Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем

Иванов, Игорь Анатольевич

Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Иванов, Игорь Анатольевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Троицк МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем»

Автореферат диссертации на тему "Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем"

институт Спектроскопии Российской Академии Наук

на правах рукописи

Иванов Игорь Анатольевич

Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем

01.04.02- теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Троицк 2004

Работа выполнена в Институте Спектроскопии Российской Академии Наук.

Оффициальные оппоненты:

доктор физико-математических наук И.Л.Бейгман доктор физико-математических наук Е.П.Иванова доктор физико-математических наук В.Г.Пальчиков

Ведущая организация: ТРИНИТИ

Государственный Научный Центр РФ

Защита состоится _ тсов

Я^Ь-еА-?_ 2004 г. в

на заседании диссертационного совета Д 002.28.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Институте Спектроскопии Российской Академии Наук по адресу: 142190, г.Троицк Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Спектроскопии Российской Академии Наук.

Автореферат 2004 г.

разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук М.Н.Попова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (несколько десятков). В работе рассмотрены различные физические системы, наиболее важной и интересной из которых является, безусловно, трехчастичная кулоновская задача (точнее ее частный случай-двухэлектронный атом). Трехчастичная кулоновская задача, пожалуй с момента появления количественных методов в физике, служила и служит своего рода испытательной площадкой, где испытываются новые вычислительные методы (как в классической так и в квантово-механической задачах), и где, благодаря достигнутой (часто феноменальной) точности теоретических расчетов, оказывается возможным поиск неизвестных физических эффектов. Помимо этих причин, носящих общенаучный характер, интерес к кулоновской трехчастичной системе диктуется и нуждами более прикладного характера, такими, как необходимость расчетов различных характеристик (спектр связанных и резонансных состояний, характеристик упругих и неупругих столкновений и.т.д.) в трехчастичных кулоновскох системах. В силу упомянутого выше свойства трехчастичных кулоновских систем, как испытательной площадки различных аналитических и вычислительных методов, в развитии которых участвовали виднейшие физики и математики, сказать что-либо новое об этих системах представляется задачей по меньшей мере непростой. Это соображение, основывающееся уже на простом здравом смысле, безусловно

РОС- НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

О®1**»?^шхЛ/0

верно, если пытаться подходить к этой задаче с точки зрения чисто аналитической. Существует, однако, обходной путь, ставший возможным благодаря совершенствованию численных методов расчета. В частности, если говорить о теории возмущений, в литературе имеются расчеты коэффициентов ряда теории возмущений для двухэлектронного атома вплоть до членов очень высокого порядка. Понятно, что информация о свойствах системы в некотором смысле содержится в наборе этих коэффициентов. Выяснению того, как, в каком виде эта информация заключена в этих коэффициентах, и как ее извлечь, и посвящена в значительной мере настоящая работа. Оказывается, что на этом пути возможно найти ряд новых, неизвестных ранее, любопытных свойств трехчастичной кулоновской системы. Предложенный в диссертации подход, таким образом, может быть охарактеризован, как находящийся на стыке аналитического и численного подходов. Следует подчеркнуть, что упомянутые выше новые свойства трехчастичной кулоновской системы оказалось возможным получить, в значительной мере, именно благодаря использованию такого комбинированного подхода, поскольку попытки продвижения чисто аналитическими методами наталкиваются в кулоновой задаче на очень большие трудности.

Целью диссертационной работы является исследование свойств некоторых квантово-механических систем для которых не существует точных решений уравнений Шредингера, но известно достаточно большое число коэффициентов ряда теории возмущений по некоторому малому параметру. Основное внимание уделяется

трехчастичной кулоновской задаче (на примере двухэлектронного атома. Рассматриваются также задачи об эффекте Штарка в водороде и об ангармоническом осцилляторе.

Основные задачи, решаемые в диссертации, состоят в следующем:

1. Исследуются расположение и характер особых точек (в смысле теории функций комлексного переменного) точной нерелятивистской энергии E(Z) основного состояния двухэлектронного атома, рассматриваемой как функция заряда ядра Z.

2. На основании этой информации для энергии удается получить дисперсионное соотношение, которое связывает энергию с интегралом от ее мнимой части, взятым по некоторому контуру в комплексной плоскости. На основе этого соотношения дается объяснение некоторых, найденных ранее в численных расчетах, свойств точной нерелятивистской энергии основного состояния двухэлектронного атома, таких как закон асимптотического поведения коэффициентов ряда теории возмущений по степеням \/Ъ.

3. Используя установленную структуру особых точек функции E(Z), для энергии выводится некоторое интегральное представление (в виде интеграла типа Лапласа), которое позволяет сделать вывод о наличии скрытого малого параметра в трехчастичной кулоновой задаче.

4. Рассмотрены уровни ридберговских серий Ьш (триплеты) и ^^ (сингл еты и триплеты). Задача, которая была поставлена для возбужденных состояний заключалась в выяснении того факта, как, и когда именно исчезают уровни ридберговских серий, если заряд ядра Z рассматривать как параметр. Показано, что модифицированная теория квантового дефекта позволяет описать поведение уровней энергии ясимптотически точным образом (при ).

5.Исследуется структура уровней п1п1' (с одинаковыми главными квантовыми числами) отрицательного иона позитрония (система состоящая из позитрона и двух электронов). Показано, что как и в ранее исследованных

трехчастичных кулоновских системах (отрицательном ионе водорода и атоме гелия), уровни естественным образом могут быть сгруппированы в мультиплеты, соответствующие различным возбуждениям линейной "молекулы", состоящей из позитрона и двух электронов.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые.

