Теоретическое исследование перехода Андерсона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

На правах рукописи

СУСЛОВ Игорь Михайлович

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДА АНДЕРСОНА

01.04.09 — физика низких температур

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 1997

Работа выполнена в Институте физических проблем имени П.Л.Капицы РАН

Официальные, оппоненты:

член-корреспондент РАН Садовский М. В.

доктор физико-математических наук Фсйгельмап М. В.

доктор физико-математических наук Фомин И. А. Ведущая организация -

Отделение теоретической физики Физического института им. П. Н Лебедева РАН

Защита состоится " Г " Мс1<Л__1997 ГОда в 10 часов на заседании

Специализированного совета Д 003.04.01 при Институте физических проблем им. П Л. Капицы РАН по адресу: Москва, ул. Косыгина, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физических проблем им. П Л. Капицы РАН.

Автореферат разослан

в / " ¿^/ ^Л _ 1997 года.

Ученый секретарь

Специализированного совета Д 003.04.01 доктор физико-математических наук

Прозорова Л. А.

ЭБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория неупорядоченных систем, пережив настоящий бум ! начале 80-х годов, продолжает оставаться одной из самых "горячих" областей физики конденсированного состояния. Это обусловлено двумя причинами. С од-гой стороны, се развитие определяется потребностями микроэлектроники, которая, гспользуя квазиодномерные и квазидвумертше проводники малых размеров, тто ¡кспертпым прогнозам рано или поздно должна перейти к использованию низких ■емператур (миниатюризация устройств требует уменьшения рабочих напряжений, :оторое в свою очередь диктует необходимость снижения уровня шумов), создавая ем самым условия, при которых эффекты неупорядоченности особенно сильны. И другой стороны, математические трудности, возникающие при описании таких :истем, имеют фундаментальный характер и тесно связаны с другими проблемами •еоретической физики — теорией фазовых переходов, проблемой многих частиц, хроблемой удержания кварков и т. д. Первая причина обеспечивает щедрое финансирование, вторая — приток высококвалифицированных специалистов.

Центральной проблемой теории неупорядоченных систем является проблема пе-)ехода Андерсона. Если исследование поведения физических величин в глубине металлической и локализованной фаз возможно сравнительно простыми методами, то в окрестности перехода все известные методы отказывают. 13 результате ^упорядоченные системы в широкой области параметров оказываются недоступ-1ыми для теоретического анализа.

Цель работы - разработка новых методов теоретического исследования критического поведения физических величин вблизи перехода Андерсона.

Научная новизна работы. В диссертации разработаны и применены для полу-1сния конкретных результатов три существенно новых теоретических метода: (а) ¡редложен симметрийный подход к определению критических индексов; (б) раз-эабоган метод (4 -' е)-разложения, который по сравнению с аналогичным методом теории фазовых переходов. основан на значительно более глубоком исследовании :труктурм ряда теории возмущений; (в) предложен метод оценки критических тдексов с помощью иерархических моделей.

Основные результаты диссертации и положения, выносимые на защиту:

1. Предложена теоретическая схема определения критических индексов для перехода Андерсона непосредственно из сямметрийпых соображений; полученные значения индексов согласуются с большинством известных модельных результатов и с результатами численного моделирования (в пределах точности последних). •

2. Показано, что коэффициент диффузии В(ш, q) в статическом пределе ш —-> 0 обращается при приближении к переходу в нуль одновременно для всех q; пространственная дисперсия коэффициента диффузии связана с атомным

масштабом и не имеет проявлений на масштабе

3. Согласно предлагаемому сценарию переход Андерсона по характеру изменения симметрии аналогичен точке Кюри изотропного ферромагнетика с бесконечным числом компонент; для последнего критические индексы известны точно и оказываются в точном соответствии с результатами прямого анализа - это является аргументом в пользу полноты выявления симметрии критической точки и точного определения индексов.

4. Показано, что размерность пространства ¿ = 4 выделена для перехода Андерсона из соображений перенормируемости: при. ¿>.4 теория неперенормируема и требуется рассмотрение решеточных моделей, при <1 < 4 теория перенормируема при помощи одного вычитания (суперперенормируема), при ¿ = 4 имеет место логарифмическая ситуация, допускающая существование как перенормируемых, так и неперенормируемых моделей. Для каждого из четырех случаев выяснена структура приближения, которое необходимо использовать для получения асимптотически точных результатов для средней функции Грина. При ¿>4 в диаграммном разложении для собственной энергии учитываются первый член ряда и сумма его далеких членов, которые вычисляются методом Липатова" "и ~ Приводят к непертурбативному вкладу, связанного с факториальной расходимостью ряда и имеющему качественное значение. В четырехмерных неперенормируемых моделях учитываются паркетные члены, соответствующие старшим степеням больших логарифмов, и наиболее быстро растущие по N члены (ЛГ - порядок теории возмущений), соответствующие нульлогарифмкческому и однологарифмическому вкладам. В четырехмерных перенормируемых моделях при небольших N учитываются лишь главные, а при больших N - все степени логарифмов; коэффициенты при последних вычисляются в главной асимптотике по N из условия перенормируемостя теории в форме уравнения Каллана-Симакчика с использованием асимптотики Липатова в качестве граничных условий. В (4 — с) мерной теории при N 1 учитываются лишь старшие степени 1/е, а при больших N - все степени этого параметра с использованием главной асимптотики по N коэффициентов разложения. Во всех рассмотренных случаях точка фазового перехода смещается с действительной оси в комплексную плоскость, что приводит к регулярности плотности состояний при всех энергиях, включая окрестность порога подвижности.

5. Построены иерархические модели, характеризуемые параметром иерархии ¡3, переходящие при /3 —> 1 в стандартные модели неупорядоченных систем, а при /3 —> 0 лежащие в одном классе универсальности с несоизмеримыми системами. При /3 < 1 с контролируемой точностью реализовано скейлинго-вое построение Таулеса, что - позволило дать оценку критических индексов, выяснить связь локализации в неупорядоченных и квазислучайиых системах, исследовать характер скейлинга и его связь с флуктуациями хондактанса, а

. также получить информацию о классах универсальности.

Практическая ценность работы. Как ухе указывалось, продвижение в »писании перехода Андерсона представляет интерес в связи с перспективными готребностями микроэлектроники. Фактически речь идет о вольтампериых характеристиках как уже существующих электронных устройств, так и тех, которые адгут быть созданы в ближайшем будущем.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на шогочисленных семинарах в Институте физических проблем им. П. Л. Капицы 3АН и в Физическом институте им. П. Н. Лебедева, на Международном сове-цании по электронным явлениям (Ласпи, 1993), Совещании по физике низких температур НТ-30 (Дубна, 1994), Семинаре по мезоскопическим и силыюкор-эелированным системам (Москва, 1996). Исследования, проводившихся в ходе заботы над диссертацией, поддерживались грантами Международного Научного Фонда (гранты МОНООО и МОНЗОО) и Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 93-02-2690 и 96-02-19527).

По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести •лав и заключения. Она изложена на 214 страницах, включая 30 рисунков и Зяблиографню из 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из четырех разделов. В разделе А изложена история проблемы к описаио ее состояние на момент начала работы над диссертацией. В разделах В, В, Г изложены основные идеи, лежащие в основе диссертации; содержание этих разделов приблизительно соответствует настоящему автореферату.

В первой главе излагается симметрийный подход к вычислению критических индексов для перехода Андерсона.

К настоящему времени достаточно широко осознано (см. напр. [1, стр. 76]), что в принципе теория фазовых переходов должна строиться как некоторая снимет р и иная теория. Именно, эффективный гамильтониан системы представляется в виде

. Н=*НГ ! г//,•„* , (1)

где Не -. гамильтониан критической точки, обладающий повышенной симметрией, Hint - оператор общего вида, совместимый с симметрией полного гамильтониана II, т - параметр, измеряющий расстояние до перехода. Наиболее общая мотивация разбиения (1) состоит в том, что множество гамильтонианов Нс (напр. гамильтопнанов различных ферромагнетиков в точке Кюри) должно быть выделено из множества всех гамильтонианов Я наложением каких-то дополнительных условий, которые можно интерпретировать как обобщенные симметрийные требования.

В таком подходе проблема состоит в установлении полной симметрии гамильтониана Яс, что до настоящего времени не удалось сделать для -большинства фазовых переходов. Так, известная теория Ландау [2] исходит из очевидной симметрии гамильтониана и не учитывает масштабной инвариантности и других элементов симметрии, возникающих из-за флуктуации вблизи кр5ПЕческой точки [3, гл. IX, § 2]. Лишь в пространствах высокой размерности, где дополнительной симметрии, связанной с флуктуациями, не возникает, теория Ландау оказывается точной, давая пример законченной симметрийной теории. Другим примером является конформная теория фазовых переходов для двумерного случая [4], которая, исходя из конформной инвариантности системы в критической точке и конечности числа сильно флуктуирующих величин, фиксирует дискретный ряд наборов критических индексов. '

В диссертации симметрийный подход применяется к исследованию перехода Андерсона, но разбиение типа (1) производится не для гамильтониана Я, а для оператора Ь, являющегося квантовым аналогом больцмановского оператора столкновений.

Рассматривается уравнение Шрсдингера в ¿-мерном пространстве

Ш + У(т)Шг)-Еф(т) , (2)

описывающее движение невзаимодействующих электронов с произвольным спектром е(р) в случайном потенциале У(г); относительно последнего предполагается лишь возможность использования диаграммной техники для вычисления средних по его реализациям. Точная функция Грина уравнения (2) выражается через его собственные функции ф,{г) и собственные значения е, (я — 1.2,..., АГ):

Усредненная функция Грина (С?(г, г')} определяется диаграммным рядом (рис. 1,а) и в соответствии с общепринятыми представлениями предполагается аналитичной в точке перехода Андерсона: доказательство этого для ¿>4 иа = 4 - б дается в гл. 2 5 диссертации. *-

Сингулярностью в точке перехода обладает величина

. ^Г1Г2,Г3Г4)=<С|+„(Г1Г2)С^(Г3Г4)> , (4)

содержащая информацию о кинетических свойствах; она определяется совокупностью диаграмм с четырьмя концами, построенных па и Оа -линиях (рис. 1,6), и по свойствам аналогична двухчастичной функции Грина теории взаимодействующих частиц. Для нее справедливо уравнение Бете - Ссшпитера, содержащее неприводимую вершину и (рис. 1,в). ;

Пространственная однородность в среднем приводит к закону сохранения для внешних импульсов в диаграммах, что позволяет выразить {О) через собственную

<с>

ч

\

к+^/2

** у;;'>л УФА

к—4/2

к'-члг

Рис. 1. Диаграммы для средней функции Грина (а) и величины ф (б), соответствующие гауссовскому случайному потенциалу [1] или борцовскому приближению для случайно расположенных примесей [5] (в дальнейшем их конкретный вид не используется); в - графическое изображение уравнения Бете - Солпитера; г -пояснение трехимпульсных обозначений.

