Теоремы типа Шевалле для дискретных групп комплексных отражений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Мл

с /г

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

09-5

1474

На правах рукописи УДК 512.817

Шварцман Осип Владимирович

ТЕОРЕМЫ ТИПА ШЕВАЛЛЕ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП КОМПЛЕКСНЫХ ОТРАЖЕНИЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии факультета математики Государственного университета - Высшая школа экономики

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук Веснин Андрей Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Винберг Эрнест Борисович доктор физико-математических наук, профессор Попов Владимир Леонидович

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института имени В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 16 октября 2009 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор / А. О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа относится к тому направлению математики, которое можно назвать трансцендентной теорией инвариантов (ТТИ) или теорией инвариантов дискретных групп преобразований.

В алгебраической теории инвариантов типичной является ситуация, когда алгебраическая группа СИ действует на аффинном алгебраическом многообразии V над полем К, и ставится задача описания алгебры регулярных функций на многобразии V, инвариантных относительно действия группы С.

В трансцендентной теории инвариантов мы имеем дело с дискретными группами преобразований. Здесь типична ситуация, когда имеется дискретная группа Г автоморфизмов эрмитова симметрического пространства X некомпактного типа, и действие Г на X таково, что факторпространство Х/Т имеет конечный объем. Такие дискретные группы называются решетками. Группы с компактным факторпро-страиством называются кокомпактными (равномерными) решетками или кристаллографическими группами.

Следующий важный вопрос: что служит аналогом алгебры регулярных функций К[]/]1 Запас голоморфных функций на эрмитовом симметрическом пространстве X велик, но Г-инвариантными среди них оказываются только константы. Для кристаллографических групп причина этого проста: на компактном аналитическом пространстве Х/Т не существует голоморфных функций, отличных от констант. Выход из положения подсказывает классическая теория автоморфных форм: нужно линеаризовать действие группы Г, то есть продолжить это действие (согласованным образом) с X на линейное голоморфное расслоение Ь над X или, другими словами, рассмотреть Г-расслоение Ь над X. И тогда главным для ТТИ объектом оказывается градуированная алгебра С = £(Ь) = ® Н°(Ьт,Х) голоморфных сечений

тензорных степеней расслоения Ь. Группа Г естественно действует автоморфизмами алгебры £, и ставится задача описания структуры алгебры инвариантов А — С?.

Алгебра инвариантов А была известна ещё в 19 веке под именем алгебры Г — а-автоморфных форм. Функция двух переменных а(-у, г), 7 е Г, х € X, называется коциклом (фактором автоморфности) группы Г, если при фиксированном 7 функция 0(7, х) голоморфна по г и нигде не обращается в нуль. Кроме этого, она удовлетворяет условию <1(7172,2;) == а(7ь 722)0,(72, х) для любых 71 и 72 из группы Г и х € X. В качестве примера рассмотрим определитель Якоби (якобиан) Л7>ж) преобразования 7 € Г в точке х € X.

Голоморфная в X функция /(ж) называется Г — а-автоморфной формой целого веса I, если /(72:) = а1(-у,х) ■ /(х).

Через Л; обозначим комплексное линейное пространство автоморф-

ных форм веса I, и пусть А — А(Г, а) = ф Л; - градуированная ал-

;>а

гебра автоморфных форм, отвечающая коциклу а группы Г. Алгебра Л(Г, называется алгеброй классических автоморфных форм. Опишем на языке автоморфных форм наиболее важные результаты ТТИ, которые имеют прямое отношение к теме данной работы.

Математики 19 и начала 20 века (например, школа Ф. Клейна) занимались, в частности, следующей задачей: пусть в единичном комплексном диске В = {г £ С | \г\ < 1} действует дискретная группа его автоморфизмов Г. Предположим, что факторпространство В/Г компактно или имеет конечный объем. Что можно сказать в этом случае о структуре алгебры А классических автоморфных форм? Насколько автору известно, никаких общих теорем этот период развития ТТИ после себя не оставил. Но осталось множество ценных примеров. Так, было показано, что для модулярной группы РБЬ{2, Ъ) алгебра А свободно порождается формой веса 2 и формой веса 3 \ а для тре-

гСерр Ж-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972.

угольной группы Т(2, 3, 7) алгебра классических автоморфных форм есть гиперповерхность С[Х, У, Z]/{X2 + У"3 + Z7) 2.

После долгого перерыва интерес к этой тематике возродился в 80-е годы прошлого века в связи с теорией В.И. Арнольда квазиоднородных двумерных особенностей. В своей пионерской работе3 И.В. Долгачев показал, что такие особенности допускают униформи-зацию автоморфными формами для подходящих фуксовых групп Г. Главным итогом последовавшего периода развития этого направления ТТИ явилась классификация таких решеток Г в диске В, для которых алгебра Г — ^автоморфных форм имеет не больше трех образую-

ЩИХ2'3''1.

Вопрос о том, для каких групп Г и коциклов а алгебра Г — а-автоморфных форм свободна (т.е. является алгеброй многочленов), в этих работах не рассматривался. Причина понятна: свобода алгебры А означает отсутствие особенности. С другой стороны, вопрос о свободных алгебрах автоморфных форм является первоочередным с точки зрения теории инвариантов. Он интересен еще и потому, что свободные алгебры классических автоморфных форм встречались не только в размерности 1. Гундлах рассматривал кольцо целых О вещественного квадратичного расширения К — Q(\/5) и группу Г = PSL('2,Ö), которая дискретно действует на произведении X = В X В двух одномерных комплексных дисков. Расширив группу Г с помощью автоморфизма X, меняющего местами диски, Гундлах доказал5, что алгебра классических автоморфных форм для расши-

2Wagreich P. Algebras of aiitomorphic forma with few generators // lïans. Aincr. Math. Soc. -1980. - V. 262. - P. 367-389.

3 Долгачев И,В. Аптоморфные группы и кпазиоднородные особенности // Фуикц.анализ и его прил. - 1975. - Т. 9, N 1. - С. 67-G8.

"■Mllnor J. On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M(p,q,r) // Ann. Math. Studies. 1S75. -V. 84. - P. 175-225

5Gundiach K.B. Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahl когрегн

Q(yJ5) // Math. Ann. - 1963. V. 152. - P. 226-256.

ренной группы является свободной алгеброй с тремя образующими. Вслед за Гундлахом, в рамках программы Хирцебруха по исследованию модулярных поверхностей Гильберта, была изучена структура алгебры А для расширенных модулярных групп Гильберта Г над кольцами целых Ok вещественных квадратичных расширений К = Q(%/2?) (D < 13) 6. Хольцапфель рассмотрел группу PSU(2,1,Z[w]), и) = дискретно действующую в комплексном шаре В2 = {(zi.zj) | l^l2 + |2г|2 < !}■ Обозначим через Г её конгруэнц-подгруппу по модулю \f— 3. Тогда алгебра А классических Г-автоморфных форм есть свободная алгебра с тремя образующими7.

В размерности 3 важное достижение принадлежит Игузе8. В качестве X он рассматривал эрмитово симметрическое пространство, которое состоит из комплексных симметрических 2x2 матриц S, удовлетворяющих условию Im S > 0. На этом пространстве действует модулярная группа Зигеля Г = PSp±(b), причем факторпро-странство X/Y имеет конечный объем, но некомпактно. Игуза доказал, что алгебра А классических Г-автоморфных форм является свободной алгеброй с четырьмя образующими, веса которых равны 4, 6, 10 и 12. Опираясь на теорему Игузы, удалось полностью описать структуру алгебры классических автоморфных форм для некоторых конгруэнц-подгрупп небольшого индекса в модулярной группе Зигеля Г 9. Заметим, что все перечисленные результаты о свободе касаются исключительно арифметических неравномерных решеток. Если размерность X больше трех, то о структуре алгебр автоморфных форм, по-видимому, известно крайне мало. На сегодняшний день даже вычи-

тал der Geer G. Hilbert modular surfaces. - Berlin: Springer, 1Ö88.

7Holzapfel R-P, Geometry and arithmetic around Euler partial Differential Equations:. - Dortrecht: D.Reidel, 1986.

sIgusa J-I. On Siegel modular forms of genus two // Amer.J.Math. - 1964. - V. 86. - P. 219-2.16.

"Runge В. On Siegel modular forms of genus two // J.reine und angew. Math. - 1993. - V. 436. -P. 57-85.

сление размерности г-той градуированной компоненты такой алгебры вызывает большие трудности.

Задача об описании свободных алгебр автоморфных форм была поставлена автором в конце 80-х годов прошлого века. Кроме уже упомянутых результатов ТТИ, здесь сказалось и влияние московской школы Э.Б. Винберга, добившейся больших успехов в классификации линейных действий полупростых алгебраических групп со свободной алгеброй инвариантов10,11.

Рассмотрим дискретную кокомпактную группу Г, действующую на эрмитовом симметрическом пространстве X размерности I. Назовем группу Г хорошей, если существует такой коцикл а(у,х), что алгебра Г — а-автоморфных форм А является алгеброй многочленов от (/ + 1)-ой переменной. Соответствующий коцикл а называется свободным коциклом. Задача состоит в том, чтобы найти все хорошие группы и их свободные коциклы.

В качестве X в работе рассматриваются эрмитово комплексное аффинное пространство С' и единичный диск В = {z € C||z| < 1}. Из чисто топологического утверждения (теорема 1.2 главы I) и стандартных фактов алгебраической геометрии3,12,13 следует, что хорошая группа, действующая на любом из этих пространств, порождается отражениями.

