Теоремы об интерполяции функциональных пространств функций, определенных в многомерной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ТВ од

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.Э.РАСУЛЗАДЕ

На правах рукописи УДК 517.51

ЯШ ХАЛИЛЬ ХАССАН

ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИОШЬШХ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ

01.01.01 - "Математический анализ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степещ кандидата физико-математических наук

Баку - 1994

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Азербайджанского инженерно-строительного университета.

Научные руководители:

- доктор физико-математических наук, профессор А.Д.Д&АБРАИЛОВ

- кандидат физико-математических наук, доцент А.Ш.ГЛДЕИЕВ

Официальные оппоненты;

- доктор физико-математических наук» профессор ГАЕИБ-ЗАДЕ А.Ш. - кандидат физико-математических наук, доцэнт ШЩОВ Ф.И.

Ведущая организация - Азербайдканская Государственная Нефтяная Академия

Защита диссертации состоится " " СНЧЖМЯ 1994 г.

Г

в Ш часов на заседании специализированного совета по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук Д 054.03.02 в Бакинском Государственном Университете им.М.Э.Ра-

сулзаде по адресу: 370073, г.Баку, ул.З.Халилова, 23. II корпус ауд.307.

С диссертацией молено ознакошться в библиотеке Бакиноногс Государственного Университета им.М.Э.Расулзаде.

Автореферат разослан " " ОМХрИга 1994 г.

Ученый секретарь Спьциализироеаиного Совета доктор физико-математических наук, профессор

ЯГУБОВ М.А.

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы.

Приведенные в этой диссертационной работе новые интегральные представления функций многих пачек переменных и другие исследования, связанные с построением и изучением различных свойств тространств дифференцируешь функций многих пачек переменны! и доказательства различных интегральных неравенств, типа теорем зложения этих пространств, относятся к той области матэматичео-юго анализа, которая получила самостоятельное развитие под наз-занием "теория пространств".

Основоположником и создателем этой теории считается акаде-

лнг С.Л.Соболев, в работах которого получены первые фувдамен-

сальные результаты этой теории. Наряду с теориями известных про-

;транств \ЛлГС£) -С.Л.Соболега - А.Н.Слободецского, Н'С, СО -

I у г

/.М.Никольского, - С.М.Школьского-ОоВ.Бесова,

^ (£} - весового пространства С.Л.Соболева-Л.Д.Кудрявцева„ з 1961-1962 гг. в работах С.¡¿.Никольского и немного позже в рантах А.Д.Джабраилова, Т.И„Амонова, В.П.Ильина, П.И.Лизоркина, ¡.М.Никольского, 0.В.Бесова, А.С.Джафарова, Я.С.Бугрова и других математиков были построены теории известных пространств

дефференцируемых функций многих переменных с доминирующими сме-юнннми производными и теории различных обобщений этих прост-)5к„тв. Эти исследования сделали необходимость создания общей 'еории пространств дифференцируемых функций многих пачек пере-тенных и круг задач, приведенных в этой диссерта:ши, является ¡оставной частью этой общей теории, что и обеспечивает актуаль- ' юсть темы диссертационной работы.

- 4 -

Цель работы и задачи исследования.

Целью диссертационной работы является изучение дифференциальных свойств функций, определенных в многомерной области и принадлежащих ж пересечению различных пространств функций многих пачек переменных. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

- построить пространства дифференцируемых функций многих пачек переменных типа

И С С) -пространств;

- разработать аппарат исследования дифференциальных свойств функций из построенных пространств, т.е. нужно доказать интегральные представления гладких функций многих пачек переменных;

- доказать теоремы об аппроксимации функций из построенных пространств посредством последовательности достаточно гладких финитных в £ГИ функций5

- доказать теоремы об интерполяции из пространств

в пространстве 1с(С) ;

- доказать теоремы об интерполянди из пространств

</>

Ъ/р СС) (/«'»2в пространстве (С) ?

- найти условия, при которых справедливы теоремы вложения

£ « у/р^сс.) ^ 4-

д.гя пространств функций .многих пачек переменных;

- сравнить полученные результата с известными.

Научная новизна.

