Теоретическое изучение влияния спаривательных и квадрупольных сил на свойства низколежащих состояний атомных ядер тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

• Г ¿3 ОД

' ,, , ,, ., .. 5л На правах рукописи

! 0 '' УДК 639.14; 539.125.5

МИХАИЛОВ Валерий Михайлович

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ СПАРИВ АТЕЛЬНЫХ И КВАДРУПОЛЬНЫХ СИЛ ПА СВОЙСТВА НИЗКОЛЕЖАЩЙХ СОСТОЯНИЙ АТОМНЫХ

ЯДЕР

01.04 16 — физика, ядра и элементарных частиц

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Санкт-Четербург 1998

Научно-исследовательский институт физш.и Саню-Петербургского государственного университета

Сфици&пьные оппоненты:

доктор физико-математических наук Б И. Исаков

доктор фнзивд математических наук Л. А. Малов

дохтоп фи$ико матеманпеских наук В. II. Фоменко

Ведущая организация: Фичико технический институт им. Л. И. Иоффе РАН

Защита состоится " 6(~) " .»А. 1090 г. в /С^_па За-

седании диссертационного Совета Д.СШ.67 И по чатдате диссертаций ча соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Саакт-Пстербур) ском государственном университ.; ге по адресу: 199034. Санкт-Пегербург, Уьньерагючскаа наб. "/Ч.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Оанкт Пеифбургскп! государственного университета.

Автореферат разослан '' " ___19% г.

Учеиъ!1*5 секретарь диссертационного Совета

( ЧубшК'М'И I: .1 (1.11.1

Содержание

Введение 2

1 Описание парных корреляций при точном сохранении чнслл частиц. 4

1.1 Развитие проекционного метопа. ............. 5

1.2 Ослабление парных корреляций в состояниях, содержащих неспаренные частицы............... 9

1.3 -Парные энергии и константы йг^............ 13

Выводы к разделу 1........................ 18

2 Феноменологическое описание коллективных состок-пий на основе МВБ1 и микроскопический анализ параметров модели. 20

2.1 Гамильтониан МВБ1 и метод его диагонализашш. . . 20

2.2 Феноменологическое описание свойств коллективных состоянии четно-четных изотопов селена и криптона. . 24

2.3 Применение МВБ1 к изотопам рутения и палладия. . 31

2.4 Микроскопический анализ параметров коллективного гамильтониана........................ 36

2.5 Ослабление спаривания в выстроенных многофонон-ных сосгояних и его влияние на вероятности Е2-переходов........................... 42

Выводы к р.вделу 2........................ 46

3 Описание взаимодействия кваз! частичных а коллективных возбуждений в нечетных т четно-четных ядрах. 48

3.1 Эффективный гамильтониан и операторы переходов в пространстве идеальных фсрмионов и бозонов для нечетных ядер......................... 49

3.2 Однофононная функция Грина............... 60

3.3 Состояния отрицательной четности в четно-четных иютопах селена и криптона................ 62

Выводы к разделу 3........................ 68

Захлюченк;; 60

Литература 71

Введение.

В настоящем докладе представлены работы автора, выполненные в основном за. последние 15 лет и посвященные теоретическому изучению тех свойств атоыиых ядер при относительно небольших анергиях возбуждения, в которых достаточно ярко проявляются остаточные силы монопольного частично-частичного и квадрупольж о частично-дырочного типов. Влияние этих сил на свойства ядер изучается уже почти в течение 10 лет и этому посвяшена весьма обширная литература.

Оригинальность нашего подхода в случае монопольных частично-частичных сил (иначе — сил спаривания) состоит в разработке и применении к изучению свойств ядер весьма, эффективной версии проекционного метода, позволяющего исследовать сверхтекучие (или сверхпроводящие) свойства ядер о тех случаях, когда применение метода канонического преобразования или невозможно или приводит к большим погрешностям. Хотя эта версия метода была разработана нами довольно давно (середина 70-х годов), её применение в последние годы приобрело особую актуальность, связанную с экспериментальным исследованием свойств многоквазичастичных состояний и, в частности, высокоспинового чстырехквазнчастичного состояния в 178Hf (16+). Обзор наших исследований по этой теме представлен в порг.ом разделе доклада.

Нияколежашие состояния в четно-четных ядрах, связанные сильными Е2-переходами, формируются главным обр;<лоу. под действием квгдрупольных частично-дырочных сил. Лапт исследование свойств этих состояний, представленные во втором разделе док ; да, в значительной степени основаны на использовании модели н „тмо-действуюших бозонов (МВБ). Оригинальной чертой ¡¡amero полхода d этом случае является сочетание феноменологического и микроскопического анализа. В ряде работ нами проанализирован на основе МВБ большой экспериментальный материал по коллективным состояниям в переходных ядрах, что позволило установить параметры модели. Микроскопический расчет этих параметров был выполнен на основе ставших уже традиционными представлений о взаимодействии квачичастиц. Микроскопический анализ включает также оригинальные исследования сверхтеку"их свойети клер i1 выстроен-

ных состояниях. В этом случае нами установлено, что по мере роста спина, то есть числа фононов, происходит ослабление спаривания и переход от сверхтекучего состояния к нормальному.

Взаимодействию квазичастиц с квадруполышми возбуждениями посвящен третий раздел доклада. Оригинальным является предложенный нами способ перехода к идеальным фериионам и бозонам, использование которых упрощает трактовку логочастичной системы. При этом вводятся только разложения фермионных парноквази-частичных операторов но бозонам, как это делается в МВБ, однако коэффициенты этого разложения зависят от состояний нечетной частицы или фсноиа отрицательной четности. Сочетание этой методики с учетом довольно широкого класса промежуточных сост яний, производимым на основе найденных нами аналитических выражений для («нофононной функции Грина, позволило построить эффективные операторы, действующие в ограниченном пространстве низ-колежащнх состояний. С использованием этих операторов был проанализирован большой материал по нечетным ядрам и состояниям отрицательной четности в четно-четных ядрах переходной области.

Результаты исследований, представленные в докладе, опубликованы в статьях и материалах конференций (51 назвэлиз в списке литературы, приложенной к докладу). Каждой журнальной статье, представленной в этом списке, предшествовали тезисы докладов на Всесоюзных, а затем Международных конференциях по ядерной спектроскопии и структуре ядра, на которых неоднократно делались доклады о проделанных исследованиях (ссылки на эти тезисы не включены в список, так кале их основные результаты опубликованы в статьях). Работы автора представлялись и докладывались на международных конференциях в Дубне (1992, 1993, 1994 гг), а также на конференции, посвященной перспективам модели взаимодействующих бозо-ной в Падуе в 1994 г. Работы автора обсуждались на тематических семинарах "Коллективная ядерная динамика" (1965 - 1989) и докладывались на Всесоюзной школе по ядерной физике (1985 г).

1 Описание парных корреляций при точном сохранении числа частиц.

I

В ядерной физике малых и средних энергий существует обширный круг явлений, обусловленных существованием в ядрах парных корреляций сверхпроводящего или сверхтекучего типа. Наиболее распространенным методом описания парных корреляций в ядрах является метод Бардина-Купера-Шриффера, эквивалентный методу канонического преобразования (МКП) Боголюбова или его обобщению — методу Хартри-Фока-Боголюбова.

Применение этого метода позволило объяснить существование энергетической щели в спектре четно-четных ядер, плотность уровней в нечетных ядрах, моменты инерции и другие экспериментальные дм ше. Однако, в тех случаях, когда плотность одиочастич-ных уровней оказывается небольшой и эффективная константа парных сил сравнима или ы^льше её критического значения, трмкене-ние МКП либо приводит к большим погрешшстяг, либо оказывается вообще невозможным. Кроме того, даже а случае достаточно сильных корреляций МКП содержит некоторую систематическую погрешность, связанную с использованием фулкщ ¡, не являющихся собственными оператора числа частиц и обеспечивающих только его правильное среднее значение. Эта черта МКП не приводит к существенным погрешностям при расчете величин, плавно изменяющихся от ядра к ядру, так как в МКП производится некоторое усреднение по соседним ядрам. В то же время описание индивидуальности ядра требует исключения флюктуации в числе частиц.

По этой причине в литературе довольно подробно изучались различные подходы для описания спаривания, отличающиеся от МКП. Были найдены точные решения некоторых .модельных задач, развивались модификации МКП, уменьшающие флюктуации числа частиц, был разработаны .проекционные методы, получившие наи-бол* шее распространение в практике ядерных расчетов. Обзор этих подходов дал в нашей работе (1].

1.1 Развитие проекционного метода.

В работах автора, посвященных описанию парных корреляций при точном сохранении числа частиц, был использован последний из упомянутых выше подходов, а именно использовались функции, полученные с помощью проектирования функции Бардина-Купера-Шриффера |БКШ) на состоя».ле с фиксированным «шелом части« одного типа (протонов или нейтронов) |Ф(^)>.

Функция |Ф(А'))допуекает несколько представлений, наиболее наглядным из которых является степень парного оператора (функция Мот1 льсона)

|Ф(Л)> ~ ^(5+Г|0), (1.1)

п!

= (1.2) и,

»,1- одноч?-тичные состояния, сопряженные по премени. и,-,«,- - параметры канонического преобразования Боголюбова. В (1.1) указало, что амплитуды $ пропорциональны v,/«,-. В качестве коэффициента пропорциональности может быть использован любой множитель, не зависящий от ». В силу принципа Паули каждая пара может встретится только один раз, и поэтому |Ф(#)) являегся симметричным полиномом от элементов а/ = А/"

|Ф(Л0> ~ \Н) = х К х ...<|0>, (1.3)

' [•■}

где суммирование выполняется по всем возможным расределениям п пар (А+) по уровням среднего поля.

Нами разработан достаточно эффективный метод учета влияния ла свойства ядер парных корреляций сверхпроводящего типа при точном сохранении числа частиц. В значительной мер^ этот метод основан на представлении проектированной функции БКШ .¿ак суперпозиции функций модели независимых частиц [2, 3, 4): хартн-фоковского основного состояния (с том же /V) — |ХФ, N) и состояний две частицы (а+а?) - две дырки (6+Л+), четыре частицы - четыре дырки и т. д. до п пар частиц и г» пар дырок (N = 2п)

m/v)> ~ \n) = (п««<) (п "Л

\#*>F / \f<F /

х t ~ (Z x E |ХФ,Л), (1.4)

ЫОК" ) \s>F »J t<F Vt l

где через F обозначен уровень Ферми. В (1.4) предполагается, что на каждом уровне находятся две частицы в сопр женых состояниях. Если же в отсутствии спаривания на уровне Ферми находится несколько пар (пр), как это может иметь место для сферических ядер с незаполненными оболочками, то естественное обобщение (1.4) имеет вид (1):

»-Ир 1 / „ \*+пР

xfz JVf) (1.5)

где F1 - уровень Ферм для системы частиц с заполненным}] j-оболочками и |ХФ, N — 2пр) - соответствующая функция Хартри-Фока для N — 2пр частиц.

Представления (1.4), (1.5) являются разложениями по степеням отношений параметров Боголюбова: u,/v, для s < F и Vt/щ для t > F. Каждое из этих отношений меньш единицы, что позволяет представить нормировки и р-факторы (функции u,v), возникающие при вычислении средних по j Ф (jV )) с помощью быстро сходящихся рядов по степеням и,/ь, или t>(/u(. Так, нормировка функции \N) (1.4) имеет вид:

{N\N) = ( П uj) ( П vi) х £ И(В)[гр). (1-6)

\i>F / \t<F / гг.0

где симметричные полиномы, содержащие г сомножите-

лей

{По}1=1 VU"

Суммирование в (1.7) происходит по всем возможным распределениям г частиц по уровням выше F, полное число которых обозначено Пв

[,]№ = £ П Я?'* А"2 = (Й2, 5 * Е

Суммирование в (1.8) осуществляется по распределениям г частиц по Шц уровням выше уровня Ферми,

Численные значения полиномов (г1(Л), убивают с ростом г. Поэтому даже для деформированных ядер с развитой сверхтекучестью с высокой степенью точности окачалс ь возможным ограничиться г — 5.

Факторы ;> в общем случае определены как отношения нормировок = N = 2п, (1.9)

где — 2п) ц...[ — функция типа (1.3) или (1.4), описывающая (¿V - 2з) частиц или .г - я) пар, распределенных по всем уровням среднего поля за исключением уровней 1,2,.../. Факторы р мы называем корректирующими, так как замена их на единицу сводит выражения Мч года проектирования к известным формулам МКП . Так, например, элементы одночастичной и двухчастичной матриц плотности следующим образом включают р факторы

(Ф(Л-)|а+а(|Ф(^)> = 5,(^р(я-1), (1.10)

<Ф(Л0|о+о2Чча,|«(Я))(1 - 6„) = и.»,«,»«, х

хр^Г'Ч!-^«). (1.11)

В наших работах ¡1, 2] показано, что в деформированных ядрах, когда одпочастичные уровни двухкратно вырождены, для определения корреляционных факторов достаточно рассчитать н интегралы перекрытия функций систем с одним пропущенным уровнем, так к я к расчет факторов р с двумя и большим числом индексов может быть пыполнен при учете связей между ними:

^ = + (1.12) что приводит к рекуррентным соотношениям, например, для корректирующих факторов с одним и двумя индексами:

^ = (в?-«,?)"', (1.13)

(«г

Использование этих соотношений существенно ускоряет процесс вычислений.

Параметры u, v определялись нами на основе вариационного подхода (варьирование после проектирования — FBCS)

8 ({N\H\N) — Ec(N\N)) ~ 0, (1.14)

который, как показано иами в [2], эквивалентен ус-.звшо стационарности основного состояния:

(N\H\Nk) — 0, (1.15)

где \N>¡) — функция возбужденного состояния нарновнбрационного типа, ортогональная основному состоянию.

= (4ак + 4ак - «*) (1.16)

где константа с* определен условием (N\Ni¡) = 0.

Большая часть наших расчетов паргшетрш и, v выполнена на основе модельного гамиль ""»пиана

Я - £ е. (eje, + о+о,) - G £ c+oj-cfo,, . (1.17)

что приводит к системе уравнений для и, v, формально подобной уравнениям МКП ¡1,2).

2u,v,¿, - (и] - V,2) Д. = 0, (1.18)

+ = 1,

с, и А, являются значительно более сложными функциями параметров и, V [1], чем это имеет место в МКП, где ё, и Á, заменяются соответственно на (е, — Л — Gi>*) и Д = G £t tí¡t)(.

Итерационная процедура самосогласования для решений уравнений (1.18) бчла разработана в [2]. Для получения решения, то есть таких значений параметров и, v, что последующая итерация практически ье изменя г их значений (изменение £0,5%), оказалось достаточным 6-8 шагов.

При расчетах свойств сферических ядер с использованием относительна узкого одиочастичного базиса предпочтительнее использовать в качестве варьируемых параметров не сами амплитуды и, v, •л их отношения ß — v/u, так как они относительо слабо зависят

от изменения числа нуклонов. В этом случае удобно опускать фактор П( н< в определении ¡Л') (1.3). При этом сохраняется определение корректирующих факторов (1.9), однако вместо соотношения (1.12) необходимо использовать связь через 02:

Р&с-гёрй^ + Р&е*. (1-19)

что также позволяет дать рек> ррентные соо-чошения, связывающие факторы р с разным числом индексов.

Наш вариант проекционного метода для учета парных корреляций при точном сохранении числа частиц был применен к описанию состояний, содержащих несларенные частицы [2, 3, 4, 5, б, 7], к расчету энергий низколежащих монопольных состояний [8, 9], ртя описания парных, энергий ядер и констант спаривания в зависимости от числа нуклонов [10, 1х]. Метод был также расширен за счет проектирования по изоснину для трактовки изотспинва.риантных парных корреляций [12, 13, 14]. Ниже представлены результаты двух групп работ, выполненных нами относительно недавно, где рассматриваются довольно актуальные темы: во-первых, многокв&зичастичные состояния, в частности, в изотопах Ш, и, во-вторых, парные энергии в ядрах, удаленных от полосы бета-стабильности.

1.2 Ослабление парных корреляций в состояниях, содержащих неспарениые пастииы.

В состояниях, содержащих одну или несколько неспаренньгх частиц на уровнях, ближайших к уровню Ферми парные корреляции ослаблены, так как занятые уровни оказываются в силу принципа Паули недоступными для размещения на них пар нуклонов. Это явление получило название эффекта блокировки. В некоторых случаях блокировка оказывается столь значительной, что в этих состояниях критическое значение константы спаривания <7„и оказывается сравнимым со значением константы (7, определяемой из наг -ых энергий для основных состояния)! четно-четных ядер. В этой ситуадр'ч МКП не применим, но может быть использован проекционный метод.

