Теоремы о минимуме модуля и множество Фату целой функции с лакунами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005007048

На правах рукописи

Рахматуллина Жанна Геннадьевна

ТЕОРЕМЫ О МИНИМУМЕ МОДУЛЯ И МНОЖЕСТВО ФАТУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЛАКУНАМИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2012

Уфа -2011

005007048

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гайсин Ахтяр Магазович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Абанин Александр Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор

Хабибуллин Булат Нурмиевич

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

им. Н. И. Лобачевского

Защита состоится «_/?» ОЬ 2012 в ¿Г ч. мин, на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд. 24, факс (8-347) 272-59-36, тел. 273-33-42.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан « Я9 » декабря 2011.

Ученый секретарь совета Д 002.057.01 кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

\

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э.Борель, А.Виман, Полиа, а также У.Хейман, В. Фукс, Т.Ковари, А.Ф.Леонтьев, М.Н.Шеремета, A.M. Гайсин и другие.

Пусть 0 < рп | оо (рп в N) и

е:

1 <00. (1)

Рп

В этом случае говорят, что целая функция

/(*) = , a"zP" = x + iy) (2)

i ■ —1

имеет лакуны Фейера. Отметим, что условие (1) возникает при изучении асимптотики целых функций вида (2) или рядов Дирихле без всякого ограничения на рост.

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (2) впервые была рассмотрена Полиа в [1]. В той же статье им была сформулирована гипотеза: если сумма / ряда (2) имеет конечный порядок и п = о(рп) при п —> оо, то

_ lnm(r,f) hm ———jr = 1, r-»oo In M(r, J)

где M(r, /) = max |/(z)| и m{r, /) = min \f(z)\.

|z|=r |г|=г

Справедливость гипотезы Полиа следует из результатов работ [2]-[4]. Задача Полиа, когда функция f(z) имеет бесконечный нижний порядок, представляет собой сложную проблему. При различных достаточных условиях на последовательность {р„} эта задача была решена Т.Ковари [5], У.Хейманом ¡6], СкаскивымО.Б. [7]. Наконец, в [8] было найдено существенно слабое, но достаточное условие на последовательность {рп}, при выполнении которого вне некоторого множества пулевой логарифмической плотности при г оо верно асимптотическое равенство

1пМ(г,/) = (1+о(1))1пш(г;/). (3)

В настоящей диссертации ставится задача: найти нсулучшаемыс условия на последовательность {рп}, при выполнении которых для любой функции / вида (2) выполнялось бы равенство типа (3).

Другая задача связана с исследованием множества Фату целой функции бесконечного порядка, представленной рядом (2). Здесь проблема состоит в том, чтобы найти оптимальные условия на {р„}, при выполнении которых любая компонента множества Фату целой функции вида (2) ограничена.

Исследование множеств Фату для функций вида (2) теснейшим образом связано с первой задачей и с рядом известных классических проблем. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарны-ми условиями (см., например, работы [1]—[17], где содержится достаточно полная информация по данным вопросам).

Задачей об ограниченности компонент множества Фату целой трансцендентной функций (конечного и бесконечного) порядка с лакунами определенного вида занимался Ванг [18]. В его работе указаны достаточные условия на последовательность {р„}, при выполнении которых множество Фату функции вида (2) не имеет неограниченных компонент.

Задача Полиа допускает более общую постановку, в которой величина т(г, /) определяется по некоторым «незначительно деформированным окружностям». В этом случае найден критерий справедливости равенства типа (3) для любой функции / вида (2). Этот результат оказался существенным для получения ответа и на вторую задачу. Отметим, что в обоих случаях на рост исследуемой функции никаких ограничений не накладывается.

Доказанные в диссертации основные теоремы обобщают и усиливают все ранее известные результаты, в том числе Гайсина А.М. [8], а также Ванга [18].

Целью работы является:

1) Найти неулучшаемые условия на последовательность {рп}, при которых для любой функции / вида (2) справедливо равенство типа (3); решить аналогичную задачу и для рядов Дирихле

= /СГ=1апеХ"3 (°<Ап1~оо; 5 = <г + И), (4)

абсолютно сходящихся во всей плоскости.

2) Для интерпретации условий основных теорем о минимуме модуля дать геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности показателей ряда (4).

3) Для целой функции / вида (2) найти оптимальные условия на последовательность {рп}, при которых каждая компонента множества Фату функции / ограничена.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы .новые. Получены следующие результаты:

1) Доказан критерий справедливости равенства типа (3) (минимум модуля функции F вычисляется по некоторым «незначительно деформированным отрезкам») для любой функции F вида (4). Тем самым соответствующая задача полностью решена и для рядов (2).

2) Получено наглядное геометрическое описание основных характеристик распределения последовательности показателей ряда (4) с лакунами Фейера.

3) Указан способ оценки модуля суммы ряда Дирихле на вертикальном отрезке через ее максимум (а также через минимум) модуля на меньшем отрезке, основанный на применении преобразования Фурье. Ранее в подобных оценках, как правило, использовалась лемма Турана.

4) Найдены в некотором смысле оптимальные условия на последовательность {Рп}, при которых каждая компонента множества Фату целой функции вида (2) ограничена.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, теории рядов Дирихле, целых функций, гармонического анализа и теории итераций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанная методика могут быть полезны в теории целых функций, рядов экспонент, дифференциальных уравнений, спектральной теории. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Южном федеральном, Саратовском, Львовском, Харьковском, Башкирском, Нижегородском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН; на Международной конференции «Теория приближений», ММИ им. Эйлера (С.-Пб., 2010); на Международной конференции по комплексному анализу, посвященной памяти А.А.Голдберга (Львов, 2010); на Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (оз. Якты-куль, Башкортостан, 2010); на Международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти А.Г.Костюченко (Уфа, 2011); на VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» посвященной 70-летию В.В.Напалкова (Уфа, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 95 страниц. Библиография — 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I рассматриваются последовательности А = {Ап} (0 < Х„ | оо), удовлетворяющие условию Фейера

^ = £-,¿<00. (5)

''«=1 Ап

Здесь дано геометрическое описание основных характеристик распределения таких последовательностей. Эти результаты представляют самостоятельный интерес, а также имеют полезное применение в теории рядов Дирихле.