Доказаны новые интегральные представления функций многих ^ачэк переменных, с помощью которых изучены различные свойства тостроенннх пространств функция многих пачек переменных. Доказаны новые теоремы об аппроксимации функций из построенных пространств посредством последовательности бесконечно дийфэренцируе-лых и финитных в Еп функций е нормах указанных пространств. Ъказаны теоремы об интерполяции пространств дифференцируемых функций многих пачек переменных,- определенных в многомерной об-гасти, удовлетворяющей условия " & -полурога". Найдены условия, гри которых справедливы теоремы вложения построенных пространств ! Ьр -пространстве.

Полученные в диссертации все научные результаты новые.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая и практическая значимость исследований, пря->еденных в диссертационной работе, заключается в том, что полу-[енные новые результаты представляют самостоятельный научный ин-■ерес в теории функциональных пространств и могут быть примене-и в теории дифференциальных уравнений в частных производных при >ешении граничных задач и при исследовании дифференциальных пойств обобщенных реодени" квазиэлллппгеесюы и гипоэдлшпкяес-ях дифференциальна уравнений э частных производных»

Апробатая работы. Все основные результаты диссертации док-:ал-вались на научном семинаре кафедры "Высшая иатематика" в .зйС7,

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит :з введения и четырех глав, э ка.?,дая глаза состоит из соответствиях параграфов, а параграфы из пунктов. Диосеогз^гя содержат 165 страниц машинописи. Библиография содер---;:? 44 наименований.

- 6 -

Публикации. Основные результаты диссертации достаточно нолю изложены в четырех статьях, список которых приводится в конце реферата о

СОДЕШШЙ ДИССЕРТАЦИИ

Лдссертацконная работа состоит из общего введения и четырех глав. Сначала о первой главе, где даются основные определения функциональных пространств, вводится интегральное представление гладких функций, по основе которого стоит набор вспомогательных функций. В диссертации исследуются функции точек

х =Су, * "¿«.з^к-.. х

многих пачек переменных

*к = С Ч,*-) ( Кв г' ■' 5)

определенных в многомерной области £с£„ , удовлетворяодих

условию " <7° -полурога".

Пусть

11/Ц -(Ш?**? ч- ЧР<-

С- с? а в случае р>-5 о©

"с£>-> О- у. ид.

Пусть И,да ) - "целочисленный неотрицательный"

вектор с координатами-вектора Л?к-.( - •-•- тк,ик) (Кс4<

т.е. М^ (. пк) при всех

Обозначим через ---

смелзаннуи проиэ'одяуг функции ^ , соответствующую сектору

Ие(и,< . ъп£) * при этом

змешанная производная по пачке переменных 'Ууг& Обозначим через

смешанную разность, соответствующую "целочисленному неотркца-гельному" вектору у— (У^ > • • - ^ /4 3 с коордккатагя'-вектора » С' • • ■2) по йапрааяенным 2Гб£ со смешанным шагом Ъ&В-ъ • ПРИ этом

Я "

смешанная разность по пачке с шагом

(нв^г,..., %)' т-е-

^»у) / - конечная разность порядка по

направлению с иагом (/** • %) пря

всех ^ =

полагаем, что £)Д6У/5 если Разность строится по

гочкам, принадлежащим области д. , вместе с соединяющими этрезкамя, а в противном случае ¿^(Ь, £)@ Вводим полунорму

ЛЬ = а)

с«

= ? С ц пО ¿ь |

к

- 8 -

в случав I < , а при 9- оо

Д<

V/ ^ ш

ШиУ VI«

Здесь «*■=() - "неотрицательный" вектор с коорди-наташ-вектора ' в)

при этом

с/

Ь "» I , I Кг*

п п Нч«

Цусть ~ ^РР Ук носитель вектора Ук = (^к^ •"-•-» ) *,в. ато множество вторых индексов отличных от нуля координата вектора , следовательно (в этих обозначениях)

£К\ * | V Ч115118Т0И

П П *****

Пусть = С^ * " * * * ^в ) - "неотрицательный" вектор с коор-данатэда-вектора (- . ) £)

Ьу Ое^г,...,^) при всех к* 4,»,..., е.

Обозначим [ ^ 3 - целую часть , - наиболь-

И9® целое число меньшее , при , а в слу-

чав |г„ . ^ о получается -о , следовательно каж-

к'3 V

дай фиксированный вектор |г определяет пару векторов

Р ГГ С У, '

; коордннатами-вектора

с координатами-вектора

^ответственно, {усть ¿о — (_ .» • . -

= ( <% ' •

иб° =0 при Есех Н =

1тот вектор обозначается через ^ , если

...^5) , а если

:ектор обозначается как ни* [олунорму (I), (2) обозначим через

II /

(3)

, э в случае ,

полунорму (2) обозна-

=сли Ш = у , /У= , ы. = у-у

т=/>] , ^ = 1— С

'эем через

спользуя полунорму (3) и (4), приводится определение функцио-альных пространств, исследованных в диссертации.