Элемент 7 € AutX называется отражением (иногда говорят о комплексном отражении), если

а) множество Fix7 его неподвижных точек непусто;

10Винберг Э.Б. Эффективная теория инвариантов // Алгебра. Сборник работ, посвященный 90-летию со дня рождения О.Ю.Шмидта. - М.: МГУ, 1982. - С. 27-31.

11Винберг Э.Б., Попов B.JI. Теория инвариантов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 55. - С. 139-309.

l2Baily W. L. On embedding of K-rnanifoIds in projective space // Amer. .J. Math. - 195?. - V. 79. - P. 403-130.

,3Baily W. Introductory lectures on automorphic forma. - Ivanami Shotcn and Prinston Univ. Press, 1973. - ch. 5.

б) комплексном коразмерность множества Fix7 равна единице.

Дискретная группа Г автоморфизмов X называется группой отражений, если группа Г порождается отражениями.

Классическую теорему Шевалле14 можно понимать как утверждение о том, что конечная проективная группа отражений является хорошей (см. п.2.1 во введении). По этой причине теоремы о том, что какая-то группа отражений является хорошей, названы в работе теоремами типа Шевалле (теоремами Шевалле) для различных классов групп отражений. Важная роль групп отражений в современной математике подчеркнута в двух фундаментальных обзорах15,16.

Итак, хорошие группы следует искать среди дискретных ко компактных групп, действующих на пространстве X и порожденных отражениями. Опишем детальнее рассматриваемые в работе классы дискретных групп отражений.

Пусть X - это эрмитово аффинное комплексное пространство С', Г - кристаллографическая группа отражений в С1 и ¿Г - линейная группа, состоящая из дифференциалов d'y всех преобразований 7 из группы Г (группа линейных частей). Если Г есть группа отражений, то группа cíF является линейной группой отражений. По теореме Бибербаха17 группа dF конечна для любой кристаллографической группы движений эрмитова пространства С'. Таким образом, сЯГ - конечная линейная группа отражений. Все такие группы были перечислены Шепардом и Тоддом18. Среди них выделяются веще-

uChevaliey С. Invariants of finite groups generated by reflections // Amer.J. Math. - 1955. - V. 77. - P. 778-782.

"Dolgachev I.V. Reflection groups in algebraic geometry // BuILAMS. - 2008. - V. 45, N 1. - P. 1-60.

leGivental A.V. Reflection groups in singularity theory // Amer. Math. Soc. Translations. - 1992. -V. 153. - P. 39-71.

17Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. - М.: Наука, 1988.

'"Shephard G. С., Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Cañad. J. Math. - 1954. -V.fi. -P. 274-304.

ственные группы отражений, т.е. такие конечные линейные группы, порожденные отражениями, которые в некотором базисе комплексного линейного пространства записываются вещественными матрицами. Классификация вещественных групп отражений принадлежит Кокстеру19, и такие группы носят его имя. Конечные линейные группы отражений, не входящие в список Кокстера, называются группами Шепарда-Тодда. Если группа dT есть группа Кокстера, то группа отражений Г называется комплексной кристаллографической группой Кокстера (сокращенно сссг-группой). Если же группа линейных частей (1Г есть группа Шепарда-Тодда, то группа отражений Г называется комплексной кристаллографической группой Шепарда-Тодда. В диссертации исследуются комплексные кристаллографические группы Кокстера.

Пусть в качестве X рассматривается комплексный одномерный диск В. В этом случае кокомпактная дискретная группа отражений Г, действующая в диске В, является фуксовой группой рода нуль17.

Цель работы: доказать теорему типа Шевалле для cccr-групп в €', решить задачу о свободных алгебрах автоморфных форм в диске В, получить аналог классической теоремы Шевалле для бесконечных линейных групп отражений в С2.

Методы исследования. В работе используются классические методы коммутативной алгебры, теории групп отражений, комплексного анализа и геометрии Лобачевского.

Научная новизна. Результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1) доказана необходимость появления групп отражений в задаче о свободных алгебрах автоморфных форм;

2) дана классификация комплексных кристаллографических групп

19Coxeter H.M.S. Discrete groups generated by reflections // Ann.of Math. - 1934. - V. 35. -P. 588-621.

Кокстера в терминах оснащенных конечных систем корней;

3) проведена классификация комплексных кристаллографических групп Кокстера с помощью аффинных систем корней;

4) вычислена группа четных коциклов комплексных кристаллографических групп Кокстера;

5) для всех неприводимых комплексных кристаллографических групп Кокстера (за исключением групп типа D{) доказана теорема Шевалле;

6) найдены все свободные коциклы для фуксовых групп рода нуль;

7) доказана теорема Шевалле для бесконечных линейных групп отражений в С2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Некоторые её результаты уже нашли применение в теории особенностей16, теории алгебр Кричевера-Новикова20,21 и конформной 2£>-теории поля22.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях следующих семинаров на Механико-математическом факультете МГУ: семинар "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессора Э. Б. Винберга и профессора A. JI. Онищика (март 1998 года, февраль 2004года, апрель 2008 года), семинар "Комплексный анализ" под руководством профессора В. К. Белошапки, профессора А. Г. Сергеева, члена-корреспондента РАН, профессора Е. М. Чирки (март 2008 года). Кроме того, результаты диссертации докладывались в Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН на семинаре отдела алгебры под руководством члена-корреспон-

20Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры Ли // Функц.апализ и его прил. - 1990. -Т. 24. - С. 51-61.

31Шейнман O.k. Алгебры Кри-чевера - Новикова и ССС-группы // Успехи мат.наук. - 1995. -Т. 50. - С. 253-254.

"Dubrovm В., Zhang Y. Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds // Corapositio Math. - 199Я. - V. Ill, N 2. - P. 167-219.

дента РАН. профессора А. Н. Паршина (апрель 2008 года) и в ПОМИ РАН на семинаре лаборатории алгебры и теории чисел (апрель 2009 года), а также на семинаре профессора Г. Хардера (Институт Макса Планка, Бонн, июнь 1998 года), семинаре профессора X. Хеллинга (Университет Билефельд, июль 1998 и 2004 года) и на международных конференциях "Reflection groups and applications" (Триест, январь 1998 года), "Transformation Groups" (Москва, декабрь 2007 года). В марте 2003 года автор выступал с докладом "О теореме Шевалле для гиперболических групп отражений в С2" на заседании Московского математического общества.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-12].

Личный вклад. Диссертационная работа является итогом многолетних исследований, объединенных общей задачей, постановка которой принадлежит автору. Все результаты главы I, главы IV, главы V и их доказательства получены автором самостоятельно.

В главе II автору принадлежит классификация комплексных кристаллографических групп Кокстера в терминах оснащенных конечных систем корней (теоремы 1.3, 1.4 и их доказательства). Теоремы 3.1, 3.2 и их доказательства принадлежат автору и И. Н. Бернштейну.

В главе III автором получено описание группы четных коциклов для ссст-групп (теорема 2.4 §2 и её доказательство). Доказательство теоремы Шевалле для сссг-групп (теорема 3.1 главы III) принадлежит автору и И. Н. Бернштейну.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав ( имеются два приложения к главе III и одно приложение к главе V). Список литературы включает 81 наименование. Объем диссертации -128 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы и её краткое содержание по главам.

В главе I содержится топологический результат, с помощью которого доказывается, что хорошие группы являются группами отражений.

Пусть X - неприводимое комплексное аналитическое пространство13, относительно которого предполагается, что комплексная коразмерность множества его особых точек SingX больше единицы.

Определение. Группа я{(Х) = 7п(Х—SingX) называется существенной фундаментальной группой пространства X.

Пусть Г - дискретная группа автоморфизмов пространства X и У = Х/Г - неприводимое аналитическое пространство. Тогда определен гомоморфизм 7rf(X) -> 7Г®(У) (лемма 1.1).

Теорема 1.2. Гомоморфизм irf{X) —> 7rf (Y) тогда и только тогда является эпиморфизмом, когда группа Г порождается отражениями.

Доказательство теоремы 1.2 опирается на ключевую лемму 1.3, которая является обобщением теоремы Армстронга23.

Лемма 1.3. Пусть V - линейно связное топологическое многообразие, Г - дискретная группа гомеоморфизмов V, и Гj - (нормальная) подгруппа в Г, порожденная элементами, имеющими неподвижные точки при действии на V. Естественный гомоморфизм 7Ti(V) —» 7Г1(К/Г) тогда и только тогда является эпиморфизмом, когда Г = Г/.

Пространство X называется сильно односвязным, если 7Ti(X) = 1. В §2 доказано, что взвешенное проективное пространство сильно односвязно.

23 Armstrong M. A. On the fundamental group of an orbit space // Proc. Camb. Philos. Soc. - 19G8. - V. 64. - P. 299-301.

Глава II диссертации посвящена классификации комплексных кристаллографических групп Кокстера (cccr-групп) с точностью до аффинных преобразований.

Пусть V - конечномерное аффинное комплексное пространство, L - присоединенное к V линейное пространство, Г - дискретная группа аффинных преобразований V. Аффинное преобразование г является отражением, если множество его неподвижных точек есть гиперплоскость. Эта гиперплоскость называется зеркалом отражения. Дискретная подгруппа Г группы аффинных преобразований V называется сс-группой, если Т = ГП1< есть решетка полного ранга в L (т.е. фактор-пространство V/T компактно). Точка х £ V называется специальной для сс-группы Г, если Г = Г Х-Т (здесь Г л - стабилизатор точки х). Сс-группа Г называется расщепимой, если у неё есть специальная точка.

