4 [ерсимметричной теории поля, имеется три комплексных скалярных поля, чьи ыу-:ые гармоники следует воспринимать как координаты в шестимерном прострап->е. Вообще говоря, пространство полей имеет сложную структуру, и изучение густимых метрик в этом пространстве является предметом многочисленных ис-довалий.

С точки зрения теории поля, наибольший иптерес представляет ситуация, когда 1Витационные степени свободы в струпе заморожены и изучается только калибровый сектор теории. Таким образом, для изучения общих четырехмерных калибровых теорий необходимо ввести произвольную калибровочную группу, требуемую герсимметрию и определить все параметры теории, например, константы связи 1а.ссы. Оказывается, что учет бранных степеней свободы позволяет решить все ;ачи одновременно. Существенными свойствами бранных состояний, которые по-ляют получать подобный результат, являются наличие 17(1) калибровочного поля мировой поверхности бран и существование их связанных состояний (Виттеи и )•

Опишем, каким образом четырехмерная теория поля может быть сформулирована : теория на мировой поверхности браны некоторой размерности. В качестве исход-г рассматривается десятимерная теория суперструн с некоторой суперсимметрией, к как браны являются БПС состояниями, ояи нарушают суперсимметрию в два :а, причем характер нарушения суперсимметрии при пересечении бран также мог быть определен точно. В первом подходе рассматривается теория в плоском про->анстве, и суперсимметрия нарушается фоновой бранпой конфигурацией (Ханани, ттен и др.), во втором подходе, известном как "geometrical engineering", суперсим-грия нарушается специальным выбором метрики дополнительного шестимерного эгообразия. Например, при использовании метрики многообразия КЗ, суперсим-грия нарушается вдвое (Вафа и др.).

Следующим шагом является получение калибровочной группы, например, SU(N), ■орая отсутствует в исходной теории струп. Вновь возможны два подхода: в >вом из них группа возникает' как следствие возникновения связанного состоя-i бран, во втором - как результат выбора компактного пространства со струк-эой сингулярностей, отвечающей системе корней некоторой группы. Возникнове-i калибровочной группы высокого ранга при слиянии бран можно пояснить сле-ощим образом. Каждая из бран несет 1/(1) фактор, причем открытые струны гут быть натянуты между бранами. Открытые струны содержат моды калибро-

вочных полей, которые массивны, причем масса в силу механизма Хип'са пропо] ональна расстоянию между бранами в объемлющем пространстве. Если рассто! между брапами стремктсг к нулю, ранг соответствующей калибровочной гру возрастает. В подходе "geometrical engineering" калибровочная группа возника* результате наматывания браны на многообразие с соответствующей структурой -гулярностей.

Роль скалярпых полей в теории поля играют координаты бран или связан! состояния бран в шестимерном пространстве. Последним шагом при получении i бой картины теории ноля является введение масс и констант связи. Массы ввод! в теорию добавлением бран другой коразмерности, причем роль масс играют к< динаты дополнительных бран в шестимерном пространстве. Аналогично в тео] вводятся и константы связи, более того, показывается, что их величина может б: отождествлена с расстоянием между фоновыми бранами в одной картине или ра: ром компактных многообразий в подходе "geometrical engeneering".

Наиболее прозрачным примером указанного подхода является реализация ре нпя Зайберга-Виттела для N = 2 суперсимметрячной калибровочной теории в б{ ных терминах. Теория в подходе ПА реализуется следующим образом. Калибрм пая теория с группой SU(N) возникает на мировой поверхности N D4 параллелы бран, вложенных в плоское десятимерное пространство. Мировая поверхность б пятимерна, поэтому требуется описать оставшиеся пять измерений в терминах ории поля. Согласие с теорией поля достигается, если считать, что по трем кс динатам все браны локализованы в нуде, а голоморфная координата по двум изм< ниям, скажем, £4 + 1x5 является вакуумным значением комплексного скалярного п а N — 2 теории, то есть координатой на куяоновгаой ветви пространства модуле

Непосредственный интерес представляет четырехмерная теория поля, поэт* 2?4-браны должны быть ограничены по одному измерению, например, д-6. С э целью в теорию вводятся две дополнительные 5-браны типа Неве-Шварца, на кс рых оканчиваются 1?4-брапы. Именно такая конфигурация бран нарушает исход! суперсимметрию в десятимерном пространстве до iV = 2 суперсимметрии в чс рехмерном пространстве. Расстояние между фоновыми бранами вдоль координг х,; отождествляется с константой связи в калибровочной теории дх5 — р-, при' деформации фоновых бран могут быть отождествлены с пертурбативной перенор ровкой заряда. В теорию может быть введена материя в фундаментальном преде влении, для чего в бранную конфигурацию вводятся N/ дополнительных £>6-бр чьи координаты вдоль 24 + хх5 отождествляются с массами. Для введения мате; в присоединенном представлении требуется сделать координату х^ (более точно, комплексную версию) периодической.