§ 1 содержит предварительные сведения и основные определения. Здесь и далее £>(А) означает множество всех рядов Дирихле (4), абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости; /г(сг) = тах{|ап|еА"°} —

максимальный член ряда (4); и — и (а) = max{n: |ап|еА"ст — м(с)} — центральный индекс. Если v центральный индекс, то соответствующий ему показатель А„ называется центральным показателем ряда (4). Через A(F) будем обозначать подпоследовательность Л, состоящую из центральных показателей данного ряда: Л(F) = {Л^ е Л: к = v{a), а > 0}. Положим

MF(<r) = sup|t|<00\F(cr + it)|, тд(сг) = miniKIh \F(a + it)\,

где Ih - произвольный отрезок мнимой оси длины |/| = 2h. Введем также следующие обозначения:

= Пы1 ~ ' 4n = -ln\q'{Xn)\, c(i)=max9„. (6)

Пустьn(t) = £ 1, N(t) = f^dx. K^t о

Через Т — {cj} будем обозначать семейства полуинтервалов tu вида [а, 6); длина \ш\ каждого полуинтервала ш из Т положительна и конечна. Всякая последовательность Л = {Ап} (0 < Хп f оо) порождает целочисленную считающую меру

/*лМ = ]С,с 1,

Для различных классов монотонных функций введем также следующие обозначения.

Пусть L - класс всех непрерывных на R+ функций I = 1{х) таких, что 0 < 1{х) t оо при х —> оо,

W= при x ^ оо j

Введем в рассмотрение также множество

где a+ = max{a, 0}.

В диссертации наряду с W и Wi используются символы Wm и Wjm для обозначения классов неубывающих (не обязательно непрерывных) на R+ функций, для которых конечны соответствующие интегралы (они те же, что и для классов W и Wi).

Известно, что при условии (5) функции n(r), N(r) и In Mq{r) (q — функция из (6)) принадлежат классу сходимости Wm [19], [20]. Справедливы также следующие теоремы.

Теорема F ([8|). Пусть п = о(Ап) при п —> оо, и

Г Ф) Л

где функция с = c(t) определена в (6). Если для последовательности А выполняется условие

EL V ь £<«>. (V)

то для любой функции F 6 Т>(А) при а —> +оо вне некоторого множества Е С К+ нулевой плотности

In Mp(cr) = (1 + о(1)) In р(а, h), (8)

где ц{а, h) = min \F(a + й)| (0 < h < оо).

Здесь и далее считаем, что все исключительные множества из М+ имеют вид U Д„, где А„ = [ап, а'п] (ап <а'п4 on+i), ап t оо.

П

Теорема G ([21]). Пусть выполнено условие (5). Тогда следующие условия эквивалентны:

со Д

а) SA,i = £ А"1 In — < оо;

п=1 п

б) h(n) = T^n^dt<cc;

в) 1т=утЫ7*-Л<00:

°°u>(t) t

г) IA(w) = / —^In—— dt < оо, где w(t) = InMq(t).

j t w{t)

Теорему G дополняет следующая теорема (см. §2), где приведены другие, более наглядные интерпретации условия (7). Справедлива

Теорема 5. Верны утверждения:

1. Функция w принадлежит W (или Wm) тогда и только тогда, когда функция Aw(Bt) + С принадлежит W (или Wm). Здесь А, В, С — положительные и конечные постоянные. Аналогичное утверждение справедливо и для класса W; (или Wim);

2. Функция w £ L принадлежит классу W (или Wm) тогда и только тогда, когда

Еоо w(2j) J-i-2

Аналогичное утверждение верно и для класса Wi (или W[m);

3. Для любой функции ги € Ь интегралы

йх,

а также интегралы /;(«/) и 11{Ыт) сходятся или расходятся попарно одновременно. Здесь ^(яр) = ./(¡А;), чЫ1) = ~Ф(Х)

гр(х)

(Ф е Ь),

ДГш(х) = [ ей, Цх = тт{£: ииЦ) > 1}.

4- Каждое из условий а) - г) теоремы в эквивалентно утверждению: существует функция IV такая, что

МлЦ-ХЧИ) 0'>-1), (9)

где /¿л(^) — число точек А € Л из полуинтервала где =

[О, 1), ы, = при з > О.

Пусть Л' — подпоследовательность Л. Для любого Л € Л' найдется полуинтервал шь £ ./, содержащий Л. Обозначим ш'к = и со к и ык+1 (А 6 Шк). Пусть 3' = В системе 3' каждый полуинтервал ш'к

может пересекаться не более, чем с четырьмя полуинтервалами из 3'.

Будем говорить, что Л' является ¿-регулярной подпоследовательностью Л, если существует ги 6 УУ^ такая, что для любого и/к € 3'

длЮ < у,{\ык\). (10)

Заметим, что в (9) |о;7| = 2*. Поэтому при условии (9) последовательность Л сама является /-регулярной.

Пусть 9 — произведение Вейерштрасса (6). Функция д может вести себя очень нерегулярно на вещественной оси, даже если выполняется условие (5) [22]. Ее поведение зависит не только от функций п(г) и Л^г), но и от индекса конденсации

6 = Ит 1п

п-> со лп

1

9'(Ап)

п-юо Лп

где с = с(€} — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности Ы (см. (6)).

Предположим, что с € то есть

^¿Й<оо. (11)

Следующая теорема позволяет интерпретировать данное условие в более простых терминах.

Теорема 6. Пусть Л удовлетворяет условию (5). Для того, чтобы выполнялось условие (11), необходимо и достаточно, чтобы

/(А„) Ш Л Р&йЛ dt ^ ■ф(Хп) (п > 1), (12)

Jo 1

где /i(An; t) — число точек Х^ из Лга = Л\{А„}, принадлежащих отрезку {h: \h- X n| ^ t}> а 'Ф ~~ некоторая функция из W,

Следствие. Если выполняется условие (12), то справедливы оценки: 1°. hn> Хпе~^к) (п ^ 1), где hn = min |An - А,|;

jVn

2o. MA„; V(A„)) ^ PQ- (n> 1).

В § 3 приведены примеры последовательностей Л, для которых реализуются или не реализуются условия (5) и (11).

Определение. Последовательность Л называется интерполяционной в смысле Коревара-Диксона, если найдется функция w £ íl, зависящая только от последовательности Л, такая, что для любой последовательности {&„} комплексных чисел, |ЬП| < 1, существует целая функция экспоненциального типа ¥>(г), обладающая свойствами [23], [24]:

^р(Хп) = Ьп (п ^ 1), тах \ф)\ ^ ew« .

В данном параграфе доказана

Лемма 2. Интерполяционные в смысле Коревара-Диксона последовательности {pn} (рп € N) удовлетворяют условиям (5), (11).

Здесь же рассмотрены следующие примеры.

