Теоретико-модельные свойства классов колец и модулей, определенных кручением или радикалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

КОМАРНИЦЬКИЙ Микола Ярославович

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КЛАСІВ КІЛЕЦЬ ТА МОДУЛІВ, ВИЗНАЧЕНИХ СКРУТОМ АБО РАДИКАЛОМ

01.01.00 - алгебра та теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

КИЇВ -1990

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті * ім. Ів.Франка '

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор Кириченко В.В.,

доктор фізико-математичних наук, професор Міхальов О.В.,

академік АН Молдови

доктор фізико-математичних наук,

професор Рябухін Ю.М.

Провідна організація - Ужгородський державний університет.

Захист відбудеться <5.^ІШнЯ 1996 року о годині

на засіданні спеціалізованої ради Д 01.01.01 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 252127 Київ -127, проспект Академіка Глупшова б, механіко-математичний факультет. .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці університету /вул.Володимирська, 62/.

Автореферат розісланий 1996 року.

Вчений секретар спеціалізованої ради

а

Овсіенко С.А.

Актуальність теми. Пояпа можливості ннкористаиші логічних мои першого порядку і, взагалі, логічних мстодін и алгебрі відкоситься До початку 20-го століття. Перші важливі результати в пііі галузі, ідо знаходиться па межі математичної логіки і алгебри, були одержані російським алгебраїстом А Д.Мальцевим. Поведений ним факт існування иапіягрун, и їй не вкладаються в жодну групу, показав силу і ефектшзпість застосувати методі» математичної логіки [1].

Паралельно, методи математичної логіки розвивались у США. Започаткував їх Альфред Тарськіїй, який між іншим, деякий час працював у Львові; він е одним з представників Львівсько-Варшавської філософської школи, Серед його ранніх результатів відмітимо такі: клас алгебраїчпо-замкнених полів аксіоматизовпий, але пе скінчено-аксіоматизовний; будь-які два дійсгсо-замкпені поля елементарно-екцівалептиі, тобто теорія таких поліп е повното.

Поступово логічні методи застосовувались все частіше, а область їх використання.швидко розширювалась. Так виник самостійний розділ математики - теорія моделей, яка в даний час налічує в своєму активі більше десятка монографій. В Росії розпиток теорії моделей в значній степені зобов’язаний працям А.І.Мальдена, Ю.Л.Єртова, А.Д.Тайманова, І,А.Лаврова, Е.А.ІІалютіїїа, Л.Л.Максімової та їх учнів. Досягнепші російської школи теорії моделей в раппій період дуже добре відображені в оглядовій статті [2], де підведено підсумок розвитку алгоритмічного напрямку в теорії моделей до 1963 року. Треба підмітити, що ця стаття дала поний поштовх для активізації пошукових робіт, оскільки в ній поставлено ряд проблем

перспективного характеру.

За кордонами колишнього Радянського Союзу на цей час виникло ряд молодих наукових шкіл теорії моделей, серед яких найбільш яскравого була школа Лбрахама Робі пеона в СІПА» яка стала засновником перлини теорії моделей - нестандартного аналізу. Сильна школа теорії моделей виникла в Польщі на батькіїцині Л.Тарського. Ту т працювали такі яскраві математики як А.Мостонський, Р.Сікореький, С.Риль-Нардзевський, Є.Лось, Г.Расьопа, В.Шмельона, та інші. Па Україні, на жаль, теорія моделей розпивалась слабо.

В наш час теорстико-модельні методи притягують увагу багатьох математиків, зокрема алгебраїстів, які працюють в галузі теорії кілець ти модулі» і )> галузі теорії абелешіх груп. Це зумовлено І пм, що в теорії моделей виник цілий ряд понять, які є нриродніми узагальненнями класичних .алгебраїчних понять з теорії полів, теорії груп, теорії граток, топології і т.д. і які дозволяють проводити паралель з названими теоріями в до-слідженвях інших віток алгебри. Серед таких понять відмітимо лише одне - поняття модельного пополнения теорії, яке має своїм прототипом зв’язок теорії полів з теорією алгебраїчно-замкнеїшх полів.

З іншого боку, в теорії кілець та модулів виникла важлива вітка - теорія радикалів і скруті». Ия теорія бере свій початок з роботи ГІ.Габрієля [3], і швидко розливається. За короткий час надзвичайно багато пагіряцьовано, одна за одною виходять монографії [4], [5], [б], [7] і інші. І ці два напрямки по могли не персі путися.

Першою роботою, до вивчались абелеві групи з логічлої точки зору, була фундаментальна в даному напрямку стаття ПІмельової [8]. Інтенсивне вшічеиня різних класів модулів,

що відіграли важливу роль в розвитку гомологічної алгебри ' методами теорії моделей починається з роботи П.Еклофа та Г.Саббаха [9], яка вже стала класичною. В цій роботі розв'язане питання про аксіоматизоішість класу ін’ективних мо-дулін, значення яких для гомологічної алгебри важко переоцінити. Виявилось, що аксіоматизоішість класу іп’ективних модулів рівносильна нетеровості основного кільця. Там також встановлено, що теорія модулів володіє модельним поповненням тоді і тільки тоді, коли основне кільце когерентне. Ці результати показують, що більшість важливих класів модулів над довільним кільцем, як правило, не можуть задаватися аксіоматично, а тому важливо знати при яких обмеженнях на кільце ці класи модулів стають аксіоматизовпими. Справді, якщо клас модулів аксіоматизошшй, то до нього можпа застосувати весь арсепал здобутків теорії моделей. Із загальпих міркувань звичайно яспо, що ці умови повинні бути умовами скінчешіості, але абсолютно не яспо, якими саме. В дапий час теоретико-модельні методи теорії модулів починають проникати навіть у теорію зображень алгебр [10].