Описанная выше бранная конфигурация сингулярна, так как невозможно гладко исать пересечение 04 я фоновых 5-бран. Для разрешения этой проблемы Витте-~л было предложено поднять конфигурацию в одиннадцатимерное пространство, рающее для мембраны ту же роль, что л десятимерное пространство для суперруны. Теория, определенная в одиннадцатимерпом пространстве, носит название теории, причем про нее известно, что в низкоэнергетическом пределе она отвечает иннадцатимерной супергравитации (Таунсенд и др.). Важным обстоятельством гсяется то, что в М-теории имеются солитоны - М5-браны и мембраны. Дополни-пьное одиннадцатое измерение предполагается компактным, и М5-брана, намотан-я на дополнительное измерение, становится £?4-браной в десяхимерном простран-ве. Если М5-брапа локализована по одннадцатому измерению, то она становится Зраной в теории струн.

Приведенные аргументы приводят к следующей картине: все браны в ПА тео-и можно рассматривать как единую М5-брану в М-теории, намотанную на неко-рую двумерную поверхность, вложенную в плоское пространство. Оказывается, о именно эта поверхность является римановой поверхностью, в терминах которой эмулируется решение Виттена-Зайберга. Таким образом, проясняется ее роль в исаяии вакуумной конфигурации поля. Более того, аналогичная картина в рам-х М-теории была получена и для N = 1 калибровочных теорий (Виттен и др.), которых реализуется сденаряи конфайнмекта через конденсацию монополей, что зволяет надеяться на адекватность бранной картины и обычной КХД.

В другом подходе, в рамках ПВ теории, связанной с предыдущим обсуждением ^•образованием Т-дуальности, пространство, в которое вкладываются браны, облает нетривиальной топологией, и браны предполагаются намотанными на неко->рые циклы на поверхностях, например, на эллиптические кривые, вложенные в 3 многообразие. В таком подходе можно добиться меньшей наглядности, однако ш этом автоматически возникают топологические теории на кривых, которые гене-груют многочастичные ин тегрируемые системы. Как и в картине ПА, бранная кон-ягурация становится гладкой, если включить в игру дополнительные размерности, а этот раз следует рассматривать двенадцатимерную теорию, носящую название -теории (Вафа и др.). Дополнительные две размерности предполагаются комлак-ифшшрованньгми на тор, чей модулярный параметр отождествляется с ультрафио-¡товыми значениями константы связи и 0-члена в калибровочной теории поля.

.1 Актуальность темы

ыделение адекватных степеней свободы в области сильной связи в теориях с силь-ым взаимодействием является принципиально важной научной задачей. Ее решение

позволит продвинуться на пути к выяснению структуры вакумного состояния кван товой хромодияамики. Достигнутый в последние годы прогресс в описании суперсим метричных калибровочных теорий показывает, что в области сильной связи теори: описывается в новых терминах, что порождает необходимость в едином огшсанш эффективных степеней свободы в вакуумном секторе калибровочных теорий.

Таким образом, тема предлагаемой диссертации является весьма актуальной, х решение поставленных в диссертации задач несомненно представляет интерес дл; специалистов в области квантовой теории пола и теории элементарных частил.

1.2 Цель работы

Целью работы является изучение динамики в пространстве коллективных координат в различных теориях, формулировка методов их описания в терминах функциональных интегралов и применение предложенных подходов к описанию области сильное связи в суперсимметричлых калибровочных теориях в разных размерностях. Боле< конкретно, в диссертации ставятся следующие задачи.

1. Изучение специальных амплитуд в теории поля, определяемых динамикой конечного числа коллективных координат. Применение техники кокечнозонного интегрирования, построенной в теории интегрируемых систем, для описапия пороговых амплитуд в теориях поля.

2. Получение конечного числа коллективных координат из фазовых пространств, имеющих групповое происхождение. Выяснение групповой структуры классических и квантовых характеристик динамических систем на пространствах модулей и формулировка метода гамильтоновой редукции в терминах функционального интеграла.

3. Исследование инвариантного описания многочастичных систем в терминах калибровочных теорий разных размерностей. Выяснение связи систем Калоджеро с динамикой ва модулях голоморфных векторных расслоений на риманоаых поверхностях. Изучение дуальности в многочастичных системах.

4. Описание эффективных действий четырехмерных калибровочных теорий с различной материей в терминах многочастичных систем. Обобщение связи между вакуумным сектором суперсимметричных теорий и многочастичными системами на теории в высших размерностях.

5. Нахождение адекватных эффективных степеней свободы, ответственных за описание суперсимметричных калибровочных теорий в терминах конечного числа степеней свободы, и формулировка систем типа Калоджеро в таких терминах.

3 Основные результаты, выносимые на защиту

новиымп научпыми результатами, выносимыми на защиту, являются.

1. Вычисление ряда амплитуд в теории поля, определяемых динамикой конечно числа коллективных степеней свободы, а выяснение их связи с конечномерными аамическими системами.

2. Описание иерархии многочастичных динамических систем в терминах фупкци-шьного интеграла по фазовым пространствам, имеющим групповое происхожде-

3. Единое описание динамических систем типа Калоджеро как систем, определяли динамику топологических степеней свободы калибровочных теорий в ;:°>ух и ;х измерениях. Формулировка понятия дуальности в многочастичных системах.