Пример 1. Пусть Aj = ^ — [jj^rj], ■ отрезок ([а] — целая часть а).

Показано, что для возрастающей последовательности {Ап} всех натуральных чисел, попавших в (J Aj, условие (5) выполнено, а условие (11) --j> 2

нет.

Пример 2. Пусть Aj = - [jr\, отрезок. Обосновано, что

возрастающая последовательность {А„} всех натуральных чисел, попавших в (J Aj, не является интерполяционной, однако она удовлетворяет j>2

условиям (5), (11).

Анализ примеров показывает, насколько эффективна характеристика 1(Хп) плотности распределения точек А для проверки далеко не очевидного условия (11). Преимуществом характеристики 1(Хп) является то, что она сформулирована в терминах считающей меры последовательности А.

В главе II диссертации речь идет о поведении целых трансцендентных функций / в терминах величин

т(г, /) = min\f(z)\, M(r, /) = max \f(z)\.

И=г |г|=г

чи-

Пусть {pn} — возрастающая последовательность натуральных сел, п = о(рп) при п оо, а

г—^оо

Я*) = z^n=1 a"z"n (z = х + *v) (13)

— целая трансцендентная функция. В диссертации рассматривается следующая задача: при каких условиях на последовательность {рп} для любой функций вида (13) будет верно асимптотическое равенство

In М(г, /) = [1 + о(1)] In m(r, /) (14)

вне некоторого исключительного множества Е с R+?

Приведем краткий обзор основных результатов по данной проблеме. При условии

£lnn(lnlnn)2+" = o(l), п оо {г, > 0),

в [6] Хейманом, а если

Еоо In+Inp„

- < 00,

n=1 Рп

в [7] Скаскивым показано, что при г —> оо вне некоторого исключительного множества нулевой логарифмической плотности имеет место асимптотическое равенство (14).

В [8] показана справедливость данного утверждения при выполнении условия (оно существенно слабее условий Хеймана и Скаскива)

' El й1 !»£<«>■ (15)

Известно, что для выполнения условия (15) необходимо (но не достаточно) выполнения следующей пары условий [8]:

ч 1 Г dt)

а) б) I dt < оо, (16)

где с = c(t) — функция из (6).

Для любой последовательности {рп}, для которой JX^p"1 = существует ряд (13), для которого f(x) = о( 1) при х -> оо [12]. Для любой последовательности {рп}, для которой интеграл б) из (16) расходится, существует ряд (13), для которого d(f; Е+) = 0, где

d(/;7) = Ш Ы]т

In M(rjy

7 — любая фиксированная кривая, уходящая произвольным образом в бесконечность [17].

Таким образом, каждое из условий а) и б) из (16) является необходимым для того, чтобы для любой функции / вида (13) выполнялось асимптотическое равенство (14).

В [17] доказана

Теорема А. Пусть с?(/) = М ¿(/;7). Для того, чтобы для любой целой

1

функции f вида (13) имело место равенство <1{/) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия а) и б).

В диссертации показано, что при условиях а) и б) на самом деле имеет место некоторый аналог равенства (14), означающий более сильную регулярность роста, чем ¿(/) = 1, который, согласно теореме А, уже неулучшаем.

Точно такая же задача может быть поставлена и для рядов Дирихле (4), абсолютно сходящихся во всей плоскости. В диссертации рассматривается именно этот более общий случай. Поскольку сумма ряда (4) в общем случае не является периодической на вертикальных прямых, речь может идти только об оценках модуля функции ^ через ее минимум модуля на вертикальных отрезках (эти оценки аналогичны равенству (14)). При условиях (15) и б) из (16) в [8] такого рода оценки получены для вертикального отрезка фиксированной длины, уходящего в бесконечность в пределах некоторой горизонтальной полосы (теорема Р). А в диссертации показано, что это не по существу: вертикальный отрезок может двигаться произвольно, даже сильно осциллируя.

В данной задаче чем длиннее отрезок, тем лучше оценка. Поэтому ставится вопрос: какова длина отрезка?

В § 3 главы II и получен ответ на этот вопрос. Оказывается, если выполняется только пара условий (16), а т*р(о) — минимум модуля на некотором «измененном отрезке», получаемом из заданного вертикального отрезка постоянной длины незначительной деформацией, то соответствующий аналог оценки (14) верен для любой функции Р вида (4).

Рассмотрим подробнее содержание главы II.

В § 1 главы II доказаны вспомогательные леммы и теоремы. Часть из них является утверждениями типа теоремы Бореля—Неванлинны: для заданной функции и £ Ь, для всякого е > 0 при всех х > хо вне некоторого исключительного множества Ее С К+ малой меры

и(х + Л(ж)) < и(х) + е,

где Л = к(х) — некоторая положительная функция, как правило, стремящаяся к нулю при х —» оо. Эта оценка позволяет оценить и(х + /г) через и(х) сверху и потому играет существенную роль для получения асимптотических равенств типа (14).

Другая часть лемм и теорем представляет собой оценки сверху членов ряда (4) через максимальный член ряда /х(<т).

В § 2 главы II приводится общая схема рассуждений и суть идеи, при помощи которой может быть доказано следующее утверждение: при а оо вне некоторого множества Е С верно равенство

InMpícr) = (1 + o(l))Inmf(ff), где mF{a) = min¿í6/ \F(a + it)\, 1 — 1(a) — отрезок мнимой оси, вообще говоря, переменной длины.

Доказательство этого утверждения основано на следующей лемме или на ее модифицированном варианте (лемма 7).

Лемма D ([4]). Пусть функция g(z) аполитична и ограничена в круге {z: |z| < R}, |<?(0)| > 1. Если 0 < г < 1 - N'1 (N > 1), то существует не более чем счетное множество кружков Vn = {z: \z - zn\ < pn}, 12Pn < RrN(l — r), таких, что для всех z из круга {z: \z\ < Rr}, но вне

n

U Vn справедлива оценка

п

1п|5("}|^1ти1п 15(0)1-с' (1?)

1 2 Т!

где с = 5NL, L = — f ln+ \g(Reie)\dd - In |g(0)|.

■¿7Г о

Основной является следующая

Лемма 6. Пусть последовательность А = {Ап} (0 < А„ | оо) удовлетворяет условиям:

a) gk = ¡lñ^ldt^w{Xk) {k>1). Jo 1

где fi\(Xk] t) - число точек \n

из Ak — A\{Afc}, принадлежащих отрезку {h: Ih - Afcl < £}, w, ф — некоторые функции из L.

Через Тк обозначим множество, содержащее не более N точек из Ль причем Tfc с [Afc - b, Afc + 6].

