Теоремы о гомотопической инвариантности и этальном вырезании для предпучков с Witt-трансферами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Дружинин Андрей Эдуардович

Теоремы о гомотопической инвариантности и этальном вырезании для предпучков с IV^^трансферами

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Санкт-Петербург - 2014 г.

005554405

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Научный руководитель: чл-кор. РАН, доктор физико-математических наук, профессор Панин Иван Александрович

Официальные оппоненты:

Гордеев Николай Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры ФГБОУ ВПО «Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена»

Попов Сергей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, учитель математики муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения Гимназии №1, г. Самара

Ведущая организация: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 3 декабря 2014 г. в 17.30 часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.02 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук (ПОМИ РАН) по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук, ЬМр/'/'туш.pdmi.ras.ru/

Автореферат разослан « »_2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.02

доктор физ.-мат. наук ^(^^ку^СлОРЫЛ! Андрей Валерьевич Малютин

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Данная диссертация является частью решения задачи по построению триангулированной категории Б\УМ(к), называемой категорией \¥Ш-мот№ов, и доказательству сё основных свойств. Теории когомологий строящиеся по ней будут наделены действием кольца Витта квадратичных пространств над основным полем. Роль и место этой категории видны из следующей гипотетической картинки. Стабильная мотивная гомотопическая категория Воеводского ЗН(к) снабжена естественной инволюцией. Поэтому рационально она разбивается в прямую сумму двух категорий БН(к)+ и ЗН{к)~. Согласно теореме Мореля категория ЗН(к)+ эквивалентна рациональной категории мотивов Воеводского ИМ (к) «2- Ожидается, что категория 5Я(/с)- эквивалентна рациональной категории И'Ш-мотивов М{к)^.

Это одна из причин, почему И.А. Паниным была поставлена задача построить категорию 1УШ-мотивов по образцу конструкции Воеводского для категории мотивов БМ(к). Построить и доказать её основные свойства. Другая причина в том, что должен быть естественный функтор

Я,к : вЩк) ИШМ{к),

который является алгебраическим аналогом функтора вещественной реализации. (Функтор 5Я(/с) —► БМ{к) следует рассматривать как алгебраический аналог функтора комплексной реализации.) Наконец, третья причина в том, что построение ЖгН-мотивов и решение связанных с этим задач — это отличный полигон для изучения оснащенных соответствий Воеводского (здесь многое упрощается, но не все, и возникает возможность нахождения правильных формулировок и методов работы с оснащенными соответствиями).

Недавно выяснилось, что в построении категории 1Уй£-мотивов заинтересован М. Левин (один из главных экспертов по ^-гомотопиям и их приложениям). Кроме того, родственной темой занялись П. Остваер (Норвегия), Ж. Фазель (Швейцария). Наконец, выяснилось, что имеется тесная гипотетическая связь \Vitt-мотивов с линейными оснащенными мотивами из работы Г. Гаркуши и И. Панина.

Цель работы.

Сконструировать категорию Witt-соответствий над полем к, называемую категорией Wor(k). Ввести с её помощью понятие предпучка с Witt-трансферами и понятие пучка Нисневича с Witt-трансферами.

Пройти «половину расстояния» на пути к доказательству теоремы о том, что для гомотопически инвариантного предпучка G с WШ-трансферами ассоциированный пучок Нисневича G~ сам снабжен И'Ш-трансферами и что предпучки когомологий Y i у HvNis(Y, G~) гомотопически инвариантны. Роль этой теоремы в том, что она лежит в основе проверки всех базовых свойств категории DWМ(к) Witt-мотивов, определяемой ниже в этом разделе автореферата.

Показать, что категория SNwittTr(k) пучков Нисневича с Witt-трансферами является абелевой категорией. Определить категорию ZHVМ(к) Witt-мотивов как полную подкатегорию производной категории DSNWittTr(k) абелевой категории SNWittTr{k), состоящую из таких комплексов А', все пучковые когомологии h'{A') которых являются гомотопически инвариантными пучками Нисневича (с Witt-трансферами).

