Теоретико-информационный подход в исследовании динамического беспорядка в сложных системах

Емельянова, Наталья Александровна

Теоретико-информационный подход в исследовании динамического беспорядка в сложных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Емельянова, Наталья Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Теоретико-информационный подход в исследовании динамического беспорядка в сложных системах»

Автореферат диссертации на тему "Теоретико-информационный подход в исследовании динамического беспорядка в сложных системах"

На правах рукописи

Емельянова Наталья

ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКОГО БЕСПОРЯДКА В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный педагогический университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юльметьев Ренат Музипович

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

доцент Хуснутдинов Наиль Рустамович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Овчинников Игорь Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Зарипов Ринат Герфанович

Ведущая организация: Государственный центр Российской

Федерации - Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова (г. Москва)

Защита состоится Л ^ел&В^лР 2004 года в М на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета. Автореферат разослан , 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор V/), Еремин М.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В последние годы в развитии статистической физики наблюдается бурный рост прикладных исследований в междисциплинарных областях. Особый интерес представляют исследования статистических свойств реальных сложных систем- С одной стороны это объясняется интенсивными приложениями методов статистической физики в химии, биологии, физиологии, медицине, психологии и других естественно-научных исследованиях. С другой стороны, неуклонно растут потребности в таких исследованиях различных областей современного естествознания, технологии и производства.

тичности таких систем , в основном они опираются на методы и подходы статистической физики равновесных и неравновесных систем, нелинейной динамики, теории непрерывных и дискретных отображений, теории классического и квантового хаоса и др. Разными авторами в разное время для исследования сложных систем были ис-

1 Пригожий И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации/ И. Пригожин, П. Гленсдорф/ Пер. с англ. - 2-е изд., - М.: ФАЗИС, 2003. - 280 с; Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе/ П. Эткинс/ Пер. с англ., - М.: ФАЗИС, 1987. - 224 с; Badii R. Complexity/ R. Badii, A. Politi. -Cambridge University Press, 1999. - 332 p.; Ott E. Chaos in Dynamical Systems/ E. Ott - Cambridge University Press, 1993. - 397 p. и др.

PQC. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

пользованы различные обобщения энтропии2. Широкое применение методов теоретической физики затрудняется тем, что в приложении к реальным сложным системам недостаточно эффективно развиты информационные методы динамического анализа негамильтоновых систем различной природы.

Цель работы состоит в развитии нового теоретико-информационного динамического подхода к информационной энтропии Шеннона с учетом временных корреляций на различных релаксационных уровнях динамической сложной системы. В работе была поставлена задача проведения динамического обобщения информационной энтропии Цаллиса на случай стохастических каналов рождения и уничтожения корреляций (памяти) и изучения роли параметра неэкстенсивности q в описании стохастической эволюции сложной системы. Практическая цель работы состояла в приложении разработанного подхода к описанию модельных физических систем и построении практических методов анализа свойств динамического беспорядка в реальной сложной системе.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В работе развит новый теоретико-информационный динамический подход к информационной энтропии Шеннона. Получено выражение для статистического спектра динамической информационной энтропии Шеннона, в котором учитываются временные корреляции на различных релаксационных уровнях динамической сложной системы. Использование динамической энтропии Шеннона поз-

2Прангишвили И.В. Энтропийные и другие системные закономерности/ И.В. Прангишвили. - М.: Наука, 2003. - 428 с; Beck С. Thermodynamics of Chaotic Systems/ С. Beck, F. Schlogl. - Cambridge University Press, 1995. - 306 p.; Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics/ C. Tsallis // J. Stat. Phys. - 1988. Vol. 52, - КЧ/2. P. 479-487 и др.

воляет получить более подробное описание стохастической эволюции сложной системы на основе непосредственно измеряемых экспериментальных данных.

2. Проведено динамическое обобщение информационного подхода Цаллиса на случай двух каналов стохастической эволюции: рождения и уничтожения корреляций (памяти). Показано, что параметр неэкстенсивности Цаллиса q играет роль нелинейной линзы, выделяющей либо мелкомасштабные, либо крупномасштабные корреляции флуктуации, а также выявляющей характерные флуктуации из за-шумленного сигнала.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения статистических и частотных спектров параметров немарковости для каналов рождения и уничтожения временных корреляций на основе предложенного теоретического подхода к информационной динамической энтропии Цаллиса и Шеннона.

4. На основе разработанного теоретико-информационного подхода предложен новый информационный способ описания модельных физических систем: движение броуновского осциллятора как с наличием шума, так и без него, флуктуации плотности в гидродинамическом пределе и в идеальном газе.

5. На основе теоретического анализа, количественных расчетов и вычислений предложен новый метод анализа и диагностики свойств динамического беспорядка в реальной сложной системе. Метод позволяет находить тонкие детали во временном и частотном поведении динамической информационной энтропии, ее отдельных каналов и статистическом параметре немарковости.

Научная ценность и практическая значимость состоит в разработке нового теоретического подхода к информационным эн-

тропиям Шеннона и Цаллиса. Развитые в работе теоретические методы позволяют вычислять статистический спектр динамических информационных энтропии Шеннона и Цаллиса, их частотные спектры мощности, статистический и частотный спектры параметра немарковости для двух каналов стохастической эволюции сложной системы непосредственно из экспериментальных временных серий. Полученные результаты позволяют получить более подробное описание стохастической эволюции сложной системы, исследовать свойства статистической памяти, динамического беспорядка, мелко- и крупномасштабные корреляции флуктуации в модельных физических и реальных сложных системах.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан новый теоретико-информационный динамический подход к информационной энтропии Шеннона, позволяющий на основе учета временных корреляций получать подробное описание стохастической эволюции сложной системы на различных релаксационных уровнях.

2. Проведено обобщение информационного подхода Цаллиса на динамический случай двух каналов стохастической эволюции и определена роль параметра неэкстенсивности q в исследованиях динамического поведения сложных систем.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения статистических и частотных параметров и характеристик динамического порядка и беспорядка в сложных статистических системах, основанные на представлении о параметре немарковости и временах релаксации, связанных с динамическими информационными энтропиями.

4. Предложен новый информационный способ описания свойств простых модельных физических и реальных сложных систем.