Достоверность результатов. Изучаемые в диссертации задачи сформулированы четко, для их решения используются строгие математические методы. Полученные аналитические результаты, где это возможно, подробно иллюстрируются численными расчетами, а развиваемые новые подходы проверяются сравнением с результатами расчетов другими методами, если таковые имеются. Основные результаты диссертации опубликованы в научной печати и обсуждены на семинарах и конференциях.

Теоретическая и практическая значимость. Избранный в диссертации подход, являющийся по сути сплавом аналитического и численного подходов позволил получить ряд новых результатов в задачах (прежде всего в кулоновой задаче трех тел), едва ли поддающихся аналитическому рассмотрению. В части работы относящейся к трехчастичной кулоновской задаче проведено детальное исследование свойств E(Z) (энергии основного состояния и ридберговских S и Р серий) как функции заряда ядра. Проведенное исследование позволило объяснить ряд ранее неистолкованных свойств точных решений квантовой кулоновой задачи, известных в результате численных расчетов. Одним из наиболее любопытных результатов, представленных в работе, является, на наш взгляд, демонстрация факта наличия в кулоновой задаче неизвестного ранее малого безразмерного параметра (порядка 0.01). Этот факт представляет, мы полагаем, значительный

общетеоретический интерес. Как известно, присутствие малого числа в физической задаче часто указывает на существование некоторой приближенной симметрии. Наличие такой симметрии представляет интерес и с более практической точки зрения, так как дает основания полагать, что помимо традиционных наборов координат, используемых для расчетов в атомной физике, существует система координат, явным образом использующая факт наличия малого параметра, в рамках которой можно построить эффективный для практических расчетов вариант теории возмущений. Другим отражением присутствия в трехчастичной кулоновой системе симметрии, наличие которых не следует с очевидностью из Гамильтониана системы, является (известная ранее для отрицательного иона водорода и атома гелия) мультиплетная структура дважды возбужденных уровней п1пБ в трехчастичных кулоновских системах. В работе этот факт подтвержден и для системы отрицательного иона позитрония. Представляется не лишенным интереса и предложенный в работе подход, основанный на модификации известного метода квантового дефекта, к теории Ридберговских уровней двухэлектронных атомов. На основе этого подхода удается описать аналитически поведение энергий Ридберговских уровней при (задача заключалась в описании того, как

именно исчезают Ридберговские уровни, если Ъ рассматривать как параметр), что на наш взгляд является довольно неожиданным результатом, так как при Ъ близких к единице роль корреляций исключительно важна и, по крайней мере на первый взгляд, никакое аналитическое описание невозможно. Помимо трехчастичных кулоновских систем, в работе рассмотрена также задача об эффекте Штарка (с точки зрения теории возмущений, которая является объединяющей темой для данной работы). Показано, что набор коэффициентов ряда теории возмущений определяет не только положение

возникающего в поле резонанса, но и его ширину. Дана процедура определения последней. Это метод, помимо общетеоретического значения, как нам представляется, довольно удобен в практических расчетах, так как зачастую первые несколько коэффициентов ряда теории возмущений по степеням поля известны.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Институте Спектроскопии РАН, в Институте Атомной и Молекулярной Физики (Тайпей, Тайвань), в Медонской Обсерватории (Франция), в Центре Ядерных Исследований в Саклэ (Франция), в Университете Северной Территории (Австралия), на сессиях Австралийского Физического Общества, на 16-ой международной конференции цо физике системы нескольких тел в Тайпее (Тайвань, 1999). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 16 работах (список работ прилагается).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав разбитых на разделы, общим объемом 182 страницы. Оглавление диссертации приведено в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение содержит обоснование, актуальности темы диссертации, формулировку ее целей и краткое описание исследуемых проблем. Дается описание общей постановки задач, исследуемых в диссертации. Типичной будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть, разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей

этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можно извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существование, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и двухэлектронная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1-2] для ангармонического осциллятора, в работах [3-5] для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6] для основного состояния двухэлектронной системы. В качестве возмущения в этих работах принимались квартетный ангармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с элетрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектронное взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым приближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик многозарядных ионов (так называемый 1/2-метод).

Первоочередной вопрос, возникающий при формальном применении рецептов построения теории возмущений, это вопрос о характере полученного ряда. Ряды теории возмущений могут быть, вообще говоря, как сходящимися

(как в случае ряда теории возмущении для двухэлектронной системы [7-8], так и расходящимися асимптотическими, как в задачах об ангармоническом осцилляторе [1-2] или эффекте Штарка в водороде [3]. В случае сходящегося ряда ситуация более-менее понятна, сходящийся' в некоторой окрестности ряд представляет собой элемент аналитической функции, который, в принципе содержит полную информацию об этой аналитической функции. Этот элемент можно, например, продолжить аналитически (мы дадим пример такой процедуры в Гл.2 при обсуждении задачи о двухэлектронной системе). Оказывается, что и расходящиеся асимптотические ряды в некоторых случаях обладают тем свойством, что набор коэффициентов такого ряда позволяет получить полную информации о точном решении. Для этого достаточно, чтобы асимптотический ряд обладал так называемым свойством суммируемости по Борелю. Несколько упрощая, (точная формулировка дана в Главе 5), суммируемость асимптотического ряда по Борелю означает, что существует только одна функция, имеющая в качестве коэффициентов асимптотического разложения коэффициенты этого ряда. Ряды теории возмущений в задачах об ангармоническом осцилляторе и эффекте Штарка обладают этим свойством (подробнее в Гл.5), и, таким образом, как и в случае сходящегося ряда теории возмущений для двухэлектронной системы, набор коэффициентов ряда теории возмущений позволяет, в принципе, получить полную информацию о точном решении соответствующей квантово-механической системы. Вопрос заключается, таким образом, только в том, как эту информацию извлечь. Очевидно, методы, позволяющие решить эту задачу совершенно отличны от методов, годящихся для случая сходящихся рядов. В настоящей работе рассмотриваготся оба эти случая.

