Температурные поля в скважине и пластах при фильтрации химически- и радиоактивных растворов в асимптотическом приближении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ



Па правах рукописи

МИХАИЛОВ ПАВЕЛ НИКОНОВИЧ

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ В СКВАЖИНЕ И ПЛАСТАХ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ХИМИЧЕСКИ-И РАДИОАКТИВНЫХ РАСТВОРОВ В леи М ИТОГИ Ч ЕС КОМ ПРИБЛ ИЖЕ IIИ И

01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат 1 2

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тюмень - 2009

003482891

Работ выполнена на кафедре теоретической физики Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Вишневой и

в лаборатории физики и астрофизики Стерлнтамакского филиала Академии Паук Республики Башкортостан

¡ 1 а ■v ч и ы íi к о н с v л ьт а нт:

0ф|шиш1ьиые оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор

Филиппом Александр Иваиоиич

до кто р ф из и к о - м а те м а г п ч е с к и х н ау к, профессор I

Дмитриев Владимир Иванович

чл.-корр. АН РЬ. доктор физико-математических наук, профессор Шагапов Владислав Шайхулагзамович

д о кто р ф и з и к о - м ате м а т и ч е с к и х н ау к, профессор

Кутрунов Владимир Николаевич

Институт теплофизики

им. С.С. Кутатедадзе Сибирского

отделения РАН (т. Новосибирск)

Зашита состоится « 4 » декабря 2009 года, в 15°" часов, на заседании диссертационного совета Д 212.274.10 при Тюменском государс твенном университете по адресу: 625023, т. Тюмень, ул. Перекопская, 15а. ауд. ! 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тюменского государственного университета

Автореферат раюелан « »

2009 i j

\

г> . У

ученый секретарь К А ....... д

диссерганиошюто совета, Д|т.....

ктт^ат физико-математических наук v^GókSZ^-V.....Ду Матаев А.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Решение глобальных энергетических проблем человечества, в первую очередь, связано с развитием атомной энергетики, поскольку запасы углеводородов ограничены. Уже к 2030 году доля атомной генерации в общем объеме производства электроэнергии должна составить 25-30% (сегодня - 16%). В настоящее время общий объем радиоактивных отходов на территории России оценивается в 5-Ю8 м3, суммарная ß-активность которых по приблизительным оценкам равна 7,3-1019 Бк. При этом на жидкие радиоактивные отходы (ЖРО) приходится около 85% общей активности, и их переработка и захоронение - важнейшая задача атомной энергетики.

Одним из наиболее безопасных способов захоронения отходов атомной промышленности и химических производств является закачка их в глубоко-залегающие подземные пласты. Поэтому важной проблемой является исследование процессов совместного переноса тепла и массы при инжекции отходов в пористый пласт-коллектор для прогнозирования и контроля состояния зон, охваченных воздействием радиоактивных примесей. Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчётным путём, поскольку возможности экспериментального определения размеров глубокозалегающих зон загрязнения весьма ограничены.

При поступлении ЖРО в пласт-коллектор, происходит нарушение геохимического равновесия природного состояния, вызванное физико-химическими реакциями, приводящими к изменениям в составе жидкой и твердой фаз. В связи с этим наиболее актуальными являются задачи о теп-ломассообменных процессах в системе скважина-пласт, происходящих при закачке радиоактивных и химически активных растворов. Важность задачи о закачке химически активных растворов обусловлена также тем, что проницаемость призабойной зоны пластов, в которые осуществляется закачка, со временем уменьшается вследствие засорения, кольматации и других процессов. Для восстановления проницаемости может быть использована технология закачки кислоты или других химически активных растворов. Исследование таких процессов актуально и для нефтяной промышленности, где технология кислотной обработки пластов нашла промышленное применение.

Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы рассматривались A.C. Белицким, Е.И. Орловой, А.И. Рыбальченко, М.К. Пименовым. Моделированием температурных и радиационных полей занимались Д.М. Носков, А.Д. Истомин, А.Г. Кеслер, А.Н. Жиганов (Северский технологический институт), И.М. Косарева, Е.В. Захарова (Институт физической химии РАН) и другие исследователи. В работах A.B. Лехова, Ю.В. Шварова изучены скорости радионуклидов в подземных водах, поведение радиоактивных сто-

ков в земной коре после окончания закачки. При этом остаются актуальными задачи по определению зависимости полей температуры и концентрации от параметров закачки радиоактивных примесей, технологии закачки от параметров пластов и т.п.

Теплофизические и гидродинамические процессы при закачке кислоты рассмотрены в работах М.Ф. Кудинова, Б.М. Сучкова, М.Ф. Каримова, Р.К. Мухаметшина и др. Для решения практических задач необходимо знать зависимость температуры и пористости от времени при различных концентрациях кислоты. Однако теория этих процессов до настоящего времени не создана.

Температурные процессы при движении жидкости и газа по скважине рассмотрены в работах А.Ю. Намиота, Э.Б. Чекалюка, М.А. Пудовкина, Э.Х. Галина, В.Д. Чугунова, А.Н. Саламатина, Р. А. Валиуллина, Филиппова А.И., В.Ф. Назарова, Р.Ф.Шарафутдинова, А.Ш. Рамазанова и др. К настоящему времени удовлетворительно разработана теория, позволяющая рассчитывать средние по сечению трубы значения температуры. Задача о детальном распределении температуры, учитывающая реальный профиль скорости движущейся в скважине жидкости или газа, требует дальнейшей разработки.

Работа посвящена решению этих актуальных задач. Она имеет теоретическую направленность, а также содержит примеры практического использования результатов.

Исследования указанных выше процессов сводятся к решению краевых задач конвективной диффузии (теплопроводности) в пористых средах с различными источниками. Основные результаты работы получены на основе комбинированных методов, включающих как численные, так и аналитические. При этом особое внимание уделено асимптотическим методам.

Цель работы.

Построение теории взаимосвязанных полей плотностей и температур, инициированных радиоактивным распадом и химическими реакциями в пористой среде и скважине на основе асимптотических методов.

Задачи исследования:

1. Развитие асимптотических методов применительно к задачам сопряжения, возникающим в теории тепло- и массопереноса и исследование температурных полей в скважине и пластах при закачке растворов радиоактивных и химически активных веществ.

2. Построение точных в среднем решений взаимосвязанных многослойных задач сопряжения, описывающих поля температуры и концентраций при закачке растворов радиоактивных веществ в глубокозалегающие горизонты в нулевом и первом приближениях. Определение безразмерных комплексов, описывающих процессы тепло- и массопереноса в таких условиях.

3. Исследование пространственно-временных распределений температуры и концентраций радиоактивных примесей в условиях закачки в пласт с целью захоронения. Сопоставление полученных результатов с известными и экспериментальными данными; разработка рекомендаций по улучшению технологии захоронения.

4. Построение математических моделей, описывающих взаимосвязанные поля температуры и концентрации раствора кислоты в жидкости при кислотной обработке карбонатосодержащих пластов; разработка рекомендаций по практическому использованию результатов расчетов.

5. Анализ вклада различных физических процессов в формирование температурного поля при движении жидких радиоактивных отходов в скважине. Аналитическое описание температурного поля в скважине с учетом радиального профиля скорости; проведение расчетов пространственно-временных распределений температуры для ламинарного и турбулентного потоков течений жидкости в скважине и определение возможных направлений практического использования уточненных моделей в геофизике и нефтегазодобыче.

Научная новизна. В работе впервые проведены системные исследования многослойных задач сопряжения скважинной теплофизики асимптотическим методом. Разработана теория решения таких задач и приведены ее приложения.

1. Развита модификация асимптотического метода, позволяющая строить приближенные аналитические решения задач скважинной теплофизики, где нулевое приближение совпадает с решением задачи, осредненной по ширине пласта или по сечению трубы (скважины), первое приближение учитывает зависимость от вертикальной координаты (от радиальной координаты в скважине). Определены погранслойные решения, которые расширяют область применения аналитических выражений, полученных асимптотическим методом, и существенно увеличивают точность расчетов.

2. Построена теория температурных полей, инициированных радиоактивным распадом и химическими реакциями в пористой среде. Обосновано положение о том, что использование термометрии позволяет оценивать эффективность кислотной обработки призабойной зоны пласта и осуществлять контроль за зоной заражения при подземном захоронении радиоактивных отходов.

3. Найдены решения нелинейных задач химической кинетики, возникающих при исследовании кислотной обработке пластов; в аналитическом виде для случаев реакции первого и второго порядков построены функции плотности источников для продуктов реакций, входящих в уравнение энергии; определены зависимости плотности кислоты от начальной пористости среды, плотности кислоты от времени и коэффициента скорости реакции,

пористости от времени; получены формулы для определения координаты переднего фронта и размеров зоны реакции.

4. Впервые получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена с глубиной как для случая выровненного, так и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотических приближениях.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели полей концентрации и температуры при нестационарной фильтрации радио- и химически активных растворов в пористом пласте и методы их расчета на основе модификации асимптотического метода.

2. Критическое значение коэффициента Генри, равное отношению объемных теплоемкостей скелета и несущей примесь жидкости. При значениях коэффициента Генри меньших критического фронт загрязнения опережает температурный, а при К> Ккр - отстает. В реальных условиях закачки радиоактивных отходов температурный фронт значительно опережает фронт загрязнения.

3. Результаты расчётов пространственно-временных распределений температуры, плотности раствора кислоты и пористости при кислотной обработке пластов.

4. Расчетные асимптотические формулы для температурного поля в скважине, учитывающие произвольное распределение скорости в потоке жидкости, которые в нулевом приближении обеспечивают получение средних значений температуры, а в первом приближении - зависимости температуры от расстояния до оси скважины.

Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими положениями:

- применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических законов;

- соответствием полученных выводов экспериментальным данным и результатам численных расчетов;

- математической строгостью методов решения и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Практическое значение. Построенные решения задач для многослойных сред составляют теоретическую основу новых способов расчета экологической безопасности природных глубокозалегающих объектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленных предприятий.

Полученные аналитические зависимости позволяют произвести оценку эффективности кислотной обработки и выбрать оптимальный режим. Созданы новые методы расчетов полей температуры и концентрации кислоты в фильтрующемся растворе. Изученные закономерности могут быть рекомендованы для совершенствования способов исследования скважин и пластов.

Расчет радиальных распределений температуры для ламинарного, турбулентного и произвольного распределения скорости по радиусу открывает перспективы создания новых способов исследования скважин и оптимизации условий теплоотдачи в реальных трубопроводах. Решение основной задачи термокаротажа представляет научную основу для интерпретации данных промысловой геофизики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

на научных конференциях: VI Международная конференция по математическому моделированию (Херсон, Украина, 2003); Международная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», посвященная 75-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПА, Стерлитамак, 2003); V-й Минский международный форум по тепло- и массобмену (Минск, Институт тепло- и массообмена им.

A.B. Лыкова национальной академии наук Беларуси, 2004); V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004); Всероссийская научная конференция «Современные проблемы физики и математики» (СФ АН РБ, СГПА, Стерлитамак, 2004); XVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Кострома, 2004); VII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, Украина, 2005); XVIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Казань,

2005); Международная научно-техническая конференция «Нефть и газ в западной Сибири» (Тюмень, 2005); Международная конференция (Воронеж,

2006); Международная научно-практическая конференция (Ханты-Мансийск, 2006); Международная конференция «Тихонов и современная математика» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. Секция 5, «Асимптотические методы» (руководитель - д.ф.-.н., профессор В.Ф. Бутузов); секция 6, «Математическая геофизика» (руководитель - д.ф.-м.н., профессор

B.И. Дмитриев); VIII Международная конференция по математическому моделированию (Херсон, Украина, 2006); Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, Сам ГУ, 2007); IX Международная конференция по математическому моделированию (Украина, Херсон, ХНТУ, 2007); VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи - Адлер, 2007); VI-й Минский международный форум по тепло и массобмену (Минск, Институт тепло- и массообмена им. A.B. Лыкова национальной академии наук Беларуси, 2008); Девятый Всероссий-

ский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2008); Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященная 80-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПА, Стерлитамак, 2008); IX Международная конференция по математическому моделированию (Украина, Херсон, ХНТУ,

2008); Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию В.А. Садовничего (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2009)

и научных семинарах: лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала Академии наук РБ (руководитель - д.ф.-м.н., проф., чл.- корр. АН РБ Сабитов К.Б.) (Стерлитамак, 2004 - 2008); кафедры теоретической физики (руководитель - д.т.н., профессор А.И. Филиппов) (Стерлитамак, 2002 - 2008); кафедр общей и теоретической физики Баш. ГПУ им. М. Акмуллы (руководители - д.ф.-м.н., проф. М.А. Фатыхов, д.ф.-м.н., проф. И.А. Фахретдинов) (Уфа, декабрь 2008 ); по теплофизике Тюменского ГУ (руководитель - д.т.н, проф. А.Б. Шаранов) (Тюмень, февраль

2009); по механике жидкости и газа (руководитель - чл,- корр. АН РБ, д.ф.-м.н., проф. В.Ш. Шагапов) (Бирск, февраль 2009); института теплофизики СО РАН (руководитель - чл.-корр. РАН C.B. Алексеенко) (г. Новосибирск, апрель 2009).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 53 работах, отражающих содержание диссертации, в том числе, 21 - в журналах, входящих в перечень изданий ВАК РФ.

Личный вклад автора. Научные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Постановка задач осуществлена совместно с А.И. Филипповым.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав основного содержания, заключения, списка литературы. Работа содержит 385 страниц, 84 рисунка и 297 библиографических ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, отмечается научная новизна и практическая значимость результатов, приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе приведены предварительные сведения из теории асимптотических методов, необходимые в дальнейшем, и на основе обзора литературы по приближенным аналитическим методам определены направления исследования. Сформулирована и обоснована общая схема примене-

ния асимптотического метода в задачах сопряжения, сводящаяся к реализации следующих положений.

В цилиндрических координатах осесимметричную задачу сопряжения о температурном поле в пористом пласте представим в следующем виде. Пусть = /' = 1,2 - уравнения теплопроводности, заданные

соответственно в полупространствах ~ > 1 и г < -1. Ь и(г,г,() = д (г, 1,1) -уравнение конвективной теплопроводности в области |г| < 1. Требуется найти неизвестную функцию удовлетворяющую начальному условию «|( 0 = 0 , граничным условиям и|г=0 = 0, = 0 и условиям сопряжения

И1—1+0 = "1.-1-0' Ы=-1+0 =

^-1=1+0 = Ы=!-0' "1—1+0 = «1^1-0' ^М4=-1+0 =

Произведя замены Х^/Х-^еХ^Х , получим параметризованную задачу, решение которой ищется в виде асимптотических разложений по формальному параметру е: = + + + + .

При таком введении параметра: 1) задача распадается на последовательность краевых задач для коэффициентов разложения; 2) нулевое асимптотическое приближение решения параметризованной задачи совпадает как с решением осредненной на отрезке < 1 параметризованной, так и исходной задач; 3) при / -» оо остаточный член 6 стремится к нулю; 4) если краевую задачу для первых коэффициентов и^ асимптотического разложения решать с условием = 0, то осредненная задача для остаточного

члена асимптотического ряда имеет тривиальное решение, а построенное решение в первом приближении называется «точным в среднем»; 5) точное в среднем решение не удовлетворяет граничному условию и| = 0 . Отмеченный недостаток первого приближения исправляется построением в окрестности границы погранслойных функций.

Применение указанных положений иллюстрируется на примере стационарной задачи фильтрации растворов радиоактивных примесей в пористом пласте и упрощенной задачи о температурном поле в скважине. Точное решение стационарной задачи с высокой точностью совпадает с первым асимптотическим приближением с погранслойной поправкой на всей облас-

та определения, а точное решение квазистационарной задачи о температурном поле в скважине - с асимптотическим.

Во второй главе исследуются поля температур и плотности радиоактивных примесей при фильтрации растворов в пористых пластах, важные для подземного захоронения радиоактивных отходов и отходов химических производств, а также для изучения последствий подземных ядерных взрыВ поступающей в пласт жидкости поддерживаются заданные концентрация примеси р0(/) и разность температур Т0(() между закачиваемой жидкостью и удалёнными участками пласта. Температура и концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления г, теплопроводности и диффузии вдоль г, радиальной теплопроводности и диффузии вдоль г, за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации; в качестве таких источников могут быть химические реакции, а также радиоактивный распад загрязнителя. Все пласты считаются однородными и орто-тропными по теплофизическим свойствам. При решении задачи введены следующие безразмерные координаты и безразмерные параметры:

Т1 -Ге)/р02;, г = гл/И, 2 = р; =ри/ро , Г = ат/л2,

^■Л = Хг,/Хгу , )х = с$и>1срП] , /,У= ,1,2 р<1 = У^0/1)г1,

М=кга!а, у0 = срп(Т0 -Гф)/р0£. Здесь Тф - естественная температура Земли на глубине залегания пористого пласта, £ энергия, выделяющаяся при радиоактивном распаде единицы массы загрязнителя, безразмерный параметр ЛТ представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоев к среднему времени жизни радиоактивного нуклида, Pt - аналог параметра Пекле. Определяется превышение температуры в пластах над естественной температурой, нормированное на максимально возможный температурный эффект в пористом пласте, обусловленный мгновенным распадом радиоактивного вещества

Т = срп(71(1 -Т@)/р0Ь. Путем формальной замены ¿Л на „Кг введен формальный параметр асимптотического разложения в

2

1 1

покрывающие породы Т» р» К К.

пористый — —►г, рЛЛ,

пласт X ±3

подстилающие породы р2) ^2»

скважина Рис.1. Геометрия задачи

дТ\_ дг

д2Т,

Щ

Ы ВТ

_j._id.ii,,.

дг X., г дг\ дг

дгТ2

57*,

^Р!, ;>О, Г>О, 2>\,

дг1

1 %г21 а { дт2

■ 2%—^--г-

X,, г дг V дг

АхА1р2,

?>0, г> О, г<-1,

(О (2)

ш < ИЭГ / X, 1 д дТ) оА1 а ° Г дг 0КХлгдгУ дг) ' 0А&2

д2Т

Н-е А1р, / > О, л- > 0, | < 1. (3)

Условия сопряжения включают равенство температур и потоков тепла

дТ

2=1

-е'Л^

аг

дг

7=4

2. дТ2

= £лЛ--

0 Зг

(4)

г=-1

Начальные и граничные условия имеют следующий вид:

= 0.

Решение задачи о температурном поле требует определения функции источников радиоактивного тепла, содержащихся в правой части уравнений (1) -(3), что приводит к необходимости решения задачи о поле плотностей, возникающем при течении жидкости с радиоактивным загрязнителем в пористом пласте.

При объемах закачки ~100м3/сутки параметр Пекле Р<1 в задаче массо-переноса оказывается порядка 105 и вклад конвективного переноса становится подавляющим над радиальной диффузией. Это позволяет пренебречь в уравнении для пласта слагаемым, описывающим радиальную диффузию. Для простоты пренебрегается соответствующими слагаемыми в уравнениях для покрывающего и подстилающего пластов

= />0, г>0, 2>1,

дг

3/

др2 д!

я2

-5-у О—= <>0, г > 0, х < —1,

дг1

д1 дг2

г дг

с начальными и граничными условиями

еА1 р, 1 > 0, г > 0, \г < 1

(5)

р|-=1 =Р1и

ар

дг

Эр,

Г=1

рЦ=7, рЦо=Р1и=Р2Ц=0' р|г

г=1

=ы

£р

дг

г=-1

= Р2Ц|.