Определение. Комплексной кристаллографической группой Кокстера (сссг-группой) называется сс-группа, порожденная отражениями, у которой группа линейных частей есть группа Кокстера.

Для обозначения cccr-групп используется буква W. Через n(W) обозначается множество зеркал всех отражений из группы W .

Лемма 1.1. Любая сссг-группа W расщепима.

Комплексная кристаллографическая группа называется неприводимой, если она не изоморфна нетривиальному прямому произведению со-групп. Каждая сссг-группа есть прямое произведение неприводимых сссг-групп (предложение 1.2). Поэтому, ввиду леммы 1.1, достаточно классифицировать только отмеченные (специальной точкой) неприводимые сссг-группы. Классификация начинается в п.1.3 с конструкции отмеченной неприводимой cccr-группы с помощью оснащенной конечной системы корней.

Пусть R - неприводимая приведенная система корней в двойственном пространстве Lv 24. Пусть Wo - группа Вейля системы кор-

,4Стейиберг Р. Лекции о группах Шевалле. - М.: Мир, 1975.

ней R и <, > - И'о-инвариантная невырожденная эрмитова форма на пространстве L, с помощью которой мы отождествим пространства L и Lv. Все корни из R делятся на длинные (|а| = l¡) и короткие

(|а| = 1а) (возможно, что l¡ = ls). Положим р = p(R) = ' Тогда

р — 1,2,3 24. Каждому корню а Е R поставим в соответствие полную решетку аа Е С и потребуем, чтобы при этом выполнялись следующие условия:

а) если |а| = |/3|, то аа = а/?;

б) если |а| < |/3|, то ар подрешетка в йа индекса [а„ : О/з] < р (то есть, либо а0 = ар, либо [аа : а/)] = р, поскольку р = 1 или р - простое число).

Множество пар {(а, аа),а 6 R} назовем оснащенной системой корней и обозначим через а.

Рассмотрим аффинное пространство V с отмеченной точкой xq — 0, ассоциированное с линейным пространством L, и пусть П(о) -система гиперплоскостей в V вида 7г(а,г) = {z б V\ot(z) — т}, а € R, т е аа.

Теорема 1.3. Пусть W = W{<\) - группа аффинных преобразований V", порожденная отражениями г(а, т) в гиперплоскостях системы П(о). Тогда

1) W - неприводимая ссст-группа, и xq - её специальная точка;

2) ЩИО - П(в);

3) любая неприводимая отмеченная ссст-группа изоморфна группе вида W(a).

Теорема 1.3 показывает, что для классификации отмеченных ссст-групп достаточно описать изоморфизмы cccr-групп вида И^а). Это делается в п.1.4. Две оснащенные системы корней а = {(а, aQ), а Е- Я} и а' = {(/3, а^),/3 б R'} назовем подобными, если существует такой изоморфизм систем корней -ф: RR' и такое А £ С*, что Ааа = для любого a G R. Линейное преобразование <р — А о ф\ L —>• L определяет изоморфизм отмеченных cccr-групп 1У(а) —> W(a').

Для любой оснащенной системы корней а можно рассмотреть двойственную оснащенную систему корней а"1" = {(a'nv, ajj™), а £ R}, которая строится по следующему правилу;

если а - длинный корень, то а"1" = а и oj,™ = аа; если а - короткий корень, то а""' = ра и а™ - раа, где р ~ р{а) = [а3: ог].

Теорема 1.4. Любой изоморфизм <р: 1У(о) —> W(a') отмеченных сссх-групп определяется подобием либо оснащенных систем a и а', либо оснащенных систем а"*" и а'. Подобие ip = (ф, Л) определено с точностью до замены <р на = (—ф, —Л).

Доказательство теоремы 1,3 содержится в п.1.5, а теорема 1.4 доказана в п.1.6. Отметим, что классификация комплексных кристаллографических групп Шепарда-Тодда принадлежит В. Л. Попову28.

В §2 и §3 содержится классификация сссг-групп в терминах аффинных систем корней. В дальнейшем S обозначает неприводимую вполне приведенную нормированную аффинную систему корней в вещественном аффинном пространстве Vr. Через Ws обозначим группу Вейля аффинной системы корней S 26 (п.2.1, 2.2). Пусть R - неприводимая приведенная система корней и р — 1 или p(R). В п.2.3 по паре (jR,p) строится аффинная система корней 5 = S(R,p). Для любого корня а € R определим целое число ра, полагая

!1, если а - короткий корень, р, если а - длинный корень.

Пусть S(R,p) - множество линейных функций вида {а + ра1\ oí £ R, I G Z}. Тогда S(R,p) есть нормированная вполне приведенная неприводимая аффинная система корней и dS = R.

Обратно, пусть S - неприводимая вполне приведенная нормиро-

иPopov V. L. Discrete complex reflection groups // Communications of the Mathematical Institute, Rijkeuniversiteit Utrecht. - 1982. - P. 1-89.

3eMacdonald I.G. Affine root systems and Dedekind's (¡-function // Invent. Math. - 1972. - V.15. -P. 91-143.

ванная аффинная система корней, Я = йБ, а р = р(Б) - такое минимальное положительное число, что 5 + р = 3. Тогда р — 1 или р(К] и 5 = 5(Д,р) 26.

Наряду с аффинной системой корней 5 = £>(й,р) определим систему корней полагая р™" = —, а'™ = = {а;пи|

Ра

а 6 К} и = 5'(Д,'ш\р) = {а1'™ + р^а''»" 6 I £ Ъ~).

В п.3.1 по аффинной системе корней 5 и комплексному числу т, 1тг > 0, строится сссг-группа У/{Б, т). Пусть Б - аффинная система корней в вещественном аффинном пространстве Ук. Рассмотрим Б как систему (аффинных) линейных функций на комплексном аффинном пространстве V = Ущ + Ь(Уц) ® С. Для любых а£5и<;£2 положим ■к(а,к) = {г ё V | та(г) = к}. Множество всех гиперплоскостей 7г(а, к) обозначим через П(5, г). Пусть 1^(5, г) - группа, порожденная отражениями в гиперплоскостях системы П(5, г). Теорема 3.1.

а) Группа Ш(Б,т) есть сссг-группа и П(5, т) = П(1У(5, т)).

б) Любая неприводимая сссг-группа изоморфна группе вида г).

Теорема 3.1 показывает, что достаточно описать изоморфизмы групп 1¥(3,т). Пусть р = р(5) (= 1,2 или 3). В группе (?£+(2,К)

(О 1\

рассмотрим элемент 7р = I и подгруппу

\-р °У

ГА» А 1

Г0(р) = I 1 I а, Ь, с,£¿6 2, серХ, асг-Ьс=1>.

Группа СгЬ+(2,Ж) действует дробно-линейными преобразованиями на верхней полуплоскости Я= {г € С|1тг > О}27. Теорема 3.2.

а) Если 7=[ ) £ Го(р), то оператор ¡р7 : Ь —>■ Ь, <р-у(г) =

Vе <у

г

--—г задает изоморфизм отмеченных комплексных кристаллогра-

а + Ьт~1_

27Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. - М.: Мир, 1973.

фичееких групп KuWTt.'pa : И"(5, г) ~-> \V(S,yr). 0) Ош'р.чтор ~ tz задает изоморфизм отмеченных

комплексных кристаллографических групп Кокстера iр1р : W(S, т) -4 U'(.S'"". -|j,r 1

и) Лк>1">ой изоморфизм у : W{S,,Ti) -4 №'(52|г2) отмеченных сесг-гругш можно представить как композицию изоморфизмов вида п) —> Н'(.Ч', г2) ~> И'(5г, t-j), где изоморфизм i/> индуцирован изоморфизмом аффивных систем корней V : S' —> .?2, и либо .S" -г Si, г2 = -,(r,), у?' = i/)-, для некоторого -у Е Г0(р), либо S' = Sj™, - l('i,Л.т\}).. у' ~ ¥>->¥»7, Для некоторого 7 € Г0(р). Теорема 3.1 доказана в п.3.3, а теорема 3.2 - в п.3.4. Доказательство этих теорем опирается на ранее доказанные теоремы 1.3 и 1.4. Теоремы 1.3, 1.4, 3.1 и 3.2 являются главными результатами главы II.

Пусть S - аффинная система корней. Для любого корня а 6 5 через 7г„ обозначим гиперплоскость {х 6 Vr | о(ж) = 0}. Связные

компоненты множества Vr \ |J тги называются камерами. Все камеры

об5

конгруэнтны, и любая из них есть открытый симплекс28. Фиксируем камеру С. Пусть хц, x¡,... ,x¡ - вершины замкнутого симплекса С. Через B(S) обозначим множество таких корней а в S, которые

а) положительны на камере С (то есть а(С) > 0);

б) тгу, ПС есть гипергрань симплекса С.

Множество B(S) состоит из элементов öq, .. .,a¡, которые занумерованы так, что a¡{xj) — 0 при i ф j. Множество B{S) назовем базисам, аффинной системы корней 5, а сами корни а®,... ,сц -простыми корнями. Пусть г,- - отражение в зеркале я(а,). Отражения r¡ называются простыми отражениями^.

В §4 вводится группа весов Л для аффинной системы корней S. На группе песов рассматривается целочисленный линейный функционал к(А). Каждый вес Л однозначно представим квадратичной функцией

"Бурбаки Н. Группы и алгеОры Ли, - М.: Мир, 1972. - Гл. 4-6.