Большой экспериментальный материал по энергиям многоквази-частмчных состояний имеется в деформированных щрах редкоземельной области. Для сравнения с результатами расчетов мы отбирали состояния с достаточно высокими значениями спинов, так как

энергии этиг состояний в основном определяются средним полем и силами спаривания и менее подвержены влиянию других остаточных сил.

Волновые функции этих состоянии были выбраны к-\к точные собственные функции оператора числа частиц

^Ыт^аГа+.-.а+ЩМ-у))^ (1.20)

V

где г (сеньорити) равно числу неспаренных частиц, а - у)){Г1}, — функция типа (1.4), описывающая состояние (N~v)/2 пар частиц, распределяемых по всем уровням за исключением уровней 1,2,...гп.

Энергия состояния (1.20) определена как среднее от гамильтониана (1.17):

Е^ = е1+ег + ... + ет + 2 £ (е< - -

-О Е (1-21)

_ 'У - V -(г-1) _ .(,-1) " — 2 ' — Р»12...т-

Тильды над и, и и Р означают, что этн величины найдены из решения уравнений, подобных (1.18), однако для системы нар с учетом блокировки уровней {т}. Таким оС^азом, для определения энергии квазичастячного состояния вариационная задача но опраде лению параметров и, г решалась каждый раз заново.

Расчеты энергий состояний с одной и с большим числом частиц выполнены нами в [3, 4, 5]. Результаты, полученные для одноква-знчастичных состояний, показывают, что проекционный метод приводит к лучшему описанию плотности одночасткчных стояний по сравнению с МКП, который несколько завышает плотность пиэколе-жащих состояний по сравнению с экспериментом [5]. Таким образом, проекционный метод с учетом блокировки дает плотность уровней нечетной систеш промежуточную между плотностями, даваемыми моделями независимых частиц (МНЧ) и квазичаст.^л (МНХ). Это обстоятельство коррелирует с меньшей размытостью границы Ферми, которую дает проекционный метоп, по сравнению с МКП.

Результаты расчетов энергий двухквазичасгичных состояний, отсчитанных от энергии основного состояния (Е- - Ео), представлены

Таблица 1: Энергии возбуждения (7?; — Ео) и отношения г = С ¡О „ц для двухквазичастичных состояний. (МНК — модель независимых квазичастиц, ПМ — проекционный метод, го — (Сг/Осгц)0 — отношение констант в основном состоянии). [3]

Ядро К" Конфигураци. № ■ - Е0), МэВ г го

эксп. МНК МП

нейтронные возбуждения

164Бу (Р)523 1, (** + 1)633 Т 1.68 2.01 1.67 1.0 1.1

168Ег 3+ (Р + 1)521 {,(^ + 2)512 [ 1.65 1.90 1.75 1.2 7.6

172у}, 6- (V-1)633 1,(^+1)512 1 1.55 1.75 1.40 1.0 2.2

174 уЬ 6+ (^)512 (Г+1)514 | 1.53 1.70 1.37 1.С 1.5

176уЬ 8~ (Г)514 1 (Р -+ 1)024 Т 1.04 1.46 1.12 1.0 2.2

V (Р)512 1,(^ + 2)624 Т 1.86 1.82 1.63 1.3 6.0

протонные возбуждения

!74уЬ 5- (Р)4И 1, (Р + 2)514 1 1.88 2.52 2.14 1.0 1.3

176НГ 8" (F)404 1, (£4 1)514 Т 1.48 1.64 1.25 1.0 | 1.1

в табл. 1 [3], где даны также отношения 0/0„ц, вычисленные для данною двухквазичасгичного состояния и для основного состояния этого же ядра. Обозначен ч Р, Р ± 1, ...указывают, что данный одночастичнын уровень либо является уровнем Ферми (/■"'), либо на-' стичным (/г+1), либо первым дырочным -1) и т. д. Одночастич-ные энергии, используемые л этих расчетах, получены для потенциала Саксоча-Вудса. Данные табл. 1 показывают, что вычисления на основе проекционного метода (ИМ) дают в среднем несколько лучшие согласие с экспериментом, чем модель независимых квазичастиц (МНК). Величины отношений практически для всех двух-

квазичастичных состояний оказываются близкими к 1, то еегь применение МКП п этих случаях не оправдано.

В табл. 2 приведены энергии кваличастичных состояний в "зото-нах гафния. Вычисления в рамках проекционного метода в большинстве случаев довольно близки к экспериментальным значениям и существенно меньше предсказаний моде пи независимы: квазичастиц. Расчеты на основе МКП с учетам блокировки дают практически ис-

г

чезновение спаривания уже для двухкваличастичных состояний.

Таблица 2: Энергии возбуждения (Е, - £.':>) мпегоквазичастичных состояний в изотопах гафния. [3]

V - суммарное число протонных или нейтрошшых квазичастиц. Все рассмотренные в таблице конфигурации включают протонные квазичастицы в состояниях (Р)404, 1)514. Нейтрогчые конфигурации вхлючают 6 состояний: (1) - 6211, (2) - 514}, (3) - 512|, (4) - 6331, (5) - 52Ц, (6) - 642|. Уровень (3) - 5121 - является уровнем Ферм» для 176Ш.

Л V К* Нейтронная. (Е; - £'0),МзВ

конфигурация эксп. МНК ИМ

14" (2), (3) 2.87 3.64 2.65

4 15+ (1), О) 3.08 3.7? 3.01

176 16+ (1). (2) 3.27 3.71 3.16

59+ (1), (2), (3), (5) 4.38 5.83 4.34

6 20" (1), (2), и), (5) 4.77 6.0 4.67

21" (1), (2), (3), (6) 4.86 6.20 4.78

177 з 23/2+ (3) 1.32 1.64 1.2и

5 37/2- (1), (2), (3) 2.74 3.75 2.61

178 4 16+ (0,(2) 2.15 3.50 2.57

14" (2), (3) 2.57 3.80 3.27

179 3 25/2" (1) 1.11 1.86 1.32

Однако проекционный метод дает нсисчсзающис значения корреляционной энергии даже и состояниях с шестью квазичастицами одного сорта, расположенных на уровнях, ближайших к F (см. табл. 3).

Расчет- волновых функций ыногоквазичастичных состояний позволили нам сделать теоретическую оценку отношения сечений реакций 178УЬ (р,1) 76НГ на. основном состоянии и на метастабилыюм (Г = 16+„ Еът& = 2.45 МэВ, Т1/2 = 31 год),

II ^ о(16+ -> 16+)/>(0+ ->■ 0+) 0.27(6) или 0.39(3) (О. Но).Ьаг<1 е1 а!., РЬу.ч. Пег. С 46, 112148 (1<Ш)).

Таблица 3: Зависимость корреляционной энергии Ес от числа квазн-частиц v в нейтронной системе 17eHf. [3]

t' 0 2 4 6

ДС(МКП) 0.9 0.1 0 0

ЕДИМ) 1.7 0.8 0.4 0.3

Для оценки Л [6, 7] были вычислены ядерные структурные факторы

S(i - /) = (<l>f(N - 2)| , (1-22)

I

которые довольно часто используются для расчета сечений реакций двухиуклонной передачи. Функции начальных и конечных состояний в (1.22) были рассчит; пл как укачынапось выше с учетом блокировки в исходном и конечном многпкназичастичнмх состояниях

Rmt0 = \S(IC K')/S (,78Hf(0+) 176Mf(0+))|2 . (1.23)

Рассчитанные'отношения сечений находятся в разумном согласии с экспериментом - см. табл. 4. Справедливость такой оценки сечений через отношения квадратов 5-факторо« подтверждается результатами расчетов R для соседних ядер, приведенных н этой же таблице.

Таблица Л. Вычисленные i экспериментальные отношения сечений (Л) для (p,t) реакции в изотопах гафния. [7)

Л мишени А конечного ядра Переход R

МКП ИМ эксп.

178 176 16+ 16+ 0.38 0.27(5), 0.39(8)

176 174 0+ ~> 0+ 0.93 1.1 0.94(8)

180 178 0+ --»• 0+ 0.86 0.8'J 1.07(7)

1.3 Парный энергии и константы (7^/у.

В наших расчетах использовались константы парных) взаимодействия С? (1.17), которые фиксировались ло эмпирическим парным энергиям Р'1г(/у- Последние рассчитывались но энергиям связи

ТУ), как правило, четырех соседних ядер, например для нейтронов

+ Я(2,ЛГ + 1)-23(2,/7-2)} . (1.24)

Рис. 1: Рассчитанные и эмпирические значения парной энергии Рг для изотопов Ву (светлые кружки — МКП, треугольники — проекционный метод (РВСБ)). Использовались следующие значения квадруполыюй деформации (Д): 0.14 (Ы — 83); 0.16 (И — 88); 0.22 ^ = 90); 0.24 (./V = 92), значение гексадекалюлыюй деформации принято одинаковым во всех изотопах: = 0.06. и'г = 28-А""1 МэВ.

Сравнение расчетов парных энергий в МКП и проекционном метод^ показало, чт для описания синих и тех же значений Р в проекционном методе необходимо использовать конста1...ы немного меньшие, но почти совпадающие с их значениями [3,5], найденным« по парным энергиям в МКП. Для ядер с хорошо развитым спариванием при совпадении парных энергий в МКП и проекционним методе проектирование всегда увеличивает корреляционную энергию.

На рис. 1, 2 [10] дано сравнение рассчитанных и эмпирических парных энергий для ряда изотопов Бу и Эт при реалистических значениях параметров деформации, и па рис. 3 приведены теоретические значения Рг в зависимости от /?.

Рг

1А

II

1 0

015

8 б ,90 N

Рис. 2: Рассчитанные и эмпирические значения парной энергии для изотопов 8га. Обозначения те же, что на рис. 1. В расчетах использованы те же значения квадрупольной деформации для каждого N, что и для изотопов Бу, =0; йг 28А"1 МэВ.

Из рис. 1, 2 следует, что оба метода дают вполне удовлетворительное описание эмпирического увеличения протонной парной энергии с уменьшением числа нейтронов. Поэтому при описании протонных парных энергий ряда нейтронодефицитных ядер редкс емельной области мы ограничились МКП [11]. В этих ядрах по мере пр, <5ли-жения к границе протонной стабильности Рг увеличивается в 1,5-:-2 раза по сравнению с протонной парной энергией ядер в полосе бета-стабильности.

. Результаты наших расчетов и эмпирические значения Рц для изотопов УЬ, НС, XV, Ов представлены на рис. 4, где даны также кри-

я

.г.с

1.0

0.5

МэВ

д

О А О Л

О

6

О 6

J—I_I_I I ' |

ом о. 1ч о.1.г о.5о р

Рис. 3: ^ ассчиташше значения протонной парной энергии в зависимости от хвадруполыюй деформации (Д) (при р* = 0) для ШС<1. Кружки — МКП, треугольники — проекционным метод.

тические значения константы спаривания, которые могут слуккть характеристикой плотности одночастичных уровней

2

Оыг

- £ |е. ~ АсйГ1 ; Е {(е, - А„«) |е, - Ас,;,]}"1 = 0. (1.25)

Отметим, что в нашей работе [11] было дано практически первое объяснение роста Рг в этих ядрах, связываемое нами с увеличением плотности одночастичных уровней. В этой работе были также выполнены расчеты результаты которых находятся в согласии с экспериментом.

В расчетах свойств ядер, обусловленных парными корреляциями, чалке всего используется модельный гамильтониан (1.17), где матричный элемент взаимодействия заменен константой (Зг^. Многочисленные расчеты, выполненные разными авторами, показывают, чте Сгу уменьшается с ростом массового числа и имеется

некоторое систематическое увеличение бя по сралг'знию с йн- В наших работах [15, 16] предложено объяснение этим закономерностям при рассмотрении СУ как среднего значения матричного элемента эффективного взаимодействия (Кф5>) по состояниям, близким к поверхности Ферми

^Эфф(г1,г3) = У0ехр[-(г, - г2)3/а'2] х

х {1 - *ехр [-(П -I- Г,)2/(2Д)5]} , (1.29)

где мы положили, радиус <2 равным его пустотному значению = 1,8фм). И) -= 55МэВ, что близко в значению глубины для взаимодействия свободных нуклонов. Экспонента, содержащая + г'г), имитирует зависимость эффективных сил от плотности. Я — радиус ядра. Параметр к, регулирующий уменьшение взаимодействия в центральной области ядра, оказалось возможным положить равным 1, что согласуется с зависимостью от плотности частично-дырочных сил, используемых в теории конечных ферми-снстем.

д . Мэр а

л.о ■1,0 I I 1 1 1 * \ Ч» ч X а

гН 5

0.10 006 у ■ 1 | 1 1 1 1 •

/56 168 У Ь 400 П2 16 ч /82 IV /68 /86 А 04

Рис. 4: а. Сравнение теоретических значений лрогошк 1 паркой энергии Рг, МэВ (черные точки — <7^ — 27 • /I"1 МэВ, сие" шло точки — Ст/ — 29 • А'1 МэВ) с экспериментальными значениями (крестики), б. Значения 0„„, МэВ.

Таким обрачом рассчитанные значения прс-дстаплены на

рис. 5 [16]. Расчеты, выполненные нами для изобарических це>то-

чек, показывают, что константы С, являющиеся результатом усреднения матричных элементов, обнаруживают линейную зависимость от N — 2, что также согласуется с феноменологическим анализом. Анализ эмпирических значений парных энергий с учетом реалистических значений одночастичной плотности уровнен [1. ] показал, что значения (?, определенные вышеуказанным способом, удовлетворительно согласуются с эмпирическими значениями.

1.0

0.6

а

Рис. 5: Рассчитанные значения констант парных сил <7Г в сшшмцах протонной константы для 71Се (Ор(74)) в зависимости от А для рада бета-стабильных ядер (74Се, 8<Бг, ,35Хе, ш8ш, ,~!УЬ, 164Р1, 212Ро, 533и). Иунктирные линии соответствуют зависимости ~ Л-1 МэВ.

Выводы к разделу 1.

1. Разработана оригинальна» версия проекционного метода для описания парных корреляций в ядрах при точно« сохранении числа частиц. Новизна подхода состоит в представлении нормировок проектированных функций, а также матриц плотности чере. 5ыстро сходящиеся ряды по степеням отношений параметров Боголюбова и,/и, (е, < ер) или Vt|щ (е< > ер), каждое из которых меньше 1. Разработанный подход применен к решению различных задач ядерной фиалки.

2. Особенно удачным применением этой методики явился расчет свойств ыиогоквазичастичных состояний в деформированных ядрах, где блокировка уровней вблизи уровня Ферми делает невозможным применение метода канонического преобразования. В хорошем согла-

сии с экспериментом оказались энергии состояний, содержащих не-' сколько квазичастиц, в изотопах О у, Ег, УЬ, 1К. Дана оценка отношения сечений (р,1)-реакции на основном и метастабилыюм (16+) четырехквазичастичном состоянии 178Ш, которая близка к измеренному значению.

3. 13 работах автора дано объ :нение значительному увеличению парных энергий в ядрах, удаленных от полосы бета-стабильности, что связывается с существенным возрастанием плотности уровней в этой области. Это объяснение использует /"'-зависимость константы '.арного взаимодействия й, для обоснования которой в работал автора выполнены расчеты усредненных значений матричных элементов эффективного взаимсщействия, имеющего поверхностный характер. Эти расчеты тоцтверждают А_1-зависимость (7 и одновременно дают объяснение превышения протонной константы над нейтронной.

2 Феноменологическое описание коллективных состояний на основе МББ1 и микроскопический анализ параметров модели.

Помимо спаривательной силы, некоторые проявления которой были рассмотрены в первом разделе доклада, большую роль в ядрах играет квадрупольн&я компонента эффективных \зеш?уклонных сил, формирующая о немагических ядрах низкоэнергетическую коллективную моду возбуждения. При относительно небольших числах нуклонов в незаполненных, оболочках эта мода проявляется о энергетическом спектре, близком к вибрационному, который с ростом числа валентных протонов и нейтронов трансформируется в ротационный, что сопровождается перестройкой основного состояния, т. е. переходом ->т сферической формы к дефорьжров&зшой. Промежуточные ситуации как по числу нуклонов, так и ю характеру спектров относятся к переходным ядр-м, изучению которых лосаявдвш второй и третий разделы диссертационного доклада.

Налш работы по изу .ению структуры коллективных состояний квадрупольного типа в четно-четных переходных &«рах включают феноменологический анализ их свойств на основе «щели взаимодействующих бозонов (МВБ) и последующий микроскопический анализ параметров модели.

К настоящему времени, т. е. за почти 20-легшш период существования, МВБ достаточно хорошо описана во многих книгах и обзорах. В частности, автором настоящего доклада физические и математические основы модели были изложены в четырех обзорных статьях [18]-[21]. Поэтому в этом разделе представлены только конкретные применения МВБ, выполненные в наших работах.