энергию £,

(G%*(k)) = -Цза , (5)

а для функции ф ввести трехимпулъсиое обозначение ^^(q) (рис. !,;•) и записать уравнение Бете - Солпитера (рис. 1,з) в виде:

Фкк'(ч) = G£+q/zGt4/2 |N8k_k. + i £ ¡7vk, (Ч)Ф^(Ч) J • (6)

Здесь и в дальнейшем энергетическая переменная равна Е + w для функций GR и Е ~ для функций Сл.

В основе излагаемого подхода лежит физическая идея о связи явления локализации с диффузионным полюсом в неприводимой четыреххвостке:

^(ч) = ^(ч) 4 = OKí'q) + + ^ + + ^ ' (7)

выдвинутая Вольхардтом и Вольфле в т. н. "самосогласованной теории локализации" [6, 7]. Эта идея согласуется с представлениями теории слабой локализации [8, 9], согласно которой диффузионный полюс в üy^q) определяет главные квантовые поправки к проводимости, которые в свою очередь определяют скей-линговое поведение в пространстве размерности <¿ = 2+е. Диффузионный полюс в Укк'(ч) с классическим коэффициентом диффузии Dc¡ возникает в результате суммирования "веерных" диаграмм [9]; Вольхардт и Вольфле предположили, что при учете всех диаграмм Dc¡ заменяется на точный коэффициент диффузии D {ш, q). В квантовом кинетическом уравнепии величина U^tq) играет роль "вероятности перехода" и используя аппроксимацию типа г-приближения, D ос I ос (U)~l (/ -длина пробега, (...) - усреднение по импульсам), петрудно получить уравнение самосогласования теории Вольхардта - Вольфле

которое в оригинальной работе [6] получалось путем-грубого решения уравнения Бете - Солпитера. При увеличении беспорядка "вероятность перехода" аномально возрастает из-за уменьшения коэффициента диффузии, обеспечивая возможность его обращения в нуль.; В пренебрежении пространственной дисперсией 0(ш,ц) уравнение (8) позволяет определить критические индексы проводимости и и радиуса локализации £

«г ~ Л € ~ т"" , (9)

которые оказываются равными

i = l , d> 2

d — 2

2 < á < 4

(10)

d> 4

Эти значения индексов удивительным образом согласуются с большинством известных результатов, и возникает подозрение, что они — точные [10].

Исследование показало, что ряд соотношений теории Вольхардта - Вольфле, полученных в [6] ценой гипотез или сомнительных аппроксимаций, могут быть доказаны строго: это сделано в разд. 1.1-1.3 диссертации. В частности, доказано существование диффузионного полюса в величине ГЛк' (<0 (с наблюдаемым коэффициентом диффузии £)(о>,ц)), результат для в локализованной фазе

£>(ш,ч) = (-гш)(%) ш -> О (11)

и связь коэффициента диффузии с радиусом локализации волновых функций. £(0,0) ~ НаО£2. '

Эти результаты привели к чрезвычайно острой постановке проблемы перехода Андерсона. Действительно, из (11) ясно, что в локализованной фазе 3(0, ч) г О; возникает вопрос о характере изменения пространственной дисперсии О вблизи перехода. Наиболее естественная возможность состоит в том, что в точке перехода £>(0, q) обращается в нуль сразу при всех q: такая гипотеза высказывалась Ефетовым [11], из нее же исходили Вольхардт и Вольфле. Эта возможность выглядит совершенно невероятной в рамках феноменологических соображений в духе теории Ландау: действительно, должно происходить одновременное обращение в нуль целой функции независимо от способа приближения к критической точке и от положения этой точки на критической поверхности. Ясно, что это не может произойти случайпо и должно поддерживаться какой-то глубокой симметрией: существует ли зга симметрия и какова она? Другими словами, такой сценарий означает, что параметр порядка является не числом, а функцией;, последствия этого для структуры теории, очевидны. Вторая возможность состоит в том, что £>(0, ц) обращается в нуль в какой-то одной точке, после чего развивается неустойчивость и происходит переход первого рода: в этом случае необходимо представить соответствующий сценарий. Очевидно, что без ответа на эти вопросы не может быть и речи о понимании перехода Андерсона.

Указанная проблема до предела обостряется существованием тождества Уорда

[6]

. . Д2к(ч) = ^Е°ие(ч)дс^(ч) - (Щ

Л к-

где

= - <?к-<1/2 > Д£к(ч) = £к+<1/2 - ^к-ч/г , (13).

связывающего неприводимую вершину Ъ\к>{<\) с собственной энергией Левая часть (12) регулярна в точке перехода, тогда как в пределе ш —> 0 иодинтеграль-ное выражение в правой части расходится в локализованной фазе при всех к, к' (см. (7), (И)). Эта сингулярность должна сократиться в результате интегрирования по к', которое затрагивает 0(ш, к + к') и предъявляет жесткие требования к приближению, используемому для вычисления пространственной дисперсии коэффициента диффузии.

Как решаются эти проблемы в существующих теориях? В настоящее время наиболее строгим считается подход к теории локализации, основанный на формализме <г-моделей [12—14], которые получаются путем использования в функциональном интеграле перевального приближения по "жестким" направлениям и последующего разложения по градиентам. В "минимальной'' <т-модели производится ограничение низшими (вторыми) степенями градиентов, что соответствует пренебрежению пространственной дисперсией коэффициента диффузии: тем самым указанные проблемы не решаются, а игнорируются. Учет пространственной дисперсии D(ы,q), т.е. введение в лагранжиан сг-модели членов с высшими градиентами, приводит к катастрофе: эти члены начинают аномально возрастать в результате ренормгрунповых преобразований [15]. Подход Вольхардта - Воль-фле является в этом смысле более продвинутым, так как приводит к физически прозрачной йостановке проблемы; однако, в оригинальном варианте теории [6, 7] пространственная дисперсия В(и>, q) не учитывалась, а тождество Уорда грубо нарушалось.

Излагаемая теория основана на исследовании спектра квантового оператора столкновений ¿, представляющего собой симметризованную версию интегрального оператора, возникающего в уравнении Бете - Солпитера (6) в результате использования тождества Уорда (12)

{-Ы + (£к+<1/2 - £к-Ч/2)]^Ыс'(ч) + ^ и Укк'(ч)[А'Ск,(ч)^кк'(ч) - Д£к(ч)^к,к'(ч)] =

к.

= ДСк(чЖ«к_к, . (14)

Наличие в ядре оператора Ь диффузионного полюса (см. (7)) и пропорциональность 0(ш,ц) ~ ш приводят в локализованной фазе к разбиению_

£ = А-ед + ¿«'яд = Ьгсд Н--, (15)

ц;

где в операторе Ь) предполагается взятым предел ш —> 0 (члены высшего порядка по и включены в Ьтед). Если собственное значение оператора Ь\ конечно, то оно соответствует собственному значению ~ 1/ш оператора Ь,тд и, мало меняясь при добавлении Ьгед ~ 1, порождает собственное значение 1/ш полного оператора Ь. Нулевые собственные значения оператора соответствуют нулевым собственным значениям £„ч,3, которые после добавления Ь„3 становятся вообще говоря ~ 1; однако, часть их оказывается ~ и> (рис. 2). Последнее следует из того, что одно из собственных значений Ао оператора Ь лишь тривиальным множителем отличается от коэффициента диффузии 1){ы, ч); инвариантность относительно обращения времени приводит к тому, что наряду с Ао таким свойством обладает еще бесконечное число собственных значений. Из сказанного ясно, что число нулевых собственных значений оператора ¿„„д бескопсчно.

Легко видеть, что разбиение (15) аналогично разбиению (1): оператор I представлен в виде суммы оператора £„„а, обладающего повышенной симметрией

мл

м> м.

Рис. 2. Эволюция спектра собственных значений Аа при переходе от к Ь,

т. е. при "постепенном включении" оператора Ьгсд.

(проявляющейся в наличии бесконечного числа нулевых мод) и регулярного оператора Ьте!, общего вида. Следуя высказанным выше соображениям, рассмотрим реакцию системы на возмущение при этом возникает проблема устойчи-

вости множества Мо собственных значений А, -- и> оператора X. Действительно, пусть система находится в глубине локализованной фазы; малое возмущение 8Ьтед не выводит ее из состояния локализации и сохраняет пропорциональность А, ~ о> для л е Мо- С другой стороны, если возмущение 6Ьгея - общего вида, то оно имеет ненулевые матричные элементы по собственным векторам оператора Ь и должно приводить к малым, но не исчезающим при ы -* 0, значениям А,.

Это противоречие разрешается следующим образом. Оператор Ь,гд действует к полном гильбертовом пространстве П, тогда как оператор Ь\ имеет ненулевые собственные значения ~ 1 лишь в подпространстве Оь являющемся частью П (П = По ® ГЬ). Изменение $1гсд приводит к "повороту" подпространства Пь что порождает эффективное возмущение 81сц в подпространстве По, которое компенсирует исходное возмущение ¿¿„/. условие такой компенсации приводит к уравнению самосогласования, заменяющего грубое уравнение Вольхардта-Вольфле. Решение уравнения самосогласования ищется в предположении произвольной пространственной дисперсии коэффициента диффузии П(и>,ц), но внутренне непротиворечивым оказывается лишь решение со слабой зависимостью от ч, не влияющей на оценку интеграла в (8) и приводящее к результату (10) для критических ип-

дексов. Таким образом, все основные результаты [6] оказываются верными, что удивительно для такой грубой теории..

