Теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбужденного атомного ядра тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

АКТАЕВ Нуркен Ерболатович

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ И РЕЛАКСАЦИОННОЙ СТАДИЙ ПРОЦЕССА ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЁННОГО АТОМНОГО ЯДРА

01.04.16- физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Томск-2011

4845153

Работа выполнена на кафедре «Физика и химия» в ГОУ ВПО «Омский государственный университет путей сообщения» (ОмГУПС (ОмИИТ))

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Игорь Иванович Гончар

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Вячеслав Владимирович Самарин

доктор физико-математических наук, профессор Александр Иванович Фикс

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Защита состоится 24 мая 2011 года в 15 00 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.269.05 при Национальном исследовательском Томском политехническом университете (634050, г. Томск, проспект Ленина 2а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского Томского политехнического университета.

Автореферат разослан « 15 » апреля 2011 года

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Такие явления, как деление атомных ядер [1], диссоциация молекул [2], коллапс металлических нанопроволок [3], с теоретической точки зрения представляют собой распад возбуждённой системы, которая, первоначально находясь в квазистационарном (метастабильном) состоянии, преодолевает потенциальный барьер благодаря тепловым флуктуациям. По-видимому, работа [4], посвященная изучению динамики движения броуновской частицы (БЧ) во внешнем поле, была одной из первых в этом направлении. Результаты, полученные в этой работе, до сих пор актуальны не только для упомянутых выше, но и для многих других естественнонаучных исследований. Неслучайно этот круг задач связывают с именем X. Крамерса (формула Крамерса).

В ядерной физике модель броуновского движения и формулу Крамерса для скорости деления возбуждённых атомных ядер стали применять, начиная с работы В.М. Струтинского [5]. Многие вопросы здесь не решены и до сих пор. Один из них, оживлённо обсуждаемый в литературе [6, 7], связан с тем обстоятельством, что скорость деления ядра принимает своё квазистационарное значение не сразу, а спустя некоторое время. Исходя из этого, процесс деления условно можно разделить на две стадии: релаксационную и квазистационарную.

Для учёта релаксационной стадии принято использовать динамический режим в рамках комбинированных динамическо-статистических моделей (КДСМ) [1, 8], суть которых заключается в том, что в начале процесс моделируется динамически с использованием стохастических уравнений Ланжевена в течение времени ¿0, а затем, при выполнении определённых условий, моделирование переходит в статистическую ветвь. На этом этапе скорость деления вычисляется по формуле Крамерса. Необходимость такого перехода обусловлена огромными затратами компьютерного времени, которое требуются для динамического режима. Принимая во внимание, что в последнее время чрезвычайно возрос интерес к реакциям с малой, порядка 1%, вероятностью деления [7], возникла необходимость использования статистической модели Крамерса с временной задержкой деления (СМКЗ) [9]. Основная идея такой модели заключается в том, что скорость деления равна нулю в течение некоторого времени гу, после чего моделирование переходит в статистическую ветвь. Принято считать, что подавление скорости деления в СМКЗ соответствует динамическому режиму в КДСМ. Однако в работе [6] утверждается, что временная задержка деления в СМКЗ приводит к двойному учёту испущенных частиц при делении

(предразрывных частиц). Аргументация авторов этой работы сводится к тому, что идентичны среднее время деления тд [1] и величина тк, равная обратной крамерсовой скорости деления (КСД). Насколько нам известно, на момент начала работы над диссертацией не существовало ни одной работы, где бы результаты, полученные с помощью статистической модели Крамерса без временной задержки деления (СМК), СМКЗ и КДСМ сравнивали бы «напрямую».

В основе этих трёх моделей лежит согласие квазистационарной (КССД, Лд^), полученной в результате динамического моделирования, и крамерсовой

скоростей деления. В работах. [1, 10, И] было показано, что различие КССД и КСД может достигать 20%. Если в 90-х годах прошлого века такая точность являлась вполне приемлемой, то в настоящее время она должна быть улучшена. Необходимость повышения точности диктуется как минимум тремя обстоятельствами: 1) влиянием эффектов памяти (немарковости) на скорость деления (СД) [12], 2) введением квантовых поправок [13] при вычислении СД, 3) влиянием размерности модели на СД [14]. Все эти эффекты как раз порядка 10-30%, т.е. такого же масштаба, как и принимаемая до сих пор точность аналитических выражений для скорости деления.

Цель диссертационной работы - провести систематическое теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбуждённого атомного ядра и установить влияние корректного описания этих стадий на адекватность моделирования деления с учётом испускания лёгких частиц. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

1. получить более точные аналитические выражение (поправки к формулам Крамерса) для квазистационарной скорости деления, применяемые для моделирования процесса деления ядра и его конкуренции с испусканием частиц;

2. изучить влияние стадии установления квазистационарной скорости деления на механизм формирования наблюдаемых величин (НВ): вероятности деления, средних множественностей предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. получены поправки к классическим формулам Крамерса на ненулевые высшие производные (НВП) в экстремальных точках потенциальной энергии делящегося ядра. Эти поправки позволяют согласовать скорости деления, рассчитанные по формулам Крамерса, с квазистационарными скоростями, вычисленными в рамках динамического моделирования, с точностью 1 %;

2. вопреки теоретическим предсказаниям выявлено, что эти поправки применимы не только в режиме сверхзатухания, но и при достаточно малых значениях коэффициента затухания, сравнимых со значениями частот коллективного движения вблизи квазистационарного состояния и седловой точки потенциала делящегося ядра;

3. разработан и аналитически обоснован теоретический подход, учитывающий релаксационный характер процесса деления. Этот подход позволит проводить более эффективный и корректный анализ разнообразных экспериментальных данных, касающихся процесса деления ядер при высоких значениях энергии возбуждения;

4. впервые с помощью моделирования доказана необходимость учета релаксационной стадии деления при высоких значениях энергии возбуждения делящегося ядра.

Научное н практическое значение результатов заключается в том, что полученные поправки к формуле Крамерса на НВП, которые улучшают точность формулы Крамерса, дают возможность проводить более адекватный и корректный анализ процесса деления ядра и формирования HB, таких как: вероятность деления, средние множественности предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов. Разработанный теоретический подход, основанный на учёте релаксационного характера процесса деления ядра, обеспечивает более адекватное моделирование процесса деления возбуждённого атомного ядра, сопровождаемого испусканием лёгких частиц, и позволяет получить реальные оценки среднего времени деления, сопоставимые с экспериментальными данными. Существенное научное значение результатов подтверждается наличием независимых ссылок на работу I.I. Gontchar and N.E. Aktaev // Physical Review С (2009) 80, 044601 научными сотрудниками из Southeast University (Nanjing, People's Republic of China), Gesellschaft fuer Schwerionenforschung (Darmstadt, Germany), Grand Accélérateur Nationl d'Ions Lourds (Caen, France), Yale University (New Häven, USA), Université Bordeaux I, (Gradignan, France), Washington University (St. Louis USA).

Основные положения, выдвигаемые на защиту:

1. наличие ненулевых высших производных в экстремальных точках потенциала приводит к существенному рассогласованию аналитической крамер-совой и динамической квазистационарной скоростей деления возбуждённых атомных ядер;

2. поправки к классическим формулам Крамерса на НВП, позволяют согласовать крамерсову скорость деления с динамической квазистационарной скоростью, полученную путём численного моделирования, в пределах 1 %;

3. для адекватного описания процесса деления при больших значениях энергии возбуждения ( > 60 МэВ) атомного ядра необходимо учитывать релаксационный характер поведения скорости деления;

4. статистическая модель Крамерса с временной задержкой деления не приводит к двойному учёту испускания предразрывных частиц. Более того, данные, полученные с использованием этой модели, лучше согласуются с результатами комбинированной динамическо-статистической модели.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены лично автором. Автор принимал непосредственное участие на всех этапах научно-исследовательской работы по теме диссертации: в проведении расчётов, написании компьютерных программ, обработке, анализе и обсуждении полученных результатов, подготовке статей к публикации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 5-ой Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук» Томск (Россия), май 2008; on the 18th National Congress of Australian Institute of Physics «Physics for the Future» Adelaide (Australia), November - December 2008; на семинаре в лаборатории ядерной физики Австралийского национального университета, Канберра (Австралия), декабрь 2008; на 59-ой Международной конференции «Ядро 2009. Фундаментальные проблемы и прикладные аспекты ядерной физики: от космоса до нанотехнологий» Чебоксары, (Россия), июнь 2009; on the 3rd International Conference «Current problems in nuclear physics and atomic nuclei» Kyiv (Ukraine), June 2010; on the 60th International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010. Methods of Nuclear Physics for Femto- and Nanotechnologies» St. Petersburg (Russia), July 2010; на семинарах кафедры «Физика и химия» ОмГУПСа, 2008 - 2010.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них 4 - в изданиях, определённых ВАК Минобрнауки России.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списков аббревиатур, используемых обозначений и литературы. Объём диссертации - 100 страниц, включая 27 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 119 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность работы и мотивация проводимых исследований, дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе изложен подробный вывод формулы Крамерса для случая среднего трения и канонического ансамбля. Он был проведён с использованием уравнения Фоккера-Планка

др(р,д,() = р др{р,'Ь') [ д <3? т дд др

♦ О,

рШ\-Р-р(Ч)

+ (2) др

где р - плотность вероятности, р - обобщённый импульс БЧ, д - обобщённая координата БЧ, /) = г/Т - коэффициент диффузии в импульсном пространстве, г] - фрикционный параметр, который связан с коэффициентом затухания /? и инерционным параметром т соотношением = т[}, Т - температура, Р (д) =-(¿У / с!д - регулярная сила, V - потенциал, в котором БЧ совершает хаотическое движение. Этот потенциал характеризуется локальным минимумом (квазистационарное состояние, ^ ) и максимумом (седловая точка, ).