Для різноманітних класів кілець питання про аксіоматизов-пість пе стояло так гостро, як для класів модулів. Але ряд результатів в цьому напрямку варто підмітити.

Перш, ніж назвати деякі з цих результатів, нам потрібно пояснити ще один логічний термін - "шізиачальність” (сІсГтаЬІГіїу). Визначальні класи описуються формулами мови Ьи)\и>, в якій побудова формул ведеться так само як у випадку мови перша-го ступеня Ешш, з тією відмінністю, що допускаються зліченій кон’юнкції і диз'юнкції, а навішування кванторів фінітарне. Коли використовується ця логічпа мова, то кажуть, що клас алгебраїчних структур е визначальпим, якщо він співпадає з кла-

соы моделей однієї формули мови Luhj. Якщо па потужність множини формул, диз’юнкція чи кон'юнкція яких записується у матриці формули, не накладається жодних обмежень, то кажуть про ЬооШ - визначальність. Очевидно, що аксіоматизовні класи е LooW - визначальними. Еклоф і Саббах в [11] встановили Lu)iu> - визпачальність таких класів кілець: клас факторіальних-кілець; клас областей головних ідеалів; клас дедекшдоїшх областей; клас класичио-папівиростих кілець; клас артінових кілець; клас когерентних кілець; клас хганіпдосконалих кілець. Більше того, воші показали, що класи иашвенадкопих кілець, ГГрюфєрових кілець і кілець нормування аксіоматизовні. Проте класи кілець головних лівих ідеалів і потерових кілець по е Lcoio - визначальними, а, отже, і не є аксіоматизовшши.

В далії дисертації неявно розглядається питання про ак-сіоматизовність класу V-кілець. В загальній постановці ця задача зараз ще не може бути до кінця розв’язана, оскільки ще не розвинуті потрібні методи дослідження цього класу кілець. Разом з тим про цей клас кілець е багато відомостей, які, правда, виглядають фрагментарпо. Нагадаємо, що V-кільцем називається асоціативне кільце з одиницею, над якими всі прості ліві і всі прості праві модулі е ін’ективними. Як довів

І.Капланський комутативне кільце е V-кільцем тоді і тільки тоді, коли воно регулярне в сенсі Неймана, Тому, клас комутативних V-кілець е навіть скіпченно-аксіоматизовним. Приклад V-області головних ідеалів, побудований Л.А.Койфманом [12] і Дж.Коззєпсом [13] показав, щр некомутативний випадок абсолютно не схожий на комутативний. В зв’язку з цим прикладом виникло ;<яд питань про властивості V-кілець, а вірніше, про існування V-кілець з левниии властивостями, R 1975 році вийшла монографія К.Фейса і Дж.Коззенса "Прості негерові

кільця” [11], і) якій викладені псі факти про V-кільця, відомі па момент виходу книги. Разом з тим, там поміщено список відкритих питань. Більшість з цих питань на даний час розв’язані. Донгий час залишалась відкритою проблема (N9): чи буде злічеіша ультрастелііп. V-області Койфмана-Коззенса підносно злічеішо-пеповного ультрафільтру над мпожинога натуральних чисел знову V-областю. Тепер вона розв’язана позитивно і становить осповний результат глави III даної дисертації. Важкість проблеми полягала ось в чому. Як відомо, Міхлер і Вільямайор [ІЛ] довели, що умова бути лівим V-кільцем еквівалентна тому, що кожний лівий ідеал кільця є перетином максимальних лівих ідеалів, «а це еквівалентно тому, що радикал ІІжекобсона кожного лівого модуля е нульовим. Тому, проблема гальмувалась відсутністю інформації про ідеали в ультрадобутках кілець. Деякі пезпачні факти про найпростіші з ідеалів в ультрадобутках можна знайти в статтях різних авторів. Найбільш повний опис ідеалів в ультрадобутках кілець алгебраїчних чисел отримав Г.Черлін [16]. Для некомутатшшого випадку авторові не відома жодна робота, де б описувались ліві чи праві ідеали в ультрадобутках (ультрастепепях) пскомутативних кілець. Зауваживши певну аналогію ультрадобутків кілець з кільцями функцій, за модель підходу до описання гратки ідеалів ультрадобутків кілець автор взяв теорію ідеалів кілець мероморфних фупкцій, побудовану Алінгом [17]. Побудоване в дисертації описатш лівих ідеалів і максимальних лівих ідеалів дозволило довести, то кожний лівий ідеал в ультрастепепі кільця Койфмапа-Коззенса відносно злічеяно-непЬвного ультрафільтру над множиною натуральних чисел е перетином деякої сім’ї максимальних лінію ідеалів. .

Як і у всякій галузі математики, в теорії моделей модулів виникає питання про найпростіші форми аксіом, якими задаються ті чи інші класи кілець чи модулів. Спрощення формул в мові теорії модулів вперше зацікавило Проста [18], де він пояснив проблему у найпростішому випадку, коли кільце є комутативною областю головних ідеалів.

Справа в тому, що можливість діагоналізації матриць иад ТІШ ЧИ іншим кільцем приводить до суттєвого спрощення формул.

Задача про діагоналізацію матриць є класичною. Зауважимо, що діагопалізація здійснюється домноженшш даної матриці па оборотні матриці зліва і справа, а самі матриці можуть бути прямокутніми. Розв’язанням цієї задачі займались відомі алгебраїсти минулого і сучасності. Серед них підмітимо С.Аміцура, І».пан дер Вар дена, Д.Веддербарна, ІІ.Лжекобсона, П.С.Кашмірського, І.Канланського, ГІ.Копа, Г'.Смітта, О.Тейх-мюллера, О.Хелмера.