Предлагаемая теория является строгой в предположении, что единственными силгулярвостями являются диффузионные полюса, существование которых доказывается из общих принципов. Сингулярности другого типа могут существовать в специально сконструированных моделях, но, не поддержшзаясь симметрией, должны отсутствовать в общем случае. Такая мотивация характерна для теории средпего поля и может оказаться неверной ввиду наличия скрытых элементов симметрии. Однако, существуют аргументы в пользу того, что предлагаемая теория представляет собой нечто большее, чем просто теорию средпсго поля.

Действительно, наличие скрытых элементов симмётрии характерно лишь для самой критической точки; поэтому в типичном случае теория среднего ноля не дает правильного критического поведения, но правильно описывает изменение симметрии. Согласно предлагаемому сценарию, переход Андерсона по характеру изменения симметрии оказывается аналогичным точке Кюри для изотропного га-компонентного ферромагнетика в пределе п —> оо: так же как в ферромагнетике изменение магнитного поля приводит к повороту вектора намагниченности, так в рассматриваемом случае изменение Ьтед приводит к "повороту" бесконечномерного подпространства Пь Модель ферромагнетика с бесконечным числом компонент является основой 1 /п -разложения [1], ее критические индексы известны точно и оказываются в точном соответствии с результатами прямого анализа (см. (10)). Это является аргументом в пользу полноты выявления симметрии критической точки и точного определения индексов. Изотропия эквивалентного ферромагнетика является симметрией, обеспечивающей обращение 1)(0, q) в нуль одновременно для всех ц.

Другой аргумент состоит в том, что значения индексов (10) согласуются со всеми достоверными результатами модельных исследований (на даом основании гипотеза о том, что индексы (10) являются точными, уже высказывалась в [10]):

(а) Для справедливы .результаты:

" у = - , 3 = 1 (е —»0). (16)

следующие из существования однопараметрического схейлинга [8] и регулярного разложения для функции Гелл-Маша - Лоу ' '

= £ + - + 4 + (17)

9 9

с А < 0. Член А/д в (17) определяет при <1=2 логарифмические поправки к проводимости и его существование (с правильным зшком А) может быть про контролировано из диаграммной техники. В "минимальной" с-модели две первые поправки по е к (16) обращаются в нуль, а полученная Вегнером [16] поправка третьего порядка сильно ухудшает согласие с численными расчетами и подвергается сомнению самим автором; по-видимому, соответствие нуль-компонентной

<г-модели с исходной неупорядоченной системой верно лишь в низших порядках по е. Так или иначе, проблема высших градиентов делает модификацию сг-моделей неизбежной; однако, результат (16) останется неизменным при любых модификациях, не затрагивающих общую философию однопараметрического скейлинга.

(б) Результат (10) выделяет размерности пространства ¿л = 2 и йс2 — 4, которые из независимых соображений считаются нижней и верхней (см. ниже) критическими размерностями.

(в) Весь опыт теории фазовых переходов показывает, что для <1 > ¿л критические индексы не зависят от Л, что имеет -место в (10).

(г) При (I <= оо значение индекса . ¡/ = 1/2 согласуется с результатами для решетки Бете [17, 18]; для индекса « имеется два конкурирующих результата 5 = оо [18] и л = 1 [19], один из которых согласуется с (10).

(д) Значение индекса и = 1 для <1-3 удовлетворительно согласуется с результатами численных расчетов, которые дают значение в интервале 1.0 ч- 1.5: например, и к, 1 [20], ¡> = 1.2 ±0.3 [21], и = 1.35 ±0.15 [22], г; = 1.54 ±0.08 [23]. Высокой точности, указанной в последней работе, не следует придавать большого значения, так как она отражает лишь статистическую ошибку. В системах конечного размера Ь к основному скейлингу т ~ имеются поправки типа ао/4 и езср(—£/£) и для систем с Ь < 12 [23] систематическая ошибка достаточно велика. Систематическое превышение V над единицей в конечных системах характерно, гю-видимому, для перехода в центре зоны для модели Андерсона с прямоугольным распределением уровней; смещение к краю зоны или переход к гауссозскому распределению приводят к существенно меньшим значениям [24].

(е) Качественное поведение и как функции Л подтверждается оценками из иерархических моделей (см. ниже).

Во второй, третьей, четвертой и пятой главах строится (4 - сЛ-разложаше для плотности состояний.

По существующим представлениям [25, 26] плотность состояний не имеет , особенности в точке перехода Андерсона в отличие от проводимости и радиуса локализации волновых функций. Тем не менее, ее вычисление имеет прпнци-' пиалъное значение, так как все известные методы отказывают в окрестности перехода. Кроме того, плотность состояний и проводимость, определяемые соответственно средней функцией Грина {0{х,х')) и коррелятором {ОпОА), не являются вполне независимыми. Исследование в паркетном приближении показывает, что математические трудности в обоих случаях имеют одну природу и связаны с проблемой ложного" полюса. [27]. С другой стороны, для удовлетворения тождества Уорда (12) требуется строгое соответствие диаграмм, учитываемых при вычислении собственно-энергетической части и неприводимой вершины 1\к'(ч): поэтому никакое приближение, используемое для вычисления проводимости, не может быть самосогласованным, пока 'не сформулировано соответствующее приближение для плотности состояний.

Для слабого беспорядка порог подвижности лежит в окрестности затравочно! границы спектра, в которой случайный потенциал может считаться гауссовскш. ввиду возможности усреднения по масштабам, малым . по сравнению с длиной волны электрона, но большим по сравнению с расстоянием между рассеивателяш (так называемый гауссовский участок спектра [28]). В пространствах высоко! размерности дискретность решетки имеет принципиальное значение, поэтому i дальнейшем имеем в виду модель Андерсона

+ (18;

я'

на ¿-мерной кубической решетке (векторные индексы х и х' нумеруют ее узлы] с гауссовским распределением уровней Vx

ПК}~ехр(-1;. (19)

Интегралы перекрытия быстро спадают с увеличением [г - х'|, так чтс

спектр идеальной решетки

X

соответствует наличию зоны конечной ширины ~ ./; начало отсчета энергии выбрано так, что е(р) = р2/2т; при малых р. Беспорядок считаем слабым в интересуемся областью малых энергий

W<^J , \E\<J , (21)

В контипуалыюм пределе вычисление средней функции Грина модели (18) сводится к задаче о фазовом переходе второго рода с п-комионентным параметром порядка (р = (ipi, ip2,..., <рп) в пределе пО [1,29]. При этом коэффициенты в гамильтониане Гинзбурга-Ландау

+ • (22)

связаны с параметрами неупорядоченной системы соотношениями

' с=1/2тп, 4= -Е, 17о = -я'оИ/2/2, (23)

где а0 ~ постоянная решетки (в дальнейшем полагаем с = 1, а0 = 1). "Неправильный" знак, коэффициента при \f\A приводит, к неприменимости обычной теории среднего поля и необходимости флуктуационного рассмотрения [1,3] во всей области параметров; функциональные интегралы при д0 < 0 понимаются в смысле аналитического продолжения с положительных д0, которое для запаздывающей функции Грина производится через нижнюю полуплоскость [29].

По аналогии с современной теорией критических явлений [1,3] естественно ожидать, что для перехода Андерсона существует верхняя критическая размерность

пространства Лсг, выше которой теория существенно упрощается; соответственно можно надеяться на построение е-разложения для пространства размерности Лсг - е-

Выделенность для гауссовской модели (18) размерности пространства- й = 4 может быть обнаружена с различных точек зрения [30]; наиболее ярко она проявляется в оценках методом оптимальной флуктуации и при анализе перенормируемости теории.

Метод оптимальной флуктуации И. М .Лифшица [28] позволяет исследовать свойства локализованных состояний при больших отрицательных Е. В силу (19) вероятность флуктуационного возникновения потенциальной ямы глубиной V и радиусом Я имеет порядок (в следующих ниже оценках всюду опускаем коэффициенты ~ 1)

Р(У,Я)~ех р(-Щ) • (24)

При наличии в яме уровня Е = —\Е\ параметры V и Л связаны соотношением

что позволяет исключить V из (24)

P(E,R) ~ехр

\E\+J(ao/R) W

;ехр {-S(E,R)} . (26)

Полная вероятность Р{Е) возникновения уровня Е, определяющая плотность состояний i>(E), получается интегрированием (26) по Я, что в перевальном приближении сводится к замене Л на Но — точку минимума функции S{E,IÍ): из рис. 3,а ясно, что при d < 4 радиус оптимальной флуктуации Ra ~ |Е\~1!2 и расходится при (73| —s- 0, что приводит к известному закону Лифшица

и{Е)^ехр[-соп9ЦЕ\^/г} . (27)

При d > 4. экстремум S(E,R) достигается при минимально возможном Л, т. е.. Ra ~ а0, откуда

у(й) ~ ехр

Поскольку экстремум достигается на границе области определения, то производная ио Л от функции в(Е,Л) не обращается в нуль; в теоретико-полеяой формулировке [27] этому соответствует отсутствие классических решений — ип-стантонов.

При /1 = 4 (рис. 3,6) функция 3{Е,Л) = сапеЬ= Бо при Е = 0 и ситуация близка к вырождению: при больших Я вырождение снимается за счет конечности Е, 5(В, Л) - 5о ~ Е2Лпри малых Л становится существенным поведение спектра

я, (т)

(а)

в<о

£=О

(S)

о, ту

Рис. 3. Зависимость функции S(E,R) от R при Е = const: (a) d > 4 и d < 4' (б) d = 4.

