Теория консервативных динамических полугрупп и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ПО ии

~ 1 Ж 1993

РОССИЙСКАЯ АКАДШШ 1ШК

и«е?.шкчеакй институт 1шеек а а. сшлова

На правах рукописи УДК 519. 644

ЧЕБОгТ£РКВ Алггкяыщ» ТЕОРИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

(01.01.03 -шгемэтическгя фязява)

; Автореферат диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

РаСЬтз выполнена на кафедре Прикладной математики Московского Института электронного машиностроения

Официальные оппоненты:

Доктор фкзико-ыатематичэишх наук, профессор

- О.Г.Смолянов

доктор физико-математических, наук профессор

А.А.Арсеяьев

7 доктор фЕ&ко-матеыатических, наук профессор < Д.С.ХЬлево

Ведущая организация: Факультет Шчислнтел&ной: Матемгтикк е Кибернетики Московского ' Государственного Университета ни. Ы.В.Ломоносова

Защита состоится "/Г" 1993 года в 14 часов

на заседания спецаализлровашаого совета Д.002.33.01 при Математическом институте им. В.А.Стаклова РАН ев адресу:

. 117966 Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, дом 42

С диссертаздаа гюкао ознакомиться з библиотеке Института Автореферат разослан 1993 года

Ученый секретарь спецаал^ироваазсго совета доктор фязико-ыатематкчесхйг

наук • АЛС.Гуиии

\

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. .Понятие динамической полугрушш обобщает понятие группы отображений, действующих в гейзенберговской картине квантовой механики на операторы з гильбертовом пространстве, и понятие полугруппы операторов, порождаемой марковским процессом, действувдей на. элементы функциональных пространств. Оно • используется для описания эволюции наблюдаемых открытых квантовых систем, а также процессов взаимодействия между микро- и макроскопический ■ объектами.' Математическое определение . ДЕнашчвской полугруппы было Еведено в работах йшдблада, Горти, Сударкана е Коссгковского.в 1976г. • 4

: 0 точки зрения приложений к задачей математической физики особый интерес, представляют. , динамические полугруппы с неограниченными производящими. отобраяетями, теория которых до настоящего времени остается изученной недостаточно. Одной из центральных проблем, связанной с вопросами" сушествовання и единственности дивешческой полугрушш, является вопрос" о существовании и консервативности минимальных однопараметрических полугрупп нормальных вполне положительных сеимазгашх отобракевий, деЗствувдга б'операторных алгебрах ©он Неймапа.

С- алгебраической точки' зрения свойство консервативности ' означает- сохранение единицы полугруппой отобразэний, действующих в алгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, и следа для подугрупп/ двйствутадах на алгебре операторов с конечным следом. Вопрос ■ об унитарности групп операторов, действующих в соответствующем гильбертовом пространстве, а такке вопрос об условиях отсутствия взрыва в квантовых системах с пврзкеншм числом частиц являются частными случаями проблемы консервативности. Критерии консервативности минимальных динамических полугрупп играют также важную, роль в теории квантовых стохастических уравнений.

В диссертации получены услощ? консервативности минимальных динамических полугрупп, которые применяются для обоснования вероятностных представлений решений уравнения Шредингера с

векторным'потенциалом, уравнения Паули и системы уравнений Дирака. Изучение вероягносткых представлений является актуальны,! с - точки зрения приложений в задачах туннёлирования и квантовой химш.

Цель работа состоит в - создании теории минимальных динамических полугрупп и выводе необходимых и"достаточных условий консервативности, а такав в приложении критериев регулярности случайных процессов, ассоциированных с гамильтонианами квантовых систем, для обоснования вероятностных представлений решений задач Коши для кваетовомэганических уравнений.

Научная новизна. Диссертационная работа содержат следующие новые результаты.

-Получено нзобходдаоь и достаточное условие консервативности, минимальной дшгыическсй полугруппы, икоот.зе езд условия несуществования : ограниченных падюжательных операторозначнкх решений спектральной зсдвчи на полупрямой для ки&щкте зимального отображения Етааьической полугруппы в гейзенберговском представлении. Найдена эквивалентная формулировка необходимого н достаточного критерия консервативности, иыенаая вид условия отсутствия хтолонятельных ограниченных опэраторозязчных стационарных точек у вполне положительного сгиыаащэго отобрэквння, характеризующего шнимзльную данамгискуп-- полугруппу. Показано, кэкгаг образом тгуя Онть построены консервативные расширения минимальной динажгазской полугруппы в том случае, если необходимое условие консервативности для нее нарушено.

-Разработана техника проверки достаточных условий консервативности, основанная на использовании новых неравенств иенсеновского тша для вполне положительных отображений. Получены конструктивные "достаточные условия, хмэпцие- вед условий относительной ограниченности снизу 'коммутаторов коэффициентов квфиште зимального отображения динамической -полугруппы в гейзено'ергозекам представлении.