г=-1 = 0.

В уравнениях (3) и (5) учтено, что плотность радиоактивного нуклида в пористой среде определяется через плотности загрязнителя в носителе ру ив

скелете p t соотношением pd = (l - m)ps +mpj, причем равновесные концентрации примеси в скелете и жидкости связаны линейной изотермой сорбции.

Решение задачи для температурного поля строится в виде асимптотических формул по параметру е с остаточным членом

r=7<°)+e7<1U...eBrM+fto, Т, = /= 1,2. (6)

По аналогии с температурной, в диффузионную задачу включён параметр е, путем формальной замены gD на е-]0 D, и решение представляется в виде

р=р(°>+ф«+..£"р(и)+Р("), р, =p(°)+ep|1»+...£"pW+pí"», /= 1,2. Формально полагая б = 0, в уравнении, получающемся после подстановки (6) в (5), имеем д2Т^°Уdz2 = 0 . Интегрируя последнее соотношение с учетом

условий сопряжения, получаем, что = T^\r,t) температура загрязнителя в нулевом приближении в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта. Из (3) следует, что первые коэффициенты асимптотического разложения являются решением уравнения

0 . / а2Г(1) 5Г(0) f Pt 5Г(0) , \ д

1 Л оХ-гт- = "Х- + о X—-— оХт^-—

дТ

(о)

дг

-Atp

(7)

дг1 дг "" г дг """кг\ г дг

и сумма первых трех слагаемых в правой части уравнения (7) не зависит от г. Воспользовавшись условием сопряжения, после интегрирования (7), получим задачу, содержащую коэффициенты только нулевого порядка

дт(0)

Г ptsrC) , К 1 а( + 0 х- -Г oXz—Г——

дг

Хг) г дг

аг(0) д2г(0) л

i а

dt

dz2 Хг1 г

дф дг

' д:

+—At

jp {z)dz',

=0, о О, г >0, =>1,

dJÍ0) 2,1 32Г]0) ,

Xrt 1 д

дг

=0, t> 0, r >0, r<-l,

7<o)=7<o)| =r(o)j y<o)¡ = y<o)¡ = jM =0 1 lz=l 2 1г=-Г lí=0 1 l/=0 2 l/=0

T(0)l =v0,7-H

Ir=0 Ir—

= 7Í°>|

= 0.

Решение задачи строится методом интегральных преобразований. Температурное поле в нулевом приближении определяется усреднёнными значениями плотностей радиоактивного загрязнителя по вертикальной координате в интервале пласта.

Установлено, что нулевое приближение, как в задаче теплопереноса, так и массопереноса, совпадает с решением соответствующей осредненной задачи по ширине пласта, то есть предел решения при е 0 соответствует усреднению искомого решения, и нулевое приближение можно рассматривать в задаче теплопереноса как предел искомого решения при бесконечной вертикальной компоненты теплопроводности , а в задаче массопереноса -компоненты диффузии Д,. Зависимость плотности и температуры растворов от вертикальной координаты описываются первым приближением 10 2 2 т® =2г ЩгА+гПгА-'оА,

где коэффициенты и /""(г,/) определяются с помощью нулевого при-

ближения, а Q(r,t)-ю некоторой более общей задачи. Уравнение для определения первого коэффициента разложения Т^ получается с помощью некоторой более сложной, нежели для нулевого приближения, процедуры расцепления и для пористого пласта примет вид

дтШ

ВТ(1) г Р1 дТ(1) -+оХ~

к

81

дг

дТ®

дг

Г=1

дг

\z--\J

дт(о)

&

- ;Л-

эг]°)

:=1

дг

1о -1

1 аО„

О О, Г> О, 2 <1

0 0 -10 0 Точность решения определяется величиной остаточного члена асимптотического ряда. В задаче для первого коэффициента разложения вводится

дополнительное среднеинтегральное условие — | ^ с1г

-1

приводящее к тому, что осредненная по ширине несущего пласта задача для

остаточного члена имеет нулевое решение. Аналогичное условие определено для получения точного в среднем решения задачи плотности раствора.

Построенные решения составляют основу для многопараметрического анализа полей температуры и плотности растворов при закачке в глубокоза-легающие пористые пласты.

Уменьшение концентрации загрязнителя определяется как диффузионными процессами, так и радиоактивным распадом. Несмотря на то, что обычно вклад диффузионных процессов очень мал, значительные изменения концентрации происходят на фронте зоны возмущений. Главными причинами этого эффекта являются повышенные градиенты концентрации между пластом и окружающими породами и большие времена закачки. При Ат > 0.1 Процесс радиоактивного распада является преобладающим и практически полностью определяет распределение концентрации радиоактивных примесей. Отметим, что при больших временах в пласте устанавливается стационарное поле плотностей, определяемое соотношением

Р(0)=ехР(-А1г7(2р4

Зависимость плотности радиоактивных примесей от радиальной координаты для времени 10 лет на линии г = 0 представлена на рис. 2. В расчетах принято: Рс1 = 2• 107, ¿£> = 0.01, ]В = 1, Аё=2200, что соответствует периоду полураспада Г1/2 =1 год. Погранслойная поправка приводит поведение кривой в соответствие с условиями задачи (ср. кривые 1, 2) и при этом уточняет первое приближение. Для малых времен учет первого коэффициента разложения приводит к уточнениям расчетного параметра до 20 %. Вместе с тем иллюстрируется важность учета погранслойной функции в прискважин-ной зоне (г < 70).

На рис. 3 показаны зависимости в нулевом приближении температуры в несущем пласте от расстояния до оси скважины для момента времени ( = 0.3, что соответствует размерному времени около 1 года (кривая 1 соответствует случаю, когда активность - 0.5 Ки/л, 2-0.3 Ки/л, 3 - 0.1 Ки/л). В

расчетах принято А2! = 1 , %[ = 1, Хо = 2 >= 20> т = °-4> = 1()2> Т\п- = 30 лет, А1 =0.3. На некотором расстоянии от скважины наблюдается значительный рост температуры пласта по сравнению с температурой, определяемой теплофизическими свойствами закачиваемой жидкости без загрязнителя - 4. Причём этот рост тем более значим, чем больше активность нуклида. Положение максимума температурной аномалии зависит от скорости закачки отходов.

При распространении радиоактивных отходов в пористом пласте образуются следующие зоны, определяемые физическими процессами, протекающими в жидкости и в скелете: зона заражения, зона теплового возмущения и зона чистой воды, появляющаяся в результате оседания радионукли-

дов на скелете пласта. Получены формулы для определения их размеров:

Яр = ру'0г0х/{(\~т)К+пг), ЯТ = рс^/\'0г0х/срп , = рч'^х/т -

соответственно радиусы зоны заражения, теплового возмущения и положение фронта закачиваемой жидкости. Если коэффициент Генрн К равен нулю, то фронт закачиваемой жидкости совпадает с фронтом загрязнения Яп. = Кр. При использовании для закачки отходов горизонтов с высокими

значениями постоянной равновесия Генри фронт радиоактивного загрязнения отстает от фронта закачиваемой жидкости. Образуется очищенная от примесей кольцевая зона, размеры которой растут пропорционально корню из времени закачки. Такие горизонты могут служить естественными фильтрами радиоактивных и химических примесей. Рг

О 50 100 150 200 250 г

Рис. 2. Зависимость плотности радиоактивных примесей от радиальной координаты: 1, 2 — без учета и с учетом погранслойиой поправки соответственно, 3 - нулевое приближение при г = 0

0 10 20 30

Рис. 3. Зависимость температуры в нулевом приближении от радиальной координаты при различных активностях загрязнителя: 1 - 0.5 Ки/л, 2 - 0.3, 3 -0.1,4-0

Определено критическое значение коэффициента Генри

Ккр = с5р*/сур^ , равное отношению объемных теплоемкостей скелета и

пласта, и установлено, что при значениях коэффициента Генри меньших критического К < Ккр, фронт загрязнения опережает температурный, а при К> Ккр - отстает. Поскольку коэффициенты Генри пористых пластов, как правило, многократно превышают соответствующие критические значения, то в реальных случаях температурный фронт значительно опережает фронт загрязнения. Отмеченное утверждение позволяет разработать метод прогнозирования распространения радиоактивных отходов в подземных глубоко-залегающих пластах на основе анализа кривых термокаротажа контрольных скважин.

На рис. 4 показаны расчетные зависимости температуры для радионуклида стронция-90 в пористом пласте. Кривая 1 отвечает случаю, когда ко-

эффициент сорбции больше критического К > Кщ,.. На графике выделяются две характерные зоны. Первая зона от г=0 до Кр - радионуклидная зона, в которой температура определяется радиоактивным распадом загрязнителя и возрастает с увеличением расстояния до оси скважины. В интервале от Яр до Ят расположена зона температурных возмущений, свободная от радиоактивных примесей. Температура обусловлена в этой зоне главным образом конвективным выносом тепла из радионуклидной области.

Если коэффициент Генри меньше критического К < /\кр , то скорость

фильтрации радионуклида в пористом пласте больше скорости движения температурного фронта, поэтому размеры зоны температурных возмущений меньше радионуклидной /?р > Ят. Во второй зоне от Ят до Яр температурное поле обусловлено только радиоактивным распадом нуклида, температурные возмущения за счет конвективного переноса возмущений температуры из скважины локализованы только в зоне г <ЯТ . Температурные возмущения достигают больших значений, чем в предыдущем случае, что объясняется преобладающим локализованным выделением тепла вблизи температурного фронта. Последним двум случаям отвечают различные технологии захоронения. На практике при захоронении радиоактивных отходов производят специальную обработку для повышения сорбционных свойств пласта. Таким образом, критический коэффициент Генри может выступать критерием качества подготовки оттесняющего и подготавливающего растворов.

Рис. 4. Зависимость температуры от безразмерного расстояния до оси скважины для радионуклида стронция-90 при различных значения коэффициента Генри:

1 - К, 2 -К = А'кр,

3 -

Кхр> К. Активность загрязнителя 0.1 Ки/л, объёмы закачки - 100 м3/сут., время инжекции 3 года

В силу того, что отношение коэффициентов диффузии и температуропроводности является малой величиной 5~10~3, появляется возможность упростить взаимосвязанную задачу тегаюмассопереноса, рассмотрев бездиффузионное приближение, суть которого заключается в пренебрежении диффузионными слагаемыми в соответствующей задаче массопереноса. Такой подход позволяет значительно упростить процедуру построения реше-

ния тепломассообменной задачи. Показано, что погрешность бездиффузионного приближения на расстояниях до 0.9К„ЫХ не превышает нескольких процентов.

В главе 3 рассматривается задача о температурном поле, инициированном химическими реакциями в пористой среде (Рис. 1).

Первая и вторая области предполагаются непроницаемыми и ортотроп-ными по теплофизическим свойствам; средняя область толщины 2 к - пористый карбонатный пласт, считается однородным и анизотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам, в него закачивается соляная кислота. Рассматривается случай радиального движения кислоты в средней области от скважины к удаленным точкам пласта. При закачке кислоты в пласт находящаяся в нем жидкость (нефть, вода) оттесняется в удаленные участки и образуется зона, в которой кислота взаимодействует со скелетом пористой среды. Оценки свидетельствуют, что различием теплопроводности зоны раствора кислоты в пласте и вытесненной жидкости, а также зависимостью коэффициента теплопроводности от радиальной координаты можно пренебречь, и режим вытеснения считать поршневым.

Выделены два случая, соответствующие различным технологиям кислотной обработки пластов: 1) закачка раствора кислоты в пласт с постоянной скоростью, 2) мгновенная закачка, когда за время закачки в пласте реагирует относительно малая доля кислоты.

В случае постоянной закачки раствора математическая постановка задачи для первой и второй областей представлена уравнением теплопроводности, а для средней области - уравнениями баротермического эффекта с учетом тепловыделений за счет химической реакции Ьц

07] ал 1 8 ( дТ, Л д2Т, —--\г—!- +—±,2>1, г> 0, />0,

dt а„, г дг I дг ) dz2

dTL_al2_ \ д ( ** л - я2

dt azl г дг

дТг г—к.

v дг J

+ z<-h,r> О, i>0.

a,j dz1

дТ тт , J дТ ЭР4

dt I дг дг

/ \| U1 иг _ дР + UArA — + £efT~ -1егП— + Lq =

dt

h

ar 1 д ( дТ) % д2Т , , ,

= — аг---\г— +——г-, Ы < 1, г > 0, f > 0.

ал Ггд>\ дг) Adz2 11

Ha границах раздела заданы условия равенства температур и тепловых потоков

дТ, дгл

КУ ВТ

г„=А дг дг 2=-1 дг

Температурные возмущения в начальный момент времени отсутствуют Граничные условия представлены в следующем виде:

Г|,=0=Г0(г),НтГ|^=О, ШТ,

= 0.

Решение предполагается ограниченным во всех точках г > 0 . Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам первой и второй среды соответственно. Величины ц, 1'еГ(г,/) определяются из гидродинамической задачи.

В зависимости от конкретной реакции процесса плотность источников в температурной задаче определяется либо выражением ц - а(ю)ра, либо -

<7 = о.(т)р1 соответственно для химических реакций первого и второго порядков. Скорость реакции зависит от площади соприкосновения реагентов. В пористой среде последняя связана с коэффициентом пористости т.

В связи с тем, что химические реакции по сравнению с диффузионными являются достаточно быстрыми процессами, в задаче массопереноса при фильтрации химически активных примесей, в отличие от фильтрации радиоактивных растворов, пласт можно считать массоизолированным.

Для случая реакции первого порядка д = ара в цилиндрической системе координат плотность кислоты ра является решением следующей нелинейной задачи: 9(тРа) , 1 о(>7ЯУра)

-+— г

= _*ара, зОяр^да^) = э!р,(1-")]в

а & Г дг дг

Ы г дг с начальными и граничными условиями:

Ра ('.' = <>)=>' Г~Г°' «(г., = 0) Л1 Г<''0' ра(г0)Г) = 10, Г>г0, [т0, г>г0,

Ро>

где р„, р5 - плотность воды и скелета соответственно, от0 - начальная пористость пласта.

В работе построено ее квазисолитонное решение. Зависимость пористости от радиальной координаты определяется из неявного соотношения

2£?РД-

: Ро~

-р^-уК!-!»!)]

= Гг -Г

координата второго фронта г{ характеризуется тем, что при дальнейшем воздействии кислоты на скелет возникает зона, где скелет состоит только из нерастворимого кислотой вещества. Время возникновения второго фронта ?с определяется из соотношения ^ =р8(1-т0)/(ар0). Время подхода фронта кислоты к точке с координатой г

г

i(r)=m0J

У

ydy.

Радиальные размеры зоны реакции определяются формулой

R = R{ -,-f =

от,

; +2Ops f-

J On -

ш

-Гг

Аналогичные выражения получены и для реакции второго порядка. Они представляют основу для расчетов пространственно-временных зависимостей пористости и плотности кислоты в растворе при кислотном воздействии на призабойную зону пласта.

На рис. 5 представлены зависимости относительной плотности кислоты в зоне реакции от расстояния для реакции первого (кривая 1) и второго порядков (кривые 2-4). В случае реакции второго порядка распределение плотности кислоты зависит от ее начальной плотности в закачиваемом растворе, с увеличением которой относительные значения плотности кислоты в зоне реакции уменьшаются (сравни кривые 2 - р0 = 1 кг/м3, 3 - р0 = 10 кг/м3 и 4 - ро - 180 кг/м3). Увеличение расхода раствора кислоты ведет к увеличению плотности кислоты в данной точке пласта независимо от порядка реакции. При этом размеры зоны реакции для второго порядка в несколько раз меньше в сравнении с первым.

Рис. 5. Зависимость плотности кислоты в зоне реакции от расстояния до скважины: 1 - реакция первого порядка; реакция второго порядка: 2 - р0 = 1 кг/м3, 3 - ро = 10 кг/м3,3 - ро = 180 кг/м3

х, м

Пористость пласта при кислотной обработке увеличивается со временем в расширяющейся по размерам зоне. Зависимость пористости от координаты х для моментов времени 1 - ¿ = 50 с, 2 - / = 500 с, 3 -г = 1000 с, 4Г = 1500 с при скорости закачки у0= 0.01 м/с, а = 0.001 с"1, плотности скелета р3 = 2930кг/м3, начальной пористости т0- 0.2 для первого порядка реакции представлена на рис. 6.

Абсолютные приращения пористости возрастают с уменьшением начальной пористости Зависимость гористости в зоне реакции с высокой точностью является линейной функцией от плотности кислоты. Об этом свидетельствует сопоставление результатов расчетов, проведенных по формулам, полученным в работе, и по приближенным разложениям с удержанием только линейного слагаемого

При построении решения исходная задача была линеаризована,

0.08

0.04 -1

0 20 40 60 V, м Рис. 6. Зависимость пористости от координаты в случае реакции первого порядка для различных моментов времени: I - t = 50 с, 2 ~t = 500 c,3-t = 1000 c,4-t= 1500 с

поэтому применение построенных решений ограничено. Анализ выражений для поля плотности кислоты в растворе независимо от порядка реакции ( 0 < ра < р0) показывает, что данное решение применимо лишь для случая, когда скелет не более чем на 15% состоит из карбонатных пород и используется концентрированная соляная кислота (около 36%). Расчеты выполнены для 15%-ной концентрации соляной кислоты (ро=180 кг/м3), в предположении, что массовая доля известняка в скелете составляет не более 6.5% при начальной пористости, равной от0 = 0.2 .

На рис. 7 представлена зависимость радиального размера зоны реакции от положения переднего фронта. Кривые 3, 4 соответствуют первому порядку реакции, 1,2- второму порядку реакции. Кривые состоят из двух частей: первая определяет зону реакции при однофронтовом режиме, вторая— при двухфронтовом. При однофронтовом режиме радиальный размер зоны реакции возрастает пропорционально R/, при появлении второго (заднего) фронта зона реакции сокращается, а затем стабилизируется.

Зависимость пористости скелета от координаты г в случае двухфронто-вого режима реакции (рис. 8). Кривые 1, 2 соответствуют первому порядку реакции, 3, 4 - второму порядку реакции. Расчеты выполнены при следующих значениях параметров: р0= 180 кг/м3, ps = 2930 кг/м3, г0= 0.1 м, ¿ = 0.73,

а = 0.005 1/с, т0 = 0.2, т1 = 0.264, /?/= 4 м. Кривые состоят из трех частей, первая определяет пористость на участке от скважины до заднего фронта реакции, здесь пористость максимальна - /нь вторая часть определяет значение пористости непосредственно в зоне реакции, третья, за передним фронтом, в этой области пористость минимальная - тй.

Л,-г, м

0.1

Рис. 7. Зависимость радиального размера зоны реакции от положения переднего фронта: 1, 3 - () = 0.0025 м2/с, 2, 4 - <2 = 0.005 м2/с. Кривые 3, 4 соответствуют первому порядку реакции, 1, 2 -второму порядку реакции

2.5 3 3.5 4 г. м Рис. 8. Зависимость пористости скелета от координаты г в случае двух-фронтового режима реакции: 1, 3 - £> =

0.005 м2/с, 2, 4 - ¡2 = 0.0025 м2/с. Кривые

1, 2 соответствуют первому порядку реакции, 3, 4- второму порядку реакции

Для использования термических измерений при контроле кислотной обработки пластов важно знать влияние двух процессов: тепловыделения за счет химической реакции и теплообмена между горячим водным раствором соляной кислоты и более холодным нефтесодержащим пластом, которые и характеризуют радиальные распределения температуры в пласте. Зоны возмущений, обусловленные данными процессами, а также их совместным влиянием, совпадают по размерам. Наибольший вклад в температурную аномалию оказывает процесс возрастания температуры в пласте за счет теплообмена пласта с более горячим раствором кислоты.