Апробация работы. Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и школах:

1. Международная конференция UPoN 2002: Third International Conference on Unsolved Problems of Noise and Fluctuations in Physics, Biology, and High Technology, (США, г. Вашингтон, Бетезда, 2002),

2. Международная школа Nonlinear Dynamics and Complex Systems, (Белоруссия, г. Минск, БГУ, 2002),

3. Всероссийская конференция Необратимые процессы в природе и технике, (г. Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001, 2003),

4. Всероссийский семинар Флуктуации и шумы в сложных системах, (г. Казань, КГПУ, 2003, 2004),

5. Всероссийская конференция с международным участием Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века, (г. Петрозаводск, ПетрГУ, 2003),

6. Всероссийская конференция Инженеринг в медицине. Медленные процессы гемодинамики: Пульсация и флуктуация сердечно-сосудистой системы, (Челябинская область, г. Миасс, 2000),

а также на научных семинарах кафедр теоретической физики КГПУ и КГУ.

Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ (№ 02-02-16146, 03-02-96250), РГНФ (№ 03-06-00218а), Министерства образования РФ (№ Е 02-3.1-538), НИОКР АН РТ (№ 06-6.6-221).

Публикации. Список публикаций автора по теме диссертации включает 15 опубликованных и 1 принятую к публикации статей и тезисов в международных (США, Голландия) и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов (см. список литературы).

Личный вклад автора. Автору принадлежат теоретические вычисления динамических информационных энтропии Шеннона и Цаллиса, апробация такого подхода на модельных физических системах и приложение ее к исследованию свойств сложных систем на примере сердечно-сосудистой системы человека (разработка компьютерных программ и вычислительных алгоритмов численного исследования реальных сложных систем; получение графиков и численных параметров на основе предложенной теории для конкретных сложных систем в кардиологии, психологии, нейрофизиологии; обсуждение полученных результатов). Автору принадлежит оригинальная идея исследования сенсомоторной координации человека, сбор данных, проведение их исследования с помощью теории, разработанной соавторами.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений, заключения и списка литературы. Работа изложена на 161 странице, включая рисунки, таблицы и список литературы из 153 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении аргументируется актуальность исследуемой проблемы, обосновывается научная и практическая значимость работы, формулируются цель исследования и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору понятия энтропии в термодинамике, статистической физике и сложных системах. Приводится обзор основных моментов кинетической теории немарковских дискретных процессов в сложных системах. Представлен вывод цепочки кинетических конечно-разностных уравнений для временной корреляционной функции и функций памяти для стационарных процессов в

сложных стохастических дискретных немарковских системах. Также приводится концепция обобщенного параметра немарковости.

Во второй главе представлен теоретико-информационный подход к исследованию сложных систем. Обосновывается подход к вероятности состояния как к квадрату модуля временной корреляционной функции Mn(t). Определены два вероятностных канала: рождения и уничтожения корреляций (или памяти) для любого п-го уровня релаксации

Общая вероятность для этих статистических каналов удовлетворяет условию нормировки:

Вероятность Р£ соответствует каналу рождения корреляций (или памяти для более высших уровней релаксации), Р£ - каналу уничтожения корреляций (или памяти).

Вводится динамическая информационная энтропия Шеннона для двух статистических каналов корреляций

5тя(1) = - £ (3)

Общее выражение для информационной энтропии Шеннона для любого уровня релаксации п складывается из двух энтропии, связанных с каналами рождения и уничтожения корреляций

где

Б^Ю = -¡МпМ|21п|Мпи)|2,

= -(1-|Мпт|2)1п(1-|Мп(1)|2),

ип = 0,1,2,3....

Времена релаксации для конкретных численных приложений записываются в следующем виде:

(6)

(7)

(8)

где Л! - шаг дискретизации, п - номер уровня (п=0, 1, 2, 3,...), г -номер измерения (1=1, 2, ..., К).

С учетом такого представления времен релаксации можно записать несколько различных выражений для спектра параметра немарковости: для учета корреляций на соседних уровнях релаксации

тп

(9)

ТтИ-1

для учета корреляций в отдельных каналах стохастической эволю ции:

и т.д.

Далее проводится динамическое обобщение информационного подхода Цаллиса на случай двух каналов стохастической эволюции

(12)

Таким образом, двухканальная обобщенная динамическая информационная энтропия Цаллиса для любого п-го уровня релаксации

|МЛ(1)|2ч + (1-|Мп(1)|2)ч-1

где

Бс =

1-4

5а —

1-4

(1-!Мп(1)|2)"-1+|Мп(1)|2 1-ц

(13)

(14)

При q —> 1 обобщенная информационная энтропия Цаллиса (13) и энтропии ее отдельных каналов (14) переходят в информационную энтропию Шеннона (4) и два ее стохастических канала (5) соответственно. Подробно рассматриваются свойства показателя неэкстенсивности q и общие аналитические свойства введенных энтропии. Из анализа выражений (4) и (13) хорошо видно, что малые значения q "работают" как увеличительная линза в области малых значений |М.тг(1)|2, и наоборот, большие значения q "работают" как уменьшающая линза в области малых значений

С учетом обобщенной информационной энтропии Цаллиса времена релаксации записываются следующим образом:

Соответствующее обобщение статистического спектра параметра немарковости:

Для более детального исследования марковских и немарковских свойств сложных систем на всем спектре исследуемых частот предлагается частотное обобщение статистических спектров параметра немарковости

где есть частотные спектры мощности обобщен-

ной динамической энтропии Цаллиса для предыдущего и последующего релаксационного уровней (см. 5ЧП в (13) для п— 1 и п).

В четвертой главе представленный теоретико-информационный подход применяется к анализу динамики модельных физических систем.

В качестве примеров простых моделей исследованы: движение броуновского осциллятора как с наличием шума, так и без него, флуктуация плотности в гидродинамическом пределе и в идеальном газе. Для всех моделей были рассмотрены различные значения параметра q. Из представленных рисунков хорошо видно, что все энтропии имеют такую же структуру нулей и экстремумов, как и квадрат ВКФ, а величина экстремумов существенно зависит от q. Малые

значения q "работают" как нелинейная увеличивающая линза. Чем меньше амплитуда энтропии, тем больше они увеличиваются. Большие значения q действуют как уменьшающая линза. В частотных спектрах энтропии с уменьшением q пики становятся более острыми и более высокими. При наличии шума можно выявить пики в тех местах, где они уже затерялись в шуме.