Методы исследований.

Для доказательства свойств предпучков с И'гй-трансфервами использовался принцип, на основе которого Воеводским были доказаны свойства предпучков с трансферами, задаваемыми соответствиями Cor, заключающийся в явном построении некоторых соответствий, которые индуцируют необходимые отображения между группами сечений предпучков. Так, для доказательства свойства инъек-тивности строится соответствие, задающее морфизм с точностью до гомотопии обратный слева к вложению многообразий, а для доказательства изоморфизмов этального вырезания и вырезания на аффинной прямой конструируются соответствия, задающие обратный с точностью до гомотопии морфизм между парами многообразий.

Построение этих соответствий осуществляется методами алгебраической геометрии, а именно, для получения искомых элементов групп Витта, задающих соответствия, использовались специальные согласованные сечения некоторых линейных расслоений на относительных проективных многообразиях и связь групп

Витта с каноническими классами многообразий. Построение требуемых сечений основано на двух принципах: принципа общего положения и принципа продолжения сечения, заданного на замкнутом подмногообразии. Используемые методы подобны тем, что были применены для построения категории мотивов с

тем отличаем, что конструируемые соответствия должны быть наделены согласованными ориентациями, что требует перехода от выбора регулярных функций на аффинных многообразиях к выбору сечений линейных расслоений и обеспечению большей их согласованности, а также некоторым дополнительным деталям.

Основные результаты работы.

• Доказательство того, что пучок, ассоциированный с гомотопически инвариантным предпучком с И'Ш-трансфсрами, является гомотопически инвариантным и имеет IV«¿¿-трансферы.

• Доказательство изоморфизма вырезания по Зарисскому на аффинной прямой для гомотопически инвариантных предпучков с ^¿¿¿-трансферами.

• Доказательство изоморфизма этального вырезания для гомотопически инвариантных предпучков с IV г ¿¿-трансферами.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Данная диссертация является частью решения задачи по построению триангулированной категории 0\УМ(к), называемой категорией ^¿¿¿-мотивов, и доказательству её основных свойств.

Диссертация имеет теоретическую ценность. Публикация [2] уже привлекла внимание таких лидеров в теории А1-гомотопий, как Марк Левин (Германия) и Пол Остваер (Норвегия). Методы, развитые в диссертации, уже использованы для изучения предпучков с оснащенными трансферами. Последнее чрезвычайно полезно для вычислений в стабильной мотивной гомотопической категории Воеводского. Кроме того, результаты диссертации позволят в ближайшее время доказать основные свойства категории \УМ-мотивов, сконструированной в диссертации.

Также в данной работе для доказательства свойств предпучков с IVШ-трансферами были развиты методы построения ^¿¿¿-соответствий, которые могут быть использованы и для других видов не ориентированных соответствий.

о

Роль автора. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались в 2014 г. на заседаниях следующих семинаров:

• Семинар лаборатории П.Л. Чебышёва по А1-топологиии и К-теории, проводимый И.А. Паниным (СПбГУ);

® Санкт-Петербургский алгебраический семинар имени Д.К. Фаддеева (ПОМИ РАН);

• Петербургский топологический семинар им. В.А. Рохлина (ПОМИ РАН).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх печатных работах автора [1]-[4], две из которых, [1] и [2], вышли в журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 74 страницы. Список литературы включает 13 наименований на 2-х страницах.

0.2 Содержание диссертации

Введение содержит обоснование актуальности работы и описание её содержания. Формулируется задача по построению категории \¥Ш-мотпвов, частью решения которой является данная работа. Описывается метод построения категории 1Уг££-мотивов и описываются сё ожидаемые свойства, а также характеризуется роль данной работы в построении этой категории и доказательстве некоторых её свойств. Наконец, указывается связь категории ТУШ-мотивов с категорией БН(к)~.

