Течение запыленного газа в сверхзвуковой ударной аэродинамической трубе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ВЕРЕВКИН Анатолии Анатольевич

ТЕЧЕНИЕ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА В СВЕРХЗВУКОВОЙ УДАРНОЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Специальность 01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003451277

Санкт-Петербург 2008

003451277

Работа выполнена на кафедре илазмогазодинамики и теплотехники ГОУ ВПО "Балтийский государственный технический университет "Во-енмех" им. Д.Ф. Устинова"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, с.н.с.

Циркунов Юрий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

Матвеев Сергей Константинович

доктор физико-математических наук, профессор

Стрелец Михаил Хаимошч

ФГУП ГНЦ "Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского"

Защита состоится " 25" ноября 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.07 в ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, корп. 1, кафедра гидроаэродинами-

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Автореферат разослан " 20" октября 2008 1'.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.07, кандидат физико-математических наук,

доцент Зайцев Д.К.

1. Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию течения запыленного газа в сверхзвуковой ударной аэродинамическом трубе с соплом Лаваля от момента запуска (раскрытия диафрагмы) до установившегося квазистационарного режима течения в рабочей камере около модели. Построена и обоснована математическая модель двухфазного течения, разработана численная модель, получены и проанализированы нестационарные поля параметров п картины течения обеих фаз в горле сопла, в диффузоре, около модели в рабочей камере. Изучено влияние размера частиц дисперсной примеси на время установления квазистацпонарного режима и распределение параметров двухфазного течения в рабочей камере.

Актуальность темы. В настоящее время одним из основных инструментов экспериментальных аэродинамических исследований обтекания различных тел высокоскоростными потоками запыленного газа являются сверх- н гиперзвуковые ударные трубы. Подавляющее большинство теоретических, экспериментальных и численных работ по исследованию течения чистого газа в сверхзвуковых ударных трубах было выполнено в 50-е 70-е годы XX столетия. В них были получены оценки роли различных факторов (не мгновенное раскрытие диафрагмы, влияние вязкого пограничного слоя на стенках трубы, влияние переменной теплоемкости реального газа при гпперзвуковых течениях и т.н.), которые не учитывались в классической теории "идеальной" ударной трубы, были развиты приближенные теории распространения ударных волн в каналах переменного сечения, а также выполнены оценочные расчеты эффектов двумерностн течения и предприняты попытки более полного численного моделирования нестационарного течения в отдельных фрагментах установки. Использование сверх- и гпперзвуковых ударных труб для изучения задач двухфазной аэродинамики поставило новые задачи перед исследователями. Для понимания возможностей таких установок н правильной интерпретации экспериментальных данных необходимо было иметь информацию о том, как начальные исходные параметры газа п частиц влияют на процесс установления двухфазного течения и на характеристики прпмесп в рабочей камере. Такая информация могла быть получена в результате численного моделирования "тонкой" структуры течений каждой из фаз за все время нестационарного процесса, начиная с момента запуска. Однако по различным причинам такое моделирование не было выполнено, что фактически означало отсутствие должного расчетно-теоретпческого сопровождения экспериментальных исследова-

нии.

Целью данной работы является разработка математической и численной моделей течения запыленного ['аза в сверхзвуковой ударной аэродинамической трубе, выполнение систематических расчетов на примере ударной трубы УТ-1М ЦАГИ, физическое описание на основе расчетов полей параметров и картин течения обеих фаз всего процесса в трубе от момента раскрытия диафрагмы между камерами высокого и низкого давления до установления квазистационарного режима обтекания модели в рабочей камере, определение зависимости параметров несущего газа и примеси и длительности квазистационарного режима в рабочей камере от размера частиц.

Используемые методы. Для решения поставленных задач используется общепринятая методология исследований по механике и прикладной математике, а именно

- безусловное выполнение физических законов сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии;

- априорные и апостериорные оценки справедливости принимаемых допущений;

- использование хороню апробированных численных методов интегрирования уравнений движений несущего газа и примесной фазы;

- физическая объяснимость получаемых результатов.

Достоверность результатов обеспечивается последовательным использованием на всех этапах выполнения работы сформулированной выше методологии исследований, а также тестированием программы расчета на примерах течений, для которых известны аналитические решения или надежные экспериментальные данные.

Научная новизна.

1. Впервые рассмотрена задача о развитии двухфазного течения в гиперзвуковой ударной трубе типа УТ-1М ЦАГИ от момента запуска (раскрытия диафрагмы) до установления квазистационарного обтекания модели в рабочей секции трубы и разработана численная модель такого течения;

2. На основе численного моделирования впервые получена подробная структура нестационарного течения газа во всех частях установки и выявлены не известные ранее особенности нестационарного течения газа в области горла сопла (образование сложной структуры поперечных взаимодействующих ударных волн и возникновение приосевых тороидальных интенсивных вихрей), явление "сворачивания" контактной поверхности, двухэтаиное формирование квазистационарного течения около модели в рабочей секции, образование нелепы (каустики) при отражении частиц

от сужающейся части сопла, возникновение существенно неравномерного, с резкими локальными максимумами, распределения примесп поперек потока в сопле и на входе в рабочую секцию.

Научная и практическая ценность работы состоит в достигнутом понимании особенностей развития двухфазного течения в ударной аэродинамической трубе, типа экспериментальной установки УТ-1М ЦАГИ. Это понимание дает более правильное представление о возможностях такого рода установок для изучения обтекания тел запыленным газом. Разработанная программа расчета и визуализации двухфазного течения позволяет прогнозировать параметры потока газовзвеси в рабочей секции, в частности, степень скоростного отставания частиц от несущего газа и профили их концентрации в поперечном сечении. Результаты расчетов и полученные оценки позволяют указать диапазоны исходных определяющих параметров течения, в которых следует ожидать проявления тех или иных физических эффектов и качественных особенностей течения примеси, что позволит более правильно интерпретировать получающиеся экспериментальные данные.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1) численная модель течения запыленного газа (система допущений, математическая постановка задачи, выбор численного метода решения, реализация граничных условий, программы расчета и визуализации результатов, тестовые расчеты);

2) результаты численного исследования "тонкой" структуры течения газа и примеси в ударной аэродинамической трубе (на примере установки УТ-1М ЦАГИ), их интерпретация и анализ.

Апробация работы. Результаты исследований по теме диссертации докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), Международной научной конференции по механике "Четвертые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2006), VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№Ш'06, Санкт-Петербург, 2006), 8-ой Европейской конференции по вычислительной гидродинамике (ЕССОМАБ СРБ'Об, Эгмонт на Зее, Нидерланды, 2006), 2-ой Европейской конференции по аэрокосмическим наукам (ЕиСАББ'О?, Брюсель, Бельгия, 2007), 6-ой Международной конференции по многофазным течениям (1СМР'07, Лейпциг, Германия, 2007).

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 8 работ общим объемом 57 стр. (б статей и тезисы 2 докладов), из них 6 работ написаны совместно с другими авторами. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласованы с соавторами. Работа |8] опубликована в журнале из списка ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В конце каждой главы сформулированы выводы. Диссертация изложена на 119 страницах и содержит 80 страниц текста (включая перечень основных условных обозначений и таблицу), 19 страниц рисунков и 18 страниц библиографии. Библиография включает 194 наименования. Иллюстраций 39. Таблица 1.

Поддержки. Основные результаты диссертационного исследования были получены в рамках научного проекта, поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований (грант 05-08-50075).

2. Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, перечислены отечественные группы исследователей и отдельные ученые, работавшие в данной предметной области за последние тридцать лет, сформулированы вопросы, которые оставались открытыми до работ автора, сформулирована цель диссертационного исследования, приведена структура диссертации и её краткое содержание по главам, дан перечень положений, выносимых на защиту, приведены сведения об апробации и публикациях но теме диссертации, даны ссылки на гранты.

Первая глава является обзорно-аналитической. В ней описаны истоки проблем и вопросов, связанных с темой диссертационного исследования. Сделан обзор и анализ за 60 лет по работам, посвященным теоретическому, экспериментальному и численному изучению функционирования ударных труб, труб с каналами переменного сечения, ударных аэродинамических труб с ирофилиованными соплами, обтеканию моделей в рабочей камере установок чистым и запыленным газом. Описаны основные принципы моделирования течения несущего газа и моделирования движения дисперсной фазы.

В главе сформулированы вопросы по части действия ударных аэродинамических труб и их использования для экспериментальных исследований. Дан обзор истории изучения ударных труб, моделирования

течений в них как на основе аналитического решения, так и на основе одно- и двухмерного численного моделирования. Описаны факторы, влияющие на параметры работы установок. Методы расчета параметров течения в ударных трубах и аэродинамических трубах. Приведены п проанализированы рассуждения, оценки и некоторые численные результаты по учету влияния факторов для описания течения несущего газа и движения дисперсной фазы. Среди них влияние вязкости газа, учет силовых факторов в межфазном взаимодействии, учет столкновений между частицами дисперсной фазы п влияния движения примеси на течение несущего газа.

Часть главы посвящена моделированию течения несущей фазы. Описаны способы формулирования математической модели, подходы к записи законов сохранения и дискретизации расчетной области. Также приведены способы моделирования течения дисперсной фазы. Описаны основные факторы, передающие воздействие от несущего газа к дисперсной фазе и обратно.

Сделан анализ основных допущений н предположений, которые позволяют упростить моделирование. Обосновано применение допущении о течении невязкого нетеплопроводного газа несущей фазы, о воздействии на частицы только силы аэродинамического сопротивления, силы Магнуса и демпфирующего момента, о пренебрежении столкновениями между частицами, об отсутствии влияния течения примеси на течение несущего газа, о представлении дисперсной фазы шарами постоянного заданного диаметра. Позднее, во второй главе дано дополнительное обоснование принятых допущении.