Если N ^ 2b, 0 < Z < то найдется функция р е ¿4®). равная нулю вне (—I, I), такая, что:

1) Ыьчк)<1; sup jp(í)| <rx;

i

Если P(u) = J p(t)emtdt — преобразование Фурье функции p(t), то: R

в) Р{\ - At) = 0 для А б Тк-

4) Ног1 < (fc > 1).

Лемма 6 позволяет обойтись без леммы П. Турана [25], обычно применяемой при доказательстве теоремы о минимуме модуля (см., напри-

П

мер, в [8]): если ^ < ц2 < ■ ■ ■ < цп и p(t) = £ то

IWU^(2eg[)n||p|U, (18)

где 1,3 — отрезки мнимой оси, 3 С 1\ ||р||/ = тах|р(£)|.

В § 3 главы II доказана следующая основная

Теорема 1. Пусть А = {Ап} (0 < Ап | оо) - последовательность, удовлетворяющая условиям:

где (1{\п; 4) - число точек Хк из Ап = Л\{А„}, принадлежащих отрезку {Л: |Л- А„| ^ £}> ат ~ некоторая функция из IV.

Если последовательность А(Р) центральных показателей ряда Дирихле (4) является 1-регулярной подпоследовательностью А, то при а ос вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой плотности

где m¡ (а) — min \F(a + it)\, h — любой отрезок мнимой оси длины 2h,

h iteh h — ар (0 < p < 1, р — фиксировано).

Учитывая, что при S\ < оо условие (20) равносильно сходимости интеграла (11), а условие (7) означает /-регулярность самой последовательности Л, получаем

Следствие 1. Пусть выполняется условие (20). Если сходится ряд (7), то для любой функции F е V{A) справедливо асимптотическое равенство (21).

Отсюда, в свою очередь, вытекает

Следствие 2. Пусть рп € N, 0 < рп | оо, / - целая трансцендентная функция вида (13), P(f) = {р„} - последовательность центральных показателей ряда (13). Предположим, что последовательность {р„} удовлетворяет условиям (19), (20) теоремы 1.

Если P(f) является l-регулярной, то при х оо вне некоторого множества Е С К+ нулевой логарифмической плотности выполняется (14).

Отметим, что в условиях теоремы 1 ряд (7) не обязан сходиться. Поэтому следствие 1 означает, что теорема 1 не только содержит теорему F, но и существенно усиливает и дополняет ее, поскольку: во-первых, в ней содержится информация о длине отрезка, о произволе его выбора; во-вторых, условие (7) заменено на более слабое, и оно сформулировано в простых геометрических терминах.

Пусть теперь ряд (7) расходится, но условия (19), (20) выполнены. Тогда, как известно, d(F; 7) = 1 [17], где

Io.

v^00 1 Sa = 2~] , т- < оо; '«=1 Ап

(19)

In MF(a) = (1 + о(1)) In (er),

(21)

d(F; 7) =

7 — любая кривая, уходящая в бесконечность так, что если se 7 и s 00, то Res -> +00. Если Л (F) I-регулярна, согласно теореме 1 справедлива более сильная оценка (21). Возникает естественный вопрос- сохранится ли асимптотическое равенство (21), если отказаться от условия '-регулярности Л(F)? Оказывается, при условиях (19), (20) имеет место некоторое промежуточное между равенствами (21) и d(F- -у) = 1 утвеи-ждение, а именно, верна ' ' ^

Теорема 2. Яг/сть выполняются условия (19), (20). Тогда существует множество Е С R+ конечной .мерм, такое, что d/гя любого вертикального отрезка IH = IH(a) = {s = а + it : |i - i0| ^ Я} (Я = const) Лш ecez <7 ^ сг0 вне Ь найдется измененный отрезок I*„ = J* (er) обладающий свойствами:

1) mes (IH(a) П Гн(а)) \1Н\ = 2Я при а оо; ¡2J lnJlif(ff + d(a)) <(1 + о(1)) In MF(a) при a 00 вне где d(a) = max |Re r - a\;

3) InMF(a) = (1 + o(l)) Inm*p(<j)

при с ^ 00 вне E, где m*F(a) = min |F(r)|.

rei]/

Каждое из условий (19) и (20) необходимо для того, чтобы для лю-^¡Ф™ии F 6 Р(Л) выполнялось равенство d(F; 7) = 1, а значит, и

При доказательстве теоремы 2 применяется

Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы D. Тогда имеется конечное Чр^ЩсовЖКО& n = Znl < Р"} (1 < п ^ m) с общей суммой

Em

n=iPn^RrN, r<l-jf (N2 1), (22)

вт которых в круге {z: \z\ < Дг} верна оценка (17) с постоянной с =

Теорема 2 из главы II оказалась полезной в исследовании множества Фату целой трансцендентной функции вида (13). Об этом речь идет в главе III, где указаны наиболее естественные ограничения, при которых множество Фату заданной функции вида (13) не может иметь неограниченных компонент. Об актуальности этого вопроса было сказано выше

s Даны основные определения и ряд необходимых фактов из теории итераций.

Пусть / — нелинейная целая функция комплексной переменной л be естественные итерации определяются следующим образом:

f(z) = г, f(z) = f(z), ..., f^(z) = /(/*(,)), fc = 1,2,... (23)

Множеством Фату функции / называется наибольшее открытое множество комплексной плоскости, на котором семейство итераций функции / образует нормальное семейство (по Монтелю). Дополнение множества Фату называется множеством Жюлиа.

Основные свойства множеств Фату и Жюлиа сформулированы в виде отдельной леммы. 1

Лемма Е. Для множеств Фату F(f) и Жюлиа J(f) целой функции f верны утверждения [27], [28], [29]:

1. Множество J~(f) открыто, а J(f) — замкнуто;

2. Множества T(f) и J{f) вполне инвариантны относительно f (то есть каждое из этих множеств совпадает как со своим образом, так и с полным прообразом):

1°. Г1 W)) = /№)) = Hf)\ 2°. f-\J(f)) = f(J(f)) = JU)-

3. Для любого k > 0 множество Фату (Жюлиа) k-кратной итерации функции / совпадает с множеством Фату (Жюлиа) самой функции f:

з°. Hfk) = Л/); 4°. J(fk) = J(f).

4■ Любая неограниченная компонента множества J-(f) целой трансцендентной функции / односвязна.

5. Множество J{f) целой трансцендентной функции f не ограничено.