В дисертації зроблена спроба зосередитись па формі Смітта матриць і підібрати таку, яка б для ш<омоіа ширшого класу некомутативних кілець Везу давала б можливість отримати критерій тину критерію Каплаисмсого [ 1 і)]. '

Відмітимо, що результати автора включені в огляд [20]. Ряд результатів також відмічені в монографіях [6], [7], [18]. Звернемо увагу також на препринт [21] Джоиатапа Голана, в якому він пропонує паз пат и один клас скрутіп Рекрутами Комар-ницького.

Викладені вище' міркувавші підтверджують актуальність, виконаних в дисертації досліджень і що дана тематика" є достатньо популярного ділянкою досліджень.

Мета роботи:

- провести систематичне дослідження теоретнко-модельшм властивостей радикальних та напішіростих класів заданого . напівскруту, скруту або радикалу в категорії модулів ііад асоціативним кільцем;

- описати гратку лівих ідеалів ультрадобутку сім’ї лівих V-областей Везу;

- розв’язати проблему Коззепса-Фсйса про ультрастепіпь V-областей головних ідеалів, поставлену в 1975 році;

- провести систематичне дослідження класу кілепь елементарних дільників з метою застосування одержаних результатів до зада іі про спрощення формул теорії модулів першого порядку.

Методика досліджень. В дисертації використовуються поняття і методи теорії моделей, загальної теорії кілець і модулів, теорії категорій та нестандартного аналізу.

Наукова новизна і практичне значення. Результати, отримані в дисертації, е новтши і можучі* бути корисними для математиків, які цікавляться теорією радикалів, теорією моделей, загальною теоріеіо кілець та модулів, арифметичною теорією ідеалів в нестандартних моделях кілець алгебраїчних чисел та алгебраїчних функцій. Ряд запропонованих конструкцій можна використати при викладанні загальних і спеціальних курсів з алгебри. Всі одержані п дисертації факти мають загалыю-теоретичлий характер і прямого практичного впровадження їх у шіробиичій сфері не передбачається.

Апробація роботи. Результати дисертації неодноразово доповідались па Львівському міському алгебраїчному семінарі, на алгебраїчних семінарах в Київському, Московському і Ужгородському університетах, на алгебраїчному семінарі Іп-

статуту математики з 011 Молдови, на алгебраїчному семінарі Братиславського університету, доповідались або були представлені на всіх всесоюзних алгебраїчних конференціях та симпозіумах з теорії кілець, алгебр і модулів, починаючи з 1976 року. Воїш також доповідались на міжнародних алгебраїчних конференціях в Новосибірську, Барнаулі та Казані. Ряд фактів і конструкцій, одержаних в дисертації', використовувались нри читанні загальних та спеціальних курсін з алгебри у Львівському університеті.

Публікації . Результати дисертації опубліковані в роботах: [24-43]. ,

Об’єм і структура роботи: Загальний обсяг дисертації становить 270 сторінок машинопису. Дисертація складається зі вступу та чотирьох розділів, розбитих иа параграфи. Список літератури містить 298 найменувапь. '

ЗМІСТ РОБОТИ

В нульовому параграфі, для повноти викладу, зібрані необхідні означення та факти, які використовуються н дисертації.

У першій і другій главах розв’язуються шіхашш про аксіо-матизовшеть класів модулів над асоціативним кільцем.

Нехай сг - скрут в категорії лівих A-модулів пад кільцем А, яке завжди припускається асоціативним і з одиницею. Пю категорію позначатимемо через А — mod.

Позначимо через Та клас сг-періодичпих модулів, а через

- клас <7-папівцростих модулів. Сішвол £„ використовуватиметься для позначення радикального (або нередрадикаль-ного у випадку иередскруту) фільтру скруту а.

Лкіцо радикальний фільтр £а володіє базою, що складається із скінченно породжених лівих ідеалів, то кажуть, що скрут а

е скрутом скінченного тину. Нагадаємо, що лігшЙ модуль М називається ст-скінчеинонороджетш, якщо піц містить такий , скінчешклюроджений підмодуль N, ІДО М/N Є (Т-церІОДИЧШІМ. Якщо М є скіїгченнопороджетш лівіш /1-модулем і для будь-якої скіїїчешюї системи твірних Хі, ...,хп модуля'М капопічшій гомоморфізм / : Ап —> М задапий за правилом /((аь...,а„)) = ajii + ... + апхп має (г-скіпчешюпороджсие ядро, то модуль М називатимемо (Х-скіпгчетю зображуваним.

. В § 1.1 описані скрути з аксіоматизошшм класом ег-нанів-нростих модулів Та, а також напер едскрути з аксіоматизошшм класом (г-періодичігих модз'ліи Т„. Це становить суть першого важливого результату дисертації:

Теорема 1.2. Нехай а - скрут в категорії А — Mod. То&і наступні твердження еквівалентні:

1)'Клас Та замкнений відносно ультрастепенів;

2) Клас Та замкнений відносно фільтрованих добутків;

3) Клас Та замкнений відносно ультрадобутків;

J,) Клас Та замкнений відносно переходу до прямих (індуктивних) границ ь;

5) Клас Та аксіоматизовпий; ■

6) Клас Та універсально аксіоматизовний;

7) Клас Та с каазімногоаидом;

S) Клас Та задається системою квазітотожностей, кожна з яких має вигляд: (\/ж)(Ліа; =0 & ... & А„ = 0 —*■ х = 0), де Л і,..., А„ Є А і АХ і + ... + АЛП Є £<т>

9) Скрут (Т є скрутом скінченного типу.

Відмітимо, що теорема 1.2 анонсована автором в 1977 році, [34]. В 1978 році еквівалентність умов 2), 5) і 9) незалежно встановлена також Престом [22].