Глава 2 В Главе 2 мы рассмотрим задачу о двухэлектронном атоме. Наше изложение в этой Главе следует нашим работам [9-10],[12]. В цитированной выше работе [6] проведен расчет первых 400 коэффициентов ряда теории возмущений по степеням для основного состояния двухэлектронной

системы:

Е{2) = 2г^ЕпГ" (1)

Используя численные значения коэффициентов ряда (1) и некоторые соображения, заимствованные из теории функций комплексного переменного, оказывается возможным получить достаточно полную информацию о свойствах точной энергии E(Z) основного состояния как функции заряда ядра Z. Говоря о свойствах E(Z), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного, т.е. в Гл.2 мы занимаемся прежде всего изучением характера и расположения особых точек функции E(Z) для основного состояния двухэлектронной системы. Подчеркнем, что эта информация может быть получена только в рамках используемого подхода, т.е., с помощью исследования набора коэффициентов ряда теории возмущений по 1^, поскольку результатом, например, высокоточного вариационного расчета энергии, будет число, мало что говорящее о глобальных свойствах энергии, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Опуская детали проведенного исследования, приведем (Рис.1) структуру особых точек функции E(Z) в плоскости (комплексного) переменного Z:

г»=о

г,=о.9иогага

7* X,

г,

Рис.1. Расположение особых точек Е(1).

Эта информация позволяет прийти к довольно неожиданному результату о наличии в задаче о двухэлектроном атоме малого параметра, проявляющегося в том, что в выражение для точной энергии основного состояния этой системы, по-видимому, входит малый (порядка 0.01) параметр. Вывод о наличии в квантовой кулоновой задаче трех тел малого параметра основывается на следующих соображениях. В диссертации показано, что исхода из установленной выше структуры особых точек Е(Ъ), для этой функции можно написать следующее представление

где введено обозначение \=МЪ, параметр X] связан с величиной радиуса сходимости разложения (1) посредством соотношения: А.|=1/К» 1/0.9766079. Подынтегральная функция изображена на Рис.2.

Рис.2. Подынтегральная функция в выражении (2).

Как видно из Рис. 2 функция в выражении (1) очень близка к экспоненциальной фунции (фактически, масштаб ее отступления от экспоненциальной функции характеризуется величинами порядка 0.01), что наглядно демонстрирует присутствие малого параметра в задаче не может конечно быть экспоненциальной функцией точно, так как в этом случае из ф-лы (2) следовала бы рациональная зависимость энергии от 2, что заведомо исключено).

Глава 3. В этой главе мы продолжаем исследование энергии основного состояния как функции заряда ядра 2 с несколько других позиций. Изложение этой Главы следует нашим работам [14-15]. Хорошо известна роль, которую так называемые дисперсионные соотношения играют в физике. Достаточно упомянуть, например, теорию рассеяния. Эффективность дисперсионных соотношений объясняется их "глобальным" характером, их вывод, как правило, основывается на совершенно общих свойствах исследуемых

величин (например, амплитуды рассеяния в теории рассеяния). В Главе 3 мы показываем, что основываясь на самых общих свойствах E(Z) как функции Z (которые были получены в Главе 2), можно получить дисперсионное соотношение для точной энергии основного состояния, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Полученное соотношение имеет вид:

. В С 1гИш£(/),

Е(2) = А + — + — + — -—Л, (3)

2 21 л} 2-1

где А,В,С некоторые, вычислимые, в принципе, константы, и интегрирование ведется вдоль нижнего берега разреза (от точек как показано на Рис. 1). Подчеркнем, что

соотношение (3) носит непертурбативный характер, его вывод основывался на самых общих аналитических (в смысле теории функций комплексного переменного) свойствах E(Z). Пользуясь этим соотношением, мы можем получить аналитическое выражение для асимптотики коэффициентов ряда теории возмущений, найденное ранее в работе [6] с помощью численного анализа коэффициентов ряда теории возмущений:

где некоторые постоянные, приведенные в [6].

Соотношение (3) дает возможность "вывести" эмпирический

асимптотический закон (4), в предположении, что мнимая часть энергии, фигурирующая в (3) имеет вблизи точки следующий вид:

В этом выражении А,р,с некоторые постоянные, выбор которых однозначно определяется значениями постоянных в выражении (4). Выражение (5) написано нами по аналогии с известными решаемыми задачами (эффект Штарка, например), в которых вероятность туннелирования (а именно таков физический смысл мнимой части энергии в припороговой области), можно получить аналитически. Выражение (5) можно, поэтому, рассматривать как естественный анзац, позволяющий объяснить функциональный вид асимптотики коэффициентов высокого порядка ряда теории возмущений по степеням 1/Ъ. Таком образом, найденная ранее в [6] посредством анализа результатов численного расчета, асимптотическая формула (5) получает естественное объяснение.