Известно, что если / — многочлен степени не менее 2, то множество Фату -F(/) содержит компоненту, которая не ограничена и вполне инвариантна. Если же f — трансцендентная целая функция, то множество Жюлиа J(f) = С \ 7"(Я всегда не ограничено, а множество T{f) может иметь либо бесконечно много неограниченных компонент, либо ровно одну, либо не иметь их вовсе [28].

И. Бейкером была доказана следующая

Теорема С ([30]). Если множество Фату ^(f) целой трансцендентной функции / содержит неограниченную инвариантную компоненту, то она растет быстрее целой функции порядка 1/2 минимального -типа.

В 1981 году Бейкером был поставлен вопрос [30]: будет ли каждая компонента множества T(f) ограничена, если целая трансцендентная функция / имеет достаточно малый порядок роста? В силу теоремы С, задачу Бейкера естественно рассматривать в классе целых трансцендентных функций порядка р < 1/2.

Сам Бейкер [30], а позже Сталлард [31], Андерсон и Хинканен [32] получили различные достаточные условия, при выполнении которых в указанном классе функций / множество T(f) не содержит неограниченных компонент.

Особый интерес представляет изучение класса целых трансцендентных функций / вида (13), поскольку наличие пропусков в таких рядах обеспечивает в определенном смысле правильное поведение их роста и убывания, что позволяет судить о компонентах множеств J"(/) в случае любого конечного и даже бесконечного (нижнего) порядка роста.

В § 2 для функций вида (13) произвольного роста найдено достаточное условие (более сильное, чем лакунарность по Фейеру) на показатели ряда, при выполнении которого каждая компонента ее множества Фату ограничена. Данный результат при более сильных ограничениях ранее был доказан Ю.Вангом в [18].

При доказательстве основного результата главы III используется

i неко-

Лемма F ([30]). Пусть аналитическая в области D функция g из торого семейства G не принимает значений Oui. Если D0 — компактное связное подмножество в D, на котором \g(z)\ > 1 для всех g € G, то существуют постоянные U, V, зависящие только от Do и D, такие, что для любых z, z' из D0 и для всех функций g £ G верна оценка

\g(z')\ < U\g(z)\v.

Говорят, что целая функция вида (13) имеет лакуны Фабри, если п = о(рп) при n оо, и лакуны Фейера, если выполняется (1). Отправными для исследований являются следующие результаты Ванга.

Теорема D ([18]). Пусть f - целая функция вида (13), нижний порядок р» = Hm ?nln1fr(r'/) и порядок р = Hin '"'"^М которой удовлетворя-

Г_»0О r-¥00

ют оценкам 0 < р„ < р < оо. Если функция f имеет лакуны Фабри, то каждая компонента множества T(f) ограничена.

Теорема Е ([18]). Пусть f — произвольная целая функция вида (13), удовлетворяющая условию: существует Т > 1, такое, что

.. In М(гТ, /) m

Ьт , 'V > Т. (24)

г—>оо In M(r,f) К '

Если при некотором г) > О

р„ > п In n(lnln n)2+r' (п ^ п0), (25)

то каждая компонента множества F{f) ограничена.

Применяя теорему F, можно показать, что теорема Е верна при более слабом, чем (25), предположении (15). А именно, справедлива

Теорема 3. Пусть f — целая трансцендентная функция, заданная ла-кунарным степенным рядом (13), для которой при некотором Т > 1 верна оценка (24). Если выполняется условие (15), то каждая компонента множества J-(f) ограничена.

Оказывается, теорема Е верна в самой общей ситуации, т.е. условие (15) может быть существенно ослаблено. Последнее условие можно заменить на пару оптимальных условий. Применив теорему 2 к степенным рядам вида (13), получаем основной результат главы III:

Теорема 4. Пусть f — целая трансцендентная функция, заданная ла-кунарным степенным рядом (13), для которой при некотором Т > 1 верна оценка (24). Если выполняется пара условий (16), то каждая компонента множества J-{f) ограничена.

В силу сказанного выше, теорема 4 является наиболее общей и в некотором смысле — законченной.

В §3 показано, что условие лакунарности по Фейеру является и необходимым для того, чтобы для любой целой функции / вида (13) каждая компонента множества Фату была ограничена. Вопрос о существенности условия 2) из (16) пока остается открытым.

Список использованной литературы

[I] Pàlya G. Untersuchungen über Lüchen und Singularitäten von Potenzreihen / / Math. Z. — 1929. - Vol. 29. - Pp. 549-640.

¡2] Fuchs W. H. J. Proof of a conjecture of G. Pölya concerning gap series // Illinois J. Math. — 1963. - Vol. 7. - Pp. 661-667.

[3] Skaskiv О. В. On the Pölya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series // Anal. Math. — 1990. — Vol. 16, no. 2. - Pp. 143-157.

[4] Гайсин А. М.ОЬ одной гипотезе Полна // Изв. РАН. Сер. мат. — 1994. — Т. 58, № 2. — С. 73-92.

[5] Kövari Т. A gap theorem for entire functions of infinite order // Michigan Math. J. — 1965. — Vol. 12, no. 2. - Pp. 133-140.

[6] Hayman W. K. Angular value distribution of power series with gaps // Proc. London Math. Soc. - 1972. - Vol. 24, no. 3. - Pp. 590-624.

[7] Скаскгв О. Б. Припущения Машнтайра про вдаутшеть скшченних асимптотичних зна-чень у цто! функци з лакунами Фейера // BicmiK Льв1вського университету. Серш мехашко-математична. — Т. 28. — 1987. — С. 80-81.

[8] Гайсин A.M. Об одной теореме Хеймана / / Сиб. матем. журн. — 1998. — Т. 39, № 3. — С. 501-516.

[9J Biernacki M. Sur les équations algébriques contenant des paramétres arbitraires // Bull. Int. Acad. Polon. Sei. Lett. Sér. A. - 1927. - Vol. III. - Pp. 542-685.

[10] Anderson J. M., Clunie J. Entire functions of finite order and lines of Julia // Math. Z.— 1969. - Vol. 112. - Pp. 59-73.

[II] Kövari T. On the Borel exceptional values of lacunary integral functions // J. Analyse Math. - 1961. - Vol. 9. - Pp. 71-109.

[12] Macintyre A. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. — 1952. — Vol. 2, no. 2. — Pp. 286-296.

[13] Sons L. R. An analogue of a theorem of W.H.J. Fuchs on gap series // Proc. London Math. Soc. - 1970. - Vol. 3, no. 21. - Pp. 525-539.