е(р) при больших р. Если в разложении е(р) по р наряду с членами ~ р2 учесть члены то вместо (25) получим

(29)

При ß > 0 функция S{E, R) отклоняется от значения 57> вверх, обеспечивая появление минимума при До ~ \E\~l/A, а при ß < 0 — вниз, и минимум достигается при Ro ~ ао, где становятся существенными дальнейшие члены разложения с(р) по р (рис. 3,6). Мы видим, что переход от высших размерностей пространства к низшим "продолжается" при ¿ = 4 по параметрам модели: при ß < 0 оптимальная флуктуация локализована на атомном масштабе, аналогично случаю d > 4, тогда как при ß > 0 радиус оптимальной флуктуации расходится при |В| —> 0, что характерно для низших размерностей. Соответственно, различной оказывается асимптотика флуктуационного хвоста при Е —> -со [30]. В области малых Е, где находится порог подвижности, граница между двумя типами моделей перестает быть резкой. Дело в том, что при ß < 0 имеет место копкуренция вкладов от минимума с S = Si и более высоколежащего плато S(E, R) - So, ширина которого неограниченно увеличивается при уменьшении )В|. Интегрирование P(E,R) с учетом обоих вкладов дает результат типа

где а = 1/2. При увеличении 51 доминирование второго члена (вклада плато) возникает раньше, чем б1] сравнивается с 5о и переход к случаю ¡3 > 0, сопровождающийся исчезновением первого члена а (30), не имеет существенных последствий. Указанное значение индекса а нельзя воспринимать серьезно, так как точность метода не позволяет оценивать предэкспоненту; его точное значение может быть установлено из соображений перенормируемости и равно 1/3.;

Затухание Г, определяемое мнимой частью собственной энергии Щр,к) при р - 0 (к -- перенормироваяпое значение величины к0), в области применимости метода оптимальной флуктуации пропорционально плотности состояний и\Е) и с учетом размерности дается оценкой

Энергия всегда входит в комбинации Е + гГ и в окрестности перехода Андерсона можно заменить ¡¿'| ira Г; легко видеть, что первый член в скобках доминирует при 5i < 3£о/4, второй — при обратном неравенстве. Поскольку S(E,R) ~ W~2 (см. (26)), то в пределе слабого беспорядка возникает резкая граница Sc = 35*0/4 между двумя типами моделей: при S\ < Sc оптимальная флуктуация определяется атомным масштабом и дискретность решетки имеет принципиальное значение, аналогично случаю d > 4; при Si > Sc существенны флуктуации большого радиуса

(30)

(31)

и рассмотрение можно вести в континуальной модели с квадратичным спектром: ситуация аналогична таковой для низших размерностей.

Данная выше классификация моделей прямо связана с перенормируемостью теории. Диаграмма Я-го порядка для собственной энергии Е имеет размерность по импульсу, у, где г = 2+ 4)АЛ При ¿>4 степень расходимости на больших импульсах возрастает с порядком диаграммы и теория неперенормируема [31] — требуется явное введение параметра обрезания Л, указывающее на существенность структуры гамильтониана на атомном масштабе. При в. < 4 имеем г < 2 для всех N: при вычитании из каждой диаграммы ее значения при р = к - О показатель г понижается на 2 и разность к) — 5(0,0) не содержит расходимо-стей, которые поглощаются величиной £(0,0), приводящей лишь к сдвигу начала еггечета энергии. При /1 = 4 разность £(р, к) ~ Е(0,0) содержит логарифмические расходимости, устраняемые перенормировкой заряда и функции Грина [31, 32]; нужно, однако, иметь в виду, что в стандартных доказательствах перешэрмируе-мости обсуждается лишь область расстояний, больших, чем Л-1; подразумевается, что масштабы, меньшие Л-1, не дают, ¿-образных вкладов, существенных при Л —»оо. Приведенная, выше оценка показывает, что это не всегда так: перенормируемый вклад больших расстояний — вклад плато — доминирует лишь при 51 > 5'с; в обратном случае он мал по сравнению с неперенормируемым вкладом малых расстояний.

Таким образом, существует четыре принципиально различных типа теорий: (а) неперенормируемые теории при <1 > 4; (б) неперенормируемые теории в условиях логарифмической ситуации (<1 =4, < 5С); (в) перенормируемые теории в условиях логарифмической ситуации (¿ = 4, 5] > 5С); (г) теории, перенормируемые с помощью одного вычитания (суперперенормяруемые), при в. < 4. Использование упрощений, возникающих в высоких размерностях, для построения (4 — е)-мерной теории требует последовательного рассмотрения всех четырех перечисленных типов теорий: реализации этой программы для илотиости состояний и{Е) посвящены главы 2-5 диссертации.

Попытки построения (4 — е)-разложения для перехода Андерсона предпринимались в середине 70-х годов [27], но столкнулись с серьезными трудностями, в которых обнаружилась глубокая связь с другими проблемами теоретической физики. Известно, что в квантовой электродинамике имеется соотношение, связывающее наблюдаемый заряд е, входящий в закон Кулона, с "затравочным" зарядом е0, входящим в исходпый лагранжиан [31]

2 ео

6 = Т+-.(2еЗ/3*)ЦЛ/т) ',.-■' (32)

где т - масса электрона. Параметр обрезания Л не имеет физического смысла и должен быть устремлен к бесконечности: при этом наблюдаемый заряд е —»0 при любом значении затравочного заряда ео. Этот так называемый "нуль заряда" сначала воспринимался как парадокс, свидетельствующий о каких-то фундаментальных дефектах теории; его современная интерпретация состоит в том, что ео

надо понимать как эффективный заряд, относящийся к масштабу расстояний Л-1 и зависящий от Л так, чтобы в левой части (32) всегда получался наблюдаемый заряд е, т. е.

,, _е2 , - ,

С5[Л) 1 — (2е2/3тг) 1п(Л/т) ' l33)

В результате заряд электрона при уменьшении расстояний до масштабов, меньших комптоновской длины m(= hjmc), начинает возрастать. В квантовой хромодинамике формула, аналогичная (32), имеет место с обратным знаком в знаменателе и эффективный заряд не уменьшается с ростом масштаба расстояний, а увеличивается: это объясняет, почему кварки на малых расстояниях ведут себя как свободные (асимптотическая свобода), а на • больших взаимодействуют столь сильно, что не могут разлететься (конфайнмент). Зависимость эффективного заряда от расстояния может описываться на основе формулы (32) лишь при условии его достаточной малости; вопрос о том, чем заменяется формула (32) когда заряд возрастает до значений ~ 1 (это происходит в квантовой электродинамике на малых расстояниях, а в КХД — на больших), остается до сих пор нерешенным.

Связь проблемы перехода Андерсона с теорией взаимодействующих частиц определяется тем, что в квантовой теории поля модели (22) с d = 4, п = 1 соответствует известная модель ip4, описывающая релятивистский бозе-газ с точечным взаимодействием [31]; при этом величина к. играет роль массы частицы, а отрицательные значения констапты взаимодействия да (притяжение) соответствуют неустойчиной теории поля. Ситуация с перенормируемостью в модели <рА оказывается такой же, как в квантовой электродинамике и справедливо соотношение, аналогичное (32), связывающее перенормированный заряд д, описывающий взаимодействие на больших расстояниях, с его затравочным значением д0 ¡3, 31, 33]

_ gO_____/34ч

3 1 + К4{п + &)да\п{А/к) ' ; 1 ;

где А'4 = (8ir2)-1 - площадь единичной сферы в четырехмерном пространстве, деленная на (2т)4). Результат (34) получается путем суммирования так называемых "паркетных" диаграмм, содержащих максимальную степень большого логарифма [33]. При до > 0, т. е. в обычной теории фазовых переходов, эффективное взаимодействие,, описываемое (34), стремится к нулю при к —> 0, т. е. при при ближснии к точке перехода — возникает "нуль заряда", который в данном случае имеет буквальный смысл, так. как затравочный заряд до и параметр обрезания А соответствуют атомному масштабу и являются наблюдаемыми. При переходе от Л-4 к <¿ = 4—6 заряд д в пределе и—>0 приобретает конечное, но малое по величине значение; со слабостью эффективного взаимодействия фактически и связан успех с-рахшжения Вильсона, результаты которого прекрасно воспроизводятся в паркетной формулировке теории [33].

Использование паркетного приближения в теории неупорядоченных систем приводит к выражению типа (34) с до < 0 [27] и ситуация оказывается асимптоти-

чески свободной: при приближении к порогу подвижности эффективное взаимодействие не падает, а растет и при некотором малом к (т. е. малом значении перенормированной энергии Е) в выражении (34) возникает "ложный" полюс, неустранимый в рамках паркетного приближения. Формальное использование паркетных результатов типа (34) приводит к расходимостям в физических величинах. Таким образом, возникает парадоксальная ситуация: использование одного и того же приближения в двух математически эквивалентных проблемах приводит в одном случае (теория фазовых переходов), по-сухцеству, к полному решению задачи, в другом случае (теория неупорядоченных систем) — к явно нефизичсским результатам. По мнению Садовского [27], проблема ложного полюса является основной проблемой, препятствующей построению последовательной теории перехода Андерсона. В диссертации дано полное решение этой проблемы для задачи о. плотности состояний.

Во второй главе анализируется ситуация в высоких размерностях и показывается, каким образом происходит упрощение теории при ¿>4.

Из диаграммного ряда для собственной энергии Т,(р, Е) нетрудно заключить, что увеличение порядка диаграммы- на единицу (порядок диаграммы определяется степенью до, т. е. числом примесных линий) приводит к появлению лишнего множителя и добавлению двух С функций. Для последних в оценках можно использовать функциональную форму, которая получается в области слабого беспорядка [5] (в дальнейшем везде, где это существенно, имеется в виду запаздывающая функция Грипа)

" ГО

При А < 4 в силу перенормируемости теории на больших импульсах интегралы определяются малыми значениями р; поэтому в интересующей нас области малых Е функцию Грина следует считать величиной ~ 1/Г. При слабом беспорядке затухание Г является малым в меру малости Ж и, оказываясь в знаменателе, может скомпенсировать малость множителя IV2. Детальные оценки показывают, что именно это и происходит в окрестности порога подвижности, так что при

~ Г фактический параметр разложения оказывается порядка единицы.