В первом параграфе главы 1 определяется категория конечных \¥1М-соответствиР \¥ог(к), с помощью которой определяется, что такое предпучок с\У¿¿^трансферами и что такое пучок Нисневича с ЖШ-трансферами.

Более подробно, объекты категории \\гог(к) — это гладкие многообразия над к. Трупа морфизмов IVог(Х, У) определяется следующим образом (детали да-

ны в Определениях 4, 7 и 8 из текста диссертации). Рассматривается категория P(X,Y) коиечнопорожденных к[Х х У]-модулей, которые конечно порождены и проективны как /с[Х]-модули. На этой категории имеется инволюция *. А именно, если Р € P{X,Y), то по определению Р* = Нотк[Х](Р,к[Х]). Действие /с[У] на Р* индуцировано действием k[Y] на Р. Квадратичное пространство в категории Р(Х, Y) с инволюцией * — это пара (Р,ф : Р = Р*), в которой ф — симметрический изоморфизм к[Х х У]-модулсй. Группа Wor(X, Y) — это, по определению, группа Витта классов изоморфизма квадратичных пространств в категории Р(Х, Y) с инволюцией *. Другими словами, Wor(X, Y) это факторгруппа

GW(P(X,Y),*) N{P{X,Y),*)

группы Гротендика полугруппы симметрических квадратичных пространств в аддитивной категории с инволюцией (P(X,Y),*) по подгруппе, порожденной метаболическими пространствами.

Композиция морфизмов (Р, ф) € Wor(X, Y) и (Q, ф) 6 Wor(Y, Z) определяется как (Р ®jt[yj Q,</> ® ф) € Wor(X, Z). Тождественный морфизм X в себя — это пара id^x]), гДе рассматривается как k[X х X] естественным обра-

зом. Кроме того, имеется функтор i : SmAff/k —> Wor(k) из категории гладких аффинных fc-многообразий в категорию Wor(k). Он определяется просто (с использованием графика; см. Замечание 3 в тексте диссертации).

Следующие определения вводят основные объекты изучения данной диссертации.

Определение 1 (Предпучок и пучок с 1Уй£-трансферами) Предпучком абелевых групп с Witt-трансферами называется контравариантиый функтор

F: Wor(k) Ab,

удовлетворяющтий условию аддитивности на дизтоикных объединениях, т.е. такой, что ^{Xi ЦХ2) = ^{Xi) Пучком Нисневича с Witt-трапсфе-

рами называется такой предпучок F с Witt-трансферами, что его ограничение на Srrik является пучком Нисневича. Т.е. Foi: Smk —» Ab — пучок Нисневича. Аналогично определяется пучок Зарисского с Witt-трансферами.

Определение 2 (гомотопичекая инвриантность) Гомотопически инвариантным предпучком с \УШ-трансфсрами называется предпучок абелевых групп с \УШ-трапсферами Т : IVог(к) —> АЬ, такой, что для любого гладкого аффинного многообразия X имеем Т(Х) = Т(Х х А1).

Теперь уместно перечислить основные результаты диссертации.

Теорема Б. Для гомотопически инвариантного предпучка ¿Р с \Vitt-mpau-сферами, ассоциированный пучок в топологии Нисневича гомотопически инвариантен.

Эта теорема говорит, в частности, что И^М-мотив Ми'(У) любого гладкого многообразия У действительно лежит в категории М{к), т.е. является мотивным комплексом. Согласно нумерации диссертации — это теорема 6. Доказательство теоремы Б основано, в свою очередь, на серии из нескольких теорем, каждая из которых интересна и важна сама по себе.

Теорема В. Пусть С/ С V — пара вложенных открытых по Зарисскому подмножеств Ад'. Пусть ^ — гомотопически инвариантный предпучок с трансферами. Тогда отображение ограничения

инъективно.

Согласно нумерации диссертации — это теорема 2.

