Теория распределения линейных элементов оснащенных дифференциально-геометрической структурой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГо

1 1 ! ' МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ яыеш1 В. И. ЛЕШЗПА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукоппсп

АК51АТОВ Барпы

ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИИЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, ОСНАЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

01.01.04 — геометрия и топологпя

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученей степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии МПГУ имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор фдзико-математнческпх паук, профессор H. М. ОСТИАНУ

Офнциальпые оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Л. Е. ЕВТУШИК

доктор физико-математических наук, профессор В. В. РЫЖКОВ

Ведущая организация — Калининградский государственный университет.

Защита состоится «...9^.....».....UtP.li^.....1993 года в./>ЗС.?£...час

на заседании Специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, Математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (адрес университета: 119435, Москва, улица Малая Пироговская, д. 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент ' ' ' Г. А. КАРАСЕВ

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В современных дифференциально-геометрических исследованиях <? -структур на многообразиях можно различать два аспекта:исследованиа многообразия Мп , оснащенного некоторой 0- -структурой,т.е. фактически изучение геометрии структурного поля С -структуры и изучение структур, индуцированию: на погруженном многообразии структурой объемлющего многообразия.

Исследование геометрии многообразия с заданной на нем дифференциально-геометрической структурой,т.е. структурой,определенной заданием на нем поля некоторого геометрического объекта № .присоединенного к определенной группе Ли /в частности, к дифференциальной группе йп9 некоторого порядка 5 / можно проводить относительно редуцированной группы, т.е. стационарной подгруппы структурного объекта АХ/ .Однако при этом часть компонент структурного объекта или все его компоненты принимает постоянные значения и их роль в аналитич еских построениях становятся но очевидной.

Геометрическая теория распределений линейных элементов на многообразиях,оснащенных различными дифференциально-геометрическими структурами,естественно вписывается в более широкую тему - теория 0- -структур на многообразиях,представляющую один из основных разделов современной дифференциальной геометрии. Она тесно связана с теорией ЗГ-структур на многообразиях, тео-л рией композиций Нордена,теорией сетей-и находит широкое применение в исследовании погруженных многообразий.

Таким образом,теория распределений линейных элементов на многообразиях .составляет один из наиболее актуальных разделов современной дифференциальной геометрии.

Целью работы является построение геометрии распределений многомерных линейных элементов на многообразии Мл, в том числе оснащенном поч^ти комплексной структурой ^ .путем изучения полей фундаментальных объектов распределения,включающих и структурные объекты,заданной на Мя &-структуры,а также объектов,охваченных фундаментальными..

Научная новивна диссертационной работы заключается в том, что установлены новые факты теории распределений линейных элементов на дифференцируемых многообразиях.

_ 4 -

В наиболее общем репере построены:

- геометрический объект,определяющий нормально оснащающее поле распределения Л и пучок таких полей;

- объект,определяющий в М„распределение гиперплоскостных элементов,играющий существенное значение в построении геометрии распределения А .

Выявлены структуры,индуцированные на распределении нормально оснащающими полями: /-структура,почта контактная структура, С (^-структура.

Дана классификация /-структур, индуцированных на

распределении А коразмерности 2.

Доказано,что задание .распределения линейных элементов индуцирует ъМ,/?/ обобщенную композицию Нордена и ступенчатую структуру.

Метод исследования - инвариантный метод дифференциально-геометрических исследований Г.Ф.Лаптева,основанный на теории ■ групп Ли и аналитическом аппарате внешней дкффе^внциошюй алгебры.

Научное и прикладное значение.

Работа ыизет теоретический «характер. Прагстическое значение работы обусловлено еозюзкостью использования ее результатов в дальнейших исследованиях других дифферевдиально-геометр!-чееккх структур,а также при изучении подмногообразий в дифференцируемых многообразиях,наделенных различными Структурами.

Атгообаття работу. Основные результаты дсяосоны на семинаре по дифференциальной геометрии при кафездрз гесьтетриа Московского Государственного педагогического университета казна В,И, Ленина /ноябрь 1982 - карт 1993 /; на коллоквиуме ш С- -структурам при Черновицком университете /май 1982г./; ка сеюшаро • по дифференциальной геометрий при Отделе магемагакв ©'ШТИ - руководитель профессор К.М.Остиану /1982 - 1333гг./; ка Прибалтийской конференций по проблемам геометрий ДаяЕки,иай 1934г./ ; на сколе по дафферегишаяьной геометрии при '.'ерковлцко:.', унявор- . ситето /май.,1937г./; на УП Всесоюзной конференции по проблемам геометрии /Кишинев,сентябрь 1968 г. /. '

1Ту(1л1!като;д> Ослогное содержание выыыгыниых исследований" отражено в сеьа опубликованных работах Г1-1 - С 7Л . Статьи наппсанн без соавторов.