Для модели броуновского осциллятора приводится вычисление параметра немарковости в аналитическом виде. Показано, что при слабом затухании параметр немарковости г<> = 1, т.е. процесс является немарковским. Действительно, при малом затухании броуновская частица достаточно долго "помнит" начальное состояние. В противоположном случае сильного затухания параметр немарковости 1, т.е. процесс является марковским. Вычисление параметра немарковости для такой системы на основе предложенного подхода показало, что параметр немарковости слабо зависит от параметра неэкстенсивности q.

Для идеального газа, используя определение времени релаксации, связанное с энтропией, был вычислен спектр параметра немарковости. Различные параметры немарковости (за исключением близки к единице, т.е., с этой точки зрения процесс релаксации флуктуации плотности в идеальном газе остается немарковским процессом при любых значениях параметра q.

В приложении А приводится пример исследования сложной системы на основе предложенного теоретико-информационного подхода. В качестве сложной системы рассматривается хаотическая динамика RR-интервалов электрокардиограмм (ЭКГ) для двух объектов. Приводятся временные и частотные зависимости функций памяти, динамических информационных энтропии Шеннона и Цаллиса.

Вычисляются статистический и частотный спектры различных параметров немарковости. Показано, что параметр немарковости, вычисленный с учетом динамической энтропии Цаллиса, выступает в роли показателя динамического порядка в сложной системе.

Четкие отличия в значениях изученных параметров для различных объектов говорят об их высокой чувствительности.

В приложении В приводится пример приложения кинетической теории дискретных немарковских стохастических процессов к исследованию динамических свойств сложных систем.

Основные результаты работы

2. Проведено динамическое обобщение информационного подхода Цаллиса на случай двух каналов стохастической эволюции: рождения и уничтожения корреляций (памяти). Показано, что параметр неэкстенсивности Цаллиса д играет роль нелинейной линзы, выделяющей либо мелкомасштабные, либо крупномасштабные корреляции флуктуации, а также выявляющей характерные флуктуации из за-шумленного сигнала.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения статистических и частотных спектров параметров немарковости для ка-

налов рождения и уничтожения временных корреляций на основе предложенного теоретического подхода к информационной динамической энтропии Цаллиса и Шеннона.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Emelyanova N.A. Intensity approximation of random fluctuation in complex systems / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, F.M. Gafarov, D.G. Yulmetyeva // Physica A. - 2002. - Vol.303, - P. 427-438.

2. Emelyanova N.A. Long-range memory and non-Markov statistical effects in human sensorimotor coordination / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, P. Hanggi, F.M. Gafarov, A.O. Prokhorov // Physica A. - 2002. - Vol.316, - P. 671-687.

3. Emelyanova N.A. Stratification of the phase clouds and statistical effects of the non-Markovity in chaotic time series of human gait for

healthy people and Parkinson patients / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, S.A. Derain, F.M. Gafarov, P. Hanggi // Physica A. -2003. - Vol.319, - P. 432-446.

4. Emelyanova N.A. Fluctuations and Noise in Stochastic Spread of Respiratory Infection Epidemics in Social Networks / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, S.A. Demin, F.M. Gafarov, P. Hanggi, D.G. Yulmetyeva // Unsolved Problems of Noise and Fluctuations. AIP conference proceedings. - 2003. - Vol.665, - P. 408-417.

5. Emelyanova N.A. Non- Markov stochastic dynamics of real epidemic process of respiratory infections / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, S.A. Demin, F.M. Gafarov, P. Hanggi, D.G. Yulmetyeva // Physica A. - 2004. - Vol.331, - P. 300-318.

6. Emelyanova N.A. Dynamical Shannon Entropy and Informational Tsallis Entropy in Complex Systems / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, and F.M. Gafarov // Physica A. - 2004. - Vol.341, -P. 649-676.

7. Emelyanova N.A. Randomness, Robustness and Statistical Effects of non-Markovity in Stochastic Processes of Academic Student Activity / N.A. Emelyanova, R.M. Yulmetyev, S.A. Demin, V.G. Minkina, F.M. Gafarov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2004. - Vol.7:2, - P. 177-185.

8. Emelyanova N.A. Dynamic Tsallis Entropy for Simple Model Systems / N.A. Emelyanova, N.R. Khusnutdinov, R.M. Yulmetyev // Acta Physica Polonica A. - 2004 [в печати].

9. Емельянова Н.А. Разработка и применение информационного метода диагностики динамических состояний человека с помо-

щью информационной шенноновской энтропии / Н.А. Емельянова, P.M. Юльметьев, Ф.М. Гафаров, Д.Г. Юльметьева // Ин-женеринг в медицине. Колебательные процессы гемодинамики. Пульсация и флуктуация сердечно-сосудистой системы: Сб. науч. тр. - Миасс (Челябинская область), 2000. - С.175-179.

10. Емельянова Н.А. Динамическая диагностика кардиологических заболеваний с помощью дискретных немарковских процессов и статистических эффектов памяти / Н.А. Емельянова, P.M. Юльметьев, Ф.М. Гафаров, И.А. Латфуллин, Г.П. Ишмур-зин // Сборник тезисов конференции Необратимые процессы в природе и технике. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2001.

- С.178-179.

11. Емельянова Н.А. Немарковские процессы в сложных системах живой природы: динамическая диагностика психологических состояний человека / Н.А. Емельянова, P.M. Юльметьев, А.О. Прохоров, Ф.М. Гафаров // Сборник тезисов конференции Необратимые процессы в природе и технике. - МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2001. - С.180-181.

12. Емельянова Н.А. Стратификация фазовых облаков и статистические эффекты немарковости в хаотических временных сериях походки человека / Н.А. Емельянова, С.А. Демин, P.M. Юльметьев, Ф.М. Гафаров, Д.Г. Юльметьева // Сборник тезисов конференции Необратимые процессы в природе и технике.

- МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2003. - С. 182-184.

13. Емельянова Н.А. Немарковская стохастическая динамика реального эпидемического процесса респираторных заболеваний

человека / Н.А. Емельянова, С.А. Демин, Р М. Юльметьев, Ф М. Гафаров, Д Г. Юльметьева // Сборник тезисов конференции Необратимые процессы в природе и технике. - МГТУ им Н.Э. Баумана, Москва, 2003. - С.184-185.