Нагадаємо, що напередскрут в категорії модулів називається Джансовим (або, в іншій термінології, радикальпо напівпро-стим [4]), якщо його напередрадикальний фільтр володіє базою, що Складається з одного лівого ідеалу.

Сформулюємо другий важливий результат дисертації

Теорема І.Б. Нехай а - напередскрут в категорії А — Mod. Тоді наступні твердження еквівалентні:

1) Клас Т„ аксіоматизовний; ;

2) Клас Т„ є многоаидом;

3) Клас Т„ задається сукупністю тотожностей:

■ {(Ух)(\х = д)/хєі0= П О;

4) Клас Та с ультразамкненйм;

5) Клас Т„ замкнений відносно прямих добутків;

6) Напередрадикальний фільт𠈄 замкнений відносно довільних перетинів сімейств лівих ідеалів;

7) Напередскрут а є Джансовим.

В другому параграфі розв’язане питання про аксіоматизов-пість класу с-абсолютно чистих модулів, а для стабільного скруту отримані необхідні і достатні умови аксіоматизовпості класу <г-ін’ективних а-періодичних модулів. Основний результат глави е такий:

Теорема 1.12. Нехай а - скрут в категорії А — Mod. Тоді наступні твердження еквівалентні:

1) Клас а-абсолютно чистих модулів є (іксіомйтизовним;

2) Клас сг-абсолютно чистих модулів ,є ультразамкненйм;

3) Скрут о с скрутом скінченного типу і кожний скіпчен-

нопороджений лівий ідеал радикального фільтру £<, скруту о є, (Т-скінченнозображуааним; '

4) Радикальний фільтр £„ скруту а володіє базою, що скла-

дається з а-скіпченнозображуааних ліаих ідеалів.

Ця теорема е аналогом теореми Саббаха, яка стверджує, що клас звичайних абсолютно чистих модулів є аьсіоматшовним тоді і лише годі, коли кільце е когерентішм. Підмітимо також, що екпівалентцість тверджень 1), 2) і 4) отримана також v Престом ([22], теорема 2.6) з тією різницею, Що пін вимуіпепий умову скшчеішості гину скруту постулювати, годі як паша теорема пе має цього недоліку.

Нагадаємо, що скрут в категорії модулів називається ста-більиим, якЩо його періодичний клас е замкненим підиосно ін’ективних оболонок.

Теорема 1.14. Нехай о-стабільпий скрут а категорії А — Mod, Клас a-періодичних а-іп’ективних модулів аксіоматизоо-ний тоді і тільки тоді, коли скрут о е Джансооим, а його радикальний фільтр задовольняє умову обриву зростаючих ланцюгів лівих ідеалів.

У другій главі розв’язується питання про аксіоматизовність деяких класів модулів, заданих радикалом, який необов’язково е скрутом.

У § 4 знайдені необхідні і достатні умови аксіоматизовпості нанівнростого класу радикалу над дуообластю головних ідеалів. З цих умов випливає, що в категорії абелевих груп напів-' прості класи радикалів аксіоматизовні лише у випадку скрутів.

В наступних параграфах більш повно вивчається поняття /-радикала, яке раніше пвіи і досліджував О.Л.Горбачук. Нагадаємо, що радикал г називається /-радикалом, якщо його радикальний клас визпачаеться рівністю .

Ті - {М/М Є A- ModJM = М}, де / - деякий фіксований лівий ідеал кільця А. Якщо І - лівий ідеал кільця А і система лівих ідеалів

£i = {K Є C{A)JK + і = Л} е радикальним фільтром, то скрут, який йому відповідає, називається -/-округом. Ліний ідеал І кільця А називається Т-нільпотентшім зліва, якщо для будь-якої послідовності {а,} елементів з / існує таке натуральне п, що аі«з...а„ = 0.

У § 5 домелено критерій того, щоб I-радикал був скрутом.

Основний результат § 6 иолягае в описанні /-радикалів з аксіоматизовшш паиівиростим класом.

Нагадаємо, що кільце А досконале зліва, якщо A/J(A) е класично напіппростим, a J{A) - Т’-нільпотеитиий зліва.

Теореьла 2.19. Нехай Л - дуокільце. Тоді наступні твердження еквівалентні:

І) Напіопростий клас будь-якого радикалу в категорії A—Mod е аксіома <шзоаним; .

8) Радикальний клас будь-якого радикалу в категорії A —Mod е аксіоматизовним; ■

S) Радикальний і напівпростий клас будь-якого радикалу е многооидами;

4) Всі радикали (і всі скрути) в категорії А - Mod е /радикалами (І-скрутами).

5) Всі скрути о категорії А - Mod е Джинсовими;

6) Кільце А е скінченною прямою сумою локальних досконалих

і

кілець.

Теорема 2.19 е основним результатом другої глави.

Перейдемо до характеризації результатів III глави дисертації. Якщо говорити в загальному, то в ній описується грат-ка лівих ідеалів в ультрадобутку V-областей Везу відвосно злічеішо неповних ультрафільтрів і розв’язується проблема Коззенса-Фейса про злічепну ультрастепінь V-області головних ідеалів. Нагадаємо, що ультрафільтр над множиною нази-

вається злічгнпо неповним, якщо існує злічепна сім’я множин з цього ультрафільтру, перетни якої не належить до ультрафільтру. Нехай Ті - кільце Койфмапа-Коззеиса, тобто'область лінійних диференціальних операторі» під однієї диференціальної змінної з коефіцієнтами з деякого універсального диференціального поля характеристики нуль. Нехай далі, Я) - зліченно неповний ультрафільтр над ГЧ. 'Годі проблема9 книги [М| формулюється так: чи буде область [{ 'і'і/ЗЗ лівою V-областю або ' ' ieN •

/’67-областю (/'С7-область - це область над якою псі класні

циклічні модулі є ін’ектинпими) ?