Последний (д^) определяет высоту барьера деления Вг Если В; намного превосходит энергию теплового движения, то мы решаем квазистационарную задачу. Тогда (1) перепишется, как р Эр(р,д) = 8 т 8д др ' {т

В этом случае можно предположить, что выполняется квазиравновесное распределение

р(р,д) = С(р,д)-П{р,д), (3)

где О(р.д) - распределение Максвелла-Больцмана, а ¿Г(р><?) ~ характеризует отклонение распределения от равновесного. Решение вида (3) уравнения (2) определяет число частиц , находящихся в квазистационарном состоянии

^ = (4)

и поток J БЧ через барьер

= ¡¿ррр(р,д„,), (5)

- 'С

Выражения (4) и (5) позволяют найти скорость деления, которая согласно «Пих

7

over population method» определяется как

Rf-K-J-

Таким образом, после нахождения величин 3 и N получаем соотношение

2жу„

2 Р Р

ехр -

(7)

которое выражает собой формулу Крамерса для случая среднего трения, где

-11/2

-абсолютные значения «частот» вблизи с]я% и д!С, соответственно. Следует отметить, что выражение (7) справедливо для канонического ансамбля, который хорошо подходит для описания химических реакций. А делящемуся ядру больше соответствует микроканонический ансамбль. Тогда выражение (7) примет свой модифицированный вид (22) (см. ниже).

Помимо формулы (7) X. Крамерсом были получены ещё два соотношения для скорости деления, которые справедливы в режиме сверхзатухания

* Ixfi Я Т

(8) (9)

где = т]'1Т - коэффициент диффузии в конфигурационном пространстве, - координата точки разрыва ядра. В текущей главе также обсуждаются границы применимости выражений (7), (8), (9).

Во второй главе представлена динамическая модель деления возбуждённых атомных ядер. В компьютерной программе, реализующей эту модель, предусмотрена возможность описания динамики деления полными уравнениями Ланжевена (ПУЛ)

р -р X ~ dt~ +

ч. 0 _ т-\ pdt 0

(10)

о

и редуцированным уравнением Ланжевена (РУЛ)

¿1 = -п-1У1')Л + ^ЩА1>„ (11)

где сЫ*, - независимый нормально распределённый стохастический дифференциал с нулевым математическим ожиданием и дисперспей Л.

Одной из основных количественных характеристик делительного процесса является скорость деления. С точки зрения ланжевеновского формализма её можно выразить соотношением

где - полное число траекторий, участвующих в моделировании, Л^ (г) -

число траекторий, достигших точки разрыва к моменту времени /. Типичная зависимость скорости деления, которая получается в результате динамического моделирования, представлена на рисунке 1.

Из рисунка видно, что динамическая скорость деления принимает свое квазистационарное значение Яйд1 не сразу, а спустя некоторое время релаксации. Количественно релаксационную стадию будем характеризовать тг, определяемым как время, за которое достигает половины своего квазистационарного значения: Я^ (г,) = /2.

Адекватность построенной модели оценивается двумя способами. Первый способ заключается в сравнении результатов численного решения (ЧР) ПУЛ для гармонического осциллятора с их аналитическим решением (АР), представленным в [15]. Результат сравнения приведён на рисунке 2. АР изображено сплошными линиями, а результаты ЧР - круглыми символами. Из рисунка видно, что в пределах статистических погрешностей АР и ЧР неплохо согласуются. Это согласие является аргументом в пользу адекватности построенной динамической модели. Второй способ оценивания заключается в сравнении с результатами работы [16], где приводятся численные значения скоростей деления при использовании бистабильного потенциала Бринкмана.

(12)

2,0

О 50 100 150 200 ((зсек)

Рисунок 1. Временная зависимость скорости деления Кр (/) (тонкая линия с открытыми круглыми символами). Динамическая квазистационарная скорость деления показана толстой линией. Моделирование выполнено с использованием РУЛ, Р5Р (см. ниже), В/ = 6 МэВ, =0.375,

?„/=0-9. 9„=1-2, т = 100МэВ-зсек2, Т = 3 МэВ, Р = \5 зсек-', Ыы=2-10\ г =0.5 зсек.

Рисунок 2. Анализ адекватности модели, (а) Среднее значение импульса (р), (6) его дисперсия . (в) Среднее значение координаты (у), (г) ей дисперсия в*. Расчеты выполнены при, Л',„,=104, г = 7 зсек, т = 100 МэВ-зсек!, ан0 =¿0 = 1.5 зсек"', Г = 1.5МэВ

В третьей главе проведено систематическое исследование согласия КССД и КСД для различных потенциалов: осцилляторный (Р2Р), тригонометрический (LCLP), полиномиальный (Р5Р, 5 порядок), бистабильный (ВР). Эти потенциалы представлены на рисунке 3; панели (а - г) соответственно. Для количественной оценки согласил использована относительная разница £Kr=RKrR~Dqs-1- В качестве RKr в диссертации использовались RK, R,, R0 и

т.д. Соответствующие четырём потенциалам относительные разницы представлены на панелях (al - rl).

Отметим, что относительная разница |£;|<2% при T~'Bf >4 для всех четырёх потенциалов. Для Р2Р на всём исследуемом диапазоне T~'Bf |£0|<2%. Однако, для LCLP, Р5Р и ВР > 5% даже при T'lBf > 4. Такое существенное различие R0 и RDqs мы связываем с наличием ненулевых высших производных в экстремальных точках потенциалов. Для осцилляторного потенциала НВП, разумеется, равны нулю.

Рисунок 3. Панели (а - г): деформационные зависимости (а) - Р2Р, (б) - ЬСХР, (в) - Р5Р и (г) - ВР (толстые линии с открытыми треугольниками) и парабол, аппроксимирующие эти потенциалы вблизи экстремальных точек (тонкие линии с закрытыми круглыми символами). Панели (а1 - г1): соответствующие этим потенциалам относительные разницы = Я,^^ -1 (толстые линии с открытыми треугольниками) и = -1 (тонкие линии с закрытыми круглыми символами). На панели (г!) погрешности не превосходят размеров символов.

Таким образом, исходя из рисунка 3 и анализа, проведённого в текущей главе, сделан вывод, что возможной причиной существенного рассогласования крамерсовой (Л0) и квазистационарной скоростей деления являются НВП.

В четвёртой главе получены поправки (ПР) на НВП к формулам Кра-мерса (9) и (7). Эти поправки были выведены из выражения (8) при разложении показателей экспонент в ряд Тейлора до второго, четвёртого и шестого порядков малостей по д-д^у Соответствующие этим разложениям ПР имеют нулевой, первый и второй порядки малости по отношению к = .

Поправки каждого порядка малости имеет 4 разновидности, которые заключаются в количестве учитываемых пределов интегрирования в (8). Так, выражение (9) нулевого порядка малости (слово «поправка» опущено) с тремя учтёнными пределами интегрирования имеет вид

ЩЦф{г:ГЯ)+Ф (пГ ?)}}'* (13)

X

где Ф(х) = 2(2луиг - интеграл вероятности Лапласа,

Поправки первого порядка, в отличие от нулевого, содержат в себе высшие производные (третью и четвертую) в экстремальных точках потенциала. При всех бесконечных пределах интегрирования получаем

.(1.0) .

¡1

у

тА")

_5_ 24

/('"Л

л*_

¡Л«)

_5_ 24

Ук1 У

хЛо- (И)

Учёт только одного предела интегрирования, который соответствует точке разрыва д1С, даст выражение

4

Здесь = ^ , а слагаемые

(15)

1 г^г.

12 яТ

48 лТ

7,4-4 = а„ = Т + 2уЯ1, е„ = ехр {—у]] ?2 / 2). Ос-

тальные ПР, в том числе и второго порядка, подробно приведены в диссертации. Сравнение модифицированных крамерсовых выражений (с поправками) с КССД приведены на рисунке 4 (а - в). Из рисунка видно, что учёт следующего порядка малости по приводит к улучшению согласия КСД и КССД.

ю

¡:

-5 2

0

Ы -2 ¡51-4 -6 -8

Рисунок 4. Панель (а, 6, в) - относительные разницы с поправками нулевого, первого и второго порядков малостей по соответственно. Панель (г) сравнение результатов, по-

лученных в разных режимах: сверхзатухание -/3 = 15 зсек"1 (закрытые символы), режим среднего трения - /3 = 2.5 зсек"1 (зачёркнутые символы). Статистические погрешности для всех зависимостей не превосходят размеров символов.

Наши поправки к формуле Крамерса (Л0) выведены из соотношения (8), которое справедливо для режима сверхзатухания. Следовательно, есть основания полагать, что они применимы только в этом режиме. Мы попытались разобраться в границах применимости этих поправок относительно коэффициента затухания. Для этого мы провели динамическое моделирование, используя полные уравнения Ланжевена (10). Значения параметров моделирования выбирались такими же, как и в предыдущих расчётах, за исключением коэффициента

| (а)

11

■я—8-5

■-— '—I, ■

—•— С —■— С '

Т'в.