Во второй главе сформулирована физическая постановка задачи, проведена оценка существенных и несущественных факторов моделирования задачи, описана математическая и численная модели задачи. Описана геометрия ударной аэродинамической трубы (схема трубы показана на рис. 1) и газодинамические параметры в начальный момент времени. На основе опыта предшествующих исследований и предварительных расчетов описана ожидаемая картина нестационарного течения при запуске установки, какие процессы могут протекать и на какие факторы необходимо обратить внимание при моделировании.

В главе описаны параметры для численного исследования: геометрия расчетной области, начальные параметры и варьируемые значения размера частиц дисперсной фазы. Сделаны предположения и допущения. Так, течение несущего газа принято невязким нетеплопроводным. Газ совершенный. Вязкость газа проявляется только во взаимодействии

Рис. 1. Схема ударной аэродинамической труби.

с дисперсной фазой. На частицы со стороны несущего газа действуют аэродинамическая сила сопротивления, сила Магнуса и демпфирующий момент. Тепловая задача для частиц не решается. Считается, что частицы находятся в тепловом равновесии с газом. Течение частиц рассматривается как движение не взаимодействующих (гидравлически не взаимодействующих и не сталкивающихся) частиц. Влияния со стороны частиц на движение несущего газа нет. Также не учитывается сила тяжести. Процесс раскрытия диафрагмы, разделяющей в начальный момент области с высоким и низким давлениями, не моделируется. Принимается, что раскрытие диафрагмы происходит мгновенно. Взаимодействие частиц со стенками установки описывается полуэмиирическоп моделью отскока частиц, которая позволяет для известных характеристик материалов стенки и частицы и параметров падающей частицы получить параметры отскочившей частицы, близкие к реализующимся на практике. Все сделанные допущения обоснованы и впоследствии подтверждены результатами численного моделирования.

На основе сделанных допущений и предположений сформулирована математическая модель течения несущего газа и дисперсной фазы. Описаны все действующие факторы и параметры используемые в дальнейшем при формулировании численной модели.

Численная модель строится на основе конечно-объемного подхода с записью законов сохранения в интегральной форме. Используется неструктурированная сетка полигональных контрольных объемов. В основу численного метода для несущего газа положен метод Году нова-Кол гаи а для расчета потоков характеристических переменных через грани контрольных объемов, основанный на точном решении задачи Римана о распаде разрыва между параметрами слева и справа на грани. Для дисперсной фазы проводится интегрирование уравнений изменения импульса, момента импульса и движения вдоль траекторий по схеме второго порядка.

В третьей главе изложены результаты численных экспериментов по

теченшо невязкого газа с твердой ирнмесыо. Выявлены "тонкие" структуры течения. Показана степень влияния процессов запуска установки на квазистационарный режим. Показано влияние наличия примеси твердых частиц разного размера на время начала и длительность квазистационарного режима. Даны объяснения всем наблюдаемым процессам, хорошо согласующиеся с теоретическими представлениями.

Сложная структура переходного течения в горле сопла и в расширяющейся части сопла показана цветными картинами поля числа Маха в разные моменты времени. На этих рисунках хорошо выделяются ударно-волновые структуры, их движение и взаимодействие. Для большей наглядности движение элементарных объемов несущего газа представлено с помощью безинерционных частиц-маркеров. На рис. 2 хорошо видны кольцевые вихри на входе в сопло п структура течения в расширяющейся части сопла. Пример вихря в горле сопла и его влияния на течение примеси показано на рис. 3. Процесс установления обтекания модели сложным по структуре течением также показан полями числа Маха в разные моменты времени.

Приведены графики изменения параметров течения несущего газа в нескольких точках установки от времени. По этим графикам сделан вывод относительно времени начала квазистационарного обтекания модели, а также замечание относительно самого квазистационарного режима.

Показана и описана структура течения дисперсной примеси в зависимости от размера частиц, который определяет их инерционность и различное поведение в несущем газе рис. 4. Получены графики изменения концентрации примеси на срезе сопла на оси и на таком расстоянии от оси, на котором в ряде экспериментов устанавливались модели.

Для режима квазистационарного течения в установке получены траектории движения частиц 1! сопле (рис. 5, здесь максимумы относительной концентрации равны 0.15, 0.8, 5.0 и 11.0 соответственно) и около модели в рабочей камере (рис. 6). Для некоторого сечения в расширяющейся части сопла и на срезе сопла получены профили концентрации, свидетельствующие о существенно неоднородном распределении частиц по сечению в зависимости от размера частиц. Неравновесность течения примеси на срезе сопла существенно зависит от инерционности частиц. Тонкодисперсные частицы 0.15 и 1 мкм следуют поведению несущего газа, их скоростное отставание не превышает 0.1 и 1 м/с соответственно. Крупные частицы 5, 10, 20 и 40 мкм отстают от скорости несущего газа на 22, 77, 162 и 250 м/с соответственно.

Рис. 2. Положение частиц-маркеров I! горле сопла в разные моменты времени.

ЙШЗ»

--г*;

Ш.

.^-•ЗМ-'

'■/'¡Шг

у

Рис. 3. Положение частиц-маркеров и частиц примеси ёр = 0.15 мкм в горле сонла в

момент I = 600 мкс.

1 = 0.320 тэ

Вихрь2 Вихрь1

Вихрь2

Вихрь2

1 = 0.600 те

Вихрь1

{ = 0.390 шб

Рис. 4. Положение частиц примеси разных размеров в сопле I! момент времени

г = 1.8 мс.

Рис. 5. Траектории частиц в горле сопла Лаваля (слева) и профили относительной объемной концентрации примеси па правой границе (справа) при квазистационарном режиме течения: (а), (б), (в), (г) ёр 0.15, 10, 20, 40 мкм. Максимумы относительной концентрации равны 0.15, 0.8, 5.0, 11.0 соответственно.

Рис. С. Картины траекторий частиц различных фракций около модели (сферы) в рабочей камере на квазистациопарном режиме обтекания: (а), (б), (в) <1Р 0.15, 1, 15 мкм. Штриховая линия головная ударная волна.

В заключении сформулированы Основные результаты работы.

которые состоят в следующем:

1. Получены оценки относительной роли основных определяющих факторов, сформулирована система допущений и построена математическая модель двухфазного течения газа с твердыми частицами в сверхзвуковой ударной аэродинамической трубе типа установки УТ-1М ЦАГИ.

2. Разработана численная модель двухфазного течения, включающая построение неструктурированной сетки в расчетной области, численные алгоритмы решения уравнении движения несущего газа и частиц примеси, реализации граничных условий, программы расчета и визуализации течений каждой из фаз. Выполнено тестирование численной модели на примерах решения задачи о распаде разрыва с сильным перепадом давлений (численное решение сравнивалось с аналитическим решением) и задачи о дифракции плоской ударной волны с поперечно расположенным цилиндром (численное решение сравнивалось с экспе-

риментальными данными). В обоих случаях получено хорошее согласие.

3. Показано, что при начальной объемной концентрацией примеси в камере высокого давления а])00 < 8-10~7 допустимо пренебрегать столкновениями между частицами и влиянием частиц на течение несущего газа. Вязкий пограничный слой на стенках трубы не играет существенной роли при формировании двухфазного течения в рабочей секции.

4. Выполненное численное исследование "тонкой" структуры несущего газа и дисперсной примеси в сверхзвуковой ударной аэродинамической трубе позволило установить следующее:

• Структура нестационарного течения несущего газа в сопле Лаваля в начальный период является очень сложной. Прохождение первичной ударной волы, возникшей в момент раскрытия диафрагмы, через сопло сопровождается ее отражением от стенок сужающейся части сопла и возникновением поперечных ударных волн, которые регулярно и нерегулярно взаимодействуют друг с другом и со стенками сопла, приводя в итоге к формированию ударной волны, распространяющейся вверх по потоку в камеру высокого давления, формированию двух последовательных приосевых тороидальных вихрей, которые в дальнейшем сносятся вниз но потоку, п существенному искажению первоначально плоской контактной поверхности, разделяющей газы из камер высокого и низкого давления, которая принимает сложную куполообразную форму. Из-за взаимодействия ударной волны, распространяющейся вверх по потоку с волной разрежения, которая возникает в начальный момент и также распространяется в камеру высокого давления, параметры газа на входе в сопло все время изменяются вначале очень резко, а затем плавно. Поэтому течение в диффузоре сопла и, как следствие, в рабочей камере трубы является (в отличие от классической ударной трубы постоянного сечения) все время нестационарным, и можно говорить лишь о квазистационарном режиме течения газа около модели в рабочей части трубы.

• Описанные особенности развивающегося нестационарного течения несущего газа приводят к тому, что первоначально плоский фронт движущегося облака частиц становится сильно искривленным, образуя внутри облака вблизи оси область, свободную от частиц. Движение тонкодисперсных частиц (с/р < 1 мкм, вЬк < 0.01) практически повторяет сложное движение газовой фазы. Более крупные частицы, сталкиваясь со стенками сужающейся части сопла, отскакивают. Отраженные частицы образуют тонкие слои с высокой концентрацией частиц. Перераспределение частиц в поперечном направлении приводит к существенно неравномерным профилям их концентрации. Крупные частицы также

заметно отстают от газового потока. В результате двухфазное течение в сопле и в дальнейшем в рабочей камере трубы становится не только неоднородным с точки зрения распределения частиц, но и неравновесным по скоростям фаз. Длительность квазистационарного периода двухфазного течения в рабочей камере зависит от размера частиц, с увеличением которого она уменьшается. В исследованном диапазоне размеров уменьшение даже для наиболее крупных частиц (dlt — 40 мкм) составляло около 1 мс, что можно считать незначительным по сравнению с длительностью всего периода квазнстационарного двухфазного течения (около 12 мс).