Структура, и объем работы. Диссертационная работа состоит .

_ 5 - ■

из .введения, трех глав,включающих.10 параграфов,списка цитируемой литературы из 83 наименованийизложенных на 99 страницах машинописного текста»

Использованные индексы пробегают следующие значения:

У, Х,1., ... - у, 2,... , п; С ,...=•/, Л,..., т-

а, а, с,.... = и г, ...,и-/}

. <Л Т, у , ... = т + 4, п-1.

При необходимости изменения индексов в процессе изложения текста дана дополнительные пояснения. Нумерация формул и пунктов сквозная внутри каждой главы.

Краткое содержание диссертации.

Во введении излагается предыстория вопроса,обосновывается актуальность темы,формулируются цели и задачи,раскрывается новизна и практическая значимость диссертационной работы и приводится краткое содержание.

Предметом исследования данной диссертации является распределение многомерных лилейных элементов четной размерности -в многообразии И«со связностью Г »оснащенном почти комплексной структурой % .

Эта тема более емкая,чем исследование Мт~ подмногообразий и,более того,в случае инюлютивности распределения листы его несут геометрию т -мерного подмногообразия Мт.

Заданная на многообразии М„ 5-структура,индуцирует на Ат различные С- -структуры,которые характеризуются тем^что их структурные объекты поролздают соответствуйте поля,оцределенные на самом многообразии М п.

При специализации репера часть компонент структурного объекта /или все / принимают постоянные значения и их роль в аналитических построениях становится не очевидной.В нашей работе мы следовали методу построения геометрии оснащенных многообразий,разработанному Г.Ф.Лаптовым С21 й широко использу емому в исследованиях его учеников и последователей /Л.Е.Ввту-шик,Н,М.Остиану,В.С.Малаховский,Н.Д.Поляков, Э.Д.Ллжибая.Р.Ф. ДомбровскийД.Н.Балазюк и многие другие/»при котором исследование проводится,вообще говоря,в свободном репере, а редукция . структурной группы осуществляется путем частичной канонизации

репера,коддыя раз выбранной в соответствии с конкретной задачей установления геометрического факта,для упрощения выкладок; Канонизация репера достигается путем приведения к постоянным значениям компонент того или иного геометрического объекта.внутренне присоединенного к исследуемому многообразию.

Отметим,что заданное распределение,которое само задает на Мп С--структуру /Т-структуру по Леграну С11 /.порождает на Мп новые О-структуры;

В первой главе "Об инвариантном построении геометрии распределений (п -мерных линейных элементов в дифференцируемом многообразии Мц" в предположении,что на мпзадано поле объекта связности Г .проводится изучение геометрии распределения химерных линейных элементов Л .определенных полем геометрического объекта ¡А7.},именуемого структурным объектом распределения А . К текущему элементу распределения присоединяется семейство векторных реперов IЩ} .допускающих в качестве группы преобразований дифференциальную группу первого порядка Ъ^ [37 .В § 1 подготавливается аппарат,необходимой для дальнейших исследований. Выводятся дифференциальные уравнения фундаментальных объектов распределения' первого и второго порядков:

В текущем элементе распределения Л вводится система линейно независимых векторов Л* .инвариантных относительно групповых преобразований полной линейной группы (г1(т,Ц{) с инвариантными формами = ¿5у + Щ ¿5* , ^ = А* Л^.

Поле такой системы векторов определяется на Мп уравнениями

Это создает определенные удобства при дальнейших построениях: и в то не время дает возможность сохранить в неканонизированном виде компоненты структурного объекта ! А?}.

Выводятся дифференциальные уравнения поля норме льно оснащающих /я-"7/-мерных подпространств распределения Л .

В § 2 построен геометрический объект определяющий внутренне присоединенное к распределении Л нормально оснащаэ-щее поле. Компоненты этого объекта является функциями фундаментального объекта первою поряддса ралатедел9Г.яя Л ,,т.е.объекта ?Д?,Лу .Построение этого охвата вбивает. слгределенные вычислительные трудности,а также'требует наличия нетривзалнюго относительного инварианта,судвствовавдао т,оторого было доказано

в работах П.И.Швейкина и Н.М.Остиану. Построенная нормальi по типу охвата объекта i^}аналогична квазинормали в пространстве проективной связности,построенной в [4] . В дальнейшем мы называем ее нормалью Лаптева - Остиану.