Лруга частила питання розп’язуеться негативно запдяки результату Ломіано, згідно з яким, кожна ліва /’(’/-область е нє-тероною зліна. . ,

Перша частина питання розв'язується позитивно, як буде, нидно з викладеного нижче. 5 3.1 присвячений вивченню поведінки загальних властивостей ідеалів ири переході до уль-традобуткіп кілець. Основний резулг.тат параграфу - це наслідок 3.5, який стверджує, що кожний головний лівий ідеал в ультрадобутку лівих V-областей відносно неголовного ультрафільтру є перетином максимальних лівих ідеалів. Оскільки скінченні перетини максимальїшх ідеалі» володіють нескорот-піми зображеннями, то природпьо вияснити, чи володіють не-скоротніми зображеннями у вигляді перетину максимальних лівих ідеалів головпі ідеали у лівих V-кільцях? Lie питання також розв’язане в цьому параграфі і результатом є:

Твердження 3.6. ІІєжай {Аі}ієп - сім'я лівих V-областей головних ідеалів і СО - злічснна неповний ультрафільтр над П. Тоді кожний нснульовий головний лівий ідтл в кільці А —

' ■ Ь

( [] Аі)/33 володіє нескоротнім зображенням у вигляді перетп-•єп

и

ну деякої сім’ї лівих головних максимальних ідеалів.

Доведення цього результату груптуеться па використанні поняття пєстапд.чртної довжини елемента, введеного в дисертації, і яка е аналогом звичайної довжини елемента області головних ідеалів. :

Ми називаємо лівий модуль регулярним, якщо кожний Його циклічний нідмодуль виділяється црямим доданком.

Крім відмічеїшх в § 3.1 доведений ще такий результат:

Твердження 3.8. Область головних ідеалів А є V -областю тоді і тільки тоді, коли для кожного ненульооого незворотньо-го слемета а € Л лівий модуль Л/аА с регулярним.

Тверджешія 3.8 можііа ще сформулювати так: область головних лівих ідеалів А є лійою У-областю тоді і тільки тоді, роли для кожного ненульооого гіезворотнього елемента а Є А і кожного його пезворотнього дільника Ь існує такий елемент с, що АЬ + Ас = А і АЬ П Ас = Аа.

Задача иро зображення довільного лівого ідеалу ультрадобутку ^-областей у вигляді перетину максимальних лівих ідеалів е пабагато складнішою, ніж для головних ідеалів. В зв’язку з цим в § 3.2 введено поняття ириродігьої системи твірних лівого ідеалу області Везу, і встановлене її існування.

Для формулювання результатів параграфу 3.3 введемо такі позначення.

Нехай {Аі}ієп - довільна сім’я лівих У-областей Безу і 3? -неголовний ультрафільтр над ґі. Якщо для кожпого і Є Я задано лівий максимальний ідеал Ші кільця Аі, то лівий максимальний ідеал Д Шіі/2) називатимемо основним максимально

ним лівим ідеалом кільця А. Множину всіх основних макси-малі,шіх лівих ідеалів кільця А позначимо через Ьтзрес^^А).

Длн кожного елемента а € Л исхай V(а) = {ШІ €

Ілпкрсс^"<'\Л)[а Ш}. Назвемо У(а) - головною замкненою нідміюжиною » [,т.чрес(™\/1). Сукупність усіх головних замкнених підмножин в Ьтярсс^ (А) позначимо через

ІІідмножина Т її С^',с^(И) називається Д-фільтром нал (^'’'*(/4), місто виконуються такі умови:

ДФ І. Длн будь-яких (І,У Є Т множина V П V Є Т\

ЛФІ?. Для кожної множили І! Є Т і для кожної множини

V Є С' (^>(Л ) і.ч умови И С V ішплинає V Є Т.

Якщо, крім цього,, виконується умова ДФЗ. 0 £ Т, .

то Д-фільтр Т наливається власним Д-фільтром.

Максимальний серед Д-філі.тріп над (?(ос)(Л) назинаеться Д-ультрафільтром. '

Множина ІЛ'(псЦЛ) нсіх Д-фільтрін над 6’^'>С^(УІ) е граткого підносно операції перетину Д-фільтрін та операції взяття найменшої о Д-філі.тру, який містить обидна фільтри, що об'єднуються. Тепер наступний основний результат можна сформу-люнати у такому вигляді

Теорема З.Н. Відображення в : Ь(А) —► яке

спіаставляс кожному лівому ідеалу І кільця А А-фільтр Ті = {V(г)/г Є /} є ізоморфізмом граток і, крім цього, 0(1) е Д-ультрафільтром тоді і тільки тоді, коли І є максимальним лівіш ідеалом а А.

У параграфі 3.4 розв’язується проблема Коззенса-Фейса, про яку говорилося рапііпе. Для цього встапоплгоетьсл фор. мула, яка задає частину максимальних лівих ідеалів в ультра-добу і ках У-областеіі голошиїх ідеалів за допомогою злічеп-них послідовностей атомів, з певними обмеженням^, та ультрафільтрів над множиною натуральних чисел. Потім з одер-

жапих максимальних ліних ідеалів будують всі інші максимальні ліві ідеали кільця Я. Для строгого формулювання результатів введемо позначення. Нехай.- послідовність атомів кіль ції А = (П ло/ю, де Лі - 1/-області головпих лівих

ідеалів і £> - зліченно-ненонний ультрафільтр над N. яка володіє " і»

властивістю П Арі $£ Лрі+і, для кожного і Є N.

•=і

Назвемо лівий ідеал кільця Л континуально-хюроджешім, якщо він володіє природньош системою твірних потужності коптинум.

Тоді має місце теорема.

