Дискретный спектр возмущенного периодического оператора Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

1 5 ПОП 1393

' САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.9

ХРЯЩЕВ Сергей Викторович

ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР ВОЗМУЩЕННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

01.01.03 - математическая физика :

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Штербург 1993

Работа выполнена на кяфедре математической физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

■доктор физико-математических наук, профессор Б1фман М.Ш.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических- наук, профессор СПбГУ Дергузов В.И.

кандидат физико-математических наук, доцент СШЭКС Тащиян Г.М.

Ведущая организация:

ПОМЯРАН

Защита диссертации состоится ч. ЗО мин. на заседании специализированного совета К.ОвЗ.57.17 по присуждению учёноа степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном унивеосигвтэ по адресу: 198034, Сагкт-Штербург, Университетская наб., д.7/9.

С дассерггацкза можно ознакомиться в научное библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " " ¿-/ОЯ^/Ф 1993г.

Учёныа секретарь сгоциалтированного совет ь

С.Н.Манида

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В физике твердого тола активно 'используется следующая математическая модель, Двкгеяи з. зктронз описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом - > + р , где д - оператор Лапласа в tRd (обычно d = з), а р - периодическая функция, характеризующая поле кристалла.

Спектр такого гамильтониана полуограничен снизу, абсолютно непрерывен и имеет зонную структуру. Сравнительно недавно установлено (см. сп), что при d > . число лакун в спектр разве лишь конечно. "Собственные функции непрерывного спектра" имеют ВИД = exp(i<k,x>}f>Tj(k,x), ГДв k,x в Ed, .. е W, а

Pn(k> - функции, имеющие по х периодичность решетки кристалла (теорема Флоке-Блоха). Функции еп , удовлетворяющие уравнению < -д + р > vn(k> = En(k) icn(k) , непрврьшны и имеют по к периодичность обр гно"•решетки кристалл'. Объединение (по n е т) образов функция кл . совпадает со спектром рассматриваемого гамильтониана. Пусть функции еп упорядочены по неубг^аяию. Наименьшая функция в достигает минимума при к - о ; v,(0) не меняет знака; для всех n > i En<k> > Et<k> в '^которой окрестности точки к = о ; фушс .ля et аналогична в этой окрестности и матрица ео вторых производных при к=о полояоггелыш (см., например, С2]>.

В присутствии примесей движение электрона в кристалле описывают уравнениэм Шредингера с гамл^-тонианом -д + р + q, где функция q стремится к нулю на бесконечности. Возмущение g so меняэ*" существенного спектра, но, вообще говоря, привода* к появление в лакунах дискретных уровней энергии. Для исследования зтлх дополнительных уровней гамильтониан -л * р + q часто заменяют другим, модельным. Именно, пусть участок нэпрерывгого спектра оператора -д ♦ р , .^римыкаицаа к рассматриваемой лакуна с интересующая вао стороны, образован функций вп , а край ешктра - значением вп<к0>. Тогда берут главный член разложения Теялора функции Sn(k> - Kn<k0> в окрестности точки и

заменяют разность и - к0 на -if, При отсутствии вьфовдэния прйм сводится к рассмотрению "модельного" ' эллшггического одарчтора. -div</.rfr«)> + q , где л - постояная

знаксюпределенная аха - матрица; матрица соответствует

тензору эффективных масс.

Описанный эвристический прием широко применялся в физике твердого тела и подробно описан в физической литературе. Строгих результатов га исследованию дискретного спектра в приближении, эффективных масс не много. Отметим работы сз-5], где рчь шла о случае а = 1, и особенно работу [Б], а 2 з. В [6] исследуется асимптотика дискретного спектра по большой константе связи; в настоящей Л аботе используются некоторые технические приемы из работы [6].

В представленной работе исследуются актуальные .для применений качественные и количественные .характеристики дискретного спектра в лакуне непрерывного.

Цель работы. В диссертации рассматривается дискретный спектр, появляющийся в лакунах непрерывного спектра периодического оператора Шредингера при возмущении его исчезающим' еэ бесконечности потенциалов. Основное внимание уделяется условиям конечности и бесконечности спектра в лакуне и оценкам количества собственных значения при а 2 1. в случае бесконечного спектра в лакуне исследуется вопрос об асимптотике собственных значений вблизи края лакуны.