14. Емельянова Н.А. Флуктуации и шумы в стохастическом распространении эпидемий респираторных заболеваний в социальных сетях / Н.А. Емельянова, С.А. Демин, P.M. Юльметьев // Труды конференции Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века - Петр ГУ, Петрозаводск, 2003. -Сб.

15. Емельянова Н.А. Хаос и робастность во временных сериях походки человека для здоровых людей и пациентов с болезнью Паркинсона / Н.А. Емельянова, P.M. Юльметьев, С.А. Демин, Ф.М. Гафаров // Труды конференции Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века. - ПетрГУ, Петрозаводск, 2003. - С. 14-15.

16. Емельянова Н.А. Долговременная память и немарковские статистические эффекты в сенсомоторной координации человека / Н.А. Емельянова, P.M. Юльметьев // Труды конференции Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века. - ПетрГУ, Петрозаводск, 2003. - С.42-43.

№21813

РНБ Русский фонд

2005-4

20749

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Емельянова, Наталья Александровна

Общая характеристика работы.

Введение

1 Кинетическая теория дискретных стохастических немарковских процессов в сложных системах

§1.1 Энтропия.

§1.1.1 Понятие энтропии в термодинамике.

§1.1.2 Понятие энтропии в статистической физике.

§1.1.3 Энтропия в сложных системах.

§1.2 Теория стационарных дискретных немарковских стохастических процессов.

§1.2.1 Временная корреляционная функция

§1.2.2 Вывод кинетического уравнения для временных корреляционных функций.

§1.2.3 Динамические ортогональные переменные. Кинетические уравнения с памятью для временных корреляционных функций.

§1.3 Параметр немарковости.<1С

2 Теоретико-информационный подход к исследованию сложных систем

§2.1 Функции памяти временных корреляций

§2.2 Динамическая информационная энтропия Шеннона.

§2.2.1 Времена релаксации.

§2.2.2 Спектр параметра немарковости.

§2.3 Обобщенная динамическая информационная энтропия Цаллиса для двух стохастических каналов эволюции.

§2.3.1 Время релаксации.

§2.3.2 Статистический спектр параметра немарковости.

§2.3.3 Частотный спектр параметра немарковости.

Применение теоретико-информационного метода к анализу динамики модельных систем

§3.1 Исследование простых физических модельных систем.

§3.2 Движение броуновского осциллятора

§3.3 Движение броуновского осциллятора с шумом.

§3.4 Релаксация флуктуации плотности в гидродинамическом пределе. Формула Ландау-Плачека.

§3.5 Идеальный газ.

Введение диссертация по физике, на тему "Теоретико-информационный подход в исследовании динамического беспорядка в сложных системах"

Актуальность темы. В последние годы в развитии статистической физики наблюдается бурный рост прикладных исследований в междисциплинарных областях. Особый интерес представляют исследования статистических свойств реальных сложных систем. С одной стороны это объясняется интенсивными приложениями методов статистической физики в химии, биологии, физиологии, медицине, психологии и других естественно-научных исследованиях. С другой стороны, неуклонно растут потребности в таких исследованиях различных областей современного естествознания, технологии и производства.

В связи с этим неоднократно предпринимаются попытки преодоления трудностей, связанных с исследованиями сложных систем. Общепринятые методы теоретической физики оказываются неэффективными для систем, в которых отсутствует гамильтониан и определяющую роль играют свойства дискретности, нестационарности и стохастичности. Существуют различные подходы учета хаотичности таких систем [37, 50, 54, 55, 56, 57, 62, 91, 113,115, 116,128], в основном они опираются на методы и подходы статистической физики ран новесных и неравновесных систем, нелинейной динамики, теории непрерывных и дискретных отображений, теории классического и квантового хаоса и др. Разными авторами в разное время для исследования сложных систем были использованы различные обобщения энтропий [33, 51, 52, 53, 60, 90, 127, 133, 137, 144]. Широкое применение методов теоретической физики затрудняется тем, что в приложении к реальным сложным системам недостаточно эффективно развиты информационные методы динамического анализа нега-мильтоновых систем различной природы.

Цель работы состоит в развитии нового теоретико-информационно1 о динамического подхода к информационной энтропии Шеннона с учетом временных корреляций на различных релаксационных уровнях динамической сложной системы. В работе была поставлена задача проведения динамического обобщения информационной энтропии Цаллиса на случай стохастических каналов рождения и уничтожения корреляций (памяти) и изучения роли параметра неэкстенсивности q в описании стохастической эволюции сложной системы. Практическая цель работы состояла в приложении разработанного подхода к описанию модельных физических систем и построении практических методов анализа и выявления свойств динамического беспорядка в реальной сложной системе.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В работе развит новый теоретико-информационный динамический подход к информационной энтропии Шеннона. Получено выражение для статистического спектра динамической информационной энтропии Шеннона, в котором учитываются временные корреляции на различных ре лаксационных уровнях динамической сложной системы. Использование динамической энтропии Шеннона позволяет получить более подробное описание стохастической эволюции сложной системы на основе непосредственно измеряемых экспериментальных данных.

2. Проведено динамическое обобщение информационного подхода Цаллиса на случай двух каналов стохастической эволюции: рождения и уничтожения корреляций (памяти). Показано, что параметр неэкстенсивности Цаллиса q играет роль нелинейной линзы, выделяющей либо мелкомасштабные, либо крупномасштабные корреляции флуктуаций, а также выявляющей характерные флуктуации из зашумленного сигнала.

3. Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения статистических и частотных спектров параметров немарковости для каналов рождения и уничтожения временных корреляций на основе предложенного теорем и-ческого подхода к информационной динамической энтропии Цаллиса и

Шеннона.

Научная ценность и практическая значимость состоит в разработке нового теоретического подхода к информационным энтропиям Шеннона и Цаллиса. Развитые в работе теоретические методы позволяют вычислять статистический спектр динамических информационных энтропий Шеннона и Цаллиса, их частотные спектры мощности, статистический и частотный спектры параметра немарковости для двух каналов стохастической эволюции сложной системы непосредственно из экспериментальных временных серий. Полученные результаты позволяют получить более подробное описание стохастической эволюции сложной системы, исследовать свойства статистической памяти, динамического беспорядка, мелко- и крупномасштабные корреляции флуктуаций в модельных физических и реальных сложных системах. Содержание работы.