Дусть (3 - множество всенозкоккых Еекторов ¿'=(1',.Г5) координата ¿'н у которых приникает одно з значений (к=

оличество всевозможных Еекторов 1'= (г,..., сх)йС1 опре-

делается равенством

|<а | = п (14-»1К) (5)

К» 1

которое равно ю +1 при 5 = I, а в случае равно

2й , вообще

ом ^ 19 и £ . (6)

каждому положительному вектору |г = ( Ь.»• • • > 1г-$) и множеству векторов СЧ"•»1ж) &О ставится набор векторов $г45=£КЧ при всех ¿"6(5 с координа-®ами-вектора . ____,0) при К&.

--V » т.е. при , а в случае

(%>г • • ^ °) 01)15 Есех

следовательно определяется набор векторов

при всех

Вводим норму

Т> Се) 1-р СС)

«Ли>г; Ь II/11.^

(7)

(8)

Огговцелете X. Пространством Wp С С) называется множество пзмзрижя в области С с. функций, у которых существует обобщенные (л столе С.Л.Соболева) производные Ху £ при

всех > для которых конечна норма (7). Норму в этой

пространства определяем равенством (7).

Определение 2. Пространством С£) называется мно-

жество измеримых в области 0<с. Лункцнй, у которых в области существуют обобщенные (е смысле С.Л„Соболева) производныо $ при всех /'ёф > причем конечна норма (8). Норму в этом пространстве определяем равенством (8). Определений 3.

Пространством У/р (£) (II)

называется замыкание множества достаточно гладких финитных в

£п функций по норда (7).

Определение 4. Пространством Вя^п (С) называется за- •

г? &

мыкание множества достаточно гладких финитных в £щ функций по норме (8).

Обозначим через

V От)

при фиксированном "положительном" векторе ( ^ ' ' '' * наименьшее Енпуклое тело, натянутое на точки

( • • • , V?) при всех .

Определение 5. Пространством М/р СО) называется

тзкжество измеримых в области О £ъ функций, у которых в области существуют обобщенные (в смысле С.Л.Сооолева) производные при Есех и конечна норма.

11Ли^> = С II Л,<->,.. (12)

щ

'р СО [£)

Норму в этом пространстве определяем равенством (12).

Определение 6. Пространством 0р^п СО называется

г > &

лнояество измеримых в области О С- Еъ Функций, у которых

существуют в области обобщенные (в смысле СЛ.Соболева) произ-5 л

водные £> I при всех и е у/- С ¡г) и конечна норма

~ I ^ (13)

Норму в атом пространстве определяем равенством (13).

Определяется класс с С & I И) областей £ с Вп , удовлетворяющих условию " & -полурота", гда ( ^ ... г ^ полонительный вектор с координатамн-вектора = о^ „ )

(К = Ал 2., -. Этот класс областей, в случае 5 =1

совпадает с.классом областей, удовлетворяющих условия " о1 -рога", определенного 0.В.Бесовым, а в случае 5 = п этот класс областей совпадает с классом областей, удовлетворяющих условии "прямоугольников", оцределенных в работах В.П.Ильина, А.Д.Джаб-раилова и других. Определяется также класс С£ (в-^Н) областей, удовлетворяющих условию сильного " о' -полурога", подобно тому как О.В.Бесов определяет класс областей, удовлетворяющих условию сильного " сг'-рога". Пусть

- А'» С А; ^

-"целочисленные неотрицательные" векторы, причем о £ V $ ГО+Л'

т.е. О ^ ^ 0= ьг,.йк)

при всех Кс^г^..^.

С помочью Еектэров (14) определяется набор векторов ( ет*', .. V уп1/) ,

¡Л 1

и доказывается справедливость интегрального представления достаточно гладких функций многих пачек переменных:

Л>У<х)* ÏZ Ч-Jtx)

Здесь

Ь ^

о .к

{/ а J[ /(-^Г) /ft5 ^(•..) л■,

при этом , e.l'*svfff , y^KMV^)

КI + < V °к )+ "Ч*?** при Г„ & Si>?p>

/V* =1

при ^ £ Sf^Aîf • где \0>Ki ebfe, + ... + ,

Як

Ядра j Г• • • ). - достаточно гладкие и финитные функции, определенные в .