2 3 4 5 6 7 8

Т'В,

затухания (/? = 2.5 зсек"1). Результаты, полученные при таком значении /?, представлены на рисунке 4 (г) зачёркнутыми символами. Соответствующие крамерсовы скорости получены при помощи замены К0 на в выражениях с поправками. Из рисунка видно, что различие результатов двух режимов не более 1 %. Таким образом, можно утверждать, что выведенные нами поправки применимы даже в случае среднего трения (/? я

В пятой главе проведено исследование влияния учёта релаксационной стадии на адекватность моделирования деления возбуждённых ядер. Это исследование проводилось в два этапа. На первом этапе необходимость временной задержки деления при моделировании была показана аналитически. При этом получена связь между величинами: среднем временем деления та, инверсной

КССД и её временем релаксации г,. Второй этап посвящен сравнению результатов моделирования в рамках статистической модели Крамерса с временной задержкой деления с результатами статистической модели Крамерса и комбинированной динамическо-статистической модели. Получение связи между г„, и тг основывалось на определении среднего времени деления

г«=}'-НпД0]' (16)

о

где = -Л, (7) Пи/гЛ — малая вероятность того, что ядро выживет к моменту времени /. Аппроксимируя временную зависимость К^ (с) пятью различными способами, мы получили пять различных соотношений между , и хг. С

помощью графического анализа было показано, что оптимальным соотношением между этими величинами является

= + (17)

Для проверки справедливости выражения (17) было проведено сравнение результатов, полученных по (17), с результатами динамического моделирования. Для моделирования динамики движения БЧ использовались ПУЛ для микроканонического ансамбля

е! Р ~т.&\ч) -р х "1" + "МО"

Л я. 0 пГ'_ _р_ 0

где случайная сила имеет свойства

, ^(>',) = 0 ■ (19 а, б)

Здесь = - коэффициент диффузии в им-

пульсном пространстве, а = 0.1А МэВ'1 параметр плотности одночастичных уровней энергии ядра, Е'ш - его полная энергия возбуждения, А - массовое число, 2 - зарядовое число. Энтропия 5 вычислялась с использованием соотношения Ферми-газа

Е:„А,г) = 2^[Е:, - У(д,А,2)] . (20)

Моделирование длилось в течение времени либо до момента деления В

этом случае среднее время деления та вычислялось как

(21)

При этом мы проверили, что та перестаёт изменяться с увеличением /0 при >>тг. Параметры моделирования (см. таблицу) выбраны такими, чтобы покрыть широкий диапазон значений и г,.

Таблица. Наборы параметров, используемые для моделирования с потенциалами: Р5Р, полиномиальный потенциал третьего порядка (РЗР), Р2Р, жидкокапельный потенциал (МЖК).

Набор Ядро Потенциал Р (зсек'1) С (МэВ)

1 набор 22611а Р5Р 4 752; 654; 359; 163; 94; 64

2 набор 667; 284; 59; 39; 29

3 набор Р5Р;РЗР 2 186; 70

4 набор 220 ТЬ Р5Р 6 186

5 набор Р2Р 1 100

6 набор 20 186

7 набор 220 в; Р5Р 4 62

8 набор МЖК 1;2;4 91

Сравнение результатов моделирования с теоретическим предсказанием (17) представлено на рисунке 5, где относительная разница ег показана для восьми различных наборов параметров, и видно, что та ф :

значения времён г0 и для всех результатов моделирования отличаются на (0.5 —1.5)т,.. Это отличие даёт право предполагать, что временная задержка деления Тц в СМК не приводит к двойному учёту частиц, испущенных делящимся ядром, а наоборот, способствует лучшему согласию с результатами КДСМ.

3

1,4 1,2 1,0 0,8 0,6

Рисунок 5. Относительная разница £т в зависимости от Результаты динамического моделирования (символы) сравниваются с теоретическим предсказанием (17) (сплошная линия).

101

10'

10

10'

V(зсек)

Полученная связь г„ = /¡¿^ + гг указывает на необходимость учёта временной задержки, т.е. использования СМКЗ. КССД и временная задержка деления в СМКЗ вычислялись по формулам

Д,

(Оо.

+ Р Р

ЪПО),;

где абсолютные значения «частот» Мщ^

(22) (23)

Результаты моделирования в рамках трёх моделей представлены на рисунке 6. Символами показаны зависимости значений наблюдаемых величин от времени tD, в течение которого осуществлялось динамическое моделирование. Горизонтальные линии соответствуют результатам, полученным с помощью СМК (пунктирная линия) и СМКЗ (сплошная линия). Из этих рисунков видно, что СМК и СМКЗ приводят к заметно различающимся значениям для всех НВ. При малых значениях значения, полученные при использовании СМК и КДСМ, совпадают в пределах статистических погрешностей. При увеличении значения НВ в КДСМ, отклоняются от СМК и приближаются к значениям, рассчитанным в рамках СМКЗ. Следовательно, можно утверждать, что времен-

ная задержка деления способствует уменьшению различия с результатами КДСМ. Таким образом, важность динамического моделирования именно на стадии релаксации скорости деления очевидна.

Ю'г 10'

10* 10* 10: (_(зсек)

10' 10г 10° / (зсек)

Рисунок 6. Зависимости (а) - вероятности деления Р1 и средних множественностей предраз-рывных частиц: (б) - нейтронов (в) - протонов (рр„), (г) - альфа-частиц ('арг, (д) -

дейтронов (й^), (е) - гамма-квантов (у,„) от времени динамического моделирования /р . Расчеты выполнены для ядра |юОз при Е'ш =289МэН, /? = 4 зсек"', г = 0.05 зсек. На панелях (а, б) погрешности не превышают размеров символов.

Однако статистически значимое различие между значениями НВ, к которым приводят СМКЗ и КДСМ, сохраняется. Это обстоятельство на качественном уровне можно объяснить следующим образом. Ядро, прежде чем поделиться, испускает большое количество легких частиц. При этом меняется высота барьера деления и энергия возбуждения. Учитывая, что основной конкурирую-

щей с делением модой является испускание нейтронов, высота барьера деления уменьшается «быстрее», чем энергия возбуждения. Это приводит к тому, что ехр^5|Уперестаёт быть малым параметром, а значит формула Крамерса

(22) становится неприменимой.

На рисунке 6 показана ещё одна интересная особенность: все наблюдаемые величины выходят на плато при >10 зсек. Это «насыщение» является основной идеей КДСМ, однако оно было продемонстрировано лишь в работе [17], да и то в очень ограниченном варианте (только для Более того,

точность расчётов в 90-е годы не позволяла установить влияние учёта релаксационной стадии на адекватность моделирования процесса деления.

Стоит отметить, что условием выхода на плато является согласие со

значением после переключения в статистическую ветвь. Чтобы продемонстрировать значимость этого согласия, на рисунке 7 на панелях (а) и (б) показаны по три вероятности деления для ядер ""П и 186О5 соответственно.

1.0 0,8 0,6 0.4 0,2

Рисунок 7. Зависимости вероятностей деления Р/ от времени динамического моделирования г0 . Для статистической ветви в КДСМ использованы значения = (открытые значки), = 2ЯК!. (полузакрытые сверху значки) и = 0.5йо (полузакрытые снизу значки).

Открытые значки отвечают = , полузакрытые сверху -= полузакрытые снизу - ЯВф. = / 2. Видно, что значения ВД для двух последних случаев не выходят на плато с увеличением (0. Однако при достаточно больших значениях эти величины стремятся к асимптотическому значению, соответствующему = Ек$.

В заключении сформулированы результаты, выдвигаемые на защиту.

II

О-О

"Р,

Ч

-е-0.5Я„,

Vе**®'

,-с-с—О-О-О

сш-

\

I (б)

10"* Ю'1 10° ю' 10' 10° 10"' 10"' 10° 101 102 10* С0 (зсек) I (зсек)

Основные результаты и выводы

1. Проведено систематическое исследование влияния ангармоничности потенциала (наличие НВП) на согласие динамической квазистационарной и крамерсовой скоростей деления. Выявлено, что различие между этими скоростями может достигать 40 %.

2. Получены поправки к крамерсовой скорости деления на ненулевые высшие производные в экстремальных точках потенциальной энергии нулевого, первого и второго порядков малости по отношению Некоторые из

этих поправок помимо ненулевых высших производных учитывают также положения квазистационарного состояния седловой точки д^ и точки разрыва . Продемонстрировано, что эти поправки можно применять не только в режиме сверхзатухания ([1» (о^), для которого они получены, но и при промежуточных значениях коэффициента затухания (/? и о)ы).

3. Проведено теоретическое обоснование необходимости учёта релаксационной стадии процесса деления атомных ядер для адекватного моделирования этого процесса, сопровождаемого испусканием легких частиц.

4. Анализ влияния релаксационной стадии процесса деления на механизм формирования наблюдаемых величин (вероятность деления, средние множественности предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов) позволил доказать, что наиболее адекватное моделирование этой стадии удается достичь только в рамках комбинированной динамическо-статистической модели. В случаях, когда удобнее использовать статистическую модель Крамерса (например, для анализа реакций деления ядер при низких значениях параметра делимости и высоких энергиях возбуждения), также необходимо учитывать временную задержку деления. Причем, это не приводит к двойному учету испускаемых частиц.

5. Впервые с хорошей точностью продемонстрировано, что при увеличении времени динамического моделирования значения шести наблюдаемых величин (вероятности деления, средних множественностей предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов) перестают зависеть от этого параметра.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

Издания, определённые ВАК Минобриауки России

1. Gontchar I.I., Aktaev N.E. Importance of the relaxation stage for adequate modeling of nuclear fission accompanied by light particle emission // Phys. Rev. C. -2009.-V. 80.-044601.

2. Актаев H.E., Гончар И.И. Динамическое и статистическое моделирование процесса деления высоковозбуждённых атомных ядер с учётом релаксационной стадии // Известия РАН. Серия физическая. - 2010. - Т. 74, № 4. - С. 545-548.

3. Aktaev N.E., Gontchar I.I. Comment on "Systematic description of evaporation spectra for light and heavy compound nuclei" // Phys. Rev. C. - 2010. - V. 82. -059801.

4. Gontchar I.I., Chushnyakova M.V., Aktaev N.E., Litnevsky A.L., Pavlova E.G. Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei // Phys. Rev. C. -2010. - V. 82.-064606.