Эта теорема дает возможность, в частности, удобно сформулировать следующий результат:

Теорема Г (вырезание на аффинной прямой). Пусть & — гомотопически инвариантный предпучок с ШШ-трансферами, тогда для поля К, являющегося полем частных некоторого многообразия и двух вложенных окрестностей по Зарисскому II С V точки г в А^

.„ - г) - г)

г :

является изоморфизмом (I обозначает вложение и в V).

Согласно нумерации диссертации — это теорема 3. Следствием теорем В и Г является то, что гомотопически инвариантный предпучок^ с ^УШ-трансферами

при ограничении на аффинную прямую становится пучком Зариского на ней. Согласно одной теореме об инъективносити на локальных схемах, доказанной К. Чепуркиным для гомотопически инвариантного предпучка^ с 1Уг<£-трансфе-рами и точки х (не обязательно замкнутой) гладкого аффинного многообразия X гомоморфизм ¿?{Ох,х) —инъективен. Это позволяет в удобной форме сформулировать следующий результат.

Теорема Д. (этальное вырезание в размерности 1).

Пусть — гомотопически инвариантный предпучок с 1¥Ш-трансфсрами, и 7Г: X' —> X — эталъный морфизм гладких кривых над полем К, являющимся полем частных некоторого гладкого аффинного многообразия. Пусть г £ X — замкнутая точка, такая, что ж-1 (г) состоит из одной точки, скажем г', и индуцированный на полях вычетов этих точек гомомофизм является изомор-фимом. Тогда 7Г индуцирует изоморфизм

, - г) „ - г')

где V = 5рес(Ох,г)) V = Зрес(0Х'.:')-

Согласно нумерации диссертации — это теорема 5.Следствием теорем В, Г и Д является то, что для гомотопически инвариантного предпучка & с И^гК-трансфера-ми ассоциированный пучок Нисневича обладает следующим свойством: его значение на любом открытом по Зарисскому подмножестве II аффинной прямой равно значению на II исходного предпучка, т.е. = Это свойство

вместе с упомянутой выше теоремой об инъективносити на локальных схемах и приводит быстро к доказательству теоремы Б.

Теорема А. Для произвольного предпучка & с \Vitt-трансферами, существует единственная структура предпучка с \УШ-трансферами на ассоциированном пучке в топологии Нисневича такая, что канонический гомоморфизм е : & —является гомоморфизмом предпучков с IVШ-трансферами. Эта теорема говорит, что категория пучков Нисневича с трансферами абелева. Согласно нумерации диссертации — это теорема 8.

Имеется ещё ряд результатов, которые понадобятся для доказательства в будущем теоремы о гомотопической инвариантности когомологий гомотопически инвариантного пучка с ^¿¿¿-трансферами. Это теоремы Е и Ж. Теорема Е — это специальный случай вырезания по Зарискому на аффинной прямой над локальной базой. Согласно нумерации диссертации — это теорема 7. Теорема Ж — это этальное вырезание в размерности п для любого п. Согласно нумерации диссертации — это теорема 9.

0.3 Публикации автора по теме диссертации в рецензируемых научных журналах:

1. Дружинин А.Э. Сохранение гомотопической инвариантности предпучков с ^¿¿¿-трансферами при пучковании// Записки научных семинаров ПОМИ. 2014. Т.423. С. 113-125.

2. Дружинин А.Э. О гомотопически инвариантных предпучках с ^¿¿¿-трансфе-рами// Успехи математических наук. 2014. Т.С9, № 3, С. 181-182.

0.4 Другие публикации автора:

3. Дружинин А.Э. Сохранение гомотопической инвариантности предпучков с ^¿¿¿-трансферами при пучковании в топологии Зарисского// Препринты ПОМИ РАН. 2014. Препринт 7/2014.

4. Дружинин А.Э. Сохранение гомотопической инвариантности предпучков с ^¿¿¿-трансферами при пучковании в топологии Нисневича// Препринты ПОМИ РАН. 2014. Препринт 8/2014.

Подписано в печать 02.10.2014 Формат 60x84 1/16 Цифровая Печ. л. 1.0

Тираж 100_Заказ 01/10_печать_

Типография «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)