вида U\ = -к(А)||х — 1д||2 с центром £д £ Vr (здесь || ||2 - каноническая метрика, которая вводится в п.2.5). Через А¡, г = 0,..., I, обозначим вес, который однозначно определяется условиями ¿Уд, — rjU\i — öijaj 1 j = 0,..., I. Веса Ао,..., А; называются фундаментальными весами. Они образуют базис группы весов. Обозначим через Л+ порожденную ими полугруппу, и пусть Ajt = {А £ Л | к(Х) = к} и = Л+ П Л*. Припишем каждой аффинной системе корней S набор показателей n(S) = (по,..., nj), где щ = к(А<), i = 0,..., I. С помощью теоремы 3.2 об изоморфизме проверяется, что для сссг-группы W = W(S,t) корректно определен набор её показателей n(S) (п.4.1) . Поэтому можно говорить о показателях сссг-группы W.

В Главе III найдена группа классов четных коциклов комплексной кристаллографической группы Кокстера W (§2) и доказана теорема Шевалле для всех неприводимых cccr-групп W(S, т), за исключением групп, построенных по аффинной системе корней Di.

Пусть aw(z) = a(w, z) - коцикл группы W со значениями в мультипликативной группе Ö*(V) обратимых голоморфных функций на пространстве V. W — а-автоморфные формы в этой главе по традиции называются тэта-функциями.

В лемме 2.2 (п.2.3) доказано, что W = W{S, т) = Ws ■ ТТ (полупрямое произведение), где Тт - это подгруппа, состоящая из таких параллельных переносов в группе W, которые лежат в пространстве г_1Уц, Коцикл а называется нормальным, если at(z) = 1 для всех t € Тт. Коцикл а называется четным, если для любого отражения г £ W функция аг равна 1 на зеркале отражения г. Пусть U - квадратичная функция на пространстве Vr, представляющая вес А. Продолжим функцию U на V и будем рассматривать её как квадратичную функцию на V. Положим и = 2тт и рассмотрим функцию ал, которая на элементе w = t ■ ws (i £ Тт, ws £ Ws) принимает значение a,„ = exp v{U — wsU).

Теорема 2.4.

а) Коцикл аА является нормальным четным коциклом для любого веса А.

б) Группа весов Л изоморфна группе нормальных четных коциклов.

в) Коциклы аА и аЛ' гомологичны29 тогда и только тогда, когда

к(А) = к(А').

В итоге получаем, что группа классов20 четных коциклов ^„(Ж, 0*(У)) изоморфна 2 (следствие 2.5).

В §3 сформулирована теорема Шевалле для сссг-групп.

Теорема 3.1.

Алгебра тэта-функций А, отвечающая коциклу а = а~х°, изоморфна свободной алгебре многочленов С[/о, ■■•,/;] от переменных /,■ 6 Апг Набор степеней образующих (щ,..., щ) - это набор показателей группы ИЛ

Доказательство теоремы 3.1 состоит из нескольких шагов.

В п.4.1 алгебра тэта-функций А отождествляется с алгеброй 0(8)^ функций, голоморфных на расслоении 9 = V х С*, полиномиальных по и и инвариантных относительно действия группы IV, которое задается формулой

ги(г,и) — (юг,

Наряду с классическими тэта-функциями30 в работе рассматриваются "косые" тэта-функции веса к, удовлетворяющие условию

= ■ а* • /.

Такие функции интерпретируются как И^-инвариантные голоморфные дифференциальные формы старшей степени на расслоении в и

иКасселс Дж.и Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. - М.: Мир, 19Й9. - Гл. 4.

30Мамфорд Д. Абелевы многообразия. - М.: Мир, 1971.

называются тэта-формами веса к. Через Е обозначим градуированное пространство тэта-форм Е = ф£ь Пусть Л G Лц. Рассмотрим функцию fx(z,u) — икехр v(kU\v — U\) и положим = s /u»ai

Фх = £

. , . du . — У\ио — Ф\аац ... da; ■ — (aQ,..., щ - простые корни аффиннои

и

системы корней S). Лемма 4.1.

а) Ряды 6\ и фх сходятся в 9 равномерно на компактах.

б) Функции {6?д | А е и формы {сгА | А 6 А е р + А+}, где р = Ао+.. -+А|, составляют базис пространств Ak и Е* соответственно.

Из леммы 4.1 следует, что

а) dim Ак = {числу решений в неотрицательных целых числах (ко,... ,ki) уравнения По&о + • ■ -niki = к}.

б) Л-модуль Е является свободным модулем с образующей ар (следствие 4.2).

в) dim Ak = dim Е/¡+s, где д = по + ... щ. В частности, dim Es = 1.

г) Функции — —^,/i G образуют базис пространства /1*...

В §5 изложен план доказательства теоремы Шевалле. Набор весов Д = (/iо,... ,щ) называется допустимым, если /«(/¿¿) = щ. Дифференциал dCm лежит в пространстве ЕПг Следовательно, дифференциальная форма /(¡и) = . • • ¿Cmi принадлежит пространству Eff. Пространство S9 одномерно и порождается формой ар. Возникает числовая функция 1рц (зависящая от набора весов Д), равная

,л -

tpz = ——. Op

Если будет доказано, что для какого нибудь допустимого набора ¿1 форма J(]2) ф 0, то это будет означать алгебраическую независимость функций Q = то есть шгьективность гомоморфизма С[/о,. ■ ■ | /¡] —ь А. Но тогда этот гомоморфизм будет изоморфизмом в

силу нужной размерности пространства Аь-

Напомним, что V/ = У/{3,т), а потому все рассматриваемые функции С1 и формы аналитически зависят от т. Положим ^(г) =

Е I (1°д(т) |2 (суммирование ведется по всем допустимым наборам веР _

сов /х = (¿¿о, • ■ • Утверждение о существовании такого допусти-

мого набора весов Д, что ,/(Д) ф 0, равносильно утверждению о том, что ^я(т) > 0 для любого т.

Таким образом, для доказательства теоремы 3.1 достаточно показать, что функция /^(т) положительна при любом т.

Поведение функции Г$(т) при изоморфизме сссг-групп изучено в п.6.1 с помощью известной конструкции из линейной алгебры. Пусть С1,...,Ск, О конечномерные эрмитовы векторные пространства и С\ х .. . х С\ —> О - полилинейное отображение. Полилинейное отображение 3 можно рассматривать как элемент тензорного произведения С. Эрмитовы структуры сомножителей задают эрмитову структуру на тензорном произведении. Поэтому можно говорить о норме || 3 || полилинейного отображения Выбрав в каждом С{ ортонормированный базис {е}}, норму полилинейного отображения 3 можно вычислить по формуле

11Л12= Е II

О'ь-л)

где суммирование распространяется на все такие наборы векторов (е^,..., е^), что е^ - базисный вектор в С;. Эта конструкция применяется в случае, когда £> = Т,д, = А,н и 3 = ./(Д). Эрмитова метрика на пространстве Е вводится с помощью скалярного произведения Зигеля 31 (п.4.3). На пространстве Ак норма вычисляется по формуле || / ||= Положим <35(г) =|| J ||2.

II 0р II

а 11виаа Л-1. ТЬеШ-ЛшсЦопа. - ВогИп: Иргтеег, 1972.

Теорема 6.1.

а) = С5|г|_2'(1т т)1!2Ез{т), где константа зависит только от аффинной системы корней

б) Если 1р\ Т2) - изоморфизм сссг-групп, то

СзЛп) = ОМ-

Пусть Я = <х\,...,ац - базис системы корней Я, р; =

р, если - длинный корень, и = 1, если а, - короткий корень, I

г(Б) = р{. Положим 775(7-) = П Р11/,4г?(йт), где т}{т) - эта-функция

1=1 1<к;

Дедекинда1.

В п.6.2 вводится функция

н3{т) = с5ед|г75(т)!-2|гГг'.

Теорема 6.1, лемма 6.2 (п.6.2) и теорема 3.2 главы II показывают, что Нб^т) = НБ{т), если у 6 Г0(р), и Н3{^рт) - Н3^{т). В §7 доказано следующее важное утверждение.

Утверждение 7.2. Пусть С - камера аффинной системы корней 5, х - внутренняя точка камеры С и ц = ехр27ггт. Положим

¿&(х) = (1 + 2)ир(х)-?:ит+р(х).

Тогда = 0(|г|'|д|Л'1^). Кроме того, для набора ¡й = (Ло,..., А/) имеем ~ СМ'!^«, С ф 0.

В приложении 1 к главе III доказано утверждение 7.3. Утверждение 7.3. Найдется такая точка х е С, что ДД(я) > — для любого допустимого набора весов Д, где п = 3, гг = 4, г3 = 6.

Доказательство теоремы 7.3 для классических аффинных систем корнёй типа Л/, В/, С/, А требует перебора и проходит для всех систем, кроме системы 2?/. Удивительно, но доказательство для исключительных систем корней перебора не требует. В таблице 1 (на странице 83 диссертационной работы) собрана вся нужная информация о клас-

сических аффинных системах корней, и доказательство утверждения 7.3 фактически сводится к тщательному анализу этих данных. На предпоследнем шаге доказательства вычислена асимптотика функции #s(r) на верхней полуплоскости при 1тт —► оо.

Теорема 7.1. #s(r) = о(|д|~2/г"), если Imr оо.

Отмеченные выше свойства функции Н$(т) и оценка, полученная в теореме 7.1, позволяют доказать теорему 7.4 (приложение 2 к главе III).