Материалы конференций

5. Актаев H.E. Математическое моделирование процесса деления возбуждённых атомных ядер с учётом релаксационный стадии // Труды 5-ой Международной конференции «Перспективы развития фундаментальных наук» (Россия, Томск, 20 - 23 мая 2008 г.). - С. 226 - 227.

6. Gontchar I.I., Aktaev N.E. Fission rate of heated nuclei: analytical formulas versus dynamical modeling // Book of abstract of the 18lh National Congress of Australian Institute of Physics «Physics for the Future» (Australia, Adelaide, 30 November - 5 December 2008). - P. 171.

7. Gontchar I.I., Aktaev N.E. Fission rate of heated nuclei: analytical formulas versus dynamical modeling // Book of refereed papers of the 18th National Congress of Australian Institute of Phys ics «Physics for the Future» (Australia, Adelaide, 30 November - 5 December 2008). - P. 167 - 170.

8. Актаев H.E., Гончар И.И. Динамическое и статистическое моделирование процесса деления высоковозбуждённых атомных ядер с учётом релаксационной стадии // Материалы 59-й Международной конференции «Ядро 2009. Фундаментальные проблемы и прикладные аспекты ядерной физики: от космоса до нанотехнологий» (Россия, Чебоксары, 15 - 19 июня 2009 г.). -С. 241.

9. Gontchar 1.1., Pavlova E.G., Litnevsky A.L., Aktaev N.E. How much accurate is description of nuclear fission rate by means of Kramers formula? // Book of abstracts of the 3rd International Conference « Current problem in nuclear physics and atomic nuclei» (Ukraine, Kyiv, 7-12 June 2010). - P. 22 - 23.

10. Gontchar 1.1., Pavlova E.G., Litnevsky A.L., Aktaev N.E. How much accurate is description of nuclear fission rate by means of Kramers formula? // Proceedings of the 3rd International Conference «Current problem in nuclear physics and atomic nuclei» (Ukraine, Kyiv, 7-12 June 2010). - P. 46 - 50.

11. Aktaev N.E., Gontchar I.I. Modified Kramers approach for description of fission of excited nuclei // Book of abstracts of the 60й International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010. Methods of Nuclear Physics for Femto- and Nanotechnologies» (Russia, St. Petersburg ,6-9 July 2010). - P. 313.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Gontchar I.I., Frobrich P., Pischasov N.I. Consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei // Phys. Rev. C. - 1993. - V. 47. - P. 2228.

[2] Edholm O., Blomberg C. Decay of angular correlation functions by multiple rotational potential diffusion in polymer chains, with applications to NMR relaxation in paraffin chains of lipid bilayers II Chem. Phys. - 1979. - V. 42 - P. 449.

[3] Btirki J., Stafford C.A., Stein D.L. Theory of Metastability in Simple Metal Nan о wires II Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95. - 090601.

[4] Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reaction // Physica. - 1940. - V. 7. - P. 284.

[5] Strutinsky V.M. The fission width of excited nuclei // Phys. Lett. B. - 1973. -V. 47, № 2. - P. 121.

[6] Hofmann H., Ivanyuk F.A. Mean first passage time for nuclear fission and the emission of light particles II Phys. Rev. Leit. - 2003. - V. 90. - 132701.

[7] Schmitt C., Nadtochy P.N., Heinz A., Jurado В., Kelic A., Schmidt K.-H. First experiment on fission transient in fissile spherical nuclei produced by fragmentation of radioactive beams II Phys. Rev. Lett. - 2007. - V. 99. - 042701.

[8] Адеев Г.Д., Карпов A.B., Надточий П.Н., Ванин Д.В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбуждённых ядер // ЭЧАЯ. -2005. - Т. 36, вып. 4. - С. 731.

[9] Hinde D.J., Hilscher D., Rossner H., Gebauer В., Lehmann M., Wilpert M. Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics // Phys. Rev. C. - 1992. - V. 45, № 3. - P. 1229.

[10] Bao J.-D., Jia Y. Determination of fission rate by mean last passage time // Phys. Rev. C. - 2004. - V. 69. - 027602.

[11] Frôbrich P., Ecker A. Langevin description of fission of hot metallic clusters // Euro. Phys. Jour. D. - 1998. - V. 3. - P. 245.

[12] Гегечкори A.E., Анищенко Ю.А., Надаочий П.Н., Адеев Г.Д. Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления // ЯФ. - 2008. - Т. 71, № 12.-С. 2041.

[13] Frôbrich P., Tillack G.-R. Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier // Nucl. Phys. A. - 1992. - V. 540. - P. 353.

[14] Nadtochy P.N., Kelic A., Schmidt K.-H. Fission rate in multi-dimensional Langevin calculation // Phys. Rev. C. - 2007. - V. 75. - 064614.

[15] Chandrasekhar S. Stochastic problem in physics and astronomy // Rev. of Mod. Phys.- 1943.-V. 15.-P. 1.

[16] Edholm O., Leimar O. The accuracy of Kramers' theory of chemical kinetics // Physica A. - 1979. - V. 98. - P. 313.

[17] Frôbrich P., Gontchar I.I., Mavlitov N.D. Langevin fluctuation-dissipation dynamics of hot nuclei: prescission neutron multiplicities and fission probabilities //Nucl. Phys. A. - 1993.- V. 556.-P. 281.

Типография ОмГУПСа. 2011. Тираж 120 экз. Заказ 2.2; Ц 644046, г. Омск, пр. Маркса, 35

Введение

I Формулы Крамерса

§ 1.1 Вывод формулы Крамерса для случая среднего трения

1.1.1 Основные понятия и определения

1.1.2 Поток вероятности частиц через барьер

1.1.3 Число частиц в квазистационарном состоянии

1.1.4 Получение формулы Крамерса

§ 1.2 Границы применимости формул Крамерса

§ 1.3 Итоги I главы

II Динамическая модель деления ядер

§2.1 Описание динамической модели

§ 2.2 Адекватность динамической модели

2.2.1 Гармонический осциллятор

2.2.2 Сравнение с предшественниками

§ 2.3 Итоги II главы

III Согласие динамической квазистационарной и крамерсовой скоростей деления

§ 3.1 Гармонический потенциал

§ 3.2 Тригонометрический потенциал

§ 3.3 Полиномиальный потенциал

§3.4 Бистабильный потенциал

§ 3.5 Ангармонический потенциал

§ 3.6 Итоги III главы

IV Модифицированный крамерсов подход к делению ядер

§ 4.1 Поправки к формуле Крамерса

4.1.1 Обоснование выбора потенциала

4.1.2 Нулевой порядок малости по

4.1.3 Первый порядок малости по

4.1.4 Второй порядок малости по

§ 4.2 Границы применимости поправок

§ 4.3 Итоги IV главы

V Релаксационная стадия процесса деления возбуждённых ядер

§ 5.1 Связь между та, и тг

§ 5.2 Сравнение с результатами динамического моделирования

§ 5.3 Моделирование релаксационной стадии с учётом испускания лёгких частиц

§ 5.4 Итоги V главы

Прошло уже около 60 лет с того момента, как в Лос-Аламосе (США) Э. Ферми, Д. Пастой и С. Уламом было проведено компьютерное моделирование процесса вибрации гибкой цепи, состоящей из 32 частиц. Вся система представляла собой идеализированную одномерную атомную решетку, удерживаемую химическими связями. В результате использования в этом эксперименте компьютера удалось достичь небывалой точности вычисления. Это привело к тому, что было обнаружено периодическое поведение системы вместо эргодического, которое ожидалось. Таким образом, впервые повышение точности расчётов привело к открытию нового физического явления.

Бурное развитие вычислительной техники в последние 50 лет открыло ранее недоступные возможности ещё большего увеличения точности расчётов. Это повлекло за собой выявление новых закономерностей в различных областях науки [1 — 4]. Важнейшим инструментом подобных исследований являются математические модели, реализованные в виде компьютерных кодов. Исследования в области ядерной физики (ЯФ) не являются в этом смысле исключением. Сложность, трудоёмкость, а иногда и невозможность проведения экспериментов в ЯФ приводит к необходимости её изучения с помощью таких моделей. Одним из уникальных явлений, которое изучается подобным образом, является деление атомного ядра. Оно было открыто в 1939 году О. Ганном и Ф. Штрассманом [6]. Для количественного описания этого явления Н. Бором и Д. Уиллером была разработана статистическая модель (СМБУ) [7], основанная на методе переходного состояния [8, 9]. Суть этого метода заключается в следующем. Предполагается, что деление произошло, если ядро преодолевает некоторую критическую точку на поверхности потенциальной энергии (потенциала). В роли такой точки, как правило, выступает седловая точка, соответствующая барьеру деления. Скорость деления при этом рассчитывается согласно выражению, которое получило название «формула (выражение) Бора-Уиллера». Само же деление представляет собой чисто случайный процесс.

Сразу после открытия реакции деления X. Крамере в работе [10], аналитически решая уравнение Фоккера-Планка (УФП), получил несколько приближённых формул для скорости деления (СД) атомных ядер. Согласно этим формулам СД зависела от ядерного трения. Однако результаты работы X. Крамерса находились в противоречии со статистическим выражением для скорости деления Бора-Уилл ера [7], в котором трение не учитывалось. Почему-то сложилось так, что этому противоречию не было уделено должного внимания. Об этом свидетельствуют работы тех лет, в которых для построения статистической модели использовалось только выражение Бора-Уиллера [11 - 19]. А о работе X. Крамерса не вспоминали в ядерной физике до 1973 года.