Методика исследования. Применяются техника спектральной теории возмущений и асимптота :еские метода математического анализа. Изучение дискретного спектра в лакуне сводится к изучению отрицательного спектра модельных ошраторов типа оператора Шредингера, существенный спектр которых совпадает с положительной полуосью. К модальным операторам, построенным по соответствующим эффективным массам, применяется вариационный метод исследования спектра.

Научная новизна. Все- основные результаты .диссертации являются новыми.

1. Выведаны неравенства, связывающие суммарную кратность спектра в лакун© для возмущенного периодического оператора Шредингера с числом страдательных уровней модального одаратора.

2. Получены условия на возмущающий (примесный) датенциая, обеспечивающие конечность или бесконечность сшктра в заданной лакуне.

3. Найдены условия на примесный потенциал, гарантирующие

устойчивую (т.е. независящую от константы связи) конечность или бесконечность спектра в лакуне.

4. Получена асимптотика (по номеру) дискретного спектра в лакуне вблизи её края.

Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес как для специалистов по квантовой теории твердого тела, так и для специалистов по спектральной теории доф^ренциальньа операторов. Развитая в диссертации методика может быть использована в других задачах о дискретном сгоктре в лакунах для дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладавались на XIV школе по теории операторов в функц: энальных пространствах <г.Новгород, 6-14 сентября 1989г.), на конференции "Порядок, беспорядок и хаос в квантовых системах" (г.Дубна, 17-21 октября 1889г.) и на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Ульяновск, 5-12 сентября 1990г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи.

Структура и объбм диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, и списка лиггератуга. Общи® объем дассертацш 98 страниц машинописного текста. Библиография содернит II наименований.

Содержание работа

Во введении приводится краткка обзор работ, игеотих непосредственное отношение к теме диссертации, Описываемся постановка задач, решаемых в диссертации, и формулируются основные полученные результата.

Первая глава носит предварительный характер. В а вводятся основные понятая и обозначех я, которые будут использоваться на протяжении всей диссертации. В §2 приводятся некоторые известные утверждения из Функционального анализа, нужные для дальнейшего. В й содержится изложение результатов и понятии аналитической спектральной теории возмущенна в - случав аналитической зависимости от нескольких параметров. Речь идет, в основном, о простом собственном з^ченки, когда отличш от случая одного

параметра не существенно. Последний главы г имеет справочный хзрактро к содержит необходимые сведения о периодическом операторе типа оператора Шредкнзгера. Допускаются негладкие коэффициенты. Вводятся понятия и обозначения, используемые, главным образом, в главе з. Выводится формула для тензора эффективных масс на логом краю спектра.

Глава 2 является абстрактной" (теореткко-операторног) основой дальнегаях рассмотрения. Здесь решается зздача о сведении I '.следования дискретного спектра в лакуне непрерьвкого к исследованию дискретного сшктра, расположенного левее (правее) существенного спектра вспомогательного оператора, построенного по исходному. Благодаря этому в последующем удаётся применят? вархацйошые катода для исследования дискретного спектра в лакуне.

Обозначения. Нина < •, • > - стандартное скалярное произведение в пространстве с?. Пусть т - самосопряженный оператор в сепарабельнон гильбертовой пространстве. Тогда 31< т, а, ь) - суммарная кратаость сшктра оператора т в интервала (а,ь>. Ниже все операторы задаются с помощью квадрагпмЕых форм, при этом соответстауюаяе друг другу форма и оператор обозначаются одним и тем ш символом. Основным гильбертовым пространством считается ь^к?). если нз оговорено иное. Для

ч Т 6 Ц^свб вводится форма ао<<а>£оЗ == /ч(х> |и<х> 12йх,

определенная на весовом пространстве Далее, в<<1>

обозначает множество всех функций ч тахих, что форма ¿0(ч> компактна в »*<«?*>; *„(«*> - каогестао Еесггрэдэтельаыг функций из з(<1). Дгя ведаственноа талшительноя а«* - матрицы г и функции ч « *{<») на области опр^^элежгя вводятся