Теорема 3.28. Кожний континуально-породжений лівий

максимальний ідеал кільця А має вигляд 1{р, 5) = £ П АРії „ УЄ&іЄУ

{рі}£, деяка послідовність атомів кільця А з відміченою вище

властивістю, а 5У деякий ультрафільтр над множиною N.

Аналогічне онисаіишмає місце для довільних кон гинуально-

нороджеїшх ліних ідеалів кільця А. ГІри цьому досить щоб у

був фільтром над N.

Лане уточнений описання гратки лівих ідеалів кільця

( П Лі)/® дозволяє довести головний результат дисертації.

«єп

Теорема 3.31. Ультрастєпінь області Коззєнса-Койфмана відносно злічєнно-нєпоонога ультрафільтру над множиною натуральних чисел є V-областю Безу, яка не є нетєровою ні зліва, ні справа. - . '

Таким чином встановлено існуншіші не нетерових V-областей Везу, що висуває нові питання про клас У-кілець.

'* ' ,*■ 1 ■

Розглянемо тепер результати глави 4. Основпа задача полягає в тому, щоб одержати, по можливості, найишргае узагальнення відомих результатів в усіх напрямках, й яких пропо-

дились досліджений з теорії елементарних дільників матриць.' Не зв’язано, як підмічалось раніше, зі спрощенням формул терії модулів першого порядку. Для никладу одержаних тут результатів нам необхідно нагадані деякі означення.-

Нагадаємо, що позитивно-примітивна формула книш першого порядку дЬ теорії ліних модулів над кільцем А має ингляд

m п

3yj...3VI Д (52 ХіГц + £ ykskj = 0),

;=1 і=)

де їі,Уі • предметні змінні, a Vij, л*у - унарні функціональні символи, визначені відповідними елементами основного кільця А.

Баур довів, що кожна формула мови \Ь еквівалентна, за модулем довільної повної теорії модулів, булепій комбінації позитивно-примітивних формул. Позитивно-примітивну формулу можна заиисати у матричній формі в такий сиосіб

Зу(ху)ІІ = 0, (1)

де Я вектор ЦІЛЬНИХ предметних ЗМІННИХ (х‘і,Хз,...,Хп), а у = У і) - вектор зв’язаних змінних. Домноженпя матриці II па оборотшо матрицю R справа і вставка між рядком (ху) та матрицею II матриці S~lS, де S також оборотня матриця потрібних розмірів, приводить після відповідної заміни змінних до позитивно-примітивної формули

З = 0. (2)

Отримана формула (2) е еквівалентною до формули (1) в сенсі виконуваності і тому спрощення матриць за допомогою перетворень еквівалентності приводить до спрощення формул

МОВИ аЬ.

Кільця, над якими кожна (прямокутна) матриця еквівалентна деякій матриці diag(dt,dj...d*,0,...,0), де Adi+iA С Ad^diA

для кожного і = 1 називаються кільцями елементар-

них дільиикіп. Над такими кільцями позитивно-примітивні

формули набувають найпростішого вигляду. Воші будуть кон’юнкціями формул вигляду Зу(а = ту) або Ву(гу = 0). Дальше спрощення йде за рахунок вдосконалення діагональної форми матриць. В дисертації пропонується проміжна форма редукції між формою Смітта у комутативному випадку та формою Капланського, наведеною вище. Причина цього полягає н тому, що форма Капланського в загальному важко піддається аналізові і, як видио з публікацій, просунашія н цій галузі, алгебраїчних досліджепь після Тейхмюллера і самого Капланського не е достатньо натомим». ІІаша форма об’єднує н собі два важливих випадки кілець Везу - цс прості області Везу і дуокільця Везу.

Ми говоримо, що прямокутна матриця М = (а^) з елементами з кільця А володіє майже інваріантною діагопальною редукцією, якщо існують такі оборотні матриці відповідних розмірів над А, скажемо, Д і що ЛМ() = сИад((1ц(12,...,(1к,М,—0)> де (її, (Із, інваріантні елементи кільця, а сіь не обон’язко-

по інваріантний і сі; є лівим дільником елемента 1 для кожного і = 1,...,/г — 1. Якщо кожна матриця пад А має майже інваріантну діагональну редукцію, то А називається кільцем з майже інваріантним» елементарними дільниками.

В дисертації доведено аналог критерію І.Капланського того, щоб кільце було кільцем з майже інваріантними елементарними дільниками.

Теорема 4.1. Ермітове кільце А е кільцем з майже інваріантними елементарними дільниками тоді і лише тоді, коли кожна матриця розміру 2 к 2 володіє майже інваріантною діагональною редукцією. •

Зауважимо, що в доведенні І.Капланського відповідної теореми для довільного випадку е неявне припущення про те, щи

кожний елемент кільця е повпим дільшіком самого себе, що справедливо лише для інваріантних кілець.

В наступній теоремі поглиблюється цей критерій до кільце-них умов. Точніше, має місце наступний осиопний результат:

Теорема 4,2. Нехай А - ермітопе кільце, о якому для будь-яких взаємно-простих справа елементів и і V і будь-якого пену-льовога елемента а. € А з умови иа — иа = 0 випливає, що и і

V є озаемпо-првптими зліва. Тоді кільце А е кільцем з майже інваріантними елементарними дільниками т.оді і тільки тоді, коли викопуються наступні дві умови: ' ’

1) Для кожного елемента а Є А існує такий елемент Ь Є А, що Асі А = ЬЛ = АЬ (умова Дубровіна);

2) Кожний лівий і кожний правий дільник будь-якого інваріантного регулярного елемента є інваріантним елементом.

Наступний параграф § 4.2 присвячений дослідженню дистрибутивних областей іта предмет володіння властивістю бути кільцем елементарних дільників. Тут доведено такий результат: .