-Обоснован новзй ¡¿етод регуляризации класса фейнмановских континуальных интегралов в шшульсноы представлении, основанный: на евздешн оценки знтеграла к вычисление , (несобственного) матзматичеог:ого . овндааия относительно вероятностной меры

марковского скачкообразного процесса, ассоциированного с гамильтонианом квантовой системы.

-Получены новые :• достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов. Построены примеры и кснтрггршлзрн, показывакщие область применило сти новых результатов и основные . технические проблеет, свлзаннне с применением новых критериев консервативности и регулярности.

Твощатаческая и практическая ценность.

-Конструнцая минимальной динамической полугруппы устанавливает сбгтую тотау вреняя на вопросы унитарности квантовой эволюции и построен регулярности марковских процессов к выявляет глубокую сатзь тхц? тэорекгшг - Струна к Фэллера." ТЭэтзгя мввшальных дйнзкетеских полугрупп позволяв? распространить снэргтсраш катода дая нссладозазяя д-ерштностных задач и наоборот, обобдагь ряд тонжг результатов, полученных з теориа случайных процессов и в теоркн полугрупп, для Еэкогллузатзввнх алгебр фон Неймана.

-Коетмегонуе абсолютно непрерывнее преобразования взрситаюстшс мер скачкообразных марковских процессов, связыгяицие • олучайнне обобщэзшга пуассозовские'процессы с рзиенгямй- квантовых Кош, распространена на регулярна " процессы . с нэеграягавнш® штенсашота-ьз скачкоз, что позволяет использовать свддасигтасксе метода решения эвалгцжшнггх уравнений для класса квэажовагзкнггескяЕ задач с вгктэрза потенциалом. Соответствующая коастргзцгя, прэдаагаеглая в диссертационной работе,, открывает некие- возможности для чкеленного решения кзстационггййз; задач квантовой механика.

Лшстобзгшя работы. ¡йгогочисленнае ссыкш на основные результаты, полученные автором диссертационной работы, позволяют сделать влеод о цразнашн результатов и их положительной оценке советские и'зарубегЕнки специалистам.

. Основе результату диссертации докладывались и обсуидались кэ секзнарэ по вероятностным проблемам гшащовоЗ теории в МИйН'ем. З.А.Стекрва под руководством проф. А.С.Хояэзой- а также на сешнапах Института : проблем механики РАЕ (рук. академик .З.П.йаслов), кафедры ¡Математической онзгки Физического факультета МГУ (рук. проф. А.Г,С^еинккоз), кафецда Дифференциальных уравнений

о

• Математического центра им. В.Вольтерра

ГГ Г" И (РУК' ^ а . тайн на

следующих Всесоюзных ж Международна конференциях:

^й'-м^Т®3* ЮНфЭреНЦИЯ П0 ^Р® континуального интеграла Фейнмана Шарсель,1Э78, Франция);

-Четвертая и Пятая Ыеадународные вильнюсские конференции по

^ЭВЭ^Г — ^нюс,

УзССР)РВЫЙ Всешртт К0ЕГРЭСС Общества .Бернулли (Ташкент, 1986, ■

ЗШНЯЯ шола по теоретической физике'' "Стохастические метода в математике и физике" (Карпач, 1988, ПНР!;

'-Мевдународная новфвреЕция ССБйЕХ'вЭ "Стохастические метода в экспериментальных науках" .(Скяярска Пореба, 1989, ПНР) • '

_-"Ме^!1ЮДНаЛ "Квантовая вероятность и смежные

вопросы- (ТрзнтоЛ989, Италия); '

(МО^^/^^ им-й.Г.Петровского

-Международная конференция "Квантовая вероятность и скекниа вопросы (Обервольфах, 1991, Германия);

-Первая советско-Итальянская конференция ш теории вероятностей и ее приложениям (¿квила.1992. Италия).

Публикации ¡ю теме ж^щтащи. по теме диссертации опубликована. 21 работа в общесоюзных и мездународах издшшях. Основные из этих работ приведены в списке И-ш. Участие в немногочисленных совместных работах выра^-ось в паритетном

выполнении этих работ по части, связанной с самостоятельными исследованиями автора.. .

Структура и объем работы.. Диссертация изложена на 201 странице машнояшюго текста и состоит из введения, четшэех глав, заключения и списка литературы, содержащего 87 наименовав.

б

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основными понятиями диссертации являются понятие минимальной динамической полугруппы и понятие консервативности.

Пусть 11 -гильбертово пространство, ТСН) -банахово пространство ядерных операторов, а 3(Н) -алгебра фон Нзймана всэх ограниченных операторов, действующих в 7£. Динамической полугруппой на Т(71) называется. сильно непрерывная однопврачетркческая сжимающая полугруппа лннвйвых вполне голоэзтельннх отображений Т^.Т{.Ч)~Т{71). Семейство сопряженных относительно билинейной-^Форш <р,Х> = ТгрХ, р еГ(Я), I е о0-1) отображений :3(/Л"5(Я) -алгебры фон Неймана В{П) в себя

<рСР£{Х)> = <2^(р)Д>, р е Г(7{), X е 3(7£)

определяет о-слабо непрбрывную сопряженную - данашческую полугруппу 'Еормзльшх вполне полозн-гельяс: сз^иаящх огобранений Полугруппа Т^ списывает ззолзсцю состояний и соответствует •дрвдЕЕгерозсй картзвг квантовой кеханши, а полугруппа Р сотснввет эволзкдав кеЯлздаэмнх в ге^зенбергозскта представлении.