форма ^(г,ч>£а] := Г <г?о{х) ,?в<х>><ах + .1 <ч>[и]. •

Фиксируем кевыроздэншг оператор У: в^ «й4 и шга а усо,!)'", в" := ; здесь 5 - ошратор, сопряаэнныа к

оператору гпх~*„ Пусть р=? « и функция р - о-шриодачна,

т.е. дая любых х « & и п « 2? выполнено р(х+*п> = р<х). Фиксируем в -пэрмэдичесхув веадэствввдую шддутоадьвую йх<1 - матрицу-<йгшада> г, раввешврно <ш х « в?) ограниченную

вместе со своей обратной. Для д е г(с1) на области определения И*^) введем форму .ДГ.р+чКи] := <Г(х)7и(х),7и(х)>ах +•

+ ¿0<р+ч>[и]. В диссертации рассматривается периодический оператор ;г<г,р> и его возмущение л<г,Р+ч).

Пусть с - интересующий нас край фиксированная лакуны в спектре оператора .кг.р), ар- середина этой лакуны, : =

= е!йп(?-р) (д1д ПОЛубеСКОНеЧНОЙ лакуды р:=-со, э<0:=+1). Для

в « к"1 в на множестве э-периодаческих функций из

определим форму Н'<®)[и] /{<Г( )(7и+1е),?и+1©>+рСх)|и|г)зх.

«

Введем множество х с т <= а* : ? - собственное значение оператора Н'<т> >.

Отметим, что для левого края лакуны все наш результаты формулируются и доказываются аналогично результатам для правого' края, хотя оператор л(Г,Р) полуограетичеЕ снизу и неограничен сверху.

Нумерация приводимых ниш условий, теорем и других , утверэдэшт совпадает с нумерацией этих утверздзник в диссертации.

В глава э строится "матричной" модельный оператор. Сначала с помощью результата глава г осуществляется переход от оператора а<г,р+ч> к "локальному* оператору! существенный спектр которого совпадает о небольшим участком' сшктра оператора лг,р>, примыкающим к рассматриваемому края лакуны. Используя результаты из анаопжескоа теории возмуцьлиа к вариационные методы, локальнка оператор удаётся за»знигь другим, тонв локальным, от последнего на основа результатов главы г делается переход к матричному модельному оператору. Суааарный результат этих преобразований выражав в таорзсз з.1, дая справедливости которой требуется наложить вд фушали г и р сздущие условия.

Условие 3.1.1. Множество я - козэчео и для всех т ек край зоны ¡г - простое собственное значение сшратора н*с).

Обозначим через р<о> то собственное зяачениэ оператора Н'(в), ДЯЯ которого и(т>={ при ВСОХ т ей. При условии 3.1.1 (непрерывная и а'-шриодическая) фунюдая является вйкан

точек тех простым собственным значением оператора н*(э>, аналитическим по в. Обозначим через 2Л(т> , т « к , матрицу вторых производных отображения • в >-> в) при в = т. Условие 3.1.2. Лля каждого т б ЗС s(OA(T) > о. Отметим, что условия 3.1.1 и 3.1.2 автоматически выполнены в случае d-i для краёв любой лакуны, а также при d>i дая края полубесконечной .лакуны. В этих случаях множество эс состоит из ОДНОЙ точки.

Собственную функцию оператора . н*(т), т <= se, отвечающую

собственному значению ç, обозначим через ш(т). в дальнейшем

считается, что функция ы(т) продолжена на всё cr? -до

Q-периодической функции и J |ы(т,х) |zdx = voie.

Q

Для q е «<d> в пространстве J ® l2<k<1) на области

теЭ<

определения . £ ® n'<Kd) вводится следующая форма'

TeSÇ

L(q>Cu] J J( |A<r) |,0)[uT] + Jc<q) [ J e<T)u<T)u.J , теЭС теЗС

где u = { uT : теэс } и е(т,х> := exp{i<r,x>}. Обозначим

{ 3l(J<r,p+q),ï+\,r> , ? < Р H(q.*> := i , X. e [0, |ï-p|) ;

8<q,\) == 3t(L(q >,-«>,-M , Xio.

"i,'сдельность" ошратора £<q) выражается следующей теоремой.