Работа состоит из трех частей и двух приложений. В первой главе приведен обзор основных понятий энтропии, а также представлены основные положения кинетической теории дискретных немарковских стохастических процессов в сложных системах. Во второй главе изложен собственно сам теоретико-информационный подход к исследованию сложных систем. В четвертой главе приведены приложения теории к описанию некоторых простых модельных физических систем (исследование движения броуновского осциллятора как с наличием шума, так и без него; исследование динамики флуктуации плотности в гидродинамическом пределе и в идеальном газе). В приложениях представлены результаты применения предлагаемого теоретико-информационного подхода к описанию свойств реальных сложных систем (на примере динамики сердечного ритма), а также приведены примеры исследования сложных систем иного типа (сенсомоторная и локомоторная координации человека) с помощью кинетической теории дискретных немарковских стохастических процессов.

На защиту выносятся следующие положения:

- Разработан новый теоретико-информационный динамический подход к информационной энтропии Шеннона, позволяющий на основе учета временных корреляций получать подробное описание стохастической эволюции сложной системы на различных релаксационных уровнях.

- Проведено обобщение информационного подхода Цаллиса на динамический случай двух каналов стохастической эволюции и определена роль параметра неэкстенсивности с\ в исследованиях динамического поведения сложных систем.

- Разработаны вычислительные алгоритмы нахождения статистических и частотных параметров и характеристик динамического порядка и беспорядка в сложных статистических системах, основанные на представлении о параметре немарковости и временах релаксации, связанных с динамическими информационными энтропиями.

- Предложен новый информационный способ описания свойств простых модельных физических и реальных сложных систем.

2. Международная школа Nonlinear Dynamics and Complex Systems, (Белоруссия, г. Минск, Б ГУ, 2002),

3. Всероссийская конференция Необратимые процессы в природе и технике, (г. Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001, 2003),

4. Всероссийский семинар Флуктуации и шумы в сложных системах, (г. Казань, КГПУ, 2003, КГТУ(КАИ), 2004),

6. Всероссийская конференция Инженерии г в медицине Медленные процессы гемодинамики- Пульсация и флуктуация сердечно-сосудистой системы, (Челябинская область, г. Миасс, 2000), а также на научных семинарах кафедр теоретической физики КГГ1У и КГУ.

Полученные результаты были включены в отчеты по грантам РФФИ („V0 02-02-16146, 03-02-96250), РГНФ (№ 03-06-00218а), Министерства образования РФ (№ Е 02-3.1-538), НИОКР АН РТ (ДО 06-6.6-221).

По теме диссертации опубликовано 16 статей и тезисов в международных и российских журналах, сборниках статей и тезисов докладов (см. список литературы).

Введение

Понятие "энтропия" ассоциативно связано в нашем сознании с беспорядком, который следует понимать только в том смысле, что микроскопическое состояние системы многих частиц задаётся набором случайных величин, исчисляемых на основе вероятностных законов. В силу фундаментальности энтропии и возможности её экспериментального изучения, исследование вопроса о связи энтропии с конкретными явлениями разупорядочивания представляется весьма важным.

Объектом обсуждения в данной работе являются сложные системы. Достаточно хорошо известно, что системы реального мира (физические, химические, биологические и физиологические) и искусственные конструкции (ма тематические, компьютерные) характеризуются различной степенью сложности [5, 15, 19, 20, 21, 31, 32, 57]. Поразительное разнообразие, богатство форм и структур окружающей нас природы связано с каскадом неустойчивостей и разномасштабных флуктуаций, играющих важную роль [34, 35, 36, 40, 41, 12, 43, 48, 49, 104, 105, 106, ИЗ]. Сложные явления в нелинейных динамических системах зачастую обнаруживают поразительное сходство, и поэтому методы физических наук могут напрямую применяться для решения различных нетрадиционных для физики проблем [60, 95, 109, 110, 111, 135, 138]. Изучение сложных процессов в физических, физико-химических и биологических системах порождает ситуацию, в которой большое число собственно физических понятий, таких как неравновесность, устойчивость и неустойчивость, бифуркация, дальний порядок и нарушение симметрии и др. успешно применяются к объяснению явлений в биологии и медицине, социальных процессах [54, 55, 58, 59, 64, 77, 114, 136]. Обсуждение таких весьма разнообразных сложных систем активно ведется на страницах различных научных изданий. Однако до сих пор нет достаточно ясного определения сложности.

Под сложностью в широком смысле можно понимать, что: система содержит большое число взаимодействующих степеней свободы (высоко-размерная система); некоторые переменные имеют обратную связь с другими переменными; достаточно слабый внешний сигнал может разрушить первоначальную "траекторию" эволюцию системы, вызывая в ней непредсказуемое, хаотическое поведение; последовательные события происходят независимо друг от друга, то есть, являются марковскими; система характеризуется большой изменчивостью своих параметров (или достаточно широким распределением); плавная эволюция системы может прерываться периодами нестационарности (стохастического "дрейфа").

Однако попытки непосредственного вычисления энтропии для таких систем сталкиваются с некоторыми затруднениями. Для сложных систем, зачастую характеризуемых лишь набором экспериментальных временных данных, довольно проблематично построить функцию распределения или найти распределение вероятностей, которые необходимы для вычисления энтропий. В работе предложено в качестве вероятностей состояния использовать функ ции памяти (квадрат модуля функции), которые с помощью кинетической теории дискретных немарковских стохастических процессов можно вычислить непосредственно из экспериментальных данных. Таким образом, предлагается метод вычисления динамических информационных энтропий, основанный на учете временных корреляций на различных уровнях релаксации сложной системы.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Выводы

В результате проведенных исследований можно сделать ряд выводов.

С помощью вычисления статистического и частотного спектров параметра немарковости для обобщенной динамической энтропии Цаллиса можно получить дополнительную информацию о динамическом поведении сложных систем.