[14] Anderson J. M., Binmore K. G. Coefficient estimates for lacunary power series and Dirichlet series II // Proc. London Math. Soc. - 1968. - Vol. 3, no. 18. - Pp. 49-68.

[15] Murai T. The deficiency of entire functions with Fejér gaps // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 1983. - Vol. 33, no. 3. - Pp. 39-58.

[16] Fejér L. Über die Wurzel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung // Math. Ann. - 1908. - Pp. 413-423.

[17] Гайсин A. M. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. - 2003. - Т. 194, № 8. - С. 55-82.

[18] Wang У. On the Fatou set of an entire function with gaps // Tohoku Math. J. — 2001.— Vol. 53, no. 1. - Pp. 163-170.

[19j Хейман У. К. Мероморфные функции. — M.: Мир, 1965. — 287 с.

[20] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. — М.: Наука, 1976.

[21] Cioranescu I., Zsidâ L. A minimum modulus theorem and applications to ultra differential operators // Arkiv for matematik. — 1979. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 153-166.

[22] Кацнелъсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его прил. — 1976. — Т. 10, № 4. — С. 35-44.

[23] Korevaar J., Dixon M. Interpolation, strongly nonspanning powers and Macintyre exponents // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. - 1978. - Vol. 40, no. 2. - Pp. 243-258.

[24] Гайсин А. М. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений, Уфа, БНЦ УрО АН СССР. — 1989. — С. 3-15.

[25] Turdn P. Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen, — Budapest: AkadiSmiai Kiad6, 1953.

[26] Юсупова H. H. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук, — Уфа: БашГУ, 2009.

[27] Milnor J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures. — Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig, 1999.

[28] Еременко А. Э., Любпч M. Ю. Динамика аналитических преобразований // Алгебра и анализ. — 1989. — Т. 1, № 3. — С. 1-70.

[29] Baker I. N. The domains of normality of an entire function // An. Acad. Sci. Fen. Ser. A. I. Math. - 1975. - Vol. 1. - Pp. 277-283.

[30] Baker I. N. The iteration of polynomials and transcendental entire functions // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. - 1981. - Vol. 30. - Pp. 483-495.

[31] Stallard G. M. The iteration of entire functions of small growth // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1993. - Vol. 114. - Pp. 43-55.

[32] Anderson J. M., Hinkkanen A. Unbounded domains of normality // Proc. Amer. Math. Soc. - 1998. - Vol. 126. - Pp. 3243-3252.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Правильный рост ряда Дирихле на компактах, близких к отрезкам. // Тезисы международной конференции по комплексному анализу, посвященной памяти А. А. Голдберга. — Львов: Львовский нац. ун-т им. Ив. Франко, 2010.— С. 84-85.

2) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера // Уф. матем. журн. — 2010. - Т. 2, No 2. - С. 27-40.

3) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе отрезков // Уф. матем. журн. — 2010. — Т. 2, No 3. - С. 37-43.

4) Рахматуллина Ж. Г. О множестве Фату целой трансцендентной функции. // Материалы международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти А. Г. Костюченко. — Уфа: Башкирский гос. ун-т, 2011. — С. 74.

5) Рахматуллина Ж. Г. Множество Фату целой функции с лакунами Фейера // Уф. матем. журн: - 2011. - Т. 3, No 3. - С. 120-126.

6) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Множество нормальности семейства итераций целой функции. // Сборник тезисов VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», посвященной 70-летию чл.-корр. РАН Напалкова В. В. - Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2011. - С. 52-53.

7) Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке // Матем. сб. — 2011. - Т. 202, No 12. - С. 23-56.

РАХМАТУЛЛИНА Жанна Геннадьевна

ТЕОРЕМЫ О МИНИМУМЕ МОДУЛЯ И МНОЖЕСТВО ФАТУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЛАКУНАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 23.12.2011 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,38. Тираж 100 экз. Заказ 845.

Реданционно-издательсиий центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участие Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

61 12-1/505

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ УФИМСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН

На правах рукописи

Рахматуллина Жанна Геннадьевна

ТЕОРЕМЫ О МИНИМУМЕ МОДУЛЯ И МНОЖЕСТВО ФАТУ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЛАКУНАМИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Гайсин A.M.

Уфа — 2011

Содержание

Введение......................................................... 3

§1 Краткая история вопроса и исследуемые проблемы....... 3

§2 Обзор результатов и постановка задач .................. 7

§3 Обозначения и основные результаты....................18

Глава I. Вещественные последовательности, лакунар-ные в смысле Фейера........................................29

§1 Предварительные сведения- .................................30

§2 Характеристики распределения вещественных последовательностей .........................................32

§3 Примеры.............................................41

Глава II. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке..........................47

§1 Вспомогательные результаты...........................47

§2 Оценка Мр{а) через минимум модуля на отрезке ........55

§3 Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе

отрезков ............................................. 62

§4 Правильный рост ряда Дирихле на компактах, близких

к отрезкам...........................................73

Глава III. Множество нормальности семейства итераций целой функции...............................................79

§1 Определения ц вспомогательные леммы.................79

§2 Ограниченность компонент множества Фату.............82

§3 Существенность условия Фейера........................87

Литература......................................................89

Введение

§1. Краткая история вопроса и исследуемые проблемы

Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э. Борель, А. Виман, Полна, а также У. Хейман, В. Фукс, Т. Ковари, А.Ф.Леонтьев, М.Н. Шеремета, A.M. Гайсин и другие.

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию

ОС 1

— <00. (0.1)

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция

00

f(z)=^cnzn (0.2)

п=1

имеет лакуны Фейера, если последовательность S(f) = {п: сп ф 0, п ^ 1} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида

оо

f(z) = YlanZPn (Рп G N' 0 < ^ t оо, ап — сРп Ф 0). (0.3)

п=1

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [1].

Е

Этот интересный факт и другие соображения всегда наводили на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см. обзор, например, в [2]). Отметим, что условие (0.1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (0.3) в самой общей ситуации, то есть без никакого ограничения на рост.

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (0.3) впервые была рассмотрена Полна в [3]. При этом предполагалось, что сумма ряда имеет конечный порядок.

Им же в [3] была сформулирована гипотеза: если сумма / ряда (0.3) имеет конечный порядок и п = о(рп) при п —> оо, то

1пш(г, /)

lim -———— = 1, г->.оо тМ(г, j)

где М(г, /) = max \f(z)\ и т(г, /) = min \f(z)\.