2.1 Гамильтониан МВБ1 и метод его дыагоналазацни.

Наш анализ свойств коллективных состояний квадрупольного типа вы олнеп в рам»"\х того варианта МВБ, в котором не рассматриваются отдельно протонные и нейтронные возбуждения, то есть в МВБ1.

Гамильтониан МВБ1 может быть записан в двух представлениях. В первом из них содержатся только ¿-бозоны:

и = егц + А.-1 £ п,1 ¿1 - + эх.)

+ к2 кд/П - Л^ (¿.+<1р + э.с.1 + С, (2.1)

^ I J

С = ~ Е л =

¿=0,2,4 м

д

где (.. означает, чго стоящие внутри скобки операторы связаны в момент Ь и имеют проекцию ц; черта над ц (й) означает сопряжение по времени. О. мр'тимальное число ¿-бозонов., которое может содержаться ь волновых функциях, на которых определен Н. Второе представление Н использует '1- и л бозоны;

Я = £Й.Н-Ь £(<*+<*+« 4 э.с.)

+ кг £ 4 э.с.] + <7. (2.2)

Гамильтониан (2.2) коммутирует с суммарным числом л- и бозонов (т< — гц + 9+з), так что их число одинаково во всех состояних и равно .0.

Стандартная форма оператора £2-перехода в МВБ1 в этих представлениях имеет соответственно вид:

ТДЕ2) = е* + - щ + Х «О?1] , (2.3)

Т,,(Е2) - е* Ч- + Х- (2.4)

где е* - эффективный заряд, имеющий размерность оператора Е2-перехода, х является дополнительным параметром, регулирующим вклад переходов без изменения числа бозонов.

Каждый из гамильтонианов составлен из операторов алгьоры 5Г/в. Для представления (2.1) элементами алгебры являются

- гц , ,/П-»*^, «£<*„ . (2.5)

3 представлении (2.2) генераторы составлены из з- и ¿-бозончых операторов

'Ч. (2.6) 21

В гамильтониане (2.2) не содержится оператор он исключается с помощью условия щ + п, = Ш.

Несмотря на формальное отличие (2.1) и (2.2) довольно давно было понято, что эти представление эквивалентны. Наиболее простое доказательство этого дано было в нашей работе [22^ где мы отметили, что существует более широкая алгебра — ££/7, включающая операторы из (2.5) и (2.6) и дополнительно 3 генератора 5С/г

%/П - п з , з+з + й-О, (2.7)

Эти операторы можно сопоставить сшшовьш (или квазнспишвьш) операторам

з+у/П — п Зх + »5^ = 5+ ; - « а ,

+ п - П) 5*. (2.8)

А

Совершая унитарное преобразование V = ехр(—¿и5у) — "комрот на угол 7т вокруг оси у" в пространстве генераторе®, мы перевдшш от (2.4) к (2.3):

и ( а+4 - и~1 = <£<*„ - ¿^(0. - п). (2.9)

Отличие (2.9) от (2.5) состоит в том, что в (2.9) содержится оператор п = л+л + гц, в то время как в (2.5) вместо п стоит пл- Для устранения оставшейся част« мы учитываем {/-преобразование базисных функций, соответствующих (2.4)

г/(^Г'(5+г-|о) = (а+л/п^у' ¡о), (2.Ю)

Так как в правой часты (2.10) з-бозоны отсутствуют, оператор п = пг + может быть заменен на щ как п функциях (2.10), так и б генераторе ; (2.9). Таким образом, оба набора генераторов 5Уе (2.5), (2.6^ и соответствующие гамильтонианы (2.1), (2.2) и операторы Е2-переходов (2.3), (¿.4) составленные нз них, являют^ унитарно эквивалентными.

Довольно широкое распространение в литературе получила модель взаимодействующих бозонов во втором варианте (МВБ2), где рассматриваются протонные (гг,Л,) и нейтронные бозоны (я„\А„).

волновые функции МВБ2 строятся иа функций, симметричных по протонным и нейтронным бозонам в отдельности. В их прямом произведении содержаться как симметричные по дсеы бозонам состояния, так и с нромежуточай симметрией, характеризуемые схемами Юша с двумя строками. Симметрия лгротон-не.чтрошшх состояний может быть охарактеризована г помощью Оспина.

Использование техники неприводимых тензоров а /■'-пространстве позволило нам в одной из первых работ на эту тему (эта работа подробно описана в [21]) установить связь гамильтонианов МВБ1 и МВБ2 Чля этой цели мы разлагаем гамильтониан по неприводимым тензорам в Р-пространстве

Я(МВ1>ГЧ = (2.11)

Л'-«

П(1) - ~ |[/'--, [¿V, [¿м //(МВБ2)] ] ] ] ,

Я(1) " Ь ^' Л - //(5)11 '

Н= //(МВВ2) — //''^ - »(2).

— повышающий и понижающий /'-спиновые операторы

¿V = + Е , г. = (г,)+ . (2.12)

Функциям МИГ>1 соогшгствуют полностью симметричные по про* тонам и нейтроном функции МВБ2. Для них /''-спин имеет макси-малыше значение + П„), Пг — число бозонов данною сорта. При этом третья проекция определяется разностью Пр и Пг,

= (2-33)

В ШШ1 прогонные и нейтронные бозоны не различаются и могут формально рассматриваться нее как нейтронные или как протонные. В последнем случае третья проекция /■'-спина равна + Пп), то есть максимальному значению, которое ниже обозначено как . . Теперь, налагая требование, чтобы матричный элемент от //(МВБ2) но функциям |Ф(/*', !'\,п)) (ос — совокупность дополнительных квантовых чисел) сок пал ал с матричным элементом от гамильтониана //(МВБ1) по функциям Г, ...)), мы получаем с помощью теоремы Вигнера-Оккарта:

Я(МВБ1) = £ H^iFXF^lFF.y.FXFU]FF)~l, (2.11)

А=0

В [21] даны в явном виде соотношения между параметр asm моделей, они могут быть полезны при сопоставлении феноменологических описаний в МВБ2 и МВБ1.

Численная диагонализация гамильтониана МВБ1 осушсствл.-ет-ся нами с использованием хорошо разработанное в литературе базиса, соответствующего приведению SU$ по её подгруппам SUg D SUi Э SOb D SO3. Построение матрицы энергии, диагонализация её и вычисление матричных элементов переходов осупкстъчяется с помощью набора программ, разработанного нами и описанного в [23].

С использованием этих программ нами выполнены расчеты энергетических спектров к приведенных вероятностей В(Е2) в переходных ч'-ио-четных ядрах e2-70Zn, oe-78Ge, 6a"8DSe, 74"i4Kr, 8:'8eSr, 86-10вМо, 9e-I08Ru, 10°-110Pd, 18e"1S6Pi. Результаты этих расчетов опубликованы в оригиналь ых работах [24]-[31] и в лапшу обзорных статьях [18]-[21]. Ниже мы остановимся только и? описании достаточно хорошо изученные, экспериментально изотопов Se, Кг, На и Pd, поскольку свойства именно этих ядер были лсвилжргнуты нами микроскопическому анализу.

2.2 Феноменологическое описание свойств коллективных состояний четно-четных кзотшюв селена ц криптона.

Наиболее интересной особенностью низколежащей части энергетических слектроз четно-четных переходных ядер с 30 < Z < 40 и 32 < N < 48 является сильная зависимость E(0i) — энергии первого возбужденного состояния со спином 0+ от числа нейтронов. При N - 38, 40 этот уровень сближается с первым возбуж. энным уровнем 2f, так что в 7iGc энергия 0^"-состояния даже меньше энергии состояния 2"/". Увеличение Ж£2,0£ —> 2f) с понижением Е(0£) ука-зывет на существенный вклад коллективного квадрупольною воз-бу. деиия в форгчрование 0^-состояния. Эта особенность спектров в литературе неоднократно интерпретировалась ьих проявление сосуществования состояний с разной деформацией в одном и тем же ядре. Анализ спектров этих ядер в рамках МВБ2, выполненный при

некоторых априорных ог раничениях на параметры модели, дал завышенные (примерно на 0,5 МэВ) значения £(0+), что дало повод интерпретировать низколожащие 0,-состояния, как имеющие значительную парнопибрациоинуга компоненту [21].

Свойства состояний четно-четных изотопов селена и криптона были проанализированы нами в [2Е 26, 21] с использованием МВВ1 без каких-ли^о предварительных ограничений нэ параметры модели. В результате этот анализа получено вполне удовлетворительное описание энергетических спектров (оно несколько ухудшается с ростом энергж возбуждения) и значений Б( Е2), для которых отличие теории от эксперимента проявляется в основном для слабых переходов. Качество описания спектров можно увидеть на рис. 6, где даны энергии уровней изотопов к[ птона. Более детально соответствие теории и эксперимента можно проследить на примера 748е, для которого в табл. 5 даны значения энергий и В(Е2). В табл. 6 даны экспериментальные и т< эротические значения Б(Е2) для изотопов гринтона с А = 76, 78, 80.

£ Mi В 5

4

3

2

/

- с,

/ X

ÍL____

j_i

с, •V,

'J /

У у ■ ' s.

. / у

7/ 7d

—i---1_I_I_I_I

14 7ó 32

_j-1_i_l__l. j

7M 73 62 A

Рис. 6: Экспериментальные (точки) и расчетные (сплоп. ые кривые) значения энергий уровней изотопов криптона.

Объяснение опускания 0,-состояния в изучаемых ядрах на осно

Таблица 5: Сравнение экспериментальных л тсорети^ских значений энергий, уровней (МэВ), В(Е2) (одночастичные единицы, 1 иди. ед. — 18.45 е2фм*) и квадруцолышго момента 2+-состоякив )(е-фмг) в "Бе. Значения параметров гамильтониана (в МяЧ): с — 0.666, ^ = -5.38 • Ю-3, ¿з = 4.53 • Ю-2, Со = 0.409, С2 = 1.94 • 1(г2, С\ = 0.102, к3 5.38-10"3. Параметры £2-оператора перехода: е* = 9.07 е• фм3, х = -0.65 (П = 8).

I Энергия уровня

экслер. МВБ1

21 г 335 0.036

41 1.363 1.367

«1 2.231 2.184

81 3.148 3.106

Ю! 4.253 4.160

12, 5.433 5.370

141 6.735 6.738

16, 8.118 8.206

03 0.854 0.860

2з 1.269 1.302

З1 1.884 1.864

43 2.108 2.088

51 2.662 2.700

6, 2.987 2.921

71 3.525 3.692

91 4.460 4.830

и // В(Е2)

экспер, МВ1Л

2( 0, 40 40

41 21 64(12) 70

6; 41 64(К) 84

81 61 60(17) 87

10, 78(15) 84

12, 101 76(17) 75

14, 12, 54(12) 58

16. М, 49(15) 39

«Ь 2, 73(22), 82(6), 77(5) 62

22 2, 42(12), 49(6) 36

4; 4, 21-44 5

2:2 0, 0.93(27),0.87(14) 0.9

Ь 2, 0.33-0.76 0.12

5, 3! 42(8) 51

71 5. 27(11) 65

91 71 37(16) 63

З1 23 65(27) 29

51 4, 1.8(6) 0.9

42 '¿2 10-20 36

<3(2?)

•36(7^

-38

Таблица 6: Значения 3(Е2) для изотопов криптона (одночастичные единицы, 1 одн. ед. = 19.1 (76Кг), 19.8(таКг), и.5(80Кг) е'фм4).

и 7вКг 78Кг 80 К г

//

экспер. МВБ1 экспер. МВБ! экспер. МВБ1

2. 01 59(7) 59 64(15) ....... 64 37(3) 37

41 21 76(25) 104 80(12) 104 44(9) 59

б! 4] 89(8) 17' 89(14) 119 50(20) 68

8, 6. 130(13) 130 305(29) 121 90(55) 69

Ю1 8. 130(19) 126 102(40) 113 46(23) 59

12! Ю1 5°(11 113 95(50) 96 80(50) 45

И, 121 — 94 59(25) 71 >16 25

16, 14, — — >31 40 — —

2з 21 — 24 <34 36 24(6) 44

22 01 — 2.3 1.21(20) 1.9 0.28(7) 0.28

31 21 — — 3.1(3) 3.1 0.58(11) 0.42

31 2з — — 77(17) 78 35(6) 49 .

4з 22 47(16) 56 63(17) 43 50(20) 30

42 21 0.6(2) 0.6 0.3(2) 10~3 <0.2 ю-4

42 4) 27(8)* 15 <44 22 30(15) 21

5| 31 100(19) 58 120(60) 57 50(20) 34

5, 41 3.4(7)* 2.4 <4.2 0.7 1.2(4)* 0.06

62 42 -— — 14(29) 73 35(17) 42

1 ч Й1 79(3) 80 76(34) 73 ~35 40

8з 6? — — 120(34) 81 — —

5>1 7' 70(20) 82 — — — -

* неизвестны значения смеси Е2 + М1

ве гамильтониана МВБ1 было дано нами в [20, 26]. При достаточно большом значении однобозонной энергии е (см. (2.1), (2.2)), как это имеет место для рассматриваемых ядер при N = 38, 40 стюктр ь основном иа{<*»т вибрационный характер. Однако енльнач связь состояний, отличающихся только одним квадруполышм бозоном (она определяется и довольно слабая связь состояний, отличающихся двумя бозонами (эта связь определяется ¿1, значение которого должно быть небольшим), приводит к выделению 0^-состояния. Действительно, О^-состояние до включения взаимодействия не одержит ни одного ¿-бозона и отделено большим энергетическим интервалом 2е от ближайшего двух ¿-бозонного 0+ -состояния, так что при малом их взаимодействие мало. Остальные 0+-состояния, содержащие 2, 3, 4,...¿-бозона и разделенные между собой интервалом е, сильно взаимодействуют друг с другом, что определяется В результате нижний (двухбозонный) 0+-уровеиь может опуститься на величину ~ £. Это же взаммодейст- че опускает 2f-уровень, однако епз опускание с росток к-1 происходит медленнее, чгы огаускаиие й(0£) — рис. 7. Этот механизм позволяет правильно описать гамкшемме О^-уроана в изотопах Бе и Кг при кц'кз ~ 0.2. Значения осталыа :х параметров МВБ1 приведены з [21].

Рис. 7: Зависимость энергий 0+- и 2+-ссстояний от параметра к2. £ — энергия ¿-бозона; = С0 = Сз = — О, Я = 8.

Численные расчеты показали, что параметры МВБ1 не могут быть зафиксированы вполне однозначным образом. Как показано нами в [26]1для каждого ядра может существовать несколько наборов параметров, которые примерно с одинаковой степенью точности описывают результаты эксперимента ¡21].

Е/б

Кроме стандартно!« набора б параметров в гамильтониане МВБ1 (П мы считали фиксированным по числу валентных частиц или ды-ро«) и 2-х параметров в операторе £2-перехсда в некоторых случаях мы расширяли число параметров. При описании энергетических спектров изотопов криптона мы добавили слагаемое, уточняющее энергию трехбозокных состоят "г. Это слагаемое мы выбрали как квадрат одного из слагаемых Я(МВБ1) (2.2)

Оа = *з + э. с.} , (2.15)

что по. эляет легко учесть его в рамках имеющихся программ, в которых строятся матрицы отдельных членов Я(МВБ1). Ках показано б [21] наиболее существенным в (2.15) оказывается шестнбозонное слагаемое

¿=-0,2,3,4 м ^

зависимость которого от четкости Ь приводит к правильной коррекции трсхбозонных состояний с моментами 0 и 3. Феноменологический анализ показал, что параметр к3 на один-два. порядка меньше параметров С/, в (2.1), (2.2) [21].

Для улучшения описания £2-переходол мы включили дополни-тcJ]ЫIoe слагаемое в оператор Т(Е2) [21]:

¿ЯЦЯ2) = С [(¿^«м + . (2.16)

В большинстве случаев параметр С оказался очень небольшим и тг§е, по-видимому, оказывается единственным среди изотопсз селена и криптона, где этот параметр имеет заметную величину (С —• -0.05).