4. Описание низкоэпергетического сектора N = 2 четырехмерных суперсимме-1ЧНЫХ калибровочных теорий с материей в терминах многочастичных систем и бщение па ¿V = 1 суперсимметричные теории в пяти и шести измерениях.

5. Нахождение правильных степеней свободы в многочастичных системах, опи-!ающих лерсимметричные теории, и отождествление их с коллективными коор-[атами солитонов в теории струн-Б-брая.

I Научная новизна и достоверность, вопросы публикаций

! результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми момент их публикации. Результаты опубликовали в ведущих российских и зару-:ных журналах, неоднократно докладывались ва семинарах и конференциях. Они роко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в зких областях теоретической физики. Результаты, лежащие в основе диссерта-[, опубликованы в 1988-1997 годах в работах [1] - [21].

Автору припад тежит постановка теоретических задач, определение метода ре-шя и получение конкретных результатов. В диссертации использовала лишь надлежащая автору часть результатов работ, выполненных в сооавторстве.

1 Апробация результатов

ультаты, получешше в диссертации, неоднократно докладывались па научных инарах ИТЭФ, ФИАИ им.Лебедева, ИТФ им.Ландау, ИЯИ, а также на меж-аропних научных конференциях в Триесте (1991), Лспене (1993), Мориопе (1993), ове (1994), Алуште (1994), Звенигороде (1994), Москве (II конференция памяти

А.Сахарова) (1996), Ярославле (1996), Вроцлаве (1997).

Результаты диссертации были частично изложены на научных семинарах в Гарвар ском и Колумбийском университетах, университетах Чикаго и Миннесоты (США), Британской Колумбии (Канада), Уппсалы (Швеция), ЦЕРНе и Бернском университете (Швейцария), Институте Нильса Бора (Далия), Институте фундаментальных исследований я Высшей политехнической школе (Франция), университетах Рима, Падуи, Триеста (Италия).

Частично результаты диссертации подтверждены работами других авторов. Так, например, экспоненциальное усиление процессов мпогочастичдого рождения в теории с нарушенной дискретной симметрией было подтверждено другим методом Д. Сотом, а связь специальных орбит с сингулярными калибровочными конфигурациями - в работе Балога и др. Описание эффективных суперсимметричных лагранжианов в терминах многочастичных систем было подтверждено в работах многих авторов, а, например, связь торических диаграмм со спектральными кривыми ь пятимерных калибровочных теориях - в работе Вафы и Лионга.

1.6 Структура и объем работы

Диссертация состоит из 5 глав, Введения, Заключения, списка литературы, общим объемом в 162 страницы. Список литературы содержит 235 наименований.

Главы разбиты на параграфы. Содержание диссертации по главам имеет вид:

1. Введение

1.1 Модули и непертурбативпые степени свободы

1.2 Содержание диссертации

2. Коллективные координаты и амплитуды в теориях поля

2.1 Распад ложного вакуума в двумерной теории, индуцированный плотностью

2.2 Многочастичные амплитуды в скалярной теории с нарушенной дискретной симметрией и квантовые пузыри

2.3 Пороговые амплитуды и интегрируемые системы

3. Системы частиц и теория групп

3.1 Системы частиц и матричные модели

3.2 Вихревые конфигурации и специальные орбиты алгебры Вирасоро

3.3 Специальные орбиты алгебры Вирасоро и.теория Лиувнлля

3.4 Квазиточнорешаемые потенциалы и корреляторы в конформной теории

4. Многочастичные системы и налиоровочные теории в двух и трех измерениях

4.1 Многочастичные системы Калоджеро и теория Япга-Миллса в двух измерениях

4.2 Системы Рюсенара и калиброванная (З/С? сигма модель

4.3 Эллиптические модели Калоджеро и калибровочные теории

4.4 Дуальность в мпогочастичных интегрируемых системах

5. Многочастичные системы и суперсимметричные калибровочные теории

5.1 Цепочка Тоды и калибровочные теории Янга-Миллса

5.2 Теория с гипермультиплетом в присоединенном представлении и системы Калоджеро

5.3 Уравнения Упэема

5.4 Суперсимметрнчная КХД и спиновые цепочки в магнитном поле

5.5 Произведение калибровочных групп и высшие спиновые цепочки

5.6 Твистованная неоднородная ХХЯ спиновая цепочка и 50 калибровочные теории

5.7 ХУ2 спиновые цепочки и 6Б калибровочные теории

5.8 Приложеаие

6. Браны как степени свободы многочастичных систем

6.1 Теории поля на мировой поверхности Б-браны

6.2 Степени свободы многочастичных систем и браны -------

6.3 Браны и спектральные кривые в пятимерных теориях

6.4 Уравнения движения в многочастичных системах и браны

6.5 Браны и два лаксовых представления

6.6 Уиземовская динамика в терминах бран

6.7 Браны и теории с несколькими масштабами

6.8 Аналогия с моделью Пайерлса

7. Заключение

2 Содержание диссертации

Во Введении дан обзор состояния науки в данной области на настоящий момеи приведена общая характеристика работы и описана ее структура но главам.

