T-пространства в относительно свободной алгебре Грассмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

СИОУО

ЦЫБУЛЯ Лилия Михайловна

Т-ПРОСТРАНСТВА В ОТНОСИТЕЛЬНО СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЕ ГРАССМАНА

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

-1 ОКТ 2009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003478070

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Гришин Александр Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Белов Алексей Яковлевич

кандидат физико-математических наук Кузьмин Алексей Михайлович

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится «_££_» _ 2009 г. в & часов на за-

седании Диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан « » сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

У/

Муравьева О.В.

Общая характеристика работы

Актуальность, темы. Понятие Т-пространства, как линейного подпространства свободной счетнопорожденной ассоциативной алгебры F — к{х 1,..., ...) над полем к, замкнутого относительно подстановок вместо переменных любых элементов этой алгебры, было введено A.B. Гришиным [6] около 20-ти лет назад и уже прочно вошло в обиход современной комбинаторной алгебры и теории PI-колец. С его помощью был решен ряд достаточно долго остававшихся открытыми проблем. Это, в первую очередь, такие проблемы конечной базируемое™, как проблема Мальцева и проблема Шпехта в положительной характеристике. Интересно, что аппарат Т-пространств оказался одинаково эффективным как при доказательстве положительных утверждений, так и при построении контрпримеров.

В 1987 году А.Р. Кемер [15] получил положительное решение проблемы Шпехта [30] о конечной порожденности любого Т-идеала алгебры F над полем нулевой характеристики. Этот факт в некоторой степени повлиял на появление понятия Т-пространства. Примерно в это же время при доказательстве конечной базируемости систем обобщенных многочленов (т.е. элементов свободного произведения алгебры матриц и свободной алгебры F) A.B. Гришиным [б] было замечено, что в случае поля характеристики куль достаточно только подстановок и линейных действий (умножения оказались не нужны). Это привело к понятию Т-пространства в алгебре обобщенных многочленов, а также стимулировало получение аналогичного результата для систем обычных многочленов (т.е. для элементов из алгебры F). Немного позднее им же в работе [7] вводится понятие абстрактного Т-пространства, существенно обобщающее предыдущее определение Т-пространства, под которым теперь понимается любой унитарный правый fcT-модуль, где кТ — полугрупповая fc-алгебра полугруппы Т эндоморфизмов (подстановок) алгебры F. Расширение таким образом понятия Т-пространства освобождает от необходимости рассматривать только подпространства в свободных алгебрах, можно брать фактор-Т-пространства, прямые суммы Т-пространств и т.д. Кроме того, имеется большой запас примеров Т-пространств иной природы, связанных со следами, квазимногочленами и некоторыми другими специальными конструкциями (см. [7], [28]). Современный взгляд на концепцию Т-пространства изложен в [12]. Через ¿Р обозначается Т-пространство, порожденное подмножеством S некоторого Т-пространства.

Пусть I — произвольный Т-идеал алгебры F (возможно нулевой). Относительно свободная алгебра F/I является, очевидно, циклическим кТ-модулем, порожденным любой из своих переменных. Согласно результатам A.B. Гришина [7], [28], если к — поле нулевой характеристики, а идеал I содержит многочлен Капели

Cn = Yl (~1УУ0Ха(1)У1 ■ ■ ■ Ха(п)Уп, <res„

то этот циклический мо.дуль нетеров. В качестве следствия получается

конечная базируемость любого Т-идеала, содержащего многочлен Капели. Позже В.В. Щиголев [24], используя технику и обобщение результатов A.B. Гришина [7] и А.Р. Кемера [14], [15]. доказал, что F — {xi}T — нетеров fcT-модуль, т.е. всякие условия на Т-идеал I можно отбросить. Положительное решение проблемы Шпехта [15] является, как нетрудно видеть, частным случаем этого факта.

Рост интереса к Т-пространствам, как представляется, произошел и в связи с тем, что в конце 1997 года A.B. Гришиным был построен пример неконечно порожденного Т-пространства над полем положительной характеристики: Т-пространство, порожденное одночленами х\... х\, п е N, над произвольным полем характеристики 2 не является конечно порожденным как Г-пространство даже по модулю тождества [[£,у],г] = 0, и больше того, если добавить тождество ж4 = 0. Примеры неконечно порожденных Т-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В.В. Щиголевым в [25]. В частности, им было доказано, что Т-пространство, порожденное элементами х[~1з£г1[х1,х2\ ■.-^rä-i^n^n-b^r.], п е N, над произвольным бесконечным полем характеристики р > 2 не является конечно порожденным, причем это верно и по модулю тождества [[a\?/],z] = 0, и больше того, если добавить тождество xv = 0. Особый интерес представляет доказанный В.В; Щиголевым [25] следующий факт: Т-пространство 1 [сс, у] | s € N}T не является конечно порожденным для любого простого числа р даже по модулю тождества [[ж, у], г] = 0. В работе [28] В.В. Щиголев построил целый ряд примеров неконечно порожденных Т-пространств над произвольным полем характеристики р > 0, кроме того, им был предложен способ обобщения ранее полученных результатов со случая бесконечного поля на случай произвольного поля путем рассмотрения Т-пространств с дополнительным условием замкнутости относительно взятия полиоднородных компонент.

В 1998 году практически одновременно тремя авторами (А.Я. Беловым [3], A.B. Гришиным [8], В.В. Щиголевым [23]) были даны первые контрпримеры к аналогу проблемы Шпехта в характеристике р > 0. Хотя внешне эти конструкции достаточно различны, по существу дела, все они основаны на идее Т-пространства. То же самое можно сказать и о всех контрпримерах, полученных в дальнейшем другими авторами (см. [1], [29]). Естественным аналогом проблемы Шпехта является проблема Мальцева [21]: верно ли. что в свободной счетнопорожденной ассоциативной Z-алгебре любой Т-идеал конечно порожден? Полученные контрпримеры к проблеме Шпехта в положительной характеристике дают отрицательное решение проблемы Мальцева. A.B. Гришин [8], [26], [27] впервые дал пример ассоциативного ниль-кольца индекса 16, не имеющего конечного базиса тождеств.

Нужно отметить, что в случае поля характеристики р > 0 результатов в положительном направлении до недавнего времени почти не имелось, за. исключением конечной порожденное™ Т-пространств в алгебрах ком-мутативньгс многочленов над бесконечным полем, доказанной A.B. Гри-

шиным в [8]. В свою очередь, Е.А. Киреева [19], используя по аналогии с [8] технику вполне упорядоченных множеств, распространила этот результат на случай произвольного унитарного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца коэффициентов.

Были изучены экстремальные свойства Т-пространств над полями положительной характеристики, связанные с конечной порожденностью. Как уже отмечалось, если поле имеет характеристику р = 2, то Т-пространство, порожденное произведениями квадратов переменных, не является конечно порожденным по модулю [[¡r,j/j,z] = 0 и х4 — 0. Однако, как установили A.B. Гришин и C.B. Урбаханов в [9], если к этим тождествам добавить еще одно тождество [zi,^]. ■. [x2n-i^2n\ = 0, не являющееся следствием из них, то по модулю уже этих тождеств указанное Т-пространство оказывается конечно порожденным. Кроме того, было показано, что это Т-пространство обладает интересным экстремальным свойством, связанным с коразмерностями в цепочках подпространств 2-слов. Аналогичным свойством обладают и построенные В.В. Щиголевым в [28] примеры неконечно порожденных Т-пространств над полями характеристики р > 2. Следует отметить также замечательный факт, полученный Е.А. Киреевой совместно с А.Н. Красильниковым [17], который заключается в следующем. Пусть Vp — Т-идеал алгебры F, порожденный [[а:,у],г] и х™, где m = р, еслир > 2, и m = 4, еслир = 2. Он экстремален в следующем смысле. Относительно свободная алгебра F/Vp содержит бесконечно базируемые Т-пространства (A.B. Гришин [8], [27] для р = 2, В.В. Щиго-лев [25] для р > 2), а в работе [17] показано, что еыи I — произвольный Т-идеал, содержащий собственным образом Т-идеал Vp, то F/1 — нете-рово Т-пространство.

Доказательство этого результата основано на следующем факте [17], представляющем самостоятельный интерес. Т-пространство в относительно свободной алгебре над нетеровым коммутативно-ассоциативным кольцом с 1, соответствующей тождеству

[¡сьЯгПяз.аи] •.. • • [ï2»-i,Z2n] = 0, (1)

порожденное многочленами с ограниченными кратностями вхождения переменных, конечно базируемо. Первоначально же A.B. Гришиным ставился вопрос о конечной базируемое™ таких Т-пространств над полем. Исследование этих Т-пространств представлялось важным, т.к. В.В. Щиголевым было показано, что отказ от ограниченности кратности вхождения переменных приводит к примерам Т-пространств в относительно свободной алгебре с тождеством (i) при п = 2, не являющихся конечно порожденными.