Полугруппы Рг и ¡Г^, обладающие свойством сохранения единицы и следа, схюгвэтоаэаао, заззваотся кснаевват&^Шг а ях икфзнк-тезтгальные операторы - рееулярншх!.. Свойствам консервативности пслугругзэ: "и ?{ обладав? ила не овладеют одновременно. ■

Для обрагашй звсшщй свойство консерватавэссти эквивалентно услговнз саасшпрйзгзЕноста . оператора Ггкзизьтоэа, описывающего квантовую дашагджу в гейзенберговском представлении.

Для па^трзлпх, порождаемых случайными процессам, условия консервативности таягэ представляюг лзвзстнкй яыэрес, поскольку свойство ксясвр28тгЕности исключает такие язлкжкя, как уход процесса нз сооконечность, накопление бэскспечного' числа скачков вдоль- траекторий скачкообразного процесса ч' за конечное Ерэгля с ненулевой вероятностью кш рождение бесконечного числа . потоков отдельной частицей в 'системах с переменит/ числом частиц.

Актуальность изучения суачкосбразнг-о: процессов с неограниченной интенсивностью скачков связана с их использованием для вывода

Еероятностккс представлений решения задачи Коши" для уравнений Иредингера.'ЛТаулз и Днракв с векторным потенциалом [5-8']. Еероят-ностные представления, полученные е указанных работах, подробно описаны в диссертации. Они имеют ввд несобственных интегралов Лебега отнссктзяьно меры, являющейся абсолютно непрерывным ■ преобразованием вероятностной меры марковского скачкообразного процесса, ассоциированного с гамильтонианом квантовой система,

Вакно отметить,что абсолютно непрерывное преобразование меры имеет смысл только для скачкообразных - процессов, совзршаадих с вероятностью единица конечное число скачков за конечное врэыя. При весьма общих прэдашгажешях критерием регулярности слукит сохранение вероятностной нормировки шшшальшм решением соответствующего уравнения КсшзогороваЧселлзра, описывзащэго переходную вероятность марковского скачкообразного процесса. Это условие совпадает с условием консервативности соответствующей динамической полугруппы на абелевой алгебре е В{71), где в -абелева

локально компактная . груша, являющаяся фазовым пространством процесса, а р. -инвариантная мера на в,

В- диссертации; лолучезн конетрукткнннэ усдояля консервативности минимальной дшааяэской.шлугрушы (тэоремя 12.6 а 13.2), имеыцие вид оценок сзззу для плотно опрзделешых коьз*утаторов операторозначшх коэффициентов ее иафн2ит83&шльного отображения 1С). Для формулировка■ основного результата используется вводимое ниже понятие шшншльной динамической полугруппы.

Инфинитезикальное отображение 1С) непрерывной по норка динамической полугруппы Р^С) является ограничении нормальным отображением алгебры Ъ(Н) в себя. Как показал Ливдблад (1976), его структура имеет бнд

'ИХ) = Ф(Х) - Ф»х + ¡ш.л, .

где ФС) 7 ограниченное линейное шолне положительное. отображение В (И) в Я(Я), Г-едазнчнна оператор, 1А,В\=АБ-БА -ксаиутатор,

А«В = ^(.ЛВ-ВА) - йорданово произведение оюраторсв. Операторы Ф и И, входящие в состаз Евранитезнмального отображения непрерывной по норме полугруппы Р^'(*), праладлекит алгебре В (К) и поровдшог-действущую в и сжюлакщую полугруппу где С='Я+|ф.

Отображение й(") и операторы С,Н называются коэффициентами отобраайпия 1С).

Эволюционное урзвпзние для полугруппы PtC) (уравнение Лшдблада)

^Pt(X) = I(PtU)), Pt(X)lt=0 = X

ыозкет быть записано в эквивалентной интегральной форме:

t

Pt(I) = 4 X 17г + f йз r?*_s Ф(Р3(1)) Wt_a, о

где - сопряженная по.чугруппа с производящий оператором G*=-IH*+ 2 Интегральная форма уравнения Лщдблэда содержит явным образом ЕП0ЛЕ8 хтолсактэльную часть отображения. НС), что- упрощает пптерпротацлю правой части уравнения я. ойлестн ее --определения, если отображение й(*) и оператор Н пэ ограншзны.

3 диссертационной работе прэдполагеэтся, что Ф = Ф(Г) ^ I и

еез вот Ф s 6cm <j's вот И л йст © £ dan G s бел 5>1/2л

IT <1)

Н ср = Лср v ср е безг G .