Отдельно исследован случай мгновенной закачки в предположении, что время закачки кислоты в пласт намного меньше времени протекания химической реакции в пласте.

Изменение пористости при одном цикле закачки составляет приблизительно 2%; с увеличением начальной пористости соответствующие ее приращения возрастают. Значительные изменения пористости достигаются только многократными закачками кислоты. Например, при начальной пористости 10% необходимо 24 цикла закачки кислоты для полного разрушения карбонатного скелета. Определена важная для практического использования, критическая пористость т=0.910, которая соответствует случаю, когда одно-

кратная закачка соляной кислоты с максимальной плотностью ра0=212.5 кг/м3 полностью разъедает карбонатный пласт.

Для использования термических измерений при контроле кислотной обработки пластов важно знать величину максимальной температурной аномалии, обусловленной кислотным воздействием без учета теплообмена пласта с окружающими породами (рис. 9). Из рис. 9, а следует, что максимальная величина термоаномалии достигается при пористости /я=0.91 и плотности закачиваемой кислоты в растворе ра0=212.5 кг/м3 и соответствует ДГ=53.9 К. Расчеты произведены при М= 0.1 кг/моль (СаС03); р5=2930 кг/м3, с5=1.67-10б Дж/(К-м3), с„=4.19'10б Дж/(К-м3), р„=1000 кг/м3, ¿=830 кДж/кг.

Зависимость величины термоаномалии от плотности закачиваемой кислоты - линейная (рис. 9, б). При начальной пористости выше критической т > 0.91 с ростом плотности кислоты температура достигает максимального значения и при дальнейшем повышении плотности остается неизменной; физически это соответствует полному растворению скелета.

Исследование зависимости относительной температуры Т от безразмерной координаты 2 при различных временах в нулевом приближении, показывает следующее: размер зоны возмущения температуры при кислотной обработке приблизительно в два раза превышает толщину пласта; в интервале пласта температура постоянна, что соответствует решению, полученному в «схеме сосредоточенной ёмкости». Нулевое приближение описывает температурные поля в указанных условиях с точностью, достаточной в большинстве практических случаев.

тости то - а и плотности закачиваемой кислоты ра0 - б: а) 1 - ра0=212.5 кг/м3, 2 -150, 3 - 100, 4 - 50; 5 - 20, б) 1 - т0 =0.1,2 - 0.2; 3 - 0.3, 4 - 0.91, 5 - 0.95, б - 0.98

Решение в первом приближении более реально отражает распределение температуры в пласте, что выражается в его зависимости от г. В интервале пласта нулевое приближение описывает распределение температуры с недостатком, а по краям - с избытком. В окружающих средах нулевое при-

ближение всегда даёт избыточное значение температуры. Процесс изменения температуры, вызванный химической реакцией при однократной закачке кислоты, завершается при безразмерных временах ? ~ 2.

В главе 4 исследуется температурное поле при течении флюида в скважинах на основе асимптотических методов. Такой подход позволяет построить решения, учитывающие профиль скорости течения жидкости в скважине.

Для установившегося течения вводится некоторый формальный радиальный профиль скорости, не зависящий от вертикальной координаты г: у(г)= УоЖ'"), ГДе уо - средняя скорость потока по сечению, а Щг) - некоторая функция, в которую вынесена зависимость от координаты г. На самом деле эта функция неявно учитывает зависимость профиля скорости от вязкости, размеров и геометрии полости течения и т.д. При небольшом газосодержании поток жидкости возмущается незначительно, поэтому влияние газовой фазы также может быть учтено соответствующим радиальным распределением поля скорости и источниками тепла, возникающими вследствие фазовых переходов, обусловленных выделением газа.

В задаче предполагается, что окружающая среда однородная и орто-тропная, рассматривается область глубин, куда не проникают сезонные колебания температуры на поверхности. Цилиндрическая система координат ориентирована таким образом, что ось направлена по оси трубы. Труба окружена однородным анизотропным массивом с теплопроводностями к]г и Хи в соответствии с направлениями осей. Жидкость вследствие своего движения также приобретает фиктивные анизотропные свойства, связанные с воздействием турбулентности.

Постановка задачи в предположении осевой симметрии включает уравнение теплопроводности в окружающем трубу массиве

уравнение конвективной теплопроводности флюида с источниками в трубе

На границе труб и окружающего массива заданы условия равенства температур и тепловых потоков

начальные и граничные условия

Г|Г=0=Г,|(=0 =0, Тх =0, г|;=0 =т0(г).

Для обезразмеривания использованы следующие соотношения:

г=гл/г0, г = 2й/0, / = я„тД02, Тх =(гй1 -Г01 +Гг(1)/Г0, Р е = у0/-0/Цг,

Г0=ГД х = С\Р\/СР. У = г0Д>, Г = (Гй-Г01+Г2а)/Г0, Н=ЛР^о/^о , 0(г,1,г) = ГъЦл1срТйаХг , А = Х1г/Хг. Тепловыделение, обусловленное радиоактивным распадом или химическими реакциями, учитывается соответствующим источником . Задача содержит малый параметр V = г0 / О ~ 10" 4, так как радиус скважины г0~ 0,1 м много меньше ее длины О ~ 103 м. Это позволяет пренебречь слагаемыми, содержащими множитель V2. Заменой Х1г/Хг -> ел,г /А,г вводится параметр е. Решение строится асимптотическим методом в форме (5).

Самостоятельный практический интерес представляют некоторые частные случаи задачи. В реальных случаях турбулентного движения имеет место выравнивание профиля скорости. Тогда постановка и решение задачи значительно упрощаются. Кроме того, осреднение задачи позволяет найти дополнительное условие, необходимое для решения задачи в первом приближении. Наиболее важное практическое значение эта задача имеет для термических исследований скважин, поскольку измерение температуры обычно осуществляют при спуске или подъеме термометра; поэтому она получила название основной задачи термокаротажа.

Производная дТ/дг отлична от константы вблизи аномалий температуры, однако при достаточном удалении от них реализуется случай постоянных градиентов. Зона стабилизации увеличивается с уменьшением дебита, что позволяет при описании температурного поля в малодебитных скважинах вертикальные градиенты считать постоянными. Наиболее простым является случай, следующий из двух предыдущих, когда постоянные вертикальные градиенты и профиль скоростей по сечению скважины можно считать выровненным, как, например, при турбулентном движении или в условиях барботажа всплывающими газовыми пузырьками. Необходимость рассмотрения указанных частных случаев обусловлена и особенностями применяемого асимптотического метода в каждой из представленных задач.

В случае постоянных вертикальных градиентов параметризованная задача приводится к следующему виду:

дТу = 1 д С дТх & г дг\ дг ) '

(Ю)

= 0,7^=0. (11)

Процедуру отыскания коэффициентов асимптотического разложения можно повторять до получения требуемого количества слагаемых. Однако чаще всего приходится ограничиваться нулевым и первым слагаемыми асимптотического разложения

+ 0, 7] =7^+£7^ + 0,.

(12)

Формально полагая е = 0, в уравнении, получающемся после подстановки (12) в (9), имеем Г-0' = , то есть в нулевом приближении температура не зависит от радиальной координаты и является функцией только от времени. Коэффициент при е в первой степени в том же уравнении содержит нулевой и первый коэффициент разложения

X 1 з/

Л Г дг

дт^ (13)

г

V дг У

ы

Воспользовавшись условием сопряжения (10), получим зависимость, позволяющую после интегрирования (13) перейти от коэффициента разложения первого порядка к коэффициенту нулевого порядка

м_

^ 1 Г = 1 ! ~~ Ч-/ -- А, 1^=1 >

дг % \ 2 )дг

г г

где 7?1(г) = |г'Л(г')с?г', <2\{г,1) = [г'0{г',1)с1г'. Восстановив л(/) и в(г), най-

о о

дем уравнение для нулевого коэффициента разложения, содержащее коэффициенты разложения только нулевого порядка

^ + 2РеУ(1 -Н)*,(1)-2а(1,0= 2%.

<я дг

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также следующие уравнения и граничные условия:

оГ)(0) 1 а 5/ г дг

дТ,

г

(о)>

= 0, г>1, />0,

дг

У

Г(0)|,=о^(0)|,=о =0, Г<°) = , г/о)|г_>„=0. Решение этой задачи, построено методом интегральных преобразований. Проинтегрировав дважды (13) для первого коэффициента асимптотического разложения имеем

Г(0=Л г

( 2 г

А{()-вк)н2{г)-д2{г,{) +Б,(0-

Коэффициенты А((), б(г) определяются с помощью нулевого приближения 7''°', В, (?) из решения некоторой более общей задачи. Однако радиальные зависимости температуры в скважине не зависят от этого коэффициента, поскольку чаще всего важна разница температуры между стенкой скважины и точкой расположения термометра. Реализована процедура, позволяющая сформулировать задачу для определения первого коэффициента разложения Т^. Уравнение для температурного поля в скважине примет вид

дт®' Л 1 — 2г2 а2Г(0) лфгМ-ЗбзМ]-? 8Т'Р I

! = 2%-

81 % 8 дг2 X 3* дг

I ,, г< 1, />0.

дня окружающей среды

дт^ 1 а

д( г дг

дТ,

СП

дг

= 0, г>1, 0,

начальные и граничные условия

тЩ =о, гМ

1/=0 г=1

=г/0

г=1

= 0.

Для обеспечения концептуальной близости асимптотического решения к точному, начальное условие Г^|,=0=0 заменяется среднеинтегральным

^Г^|,=0=0, при выполнении которого усредненная задача для остаточного

члена имеет нулевое решение. Решение задачи строится с помощью интегральных преобразований Лапласа-Карсона.

Выражения для первых коэффициентов, соответствующих выровненному и произвольному профилю скорости, существенно различаются. Ниже приведены формулы для первого коэффициента разложения в случае выровненного профиля в пространстве изображений без учета источников

2г2 -1 ук

4 2(^+2%к)\'

7лч" -

Г](1>' =.

К,

К(

ш

2г2 -1

Ак^Т^.г <1,

1.

(13)

2^ + 2x4

Радиальные зависимости температуры в скважине описываются первым коэффициентом разложения. Из (13) легко найти выражение для стационарного распределения температуры в скважине

Найдено решение задачи для остаточного члена для частного случая выровненной скорости в предположении постоянных вертикальных градиентов температуры. Анализ решения позволяет заключить, что как остаточный член, так и его отношение к последнему члену ряда стремится к нулю с увеличением времени. Показано, что модуль остаточного члена имеет порядок Е3,/2.

Решения, построенные для произвольного профиля скорости, при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Указанный недостаток решения устраняется построением погранслойных функций. Представив решение задачи (8) - (11) как fj=Tj+llj, где

Т = Т(г,() - регулярная, П = П(г,/'/е) - погранслойная часть асимптотики, и учитывая, что нулевой и первый коэффициенты регулярного ряда являются решениями приведенных выше задач, формулируется задача для погранслой-ной функции, решение которой представляется асимптотической формулой Ц =Ц(0'+еЦ(1), /= ,1- Задача для нулевых коэффициентов разложения имеет только тривиальное решениеП^ = 0. Соответствующая же задача для первых коэффициентов решается методом разделения переменных

„=1 •'о иь,; ^ л ^о

где ци - корни уравнения Бесселя .

Полученные аналитические решения задачи (8) - (11) составляют основу для расчетов температуры в скважинах и трубопроводах.

Установление радиального профиля температуры нефтяного потока в скважине для ламинарного течения происходит за время (< 1, изменения температуры в интервале времени от 1 до 10 не превосходят 20% от полного значения достигаемого эффекта. Радиальные распределения относительной температуры Т = (т(г}~ т(ф'(т(0)~ т(\)) (рис. 11) для ламинарного потока (кр. 1) и выровненного профиля скорости (кр. 2) отличаются незначительно, максимальное отклонение достигается в промежутке [0.6г0; 0.8гс] и не превышает 10%. Профиль температуры является наиболее выровненным в центре турбулентного потока (кр. 3), а максимальные значения градиента температуры

наблюдаются в зоне, приближенной к стенке. Наибольшее отклонение температуры (до 25%) от случая ламинарного потока достигается при г =0.8г0.

Установление средней относительной по сечению температуры в потоке воды и нефти в скважине на различных относительных глубинах с увеличением г происходит быстрее; время установления профиля температуры зависит от объемной теплоемкости жидкости и от глубины.

Распределение температуры потока воды (пунктирные кривые) и нефтяного потока (сплошные кривые) от глубины для различных значений безразмерного времени У — / = 3, 2 — / = 1,3-/ = 0.5 представлены на рис. 12. Зона установления температуры не превышает четверти глубины скважины г < 0.25, в остальной зоне глубин г > 0.25 с большой точностью реализуется режим постоянных вертикальных градиентов температуры.

Получены решения, позволяющие учесть вклад температурных сигналов пласта в температурное поле в скважине. С увеличением времени зона влияния температурного сигнала пласта возрастает и составляет 2 = 0.25 отрезка исследований скважины при / = 0.3, 0.75 - при /= 1, 1 - при / = 1.5. Прослеживается общая закономерность поведения относительного перепада температуры между стенкой и фиксированной точкой скважины от безразмерного времени, заключающийся в том, что перепад температуры при малых временах растет со временем, затем достигает максимума и в дальнейшем уменьшается. Физически это соответствует формированию температурного перепада и последующему его уменьшению, вызванному прогревом окружающей скважину среды, что приводит к закономерному уменьшению теплового потока из скважины в окружающую среду. С увеличением расстояния г от пласта время достижения максимума, как и величина относительного перепада, возрастают.

1

0.15 — ' * * *

* 2

0.1 V. 1

0.05 Г........7.....

Г

г 3 1 ......

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 11. Зависимость относительной температуры от радиуса: 1 - ламинарный поток, 2 - постоянная скорость, 3 - турбулентный поток

0

0.5

Рис. 12. Зависимость средней температуры в скважине от вертикальной координаты для потока воды - пунктирные, нефтяного потока - сплошные кривые:

7-/ = 3,2-/= 1,3-/ = 0.5

Время достижения максимума не зависит от расстояния до оси скважины. Подход температурного фронта пласта приводит к скачкообразному росту значений температуры в точке и в целом не меняет общей картины.

Сравнение решения о температурном поле в скважине в первом приближении с экспериментальными данными, а также сравнение нулевого приближения с решениями других исследователей показывает удовлетворительное согласие результатов.

Принятый в работе подход позволяет получить аналитическое выражение для расчета температурных меток вдоль ствола скважины и оценить влияние толщины температурной метки, скорости движения жидкости в трубе и толщины трубы на затухание метки. Полученные результаты свидетельствуют о возможности использования температурных меток для исследования обсадных колонн, что представляет особую ценность для нефтяных скважин. Результаты расчетов показывают, что с помощью метки толщиной 1 м в указанных условиях может быть обследован прямой участок обсадной колонны с радиусом 0.1 ми длиной 61 м.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Научные материалы, изложенные в диссертации, представляют собой единую теорию исследования полей температуры, давления и плотности при радиохимическом воздействии на пласт, а рассмотренная модификация асимптотического метода является достаточно общей и обеспечивает построение точного в среднем аналитического решения задач подземной термо- и гидродинамики.

Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем.

Разработана модификация асимптотического метода, позволяющая получить приближенные аналитические решения задач скважинной теплофизики, такие, что нулевое асимптотическое приближение совпадает с решением задачи, осредненной по ширине пласта или по сечению трубы (скважины). Использование нелокального граничного условия, заключающегося в том, что средние значения температуры на оси пласта равны нулю, обеспечивает построение точного в среднем асимптотического решения задачи о температурном поле в пористом пласте с различными источниками. Для получения такого решения в задаче о температурном поле в скважине, достаточно потребовать, чтобы среднее значение первого коэффициента асимптотического разложения обращалось в ноль на границе 2 = 0. Погранслой-ные решения расширяют область применения аналитических выражений, полученных асимптотическим методом, и существенно увеличивают точность расчетов.

На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионного и температурного фронтов установлено, что в условиях захоронения радиоактивных отходов температурный фронт опережает диффузионный. В свою очередь, радиус зоны температурных возмущений меньше чем радиус зоны закачанной жидкости, что приводит к образованию области, очищенной от загрязнителя и температурных возмущений. Выявлено, что размеры этой области тем больше, чем больше коэффициент Генри. Такая зависимость при захоронении растворов радиоизотопов может служить ориентиром для выбора пластов, удовлетворяющих более высоким экологическим требованиям.

Построена математическая модель, описывающая взаимосвязанные поля температуры и концентрации раствора кислоты, текущей по проницаемому карбонатосодержащему пласту, окруженному непроницаемой средой.

Произведен анализ физических процессов, происходящих при закачке кислоты в карбонатосодержащий пласт, осуществлена математическая постановка задачи о температурных процессах при кислотном воздействии с учетом теплоты химических реакций применительно к проницаемым пластам для случая, когда различием теплофизических свойств в зоне реакции и остальной области пористого пласта пренебрегается.

Найдены решения нелинейных задач химической кинетики, возникающих при кислотной обработке пористых пластов; в аналитическом виде для случаев реакции первого и второго порядков построены функции плотности источников для продуктов химических реакций, входящих в уравнение энергии; получены зависимости плотности кислоты от начальной пористости среды, плотности кислоты от времени и коэффициента скорости реакции, пористости от времени и плотности кислоты. Определены время подхода фронта кислоты к данной точке коллектора и время возникновения заднего фронта зоны реакции. Установлена немонотонная зависимость размеров зоны реакции от положения переднего фронта.

Сопоставление расчетных теоретических зависимостей с результатами экспериментальных исследований показывает их хорошее согласование. Анализ расчетов позволяет заключить, что нулевое приближение описывает величину температурных эффектов в пластах с точностью, достаточной в большинстве практических расчетов, а детальное распределение температуры описывает первый коэффициент разложения.

На основе разработанной теории и анализа экспериментальных кривых показано, что использование термометрии позволяет оценивать эффективность солянокислотной обработки призабойной зоны пласта. Полученные результаты открывают новые перспективы совершенствования технологии воздействия и контроля за процессом кислотной обработки на основе измерения температуры.

воздействия и контроля за процессом кислотной обработки на основе измерения температуры.

Впервые получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена с глубиной как для случая выровненного, так и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в 1гулевом и первом асимптотических приближениях. Построенные решения служат основой для разработки новых методов каротажа, основанных на измерениях зависимости температуры от расстояния до оси скважины, и уточнения интерпретаций скважинных термограмм.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Михайлов, П.Н. Основная задача теории термокаротажа / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова / Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2003 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Пшем. - 2003. -Т.З.- С. 193-206.

2. Михайлов, П.Н. Задача о температурном поле при кислотном воздействии на нефтегазовые платы. / А.И. Филиппов, A.A. Потапов, К.А. Филиппов, Р.Н. Багаутдинов / Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (2428 июня 2003 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Гилем. -2003.-T.3.-C. 207-225.