Теорема 4.10. Кожна дистрибутивна область елементарних дільників е дуо-областю.

Зауважимо, що доведення теореми проводиться в загальнішій ситуації, тобто, коли кільце е квазі-дуо-областго елементарних дільників. Даний результат опублікований п роботі [33]. В даний час є більш загальний результат А.А.Туганбаева [23}, який стіїер/іжує, що цією властивістю володіє дистрибутивне кільце елементарних дільників з дільниками пуля при пеинйх Обмеженнях. Наш’ результат в доведенні з [23] використовується суттєво і тому ми включаємо його в дисертацію.

Проблематика теорії кілець елементарних дільників не завершена навіть для комутативних областей Безу. Тут вже

давно стоїть проблема: Чи кожна комутативна область Везу є областю елементарних ділі,пиків ? В §4.3 викладено пай-новіпшй результат, який охоплює багато з раніше відомих. Для його формулювання треба навести означення. Ненульо-вий елемент а області Везу А називається адекватним, якщо для кожного елемента Ь Є А існують такі елементи г,з Є Л, шо 1) а — г • з; 2) ЬА + гА — А; 3) Для кожного з' Є А із включення аЛ С &'А + А випливає, що 6Л + в'А ф А (ми кажемо тоді, що в є спорідненим з Ь).

Терема 4.24. Нехай А - область Бч;гу, а якій існує така трансфінітпна послідовність {Дв}«є[о,«0) мультиплікативпо-замкнених підмпожин, що

1) Уа Є [0,оо) кільце й1”1 А містить необоротні адекватні елементи;

%) и 5'"1 Л = (}, де (} - поле дробів для А. а€{0;оо)

Тоді А є областю елементарних дільників.

На завершення відмітимо, що в дисертацію включені лшпе гі результати автора, які одержані ним самостійно, хоча і опубліковані з співавторами.

Підсумкові висновки. В дисертації досліджене питання про аксіоматизовність ряду важливих класів модулів, визначених скрутом або радикалом. Побудована теорія ідеалів в ультрадобутках У-областей Безу. Одержано новішії розв'язок проблеми Коззенса-Фейсапро ультрастегіінь К-області • Койфмаяа-Коззенса. Введено і досліджено новий клас некому-тативпих кілець елементарних дільників.

Література

1. Мальце» Л.И. О включении ассоциативных систем н группы // Мат. сб., - 19119, - 6, с.331-336.

2. Ергаов IO.JI., Лавров И.А., Тайм anon А.Д., Таііплин М.А. Элементарные теории // УМН, - 1965, - 20, N4, с.37-108.

3. Gabriel P. Dea cathegories abeliens // Bull. Soc. Math. France, -1962, - 90, 323-448.

4. Мишина А.П., Скорпяков Л.А. Абелевы группы и модули. -М., "Паука”,- 1969, 151 с.

5. Stenstrom Во. Rings of quotients. Springer-Verlag, Berlin - New-

York, - 1975, 309p. '

6. Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях. - Кшшшеп, "Штиипца", - 1983, 152 с.

7. Golan J.S. Torsion theories // Longman Scientific & Technical, Harlow, - 1986, 651 p.

8. Szmielew W. Elementary properties of abelian groups // Fund. Math., - 1955, - 41, 203-271.

9. Eklof P.C., Sabbagh G- Model completions and modules // Ann. Math. Log., - 1971, - 2, N3, 251-295.

10. Prest M. Model theoiy and representation type of algebras // ’’Logic colloquium ’86”, F.ll.Drake and J.K.Truss (editors), Amsterdam, North-IIolland, - 1988, 219-260.

11. Eklof P.C., Sabbagh G. Definability properties for modules and rings // Jour. Suinbol. Log., - 1971, - 36, 629-649.

12. Койфман Л.А. Кольца, над которыми каждый модулі, имеет

максимальный подмодуль // Мат. заметки, - 1970, - 7, N3, с.359-367. ,

13. Cozzens J.H., Homological properties of the ring of differential polynomials // Bull.Amer.Math.Soc., - 1970, - 76, N1, 75-79.

14. Cozzens J., Faith C. Simple Neetherian rings. Cambridge,-1975,135^,

15. Michler G.O. Villamayor O.E. On rings whose simple modules arc injective // J. Algebra, - 1973, - 25, N1, 185-201.

16. Gherlin G.L. Ideals of integers in nonstandard number fields // in: Model Theory and Algebra, eds Di' iracino and Wcisspfenniug V. (Springer Lecture Nothes, 1975, 498, Berlin), 60-90.

17. Ailing N.L. Global ideal theory of meromorphic function fields. // TVans. Amer. Math. Soc., - 1979, - 256, N2, 241-266.

18. Prest M. Model theory and modules // London Math. Soc. Lee. Notes ser. N130, London, - 1988, 380p.

19. Kaplanaky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Math. Soc. - 1949, - 66, N3, 464-491.

20. Марков B.T., Михалев A.B., Скорняков Л.А., Тугаибаев

А. А. Модули //В сб. ” Алгебра. Топология. Геометрия (Итоги науки и техники ВИНИТИ All СССР)”, - 1981, - 19, с.31-134. .

21. Golan J.S. On S-torsion in the sens of Komarnitskii // University of Haifa, Haifa, Israel, - 1984, Preprint, 1-12

22. Prcst M.Y. Some model-theoretic aspects of thorsion theories // J. Pure and Appl. Algebra, - 1978, - 12, N3, 295-310.

23. Тугаибаев A.A. Кольца элементарных делителей и дистри-

бутивиые кольца // Успехи матем. паук,.- 1991, - 46, вып.6, с.219-220. . .

Осповігі положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

24. Комарницкий Н.Я. Дуо-кольца, аад которыми все кручення являются S-кручениями // В сб. "Алгебры и модули" (Мат.