В 1973 году в работах В. Струтинского [20, 21] статистическое выражение Бора-Уиллера впервые было подвергнуто серьёзной критике. Обсуждались границы применимости этого выражения. Было выдвинуто предположение, что формула Бора-Уиллера применима только для достаточно ограниченного круга задач. Для всех остальных случаев необходимо применять крамерсовы формулы, которые являются более универсальными по сравнению с формулой Бора-Уиллера. Существует мнение, что работы [20, 21] послужили мотивацией для постановки экспериментов по анализу влияния диссипации на скорость деления ядра.

В конце 70-х начале 80-го годов Д. Хилыпером с сотрудниками были поставлены эксперименты, в которых впервые удалось зафиксировать именно те нейтроны, которые покидают делящееся ядро [22]. Такие нейтроны мы будем называть предразрывными [27]. Их количественной характеристикой является средняя множественность предразрывных нейтронов ^.

Одновременно с Д. Хилыпером группой теоретиков во главе с X. Вай-денмюллером было проанализировано влияние трения на скорость деления ядер. Оказалось [23 - 26], что учёт эффектов диссипации приводит к эмиссии большего числа предразрывных нейтронов, чем это предсказывалось СМБУ.

Большое внимание к этим нейтронам было приковано потому, что они являются мерой времени протекания процесса деления - своего рода «ядерными часами» [27]. Вскоре появилось большое количество экспериментальных данных по измерению числа предразрывных нейтронов [28 - 31]. Оказалось, что количество предразрывных нейтронов, рассчитанное с учётом диссипации, ближе к экспериментальным результатам, нежели полученное в рамках СМБУ. В результате чего, СМБУ была модифицирована: в формулу Бора-Уиллера был добавлен крамерсов диссипативный множитель. Такую статистическую модель мы будем называть статистической моделью Крамерса (СМК). Подобное название впервые прозвучало в работе В. Струтинского [20, 21]. В литературе также встречается термин «картина Крамерса» [33]. Такие статистические модели используются в ядерной физике и по сей день [36-41].

Однако крамерсова поправка не полностью решила проблему избыточных нейтронов (так мы будем называть разность между экспериментально измеренным значением и полученным в результате использования СМБУ). Для энергий свыше 70 — 90 МэВ СМК приводит к заниженному, по сравнению с экспериментальным, значению Это несоответствие указывает на то, что процесс деления имеет динамический характер, который не учитывается в рамках СМК.

Впервые динамическое моделирование процесса деления удалось реализовать в 1986 году Я. Абе с сотрудниками [42]. Адекватность построенной ими модели была доказана посредством сравнения результата численного моделирования с известным аналитическим решением [43, 44] Для описания динамики деления использовались стохастические уравнения Ланжевена (УЛ), которые с физической точки зрения эквивалентны уравнению Фоккера-Планка. Численное решение УЛ осуществлялось методом Эйлера [45]. Путём численного решения УЛ была построена временная зависимость скорости деления. Оказалось, что эта скорость на начальной стадии нелинейно возрастала от нуля до квазистационарного значения. Более того, динамическая квазистационарная скорость деления (КССД) неплохо согласовалась с аналитической крамерсовой скоростью деления (КСД). Таким образом, построенная динамическая модель хорошо отражала диссипативную динамику деления ядра. Однако эта модель имела (и имеет до настоящего времени) крупный недостаток. При энергии возбуждения, незначительно превышающей высоту барьера деления, затраты компьютерного времени превосходят все разумные пределы. Это время порой может отличаться от времени необходимого для статистического моделирования в сотни раз. В результате оказывается возможным изучать только те системы, которые имеют 100% или близкую к ней вероятность деления. Реальная же ситуация, разумеется, значительно богаче.

В 1990 — 1993 годах П. Фрёбрихом и др. было выявлено, что спустя определённое время, скорость деления достигает своего квазистационарного предела. Следовательно, дальнейшее динамическое моделирование становится излишним: допускается режим применимости СМК. Таким образом, одним из главных требований перехода в статистическую ветвь является согласие КССД и КСД.

Впервые объединение динамической и статистической ветвей было предложено в работе [46]. Такие модели получили название — комбинированные динамическо-статистические модели (КСДМ). Суть таких моделей состоит в том, что вначале процесс моделируется динамически с использованием стохастических уравнений, а затем, при выполнении определённых условий моделирование переходит в статистическую ветвь. Одним из таких условий является согласование времени динамического моделирования с временем, необходимым системе, чтобы достичь своего квазистационарного предела. Подобные модели распространены для случая одной [46 - 61], двух [62 - 66] и трёх [67 - 71] степеней свободы. В последних двух случаях формула Крамерса, необходимая для статистической ветви, приобретает свой многомерный вид [72]. Разумеется, учёт как можно большего числа степеней свободы соответствует более реалистичной ситуации. Но в то же время он влечёт за собой огромные затраты машинного времени. Принимая во внимание, что в последнее время возник большой интерес к реакциям с малыми, порядка 1%, вероятностями деления [76], их теоретическое описание при помощи КДСМ даже для одной степени свободы возможно только для весьма ограниченного круга задач. Из-за этого в настоящее время возникла необходимость построения такой статистической модели, которая бы учитывала не только диссипацию, как это сделано в СМК, но и релаксационный интервал делительного процесса, то есть являлась бы неплохой заменой динамического режима.

Первая попытка построения такой модели принадлежит, по-видимому, Д. Хайнду с соавторами [73]. Её идея состоит в следующем. Считается, что скорость деления равна нулю в течение определённого промежутка времени т5. После этого деление моделируется в рамках СМК. Модели подобного рода мы будем называть статистическими моделями Крамерса с временной задержкой деления (СМКЗ) [48, 75, 76]. Разумеется, подобное подавление скорости деления является довольно грубым приближением реальной ситуации. В работах К.-Х. Шмидта [74 - 77] временная задержка деления имеет более сложную структуру, которая лучше соответствует временной зависимости скорости деления. Однако в работах Д. П. Лестоуна [38, 40] время релаксации не учитывается вовсе. Авторы считают, что этим временем можно пренебречь, поскольку оно в несколько раз меньше обратной крамерсовой скорости гг А в работах X. Хофмана [33, 34, 35] вообще утверждается, что временная задержка деления в статистической модели приводит к двойному учёту испущенных частиц при делении. Аргументация авторов этой работы сводится к тому, что идентичны среднее время деления та [48] и тк .

Таким образом, сложилась довольно противоречивая картина в отношении адекватного построения СМК. Открытыми остаются вопросы: нужна ли временная задержка деления? Если нужна, то способна ли она заменить динамическую ветвь КДСМ? Насколько нам известно, на момент написания настоящей диссертации не существовало ни одной работы, где бы результаты, полученные с помощью СМК, СМКЗ и КДСМ сравнивали бы «напрямую».

Ситуация осложняется тем, что крамерсова скорость деления, которая является важнейшим ингредиентом СКМ, СМКЗ, КДСМ, не всегда согласуется с КССД, полученной путем динамического моделирования. В работах [49, 78 - 81] было показано, что это различие может достигать 20%. Если в 90-х годах прошлого века такая точность являлась вполне приемлемой, то в настоящее время она должна быть улучшена. Попытки разобраться в причинах отклонения КСД от КССД предпринимались неоднократно. В работе [82] было показано, что к такому отклонению приводит отличие потенциала от осцилляторного в экстремальных точках. В [48] установлено влияние положения точки разрыва на величину КССД и получена соответствующая поправка к КСД. И, наконец, в работе [68] с использованием многомерной модели было показано, что на согласие скоростей влияет выбор термодинамического потенциала.

Необходимость повышения точности согласования КСД и КССД диктуется как минимум тремя обстоятельствами. Во-первых, недавно обнаружено [84, 85], что учёт эффектов немарковости влияет как на динамическую, так и на крамерсову скорости деления. При этом соответствующие динамические уравнения и выражение для скорости Крамерса приобретают немарковский вид. Во-вторых, как известно делящееся ядро в реальности представляет собой квантовую систему. Учёт квантовых эффектов приводит к изменению численного значения скорости деления [78]. И третье обстоятельство заключается в том, что учет каждой последующие степени свободы существенно изменяет значение КССД [70, 86]. Все эти эффекты как раз порядка 10 — 20%, т.е. такого же масштаба, как и принимаемая до сих пор точность аналитических выражений для скорости деления. Заметно ощущается явный недостаток исследований, направленных на изучение рассогласования скоростей. Причем неплохо было бы начать с такой ситуации, которая с одной стороны максимально упрощала бы модель настолько, чтобы было возможно развязать» эффекты, влияющие на согласие КСД и КССД. Но с другой стороны, по-прежнему бы отражала основные закономерности процесса деления. Таким образом, подводя итого вышесказанному, можно сформулировать цель настоящей диссертации.

Цель работы: провести систематическое теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбуждённого атомного ядра и установить влияние корректного описания этих стадий на адекватность моделирования деления с учётом испускания лёгких частиц. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

1. получить более точные аналитические выражение (поправки к формулам Крамерса) для квазистационарной скорости деления, применяемые для моделирования процесса деления ядра и его конкуренции с испусканием частиц;

2. изучить влияние стадии установления квазистационарной скорости деления на механизм формирования наблюдаемых величин: вероятности деления, средних множественностей предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов.

Научная новизна и значение результатов

1. Получены поправки к классическим формулам Крамерса на ненулевые высшие производные (НВП) в экстремальных точках потенциальной энергии делящегося ядра. Эти поправки позволяют согласовать скорости деления, рассчитанные по формулам Крамерса, с квазистационарными скоростями, вычисленными в рамках динамического моделирования, с точностью 1%;

2. Вопреки теоретическим предсказаниям выявлено, что эти поправки применимы не только в режиме сверхзатухания, но и при достаточно малых значениях коэффициента затухания, сравнимых со значениями частот коллективного движения вблизи квазистационарного состояния и седловой точки потенциала делящегося ядра;

3. Разработан и аналитически обоснован теоретический подход, учитывающий релаксационный характер процесса деления. Этот подход позволит проводить более эффективный и корректный анализ разнообразных экспериментальных данных, касающихся процесса деления ядер при высоких значениях энергии возбуждения;

4. Впервые с помощью моделирования доказана необходимость учёта релаксационной стадии деления при высоких значениях энергии возбуждения делящегося ядра.