Следующий вопрос, возникающий при исследовании экстремальных свойств Т-пространств, связан с поиском границы между конечно порожденными и неконечно порожденными Т-лространствами в относительно свободных алгебрах. Е.А. Киреевой [18] был получен следующий результат: пусть Up — Т-пространство, порожденное всеми р-словами (под п-словом понимается любой одночлен из алгебры F, содержащий каждую

из входящих в него переменных с кратностью п, п £ N) и Т-идеалом Vp, который был определен выше. Тогда любое Т-пространство в F/Vp, содержащее Up/Vp собственным образом, конечно порождено.

Весьма интересные исследования рядов Гильберта для Т-пространств проведены А.Я. Беловым в [5].

Кроме свободных алгебр счетного ранга можно рассматривать и свободные алгебры конечного ранга (так называемый локальный случай). В этом случае ситуация для Т-пространств и Т-идеалов существенно различается. С одной стороны, В.В. Щиголев [25] построил примеры неконечно порожденных Т-пространств в 2-порожденной алгебре. С другой стороны, А.Р. Кемером [16] доказано, что все Т-идеалы в свободной алгебре конечного ранга конечно порождены. Впоследствии А.Я. Белов [2] распространил этот результат на случай произвольного унитарного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца коэффициентов. Совсем недавно в [4] он получил далеко идущее обобщение своих результатов.

Естественно возникает вопрос о построении структурной теории Т-пространств. При этом наиболее содержательная теория возникает, если рассматривать Т-пространства, удовлетворяющие некоторым специальным условиям. Например, можно рассмотреть все Т-пространства, лежащие в конкретной относительно свободной алгебре, и связанные с ними теоретико-модульные конструкции. Одной из наиболее важных и интересных таких алгебр, дающей по существу все основные известные контрпримеры, является унитарная относительно свободная алгебра Грассмана над полем характеристики р > 0, т.е. алгебра F^ = k(l,Xi,...,Xi,...)/T^\ где У'3' — У-идеал, порожденный «тройным коммутатором» [[а;,у],г] (так называемое тождество Грассмана). Мы рассматриваем и неунитарную алгебру FW = fc{xi,... ,Xi,.. .)/Т®, которую также называем относительно свободной алгеброй Грассмана. Название объясняется тем, что многообразие fc-алгебр, заданное тождеством {[х,у], z] = 0, в случае р ф 2 порождается алгеброй Грассмана (см. [22]), а в случае р = 2 — алгеброй Фг, впервые введенной A.B. Гришиным и являющейся аналогом алгебры Грассмана (см. [8], [9], [28]). Всюду ниже через Т обозначается полугруппа эндоморфизмов свободной ассоциативной алгебры k(\,xi,... ,Xi,...} с единицей, а через Т* — полугруппа эндоморфизмов ее подалгебры к(хь... ...) без единицы (ясно, что 'Т* — подполугруппа в Т). Отметим, что кТ* С кТ, поэтому Т*-пространство V* в F'3'*, порожденное теми же многочленами, что и Т-пространство V в Fi3>, вообще говоря, меньше. Образы свободных переменных в алгебре F^ (в алгебре F(3П будем обозначать также, как и сами переменные. В дальнейшем (за исключением приложения) к — бесконечное поле характеристики р > 0. При построении контрпримеров в характеристике р чрезвычайно важную роль играет Т-пространство Wn, порожденное в F'3' всевозможными n-словами. Из бесконечно базируемых Т-пространств, построенных в Wn, потом конструируются бесконечно базируемые Т-идеалы. Основными объектами исследования для нас будут Т-пространства Wn и IV*, а также алгебры Fи F

Весьма актуальной представляется следующая задача ((р,п)-проблема): найти неприводимые системы порождающих Г-пространств Wn для любых пар р и п (см. [1]). Для взаимно простых пар ответ прост: W„ = F(3'. Но если п делится на р, то возникает достаточно содержательная, на наш взгляд, теория, имеющая свою специфику в характеристике р = 2. Также аналогичная задача решается нами для Т*-пространства W* как в случае поля характеристики р, так и в случае поля нулевой характеристики.

Как правило, рассматриваемые Т-пространства обладают еще и мультипликативной структурой. Как выясняется в дальнейшем, основные Т-пространства в F^ оказываются ее коммутативными подалгебрами или идеалами в этих подалгебрах. Более того, как показал A.B. Гришин [10], [11], Wp — центр алгебры F®. Поэтому интерес вызывают вопросы о строении этих подалгебр и некоторых модулей в F® над этими подалгебрами, а также аналогичные вопросы в алгебре F

Цель работы заключается в исследовании Т-пространственной и мультипликативной структуры относительно свободной алгебры F®. Как будет видно из дальнейшего, между этими двумя структурами имеется интересная взаимосвязь. Также мы изучаем строение W'* как Т*-пространства и как подалгебры в F

Методы исследования. В работе использованы методы комбинаторной алгебры, структурной теории колец и модулей, а также результаты более ранних исследований по теории Г-пространств, полученные A.B. Гришиным и В.В. Щиголевым.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получен ответ на (р, п)-проблему, исследованы Т-пространственная и мультипликативная структуры относительно свободной алгебры F®, изучено строение W* как Т*-пространства и как подалгебры в F'3'*. Полученные результаты являются новыми.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Дан полный ответ на (р, п)-проблему, т.е. построена бесконечная неприводимая система порождающих Т-пространства Wn. Эта система позволяет проводить эффективные вычисления. В частности, получено разложение Т-пространства Wn в прямую сумму основных Т-подпространств. Также исследованы естественно возникающие бесконечные как строго убывающие, так и строго возрастающие цепочки включений Т-подпростракств в Wn.

2. Изучено строение фактор-Т-проетранств, ассоциированных с этими цепочками. Одним из основных результатов является разложение этих фактор-Т-пространств в бесконечные прямые суммы простых Т-пространств.

3. Исследована мультипликативная структура алгебры То обстоятельство, что основные Т-пространства в F^ оказываются к тому же ее коммутативными подалгебрами или даже идеалами в этих подалгебрах, позволило F^ и некоторые ее подалгебры рассмотреть как модули над коммутативными алгебрами. Дано описание этих модулей.

4. Изучена специфика случая характеристики 2.

5. Получен ответ на (р, п)-проблему для Т*-пространства W* в случае поля характеристики р, а также в случае поля нулевой характеристики. Показано, что Т"-пространство является подалгеброй в алгебре F Дано описание нильрадикала этой алгебры и факторалгебры по этому радикалу.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего построения структурной теории Г-пространств не только в относительно свободной алгебре Грассмана, но и в других относительно свободных алгебрах, в частности, соответствующих тождеству коммутатора длины п,п> 3. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов университетов.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей работы докладывались на международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007); международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию А.Г. Куро-ша (Москва, 2008), международной научной конференции, посвященной 100-летию В.В. Вагнера (Саратов, 2008), а также на научном семинаре «Кольца и модули »'кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МПГУ и научно-практической конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников математического факультета МП-ГУ (март 2007, 2008, 2009).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 работ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Содержит 127 страниц машинописного текста, список литературы из 48 наименований.

Краткое содержание работы. Каждая глава снабжена своей нумерацией утверждений и формул, например, теорема 3.2.1 является первой теоремой второго параграфа третьей главы.

Первая глава целиком посвящена вычислительным аспектам в алгебре FОдним из основных инструментов исследования является так называемый канонический базис. Ранее аналогичный базис, правда, для полилинейных многочленов рассматривался В.Н. Латышевым в работе [20]. Глава содержит три параграфа, где повсюду, за исключением последнего параграфа, предполагается р > 2. В конце параграфа 1.3 дается комментарий . к ситуации в характеристике р= 2, которая в некотором смысле является исключительной. В параграфе 1.1 приводятся необходимые предварительные определения и обозначения, а также основные соотношения в F{3\ используемые при вычислениях. Как будет следовать из результатов главы 2 (см. также [34]), Wn = F(3) при (п,р) = 1 и W„ = Wpi при п = р'пi, где (щ,р) — 1, п\Л € N. Более того, для всех р к I, кроме р = 2, I = 1, Wjf = Dpi ф С Dpt. Здесь Dpi = {х{ }т — нетерово Т-пространство, назы-

ваемое еще диагональной компонентой Т-пространства И^, а СБ^ (коммутаторная компонента Т-пространства \Ур1) — бесконечно базируемое Т-пространство, имеющее следующую неприводимую систему порождающих {дт,1 = Ст^ | Ст,1 = Я]""1^ ■ ■ • ^т~1Ут~1[Хт,Ут\,ТП £ Я}. Отметим, что Т-пространство Ср! (чисто коммутаторная компонента Т-пространства порожденное всеми многочленами с^, — собственное подпространство в СВр¡. Если р — 2, I = 1, то Т-пространство И'г совпадает с Т-пространством = {х\ • • • а;^ | в € Лг}т — первым примером неконечно базируемого Т-пространства в характеристике 2 (см. [8]). Потом появились примеры бесконечно базируемых.Т-пространств в характеристике р > 0 в других подпространствах И^г (см. [25], [28]). Поэтому интересно более подробно изучить не только строение этих подпространств в IУр1, но и связь между ними.