Первая глава диссертации посвящена вычислению ряда амплитуд, которые мог) быть описаны с помощью эффективных степеней свободы, отвечающих коллскти ным координатам. В п.2.1 рассматривается двумерная теория поля, в которой поте! диал скалярного поля содержит экстремум, отвечающий ложному метастабильно!. вакууму. Рассматривается вероятность индуцированного распада вакуума в прису ствии среды с ненулевой плотностью [1J. Процесс представляет непосредственнь интерес при обсуждении двумерных теорий и является модельным примером ситу ции, когда наивное разложение вероятности распада по степеням плотности око) невозмущенного решения классических уравнений движения не работает, и Teopt возмущений применима только около точных решений при ненулевой плотности. С; туация носит общий характер, и данный пример содержит все особенности цело] класса задач.

В данном случае коллективной координатой является радиус зародыша истинно! вакуума, а ее динамика описывается эффективным потенциалом V(R) — const — ßi где первый член отвечает поверхностной энергии, а второй - объемной. Невозм; щенный пузырь сферически симметричен, но при учете влияния среды он дефо, мируется, и действие вычисляется на деформированной конфигурации. Физичеа основной эффект состоит в том, что на кинках, являющихся границей пузыря, им ется локализованная нулевая мода, учет которой меняет эффективный потенциа Амплитуда распада вычисляется в фермиошюй и бозонной среде, причем и в toi и в другом случае показано, что приближение одной коллективной координаты п рестает работать при некоторых плотностях. Фактически, это означает, что реж! сильной связи не может быть описан в рамках данного приближения. В главе мы столкнемся с качественно похожей ситуацией, когда имеется эффективный п тенциал конечной величины и внешний параметр (в главе 5 - параметр порядка вакууме суперсимметричной теории), определяющий "энергию", при которой ра сматривается туннелирование в эффективном потенциале. В отличии от задачи распадом вакуума, в суперсимметричной теории окажется возможным рассмотрев и область сильной связи, где возникают новые безмассовые состояния.

В п.2.2 рассматриваются амплитуды рождения большого числа частиц силы виртуальным квантом скалярного поля в теории с нарушенной дискретной семь: трией [2]. Нам будет интересна область, когда число частиц превосходит обратну константу связи. Будет обсуждаться подход, предложенный Брауном, в котор<

.мплитуды восстанавливаются из решении уравнений движения с источником. В ■еории с нарушенной дискретной симметрией таким решением является конфигурация типа кипка, однако правильно считать, что коллективная координата кинка, таечаюгцая сдвигу по времени, неоднородна в пространстве. При этом, эффек-•ивпо, вновь возникает динамика по коллективной координате, радиусу сферической бласти, разделяющей разпые вакуумные состояния. В отличие от задачи с ложным акуумом, эффективный потенциал содержит только поверхностный член и имеет ,ид У(Н.) -= а Л3. Такой потенциал допускает существование квазистабильных уров-ей пузыря в четырехмерном пространстве Минковского.

Для нахождения производящей функции для пороговых амплитуд требуется найти ешение с фиксированной асимптотикой, что налагает ограничение на динамику о коллективной координате. Оказывается, что необходимо рассматривать реше-ие, интерполирующее между пространством Эвклида и пространством Минков-кого. Разложение полученного решения определяет амплитуды рождения пороговых астиц. Полученный таким образом ответ следует интерпретировать как двухсту-енчатость процесса. Сначала сильно виртуальный квант рождает возбужденное остояние пузыря, которое затем распадается па большое чисто частиц на пороге. 1.мшштуда рождения оказывается экспоненциально большой, однако присутствие в ромежуточном состоянии протяженного объекта говорит о наличии формфактора, оторый может привести к подавленной амплитуде. Существенной особенностью энного процесса является его описание в терминах протяженных объектов, которые аивпо в теории не рассматриваются. Ситуация иаломипает картину, известную в еории интегрируемых систем, когда при больших энергиях справедливо описание терминах дуальных протяженных объектов, причем дуальная теория может нахо-иться в режиме слабой связи.

В п.2.3 мы обсуждаем явление зануления амплитуд на пороге в ряде теорий. Как в предыдущем разделе, используется метод производящих решений, определяющих шшитуды. Задача несомнеппо является модельной, однако она представляет инте-ес, так как явно демонстрируется, каким образом в некотором секторе достаточно Зщей теории поля возникают интегрируемые системы с конечным числом степеней вободы. Мы показываем, что пороговые амплитуды связаны с решениями уравне-ий движения в интегрируемой системе, координатами в которой являются нулевые оды полей [15].

Решения уравнений движения формулируются в терминах римановых поверхно-гей, на которых определен известный объект из теории интегрируемых систем -ункция Бейкера-Ахиезера (ВА). В данном контексте она совпадает с решением урав-зния на вариацию 6ф на фоне классического решения. Функция БА имеет конечное

число полюсов на поверхности, причем показывается, что вычеты функции Б А в пс люсах совпадают с некоторыми древесными амплитудами. Положение полюса опр( деляет при этом конкретную амплитуду, так как роль координаты на поверхност играет переданная энергия. Число полюсов БА функции конечно, и показываете: что именно это обстоятельство является причиной нетривиальных занулений пор< говых амплитуд - число ненулевых амплитуд и число полюсов совпадают. Друга возможная интерпретация связана с дополнительными законами сохранения в инт< грируемых системах, которые в данном случае являются генераторами нелинейны преобразований в пространстве нулевых гармоник полей.