3. Михайлов, П.Н. Разработка теории радиохимического эффекта / А.И. Филиппов, К.А. Филиппов, P.P. Ахтямов, P.P. Гатин / Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2003 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Пшем. - 2003. - Т.З. - С. 226 - 232.

4. Mikhailov, P.N. Termodinamics of gas-oil seepage / S.A. Filippov, E.M. Devyatkin / Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Труды международной научной конференции (24-28 июня 2003 г., г.Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Гилем. - 2003. -Т.З.-С. 241-255.

5. Михайлов, П.Н. Моделирование температурного поля в потоке жидкости в скважине и прилегающих пластах / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб.науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ. - 2003. - С. 149 - 152.

6. Михайлов, П.Н. Применение асимптотических методов при исследовании кислотного воздействия на нефтегазовые пласты / А.И. Филиппов, Р.Н. Ба-

гаутдинов, A.A. Потапов // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАИ ВШ. - 2003. - С. 242 - 245.

7. Михайлов, П.Н. Температурные поля, инициированные электромагнитным воздействием на слоисто-неоднородные трехслойные среды / А.И. Филиппов, В.М. Филиппов // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАИ ВШ. - 2003. - С. 246 - 249.

8. Михайлов, П.Н. Основная задача термокаротажа / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Труды международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы». - Уфа: Гилем. -2003. - Т. 3,- С. 193-207.

9. Михайлов, П.Н. Поля температуры в скважине с учетом радиального профиля скорости / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, К.А. Филиппов // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник. Часть 2. - Уфа: Ба-rn. ГУ.-2004.-С. 101-119.

10. Михайлов, П.Н. Температурное поле в действующей скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Сибирский журнал индустриальной математики.-2004.-Т. VII.-№1(17).-С. 135- 144.

11. Михайлов, П.Н. Математическое моделирование температурного поля в скважине с учетом радиального профиля скорости / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Математические методы в технике и технологиях. - ММТТ-17: Сб. трудов XVII Междун. научн. конф.: В 10 т. Т. 1. Секция 1 / Под ред. B.C. Балакирева. - Кострома: Костромской ГТУ, 2004. - С. 84 - 94.

12. Михайлов, П.Н. Приближенное аналитическое решение задачи о температурном поле в скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Матем. вестник Волго-Вятского региона. В. 6. - Киров: Вят. ГГУ. - 2004. - С. 100 - 109.

13. Михайлов, П.Н. Применение асимптотических методов при исследовании температурного поля в действующей скважине / А.И. Филиппов, К.А. Филиппов // Тр. 5-го Минского Международного Форума по тепло- и массо-обмену, 24 - 28 мая 2004 г. - Минск: Институт тепло- и массобмена им. А.В Лыкова HAH Белоруси, 2004. - Т. 1. - С. 284 - 286. Материалы доклада.

14. Михайлов, П.Н. Физические процессы в действующей скважине / А.И. Филиппов, К.А. Филиппов // Инженерная физика. - 2004. - №2. - С. 41 - 46.

15. Михайлов, П.Н. Распределение пористости и плотности кислоты в процессе закачки кислоты в карбонатосодержащий пласт / A.A. Потапов, Э.М. Габитова // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 - 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Гилем. - 2004. - С. 133 - 137.

16. Михайлов, П.Н. Использование температурных меток для контроля технического состояния трубопроводов. / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной

конференции (16 - 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Гилем. - 2004. - С. 82 - 88.

17. Михайлов, П.Н. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И, Филиппов, И.Н. Михайличенко // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 - 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа: Гилем. - 2004. - С. 89 - 97.

18. Михайлов, П.Н. Расчеты температурных полей в процессе закачки кислоты в нефтегазовый пласт / А.А. Потапов, Н.В. Пестова II Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 - 18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак) / Отв. ред. К.Б. Сабитов. -Уфа: Гилем. - 2004. - С. 98 - 109.

19. Михайлов, П.Н. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики-2004.-Т. 11,-В. 3.-С. 595 - 596.

20. Михайлов, П.Н. Температурные поля при кислотном воздействии на нефтегазовые пласты. / А.И. Филиппов, К.А. Филиппов, А.А. Потапов, Р.Н. Багаутдинов // Инженерно-физический журнал. - 2005. - Т. 78. - №2. - С. 51 -64.

21. Михайлов, П.Н. Температурное поле в скважине с учетом радиального профиля скорости в асимптотическом приближении. / А.И. Филиппов // Инженерно-физический журнал. - 2005. - Т. 78. - № 4. - С. 87 - 96.

22. Mikhailov, P., Temperature Field in Oil-Gas Beds Exposed to the Action of an Acid / A. Filippov, K. Filippov, R. Bagautdinov, A. Potapov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2005. - V. 78. -№ 2. - P. 256 - 271.

23. Mikhailov, P. Asymptotic soliton of the temperature field in a well with ac-cout for the radial-velocity distribution / A. Filippov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2005. - V. 78. - № 4. - P. 87 - 90.

24. Михайлов, П.Н. Температурные поля при кислотной обработке нефтяных пластов в асимптотическом приближении. /А.И. Филиппов, Н.В. Пестова // Математические методы в теории и технологиях - ММТТ-18. Сборник трудов XVIII Международ, научн. конф. В 10. Т. 1. Секция 1. / Под общ. ред. B.C. Балакирева. - Казань: КГТУ. - 2005. - С. 151 - 156.

25. Михайлов, П.Н. Температурное поле, инициированное потоком жидкости в действующей скважине / А.И.Филиппов, О.В.Ахметова // Математические методы в теории и технологиях- ММТТ-18. Сборник трудов XVIII Международ, научн. конф. В 10. Т. 1. Секция I. / Под общ. ред. B.C. Балакирева. - Казань: КГТУ. - 2005. - С. 160 - 165.

26. Михайлов, П.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ. / А.И. Филиппов, А.Г. Крупинов // Экологические системы и приборы. - 2006. - № 5. - С. 27 - 33.

27. Михайлов П.Н., Асимптотические методы в скважинной теплофизике / А.И. Филиппов // Тихонов и современная математика: Асимптотические методы: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-25 июня 2006г.: Тезисы докладов секции № 5. - С. 34 - 35.

28. Михайлов, П.Н. Основная задача термокаротажа. / А.И. Филиппов / Тихонов и современная математика: Математическая геофизика: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-25 июня 2006г.: Тезисы докладов секции № 6. - С. 25 - 26.

29. Михайлов П.Н., Задача термокаротажа при кислотной обработке нефтяных пластов / А.И. Филиппов, А.Г. Крупинов / Тихонов и современная математика: Математическая геофизика: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-25 июня 2006г.: Тезисы докладов секции № 6. - С. 34 - 35.

30. Михайлов, П.Н. Основная задача термокаротажа / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Теплофизика высоких температур. - 2006. - №5. - Т. 44. - С. 747-755.

31. Михайлов, П.Н. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, И.Н. Михайли-ченко И Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2 (25). - Херсон: ХГНТУ. - 2006. - С. 508 - 511.

32. Михайлов, П.Н. Математическое моделирование химико-гидродинамических задач при кислотной обработке пластов / А.И. Филиппов, А.Г. Крупинов // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2 (25). - Херсон: ХГНТУ. - 2006. - С. 503 - 507.

33. Михайлов, П.Н. Фильтрационно-волновой нагрев нефтяного пласта / А.И. Филиппов, A.C. Хисматуллин // Инженерная физика. - 2006. - №5. - С. 13-21.

34. Михайлов, П.Н. Температурное поле в скважине с учетом профиля течения флюида. / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Обозрение прикладной и промышленной математики,- 2007. - Т. 14. - В. 4. - С. 731 - 732.

35. Михайлов, П.Н. Расчет взаимосвязанных полей концентрации и температуры растворов радиоактивных веществ при закачке в пористый пласт. / А.И. Филиппов, Д.А. Гюнтер // Обозрение прикладной и промышленной математики,- 2007. - Т. 14. - В. 4. - С. 754 - 755.

36. Михайлов, П.Н. Моделирование взаимосвязанных процессов тепло- и массопереноса при подземном захоронении радиоактивных отходов / А.И. Филиппов, Д.А. Гюнтер, Д.А. Иванов // Вопросы атомной науки и техники. -2008. -№2.-С. 83-91.

37. Михайлов, П.Н. Асимптотическое решение задачи о подземном захоронении радиоактивных отходов / А.И. Филиппов, Д.А. Гюнтер, Д.В. Иванов // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. - Т. XI. - № 2(34). -С. 124- 138.

38. Михаилов, П.К. Температурные ноля фильтрационных потоков растворов радиоактивных веществ / Л.И. Филиппов, 11.11. Мпхайлпченко. Д.Л. Понтер, В.Д. Иванов // VI Минским международный форум по гепло- и мас-сонерсносу. (19 - 23 мая 2008 г.). Тезисы докладов и сообщений. Т. 2. С. 230 - 232. Материалы докладов.

39. Михаилов. 11.11. «В среднем точное» асимптотическое решение задачи маесопереноеа при подземном захоронении жидких радиоактивных отходов / Л.И. Филиппов, Д.В. Пианов / Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной конференции (24 - 28 июня 2008 г., г. Стерлптамак)' Уфа: Гплем. - 2008. - Т. 111. - С. 238 258.

40. Михайлов, 11.11., Построение «в среднем точного» асимптотического решения залами о радиальном распределении температурного поля в скважине / Д.И Филиппов, 0.15. Ахметова. МЛ. Горюнова /.•' Теплофизика высоких температур. - 2008. Л1>3. - Т. 46. С, 449 -456.

41. Михайлов. П.II. Поля концентрации радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, Д.Л. Понтер, ДА. Иванов // Инженерно-физический журнал. -2008. - Т. 81. 5 С. 912 - 923.

42. Михаилов, П.П.. Температурные поля при кислотной обработке нефтяных пластов / A.M. Филиппов, Н.В. Пестова. А.Г. Круипно» /' Теоретические основы химической технологии. -- 2008. - Т. 42. № 5. С. 570 - 578.

43. Михайлов, П.П. Решение линеаризованной задачи о поле концентрации кислоты при химической реакции в пористых средах / А.11. Филиппов, Н.В. Пестова И Вестник Херсонскою национального технического университета. В. 2(3 I). - Херсон: ХИТУ. - 2008. - С. 485 - 489.

44. Михайлов, П.Н. Уточненное аналитическое решение основной задачи термокаротажа / А.И. Филиппов, М.А. Горюнова ¡Í Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. - В 5. - С. 906 - 907.

45. Михайлов, II.II. Температурное поле в изолированном пласте при фильтрации реального газа. / Л.Ф. Халимов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15. - В 5. - С. 907 908.

46. Михайлов, П.Н. О построении асимптотического решения в задачах сопряжения / A.M. Филиппов, Д.А. Понтер, Д.В. Иванов // Журнал вычислительной математики н математической физики. 2008. - Т. 48. № II. С. 2046 2057.

Михайлов Павел Никоноинч

Температурные поля в скважине и пластах при фильтрашш химически- и радиоактивных растворов в асимптотическом приближении

АВТОРЕФЕРАТ

Лицензия на тдатедьсклм допслыюеть выдана Министерством Российском Федерации по дедам печати, телерадиовещания и средств массовой коммуникации, серия ИД №05649, код 21 от 20.0X.200I г. Лицензия на нолшрафическлто деятельность, выданная Министерством печати и массовой информации Республики Ьашкорюскш. В 848063, № 57 ог 27.07. 1999 г.

Подписано в печать 14.10 2009 г. Бумага офсетная Формат 60 х84| ^ . Компьютерный набор. Гарнитура "Тине*". Печать оперативная Уст. неч. т. 2.0«. Тираж МО зкз. Заказ № 348/09

Рсдакцпонпо-тпдательекпп огдед Стерлитамакскои юс> дарственной педаготпческон академии им. Зайпаб Ьпишеиой: 45.4103. т. Стерлитамак. пр. Леннна.49.

ВВЕДЕНИЕ.

Список обозначений.

Глава 1. ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА В ЗАДАЧАХ СОПРЯЖЕНИЯ СКВАЖИННОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ

§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ.

1.1. Основные понятия теории возмущений.

1.2. Асимптотическое приближение. Асимптотические и сходящие ряды.

§ 2. ОБЗОР РАБОТ ПО АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ.

§ 3. ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА В ЗАДАЧАХ СОПРЯЖЕНИЯ.

3.1. Стационарная модельная задача фильтрации жидкости в пористом пласте.

3.2. Упрощенная задача о температурном поле в скважине.

3.3. Замечания об остаточном члене асимптотического разложения.

Выводы по главе 1.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕ-РЕНОСА ПРИ ЗАКАЧКЕ РАДИОАКТИВНЫХ РАСТВОРОВ В

ГЛУБОКОЗАЛЕГАЮЩИЕ ПЛАСТЫ.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ В ГЛУБОКОЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ.

1.1. Основные физико-кинетические процессы при фильтрации жидкости в глубокозалегающих пластах.

1.2. Задача теплопереноса.

1.2.1. Математическая постановка задачи теплопереноса.

1.2.2. Разложение решения задачи теплопереноса по асимптотическому параметру.

1.2.3. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении.

1.2.4. Нулевое приближение задачи теплопереноса как решение осредненной задачи.

1.2.5. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении.

1.2.6. Задача для остаточного члена в задаче теплопереноса. Дополнительное интегральное условие для первого приближения.

1.3. Задача массопереноса.

1.3.1. Математическая постановка задачи массопереноса.

1.3.2. Разложение решения задачи массопереноса по асимптотическому параметру.

1.3.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении.

1.3.4. Нулевое приближение задачи массопереноса как решение осредненной задачи.

1.3.5. Математическая постановка задачи массопереноса в первом приближении.

1.3.6. Задача для остаточного члена. Дополнительное граничное условие.

§2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

2.1. Решение задачи в нулевом приближении.

2.1.1. Частный случай задачи массопереноса.

2.2. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению.

2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена.

2.4. Решение задачи массообмена в первом"приближении.

2.5. Построение погранслойного решения.

2.6. Анализ результатов расчетов по первому приближению.

2.7. Анализ результатов расчета стационарной задачи.

§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И ПЕРВОМ

ПРИБЛИЖЕНИЯХ.

3.1. Нулевое приближение задачи теплопереноса.

3.1.1. Предельный случай нулевого приближения.-.

3.2. Решение задачи в первом приближении.

3.3. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению.

3.4. Сравнение результатов аналитического решения с численным и экспериментом.

3.7. Сопоставление радиусов зон радиационного и теплового возмущений.

Выводы по главе 2.

Глава 3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ, ИНИЦИИРОВАННЫЕ ХИМИЧЕСКИМИ РЕАКЦИЯМИ В ПОРИСТОМ ПЛАСТЕ.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ ПРИ КИСЛОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ПЛАСТ.

1.1. Описание процесса кислотной обработки.

1.2. Математическая постановка тепловой задачи.

1.3. Разложение решения задачи по асимптотическому параметру.

1.4. Постановка задачи для нулевого приближения.

1.5. Предельный случай нулевого приближения.

1.6. Нулевое приближение как решение осредненной задачи.

1.7. Постановка задачи для первого коэффициента асимптотического разложения.

1.8. Вывод дополнительного условия для первого и более высоких приближений.

1.9. Частный случай. Мгновенная закачка.

§ 2. ХИМИКО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА.

2.1. Основные уравнения.

2.2. Радиальное цилиндрическое течение.

2.2.1. Случай реакции первого порядка.

2.2.2. Реакция второго порядка.

2.3. Химико-гидродинамическая задача для частного случая мгновенной закачки кислоты.

2.4. Анализ расчетов пространственно-временных зависимостей плотности кислоты и пористости.

§ 3. РЕШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАДАЧИ О КИСЛОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ В АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

3.1. Решение задачи в нулевом приближении.

3.2. Построение решения в первом приближении.

3.3. Анализ результатов расчетов температурных полей при постоянной закачке кислоты в пласт.

3.4. Построение решения для случая мгновенной закачки.

3.4.1. Решение задачи в нулевом приближении без учета радиальной теплопроводности.

3.4.2. Решение задачи для первого коэффициента разложения.

3.5. Анализ результатов расчетов для случая мгновенной закачки. Сопоставление теории и эксперимента.

Глава 4. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В СКВАЖИНЕ.

§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Описание задачи.

1.2. Математическая постановка задачи.

1.2.1. Постановка задачи в нулевом приближении.

1.2.2. Краевая задача для первых коэффициентов разложения.

1.3. Практически важные частные случаи задачи.

1.3.1. Основная задача теории термокаротажа.

1.3.2. Случай постоянных градиентов.

1.3.3. Плоский профиль скорости в поле постоянных градиентов.

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ В СРЕДНЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ О ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ В СКВАЖИНЕ В НУ

ЛЕВОМ И ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ.

2.1. Решение общей задачи и концепция точного в среднем.

2.1.1. Аналитическое решение общей задачи в нулевом приближении.

2.1.2. Постановка задачи для остаточного члена и вывод дополнительных условий. •.

2.1.3. Точное в среднем решение задачи в первом приближении.

2.2. Асимптотическое решение основной задачи термокаротажа.

2.2.1. Решение задачи в нулевом приближении.

2.2.2. Построение точного в среднем решения для первого коэффициента разложения в основной задаче термокаротажа.

2.2.3. Получение решений в пространстве оригиналов.

2.2.4. Анализ результатов расчетов.

2.2.5. Применение полученных решений для расчетов динамики температурных меток в стволе скважины.

2.3. Решение задачи для произвольного профиля скорости и постоянного вертикального градиента.

2.3.1. Решение задачи для произвольного реального аксиально-симметричного профиля скорости в нулевом приближении.

2.3.2. Постановка задачи для остаточного члена и вывод дополнительного условия.

2.3.3. Точное в среднем решение задачи для первого коэффициента разложения.

2.3.4. Переход к оригиналам.

2.3.5. Анализ результатов расчетов.

2.4. Температурное поле в скважине для выровненного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры.

2.4.1. Построение решения в нулевом приближении.

2.4.2. Задача для остаточного члена.

2.4.3 Построение точного в среднем решения для первого коэффициента разложения в температурной задаче.

2.4.4. Оценка остаточного члена асимптотического ряда в задаче о температурном поле в скважине.

2.4.5. Переход к оригиналам.

2.4.6. Анализ расчетов температурных полей в скважинах.

2.5. Решение общей задачи в пространстве оригиналов.

2.6. Анализ результатов расчетов.

§ 3. УТОЧНЕНИЕ ТОЧНЫХ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЙ ПОГРАНСДОЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.

3.1. Погранслойная функция в основной задаче термокаротажа.

3.2. Уточнение точных в среднем решения задачи для произвольного профиля скорости и постоянного вертикального градиента температуры.

Выводы по главе 4.

Актуальность исследования. Решение глобальных энергетических проблем человечества, в первую очередь, связано с развитием атомной энергетики, поскольку запасы углеводородов ограничены. Уже к 2030 году доля атомной генерации в общем объеме производства электроэнергии должна составить 25-30% (сегодня — 16%). В настоящее время общий объем радиоак

8 3 г> тивных отходов на территории России оценивается в 5-10 м , суммарная р-активность которых по приблизительным оценкам равна 7,3-1019 Бк. [326]. При этом на жидкие радиоактивные отходы (ЖРО) приходится около 85% общей активности, и их переработка и захоронение - важнейшая задача атомной энергетики.