Легко видеть, что Ср1 и СО^ — бесконечные суммы Г-пространств

Су*' = {стЛТ и СО^ - {дт,1}т соответственно.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. Если I = О, ТО С[т) = {[хиУ1}...[хт,Ут\}Т И С™ = ([Х1,У1]...[®т,»т])Г - Т-пространство и Т-идеал в алгебре Г^ соответственно, если гп ~ 1, то С[1) = Сх и С^ = С.

Связь между введенными таким образом Т-пространствами Су, СБ^, Су"' и СВ^ выражается следующей диаграммой:

С = С^ э С(2> Э ... Э С<™> Э ...

и и и и

СОр = СП^ + СБ® + ... + Сй^ + ... и и и и

и

СД. =

Ср1

и и

сяФ + СБУ + р1 р*

и и

и

(1)

и

+ ^

+

и

+

и

и

6Р<

+

(2)

и и и и

с, + г(2) + .. .. + С(т) +

и и и и

Сг = С^ э Ч э .. .. э Ч э

В этой диаграмме все включения строгие. Это следует из так называемой теоремы о независимости. Эта теорема утверждает, что любые Т-

пространства CD^ не зависят (т.е. не исчезают после факторизации) от всех ocmajibHbtx, кроме тех, что находятся выше по столбцу.

Одними из основных результатов первой главы, приведенных в параграфе 1.2, являются две так называемые теоремы о выравнивании, которые позволяют говорить о том, что Т-пространства в Wp в значительной степени сводятся к Т-пространствам из диаграммы (2). Далее в параграфе 1.3 с помощью первой теоремы о выравнивании доказывается теорема о мономиальности, которую можно сформулировать следующим образом: произвольное действие алгебры кТ на млюгочлены cm<i и gm>i по модулю Т-пространств СуИ] и С^ соответственно сводится к моно-миальным подстановкам в эти многочлены. Теоремы о выравнивании и о мономиальности используются в дальнейшем для изучения структурных вопросов.

Во второй главе исследуется Т-пространство Wn с точки зрения нахождения ее неприводимой системы порождающих \{р. п)-проблема). Ответ на эту проблему следующий.

1) Если (п,р) = 1, то Wn = F(3).

2) Если п = р1щ, (щ,р) = 1, I е N, moWn- Wpi.

3) Т-пространство Wpi для любых р и I, кроме р — 2, 1 = 1, распадается в прялщю сумму своих диагональной и коммутаторной компонент, т.е. Wpt = Dpi © СDpt, и имеет следующую бесконечную неприводимую систему порождающих:

к'^'-у'-^ь Vl\zi,... .^irtby!] • • • . ■ •}•

4) Еохи p = 2, 1 = 1, mo W2 = D2 = {x],... ,x\ ■ ■ ■ x},.. .}r.

В параграфе 2.1 этой главы показано, что Т-пространств a Cjj. и CDpi по модулю не унитарно замкнутого Т*-идеала I*m в алгебре F^*, порожденного одночленом хт, где т = р, если р > 2, urn — 4, если р = 2, являются бесконечно базируемыми. Отметим, что при доказательстве этих утверждений существенно используются результаты предыдущей главы, в частности, теорема о мономиальности. В 2002 г. В.В. Щиголевым ¡28] была доказана бесконечная базируемость указанных Г-пространств, но без «по модулю I*mi> при I > 1 (для I = 1 доказательство по модулю 1* приведено им в работе [25]). Кроме того, данное им доказательство не содержало случай р = 2, I = 1, тогда как полученные в этом параграфе результаты охватывают и этот случай.

Результаты этой главы, кроме того, что они дают ответ на вопрос о неприводимой системе порождающих \Vn, позволяют построить как бесконечно убывающие, так и бесконечно возрастающие цепочки строгих включений Т-подпространств в Wn (см. диаграммы включений, приведенные в параграфе 2.4, а также диаграмму (2)). Например, в Dp имеется следующая бесконечная строго убывающая цепочка включений Т-подпространств:

Dp D Dp2 Э ■■■ Э Dpi D ... .

Более того, показано, что любое подпространство в Dp, р > 2, совпадает с Dp¡ для некоторого I € N, откуда следует, что Dp — нетеро-во Т-пространство-и Dpi/D^i для любого I € N является простым Т-пространстБОм.

Третья глава посвящена дальнейшему исследованию Т-пространственной структуры алгебры Эта глава содержит четыре параграфа. Везде, кроме параграфа 3 4, предполагается, что р > 2. Как видно из диаграммы (2), указанные в ней суммы Т-подпространств не являются прямыми (см. ее самую нижнюю строку). Однако, CpijCpi-\ и CDpi/CDjf+i уже распадаются в прямые суммы. Следующие результаты представляются центральными в диссертационной работе.

Утверждение 1. Для любого I 6 N

со m—1

где C^/CpZl ~ простое Т-пространство.

Утверждение 2. Для любого I е N ,

00

CD^/CD^^QCD^/CDfil

т= 1

где СD^'1 /СD^l — простое Т-пространство.

В параграфе 3.4 рассматривается вопрос о возможности перенесения полученных в предыдущих параграфах этой главы результатов на случай р= 2.

В четвертой главе изучается мультипликативная структура алгебры при этом весьма важную роль играет следующее обстоятельство: основные Т-пространства в F^ оказываются к тому же ее коммутативными подалгебрами или даже идеалами в этих подалгебрах. В параграфе 4.1 описана структура Т-алгебры Wj. Алгебра Wp¡ коммутативна. Для всех pul, кроме р = 2, I = 1, Wpi распадается в прямую сумлгу Т-пространств: Wp¡ = Dp¡ ф CDp¡, где CDpi — радикал алгебры Wp¡, являющийся ненилъпотентной нилъ-алгсброй индекса р, причем Wpi/CDpi = Dpi — алгебра коммутативных многочленов /с[1,Xj,...,,...]. Если р = 2, I = 1, то И72 = и D-¿ распадается в прямую сумму k-алгебр D2 = Ф CD2. где CD2 — ра-

дикал алгебры D-¿, являющийся ненилъпотентной ниль-алгеброй индекса 2, и D2IGD2 — fc[l,arf,... ,x¿,...] — алгебра коммутативных многочленов. В параграфе 4.2 мы полагаем, что р > 2. Вопросу о строении Fи ее подалгебр, как модулей над коммутативными алгебрами, и посвящен этот параграф. Так, описаны бесконечные неприводимые системы порождающих для Ир-модулей F^ и CDP. Кроме того, F'3' является несвободным Ир-модулем ранга 1. Но если F^ рассматривать как Dp-модуль, то он оказывается свободным бесконечного ран-

га. В свою очередь, CDV как £>р-модуль является прямой суммой свободного Dp-модуля М бесконечного ранга, порожденного всеми многочленами и ^-моДУля С\. Следовательно, Wv — прямая сумма Dp-модулей: Wp = Dp ф М © С\. Далее в этом же параграфе изучаются модульные конструкции, связанных с Т-идеалами алгебры Wp, порожденными элементами диаграммы (2). В па-• раграфе 4.3 исследуется вопрос о возможности перенесения результатов, полученных в предыдущем параграфе, на случай р = 2. Выявляется специфика этого случая.

Наконец, в приложении изучается строение З^-пространства W* и его компонент в алгебре F®* над бесконечным полем характеристики р или характеристики нуль. В первом параграфе приложения мы полагаем, что характеристика поля равна р и п = р1щ, (п\,р) = 1, I € N. Дан полный ответ на вопрос о неприводимой системе порождающих для W*: для любых pul, кроме р = 2, I = 1, Т*-пространство W* порождается следующей бесконечной неприводимой системой много'членое:

{х1, Cl(n), С2(п), . . . ,Ст(п), .... Ci(n)z", C2{n)z?,(^(п^,...},

где с,(п) = х^у^хиу^}.. .хп-1у^х[х{,у{}, i € N, причем W* = DAn © (CD* + С*). Если р. = 2, I = 1, то W* = D*n = ... xns ¡ s g N}T', при этом выполнено строгое включение (С* + CD*) с D*. Т*-пространства CD^uC^ не связаны никакими включениями и их пересечение ненулевое для всех pul.

Во втором параграфе приложения показано: в случае поля характеристики р и (п,р) = 1, а также в случае поля нулевой характеристики = D* = {ж"}т\ при этом выполнено строгое включение (С; + CD*) с D*. В свою очередь, С*п = {х^УхЛ^МУ « CD*n = íxi ^\хъУ\]zi}T'i эти Т*-пространства не связаны никакими включениями и их пересечение ненулевое.

Отметим также, что изучено строение Т'-пространства W* как подалгебры в F^' в зависимости от значений, принимаемых пир. Были получены следующие результаты.