Теорема зл. Пусть выполнены условия 3.1.1,3.1.3 и q ,q «e Т0ГДЭ ДЛЯ ЛЮбОГО £е(0,1> НЭ2ДЗТСЯ П<«)« И

такое, гто для всех х e <о, |ç-p|>

а) K<s<çKq1-»l>A> s н<Ч1-(1+е)д2,х) + п(с),

б) HtsCiXq^^» г: н^-а-Оч,» - п<«>.

В главе 4 осуществляется переход от матричной модели к более удобной "диагональной". Этот переход был обоснован (в другой, но близкой задаче) Ы.И.Бирманом в t6]. Мы используем близкие соображения дая получения аналогичного упрощения. Соответствующий результат содержится в теорема 4.1.

- а -

>

Доказательство этой теоремы построено так же. как и доказательство теоремы 3.1, за исключением обработки соответствующих локальных операторов. Именно здесь используется один технический приём из [5]. В остальном доказательство теоремы 4.1 прощ. доказательства теоремы 3.1 из-за 'б шлей простоты модельных операторов го сравнению с оператором

Будем говорвггь, что функция ч в^а), если а".« »<(!> я преобразование Фурье функции ч на любом компакте, не содержащем нуля, с раничзно при й & 3 и дважды непрерывно дифференцируемо при л £ 2. Обозначим через *,<<!> . множество неотрицательных функций из Для <; «*<<!) т к > о

обозначим:

Н<чА> :=]> ЭТС.Ц |Л(?> |.д).-«>.-*-)•

Теорема 4,1. Пусть ч4,д2 в и пусть выполнены услови.. з.1.1, з.1.2. Тогда справедливы утверждения теоремы -.1 с заменой всюду й на и, т.е. для любого * в <о,1> найдётся п(£) в ш такое, что для всех * е (о, |?-р|)

а) Н^П^-ч^А) 5 Н(ч1-(1+е)д2Л> + ПС*),

б) Н<Б<?)<ч1-ч2).>-) * м<Ч1-<1-*)чг,М - П(«>.

Глава 5 содержит примеры использования теорем 3.1 и 4.1. Рассмотрения основаны на применении известных результатов об отрицательном спектре оператора Шредингера с потенциалом из «(а). Некоторые примеры являются простыми следствиями теорем 3.1

И 4.1. _

Рассматривая предельный случай" х=о в теоремах 3.1 и' 4.1, получим сдедующвз условные < результаты о конечности'. и бесконечности сшктра в лакуне.

Лемма 5.1.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда ДЛЯ любого е е (0,1)

а) если н(в(?х<з1-чг),о> ='» , то ¡к^-а+е^.о) = » '

б) если Н(в(?)<д^дг).0> < со , то Н(Ч4-<1-е)дг,0) < о» .

Лемма 5.1.2. В условиях теоремы 4.1 справедливы утвэрвдэния леммы 5.1.1 с заыеной всюду и на н.

Применение известных результатов об отрицательном "спектре

оператора Шредангера с потенциалом из *<d) (см., например, £7]) .приводит к конкретным результатам о спектре оператора J<r,p+t. в лакуне.

Теорема.s.г. Пусть d*2 и выполнены условия теоремы 3.1. Положим ч ч4 - чг, Щт) ss |Л(т)|"1Чг. т « st, Тогда

а) если найд5тсг таков х0 « х , что

ПЖ г® .вир q(x> < - „ ТО K(s(f)<j,0> = «о ;

г-со |П(то>х|=г

б) если ДЯЯ BC8S т е й

Ни г* Inf q(JC) > - ЦТ2)* , ТО Н(в(?)ч,0) < в . г-»® |П(т)х|=г

При d = 1 этот результат переходит в результат Ф.С.Рофе -- Бекетова, подученный другим путем.

Вводя в леммах 5.1.1 и 5.1.г в штэнциал параметр, приходам к следучим условным результатам об устойчивой конечности и бесконечности спектра в лакуне.

Лемма 5.2.1. В условиях.теореш эл.

а) { »(sCfXvWjJ.o) = «о для всех г > о } «» { sCq^raj.O) .= » для ljöx г > о };

б) { нг.<?хч4-гчх).о) <» да всех г > о } «» «♦ { N<q(-rq2,0) < <0 для всех Г > о }.

Лета 5.2.2. В условиях теоремы «л справедливы

утверждения леммы 5.2.1 о замвноа всход 8 на н.