Глава 4 посвящена рассмотрению некоторых возбужденныех состояний двухэлектронной системы. Результаты, изложенные в этой Главе, получены в работах [22],[24]. В этой Главе мы выходим за рамки подхода использующего только теорию возмущений. Целью нашего исследования является, как и для основного состояния, установление свойств точных решений уравнения Шредингера (в основном точных энергий) для этих состояний. Как и в случае основного состояния, нас прежде

(5)

всего интересуют такие свойства точных энергий En(Z) возбужденных состояний, как характер и расположение особых точек. Метод, основанный на анализе коэффициентов рада теории возмущений, который мы применили для основного состояния в этом случае не применим (в литературе просто нет достаточно точных расчетов коэффициентов 1/^ разложения до членов высокого порядка). Более того, в отличие от случая основного состояния, в литературе нет строгих результатов о свойствах En(Z), аналогичных тем, на которых основывается изложение в Главах 2 и 3, посвященных основному состоянию. Изложение в Главе 4, поэтому, во-многом основывается на физических соображениях. Оказывается возможным, как показано в этой Главе, предложить наглядную физическую модель, которая, как выясняется, оказывается неожиданно удачной для описания этих состояний. Более точно, если рассмотреть двухэлектронную систему "близкую" к иону Н', т.е. систему в которой заряд ядра Z принимает значения близкие к единице, то, несколько модифицируя обычный метод квантового дефекта (а именно, используя факт аналитичности регулярных решений уравнения Шредингера не только как функций энергии, но и функций заряда ядра Z), можно получить выражения для энергии двухэлектронной системы, которые, как показывает проведенный нами численный расчет, становятся тем более точными, чем ближе заряд ядра Z к единице. Для Р-состояний, например, результат для энергий уровней Ридберговской серии выглядит следующим образом:

где выражение для квантового дефекта выглядит следующим образом (ро. р1 некоторые постоянные):

5 =

(7)

Po+MZ-V

Теория квантового дефекта является, по существу, феноменологической теорией, требующей для определения фигурирующих в ней параметров привлечения какой-либо сторонней информации (в качестве таковой могут выступать либо имеющиеся экспериментальные данные, либо результаты каких-либо аЪ initio расчетов. В нашей работе в качестве такой сторонней информации для определения двух констант, возникающих в нашем феноменологическом подходе, мы используем результаты численного расчета энергий низших уровней Ридберговских серий lsns и lsnp серий (то есть энергии уровней Is2s, Is2p. Как показано в главе 4, такой подход приводит к аналитическим выражениям для энергий Ридберговских серий, находящимся, для Z близких к единице, в исключительно хорошем согласии с результатами численного ab initio расчета (о согласии результатов даваемых модифицированным методом квантового дефекта, и точного численного расчета, можно судить по данным, представлвленным на Рис. 3,4.

Рис.3. Квантовый дефект, Рис.4. Квантовый дефект,

формула (7) и численный формула (7) и численный

расчет (сплошная кривая) расчет (сплошная кривая)

1СМ 106 IO> 1.10 111 1J4

IM 106 10» по ш

Степень, с которой результаты результаты аналитического и численного расчетов согласуются (с учетом того, что для всех уровней Ридберговской серии и различных Ъ, описание с помощью формул (6),(7) основывается лишь на двух свободных параметрах), наводят на мысль о том, что аналитический подход основанный на идеях теории квантового дефекта, по-видимому, является асимптотически точным (при 1). Это обстоятельство нам представляется довольно любопытным, так как в теории двухэлектронного атома известно не так много аналитических результатов (тем более при Ъ близких к 1, когда, как можно предположить, роль корреляционных эффектов должна быть исключительно велика).

Глава 5 посвящена рассмотрению другой хорошо известной физической системы для которой известно достаточно большое число коэффициентов разложения теории возмущений- атом водорода в электрическом поле. Изложение этой Главы следует, в основном, результатам полученным в работах [11],[13]. Ряд теории возмущений в этом случае принципиально отличается от 1/Ъ-разложения для двухэлектронной системы. Рецепты построения ряда теории возмущений Рэлея-Шредингера по степеням напряженности электрического поля приводят для атома водорода к ряду, являющемуся лишь асимптотическим, т.е. расходящимся при любых значениях напряженности поля. Такие ряды, как известно, пригодны для описания исследуемой функции с некоторой, вообще говоря ограниченной точностью, то есть при данном значении напряженности поля, частичные суммы ряда хорошо аппроксимируют энергию лишь пока в ряде удерживается некоторое конечное число членов. Если число удерживаемых членов ряда превышает некоторое критическое значение (зависящее конечно от напряженности поля), то частичные суммы такого ряда будут давать для энергии

значения, вообще говоря, весьма сильно от точного значения энергии. Кроме того, поскольку все коэффициенты ряда теории возмущений являются вещественными числами, ряд теории возмущений в этой задаче предоставляет информацию только о положении Штарковского резонанса (с оговорками сделанными выше о конечной достижимой точности), и не дает информации о ширине резонансного уровня. Как было отмечено в начале настоящей главы, имеется теоретическое положение (факт суммируемости ряда теории возмущений по Борелю), которое позволяет сделать вывод, что несмотря на расходимость ряда теории возмущений, его коэффициенты содержат, в принципе, всю информацию как о положениях, так и о ширинах уровней. Возникает, таким образом задача о том, как практически реализовать теоретическое положение о суммируемости ряда теории возмущений в этой задаче по Борелю на практике. В литературе существует ряд методов практической реализации этого подхода, основанных, например, на технике аппроксимант Паде. В Главе 5 мы предлагаем несколько иную процедуру, которая позволяет, исходя из набора коэффициентов теории возмущений, получить некоторый сходящийся ряд, дающий как положения, так и ширины резонансов в атоме водорода в электрическом поле. В этой же Главе, в качестве дополнительной демонстрации эффективности предложенной процедуры, мы рассматриваем задачу об ангармоническом осцилляторе, квантово-механическая система, являющаяся в некотором смысле пробным камнем для тестирования различных вычислительных процедур в квантовой механике. Все основные характеристики ряда теории возмущений в этой задаче (если ангармонический член в Гамильтониане рассматривать как возмущение) те же самые, что и в задаче об атомном Штарк-эффекте, ряд теории возмущений является

асимптотическим и обладает свойством суммируемости по Борелю.