С помощью интегрального представления (15),(16) строится набор Еспомогательншс функций, совпадающих на подобластях, покрыЕаюэдх область Q о функцией , определенный равенствами

(15),(16).

(15)

(16)

- 14 -

Вторая глава диссертации посвящена вопросу об аппроксимации функций из построенных пространств Ч'р'^с) и

посредством последовательности бесконечно дифференцируемых и финитных в Еп функций в кормах указанных пространств.

Твоувт I.

Г) Пусть ^ в*"«» где 1 £ Р ^ Р 00 > Ь = - "положительный"

вектор с координатами-вактора = " * ^«к^

2) Пусть область СО) '

где 1/-СН, > Ни> • ( ц) , о4г>

вектор с координатамк-Еектора ск = С°><,| ■» •••-» "к,^) (к»!»«/---..*) при этом огк. ~ ^, при всех к= 1,1,..

Тогда существует 'строится) последовательность функций

^(Х) ( УсЪа,...) • имеющих непрерывные производные любого порядка и финитных в ¿тг , такой, .что

= о

°° О*'

^у-»«» СО '

Эти результаты в сл^ае 5=1 совпадают с соответствующими результатами для пространств Вр^р (£) - 0.В.Бесова - С.М.Никольского и пространств \VpCO ~ С.Я.Соболева - А.Н.Слобо-децкого, доказанных О.В.Бесовыл и В.II.Ильиным, а в случае 5 = п эти результаты совпадают с соответствующими результатами для известных пространств вр^ВСС) и , доказан-

ных А.Д.Дкабраилозкм.

- 15 -

Третья глава посЕящоиа вопросу интерполяции из пространств б^рС«) О* 1, £) в пространство

Теорема 2. г

1) Пусть

где ^^^оо .-.,»£)

/•« 1..2.,. . ^ - положительные векторы с координатами-векто-ра С*»»'«'-'«)

г.е. у^ >е> ( и*) при вовх

2) Пусть А^О , Збозначим

А . *

Г-1 /*■! '

к, „

Полагаем, что область (?ее С оЧн) » где Н=(Н,НЛ) ^ I >о £) а= ( С, , • -££.)=•£• = (-¿"—.»-¿г )

'.е. область удовлетворяет условйю " -р - полурога".

3) Пусть - целочисленный неотрицатель-

на вектор с координатаыи-вактора я (, - -. ^ Ук,цк)

I, ^

ри этом

- 16 -

при sees K = s , причем равенство до-

пускаемся только а случае jL < ^< оо (.р&^г,.

Тогда j-ffbLttC-'i и справедливо неравенство

Ь& К „СС)>

при V ^ О , С -постоянная,

независящая от функции fix) и вектора h =

Жи при \(€SUfpi при и Ф soppf

Класс областей (в этой теореме), такой, что геометрия области соответствует интерполяции показателей гладкости пространств

.а V/ ' т'е'

В"* -ь ^

=(V) и«**«,. /»=»

при всех К=3.,2,,<,

Результаты атой теоремы (в случав г = I) для известных пространств О.Е.Бесова - С.Никольского доказаны 3.Д.Ильиным» а в случае 5гП для лрос транс те Н С

- IV - •

[оказаны СЛ.Никольским, а для пространств С.®)

= fi) доказаны (разными методами) А.Д.Джабраи-

:овым и Й.Т.Амоновым.

В этой главе докизаны аналогичные теоремы для пространств

®{.Г - ti<.) Для более общих классов об-

астей, т.е^ в случае, когда область G аудовлетворяет слоеию произвольного " о'-полурога", когда o^j >о - про-зЕСльное ( j -• • •> rt*) при всех K=*s з, • • -j в ,

о е этом случае вместо условия (I?) полагаем

(£1 ^ ) С VK , j- -j)) ^¿О (18)

зи всех l'&Q и Кб suffi' , при этом нэравенотво * ) доказаны с той разницей, что

[а - определены'равенством (18) при Кб svfpi'

в случае kjâsvppt*

> А)- . Cie*)

этой главе доказаны теоремы вложения вида J)v. Вр^СС) L-fCC)

В четвертой главе исследуются дифференциальные свойства нкций многих пачек переменных, принадлежащих пространствам

- 18 -

Теорема 3. м

—- У ^ <-У?