Теорема 7.4. Функция Н$(т) нигде не обращается в нуль на верхней полуплоскости H,

Если функция Н${т) нигде, не обращается в нуль, то и функция Fs{t) нигде не равна нулю. Но это и есть утверждение, которое было нашей конечной целью. Для неприводимых сссг-групп, связанных с аффинной системой корней Д, теорема 3.1 была позже (и из совершенно других соображений) доказана В. Кацем и Д. Петерсо-HOM3i. В §8 содержится следующий результат, представляющий самостоятельный интерес.

Теорема 8.1. Аналитическое пространство V/W изоморфно взвешенному проективному пространству Р(по .. ., щ).

В главе IV рассматриваются пары (Г, а), состоящие из коком-пактной фуксовой группы Г и коцикла (фактора автоморфности) а. Главный результат этой главы - описание всех таких пар, для которых алгебра Г —а- автоморфных форм является алгеброй многочленов от двух переменных.

Дискретная группа автоморфизмов единичного комплексного диска В = {z Е С I \z\ < 1} называется фуксовой группой. Группа AutВ автоморфизмов диска В - это группа всех сохраняющих ориентацию движений плоскости Лобачевского17 (модель Пуанкаре в диске). Ком-

33Кас V. G., Peterson D. H. Infinite dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms // Adv. Math. - 1984. - V. 53. - P. 125-264.

плексное отражение 7 в группе Autß - это поворот плоскости Лобачевского вокруг неподвижной точки z(7) (эллиптическое движение плоскости)17 (п.1.1). В п.1.2 группы отражений в диске В отождествляются с такими фуксовыми группами Г, для которых факторпро-странство В/Г — Р1(С) (фуксовы группы рода нуль). Каждая такая группа Г допускает каноническую систему образующих (71,-..,7,-) с определяющими соотношениями 7"' = ... = 7,"r = 1, >...71 = 1, щ > 2, г > 3. Набор (ni,... ,Пг) называется сигнатурой группы Г ь.

В §3 представлены в удобной для наших целей форме известные результаты о структуре группы классов коциклов группы р1-'.3-1.

Рассмотрим множество С всех векторов вида (;z'o, xi,... ,хг), где 10 € Z, a Xi при i > С) есть правильная дробь со знаменателем п,. Складываются такие векторы покоординатно с соблюдением следующего правила: если на г-той ненулевой позиции происходит "переполнение", то из полученного результата вычитается единица, которая немедленно прибавляется к нулевой координате. Множество С с такой операцией является абелевой группой.

Лемма 3.1. Группа классов коциклов фуксовой группы Г рода нуль с сигнатурой (nj,... ,пг) изоморфна группе С. Изоморфизм осуществляется отображением, которое классу коцикла а ставит в соответствие вектор С (а) = (Ch a, dj/ni,... , dr/nr), где Cha - число Черна коцикла а 34, а а(л,г(ц)) = /п', i = 1,..., г.

В §4 получен основной результат четвертой главы. Предвари-

„ р'

тельно введем несколько обозначении:--будет обозначать несокра-

?

р

тимую запись дроби -, (а, 6) - наибольший общий делитель чисел а и Ь, Ч

а [а, Ь] - их наименьшее общее кратное. Через х обозначим проекцию точки X € В на факторпространство В/Г.

"Godement R. Cohomologie dus groupes discontinue 11 Sem.Bourbaki. 1!)53-1!)54. - Exp.90.

34Dolgachev I.V. Invariant stable bundles over modular curves X(p) // Contemporary Math. 1999. - V. 224. - P. 65-69.

Пусть Г - фуксова группа рода нуль сигнатуры (гн,..., пг),

(7ь • ■ • i 7г) каноническая система образующих и a(j, z) - коцикл

с кодом С'(а) = ( Chía); —,...,— ). Положим P¿ = zíуА, \ п i пг;

Теорема 4.1. Для того, чтобы алгебра А — Л(Г, а) была алгеброй многочленов от двух переменных, необходимо и достаточно, чтобы коцикл а был коциклом одного из трех перечисленных ниже взаимоисключающих типов.

0) С (a) (1:0.....0).

В этом случае А — <C[ip,i/>], degip = degifi — 1, и формы ip и ф можно выбрать так, чтобы ip имела единственный простой нуль в любой точке x€Pl(C) — {jPi, ..., Рг}, а ф - единственный простой нуль в любой точке у&Р1(С) — {Рi,..., Рг}, отличной от точки х.

1) С (а) = ^0; 0,...,—,..., ü^ {di ф 0 ровно для одного индекса г)

d' 1 / j \

и выполняется условие —=— (т.е. di делит щ) .

п, n'¡

В этом случае А = <C[<p,i/>], deg<p = 1, deg-0 = n-, форма имеет единственный нуль кратности d¡ в точке P¿, а ф можно выбрать так, чтобы она имела единственный простой нуль в любой точке х£Р\С) {!>•,.... ,Т>Г).

2) С (а) = (-1; 0,...,—,..., ..., 0 ) ^ 0 и d,- ^ 0 ровно для

V rij J

двух индексов г и j) и выполнено условие:

< dí , 1

В этом случае А = С [р, <ф], deg<р = n'¡, degф — n'j, форма <р имеет единственный нуль кратности (dj,rij) в точке Pj, а форма ф - единственный нуль кратности (d¡,n,) в точке P¿.

Лемма 4.3 показывает, что "дробная часть" свободного коцикла не может содержать более двух ненулевых координат. В дальнейшем доказательство опирается прежде всего на формулу для размерности (следствие 3.3) и формулу для числа нулей (лемма 3.5).

Формула для размерности. Если dimA; > 0, то dinb4; = 1 + lCh(a) +

Через 0(х) обозначим порядок нуля формы / в точке х £ В/Г.

Формула для числа нулей35,36. Если / - ненулевая автоморфная форма веса I, то

(суммирование в левой части формулы ведется по всем точкам фак-торпространства В/Т = Р^С)).

Формула для размерности есть частный случай теоремы Римана-Роха для фуксовых орбифолдов35,37. Её "элементарный" вывод для фуксовых групп рода нуль предложен в лемме 3.2.

Полезным для доказательства теоремы 4.1 оказалось понятие одинокой формы (п.4.3). Ненулевая автоморфная форма называется одинокой, если пространство форм её веса одномерно. Такие формы обладают исключительными свойствами.

Утверждение 4.5. Пусть / - одинокая автоморфная форма. Тогда порядок её нуля в точке х строго меньше порядка стабилизатора

|Г*|-

Следствие 4.6. Одинокая форма не может обратиться в нуль в точке с тривиальным стабилизатором. Одинокая форма не может обратиться в нуль в такой точке х, где а(у, х) = 1 для любого 7 S Г^.

Отметим, что код классического коцикла j~x равен ^—2,..., 27, а потому такой коцикл не может быть свобод-

ным.

35Futura M., Steer В. Seifert fibered homology 3-spheres and the Yang-Mills equations on Reimann surfaces with marked points // Adv. Math. - 1992. - V. 96. - P. 38-102.

3eKpa И. Автоморфные формы и клейновы группы. - M.: Мир, 1975.

"Kawasaki Т. The Riemann-Roch theorem for complex V-manifolds // Osaka Y. Math. - 1979. - V. 16. - P. 151-159.

lA

В Главе V классификация свободных коциклов фуксовых групп рода нуль применяется для описания гиперболических групп Шевалле в С2. Этот результат есть естественное обобщение классической теоремы Шевалле о конечных группах отражений в С2 14.

В комплексном векторном пространстве С2 рассмотрим эрмитову форму |г]|2 - ¡22|'2 и конус К: - |г2|2 < 0. Пусть РК =

К/С* - проективизация этого конуса. Область РК - это единичный диск В = | — < 11 в проективном пространстве Р1(С) = С2 — {0}/С*. В диске В рассматривается риманова метрика постоянной отрицательной кривизны —4, совместимая с его комплексной структурой. Линейные преобразования из группы вЬ{2, С), сохраняющие эрмитову форму ||2 — [2, образуют унитарную группу {/(1,1). Группа /7(1,1) сохраняет конус К. Проективная группа Р1/( 1,1) действует в Р1(С) дробно-линейными преобразованиями, сохраняя диск В. Эта группа есть группа всех сохраняющих ориентацию движений гиперболической плоскости В17. Образ линейной группы Г < (7(1,1) в проективной группе Р11( 1,1) обозначим через РТ и назовем материнской группой.

Определение. Дискретная группа Г < £/(1,1) называется (гиперболической) группой Шевалле, если

1) факторпространство К/Т = С2 — {0};

2) материнская группа РГ есть кокомпактная фуксова группа.

Элемент 7 £ 17(1,1) является отражением, если у него есть неподвижный вектор в конусе К. По теореме 1.2 главы I группа Шевалле Г порождена отражениями. Как следствие, группа РГ есть фуксова группа рода нуль.

Теорема 1.1. Пусть Г < [/(1,1) - дискретная группа, порожденная отражениями, и РГ - фуксова группа рода нуль с сигнатурой

(П1,...,ПГ).

Группа Г тогда и только тогда есть группа Шевалле, когда

V = 2 ^(г - 2) - Е - целое число. (1)

Теорема 1.2. Рассмотрим в группе (7(1,1) множество всех дискретных подгрупп Г, порожденных отражениями, с фиксированной фуксовой материнской группой Т рода нуль.

Тогда

1) число таких групп Г конечно;

2) среди них имеется максимальная группа Г-/-, которая содержит любую другую такую группу в качестве нормальной подгруппы конечного индекса.