Глава 3 посвящена получению многочастичных интегрируемых систем в конте] сте теории групп. Мы рассматриваем пример конечномерных групп и находим фуш циональный интеграл для систем типа Калоджеро, связанных с орбитами конечш мерных групп. Кроме того, обсуждаются специальные орбиты группы Вирасоро, которыми можно ассоциировать конечномерную динамическую систему.

В п.3.1 мы получаем представление для рациональных многочастичных систем виде функционального интеграла. Используется метод гамильтоновой редукции, п< зволяющий систему с нетривиальным взаимодействием свести к свободному движ! нию на расширенном фазовом пространстве. Мы формулируем метод гамильтоновс редукции в лагранжевых терминах, сводя функциональный интеграл к двухматри1 ной квантовой мехапике с дополнительной калибровочной симметрией. Диагонал) ные элементы пары матриц определяют фазовое пространство динамической а стемы, а константа взаимодействия вводится через расширение фазового простра] ства матричной модели дополнительной коприсоединенной орбитой соответствующе группы [8, 9, 10].

Число частиц в многочастичной системе задается рангом группы, а выбор групп определяет структуру взаимодействия. Подход, связанный с функциональным кит гралом, позволяет получить явные выражения для волновых функций и спектра терминах теории групп. Именно такой подход оказывается удобным для обобщен! на бесконечномерные алгебры и общие динамические системы на различных ир странствах модулей.

В п.3.2 обсуждаются коприсоединеяные орбиты алгебры Вирасоро в методе гами. тоновой редукции. Используется описание алгебры Вирасоро в терминах редукции ] алгебры 5£{2, й). Показано, что так называемые специальные орбиты получают' из орбит Каца-Муди, если включить в игру вихревые конфигурации калибровочно] поля. Число вихрей определяет число полюсов тензора энергии-импульса в двум рии, причем координаты вихрей становятся модулями, ассоциированными со сп циальными орбитами алгебры Вирасоро [5].

В п.3.3 рассматривается процедура построения геометрического действия для спе-альных орбит алгебры Вирасоро. Процедура построения геометрического дей-зия на коприсоединенных орбитах произвольной группы универсальна и приво-г, например, к лагранжиану Весса-Зумино для алгебры Каца-Муди ц действию увилля для орбит Вирасоро общего положения. Мы рассматриваем процедуру :троения геометрического действия для орбит Вирасоро с модулями методом ре-<ции.

В качестве исходного выбирается действие Весса-Зумино на фоне конечного чи-l вихревых конфигураций. На лагранжевом языке проводится процедура редукции, ■ле чего возникает квантовая механика конечного числа степеней свободы, взаамо-[ствующая с теорией Лиувилля. Показано, что описание конечного числа степеней болы может быть проинтерпретировано, как вставка операторов с фиксированной >мальной размерностью в теорию Лиувилля, Если рассмотреть теорию с произ-[ьпым числом вихрей, то эффективное суммирование по специальным орбитам дится к теории sin — Gordon [15].

В п.3.4 мы показываем, что специальные орбиты алгебры Вирасоро имеют лю-:ытное приложение к одночастичпой квантовой механике [3]. Показывается, что зиточпорешаемые потенциалы, введенные Турбинером и Ушверндзе, для которых ть спектра вычисляется алгебраически, находятся в однозначном соответствии с реляторами в теории Лиувилля с 4-мя вершинными операторами, связанными с ■стейшими специальными орбитами. Голоморфные конформные блоки соответ-уюг волновым функциям, а модули орбит становятся параметрами потенциала в нтовой механике. Соответствие позволяет определить смысл аналога оператор-о разложения в квантовой механике. Оно формулируется в пространстве констант зи, и коэффициенты операторного разложения определяют структуру разложения новых функций в потенциале с некоторым числом параметров по волновым функ-м в потенциале, в котором число параметров на единицу меньше.

В главе 4 рассматриваются многочастичные системы типа Калоджеро, возникаю; в теориях поля в двух и трех измерениях. В качестве степеней свободы выдают собственные зиачеция электрического поля или собственные значения виль-эвских петель. Показано, каким образом при учете вильсоновских линий во>-ают многочастичные системы, и найдены соответствующие волновые функции и ктры.

В п.4.1 рассматривается двумерная теория ЯнгагМиллса с группой SU{N) па пи-дре с дополнительной вяльсоповской линией, соответствующей тяжелому источу в некотором представлении калибровочной группы [8, 9]. Действие ЯМ имеет уктуру, которая может быть описана в терминах гамильтоновой редукции, при-

чем закон Гаусса играет роль отображения моментов. Если выбрать калибровк; которой калибровочное поле Ах на окружности .диагонально, то диагональные ( ствеяные значения могут рассматриваться как координаты в гамильтоновой сист< а сопряженными импульсами являются собственные значения электрического пс Если выбрать вильсоновскую линию в представлении минимальной размерности возникает тригонометрическая система Калоджеро, и волновой функционал поле теории, который в данном случае сводится к конечномерному выражению, вычис ется в групповых терминах.