Как уже упоминалось выше, с литературе обсуждался вопрос о различии деформаций в основных я первых возбужденных 0+-состояниях в изотопах селена и криптона. Для качественного рассмотрения такой возможности мы рассчитывали интегралы перекрытия волновых функций предельных случаев МВБ (ЯИх, — сферический вибратор, 5Г/з — аксиально симметричное ядро, 0(6) — 7-неаксиалышй ротатор) с волновыми функциями, най"енными при. тех параметрах МВБ, которые позволяют воспроизвести наблюдаемый спектр коллективных состояний [20, 21, 26]. Результаты расчетов интегралов перекрытия для 72,Г4Зо (М = 38,40) приводят к

заключению, что в осноьных состояниях эти ядра сферичны (квадрат интеграла перекрытия с 5 £/(!>)- функцией равлн ~ О.в), в то же время волновая функция состояний близка к волновой функции аксиапьносимметричного ротатора., так как интеграл перекрытия с 5^-функцией преобладает над другими (инюграл перекрытия с С>(6)-фуькцией вдвое меньше) —см. табл. 7. В этой же таблице даны значения отношения квадратов эффективных деформаций, определенные через средние квадрата оператора £2-перехода

(СП ЩЕ2) ТР{Е2Щ)

ЕгВ(Д2,0+->2+) • ^ >

Расчет : для изотопов криптона дают не столь выразительную картину, можно лишь сделать заключение, что О^-состояния с N = 38, 40 достаточно далеки оч ¿^-предела. Значения Л для 74 ''г ,8Кг соответственно равны 1.27, 1.43 и 1.00,

Д

Таблица 7: Квадраты интегралов перекрытия волноьиИ функций 0+ и О^-состоаний и значения К (2.17) для 72-7гЗе.

1 А' =38 N = 40 N = 42

5,У6 5(73 О« 6'Г/Б Би3 О,„ зиь 5'{/3 | 0„

о? 0.79 0.078 0.096 0.77 0.40 0.26* 0.79 0.14 О.СЗ 0.69 0.37 0.36" 0.63 0.26 0.22 0.63 0.58 0.29"

и 1.25 1.53 0.92

ственно 0+- и 0^-состояния Ов-предела

В г5Кг при энергиях 2 МэВ эксперименталыю установлено существование нескольких состояний, которые не укладываются в схему МВБ1, но могут быть описаны в МВБ2. В ¡27, 21] нами был ра -мотреп вариант расширения МВБ1 за счет введения дополнительного квадрупольнога бозона г?, энергия которого существенно болыле (1тримерно в 3 рала) энергии ¿-безона, хотя и меньше удвоенного параметра энергетической щели 2Д ~ 3 МэВ. В [27] ¿"-бозон интерпретируется как обрал "изовекторного" п&рнокваличэстичного фоиона.

Таблица 8: Отношения вероятностей £2-перехсдов и значения Д(£' ¿) = {Ь'\\Т(Е2)\\Ь) х ((Ь'Ц^М!)!!!»"1 для некоторых переходов в 82Кг.[21]

/¡-ч // Отношения В(Е2^

эксп. ¿ + Л МВБ2

93 0! 9а-+21 31- 2! 31 -+22 43-+21 42 —► 22 42 42 -+41 42 -+22 42 -+ 41 0.014(1) 0.016(3) 0.14(2) 0.3(3) ¿.5(25) 0.012 0.013 0.16 0.23 1.6 0.015 0.034 0.083 0.77 0.94

/. и Д '

эксп. ¿ + <1' МВБ2

23-+21 380 - 640 470 180

З1 —»22 600(120) 340 70

340 -1000 530 770

4! -60-Г+40 30 91

Добавление ¿'-бозона расширяет спектр возможных состояний, среди которых появляется Iх = 1+, принципиально отсутствующее в МВБ1. Учет взаимодействия й- и ¿'-бозонов и вклад последних в операторы М1- и £2-пере» ;ов дали возможность описать в 82Кг [21] как энергетический спектр в районе 2-2.5 МэВ, так и отношения вероятностей переходов - см. рис. 8 и табл. 8. Из таблицы видно, что учет ^-бозона позволяет воспроизвести данные по 82Кг не хуже, чем МВБ2.

2.3 Применение МВБ1 к изотопам рутения п палладия.

Изотопы рутения и палладия оказались в числе первых объектов применения исходных версий МВБ1 и МВБ2. Позднее <-чи анализировались в рамках различных модификаций МВБ (включающих g-бoзoны — МВБ^, со специальным ограничением на параметры — МВБ 1(3, на основе вЩ — варианта МВБ2). В этих работах было выявлено расхождение МВБ с экспериментальными данными по ряду пунктов в энергиях состояний с / > 8 в легких изотопах Ии и Рс1, в вероятностях £2-переходов и квадрупольных моментах внутри

24 - 2.656

42 - 2.650

За --2.548 __2.530

11 __2.480 04 -2.497

°< --2.450 „ __1! __2.488

4г 2.426 3 2,418 4а --2.416

03 - 2.172

3, - 2.094 3, - 2.100 03 - 2.100

31 - 2.057

23 -- 1.957 2з - 1.876

4] - 1.821

1.760 4 - 1.768

02 _ 1.482 22 1.474 °2 1,522 2г 1.475 02 --- 1.471 'Ь---1.455

Рис. 8: Фрагмент схемы уровней ?5Кг (энергия в МзВ). . — эксперимент, 0 — МВБ1, в — МВБ(4-Ы'). На рисунке не показаны основное и 2+-состояния. Е(2+)зксп = 0.776 МэВ, эю значение воспроизводит МВБ1иМВБ(<г + а')).

ираст-полосы 104Яи. Обзор результатов этого анализа представлен в наших работах [18] - [21).

Свойства коллективных состояний Яи и Р<1 рассматривались также. в русле традиционного феноменологического подхода Бора и Моттельсона с неограниченным числом квадрупольных бозонов. Его частный случай, развитый Воро1 дм и Зелевинским и названный ими моделью ангармонических квадрупольных колебаний (МАК), содержит третью и четвертую степени коллективной координаты и для некоторых характеристик дает лучшее описание, чем упомянутые выше п дхсщы в рамках МВБ. Сравнение результатов МАК и МВБ представлено в наших работах (28, 29].

Предпринятое нами изучение этих изотопов в рамках МВБ было сделано, чтобы выясни: ,, являются ли отмеченные выше расхождения принципиальными для МВБ, например, связанными с её ограничением числа бозонов, или же они могут быть преодолены с помощью некоторых уточнений внутри идеологии МВБ.

С этой целью мы вначале сравнили МВБ1 и МАК, чтобы установить, насколько ограничение на число бозоноз в МВБ сужает её возможности. Для этого мы разложили квадратные корил вида л/а — па-, присутствующие в гамильтониане МВБ1 в форме (2.1), по степеням »¿/П. Для состояний, в которых средние значения щ меньше или примерно равны 2Г /3, достаточная точность обеспечивается, если в разложении ограничиться членами до второго порядка по гц/£1. Далее нами было установлено, что при некоторых соотношениях между параметрами МВБ полученный гамильтониан МВБ оказывается практически совпадающим с гамильтонианом МАК, так что , например, для 104Пи расхождения в энергиях между МВБ1 и МАК з?метно меньше их отклонений от эксперимента, при этом согласие между результатами двух моделей было получено нами при использовании параметра МВБ1 — П (максимальное число ¿-бозонов) большего, чем его "каноническое" значение, которое пола £тся равным половине числа валентных частиц или дырок. Так для ,0411и ^ганон = 8, мы же взяли Я = 10. *

Из проведенного сравнения МВБ1 и МАК мы сделали вывод, что ограничение на максимальное число бозонов в МВБ1 не может служить причиной худшего описания спектра по сравнению с МАК. Кроме того, мы нолз'чили указание, что имеет смысл рассматри-

вать О как дополнительный параметр модели, для которого Г2кан0я служит лишь нижней оценкой. Подтверждением такого заключения служат ираст-полосы легких изотопов рутения, в которых наблюдаются уровни вплоть до сшшов: / = 10 (83Ии, Яшшсн = 4), I = 12 (е8Яи, П кайся — 5), I = 14 (100Рс1, Пцакон = 4, 102Р(1, Г^вион = 5).

Поэтому феноменологический анализ спектров и значений В{Е2) для изотопов Ей и Р<1 был проведен при Я = /щц/2 для указанных выше легких изотопов и П = 10 для ,иЕи. На рис. 9 показаны экспериментальные н теоретические значения энергий уровней ираст-полос. которые довольно хорошо согласуются между собой, что не достигалось в упомянутых ранее работая, использовав птах МВБ1 »ли.МВБ2 с каноническим выбором П. Отклонение в энергиях Л?(10^) в 102Еа связано с влиянием двухквазичастичного высо-коспииочого состояния [32]. Наш анализ дал также вполне разумное описание В(Е2,2£ —► 0^"), В(Е2,4? —» 2?) в ираст полосах, а также других известных зиачег х& В(Е2). При этой шюльзование двЗ&боч-ного слагаемого в операторе Е2-перехсда (2.1®) бшшышло улучшить описание В(Е2) н кваддг тольных моментов [25, 29].

Ри . 9: Экспериментальные и расчетные (сплошные кривые) значения энергий уровней ираст-полос: а — изотопы рутения, б — изотопы палладия.'

Наибольший интерес для нас представляло изучение свойств 104Р.и поскольку для него имеется информация о В(Е2) в нраст-

полосе вплоть до / = 12+ и матричных элементах (7||Г(£2)||/) (в данном случае |/) — ираст-состояние), пропорциональных квадру-польному моменту состояний вплоть до I — 8+.

Рис. 10: Экспериментальные и расчетные (сплошные кривые) приведенные вероятности Е2-перехоцов между состояниями ираст-полосы в 104Пи. МВБ1 -- результаты нашего расчета.

Расширение числа бозонов позволяет удовлетворительно описать В(Е2) между состояниями ираст-полосы — рис 10. Выбор подходящего значения параметра кц в гамильтониане МВБ1 (2.1), (2.2) обеспечивает смешивание состояний, отличающихся одним ¿-бозоном, что позволяет объяснить значения (/,||Г(£2)||/,) — рис 11. Однако, это смешивание оказывает сильное влияние на переходы с 7-полосы. Чтобы привести в соответствие теорию и эксперимент, мы опять используем дополни тельное слагаемое в операторе Е2-перехода (2.16), что позволяет удовлетворительно описать В(Е2, /7 —у 1д = /7 — 2). Остальные переходы с 7 -полосы воспроизводятся не столь хо, лпо, вднако правильно передают тенденции в изменении В(Е2).

В разумном соответствии с экспериментом находятся наши расчеты вероятностей Е0- и М1-переходов в изотопах й.и и Рс1. Теоретические выражения цля соответствующих операторов в терминах МВБ и система дополнительных параметров приведены в [30].

2

6

Ю

1* 0

'ч>

н ч>$ 1

Я1

■ГС

"и

V

-/5"

мььч

М 51* ИЬЩ

---1- «ЛЯ«

Рис. 11: Диагональные матричные элементы квадруполыюго онера-тора л состояниях ирас: полосы 104Д.и. Сплошные линии — результаты расчетов в различных моделях [28], МВБ1 — расчеты автора.

2.4 Микроскопический авшшз параметров ь .шлектшвпого гамильтониана.

Удовлетворительное описание свойств коллективных состояний в рамках МВБ1 дает нам набор параметров, чнтерпретация которых на основе микроскопической теории может вскрыть динамику меж-нуклонных процессов, обусловливающих наблюдаемые энергетические спектры и вероятности переходов.

Наш микроскопический анализ значений параметров МВБ1 был проведен в русле направления, намеченного в первых работах Джо-лоса, Дэн&у и Янссенаш обоснованию МВБ1, где сЙЗозс"*ы интерпретировались как образы коррелированных хвадрулольных нар квазн-частиц. Этим наш подход отличается от многих работ по микроскопическому обоснованию МВБ2, в которых рассматриваются мо-пог жыше и кзалрупольпые пары частиц и используемая волновая функция является собственной оператора числа частиц. Обзор этих работ представлен в нашей статье [21]. Подобный метод расчета оказывается весьма трудоемким, так как он приводит к большому числу корректирующих фау оччров с многочисленными индексами (см. раздел 1). Этот метод был применен нами для оценок параметров в

изотопах криптона [25]. Однако систематический анализ параметров МВ51 выполнен нами в квазичастичной теории.

Использование тамм-данковских фононов в качестве микроскопическою образа ¿-бозона является традиционным для теорий, основанных на бозонном описании коллективных состояний кзадруполь-но1х) типа. В приближении Таш ¿-Данкова (ТД) расчет параметров £ и к: (см.(2.1), (2.2)) для изотопов селена и криптона был выполнен нами в [33]. При этой оказалось, что согласующиеся с экспериментом значения параметров могут быть получены только при одновременном /чете частично-дырочных и частично-частичных сил, которые мы использовали в традиционном фахторизованном виде. Без частично-частичных сил при некоторой вариации силовых параметров значение параметр . е может быть согласовано с его эмпирическим значением, однако параметр к\ оказывается слитком большим. В расчетах мы использовали довольно широкий осцилля хорный базис, включа». уровни с N0 ±2 (N0 — главное осцилляторное число состояний вблизи уровня Ферми). При этом для тамм-данкозских фононов (0+, П) мы получили эффективный заряд МВБ1

= ^<°13иЯ2)ДГ|0> , (2.18)

который при вакуумных значениях нуклоиных зарядов (ер = 1, еп = 0) оказался примерно в 1,5 раза меньше наблюдаемого. Чтобы достигнуть согласования по этому параметру, мы перегалл к оценкам параметров на основе метода случайной фазы (МСФ), который, как известно, дает большие значения вероятностей переходов, чем метод ТД.

В МСФ оператор фонона (в частности квадрупольного О) отыскивается как суперпозиция квазичастичных операторов рождения и уничтожения:

= ^ Е + . (2.19)

Входящие в (2.19) амплитуды ф и мы находим на основе модифицированных уравнений МСФ, так как применение стандартной формы МСФ в переходных ядрах встречает некоторые трудности. Понижение энергии 2^-состояния при одновременном росте величины В(Е2,2? —> 0?) может быть описано в МСФ фактически при выходе за его границы применимости, так как в этом случае ампли-

туды ч> в (2.19) оказываются сравнимыми с ф, что свидетельствует о больших корреляциях в основном состоянии и приближении квадру-польных констант к их критическим значениям, когда минимальное собственное значение уравнений МСФ оказывается равным нулю.

Мы модифицировали систему уравнений МСФ, уд^тив часть корреляций из основного состояния. С этой целью вместо обычной процедуры линеаризации

[&,££] (2.20)

мы рассмотрели более общий подход [21, 34]

[Я, £?+] = е£>+ + 2к\ , к = кхП . (2.21)

Уравнение (2.21) соответствует тому, что при бозонкзацни гамильтониана в минимальном по числу бозонов приближении он приобретает вич

Н-уеТ-^ + к,£(<#<#+ э. с.)

Модификация уравнений МСФ приводит к тоиу, что минимальное собственное значение этих уравнений и2 заменяется на произведение А0А1 — в2 — 4Ц, то есть для него становятся допусттшмш как положительные , так и отрицательные значения. Значения Ао ы Л1 по отдельности не определяются уравнениями МСФ. Ао при малых деформациях (Р) определяет форму ядра, так как полная энергия ~ Ао/?3, параметр А1 оказывает существенное влияние на соотношение амплитуд V и '-Р- При найденном из уравнений МСФ произведении А0А1 мы фиксировали их значения так, чтобы воспроизвести эмпирически найденные параметры МВ61 е и ¿1 (е = |(Ай 4- Ах), = — ^(А0- АО). При этом мы использовали уравнения МСФ с фак-торизованныии квадрунольньши частично-дырочными и частично-частичными силами, константы которых плавио изменяются от ядра к ядру и близки к теоретическим оценкам [21]. Найденные значе ния парам гров обеспечивают согласие теоретических и феноменологических значений эффективного заряда в МВБ1 при "умереи-лых" корреляциях в основном состоянии, мерой которых мы приняли № = Глз |ри|2/ Е» \Фп\2 (тг^я. 3)

Непосредственный расчет параметров Сь бозонною гамильтониана (2.1) в предположении, что эти параметры определяются чисто £>-фонош1ыми конфигурациями

Таблица 9: Сравнение феноменологических (I) и теоретических (II) значений эффективных зарядов е*у/0, (е • фм) и величины ш для изотопов селена и криптона.

Ядро "8е "ве ?4Кг "Кг

I II ш 24.9 26.0 0 36 21.6 20.6 0.19 21.6 19.4 0.15 2; .7 0.33 24.7 24.0 0.28

Ядро 8Кг Кг °5Кг 84Кг 85Кг

I II из 26.6 26.0 0.29 21.9 22.0 0.18 17.Э 17.8 0.09 13.6(30) 15.5 0.07 15.8(45) 15.5 0.05

Сь = ^(0!(0.О)(Ь> [Я, (Я+1>+)(£>] |0) - 2е<, , (2.22)

дает значения, существенно превышающие феноменологические значения (ниже в табл. 10 проведено это сравнение). Этот результат показывает, что на величину параметров оказывает существенное влияние взаимодействие коллективных янзкоэнергетическнх возбуждений (Р-фононных) с возбуждениями других типов. Для учета этого взаимодействия мы использовали довольно часто применяемый упрощенный вариант метода Фешбаха. Это упрощение состоит в учете только диагональных элементов гамильтониана между промежуточными состояниями ¡Фдл)

<ФВЧ'|Я -- Е|ФВ„) = (ЕПп - Е)6вп.6пл.. (2.23)

В нашей работе [3.4] в качестве Энергии Ев принимается энергия некоторого Я-фопона (Я Ф £*), добавленного к конфиг; чацпи |с„) пз п коллективных 2?-фонопов: |Фв) — В+|й,).