Наши исследования показывают, что при использовании различных значений параметра с\ можно дифференцированно проводить исследования как марковских, так и немарковских свойств системы в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с наличием тех или иных свойств в системе можно говорить о динамическом беспорядке или порядке. Таким образом, параметр немарковости, вычисленный с учетом динамической энтропии Цаллиса, выступает в роли показателя динамического порядка в сложной системе (при равенстве параметра немарковости единице система обладает немарковскими свойствами, т.е присутствуют эффекты долговременной памяти, такое состояние мы связываем с динамическим порядком; при увеличении значения параметра немарковости до 100 единиц и выше система обладает марковскими свойствами, т.е. статистическая память в системе мгновенная или отсутствует, в таком случае мы говорим о динамическом, беспорядке).

Анализ вкладов отдельных стохастических каналов рождения и уничтожения корреляций (памяти) показывает, что для сложной системы такого типа вклады оказываются равнозначными, т.к. частотные спектры параметров немарковости для отдельных каналов имеют схожее поведение с обобщенны-^ ми частотными спектрами параметров немарковости. Четкие отличия в значениях изученных параметров для объекта 1 (здоровый человек) и объекта 2 (пациент, перенесший инфаркт миокарда), говорят об их высокой чувствительности.

• - 122 -Приложение В.

Применение кинетической теории дискретных стохастических немарковских процессов к исследованию реальных сложных систем

§В.1.1 Исследование эффектов долговременной памяти в сснсо-моторной координации человека

•

В этом параграфе представлены результаты исследований немарковских статистических эффектов и долговременной памяти в сенсомоторной координации человека, выполненных с помощью теории, изложенной в §1.2 [8, 13, 67]. Работа головного мозга и, в частности, закономерности межполушарно-го взаимодействия, являются одним из ярчайших примеров сложных систем, исследованию которых в настоящее время уделяется большое внимание [61, 63, 64, 65, 77, 98, 99, 112, 124, 125, 126, 136]. Психологические и физиоло-* гические исследования строятся в основном на основе электроэнцефалограмм

ЭЭГ) [124, 125, 126]. Измеряемым параметром таких исследований является потенциал группы нейронов или отдельного нейрона головного мозга. Анализируется кратковременное изменение параметров, порядка Ю-3 — КГ^сек. В динамике ЭЭГ наблюдается самоорганизованная критичность, что следует из характерного фрактального вида спектров мощности P(f) - f-£X [112].

Традиционно в психологии используются статичные тесты, и, как правило, измеряемый параметр не зависит от времени. При этом динамика параметра не рассматривается. Одно из центральных положений нейропсихологи-ческой теории мозговой организации высших психических функций состоит в том, что мозг работает как парный орган при реализации любой психической функции. Закономерности межполушарного взаимодействия и меж-полушарной ассиметрии, как частного случая взаимодействия, относятся к важнейшим, фундаментальным закономерностям работы мозга как парного органа. Показатели межполушарной ассиметрии обнаруживают корреляцию с особенностями протекания различных психических процессов. В психологической литературе используется понятие "полушарность", понимаемое большинством авторов как "рукость", т.е. предпочтение правой, левой руки или их равенство [30]. Известна связь "полушарности" ("рукости") с эмоционально-личностной сферой и познавательными процессами, установлена связь "рукости" с чертами темперамента. По степени доминирования полушарий головного мозга, в психологии приводится следующая классификация [30]: "чистые" правши, праворукие, амбидекстры, леворукие, "чистые" левши. Разделение по приведенным выше типам обычно проводится на основе результатов статичных тестов, опросников и самооценки испытуемых. В своих исследованиях мы используем результаты динамического теппинг-теста.

В исследовании принимали участие 32 испытуемых - студенты физического факультета педагогического университета в возрасте от 19 до 22 лег. С ними был проведен теппинг-тест правой рукой 400 раз подряд по 5 секунд. Полученные данные были обработаны с помощью представленной в §1.1.2 методики. Для каждого ряда данных был вычислен набор трех функций памяти. Частотные спектры мощности для каждой из этих функций получены с помощью быстрого преобразования Фурье. Для более детальной диагностики свойств системы мы рассматриваем также частотный спектр трех первых точек статистического спектра параметра немарковости.

По аналогии с нейропсихологической классификацией [30] и по полученным спектрам функций памяти и первых точек параметра немарковости все испытуемые были разделены на 5 типичных групп. Среди них: типичный "правша" (I тип), праворукий (II тип), амбидекстр (смешанный III тип), ле-ворукий (IV тип), типичный "левша" (V тип).

На Рис.В.1 приведена временная развертка исходной динамической переменной X(t) в динамическом теппинг-тесте для всех пяти характерных групп. На графиках В.1а-е видны как слабые, так и сильные флуктуации измеря

400

100 200 ЭОО 400 t[i]

Рис. В.]: Временная развертка измеряемого параметра для пяти типов испытуемых, I тип ("чистый" правша): (а), II тип (праворукий): (b), III тип (смешаньгй тип или амбидекстр): (с), IV тип (леворукии): (d), V тип ("чистый" левша): (е). емого параметра. Наибольшие флуктуации наблюдаются на Рис.ВЛе ("чистый" левша) и B.ld (леворукий). Наименьшие флуктуации наблюдаются для исходного сигнала, соответствующего "чистому" правше (см. Рис.В.1а) и амбидекстр.у или смешанному типу (см. Рис.В.1с).

На Рис.В.2 приведена временная зависимость ВКФ и трех функций памяти для двух крайних случаев: 1 тип (Рис.В.2а-с1) и V тип (Рис.В.2е-Ь). Из этих рисунков видно, что для I типа характерна высокочастотная модуляция. С другой стороны, для V типа заметны интенсивные и резкие корреляции в динамике параметра теппинг-теста. На Рис.В.З-В.5 приведены спектры мощности для исходной ВКФ и трех первых функций памяти для 1-го, I IJ-го и V-ro типов. Для 1-го типа на Рис.В.З для всех четырех спектров (a.b.c.d) видно фрактальное поведение, которое характеризуется резким ростом интенсив ности на низких частотах. Такое поведение характерно для наиболее устойчи

50 100 150 200 т

50 100 150 200 »Л

50 100 150 200

50 100 150 200 * [т]

0 5

-05

50 100 150 200 ф]

-05

50 100 150 200

-05

50 100 150 200 ЧЧ

-05

50 100 150 200

Мт]