дам некоторого i>-2.

TpjViHoc-iB, связана« с щ>шйегевжег. тзарий типа теории Хелле-Филлглса для алгебр, преодолеваются в диссертации за счет использовш^я в правей части интегрального уравнения Линдблада вместо опергторов <Ъ(Р^{Х)), ассощгЕрсЕаяных с шя.я квадратичных фор;.»., кмешях более широкую область определена и, во-вторых, за счет "внутреннего" пополнения множества нормальных ограниченных вполне полазительен: отображений СРпЛК), действующих из алгебры В (Я) в множество ограниченных .квадратичных форм. Для пополнения используется- такая топология, которая гарантирует включение алгзбры В (Я) в область определения всех неограниченных ¡квадратичных форм/ принадлежащих пополнение.Наконец, вместо теоремы о сходимости степеней резользентного.отображения

Pt(X) = s-llm (I-|i)""a), X e В;7£)

мы используем лемму о наименьшей верхней грани для монотонной ограниченной последовательности вполне положительных отображений, сходящейся снизу к минимальной динамической полутруппе на воспроизводящем конусе S+(7i) положительных ограниченных операторов из алгебры В (71):

lfin(X) = s-lub pt^W), ' v X « BATi) (2)

' n' + - •

где (") - монотонно возрастающая последовательность решений

итерированного интегрального уравнения

t . p[R)(X).= W^. xnt + f da wt_3 J (i)) Wt_3, ?{0) (X)=0, X>0.

о

Поясним, каким образом правая часть интегрального уравнения определяется с помощью квадратичных форм' в том случае, когда вполне положительное отображение Ф(") не ограничено:

Пусть в -некоторое банахово подпространство в Я такое; что

/8 йв > В 1> вейотФ172.

Предоолохнм, что выполнено следующее условие согласованности для полугруппы Wj относительно пространства в, ограничивающее произвол в выборе пространства в при заданном операторе G:

Й^ФОв < С | ф |в, lim S (I-Wt)® ||в=0, v ф 6 dorn в

Обозначим через CPnf(ft) 'множество нормальных вполне положительных ограниченных отображений, действующих из алгебры ограниченных операторов В(Н) в множество квадратичных форм на 71. Рассмотрим пополнение' множества отображений СРпж(71), относительно локально выпуклой топологии равномерной сходимости на . произведениях абсолютно выпуклых" компактных множеств из алгебры фон Неймана 8(70 и банахова пространства в. заданной с помощью системы полунорм:

р, Й(Ф) = sap | Фж(Х)[(р21 A'D ХеА.феВ

параметризованных абсолютно выпуклыми компактными множествами А е В(Н) и В -s в. Полученное пополнение обозначив через СРпг(в). Основными примерами компактных мнснестз, на которых имеет место равномерная, сходимость последовательностей из GFn^LU), являются МЕокестБЗ СТГаф> и CPt_3(X)} для aeCO.i] при фиксированных ср и X., а примерами пространств в являются множества domG^ и аотгФ1//2, снабзенные соответствующей нормой rpaijExa.

Каздо.'ту ограниченному оператору &eB(7t). nокно естественным образом сопоставить квадратичную фордуеэ Ti-: [ф] = (<р,1ф) и обратно, каздой плотно определенной ограниченной -.квадратичной оорне yf moseo сопоставйть такой оператор ¡[TJeSfit), что [7^3=7. В дальнейшем изложении лишай индекс * используется для обозначения операции, сопоставлявшей оператору ¡задраигаауз форму,a скобки [ ] обозначают обратную операнда. Таким обрэзом. интегральный член в 1Ш2егральном уравнении ¿¡индбладе кожет бить записан в одной из двух форм, БДБИвалентннх в том случае, если ш&иитезимальное отоОватанг.э ограничено:

г t 1

S es Vt-3 = S *> 4-3 Wt-3 ' •

о ■«■ о

r t TÍ

ГДЭ

и -t t»^

f ds ®S(PS(X)) irt_s Lcp]= J ds %(Psm) [irt_a<pl • n J n

Естественное соответствие мезду плотно определенными квадра'гкчннми. • формами ■ и линейзгли операторами в гильбертовом лросзршствэ • распространяется на множество ограниченных снизу - замыкаемых квадратичных форм и мнскестао ■ ограниченных снизу самосопряженных операторов. Область опрэделения ассоциированной квадратичной формы шире: dan dan(®)í/2 2 dan Ф, поэтому в дальнейшем изложении'•. для описания динамической полугруппы мы используем интегральное уравнение Линдблада с правой частью в виде интеграла плотно определенных квадратичных форм:

г • 1 Р((Х) «У*г 1Пг+ /Оз Ф,(Ра(Л) «Г^а . (3)

о ^ ^ .