Обнаруженная связь систем Калоджеро с калибровочной теорией объясняет явление данных систем в различных физических задачах, так как калибровочная ория фиксирует некоторый класс универсальности. В качестве примеров задач, в торых возникают системы Калоджеро, упомянем динамику систем анионов, динам краевых возбуждений при изучении квантового эффекта Холла, вихрей в с=1 матр ной модели двумерной гравитации или описание корреляторов в хаотических стемах общего положения.

В п.4.2 показано, что при естественном обобщении системы ЯМ на калибровал« ОIС теорию Весса-Зумипо, эквивалентную лагранжиану Черна-Саймонса на т] мерном многообразии, возникают многочастичные системы Рюсенара [12]. В к; стве гамильтонианов в данном случае выступают вильсоновские петли, которы другой стороны, задают фазовое пространство системы. Система Рюсенара Я1 ется релятивистским обобщением систем Калоджеро, а параметр, который игр роль "скорости света", - коэффициент перед лагранжианом Черна-Саймонса или алгебраическом языке) уровень в алгебре Каца-Муди. Нерелятивистский предел 1 никает при стремлении уровня к бесконечности. Показало, что системы Рюсен являются простейшими динамическими системами на пространстве модулей ш ких связностей на эллиптической кривой с одной отмеченной точкой и могут б] обобщены на произвольную поверхность с произвольным числом отмеченных то1

В п.4.3 мы обобщаем лаграажево описание многочастичных систем на эллиг ческий случай, когда потенциал двухчастичного взаимодействия определяется ф) цией Вейерштрасса [13, 9]. Впервые из общих принципов было получено выра ние для оператора Лакса, ражее угаданное Кричевером эмпирически. Наиболы интерес в системах с эллиптическими потенциалами представляет наличие неси ких параметров, которые в следующей главе будут проинтерпретированы в физ1 ских терминах. В частности, константа связи в эллиптической модели Калодж оказывается массой материи в присоединенном представлении, а модуль эллшги ской кривой - ультрафиолетовой константой связи в суперсимметричных теор] Впервые показано, что системы Калоджеро вкладываются в общие системы >

на на модулях голоморфных векторных расслоений на поверхностях с отмечеп-ми точками. Волновые функции оказываются конформными блоками в теории сса-Зумино.

В п.4.4 формулируется преобразование дуальности, связывающее лары многоличных систем [12]. Например, тригонометрическая модель Калоджеро оказывается альна рациональной модели Рюсенара. Преобразование дуальности может быть эрмулировано следующим образом: координаты частиц в одной системе стано-?ся переменными действия в дуальной системе. При этом в качестве гамильто-мтов выбираются разные наблюдаемые - в терминах калибровочных полей виль-ювекие петли заменяются на степени электрического поля. На квантовом уровне гаовые функции дуальных систем связаны между собой - одна и та же функ-I, рассмотренная как функция двух разйых аргументов, обслуживает обе системы, качестве примера можно упомянуть ортогональные полиномы, удовлетворяющие 1>фереяциальвому уравнению по аргументу и разностному - по индексу. Первое них является уравнением Шредингера в одной системе, а второе - разностным тнением Шредингера в дуальной. Указанная дуальность может быть проингер-;тирована как модулярное преобразование и является аналогом преобразований шьности в теории поля.

В главе 5 мы показываем, что решения задачи о вычислении эффективных дей-ига в суперспмметричных теориях в разных размерностях эквивалентно задаче о даждении решений уравнений движения для мпогочастичпых систем, рассмотрен-х в предыдущих главах. Показано, каким образом связаны различные параметры «эделях и сформулирована процедура получения эффективных действий в тернах многочастичных систем. Показано, что соответствие справедливо для супер-шетричиых теорий с материей в различных представлениях и различной струк-юй калибровочных групп.

В п.5Л рассматривается решение Виттена-Зайберга для эффективной низкоэпер-ической теории в четырехмерпом пространстве и формулируются основные ре-ьтаты, полученные в работе Горского, Кричевера, Маршакова, Миронова и Молва. В последующих разделах этой главы показывается, каким образом риманова ;ерхность, определяющая решение, и заданный на ней дифференциал описываются ерминах систем типа Калоджеро. Римашва. поверхность чпето калибровочной теги отождествляется со спектральной кривой для периодической цепочки Тоды, а [)ференциал - с дифференциалом действия Препотенциал совпадает с ло-

'ифмом т-функпии дополнительной интегрируемой системы типа Уизема, опи-5ающей ренормгрупповые потоки в теории.

В теорию может быть введена материя, и, если материя берется в присоединенном

представлении, то динамическая система становится эллиптической системой Кат джеро, определенной на эллиптической кривой, чей модулярный параметр отожд ствляется с параметрами суперсимметричной теории т = ф +'2~в, а константа свя - с массой гипермулътиплета. Если теория содержит фундаментальную материю, она описывается другим обобщением цепочки Тода - неоднородной XXX 31А2) сг новой цепочкой на узлах [14,16,17] (для калибровочной группы 5{/(Лгс)). Мао фермионов связаны со спинами в узлах и неоднородностями, причем при устремлен масс к бесконечности размерная трансмутация приводит к генерации инфракрасно массивного параметра Лдсв- Если калибровочная группа в теории является п{ иэведением нескольких факторов, то вакуумный сектор описывается

спиновой цепочкой, р > 2 [20].