Рис. В.2: Временная зависимость исходной корреляционной функции Мо("ь). (а, е), функции памяти первого порядка Мт (1). (Ь, £), функции памяти второго порядка Мг^) (с, g) и функции памяти третьего порядка Мз(1) (с1, Ь) для I типа (а-ё) и для V типа (е-Ь) вого типа сенсомоторной координации. При этом на высоких частотах заметные пики появляются только в старших функциях памяти (см. Рис.В.Зс,(1). Это говорит о слаженной, синхронизированной и согласованной работе моторной и нервной подсистем человека. Подобное поведение постепенно меняется при переходе от типа I к типу III, а затем и к типу V (см. Рис.В.4 и В.5). Для Ш-го типа пики всюду возрастают, а для У-го типа во всех спектрах возникают заметные пики, намного превышающие по интенсивности низкочастотные пики. Более того, нулевые пики в случае V уменьшаются почти в б раз. Это говорит о том, что в системах III и V возникает и заметно усиливается рассогласование между моторной и нервной подсистемами. Между ними возникает конфликт, который можно описать количественно.

Особый интерес представляют частотные спектры трех первых точек параметра немарковости, представленные на Рис.В.ба-ь Для всех типов во всех йрп/т] а р п/т]

0 2 03

О ¡2 я / т]

0 2 ОЭ

О Р п / т]

Рис. В 3. Частотные спектры мощности для исходной корреляционной функции ро(^) (а) и функций памяти первого Ц] (ш)" (Ь), второго Ц2(^)■ (с) и третьего Цз(си) (с1) порядков для I типа испытуемых значениях ег(ш)Д = 1,2,3 легко обнаруживаются эффекты дальнодейству-ющей памяти во всей области частот. Особенно поразительным является присутствие жесткой памяти уже на первом релаксационном уровне (см. Рис.В.6а,На Рис.В.7а-е представлен частотный спектр коэффициента! конфликтности с(ш) для всех пяти типов испытуемых. Он вычислялся следующим образом. Для всех пяти типов испытуемых был вычислен средний частотный спектр мощности исходной ВКФ

Ти г

В.1) г М

Здесь р-д'^(си) есть спектр мощности }-го испытуемого в 1-ой группе, а гц есть число таких испытуемых. Средний спектр для I группы представлен на Рис.В.7Г. Коэффициент конфликтности для значений т. = 1,2,3,4,5 вычис-'

0 2 03 ю[2п /т]

02 03 Р п/ij

0 2 03 [2 л / т]

02 03 р TI /т]

Рис. В 4: Частотные спектры мощности для исходной корреляционной функции (d) и функций памяти первого pi (ш): (Ь), второго Ц-2 (си) (с) и третьего щ(ш) (d) порядков для III типа испытуемых лялся для типичного представителя каждой группы следующим образом: c(i)(cu)

Ц^(си) tfW

В.2)

Следующие факты обращают на себя внимание. Для типичного представителя I группы коэффициент конфликтности (сс - от "conflict coefficient") всюду близок к единице (см. Рис.В.7а). По мере нарастания конфликта между моторной и нервной подсистемами заметно возрастает амплитуда флуктуации с(ш). Особенно велик размах флуктуаций в группах IV и V. Именно здесь возникает сильное рассогласование в сенсомоторной деятельности.

Кроме того можно сделать следующие выводы общего характера. Из рисунков видны сильные различия между разными типами испытуемых для различных спектров. Стабильно функционирующая система находится в состоянии самоорганизованной критичности, тогда спектры нулевой функции

0 2 03

С. р те / т]

0 2 03

D Р те / il

12 10

Е 6

IM а 4

2 О с> I'™" ' ------------Т----------------. . .г.»

J и ш У Ш1

О 1

0 2 03

05 [2 те / т]

12 10

Е 0

Ш. 6 п а 4

2 О

0 2 0 3 й р те /1]

Рис В 5 Частотные спектры мощности для исходной корреляционной функции (lot^) - (а) и функций памяти первого Ц1 (ш) (Ь), второго fx^(си) (с) и третьего Цз(ш) (d) порядков для V типа испытуемых • памяти для такой системы имеют фрактальный вид 1/сиа [136]. Например, вид частотного спектра мощности ВКФ для I типа (см. Рис.В.За) говорит о фрактальном поведении системы. В нашем случае это соответствует доминированию левого полушария головного мозга (I тип). Для III типа испытуемых характерный вид частотного спектра ВКФ представлен на Рис. В.4а, он близок к фрактальному поведению. Для испытуемых, отнесенных к V типу, частотный спектр мощности ВКФ имеет вид цветного шума на всех частотах (см. Рис.В.5а). Частотные спектры мощности для первой, второй и третьей функций памяти для каждого типа испытуемых почти повторяют друг друга с небольшими характерными отличиями. Спектры для испытуемых I типа имеют почти сходный вид цветного шума на средних и высоких частотах (см. Рис.В.ЗЬ,с,с1). На основе этого мы можем судить о стабильности такого

1 4

J2 £ 1

OS а)

Ммл

О Ol 02 03 04 05 щри/т]

01 02 03 04 OS »[2 п /1]

01 02 03 04 05 »[2it/i]

01 02 03 04 OS ff>P n/t]

01 02 03 04 OS <0 [2 it / T]

02 0 3 0 4 [2 Tt / i]

0 1 0 2 03 0 4 to P it/i]

Рис В 6. Частотный спектр первых трех точек параметра немарковости Ei (ш) : (а, d, g), £г(ш) (b, e,h), £3(tu) : (с, f, i) для трех типов испытуемых I тип (a-c), III тип (d-f), V тип (g-i) состояния, и говорить о четком доминировании левого полушария. Частотный спектр для функций памяти младших порядков, имеющий вид почти белого шума с резким выбросом мощности в области высоких частот (см! Рис.В.4Ь,с,с1) говорит о нестабильном состоянии системы, мы относим таких испытуемых к смешанному, III типу.

Сложная структура пиков видна также и в спектрах параметра немарковости £i(tu), ¿liw), £2(^0), (см. Рис.В.ба-i). Из рисунков видно, что почти все значения параметра немарковости £i(tu), £г(ш) и £з(си) лежат в малом интервале значений (0.6 — 1.6). Это убедительно говорит о том, что в динамике сенсомоторной координации человека отчетливо проявляются эффекты долговременной памяти.