• Структура течения примеси около затупленного тела (сферы) в рабочей камере на квазистационарном режиме существенно зависит от размеров частиц. Качественно, а для тонкодисперсных частиц и количественно, эта структура совпадает с известными результатами расчетов других исследователей, которые изучали стационарное обтекание тел однородным равновесным потоком запыленного газа. Для крупных частиц имеется относительно небольшое отличие, которое связано со скоростным отставанием частиц от газового потока в рабочей камере трубы.

Список публикаций по теме диссертации

|1| Веревкпн A.A., Виртуальная импульсная аэродинамическая труба для исследования обтекания тел сверхзвуковым потоком запыленного газа // Актуальные вопросы ракетно-космической техники и технологий: Сб. трудов студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых БГТУ. Выи. 2. - СПб.: Изд-во Б ал т. гос. техн. ун-та, 2004, с. 25-27.

|2] Веревкин A.A., Циркунов Ю.М., Численное исследование течения в импульсной гиперзвуковой аэродинамической трубе // Четвертые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 7-10 февраля 2006 г. - СПб.: Изд-во "ВВМ", 2006, с. 131.

[3| Веревкпн A.A., Цпркунов Ю.М., Динамика примеси в импульсной гиперзвуковой двухфазной аэродинамической трубе // Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня - 1 июля 2006 г., Санкт-Петербург. -М.: Вузовская книга, 2006, с. 95-96.

|4| Веревкин А.А., Численное моделирование нестационарного течения газа с частицами в гиперзвуковой ударной трубе //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. II (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006). - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверсптета им. Н.И. Лобачевского, 2006, с. 45-46.

|5| Verevkin A., Tsirkunov Yu., Numerical investigation of two-phase gas-particle flow in a hypersonic shock tunnel // Proceedings of ECCOMAS CFD 2006 Conference (Eds.: P.Wesseling, E.Onate, J.Periaux), Paper No. 211, 20 p.

|6] Tsirkunov Yu., Panfilov S., Verevkin A., Wind tunnels and shock tubes as the tools for experimental studies of dusty gas flows over bodies: theoretical and numerical prediction and analysis // Proceedings of the 2nd European Conference for AeroSpace Sciences (EUCASS), Brussels, Belgium, July 1-6, 2007, Paper No. 2-09-05, 8 p.

|7| Tsirkunov Yu., Verevkin A., Computational simulation of the unsteady gas-particle flow in a hypersonic shock tunnel // Proceedings of the 6th International Conference on Multiphase Flow (ICMF 2007), Leipzig, Germany, July 9-13, 2007, Paper No. PS3_8, 9 p.

|8| Веревкин А.А., Циркунов Ю.М., Течение дисперсной примеси в сопле Лаваля и рабочей секции двухфазной гиперзвуковой ударной трубы // ПМТФ, 2008, т. 49, № 5, с. 102-113.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 09.10.2008. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 3518Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Условные обозначения

Введение

1. Состояние проблемы

1.1. Теоретические, экспериментальные и численные исследования в аэродинамических ударных трубах и исследования обтекания тел.

1.2. А^оделированне течений "чистого" газа.

1.3. Моделирование двухфазных течений.

1.4. Выводы первой главы.

2. Математическая модель и постановка задачи

2.1. Физическая постановка задачи и оценка определяющих параметров

2.2. Математическая модель.

2.2.1. Несущий газ.

2.2.2. Дисперсная фаза.

2.3. Численный метод.

2.3.1. Расчетная сетка для несущего газа и метод контрольного объема.

2.3.2. Расчет потоков через грани контрольного объема

2.3.3. Расчет движения дисперсных частиц и профилей их концентрации.

2.4. Тестирование численной модели.

2.5. Выводы второй главы.

3. Результаты численного моделирования и их анализ

3.1. Ударный запуск и течение в горле сопла

3.2. Течение в диффузоре сопла Лаваля и на входе в рабочую секцию.

3.3. Течение около модели в рабочей секции установки.

3.4. Выводы третьей главы.

Интерес к запыленным потокам существует уже полвека. Он основан на большом количестве инженерных приложений, а также на интересе исследователей к сложным физико-механическим процессам, протекающим в различных установках и при обтекании запыленными потоками тел. Вопросы, связанные с запыленностью, актуальны при работе реактивных двигателей и энергетических установок на твердом топливе, при работе систем пневмотранспорта, при определении надежности и долговечности технологического оборудования, действующего в условиях разной степени запыленности, при обтекании тел и летательных аппаратов, при нанесении покрытий и др. Для многих приложений наиболее востребованными являются две задачи: определение теплового и механического воздействия запыленных потоков на обтекаемые поверхности. Решение этих задач требует понимания особенностей движения примеси, взаимодействия частиц примеси между собой и с поверхностями тел (отражение, внедрение и др.), а также влияния примеси на течение несущего газа. Одним из наиболее разработанных направлений здесь является обтекание тел потоком запыленного газа.

Одним из важнейших инструментов экспериментальных исследований обтекания тел потоками, содержащими твердую дисперсную фазу, являются аэродинамические трубы. Первые эксперименты по обтеканию тел высокоскоростным потоком газа с частицами были проведены в газодинамической лаборатории НИИММ Ленинградского государственного университета (работы Б.А. Баланина и его сотрудников, 1975-1990 г.г.). Сравнительно недавно в ЦАГИ были выполнены эксперименты по обтеканию затупленных тел потоком запыленного газа в гиперзвуковой ударной аэродинамической трубе УТ-1М. Было обнаружено существенное увеличение теплового потока по сравнению с обтеканием тех же тел "чистым" газом (работы Э.Б. Василевского и др., 1998-2007 г.г.). Важные теоретические оценки воздействия тонкодисперсной примеси на тела были даны в работах Ю.В. Полежаева, Д.С. Михатулина и их сотрудников (1988-2007 г.г.). Наиболее фундаментальными теоретическими работами по изучению обтекания тел однородным потоком запыленного газа являются работы Ю.П. Головачева, А.А. Шмидта, М.С. Рамма (19801990 г.г.), С.К. Матвеева и его учеников (1980-2007 г.г.), А.Н. Осипцова (1985-2007 г.г.), Д.Л. Ревизникова и его сотрудников (2003-2008 г.г.), В.М. Фомина и его сотрудников (1980-2007 г.г.), Ю.М. Циркунова и его сотрудников (1990-2008 г.г.).

Многочисленные работы разных авторов позволили выявить ряд аспектов работы ударных аэродинамических труб: эффекты раскрытия диафрагмы, влияние вязкости реального газа, влияние переменной теплоемкости реального газа при гиперзвуковых течениях и др. В последнее десятилетие получили развитие численные исследования взаимодействия потоков запыленного газа с телами при разных случаях поведения частиц при столкновении с поверхностью: отскок, осаждение, образование пелены и др. Исследования позволили получить важные методические выводы: как воздействует несущий газ на частицы, при каких параметрах необходимо учитывать гидродинамическое и столкновитель-ное взаимодействие между частицами и коллективное влияние частиц на несущий газ, как определять концентрацию частиц на поверхностях с сильным сгущением частиц, как описывать столкновительное взаимодействие частиц с телами для режима отскока частиц.

Полученные экспериментальные результаты по течению запыленного газа в ударной аэродинамической трубе УТ-1М ЦАГИ нашли частичное объяснение, но остался предмет для дискуссии. Ясно, что течение примеси около тела в рабочей камере установки определяется переходными процессами, протекающими при запуске установки, и инерционностью частиц. Эти факторы будут определять как степень неоднородности двухфазного течения, которая должна возникать из-за взаимодействия частиц со стенками канала, так и скоростную неравновесность дисперсной фазы и несущего газа. Весьма важным является также вопрос о времени установления квазистационарного двухфазного течения в рабочей камере и его длительности, которые очевидно будут отличаться от таковых для случая течения "чистого" газа.

В последние десять-пятнадцать лет неотъемлемой частью сложных и дорогостоящих экспериментов становится расчетно-теоретическая поддержка, состоящая в проведении оценочных расчетов и модельных численных экспериментов, которые способны априори показать проблемные места реального эксперимента и сфокусировать на них часть внимания, либо дать представление о процессах и объяснить сложные моменты полученных результатов. Как было описано выше, на момент проведения экспериментов группой Э.Б. Василевского уже имелось большое количество работ, описывающих различные частные аспекты, а вот подробных расчетов, посвященных сопровождению экспериментов на установке УТ-1М ЦАГИ не проводилось. Автору данного исследования не удалось среди рассмотренных источников найти ни одной работы, посвященной доскональному комплексному изучению функционирования какой-либо ударной аэродинамической трубы, с описанием процессов от запуска до выхода на рабочий режим и окончания эксперимента. Данная работа является попыткой заполнить таковой пробел в отношении конкретной установки УТ-1М ЦАГИ и экспериментов, проведенных на ней. При этом доскональное моделирование всех процессов (таких как раскрытие диафрагмы, учет переменной теплоемкости газа и вязкости, ввод частиц в установку и др.) не ставилось во главу угла в силу показанных ранее в известных работах допущений и полученных оценок.