Соответствие между динамическими системами и калибровочными теориями П{ должается на пяти- и шестимерные калибровочные суперсимметричные теория с < ним или двумя компактными измерениями. Показывается, что пятимерная теори: фундаментальной материей описывается неоднородной XX 2 цепочкой, а параме анизотропии выражается через радиус компактного пятого измерения. Если рассь треть шестимерную теорию с Л/ = 2NC фундаментальными фермиоиами, то и описывается полностью анизотропным ХУ2 магнетиком, и анизотропии опреда ютси через /?5,Яб [21]. Новым элемеыом в ы»ииах раомсраооаях являет»-» иияюлел дополнительных пуассоновых симметрий в вакуумном секторе, являющихся сиш триями магнитных цепочек. Дополнительными симметриями являются кванто! группа 8Ья(2) для пятимерной теории и алгебра Склянина в шестимерии.

Хотя в предыдущей главе было показано, что все ингредиенты решения, угад; ные Виттеном и Зайбергом, получают рациональное объяснение в рамках теор многочастичных интегрируемых систем, смысл степеней свободы в этих систем оставался неясным. В главе 6 мы показываем, что правильными степенями с боды в многочастичпых системах являются браны разных размерностей. Мы монстрируем, каким образом вводятся степени свободы и проясняем роль уравнег движения в бранном подходе [19]. С этой целью оказывается удобным отобразить ременные на пространство модулей циклической монопольной конфигурации, ш> чего уравнения движения в лаксовой форме совпадают с уравнениями Нама, изве ными в теории пространств модулей монополей. Мы показываем, что динамически степенями свободы на спектральной кривой являются /?0-6раяы, локализованные ,04-бранах в ПА картине или М5-бране в М-теории. Непосредственный смысл ив грируемости состоит в том, что она запрещает ДО-бранам "уходить" со спектраль; кривой.

В высших измерениях бранной конфигурации можно придать еще один смь:

эказывается, что бранная диаграмма как плоский граф дуальна торической диа->амме многообразия, которая зашифровывает информацию о структуре его сингу-[рностей [21]. Таким образом, оказывается возможным получить уравнение спек->альной кривой непосредственно в терминах бранной диаграммы.

В п.6.8 мы обсуждаем аналогию с задачей Пайерлса, описывающей одномерную ерхпроводимость, и показываем, что она позволяет прояснить смысл степеней своды в интегрируемой системе с несколько неожиданной точки зрения [18]. Роль >риодической цепочки Тоды в контексте модели Пейерлса такова. Имеется флуктуп-гющая периодическая решетка конечпого размера., которая может быть рассмотрена ас решетка 270-брап. Фононные степени свободы в решетке отождествляются со сте-¡нями свободы в цепочке Тоды. Фермионы взаимодействуют с фояонами, и гамиль-лшан взаимодействия отождествляется с оператором Лакса цепочки Тоды. Функ-1Я ВА при этом становится волновой функцией фермиопа, а спектральная кривая его законом дисперсии, связывающим квазиимпульс и квазиэнергию. Наиболее ин-¡ресиым следствием предложенной аналогии является интерпретация стабильпых ПС состояний в суперсимметричпых калибровочных теориях как полностью запольных разрешенных или запрещенных зон в спектре фермионов в периодической :шетке.

В Заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты

Вычисление ряда амплитуд в теории поля, определяемых динамикой конечного чи-1а коллективных степеней свободы, и выяснение их связи с конечномерными динами-;скими системами.

1. Вычислена вероятность распада вакуума в плотной среде в двумерной скаляр-яг теории [6].

2. Показано, что амплитуда рождения большого числа частиц сильно виртуаль-лм квантом в теории с нарушенной дискретной симметрией носит двухступенчатый фактер и в промежуточном состоянии рождается пузырь, разделяющий в простран-тве области разпых вакуумов [7].

3. Показано, что явление запуления пороговых амплитуд может быть объяснено терминах конечнозонных решений уравнения КдФ [15].

Описание иерархии многочастичных динамических систем в терминах функцп-гального интеграла по фазовым пространствам, имеющим групповое происхожде-ге.

4. Найдена формулировка метода гамильтоновой редукции для многочастичных систем в терминах функционального интеграла [8, 9, 12, 13]-

5. Показано, что специальные орбиты в алгебре Вирасоро связаны с вихревыми конфигурациями калибровочного поля [5]; получено геометрическое действие для специальных орбит [11].

6. Показано, что одномерные точнорешаемые и квазиточнорешаемые задачи связа! с корреляторами в двумерной конформной теории поля [4].

III. Единое описание динамических систем типа Калоджеро как систем описывающих динамику топологических степеней свободы калибровочных степеней свободы в двух и трех измерениях. Формулировка понятия дуальности в многочастичных системах.

7. Показано, что многочастичные системы типа Калоджеро описывают динамику топологических степеней свободы в двумерной теории Янга-Миллса [8].