Использование известных результатов, полученных в £3], об отрицательном спектре ' оператора Ередаагера с потенциалом из ¿Cd) . дабг конкретные признаки устойчивой конечности (um бесконечности) спектра оператора J<r,p+q) в лакуне.

•

Теорема 5.2.. Пусть d * з и выполнены условия теоремы 4.1 при q = о. Тогда

®

а) если Иг вир r^j.Unidt » В, ■ ТО N(-s(Oq ,0) < ® ;

■jr-м» |rj |=1 * .

б) если Шг J я Ах) [¡tl'^dit = то H(-8(C)q,.0) « « . . |х ;>t

Если спектр оператора J(r,P+q) в лакуне бесконечен, то из теорем з.1 и 4. i получаются следующие условные результаты об асимптотика спектра.

Леша 5.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Пусть е (0,1/2) , ко « <0, и существует' такая

функция g: <0,\о)х( 1-^,1>го) » (0,со) , ЧТО

а) lin g<x.,y> = » для каждого г,

X-.Q

б) lin ТШ [g<x,r)-2<*,l> |/ß(\,l> = о,

г-1 х-о

в) lin tkq -rq.AVetx.r) = 1 ДЛЯ кавдзго у. Х-0

Тогда lia H<s(i)(q -<з.),\)/2(Х,1) = 1.

Х-0 1 2

Лемма 5.3.2. Пусть вшкшеш условия "теоремы 4.1. Пусть выполнены условия лекш 5.3.1 с заменой I на М. Тогда сохраняется утверждение леккы 5.3.1.

Приведён конкретный результат об асимптотике спектра оператора J<r,p+q> в лакуне, опирающийся на известный результат- об асимптотике отрицательного спектра оператора Шредингера с потенциалом из *'d) (см., например, [8]).

Теорема 5.3. Цусть а г з и выполнены условия теоремы 4.1. при = о. Пусть для некоторого м <0,2) iz любых х,у « к? функция д2 удовлетворяет следующим неравенствам:

ct( |х l+l)"1* S q2<X> S c2< j* И)"**,

| * cB[nln£|x|, |y|}+lj^|x-y|, ot > 0

' ■ Тогда

lim !К-а>Одг,>.> - =

= J det |А(т) f1^ , где - обьба единичного вара в ff?.

Иастая глава посвящена дотлштгелъным результатам (по сравнению с результатами главы s) о спектре оператора J<r,p+q) для случая d-i. Эти результаты связаны с упрощения* иодальных опвратороа при d=i- Так как юкяество ж состоит из одной точки, то мы будем писать просто « и а вместо «<г> и

л(т>, так что

= 1ь>1*д)Г-] , И<<3,А) = эг<^ ¡Л], }«|гЧ),-оо.-М , Й(Ч,Х) - 51(Л< |Л1,9),-<о,-Х) . Для я е г<1) обозначим: + 00

3+(ч) ТГ..; х^^ , 3(ч) := тахЬ_(ч>.3,(Ч>}.

~ . х-н-ю i )

. хеК х

'/¡2 теорекы 3.1, опираясь на известные утверждения об отрицательном спектре оператора Шредингера с потенциалом из 8(1) (см., например, [7]), удается получить ¿,дд конкретны! признаков конечности и бесконечности спектра оператора ¿(Г.р+ч). в лавуне.

Теорзма 6.1. Пусть е а^<1) и функция ч := ч4 - ч2

неположительна в окрестности бесконечности. Тогда

а) если 3( }<•>|гч) < |л|/4 , то И(з(()ч,0) < « ;

б) есл. 3( Нгч> > 1Л1 . то н^соч.о) = <» ;

в) если ч монотонна в окрестности -*« и в окрестности , то в утверждениях а) и б) можно заменить |ш|2 ¿а 1.

Зна^ние условия монотонности в п.в) теоремы 6.1

демонстрируется следующим предложением.

Предложение 6.2.1.

а) Пусть пах|<о<х>Г > 4. Тогда существует такая немонотонная в

х«а _

окрестности +» и в окрестности функция ч « с <к> , что

Ч(х) -.0 при х — «О И 3(Ч> < |А|/4, НО 3('Н*Ч> > |Л| , Ь

потому н<8(?)ч,0) =.ео" (СМ. ТвОрвМУ в * 1).