Таким образом, целью данной работы является разработка математической и численной моделей течения запыленного газа в сверхзвуковой ударной трубе с соплом, выполнение систематических расчетов на примере ударной трубы УТ-1М ЦАГИ, физическое описание на основе расчетов полей параметров и картин течения обеих фаз всего процесса в трубе от момента раскрытия диафрагмы между камерами высокого и низкого давления до установления квазистационарного режима обтекания модели в рабочей камере, определение зависимости параметров несущего газа и примеси и влияние размера частиц на задержку квазистационарного режима течения запыленного газа около модели в рабочей камере.

В первой главе приведен обзор и анализ работ, отражающих историю экспериментального использования ударных аэродинамических установок, исследований обтекания моделей в ударных трубах. Рассмотрены работы по численному моделированию течений "чистого" газа в трактах ударных аэродинамических труб и при обтекании моделей и течений запыленного газа около моделей. Описаны основные закономерности и определяющие факторы течений "чистого" и запыленного газа.

Во второй главе сформулирована физическая постановка задачи, проведена оценка существенных и несущественных факторов моделирования течения "чистого" газа и твердой дисперсной фазы, описана математическая и численная модели задачи. Приведены результаты тестирования численной модели на известных аналитических и экспериментальных задачах.

В третей главе изложены результаты численных экспериментов на примере ударной аэродинамической трубы УТ-1М ЦАГИ: выявленные "тонкие" структуры течения газа и примеси в сопле и рабочей секции около модели, степень влияния процессов, происходящих при запуске установки и установлении, на наступление квазистационарного режима и параметры течения двухфазного потока на квазистационарном режиме около модели.

На защиту выносятся следующие положения:

1) численная модель течения запыленного газа в ударной аэродинамической трубе (система допущений, математическая постановка задачи, выбор численного метода решения, реализация граничных условий, программы расчета и визуализации результатов, тестовые расчеты);

2) результаты численного исследования "тонкой" структуры течения газа и примеси в ударной аэродинамической трубе (на примере установки УТ-1М ЦАГИ), их интерпретация и анализ.

Результаты исследований по теме диссертации докладывались на 1 всероссийском и 5 международных форумах: IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), Международной научной конференции по механике "Четвертые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2006), VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'06, Санкт-Петербург, 2006), 8-ой Европейской конференции по вычислительной гидродинамике (ECCOMAS CFD'06, Эгмонт на Зее, Нидерланды, 2006), 2-ой Европейской конференции по аэрокосмическим наукам (EUCASS'07, Брюсель, Бельгия, 2007), 6-ой Международной конференции по многофазным течениям (ICMF'07, Лейпциг, Германия, 2007).

По результатам диссертационного исследования опубликовано 8 работ [19], [22], [20], [185], [23], [181], [182], [21] общим объемом 57 стр. (6 статей и тезисы 2 докладов), из них 6 работ написаны совместно с другими авторами. Статья [21] опубликована в журнале из списка ВАК РФ. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных работах, согласовано с соавторами.

Основные результаты были получены в рамках проекта, получившего финансирование от Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-08-50075, руководитель Ю.М. Циркунов).

Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность своим старшим коллегам С.В. Панфилову и к.ф.-м.н. Н.В. Тарасовой за многочисленные обсуждения, ценные советы и критические замечания в ходе выполнения исследований. Особую благодарность выражаю своему научному руководителю д.ф.-м.н. Ю.М. Циркунову, который на всех этапах оказывал помощь и поддержку, и очень сильно повлиял на мое формирование как исследователя.

1. Состояние проблемы

Ударные аэродинамические трубы используются в экспериментальных исследованиях уже более века. Высокоскоростные и высокоэнталь-пийные потоки стали предметом исследования в ударных аэродинамических трубах с середины прошлого века. С конца 70-х — начала 80-х годов XX века ударные трубы стали использоваться для двухфазной аэродинамики, а относительно недавно произошел новый всплеск исследований гиперзвуковых запыленных потоков для подготовки полетов на Марс.

Временные масштабы исследуемых в ударных трубах задач составляют миллисекунды, а длительность отдельных процессов ограничена единицами и десятками микросекунд. При этом за столь короткие отрезки времени происходит кардинальная перестройка течения в различных частях экспериментальной установки. В этой связи актуален вопрос о степени влияния отдельных "элементарных" процессов на характер формирования течения в канале и, особенно, в рабочей секции аэродинамической ударной трубы. Наиболее важно здесь определить время установления стационарного (квазпетационарного) течения в рабочей секции, его длительность и фактические параметры, их зависимость от геометрии установки и начальных условий и, как следствие, управление режимами течения и их параметрами. Актуально, также, влияние "эффектов реальных газов" (влияние вязкости, переменность термодинамических параметров газа, возбуждения колебательных степеней свободы атомов в молекулах, диссоциации, ионизации при высокоэнтальпииных и высокотемпературных течениях). В последнее десятилетие аэродинамические ударные трубы начали применяться для исследования запыленных потоков, содержащих дисперсные твердые частицы. Интерес к обтеканию тел запыленными потоками усилился четверть века назад и был связан с аэродинамическими задачами, в частности, с движением летательных аппаратов в запыленной атмосфере Земли и других планет (прежде всего, Марса). Помимо этого в земных условиях запыленные потоки наблюдаются при эксплуатации оборудования в условиях пустынь, в транспортных пылевоздушных системах, при сжигании твердого топлива в энергетических установках и т.д. При исследовании течений запыленного газа в ударных трубах важными оказываются степень скоростной неравновесности несущего газа и дисперсной фазы, влияние примеси на несущий газ, возможные фазовые переходы и химические реакции и др. Влияние этих факторов способно существенно повлиять на параметры течения в экспериментальной установке и, как следствие, на характер обтекания модели в рабочей секции. При этом и для "чистого" газа и для запыленного потока важен вопрос наличия однородной области в рабочей части ударной трубы во времени и в пространстве и ее длительность.

3.4. Выводы третьей главы

Течение до момента установления течения как для чистого газа, так и для двухфазного потока около модели в рабочей секции сверхзвуковой ударной аэродинамической трубы является очень сложным. Фронты ударных волн и особенно контактные поверхности далеки от плоских. Расчетное число Маха сопла установки в среднем равно полученному в расчете числу Маха Ма = 5.95 -г 6.1, которое слабо "плывет". Параметры потока на входе в сопло и в рабочую секцию постоянно меняются. Строгого режима стационарного обтекания модели в установке не получается. Начало квазистационарного обтекание тела в рабочей камере вводится условно. Критерием является изменение газодинамических параметров на величину не превышающую 5%. Начало квазистационарного обтекания тела несущим газом соответствует моменту t — 4.8 мс от момента раскрытия диафрагмы. Мелкие частицы (dp = 0.15,1.0 мкм) начинают квазистационарное обтекание модели практически вместе с несущим газом. Крупные частицы задерживают начало квазистационарного обтекания на ~ 1 мс и более. Окончание квазистационарного обтекания определяется исключительно несущим газом (в силу инерционности частиц). Длительность квазистационарного обтекания несущим газом составляет 12 мс. Влияние дисперсной фазы на длительность квазистационарного обтекания в целом мало и им можно пренебречь.

Существенное влияние на движение дисперсной фазы оказывает течение в конфузоре сопла. Очень мелкие частицы (dp = 0.15 мкм) движутся через горло сопла без столкновения со стенками, заполняя практически все сопло, кроме того промежутка времени, в течение которого существует приосевой вихрь в горле сопла. Подобным образом ведут себя частицы вплоть до размера dp = 1 мкм. Но для последних появляется небольшое запаздывание по отношению к несущему газу. Более крупные частицы имеют существенное запаздывание, они сталкиваются со стенками конфузора сопла, отражаются, приобретают существенную закрутку (до ~ 2 • 107 рад/с) и образуют слои с повышенной концентрацией частиц. Далее в расширяющейся части сопла и в рабочей камере крупные частицы занимают центральную (приосевую) часть канала.

Течение двухфазного потока является практически равновесным для тонкодисперсных частиц (dp = 0.15,1.0 мкм) и существенно неравновесным (по скоростному отставанию примеси) для частиц диаметра dp > 5 мкм. Мелкие частицы (dv = 0.15,1.0 мкм) заполняют практически все пространство поперек выходного сечения сопла, имеют практически постоянную концентрацию в ядре потока и скоростное отставание, не превышающее 1 м/с. Крупные частицы (dp > 5 мкм) заполняют лишь часть поперечного сечения сопла, имеют максимум концентрации смещающийся от стенок сопла к оси течения. Максимумы концентрации для частиц dp = 10 и 15 мкм расположены между осью симметрии и стенкой. Скоростное отставание крупных частиц составляет 21.5, 77, 126, 162 и 249.5 м/с для dp = 5, 10, 15, 20 и 40 мкм соответственно.

Как показали расчеты, частицы диаметра dp = 0.15 мкм, использованные в опытах [15], не сталкиваются с поверхностью тела (сферы) в рабочей камере. После обтекания тела они образуют пелену, двигающуюся по границе зоны циркуляционного течения за кормой тела. Частицы размера dp = 1 мкм, сталкиваясь с поверхностью тела, отскакивают так, что их траектории не пересекают фронт отраженной ударной волны. Частицы большего размера dp > 5 мкм сталкиваются с телом и отскакивают, вылетая за область ударного слоя перед телом. Траектории отраженных частиц многократно пересекаются.