Для получения явных выражений для расчета параметров Сь мы приравнивали матричные элементы Язфф, получаемого с помощью метода Фешбаха, и Я(МВБ1) при минимальных числах соответственно Я -фононов и ¿-бозонсв

Сь - {{ОКОЛ)^ I |0) - (2.24)

- Е |<0|(ДД)(£)(Я - Я)0+|С„)|2(Яш - Е)-1 - 2sj,

ПуВ }

где Е — энергия рассматриваемого возбужденного состояния. Таким образом, Сь (талике, как и другие параметры модели), вообще говоря, должны зависить от энергии. Однако, как показано в [34], эта зависимость для низколежащих состояний не слишком существенна.

Выражения д*чя Ct (2.24) содержат суммирование по промежуточным 5-фононам. Среди них имеются парновибрационные, которые мы рассчитывали с помощью МСФ, так как это позволяет корректно выделить духовые фонолы, соответствующие сохранению числа протонов и нейтронов. В суммах (2.24) учитываются все парновибрационные фононы. Фонолы с угловыми моментами больше нуля и монопольные фононы частично-дырочного типа трактовались в рамках метода ТД. Суммы по этим фонолам были рассчитаны с помощью одкофононпой функции Грина, явный вид которой приведен в разделе 3.

Среди промежуточных состояний #+|сп) мы явно учитываем состояния без D-фононов (рис. 12а), с одним (рис. 126), с двумя (рис. 12в) и с тремя (оис. 12г) D-фононами. На этих рисунках приведены наиболее существенные процессы, дающие вклад в Ci. Все они содержат усиление за счет "когерентного'' рождения или уничтожения D-фонона, то есть фактор ~ JB{E2,2~+3).

Суммы по дрог жуточным состояниям обозначены соответственно через Rb, Rdb, Rddb и Rdddb» так что Сх = - £„ Rnn, где С^ определены в (2.22). В [34] особо выделены суммы по пар-новибрациоиным ф" юнам, посколыг* связь с парными вибрациями обсуждал :ь во многих работах для объяснения энергий первых возбужденных 0+-состояннй. Расчеты величин R покалывают [34], что наибольший вклад дают процессы, представленные на рис. 12а, хотя для 1 = 0 существенен вклад процессов, представленных на рис. 12в и 12г, так что в опускании О^-состояний заметную роль играют не только парные вибрации. Сравнение феноменологических значений (Сх)ф с Ci' и Сх (последние с учетом взаимодействия с В-фононами) проводится в табл. 10 для изотопо_ селена.

Данные таблицы 10 свидетельствуют о значительном влиянии на величины Сх взаимодействия D-фононов с фононами другой природы. Однако, несмотря на болыпой вклад в энергию, конфигурации, со-

Рис. 12а

Рис. 126

Рис. 12в

Рис. 12г

Рис. 12: рисунках 12а-г волнистые линии означают фононы, сплошные — квазичастицы, вертикальные пунктирные линии — взаимодействие.

держание .В-фононы, не искажают существенным образом волновые фунхции, где двух О-фононные конфигурации остаются лидирующими и их квадрат амплитуды ¿70% [34].

Таблица 10: Сравнение вычисленных и феноменологических значений параметров Сь для и- топов селена.

Л сЦ0) Си (Со)ф ср с2 (Са) ф с!"» 'С4)ф

74 1.97 -0.49 -0.39 0.72 -0.09 0.03 0.91 0.10 0.10

73 1.79 -0.26 -0.21 0.72 -0 28 -0.12 0.82 0.09 0.13

78 1.99 -0.)б -0.02 0.81 -0.09 -0.10 0.88 0.21 0.18

2.5 Ослабление спаривания в выстроеппых многофокон-вых со с то яи их и его влияние на вероятности Е2-переходов.

В разделе 2.3 при анализе экспериментальных данных в гчотопах рутения и палладия было ; сазано, что более предпочтительными являются такие числа П, которые превышают обычно принимаемые в МВБ1 значения, равные половине числа валентных частиц или дырок. Так как это число существенным образом определяет матричные элементы Е2-иереходов между состояниями с чмслглш бозонов, отличающимися на единицу (Т(Е2) содержит y/U - ñ¿), микроскопический анализ э.тих переходов может гать информацию об этом параметре модели.

С этой целью мы рассмотрели довольно важный тип многофонон-ных состояний, волновые функции которых построены как степени D-фононного оператора с максимальной проекцией. Такие состояния можно назвать выстроенными, так как их спин имеет максимальное значение и равен 2N, где N — число фононов.

№ = (Dtf !0> [<0| W (Dtf |0>] . (2.25)

Для расчета средних по выстроенным состояниям мы использовали методику, развитую нами при описании ядерных свойств на осно-, ве фувкции, проектированной на определенное число частиц. Эта методика описана . разделе 1 настоящего доклада. Чтобы сблизить функции (2.25) и функции проекционного метода, мы совершаем унитарное преобразование квазичастичного базиса, которое позволяет привести оператор! D-фонона к каноническому виду [35, 36]

(2-26)

где ei"+, aj"_ — операторы с разной z-сигнатурой а,

R,a+±R~l = ±¿a+±, R, г= е"л . (2.27)

J, -- операторы z-проекции углового момента, ф\ определяются тамм-данковскими амплитудами фонона D, когда он представлен в обичном базисе (л = Ijm)

Oí = £0.«а++а+ , (2.28)

i t »

. ' t

где Iявляются матрицами перехода от сферического базиса к каноническому. С использованием такого базиса мы имеем возможность применить развитый для задач спаривания аппарат симметричных полиномов.

Эта методика была применена [35, 36] к расчету матричных элементов /Лфононного оператора и матричных элементов оператора Е2-перехода {N\T(E2)\N -1), где функции )//) построены из операторов С-фононов, найденных как в стандартном приближении ТД с факторизованными силами [21], так и в модифицированном приближении ТД (МТД). Модификация заключалась в таком определения амплитуд фонола, что число частиц сохраняется в среднем не только в основном состоянии, но и в однофонониом. Это достигается с помощью введения в варьируемый функционал средних по однофоношгому состоянию от (Ат—Ат), где Ат> Ат — соответственно оператор числа частиц и само это число дпя протонов и нейтронов (г = р, п). МТД позволяет несколько уменьшить отклонения среднего числа частиц от истинного в ыногофононных состояниях [36].

Расчеты, проведенные в [35, 36], показывают, что вычисленные матричные элементы начинают уменьшаться при значительно больших N, чем э то принято в МВБ1. Таким образом, Л, с помощью которых можно аппроксимировать полученные результаты, оказываются сущгстьенно больше ЯкаПон. При этом чем шире используемый • базис, тем больше Я.

Этот результат получен в предположении о независимости от N амплитуд тамм-данкопскнх фононов и вакуума квазичастиц, то есть параметров ц,«-преобразо гния Боголюбова. Однако увеличение числа фононов в принципе должно оказывать влияние на эти величины. Б [37] мы качественно рассмотрели изменения этих величии в зависимости от числа фононов в (2.25) и сделали вывод об уменьшении спаривания — главным образом за счет эффекта блокировки, а также сб ослаблении коллективности фонона.

В наиболее простом виде эффект перехода от сверхтекучего состояния к нормальному, когда Д обращается в ноль, может быть исследован в модели одного уров.чя с ] >> 1. В этом случае амплитуды фонона неизменны и пропорциональны коэффициенту Клебша, так

что изменяющимися величинами являются параметры Боголюбова. 0"и фиксируются условиями сохранения числа частиц в среднем для каждого числа фононов N в (2.25)

2ии = [1 — (П — А/П — 2А?)2]1'2 , (2.29)

где А — полное число чат х в рассматриваемой системе одинаковых частиц, = j + 1/2. В [37] показано, что при соответствующем подборе параметров гамильтониана одинаковых частиц, включающем спаривание и квадруполыше частично-дырочные и частично-частичные силы, в одноуровневой модели может быть получен энергетический спектр, напоминающий спектр полумагического ядра. В этой модели также явно видна причина у» зныпения В(Е2) с ростом спина (или числа фононов). Действительно, в переходе с изменением числа квазичастиц матричный элемент Е2-перехода пропорционален «V. Однако в силу (2.29) эта величина обретается в ноль при 2М — А либо 0—2// . Отметим, что это условие для максимального числа бозонов совпадает с каноническими правилами МВБ, при обосновании которой в работах Арима, Якелло и Талми широко использовалась модель одного ¿-уровня.

В [37] мы исследсЕали изменение структуры фонона за счет пе-рераспределе 1Я вкладов протонов (гг) и нейтронов (и) с ростом I, когда оператор фонопа в (2.25) представлен ка суперпозиция

= + , (2.30)

где а,, оо — Еарьируемые амплитуды. В таком подходе оказывается возможным воспроизвести изменение спектра от вибрационного (когда в оболочке и еется только од*'н сорт нуклонов) к почти ро-тационно! / (когда в оболочке имеется большое число протонов и нейтронов). При этом некоторое изменение а„, а„ с ростом I при несовпадающих числах протонов и нейтронов (если А, = Аи, то а, = а„) сказывает не слишком существенное влияние на В(Е2), котопые вычисляются с учетом перестройки протонного и нейтронного квазичастичного вакуума.

В [38,39] исследовался более реалистический многоуровневый случай. Гак как мы ориентировались .а изотопы рутения и палладия, то в рассмотрение были включены уровни рЗ/2, /5/^, р1/2, д9/2, ¿5/2, д7/2, М1/2, «1/2т ¿3/2.

Сначала было рассмотрено изменение спаривательной щели при росте числа фононов в выстроенном состоянии при фиксированных амплитудах, которые были найдены для однофонгчного состояния в обычном приближении ТД и в МТД [38,39]. Вариация по Дт(Л0 (г = Р, п) среднего значения Нт—ЛГ(Л^)ЛГ {Ат — оператор числа нуклонов г, Аг(//) — химический потенциал для выстроенного состояния с N фононамн) и условие сохранения числа частиц в среднем дают два уравнения для определения ДГ(Л^) я АГ(7У) [39]. Вычисленные таким образом значения Дг(Л0 представлены на рис. 13.

Рис. 13: Зг исимость параметра июли от спина для 102Р(1 (а) и 100Рс1 (б).

Уменьшение Д с ростом числа фононов главным образом определяется возрастающей блокировкой сдночастичиых уровней. Расчеты В(Е2), результаты которых представлены на рис. 14, выполнены для усредненных значений Дг, то есть для перехода N—* N — 1. Мы использовали одно и то же Д в исходном и конечном состоянии, равное среднему между Д(УУ) и Д(7У - 1). Рис. 14 показывает, что учет изменения спаривания приводит при больших N к существенному уменьшению Б(Е2) л сравнению со случаем, когда изменение А не учитывается. Однако, максимум кривой для В(Е2) а точка, где эта кривая пересекала бы нулевой уровень, оказывается сдвинутым на ДА' ~ 2 -г- 3 по сравнению с теми значениями ТУ, которые определяются ПК(ШОн в МВБ.

Следующим зтало" было изучение изменения структуры фонона с ростом числа фононов в выстроенном состоянии. В этом случае, по-прежпему, предполагалось, что спэривательные свойства каждого сорта частиц могут быть охарактеризованы одним параметром энергетической щели Дт, Существенно усложняет задачу поиск аи-

£СГ

мта

мта

/

/

МТФ

/

мтп

,1 I ' П III

4 « п -а

а.

н в ^ ^ Г

Рис. 14: Матричные элементы оператора Е2-перехода ш« = (#|Г(Я2)|ЛГ-1), (е-фм2) в зависимости с г спина для 102Р<1 (а), 106Р<1 (б) с учетом (сллошные линии) и без учета (штриховые) изменения параметров щели.

плитуд фонона для каждого значения спина [39]. Учет этого изменения оказывает влияние на распределение квазичастиц по уровням среднего поля и на. абсолютные В[Е2). Однако максимальное значение практически не сдвигается в сравнении со случаем, когда изменение амплитуд фоно.^в не учитывается. Это изменение проявляется . в параметре лрли при достаточно больших спинах, когда на энергетический спектр и вероятности Е2-переходо.. начинают оказывать влияние высокоспинсвые двухквазичастичные состояния, взаимодействие с которыми формирует свойства этих состояний. Этот вопрос рассмотрен в нашей работе [32] на примере шЫи.

В: аады к разделу 2.

1. В рамках феноменологической модели взаимодействующих бозонов доказана унитарная эквивалентность двух представлений операторов МВБ1. Установлена связь между МВБ2 и МВБ1 при рассмотрении последней как проекции базиса МВБ2 на симметричные по протонам в нейтронам состояния.

2. Выполнен феноменологический анализ многих четно-четных переходных ядер на основе МВБ1. Ь.айдены её параметры. В рамках модели объяснены особенности энергетических спектров (опускание , О^-состояний в изотопах ве, 8е, Кт, энергии ираст-полос в изотопах • Ли, Р<1) и вероятностей переходов.

3. Развита методика для микроскопическою расчета параметров модели. Показано, что значения параметров невозможно объяснить оставаясь внутри коллективного пространства фононов. Численные расчеты параметров для изотопов селена находятся в удовлетворительном согласии с их эмпирическими значениями, даваемыми МВБ-анализом.

4. Установлено уменьшение спаривания с ростом числа фснонов в высгр(..;нных состояниях. Расчеты В(Е2) с учетом изменения спаривания и структуры фононов показывают, что параметр числа бозонов (П) в МВБ может иметь большие значения по сравнению с принимаемыми в МВБ, что согласуется с результатами феноменологического анализа в изотопах Пи и Р<1.

3 Описание взаимодействия квазичастичных и коллективных возбуждений в нечетных и четно-четных ядрах.

Изучение низколожагцих коллективных позбуждений четно- .етних ядер в рамках М.'Ш стимулировало построение на ее основе теории, описывающей взаимодействие квадрупольной моды с другими типами ядерных возбуждений, в первую очередь с. одноквазичастичными в нечетных переходных ядрах и двухкваличасткчными (или фоион-ньши) в четно-че гных. Такая теория, получившая в литературе название модели взаимодействующих бозонов и фермионов — МВБФ (ШМР), достато1;ло широко применяется к нечетным ядрам, а также позволяет утс-нить (по сравнению с МВБ) описание квазиротационных полос в "етно-четных, поскольку вхлючает ь рассмотрение днухкЕачичаст;гч;:/.гс высокосшшопые состояния. Однако этот подход использует некоторое количество свободных параметров, расчет которых предст-ипяет собой важную задачу для микроскопической теории.

В цикле наших р?бот [40] -[50] был разработай метод теоретического расчета параметров гамильтониана., описывающего коллективные возбуждения гсьадрупольноГо типа в" терминах Л- и з-бозонов, а также движение кваэи частиц или фскопов отрицательной четности соответственно в счетных и четно-че гных ядрах при учете взаимодействия этих мод ядерного возбуждения. Наш метод использует предположение, что основные компоненты волновых функций нечетных ядер и состоян"ч отрицательной чегносги ь четно-четных могут быгь редставлены соответственно как а^\с) и где В+

— операторы рождения квазичастицы и фокона, в то Бремя как (с)

— функция коллективного возбуждения квадруполыюго типа. При этом ферммонные состояния и и фононные п мы выбираем из некоторого ограниченного базиса Оставшаяся часть конфигурационного пространства учитывается приближенно, в частности н<* основе упрощенной версии метода Фешбаха, упомянутой в разделе 2.4, что приводит к эффективному гамильт лиану к другим операторам, действующим ь ограниченном базисе.

Поскольку коллективные возбуждения с достаточной точностью описываются МВБ в бозонном пространстве, мы выражаем эффек-

тпвные операторы, заданные первоначально в исходном фермнон-ном пространстве, через бозоны и коммутируклцие с ними идеальные фермиопы. Особенностью нашего подхода яв.'чется способ этого преобразования. Мы не пытаемся отдельно разложить каждый из операторов каазичастнп a*, o-v или фононов В+, Вп по идеальным фермионам и бозонам. Вместо этого, имея ввиду, что во всех наших вычислениях в обкладках \с| и присутствуют операторы, имеющие вид ВпОВ$ (О — либо гамильтониан, либо оператор перехода) и поэтому сидерж&шке четное число операторов рождения и уничтожения квазичастиц, мы разлагаем эти произведения операторов только по (¿-бозонам (добавляя я во втором представлении МВБ1). При этом функции ¡с) отображаются на функции МВБ. Такой способ перехода к бозонам дает коэффициенты разложения, например, оператора avOa\t¡, зависящие от квантовых чисел v и 3 r;i зависимость формально снимается с помощью введения идеальных фермпонов.