I. Случай поля характеристики р и п = р1щ, (щ^р) = 1,1 € N.

1) Если р > 2 или р ■-= 2, I > 1, то алгебра И^ коммутативна и распадается в прямую сумму: W* = D*n ф (С* + CD*), где С* -I- CD* — радикал алгебры W*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса р, причем W*/(C* + CD*) = D*, a D* изоморфно вкладывается в алгебру коммутативных многочленов k[x\,....x¡,...] = k(xi,... ,x¡,.. .)/([xi,%2\)Г'.

2) Если р = 2, I — 1, то алгебра W* коммутативна и W* = D*. D* П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненйльпотентной ниль-алгеброй индекса 2, причем факторалгебра D*/'D* П С* изоморфно вкладывается в алгебру fc[xl,... ...].

Отметим, что в следующих двух случаях алгебра W* уже не является коммутативной. Она содержит подалгебру к{х1,..., х",...), изоморфную, как показано в работе [13]. алгебре F'3'*.

II. Случай поля характеристики р и (п,р) = 1.

1) Если р > 2, то W* = D*n. D*n П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса р, причем факторалгебра D*/Dn П С* изоморфно вкладывается в алгебру к[хГ,..., Щ,...].

2) Если р = 2, то W* = D*n, D*n П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса 4, причем факторалгебра DnfD*n П С* изоморфно вкладывается в алгебру k\xl,..., Щ,...].

III. Случай поля характеристики 0.

W* = D*, D* П С* — радикал алгебры D*n, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй неограниченного индекса, причем факторалгебра D*/D* П С* изоморфно вкладывается в алгебру к[хГ,... ...].

В заключение автор приносит искреннюю благодарность A.B. Гришину за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы

[1] Аладова Е. В., Гришин А. В., Киреева Е. А. Т-пространства. История вопроса, приложения и последние результаты // Чебышевский сборник. Т. 5, выпуск 4(12). 2004. С. 39-57.

[2| Белов А. Я. Алгебры с полиномиальными тождествами: представления и комбинаторные методы. Дис. док. физ.-мат. наук // М.: МГУ, 2002.

[3] Белов А. Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 47-66.

[4] Белов А. Я. О кольцах, асимптотически близких к ассоциативным // Матем. тр., 10:1 (2007), С. 29-96.

[5] Белов А. Я. Ряды Гильберта для Т-пространств // УМН, 2009. Статья принята к печати.

[6] Гришин А. В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов // Изв. АН СССР. Сер. матем, 1990. Т. 54, №5. С. 899-927.

[7] Гришин А. В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств // Фундам. прикл. матем. 1995. Т. 1. №3. С. 669-700.

[8] Гришин А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 101-118.

[9] Гришин А. В., Урбаханов С. В. О коразмерностях в пространствах 2-слов над полем характеристики 2 и свойствах экстремальности // Чебышевский сборник, 3, 2002. №2(4). С. 34-42.

¡10] Гришин А. В. On center of a relatively free Grassmann algebra //' Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложения», посвященная 70-летию ректора МГУ академику

B.А. Садовничему, Материалы конференции, 2009, С. 406-407.

[11] Гришин А. В. О строении центра относительно свободной алгебры Грассмана //' УМН, 2009. Статья принята к печати.

[12] Гришин А. В. О Т-пространствах и связанных с ними понятиях и результатах // Фунд. прикл. мат. 2008. Т. 14, №5. С. 77-84.

[13] Гришин А. В. О независимых системах в относительно свободных унитарных алгебрах // Фунд. прикл. мат. 2009. Статья принята к печати.

[14] Кемер А. Р. Многообразия и Ег-градуированные алгебры // Изв. АН СССР, сер. матем, 1984, Т. 48, №5, С. 1042-1059.

[15] Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и Логика, 1987. Т. 26. С. 597-641.

[16] Кемер А. Р. Тождества конечно порожденных алгебр над бесконечным полем // Изв. АН СССР, сер. матем, 1990, Т. 54, №4, С. 726-753.

[17] Киреева Е. А., Красильников А. Н. О некоторых экстремальных многообразиях ассоциативных алгебр // Мат. заметки, 2005. Т. 78, Вып. 4. С. 542-558.

[18] Киреева Е. А. Предельные Т-пространства // Фундам. Прикл. Матем., 2007, Т. 13, №1, С. 135-159.

[19] Киреева Е. А. О конечной порожденности вполне инвариантных подмодулей в алгебрах многочленов // Чебышевский сборник. Труды IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2001. Т. 2(2001). С. 54-60.

[20] Латышев В. Н. О сложности нематричных многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика, 16, №2,1977, С. 149-183.

[21] Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп. Выпуск 14. Ит-т СО РАН. Новосибирск, 1999.

[22] Чирипов П. Ж., Сидеров П. Н. О базисах тождеств некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Плиска, 1981. Т. 2. С. 103-115.

[23[ Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 307-312.

[24] Щиголев В. В. Конечная базируемость Т-пространств над полями нулевой характеристики // Известия РАН. Сер. матем. 65 (2001), №5.

C. 191-224.

[25] Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Г-пространств // Матем. сб. 2000. Т. 191. С. 143-160.

[26] Grishin А. V. On non-Spechtianness of the variety of associative rings that satisfy the identity r'2 = 0 // Electronic Research Announcements of the Amer. Math. Soc., 2000. №6. P. 50-51 (electronic).

[27] Grishin A. V. The variety of associative rings which satisfy the identity x32 = 0 is not Specht, 12th International Conference. FPSAC'00, Proceedings (Moscow), 2000, 686-691.

[28] Grishin A. V., Shchigolev V. V. On Г-spaces and their applications // Journal of Mathematical Sciences. 2006. V. ¡34, №1. P. 1799-1878.

[29] Gupta С. K., Krasilnikov A. N. A non-fmitely based system of polinomial identities which contains the identity x6 — 0 // Quart. J. Math. 2002. V. 53. P. 173-183.

[30] Specht W. Gesetze in Ringen // Math. Z.; 1950. V. 52. P. 557-589,

Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

1. Гришин А. В., Цыбуля Л. М. О Г-пространственном и мультипликативном строении относительно свободной алгебры Грассмана // Математический сборник. - 2009. - Т. 200. - №9. - С. 41-80. - 2.5 п.л. (авт. вклад 50%).

2. Гришин А. В., Цыбуля (Сурмина) JI. М. О Г-пространствах и-слов над полем характеристики р>0 // Успехи математических наук. - 2007. - Т. 62.

- Вып. 4(376). - С. 145-146. - 0.12 пл. (авторство не разделено).

3. Гришин А. В., Цыбуля JI. М. Две теоремы о строении относительно свободной алгебры Грассмана // Успехи математических наук. - 2008. - Т. 63. - Вып. 4. - С. 186-187. - 0.12 п.л. (авторство не разделено).

4. Гришин А. В., Цыбуля Л. М. О (р,и)-проблеме // Вестник Самарского государственного университета. - 2007. - Т. 57. - №7. - С. 35-55. - 1.31 п.л. (авт. вклад 50%).

5. Цыбуля Л. М. Теоремы о выравнивании и мономиальности в относительно свободной алгебре Грассмана // Фундаментальная и прикладная математика.

- 2008. - Т. 14. - №5. - С. 197-218. - 1.37 п.л.

6. Гришин А. В., Цыбуля (Сурмина) Л. М. О 7-алгебре «-слов // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е.

Воскресенского. Тезисы докладов. - Самара: Изд-во «Универс групп», 2007. - С. 15-16. - 0.12 п.л. (авторство не разделено).

7. Гришин А. В., Цыбуля (Сурмина) Л. М. О структуре некоторых Т-пространств в относительно свободной алгебре Грассмана // Актуальные проблемы математики, информатики и образования. - М.: МПГУ, 2007. - С. 73-82. - 0.62 п.л. (авт. вклад 50%).

8. Цыбуля (Сурмина) Л. М. О некоторых Г-пространствах «-слов И Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского. Тезисы докладов. - Самара: Изд-во «Универс групп», 2007. -С. 47-48.-0.12 п.л.

9. Grishin А. V., Tsybulya L. М. Decomposition of the commutator quotient $T$-spaces into the direct sum of simple components // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов. - Москва: Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. - С. 302-ЭОЗ. - 0.12 п.л. (авторство не разделено).

10. Tsybulya L. М. Reduction to monomial substitutions // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов. - Москва: Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. -С. 367-368.- 0.12 п.л.

И. Цыбуля Л. М. Теорема о независимости // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгёбры. Международная научная конференция, посвященная 100-летию проф. В. В. Вагнера. Тезисы докладов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. - С. 138-140. - 0.12 п.л.

12. Цыбуля Л. М. -пространство л-слов в относительно свободной алгебре Грассмана без единицы // Депонировано в ВИНИТИ 18.12.2008, №975-В2008,19 стр. -1.18 п.л. Реферативный журнал. Математика, №7,2009.

Подп. к печ. 16.09.2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 134 Тир 100 экз. Типография МПГУ

Введение

Глава 1. Базовые сведения

1.1. Основные определения, обозначения и утверждения

1.2. Теоремы о выравнивании.