Любая конечная линейная группа С? в С2, порожденная отражениями, обладает тем свойством, что С2 — {0}/С = С2 - {0}. Это следует из теоремы Шевалле14, которая утверждает, что С"/О = С" для любой конечной линейной группы О < С?£(п,С), порожденной отражениями. В гиперболическом случае всякая группа Шевалле порождена отражениями, но далеко не всякая группа, порожденная отражениями, есть группа Шевалле. Число сигнатур, удовлетворяющих условию (1), равно 288, а число т не превосходит девяти. Теоремы 1.1, 1.2 и 5.1 (§4) показывают, что множество групп Шевалле в С2 конечно и обозримо.

Через 7 обозначим подъем элемента 7 £ РТ в группу (/(1,1), через ¿?(Г) - центр группы Г, через Т или Т{щ,..., пг) - фуксову группу рода нуль с сигнатурой (?1Ь ... ,пг) (в главе IV для фуксовой группы рода нуль использовалось обозначение Г), через 1Х - прямую в С2, соответствующую точке х 6 Р1(С). Кодом группы назовем список её образующих и определяющих соотношений.

В §2 содержится конструкция максимальной группы Гу. Здесь же доказано, что Гу есть дискретная группа отражений в конусе К, вычислен её центр и найден её код (леммы 2.1 и 2.2).

Рассмотрим в группе Р11( 1,1) эллиптический элемент А. У преобразования А есть в Р'(С) две неподвижные точки, одна из которых,

назовем её х, лежит в диске В. Другая его неподвижная точка у лежит в дополнительном диске Р1(С) \ В. Пусть в касательпом пространстве к диску в точке х элемент А действует умножением на еУ. Рассмотрим в группе {/(1,1) отражение А, которое поточечно сохраняет прямую 1Х, а на прямой 1У действует умножением на etv. Такое отражение определено однозначно. Его порядок равен порядку эллиптического элемента А. Отражение А назовем каноническим подъемом элемента А.

Пусть Т = Т(п\,.. .,пг) - фуксова группа рода нуль. Выберем в группе Т каноническую систему образующих А\,...,АГ (в главе IV канонические образующие обозначались через 7;). Через IV обознаг чим подгруппу в U( 1,1), порожденную каноническими подъемами всех эллиптических элементов из группы Т. Лемма 2.1.

а) Группа IV порождена отражениями.

б) Группа Г'т дискретно действует в конусе К.

в) Центр Z(Vt) группы Гр лежит в центре группы U( 1,1) и является конечной циклической группой.

Теорема 1.2 фактически следует из этой леммы (§4). Лемма 2.2. Пусть Т = Т(щ,..., пг). Тогда

а) группа IV порождена отражениями А\,..., Ат\

б) любое отражение из группы Гт сопряжено ровно одному отражению вида А*' (г = 1,..., г), 0 < fc, <

в) центр Z(Fr) порожден элементом z = Ат... А\\

г) относительно образующих А\,...,АГ группа Гу задается определяющими соотношениями

х;1 =... = = 1, я- ■ • • Aii = 1,»= 1,... ,г, fa ■ ■ . ло™ = 1.

В §3 содержится важное для доказательства теоремы 1.1 утверждение о центре группы Гу.

Теорема 3.1. Пусть z = ХЕ - центр группы Гт- Тогда

А = ехр |-7г\/~Т (г - 2-1 /iT-i^ | = exP

Доказательство теоремы 3.1 опирается на геометрическую лемму о площади, представляющую самостоятельный интерес. Рассмотрим в диске В выпуклый гиперболический r-угольник Р с вершинами vh ..., vr (вершины перечислены в порядке их следования при обходе границы Р по часовой стрелке). Предположим, что внутренний угол т'-угольника Р при вершине г/{ равен 7га*, где 0 < а, < 1, г — 1,..., г. Пусть 7,(Р) - поворот на угол 2-кщ против часовой стрелки вокруг вершины и;, а 7i(P) € U(1,1)- канонический подъем эллиптического элемента 7<(Р).

Лемма 3.2. Если S(P) - гиперболическая площадь многоугольника Р, то элемент уг(Р).. ■ Ji(P) группы 1/(1,1) записывается скалярной матрицей

ехр {—2\/—Т^Х-Р)} Е.

Теорема 3.1 есть следствие леммы 3.2 и связности пространства Тейхмюллера17 отмеченных фуксовых групп T(ni,..., nr). Следующие два важных шага на пути к доказательству теоремы 1.1 - теорема 5.1 и лемма 5.3 из §5.

Теорема 5.1. Пусть Г - группа отражений, Г <3 Г7 и РГ = Т. Тогда Г есть нормальное замыкание в Гг семейства отраже-

u __—1 —1. _

ний {Лх,..., Л/,..., А-,... АГ}, 1 < i < j < г, 1 < /,■ < щ, 1 < lj < 7ij, (k,lj) — 1 и li\rii, lj\rij (равенство Z,- = щ означает, что отражение А< в семействе отсутствует).

Лемма 5.3.

1) |Я(Г)| = М/(М, Щ) = М/(М, h)(M, Ц).

2) [Гг :Г] = {М,к)(М,Ц).

В §6 содержится доказательство теоремы 1.1, которое кроме всех перечисленных утверждений существенно опирается на теорему 4.1 главы IV (теорема о свободных коциклах). В приложение к главе V

вынесено одно вычисление в треугольной группе Г (г ij, П2, щ), которое служит базой индукции при доказательстве леммы 3.2 о площади.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ВЕДУЩИХ РЕЦЕНЗИРУЕМЫХ НАУЧНЫХ ЖУРНАЛАХ И ИЗДАНИЯХ (В СООТВЕТСТВИИ С ПЕРЕЧНЕМ

ВАК)

1. Бернштейн И.Н., Шварцман О.В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп Кокстера // Функц.анализ и его прил. - 1978. - Т. 12, вып. 4. - С. 79-80. (В этой статье О. В. Шварцману принадлежит постановка задачи, формулировка теоремы Шевалле и ее доказательство для аффинных систем корней Л/ и С[. Для всех остальных аффинных систем корней доказательство теоремы Шевалле принадлежит О. В. Шварцману и И. Н. Бернштейну).

2. Шварцман О.В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп, порожденных отражениями,в аффинном пространстве С2 // Успехи мат.наук. - 1979. - Т. 34. - С. 249-250.

3. Шварцман О.В. О фуксовых группах рода нуль // Функц. анализ и его прил. - 1994. - Т. 28, вып. 4. - С. 66-73.

4. Шварцман О.В. Свободные G-пучки на замкнутых римановых поверхностях // Успехи мат.наук. - 1999. - Т. 54, N 6. - С. 175-176.

5. Шварцман О.В. Свободные алгебры автоморфных форм на верхней полуплоскости // Функц. анализ и его прил. - 2003. - Т. 37, вып. 2. - С. 147-154.

6. Шварцман О.В. Об одном примере Д. Мамфорда и факториаль-ности алгебр автоморфных форм для плоских групп рода 0 // Успехи мат. наук. - 2003. - Т. 58, N 2. - С. 179-180.

7. Шварцман О.В. Гиперболические группы Шевалле в С2 // Функц. анализ и его прил. - 2009. - Т. 43, вып. 2. - С. 64-72.

8. Bernstein J., Schwarzman O. Complex crystallographic Coxeter groups and affine root systems // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2006. - V. 13, N 2. - P. 163-182. (В этой статье О. В. Шварцману принадлежит постановка задачи и классификация комплексных кристаллографических групп в терминах оснащенных конечных систем корней. Классификация комплексных кристаллографических групп в терминах аффинных систем корней получена О. В. Шварцманом и И. Н. Бернштейном).

9. Bernstein J., Schwarzman О. Chevalley's theorem for the complex crystallographic groups // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2006. - V. 13, N 3. - P. 323-351. (В этой статье О. В. Шварцману принадлежит формулировка теоремы Шевалле, а также теорема о структуре группы четных коциклов сссг-групп. Доказательство теоремы Шевалле для всех комплексных кристаллографических групп Кокстера, за исключением групп типа Dt, принадлежит О. В. Шварцману и И. Н. Бершптейну).

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ИЗДАНИЯХ, НЕ ВХОДЯЩИХ В ПЕРЕЧЕНЬ ВАК

10. Шварцман О. В. Коциклы комплексных групп отражений // Сборник "Теория групп и гомологическая алгебра", под. ред. А. Л. Онищика - Ярославль: ЯрГУ, 1992. - С. 32-40.

11. Shvartsman О. V. Cartan matrices of hyperbolic type and nonsingular parabolic points of quotient spaces of tube domains // Selecta Math. Soviet. - 1985. - V. 4, N 1. - P. 55-61.

12. Shvartsman О. V. Chevalley hyperbolic triangle groups in C2 // In: Abstracts of talks of the International Conference Transformation Groups dedicated to the 70-th anniversary of Ernest B . Vinberg. - Moscow, December 17-22, 2007. - P. 113-114.

Подписано в печать ■¡В.0&.О9 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 2,0 Тираж /00 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

09-18405

УЗ?--

2008156910

Введение

§1. О трансцендентной теории инвариантов

§2. Хорошие кристаллографические группы.

Появление групп отражений

§3. Основные результаты и комментарии

§4. Пример: эллиптическая кривая с инволюцией

Глава I. Фундаментальная группа пространства орбит группы отражений

§1. Существенная фундаментальная группа

§2. Сильно односвязное пространство

Глава II. Комплексные кристаллографические группы

Кокстера (cccr-группы) и аффинные системы корней

Результаты и комментарии

§1. Комплексные кристаллографические группы Кокстера (сссг-группы)

1.1. Комплексные кристаллографические группы

1.2. Сссг-группы

1.3. Конструкция неприводимой сссг-группы

1.4. Классификация (I)

1.5. Доказательство теоремы 1.