При й > 4 ситуация меняется: ввиду неперенормируемости теории интегралы определяются большими импульсами ~ Л и функция Грина (35) оказывается величиной ~ 1/1; поэтому параметр разложения при слабом беспорядке оказывается малым,

\у2

-]2- <1 ■ - ; , (36)

Наличие малого параметра не приводит, однако, к очевидным упрощениям, так как попытка ограничиться конечным порядком теории возмущений приводит к потере флуктуационного хвоста. Приближение, дающее асимптотически точные результаты во всей области энергий, было найдено в работе автора [30]: ряд теории возмущений для X!- нужно аппроксимировать первым членом и суммой

удаленных членов ряда — от некоторого большого N0 до бесконечности. Последние члены дают вклад, связанный с расходимостью ряда и потому не зависящий от No-

Расходимость ряда теории возмущений прямо связана с существованием флук-туанионного хвоста плотности состояний. Действительно, при гауссовском распределении энергий узлов (19) с конечной вероятностью существуют сколь угодно глубокие флуктуации потенциала и следовательно — сколь угодно глубокие уровни энергии — при сколь угодно малом W, т. е. плотность состояпий v(E) ~ lmG(E 4- ¿5) отлична от нуля при всех Е и W; отсюда

G[E +iS)~ G(E -iS) = const • !/(£) f О для всех E, g0 < 0 , (37)

т. е. точная функция Грина G(E) имеет разрез при отрицательных Е. которого не имела невозмущенная функция Грина Go(E). По известной теореме анализа сумма ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна при условии его равномерной сходимости; равномерная сходимость имеет место, если функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом. Если коэффициенты разложения G(E) по степеням до растут медленнее aN с некоторым конечным а, то при малых \до\ ряд мажорируется сходящейся геометрической прогрессией и сходится равномерно; тогда из непрерывности членов ряда, вытекающей из непрерывности Go(E), следует невозможность (37). Поэтому коэффициенты разложения растут быстрее aN со сколь угодно большим а и ряд расходится при сколь угодно малых [j0[. Фактически -расходимость оказывается факториалышй, что связано с факториально большим числом диаграмм одинакового порядка.

Вычисление далеких членов ряда теории возмущений возможно с помощью метода Липатова [34] t который основан па.следующей простой идее. Коэффициенты разложения функции F(g),

ею

я-о

могут определяться по формуле

w _ Г d9 F(g) , ■ ■ . .

где контур С Охватывает точку д - 0 в комплексной плоскости. Переписывая знаменатель в виде exp{-(iV+ l)ln#}, имеем при больших N экспоненту с большим показателем, что позволяет надеяться па использование метода перевала. Применим (39) к функциональному интегралу

F(g) = f , Н{<р} = Нй{<р} + дНм{ч>} (40)

Тогда

J с 2 тгг J

Идея метода Липатова состоит в том, что перевал в (41) ищется одновременно по д и уз; он существует для большинства представляющих интерес гамильтонианов H{g,tp} и реализуется на некоторой локализованной в пространстве функции <р(») (называемой инстантоном), причем оказывается, что условия применимости перевального приближения выполнены при больших N независимо от его применимости к исходному интегралу (41). Это дает возможность определения далеких коэффициентов разложения функциональных интегралов, которые как правило не могут быть вычислены никакими известными методами.

Диаграммный ряд для функции Грина неупорядоченной системы (рис. 1,л) с помощью метода реплик представляется в виде - функционального интеграла с гамильтонианом (22), что и дает возможность вычисления его далеких членов методом Липатова. Переход от разложения для G(p,E) к разложению для собственной энергии £(р,Е) не представляет трудностей, так как для факториальных рядов существует' простая алгебра, позволяющая манипулировать с ними так же просто, как с копечными выражениями. Для N-го коэффициента разложения Е(р,Е) получается функциональная форма

cT(N+b)aN , (42)

где Г(х) - гамма-функция, а = a(Е), Ь = const, с = с{р,Е). Расходящийся ряд формально суммируется путем представления гамма-функции в виде определяющего ее интеграла и суммирования возникающей геометрической прогрессии (это соответствует преобразованию Бореля теории расходящихся рядов):

со оо

£ cY(N + b){ago + i6f= £ с/¿хе~'^ь+1{а3о + iSf = N~No N~No о

- с <7»Г с / ^ (2»\* _J_. (43)

jj l-x(ago + id) У у" \ у J у-адв-гб

Бесконечно малая мнимая добавка iS в (66) происходит из двух источников (оба дакхг для нее одинаковый знак) — от мнимой добавки -fiS или —iS, которую нужно делать к энергии Е для конкретизации выбора функции Грина (запаздывающая или опережающая), и от мнимой добавки к до, указывающей способ аналитического продолжения с положительных до на отрицательные, которое делается через нижнюю или верхнюю полуплоскость — соответственно для запаздывающей и опережающей функции Грина [29]. Нетрудно проверить, что действительная часть суммы (43) при малых до хорошо аппроксимируется первым членом ряда, и для нее проводить суммирование далеких члёнов фактически не требуется. Более интересный результат получается для мнимой части суммы:

оо ___

Im V сГ(Лг + Ь)(а50 + г5/=г-гге-1/'19» , ад0> 0 (44)

л-*, ида)

Формула (44) иллюстрирует несколько любопытных моментов:

(а) Каждьш член ряда в левой части (44) имеет бесконечно малую мнимую часть ~ г£, которая в результате суммирования ряда превращается п конечное выражение.

(б) В правой части (44) стоит типичный "непертурбативный" вклад, который не может быть разложен в обычный степенной. ряд, но как легко видеть, прекрасно представляется расходящимся рядом. Фактически (44) дает механизм извлечения пепертурбативных вкладов из диаграммной техники, возможность которого подвергалась сомнению даже в очень серьезных работах.

(в) Правая часть (44) не зависит от N0, т. е. непертурбативный вклад набирается от области сколь угодно больших N.

(г) Для гамильтониана (22) коэффициент а оказьЬается отрицателлышм и непертурбативный вклад возникает лишь при 30 < 0: это объясняет, почему в обычной теории фазовых переходов игнорирование факториальиой расходимости ряда теории возмущений не приводит к существенным последствиям.

Учет непертурбативного вклада приводит к восстановлению флуктуационно-го хвоста плотности состояний, который терялся при обрыве ряда на конечном числе членов: уже из (44) видно, что функциональная форма правой части соответствует результату (28) метода оптимальной флуктуации, чем устанавливается на количественном уровне отмеченная выше связь расходимости ряда с наличием флуктуационного хвоста. Соответственно, данная выше классификация моделей (рис. 3,а, б) проявляется еще в одном фундаментальном аспекте — характере расходимости ряда теории возмущений. Существование непертурбативного вклада устраняет все отмеченные выше парадоксальные моменты; в результате становится возможным вычисление плотности состояний при всех энергиях и доказательство ее регулярности на пороге подвижности.

В третьей главе рассматриваются четырехмерные иеперенормируемые (решеточные) модели.

При ¿ = 4 все диаграммы для собственной эпергии 2(р, к) (к - перенормирован-гюс значение величины ко) расходятся квадратично. Квадратичные расходимости устраняются путем вычитания из каждой диаграммы ее значения при р = 0, к = 0; разность 2(0, к)—2(0,0) расходится лишь логарифмически. Классифицируя вклады диаграмм по степеням логарифмов, имеем для р = 0:

2(0,«) = 2(0,0) + к3 ± д» £ Л* (Ь (45)

ЛГ-1 К-0 4 к'

ао

2(0,0) = Л2 .

N-1

В Ы-м порядке теории возмущений имеются все степени логарифмов от пулевой до пекоторой максимальной, которая определяется паркетными графиками и в данном случае равна порядку диаграммы N. Для точного решения задачи требуется знание всех коэффициентов ■ и мы же будем ставить целью получение результатов, лишь асимптотически точных в пределе слабого беспорядка.

В теории фазовых переходов (до > 0) такие результаты получаются путем ограничения в (45) паркетными коэффициентами которые соответствуют старшим степеням больших логарифмов; их нетрудно получить из результатов работы Гинзбурга [33]:

< = + ^ттщщ - I+ 8Г' (4б)

где /?о = ("' + 2)/(гг-|-8). Результат (46) вскрывает причину неудовлетворительности паркетного приближения при до < 0: паркетные коэффициенты не имеют факто-риального роста и ограничение ими приводит к потере фдуктуационного хвоста. Из доказанной выше расходимости ряда ясно, что члены с низшими степенями логарифмов имеют более высокую скорость роста и при больших N становятся домйпирующими.

В принципе можно сделать второе, третье и т.д. логарифмическое приближение, учитывая в (45) коэффициенты А^'1, А^'2 и т. д. Эти коэффициенты неявно определяются при вычислении высших членов е-разложения методом Вильсона, основанным на существовании при й-4 — е, до > 0 точной ренормгруппы [1, гл. 9]; при конечном К и N—> оо имеем

ья-к _,

З*[-К4(П + 8)]?,ЛГ<'О-1(ЛГ111.Л0* . (47)

Мы видим, что факториальньш рост не возникает ни в каком конечном лога рифмическом приближении; он угадывается при К ~ ¡V, когда формула (47) уже неприменима.

Информация о наиболее быстро растущих коэффициентах может быть получена методом Липатова; ситуация оказывается существенно .различной для перенормируемого и неперенормируемого классов моделей. В неперенормируемых моделях доминирующим является вклад минимума 5 = 51 (рис. 3,6) и дискретность решетки имеет принципиальное значение: асимптотика Липатова должна вычисляться для решеточной версии гамильтониана (22). Оказывается, что максимальной скоростью роста при N —> оо обладают; члены с нулевой и первой степенями логарифмов, соответствующие коэффициентам Л°я, А\{> Вл-, тогда как члены с более высокими степенями логарифмов растут более медленно и не воспроизводятся главной асимптотикой. Дело в том, что вклад минимума Б - при ~ Г- практически не зависит от энергии и должен в основном определяться коэффициентами Вм в разложении (45); коэффициенты А% и дают слабую энергетическую зависимость, существенную лишь в области больших отрицательных 1С.

Чтобы получить асимптотически точное в пределе слабого беспорядка описание всей области энергий, включая окрестность перехода Андерсона, в разложении (45) нужно учесть: (а) паркетные члены, определяемые коэффициентами как ■ содержащие максимальную степень большого логарифма, (б) начиная с некоторого большого номера АГ0 — наиболее быстро растущие члены, соответствующие

коэффициентам А%,АЬ,Вк; существенность этих членов связана с расходимостью ряда, поэтому выбор Яо не имеет значения. Тогда из (45) получается результат

Е(0, к) — ЯеЕ(0,0) =

+8А'4£г01п-) -1

-НГо(к) , • (48)

отличающийся от паркетного (первый член в правой части) лишь появлением экспоненциально малого непсртурбативного вклада ¿Го(к). Если пренебречь слабой зависимостью последнего от к, то его наличие можно интерпретировать как появление мнимой части величины 2(0,0), которая в обычной теории фазовых переходов (до > 0) определяет положение точки перехода. Мы видим, что при переходе к отрицательным до основной эффект состоит в появлении мнимой части у "температуры" перехода, т. е. физические величины неупорядоченной системы, определяемые средней функцией Грина, описываются формулами теории фазовых переходов с комплексной Тс; последнее обстоятельство, обеспечивает обход ложного полюса и регулярность плотности состояний при всех энергиях.