Полученные максимальные значения объемной концентрации частиц перед телом (до попадания в ударный слой и столкновения с телом), не превышают для самых крупных частиц величину ~ 2 • Ю-8, что подтверждает обоснованность применения в настоящем исследовании допущений о пренебрежении столкновениями между частицами и обратным влиянием поведения примеси на течение несущего газа. t = 0.240 ms fNJ fi

N1 Г"; (N

00 rsj 0

Рис. 20. Поля числа Маха в горле сопла в моменты времени t = 220 -г 292 мкс. Стрелками показаны направления движения разрывов {ударных волн и контактной поверхности).

Рис. 21. Поля числа Маха в горле сопла в моменты времени t, — 310 -г 600 мкс. Стрелками показаны направления движения разрывов (ударных волн и контактной поверхности). t = 0.320 ms

Вихрь2

Вихрь 1 t = 0.365 ms

Вихрь2

Вихрь2 t = 0.600 ms t = 0.350 ms

Вихрь1 t = 0.390 ms

Рис. 22. Мгновенные картины частиц-маркеров в горле сопла в разные моменты времени.

Рис. 23. Мгновенные картины пробных частиц в горле сопла. Слева — dp = 0.15 мкм, t = 600 мкс, справа — dv = 15 мкм, t = 800 мкс.

Рис. 24. Траектории частиц в горле сопла Лаваля (слева) и профили относительной объемной концентрации примеси на правой границе (справа) при квазистационарном режиме течения: (о), (5), (в), (г) -dp = 0.15, 10, 20, 40 мкм. Максимумы относительной концентрации равны 0.15, 0.8, 5.0 и 11.0 соответственно.

Рис. 25. Поля числа Маха и мгновенные картины частиц-маркеров в сопле в моменты времени t = 0.4 -г- 1.0 мс.

Рис. 26. Поля числа Маха и мгновенные картины частиц-маркеров в сопле в моменты времени t = 1.2 ~ 2.0 мс.

86

Рис. 27. Мгновенные картины пробных частиц разных размеров в сопле в момент времени t — 1.8 мс.

600

400

200

Oi

T250

15 10 15 20 dp, MKM и — up, м/с

200

150

100

50

40

Рис. 28. Скорость (сплошная кривая) и скоростное отставание {штриховая кривая) частиц на срезе сопла на квазистационарном режиме (i = 5 мс).

Ctr a poo

0 15

0,1

0.06 г)

0 25

OS r/ra

Рис, 29. Распределение относительной объемной концентрации примеси на входе в рабочую секцию (га - радиус среза сопла) на квазистационарном режиме течения (t = 5 мс): (а), (б), (в), (г) - dp = 5, 10, 15, 20 мкм. в 1- ы esj ш m

LD i— (0 (SI f» СП

VJ W К Л N

Рис. 30. Поля числа Маха в рабочей секции в разные моменты времени. t= 1.90-г 2.15 мс. о to N ее гп ОТ * S а LT) щт (О СМ t*. СО 47 о

К eg К О) N ч? — из 1Г> LT) чг m еО N 1—' а о

Рис, 31. Поля числа Маха в рабочей секции в разные моменты времени. t = 2.20 2.45 мс.

Рис. 32. Поля числа Маха в рабочей секции в разные моменты времени. t = 2.50 4- 2.75 мс.

Рис. 33. Поля числа Маха в рабочей секции в разные моменты времени. t = 2.80 4-3.05 мс. 3.100 ms

Ч! lt = 3.200 ms

-, . — •

Рис. 34. Поля числа Маха в рабочей секции в разные моменты времени. t = 3.10 -г- 3.35 мс. oioff-cvjoanm OLOi-tBCMi^-мео toiouivrneOpJ^ W

Рис. 35. Поля числа Маха в рабочей секции в разные моменты времени. t = 3.40 -Ь 3.65 мс. аоооог

6COQO ■ лоооо

20000j (а)

- - fi~ ----------h !i / ! \\/ Uf

П i 111 ! ■ if Р» » i' i fh

2 3 и

2500

2000

1500

1000

500

C*1

1 25

075

0.5

0.25

6) Л И ii,.-----------

-it

Рис. 37. Зависимость параметров несущего газа от времени, (а), (б), (в) — давление р, Па, плотность р, кг/м3, скорость и, м/с, от времени t, мс. Сплошная кривая — срез сопла, штриховая — сечение, в котором считалась концентрация частиц в сопле (х — 0.15 м), штрихпунктирная — точка торможения на теле в рабочей камере.

Рис. 38. Зависимость относительной объемной концентрации частиц различных фракций в рабочей камере перед моделью от времени на оси {сплошные линии) и на расстоянии 41 мм от оси (пунктирные линии): (а), (б), (б) - dp ~ 0.15, 5, 10 мкм.

Рис. 39. Картины траекторий частиц различных фракций около тела (сферы) в рабочей секции на квазистационарном режиме обтекания (t = 5 мс): (а), (б), (в) - dp = 0.15, 1, 15 мкм. Штриховая линия - головная ударная волна.

Заключение

1. Получены оценки относительной роли основных определяющих факторов, сформулирована система допущений и построена математическая модель двухфазного течения газа с твердыми частицами в сверхзвуковой ударной аэродинамической трубе типа установки УТ-1М ЦАГИ.

2. Разработана численная модель двухфазного течения, включающая построение неструктурированной сетки в расчетной области, численные алгоритмы решения уравнений движения несущего газа и частиц примеси, реализации граничных условий, программы расчета и визуализации течений каждой из фаз. Выполнено тестирование численной модели на примерах решения задачи о распаде разрыва с сильным перепадом давлений (численное решение сравнивалось с аналитическим решением) и задачи о дифракции плоской ударной волны с поперечно расположенным цилиндром (численное решение сравнивалось с экспериментальными данными). В обоих случаях получено хорошее согласие.

3. Показано, что при начальной объемной концентрацией примеси в камере высокого давления арсо < 8 • Ю-7 допустимо пренебрегать столкновениями между частицами и влиянием частиц на течение несущего газа. Вязкий пограничный слой на стенках трубы не играет существенной роли при формировании двухфазного течения в рабочей секции.

4. Выполненное численное исследование "тонкой" структуры несущего газа и дисперсной примеси в сверхзвуковой ударной аэродинамической трубе позволило установить следующее:

• Структура нестационарного течения несущего газа в сопле Лаваля в начальный период является очень сложной. Прохождение первичной ударной волы, возникшей в момент раскрытия диафрагмы, через сопло сопровождается ее отражением от стенок сужающейся части сопла и возникновением поперечных ударных волн, которые регулярно и нерегулярно взаимодействуют друг с другом и со стенками сопла, приводя в итоге к формированию ударной волны, распространяющейся вверх по потоку в камеру высокого давления, формированию двух последовательных приосевых тороидальных вихрей, которые в дальнейшем сносятся вниз по потоку, и существенному искажению первоначально плоской контактной поверхности, разделяющей газы из камер высокого и низкого давления, которая принимает сложную куполообразную форму. Из-за взаимодействия ударной волны, распространяющейся вверх по потоку с волной разрежения, которая возникает в начальный момент и также распространяется в камеру высокого давления, параметры газа на входе в сопло все время изменяются — вначале очень резко, а затем плавно. Поэтому течение в диффузоре сопла и, как следствие, в рабочей камере трубы является (в отличие от классической ударной трубы постоянного ' сечения) все время нестационарным, и можно говорить лишь о квазистационарном режиме течения газа около модели в рабочей части трубы.

• Описанные особенности развивающегося нестационарного течения несущего газа приводят к тому, что первоначально плоский фронт движущегося облака частиц становится сильно искривленным, образуя внутри облака вблизи оси область, свободную от частиц. Движение тонкодисперсных частиц (dp < 1 мкм, Stk < 0.01) практически повторяет сложное движение газовой фазы. Более крупные частицы, сталкиваясь со стенками сужающейся части сопла, отскакивают. Отраженные частицы образуют тонкие слои с высокой концентрацией частиц. Перераспределение частиц в поперечном направлении приводит к существенно неравномерным профилям их концентрации. Крупные частицы также заметно отстают от газового потока. В результате двухфазное течение в сопле и в дальнейшем в рабочей камере трубы становится не только неоднородным с точки зрения распределения частиц, но и неравновесным по скоростям фаз. Длительность квазистационарного периода двухфазного течения в рабочей камере зависит от размера частиц, с увеличением которого она уменьшается, В исследованном диапазоне размеров уменьшение даже для наиболее крупных частиц (dv = 40 мкм) составляло около 1 мс, что можно считать незначительным по сравнению с длительностью всего периода квазистационарного двухфазного течения (около 12 мс).

• Структура течения примеси около затупленного тела (сферы) в рабочей камере на квазистационарном режиме существенно зависит от размеров частиц. Качественно, а для тонкодпсперсных частиц и количественно, эта структура совпадает с известными результатами расчетов других исследователей, которые изучали стационарное обтекание тел однородным равновесным потоком запыленного газа. Для крупных частиц имеется относительно небольшое отличие, которое связано со скоростным отставанием частиц от газового потока в рабочей камере трубы.

1. Агранат В.М. Об аналогии Рейнольдса в запыленном ламинарном пограничном слое // Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 6, с. 160-162.

2. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т. 2: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. 392 с.

3. Антохин В.М., Дрюкова Э.В. Ударно-волновые процессы при моделировании запуска ракетного двигателя на импульсной установке // Труды ЦАГИ, 1989, Вып. 2457, с. 12-23.

4. Аэрофнзичсские исследования сверхзвуковых течений // Отв. ред. Ю.А. Дунаев. Изд-во "Наука". М.-Л., 1967. 304 с.