Охват компонент нормально оснащающего распределения записывается следующим образом:

где - тензоры. Функции .вместе с ^ = + \ >

образуют геометрический объект ft'},определяющий нормально оснащающее поле „ ^ „ „ ,

§ 3 посвящен построению внутренне присоединенного к А объекта,определяющего поле гиперплоскостных элементов И . Геометрическая характеристика элементов этого поля следующая. В кавдой точке хеЦ, элемент Н является касательной плоскостью гиперквадрики, имеющей касание второго порядка с соответствующим элементом Тем самым мы подтверждаем наш тезис,что заданная на Mo ' G'-структура,определяемая распределением Л .порождает на М„ новые - С- -структуры.

; Структурный: объект распределения Н охвачен фундаментальным объектом второго порядка распределения А ,т.е. он определен во второй дифференциальной окрестности.

Распределение Н играет существенное значение при наших дальнейших исследованиях.

В третей дифференциальной окрестности определяется поле векторов -t .которое является ноичачый) оснащающим полем распределения Н • Геометрическая характеристика этого поля состоит в том,что элементы распределения Ня. смещаются параллельно при смещении точки я*М*по кривым,касающимся в этой точке нормали Мы называем эту норкаль обобщенной нормалью Алщибаи.

Элементы нормально оснащающего поля t .построенного в § 2, пересекают г ^здой точке-^ссответсвтующий элемент Н* по /п т-i /—мерному, no.^npocTpai:cTBj такому.что Ах U tx~ Нх» Это поло t можно цнтерпрэтирозать как Н -виртуальное нормально оснащающее поле р&определения А •. Построив далее Н -виртуаль- ■■ ную нормаль Лаптевг-Оптиалу дая распределения А ,мы доказываем, ч^то в каждой точке она сотаглет с Н -виртуальной нормалью •ij. .Тем самым теоре^п: В каждой точкег^Иппересечение

нормали Лаптева-Остиану Ь распределения Л с соответствующим элементом распределения И является М-виртуальной нормалью Лаптева-Остиану этого распределения А .

Доказательство этой теоремы потребовало проведения сложных выкладок в связи с чем мы провели частичную канонизацию репера.

Результаты исследования,проведенного в этой главе,могут быть использованы при изучении распределений на многообразиях, независимо от того, являются ли они априори оснащенными дополнительными <3- -структурами.

В главе П " Индуцированные структуры на распределениях А к Ив многообразии почти комплексной структуры "исследование проводится в предположении,что на Мп,кроме поля объекта связности Г .задана почти комплексная структура,определенная полем объекта # : . Предполагается также,что размерность

элемента распределения А равна т<пЧ . Ставится задача выявления и исследования С- -структур,индуцированных на А и И С--структурами,заданными наМ „ и определенными нами в главе "I, а также структур,индуцированных на М„ структурными и фундаментальными объектами распределен^ А и Н . Как известно Д 1 /, если распределение Л оснащено нормально оснащающим полем N , то на нем индуцируется //ЭД/ /-структура,определенная четверкой полей структурных объектов - линейных однородных объектов:

» , Г^} присоединенных к произведению групп ОИС">,Ю -х- о-£Сп-")>Ю' с инвариантными формата и г^ , введенными в гл. I /"Основная теорема" [73/. Если ранги матриц структурных объектов максимальны, то структура называется //? 1$ /-структурой общего типа или,по терминологии Н.Д.Полякова С 91 .классической /-структурой,т.е.-роди / т, п- т, 2т-п, п-т Д

На распределэнии Н .оснащенном полем пор,чалой <£ ,при условии, что I , такие индуцируется ассоциированная с I /^^р/-структура рода /п-иип-г,А /.Поскольку нормаль I ш/-тренне присоединена к распределению Н »то и /-струк-

тура внутренне к нему присоединена,т.е. доролда^тся са--зм. распределением.

В общем случае нормаль 14М - Двуыврпая плоскость,натянутая на нормаль -С и на ее образ М ,перрсэкает элемент рас-

пределения Н по прямой,направляющим вектором которой является структурный вектор £ .индуцированной на Н //f #//-структуры, ассоциированной с нормалью I Дтверядение 2 /.