В четвертой главе рассматриваются четырехмерные перенормируемые модели. Использованное в гл, 3 приближение "портится" при стремлении й к 5С: (а) уравнение, определяющее Г(Е), имеет при ^ > физически бессмысленные решения; (б) при —» & резко возрастает вклад следующих за главным логарифмических приближений, определяемых коэффициентами с К ~ 1; (в) при « 5С становится существенным вклад плато (рис. 3,6), сильная энергетическая зависимость которого указывает на возрастание роли коэффициентов А§ с К у 0. Таким образом, если п решеточных моделях доминируют самые "старшие" и самые "младшие" логарифмы, то при переходе к перенормируемым моделям в сумме (45) становится существенным, вообще говоря, вклад всех К. ...:

В последнем случае мы приходим к следующей постановке задачи. Выберем целое число Щ, большое по сравнению с 1, но малое по сравнению с большими параметрами теории: при N < N0 сохраним в (45) лишь паркетные коэффициенты А§, выделяемые большими логарифмами; 1гри N > N0 в сумме но К существенны, вообще говоря, все члены, но условие N > 1 позволяет вычислять коэффициенты в главной асимптотике по Ж

В перенормируемых моделях доминирует вклад плато (рис. 3,6), т. е. -существенны инстантоны большого радиуса и вычисление асимптотики Липатова можно производить в континуальной модели. Вклад .IV-го порядка в Е(0, к) 'имеет вид

«2^с2Г(ЛГ + Ь)<Л(1пЛГ)-,е<,ьл^ , (49)

где а,Ь,с2,сг - константы ~ 1. Сопоставляя с разложением (45), имеем

= , < = <:гГ(Я + Ь)а"(ЫУН. (50)

Если в решеточных моделях асимптотика Липатова воспроизводит лишь нуль-логарифмический и однологарифмический вклады, то здесь она дает "лишние"

«2

логарифмы: формалыю в (50) Я" = 0,1,..., оо, тогда как в (45) К < N. Причина этого состоит в быстром убывании с ростом К и ограниченной точности 1/^) главной асимптотики; поэтому результату (50) можно доверять лишь при небольших К.

Для определения коэффициентов Ад' с К ~ N нужно воспользоваться переыор-мируемостью теории; поясним основную идею. Пусть Р - некоторая наблюдаемая величина; при ее формальном вычислении но теории возмущений она является функцией затравочного заряда до и параметра обрезания Л, который приходится вводить для устранения расходимостей. Перенормируемость теории состоит в возможности определения перенормированного заряда д таким образом, чтобы величина Р, выраженная как функция д, не содержала расходимостей, т.е. стремилась при Л —» оо к конечному пределу:

Р(д0,А)=Ря(д) . (51)

Величины, не имеющие непосредственно наблюдаемого смысла (такие, как функция Грина), могут перенормироваться более сложно; фактически для всех технических целей достаточно ограничиться категорией величин, которые перенормируются мультипликативно, . .

, (52)

т. е. из величины ^ (зависящей от импульсов р{ и других переменных), вообще говоря, выделяется расходящийся 2-фактор. Ввиду независимости Рц от Л имеем

^- = 0 . (53)

<ИпЛ

Подставляя РЛ из (52) и выражая полную производную через частные, получим уравнение Каллана-Симанчика:

~ + . (54)

Функции V/ и V при формальном определении зависят от Л; фактическое отсутствие такой зависимости удается доказать, используя то, что ¿'-факторы для различных величин. .Р не являются независимыми, а выражаются друг через друга [32]. Поэтому уравнение (54) содержит существенно больше, чем (53), отражая' глубокие функциональные связи, обусловленные перенормируемостью: оно эквивалентно утверждению о существовании точной репормгруппы в методе Вильсона [1].

В интересующем нас случае мультипликативной иеренормируемостыо обладает величина к2 + 2(0, к.) - £(0,0), лишь тривиальным слагаемым отличающаяся от ряда в (45); ее подстановка в (54) приводит к системе уравнений для коэффициентов А^, позволяющей определить коэффициенты с К > 0 по заданным А\у. Коэффициенты А% хорошо воспроизводятся асимптотикой Липатова (см. (50)) и

могут использоваться как граничное условие к указанной системе уравнений: это позволяет определить все Af¡ с N > 1 и найти сумму ряда (45). Получаемый при этом результат аналогичен (48), отличаясь в двух отношениях: (а) константа да в паркетном вкладе заменяется на модифицированное значение л; (б) зависимость от к пепертурбативпого вклада гГо(к) оказывается сильной — его характерное значение в области |2J] ~ Г можно перенести в левую часть (48) и по-прежнему интерпретировать как мнимую часть Е(0,0), но оставшийся вклад приводит к тому, что "паркетная" функциональная форма результатов несколько искажается.

Для вычисления плотности состояний требуется найти собственную энергию Е(р, к) при конечных импульсах, что в главном логарифмическом приближении требует решения паркетных уравнений. В излагаемой теории Е(р, к) является суммой неиертурбативного вклада, в основном определяемого асимптотикой Липатова, и квазипаркетного вклада, соответствующего логарифмическому приближению произвольного конечного порядка с учетом лишь главной асимптотики по N. Вычисление последнего вклада производится с помощью любопытной модификации паркетного приближения, описанной в разд. 4.5 диссертации. Идея состоит в том, что главпая асимптотика по N коэффициентов разложения пе "чувствует" замены к ск в (45); это позволяет производить логарифмическую оценку интегралов, но не ограничиваться главным логарифмическим приближением. Поэтому сохраняется общая паркетная схема Судакова-Полякова, lio неприводимая чсты-реххвостка не аппроксимируется простой вершиной, а берется в более сложном приближении.

В пятой главе строится (4-е)-мсрная теория. При d — 4 — 6 разложение, аналогичное (45), имеет вид

со N

к2 + £(0, к) - 2(0,0) = /с2Г(к) = кг "£(g0i\-cf £ Л*(е)

N-Q K-Q

где А$(е) конечны при е 0 и А§(б) = 1. Разложение (55) учитывает факт, что величина У в порядке теории возмущений является однородным полиномом степени JV, составленным из Л~е и к~с, следующий из анализа размерностей, и необходимость предельного перехода в (45) при е —> 0.

Стандартная процедура е-разложения [1] соответствует разложению коэффици ентов в ряды по е

ао

(56)

с=о

и сохранению в каждом порядке теории возмущений нескольких старших степеней 1/е; первое е-нриближегагс соответствует ограничению коэффициентами совпадающими с коэффициентами при главных логарифмах в (45). Аналогично случаю d = 4, такого приближения недостаточно при до < 0 из-за более высокой скорости роста по N коэффициентов, при младших степенях 1/е: ограничение коэффициентами возможно лишь при N ~ 1, тогда как при больших N

нужио учитывать все А^,'1 с вычислением их в главной асимптотике по N.

(А/к)"

(55)

Такое вычисление удобно производить непосредственно для коэффициентов в (55): оно осуществляется путем, комбинирования условия перенормируемости теории с асимптотикой Липатова в полной аналогии с четырехмерным случаем.

В шестой заключительной главе диссертации даетса оценка критических индексов для "перехода Андерсона с помощью иерархических моделей.

Для оценки критических индексов в теории фазовых переходов используются такие методы, как е-разложения вблизи особых размерностей пространства <4) и ¿„г, 1/п-разложение по обратному числу компонент параметра порядка [1], разложение по показателю степени дальнодействия (например, если обменные интегралы ферромагнетика убывают по закону |х — г'|~а, то для значений а, меньших некоторого ас, получается своеобразная теория среднего поля, что позволяет построить раатожение по а -ас [35]): Общими чертами всех" этих методов . является выход в нефизичесхуто область параметров (дробные значения й, число компонент спина, превышающее размерность пространства, нереалистичное дальнодействие), построение теории для этой области и последующая экстраполяция в физическую область. Эти черты отнюдь не являются случайными. Действительно, одно из фундаментальнейших свойств критических явлений состоит в их универсальности — т. е. независимости от конкретной структуры гамильтониана на атомном масштабе; поэтому самый распространенный методологический прием теоретической физики, состоящий в том, чтобы при исследовании сложного явления "взять модель попроще", безнадежно огказызает — никакое упрощение модели не позволяет избежать того, что на больших масштабах формируется универсальный эффективный гамильтониан, который и определяет критическое поведение. Поэтому единственный способ "обмануть" природу состоит в конструировании моделей, которые в природе заведомо не встречаются — это позволяет выйти из физического класса универсальности и отыскать такую область параметров, в которой фазовый переход по каким-то причинам упрощается.

Руководствуясь этими соображениями, мы вводим в рассмотрение некоторый класс моделей, которые естественно называть иерархическими (по аналогии с иерархическими моделями, Дайсона в теории фазовых переходов [-36]). Эти модели описываются уравнением сильной связи типа (18), -в котором энергии узлов 14 являются случайными, но сильно скоррелироваиными величинами. Эти модели не соответствуют никаким реально существующим системам, но оказываются полезными в методическом отношения, позволяя проанализировать связь локализации в несоизмеримом [37, 38] и случайном потенциале. В начале 80-х годов было обнаружено, что значение индекса V = 1 для несоизмеримых систем удивительным образом оказывается близким , к значению и - 1.2 ± 0.3, полученному при численном исследовании трехмерной модели Андерсона [21] (согласно гл. 1 результат и = 1 для ¿ = 3 является точным); как мы увидим ниже, такое совпадение является отнюдь не случайным.

В.иерархических моделях переход Андерсона существует уже в . одномерном .случае; поэтому поясним идею метода на примере одномерной цепочки, описы-

ваемой дискретным уравнением Шредингера:

3 (а/+1 + а1-0 + Ущ = Ещ. (57)

Потенциал \\ будем задавать в импульсном представлении:

■ (58)

я

Для полного определения потенциала на цепочке из 2!у атомов достаточно задать его фурье-компоненты для значений q вида 2к1/2ы. Сделаем это следующим образом:

У(0) = У(2тг)=0, У(тг) = 7, ' У(х/2) ~ У(Зтг/2) - (¡V,

У{ж/4) ~ У(Зтг/4) ~ У(5тт/4) ~ У(7тг/4) ~ /32У (59)

и т. д. Наиболее интересна модель, в которой все У(д) имеют гауссовские распределе1шя1, причем

№>-0, (У*ЫК(?'))=0, д^д' , (60)

<Щд)12) = (/З^)2 для г = (2/-1)тг/2", г=1,2,...,г .