В Главе 6 мы даем детальное описание используемого нами в Главе 3 метода комплексных вращений. Этот метод является, на сегодняшний день, пожалуй самым удобным и мощным средством расчета характеристик (положений и ширин) резонансов в атомных системах. Речь может идти как о резонансах возникающих в электрическом поле, так, например, и об автоионизационных состояниях в атоме. Главное удобство метода заключается в том, что задача о расчете характеристик резонансных состояний сводится к задаче технически мало чем отличающейся от обычного вариационного расчета связанных атомных состояний. В качестве примера применения метода к кулоновским системам мы приводим результаты расчетов параметров (положений и ширин) дважды возбужденных состояний в системе Р8" (состоящей из позитрона и двух электронов). Эти результаты получены в работах [16-21]. Для этих состояний обнаружен (ранее известный для таких систем как Не, Н") факт применимости так называемой К,Т классификации, основанной на теоретико-групповом подходе. Подробнее об этой классификации рассказано в тексте диссертации, здесь отметим тот любопытный (и до сих пор не имеющий последовательного квантово-механического толкования) факт, что квантовые числа К,Т, имеющие чисто теоретико-групповое происхождение, оказываются столь успешными при группировке уровней двыжды-возбужденных состояний в так называемые колебательно-вращательные серии. В качестве иллюстрации на Рис.5,6 приведены эти серии для состояний принадлежащих конфигурациям 313 Г (с одинаковыми главными квантовыми числами) в системе иона Р8"

P*CN=3) thrahold

Рис.5. Вращательная структура уровней 313Г в Ps"

P»CN-3) threshold

-0.051 -0.055 -0.059 -0.063 -0.067 -0.071

•Cr 1 'D-

"Ьл

n» 'P*

7л 17

«s-%0 1-0

'BL 0,0

'Er ТУ 1.1 14

•p-

1» 1=1

21 'EL

1.1 1Д.

■D-2Д

1=2

•o-2.0

-EI 0.0

1=3 1=4

Рис.6. Колебательная структура уровней 3131'в PS" 2|

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Детально исследован характер и расположение особых точек функции E(Z)- точной нерелятивистской энергии основного состояния двухэлектронного атома с зарядом ядра Z. Дана оценка радиуса сходимости ряда теории возмущений по степеням для основного состояния двухэлектронной системы (на момент публикации [9] наиболее точная из имеющихся, впоследствии подтверждена и несколько улучшена). Найдены и исследованы остальные особые точки Бф.

2. На основе полученной информации построено интегральное представление для Б^), которое демонстрирует наличие в квантовой трехчастичной кулоновской задаче малого параметра (порядка 0.01)

3. Для Б^) получено дисперсионное соотношение, из которого следуют ряд свойств ряда теории возмущений в кулоновой задаче (в том числе асимптотика коэффициентов ряда теории возмущений Еп при п->оо_, (установленная ранее в результате анализа численных рацчетов).

4.Показано, что для возбужденных состояний Ридберговских серий 18ш,18пр модификация стандартной процедуры метода квантового дефекта позволяет описать аналитически поведение точных нерелятивистских энергий уровней Бп^) при Z->l.

5. Как пример расходящегося асимптотического ряда теории возмущений, рассмотрена задача об эффекте Штарка в

водороде; Построена эффективная процедура позволяющая из набора коэффициентов расходящегося ряда теории возмущений по степеням внешнего электрического поля извлечь информацию о положениях и ширинах резонансных уровней, возникающих в атоме водорода в присутствии внешнего электрического поля.

6. Исследована структура резонансных уровней соответствующих конфигурациям 313Г,414Г, 5151' в отрицательном ионе позитрония (система состоящая из позитрона и двух электронов). Показано, что как и в ранее исследованных другими авторами трехчастичных кулоновских системах (атом гелия и отрицательный ион Н" ) энергии уровней этих состояний (и вообще состояний с одинаковыми главными квантовыми числами) мигут быть сгруппированы в так называемые колебательно-вращательные мультиплеты, соответствующие картине, в которой трехчастичная кулоновская система представлена как линейная трехчастичная "молекула".

Литература

[1] C.Bender and T.T.Wu, Phys.Rev.Lett, 16, 461,(1971).

[2] C.Bender and T.T.Wu, Phys.Rev.D., 7,1620, (1973)

[3] HJ.Silverstone, B.G.Adams, J.Cizek and P.Otto, Phys.Rev.Lett, 43,1498, (1979)

[4] V.Privman, Phys.Rev. A, 22, 1833, (1980)

[5] R.F.Stebbings, Science, 193, 537, (1976)

[6] J.D.Baker, D.E.Freund, R.N.Hill and J.D.Morgan, Phys. Rev. A, 41,1247, (1990)

[7] W.P.Reinhardt, Phys.Rev.A, 15, 802, (1977)

[8] W.P.Reinhardt, Ann.Rev.Phys.Chem., 33, 223, (1982)

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

[9] I.A.Ivanov

Radius of convergence of the 1/Z-expansion for the ground state of a two- electron atom. Phys.Rev.A, 1995,51, 1080

[10]I.A.Ivanov

Analytical properties of the exact energy of a two-electron atom as a function of 1/Z. Phys.Rev.A, 1995,52, 1942

[11] I.A.Ivanov

Reconstruction of the exact ground state energy of the quartic anharmonic oscillator from the coefficients of its divergent perturbation expansion. Phys.Rev.A, 1996, 54, 81.