Практическая значимость результатов

Полученные поправки к формуле Крамерса на НВП, которые улучшают точность формулы Крамерса, дают возможность проводить более адекватный и корректный анализ процесса деления ядра и формирования наблюдаемых величин, таких как: вероятность деления, средние множественности предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов. Разработанный теоретический подход, основанный на учёте релаксационного характера процесса деления ядра, обеспечивает более адекватное моделирование процесса деления возбуждённого атомного ядра, сопровождаемого испусканием лёгких частиц, и позволяет получить реальные оценки среднего времени деления, сопоставимые с экспериментальными данными. Существенное научное значение результатов подтверждается наличием независимых ссылок на работу I.I. Gontchar and N.E. Aktaev // Physical Review С (2009) 80, 044601 научными сотрудниками из Southeast University (Nanjing, People's Republic of China), Gesellschaft fuer Schwerionenforschung (Darmstadt, Germany), Grand Accélérateur Nationl d'Ions Lourds (Caen, France), Yale University (New Häven, USA), Université Bordeaux I, (Gradignan, France), Washington University (St. Louis USA).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка аббревиатур, списка обозначений и списка литературы.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Проанализирован вывод формулы Крамерса для случая среднего трения. В результате этого анализа выявлена дополнительная граница применимости формулы: квазистационарное состояние и точка разрыва должны быть расположены относительно далеко от седловой точки.

2. Проведено систематическое исследование влияния ангармоничности потенциала (наличие НВП) на согласие динамической квазистационарной и крамерсовой скоростей деления. Выявлено, что различие между этими скоростями может достигать 40%.

3. Получены поправки к крамерсовой скорости деления на ненулевые высшие производные в экстремальных точках потенциальной энергии нулевого, первого и второго порядков малости по отношению . Некоторые из этих поправок, помимо ненулевых высших производных, учитывают также положения квазистационарного состояния # , седловой точки и точки разрыва Продемонстрировано, что эти поправки можно применять не только в режиме сверхзатухания (/?» созс1), для которого они получены, но и при промежуточных значениях коэффициента затухания ( /? « со^ ).

4. Проведено теоретическое обоснование необходимости учёта релаксационной стадии процесса деления атомных ядер для адекватного моделирования этого процесса, сопровождаемого испусканием легких частиц.

5. Анализ влияния релаксационной стадии процесса деления на механизм формирования наблюдаемых величин (вероятность деления, средние множественности предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов) позволил доказать, что наиболее адекватное моделирование этой стадии удается достичь только в рамках комбинированной динамическо-статистической модели. В случаях, когда удобнее использовать статистическую модель Крамерса (например, для анализа реакций деления ядер при низких значениях параметра делимости и высоких энергиях возбуждения), также необходимо учитывать временную задержку деления. Причем, это не приводит к двойному учету испускаемых частиц.

6. Впервые с хорошей точностью продемонстрировано, что при увеличении времени динамического моделирования значения шести наблюдаемых (вероятности деления, средних множественностей предразрывных нейтронов, протонов, альфа-частиц, дейтронов и гамма-квантов.) перестают зависеть от этого параметра.

В заключении выражаю глубокую признательность и благодарность научному руководителю — Игорю Ивановичу Гончару за помощь в процессе выполнения диссертационной работы.

Сердечную благодарность хочу выразить своим родителям Ерболату Елюбаевичу Актаеву и Орынтай Букентаевне Актаевой за неоценимую Поддержку и Понимание во всём.

Отдельную благодарность выражаю Геннадию Дмитриевичу Адееву за полезную критику, внимание к работе, поддержку и помощь на заключительном этапе работы над диссертацией.

Выражаю благодарность Дмитрию Олеговичу Ерёменко, Вячеславу Владимировичу Самарину, Юрию Алексеевичу Честнову за полезные обсуждения результатов диссертационной работы.

Благодарю Марию Владимировну Чушнякову за плодотворное сотрудничество в процессе написания статей.

Благодарен Аскару Бакировичу Кильдибекову и Владимиру Григорьевичу Шахову за поддержку во время обучения в аспирантуре.

Аббревиатуры

АРГО — аналитическое решение уравнений Ланжевена для гармонического осциллятора.

БЧ — броуновская частица.

ВД - вероятность деления.

ДСД - динамическая скорость деления.

КСД - крамерсова скорость деления.

КСС — квазистационарное состояние.

КССД — квазистационарная скорость деления.

КЧ - ключевые точки потенциала # , , .

НВПЭ - ненулевые высшие производные в экстремальных точках потенциальной энергии.

СВПДГ - среднее время первого достижения границы СД - скорость деления.

СМБУ - статистическая модель Бора-Уиллера. СМК — статистическая модель Крамерса.

СМКЗ - статистическая модель Крамерса с временной задержкой деления.

СТ — седловая точка.

ПУЛ — полные уравнения Ланжевена.

РС — релаксационная стадия

РУЛ - редуцированное уравнение Ланжевена.

РЧМ - результат численного моделирования.

УЛ - уравнения Ланжевена.

УФП — уравнение Фоккера-Планка.

ФК — формула Крамерса.

ЯФ — ядерная физика.

Обозначения

А - массовое число. а — параметр плотности одночастичных уровней энергий. В1 - высота барьера деления.

- коэффициент диффузии в конфигурационном пространстве. Ор — коэффициент диффузии в импульсном пространстве.

Д, - коэффициент диффузии в пространстве скоростей. £>0 - диаметр исходного сферического ядра. Е*ш - полная энергия возбуждения. Е*п - внутренняя энергия ядра т - инерционный параметр.

Ир — число поделившихся ядер в динамическом режиме.

- полное число частиц, участвующих в моделировании. р — обобщенный импульс.

7 - обобщённая координата.

- скорость деления.

Яр - скорость деления, полученная при динамическом моделировании.

- динамическая квазистационарная скорость деления.

51 - энтропия. Т - температура.

- время динамического моделирования.

11 - кинетическая энергия. V - потенциальная энергия. 2 - зарядовое число. Р - коэффициент затухания. - кинетическая энергия испаренной частицы

Atb — ширина временного бина. р - плотность вероятности.

Ф - Интеграл вероятности Лапласа. р - коэффициент корреляции.

71 - фрикционный параметр. сг - среднеквадратическое отклонение. сг2 - дисперсия. т - шаг моделирования. тс1ес ~~ среднее время распада. тг - время релаксации скорости деления. тиу - время релаксации средних значений кинетической и потенциальной энергий. т5 - временная задержка деления. 1 соно - «частота» гармонического осциллятора. а>45 - «частота» в квазистационарном состоянии. соз(1 — «частота» в седловой точке. соКг - крамерсова «частота». - волновая функция. ц/т - случайная (Ланжевеновская) сила.

Заключение

В диссертации проведено систематическое теоретическое исследование квазистационарной и релаксационной стадий процесса деления возбуждённых ядер. Продемонстрировано, что повышение точности расчётов позволило выявить интересные особенности этих стадий.

В частности для квазистационарной стадии, показано, что непарабо-личность потенциала в экстремальных точках потенциальной энергии является одной из причин существенного рассогласования (более 30%) крамерсо-вой и квазистационарной скоростей деления.

Следует отметить, что проблема учёта релаксационной стадии возникла относительно недавно (менее 20 лет), поэтому исследования в этом направлении чрезвычайно важны. В настоящей диссертации чётко сформулирована роль релаксационной стадии при моделировании процесса деления.

1. E.N. Lorenz «Deterministic nonperiodic flow» // Journal of the Atmospheric Sciences (1963) V. 20, p. 130 - 141.

2. P. Fröbrich and J. Stroth «Role of statistical fluctuations in the emission of 8 electrons from dissipative heavy-ion collisions» // Physical Review Letters (1990) V. 64, № 6, p. 629 632.

3. S. Ruffo and D.L. Shepelyansky «Universal diffusion near the golden chaos border» // Physical Review Letters (1996) V. 76, № 18, p. 3300 3303.

4. B.B. Прудников, П.В. Прудников, A.H. Вакилов и A.C. Криницын «Компьютерное моделирование критического поведения трёхмерной неупорядоченной модели Изинга» // Журнал экспериментальной и теоретической физики (2007) Т. 132, вып. 2(8), с. 417 425.

5. О. Yu. Sliusarenko, V. Yu. Gonchar, А. V. Chechkin, I. M. Sokolov and R. Metzler «Kramers-like escape driven by fractional Gaussian noise» // Physical Review E (2010) V. 81, 041119.

6. O. Hahn and F. Strassmann «Über den nachweis und das verhalten der bei der bestrahlung des urans mittels neutronen entstehenden erdalkalimetalle» //Naturwissenshaften (1939) V. 27, p. 11 13.

7. N. Bohr and J.A. Wheeller «The mechanism of nuclear fission» // Physical Review (1939) V. 56, p. 426 450.

8. P. Hanggi, P. Talkner and M. Borkovec «Reaction-rate theory: fifty years after Kramers» // Reviews of Modern Physics (1990) V. 62, № 2, p. 251 -342.

9. V.l. Mel'nikov «The Kramers problem: fifty years of development» // Physics Reports (1991) V. 209, № 1 & 2, p. 1 71.

10. H.A. Kramers «Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reaction» // Physica (1940) V. 7, p. 284 304.

11. P. Fong «Asymmetric fission» // Physical Review (1953) V. 89, p. 332 -333.

12. P. Fong «Statistical theory of nuclear fission: asymmetrical fission» // Physical Review (1956) V. 102, p. 434 448.

13. И. Халперн «Деление ядер» (1962) Государственное издательство физико-математической литературы, с 152.