1.3. Теорема о мономиальности.

Глава 2. (р, п)-проблема

2.1. О неприводимости системы порождающих Т-пространств

Cpi и СDpi.

2.2. Разложение Т-пространства Wn на диагональную и коммутаторную составляющие.

2.3. Структура диагональной компоненты Dn.

2.4. Структура коммутаторной компоненты CDn.

2.5. Ответ на (р, п)-проблему. Диаграммы включений.

Глава 3. Структурные результаты.

3.1. Теорема о независимости элементарных составляющих

3.2. Технические леммы и теоремы.

3.3. Простота элементарных факторов и прямые суммы

3.4. Случай характеристики 2.

Глава 4. Мультипликативная структура.

4.1. Теорема о строении Т-алгебры Wpi.

4.2. Описание F^ и некоторых Т-пространств как Wp- и Dp-модулей.

4.3. Случай характеристики 2.

Актуальность темы диссертации. Понятие Т-пространства, как линейного подпространства свободной счетнопорожденной ассоциативной алгебры F — k(xi,. ,Хг,.) над полем к, замкнутого относительно подстановок вместо переменных любых элементов этой алгебры, было введено A.B. Гришиным [7] около 20-ти лет назад и уже прочно вошло в обиход современной комбинаторной алгебры и теории PI-колец. С его помощью был решен ряд достаточно долго остававшихся открытыми проблем. Это, в первую очередь, такие проблемы конечной базируемости, как проблема Мальцева, проблема Шпехта в положительной характеристике. Интересно, что аппарат Т-пространств оказался одинаково эффективным как при доказательстве положительных утверждений, так и при построении контрпримеров.

В 1987 году А.Р. Кемер [18] получил положительное решение проблемы Шпехта [36] о конечной порожденности любого Т-идеала алгебры F над полем нулевой характеристики. Этот факт в некоторой степени повлиял на появление понятия Т-пространства. Примерно в это же время при доказательстве конечной базируемости систем обобщенных многочленов (т.е. элементов свободного произведения алгебры матриц и свободной алгебры F) A.B. Гришиным [7] было замечено, что в случае поля характеристики нуль достаточно только подстановок и линейных действий (умножения оказались не нужны). Это привело к понятию Т-пространства в алгебре обобщенных многочленов, а также стимулировало получение аналогичного результата для систем обычных многочленов (т.е. для элементов из алгебры F). Немного позднее им же в работе [8] вводится понятие абстрактного Т-пространства, существенно обобщающее предыдущее определение Т-пространства, под которым теперь понимается любой унитарный правый кТ-модупъ, где кТ — полугрупповая /с-алгебра полугруппы Т эндоморфизмов (подстановок) алгебры F. Расширение таким образом понятия Т-пространства освобождает от необходимости рассматривать только подпространства в свободных алгебрах, можно брать фактор-Т-пространства, прямые суммы Т-пространств и т.д. Кроме того, имеется большой запас примеров Т-пространств иной природы, связанных со следами, квазимногочленами и некоторыми другими специальными конструкциями (см. [8], [33]). Современный взгляд на концепцию Т-пространства изложен в [14]. Через S2 обозначается Т-пространство, порожденное подмножеством S некоторого Т-пространства.

Пусть / — произвольный Т-идеал алгебры F (возможно нулевой). Относительно свободная алгебра F/I является, очевидно, циклическим кТ-модулем, порожденным любой из своих переменных. Согласно результатам A.B. Гришина [8], [33], если к — поле нулевой характеристики, а идеал I содержит многочлен Капели

Сп = {~1)аУоХа(1)У1 ■ • • Ха(п)Уп, aeSn то этот циклический модуль нетеров. В качестве следствия получается конечная базируемость любого Т-идеала, содержащего многочлен Капели. Позже В.В. Щиголев [28], используя технику и обобщение результатов A.B. Гришина [8] и А.Р. Кемера [17], [18], доказал, что F — {х\}т — нетеров /сТ-модуль, т.е. всякие условия на Т-идеал I можно отбросить. Положительное решение проблемы Шпехта [18] является, как нетрудно видеть, частным случаем этого факта.

Рост интереса к Т-пространствам, как представляется, произошел и в связи с тем, что в конце 1997 года A.B. Гришиным был построен пример неконечно порожденного Т-пространства над полем положительной характеристики: Т-пространство, порожденное одночленами х\. Хп, п G N, над произвольным полем характеристики 2 не является конечно порожденным как Т-пространство даже по модулю тождества = 0, и более того, даже если добавить тождество х4 = 0. Примеры неконечно порожденных Т-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В.В. Щиголевым в [29]. В частности, им было доказано, что Т-пространство, порожденное элементами xp1~1x12~1[%i,X2J ••• 1 [^2^-1,^2»], п € N, над произвольным бесконечным полем характеристики р > 2 не является конечно порожденным, причем это верно и по модулю тождества [[ж, у], z] = 0, и более того, даже если добавить тождество хр = 0. Особый интерес представляет доказанный В.В. Щиголевым [29] следующий факт: Т-пространство [ s G N}T не является конечно порожденным для любого простого числа р даже по модулю тождества [[ж,?/], z] — 0. В работе [33] В.В. Щиголев построил целый ряд примеров неконечно порожденных Т-пространств над произвольным полем характеристики р > 0, кроме того, им был предложен способ обобщения ранее полученных результатов со случая бесконечного поля на случай произвольного поля путем рассмотрения Т-пространств с дополнительным условием замкнутости относительно взятия полиоднородных компонент.

В 1998 году практически одновременно тремя авторами (А.Я. Беловым [4], A.B. Гришиным [9], В.В. Щиголевым [27]) были даны первые контрпримеры к аналогу проблемы Шпехта в характеристике р > 0. Хотя внешне эти конструкции достаточно различны, по существу дела, все они основаны на идее Т-пространства. То же самое можно сказать и о всех контрпримерах, полученных в дальнейшем другими авторами (см. [1], [34]). Естественным аналогом проблемы Шпехта является проблема Мальцева [24]: верно ли, что в свободной счетнопорожденной ассоциативной Z-алгебре любой Т-идеал конечно порожден? Полученные контрпримеры к проблеме Шпехта в положительной характеристике дают отрицательное решение проблемы Мальцева. A.B. Гришин [9], [30], [32] впервые дал пример ассоциативного ниль-кольца индекса 16, не имеющего конечного базиса тождеств.

Нужно отметить, что в случае поля характеристики р > 0 результатов в положительном направлении до недавнего времени почти не имелось, за исключением конечной порожденности Т-пространств в алгебрах коммутативных многочленов над бесконечным полем, доказанной A.B. Гришиным в [9]. В свою очередь, Е.А. Киреева [22], используя по аналогии с [9] технику вполне упорядоченных множеств, распространила этот результат на случай произвольного унитарного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца коэффициентов.

Были изучены экстремальные свойства Т-пространств над полями положительной характеристики, связанные с конечной порожденностью. Как уже отмечалось, если поле имеет характеристику р — 2, то Т-пространство, порожденное произведениями квадратов переменных, не является конечно порожденным по модулю [[ж, у], z] = 0 и х4 — 0. Однако, как установили A.B. Гришин и C.B. Урбаханов в [11], если к этим тождествам добавить еще одно тождество [ж-1,ж2] • • • [Ж2п-1>Ж2п] = 0) не являющееся следствием из них, то по модулю уже этих тождеств указанное Т-пространство оказывается конечно порожденным. Кроме того, было показано, что это Т-пространство обладает интересным экстремальным свойством, связанным с коразмерностями в цепочках подпространств 2-слов. Аналогичным свойством обладают и построенные В.В. Щиголевым в [33] примеры неконечно порожденных Т-пространств над полями характеристики р > 2. Следует отметить также замечательный факт, полученный Е.А. Киреевой совместно с А.Н. Красильниковым [20], который заключается в следующем. Пусть Vp — Т-идеал алгебры F, порожденный [[ж,у], z] и ж™, где m — p, если р > 2, и m = 4, если р = 2. Он экстремален в следующем смысле. Относительно свободная алгебра F/Vp содержит бесконечно базируемые Т-пространства (A.B. Гришин [9], [32] для р = 2, В.В. Щиголев [29] для р > 2), а в работе [20] показано, что если I — произвольный Т-идеал, содержащий собственным образом Т-идеал Vp, то F/I — нетерово Т-пространство.

Доказательство этого результата основано на следующем факте [20], представляющем самостоятельный интерес. Т-пространств о в относительно свободной алгебре над нетеровым коммутативно-ассоциативным кольцом с 1, соответствующей тождеству хи ж2][ж3, хА] • . • [x2n-i, а?2п] = 0, (1) порожденное многочленами с ограниченными кратностями вхождения переменных, конечно базируемо. Первоначально же A.B. Гришиным ставился вопрос о конечной базируемости таких Т-пространств над полем. Исследование этих Т-пространств представлялось важным, т.к. В.В. Щиголевым было показано, что отказ от ограниченности кратности вхождения переменных приводит к примерам Т-пространств в относительно свободной алгебре с тождеством (1) при п — 2, не являющихся конечно порожденными.