С4 Пусть «>1п Их) |а < 1/4 (это заведомо верно для любой

хеф

внутренней лакуны). Тогда даадйтся такая немонотонная в окрестности «ив окрестности -» функция <а « сда<в?), что ч(х> — о при х — « И 3(Ч> > |А| , но 3( |«|1ч) < |А|/4 , а. потому н<в<оч,о) < « (см. теорему 6.1).

Отметим, что функция ч в предложении в.г.1 подбирается так, чтобы её осцилляции были согласованы с периодичностью функции <•>.

Теорема 6.2. Пусть ч1,ч1 * а функция ч, финитна.

Тогда

а) { И(в(с)(ч4->'ча1\0) < ® . V у > о } «» { 3( Н\> = о }.

б) { = ео,Уу>0}«»{3< МЧ,) = ® >.

В) { 3(Ч2) = О } { Жв^Хч^ГЯ^.О) < » , V г > О },

Г) {. Л(з<!Г)(ч1-?-д2),0) = 3<Чг) = ® },

д) если яг монотонна в окрестности и в окрестног-ц -«»,. или если рассматриваемая лакуна - полубесконечна» то в утверждениях в) и г, можно заменить -> на «*.. Для полубесконечноя лакуны утверждение д) теоремы 6.2 было получено в [33. Значение условия монотонности в п.д) теоремы 6.2 демонстрируется следующим предложением.

Предложение е.3.1. Если лакуна,Ев полубесконечна, то по функции и можно построить такую немонотонную в окрестности +<■> И в окрестности -со функцию чг в С^'К), ЧТО дгчх) —• о при х ® и 3±(<з2> = ® . но З±с !<•> |*ча> = о , а потому Жвсосд^г-ч^.о) < в> дая всех г > о (см. теорему 6.г).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. М.Ш.Бирману.'

Цитированная литература

£1] Скриганов М.М. Геометрические и арифметические метода в спектральной теории многомерных периодических операторов.-- Труды. МИАп СССР, 1985. CIXXI, С.I-I22.

[2] Kirsoh+/. , Sinon В. Comparison theorens for the gap of Schrodinger operators. - J, Funct. Anal., 75 (1987), no.2, 398-410.

[3] Бирман M.l. О спектре сингулярных грани1, .ых задач. -Матем. сб., 1981. т.55(97)., »2, с.126-174.

f4] Зэлэнко Л.Б. Асимптотическое распределение собственных значений в лакуне непрерывного спектра возмущённого оператора Шла. - Матем. заметки, 1978, т.20, »3, 1 с.341-350.

[5] Roi'e-Beketov F.S. Speotrun perturbations, the Kneser-tlpe oonstants and the effective Basses of 2ones-tipe Potentials. Constructive theory of funotions 84, Sofia, 16P\ p.757-766.

Сб] Бирман М.Ш. О дискретног,. сивктре в лакунах возмущённого ш"иодического опера, jpa второго- порядка. - Функцион. анализ и его прил., Z99I, т.26, вып.2. с.89-92.

[7] Глазмав И. М. Прямые метода качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных сдараторов. М.: физматгиз, 1963.*

г в] Рад М., Саймон Б. Метода современной математической физики, и.: Мир, 1982, т.4.

Публика;1ии по теме диссертации

1. Хрящйв С.В. о дискретном спектре возмущенного шриодического оператора Шредингера на оси. В кн.: "XIV школа ло теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.", Новгород, 1889, члн, с.78.

2. Хрящёв С.В. Дискретный спектр возмущённого шриодического оператора Шредингера. В кн.: "XV Всесоюзная школа по тэории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.", Ульяновск, 1990, ч.и, с.115.

3. Xhryashchev S.V. Disorete speotrun for a perlodio Sohrodinger operator perturbed by a 'decreasing potential. In: "Operator Theory: Advances and Applications.", vol. 46, Birkhauser Verlag Basel, 1990, pp.109-114:

4. Хряпйв С.В. О дискретном спектре возмущённого периодического оператора Шредингера. В кн.: "Исследования по линейным операторам и теории функций. 19" (Зап. научн. сомин. ЛОМИ, т.190), Л.: Наука, 1991, с.157 - 162.