При становлении атомной промышленности в конце сороковых - в начале пятидесятых годов обращение с образующимися радиоактивными отходами мало отличалось от принятых в других отраслях промышленности, в основном, в металлургической и химической. Жидкие отходы на первых этапах работы предприятий сбрасывались в существующие водоемы и водостоки, хранились в специальных сооружениях. В 1957 году произошел взрыв емкости для хранения высокоактивных отходов ПО «Маяк», повлекший выброс радиоактивных нуклидов и загрязнение около 20 тыс. кв. км. Позже имел место ветровой унос 600 Ки с береговой части озера Карачай и загрязнение 1, 8 тыс. кв. км. [74]. Эти события показали необходимость особого отношения к радиоактивным отходам. Еще раньше при рассмотрении проблем атомной промышленности было сформулировано мнение о необходимости сбора ЖРО, их концентрирования, извлечения урана, плутония и других трансурановых элементов, перевода в твердые формы для захоронения. В связи с тем, что создание технологий глубокой переработки отходов требует значительных средств и, самое главное, времени, были проведены поиски альтернативных технологий захоронения. Академиками А.П. Виноградовым, В.И. Спицыным, проф. С.А. Вознесенским, геологом-нефтяником Н.А. Калининым и др. было предложено использовать для размещения (захоронения)

ЖРО глубоко залегающие пласты-коллекторы, аналогичные вмещающим нефть и газ, но не содержащими последних [114, 244, 253].

В начальный период решения задач глубинного захоронения отходов использовались теоретические основы нефтяной гидродинамики, разработанной В.Н. Щелкачевым [329], что позволило выполнить необходимые расчеты полей давлений с рядом допущений [133, 146]. Поля напоров описываются известными уравнениями фильтрации, аналитические решения которых строятся для простейших случаев. В последующие годы, соответствующие уравнения фильтрации решаются методом конечных разностей. При действии источников, таких как нагнетательные или разгрузочные скважины, водозаборы, их дебиты аппроксимируются по ступенчатому закону и весь режим фильтрации рассматривается как последовательная смена стационарных состояний [109, 137, 315].

Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить А.С. Белицкого, Е.И. Орлову [37], Ф.М. Бочевера, Н.Н. Веригина, В.М. Гольдберга [40] и др.

В работе [137] для описания процессов распространения и миграции компонентов ЖРО использована двумерная модель массопереноса, учитывающая конвективный перенос, диффузию, радиоактивный распад. Уравнения массопереноса решались методом конечных разностей. При этом возникла следующая проблема. Основную погрешность в численное решение этим методом вносит конечно-разностная аппроксимация конвективных членов уравнения массопереноса (так называемая «численная дисперсия»), влияние которой особенно существенно при больших числах Пекле и в случаях высокой токсичности загрязнений. Ранее об аналогичной проблеме при численном решении задачи теплопереноса в нефтяных пластах отмечал Л.И. Рубинштейн «. с точки зрения приложения метода к задачам описания температурного поля пласта при нагнетании в него теплоносителя необходимо иметь дело с весьма большими значениями Пекле (порядка 100 и более), что практически исключает возможность использования метода» [243]. Аналитические модели миграции радионуклидов в пористых средах построены M.JI. Жемжуровым и Г.З. Серебряным [97, 98].

Первоначально теплофизические расчеты для пласта выполнялись по упрощенной схеме (задача теплопроводности для стержня) [244]. В дальнейшем модели уточняются и, в основном, строятся численные решения. Моделированием температурных и радиационных полей также занимались Д.М. Носков, А.Д. Истомин, А.Г. Кеслер [230], В.К. Ларин, А.А. Зубков, В.Г. Балахонов В.А. Сухоруков [133], А.Н. Жиганов (Северский технологический институт), И.М. Косарева, Е.В. Захарова (Институт физической химии РАН) [120, 121] и другие исследователи. В работах [120, 121] численно исследованы средние по сечению теплоизолированного пласта температурные поля при многоэтапной закачке растворов и для многокомпонентного раствора.

При этом остаются актуальными задачи по определению зависимости полей температуры и концентрации от параметров закачки радиоактивных примесей, технологии закачки от параметров пластов и т.п. Интерес к рассматриваемой проблеме обусловлен также тем, что в настоящее время рассматриваются проекты добычи газа из газовых гидратов путем закачки радиоактивных отходов под залежь и их последующего разложения за счет теплового эффекта реакции распада.

Проницаемость призабойной зоны пластов, в которые осуществляется закачка, со временем уменьшается вследствие засорения, кольматации и других процессов. Для восстановления проницаемости может быть использована технология закачки кислоты или других химически активных растворов. Исследование таких процессов важно для нефтяной промышленности, где технология кислотной обработки пластов нашла промышленное применение [72, 124, 125]. Для решения практических задач необходимо знать зависимость температуры и пористости от времени при различных концентрациях кислоты. Однако теория этих процессов до настоящего времени не создана.

Закачка отходов производится через нагнетательные скважины. Таким образом, к рассматриваемым задачам тесно примыкают и проблемы исследования температурного поля в скважинах. Впрочем, она имеет большое значение и для проблем нефтегазодобычи [50, 59, 83, 85, 86, 89, 95, 145, 212, 215, 219, 237, 282, 283,331].

Задача о температурных полях при движении жидкости по трубам возникает в многочисленных технических приложениях. Это важно для расчета температурных режимов теплопроводов в ядерных реакторах, трубопроводов, по которым осуществляется перекачка парафинистой нефти или газа. Оптимизация температурного режима нефтепровода - основная задача трубопроводного транспорта, поскольку выпадение парафина или образование газовых гидратов приводит к уменьшению производительности нефтегазопровода. Эта же проблема возникает и при движении жидкости и газа в скважине; применительно к скважинам такая задача называется основной в теории термокаротажа, поскольку широко используется в геофизике [23, 50, 59, 83, 93, 239, 245, 273, 287, 319, 331].

К настоящему времени удовлетворительно разработана теория позволяющая, рассчитывать средние по сечению скважины значения температуры. Первым эту задачу решал А.Ю. Намиот [217], в последующем она развита Э.Б. Чекалюком [317, 318]. Следует отметить большое количество работ, выполненных в этом направлении М.А. Пудовкиным [235, 236], Э.Х. Галиным, В.Д. Чугуновым, А.Н. Саламатиным [237], Р.А. Валиуллиным [50, 52, 53, 54], А.И. Филипповым [282, 283, 292, 294], В.Ф. Назаровым [214], Р.Ф. Шарафут-диновым [325], А.Ш. Рамазановым [239], Н.Г. Мусакаевым [211 - 213], В.Ш. Шагаповым [322], А.А. Губайдуллиным [78] и др.

Для большинства практических приложений информации о средней по сечению скважины температуры недостаточно. Поэтому, большой интерес представляет задача о детальном распределении температуры по скважине при течении в ней жидкости или газа, которая до настоящего времени не решена. Основная трудность при этом заключается в необходимости учета реального профиля скорости.

При моделировании тепломассопереноса в пористых пластах и скважине возникает необходимость в аналитическом задании граничных условий на линии пористого и изолирующего пластов, скважины - и внешних пород.

При использовании граничных условия третьего рода, реализуется отдельная постановка задачи для каждой из областей [108], [262]. В работе A.M. Гришина и В.М. Фомина [77] приведены классы задач, для которых применять раздельный способ решения нецелесообразно. Критика раздельного способа постановки задачи содержится так же в монографии С.Ф. Адиутори [30]. Исследование температурных процессов в скважине и пористых пластах приводят к необходимости решения нелинейных уравнений параболического типа в многослойной области с условием сопряжения на границах [318]. Для подавляющего большинства случаев таких задач найти точное аналитическое решение невозможно, поэтому проблема разработки приближенных методов решения как численных, так и асимптотических, является важной и актуальной.

Известные к настоящему времени приближенные аналитические методы, либо имеют физический уровень строгости и недостаточную общность, либо, наоборот, при достаточной общности и математической строгости позволяют сделать лишь качественные выводы весьма общего типа о свойствах решений нелинейных нестационарных задач тепло- и массопереноса. К числу последних следует отнести работы, посвященные построению равномерных асимптотических разложений, которые, по существу, являются асимптотическими разложениями в смысле А. Эрдейи [330], поскольку в подобных асимптотических разложениях коэффициенты разложений являются функциями малых параметров.

Сложность асимптотического метода решений математических моделей состоит в отсутствии единой методики выявления структуры асимптотических разложений, что связано способом угадывания вида структуры асимптотических разложений в зависимости от природы рассматриваемой задачи.

При построении асимптотических разложений краевых задач, поставленных для уравнений с частными производными, широко используются идеи, имеющие свои истоки в задачах механики жидкости и газа, изложенные в работах Шлихтинга Г. [328] и Ван-Дейка М. [55]. Согласно этим идеям область, в которой исследуется решение, разбивается на зоны; в каждой из них устанавливается своя структура асимптотического разложения; имея асимптотические разложения в каждой из зон можно построить асимптотическое разложение, пригодное во всей области изменения переменных.

В настоящее время хорошо разработаны асимптотические методы в задачах нелинейной механики [299], в механике газа и жидкости [55], [32], в нелинейных задачах теории стержней, пластин и механических колебаний [113], в задачах теплопроводности и термоупругости [117], [103], в задачах тепловой теории зажигания [219, 220]. Большое значение для развития асимптотических методов оказали работы А.Х. Найфэ [216], А.Б. Васильевой, В.Д. Бутузова [57, 58], А.В. Ломова [136]. Первые идеи применения асимптотического метода в задачах сопряжения были изложены в работах A.M. Гришина, В.М. Фомина [77] при исследовании механики реагирующих сред и В.И. Зинченко [104] - при изучении темпломассообмена с учетом химических реакций при осесимметрическом характере течений в пограничном слое, возникающем в набегающем потоке газа. Разрабатываемая в работе модификация асимптотического метода развивает идеи работ А.И. Филиппова [277, 278, 279, 296, 297, 298].

В силу вышеизложенного, работа состоит из четырех тесно взаимосвязанных глав. В первой главе рассматриваются теоретические основы асимптотических методов и особенности применения метода в задачах сопряжения; вторая глава посвящена исследованию процессов тепло- и массоперено-са при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты; в третьей главе изучаются температурные поля, инициированные химическими реакциями в пористом пласте; в четвертой - температурные поля в скважинах. Асимптотические методы представляют теоретическую основу всех задач, представленных в главах 2-4.

Работа посвящена решению указанных выше задач. Она имеет теоретическую направленность, а также содержит примеры практического использования приложений моделей.

Цель работы.

Построение теории взаимосвязанных полей плотностей и температур, инициированных радиоактивным распадом и химическими реакциями в пористой среде и скважине на основе асимптотических методов.

Задачи исследования:

1. Развитие асимптотических методов применительно к задачам сопряжения, возникающим в теории тепло- и массопереноса и исследование температурных полей в скважине и пластах при закачке растворов радиоактивных и химически активных веществ.

2. Построение точных в среднем решений взаимосвязанных многослойных задач сопряжения, описывающих поля температуры и концентраций при закачке растворов радиоактивных веществ в глубокозалегающие горизонты в нулевом и первом приближениях. Определение безразмерных комплексов, определяющих процессы тепло- и массопереноса в таких условиях.

3. Исследование пространственно-временных распределений температуры и концентраций радиоактивных примесей в условиях закачки в пласт с целью захоронения. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и известными результатами; разработка рекомендаций по улучшению технологии захоронения.

4. Построение математических моделей, описывающих взаимосвязанные поля температуры и концентрации раствора кислоты в жидкости при кислотной обработке карбонатосодержащих пластов; разработка рекомендаций по практическому использованию результатов расчетов.

5. Анализ вклада различных физических процессов в формирование температурного поля при движении жидких радиоактивных отходов в скважине. Аналитическое описание температурного поля в скважине с учетом радиального профиля скорости; проведение расчетов пространственно-временных распределений температуры для ламинарного и турбулентного потоков течений жидкости в скважине и определение возможных направлений практического использования уточненных моделей в геофизике и нефтегазодобыче. Научная новизна. В работе впервые проведены системные исследования многослойных задач сопряжения скважинной теплофизики асимптотическим методом. Построена теория решения таких задач и приведены ее приложения.

1. Развита модификация асимптотического метода, позволяющая строить приближенные аналитические решения задач скважинной теплофизики, где нулевое приближение совпадает с решением задачи, осредненной по ширине пласта или по сечению трубы (скважины), первое приближение учитывает зависимость от вертикальной координаты (от радиальной координаты в скважине). Построены погранслойные решения, которые расширяющие область применения аналитических выражений, полученных асимптотическим методом, и существенно увеличивают точность расчетов.

2. Построена теория температурных полей, инициированных радиоактивным распадом и химическими реакциями в пористой среде. Обосновано положение о том, что использование термометрии позволяет оценивать эффективность кислотной обработки призабойной зоны пласта и осуществлять контроль за зоной заражения при подземном захоронении радиоактивных отходов.

3. Найдены решения нелинейных задач химической кинетики, возникающих при кислотной обработке пластов; в аналитическом виде для случаев реакции первого и второго порядков построены функции плотности источников для продуктов реакций, входящих в уравнение энергии; определены зависимости плотности кислоты от начальной пористости среды, плотности кислоты от времени и коэффициента скорости реакции, пористости от времени; получены формулы для определения координаты переднего фронта и размеров зоны реакции.

4. Впервые получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена восходящего потока с глубиной как для случая выровненного, так и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотических приближениях.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели полей концентрации и температуры при нестационарной фильтрации радио- и химически активных растворов в пористом пласте и методы их расчета на основе модификации асимптотического метода.

2. Установлено критическое значение коэффициента Генри, равное отношению объемных теплоемкостей скелета и несущей примесь жидкости. При значениях коэффициента Генри меньших критического фронт загрязнения опережает температурный, а при К > Ккр — отстает. В реальных условиях закачки радиоактивных отходов температурный фронт значительно опережает фронт загрязнения.

3. Результаты расчётов пространственно-временных распределений температуры, плотности раствора кислоты и пористости при кислотной обработке пластов.

4. Расчетные асимптотические формулы для температурного поля в скважине, учитывающие произвольное распределение скорости в потоке жидкости, которые в нулевом приближении обеспечивают получение средних значений температуры, а в первом приближении - зависимости температуры от расстояния до оси скважины.

Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими положениями:

- применением в качестве исходных посылок основных законов сохранения и других фундаментальных физических законов;

- соответствием полученных выводов экспериментальным данным и результатам численных расчетов;

- математической строгостью методов решения и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Практическое значение. Построенные решения многослойных задач составляют теоретическую основу новых способов расчета экологической безопасности природных глубокозалегающих объектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленных предприятий.

Полученные аналитические зависимости позволяют произвести оценку эффективности кислотной обработки и выбрать оптимальный режим. Созданы новые методы расчетов полей температуры и концентрации кислоты в фильтрующемся растворе, изученные закономерности могут быть рекомендованы для совершенствования способов исследования скважин и пластов.

Расчет радиальных распределений температуры для ламинарного, турбулентного и произвольного распределения скорости по радиусу открывает перспективы создания новых способов исследования скважин и оптимизации условий теплоотдачи в реальных трубопроводах. Решение основной задачи термокаротажа представляет научную основу для интерпретации данных промысловой геофизики.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 58 работах, из них 21 - в журналах, входящих в перечень изданий ВАК РФ, а также в статьях, в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, отражающих основные результаты диссертации.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав основного содержания, заключения, списка литературы. Работа содержит 396 страниц, 89 рисунка и 333 библиографических ссылок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

VI Международная конференция по математическому моделированию (Херсон, Украина, 2003);

Международная конференция «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», посвященной 75-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПА, Стерлитамак, 2003);

V-й Минский международный форум по тепло и массобмену (Минск, Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова национальной академии наук Беларуси, 2004);

V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004);

Всероссийская научная конференция «Современные проблемы физики и математики» (СФ АН РБ, СГПА, Стерлитамак, 2004);

XVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Кострома, 2004);

VII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, Украина, 2005);

XVIII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Казань, 2005);

Международная научно-техническая конференция «Нефть и газ в западной Сибири» (Тюмень, 2005);

Международная конференция (Воронеж, 2006);

Международная научно-практическая конференция (Ханты-Мансийск, 2006);

Международная конференция «Тихонов и современная математика» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. Секция 5, «Асимптотические методы»; секция 6 «Математическая геофизика»;

VIII Международная конференция по математическому моделированию (Херсон, Украина, 2006);

Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, Сам ГУ, 2007);

IX Международная конференция по математическому моделированию (Украина, Херсон, ХНТУ, 2007);

VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи - Адлер, 2007);

VI-й Минский международный форум по тепло и массобмену (Минск, Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова национальной академии наук Беларуси, 2008);

Девятый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2008);

Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященная 80-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПА, Стерлитамак, 2008);

IX Международная конференция по математическому моделированию (Украина, Херсон, ХНТУ, 2008);

7-я научная конференция «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Украина, г. Алушта, 21-25 сентября 2009) и научных семинарах: лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала Академии наук РБ (руководитель - д.ф.-м.н., проф., чл. корр. АН РБ Сабитов К.Б.) (Стерлитамак 2004 - 2008); кафедры теоретической физики (руководитель - д.т.н., профессор А.И. Филиппов) (Стерлитамак - 2002-2008); кафедр общей и теоретической физики Баш ГПУ им. М. Акмуллы (руководители - д.ф.-м.н., проф. М.А. Фатыхов, д.ф.-м.н., проф. И.А. Фахретди-нов) (Уфа, декабрь 2008 ); по теплофизике Тюменского ГУ (руководитель - д.т.н, проф. Шаранов А.Б.) (Тюмень, февраль 2009); по механике жидкости и газа (руководитель - д.ф.-м.н., проф., чл.-корр. АН РБ Шагапов В.Ш.) (Бирск, февраль 2009); института теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН (руководитель - д.ф.-м.н., проф., чл.-корр. РАН С.В. Алексеенко) (Новосибирск, апрель 2009).

Результаты работы конструктивно обсуждались коллективами кафедр математического моделирования (д.ф.-м.н, профессор Кризский В.Н.), прикладной математики и механики (д.ф.-м.н., профессор Гималтдинов И.К.), математического анализа (д.ф.-м.н., профессор Калиев И.А.), общей физики (д.ф.-м.н., профессор Биккулова Н.Н.) Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой. Всем им автор выражает глубокую благодарность.

Автор выражает искреннюю признательность доктору технических наук, профессору Филиппову Александру Ивановичу за внимание к работе и ценные консультации.

В проведении расчетов и обсуждении результатов автора принимали активное участие его ученики: к.ф-м.н. Михайличенко И.Н., к.ф.-м.н. Крупи-нов А.Г. и члены научного семинара к.ф-м.н., доценты Миколайчук О.В., Миколайчук Н.П., Потапов А.А., Минлибаев М.Р., Девяткин Е.М., аспиранты: Иванов Д.В., Гюнтер Д.А., Горюнова М.А., Пестова Н.В., Гатин P.P., Са-лихов Р.Ф., Фаттахов Р.Г., которых также благодарит соискатель.