14. А.В. Игнаткж «Влияние оболочечной структуры осколков на процесс деления» //Ядерная физика (1968) т. 7, с. 1043 — 1050.

15. А.В. Игнаткж «Статистическое описание выходов продуктов деления» //Ядерная физика (1969) т. 9, с. 357 366.

16. L.G. Moretto «Statistical description of deformation in excited nuclei and disappearance of shell effects with excitation energy» // Nuclear Physics A1972) V. 182, p. 641-668.

17. L.G. Moretto «Shell model calculations of fission decay widths and probabilities in superheavy nuclei» // Nuclear Physics A (1972) V. 180, p. 337 -362.

18. B.D. Wilkins, E.P. Steinberg and R.R. Chasman «Scission-point model of nuclear fission based on deformed-shell effects» // Physical Review С (1976) V. 14, № 5, p. 1832 1863.

19. B.A. Рубченя «Проявление первичных и вторичных оболочек ядер-осколков при делении тяжёлых и сверхтяжёлых элементов» (1979) Ленинград, с. 29 (Препринт/Рад. ин-т: РИ — 104).

20. V.M. Strutinsky «The fission width of excited nuclei» // Physics Letters В1973) V. 47, № 2, p. 121 123.

21. B.M. Струтинский «Ширина деления нагретых ядер» // Ядерная Физика1974) Т. 19, вып. 2, с. 259 262.

22. P. Grange and H.A. Weidenmiiller «Fission probability and the nuclear friction constant» // Physics Letters В (1980) V. 96, p. 26 30.

23. P. Grange, Qing Li-Jang and H.A. Weidenmiiller «Induced nuclear fission viewed as a diffusion process: Transients» // Physical Review C (1983) V. 27, p. 2063 2077.

24. S. Hassani and P. Grange «Neutron multiplicities in fission viewed as a diffusion process» // Physics Letters B (1984) V. 137, p. 281 286.

25. S. Hassani and P. Grange «Nuclear dissipation, fission probability and neutron multiplicity prior to fission» // Zeitschrift fîir Physik A (1986) V. 325, № l,p. 95-98.

26. D. Hilscher and H. Rossner «Dynamics of nuclear fission» // Annales de Physique (1992) V. 17, p. 471 552.

27. E. Holub, D. Hilscher, G. Ingold, U. Jahnke, H. Orf and H. Rossner «Neutron emission in central heavy-ion collisions of 165Ho + 20Ne at 11, 14.6, and 20.1 MeV/nucleon» // Physical Review C (1983) V. 28, p. 252 270.

28. W.P. Zank, D. Hilscher, G. Ingold, U. Jahnke, M. Lehmann and H. Rossner «Fusion-fission dynamics at high excitation energies studied by neutron emission» // Physical Review C (1986) V. 33, p. 519 536.

29. D.J. Hinde, R.J. Charity, G.S. Foote, J.R. Leigh, J.O. Newton, S. Ogaza and A. Chattejee «Neutron multiplicities in heavy-ion-induced fission: Time-scale of fusion-fission» //Nuclear Physics A (1986) V. 452, p. 550 572.

30. D.J. Hinde, H. Ogata, M. Tanaka, T. Shimoda, N. Takahashi, A. Shinohara, S. Wakamatsu, K. Katori, H. Okamura «Pre-scission neutron multiplicity following the 160 + 142Nd reaction» // Physical Review C (1988) V. 37, p. 2923 2926.

31. H. Hofmann and F. Ivanyuk «Mean first passage time for nuclear fission and the emission of light particles» // Physical Review Letters (2003) V. 90, № 13, 132701.

32. H. Hofmann and A.G. Magner «Mean first passage time for fission potential having structure» // Physical Review C (2003) V. 68, 014606.

33. H. Hofmann «A note on the time evolution of the fission decay width under the influence of dissipation» // http://aps.arxiv.org/abs/nucl-th/0304032v2.

34. N.P. Shaw, I. Dioszegi, I. Mazumdar, A. Buda, C.R. Morton, J. Velkovska, J.R. Beene, D.W. Stracener, R.L. Varner, M. Thoennessen and P. Paul «Nuclear viscosity of hot rotating 240Cf» // Physical Review C (2000) V. 61, 044612.

35. K. Siwek-Wilczynska, I. Skwira and J. Wilczynski «Tests of the fission-evaporation competition in the deexcitation of heavy nuclei» // Physical Review C (2005) V. 72, 034605.

36. S.G. McCalla and J.P. Lestone «Fission decay width for heavy-ion fusion-fission reactions» // Physical Review Letters (2008) V. 101, 032702.

37. J.P. Lestone and S.G. McCalla «Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions» // Physical Review C (2009) V. 79, 044611.

38. RJ. Charity «Systematic description of evaporation spectra for light and heavy compound nuclei» // Physical Review C (2010) V. 82, 014610.

39. Y. Abe, C. Gregoire and H. Delagrange «Langevin approach to nuclear dis-sipative dynamics» // Journal de Physique (1986) V. 47, p. 329 338.

40. G.E. Uhlenbeck and L.S. Ornstein «On the theory of the Brownian motion» //Physical Review (1930) V. 36, P. 823 841.

41. S. Chandrasekhar «Stochastic problems in physics and astronomy» // Reviews of Modern Physics (1943) V. 15, № 1, p. 1 89.

42. H. Risken «The Fokker-Planck equation» (1984) Springer-Verlag, p 472.

43. N.D. Mavlitov, P. Frôbrich and I.I. Gonchar «Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model» // Zeitschrift fur Physik A (1992) V. 342, p. 195 198.

44. P. Frobrich, I.I. Gontchar and N.D. Mavlitov «Langevin fluctuation-dissipation dynamics of hot nuclei: Prescission neutron multiplicities and fission probabilities» // Nuclear Physics A (1993) V. 556, P. 281 306.

45. I.I. Gontchar and P. Frobrich «Nuclear fission: combining the dynamical Langevin equation with the statistical model» // Nuclear Physics A (1993) V. 551, p. 495-507.

46. I.I. Gontchar, P. Frobrich and N.I. Pischasov «Consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei» // Physical Review C (1993) V. 47, №5, p. 2228-2235.

47. I. Gontchar, L.A. Litnevsky and P. Frobrich «A C-code for combining a Langevin fission dynamics of hot nuclei with a statistical model including evaporation of light particles and giant dipole y quanta» // Computer

48. Physics Communications (1997) V. 107, p. 223 245.

49. P. Frobrich and I.I. Gontchar «Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion-induced fission» // Physics Reports (1998) V. 292, № 3 & 4, p. 131-237.

50. G. Chaudhuri and S. Pal «Prescission neutron multiplicity and fission probability from Langevin dynamics of nuclear fission» // Physical Review С (2002) V. 65, 054612.

51. И.И. Гончар, H.A. Пономаренко, В.В. Туркин и JI.A. Литневский «Теоретическое исследование зависимости среднего времени деления возбуждённых атомных ядер от углового момента» // Ядерная физика (2004) Т. 67, № 11, с 2101 -2115.

52. W. Ye «Effect of isospin on the evaporation residue cross section» // Physical Review С (2007) V. 76, 021604(R).

53. M.H. Eslamizadeh, V.A. Drozdov, D.O. Eremenko, S. Yu. Platonov, O.V. Fotina and O.A. Yuminov «А dynamical-statistical model of nuclear fission of heavy elements» // Moscow University Physics Bulletin (2008) V. 63, № l,p. 24-27.

54. N. Chen and W. Ye «Roles of isospin in evaporation residue cross section as a probe of nuclear dissipation» // Communication in Theoretical Physics (2008) V. 49, № 3, p. 739 742.

55. W. Ye, H.W. Yang and F. Wu « Isospin effects on the evaporation residue spin distribution» // Physical Review С (2008) V. 77, 011302(R). W. Ye «Isospin effects on neutrons as a probe of nuclear dissipation» // Physical Review С (2009) V. 79, 031601(R).

56. W. Ye «Significant role of deformation in probing postsaddle nuclear dissipation with light particle emission» // Physical Review С (2010) V 81, 054609.

57. D.V. Vanin, G.I. Kosenko and G.D. Adeev «Langevin calculation of fission fragment mass distribution in fission of excited nuclei» // Physical Review С (1999) V. 59, № 4, P. 2114 2121.

58. И.И. Гончар, А.Э. Геттингер, Л.В. Гурьян и В. Вагнер «Многомерная динамическо-статистическая модель деления возбуждённых ядер» //

59. Ядерная физика (2000) Т. 63, № Ю, С. 1778 1797.

60. I. Gontchar, М. Morjean and S. Basnary «Nuclear dissipation from fission time» // Euro Physics Letters (2002) V. 57(3), P. 355 361.

61. W. Wagner, I.I. Gontchar, A.E. Gettinger, L.A. Litnevsky, H.-G. Ortlepp and D.V. Kamanin «Novel Features of the fragment mass variance in fission of hot nuclei» // Yadernaya Fizika (2002) V. 65, № 8, P. 1 8.

62. Y. Jia and J.-D. Bao «Calculations of the anisotropy of the fission fragment angular distribution and neutron emission multiplicities Prescission from Langevin dynamics» // Physical Review С (2007) V. 75, 034601.

63. A.V. Karpov, P.N. Nadtochy, D.V. Vanin and G.D. Adeev «Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei» // Physical Review С (2001) V. 63, 054610.

64. A.V. Karpov, P.N. Nadtochy, E.G. Ryabov and G.D. Adeev «Consistent application of the finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei» // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics (2003) V. 29, p. 2365-2380.