Теорема 2. В многообразии почти комплексной струк-■, туры с любым полем одномерных нормалей распределения Н .элементы которого не принадлежат распределению гМ .однозначно ассоциируется поле нормалей Сл .индуцирующих на Н-почти контактную структуру.

Поле любой одномерной нормали N распределения Н индуцир- / ует на этом распределении однопараметрическое семейство flilff-структур /Утверждение 3 /.

Теорема 3. С каждой нормалью однопарамотрического семейства нормалей N[\) распределения Н ассоциируется однопараметрическое семейство /■fi'lf /-структур,содержащее одну почти контактную структуру.

Следствие. С любой нормалью однопараметрического семейства нормалей IYM распределения Н ассоциируется определенная на Н Оргструктура С 81 /см. § 1,п.5/.

§ 3 Н-виртуальной нормалью распределения Л названо подпространство такое,что ЛхПУх=5я:} и AZ\J Vx= Нх • В этом параграфе изучаются структуры,индуцированные наД Н-виртуальными нормалями. Найдены структуры,индуцированные на распределении Д почти контактной структурой распределения Н . Раздельно рассматриваются 2-случая а) Дх-С ; cfjЛхЛ 7^= g, где %-Hx.fi JHx и cUmPz-m-i . Пусть Л оснащено полем Н -виртуальных нормалей V . В случае О.) на распределении Л возникает /f^lf /-структура рода /m,n-m-i,?nt-tm,ti-m-4 /.индуцированная почти контактной структурой,определенной в распределении Н , /Утверждение 4 /. В случае б) на распределении А возникает //f ЧР /-структура рода /т, п-т,Ят-п, п-т /.определенная почти контактной структурой распределения Н .

В § 4 строятся геометрические объекты,внутренне присоединенные к распределению Л«которые определяют связности,возникающие в распределении А »а также в ряде ассоциированных о Л полей линейных элементов. • о

В этом параграфе для большей наглядности роли,которую играет объект связности Г в проводимых построениях,не будем считать,что компоненты Г приведены к нулевым значениям.При

этом однозначно определяются связанные с распределением А два поля объектов и {|, определяющие на распределении Л тангенциальную и нормальную связности,которые мы будем называть соответственно горизонтальной и вертикальной связноетями.Если репер адаптирован распределению Л и нормально оснащающему распределению N » то функции и ^ являются подобъектами. объекта Г /Утверждение 6/. Так как предполагается,что-Л оснащено полем нормалей общего типа,то на А индуцируется /Уу^/У-структура.Строим теперь "горизонтальную"и " вертикальнуюЯ ; связности распределений ^ и | .которыэ'названы нами,соответственно, Л -виртуальными горизонтальной и. вертикальной связ-ностями и ,где = ьят-п ; 'С,<Г,... »^я-^т.цослв ряда промежуточных построений мы находим ,что , .

^ = -г Ч^ . ' Р = я-т . Далее.вводя тензор .который охвачен продолжением структурного объекта .где }-подобъект структурного объекта -/• /-структуры) , ш частично деформируем связность , положив ^=, и устанавливаем,что в связности 5тензор ковариантно постоянен; |

Теорема 4; Связность .полученная деформацией связности :

при помощи тензора "слабой" деформации вдоль кривых, принад- ; лежащих распределению £ .является •/• -связностью,

В главе Ш "Распределение линейных элементов коразыер-ности два в многообразии почта комплексной структуры Мпн при , использовании проведенных в предыдущих двух главах исоледова- . ний и получешшх результатов.изучена геометрия распределения линейных элементов коразмерности два;

Как было доказано в главе П § 1 , на распределении Д линейных элементов в многообразии почти комплексной структуры • нормально оснащающее поле V индуцирует дифферешщально-геоме*-. рическую структуру,названную [7] /-структурой.В зава- . .' ».-/

симости от типа распределения А и тип^гШьекта У, обусловлен- 1 ного расположением его элементов ^ .'относительно образа распределения Л и образа ¿Г)^ элементов самого поля у , индуцированная /-структура может быть различного рода / см. главу П. | 1 /.

В § 1 проведена классификация /4ЪЦ> /структур,индуцированных на распределении линейных элементов коразмерности два

Л* *

Не существует вполне вещественных распределений коразмерности два. Следовательно класс 1 для распределений Агпуст. К классу П отнесены распределения Лгтакие,что о<сйт(лг(1Э/Р)'гп и, следовательно, с1ст(ляП]лг) ~ ш-2 . Этот класс характеризуется тем,что ранг П^ЦяЯ.К классу Ш отнесены распределения/* такие,что <кт(лхМЛх)^ т.е. ^-инвариантные распределения.Следовательно,ранг II ^//=*<? .