\z\=r \z\=r

Гипотеза Полиа была доказана Фуксом [4]. Однако оставался открытым вопрос о существенности условия п = о(рп) при п —> оо. Для целых функций, конечного и конечного нижнего порядка задача полностью решена Скаскивым О.Б. в [5]. В работе ГайсинаА.М. [6] эти результаты полностью перенесены на целые ряды Дирихле с положительными показателями, где предложен новый подход к данной задаче.

Задача Полиа, когда функция f(z) имеет бесконечный нижний

порядок, представляет собой сложную проблему. При различных достаточных условиях на последовательность {рп} эта задача была решена Т. Ковари [7], У. Хейманом [8], СкаскивымО.Б. [9]. Наконец, в [10] было найдено существенно слабое, но достаточное условие на последовательность {рп}, при выполнении которого вне некоторого исключительного множества нулевой логарифмической плотности при г —у ос верно асимптотическое равенство

1п М(г,/) = (1 + о(1)) 1п га (г, /). (0.4)

В настоящей диссертации ставится задача: найти неулучша-емые условия на последовательность {рп}, при выполнении которых для любой функции / вида (0.3) выполнялось бы равенство типа (0.4).

Другая задача связана: с ,исследованием множества Фату целой трансцендентной функции бесконечного порядка, представленной рядом (0.3). Здесь проблема состоит в том, чтобы найти оптимальные условия на {^п}, при которых любая компонента множества Фату целой функции вида (0.3) ограничена.

Исследование множеств Фату 7Г(/) для функций вида (0.3) теснейшим образом связано с первой задачей и с рядом известных классических проблем. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарными условиями (см., например, работы [1]-[17], где содержится достаточно полная информация по данным вопросам).

Задачей об ограниченности компонент множества Фату целой трансцендентной функций (конечного и бесконечного) порядка с ла-

кунами определенного вида занимался Ванг [18]. В его работе указаны достаточные условия на последовательность {рп}, при выполнении которых множество Фату функции вида (0.3) не имеет неограниченных компонент. Тот факт, что эти условия непосредственно связаны с асимптотическим поведением суммы ряда (0.3), позволяет применить результаты исследований по предыдущей задаче, и снова возникает вопрос о возможности максимально усилить соответствующие теоремы.

В настоящей диссертации первая из поставленных задач для целых трансцендентных функций произвольного роста, заданных рядами (0.3), решена полностью. Оказывается, первая задача допускает более общую постановку (как для рядов (0.3), так и для рядов Дирихле). Она заключается,д.том,, что (для рядов (0.3)) величина ш(г, /) определяется по некоторым «незначительно деформированным окружностям». В этом случае найдены необходимые и достаточные условия на последовательность {рп} для того, чтобы для любой функции / вида (0.3) было справедливо равенство типа (0.4).

А этот результат оказался существенным для получения ответа и на вторую задачу. Отметим, что в обоих случаях на рост исследуемой функции никаких ограничений не накладывается.

Для интерпретации условий теорем дано наглядное геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности показателей ряда (0.3), а также ряда Дирихле, применяемых в подобных исследованиях.

Показано, что условие лакунарности по Фейеру является и необходимым для того, чтобы для любой целой функции / вида (0.3) каждая компонента множества Фату была ограничена.

Доказанные в диссертации основные теоремы обобщают и усиливают все ранее известные результаты, в том числе Гайси-

на A.M. [10], а также Ванга [18].

Основные результаты диссертации опубликованы в [19]—[22].

Все результаты данной работы получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.

§2. Обзор результатов и постановка задач

В диссертации речь идет о поведении целых трансцендентных функций / в терминах величин

га(г, /) = min |/(г)|, М(г, /) = max \f(z)\.

\z\=r \z\=r

В общей ситуации нельзя ожидать, что функция га (г, /) будет вести себя так же, как и М(г, /), хотя для целых функций порядка р < 1 еще в начале XX века были получены некоторые неулучшае-мые результаты.

Так, в 1906 году для целых функций / порядка р = 0 Дж. Литлвудом было доказано следующее утверждение: для любого г > 0 существует последовательность {гп} (0 < rn t 00), такая, что

m(rJ)>lM(rJ)}1-£, т — тп.

Одновременно возникла гипотеза,; что для 0 ^ р < \ верна оценка типа га(г, /) > [M(r, f)\q (0 < q < 1) на соответствующей последовательности точек. Но ему удалось это доказать только для 0 ^ Р < Полностью утверждение было доказано А. Уайменом. Позже A.C. Безикович установил более общие результаты (по этому поводу см. в [23], [24]).

Полиа в 1926 году доказал следующее утверждение [25]: если 0 < р < 1, то для всякого £ > 0 существует последовательность гп

(О < rn t oo), такая, что

m(r, f) > [M(r, /)]«**'"* , r = rn.

Особый интерес представляет изучение целых трансцендентных функций, заданных лакунарными степенными рядами, поскольку наличие пропусков в таких рядах обеспечивает в определенном смысле правильное поведение их роста и убывания.

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, а

оо

f(z) = J2anZPn (z = x + iy) (0.5)

11=1

— целая трансцендентная функция. В работе [3] Полиа высказал гипотезу о том, что если функция f(z) имеет конечный порядок и имеет лакуны Фабри, то есть

п = о(рп), п -» оо, (0.6)

то

In ш(г, /)

lim 1 = 1. (0.7)

r-^ooln M(rJ) v 7

Справедливость этой гипотезы установлена Фуксом в [4]. Он показал, что если выполняется условие (0.6), а функция f(z) имеет конечный порядок, то для любого £ > 0 при всех г вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой логарифмической плотности имеет место неравенство

In M(r,/) < (1 + г) In m(rj). (0.8)

Хейман показал, что если функция f(z) имеет конечный нижний порядок и выполняется условие (0.6), то оценка (0.8) имеет место вне некоторого множества нулевой нижней логарифмической плотности [8].

Наконец, в [5] найдены неулучшаемые условия на последовательность {рп}, при которых в классе целых функций (0.5) конечного порядка (или конечного нижнего порядка) верна оценка (0.8). В работе [6] эти результаты полностью перенесены на целые ряды Дирихле с положительными показателями, где предложен новый подход к данной задаче.

Случай, когда функция /(г) имеет бесконечный нижний порядок, представляет собой сложную проблему, связанную с тем же равенством (0.7).

При изучении асимптотических значений целых функций (0.5) естественно возникает и другая задача, тесно связанная с предыдущей'. Она заключается в следующем: при каких условиях на последовательность {рп} для всякой кривой 7, уходящей в бесконечность, существует последовательность {£п}, £п € 7, такая, что при £п —>> сю

1пмаил = (1+о(1))1п1Д{п)1?