Условия, нажженные на коэффициенты ин1гшисезимальЕого отображения, обеспечивают равномерную априорную оценку для последовательности плотно определенных квадратичных форм

[г , . • _

; оз Ф1(Р3^(Х) )жг_э|[ф] « \х 13(П) т-н *<? -

О .. . '

и существование иинигального разрешающего оператора уравнения (3), обладающего свойствами сильной непрерывности и нормальности, а также полугрупповнм свойством: -

Р^П(Х) = э-1иЬ ?{п\х), Т>0 (4)

р[лНх) = I + |; сгз Ф^-^а))

Более точно, имеет место

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть е'СРп^(ш) и пусть выполнены условия (1) и условия согласованности.. Тогва существует^ наименьшая рщхшяя

грань ) последоЗапельноатм убсвлетвор&оиря уравнения.

(3) и являщаяся дшавтесхой полугруппой.

Термин "миндальная" динамическая полугруша .связан с тем, . что предел обладает следукадш свойством минимальности,

вытеканцим из определения (4): • ' ч

1%1п(Х) £ Р{(Х) _ ■ V х * в+(Я),

где Р^(Х) - любое решенив уравнения (3), являкщееся динамической полугруппой, - Важно откатить, что в классе консервативных ограниченных вполне " жшжительных и сильно непрерывных относительно t е "я+ решений уравнения (3) консервативная

ч

минимальная динамическая полугруппа является единственным представителем. ' Это свойство минимального решения уравнения Линдблада обобщает в неабелевом случае известное свойство минимальных решений уравнения Колмогорова-Феллера.

Иногэство значений резольвенты минимальной динамической полугруппы

Кх = (X: X = ^1п(В\ <Я, Яе А. >0, В е В(П)) £ 5(70

не зависит от Я и является естественной областью определения ее ин^ияитезимальЕОго отобракеиня. В дальнейшем изложении'мы полагаем Х=7 и обозначаем через Л. Независимо от • того,

консервативна или нет полугруппа , множество значений

резольвенты плотно в сильной и о-слабой топологиях.

ТЕОРЕМА 5.7. Пусть выполнена условия теорели 4.1. Тогда тфмитетшиъное отображение полугруппа Р^пС), удовлетворяющей хятегралъпслу урабкегаи (3), лохеп быть вычислено для мобого Хей:

, Ш1п 4 .

иш [(р? а)-х)Г7-1а)1 = о V лея

как в сильной, так и 8 а-слаб ой. попологияг, где КX¡-ограниченный оператор, действуюи&Л по правилу:

(<$,1,(Х)<?) =_Ф(Х)1:[ф] - (Хф.йр) - (бфДф) = Сф,V ф <= &т в,

а. В=В(Х) -прообраз элемента X агтасипельно резольвентного отображения. -

Основные свойства шовества значений резольвенты Я, устанавливаемые' в леммах 5.1-5.6 , выражаются в терминах ограниченных' вполне положительных нормальных отображений ¿С) и «О:

А(Х) = X 12(1) = е"^ %(Х) ^ сгг| (5)

В частности, если I е К, то

X = А{В) + Q(X) = J СрШВ)) (б)

о

для некоторого В&ВСК). Оказывается, что для любого ХеЯ существует

предел s-ltm Qп(Х)=0.

С топологической точке зрения проблема консервативности в гейзенберговской картине заключается в следующем. Динамическая

полугруша f^in:BCKbB(?i) с неогранЕчэннык ин&знЕтезимвльши отображением 1С) не является непрерывной относительно операторной нормированной топологии, но является непрерывной в сильной и а-слабой топологиях. Поэтому многество -значений ее резольвента 7i плотно в В {71) относительно сильной е а-слабой топодогее, ео ыоз:эт быть не плотным относительно операторной .-Еорш. Консервативность имеет место в том случае, если R плотно в В(?£) относительно нормированной топологии.

Б второй главе диссертации показано, что Ееобходикш и достаточным условием консервативности минимальной данешгчэскай полугруппы является отсутствие полоздтельзнх ограниченных решений уравнения на dam cF, где £(.).- т£ЕННтезкйальнае

отображение динамической полугруппы., в гейзенберговском представлении. Именно,' имеет место '

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть выполнены условия теореж 4.1. Тогда следующие условия эквивалентны.

1. Нииилалъная дшашческая. полугруппа тжерЗаг.тиЗка.

2. йоследователъьхсть 0^(1) слабо сотбиися к нулю при-

3. Уравнение Q(Z) = I не имеет, тюложи/гелъкых агрхйпеысхх решзний из BW) . .

4. Единичный оператор принадлежит лнохеству значений резольвенты.

5. Уравнение 1Ш(Х) = Х^на dam. $ не ияет пологтельних ограниченных решений из SW) .

В частности, для обратимой эволюции.условие .консервативности полугрупп P+J имеет вид условия отсутствия . ограниченных положительных решений X « В (Я) уравнений -

ЦГЯфДср; - (Щ ,йрЛ = ±2(<p,Xsf>) -у (ре ваш. Н,

где Б —плотно определенный симметричный оператор, действующий в И, являкщийся коэффициентом инфинитезимального отображения 1(-). Это условие имеет смысл гейзенберговской формы необходимого и достаточного условия самосопряженности оператора н, которое имеет также эквивалентную форму, совпадающую с известной теоремой об отсутствии в % решений уравнений ±гя*<р = <р .