5. Баланин Б.А. О влиянии отраженных частиц на унос массы при обтекании тела двухфазным потоком // Изв. АН СССР. МЖГ, 1984, № 5, с. 193-196.

6. Безменов В.Я., Колочинский Ю.Ю. Конструкция и характеристики гиперзвуковой ударной трубы УТ-1 ЦАГИ // Тр. ЦАГИ. № 9152, 1969.

7. Безменов В.Я. Нестационарное течение в ударной трубе переменного сечення // Труды ЦАГИ, 1959, Вып. 737.

8. Белоусов В.Л., Головачев Ю.П., Шмидт А.А. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкой газовзвеси. II. Лагранжево-эйлеровская модель. Л., 1988. 21 с. -(Препр./ АН СССР. ФТИ; № 1247).

9. Белоусов В.Л., Рамм М.С., Шмидт А.А. Исследование структуры ударного слоя при обтекании затупленного тела потоком газовзвеси // Моделирование в механике, 1988, т. 2, № 1, с. 11-16.

10. Бондаренко О.Н., Шапошникова Г.А. Исследование изотермических течений смеси газа с частицами в канале переменного сечения // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 6, с. 61-68.

11. Британ А.Б., Васильев Е.И. Исследование запуска профилированного сопла ударной трубы большого диаметра // Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 5, с. 88-95.

12. Британ А.Б., Рудницкий А.Я., Старик A.M. Формирование параметров за отраженной волной в ударной трубе с соплом // Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 4, с. 153-159.

13. Василевский Э.Б., Домбровский JI.A., Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В. Теплообмен в окрестности точки торможения при сверхзвуковом обтекании тел гетерогенным потоком со скольжением фаз // ТВТ, 2001, т. 39, № 6, с. 925-938.

14. Василевский Э.Б., Осипцов А.Н., Чирихин А.В., Яковлева JI.B. Теплообмен на лобовой поверхности затупленного тела в высокоскоростном потоке, содержащем малоинерционные частицы // ИФЖ, 2001, т. 74, № 6, с. 29-37.

15. Васильев Е.И., Данильчук Е.В. Численное моделтрование стартового процесса в ударной трубе при немгновенном раскрытии диафрагмы // Вычислительная физика и математическое моделирование: Тез. докл. межвуз. конф. Волгоград, 1988, с. 17-18.

16. Васильев Е.И., Данильчук Е.В. Численное решение задачи о развитии течения в ударной трубе при поперечном выдвижении диафрагмы // Изв. АН СССР. МЖГ, 1994, № 2, с. 147-154.

17. Васильков А.П. Окрестность критической точки затупленного тола в гиперзвуковом двухфазном потоке // Изв. АН СССР. МЖГ, 1975, № 5, с. 121-129.

18. Веревкин А.А., Циркунов Ю.М. Динамика примеси в импульсной гиперзвуковой двухфазной аэродинамической трубе // Материалы

19. VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня 1 июля 2006 г., Санкт-Петербург. - М.: Вузовская книга, 2006, с. 95-96.

20. Веревкпн А.А., Циркунов Ю.М. Течение дисперсной примеси в сопле Лаваля и рабочей секции двухфазной гиперзвуковой ударной трубы // ПМТФ, 2008, т. 49, № 5, с. 102-113.

21. Виттэл Б.В.Р., Табаков В. Обтекание двухфазным потоком бесконечного цилиндра // Аэрокосмическая техника, 1987, № 12, с. 50-57.

22. Войнович П.А., Щаров Д.М. Неструктурированные сетки в методе конечных объемов расчета разрывных течений газа. 1. Стационарные сетки // Препр. АН СССР, ФТИ; № 1534 Л.: 1991. 43 с.

23. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Влияние дисперсной примеси на течение и теплообмен при поперечном обтекании цилиндра сверхзвуковым потоком запыленного газа // Изв. РАН. МЖГ, 2005, № 4, 67-83.

24. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкнови-тельной примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел // Изв. РАН. МЖГ, 2000, № 3, с. 81-97.

25. Волконитин B.C. Численное моделирование процесса запуска сопла импульсной установки // Труды ЦАГИ, 1989, Вып. 2457, с. 3-11.

26. Гвоздева Л.Г., Жилин Ю.В. Формирование квазистационарной струи внутри сопла в процессе его ударного запуска // Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 1, с. 76-82.

27. Герцберг А и Смит У. Метод возбуждения сильных ударных волн // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 238-240.

28. Григоренко B.JI. Численное исследование ударного запуска сверхзвуковых сопл и сравнение с экспериментальными данными // Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 1, с. 120-127.

29. Григорян С.С., Марченко Т.В., Якимов Ю.Л. О нестационарных движениях газа в ударных трубах переменного сечергая // Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1961, № 4, с. 109-113.

30. Гринь В.Т., Крайко А.Н., Славянов Н.Н. Решение задачи о запуске сопла, вмонтированного в торец ударной трубы // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 6, с. 117-123.

31. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Изд-во "Наука", 1976. 400 с.

32. Головачев Ю.П., Леонтьева Н.В. Вязкий ударный слой перед затупленным телом в неравновесном сверхзвуковом потоке. // Препринт № 751. Л.: ФТИ АН СССР, 1982. 21 с.

33. Головачев Ю.П., Леонтьева Н.В. Численное исследование обтекания затупленного тела, расположенного в области сверхзвукового следа // Препринт № 918. Л.: ФТИ АН СССР, 1984. 35 с.

34. Головачев Ю.П., Леонтьева Н.В. Циркуляционное течение у лобовой поверхности сферы, обтекаемой сверхзвуковым потоком типа следа // Изв. АН СССР. МЖГ, 1985, № 3, с. 143-148.

35. Головачев Ю.П., Шмидт А.А. Обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком запыленного газа // Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, № 3, с. 73-77.

36. Гольдсмит В. Удар. — М.: Стройиздат, 1965. 448 с.

37. Демьянов Ю.А. Влияние пограничного слоя на характер течения газа в трубе за движущейся ударной волной // Прикл. мат. и мех., 1957, 21, № 4, с. 473-477.

38. Демьянов Ю.А. Теория неустановившегося пограничного слоя сжимаемого газа // Прикл. мат. и мех., 1955, 19, с. 760-761.

39. Денисенко О.В. Метод расчета сверхзвуковых сопл при сильном влиянии вязкости // Уч. зап. ЦАГИ, 1982, т. 13, № 4, с. 71-80.

40. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. О расчете эрозии тел в двухфазном потоке с учетом экранирующего слоя отраженных частиц // Деп. ВИНИТИ 26.08.85. № 6320-85 Деп. 18 с.

41. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчет обтекания сферы газовзвесью на основе трехкомпонентной модели двухфазной среды // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. "Матсм. мсхаи. астрой." 1985, № 22, с. 57-62.

42. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчет обтекания тел потоком твердых частиц // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. "Матем. механ. астрой." 1986, № 1, с. 118-121.

43. Дунцова Ж.С., Ершов Н.В., Киреев В.Т., Ружавин Е.П. Расчет движения ударной волны и параметров потока при немгновенном раскрытии диафрагмы в ударной трубе // Изв. АН СССР. МЖГ, 1969, № 2.

44. Егорова Л.А., Осипцов А.Н., Сахаров В.И. О границах режима инерционного осаждения частиц и теплообмене при сверхзвуковом обтекании тел вязким запыленным газом // Изв. РАН. МЖГ, 2001, № 6, с. 111-124.

45. Зельдович Я.Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику. М: Изд-во АН СССР, 1946.

46. Землянский Б.А., Лунев В.В., Маринин В.П. Влияние завихренности на теплообмен при гиперзвуковом обекании тупых тел // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 2, с. 50-57.

47. Зорина И.С., Куршаков М.Ю., Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Чирков И.В. О решении некоторых задач движения частиц в газовом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ, 1988, № 5, с. 86-90.

48. Зуев Ю.В., Лепешинский И.А. Математическая модель двухфазной турбулентной струи // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 6, с. 69-77.

49. Иванов М.Я. К расчету течения газа в ударной трубе переменного сечения // Изв. АН СССР. МЖГ, 1970, № 3, с. 162-166.

50. Игнатов С.Ф., Михатулин Д.С., Чирков И.В. Результаты исследования движения частиц в сопле Лаваля // Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, № 4, с. 163-168.

51. Исследование гиперзвуковых течений // Сб. статей под ред. Ф.Р. Ридделла. Изд-во "Мир". М., 1964. 544 с.

52. Киреев В.Т. О движении ударной волны при немгновенном открытии диафрагмы в ударной трубе // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш., 1962, № 6, с. 144-146.

53. Киселев В.П., Киселев С.П. Возмущение движения твердых частиц позади отраженной ударной волны, скользящей по слою частиц // ПМТФ, 2001, 5, с. 8-15. .

54. Кондратьев И.А. Экспериментальное исследование теплопередачи на плоской пластине при взаимодействии косого скачка уплотнения с ламинарным пограничным слоем // Уч. зап. ЦАГИ, 1971, т. 2, № 2.

55. Котов А.И. Реализация численных методов в нестационарной газовой динамике // Институт высокопроизводительных вычислений и баз данных. Уч. записки 2-98, СПб., 1998, с. 7-43.

56. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I и II. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1963. 584 с. и 728 с.

57. Крайко А.Н., Осипов А.А. Исследование отражения возмущений от дозвуковой части сопла Лаваля // Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, j\£ 1, с. 84-93.

58. Кулагина О.В., Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Расчет запуска сверхзвукового сопла // Вычислительные методы и программирование. Изд. МГУ, 1983, вып. 38.

59. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 608 с.