[12] I.A.Ivanov

Ground state energy of a two-electron atom as a function of 1/Z: Singular points and asymptotic behavior. Phys.Rev.A, 1996, 54, 2792

[13] I.A.Ivanov

Stark effect in hydrogen: Reconstruction of the complex ground state energy from the coefficients of an asymptotic perturbation expansion.

Phys.Rev.A, 1997,56, 202

[14] I.A.Ivanov and J.Dubau

Dispersion relation for the ground state energy of a two-electron atom.

Phys.Rev.A, 1998,57, 1516

[15] J.Dubau and I.A.Ivanov

Numerical calculation of the complex energy of the resonance of a two-electron atom with nuclear charge below the threshold value. J.Phys.B, 1998,31, 3335

[16]I.A.IvanovandY.K.Ho

High-angular-momentum (L>3) doubly excited resonance states of positronium negative ion. Phys.Rev.A, 1999,60, 1015

[17]I.A.IvanovandY.K.Ho

Electric-field influence on doubly excited Feshbach resonance states of the positronium negative ion below the N=3 threshold of the positronium atom, Phys.Rev A, 2000, 61, 022510

[18] I.A.Ivanov and Y.K.Ho

Supermultiplet structure of the doubly excited positronium negative ion

Phys.Rev A, 2000, 61, 032501

[19] Y.K.Ho and I.A.Ivanov

DC Stark effect for doubly excited Feshbach resonance states of the positronium negative ion below the N = 2 threshold of a positronium atom Phys. Rev. A , 2001, 63, 062503

[20] I.A.Ivanov and Y.K.Ho

Supermultiplet structure of the doubly excited positronium negative ion

Nuclear Physics A, 2001, 684, 672

[21] I.A.Ivanov and Y.K.Ho

Hylleraas basis calculation of the doubly excited l,3Ge States in Heliumlike ions.

Chinese Journal ofPhysics, 2001, 39, 415.

[22] I.A.Ivanov, M.W.J Bromley and J.Mitroy Asymptotically exact expression for the energies of the 3Se Rydberg series in a two-electron system.

Phys.Rev.A , 2002, 66, 042507

[23] I.A.Ivanov and Y.K.Ho

Combined effect of electric field and spin-orbit interaction on doubly excited Feshbach resonance states of helium below the N=2 threshold.

Phys.Rev. A, 2003, 68, 033410

[24] I.A.Ivanov

Asymptotic description of the Rydberg states with L>0 in a two-electron atom.

European Physical Journal D, 2003,27,203

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Глава 1. Введение.....................................................1

Глава 2. Основное состояние двухэлектронной системы____13

2.1 Радиус сходимости ряда теории возмущений для состояния. Ь2"......................................................17

2.2 Другие особые точки функции Е.(\.)....................26

2.2.1 Поведение в окрестности . Х=со......................26

2.2.2 Особая точка Хг функции Е(А„)........................37

2.3 Наличие малого параметра в двухэлектронной задаче...47

2.4 Заключение к Главе 2..........................................58

Литература к Главе 2................................................61

Глава 3. Дисперсионное соотношение для энергии как функции Z...............................................................63

3.1 Вывод дисперсионного соотношения......................63

3.2 Расчет вероятности тунелирования в двухэлектронном атоме при Z<Z|.........................................................71

3.3 Заключение к Главе 3...........................................80

Литература к Главе 3................................................83

Глава 4. Возбужденные состояния двухэлектронной системы.................................................................85

4.1 8-состояния.......................................................88

4.1.1 Численные результаты для 8-уровней....................91

4.2 Р-состояния.....................................................100

4.2.1 Численные результаты для Р-уровней...................102

4.3 Заключение к Главе 4..........................................116

Литература к Главе 4................................................119

Глава 5 Ангармонический осциллятор и эффект Штарка....121

5.1 Ангармонический осциллятор...............................122

5.2 Эффект Штарка в водороде...................................137

5.2.1 Сумма ряда (5.23) для мнимых полей...................141

5.2.2 Вещественные поля.........................................146

5.3 Заключение к Главе 5..........................................151

Литература к Главе 5................................................153

Глава 6 Метод комплексных вращений........................157

6.1 Расчет положений и ширин уровней Р8"....................160

6.1.1 Численные результаты......................................164

6.2 Заключение к Главе 6...........................................178

Литература к Главе 6................................................181

Рекомендовано к изданию Ученым Советом Института Спектроскопии РАН. Подписано к печати 1.03.2004. Формат бумаги типографская. Усл.печ. л. 1.7. Тираж 100 экз. Заказ 58. Размножено с готового оригинал-макета в отделе множительной техники Института Спектроскопии РАН, г.Троицк, Московская область, 142190.

ï- 52.í 1

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Иванов, Игорь Анатольевич

Введение.

Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (несколько десятков). Типичной будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можно извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существование, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и дв-ухэлектронная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1, 2] для ангармонического осциллятора, в работах [3, 4, 5J для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6J для основного состояния двухэлект-ронной системы. В качестве возмущения принимались в этих работах принимались квартетный ангармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с элетрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектронное взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым проближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик многозарядных ионов (так называемый l/Z-метод).