Сложнее проследить за признаками нарушения консервативности в шредиЕгеровской картине, . поскольку нарушение плотности резольвентного множества полугруппы в нормированной топологии не влечет за собой-существование нетривиального ядра у резольвенты полугруппы Теорема 8.4 утверждает .что полугруппы и

консервативны тогда и только тогда, когда.

и.-итЩ*)п(р)=0 V р«¿Г+(70, ' (7)

где £3*С) - отображение, предсопрякенное к ) относительно введенной выше билинейной формы на Т{К)*В{П). Отсутствие в Т(Н) максимального элемента среди всех положительных операторов с единичным следом не позволяет упростить указанное условие и ограничатся его проверкой для максимального элемента.

В том случае, если нарушено необходимое условие консервативности минимальной' динамической полугруппы, существуют ее консзрзатиЕНые расширения. Цример класса таких расширений дает следующая теорема. •

ТЕОРЕМ! 10.2. Пусть выполнены условия теореш 4.1 и о(-) -произвольное норхиъное состояние. Тогда наилекьвая верхняя грань лтотаннай ограниченной тюслевовапелъирсш нормальных вполне положительных отображений'

=-з-1иЬ хр^СХ),. %[0)<Х)=аСХК; Х>0

%(гп){Х) « 1Г£ I V [ I <3а Ф^%(3п~1)(Х)) \ «• о

является консервативной динамической, полугруппой, удовлетворяхщэй интегральном} уравнению Линдблада.

Третья глава диссертации пссвящена выводу конструктивных достаточных условий консервативности, использующих, некоторые подготовительные результаты, основанные на слэдущем разловении определенного выше отображения QC) в точке I:

Cd) = (Г + S'1)"1,

где S - полонйгельный обратимый самосопряженный оператор. В §11 доказано новое неравенство иенсеновского типа для вполне полокйтельных отображений (смЛ91).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11.1, Пусть Ж е CT{71), а апзрашри Х£ и Г,1 положительны, и ограничены. Тогда имеет лёсгпо неравенство

xui+ZjU...+Х^Г1) s (M(ir1mzir1+-..+MOrir1rir (8)

Чтобы поясннть полученное няне условие t придавим формально неравенство (8) для отобрашния М(') QC) 'з точке (I +

Qn+1(I) = ea_i(Q(I+S_7)"?) £ (f'-~1 UQiir^QiS)-1 Г1 =

(9)

Q7г";((I-гS"r+a(S)~?)~, a+s~UQ(srU...+Qri<,sr1 )~1.

Любое состояние а можно рассматривать кек одэ:.:евт из конуса нормальных вполне полоаетельных отобргданзй . СРпСН). По зет;,«у для чистого состояния о(Х)=<ф|Х|ф>, 11(>g—f емоэм:

а(ф+1 (I)) < (/+<ф|5|ф>"5+...+<ф10,г(5)|(|»'"5)~7-

Таким образом,' достаточное условие консервативности Qn(I) ^ О

выполнено формально, если для любого ф кз плотного в Н шокества D расходится ряд: ,

со

I = со. (10)

Если оператор S ограничен, то ^(SjsfSf и условие (10) заведомо выполнено; в тех случаях, когда оператор S нз ограничен, услоене (10) требует уточнения.

Обозначил через S^ ограниченный,. полозштельшй оператор, соответствующий положительному самосопряженному оператору S:

Sx = S(I + XS)~1, \>0,

и пусть Л = f 1 ], £ -множество последователь-

fe

ностей f^g . используемых для регуляризации положительное самосопряженных операторов. Из неравенства (8) и . вспомогательных оценок, полученных в лемме 12.2, следует регуляризованный вариант неравенства (9):

* Ф+1т * 11 xh + (i+ 2

о о R.

который приводит к оценке .

а -1 Я)\$> s е + [i+ I )|ф> 7] , V ф¿н, |ф|=?

о Ä

из которой вытекает следусцзй критерий консервативности.

ТЕОРЕМА 12.2. Достаточное услоЗиэ консервативности, . выполнено, если

а

ir.f sup У <cb|Oft(S ) ]<!)>"' = ю es(o.-l) OjgMA £ ' '

для любого ф из некоторого плотного в % лнояэстба.

В свою очередь, условия расходимости (10) тривиализузтея,

если

Qn(Sx) < С^ФШ+С^) (11)

ДЛЯ любого Х<а{б,1] при НЭКОТОрЫХ и Cg, 3ß зависящих ОТ 71 и X.