Очевидно, при /3 —» 1 такая модель переходит в обычную модель Андерсона с гауссовским распределением уровней, тогда как при /? < 1 оаа допускает полное исследование. Покажем, что случай малых ¡3 действительно прост для анализа, построив нулевое приближение для уравнения (57) с потенциалом (рис. 4)

у = т .„М-/1' -1/2 + < х < —1/2 4- 2т_1 + 2т/

I-1- -1/2 + 2т'1 + 2"Ч<х<-1/2 + 2т+2ГЧ ■

(61)

При полном пренебрежении потенциалом Ц спектр уравнения (57) имеет вид е(&) = 2Jcosk и представляет собой зону шириной ~ Выделим из потенциала максимальную фурье-компоненту 1/(7г), т. е. положим

Ц = У(-1)' + У{ , (62)

и для начала пренебрежем потенциалом Ц'. Тогда уравнение (57) описывает периодическую систему и его спектр состоит из двух зон:

еи2(к) = ±[У2 + 272(1 + со акр2 « Н (,/2/У)соз2Л + ...] . (63)

Мы провели разложение, предполагая условие V 3, которое оправдывается в дальнейшем. Нетрудно видеть, что спектр каждой из зон с точностью до тривиального масштабного преобразования совпадает со спектром исходной зоны; расстояние между зонами ~ V, а их ширина ~ 12/У < V. Теперь нужно

1 Точнее, нужно положить У, - Т^'1' + ¿V",'2', V, = У* и считать независимыми V,'1' и V,'2'. Формально при (V,'1'2) = (V,'2'3) это то же, что и (60).

УМ-

г

0 / £ Л -У

+

г

о , 1 3

I

+ р

6 1 1 .5

•

о ! г л

+

Рис. 4. Потенциал VI, заданный формулой (61), определяется значениями в целочисленных точках функции У(х), представленной на рисунке.,

учесть оставшуюся часть потенциала V,', амплитуда которой ~ /ЗУ. и мала по сравнению с расстоянием между зонами; поэтому в нулевом приближении зоны можно считать независимыми и написать для каждой из них свое уравнение Шредингера.

По аналогии с выводом уравнения (57) из непрерывного уравнения Шредингера введем функции Ваннье, описывающие распределение амплитуд вблизи пары узлов, а волновую функцию всей системы будем искать в виде их суперпозиции с коэффициентами разложения Ьт (т - номер пары). Для величин Ьт составим уравнение, аналогичное (57):

^{Ьгп+^Ьт:1) + ищЬт^ЁЬт . (64)

При V 3 функции Ваннье первой зоны локализованы в основном на четных,

второй — на нечетных узлах, поэтому 17т — среднее значение Ц' по соответствующей функции Ваннье — совпадает соответственно с У{т или У^т-и- Как ясно из рис. 4, потенциал Ц'. взятый в четных или нечетных точках, совпадает с исходным потенциалом Ц, но с константой V, замененной на У-0У. Связь 3' с параметрами уравнения (57) устанавливается из условия, чтобы в отсутствие V/ спектр (64) совпадал с (63). В результате (64) имеет вид уравнения (57), в которое вместо У и / входят другие параметры У и 7':

3' = ±32/2У , = . (65)

Величину Ьт можно интерпретировать как амплитуду, нахождения электрона на т-й паре узлов. Таким образом, при переходе от (57) к (64) мы сократили описание: волновые функции огрублены на масштабе двух межатомных расстояний, а не одного, как в уравнении (57). Продолжая такое сокращение описания дальше, вместо (65) получим

,/("+!) = , у("+')=,зуМ > (66)

где и У'") - параметры уравнения (57) на л-м шаге такой процедуры.

Поскольку вид волновых функций уравнения (57) зависит лишь от отношения |7/У|, то удобно ввести величину

= |/(«)/у(«>| , (67)

представляющз'ю собой параметр Таулеса для блока размером 2". Из (66) для дп легко получается уравнение ренормгрунны

дпН^дЦ2(3 <7о=^/У , (68)

имеющее неподвижную точку дс = 2{3; при до>дс отношение |,/п)/уМ| возрастает, и при больших п рассеивающий потенциал становится несущественным; при до < Эс отношение убывает, и при п»1 можно пренебречь интегралом

перекрытия Первый случай соответствует делокализованным, второй —

локализованным состояниям, т. е. точка

во — З/У — 2/3 . (69)

является точкой перехода Андерсона. При малых ¡3 вблизи перехода 3^п~> < УМ, чем и обосновывается сделанное допущение.

Линеаризуя (68) вблизи дс:

рп+1 -9с = 2(з„ -дс) , (70)

и учитывая, что единица длины с каждым шагом увеличивается вдвое, получим, что характерный масштаб, на котором отклонение дп от дс становится порядка единицы, есть

¿офо-^Г1 • (71)

В области локализованных состояний ( совпадает с радиусом локализации и следовательно для индекса и получим'

" = 1 , /3-0 ,

(72)

чем завершается построение нулевого приближения.

Фактически мы произвели явную реализацию скейлингового построения Тауле-са, которое в иерархических моделях с /} с 1 оказывается возможным с контра лируемой точностью. Уравнение (68) имеет именно ту функциональную форму, которая постулировалась в [8], и демонстрирует принципиальную возможность существования однопараметрического скейлинга: в теории локализаций.

Для гауссовой модели (60) первое из уравнений (66) сохраняется, второе же справедливо лишь в' статистическом смысле: у(п+1> имеет такое же распределение, как арУ^ с некоторым а~ 1. Изменяя единицу измерения энергии на п-м шаге так, чтобы сделать все статистически эквивалентными, вместо (68) получим

Уравнение ренормгруппы приобретает важную качественную особенность: в нем появляется случайный параметр. Поэтому точка перехода Андерсона определяется не неподвижной, а стационарной точкой уравнения (73), т. е. условием, что последовательность д„ представляет собой стационарный случайный процесс; линеаризация (73) вблизи стационарной точки приводит к тому же значению индекса 1>=1, что и для уравнения (68). Распределение дп в стационарной точке показано на рис. 5. По порядку величины дп совпадает с полной проводимостью (кондактансом) блока размером 2" в единицах е2/Н [8]. Следовательно, флуктуации кондактаиса на пороге подвижности оказываются порядка его среднего значения в согласии с качественными выводами работы [39]. Иерархические модели демонстрируют конкретную возможность согласования сильных флуктуации дп с наличием однопараметрического скейлинга, что- по мнению автора работы [39] связано с известными трудностями. Другой момент, ясный из рис. 5, состоит в наличии у функции распределения кондактансов медленного степенного хвоста, благодаря которому среднеквадратичное отклонение дп значительно превышает реальную ширину распределения; поэтому исследование флуктуации кондактан са, вообще говоря, не может ограничиваться вычислением дисперсии, а требует восстановления всей функции распределения.

Результат (72) оказывается справедливым для произвольной размерности пространства ¿, т. е. иерархические модели с /?-+-) 0 оказываются в одном классе универсальности с несоизмеримыми системами, для которых справедлив такой же результат; к сожалению, эту связь не удается проследить на уровне гамильтонианов — можно лишь отметить качественное подобие спектров, имеющих вид "чертовой лестницы" [37, 38], и сходство в характере собственных функций.

-11- УЫ 2 9п+1 2а/3 9п

(73)

Стартуя с результата (72), можно построить разложение индекса и по параметру иерархии /3; в диссертации вычислена первая неисчезающая поправка:

и = 1 — (2/31и2)2а(^ — 4)/3^1п(1//3) О(02) . (74)

При вычислении с такой точностью преобразование ренормгруппы существенно усложняется: в уравнении (64) появляются интегралы перекрытия между следующими за ближайшими соседями, потенциал ит становится нелокальным, кроме того, две зоны (63) становятся связанными (в ¿-мерном случае приходится учитывать связь между 2¿ зонами). Несмотря на конструктивную многопараметричпость получаемой таким образом ренормгруппы, качественный характер результатов не противоречит гипотезе однопараметрического скейлинга: по-видимому, путем соответствующей замены переменных ренормгруппа может быть преобразована к явно одяопараметрическому виду.

Экстраполяция /3 —> 1 является наиболее надежной в той области, где поправка к нулевому приближению мала, т. е. при 4 и 4. Поэтому основное предсказание, которое можно сделать для /3 = 1:

у=1 для ¿«¡4 . (75)

Из теории 2 + с и численных расчетов [21] следует, что зиачепие при котором V - 1, ближе к 3; ввиду логарифмической точности формулы (74) такое расхождение вряд ли можно считать существенным. Уменьшение и с ростом ¿, предсказываемое формулой (74), находится в качественном согласии с результатом (10) главы 1.

Предполагаемая фазовая диаграмма в плоскости (¿,/3) изображена на рис. 6. Цля согласования с известными результатами для одномерных неупорядоченных ;ястем нужно предположить существование при малых в, особой линии АВ, зыше которой все состояния локализованы и переход Андерсона отсутствует; эпыт теории фазовых переходов показывает, что на линии АВ индекс и должен обращаться в бесконечность. Большой коэффициент при /321п(1//3) в формуле ;74) указывает на малый радиус сходимости разложения по /3 при больших 1; естественно думать, что это связано с существованием особой линией СП '/3 ~ 2"л1'1 при г! > 1), которая ограничивает область однопараметрического скей-тагага. Вблизи линии ЕР, на которой I/= 1, радиус сходимости разложения . по 3, максимален, и в окрестности ¿'кЗ область однопараметрического скейлинга зыходит на линию /3 = 1. Кривые АВ и СП пересекаются с прямой /3 = 1 в точках и ¿е2, которые следует отождествить с нижней и верхней критическими! размерностями. Аналогия с несоизмеримыми системами [37, 38] указывает, гго при малых /3 проводимость металлической фазы бесконечна — т. е. переход \ндерсопа происходит экспоненциальной локализации к. баллистическому режи-поэтому должна существовать еще одна особая линия б?Я, выше которой юзникает конечная проводимость металлической фазы.