(3.J)

— • озффициент разложения, /¡(d+,d) — операторная функция от и d (и возможно з).

(с\а,Оа№) ic¡£r«(í>)/;(^,d)¡c) = i

= (cjov £ r'¿!(Ó)a?ri)«+|c') , (3.2)

t/,i

где aT, ос — идеальные фермионные операторы, коммутирующие с d-бсзонами (и бозонами з, если испочьзуемая версия МВБ ях включает). |с) — бозопная функция, соответствующая фермионной ¡с). Аналогичный прием применяется для описания состояний с одним фононом отрицательной четности В*\с). для чего веодятя бозонньте операторы отрицательной четности.

3.1 Эффективным гамильтониан и операторы переходов п пространстве идеальных фермиочов н бозонов для но-чотных ядер.

Для описания свойств нечетных ядер при относительно небольшой энергии побуждения ь наших работах [-1Г,, 3üj из всего квазк:?асгич-

ного пространства выделены три группы состояний. Первая группа а+|с), которая обозначается как базисная, включает одноквазича-стичные состояния валентной оболочки (а,+), которые возникают на фоне коллективных возбуждений четно-четного остова |с). Последние рассматриваются как суперпозиции .роизводений наибо-ге коллективных квадрупольных фононов и+. Две другие группы состояний (внебазисныг) описываются функциями а^|с) и с). Индекс к обозначает состояния вне валентной оболочки, которые отделены от базисных энергетическим интервалом ~ Ьы = 41Л~1'3 МэВ. В функциях аТВ+\с) индекс ) — любое из квазичасткчных состояний, а В+ — любой из фононов, не совпадающих с Вторая труппа внебазисных состояний а* В+\с) отделена от баллсиых энергетическим интервалом, не меньшим, чем удвоенная парная щель 2Д. Это выделение трех подпространств используется для построения эффективных операторов с помощью упрощенной версии метода Фешбаха. которая уже упоминалась в разделе 2.4.

В данном случае это упрощение сводится к тому, что

(с\акНа£\с') = (Ес + ек) 6ы <5^.;, (3.3)

(с|Япа;-Ъа£#+,|е') = [Ес 4- е;- + 6ц< <5ПП-;,

где Ес — энергия коллективного состояния |с); е*, ру, и\ —энергии квазичастиц (&, ■}) и фононои (п). Исгюльзуя приближение (3.3), мы можем представит.. эффективный гамильтониан, действующий в базисном пространстве, в следующем виде:

.Язфф(Е) = . +Р + С, (3.4)

Е=~Е [И, |с) (е;- +иь+Ее- Е)~1(с | [Д»я>, Я]' , (3.5)

]ПС

0 = -Е[Н,а$\с)(ек + Ес-ЕУ1(с\[акЛ}' . ' (3.6)

кс

В (3.1), (3.5), (3.6) Е — искомая энергия состояния, через ко мута-торы со штрихом в (3.5), (3.6) обозначены операторы

[Я,аТД+]' - [Н,агв;\ - (е; +а,л)а*В+ [Я,<]'= [Я,п£]-е*а*+. (3.7)

г.0

Вычитание квазичастичных и фононннх энергий сделано в (3.7) с учетом предполагаемой ортогональности базисных и нпебаэисных состояний.

Для получения собственных значений Н:¥^{Е) ^3.4) требуется построить матрицу энергии

(е]а*Яэфф(£)«£|с'>- (3.8)

Точное вычисление элементов матрицы (3.8) сопряжено с большими техническими трудностями, так кик среди |с) имеются состояния, содержащие несколько I) фононов. Чтобы воспользоваться приближен и чми, которые приводят к МВБ1, мы совершаем переход к идеальным бозонам, как это описано во введении к этому разделу (см. (3.1), (3.2)). В частности, интеграл перекрытия базисных состояний можег быть приведен к виду

N = 1- £ (а+аД^^Мах- (3.9)

7.1 1ц

Л',2,г = ЫПОЕ^зЛ. | 2 \ Ть } ,

пи- |с) — бозонное состочние МВБ1; а — операторы идеальных фермиопон. Оператор N » /3.9) позволяет перенести неортогонз.ть-ность фермионпных бадмсрсМ состояний на операторы в бозонном пространстве, что, м частности, проявляется ¡три бозонизации га-ми.чьточиапа. Первым шагом на пути к ней является представление оператора а^Иа^ через коммутаторы и антикоммутатор

акПа% = ^ ({акЛу, Я} + [ак,Н]а%+

+ ,ц[Я,а£|) . (3.10)

В первом слагаемом в (3.10) оператор заменяется ..а щЛ'^, Н имеете с частью слагаемых из оператора Р (3.5), имеющих вид

пс е.1: 4- и<п 4 Ее — Е объединяется п гамильтониан модели взаимодействующих бозонсв //ум;,- Вычисление коммутаторов в (3.10) дает слагаемое с одноква-энччегиччой энергией

[и»£е.аГ<Ч «í + <>к [S>.u¡4,4'j 1«) = \(ек + et»)(c¡a*aj|c> ,

которое также может быть преобразовано в антикоммутатор при переходе к бозонам и идеальным фермионам. Содержащееся в коммутаторах остаточное взаимодействие между квазичасгицами трансформируется во взаимодействие идеальных фермионов с бозонами. Эго преобразование схематически может быть представлено, например, для части гамильтониана Нц о+а+аа) в следующем виде

[с, Ям] о+ + а [Язз,«+] а^ааа+ ■+■ аа+а+а -»• —у а+а+аа + а+а -+ d*ds*a + d*d.

При этом преобразовании зависимость от начального и конечного фермиониых состояний (то сс.ть от к, к' в (с|а* и аjjc)) окалывается включенной в амплитуды D-фононов и матричные элементы взаимодействия. Эта зависимость вводится а параметры взаимодействия фермионов и бозонов с помощью приема, описанного выше (см. (3.1), (3.2)). Аналогична« схема преобразования используется при трактовке слагаемых F и G в (3.4). При вычислении вклада F и G в параметры фермион-б^онного взаимодействия необходимо выполнить суммирован! по промежуточным коллективным состояниям

где SE равно ы„ + e¡ для оператора F (3.5) или et для G (3.6). Суммирование выполняется при помощи приближенной процедуры, включающей замен Ее на его средн~е значение Ес и использовании приближс мото условия полноты |г)(с| — 1. Второе суммирование, содержащееся в F (3,5), является суммированием по промежуточным фононам Я». Оно выполняется аналитически при использовании тамм-данкавского приближения для Я-фононов (см. раздел 3.2).

Гтсле перехода к бозонам и идеальным фермионам во всех компонентах Язфф (3.4) он может быть представлен в виде

' = + (з.и)

где #мвБ — гамильтониан МВБ1, Ñ определен в V — оператор взаимодействия л, а-бозонов и идеальных фермионов (ft+, a).

1,2 It-О

+ £ [<.;(L;2; L)(ata2)w ■ (d*d+)^ss + Л.с.1 +

/,=0:2;4

+ [к0(1; 2)(.*|ь«2)(2) • d+я + h.c\ } . (3.12)

с'. к\, ко — параметры, которые зависят от .энергии состояния, содер-жлшейсь в энергетических знаменателях в (3.5), (3.6). h. с. в (3.12) обозначает эрмитово сопряжение.

Наш гамильтониан изпмолсйствукнцчх бозонов нфермионов (3.11) довольно близок к гамильтониану Ш1-'М. Чисто формально они различаются способом учета связч угловых моментов бозонов и фер-мионоа (в IBFM связывают ■ (day1'1). Более существенное

отличие состоит в использовании в (3.11) оператора N, отражающего нсортогональность базисных состояний, а также во включении в (3.12) членов, пропорциональных fcj, которые учитывают, что в процессах взаимодействия чисто d-бозонов может измениться на два без изменения числа идеальных фермионоп. Это слагаемое не оказывает 'существен, ли влияния на энергию состояний, однако его роль иногда значительна в вероятностях переходов. Главное, чем наш подход отличается от I13FM, состоит в том, что параметры (t', к[, ¿о) нашего взаимодействия V (3.12) но являются подгоночными и рассчитываются при задании одночастичного поля и взаимодействия между квазичастицами.

При расчете этих параметров учитывается большое число различных процессов взаимодействия. Ка рис. 15 представлены процессы первого порядка, которые рассматривались нами в [41]. Диаграммы многочисленных процессов пторого порядка по взаимодействию между квазичастинами приведены в [45].

На основе используемой версии метода Фешбаха с использованием тех же приближений, что и при выводе эффективного гамильтониана, нами получены эффективные операторы электромагнитных переходов [40]. Эти операторы. Т^эд, учитывают возможность чисто коллективных переходов Т^дд, списание которых выполняется с параметрами МВБ, найденными в соседних чегно-четных ядрах, с учетом поправок на возможную неортогонадьность базисных состояний

© 5)

9

5 г

Рис. 15: Диаграммы процессов первого порядка, вносящие вклад в параметры взаимодействия: г' (а. б), к[ (в), (г). Наряду с диграммами а, в, г учитываются также диаграммы, получаемые при зеркальном отбражешы а, в, г относительно вертикальной линии взаимодействия.

(через оператор N (3.9)). В Т^ также учитывается переход между ферыионами Тф, и, кроме того, мы вводим сл ага-мые, которые ини-сывают опповременное изменение фермиониых и коллективных состояний Трф — это слагаемое отсутствует в ШРМ, Параметры Т^ф р1 осматриваются с учетом процессов нулевого и первого порядка по взаимодеиствню [46, 47].

ТЪФ(ч) = \{тшъ + т1,Щ + Т£ф, (3.13)

4 = 1:г*<1|Г<А)|2> («,«2 - (3.14)

и,-, V,- — параметры Боголюбова, ё* — эффективный заряд ферми-ошиго перехода. Для переходов : ектрического типа он рассчитывался микроскопически с ;> 1етом поляризационных яь .ений. Для М1-переходов мы вводили в спиновые гиромагнитные отношения фактор 0.6.

ГБФ = Е ([Г?1К А,А) [(а+о^'^р +

I А,

+ Е®К Аь А2,Л) [(в>4)(Л,)(<^«^)(А,)«](А) + V-)7(э. с. 4- в. с.)

+ Е «.КЛь А2! А) [(«+«,)(А':>(^<0(А'ЧСХ)} • (3.15)

Резу; .таты расчетов энергий и вероятностей переходов в нечет-чых ядрах Эе, Кг, ИЬ и 11и опубликованы в [45] -- [50]. В этих же работах был выполнен расчет параметров бозон-фермнонного взаимодействия V (3.12) и операторов перехода (3.15) с учетом перенормировок. При этом вклад процессов второго порядка иногда оказывается довольно существенным [45, 46]. После расчета параметров гамильтониана выполнялась его диагонализация при нескольких значениях энергиии, от которой зависят параметры гамильтониана при использовании метода Фешбаха. Так как параметры V (3.12) довольно плавно зависят от энергии исследуемых состояний, достаточно вычислить собственные значения /амит хшиана не более трех - чет* трех раз. Волновые функции базисных состояний включали фермноны в валентных подоболочках и коллективные состояния (0^, 05", 2^, 2%, 34?, 4]", 5?\ 6^, б.]", 8?), что оказалось достаточным яри описании состояний со спинами < 19/2+ и 13/2".

Ниже приводятся фрагменты результатов расчетов в сравнении с экспериментальными данными. На рнс. 16 представлены энергетические спектры состояний положительной четное и для п8е и отрицательной четности для 101ИЬ. Эти рисунки показывают, чтз наш подход позволяет правильно воспроизвести плотность уровней в интервале £ 2.5 МэВ и такие особенности как О'— 1)- н (у—2)-аномалии [45,47], заключающиеся в »лучае изотопов Яе и Кг в том, что уровни с I = 7/2 и 5/2 опускаются ниже, чем уровень I = 9/2, уторый в отсутствии взаимодействия квазичастиц с фонолами должен бы быть основным.

Расчеты вероятностей Е1- и М2.-переходов показывают, что наш метод дает результат I, п основных чертах разумно согласующиеся с экспериментом. Это демонстрируют рис. 17, 18 для В{М1) и В(Е2) в 78 К г и табл. 11, 12 для тг8«. 10!Ии и |сгТ1Ь.

Е, М

Е, МэЗ

аксп т.'ор. МВЬФ

ь о 2.0 \__1- 1 -

г.о 1Г> + 171 Тбь ___1113- ____1-

13 + 1.5 1-' ---5-

-—3- — 11— 6-

1.5 1Н 0- _6- 3~

11 + 1.0 ~3- ---П- 5-

13 + -~ 13 + ---9- _

1.0 Т1'+_7_+ — 7+ 0- --9-

ГТ + 7 + 11 + и.5 -7 -

0.5 6 + __5- __3- _5-

а + (; + 9 + ---3- 5- 3-

7ч

0.0 0.0 •- - -- --1-

э*сп. теор. МВЬТ<

Рис. 16: Эмпирические и вычисленные энергетические спектры состояний положительной четности в "Бе и отрицательной четности в шШ1. На рис. л'пны удвоенные значения спинов.

«0Г

/со

50

А ,' *

и ' { ^

Я I I

I т

I I I I I I I I_1-4_1-,

\ . ^

01 I I I I I I I I_

и/1 Л5/Ь I

-Ряс. 17: Экспериментальные (то„си) и рассчитанные (соединены пунктирной линией) зпачения В(Е2; I -* / - 2) (одно-«. ед.) для состояний положительной четности в 77Кг.

В(М1)

60

40

го

\ " Л >\

■Л г!}

1-1-1-.1.1 I I 1,11 I...

Я/2

Ш 2512 I

Рис. 18: Экспериментальные (точки) и рассчитанные (соединены пунктирной линией) значения В(М\\1 I — 1) (10-3/^) для состояний положительной четности в 77Кг.

Таблица 11 Экспериментальные и вычисленные В(Е2) для ^Бе (од-коч. ед.).

ц /I В{Е2)

эксп. теор.

9/2х4 гг+37 00-10 10

» 7/2+ о с+15.5 О-"-2.0 14

11/2+ 9/2+ 551,2 21

Г» 7/2+ 19(3) 12

11/2з 9/2+ 13(5.5) 22

Я 7/2+ 8(3) о

13/2+ Я/2,1" 441^ 27

9/2+ 7/2+ > 1, <5 И

» 7/2+ > 0.8; < 4.9 2

7/2+ 13/2+ 9/2+ 0.1

И/2+ 42Г!4= 35

15/2+ 11/2+ 25(12) 30

I* Ж£2)

эксп. теор.

3/2" 1/2- 38^22 38

5/2,- 5/2Г С0(20) 10

Я 1/2- 641!? 32

9/27 5/27 381?! 31

9/2^ 5/2г" 138151 48

11/27 7/27 <40 60

13/27 9/27 <240 59

>1 9/27 21 и2 44

Довольно чувствительным тестом наших расчетов является вы-"исление вероятностей ЕЬперечодов, поскольку они определяются исключительно слагаемым Тцф в (3.15), так как ь пределах майе-роаской оболочки не существует разрешенных одночастнчных Е1-переходов (Д,/-эаарет). Их воро.ч гность могут быть вычислены при учете малых компонент й-фоионых операторов, содержащих квазичастицы в высо-овозбужденных состояниях. Кроме того, необходимо учитывать процессы первого порядка, когда в результате взаимодействия О-фогонов и квазичастиц либо квазичастица переходит в состояние, из которого возможен Е1-переход, либо возникает некоторый промежуточный фонон В, с помощью которого этот переход осуществляется. Подробно эти процессы рассмотрены нами в [48,49]. Результаты расчетов для 77Бе и ТаКг приведены в табл. 13.

Таблица 12: Экспериментальные и вычисленные В(Е2) для 103В.Ь (одной, ед.) и В(МI) для 1П!Ш1 (1(Г3 одноч. ед.).

ц В{Е2)

эксп. теор.

3/2Г 1/27 35(5) 35

5/2Г 1/2; 40(4) 34

7/27 3/27 40(7) 47

7/27 5/27 7(4) 4

5/27 1/27 1.512) 2.2

и 3/27 2.5(8) 0.2

п 5/27 5(2) 7

'/.ЛЗ... 1/27 2.3(2; 1.7

Ц п В{М1)

эксп. теор.