Следующий вопрос, возникающий при исследовании экстремальных свойств Т-пространств, связан с поиском границы между конечно порожденными и неконечно порожденными Т-пространствами в относительно свободных алгебрах. Е.А. Киреевой [21] был получен следующий результат: пусть Up — Т-пространство, порожденное всеми р-словами (под п-словом понимается любой одночлен из алгебры F, содержащий каждую из входящих в него переменных с кратностью п, п £ N) и Т-идеалом Vp, который был определен выше. Тогда любое Т-пространство в F/Vp> содержащее Up/Vp собственным образом, конечно порождено.

Весьма интересные исследования рядов Гильберта для Т-пространств проведены А.Я. Беловым в [6].

Кроме свободных алгебр счетного ранга можно рассматривать и свободные алгебры конечного ранга (так называемый локальный случай). В этом случае ситуация для Т-пространств и Т-идеалов существенно различается. С одной стороны, В.В. Щиголев [29] построил примеры неконечно порожденных Т-пространств в 2-порожденной алгебре. С другой стороны, А.Р. Кемером [19] доказано, что все Т-идеалы в свободной алгебре конечного ранга конечно порождены. Впоследствии А.Я. Белов [3] распространил этот результат на случай произвольного унитарного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца коэффициентов. Совсем недавно в [5] он получил далеко идущее обобщение своих результатов.

Естественно возникает вопрос о построении структурной теории Т-пространств. При этом наиболее содержательная теория возникает, если рассматривать Т-пространства, удовлетворяющие некоторым специальным условиям. Например, можно рассмотреть все Т-пространства, лежащие в конкретной относительно свободной алгебре, и связанные с ними теоретико-модульные конструкции. Одной из наиболее важных и интересных таких алгебр, дающей по существу все основные известные контрпримеры, является унитарная относительно свободная алгебра Грассмана над полем характеристики р > 0, т.е. алгебра F^ = к( 1,^1,. .)гдеТ^3) — Т-идеал, порожденный «тройным коммутатором» [[ж,?/], г] (так называемое тождество Грассмана). Мы рассматриваем и неунитарную алгебру F= к{хi,. :хг,. которую также называем относительно свободной алгеброй Грассмана. Название объясняется тем, что многообразие /с-алгебр, заданное тождеством = 0, в случае р ф 2 порождается алгеброй Грассмана (см. [26]), а в случае р — 2 — алгеброй Ф2, впервые введенной A.B. Гришиным и являющейся аналогом алгебры Грассмана (см. [9], [11], [33]). Всюду ниже через Т обозначается полугруппа эндоморфизмов свободной ассоциативной алгебры к(l,cci,. ,Х{,.) с единицей, а через Т* — полугруппа эндоморфизмов ее подалгебры к{хi,. .) без единицы (ясно, что Т* — подполугруппа в Т). Отметим, что кТ* С кТ, поэтому Т*-пространство V* в F^*, порожденное теми же многочленами, что и Т-пространство V в F^3\ вообще говоря, меньше. Образы свободных переменных в алгебре F^ (в алгебре Fбудем обозначать также, как и сами переменные. В дальнейшем (за исключением приложения) к — бесконечное поле характеристики р > 0. При построении контрпримеров в характеристике р чрезвычайно важную роль играет Т-пространство Wn, порожденное в F^ всевозможными n-словами. Из бесконечно базируемых Т-пространств, построенных в Wn, потом конструируются бесконечно базируемые Т-идеалы. Основными объектами исследования для нас будут Т-пространства Wn и W*, а также алгебры F^ и F^*.

Весьма актуальной представляется следующая задача ((р,п)~ проблема): найти неприводимые системы порождающих Т-пространств Wn для любых пар рип (см. [1]). Для взаимно простых пир ответ прост:

Wn = Но если n делится нар, то возникает достаточно содержательная, на наш взгляд, теория, имеющая свою специфику в характеристике р — 2. Также аналогичная задача решается нами для Т*-пространства W* как в случае поля характеристики р, так и в случае поля нулевой характеристики.

Как правило, рассматриваемые Т-пространства обладают еще и мультипликативной структурой. Как выясняется в дальнейшем, основные Т-пространства в F^ оказываются ее коммутативными подалгебрами или идеалами в этих подалгебрах. Более того, как показал A.B. Гришин [12], [13], Wp — центр алгебры Поэтому интерес вызывают вопросы о строении этих подалгебр и некоторых модулей в F^ над этими подалгебрами, а также аналогичные вопросы в алгебре F^*.

Цель работы заключается в исследовании Т-пространственной и мультипликативной структуры относительно свободной алгебры Как будет видно из дальнейшего, между этими двумя структурами имеется'интересная взаимосвязь. Также мы изучаем строение W* как Т*-пространства и как подалгебры в F^*.

Методы исследования. В работе использованы методы комбинаторной алгебры, структурной теории колец и модулей, а также результаты более ранних исследований по теории Т-пространств, полученные A.B. Гришиным и В.В. Щиголевым.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получен ответ на (р, п)-проблему, исследованы Т-пространственная и мультипликативная структуры относительно свободной алгебры изучено строение W* как Т*~пространства и как подалгебры в F^*. Полученные результаты являются новыми.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Дан полный ответ на (р, п)-проблему, т.е. построена бесконечная неприводимая система порождающих Т-пространства Wn. Эта система позволяет проводить эффективные вычисления. В частности, получено разложение Т-пространства Wn в прямую сумму основных Тподпространств. Также исследованы естественно возникающие бесконечные как строго убывающие, так и строго возрастающие цепочки включений Т-подпространств в ¥/п.

2. Изучено строение фактор-Т-пространств, ассоциированных с этими цепочками. Одним из основных результатов является разложение этих фактор-Т-пространств в бесконечные прямые суммы простых Т-пространств.

3. Исследована мультипликативная структура алгебры То обстоятельство, что основные Т-пространства в Р^ оказываются к тому же ее коммутативными подалгебрами или даже идеалами в этих подалгебрах, позволило и некоторые ее подалгебры рассмотреть как модули над коммутативными алгебрами. Дано описание этих модулей.

4. Изучена специфика случая характеристики 2.

5. Получен ответ на (р, п)-проблему для Т*-пространства Ж* в случае поля характеристики р, а также в случае поля нулевой характеристики. Показано, что Т*-пространство является подалгеброй в алгебре Р^*. Дано описание нильрадикала этой алгебры и факторалгебры по этому радикалу.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего построения структурной теории Т-пространств не только в относительно свободной алгебре Грассмана, но и в других относительно свободных алгебрах, в частности, соответствующих тождеству коммутатора длины п, п > 3. Кроме того, полученные результаты могут быть использоваиы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов университетов.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей работы докладывались на международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007); международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию А.Г. Куроша (Москва, 2008), международной научной конференции, посвященной 100-летию В.В. Вагнера (Саратов, 2008), а также на научном семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МПГУ и научно-практической конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников математического факультета МПГУ (март 2007, 2008, 2009).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 работ: [37]—[48].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Содержит 127 страниц машинописного текста, список литературы из 48 наименований.

Краткое содержание работы. Каждая глава снабжена своей нумерацией утверждений и формул, например, теорема 3.2.1 является первой теоремой второго параграфа третьей главы.

Первая глава целиком посвящена вычислительным аспектам в алгебре f(3\ Одним из основных инструментов исследования является так называемый канонический базис. Ранее аналогичный базис, правда, для полилинейных многочленов, рассматривался В.Н. Латышевым в работе [23]. Глава содержит три параграфа, где повсюду, за исключением последнего параграфа, предполагается р > 2. В конце параграфа 1.3 (см. замечание 1.3.2) дается комментарий к ситуации в характеристике р — 2, которая в некотором смысле является особенной. В параграфе 1.1 приводятся необходимые предварительные определения и обозначения, а также основные соотношения в используемые при вычислениях.

Как будет следовать из результатов главы 2 (см. также [41]), Wn = F^ при (п,р) = 1 и Wn = Wpi при п = plni, где (щ,р) = 1, пь/ G N. Более того, для всех р и Z, кроме р — 2, I = 1, Wpi = Dpi © CDpi. Здесь Dpi — {а^ }т — нетерово Т-пространство, называемое еще диагональной компонентой Т-пространства Wpi, a CDpi (коммутаторная компонента Т-пространства Wpi) — бесконечно базируемое Т-пространство, имеющее следующую неприводимую систему порождающих {gm,i — cmjz[ |

Cm,I = . . . Х^-1у£г-1[хт,Ут],ГП £ N}. ОтМвТИМ, ЧТО Tпространство Cpi (чисто коммутаторная компонента Т-пространства Wpi), порожденное всеми многочленами cmii, — собственное подпространство в СDpi. Если р = 2, I = 1, то Т-пространство W2 совпадает с Т-пространством D2 — {х\ • ■ • x2s \ s £ N}T — первым примером неконечно базируемого Т-пространства в характеристике 2 (см. [9]). Потом появились примеры бесконечно базируемых Т-пространств в характеристике р > 0 в других подпространствах Wpi (см. [29], [33]). Поэтому интересно более подробно изучить не только строение этих подпространств в Wpi, но и связь между ними.