Существенно, однако, что если область однопараметрического скейлинга действительно простирается от малых /3 до /3=1 (как это показано на рис. 6),

2

Рис. 5. Функция распределения кондактансов в иерархических моделях.

I

О

с1С1 4 с/«

Рис. 6. Фазовая диаграмма в плоскости (¿,/

Я

го индекс 1/ не имеет особенности на линии G1I. Дело в том, что функция Гелл-Ma дна - Лоу Раь{а) (1?) связывает параметры двух конечных систем и при вменении /3 меняется гладким образом (ввиду невозможности фазовых переходов з конечных системах); ее особенности могут возникать только асимптотически в тределах g —> 0 и g -> оо, достижимых лишь для бесконечных систем. Бесконеч-тая проводимость металлической фазы при малых /3 связана с тем, что предел ?cl(.i?) при g —> <х> оказывается ббльшим, чем d - 2 — так, в несоизмеримых :истемах /?<зг,(д) ~ lng при всех g [37, 38]. Линия GH определяется тем, что шше нее восстанавливается "правильный" предел d—2 при g—> оо; область же 1 вблизи корня функции ¡Зсь(д), которой определяется индекс и, ни с какими :ингулярностями не связана. Из сказанного- ясно, что, при наличии однопараме-грического скейлинга вычисление дальнейших членов разложения (74) позволит уточнить уравнение линии EF и получить оценку индекса v для d и 3; тогда шдекс s может быть определен из соотношения Вегпера s = (d — 2)и, которое 1вляется следствием однопараметрического скейлинга и удовлетворяется во всей эбласти, ограниченной лилиями GH, АВ, CD.

Иерархические модели позволяют получить любопытную информацию о характере универсальности вблизи перехода Андерсона. В частности, можно показать, тго иерархические модели, энергии узлов в которых имеют произвольные распределения с конечной дисперсией, вблизи перехода сводятся к гауссовой модели. Иерархические модели с бесконечной дисперсией относятся к другому классу »тговерсальности: в этом случае коэффициент при /321п(1//3) в (74) изменяется — ï частности значение при котором он обращается в нуль, оказывается меньше; зозможно, это означает понижение dt\ и dc2.

В Заключении перечислены основные результаты диссертации и положения, зьшосимые на защиту.

Список цитируемой литературы

[1] Ш. Ma. Современная теория критических явлений. - Мир, Москва (1980). - 298 с.

[2] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика, Наука, Москва (1976). - 584 с.

[3] А. 3. Паташипский, В. Л. Покровский. Флуктуационная теория фазовых. переходов. - Наука, Москва (1982). - 382 с.

[4] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, А. В. Zamotodchikov. Infinite conformai symmetry in two-dimensional quantum-field theory. - Nucl. Phys. В 241, N°2, 333-380 (1984).

[5] А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялогаииский. Методы квантовой теории поля в статистической физике. - Физматгиз, Москва (1962). - 444 с.

[6] D. Vollhardt, P. Wolfle. Diagrammatic, self-consistent treatment of the Anderson localization problem in d, < 2 dimensions. - Phys. Rev. В 22, N=10, 466fr-4679 (1980).

[7] D. Vollhardt, P. Wolfle. Scaling equations from a self-consistent theory of Anderson localization. - Phys. Rev. Lett, 48, N=10, 699-702 (1982).

[8j E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Lieciardello, Т. V. Ramakrishinan. Scaling theory of localization: absence of quantum diffusion in two dimensions. - Phys. Rev. Lett. 42, N=10, 673-676 (1979).

[9] Л. П. Горьков, А. И. Ларкин, Д. E. Хмельницкий. Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале. - Письма в ЖЭТФ 30, N=4, 248-252 (1979).

[10] Н. Kunz, R. Souillard. On the upper critical dimension-and the critical exponents of the localization transition. - J. de Phys. Lett. 44, №13, L503-L506 (1983).

[11] К. Б. Ефетов. Андерсоновский переход металл-диэлектрик в системе металлических гранул: существование минимальной металлической проводимости и максимальной диэлектрической проницаемости. - ЖЭТФ 88, N=3, 10321052 (1985).

[12] L. Schafer, F. Wegner. Disordered system with n orbitals per site - Lagrange formulation, hyperbolic symmetry and Goldstone modes. - Z. Phys. В 38, N=2, 113-126 (1980).

[13] К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий. Взаимодействие диффузионных мод в теории локализации. - ЖЭТФ 79, N=3, 1120-1133 (1980).

[14] К. В. Efetov. Supersymmetry and theory of disordered metals. - Adv. Phys. 32, №1, 53-127 (1983).

[15] В. E. Кравцов, И. В. Лернер, В. И. Юдсон. Теория слабой локализации: роль высоких производных в нелинейной сигма-модели. - ЖЭТФ, 94, N' 7, 255-263 (1988).

[16] F. Wegner. 4-loop-order beta-function of nonlinear sigma-models in symmetric-spaces. -■■Nucl. Phys. В 316, NS3, 663-678 (1989).

[17] H. Kunz, R. Souillard. The localization transition on the Bete lattice. -J. de Phys. Lett. 44, №11, L411-L414 (1983).

[18] К. Б. Ефетов. Приближение эффективной среды в теории локализации. -ЖЭТФ 94, NU, 357-369 (1988).

[19] В. Shapiro. Quantum conduction on a Cayley tree. - Phys. Rev. Lett. 50, № 10, 747-750 (1983).

20] Е. N. Economou, С. M. Soukoulis, A.D. Zdetsis. Conductivity in disordered systems. - Phys. Rev. В 31, N= 10, 6483-6489 (1985).

21] A. MacKinnon, B. Kramer. One-parameter scaling of localization length and conductance in disordered systems. - Phys. Rev. Lett. 47, N=21, 1546-1549 (1981).

22] E. Hofstetter, M. Schreiber. Finite-size scaling and critical exponents. A new approach and its application to Anderson localization. - Euiopliys. Lett. 21, N=9, 933-939 (1993). ;

23] A. MacKinnon. Critical exponents for the metal-insulator transition. - J. Phys.: Condens. Matter 6, №13, 2511-2518 (1994),

24] B. Kramer, K. Broderix, A. MacKinnon, M. Schreiber. The Anderson transition: new numerical results for critical exponents. - Physica A 167, N=1, 163-174 (1990).

25] А. Л. Эфрос. Локализация электронов в неупорядоченных системах (Переход Андерсона). - УФН 126, №1, 41-65 (1978).

26] A. Aharony, Y. Imry. The mobility edge as a spin glass problem. - J. Phys. С 10, N=17, L487-L492 (1977).

27] M. V. Sadovskii. Theory of electron localization in disordered systems. -Sov. Sci. Rev. A. Phys. 7, 1-130 (1986).. "

28] И. M. Лифшиц, С. А. Гредескул, Л. А. Пастур. Введение в теорию неупорядоченных систем. - Наука, Москва (1982). - 360 с.

29] A. Nitzan, К. F. Freed, М. N. Cohen, llenormalization group and critical localization. - Phys. Rev. В 15, №9, 4476-4489 (1977).

30] И. M. Суслов. Плотность состояний неупорядоченной системы в пространстве размерности d > 4. - ЖЭТФ 102, №6, 1951-1967 (1992).

31] Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. - Наука, Москва (1976). - 480 с.

32] Е. Brezin, J. С. Le Guillen, J. Zinn-Justin. Field theoretical approach to critical, phenomena. In: Phase Transitions and Critical Phenomena, e.d. by C. Doinb and M. S. Green. - Academic, New York (1976), Vol. VI, p. 125 - 247.

33] С, Л. Гинзбург. Вершинные функции и функции Грина в 4—е-мерной теории фазовых переходов. - ЖЭТФ 66, №2, 647-654 (1974).

'34] Л. Н. Липатов. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика. -ЖЭТФ 72, №2, 411-427 (1977).

[35] J. Sak. Recursion relations and fixed points for ferromagnets with long-range interactions. - Phys. Rev. В 8, № 1, 281-285 (1973).

[36] F. .1. Dyson. Existence of a phase-transition in a onfi-rlimensional Ising ferromagnet;

' - Comm. Math. Phys. 12, №2, 91-104 (1969).

[37] И. M. Суслов. Локализация в одномерных несоизмеримых системах. -ЖЭТФ 83, №3, 1079-1088 (1982).

[38] Й. М. Суслов. Проводимость электронов в несоизмеримых системах вблизи порога локализации. - ЖЭТФ 84, №5, 1792-1805 (1983).

[39] Б. Л. Альтшулер. Флуктуации остаточной проводимости неупорядоченных проводников. - Письма в ЖЭТФ 41, N=12, 530-533 (1985).

Основные результаты диссертации опубликованы б работах:

1. И. М. Суслов. Новое разложение" для критических индексов теории андерсоновской локализации. - ЖЭТФ 92, N=4, 1433-1460 (1987).

2. И. М. Суслов. Плотность состояний неупорядоченной системы в -пространстве размерности d > 4. - ЖЭТФ 102, №6, 1951-1967 (1992).

3. И. М. Суслов. Плотность состояний вблизи перехода Андерсона в четырехмерном пространстве. Решеточная модель. - ЖЭТФ 106, N=2, 560-584 (1994).

4. И. М. Суслов, е-разложение для плотности состояний неупорядоченной системы вблизи перехода Андерсона. - Письма в ЖЭТФ 63, N¿11, 856-860 (1996).

5. И. М. Суслов. Плотность состояний вблизи перехода Андерсона в четырехмерном пространстве. Перенормируемые модели. - ЖЭТФ 111, N=1, 220-249 (1997).

6. И. М. Суслов. Симметрийная теория перехода Андерсопа. - ЖЭТФ 108, №5, 1686-1722 (1995).

7. И. М. Суслов. К теории локализации в пространствах большой размерности. - Письма в ЖЭТФ, 43, N=11, 544-546 (1986).

8. И.. М. Суслов,- Плотность состояний вблизи перехода Апдерсона в четырехмерном пространстве. - XXX Совещание по физике низких температур. Тезисы докладов. - Дубна (1994). Часть 2, с. 294-295.