ТЮРЕМ' 13.2. Неравенство (11) Выполнено и _ ммижальная дияалихесхая полугруппа консервативна, если для некоторого вещественного С и некоторого Ж&2 илет лесто следукхре оценки для нвадратчнш: фор.а на х2от G1* :

Ф(Фх),[ф]- (ftp.Gp) - ((Зф,Фф).< С Ф(1),[ф], V х«(0,/],

11Н,№)~11,>-С

где Ф-А = Ф'1)(1+А.Ф(1))~?, а [Я.ЗГ7]^ -квадратичная форла на йотГр, действующая по правилу

[г/,Ф~\[<р] = (Яф,Ф~1ф) " №~1(р,Ь'(р).

ТЕОРЕМА 13.3. Если для некоторого ш определена

квадратичная форла Ф(Ф[1)):( татя, что

1Ы Ф(ФХ(1))^ф! = 'лр <= <2ал

А-^О •

то б достотг-атл условии _(12) лохно полошпь 1-0.

§14 посвящен обсуждения пашого набора предположений, используемых в диссертации для проверки достаточных условий консервативности. Примеры и юатрпрЕЫэры, иллюстрирующие использование условий (7), (12) приводятся в. §§7,15.

Четвертая глава диссертационной работа посвящена цркзкеншз регулярных скачкообразных марковских . процессов для внвода вероятностных представлений решешзй задачи Кошз для уравкенЕй КЕЗНТОВОЙ КеХЗНЕКЕ.

Преобразование вероятностной шрл, использованное в работах [1-23, сохраняет oi.ec-.ii в классе регулярных процеоссв с неограниченной интенсивностью скачков. Свойство регулярности 2 данном случае означает, что. на лззбом конзчном отрезке врэкзни процесс совершает конечное число скччшз с вероятностью едаыща. Именно такие процессы на гладких шогообрганях участвуют .в используемых в главе 4 конструкциях вероятностных представлений решений уравнений квантовой ызханйки.

Пусть К -локально компактная абелева групйа, являвщаяся-фазовым пространством непрерывного спрзЕа марковского скачкообразного процесса с ограниченной- интенсивностью скачков згф) а распределением величины скачка |х(й,В) из точки к, В (К) -бсрелевскйя о-алгебра подкножеств алгебра К и и.-инваршш-вая мера.на 1С. ге и р. называются параметра,® скачкообразного процесса.*

Обозначив через М^ + -математическое оавдаше относительно условной веройтностной ыеры процесса р„, начинающегося в момент-времени í в точке рел и распространяют,егося в обратном направлении

времени до момента т=0. Через р0 в дальнейшем изложении обозначено случайное положение траектории в момент т=0.

Обозначим через и Sp^ [р^З функционалы скачкообраз-

ного процесса, зависящие от значений траектории на' полуотрезке

г

si1 hp^ = ]'гягрх; - ix(p^.))dx,

о

t .. •

S(t2hpJ j (Ф fpT,qJ ^T) v(dl,dq\pv), ' K °

гд8.т((эДЗ,В|рг; -целочисленная пуассоновскея мера, равная числу скачков за время (з,1] вдоль траектории р , значения которых принадлежат бсрзлевскому. множеству. В. -

' ТЮРЕМ 16.1. Пусть Н:К - Я -иэлершюя вещественная локально ограниченная фунщия на группе К, ге:Х-»Д+ и Ф: ZxE [0,2%) -ограниченные изяерише функции, \i(k,B) -излершюе по й при фиксгюовсннол в е В (К) селейство вероятностных лер. Тогда фуящисуии, ехр (lSip%l), S = S1 + S2 абсолютю интегрируел относительно а иззершяя ограниченная функция

(p(p,t) = tf t eapf-^tp^.]; Ф0Гр0;, (13).

фГр/tJ = VtmQ(p), ф0 « п Ъ^К.т) о Ъ2(К,т)

является решениях еадоии. Кот для уравнения Ередшгера в илпульснал представлении

д „ : . igj ФГРД^ = гяср; + rj фСр,(;, фСр.о; = %(р), <н)

гЭе ? <р(р) = sefp; J ехр(1Ф(р,Ц)) \i(p,dq) (p(p>-q).

К

Заметим, что формула- (13) имеет смысл континуального интеграла Фэйнмана ;в ишульсном . представлении: в работе 121 показано, что интерряроваше но пространственным переменным в континуальном интеграле Фейнмана в фазовом пространстве дает выражение (13). -

Если скачкообразный процесс с параметрами г и ц регулярен, то теорема 17.1 позволяет построить семейство сильно непрерывных снимающих однопараметрических полугрупп действуэдвх по

правилу

<?(р) = * г ехр^ЬБ^Ьр^) ФГр0).

t

где 3г1'Л[Рх] = ¡(Н(Р~> + 1тгЛпи,-&(рх)))а.1.

о

Следующая теорзма описывает • метод стохастической регуляризации континуального .интеграла в том случае, есж интенсивность скачков к (г), не ограничена и изтэ?гатическое озЕдашгз (13) является не собственным интегралам Лебега.