1.6. Доказательство теоремы 1.

§2. Аффинные системы корней

2.1. Системы корней

2.2. Аффинные системы корней

2.3. Специальные точки. Конструкция аффинной системы корней S(R, р)

2.4. Базисы и камеры

2.5. Двойственная аффинная система корней 5V

§3. Аффинные системы корней и сссг-группы 3g

3.1. Сссг-группы W(S, т) 3g

3.2. Изоморфизмы групп г) Зд

3.3. Доказательство теоремы 3.

3.4. Доказательство теоремы 3.

§4. Фундаментальные веса аффинных систем корней и набор весов сссг-группы

4.1. Фундаментальные веса

4.2. Решетки и орбиты

Глава III. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп

Результаты и комментарии

§1. Алгебраическая формулировка теоремы Шевалле

§2. Коциклы комплексных кристаллографических групп Кокстера

2.1. Общие факты о коциклах

2.2. Линейные коциклы 4д

2.3. О строении сссг-группы

2.4. Нормальные коциклы сссг-групп

2.5. Вычисление группы четных коциклов О*)

§3. Формулировка теоремы Шевалле и её геометрическая интерпретация

§4. Доказательство теоремы 3.1.

Первый подготовительный этап

4.1. Тэта-функции и тэта-формы

4.2. Базисы пространств тэта-функций и тэта-форм.

Доказательство п. а) теоремы 3.

4.3. Скалярное произведение Зигеля

§5. План доказательства теоремы 3.

§6. Доказательство теоремы 3.1.

Второй подготовительный этап

6.1. Поведение функции Fs(t) при изоморфизме сссг-групп

6.2. Функция Hs(r)

§7. Асимптотика функции Hs(r).

Окончание доказательства теоремы

§8. О факторпространстве аффинного комплексного пространства V по действию сссг группы W

§1. О трансцендентной теории инвариантов

1.1. Диссертационная работа относится к тому направлению математики, которое можно назвать трансцендентной теорией инвариантов (ТТИ) или теорией инвариантов дискретных групп преобразований.

В алгебраической теории инвариантов типичной является ситуация, когда алгебраическая группа G действует на аффинном алгебраическом многообразии V над полем К, и ставится задача описания алгебры K[V]G регулярных функций на многобразии V, инвариантных относительно действия группы G.

В трансцендентной теории инвариантов мы имеем дело с дискретными группами преобразований. Здесь типична ситуация, когда имеется дискретная группа Г автоморфизмов эрмитова симметрического пространства X некомпактного типа, и действие Г на X таково, что факторпространство Х/Т имеет конечный объем. Такие дискретные группы называются решетками. Группы с компактным факторпространством называются кокомпактными (равномерными) решетками или кристаллографическими группами. В качестве простейшего примера такой дискретной группы рассмотрим в аффинном комплексном пространстве С' группу Г, порожденную 21 независимыми (над R!) параллельными переносами.

Следующий важный вопрос: что служит аналогом алгебры регулярных функций K\V\? Запас голоморфных функций на эрмитовом симметрическом пространстве X велик, но Г-инвариантными среди них оказываются только константы. Для кристаллографических групп причина этого проста: на компактном аналитическом пространстве Х/Т не существует голоморфных функций, отличных от констант. Выход из положения подсказывает классическая теория автоморфных форм: нужно линеаризовать действие группы Г, то есть продолжить это действие (согласованным образом) с X на линейное голоморфное расслоение L над X, или, другими словами, рассмотреть Г-расслоение L над X. И тогда главным для ТТИГ объектом оказывается градуированная алгебра £ = C(L) = ф H°(L®n,X) голоморфных сечеюггй тензорных степеней расслоения L. Группа Г естественно действует автоморфизмами алг^^^ры А и ставится задача описания структуры алгебры инвариантов А — Сг.

1.2. Алгебра инвариантов А была известна ещё в 19 веке под именем алгебры Г-^.^ТОМОрфных форм. На языке автоморфных форм мы и опишем наиболее важные, с нашей топесц зрения результаты ТТИ, которые имеют прямое отношение к теме наших исследований.

Математики 19 и начала 20 века (например, школа Ф. Клейна) занимались, в "^агастности следующей задачей: пусть в единичном комплексном диске В = {z 6 С | \z\ < 1} действует дискретная группа его автоморфизмов Г (фуксова группа). Предположим, что Ф»а,:кторпро-странство В/Г компактно или имеет конечный объем (фуксова решетка). Через j('у, ^г), ■у g р 2 G В, обозначим определитель Якоби преобразования 7 в точке z. Голоморфная s диске В функция / называется классической Г-автоморфной формой веса г (а функция j—1 называется классическим фактором автоморфности), если f{lz) — j"r(7, z)f(z) Для любых 7 6 Г и z £ В если факторпространство некомпактно, но конечного объема, то в одномерном слу-чае НуЖН0 дополнительно потребовать ограниченности функции / вблизи параболических то-чек (кас-пов)).

Обозначим через А градуированную (весами) алгебру Г-автоморфных форм. Что можно сказать о её структуре? Насколько автору известно, никаких общих теорем этот период развития ТТИ после себя не оставил. Но осталось множество ценных примеров.

Так, было показано, что для треугольной группы Т(2,3, 00) (~ PSL{2, Z) (по поводу треугольных групп смотри главу IV) алгебра А свободно порождается формой веса 2 и формой веса 3 (см., например, [65]), а для треугольной группы Т(2,3,7) алгебра инвариантов есть 8 гиперповерхность СрГ, У, Z\/(X2 -Ь У3 + Z7) (см. библиографию к статье [45]).

После долгого перерыва интерес к этой тематике возродился в 80-е годы прошлого века в связи с теорией В.И. Арнольда квазиоднородных двумерных особенностей. В пионерской работе [57] И.В. Долгачев показал, что такие особенности допускают униформизацию авто-морфными формами для подходящих дискретных групп Г в комплексном диске В. Главным итогом последовавшего периода бурного развития этого направления ТТИ явилась классификация таких решеток Г в диске В, для которых алгебра Г-автоморфных форм относительно классического фактора автоморфности (коцикла) j~l является полным пересечением [32], [45], [57].

Но авторы этих работ не рассматривали вопрос о том, для каких групп Г и факторов автоморфности а соответствующая алгебра Г—а-автоморфных форм будет свободна. Причина вполне понятна: свобода алгебры А означает отсутствие особенности. Вопрос о свободных алгебрах для фуксовых групп, важный сам по себе, интересен еще и потому, что свободные алгебры автоморфных форм встречаются не только в размерности 1.

1.3. Так Гундлах рассматривал кольцо целых О вещественного квадратичного расширения К = Q(\/5) и группу Г — PSL{2,0), которая естественно действует на произведении двух одномерных комплексных дисков X — В х В. Расширив группу Г с помощью автоморфизма X, меняющего местами диски, Гундлах доказал [18], что классическая алгебра автоморфных форм для расширенной группы является свободной алгеброй с тремя образующими. Вслед за Гундлахом, в рамках программы Хирцебруха по исследованию модулярных поверхностей Гильберта, была изучена структура алгебры А для расширенных модулярных групп Гильберта Г над кольцами целых Ок вещественных квадратичных расширений К — Q(\/D) дискриминанта D < 13. Подробный отчет о проделанной здесь работе содержится в книге [13].

1.4. Хольцапфель рассмотрел группу PSU(2,1, Щи]), ш = е2^, дискретно действующую в комплексном шаре В2 = {(21, г2) | |zi|2 + \z2\2 < 1}. Обозначим через Г её конгруэнц-подгруппу по модулю л/=3. Тогда, как доказано в [22], классическая алгебра А есть свободная алгебра с тремя образующими.

1.5. Наконец, важное достижение в размерности 3 принадлежит Игузе.

В его работе в качестве X рассматривалась эрмитова симметрическая область, которая выделяется в пространстве комплексных симметрических 2x2 матриц S условием ImS" > 0. Это эрмитово симметрическое пространство комплексной размерности 3 обладает неположительной кривизной и довольно сложной геометрией. В этом пространстве естественно действует модулярная группа Зигеля Г = PSp^Z) рода 2. При этом факторпространство Х/Г имеет конечный объем, но некомпактно. Игуза доказал, что алгебра А с классическим фактором автоморфности j"1 является свободной алгеброй с четырьмя образующими, веса которых равны 4, 6, 10 и 12. Опираясь на теорему Игузы, удалось полностью описать структуру алгебры автоморфных форм и для некоторых конгруэнц-подгрупп небольшого индекса в модулярной группе Зигеля Г (см. [36] и имеющуюся там библиографию).

Отметим, что все перечисленные результаты о свободе касаются исключительно арифметических некристаллографических решеток.

Если размерность X больше трех, то ничего подобного автору неизвестно. На сегодняшний день даже вычисление размерности градуированной компоненты алгебры А (в размерности > 4) вызывает большие трудности.

На этом мы закончим перечисление некоторых результатов ТТИ, повлиявших на постановку задачи, и переходим к формулировке главных результатов работы.

1. Armstrong М. A. On the fundamental group of an orbit space // Proc. Camb. Philos. Soc. -1968. - V. 64. - P. 299-301.

2. Bernstein J., Schwarzman O. Complex crystallographic Coxeter groups and affine root systems // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2006. - V. 13, N 2. - P. 163-182.