В таблице В.1 приведены статические ((п), о-2,5) и кинетические (Ai, Л2, Л3;

10 е е 4

2 О

9 6 и 4

2 О

Рис. В.7: Частотная зависимость коэффициента конфликтности с(ш) для типичных представителей пяти типов испытуемых, (а)-для I типа, (Ь)- для II типа, (с)- для III типа, (с!)-для IV типа и (е)-для V типа, (^-средний спектр мощности исходной корреляционной функции (цо(си)) для всей группы испытуемых I типа

А]Аз; £1(0), £2(0), £з(0)) параметры для типичных представителей пяти нейрофизиологических групп (см. Рис.В.1 - В.7). Среднее значение параметра теппинг-теста (п) растет монотонно от первого к пятому типу, а относительная дисперсия 6 наоборот убывает. Все значения релаксационного параметра Аг являются отрицательными. Следует напомнить, что по своему физическому смыслу, параметр А* близок к показателю Ляпунова [67]. Поведение Аг ^ свидетельствует об устойчивости системы с точки зрения нелинейной динамики (|Лд,| - 1). Численные значения другого релаксационного параметра А^ оказываются малыми и знакопеременными. Значения параметра немарковости £1(0), г = 1,2,3 лежат в пределах 0.966ч-1.401, что говорит о жестком доминировании долговременной памяти в динамике параметра теппинг-теста.

Наши вычисления позволили на основе представлений о долговременной памяти в живой системе обнаружить пять динамических типов нейрофизио

Заключение

Приведем основные результаты работы.

2. Проведено динамическое обобщение информационного подхода Цаллиса на случай двух каналов стохастической эволюции: рождения и уничтожения корреляций (памяти). Показано, что параметр неэкстенсивности Цаллиса q играет роль нелинейной линзы, выделяющей либо мелкомасштабные, либо крупномасштабные корреляции флуктуаций, а также выявляющей характерные флуктуации из зашумленного сигнала.

На основе теоретического анализа, количественных расчетов и вычислений предложен новый метод анализа и диагностики свойств динамического беспорядка в реальной сложной системе. Метод позволяет находить тонкие детали во временном и частотном поведении динамической информационной энтропии, ее отдельных каналов и статистическом параметре немарковости.

Благодарности

Выражаю огромную благодарность своему научному руководителю - Заслуженному деятелю науки Российской Федерации и Республики Татарстан, действительному члену Академии Естествознания РФ, доктору физико-математических наук, Соросовскому профессору Ренату Музиповичу Юлъметъеву за отличную научную школу, за неоценимую помощь в постановке задачи, организацию теоретических и практических исследований, действенную помощь при обсуждении результатов и ценные советы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Емельянова, Наталья Александровна, Казань

1. Больцман J1. Молекулярно-кинетическая теория газов, термодинамика, статистическая механика: Избранные труды / JI. Больцман. М.: Наука, 1984. - 592с.

2. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б. Варгафтик. М.: Наука, 1972. - 720с.

3. Винер Н. Кибернетика / Н. Винер. М.: Сов. радио, 1968. - 344с.

4. Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика: Избранные труды / Дж.В. Гиббс. М.: Наука, 1982. - 584с.

5. Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / П. Гленсдорф, И. Пригожин. М.: Мир, 1973. - 280с.

6. Емельянова H.A. Динамическая диагностика кардиологических заболеваний с помощью дискретных нелшрковских прог^ессов и статистических эффектов памяти / H.A. Емельянова, P.M. Юльметьев, Ф.М.

7. Гафаров, И.А. Латфуллин, Г.П. Ишмурзин // Сборник тезисов конференции Необратимые процессы в природе и технике. МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2001. С. 178-179

8. Емельянова H.A. Хаос и робастность во временных сериях походки человека для здоровых людей и пациентов с болезнью Паркинсона / H.A.

9. Емельянова, P.M. Юльметьев, С.А. Демин, Ф.М. Гафаров // Труды конференции Новые биокибернетические и телемедицинские технологии 21 века. ПетрГУ, Петрозаводск, 2003. С.14-15

10. Зарипов Р.Г. Информация различия и переходы беспорядок-порядок / Р.Г. Зарипов. Казань: Из-во Казан.гос.техн.ун-та, 1999. - 155с.

11. Зарипов Р.Г. Самоорганизация и необратимость в неэкстеисивных системах / Р.Г. Зарипов. Казань: Из-во ФЭН, 2002. - 251с.

12. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая механика / Д.Н. Зубарев. М.: Наука, 1971. - 416с.

13. Климонтович IO.JI. Статистическая физика / Ю.Л. Климонтович. -М.: Наука, 1982. 610с.

14. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Новый подход к статистической теории открытых систем / Ю.Л. Климонтович. М.: Наука, 1990. - 320с.

15. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т.1. / Ю.Л. Климонтович. М.: ТОО Янус, 1995. - 624с.

16. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т.2. / Ю.Л. Климонтович. М.: Янус-К, 1999. - 440с.

17. Климонтович Ю.Л. Энтропия и информация открытых систем / Ю.Л. Климонтович // УФН. 1999. - Т.169. - С.443-452

18. Колмогоров А.Н. Теория передачи информации / А.Н. Колмогоров // Сессия АН СССР по научным проблемам автоматизации производства: Сб. науч. тр.- М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 66-99

19. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия 'количество информации' / А.Н. Колмогоров // Проблемы передачи информации. -1965. Т.1. - С.3-11

20. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / А.Н. Колмогоров. М.: Наука, 1986. - 536с.

21. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В.А. Котельников. М.: Госэнергоиздат, 1956. - 114с.

22. Кульбак С. Теория информации и статистика / С. Кульбак. М.: Наука, 1967. - 408с.

23. Майер Дж. Статистическая механика / Дж. Майер, Гепперт-Майер, М.: Изд-во Иностранной литературы, 1952. - 477с.

24. Марков A.A. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга / A.A. Марков // Изв. физ.-мат. общества Казанского университета. 1906. - Т.15(4). - С.135-156

25. Нейропсихология индивидуальных различий / Е.Д. Хомская, И.В. Ефимова, Е.В. Будыка, Е.В. Ениколопова.- М.: Российское педагогическое агенство, 1997.- 282с.32