3/2? 5/2+ 22(1) 28

7/2+ 5/27 14(4) 27

1/27 3/27 13(3) 52

7/2? 5/27 40(8) 10

7/2+ 7/27 48(11) 30

5/2+ 43(10) 38

9/2+ 7/2? 150(39) 256

Таблица 13: Экспериментальные и вычисленные В{Е\) (одноч. ед. х10~5).

ц I] Д(£1), '"Бе

/ эксп. теор.

5/2Г 7/2+ 1.7-3(3) 2.57

7/2Г 5/2; 0.62

ГУ 9/2+ 0.791«237 0.20

7> 7/2+ 2-21£б 1.76

9/2Г 9/2+ 2-51'й 0.22

п 7/2+ 5.2±?;| 3.72

5/27 7/2+ 0.25

7/2-1 9/2+ 0.13!1о!оо 0.95

5/23" 5/2+ г ,+4.2 4.61

7/2+ = п+3.7 1.89

I! Я(£1), 7аКг

зксп. теор.

5/2+ 7/2Г » « 9/2Г 11/2Г 13/2" 15/2Г 17/2" 19/2" о/2Г 5/2+ 7/2Г 9/2+ 7/2+ 9/2+ 11/2+ 13/2+ 15/2+ 17/2+ 12^ 2.81°0;1 5.91!;50 2.1«:« 2.6^ з.1±|:| 4.0+& 1.8 5.3 3.3 3.8 1.3 1.9 2.7 1.7 4.4 4.0

3.2 Однофоьчшпшг функция Грина.

Ь.ри расчете параметров коллективного гамильтониана в параграфах 2.4 и 3.1, а также параметров, определяющих элективный оператор перехода (3.15), необходимо суммировать матричные элементы, включающие однофг-юиные состояния различных энергий и мультипольностей. Эти суммы сводятся к однофоношюй функции Грина или, иначе, к функции линейного отклика в тамм-данковском приближении, так как фонолы мы рассматриваем именно в этом при бпижешш.

«/Лт„34та = 2_-----—-»

V Шц — У

где V — номер фанонного состояния, а — энергия соответствующего фонона, индекс т раз дичает протонные и нейтронные состояния. Стандартный способ нахождения функции отклика для сил общего вида состоит в решении уравнения Бете-Соллитера, однако для факторизованных сил, когда явный вид амплитуд V известен, д(ы) может быть довольно легко получена с помощью интегрирования в комплексной обласги.

Подобный способ суммирования по возбужденным состояниям использован в: ниге Бора и Моттельсона в разделе, посвященном силовой функции. Этот же способ применен Сдлов1?вым с сотрудниками при расчетах силовых функций с учетом состояний сложной природы. Значения сум-. вида

= £|<о|;йв;По>|Чя

были выч хлеиы нами для факторизованных сил в приближении случайной фазы в (51).

Идея метода состоит в том, что квадрат нормировки фонона выражается через производную по энергии от функции Р(оУ), которая определяет энергию фочонов: Р(ш — ш,,) — 0. Это позволяет ввести в рассмотрение интегралы но замкнутому пути в комплексной области от функций, пропорциональных Р"1. сумма вычетов которых в полюсах и = дает значение ин'^ .ресующей нас суммы. Часто эти функции имеют внутри контура и другие полюсы, а интеграл по контуру либо равен нулю, либо может быть рассчитан и для этого

не требуются значения В [42, 44] этот способ был применен к вычислению д(а>) (З.Ю) и затем использовался в последуюишх наших работах для суммирования по промежуточным фочонным состояниям.

Так, например, если мы учитываем силы, матрица которых для фононов мультипольности 3 факторизуется

12г1,34гз :

: 1С ^^(Оп'/гЛфк )^ I крг — кпп ф Крл 1

то амплитуда фонона пропорциональна матричному элементу и

(ар/вы)-1'2;

фиг^Ми) = •

ОМ V 12г [И-М^И

(б! + е2)г - о>„ дГи(ш)/ди> и=иу,

1/2

е,- — энергия квазичастицы ».

(3.17)

4^) = ЕИ21(е14-е2)г-И"1

34 1 1

- Е + ^ИД^И - 2к~1

£ = (кр2„ - к,1^/2ппп ; Г,(со = и„) = О

[1 +-£4л)Н] [1+= ы^)1.

Рассматривая теперь интеграл в комплексной плоскости из по окружности (Си) радиуса /?, охватывающей все решения и>„:

= ¿51ся Лг (<?34)т> 1 + ^^

+ Кгп/кпп) {¡(в! 4- е,)г, - :] ¡(с3 + е4)г, - г] х

х (а-^)^)!-1 , (3.18)

мы видим,что он равен нулю, поскольку натынтсгральиое выражение ~ П~3 при й —* оо. Таким образом, мы получаем, вычисляя этот интеграл ко вычетам:

!/12,-„Э4т-5М - д$Ти;цГ1М +

+ Я\2т, ЗгНг, {(I ¿г,г1 + <5г„..Г!«:р„/Лпп} *

х {Г (ш) ¡(«1 + г,)„ - ш) 1(е3 + (ч)г, - = 0 - С3-19)

где g^Xui) — свободная однофонноная функция Грина:

У12п,34га = ^r.Ti (¿!3<5SI - 5и<5и)[е1 + е2 - w]-1 ,

то есть из (3.19) мы находим jд{и>). В [4'" рассмотрен также случай, когда при суммировании по ромежуточным состояниям исключаемся нижайшее фоионное состояние с данной мультипольностью, учитываемое явно, как это нами было сделано при расчете спектров состояний отрицательной четности в четно-четных ядрах, которые описаны в следующем разделе 3.3.

3.3 Состояния отрицательной чеиости в четно-четных изотопах селена и криптона.

Состояния отрицательной четности в четно-четных изотопах селена и криптона достаточно хорошо исследованы экспериментально как при изучении бета-распада соседних ядер, так и в различных реакциях. Эти состояния объединены в квазиротационные полосы, среди которых самой нижней с последовательностью спинов 3~, 5", 7~, ... является октупольная полоса. Основанием этой полосы является однофононное состояние с энергией ~ 2.5 МэВ. Энергия этого состояния дозольно плавно изменяется вдоль цепочек изотопов, и Ь(Е2,3J" —► Oj") составляют 10 -г 15 одночастичных единиц, то есть несколько "величены. Коллективные свойства состояний 3~ находятся в согласии с большими значениями log ft для разрешенных переходов к этим состояниям. Сравнение полос,тгастрое1!ных на основном и однофоишном состояния*, непосредственно демонстри руе х' эффект взаимодействия элементарных мод, проявляющийся в изменении энергетических интервалов и вероятностей внутриполос-• них Е2-переходоа. Действительно, в одном и том же ядре разность ■ Е(Ь~{) — £(3f),всегда меньше, чем энергия первого 21"-состояния, то есть происходит как;бы увеличение момента инерции в октупольной .полосе. Кроме ;тргр, значения П(Е2) для внутриполосных переходов , в октупольцойг поросе лногда превосходят В(Е2) в основной примерно в ..5-2 раза. Основанием двух ;ругих квазиротацианных полос в 7eSe, 80Кг являются слзбол.оллективизированные состояния 4", 5". Они расположены jta ~<0;5 MaiB выше, чем октуиолыюе состояние. , Об их двухкиазнчасти'.'ном характере свидетельствует значительное

изменение их энергий от ядра к ядру. В изотопах Кг происходит характерное понижение энергий состояний 4~, 5~ при заполнении нейтронной оболочки, так что и 84Кг состояние 5" npai :ическп совпадает по энергии с октуполышм состоянием. Известные значения log /1 для бета-переходов на 4~, 5~-уровни 82Se и 78>82>81Кг относительно невелики, что также указыг~е г на то, что структура этих состояний отличается от ок-гупольной, то есть мало вероятно, чтобы они являлись суперпозицией октуполыгого и квадрунолыгого фононов, хотя в литературе известен фенономенологический анализ, основанный на таком предположении.

В [40] мы сделали первый подход к интерпретации состояний отрицательной четности при учете нескольких нижайших фононов L~ (L = 3, 4, 5). Однако в этом случае возникает несколько подгоночных параметров и поэтому в последующих работах мы перешли к микроскопическому расчету параметров взаимодействия фононов отрицательной четности с квадрупольнымн фонолами, энергий фононов и параметров, необходимых для расчета вероятностей переходов.

Поскольку в рассматриваемом случае валентные квазичастицы заполняют уровни lj = pt/2, рЗ/1, /5/2, д9/2, спины возможных двухквазичастичных нли фононных состояний находятся в интервале 2" -т- 7~. В наших расчетах были явно учтены по одному фонолу с каждым спином из этого интервала, остальные учитывались через перенормировки параметров. Из состояний квадруполного типа, которые формируются квадрупольнымн О-фопгаиш! (являющимися микроскопическим образом ¿-бозона МВБ), были использованы состояния с L < 8 (Of, 2f, 3+, 4f, 4j, бf, 8f).

Лмлитуды двухквазичаг ичных состояний каждого из фононов и энергии фононов были найдены в приближении Тамм-Данкова с фак-торизовапными силами, константы которых близки к оь-икам Бора и Моттельсона, данными во втором томе их книги. Используемые значения констант опубликованы в [42, 43, 44].

Как и ч -гзали расчеты, нижайшее 3~ состояние оказывается довольно "чн'м'ым " (соответствующая амплитуда ~ 0.9), поэтому характеристикой расчетов диухквазичастичной структуры этого фоно-на может служить челичкнг Н(ЕЗ.З~ —+ 0f). Её теоретическое значение (при эффективных зарядах равных е* = е и г* = 0) оказалось

в разумном ссотьетствии с экспериментом (теоретические значения и экспериментальные в скобках для 7в8е, 78 Эе и 78Кг соответственно равны 14 (16.ii), 23 (10.8), 18 (16.7)). По-видимому, лучшее согласие можно было бы получить при использовании метода случайной фазы. Поэтому в расчетах вероятноегрч В{Е2) мы не рассчитывали эффективные заряды, а и' тользовали для е* и х (2.3) их значения, найденные из феноменологического анализа.

В работах по расчету энергий состояний отрицательной четности перенормировка параметров были вычислены в основном во втором порядке теории возмущений. Чтобы оценить ошибки, которые теория возмущении вносит в вычисления параметров, мы выполнили их расчет для нескольких состояний (3", 4", Ъ~) используя проекционный метод Феп.баха. Эти оценки дают примерно 15% для разности между ренормализацией по Фешбаху и вторым порядком теории возмущений. Такал опшбка вносит в кащл расчеты погрешность того же порядка величины, которая имеет место из-за. неточного знания одкочастичных энергий и силовых констант.

Так же, как и в случае нечетных ядер, процессы второго порядка дают вклад в параметры эффективного гамильтониана, сравнимый с вкладом первою орядка. Развитая теория допускает уточнения за счет эффег ов высших порядков, например, связанных с перенормировкой энергий промежуточных бозонов за с,-"т их взаимодействия с Б- и другими фононами. Учет этих эффектов предъявляет, однако, более серьезные требования к выбору среднею ноля и остаточного взаиодейсталя, поскольку небольшие изменения энергий фононои могут определяться как вариацией одночастичных энергий, так и взаимодействием с л угими модами. всяком случае наши расчеты деыонс1гируют, что учет по крайней мере эффектов второго порядка позволяет получить такие значения параметров взаимодействия коллективных и квазичаотачных возбуждений, которые дают теоретические спектры в разумном соответствии с экспериментом. Кроме т< о, учет эффектов высших порядков отчаст и осушегл вляется через подбор констант взаимодействия, окончательные значечня которых устанавливались при сравнении экспериментальных и вычисленных значений энергий полос с учетом члзон-феркношюго взаимодействия [44].

Эффективный гамильтониан и операторы переходе«, с помощью

м

которых мы описываем свойства полос отрицательной четности в изотопах селена и криптона, подобны тем операторам, которые мы использовали для описания нечетных ядер с ест -.твенной заменой оператора ара! на оператор Ь^Ьз, где Ь^, ЬJ — операторы идеальных боэонои отрицательной четности мультинольности J.

В целом достигнуто удовлетворительно^ согласие между теоретическими и экспериментальными значениями энергий, что демонстрируем табл. 14.

В этой таблице для удобства сравнения приравнены вычисленные и экспериментальные значения энергий уровней З-. поскольку их отличие составляет не более 50 кэВ. Из таблицы видно, что энергии низколежащих уровней воспроизводятся лучше, чем высоколежащах, где отличия в отдельных случаях достигают ~ 200 кэВ. Удается также воспроизвести сокращение интервала Е^)— по сравнению с энергией ¿-бозона, примерно равной Е(2\) [44].

В таблице 15 представлены наблюдаемые и вычисленные значения В(Е2,Ц ¿р. Из таблицы видно, что наш подход качественно правильно воспроизводит наблюдаемые I (Е2) к дает некоторое у1 личение В(Е2) в октулольных полосах по сравнению с В(Е2,2? —► 0|") в ЦБе^з и ^Кг45 при числе нейтронов равном 42, что соответствует эксперименту, хотя о степени согласия довольно трудно делать заключения из-за большой погрешности экспериментальных значений В(Е2). В [33, 44] приведены также расчеты В(М 1) и В(Е 1). Полученные значения в основном воспроизводят только порядок наблюдаемых величин. Отметим, что в вычи-лениях В{Е 1) [48] для нечетных ядер была достигнута большая точность. Это связано с тем, что наши расчеты свойств состояний отрицательной четности предшествовали расчг-ам свойств нечетных ядер. Поэтому при вычислениях П(Е]) в последних мы учли предыдущий опыт и рассмотрели большее число промежуточных состояний, ч о позволило улучшить описание вероятностей этих переходов.

"аблица И: Экспериментальные и вычисленные значения энергий (кэВ).

и 16 Se 78Se «Кг

эксп. теор. эксп. теор. эксп. теор.

3" 2430 2Í30 2508 2508 2399 2399

5" 2825 2&83 2890 2852 2749 2789

7" 3442 3484 3523 3529 3288 3404

9~ 4320 4342 4412 4460 4028 4218

4" 2860 2791 2743 2719 2763 2850

6" 3263 3238 3014 2949 32.9 3149

8" 4010 4055 4048 3876 3918 3847

5" 3046 2955

6" 3313 3586 3307 3287

7" 3697 3586 3551 3718

8" 4215 4432 4215 4326

9" 4463 4820 4698

U 8аКг 82Кг

зксп теор. эксп. теор.

3" 2438 2438 2556 2556

5~ 2859 2882 2828 2925

7" 3581 35ы 3440 3496

9" 4562 4430 4667 4422

4" 2792 2810 2648 2752

г- 3042 305S 3038 3219

8~ 4i26 3829 4180 4171

5- 3039 3094 ЗОИ 3006

6~ 3345 3374 3348 3527

7" 3530 3701 3595 4011

8 4163 4304 4323 4550

9" 4393 4376 4747 4812

Таблица 15: Экспериментальные и вычисленные значения В(Е2) (он-

ноч. en }-

Ц -* L) 7nSe 'âSe »Kr

эксн. тгор. эксп. теор. эксп. теор.

2 + 0{- 44 ± 1 39 ±7 64 ±5

5Г - ЗГ 110 dt 35 72 43 ± 15 28 143 ± 70 78

7Г 5f 7-lÍÜ 71 62j$ 32 138 ± 15 102

97 - 7f 40ÍJ7 90 10 ± 3 43 131 ± 30 104

or -■» 4Г «iîî 36 4± 1 9 <22 61

-» ßf 581]\ 75 42 175 + 60 89

ч г -* з,- "iS 7 <30 8 — 12

6,- -> БГ 9íf 0.1 < 1 — 3

8," ßf — 7 142 ± 55 9. — 10

8; -> 41 <5 <1 — 29

и 33 Кг

тесп. теор. эксп. теор.

2¡; - or 37 ±3 21 ± 1

5Г -> ЗГ 40 ±18 20 4-17 8

7Г -* 5Г 23 ±5 13 5-24 21

9Г - п — 51 9-18 13

6Г -+ 4i - 7±2 16 5 -± 1 20

8Г -6Г — 43 2-10 29

47 - ЗГ — 7 — 31

er Sf — 3 M — 1

8Г - 6Г < 34 38 1

8J - 6-7 — 23 10-36 14

Г

Выводы к разделу 3.

1. Разработан метод построения эффективных гамильтониана и операторов перехода в пространстве ограниченного числа состояний. В нечетных ядрах в качестве таких состояний выбраны суперпозиции сдщюквазнчастичных состояний вален*лых оболочек и коллективных состояний квадрупольного типа. Квазиротационные полосы состояний отрицательной четности описываются в конфигурацией ком пространстве, сос тавленном из нескольких фононов отрицательной четности с разными спинами и тех же коллективных состояний. Оставшаяся часть конфигурационного пространства учитывается посредством перенормировок параметров эффективных операторов, выполняемых на основе метода Фешбаха и с помощью теории возмущений. Предложен оригинальный подход для разложения операторов По бозонам и идеальным фермионам.