X) Пусть О«1' (19)

1 $ 5. $ «> С/*I,А с ^ • •^) -

"положительные векторы" с координатэми-вектора

^ = С *Ч| >Чпн) Си*!,в)

2) Цусть область 6?£С(<//Н) , где Н = ( Н,.» -•••'Нг) >о = 5) с'=С о; •

к

произвольный "положительный" вектор с координаташ-Евктора

т-е- ... при Есех к = .....

3) Пусть £ £

к * ^ р ¿Г' * ' 9

гдв-1 *> 0=

' /

4) Цусть ( Ц -» • - • > >0 - "целочисленный неотрицательный" вектор с координата,да-вектора = ( "•'^К.О

= . ., г) . при этом полагаем, что

при всех еъоррс

причем равенство •=. с предполагается только в случае

' К

Тогда

при этом справедливы неравенства

Л

ри О < Ьк н^ с - - , й) , х'дв С - постоян-

ен, независящая от функции и вектора )

~ определены равенствами (20) при К¿.Ъиррс , - определены равенствами (13х) при К^ъиррс .

Рассмотрим такде случай этой теоремы, когда геометрия об-асти . £ £ ССо'-^Н) соответствует интерполяции показателей, ладности пространств (19). Это соответствует случаю, когда ко-рдинаты ( З-Ы*— * "к5" при всех К = 1,«

пределяются равенством

Л „

Е К^,) )

Из теоремы интерполяции пространств (в. случав и = I) недуют интегральные неравенства типа теорем влояешя вида:

Результаты этой теоремы в случае 5=1 'содержатся в »ботах В.П.Ильина, а в случав 5 = и для целочислентрс у^ в работах П.И.Лизоркина, и.М.Никольского и в работах А.Д.Дааб-эплова.

- 20 -

В заключении считаю приятнш долгом поблагодарить профессора А.Д.Дкабраидова и доцента А.Ш.Гадегиевя зя постоянное внимание при выполнении диссерта^юнной работы.

По теме диссертации опубликованы следущае работы:

1. Лжабраилов А.Д., Якья Х.К. Теоремы об аппроксимации

■м

функций из пространств \Д/р посредством ппследовотельнос-

ти бесконечно дифференцируемых финитных в £п функциЛ. Дел. в Аз ШИШИ, 22.03.93 г., 1963 - Аз.

2. Дяабраилои А.Д.", Яхья Х.Х. Теоремы об аппроксимации функции из пространств Bp^e СС) посредством последовательности бесконечно дифференцируемых финитных в £п функций. Деп. в АзШЙНТИ, 31.03.93 г., й 1959 - Аз.

3. Яхья 1.Х. Об одном интегральном представлении функции многих пачек переманных и построение вспомогательных функций. Деп. в АзНИИНГИ, 29.03.93 г., № 1965 - Аз.

. 4, Яхья Х.Х. Теореш интерполяции из пространств

Во*СО С*"1'0'--'*) ^ 1?Сс1 (в начаты)

1оЬ1а Хэлил Ьэсэн

Чохйлчулу областда тэ^ин олунмуш функси^аларын фупксионал фозаларцнии ш:терпс^запаса Ьаггинда теоремлэр

X У. Л А С Э

Областда тэ^ин олуш.уд чох дэ^шэнли дифферекскояланен функ-|^аларын ^ени фэзалары гурулур вэ бу функои^алар уч*н ^ени интегра ¡рнлышлар верили р.

Бу фэзалардан кэтурулшш функси^алара оонсуз диф^еренсиалланан шит функс^алар ардычыллыгы илэ jaxынлaIIшa теоремлэри исбат олуку

Гурулмуш фэзалнрнн интерползас^асы теоремлэри иобат едилир.

y&HYA KftUJL НАЗВАН

"iïieoreae on interpolation of functional epaoea of funotione defined in many-reriabla domain".

аишшх

Леи functional spaces of manj-Yariable differentiate jfiiaotioaa ere constructed (The functions are defined on some

dcaaainaJ.

Integral srepraaentotione for euTfioienïiy œsooik fuñoti от

ï&®or«iBS on epproxisiation of funotione froa» thasa spaces by вэалэ ©í aequejueeo of inflniteljr-dlfferentieble finit® fmietioao ere provea.

2nîarpslati®n thoorema for constructed epacee era soroved.