При дальнейшем проведении классификации на основе расположения подпространства относительно <7/1* и выявлено, ч^-то в классе П существуют три подкласса: подкласс а. в свою очередь обладающий подклассами; подкласс "б ; '

подкласс с ¿¿мЩ^ТЬ)*?' »обладающий одним подклассом. В классе Ш по тем же критериям ввделяются три подкласса .однако класс 6 пуст,а в подклассахл и С существует по одному подклассу /см. таблицы 1 и 2 /.

Теорема .1. 'На распределении элементов коразмерности два Дгв многообразии в случае, корда оит(лхОРЛг) минимально возможная при всевозможных оснащениях распределения Аг полями двумерных нормалей индуцируется /У? /-структура следующих родов: Стл,»<-л,2)>(т-1Хт-г/),(п1-г,г,т-г,о),ст,о,т-2,2).

Для класса Ш индуцируется /У??/ /-структура следующих родов /т&,о,г /, / т,е,с>2/ и только таких / Теорема 2 /. *

В § 2 изучаются горизонтально оснащенные распределения А • Понятие касательно оснащающих многообразий фигур было введено В.С.Малаховсюш С 5]; Р.Ф.Домбровский ввел понятие горизонтально оснащенных т-мерных поверхностей в п -мерном мно- . гообразии ГП .

Определение 1. Горизонтально оснащающим распределением л т-мвряых линейных элементов в будем называть распределение,на котором задан» подраСслоение Л ^-мерных линейных элементов такое,что Х^Д* ДЛЯ всех х е .

Распределение Л названо вполне вещественным относительно Д ..если ?ХЛЛ3 -

Заметим,что нормально оснащенное распределение Л клаоса I Й.Гвсегда несет горизонтально оснащающее,вполне вещественное

- 12 -

относительно Л распределение.

■ Исключим из рассмотрения % -инвариантные распределения-/!. Установлены необходимые и достаточные условия инволютивности •- вполне вещественного относительно Л распределения X/Теорема ^ Поле ^А определяет нормально оснащающее поле распределения Л . Оно индуцируот на Лг/^|£// -структуру рода /п-г, л, т-я,о /, . т.е. дополнительно оснащенную ■/• -структуру ранга т-2 Део-рема -4 /.

Если распределение А инволютивно,то необходимое и достаточное условие инволютивности нормально оснащающего поля Унрсд ' задается равенством: (^-^)У? у/ = О .

§ 3 посвящен описанию ступенчатой структуры,порождаемой на заданным распределением А ^ полями различных объектов, построенных нами в главе 1 и главе П. Мы доказываем,что задание на Мп(%) распределения линейных элементов Л коразмерности два порождает на Мл ступенчатую структуру С 61 , определенную полями объектов,охваченных фундаментальным объектом порядка 3 распределения А .которые были построены нами в данной работе. Эта ступенчатая структура поровдена последовательностью вложенных друг в друга линейных элементов: М ,Л , Р , % , где /Я«, = ЛХП Т'х /, сИтНх=пч) скт/\х-п-2-,(ктрхх11-ь.(Цт^п-Ч.

Из определения каждого из этих геометрических объектов очевидно,что * Н э дх о рх =>

Для И было построено поле нормалей { . По аналогичным формулам строим Н.-виртуальную нормаль V для А , А -виртуальную нормаль <{гдля р , Р-виртуальную нормаль -{Здля \ . Возникает вторая ступенчатая структура, определенная 1-,2-,3-,4-мерными вложенными друг в друга линейными элементами. Элемент ка-ядой ступени первой группы переносится параллельно по соответствующей нормали /его виртуальной нормали / последовательное1- -^при смещении точки® по кривым,касающимся этой

нормали.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

'1. Домбровский Р.Ф. Поля геометрических объектов на многомерных касательно оснащенных поверхностях ъРп /пробл,геометр. т',7. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР.-1975.-С.153 - 171 .

2. Лаптев Г.Ф, Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Гр. Москов.мат.о-ва,- 1953 - 2

С. 275 - 382

3. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезималыше структуры высших порядков на гладком многообразии //Тр.геометр.семинара.Т.1 Aïh-t науч . пнформ. АН СССР.' - 1966. - С. 139 -190 - .