65. Г.Д. Адеев, A.B. Карпов, П.Н. Надточий и Д.В. Ванин «Многомерный стохастический подход к динамике деления возбуждённых ядер» // Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра (2005) Т. 36, вып. 4, с. 731-814.

66. P.N. Nadtochy, A. Kelic and К.-Н. Schmidt «Fission rate in multidimensional Langevin calculation» // Physical Review С (2007) V. 75, 064614.

67. E.G. Ryabov, A.V. Karpov, P. N. Nadtochy and G. D. Adeev «Application of a temperature-dependent liquid-drop model to dynamical Langevin calculation of fission-fragment distribution of excited nuclei» // Physical Review С (2008) V. 78, 044614.

68. Z. Jing-Shang and H.A. Weidenmuller «Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier» // Physical Review

69. C (1983) V. 28, № 5, p. 2190 2192.

70. DJ. Hinde, D. Hilscher, H. Rossner, B. Gebauer, M. Lehmann and M. Wil-pert «Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics» // Physical Review C (1992) V. 45, № 3, p. 1229 1259.

71. B. Jurado, C. Schmitt, K.-H. Schmidt, J. Benlliure, Y. Enqvist, A.R. Junghans, A. Kelic and F. Rejmund «Transient effects in fission from new experimental signatures» // Physical Review Letters (2004) V. 93, № 7, 072501.

72. B. Jurado, C. Schmitt, K.-H. Schmidt, J. Benlliure and A.R. Junghans «Conditions for the manifestation of transient effects in fission» // Nuclear Physics A (2005) V. 757, p. 329 348.

73. C. Schmitt, P.N. Nadtochy, A. Heinz, B. Jurado, A. Kelic and K.-H. Schmidt «First experiment on fission transient in fissile spherical nuclei produced by fragmentation of radioactive beams» // Physical Review Letters (2007) V. 99, 042701.

74. C. Schmitt, K.-H. Schmidt, A Kelic, A. Heinz, B. Jurado and P.N. Nadtochy «Fragmentation of spherical radioactive heavy nuclei as a novel probe of transient effects in fission» // Physical Review C (2010) V. 81, 064602.

75. P. Frôbrich and G.-R. Tillack «Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier» // Nuclear Physics A (1991) V. 540. p. 353 -364.

76. P. Frôbrich and A. Ecker «Langevin description of fission of hot metallic clusters» // Euro Physics Journal D (1998) V. 3, p. 245 256.

77. J.-D. Bao and Y. Jia «Determination of fission rate by mean last passage time» // Physical Review C (2004) V. 69, 027602.

78. J.-D. Bao and Y. Jia «Last passage time statistics for barrier-crossing processes» // Journal of Statistical Physics (2006) V. 123, № 4, p. 861 869.

79. O. Edholm and O. Leimar «The accuracy of Kramers' theory of chemical kinetics» // Physica (1979) V. 98A, p. 313 324.

80. I.I. Gontchar, M.V. Chushnyakova, N.E. Aktaev, A.L. Litnevskv and

81. E.G. Pavlova «Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei » // Physical Review С (2010) V. 82, 064606.

82. A.E. Гегечкори, Ю.А. Анищенко, П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев «Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления» // Ядерная физика (2008) Т. 71, № 12. с. 2041 2051.

83. В. Yilmaz, S. Ayik, Y. Abe and D. Boilley «Non-Markovian diffusion over a parabolic potential barrier: influence of the friction-memory function» // Physical Review E (2008) V. 77, 011121.

84. И.И. Гончар «Динамическое моделирование процесса деления с одной и двумя степенями свободы: влияние на времена деления» // Ядерная физика (2009) Т. 72, № 10, с 1 5.

85. Y. Abe, S. Ayik, P.-G. Reinhard and E. Suraud «On stochastic approaches of nuclear dynamics» // Phys. Rep. (1996) V. 275, p. 49 196.

86. S. Chandrasekhar «Stochastic problem in physics and astronomy» // Reviews of Modern Physics (1943) V. 15, № 1, p. 1 89.

87. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц «Механика» серия: «Теоретическая физика» том 1 (1988) Государственное издательство физико-математической литературы, с. 216.

88. J. Sadhukhan and S. Pal «Role of shape dependence of dissipation on nuclear fission» // Physical Review С (2010), Y. 81, 031602(R).

89. W. Ye «Significant role of fissility in evaporation residue cross sections as a probe of presaddle nuclear dissipation» // Physical Review С (2010) V. 81, 011603(R).

90. H. Hofmann and J.R. Nix «Fission dynamics simplified» // Physics Letters В (1983) V. 122, № 2, p. 117 120.

91. F. Scheuter and H. Hofmann «On the propagation of a fissioning system across the barrier towards scission» // Nuclear Physics A (1983) V. 394, p. 477-500.

92. S. Misicu «Quantum dissipation in cluster decay phenomena: I. Smoothly joined quadratic potentials» // Journal of Physics G: Nuclear and Particle

93. Physics (2000) V. 26, p. 1 13.

94. Y. Abe, D. Boilley, B.-G. Giraud and T. Wada «Diffusion over a saddle with a Langevin equation» // Physical Review E (2000) V. 61, № 2, p. 1125 -1133.

95. D. Boilley and Y. Lallouet «Non-markovian diffusion over a saddle with a generalized Langevin equation» // Journal of Statistical Physics (2006) V. 125, №2, p. 477-493.

96. И.И. Гончар и Г.И. Косенко «Применима ли формула Крамерса для описания распада высоковозбуждённых атомных ядер» // Ядерная физика (1991) т. 53, вып. 1, с. 133 141.

97. О. Edholm and С. Blomberg «Decay of angular correlation functions by multiple rotational potential diffusion in polymer chains, with applications to NMR relaxation in paraffin chains of lipid bilayers» // Chemical Physics (1979) V. 42, p. 449-464.

98. P. Talkner and E. Pollak «Numerical test of finite-barrier corrections for the hopping rate in a periodic potential» // Physical Review E (1993) V. 47, № 1, p. 21-23.

99. R. Guantes, J.L. Vega and S. Miret-Artes «Kramers' turnover theory for diffusion of Na atoms on a Cu(001) surface measured by He scattering» // Journal of Chemical Physics (2003) V. 119, № 5, p. 2780 2791.

100. I.I. Gontchar and P. Frobrich «Dynamics of the thermal decay of a metasta-ble system over a multiple-humped barrier» // Nuclear Physics A (1994) V. 575, p. 283-296.

101. B. Jurado, C. Schmitt, K.-H. Schmidt, J. Benlliure and A.R. Junghans «А critical analysis of the modeling of dissipation in fission» // Nuclear Physics A (2005) V. 747, p. 14-43.

102. I.I. Gontchar and N.E. Aktaev «Importance of the relaxation stage for adequate modeling of nuclear fission accompanied by light particle emission» // Physical Review С (2009) V. 80, 044601.

103. H.E. Актаев и И.И. Гончар «Динамическое и статистическое моделирование процесса деления высоковозбужденных атомных ядер сучетом релаксационной стадии» // Известия Российской Академии Наук. Серия физическая (2010) Т. 74, № 4, с. 545 548.

104. Н.С. Brinkman «Brownian motion in a field of force and the diffusion theory of chemical reactions» // Physica (1956) V. 22, p. 29 34.

105. N.G. van Kampen «А soluble model for diffusion in a bistable potential» // Journal of Statistical Physics (1977) V. 17, № 2, p. 71 88.

106. R.S. Larson and M.D. Kostin «Kramers's theory of chemical kinetics: eigenvalue and eigenfunction analysis» // Journal of Chemical Physics (1978) V. 69, 4821.

107. J.F. Gouyet and A. Bunde «Diffusion in a bistable potential at intermediate and high friction» // Journal of Statistical Physics (1984) V. 36, p. 43 64.

108. G.H. Weiss «Overview of theoretical models for reaction rates» // Journal of Statistical Physics (1986) V. 42, p. 3 36.

109. L. Schimansky-Geier and H. Herzel «Positive Lyapunov exponents in the Framers oscillator» // Journal of Statistical Physics (1993) V. 70, p. 141 -147.

110. D.L. Stein «Critical behavior of Kramers escape rate in asymmetric classical field theories» // Journal of Statistical Physics (2004) V. 114, p. 1537 -1556.

111. E. Vanden-Eijnden and M.G. Westdickenberg «Rare events in stochastic partial differential equations on large spatial domains» // Journal of Statistical Physics (2008) V. 131, p. 1023 1038.

112. N. Berglund and B. Gentz «Anomalous behavior of the Kramers rate at bifurcation in classical field theories» // http://arxiv.org/abs/0809.2652v2.

113. H.E. Актаев и И.И. Гончар «Модифицированный крамерсов подход к описанию деления возбуждённых атомных ядер» // Известия РАН. Серия физическая (2011) в печати.

114. H.J. Krappe, J.R. Nix, A.J. Sierk «From heavy-ion elastic scattering to fission: a unified potential for the description of large-scale nuclear collectivemotion» // Physical Review Letters (1979) V. 42, № 4, p. 215 218.

115. A.J. Sierk «Macroscopic model of rotating nuclei» // Physical Review C (1986) V. 33, № 6, p. 2039 2053.

116. M. Brack, J. Damgaard, A.S. Jensen, H.C. Pauli, V.M. Strutinsky and C.Y. Wong «Funny Hills: the shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process» // Reviews of Modern Physics (1972) V. 44, № 2, p. 320 405.

117. R.W. Hasse and W.D. Myers «Geometrical relationships of macroscopic nuclear physics» (1988) Springer-Verlag, p. 116.

118. N.E. Aktaev and I.I. Gontchar «Comment on "Systematic description of evaporation spectra for light and heavy compound nuclei"» // Physical Review C (2010) V. 82. 059810.