ТЮША П.2. Пусхгь ■■ " "

(а) (И + 7/' -салосояряхсншй счэряхор 3 Ъ^Е-.я), порохдавщий унитарную сЗкопарсшзшрииесщр 'группу и+'= ехр(-ъ(В +

(б) случайный процесс с паралсщкиш гг а ц рэгулярзк;

(в) = о(1) при К->г» б^я любого фиксировсшого

Сг,) ¡¡зг^Г70фО = о(1) при. йля н&втсрого фиксированного Я>3 и

лойого (ргЬрП.и.!, гЗе -оператор умножении на

= тах(0,&(р)-„*)/(Х + 1В(р)).

Тогда последовательность сильно н&грзры&ны? схилища: полугрупп ' и^) сильно сходимся к унитарной .групт и?.

В импульсном представлении к Б?ду (14) -сводятся ураззенйв Щрвдантбра с векторный потенциалом, а ■ также' системы уравнений Паули и Дирака:&=Е3х£2п, и=0 в случае уразпзиая Шрэзе5нгера,5В=1 ^дзк уравнзння Паул;!, т=2 для сестзмы Дврека.- Как показано в четверо главе, условия (а-г) теоремы 17.2 взюгшны в так случае-, еслг компоненты потенциала электрокаггнтйзго пощ ' нэ&шгсл фурье-образаш комплексная мэр конечной абсошсткэй шжавди, удовлетворяющих услозив эриитовости оператора 7 и ейшгг юрак& два конечных абсолютных момента.

Основные результаты и выводы.

1. В диссертации введено понятие минимальной динамической полугруппы в. гейзенберговском представлении. Показано, что минимальная динашческея полугруппа консервативна тогда и только тогда, когда уравнение L(X) = X, где Ц.) -инфинитезимальное отобранение минимальной динамической полугруппы в гейзенберговском представлении, " не тлеет пояснительных ограниченных решений из алгебры фон Неймана.

2. Доказана единственность решения уравнения Линдблада, являющегося динакйческой полугруппой, з том случае,- когда минимальная динамическая полугруппа консервативна. Показано, -'что инфинитезимальное отобрагенЕз минимальной динамической полугруппы всегда допускает консервативные расширения и указана их конструкция.

3. Получены новые конструктивные достаточные условия консервативности минимальных динамических полугрупп, применимые для анализа регулярности скачкообразных марковских процессов с неограниченной интенсивностью скачков.

4. Для класса фейнманонских коктанувльнях ннтегралов в импульсном представлении предложен новый способ стохастической регуляризации.

ОсЕовттае результата ярссергацзи опубликованы в сладутядас работах:

1. Чеботарев A.M. О представления решения уравнения Шредингера в виде математического олздания функционала скачкообразного процесса. //Ш*тем.задатки,1978. -Т.24, N.5. -С.699-705.

2. Cnebotarer А .К., MasloY 7.?. Processus de sauts et leur applications dans la mecanique quantique.// Lecture Notes in Phys. 19T9. -V.106, -P.58-72.

3. Чеботарев A.M. Скачкообразные процессы с неограниченной штенсивностьга скачков а их применения-//Четвертая Иездународявя Вильнюсская конференция по теории- вероятностей, и математической статистике. Вильнюс, Г986. Y.3, -С.282-284.

4. Чеботарев A.M. Аппроксимативно полные множества обобщенной меры

Фейнмана, //ДАН СССР. -198S,-T.298,N.2. -G.52-57.

5. Чеботарев A.M. Достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов. // Теория вероятностей и ее приложения. -1988, -Т.ЗЗ.К.1. -С.25-39.

6. Cliebotare? A.M. The theory of dynamical semigroups and its applications.// In: Probability Theory and Mathematical Statistics, Utrecht. The Netherlands,- 1989. -V.1.' -P.217-227.

7. Chebotarev А.Ы. On,regularity of the Karkov Jump processes in the Polish space and some applications to the Schrodinger equation.// In: Stochastic Methods in Mathematics and Physics. World Scientific, Singapore,1989. -Т.96-105.

8. Cbebotarey A.K. The 'theory of* the conservative dynamical semigroups and its applications.//In: Stochastic Methods in Experimental Sciences. World Scientific, Singapore.-!990. -P.79-96.

9. Чеботарев A.Mr Достаточные "консерватЕЕЕОсТЕ динамических полугрупп. //Теоретическая ж математич. йжзика. -1989,-1.80, N.2, -С. 192—211.

10. Чеботарев. A.M. Необходкше и достаточные условий консервативности, динамических полугрупп.//ВИНКН*, Итоги -науки и техники. Современные проблемы математики. -1990,-Т.36. -0.149-18-4.

11. Константинов А.А., Маслов ВЛ1. .Чеботарев Д.И. Вероятностные представления решений задачи Кожи для уравнений Щрэдингера, Паули.Дкрака.// Успехи матем. наук. -1993,-Т.45, Н.6. -С.3-24.

12. Chebotarev A.M. Minimal solutions in classical and quantum stochastics. //In: Quantum Probability and Belated Topics. World

Scientific, Singapore.-1992. -P.79-91. ■