Первоочередной вопрос, возникающий при формальном применении рецептов построения теории возмущеий, это вопрос о характере полученного ряда. Ряды теории возмущений могут быть, вообще говоря, как сходящимися (как в случае ряда теории возмущений для двухэлектронной системы [7, 8]), так и расходящимися асимптотическими, как в задачах об ангармоническом осцилляторе [9, 1, 2] или эффекте Штарка в водороде [10, 11]. В случае сходящегося ряда ситуация более-менее понятна, сходящийся в некоторой окрестности ряд представляет собой элемент аналитической функции, который, в принципе содержит полную информацию об этой аналитической функции. Этот элемент можно, например, продолжить аналитически (мы дадим пример такой процедуры в Гл.2 при обсуждении задачи о двухэлектронной системе). Оказывается, что и расходящиеся асимптотические ряды в некоторых случаях обладают тем свойством, что набор коэффициентов такого ряда позволяет получить полную информации о точном рещении. Для этого достаточно, чтобы асимптотический ряд обладал так называемым свойством суммируемости по Борелю. Несколько упрощая, (точная формулировка дана в Главе 5), суммируемость асимптотического ряда по Борелю означает, что существует только одна функция, имеющая в качестве коэффициентов асимптотического разложения коэффициенты этого ряда. Ряды теории возмущений в задачах об ангармоническом осцилляторе и эффекте Штарка обладают этим свойством (подробнее в Гл.5), и, таким образом, как и в случае сходящегося ряда теории возмущений для дв-ухэлектронной системы, набор коэффициентов ряда теории возмущений позволяет, в принципе, получить полную информацию о точном решении соответствующей квантово-механической системы. Вопрос заключается, таким образом, только в том, как эту информацию извлечь. Очевидно, методы, позволяющие решить эту задачу совершенно отличны от методов, годящихся для случая сходящихся рядов.

В настоящей работе мы рассмотрим оба эти случая. В Главе 2 мы рассмотрим задачу о двухэлектронном атоме. Наше изложение в этой Главе следует нашим работам [12, 13, 14].

Пользуясь известными в литературе расчетами [6] коэффициентов теории возмущений высокого порядка (в цитируемой выше работе [6] проведен расчет первых 400 членов ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектронной системы) мы получим достаточно полную информацию о свойствах точной энергии E{Z) основного состояния как функции заряда ядра Z. Говоря о свойствах E(Z), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного, т.е. в Гл.2 мы займемся прежде всего изучением характера и расположения особых точек функции E(Z) для основного состояния двухэлект-ронной системы. Подчеркнем, что эта информация может быть получена только в рамках используемого подхода, т.е., с помощью исследования набора коэффициентов ряда теории возмущений по 1JZ, поскольку результатом, например, результатом высокоточного вариационного расчета энергии, будет число, мало что говорящее о глобальных свойствах энергии, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Такое глобальное исследование свойств E(Z) приводит, как мы увидим в Главе 2 к довольно неожиданному результату о наличии в задаче о двухэлектроном атоме малого параметра, проявляющегося в том, что в выражение для точной энергии основного состояния этой системы, по-видимому, входит малый (порядка 103) параметр.

Мы продолжим исследованое энергии основного состояния как функции заряда ядра Z в Главе 3 с несколько других позиций. Изложение этой Главы следует нашим работам [15, 16J. Хорошо известна роль, которую так называемые дисперсионные соотношения играют в физике. Достаточно упомянуть, например, теорию рассеяния. Эффективность дисперсионных соотношений объясняется их "глобальным "характером, их вывод, как правило, основывается на совершенно общих свойствах исследуемых величин (например, амплитуды рассеяния в теории рассеяния). В Главе 3 мы покажем, что основываясь на самых общих свойствах E(Z) как функции Z (которые будут получены в Главе 2), можно получить дисперсионное соотношение для точной энергии основного состояния, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Пользуясь этим соотношением, мы сможем получить аналитическое выражение для асимптотики коэффициентов ряда теории возмущений, найденное ранее [6] с помощью численного анализа коэффициентов ряда теории возмущений.

В Главе 4 мы рассмотрим некоторые возбужденные состояния двухэ-лектронной системы. Результаты, изложенные в этой Главе, получены в работах [17,18). В этой Главе мы выйдем за рамки подхода использующего только теорию возмущений. Целью нашего исследования будет, как и для основного состояния, установление свойств точных решений уравнения Шредингера (в основном точных энергий) для этих состояний. Как и в случае основного состояния, нас прежде всего будут интересовать такие свойства точных энергий En(Z) возбужденных состояний, как характер и расположение особых точек. Метод, основанный на анализе коэффициентов ряда теории возмущений, который мы применили для основного состояния в этом случае не применим (в литературе просто нет достаточно точных расчетов коэффициентов 1 /Z-разл ожения до членов высокого порядка). Более того, в отличие от случая основного состояния, в литературе нет строгих результатов о свойствах En(Z), аналогичных тем, на которых основывается изложение в