Особо следует отметить вклад к.ф.-м.н. Ахметовой О.В., и асп. Горю-новой М.А., полученные совместно с ними результаты изложены в главе 4, а также аспиранта Иванова Д.В., совместные результаты с которым отражены во второй главе. Автор отдает себе отчет, что без деятельного участия вышеперечисленных исследователей выполнение работы в представленном объеме вряд ли было бы возможно.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

А, В, С, Е, F,M,

N - вспомогательные функции; а, Ad, At - размерная и безразмерные постоянные радиоактивного распада для диффузионной и температурной задачи соответственно, 1/с; az\,az! а:2, - коэффициенты температуропроводности настилающеаг\,ап аг2 го, пористого и подстилающего пластов в вертикальном * и радиальном направлениях, м /с;

Х,х> А,„, Х.2, коэффициенты темплопроводности настилающего, по

X. X 2 ристого и подстилающего пластов в вертикальном и радиальном направлениях соответственно, Вт/(м-К);

Р. > Р„, > Рп2 плотность пористого, покрывающего и подстилающего пластов, кг/м3; pd, ры, p2d - размерные концентрации примеси в пористом, покрывающем и подстилающем пластах, кг/м ; р7, р^ безразмерные плотности примеси в носителе, скелете; с, С}, с2 - удельная теплоемкость породы в пористом, настилающем и подстилающем пластах, соответственно, Дж/(кг-К);

Д., D\r, D2, - коэффициенты диффузии соответствующих пластов в л

Dz,, D\:, D2= радиальном и вертикальном направлениях, м /с;

8,-у - дельта-символ Кронекера, jj.w - химические потенциалы скелета и воды соответственно рw ) - функция массообмена между скелетом и жидкостью;

Д h - мощность и полутолщина пористого пласта, м;

Кг - коэффициент Генри; л ра - плотность кислоты в растворе, кг/м ; pw - плотность воды, кг/м ; р* - плотность материала скелета, кг/м3; pl5p2 - плотности продуктов реакции СаСЬ и Н2С03 соответственно, кг/м3; L - дифференциальный оператор;

Pd, Pt, Ре - аналоги параметра Пекле для диффузионной и температурной задачи теплопереноса в пласте и скважине соответственно;

R RT - радиусы радионуклидного загрязнения и температурноi го возмущения; р, s параметры преобразования Лапласа-Карсона и Ханкеля; г0 - радиус скважины, м; rd, zd, г, z размерные и безразмерные цилиндрические координа ты, м; iiq> cp.\\q, c\v объемная теплоемкость жидкости, жидкости с раство

- ренными веществами, пласта, материала скелета и воды л соответственно, Дж/(К-м ); L - удельная теплота реакции, Дж/кг;

Т&, Tdi, Т&2, - размерная и безразмерная температура в пористом, на

Т, Т\, Т2 стилающем и подстилающем пластах соответственно,

К;

Т@ - невозмущенная температура Земли, К; х, t - размерное и безразмерное время, с; т, щ , m 1 - эффективная, начальная и максимальная пористость; v - скорость фильтрации, м/с; v' - скорость конвективного переноса загрязнителя в пористом пласте, м/с; w - истинная скорость движения жидкости, м/с; и скорость конвективного переноса тепла в пористом пласте, м/с; sef - коэффициент Джоуля-Томсона, К/Па; в - параметр асимптотического разложения; q ~ размерная и безразмерная функции источников (массы, кг/(с-м3);) тепловыделения за счет химической реакции, Дж/(с-м3);

- коэффициент скорости реакции, 1/с; фазовая проницаемость нефти и водного раствора киоО), АО*) слоты соответственно; к,кх,к2 - стехиометрические коэффициенты;

0,0,,02 - остаточный член асимптотического разложения в пористом, настилающем и подстилающем пластах; М — молярная масса, кг/моль; ju0, juw ~ вязкость нефти и водного раствора кислоты соответственно, Па-с;

T]ef ~ эффективный адиабатический коэффициент, К/Па;

Uef - эффективная скорость конвективного переноса тепла, м/с;

X ~ относительная объемная теплоемкость;

2 00 f \ И'

V 71 10,

1, а < х < Ъ, а > х, х < Ъ. X

Индексы: а - кислота; d - размерный (dimension); / - порядковый номер; liq — жидкость; о — нефть (oil); p.liq - пористая среда, насыщенная жидкостью; г — остаточный; г, z — направления; s — скелет пористой среды; /- флюид; w - вода (water); и - изображение; ф.в — фронт вытеснения.

Штрих в обозначении соответствует переменной интегрирования или производной. Обозначения математических символов - общепринятые.

Выводы по главе 4

В главе осуществлена постановка и в асимптотическом приближении решена задача о температурном поле в жидкости, текущей по скважине, окруженной сплошным массивом с учетом реального профиля скорости потока флюида.

Установлено, что нулевое приближение описывает зависимость средней по сечению скважины температуры от времени и вертикальной координаты, в то время как первое приближение описывает радиальные профили температуры. Оценка остаточного члена показывает, что нулевое и первое приближения достаточны для детального расчета температуры в скважинах.

Рассмотрены практически важные частные случаи задачи: 1) основная задача термокаротажа, характеризующийся постоянным профилем скорости течения жидкости в скважине; 2) случай постоянных вертикальных градиентов температуры, соответствующий малодебитным скважинам; 3) плоский профиль скорости в поле постоянных вертикальны градиентов.

Анализ проведенных численных расчетов приводит к следующим выводам.

1. Получены решения, позволяющие учесть вклад температурных сигналов пласта в температурное поле в скважине. С увеличением времени зона влияния температурного сигнала пласта по z возрастает и составляет Z = 0.25 при t — 0.3, 0.75 - при t = 1, 1 - при t — 1.5. Здесь безразмерная Z = 1 50 м) соответствует характерному размеру зоны исследований по высоте скважины.

2. Прослеживается общая закономерность поведения относительного перепада температуры между стенкой и фиксированной точкой скважины от безразмерного времени заключающийся в том, что перепад температуры при малых временах растет со временем, затем достигает максимума и в дальнейшем уменьшается. Физически это соответствует формированию температурного перепада и последующему его уменьшению, вызванному прогревом окружающей скважину среды, что приводит к закономерному уменьшению теплового потока из скважины в окружающую среду. С увеличением расстояния z от пласта время достижения максимума, как и величина относительного перепада, возрастают. Время достижения максимума не зависит от удаления точки наблюдения до оси скважины. Подход температурного фронта пласта приводит к скачкообразному росту значений температуры в точке и в целом не меняет общей картины.

Установление радиального профиля температуры нефтяного потока в скважине для ламинарного течения происходит за время t < 1, изменения температуры в интервале времени от 1 до 10 не превосходят 20% от полного значения достигаемого эффекта.

3. Получены формулы для расчетов температурных полей для случая, когда мгновенный источник тепла на некотором заданном интервале глубин создает температурную метку прямоугольной формы в движущемся потоке и осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей температурных полей, возникающих при движении меток. Оценены возможности использования температурных меток для исследования технического состояния скважин. В частности показано, что с помощью метки толщиной 1 м может быть исследован интервал глубин около 60 м. С ростом толщины метки исследуемый интервал существенно возрастает.

Решения, построенные для произвольного профиля скорости, при малых временах не позволяют построить физически разумных расчетных формул. Указанный недостаток решения устраняется построением погранслойных функций.

Сравнение решений, полученных при различных допущениях указанных выше, позволяет заключить, что профиль скорости слабо влияет на радиальные распределения относительной температуры. Абсолютное значение перепада температуры между стенкой и осью скважины больше для ламинарного потока, чем для турбулентного; профиль температуры является наиболее выровненным в центре турбулентного потока, а максимальные значения градиента наблюдаются в зоне, приближенной к стенке.

Установление температуры не превышает четверти длины скважины (z <0.25), а в остальной зоне глубин с большой точностью реализуется режим постоянных вертикальных градиентов температуры.

Сравнение решения о температурном поле в скважине с экспериментальными данными, нулевого приближения — с решениями других исследователей, показывает удовлетворительное согласие результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научные материалы, изложенные в диссертации, представляют собой единую теорию исследования полей температуры и плотности при фильтрации растворов в пористом пласте, а рассмотренная модификация асимптотического метода является достаточно общей и обеспечивает построение точного в среднем аналитического решения задач подземной термо- и гидродинамики. -Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем: Развита модификация асимптотического метода, позволяющая получить приближенные аналитические решения задач скважинной теплофизики. Нулевое приближение совпадает с решением задачи, осредненной по ширине пласта или по сечению трубы (скважины). При построении решения задачи для первого коэффициента использование нелокального граничного условия, заключающегося в том, что его средние значения на оси равны нулю. Это обеспечивает построение точного в среднем асимптотического решения, означающего, что при этом решение задачи для остаточного члена, осредненной по высоте пласта, является тривиальным. Аналогично, для получения точного в среднем асимптотического решения в задаче о температурном поле в скважине, достаточно потребовать, чтобы среднее значение первого коэффициента обращалось в ноль на границе z = 0. Погранслойные решения расширяют область применения аналитических выражений, полученных асимптотическим методом, и существенно увеличивают точность расчетов.

На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионного и температурного фронтов установлено, что температурный фронт опережает диффузионный, и радиус зоны загрязнения как минимум в несколько раз меньше радиуса температурных возмущений. В свою очередь температурный фронт отстает от фронта распространения жидкости, что приводит к образованию зоны очищенной от загрязнителя воды. Замечательно, что размеры этой зоны растут с увеличением коэффициента Генри, что может служить ориентиром для выбора объектов при захоронении радиоизотопов, удовлетворяющих более высоким экологическим требованиям. При этом следует учесть, что тем сильнее сорбционные свойства пласта, тем выше значения температурных аномалий, вызванных распадом радионуклидов. Положение максимума температурных аномалий регулируется скоростью закачки отходов.

С использованием модификации асимптотического метода построена математическая модель, описывающая взаимосвязанные поля температуры и концентрации раствора кислоты в жидкости, текущей по проницаемому пласту, окруженному непроницаемой средой, при химическом воздействии на нефтяные и газовые карбонатосодержащие коллекторы нефти и газа.

Произведен анализ физических процессов, происходящих при закачке кислоты в карбонатосодержащий пласт, осуществлена математическая постановка задачи о температурных процессах при кислотном воздействии с учетом теплоты химических реакций применительно к нефтегазовым пластам для случая, когда различием теплофизических свойств в зоне реакции и остальной области пористого пласта пренебрегается.

Найдены решения нелинейных задач химической кинетики, возникающие при кислотной обработке нефтяных пластов, в аналитическом виде для случаев реакции первого и второго порядков построены функции плотности источников для продуктов химических реакций, входящие в уравнение энергии; получены зависимости плотности кислоты от пористости среды, плотности кислоты от времени и коэффициента скорости реакции, пористости от времени. Определены время подхода фронта кислоты к данной точке коллектора и время возникновения заднего фронта зоны реакции. Установлена немонотонная зависимость размеров зоны реакции от положения переднего фронта.

Сопоставление расчетных теоретических зависимостей с результатами экспериментальных скважинных показывает их хорошее согласие. На основании сопоставления показано, что нулевое приближение описывает величину температурных эффектов в пластах с точностью, достаточной в большинстве практических случаев, а детальное распределение температуры требует использования первого коэффициента разложения.

На основе разработанной теории и анализа экспериментальных кривых показано, что использование термометрии позволяет оценивать эффективность солянокислотной обработки призабойной зоны пласта. Полученные результаты открывают новые перспективы совершенствования технологии воздействия и контроля за процессом кислотной обработки на основе измерения температуры.

Впервые получены решения задач о температурном поле в стволе действующей скважины, учитывающие изменения теплообмена потока с глубиной как для случая выровненного, так и произвольного профиля скорости в зависимости от радиальной координаты в нулевом и первом асимптотических приближениях. Построенные решения представляют основу для разработки новых методов расчетов температурных полей, возникающих в скважине при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты.

1. Bachmat Y and Bear J. Mathematical formulation of transport phenomena in porous media. Proc. 1.t. Symp. of IAHR on the Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, Guelph, Canada. 1972. - P. 174-197.

2. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. New York: American Elsevier publ. со. 1967.-764 pp.

3. Bear J. Hydraulics of groundwater. New York etc.: McGraw-Hill intern, book со., cop. 1979. XIII. 567 pp.

4. Bear J. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media / J. Bear, Y. Bachmat/Dordrecht et al.: Kluwer. 1990. 533 pp.

5. Brooks R.H. and Corey A.T. Properties of porous media affecting fluid flow. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 92 (IR2). 1966. P. 61 - 87.

6. Filippov, A.I. The use of a small parameter method to solve problems of con-vective diffusion / A.I. Filippov, O.I. Korkeshko, P.A. Chiganov // Russ. J. Eng. Thermophys. 1999. Vol. 9. No. 3. - P. 161 - 182.

7. Fredd, C.N. Optimum Conditions for Wormhole Formation in Carbonate Porous Media: Influence Transport and Reaction / C.N. Fredd, H.S. Fogler // SPE Journal. September 1999. - 4. - № 3. - C. 196 - 205.

8. Gershon, N.D. Effects of boundary conditions of models on tracer distribution in flow through porous mediums. / N.D. Gershon, A. Nir / Wat. Resour. Res., 5 (4), 1969.-P. 830-839.

9. Grosswig, S. Distributed Fiber-optic Temperature Sensing Technique (DTS) for Surveying Underground Gas Storage Facilities / S. Grosswig, E. Hurtig, K. Kuhn, F. Rudolph // Oil Gas European Magazine. 2001. 4. - P. 1 - 4.

10. Harmsen T.W., A model for evaluating the threedimensional groundwater dividing between a contaminant source and a partially penetrating water-supply well / J.C. Converse, M.P. Anderson et al // J. Of Contaminant Hydrol. 1991. V. 8.-Pp. 71-90.

11. Hornung U. Micro-structure models of diffusion in fissured media / R.E. Showalter, U. Hornung, N.J. Walkington //J. Math. Anal. And Appl. 1991. V. 155. № l.-P. 1-20.

12. Hugh D. Murphy. Enhanced interpretation of temperature surveys taken during injection or production // J. Petrol. Technol. 1982. V. 34. - № 6. - 1313 - 1326 Pp.

13. Lauwerier H.A. The transport of heat in an oil layer cansed by injection of hot fluid. // Appl. Sci. Res., Martinus Nijhol Publisher, The Hague (1955). V. 5. -Section A. Nu. 2, 3. - P. 145 - 150.

14. Mikhailov, P. Asymptotic soliton of the temperature field in a well with accout for the radial-velocity distribution / A. Filippov, P. Mikhailov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2005. - V. 78. - № 4. - P. 87 - 90.

15. Mikhailov, P. Construction of on tht Avtrage Exact Asimptotic Soliton of Prolem on Radial Distribution of Temperature Field in a Well / A. I. Filippov, O. V. Akhmetova, M. A. Goryunova // High Temperature. 2008. - Vol. 46. - No. 3. -P. 406-414.

16. Mikhailov, P. Temperature Field in Oil-Gas Beds Exposed to the Action of an Acid / A. Filippov, K. Filippov, R. Bagautdinov, A. Potapov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2005. - V. 78. - № 2. - P. 256 - 271.

17. Parlange, J.Y. On solving the nonlinear diffusion equation a comparison of perturbation, iterative and optimal techniques for an arbitrary diffusivity / J.Y. Parlange, D.K. Babu / Wat. Resour. Res. 1977. - 13 (1). - P. 213 - 214.

18. Philip J.R. Flow through porous media. Ann. Rev. Fluid Mechan. 1970. 2. -P. 177-204.

19. Prakash A. Radial dispersion through adsorbing porous media. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 102 (HY3). 1976. P. 379 - 396.

20. Scheidegger A.E. General theory of dispersion in porous media. J. Geophys. Res., 66, 1961. P. 3273 - 3278.

21. Shimamura H. Precision quarts themometers for borehole observations // Journal Phys. of the Earth, 1980. T. 28. -Nu. 3. - P. 243 - 260.

22. Stejfensen, R.J. The importance of Joule Thomson Heating (or Cooling) in temperature log interpretation / Steffensen R.J., Smith R.G. / Paper SPE 4636 presented at the SPE 48-th Annual Meeting. Las Vegas. Sept. Oct. 1973.

23. Swing R.E. Simulation techniques for multicomponent flows // Commun. Appl. Numer. Meth. 1988. V.4. - № 3. - P. 335 - 342.

24. Verruijt A. Steady dispersion across an interface in a porous medium. J. Hy-drol, 14, 1971.-P. 337-347.

25. Ward J.C. Turbulent flow in porous media. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 90 (HY5), 1964.-P. 1-12.

26. Wasow W. Asymptotic solutions of bondaryvalue problems for the differential eguation An + Xux= Xf(x,y). Duke Math. J. 1944. - 11. - P. 405 - 411.

27. Авдонин H. А. О некоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при тепловой инжекции // Изв. вузов. Нефть и газ. 1964. — № 3. С . 5 - 10.

28. Адиутори С.Ф. Новые методы в теплопередаче. — М.: Мир. 1977. 220 с.

29. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции.— М.: Наука. 1984.-384 с.

30. Баратаев, Р.Г. Асимптотические методы в механике газа и жидкости / Р.Г. Баранцев, В.Н. Энгельгарт JL: ЛГУ. 1974. - 124 с.

31. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик М.: Недра. 1984. - 211 с.

32. Бармин, А. А. О фильтрации раствора в пористой среде с учётом адсорбции примеси на скелет / А. А. Бармин, Д. И. Гарагаш // Механика жидкости и газа. 1994. № 4. - С. 97-110.

33. Баширов, В.В. Неизотермическая фильтрация жидкости и газа в пористой среде и задачи увеличения нефтеотдачи пластов тепловыми методами / В.В. Баширов, Г.Т. Булгакова, Р.Ф. Шарафутдинов Уфа: БГУ. 1988. - 96 с.

34. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Серия: «Справочная математическая библиотека» / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука. 1966.-296 с.

35. Белицкий, А.С. Охрана поземных вод от радиоактивных загрязнений / А.С. Белицкий, Е.И. Орлова М.: Медицина. 1969. - 209 с.

36. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука. 1974. - с.

37. Бондарев, Э. А. Конвективная диффузия в пористых средах с учётом явления адсорбции / Э. А. Бондарев, В. Н. Николаевский // ПМТФ. 1962. № 5. С. 128 - 134.

38. Бочевер, Ф.М. Защита подземных вод от загрязнения / Ф.М. Бочевер, Н.Н. Лапшин, А.Е. Орадовская. М.: Недра. 1979. - 254 с.

39. Буевич, А.С. А.с. 953196 СССР. МКИЗ Е 21 В 47/06. Способ исследования нефтяных скважин / А.И. Филиппов, Р.А. Валиуллин (СССР). — № 2853730/22-03. Заявл. 17.12.79; Опубл. 23.08.82. Бюл. № 21. 6 с.

40. Буевич, А.С. К явлениям переноса при колебаниях в двухкомпонентной среде / А.С. Буевич, А.И. Филиппов // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. XLVIII. - № 2. - С. 224 - 230.

41. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра. 1974. 232 с.

42. Бурже, Ж. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов / Ж. Бурже, П. Сурио, М. Комбарну. М.: Недра. 1988. - 422 с.

43. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения р.2 А и — k2(x,y)u = f{pc,y) в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения. 1973. 9. — № 9. -С. 1654- 1660.

44. Бутузов В. Ф. Об одном сингулярно возмущенном уравнении параболического типа // Вестн. Моск. ун-та, сер. Вычисл. матем. и киберн. 1978. №2. - С. 49 — 56.

45. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических уравнений // Матем. сб. 1977. 104. №3. — С. 460 — 485.

46. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости — М.: Мир. 1973. 757 с.

47. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1968. — с.

48. Валиуллин Р.А. Термические методы диагностики нефтяных пластов и скважин/ Дисс. . д.т.н. Тверь. 1999.

49. Валиуллин, Р.А. А.с. 1160013 СССР, МКИ4 Е 21 В 47/00. Способ исследования технического состояния скважин / А.Ш. Рамазанов, А.С. Буевич, И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов и др. (СССР)/ №3507233/22-03. Заявл. 03.11.82; Опубл. 07.06.85. Бюл. № 21. 6 е.: ил.

50. Валиуллин, Р.А. А.с. 1364706 (СССР) Способ термометрических исследований скважин / А.Ш. Рамазанов, А.И. Филиппов, Р.Т. Булгаков и A.M. Ершов (СССР). -№ 4045171/22-03; Заявл. 28.03.86; Опубл. 07.01.88. Бюл. № 1, 4 с.

51. Валиуллин, Р.А. Методические рекомендации по термическим исследованиям скважин / В.Ф. Назаров, А.И. Филиппов и др. Уфа: Баш. ГУ. 1989. - 167 с.

52. Валиуллин, Р.А. Термические исследования скважин в условиях многофазного потока / А.Ш. Рамазанов, Р.Ф. Шарафутдинов // В материалах Китайско-российского симпозиума по геофизическим исследованиям скважин. — Шанхай, 2-3 ноября 2003 г. С. 188 - 191.

53. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Перевод с англ. В. А. Смирнова. Под ред. А. А. Никольского М.: Мир. 1967. - 426 с.

54. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука. 1972. - 720 с.

55. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возму-щенний / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузова. М.: Высш. шк. 1990. - 208 с.

56. Васильева, А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузова. М.: МГУ. 1978. - с.

57. Вахитов, Г.Г. Геотермические методы контроля за разработкой нефтяных месторождений / Г.Г. Вахитов, Ю.П. Гатенберг, В.А. Лутков. М., 1984. - 240 с.

58. Вахитов, Г.Г. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта / Г.Г. Вахитов, O.JI. Кузнецов, Э.М. Симкин. М.: Недра. 1978. - 216 с.

59. Венецианов, Е. В. Динамика сорбции из жидких сред / Е. В. Венецианов, Р. Н. Рубинштейн.- М.: Наука. 1983.- 237 с.

60. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1981.-512с.

61. Власова, Е.А. Приближенные методы математической физики / Е.А. Власова, B.C. Зарубин, Г.Н. Кувыкин: Учеб. для вузов. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001.-700 с.

62. Волков И. К. К расчёту двухмерного температурного поля пласта при заводнении с учётом дроссельного эффекта // Сб. Вопросы экспериментальной геотермологии. Казань: КГУ. 1973. - С. 10-14.

63. Волков И. К. О некоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при нагнетании в него воды с учётом дроссельного эффекта (плоскопараллельная фильтрация) // Сб. Вопросы экспериментальной геотермологии. Казань: КГУ. 1973. - С. 3-9.

64. Волков И.К. О некоторых формулах для расчета температурных полей в нефтяных пластах //Труды МВТУ. М.: МВТУ. 1977. - Т. 256. - С. 56 -57.

65. Гаврина, Т.Е. Теоретическое решение задачи восстановления температурного поля в скважине / Т.Е. Гаврина, A.JI. Поляченко / Всесоюзн. научно-исслед. ин-т ядерной геофизики и геохимии. М., 1984. — 10 с.

66. Герасимов Я. И. Курс физической химии М.: Химия. 1970 - 592 с.

67. Герасимов, Я. И. Термодинамика растворов / Я. И. Герасимов, В. А. Гей-дерих.-М.: МГУ. 1980. 183 с.

68. Годунов С. К. Уравнения математической физики М.: Наука. 1971. - 416 с.

69. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды М.: Наука, 1978. -304 с.

70. Горбунов, А. Г. Щелочное заводнение / А. Г. Горбунов, JI. Н. Бученков. — М.: Недра. 1989.

71. Государственная программа Российской Федерации по радиационной реабилитации Уральского региона и мерах по оказанию помощи пострадавшему населению на период до 1995 года. Москва. 1993.

72. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Наука. 1963. - 426 с.

73. Гребенников, Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. Наука. 1979. - 185 с.

74. Гришин, A.M. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред / A.M. Гришин, В.М. Фомин. Новосибирск: Наука. 1984. — 318 с.

75. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. -М.: Наука. 1978.- 128 с.

76. Гусейн-Заде, М.А. Особенности дроссельной температуры в пористой среде / М.А. Гусейн-Заде, А.К. Колосовская // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1967. №2.-С. 73-78.

77. Дворкин, И.Л. А.с. 796399 СССР. МКИЗ Е 21 В 47/10. Способ оценки характера насыщенности пласта / А.И. Филиппов, А.С. Буевич, А.Ш. Рамазанов, Л.Л. Пацков (СССР)/ № 273871/22-03. Заявл. 11.03.79; Опубл. 15.01.81. Бюл. № 2. -4 с.

78. Дворкин, И.Л. О влиянии калориметрического смешивания различных жидкостей на распределение температуры в действующей скважине / И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов, С.И. Беляков // Нефтяное хозяйство. 1975. ~ С. 43-46.

79. Дворкин, И.Л. О влиянии среды, заполняющей скважину, на результаты измерений теплового поля Земли / И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов, Б.Я. Ладыжинский // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1979. № 8. С. 100 - 104.

80. Дворкин, И.Л. О возможности выявления высоконапорных пластов в эксплуатационных скважинах методом высокочувствительной термометрии / И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов, В.М. Коханчиков, В.В. Труфанов // Нефтепромысловая геофизика. Уфа, 1976. В. 6. — С. 86-90.

81. Дворкин, И.Л. Опыт применения термометрии для выявления различия пластовых давлений / И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов, В.М. Коханчиков // Нефтегазовая геология и геофизика. Сер. ЭИ. 1975. — № 15.-С. 10-13.

82. Дворкин, И.Л. Особенности термометрии при исследовании обводнения перфорированных интервалов в процессе эксплуатации / И.Л. Дворкин, А.И. Филиппов, В.М. Коханчиков, В.В. Труфанов // Нефтяное хозяйство. 1976. № 8. С. 42 44.

83. Дворкин, И.Л. Оценка пластовых давлений по замерам температуры в эксплуатирующихся нефтяных скважинах / И.Л. Дворкин, А.С. Буевич, А.И. Филиппов // Проблемы физики и гидродинамики нефти и газа. Уфа: Баш ГУ. 1975.-С. 102- 106.

84. Дворкин, И.Л., Особенности термометрии при исследовании низкодебит-ных скважин и выявлении слабых притоков / Ю.Н. Кухаренко, А.И. Филиппов и др.// Нефтепромысловое дело. 1975. № 10. С. 18 - 20.

85. Дворкин, И.Л., Термометрия действующих нефтяных скважин: Пособие по методике измерений и интерпретации /А.С. Буевич, А.И. Филиппов и др. БашГУ. Уфа, 1976. 80 с. Деп. вВНИИОЭНГ 18.09.86. -№ 305. 89 с.

86. Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. М.: Наука. 1974. - 382 с.

87. Диткин, В. А. Операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников,- М.: Высшая школа. 1975. — 383 с.

88. Диткин, В. А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Диткин, А. П. Прудников,-М.: Высшая школа. 1965. — 465 с.

89. Дмитриев В.И. О математической модели палеоклимата и методе его реконструкции по скважинным измерениям. — М.: МАКС Пресс. 2000. — 23 с.

90. Дмитриев, В.И. О восстановлении среды итерационно-асимптотическим методом / В.И. Дмитриев, Д.А. Дмитриев, А.С. Барашков // В трудах «Прикладная математика и информатика». 1999. № 2. - С. 18 — 32.

91. Довгополюк, И.М., А.с. 1408061 СССР. МКИ4 Е 21 В 47/06. Способ термического зондирования проницаемых пластов / И.А. Фахретдинов, А.И. Филиппов (СССР). -№ 4111501/22-03. Заявл. 01.09.86; Опубл. 02.07.88. Бюл. №25.-4 с.

92. Дьяконов, ДМ. Определение и использование тепловых свойств горных пород и пластовых жидкостей нефтяных месторождений / Д.М. Дьяконов, Б. А. Яковлев. М.: Недра. 1969. - 116 с.

93. Жемжуров, М.Л. Аналитическая модель миграции радионуклидов в пористых средах / Г.З. Серебряный // ИФЖ. 2003. Т. 76. - № 6. - С. 146 - 150.

94. Жемжуров, М.Л. Двумерная конвективная диффузия радиоактивной примеси с учетом сорбции в пористой среде / Г.З. Серебряный // ИФЖ. 2008. -Т. 81.- №3.-С. 417-420.

95. Зайцев В.М. Дроссельное температурное поле трещиноватого пласта при движении несжимаемой жидкости // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1973. — № 10.-С. 59-64.

96. Зельдович Я. Б. Химическая физика и гидродинамика М.: Наука. 1980 - 479 с.

97. Зельдович Я. Б. Элементы математической физики. М.: Наука. 1973 .-351 с.

98. Зельдович Я.Б. Точное решение задачи диффузии в периодическом поле скорости и турбулентная диффузия // ДАН СССР. 1982. Т. 266. - № 4. - С. 821 -826.

99. Зино, И.Е. Асмптотические методы в задачах теплопроводности и термоупругости / И.Е. Зино, Э.А. Троп. Л.: ЛГУ. 1978. - с.

100. Зинченко В.И. Математическое моделирование сопряженных задач тепломассообмена. Томск: ТГУ. 1985. - 221 с.

101. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений краевых задач. -М.: Наука, 1989,- 336 с.

102. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ. 1979. - 288 с.

103. Кайдыров А.И. Конвективный тепломассоперенос при течении нелинейно-вязких сред / Дисс. . к.т.н. Казань. 2008.

104. Каплан А.Г. Термогидродинамические работы И.А. Чарного / В сб. научн. трудов «Нефтегазовая гидромеханика». В. 28. М. 1991. - С. 173 - 178.

105. Каримов, М.Ф. Расчет поля концентраций твердой и жидкой фаз при фильтрации химически активной жидкости / М.Ф. Каримов, Р.К. Мухамет-шин // Механика жидкости и газа, 1985. № 2 - С. 78-81.

106. Карслоу, Г. Теплопроводность твёрдых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука. 1964.-488 с.

107. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Наука. 224 с.

108. Каюк Я. Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. — Киев: Наукова думка. 1980. 166 с.

109. Кедровский, O.JI. Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов / О.Л. Кедровский, А.И. Рыбальченко, М.К. Пименов и др. // Атомная энергия. 1991.-Т. 44.-В. 2.-С. 61-65.

110. Кейс В.М. Конвективный тепло- и массообмен. М.: Энергия. 1972. — 448 с.

111. Кичатов Б.В. Моделирование процессов гидродинамики и теплообмена при взаимодействии двухфазных потоков с пористой средой. Дисс. . д.т.н. — М. 2000.

112. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Наука. 1975.-227 с.

113. Коллинз Р. Течение жидкости через пористые материалы.- М.: Мир. 1964.-350 с.

114. Корсакова Н.К. Численное моделирование переноса консервативных и неконсервативных примесей в пористой среде // Водные ресурсы. 1996. Т. 23. № 6. - С. 672 - 678.

115. Котятов Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов. — М.: Недра, 1977.-287 с.

116. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир. 1972.-342 с.

117. Кудинов, В.И. Интенсификация добычи вязкой нефти из карбонатных коллекторов / В.И. Кудинов, Б.М. Сучков. М: Недра. 1994. - 239 с.

118. Кудинов, В.И. Методы повышения производительности скважин / В.И. Кудинов, Б.М. Сучков. — Самара: Кн. изд-во. 1996. 411 с.

119. Кузнецов Д.С. Специальные функции М.: Высшая школа. 1965. - 420 с.

120. Кучминская Л.И. О задачах сопряжения для уравнений эллиптико-параболического типа// Общая теория граничных задач: Сб. научн. трудов. — Киев: Наукова думка. 1998. С. 276.

121. Кучумов, Р.Я. Моделирование профилей температуры и давления в добывающей скважине / Н.В. Иванова // Нефть и газ. 2007, № 6. С. 26 - 31.

122. Ладыженская, О. А Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева — М.: Наука. 1967. -736 с.

123. Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц.— М.: Гостехиздат. 1954. 795 с.

124. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 1. Т. 5: Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М.: Наука. 1988. - 736 С.

125. Ландау, Л.Д. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука. 1964.

126. Лебедев А.В. Оценка баланса подземных вод. М.: Недра. 1989. - 178 с.

127. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения.— М.-Л.: Физмат-гиз. 1963.-358 с.

128. Ломов А.В. Введение в общую теорию сингулярных возмущений М.: Наука. 1981.-400 с.

129. Лукнер, Л. Моделирование миграции подземных вод / Л. Лукнер, В.М. Шсстаков. М.: Недра. 1986. - 209 с.

130. Лыков А.В. Сопряженные задачи конвективного теплообмена / Проблемы теплофизики и массообмена. Минск: Наука и техника. 1976. — С. 83 - 98.

131. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия. 1972. - 560 с.

132. Лялъко, В.PL Исследование процессов переноса тепла и вещества в земной коре / В.И. Лялько, М.М. Митник. Киев: Наукова думка. 1972. - 234 с.

133. Мажорова, О. С. Об одной краевой задаче для системы параболических уравнений / О.С. Мажорова, Ю.П. Попов, А.С. Сахарчук / Препринт № 107, 1996, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. 20 с.

134. Малофеев, Г. Е. Исследование распространения тепла в пласте при радиальном течении горячей жидкости / Г.Е. Малофеев, JI.A. Толстов, А. Б. Шейнман // Нефтяное хозяйство. 1966. № 8. С. 45 - 52.

135. Мартыненко, О.Г. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена / О.Г. Мартыненко, А.А. Березовский, Ю.А. Со-ковишин. Минск: Наука и техника. 1979. - 325 с.

136. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: МГУ. 1965.-553 с.

137. Мехтиев, Ш.Ф. Геотермические исследования нефтяных и газовых месторождений / Ш.Ф. Мехтиев, А.Х. Мирзаджанзаде, С.А. Алиев. — М.: Недра. 1971.-216с.

138. Мироненко В.А. Динамика подземных вод. М.: Недра. 1983. - 422 с.

139. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука. 1983.-424 с.

140. Михайлов, П.Н. Асимптотическое решение задачи о подземном захоронении радиоактивных отходов / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, Д.А. Гюнтер, Д.В. Иванов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. XI. -№2(34).-С. 124- 138.

141. Muxaimoe, П.Н. Моделирование взаимосвязанных процессов тепло- и массопереноса при подземном захоронении радиоактивных отходов / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, Д.А. Гюнтер, Д.В. Иванов // Вопросы атомной науки и техники, 2008.-№2.-С. 83-91.

142. Михайлов, П.Н. О построении асимптотического решения в задачах сопряжения / А.И. Филиппов, Д.А. Гюнтер, Д.В. Иванов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. — № 11. — С. 2046 - 2057.

143. Михайлов, П.Н. Основная задача термокаротажа / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова // Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. -№ 5. - С. 747-755.

144. Михайлов, П.Н. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. - В. 3С. 595 - 596.

145. Михайлов, П.Н. Поля концентрации радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, Д.А. Гюнтер, Д.В. Иванов // Инженерно-физический журнал. 2008. Т. 81. - № 5 - С. 912 - 923.

146. Михайлов, П.Н. Поля температуры в скважине с учетом радиального профиля скорости / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова, К.А. Фи1 липпов // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник. Часть 2. Уфа: Баш. ГУ. 2004. - С. 101 - 119.

147. Михайлов, П.Н. Приближенное аналитическое решение задачи о температурном поле в скважине / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова // Матем. вестник Волго-Вятского региона. В. 6. — Киров: Вят. ГГУ. 2004. — С. 100- 109.

148. Михайлов, П.Н. Радиальное распределение температурных полей в скважине / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова // Нефть и газ Западной Сибири. Материалы международной научно-технической конференции. Т. 1.-Тюмень. 2005.-С. 90-91.

149. Михайлов, П.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко, А.Г. Крупинов // Экологические системы и приборы. 2006.-№ 5.-С. 27-33.

150. Михайлов, П.Н. Температурное поле в действующей скважине / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VII. - №1(17). - С. 135 - 144.

151. Михайлов, П.Н. Температурное поле в изолированном пласте при фильтрации реального газа. / Л.Ф. Халимов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15. - В 5. - С. 907 - 908.

152. Михайлов, П.Н. Температурное поле в скважине с учетом профиля течения флюида / П.Н. Михайлов, А.И. Филиппов, О.В. Ахметова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14. - В. 4. - С. 731 - 732.

153. Михайлов, П.Н. Температурное поле в скважине с учетом радиального профиля скорости в асимптотическом приближении / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов // Инженерно-физический журнал. 2005. Т. 78. - №4. - С. 87 - 96.

154. Михайлов, П.Н. Температурные поля при закачке водных растворов радиоактивных примесей в подземные горизонты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004.-Т. 11.-В. З.-С. 597-598.

155. Михайлов, П.Н. Температурные поля при кислотной обработке нефтяных пластов / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, Н.В. Пестова, А.Г. Крупинов // Теоретические основы химической технологии. 2008. Т. 42. - № 5. — С. 570 — 578.

156. Михайлов, П.Н. Температурные поля при кислотном воздействии на нефтегазовые пласты / А.И. Филиппов, К.А. Филиппов, А.А. Потапов, Р.Н. Бага-утдинов // Инженерно-физический журнал, 2005. Т. 78. — №2. - С. 51 — 64.

157. Михайлов, П.Н. Уточненное аналитическое решение основной задачи термокаротажа / А.И. Филиппов, М.А. Горюнова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. — Т. 15. — В 5. С. 906 — 907.

158. Михайлов, П.Н. Физические процессы в действующей скважине / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, К.А.Филиппов // Инженерная физика. 2004. №2. - С. 41 — 46.

159. Михайлов, П.Н. Фильтрационно-волновой нагрев нефтяного пласта / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, А.С. Хисматуллин // Инженерная физика. 2006. — №5.-С. 13-21.

160. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука. 1969.-345 с.

161. Мошинский А. И. Граничное условие «Тепловая ёмкость» как предельное соотношение // ИФЖ. 1991. Т. 61. № 3. С. 458 - 466.

162. Мошинский А. И. О граничных условиях типа тепловой ёмкости в задачах теплообмена // ТВТ. 1989. Т. 27. - № 4. - С. 70 - 78.

163. Мошинский А. И. Об уточнении условия типа "Тепловая ёмкость", применяемого в задачах тепломассопереноса // ТВТ. 1997. Т. 35. № 1. С. 160 —162.

164. Мусакаев, Н.Г. Математическое моделирование процесса закачки теплоносителя в межтрубное пространство скважины / В.Ш. Шагапов, Н.Г. Мусакаев // Нефтяное хозяйство. 1996. № 2. С. 29 - 31.

165. Мусакаев, Н.Г. Математическое моделирование работы газонефтяной скважины в условиях мерзлых пород / В.Ш. Шагапов, Н.Г. Мусакаев // Отчет № 74, ТИММС СО РАН, Тюмень. 1993. 63 с.