2. Найдены аналитические выражения для однофононных функ ций Грина, позволяющих рассчитывать вклад большого числа про межуточных состояний в параметры эффективных операторов. Ме тод, использующий переход от суммирования по фонокам к инте грированию ь комплексной плоскости энергий, развит для фактори зоваиного взаимодействия, когда амплитуды тамм-данковских фоно нов имеют явные аналитические выражения, что позволяет сводит суммы по фононам к суммам по двухквазичостичным состояниям.

3. Выполнен'* расчеты свойств нечетных переходных ядер: селен; криптона, родия и рутения, а также состояний отрицательной чет ности в четно-четных изотопах селена и криптона. Предложении метод для построения эффективных операторов позволил удовлетв' рителх о описать энергии состояний и вероятности днпольных (Е М1) н квадруполышх (Е2) переходов. В качестве параметров в т ком расчете выступают параметры коллективного гамильтолна! (МВВ1), определяемые по соседним чегно-четным ядрам, остальт параметры эффективных операторов рассчитываются на основе с вочастичных энергий и межнуклонных взаимодействий.

Заключение.

Основные выводы из работ, вьшолнешгых аятором к рассмотренных в настоящем докладе, представлены после каждого из грех разделов (сгр. 18, 46, 68). Поэтому в заключении остановимся на результатах, которые по мнению автора, могут составить некоторую основу для дальнейших исследований структуры атомных ядер.

Появившиеся в последние годы экспериментальные данные как по энергиям связи ядер, так и по высокоспинозым состояниям стимулируют более детальное и точное описание явления сверхтекучести в ядрах, учитывающее конечное и относительно небольшое число частиц в атомном ядре, а также зависимость эффективного взаимодействия от межнуклонного расстояния и пространственной плотности. Эти вопросы становятся в центре внимания все большего числа статей в текущей литературе, и поэтому работы автора по проектированию и по расчетам парных энергий с эффективными силами, зависящими от плотности, могут рассматриваться как исходный пункт для дальнейших работ по изучению .ядерной -верхт"<у чести.

Совреме; ше экспериментальные исследования структуры ядра, выполняемые с помощью ядерных реакций, неупруга го рассеяния частиц и гамма-квантов а также при изучении ядерных распадов, существенно дополняют имеющуюся информацию об одновременном возбуждении нескольких элементарных мод и их взаимодействии (квазнчастично-фононные мультиплеты, двух- и многофононные состояния). Интерпретация этих данных на микросэпическом уровне в терминах ограниченного числа мод, выделенных по энергии, спину, четности, обязательно должна учитывать влияние большого числа ядерных возбуждений другого типа на взаимодействие и вероятности распада этих выделенных мод. Теоретическое изучение этих процессов в рамках различных аппроксимаций было и остается одним из актуальных направлений ядерной физики. Поэтому методика, развитая в работах автора для расчета параметров модели взаимодействующих бозонов, а. также для расчета, взаимодействия квазичастиц и фононов отрицательно.I четности с квадрупольными коллективными возбуждениями, может найти дальнейшее применение в ядерной динамике низких и средних энергий для описания достаточно широкого круга явлений, связанных с одновременным возбуждением несколь-

hux элементарных мод.

I'afini i,i ci не'к.шгые h еписье литератур;.! .i i акже некоторые upv-то, не уаимяьу iut: и тексте лоьпадн, nmii<j;iii> пы блалишрл помощи и поддержке t.umx к >ллег, ш>'/ч.>11> и перну to очередь я х'пел бы пы разить ис.креюпиы fm;u .uipnocib моим соавторам: А. К. Яласниь.'ну, Р. П. Джолосу, Д. L. Дойникоьу, К. И. ирохиной, А. Д. Ефимову, Ю. А. Калашникову, В. Г. Киптилому, Н. К. Кузь-менко, И. X. ..ембергу, П. А. Люторовичу, И. А. Митропольско-му, Р. Ь'. Панину, В. О. Сергееву, Ю. П. Суслову, Т. А. Тулиной. И. 11. Чугунсву, 10. П. Шемаеву.

Дисхуссии г.о затронутым в докладе вопросам с Е. 1Г. Григорьевым, й. II. Михайловым, А. А. Пастернаком, В. Г. Соловьевым были весьма плодотворными и способствовали выполнению работы. Мне хотелось бы также поблагодарить коллег из отдела ядерной физики С.-Петербургского университета во главе с Б. С. Джелеповым и К. А. Гридиелым за создание благожелательной рабочей атмосферы.

нтература

1] Кузьменко Н. К., Михайлов В. М. Парные корреляции сверхпроводящего тина при точном сохранении числа частиц // ЭЧЛЯ. 1989. Т. 20. С. 830- 877.

2] Кузьменко П. К., М? -айлов В. М. Стационарность БКШ-функций, проектированных по числу частиц, н энергии двух квазичастичных состояний // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1973. 'Г. 37. С. 1911-1919.

3] Кузьменко Н. К., Михайлов В. М., Иестеренко В. О. Спаривание в многоквазичастичных состояниях // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986. Т. 50. С. 1914-1920.

4] Kuzmenko N. К., Mikhajlov V. М., Nesterenko V. О. Pairing in many-quasiparticle states // Preprint JINR E4-86-288. Dubna, 1986.

5] Кузьменко H. К., Михайлов В. M. Связ распределения частиц по уроячям с плотностью одпокзазичастичных состояний вблизи поверхности Ферми // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1980. Т. 44. С. 942-948.

5] Kuzmenko N. К., Mikhajlov V. М. Probability of ,78Hf(16+) (p,t) 176hf(l6+) transition in the framework of pairing correlation theory with exact particle number //IV Intern. Conf. on Selected Topics in Nuclear Structure. Dubna, Russia, July 5-9,1-94. Contributions, Dubna, 1994. JINR E4-94-168. P. 68.

Г] Kuzmenko N. K., Mikhajlov V. M. Influence of pairing on the (p,t) transition strength betv.jen high-spin К isomers of Hi isotopes // Phys. Rev. C. 1995. V. 51. P. 2826-2828.

!] Кузьменко H. К., Михайлов В. M., Суслов Ю. П. Энергии первых монопольных возбуждений в системах со спаривательными силами // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1976. Т. 40. С. 690-701.

>j Кузьменк- Н. К., Михайлов В. М. Влияние спаривательных н квадрупольных сил на энергии 0+-состочний ядер редкоземельной области Ц Изв. АН СССР. Сер. фиэ. 1979. Т. 43. С. 20822090.

7t

[10] Кузьменко Н. K.j Михайлов В. М. Зависимоть протонной парне энергии ядер изотопов Dy, Gd, Sm от числа нейтронов // Из АН СССР. Сер. фяз. 1985. Т. 49. С. 2155-2158.

[11] Кузьменко Н. К., Михайлов В. М. Парная энергия ядер, уд ленных от полосы /^-стабильности // Изв. АН СССР. Сер. фи 1987. Т. 51. С. 1966-1972.

[12] Михаилов В. М., Шемаев Ю. П. Описание изотопичеекм-инв риантных парных корреляций на основе обобщенных функщ Моттельссна // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1977. Т. 41. С. 159( 1602.

[13] Михайлов В. М., Суслов Ю. П., Кузьменко Н. К. Йзотопическг инвариантность и парные энергии // Изв. АН СССР. Сер. фи 1978. Т. 42. С. 2305-2314.

[14j Власников А. К., Михайлов В. М. Парные энергии ядер f,] оболочки // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1981. Т. 45. С. 17-22.

[15] Кузьменко Н. К., Михайлов В. М. Зависимость констант cnapi вательиого взг шоцейстния ог чисел нуклонов как проявлен» поверхностного характера взаимодействия // Изв. АН. Сер. фи 1993. Т. 57. N. 9. С. 153-158.

[16] Kuzmeiiko N К., Mikhajlov V. М. Manifestation of surface pairin in finite nuclei // Phys. Lett. B. 1994. V. 322. P. 301-303.

[17] Кузьменко П. К., Михайлов В. М. Парная энергия и плотност ццночастичнь... уровней стабильных ядер как функция нуклм ных чисел // Изв. АН. Сер. физ. 1995. Т. 59. N. 1. С. 60-71.

[18] Лемберг И. X., Михайлов В. М. Модель взаимодействующих бс зонов и описание конкретных ядер . Приложение: Дойников Д. Н Ефимов А. Д., Ерохина К. И., Лемберг И. X., Михайлов В. ¥. Результаты расчетов свойсте четно-четных изотопов Z^, Ge, S< Ki, Sr в рамках MBB1 // Свойства деформированных ядер. Лек ции X Всесоюзной школы по дер ной физике. Часть II. Ташкент Изд. "Фан", 1935. С. ^9-142.

i9] Лемберг И. X., Михайлов В.' М. Коллективные состояния ядра и модель взаимодействующих бозонов. Эксперимент и теория // Изв. АН. Сер. физ. 1982. Т. 46. С. 2170 -2181.

¡0] Джолос Р. В., Лемберг И. X., Михайлов В. М. Модель взаимодействующих бозонов. Физическое обоснование и применения // ЭЧАЯ. 1985. Т. 16. С. 50-348.

11] Ефимов А. Д., Михайлов В. М. Микроскопические и феноменологические аспекты модели взаимодействующих бозонов // Коллективная ядерная динамика. Сборник научных трудов. Отв. редактор Р. В. Джолос. Л.: Наука, 1990. С. 12(1-223.

2] Михайлов В. М., Панин Р. Б. SI/7-симметрия в модели взаимодействующих бозоиов // Изв. АН. Сер. физ. 1983. Т. 47. С. 889-900.

3] Ерохина К. П., Ефимов А. Д., Михайлов В. М. МВБ1 в базисе SU(6) Э SU( 5) D S О (5) D S 0(3). Рекомендации по использованию программ для расчета энергий и В(Е2) // Препринт ФТИ N. 103-.. Л., 1986. 40 с.

4] Ефимов А. Д., Ерохина К. И., Киптилый В. Г., Лемберг И. X., Михайлов В. M., РЖаков Б. И. Время жизни коллективных состояний 7eGe и модель взаимодействующих бозонов // Изв. AII. Сер. физ. 1984. Т. 48. С. 10-17.

5] Ерохина К. И., Ефимов А. Д., Лемберг И. X., Власников А. К., Михайлов В. М. Описание низколежащнх коллективных состояний ядер четных изотопов Кг в модели взаимодействующих бозонов // Изв. АН. Сер физ. 1981. Т. 48. С. 328-334.

3] Ерохина К. И., Ефимов А. Д., Лемберг И. X., Михайлов В. М. Изучение свойств низколежащнх состояний четных изотопов Se на основе МВБ // Препринт ФТИ N. 913. Л., 1986. 27 е.; ЯФ. 1985. Т. 41. С. 596-606.

?] Ерохина К. И., Ефимов А. Д., Михайлов В. М. Развитие модели взаимодействующих бозонов за счет включения дополнительной кЕэдругтпльнон моды возбуждения // Изв. АН. Сер. физ. 1S86. Т. 50. С. 78-96.

[28] Власником А. К., Михайлов В. М. Описание свойств низкол жащих коллективных состояний I04Ru квадрупольнею типа рамках модели взаимодействующих бозонов (МВБ1) // Изв. А! Сер. физ. 1987. Т. 51. С. 1977-1989.

[29] Власников А, К., Михайлов В. М. Описание свойств коллекти ных состояний квадруполыюго тина изотопов Ru и Pd в рамк< МВБ // И^. АН. Сер. физ. 1989. Т. 53. С. 58-63.

[30] Власников А. К., Михайлов В. М. Е0- и Ml-переходы в MBJ с учетом поляризационных явлений // Изв. АН. Сер. физ. 198 Т. 53. С. 2167-2170.

[31] Михайлов В. М., Сергеев В. О., Тулина Т. А. Анализ нриЁ ценных вероятностей Е2-переходов и квадрупольных момент возбужденных состояний четно-четных изотопов Pt на осно МВБ // Идя. АН. Сер. физ. 1986. Т. 50. С. 87-94.

[32] Efimov A. P., Mikhajlov V. М. Interaction between collective ai two-quasiparticle states in IBM // Perspectives for the Interacts Boson Model (on the occasion of its - 20th anniversary). Woi Scientific. 199Í P. 714.

[33] Дойников Д. H., Ерохина К. И., Ефимов А. Д., Михайлов В. 1 Расчет вероятностей El-переходов б чеъио-четных изотопах и Кг И Нре"ринт ФТИ N. 1063. Л., 1986. 20 с.

[34] Ефимов А. Д., Михайлов В. М. Микроскопическая струкгу состояний двухфононного триплета в ядрах изотопов селена Изв. АН. Сер физ. 1992. Т. 56. С. 57-62.

[35] Власников А. К., Михайлов В. М. Расчет нормировок многоф ионных состояний в коллективном фермионном пространстве Изв. АН. Сер. физ. 1991. Т. 55. С. 38-43.

[3"] Власников А. К., Михаилов В. М. Матричные элементы квадр лольных операторов а выстроенном многофононном простра стве // Изв. АН. Сер. физ. 1991. Т. 55. С. 2209-2213.

[37] Власников А. К., КГ .хайлов В. М. Фазовый п 1еход от свер текучего состояния к нормальному в многофононных ядерш возбуждениях // Изв. АН. Сер. физ. 1992. Т. 56. С. 48-57.

[38] Mikhajlov V. M., Vlascikov А. К. Pairing attenuation L the aligned multiphonon bands // International Conference on Nuclear Structure and Nuclear Rear.tiocs at Low and intermediate Energies. Sept. 15-19, 1992. DubDa. Proceedings. Dubna. 1993. E3-93-58. P. 165174.

[39] Власников А. К., Михайлов В. M. Влияние выстраивания ква-друнольных фононов на спаривание и структуру фононов // Изв. АН. Сер. физ. 1993. Т. 57. N. 9. С. 159-165.

[40] Дойников Д. Н., Лемберг И. X., Михайлов В. М., Чугуиов И. П. Состояния с отрицательной четностью 7e,reGe и 7в,гзКг в рамках МВБ // Изв. АН. ^ер. физ. 1985. Т. 49. С. 2159- 2167.

[41] Дойников Д. Н., Михайлов В. М. Операторы переходов и гамильтониан системы взаимодгйствуго'лих квазичастиц и квадруноль-ных бозонов // Изв. АН. Сер. физ. 1985. Т. 49. С. 2269-2277.

[42] Дойников Д. Н., Ерохина К. И., Ефимов А. Д.. Михайлов В. М. Бозонное иплсап .' состояний отрицательной четности в изотопах селена и криптона // Препринт ФТИ N. 136°. Л., 1989. 59 с.

[43] Дойников Д. П., Ерохина. К. И., Ефимов А. Д., Михайлов В. М. Структура квазиротационных полос отрицательной четности в изотопах . ; и Кг // Изв. АН. Сер. физ. 1989. Т. 53. С. 15 22.

[44] Pojinikov D. N.. Erokhina К. I., Efiniov A. D., Mikhajlov V. М. Interaction of negative-parity phonens with low-frequeacy quadrupole mode // Nucl. Phys. 1991. V. A531. P. 326-352.

[45] Дойников Д. H., Михайлов В. М. Эффективный гамильтониан взаимодействия квадрулольных бозоноз с квазичас типами // Изв. АН. Сер. физ. 1993. Т. 57. С. 80-89.

[itij Дойников Д. Н., Михайлов В. М. Эиектромагиитные переходы в ферчион-бозонной системе // Изв. АН. Сер. физ. 993. 'Г. 57. N. 9. С. 172 -180.

[47] Hojnikov D. N., Mikhajlov V. М. J - 2 anomaly in nuclear spectra wit.lt N — 41 // Intern. Conf. on Nuclear Structure and Nuclear Reactions. Contributions. Dubna. 1992. P. 17.

[48] Dojnikov D. N., Mikhajlov V. M. tfl-transitions in 1BFM // Phys. Lett. 1994. V. B334. P. 259-262.

[49] Dojnikov D. N., Mikhajlov V. M. Effective Ei-operator in IBFM // Perspectives for the Interacting Boson Model (on the occasion of its 20th anniversary). World Scientific. 1995. P. 465-468.

[50] Dojnikov D. N., Mikhajlov V. M. Quasiparticle-phonon microscopy of IBFM // Современные проблемы ядерной физики (к 70-летию В. Г. Соловьева). Дубна. 1995. Д4-95-308. С. 70-78.

[51] Михайлов В. М., Панин Р. Б. О расчете оцнофононной силовой функции и её моментов // Изв. АН. Сер. физ. 1980. Т. 44. С. 1924-1937.