Легко видеть, что Су и CDpi — бесконечные суммы Т-пространств = {стЛТ и CD^ = {gm,i}T соответственно.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. Если 1 = 0, то C[m) = {[xuyi]. [xm)ym]}T и = ([хиуг]. [xm,ym])T -Т-пространство и Т-идеал в алгебре F^ соответственно, если m, = 1, то С{1} = Сг и СМ = С.

Связь между введенными таким образом Т-пространствами Cpi, СDpi, СрТ^ и CD^ выражается следующей диаграммой:

С = С^ D С^ Э . Э C(m) D . и и и и

СDp = CD{P] + CDf + . + CDim) + . и и и и и и и и

CDvi = CD{]] + CD{? + . + CD[T] + •••

P pl pl v и и и и и и и и с£> + cfr} + . + + и и и и и и и и п — п^ Л- ГI I /-?("») ЛОр — Ор ~Г Ор "Г . "Т Ор "Г

U U . U U

С\ = Cf D Cf D . D cf° =>

2)

В этой диаграмме все включения строгие. Это следует из так называемой теоремы о независимости (см. теорему 3.1.1). Эта теорема утверждает, что любые Т-пространства CD^ не зависят (т.е. не исчезают после факторизации) от всех остальных, кроме тех, что находятся выше по столбцу.

Одними из основных результатов первой главы, приведенных в параграфе 1.2, являются две так называемые теоремы о выравнивании (теоремы 1.2.1 и 1.2.2), которые позволяют говорить о том, что Т-пространства в Wp в значительной степени сводятся к Т-пространствам из диаграммы (2). Далее в параграфе 1.3 с помощью первой теоремы о выравнивании доказывается теорема о мономиалъ-ности (теорема 1.3.1), которую можно сформулировать следующим образом: произвольное действие алгебры кТ на многочлены cmji и gm,i но модулю Т-пространств и С^ соответственно сводится к моно-миальным подстановкам в эти многочлены. Теоремы о выравнивании и о мономиальности используются в дальнейшем для изучения структурных вопросов.

Во второй главе исследуется Т-пространство Wn с точки зрения нахождения ее неприводимой системы порождающих ((р, п)-проблема). Ответ на эту проблему следующий.

1) Если (га,р) = 1, то Wn = F^.

2) Если п = plni, (rii,p) = 1, I е N, то Wn = Wpi.

3) Т-пространство Wpi для любых pul, кроме р = 2, 1 = 1, распадается в прямую сумму своих диагональной и коммутаторной компонент, т.е. Wpi = Dpi ® С Dpi, и имеет следующую бесконечную неприводимую систему порождающих:

• • • ,2ч "Ч"1!^, Ух] • • • yi]z{,.}.

4) Если р = 2, I = 1, то W2 = D2 = {х\,., х\ • • • xf,. .}т.

В параграфе 2.1 этой главы показано (см. следствия 2.1.1 и 2.1.2), что Т-пространства Cpi и CDpi по модулю не унитарно замкнутого

Т*-идеала в алгебре Е^*, порожденного одночленом хт, где гп = р, если р > 2, и т = 4, если р = 2, являются бесконечно базируемыми. Отметим, что при доказательстве этих утверждений существенно используются результаты предыдущей главы, в частности, теорема о мономиальности. В 2002 г. В.В. Щиголевым [33] была доказана бесконечная базируемость указанных Т-пространств, но без «по модулю 1^» при I > 1 (для I — 1 доказательство по модулю /* приведено им в работе [29]). Кроме того, данное им доказательство не содержало случай р = 2, 1 = 1, тогда как полученные в этом параграфе результаты охватывают и этот случай.

Результаты этой главы, кроме того, что они дают ответ на вопрос о неприводимой системе порождающих позволяют построить как бесконечно убывающие, так и бесконечно возрастающие цепочки строгих включений Т-подпространств в \¥п (см. диаграммы включений, приведенные в параграфе 2.5, а также диаграмму (2)). Например, в имеется следующая бесконечная строго убывающая цепочка включений Т-подпространств: йр Э £>р2 э . Э Ир1 э . .

Более того, показано (см. теорему 2.3.2), что любое подпространство в Ир, р > 2, совпадает с Ир1 для некоторого I е откуда следует, что Ир — нетерово Т-пространство. Таким образом, из теоремы 2.3.2 непосредственно получаем, что 1 для любого I £ N является простым Т-пространством.

Третья глава посвящена дальнейшему исследованию Т-пространственной структуры алгебры Т7^. Эта глава содержит четыре параграфа. Везде, кроме параграфа 3.4, предполагается, что р > 2. Как видно из диаграммы (2), указанные в ней суммы Т-подпространств не являются прямыми (см. ее самую нижнюю строку). Однако, С^/С^-х и СПр1/СВр1+1 уже распадаются в прямые суммы. Следующие результаты представляются центральными в диссертационной работе (см. следствия 3.3.2 и 3.3.4).

Утверждение 1. Для любого I € N оо ср'/с^^фс'г'/с'й, то=1 где С^/С^ ~ простое Т-пространство.

Утверждение 2. Для любого I е ÍV оо

CDpl/CDpl+i — ф CD^ / С , где CD^/CD^li — простое T-пространство.

В параграфе 3.4 рассматривается вопрос о возможности перенесения полученных в предыдущих параграфах этой главы результатов на случай р = 2.

В четвертой главе изучается мультипликативная структура алгебры i7^3), при этом весьма важную роль играет следующее обстоятельство: основные Т-пространства в F^ оказываются к тому же ее коммутативными подалгебрами или даже идеалами в этих подалгебрах. В параграфе 4.1 описана структура Т-алгебры Wpi (см. теорему 4.1.2). Алгебра Wpi коммутативна. Для всех pul, кроме р = 2, I — 1, Wpi распадается в прямую сумму Т-пространств: Wpi = Dpi ф CDpi, где CDpi — радикал алгебры Wpi, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса р, причем Wpi/CDpi = Dpi — алгебра коммутативных многочленов к[1, х{ ,., д^ ,.]. Если р = 2, I = 1, то W2 = D2 и D2 распадается в прямую сумму к-алгебр D2 = к[1, ., xf,.] ф CD2, где CD2 — радикал алгебры D2, являющийся ненильпотентной нилъ-алгеброй индекса 2, и D2/CD9 = xf,., xf,.] — алгебра коммутативных многочленов. В параграфе 4.2 мы полагаем, что р > 2. Вопросу о строении F& и ее подалгебр, как модулей над коммутативными алгебрами, и посвящен этот параграф. Так, в теореме 4.2.1 описаны бесконечные неприводимые системы порождающих для И^-модулей F^ и CDP. Кроме того, F^ является несвободным И^-модулем ранга 1 (см. замечание 4.2.1). Но если F^ рассматривать как Dp-модуль, то он оказывается свободным бесконечного ранга (см. теорему 4.2.2). В свою очередь, CDP как Dp-модуль является прямой суммой свободного Dp-модуля М бесконечного ранга, порожденного всеми многочленами Xj'1^'1 ^[xj^xj,}. .[xj2mnxj2m], и Dp-модуля Cj (см. теорему 4.2.3). Следовательно, Wp — прямая сумма £>р-модулей: Wp = DV@M®C\. Далее в этом же параграфе изучаются модульные конструкции, связанных с Т-идеалами алгебры Wp, порожденными элементами диаграммы (2). В параграфе 4.3 исследуется вопрос о возможности перенесения результатов, полученных в предыдущем параграфе, на случай р = 2. Выявляется специфика этого случая.

Наконец, в приложении изучается строение Т*-пространства W* и его компонент в алгебре Fнад бесконечным полем характеристики р или характеристики нуль. В первом параграфе приложения мы полагаем, ' что характеристика поля равнар и п = р1П\, {n\,p) = 1, I € TV". Дан полный ответ на вопрос о неприводимой системе порождающих для W* (см. теорему П.1.1): для любых р и I, кроме р = 2, I = 1, Т*-пространство W* порождается следующей бесконечной неприводимой системой многочленов: х™, ci(n), с2(п),ст(п),., ci(n)zi, c2{n)zi,., cm(n)zi,.}, где Ci{n) = aj-1^-1^, ух]. х^у^^.у^ г € N, причем W* = D*n® (CD*n + С*). Если р = 2,1 = 1,тпо W.'* = D* = {х? . xns | s G N}T\ при этом выполнено строгое включение (C*+CD*) С D*. Т*-пространства CD*n и С* не связаны никакими включениями и их пересечение ненулевое для всех pul.