166. Мусакаев, Н.Г. Численное исследование процессов эксплуатации газонефтяных скважин / В.Ш. Шагапов, Н.Г. Мусакаев // Итоги исследований• ТИММС СО РАН. 1995. № 6. С. 98 - 101.

167. Назаров В.Ф. Термометрия нагнетательных скважин: Автореф. дис. д.т.н. Уфа. 2002. - 34 с.

168. Назаров В. Ф., А.с. 1359435 (СССР). Способ исследования нагнетательных скважин / А.И. Филиппов и др. (СССР)/ № 3898622/22-03. Заявл. 22.05.85; Опубл. 15.12.87. Бюл. № 46. - 5 с.

169. Найфэ А. X Методы возмущений. Перевод с англ. А. А. Меликяна, А. А. Миронова. Под ред. Ф. JI. Черноусько- М.: Мир. 1976. 426 с.

170. НамиотА.Ю. Изменение температуры по стволу эксплуатирующихся скважин // Нефтяное хозяйство. 1955. № 5. С. 45 — 48. '

171. Наумов, Г.Б. Справочник термодинамических величин / Г.Б. Наумов, Б.Н. Рыженко, И.Л. Ходарковский. М.: Атомиздат. 1971. - 267 с.

172. Непрнмеров, Н. II Особенности теплового поля нефтяного месторождения / Н.Н. Непримеров, М.А. Пудовкин, А.И. Марков. Казань: КГУ. 1968. - 164 с.

173. Несененко Г.А. Математическое моделирование нелинейных сингулярно возмущенных нестационарных процессов тепло-массопереноса. Дисс. на соискание учен, степени д.ф.-м.н. М. 2003. — 394 с.

174. Несененко Г.А. Решение задач тепловой теории зажигания реагирующих конденсированных сред «геометро оптическим» асимптотическим методом. 4.1.-М.: «Альфа». 1999.- 139 с.

175. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред.- М.: Наука. 1987. Ч. 1,2.

176. Нигматулин Р. И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред // ПММ. 1971. Т. 35. № 3. С. 451 - 463.

177. Нигматулин Р. И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей//ПММ. 1970. Т. 34. №6. -С. 1097-1112.

178. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред М.: Наука. 1978. — 336 с.

179. Никифоров, А.Ф. Специальные функции математической физики / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. М.: Наука. 1978. - 320 с.

180. Николаевский В. Н. Конвективная диффузия в пористых средах // ПММ. 1959. Т. 23. № 6. С. 1042 - 1050.

181. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред М.: Недра. 1984.-232 с.

182. Николаевский, В. Н. Механика насыщенных пористых сред / В. Н. Николаевский, К. С. Басниев, А. Т. Горбунов, Г. А. Зотов М.: Недра. 1970. - 336 с.

183. Олейник О.А. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа. Матем. сб. 1952. 30. № 3. - С. 695-702.

184. Олфер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М: Наука. 1990. — 528 с.

185. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. — М.: ИЛ, 1960.-320 с.

186. Проселков Ю.М. Теплопередача в скважинах. М.: Недра. 1975. - 224 с.

187. Пудовкин М.А. Теоретические расчёты поля температур пласта при нагнетании в него воды // Вопросы усовершенствования разработки нефтяных месторождений Татарии: Казань: КГУ. - 1962. - С. 62 - 67.

188. Пудовкин, М.А. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении / М.А. Пудовкин, И.К. Волков. Казань: КГУ. - 1978. - 188 с.

189. Пудовкин, М.А. Температурные процессы в действующих скважинах / М.А. Пудовкин, А.Н. Саламатин, В.А. Чугунов. Казань: КГУ. - 1977. - 166 с.

190. Пятницкий, A.JI. Усреднение. Методы и приложения / А.Л. Пятницкий, Г.А. Чечекин, А.С. Шамаев / Белая серия в математике и физике. Т. 3. — Новосибирск. 2007. 264 с.

191. Рамазанов А.Ш. Теоретические основы термогидродинамических методов исследования нефтяных пластов: Автореф. дис. д.т.н. // Уфа. 2004. 34 с.

192. Рамазанов, А.Ш. Температурные поля при нестационарной фильтрации жидкости / А.Ш. Рамазанов, А.И. Филиппов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. № 4. - С. 175 - 178.

193. Риекстыныи Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.1. — Рига: Зинатне. 1974.-390 с.

194. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах.- М.: Недра. 1971.-387 с.

195. Рыбалъченко, А.И. Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов / А.И. Рыбальченко, М.К. Пименов, П.П. Костин и др. М.: ИздАТ. 1994. - 256 с.

196. Сальников В.В. Геотермический режим Южного Урала / Под ред. Я.Б. Смирнова. М., 1984. - 89 с.

197. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной: Курс высшей математики и математической физики / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов — М.: Наука. 1967.-304 с.

198. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике — М.: Недра. 1978. -216с.

199. Седов Л. И. Механика сплошной среды М.: Наука. 1994. Т. 1,2.

200. Селиванов, В.В. Аналитические методы механики сплошной среды / В.В. Селиванов, B.C. Зарубин, В.Н. Ионов М.: МГТУ им. Баумана. 1994. - 384 с.

201. Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин.- М.: Наука. 1982. 488 с.

202. Смирное В.И. Курс высшей математики.- М.: Наука. 1967. Т. 1. - 480 с.

203. Соломен1{ев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учебное пособие для студентов вузов.- М.: Высшая школа. 1988. — 167 с.

204. Спицын В.И., Основные предпосылки и практика использования глубоких водоносных горизонтов для захоронения жидких радиоактивных отходов // Атомная энергия. 1978. Т. 44. - В. 2.

205. Талицкая А.В. Исследования, связанные с захоронением радиоактивных отходов в глубокие геологические формации (на примере лаборатории Гримзель, Швейцария) //Ядерная и радиационная безопасность. 2007. № 1. — С. 12—15.

206. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах // Сб. научн. тр. Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ. 1967. Т. 8. - С. 22 — 36.

207. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский М.: Наука. 1972. - 376 с.

208. Требин, Г.Ф. Нефти месторождений Советского Союза / Г.Ф. Требин, Н.В. Чарыгин, Т.М. Обухова. М.: Недра. 1980. - 583 с.

209. Требин, Г.Ф. Экспериментальное изучение изменения температуры при дросселировании нефти / Г.Ф. Требин, Ю.В. Капырин, В.Н. Петухов// Сб. науч. тр. ВНИИ. В. 49.- М.: Недра. 1974. С. 74 - 80.

210. Треногин В.А. Асимптотика и существование решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1963. - 152. № 1. - С. 63 - 66.

211. Треногин В.А. Краевые задачи для абстрактных эллиптических уравнений. //ДАН СССР. 1966. 170. №5.- С. 1028- 1031.

212. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстер-ника Вишика // УМН. - 1970. 25. № 4 (154). - С. 123 - 156.

213. Федоров К.М. Нестационарная фильтрация при наличии химических реакций с пористой средой // Изв. АН СССР, сер. МЖГ. 1987. №1. С. 82-87.

214. Федорова А.А. Свободная конвекция жидкости и теплообмен в окрестности трубопровода / Дисс. . к.т.н. М. 1985.

215. Ферми Э. Термодинамика / Под ред. М.И. Каганова. — Харьков: Харьковский госуниверситет. — 1969. — 139 с.

216. Фещенко, С.В. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений / С.В. Фещенко, Н.И. Шкиль, Л.Д. Николаенко. — Киев: Наукова думка. 1966.

217. Филатова А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений Ташкент. 1974.

218. Филиппов А. И. Баротермический эффект при переходных режимах работы скважины // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1987. № 9. - С. 49 - 54.

219. Филиппов А.И. Баротермический эффект в неоднородной пористой среде // Физико-химическая гидродинамика: Межвузовский сборник — Уфа: Баш. ГУ. 1987.-С. 109-115.

220. Филиппов А.И. Баротермический эффект в нефтяном пласте // Современные проблемы буровой и нефтепромысловой механики: Межвузовский научно-тематический сборник. -Уфа: Уфимск. нефт. ин-т. 1986. — С. 125 131.

221. Филиппов А.И. Баротермический эффект в сжимаемой пористой среде // Проблемы динамики релаксирующих сред. Сб. научн. тр. Уфа: БФАН СССР. 1987. - С. 76 - 82.

222. Филиппов А.И. О возможности оценки эффективного радиуса зоны разогрева, обусловленной дросселированием жидкости в работающем пласте. // Известия ВУЗов. Сер. Нефть и газ. 1986. № 2. С. 14 -17.

223. Филиппов А.И. Об одной математической модели теплового поля вблизи границы двух различных дросселирующих жидкостей Уфа: БашГУ. 1977. 9 с. Деп. в ВНИИОЭНГ. 18.04.77. № 372.

224. Филиппов А.И. Скважинная термометрия переходных процессов. Дисс. . д-ра техн. наук. Уфа. — 1990. — 419 с.

225. Филиппов А.И. Температурное поле вблизи границы двух различных дросселирующих жидкостей // Инженерно-физический журнал, 1979. Т. 36. -№ 3. - С. 512-516.

226. Филиппов А.И. Теплопроводность при вынужденной конвекции в пористой среде с учетом эффекта Джоуля Томсона // Инженерно-физический журнал. 1976. -Т. 31. - № 1. - С. 42 - 46.

227. Филиппов, А. И. Исследование пространственно-временных распределений концентрации веществ на основе «схемы сосредоточенной ёмкости» / А. И. Филиппов, О. И. Коркешко // Инженерно-физический журнал. 1997. — Т. 70.- №2.-С. 205-210.

228. Филиппов, А. И. Применение «схемы сосредоточенной ёмкости» к экологическим задачам конвективной диффузии / А. И. Филиппов, О. И. Коркешко // Прикладная физика и геофизика: Межвуз. сб. науч. тр.- Уфа: Баш. ГУ. 1995.-С. 124- 130.

229. Филиппов, А.И. Баротермический эффект при фильтрации газированной жидкости / А.И. Филиппов, А.А. Фридман, Е.М. Девяткин. Стерлитамак: СГПИ. 2000.- 175 с.

230. Филиппов, А.И. А.с. 121411 СССР, МКИЗ Е 21 В 47/00. Способ исследования работающих интервалов в скважине / А.Ф. Шакиров, А.И. Парфенов, P.P. Ягафаров (СССР)/ № 3586938/22-03. Заявлено 27.04.83; Опубл. 15.02.86. Бюл. №6.-3 е.: ил.

231. Филиппов, А.И. А.с. 987082 СССР, МКИЗ Е 21 В 47/00. Способ выявления работающих интервалов пласта / Р.Ф. Шарафутдинов (СССР)/ — № 3227885/22-03. Заявл. 29.12.80; Опубл. 07.01.83. Бюл. № 1. 3 с.

232. Филиппов, А.И. Алгоритмы автоматизированной обработки скважинных термограмм на ЭВМ в диалоговом режиме / А.И. Филиппов, Т.Г. Щелчкова // Методические указания. -Уфа: Баш. ГУ. 1989. — 51 с.

233. Филиппов, А.И. Баротермический эффект при периодическом течении жидкостей в нефтяном пласте / А.И. Филиппов, Г.К. Сафарова // Известия вузов, Сер. Нефть и газ. 1987. №11.- С. 54 57.

234. Филиппов, А.И. Диагностика технического состояния скважин при малых закачках / А.И. Филиппов, Б.Н. Зубарев, А.Н. Завьялец // Методические рекомендации. Уфа: Баш ГУ. 1989. - 73 с.

235. Филиппов, А.И. Интерпретация скважинных термограмм / А.И. Филиппов, К.А. Филиппов. Уфа: Гилем. 2004. - 158 с.

236. Филиппов, А.И. Использование термометрии переходных процессов при выявлении нарушений обсадных колонн и цементного кольца / А.И. Филиппов, А.И. Парфенов // Нефтяное хозяйство. 1987. № 1. С. 15-17.

237. Филиппов, А.И. Исследование пространственно-временных распределений концентрации веществ на основе "схемы сосредоточенной ёмкости" / А.И. Филиппов, О.И. Коркешко // ИФЖ. 1997. Т. 70. № 2. С. 205 - 210.

238. Филиппов, А.И. Исследование температурных полей в нефтегазовых пластах при закачке воды на основе метода возмущений / А. И. Филиппов, О. И. Коркешко, П. А. Чиганов // ИФЖ. 2000. Т. 73. № 6. С. 1340 - 1351.

239. Филиппов, А.И. К вопросу о распространении тепловой аномалии, обусловленной дросселированием, в подстилающие пласт породы / А.И. Филиппов, В.Ф. Назаров // Известия ВУЗов. Сер. Нефть и газ. 1974. № 6. С. 51 - 54.

240. Филиппов, А.И. К расчету теплового поля дроссельного элемента установки для изучения эффекта Джоуля — Томсона / А.И. Филиппов, А.Ш. Рамазанов // Инженерно-физический журнал. 1980. Т. 38. № 2. С. 318 - 324.

241. Филиппов, А.И. К теории восстановления температуры после остановки скважины / А.И. Филиппов, А.Ш. Рамазанов, М.А. Пудовкин // Физико-химическая гидродинамика. Уфа: Баш. ГУ. 1983. - С. 128 — 134.

242. Филиппов, А.И. К теории термозондирования нефтяных пластов / А.И. Филиппов, А.Ш. Рамазанов // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1982. № 10. -С. 29-33.

243. Филиппов, А.И. О восстановлении теплового поля пласта после прекращения дросселирования насыщающего флюида / А.И. Филиппов, А.Ш. Рамазанов // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1976. — № 5. — С. 56 — 60.

244. Филиппов, А.И. Об одной задаче, связанной с изучением теплового поля дросселирующей в пласте жидкости / А.И. Филиппов, М.А. Пудовкин. —Уфа: Баш. ГУ. 1977. 10 с. Деп. во ВНИИОЭНГ 18.04.77, № 373.

245. Филиппов, А.И. Особенности теплового поля дроссельного эффекта в пластовых условиях при наличии охлаждения закачиваемой водой / А.И. Филиппов, Р.Ф. Шарафутдинов // Известия вузов. Сер. Нефть и газ. 1982. — № 3. — С. 53 58.

246. Филиппов, А.И. Применение "схемы сосредоточенной ёмкости" к экологическим задачам конвективной диффузии / А.И. Филиппов, О.И. Коркешко // Прикладная физика и геофизика: Межвуз. сб. науч. тр.— Уфа: Баш. ГУ. 1995 — С. 124- 130.

247. Филиппов, А.И. Применение асимптотических методов в температурной задаче о фильтрации газированной нефти в пласте / А.И. Филиппов, С.А. Филиппов // Инженерно-физический журнал. 2004. Т. 77. № 2. — С. 512 — 516.

248. Филиппов, А.И. Термодинамика фильтрационных нефтегазовых потоков / А.И. Филиппов, С.А. Филиппов. Стерлитамак: СГПИ. 2002. - 200 с.

249. Филиппов, К.А. Квазистационарное температурное поле в стволе действующей скважины // Инженерно-физический журнал. 2004. Т. 77. № 2. — С. 512-516.

250. Филиппов А.И. Баротермический эффект в жидкостях. Уфа: Гилем. 2006. - 185 с.

251. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике.- М.: Наука. 1967. 328 с.

252. Френкель Ф. Н. Турбулентная диффузия; распределение средней концентрации в поле однородного турбулентного потока // Проблемы механики: Сб. / Пер. с англ. Изд. иностранной литературы. 1955. 223 с.

253. Фридрихе. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. -М.: Наука.-332 с.

254. Хавкин А.Я. Модель вытеснения нефти в пористых средах // Докл. РАН. 1998. №2.-С. 193- 195.

255. Хасан, А. Исследование малодебитных скважин в России / С.Г. Вольпин, Ю.А. Ьясников, И.Р. Дияшев, У. Джон Ли, А.Н. Шандрыгин, Акрам Хасан // Нефтегазовое обозрение. 1999. С. 4 - 13.

256. Хусаинова, Г.Я. Закачка кислоты в пористую среду с карбонатосодержащим скелетом / В.Ш. Шагапов // Изв. Вузов. Нефть и газ. 2000. № 6. С. 43 - 50.

257. Хуснуллин MX. Геофизические методы контроля разработки нефтяных пластов. М.: Недра. 1989. - 190 с.

258. Цирфас X. Лабораторные исследования теплопроводности осадочных пород / X. Цирфас, Г. Ван дер Влит // Промысловая геофизика. М.: Недра. 1960. №2.-С. 78-95.

259. Чарный И. А. Метод последовательной смены стационарных состояний и его приложение к задачам нестационарной фильтрации жидкостей и газов // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. № 3. С. 323 - 342.

260. Чарный И. А. Подземная гидродинамика. М.: Гостоптехиздат. 1963. - 396 с.

261. Чекалюк Э.Б. Основы пьезометрии залежей нефти и газа. Киев: ГИТЛ УССР. 1965.-286 е.: ил.

262. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра. 1965. - 238 с.

263. Череменский Г.А. Прикладная геотермия. Л.: Недра. 1977. - 224 с.

264. Шагапов В.Ш. Некоторые двухфазные потоки с физико-химическими превращениями / Тезисы докл. VIII Четаевской междун. конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» Казань. 2002. - С. 292.

265. Шагапов, В.Ш. Двухфазное течение в химической технологии / Г.Г.Валявин, Р.И.Нигматуллин, Р.Г.Шагиев/ VI Всесоюзная конференция по моделированию химических процессов и реакторов. // Химреактор. 1997. С. 53 - 60.

266. Шагапов, В.Ш. Математическое моделирование работы газонефтяной скважины в условиях мерзлых пород / Отчет № 74 ТИММС СО РАН, Тюмень. 1993.-69 с.

267. Шагиев Р.Г. Исследование скважин по КВД. М.: Наука. 1998. - 304 с.

268. Шарафутдинов, Р.Б. Моделирование диффузии радионуклидов из приповерхностных хранилищ жидких РАО / Р.Б. Шарафутдинов, О.Н. Ушанова, В.И. Корж // Ядерная и радиационная безопасность. 2008. № 1 (47). - С. 25 - 32.

269. Шарафутдинов, Р.Ф. Тепловое поле эффекта Джоуля—Томсона в условиях охлаждения пластов / Р.Ф. Шарафутдинов, А.И. Филиппов // Известия ВУЗов. Сер. Нефть и газ. 1983. -№ 6. С. 59 - 64.

270. Шаталов В.В. Анализ количественного и качественного состояния накопленных РАО // Бюллетень по атомной энергии. 2002. №7.

271. Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкости через пористые среды. Пер. с | англ.- М.: Гостоптехиздат. 1960. 249 с.

272. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя М.: Наука. 1969. — 742 с.

273. Щелкачее В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режи-: ме. М.: Недра. 1959. - 457 с.

274. ЭрдейиА. Асимптотические разложения. Перевод с англ. Н. Я. Виленкина. 1 -М.: Физматгиз. 1962.

275. Яковлев Б А. Прогнозирование нефтегазоносности недр по данным геотермии. М.: Недра. 1996. - 240 с.

276. Яковлев Б.А. Решение задач нефтяной геологии методами термометрии. -М.: Недра. 1979.-144 с.

277. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. — М.: Наука. 1968.-344 с.