8. Показано, что системы Рюсенара описывают степени свободы в трехмерной теории Черна-Саймонса [10].

9. В терминах гамильтоновой редукции сформулировано понятие дуальности в многочастичных системах и найдены примеры дуальных систем [12].

IV. Описание низкоэнергетического сектора N = 2 четырехмерных суперсимметричных калибровочных теорий с материей в терминах многочастичных систем и обобщение на N = 1 суперсимметричные теории в пяти и шести измерениях.

10. Показало, что вакуумный сектор в четырехмерных N=2 суперсимметричнмх теориях поля описывается многочастичными системами типа Калоджеро или конечными спиновыми цепочками [14, 16, 17, 20].

11. Найдено низкоэнергетическое эффективное действие N=1 суперсимметричных калибровочных теорий в пяти и шести измерениях и показано, что вакуумный сектор описывается анизотропными спиновыми цепочками [21].

V. Выделение адекватных степеней свободы в многочастичных системах, описывающих суперсимметричные теории, и отождествление их с коллективными координатам солитонов в теории струн-О-бран.

12. Исследована структура импульсного пространства теорий поля и ее связь с преобразованиями киральиости [1, 2, 20].

13. Показано, что эффективными степенями свободы интегрируемых систем, описывающих вакуумный сектор суперсимметричных теорий, являются коллективные координаты D-бран [19, 20].

14. Обнаружена связь между описанием вакуумного сектора N=2 суперсимме-

ричной калибровочной теории и моделью Пайерлса [18].

1убликации по теме диссертации

1] Л.Горский, Преобразование киральности и структура импульсного пространства, Письма в ЖЭТФ 48 (1988) 121-123.

2] А.Горский, Фаза Берри и киральная аномалия, Письма в ЖЭТФ 48 (1988) 507510.

3] А.Горский, К.Селиванов, Индуцированные дионы в КХД, Ядерная Физика 53 (1991) 187-192.

4] А.Горский, О связи точнорешаемых и квазиточнорешаемых квантовых механик с уравнениями на конформные блоки в двумерных теориях, Письма в ЖЭТФ 52 (1991) 268-272.

5] А.Горский, К.Селиванов, Б.Рай, Большие калибровочные преобразования и специальные орбиты алгебры Вирасоро, Письма в ЖЭТФ 53 (1991) 59-63.

6] A.Gorsky, V.Kiselev, Faise vacuum decay induced by dense matter in two dimensions, Phys.Lett. B304 (1993) 219-225.

7] A.Gorsky, M.Voloshin, Nonperturbative production of multi boson states and quantum bubbles, Phys.Rev.D48 (1993) 3843-3851.

8] A.Gorsky, N.Nekrasov, Hamiltoniaa systems of Calogero type and two dimensional YM theory, Nncl.Phys. B414 (1994) 213-231.

9] А.Горский, Н.Некрасов, Квантовые интегрируемые системы частиц как калибровочные теории, Теоретическая и математическая физика 100 (1994) 874-884.

0] A.Gorsky, N.Nekrasov, Elliptic Calogero-Moser systems from two-dimensional current algebra, hepth/9401021

1] A.Gorsky, A.Johansen, Liouville theory and special coadjoint Virasoro orbits, I.Jorn.Mod.Phys. A10 (1995) 785-797.

2] А.Горский, Интегрируемые многочастичные системы в теории поля, Теоретическая и математическая физика 103 (1995) 681-710.

3] A.Gorsky, N.Nekrasov, Relativistic Calogero-Moser systems as gauged WZW theory, Nucl.Phys.B436 (1995) 582-608.

[14] A.Gorsky, A.Marshakov Towards effective topological gauge theories on the spectj curves, Phys.Lett. B374 (1996) 218-224.

[15] A.Gorsky, K.Selivanov, Threshold amplitudes in field theories and integrable systen Mod.Phys.Lett. All (1996) 1597-1604,

[16] A.Gorsky, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, N=2 SQCD and integrable sp chains: rational case Nf < 2Nc, Phys.Lett. B380 (1996) 75-80.

[17] A.Gorsky, Integrability and supersymmetric Yang-Mills theories, to appear in Pi ceedings of the International Seminar "Quarks-96"

[18] A.Gorsky, Peierls model and vacuum structure of N=2 SYM theory, Mod.Phys.Le A12 (1997) 719-727.

[19] A.Gorsky, Branes and integrability in the N=2 SYM theory, Phys.Lett. B410 (199 22-28

[20] A.Gorsky, S.Gukov, A.Mironov, Supersymmetric Yang-Mills theories, integrable sy tems and their stringy/brane origin-I, hepth/9707120, to appear in Nucl.Phys.H

[21] A.Gorsky, S.Gukov, A.Mironov, SnperoyTTimefrir-Y»ng-MiH« theories, intijrsHc cy tems and their stringy/brane origin-II, hepth/9710239, to appear in Nucl.Phys.B

Подписано к печати 02.02.98 Формат 60x90 I/I6

Усл.~печ.л.1,75. Тираж 100 экз. Заказ 447

Отпечатано в ИТЭФ, II7259, Москва, Б.Черемушкинская, 25