, ислед., 1978, вьш.48), Кишинев, - "Штиинца”, - 1978, с.65-68.

25. Комаршщький М.Я. Кручення і квазімноговиди модуліп // В зб. "Питання якісної теорії диференціальних рівнянь та їх застосувань”, Інститут математики АН УРСР, - Київ, -

1978, с.19-21.

26. Комарпицкий П.Я. Об аксиоматизируемости некоторых.

; классов модулей, свлзанпых с кручением // Мат. исслед., -

вып.48, - 1980, с.92-109.

27. Комарпицкий II.Я. Коммутативные адекватные области Безу и кольца элементарных делителей //В сб. "Алгебраические исследования”, Институт математики IIAH Украины, - Киев, 1995, с.97-113.

28. Komarnytslcy N.Ja. Algebras of Logic j/ Ordered Set and Lattices. Ainer. Mat. Soc. 'Ггапв1.(2), Vol. 152, - 1992, Chapter II, 63-94.

29. Комарпицкий II.Я., Горбачук E.JI. Радикальные фильтры в области главных идеалов // Доклады АН УССР, - 1977, Серил ”А”, N2, с.103-104.

30. Комарпицкий II.Я., Горбачук Е.Л. 1-радикалы и их свойства // УМЖ, - 1978, - 30, N2, с.212-217.

31. Комарпицкий П.Я., Горбачук Б.Л. Об аксиоматизируемости радикальных и нолупростых классов модулей и абелевых групп // УМЖ, - 1982, - 34, N2, с.151-156.

32. Комаршщький М.Я., Забавсысий Б.В. Зауваження нро адо-кватш юльця. BiciuiK Львшського ушверситету, сер. ([пз.-маг.,-1987, с.43-45.

33. Комариицкий II.Я., Забавский Б.В. О дистрибутивных кольцах элементарных делителей // УМЖ, - 1990, - т.42, N7, с.1002-1004.

34. Комарпицкий П.Я. Кручеггия и квазимногообразил модулей // 14-ал Всесоюзная алгебраическая конференция, часть 2,

- Новосибирск, - 1977, с.18-19.

35. Комарпицкий П.Я. Об аксиоматизируемости Некоторых

классов модулей, связаппых с кручением // Вестник МГУ, сер. матем. мех.т - 1978, N6, с. 79. .

16. Комарницкий Н.Яг Радикалы и кручения в категории абелевых групп с носителями в элементарном тоносе //IX Всесо-'юзшлй симпозиум по теории групп. - Москва, - 1984, Тезисы докладом, с.211-212.

37. Комарницкий IIЛ. О модельном компаньоне класса ассоциативных колец в элементарном топосе // XVIII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, - Ки-пншёв, - 1985, с.54.

38. Комарницкий IIЛ. Радикал Джекобсона с интуиционистской точки зрения // Всесоюзный симпозиум по математической логике. Тезисы сообщений. - Москна, - 1980, с.44.

39. Комарницкий Н.Я. Кольца с почти шшариаишьши элементарными делителями. Международная конференция но алгебре, носнящённая памяти Л.И.Мальцева (1909-1967) Тезисы сообщений, - Новосибирск, - 1989, с.70.

40. Комарницкий Н.Я. Кольца с почти инвариантными элементарными делителями и конечно-представимые модули // VI Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. - Львоп, - 1990, с.73.

41. Комарницкий Н.Я. Дуо-кольца, над которыми каждый модуль эквивалентен своей инъективной оболочке // У-Всесо-юзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. - Новосибирск, - 1982, с.84.

42. Комарницкий Н.Я. О решетке правых идеалов ультрапро-изведегахя правых У-областей Везу // Международная алгебраическая конференция памяти А.И.Ширшова, - Барнаул,

- 1991, Тезисы докладов, с.54.

43. Комариицкий Н.Я. Характеризация У-областсй Везу // Алгебра и анализ. Тезисы докладов международной конферен-

______тт ___ 1 Г.*____. 1ПГМ ~ П1 го

ШШ намлш д. ч.х* _ .алецэапп, - ь.ох-иь)

Коыарнидкий Н.Я. Теоретико-модельные свойства. классом колод и модулей, определённых кручением или радикалом. .Диссертация ла соискание учёной степени доктора физикоматематических паук но специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел, Киепский уп-т, Киеи, 1996. Защтцается 20 научных работ, содержащих теоретические исследования по теории колец и модулей. Устанавливаются необходимые и достаточные условия аксиоматизируемости ряда классов модулей возникающих в теории радикалоп и кручений. Разработана теория идеалов в ультралроизведениях У-облас1ей Безу, которая применяется к решению проблемы Ккшенса-Фейса об ультрастепени V-оиласти Койфмана-Коззенса. Получепы условия приводимости матриц к почти инвариантной диагональной форме.

Komarnitskii N. Ya. Model-theoretical properties of classes of rings and modules, that are defined by radical torsion. This is a Doctor of Science Thesis (Physics and Mathematics) with specialization in algebra and theory of numbers (code 01.01.06). Kiev University, Kiev, 1996. 20 scientific papers, that contaiu theoretical studies on the theory of rings and modules, are defended. Necessary and sufficient conditions of elementarity of certain classes of modules, which occur in the radical and torsion theory, have been established. The theory of ideals in ultraproducts of Bezaut V-domains, which is used in conclusion of Cozzens-Faith problem on ultarapower of Koifman-Cozzens V-domain has been developed. Conditions of diagonalizalion of matrix have been found.

Ключов! слова: аксюматизовний клас, скрут, радикал, V-юльне, юльие елементариих дш.миюв, юльце Койфмана-Коззенса, ультрадобуток, ультрастешнь.