4. Лаптев Г.Ф..Остиану Н.М. Распределения /я-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности 1 //Тр.геометр, семинара. Т.З /Всесоюз.ин-т науч. и техн.пнформ..

ЛИ СССР. - 1971. 2-С. 49-94 ' -

5. Малаховский B.C. Пндуцированно оснащенные многообразия • фигур в однородном пространстве //Тр.геометр.семшара /Всесоюз.ин-т науч. и техн. информ. АН СССР. - 1974. -5,-С. 319-334

6. Остиану Н.М. Сгупенчато-расслоанннв пространства -.-; // Тр. геометр.семинара. Т.5 / ВИНИТИ Ali СССР. - 1974. -С.259 -309

>

7. Остиану Н.М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях //Прбол,геометрии т.8

, ' /Итоги науки и' техн. В1ШИТИ АН СССР.. -1977.- С.43-70

8. Остиану Н.М. Подапогообразия-дифлерешщруег.звс многообразий, наделенных дифЬеронциальио-гооматричесюши структурами. CRf пожногообраэпя в многообразии почти комплексной структура //Итоги науки и те:ш; ВЖГГИ АН СССР.- 1987. Т.19.-0.59-100

9. Поляков Н.Д. Классификация /■/?/-структур //Пробл.геометр. //Итога науки и техн. ВИНЧТИ АН СССР .-1982.-14,-С.57 - 72

ТАБЛИЦА. 1

Класс П dim[ЛЖП7ЛХ)= m-г = п-у, ъапуа^цхг

iCVxn 7)>x = ) ■«.ГЙсП?)'*-^) dim 1x-i C. C^n])>x*fz) dim -л

IS- ■ !/У ^/-СТРУКТУР3 !/классическая ! /41 ^//-структура/ /•ff if /-структура рода о, »-2/

2. ¡//^/-структура !родас*-***'*-*'') dim ¡f*=-2 1 f

3. ! /^//-структура Vxn?Ai-ix ¡рода^-гг,»»-;,^ , = X ' т.е./-структура '•оанга m- 2

ТАБЛИЦА 2.

Класс Ш- (кт(АхПНя)-т-n-iL, tang //£*//=<?

Л. . li-OiflJV*)»?, = W) | dtafcr/- . dim у*

1. Ух П //^/-структура ! рода ¿я?,*, о, г; ! » ///£//-структура рода (ni,o,o,z)

2. екпЪ- i 1 1 1

3. « %

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Акматов Б. Об инвариантном построении геометрии распределений гг) -мерных линейных элементов в дифференцируемом многообразии Мл. // Мое.гос.пединститут им В.И.Ленина М.,1983. -34с. библиогр. 20 назв. -Деп. в Вй'ШТИ 28.05.83. Я2874-83

2. Амлатов Б. Индуцированные структуры на распределениях п-мерных! .элементов в многообразии почти комплексной'структуры ип . /ЛИГИ им. В.И.Ленина. - М., -1983. - 21с.библпог. 23 назв. - Деп. в ВИНИТИ 6.10.83, >5 5505 -83

3. Акматов Б. Классификация /-структур,индуциройшшых на распределении линейных элементов коразмерности'два в* многообразии поч^ги комплексной структуры Мл» //Дифферент геометрия многообразий фигур. - Калининград.ун-т ,1983.-вып.14, С. 5 - 8

4. Акматов Б. О деформации связностей в структурном распределении.^ /у | гц> /-структуры в $///Даффервнц. геометрия многообразий фигур. - Калининград,1985.-вил.16 С. 5-8

5. Акматов Б. О связностях в структурных распределениях индуцированной /-структуры в Мя/З] почти 1сомплексной струк-

. ' туры //Диффер'енц.геометрия многообразий фигур.-'Калининград. ун-т., 1988. - вып. 19. - С. 5-8

6. Акматов Б. С Я,,-структура на распределении коразмерности два А1 в многообразии почти комплексной структуры //Тезисы ХХХУШ научно-теор.конф.преподавателей Ошского пединститута. - Ош. - 1389.. - 151 с.

7. Акматов Е. Горизонтально осяадслнне распределения т-мерных линейных элементов коразмерности два в почти комплексном шогосИраакй КлП/УДлфферекц.-г^ометр. структуры на многообразиях я их ;грплажения // Сб. материалов Всес;геометр, иколы, ЧТУ. Черношн, 1991. -с. 61-64,библногр.2 назв,. -Деп. в ВИНИТй ЦКОИГИ , Л 5п2 - В91 . •