60. Куэрти Г. Ламинарный пограничный слой // Сб. Проблемы механики, М., 1957.

61. Лашков В.А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность // ИФЖ, 1991, т. 60, № 2, с. 197-203.

62. Лойцянский JI.Г. Ламинарный пограннчный слой. Физматгнз, 1961.

63. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970. 904 с.

64. Людвиг Г., Хейль М. Теория пограничного слоя с диссоциацией и ионизацией // Проблемы механики. Сб. статей. Вып. IV./Под ред. X. Драйдена и Т. Кармана. Изд-во иностранной литературы. М., 1963. С. 39-99.

65. Магомедов К.М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом // Изв. АН СССР. МЖГ, 1970, № 2, с. 45-56.

66. Майрлс Г. Затухание в ударной трубе, обусловленное действием неустановившегося пограничного слоя // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 286-319.

67. Майрлс Г. Пограничный слой на стенкс за движущейся ударной волной // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 320331.

68. Марбл Ф. Динамика запыленных газов // Сб. Механика, 1971, № 6, с. 48-89.

69. Матвеев С.К. Математическое описание обтекания тел потоком газовзвеси с учетом влияния отраженных частиц //В кн.: Движение сжимаемой жидкости и неоднородных сред. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982, с. 189-201.

70. Михайлов В.В. Метод расчета сверхзвуковых сопел с учетом влияния вязкости // Изв. АН СССР. МЖГ, 1969, № 1, с. 69-72.

71. Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Ревизников Д.Л. Влияние коэффициента сопротивления частиц на результаты профилирования сопсл Лаваля // Теплофизика и аэромеханика, 2000, т. 7, № 3, с. 381-388.

72. Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Ревизников Д.Л. К вопросу об оптимизации газодинамического тракта разгона частиц // Докл. II всероссийской научной конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики". Томск: ТГУ, 2000. С. 193-194.

73. Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Ревизников Д.Л. Теплообмен и назрушение тел в сверхвуковом гетерогенном потоке. — М.: ЯНУС-К, 2007. 392 с.

74. Мучная М.И. Исследование течений в гиперзвуковых соплах в рамках упрощенных уравнений Навье-Стокса // Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 6, с. 20-26.

75. Наумов A.M., Тугазаков Р.Я. Расчет течения в ударной трубе вблизи раскрывающейся диафрагмы // Уч. зап. ЦАГИ, 1976, т. 7, № 2, с. 154-159.

76. Нейланд В.Я., Носарев О.И., Хлебников B.C., Цыганов П.Г. Исследование взаимодействия колеблющегося по потоку скачка уплотнения с пограничным слоем на пластине // Труды ЦАГИ, 1989, Вып. 2456, с. 3-15.

77. Нигматулин Б.И., Сопленков К.И. К элементарной теории критического (максимального) расхода двухфазной смеси в каналах переменного сечения // Теплофизика высоких температур, 1978, т. 16, № 2, с. 370.

78. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978. 336 с.

79. Осипцов А.Н. Исследование зон неограниченного роста концентрации частиц в дисперсных потоках // Изв. АН СССР. МЖГ, 1984, № 3, с. 46-52.

80. Осипцов А.Н. О структуре ламинарного пограничного слоя дисперсной примеси на плоской пластине // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980, № 4, с. 48-54.

81. Осипцов А.Н. Пограничный слой на затупленном теле в потоке запыленного газа // Изв. АН СССР. МЖГ, 1985, № 5, с. 99-107.

82. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Влияние мелкодисперсной примеси на структуру пограничного слоя при гиперзвуковом обтекании затупленного тела // Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 5, с. 55-62.

83. Патапкар С. Численные методы решеппя задач теплообмена и динамики жидкости // Пер. с англ. под ред. В.Д. Виленского. — М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

84. Пейгин С.В. Гиперзвуковой пространственный вязкий ударный слой в двухфазном потоке // ПММ, 1984, т. 48, № 2, с. 254-263.

85. Пилюгин Н.Н., Талипов Р.Ф. Гиперзвуковое обтекание затупленного тела неравномерным потоком вязкого газа // Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 6, с. 120-125.

86. Полежаев Ю.В., Василевский Э.Б., Михатулин Д.С. Теплообмен в сверхзвуковом запыленном потоке // Сб. трудов межд. школы семинара "Горение дисперсных систем". — Одесса: Астропринт. 2001. С. 113-114.

87. Полежаев Ю.В., Репин И.В., Михатулин Д.С. Теплообмен в сверхзвуковом гетерогенном потоке // Теплофизика высоких температур, 1992, т. 30, № 6, с. 1147-1153.

88. Проблемы механики. Сб. статей. Вып. IV./Под ред. X. Драйдена и Т. Кармана. Изд-во иностранной литературы. М., 1963. 240 с.

89. Рамм М.С. Численное исследование структуры двухфазного ударного слоя вблизи лобовой поверхности затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком: Дисс. . канд. физ.-мат.наук // Ленингр. политехнический ин-т. Л., 1988. - 151 с.

90. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ, 1956, т. 20, № 2, с. 184.

91. Реслер Е., Лин Ш.-Ч., Кантровнц А. Получение газов высокой температуры в ударных трубах // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 218-237.

92. Родионов А.В. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К. Годунова // Вычислительная математика и математическая физика, 1987, т. 27, № 12, с. 1853-1860.

93. Седов Л.И. Механика сплошно среды. Т. II. — М.: Наука, 1973. 584 с.

94. Селиванов В.Г., Сопленков К.И., Фролов С.Д. О течении газожидкостной среды в соплах заданной геометрии // Вопросы газотермодинамики энергоустановок. Вып. 2. Харьков, 1975.

95. Спенс Д., Вудс Б. Влияние пограничного слоя и горения на течение в ударной трубе // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рах-матулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 332.

96. Стернин J1.E. Основы газодинамики двухфазных потоков в соплах. — М.: Машиностроение, 1974. 212 с.

97. Стюартсон К. Теория неустановившихся ламинарных пограничных слоев // Проблемы механики. Сб. статей. Вып. IV./Под ред. X. Драйдена и Т. Кармана. Изд-во иностранной литературы. М., 1963. С. 9-38.

98. Сыщикова М.П., Березкина М.К., Семенов А.Н. Отход головной ударной волны от сферы в аргоне и азоте при малых сверхзвуковых числах Маха // Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений. Отв. ред. Ю.А. Дунаев. Изд-во "Наука". М.-Л., 1967. С. 13-20.

99. Сыщикова М.П., Березкина М.К., Семенов А.Н. Формирование течения около модели в ударной трубе // Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений. Отв. ред. Ю.А. Дунаев. Изд-во "Наука". М.-Л., 1967. С. 7-12.

100. Сыщикова М.П., Семенов А.Н., Березкина М.К. Определение параметров потока в ударной трубе // Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений. Отв. ред. Ю.А. Дунаев. Изд-во "Наука". М.-Л., 1967. С. 21-27.

101. Уайт Д. Влияние времени раскрытия диафрагмы на течение в ударной трубе // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 284285.

102. Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. 700 с.

103. Уитлифф Ч., Вильсон М., Герцберг А. Гиперзвуковая ударная труба со "сшитой" контактной поверхностью // Механика. Сб. статей. № 1, Изд-во иностранной литературы. М., 1960. С. 27-47.

104. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. 504 с.

105. Холдер Д., Шульц Д. Время работы и параметры потока гиперзвуковой ударной трубы // Исследование гиперзвуковых течений. Сб. статей под ред. Ф.Р. Ридделла. Изд-во "Мир". М., 1964. С. 357-383.

106. Хэпшелл В., Гадд Г. Факторы, влияющие на характеристики сопла гпперзвуковой ударной трубы // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 245-266.

107. Хэншелл Б. Замечания о продолжительности течения в ударных трубах // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 267277.

108. Хэншелл Б. Использование миогодиафрагменной схемы в ударной трубе // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 190— 217.

109. Хэншелл Б. Некоторые аспекты использования ударных труб в аэродинамических исследованиях // Ударные трубы. Сб. статей под ред. Х.А. Рахматулина и С.С. Семенова. Изд-во иностранной литературы. М., 1962. С. 2-137.

110. Циркунов Ю.М. Моделирование течений примеси в задачах двухфазной аэродинамики. Эффекты пограничного слоя // Моделирование в механике, 1993, т. 7, № 2, с. 151-193.

111. Циркунов Ю.М. Обтекание тел потоком газовзвеси // Дисс. докт. физ.-мат. наук, Санкт-Петербургский государственный университет, 2005, 363 с.

112. Циркунов Ю.М., Панфилов С.В., Клычппков М.Б. Полуэмпирическая модель ударного взаимодействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвеси // ИФЖ, т. 67, N® 5-6, 1994, с. 379-386.

113. Честер Б. Распространение ударных волн в канале переменной ширины // Сб. Механика, № 6, 1954, с. 76-87.

114. Честер У. Распространение ударных волн в каналах переменного поперечного сечения // Проблемы механики. Сб. статей. Вып. IV./Под ред. X. Драйдена и Т. Кармана. Изд-во иностранной литературы. М., 1963. С. 100-127.

115. Шебеко В.Н. Экранирование поверхности отраженными частицами // ИФЖ, 1986, т. 51, № 3, с. 428-435.

116. Crowe С.Т. On models for turbulence modulation in fluid-particle flows // Int. J. Multiphase Flow, 2000, 26, pp. 719-727.

117. Crowe C.T., Sommerfeld M., Tsuji Y. Multiphase flow with droplets and particles. Boca Raton: CRC Press, 1998.

118. Dennis S.C.R., Singh S.N. and Ingham D.B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers //J. Fluid Mech., 1980, Vol. 101, p. 257-279.

119. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. Springer, 2002. 423 p.

120. Fessler J.R., Kulick J.D., Eaton J.K. Preferential concentration of heavy particles in a turbulent channel flow // Phys. Fluids, 1994, 6, pp. 3742-3749.

121. Gore R.A., Crowe C.T. Modulation of turbulence by a dispersed phase // Trans. ASME: J. Fluids Engng., 1991, vol. 113, pp. 304-307.

122. Harten A. A high resolution scheme for the computation of weak solutions of hyperbolic conservation laws // J. of Сотр. Phys., 1983, v. 49, p. 357-393.

123. Harten A. ENO schemes with subcell resolution // J. of Сотр. Phys., 1989, v. 83, p. 148-184.

124. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory scheme. 1. SIAM // J. on Numer. Anal., 1987, v. 24, No. 2, p. 279-309.

125. Henderson Ch.B. Drag coefficients of spheres in continuum and rarefied flows // AIAA Journal, vol. 14, No. 6, 1976, p. 707-708.

126. Hirsch Ch. Numerical computation of internal and external flows. Vol.

127. Fundamentals of numerical discretization. John Wiley & Sons, 1994. 515 p.

128. Hirsch Ch. Numerical computation of internal and external flows. Vol.

129. Computational methods for inviscid and viscous flows. John Wiley & Sons, 1994. 691 p.

130. Holden M.S. Shock wave-turbulent boundary layer interaction in hypersonic flow // AIAA Paper, 1972, N 72-74.

131. Hugoniot H. J.Ecole politechnique, № 58, 1-125 (1889). Гюгонио X., О распространении возмущений в телах, в частности — в идеальных газах.

132. Ishii R., Hatta N., Umeda Y., Yuhi M. Supersonic gas-particle two-phase flow around a sphere //J. Fluid Mech., 1990, 221, pp. 453-483.

133. Kenning V.M., Crowe C.T. Effect of particles on carrier phase turbulence in gas-particle flow // Int. J. Multiphase Flow, 1997, 23, pp. 403-408.

134. Kiselev S.P., Kiselev V.P., Vorozhtsov E.V. Interaction of a shock wave with a particle cloud of finite size // Shock Waves, 2005, 12 p.

135. Lighthill M.J. The diffraction of blast, Part 1, Proc, Roy. Soc., 1949, 198, 455 p.

136. Lin T.C., Reeves B.L., Siegelman D. Blunt-body problem in nonuniform flowfields // AIAA Journal, 1977, vol. 15, № 8, p. 11301137.

137. Lukasciewicz J. Shock tube theory and applications // NRC (Canada), Rep. MT-10, 1950.

138. Morsi S.A., Alexander A.J. An investigation of particle trajectories in two-phase flow systems //J. Fluid Mech., 1972, vol. 55, part 2, p. 193-207.

139. Oesterle B. and Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Exp. Fluids, 1998, Vol. 25, p. 16-22.

140. Osiptsov A.N. Lagrangian modelling of dust admixture in gas flows // Astrophysics and Space Science, 2000, vol. 274, p. 377-386.

141. Osher S. and Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic systems of conservation laws // Math. Сотр., 1982, vol. 38, 339-374.

142. Renkine W.J.M. Trans. Roy. Soc., London, 160, 277-288 (1870). Рэн-кин В.Дж.М. О термодинамической теории распространения конечных продольных возмущений.

143. Riemann В. Mathcmatisch-physikalische Klasse, 8, 43 (1860); Gesammelte Werke, 1876, S. 144. Риман Б. О распространении воздушных волн с конечной амплитудой. (Перевод: Риман В., Сочинения, Гостехиздат, 1948.)

144. Rubinow S.I. and Keller J.В. The transverse force on a spinning sphere moving in viscous fluid // J. Fluid Mech., 1961, vol. 11, p. 447-459.

145. Russel D.A. Shock-wave strengthening by area convcrgcnce //J. Fluid Mech., 1967, vol. 27, pt 2.

146. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow //J. Fluid Mech. 1965. Vol. 22. Part 2. P. 385-400. ( Corrigendum: J. Fluid Mccli., 1968, vol. 31, part 3, p. 624. )

147. Saito T. Numerical analysis of dusty-gas flows //J. Comput. Phys., 2002, 176, pp. 129-144.

148. Satofuka N. A numerical study of shock formation in cylindrical and two-dimensional shock tubes // Inst. Space and Aeronaut Sci. Univ. Tokio. Rep., 1970, № 451, p. 235-258.

149. Saurel R., Abgrall R. A multiphase Godunov method for compressible multifluid and multiphase flows //J. Comput. Phys., 1999, 150, pp. 425-467.

150. Shu C.-W. TVB uniformly high-order schemes for conservation laws // Math. Сотр., 1987, v. 49, No. 179, p. 105-121.

151. Smith C.E. The starting process in hypersonic nozzle //J. Fluid Mech., 1966, vol. 24, pt 4, p. 625-640.

152. Sommerfeld M., Huber N., Wachter P. Particle-wall collisions: Experimental studies and numerical models // Gas-Solid Flows (Eds. D.E. Stock), 1993, ASME, FED-Vol 166, pp. 183-191.

153. Sommerfeld M. Modelling of particle-wall collisions in confined gas-particle flows // Int. J. Multiphase Flow, 1992, vol. 18, No 6, pp. 905926.

154. Sommerfeld M. The importance of inter-particle collisions in horizontal gas-solid channel flow // Gas-Particle Flows (Eds.: D.E. Stock et al.), ASME, 1995, FED-Vol. 228, pp. 335-345.

155. Sommerfeld M. Validation of a stochastic Lagrangian modelling approach for inter-particle collisions in homogeneous isotropic turbulence // Int. J. Multiphase Flow, 2001, 27, pp. 1829-1858.

156. Sowerby L. The unsteady motion of a viscous fluid inside an infinite channel // Phyl. Mag., 1951, 42(7), 176.

157. Steger J.L., Warming R.F. Flux-vector splitting of the inviscid gas dynamic equations with application to finite-difference methods //J. of Сотр. Phys., 1981, v. 40, No. 2, p. 263-293.

158. Tanaka Т., Tsuji Y. Numerical simulation of gas-solid two-phase flow in a vertical pipe: on the effect of interparticle collision // In: Stock, D.E. et al. (Eds.), Gas-Solid Flows. ASME FED, 1991, vol. 121, pp. 123-128.

159. Tsirkunov Yu.M. Gas-particle flows around bodies — key problems, modeling and numerical analysis // Proc. 4th Int. Conf. on Multiphase Flow (Ed.: E. Michaelides), 2001, New Orleans (USA). (CD-ROM Proc. ICMF'2001, Paper 609, 31 p.)

160. Tsirkunov Yu.M., Volkov A.N., Tarasova N.V. Full Lagrangian approach to the calculation of dilute dispersed phase flows: advantagesand applications // Proc. ASME FEDSM,Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002. Paper No 31224.

161. Tsirkunov Yu.M., Panfilov S.V. Modelling of particle-wall interaction in two-phase flows at moderate and high particle impact velocity // Proc. Third International Conference on Multiphase Flow. Lyon, 1998. CD-ROM ICMF'98, paper 693.

162. Tsirkunov Yu., Panfilov S. Particles scattering in particle-wall collisions and its effect on the particle-phase flow // Proc. EUROMECH Colloquium-447. Proc. Estonian Acad. Sci. Eng., 2005, Vol. 11, No. 2, p. 126-139.

163. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations // Lecture notes in Phys., 1982, Vol. 170, p. 507-512.

164. Verevkin A., Tsirkuniv Yu. Numerical investigation of two-phase gas-particle flow in a hypersonic shock tunnel // Proceedings of ECCOMAS CFD 2006 Conference (Eds.: P.Wesseling, E.Onate, J.Periaux), Paper No. 211, 20 p.

165. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. CFD / Monte Carlo simulation of collision-dominated gas-particle flows over bodies // Proc. ASME FEDSM, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002. Paper No 31222. 14 p.

166. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Computational simulation of viscous two-phase flows of a dense gas-particle mixture over bodies // Proc. ECCOMAS, Barcelona, 11-14 September 2000, Paper No. 309, 20 p.

167. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Direct simulation Monte-Carlo modelling of two-phase gas-solid particle flows with inelastic particle-particle collisions // Proc. Third ECCOMAS CFD Conf., Paris, France, September 9-13, 1996. Wiley, pp. 662-668.

168. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Monte-Carlo modelling of dusty gas flows over bodies // Proc. Fourth ECCOMAS CFD Conf., Athens, Greece, September 7-11, 1998. Wiley, pp. 169-174.

169. Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M., Oesterle B. Numerical simulation of a supersonic gas-solid flow over a blunt body: The role of inter-particle collisions and two-way coupling effects // Int. J. Multiphase Flows, 2005, 31, pp. 1244-1275.

170. Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. Springer, 2001. 652 p.

171. Whitham G.B. On the propagation of shock waves through regions of nonuniform area or flow //J. Fluid Mech., 1958, 4, p. 337.

172. Yamamoto Y., Potthoff M., Tanaka Т., Kajishima Т., Tsuji Y. Large-eddy simulation of turbulent gas-particle flow in a vertical channel: effect of considering inter-particle collisions //J. Fluid Mech., 2001, vol. 442, pp. 303-334.

173. Yee H.C. and Harten A. Implicit TVD schemes for hyperbolic conservation laws in curvilinear coordinates // AIAA Journal, 1987, No. 2, pp. 266-274.