Впервые данная задача была сформулирована в работе [3] и решена для одного класса целых функций / вида (0.5), имеющих конечный порядок. Случай, когда функция / имеет какое-либо более общее ограничение на рост, представляет собой относительно простую задачу и достаточно полно исследован. Когда же функция / имеет произвольный рост, возникают .существенные трудности, связанные с нерегулярным распределением точек последовательности {рп}, поэтому данная задача, как и предыдущая, в литературе иногда называется проблемой Полиа.

Обзор исследований, посвященных второй задаче, и ее решение представлены в статье [2].

В диссертации сначала рассматривается первая задача об оценке типа (0.8) для функций произвольного роста.

Приведем краткий обзор основных результатов по данной проблеме.

Т. Ковари показал, что если f(z) — целая функция вида (0.5) и Рп> n(lnn)2+i? (77 > 0), то оценка (0.8) имеет место вне некоторого множества конечной логарифмической меры [7].

В работе [8] Хейманом установлено, что если

7%

— lnn(lnlnn)2+?? = 0(1), tl —У оо (ту > 0),

Рп

то

In М(г, /) = [1 + о(1)] In га (г, /) (0.9)

при г —У оо вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности.

В [9] сформулирована теорема, где утверждается, что асимптотическое равенство (0.9) имеет место (при г —> оо вне некоторого исключительного множества нулевой логарифмической плотности), если

У1п+1пр"<00. (0.10)

Наконец, в [10] показана справедливость данного утверждения при выполнении условия

00

с«- («-И)

П—1

Поскольку условие (0.11) слабее условия (0.10) (это показано в [10]), то результат из [10] является наиболее общим для рядов (0.5) и содержит все приведенные выше утверждения из [7], [8], [9].

Естественно возникает вопрос о точности условия (0.11). По этому поводу можно сказать следующее. Для выполнения условия (0.11) необходимо (но не достаточно) выполнения следующей

пары условий (см. главу I, а также в [10]):

1

сИ < оо

(0.12)

где с{р) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности {дп},

Для любой последовательности {р^}, для которой ^ рп1 = оо,

п=1

существует ряд (0.5), для которого /(:х) = о(1) при х —оо [14]. Для любой последовательности {рп}, для которой интеграл б) из (0.12) расходится, существует ряд (0.5), для которого с£(/;М+) = 0, где

7 — любая фиксированная кривая, уходящая произвольным образом в бесконечность [2].

Таким образом, каждое из условий а) и б) из (0.12) является необходимым для того, чтобы для любой функции / вида (0.5) выполнялось асимптотическое равенство (0.9). В [2] доказана

Теорема А. Пусть «¿(/) = шё 7). Для того, чтобы для лю-

бой целой функции f вида (0.5) имело место равенство с£(/) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия а) и б).

С учетом только что приведенной теоремы А из [2] теорему А из [10] (она в [10] носит лишь достаточный характер) можно сформулировать следующим образом:

Теорема В. Для того, чтобы для любой функции / вида (0.5) при х —> оо вне некоторого исключительного множества Е С [0, со)

р1

к=1

оо

7

нулевой логарифмической плотности имело место асимптотическое равенство

ЫМ(х, /) = (1 + о(1)) In \f(x)\, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась пара условий а) и б).

Данная теорема верна для любого луча = {z: aigz = (р, \ip\ ^ 7г}. Следовательно, если ряд (0.11) расходится, но условия а) и б) выполнены, то d(f',l<p) = 1, и потому принципиально нельзя построить пример функции, заданной рядом (0.5), для которой d(f', Itp) < 1- Это наводит на мысль о том, что при условиях а) и б) обязательно должен иметь место некоторый аналог равенства (0.9), означающий более сильную регулярность роста, чем d(f) = 1. То, что это действительно так, показано в диссертации, и тем самым получено существенное усиление соответствующей теоремы из [2]. Точно такая же задача может быть поставлена и для рядов Дирихле

оо

F (s) = ]TaneA"s (s = a + it), (0.13)

n=l

абсолютно сходящихся во всей плоскости. Здесь рассматривается именно этот более общий случай, специфика которого прежде всего в том, что на распределение последовательности Л = {Ап} (0 < Лп t показателей влияет не только рост считающей функции и накапливаемость точек А на отдельных участках, но и их взаимное расположение (сближаемость). Поскольку сумма ряда (0.13) в отличие от ряда (0.5) не является периодической на вертикальных прямых, в данном случае может идти речь только об оценках модуля функции F через ее минимум модуля на вертикальных отрезках (эти оценки аналогичны равенству (0.9)). При условиях (0.11) и б) из (0.12) в [10] такого рода оценки получены для вертикального отрезка фиксированной длины, уходящего в бесконечность в пределах

некоторой горизонтальной полосы. В диссертации будет показано, что это не по существу: вертикальный отрезок может двигаться произвольно, даже сильно осциллируя.

В обсуждаемой задаче чем длиннее отрезок, тем лучше оценка. Поэтому ставится вопрос: какова длина отрезка?

Цель диссертации — показать, что: во-первых, если кроме пары условий (0.12) имеет место некоторое условие /-регулярности (оно зависит от F и потому слабее, чем (0.11)), то при а —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой плотности

In MF(a) = (1 + о(1)) In m*-(о-),

где Мр{сг) — sup \F(a-\-it)\, т^(сг) — минимум модуля функции F

|f|<oo

на любом вертикальном отрезке вида If, у {сг) — {s — cr + it: \t — to\ CV(cr)cr7}, где 7 (0 < 7 < 1) фиксировано, Cf{&) — некоторая функция, зависящая от F, С'р(сг) оо при а —>• оо; во-вторых, если выполняется только пара условий (0.12), а тр{сг) — минимум модуля F на некотором измененном отрезке, получаемом из заданного вертикального отрезка постоянной длины незначительной деформацией, то данное утверждение верно для любой функции F вида (0.13).

Другая задача — дать геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности Л, применяемых в аналогичных исследованиях.

Еще одна задача, рассматриваемая в диссертации, связана с изучением множества Фату целой трансцендентной функции — наибольшего открытого множества комплексной плоскости, на котором семейство итераций заданной функции образует нормальное семейство (по Монтелю). А именно j выясняются условия, при которых множество Фату заданной функции не имеет неограниченных компонент.

Представим обзор результатов по данному вопросу. Пусть / — нелинейная целая функция комплексной переменной Ее естественные итерации определяются следующим образом:

-- 1к+\г) = }ик(г))> к = 1,2,... (0.14)

Известно, что если / — много