Во втором параграфе приложения показано (см. теорему П.2.1): в случае поля характеристики р и (п,р) — 1, а также в случае поля нулевой характеристики W* = D* = {х™}7*, при этом выполнено строгое включение (С* + CD*) С D*n. В свою очередь, С* = {xi~lyi~l[x\, yi]}T* и CD* = {x7l~ly7{~l[xi,yi]zi}T*; эти Т*-пространства не связаны никакими включениями и их пересечение ненулевое.

Отметим также, что изучено строение Т*-пространства W* как подалгебры в Fв зависимости от значений, принимаемых пир. Были получены следующие результаты.

I. Случай поля характеристики р и п — р1п\, (п\,р) = 1,1 € N.

1) Если р > 2 или р = 2, I > 1, то алгебра W* коммутативна и распадается в прямую сумму: W* = D* 0 (С* + CD*), где С* + CD* — радикал алгебры 1У*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса р, причем W*/(C* + CD*) = D*, а D* изоморфно вкладывается в алгебру коммутативных многочленов /г[ж7,. .] = /с(жь. ^{.¡/([ц.жг])34.

2) Если р = 2, I = 1, то алгебра VF* коммутативна и W* = D*. D* П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненильпотентной ни ль-алгеброй индекса 2, причем факторалгебра D*/D* ПС* изоморфно вкладывается в алгебру к\хI,. .].

Отметим, что в следующих двух случаях алгебра W* уже не является коммутативной. Она содержит подалгебру к(х™,., xf,.), изоморфную, как показано в работе [15], алгебре F^*.

II. Случай поля характеристики р и (n,p) = 1.

1) Если р > 2, то W* = D*. D* П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса р, причем факторалгебра D*/D* П С* изоморфно вкладывается в алгебру к[хГ,. ,Xi,.].

2) Если р = 2, то W'* = D*, D* П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса Jh причем факторалгебра D*/D* П С* изоморфно вкладывается в алгебру &[жГ,., ж*,.].

III. Случай поля характеристики 0.

W* = D*, D* П С* — радикал алгебры D*, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй неограниченного индекса, причем факторалгебра D*/D* П С* изоморфно вкладывается в алгебру к[хГ,. .].

В заключение автор приносит искреннюю благодарность A.B. Гришину за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

1. Аладова Е. В., Гришин А. В., Киреева Е. А. Т-пространства. История вопроса, приложения и последние результаты // Чебышевский сборник. Т. 5. Вып. 4(12). 2004. С. 39-57.

2. Бахтурин Ю. А., Ольшанский А. Ю. Тождества // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1988. Т. 18. С. 117-240.

3. Белов А. Я. Алгебры с полиномиальными тождествами: представления и комбинаторные методы. Дис. док. физ.-мат. наук // М.: МГУ, 2002.

4. Белов А. Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундам. прикл. ма-тем. 1999. Т. 5. С. 47-66.

5. Белов А. Я. О кольцах, асимптотически близких к ассоциативным // Матем. тр. 2007. 10:1. С. 29-96.

6. Белов А. Я. Ряды Гильберта для Т-пространств // УМН, 2009. Статья принята к печати.

7. Гришин А. В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, №5. С. 899-927.

8. Гришин А. В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств // Фундам. прикл. матем. 1995. Т. 1, №3. С. 669-700.

9. Гришин А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 101-118.

10. Гришин А. В. Структурные и алгоритмические вопросы в Т-пространствах над полем характеристики р > 0 // УМН. 2005. Т. 60, №3. С. 175-176.

11. Гришин А. В., Урбаханов С. В. О коразмерностях в пространствах 2-слов над полем характеристики 2 и свойствах экстремальности // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, №2(4). С. 34-42.

12. Гришин А. В. On center of a relatively free Grassmann algebra // Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложения», посвященная 70-летию ректора МГУ академику В.А. Садовничему, Материалы конференции, 2009, С. 406407.

13. Гришин А. В. О строении центра относительно свободной алгебры Грассмана // УМН, 2009. Статья принята к печати.

14. Гришин А. В. О Т-пространствах и связанных с ними понятиях и результатах // Фунд. прикл. мат. 2008. Т. 14, №5. С. 77-84.

15. Гришин А. В. О независимых системах в относительно свободных унитарных алгебрах // Фунд. прикл. мат. 2009. Статья принята к печати.

16. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов Д. И. Кольца, близкие к ассоциативным // М., Наука. 1978.

17. Кемер А. Р. Многообразия и Й2-градуированные алгебры // Изв. АН СССР, сер. матем, 1984. Т. 48, №5. С. 1042-1059.

18. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и Логика. 1987. Т. 26. С. 597-641.

19. Кемер А. Р. Тождества конечно порожденных алгебр над бесконечным полем // Изв. АН СССР, сер. матем. 1990. Т. 54, №4. С. 726-753.

20. Киреева Е. А., Красильников А. Н. О некоторых экстремальных многообразиях ассоциативных алгебр // Мат. заметки, 2005. Т. 78. Вып. 4. С. 542-558.

21. Киреева Е. А. Предельные Т-пространства // Фуидам. Прикл. Ма-тем. 2007. Т. 13, М. С. 135-159.

22. Латышев В. Н. О сложности нематричных многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, №2. С. 149-183.

23. Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп. Выпуск 14. Ит-т СО РАН. Новосибирск. 1999.

24. Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, М. С. 83-113.

25. Чирипов П. Ж., Сидеров П. Н. О базисах тождеств некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Плиска, 1981. Т. 2. С. 103-115.

26. Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фун-дам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 307-312.

27. Щиголев В. В. Конечная базируемость Т-пространств над полями нулевой характеристики // Известия РАН. Сер. матем. 2001. Т. 65, №5. С. 191-224.

28. Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-пространств // Матем. сб. 2000. Т. 191. С. 143-160.

29. Grishin А. V. Оп non-Spechtianness of the variety of associative ringsthat satisfy the identity x32 = 0 // Electronic Research Announcementsof the Amer. Math. Soc. 2000. №6. P. 50-51 (electronic).

30. Grishin A. V. On the finite basis property of T-spaces over a field of finite characteristic // Proc. of Moscow—Tainan algebraic workshop. 1994. P. 225-227.

31. Grishin A.V., The variety of associative rings which satisfy the identity ж32 = 0 is not Specht, 12th International Conference, FPSAC'OO, Proceedings (Moscow). 2000. P. 686—691.

32. Grishin A. V., Shchigolev V. V. On T-spaces and their applications // Journal of Mathematical Sciences. 2006. V. 134, №1. P. 1799-1878.

33. Gupta С. K., Krasilnikov A. N. A non-finitely based system of polinomial identities which contains the identity x6 = 0 // Quart. J. Math. 2002. V. 53. P. 173-183.

34. Okhitin S. V. Central polynomials of an algebra of second-order matrices // Moscow Univ. Math. Bull. 1988. V. 43, №4. P. 49-51.

35. Specht W. Gesetze in Ringen // Math. Z. 1950. V. 52. P. 557-589.Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

36. Гришин А. В., Сурмина JI. М. О структуре некоторых Т-пространств в относительно свободной алгебре Грассмана // Актуальные проблемы математики, информатики и образования. М.: МПГУ, 2007. - С. 73-82.

37. Гришин А. В., Сурмина JI. М. О Т-алгебре п-слов // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского. Тезисы докладов. Самара: Изд-во «Универс групп», 2007. - С. 15-16.

38. Гришин А. В., Сурмина JI. М. О Т-пространствах n-слов над полем характеристики р > 0 // Успехи математических наук. 2007. - Т. 62. - Вып. 4(376). - С. 145-146.

39. Гришин А. В., Цыбуля JI. М. Две теоремы о строении относительно свободной алгебры Грассмана // Успехи математических наук. -2008. Т. 63. - Вып. 4. - С. 186-187.

40. Гришин А. В., Цыбуля JI. М. О (р, п)-проблеме // Вестник Самарского государственного университета. 2007. - Т. 57. - №7. - С. 3555.

41. Гришин А. В., Цыбуля JI. М. О Т-пространственном и мультипликативном строении относительно свободной алгебры Грассмана // Математический сборник. 2009. - Т. 200. - №9. - С. 41-80.

42. Сурмина JI. М. О некоторых Т-пространствах п-слов // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского. Тезисы докладов. Самара: Изд-во «Универс групп», 2007. - С. 47-48.

43. Цыбуля JI. М. Теорема о независимости // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры. Международная научная конференция, посвященная 100-летию проф. В. В. Вагнера. Тезисы докладов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. - С. 138-140.

44. Цыбуля JI. М. Теоремы о выравнивании и мономиальности в относительно свободной алгебре Грассмана // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. - Т. 14. - №5. - С. 197-218.

45. Цыбуля JI. М. Т*-пространство n-слов в относительно свободной алгебре Грассмана без единицы // Депонировано в ВИНИТИ 18.12.2008, №975-В2008, 19 с. Реферативный журнал, Математика, №7, 2009.

46. Tsybulya L. М. Reduction to monomial substitutions // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов. Москва: Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. - С. 367-368.