3. Bernstein J., Schwarzman 0. Chevalley's theorem for the complex crystallographic groups // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2006. - V. 13, N 3. - P. 323-351.

4. Baily W. L. On embedding of V-manifolds in projective space // Amer. J. Math. 1957. -V. 79. - P. 403-430.

5. Baily W. Introductory lectures on automorphic forms. Ivanami Shoten and Prinston Univ. Press, 1973. - ch. 5.

6. Chevalley C. Invariants of finite groups generated by reflections // Amer. J. Math. 1955. -V. 77. - P. 778-782.

7. Cohen A.M. Finite complex reflection groups // Ann. Sci. Ecole. Norm. Sup. 1976. - V. 4, N 9. - P. 379-436.

8. Coxeter H.M.S. Discrete groups generated by reflections // Ann.of Math. 1934. - V. 35. -P. 588-621.

9. Dolgachev I.V. Invariant stable bundles over modular curves X(p) // Contemporary Math. -1999. V. 224. - P. 65-69.

10. Dolgachev I.V. Reflection groups in algebraic geometry // Bull.AMS. 2008. - V. 45, N 1. -P. 1-60.

11. Dubrovin B. Geometry of 2D topological field theories // Lecture Notes in Mathematics. -Berlin: Springer-Verlag, 1996. V. 1620. - P. 120-348.

12. Dubrovin В., Zhang Y. Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds // Compositio Math. 1998. - V. Ill, N 2. - P. 167-219.13. van der Geer G. Hilbert modular surfaces. Berlin: Springer, 1988.

13. Friedman R., Morgan J., Witten E. Vector bundles and F theory // Comm. Math. Phys. 1997. - V. 187, N 3. - P. 679-743.

14. Futura M., Steer B. Seifert fibered homology 3-spheres and the Yang-Mills equations on Reimann surfaces with marked points // Adv. Math. 1992. - V. 96. - P. 38-102.

15. Givental A.V. Reflection groups in singularity theory // Amer. Math. Soc. Translations. -1992. V. 153. - P. 39-71.

16. Godement R. Cohomologie des groupes discontinue // Sem.Bourbaki. 1953-1954. - Exp.90.

17. Gundlach K.B. Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahl korpers Q(V5) // Math. Ann. 1963. - V. 152. - P. 226-256.

18. Gunning R. Riemann surfaces and generalized theta functions. Berlin: Springer, 1976. - Ch2, §5

19. Goryunov V. Symmetric X9 singularities and the complex affine reflection groups // Proceedings of Steklov Institute of Math. 2007. - V. 258.- P. 44-52.

20. Gottschling E. Invarianten endlichen Gruppen und biholomorphe Abbildungen // Invent. Math.- 1969. V. 6. - P. 315-326.

21. Holzapfel R-P. Geometry and arithmetic around Euler partial Differential Equations. -Dortrecht: D.Reidel, 1986.

22. Igusa J-I. On Siegel modular forms of genus two // Amer. J.Math. 1964. - V. 86. - P. 219-246.

23. Igusa J-I. Theta-functions. Berlin: Springer, 1972.

24. Кас V. G., Peterson D. H. Infinite dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms // Adv. Math. 1984. - V. 53. - P. 125-264.

25. Kawasaki T. The Riemann-Roch theorem for complex V-manifolds // Osaka Y. Math. 1979.- V. 16. P. 151-159.

26. Kitagawa S. On classification of parabolic reflection groups in SU(n, 1) //J. Math. Soc. Japan.- 1989. V. 41, N 1. - P. 9-36.

27. Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions // Mathematical Surveys. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1964. - V. VIII.

28. Leites D. (ed.) Seminar on supermanifolds // Reports of Stockholm University. 1986-90. -P. 1-34.

29. Looijenga E. Root systems and elliptic curves // Invent. Math. 1976. - V. 38. - P. 17-32.

30. Macdonald I.G. Affine root systems and Dedekind's 77-function // Invent. Math. 1972. - V.15.- P. 91-143.

31. Milnor J. On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M(p,q,r) // Ann. Math. Studies. 1975.- V. 84. P. 175-225

32. Mitchell H.H. Determination of the ordinary and modular ternary linear groups // Trans.Amer. Math.Soc. 1911. - V.12. - P. 207-242.

33. Pinkham H. Normal surface Singularities with C* // Action. Math. Ann. 1977. - V. 227. -P. 183-193.

34. Popov V. L. Discrete complex reflection groups // Communications of the Mathematical Institute, Rijksuniversiteit Utrecht. 1982. - P. 1-89.

35. Runge B. On Siegel modular forms of genus two // J.reine und angew. Math. 1993. - V. 436.- P. 57-85.

36. Saito K. Extended affine root systems. I. Coxeter transformations // Publ. Res. Inst. Math. Sci.- 1985. V. 21, N 1. - P. 75-179.

37. Satake I. Flat structure and the prepotential for the elliptic root system of type D^'1^ // In: Topological field theory, primitive forms and related topics. Birkhauser, Boston, MA: Progr. Math., 1998. - V. 160. - P. 427-452.

38. Shephard G. C., Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Canad. J. Math. 1954. - V. 6.- P. 274-304.

39. Shvartsman О. V. Cartan matrices of hyperbolic type and nonsingular parabolic points of quotient spaces of tube domains // Selecta Math. Soviet. 1985. - V. 4, N 1. - P. 55-61.

40. Slodowy P. A character approach to Looijenga's invariant theory for generalized root systems // Compos.Math. 1985. - V. 55, N 1. - P. 3-32.

41. Springer T. A. Regular elements of finite reflection groups // Invent.Math. 1974. - V. 25. -P. 159-198.

42. Takebayashi Т. The theta function associated to the elliptic root system // J. Algebra. — 2001. V. 243, N 2. - P. 486-496.

43. Tokunaga S. and Yoshida M. Complex crystallographic groups in C2 // J. Math. Soc. Japan. -1982. V. 34. - P. 581-593.

44. Wagreich P. Algebras of automorphic forms with few generators // Trans. Amer. Math. Soc. -1980. V. 262. - P. 367-389.

45. Wirthmuller K. Root systems and Jacobi forms // Compositio Math. 1992. - V.82. -P. 293-354.

46. Yoshida M. Discrete reflection groups in the parabolic subgroup of SU(n, 1) and the generalized Cartan matrices ofEuclidean type // J.Fac.Sci.Unv.Tokyo. 1983. - V.30. - P. 25-32.

47. Верже M. Геометрия, т. 2. M.: Мир, 1984. - 4.4, §1.

48. Бернштейн И.Н.,Шварцман О.В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп Кокстера // Функц.анализ и его прил. 1978. - Т. 12, вып. 4. - С. 79-80.

49. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. - Гл. 4-6.

50. Винберг Э.Б. Эффективная теория инвариантов // Алгебра. Сборник работ, посвященный 90-летию со дня рождения О.Ю.Шмидта. М.: МГУ, 1982. - С. 27-34.

51. Винберг Э.Б. Гиперболические группы отражений // Успехи мат.наук. 1985. - Т. 40, N 1. - С. 29-64.

52. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 55. - С. 139-309.

53. Винберг Э.Б., Онищик A.JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.

54. Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика, алгоритмы, сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000.

55. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.

56. Долгачев И.В. Автоморфные группы и квазиоднородные особенности // Функц.анализ и его прил. 1975. - Т. 9, N 2. - С. 67-68.

57. Касселс Дж.и Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. М.: Мир, 1969. - Гл. 4.

58. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.

59. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975.

60. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов // Функц.анализ и его прил. 1987. - Т. 21, N 2. - С. 46-63.

61. Ленг С. Введение в алгебраические и абелевы функции. М.: Мир, 1976.

62. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971.

63. Пятецкий-Шапиро И.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Физ-мат лит., 1961.

64. Серр Ж-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

65. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975.

66. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

67. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии, том 2. М.: Наука, 1988. - Гл. 9.

68. Шварцман О.В. Теорема Шевалле для комплексных кристаллографических групп, порожденных отражениями,в аффинном пространстве С2 // Успехи мат.наук. 1979. - Т. 34.- С. 249-250.

69. Шварцман О.В. О коциклах групп комплексных отражений и сильной односвязности фак-торпространств // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль, 1991.- С. 32-39.

70. Шварцман О.В. О фуксовых группах рода нуль // Функц. анализ и его прил. 1994. — Т. 28, вып. 4. - С. 66-73.

71. Шварцман О.В. Свободные G-пучки на замкнутых римановых поверхностях // Успехи мат.наук. 1999. - Т. 54, N 6. - С. 175-176.

72. Шварцман О.В. Об одном примере Д. Мамфорда и факториальности алгебр автоморфных форм для плоских групп рода 0 // Успехи мат. наук. 2003. - Т. 58, N 2. - С. 179-180.

73. Шварцман О.В. Свободные алгебры автоморфных форм на верхней полуплоскости // Функц. анализ и его прил. 2003. - Т. 37, вып. 2. - С. 147-154.

74. Шварцман О.В. Гиперболические группы Шевалле в С2 // Функц. анализ и его прил. -2009. Т. 43, вып. 2. - С. 64-72.

75. Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры Ли // Функц.анализ и его прил. 1990.- Т. 24. С. 51-61.

76. Шейнман O.K. Алгебры Кричевера Новикова и ССС-группы // Успехи мат.наук. - 1995.- Т. 50. С. 253-254.

77. Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. М.: Мир, 1973.

78. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. - Гл. 8.

79. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. - Гл. 5, 7.

80. Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий. М.: Мир, 1964.