Главах 2 и 3, посвященных основному состоянию. Изложение в Главе 4, поэтому, во-многом основывается на физических соображениях. Оказывается возможным, как мы увидим в этой Главе, предложить наглядную физическую модель, которая, как мы увидим, оказывается неожиданно удачной для описания этих состояний. Более точно, если рассмотреть двухэлектронную систему "близкую"к иону if", т.е. систему в которой заряд ядра Z принимает значения близкие к единице, то используя методы теории квантового дефекта, можно получить выражения для энергии двухэлектронной системы, которые, как показывает проведенный нами численный расчет, становятся тем более точными, чем ближе заряд ядра Z к единице. Теория квантового дефекта является, по существу, феноменологической теорией, требующей для определения фигурирующих в ней параметров привлечения какой-либо сторонней информации (в качестве таковой могут выступать либо имеющиеся экспериментальные данные, либо результаты каких-либо ab initio расчетов. В нашей работе в качестве такой сторонней информации для определения двух констант, возникающих в нашем феноменологическом подходе, мы используем результаты численного расчета энергий низших уровней Ридберговских серий 1 sns и 1 snp серий (то есть энергии уровней ls2s, ls2p. Как мы увидим в главе 4, такой подход приводит к аналитическим выражениям для энергий Ридберговских серий, находящимся, для Z близких к единице, в исключительно хорошем согласии с результатами численного ab initio расчета. Степень, с которой результаты результаты аналитического и численного расчетов согласуются, наводят на мысль о том, что аналитический подход основанный на идеях теории квантового дефекта, по-видимому, является асимптотически точным (при Z —* 1). Это обстоятельство нам представляется довольно любопытным, так как в теории двухэлектр-онного атома существует не так много аналитических результатов.

В Главе 5 мы переходим к рассмотрению другой хорошо известной физической системы для которой известно достаточно большое число коэффициентов разложения теории возмущений- атом водорода в электрическом поле. Изложение этой Главы следует, в основном, результатам полученным в работах [19, 20]. Ряд теории возмущений в этом случае принципиально отличается от 1 /Z-разложения для двухэлектронной системы. Рецепты построения ряда теории возмущений Рэлея-Шредингера по степеням напряженности электрического поля приводят для атома водорода к ряду, являющемуся лишь асимптотическим, т.е. расходящимся при любых значениях напряженности поля. Такие ряды, как известно, пригодны для описания исследуемой функции с некоторой, вообще говоря ограниченной точностью, то есть при данном значении напряженности поля, частичные суммы ряда хорошо аппроксимируют энергию лишь пока в ряде удерживается некоторое конечное число членов. Если число удерживаемых членов ряда превышает некоторое критическое значение (зависящее конечно от напряженности поля), то частичные суммы такого ряда будут давать для энергии значения, вообще говоря, весьма сильно от точного значения энергии. Кроме того, поскольку все коэффициенты ряда теории возмущений являются вещественными числами, ряд теории возмущений в этой задаче предоставляет информацию только о положении Штарковского резонанса (с оговорками сделанными выше о конечной достижимой точности), и не дает информации о ширине резонансного уровня. Как было отмечено в начале настоящей главы, имеется теоретическое положение (факт суммируемости ряда теории возмущений по Борелю), которое позволяет сделать вывод, что несмотря на расходимость ряда теории возмущений, его коэффициенты содержат, в принципе, всю информацию как о положениях, так и о ширинах уровней. Возникает, таким образом задача о том, как практически реализовать теоретическое положение о суммируемости ряда теории возмущений в этой задаче по Борелю на практике. В литературе существует ряд методов практической реализации этого подхода, основанных, например, на технике аппроксимант Паде. В Главе 5 мы предлагаем несколько иную процедуру, которая позволяет, исходя из набора коэффициентов теории возмущений, получить некоторый сходящийся ряд, дающий как положения, так и ширины резонансов в атоме водорода в электрическом поле. В этой же Главе, в качестве дополнительной демонстрации эффективности предложенной процедуры, мы рассматриваем задачу об ангармоническом осцилляторе, квантово-механическая система, являющаяся в некотором смысле пробным камнем для тестирования различных вычислительных процедур в квантовой механике. Все основные характеристики ряда теории возмущений в этой задаче (если ангармонический член в Гамильтониане рассматривать как возмущение) те же самые, что и в задаче об атомном Штарк-эффекте, ряд теории возмущений является асимптотическим и обладает свойством суммируемости по Борелю.

В Главе 6 мы даем детальное описание используемого нами в Главе 3 метода комплексных вращений. Этот метод является, на сегодняшний день, пожалуй самым удобным и мощным средством расчета характеристик (положений и ширин) резонансов в атомных системах. Речь может идти как о резонансах возникающих в электрическом поле, так, например, и об автоионизационных состояниях в атоме. Главное удобство метода заключается в том, что задача о расчете характеристик резонансных состояний сводится к задаче технически мало чем отличающейся от обычного вариационного расчета связанных атомных состояний. В качестве примера применения метода к кулоновским системам мы приводим результаты расчетов параметров (положений и ширин) дважды возбужденных состояний в системе Ps~ (состоящей из позитрона и двух электронов). Эти результаты получены в работах [21, 22, 23, 24]. Для этих состояний обнаружен (ранее известный для таких систем как Не, Н~) факт применимости так называемой К,Т классификации, восходящей к работам [25, 26]. Подробнее об этой классификации рассказано в тексте диссертации, здесь отметим тот любопытный (и до сих пор не имеющий последовательного квантово-механического толкования) факт, что квантовые числа К, Т, имеющие чисто теоретико- групповое происхождение, оказываются столь успешными при группировке уровней двыжды-возбужденных состояний в так называемые колебательно-вращательные серии.

Глава 1. Введение.

Введение диссертация по физике, на тему "Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем"

Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (несколько десятков). Типичной будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можно извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существован-ие, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и дв-ухэлектронная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1, 2] для ангармонического осциллятора, в работах [3, 4, 5J для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6J для основного состояния двухэлект-ронной системы. В качестве возмущения принимались в этих работах принимались квартетный ангармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с элетрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектронное взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым проближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик многозарядных ионов (так называемый l/Z-метод).

Пользуясь известными в литературе расчетами [6] коэффициентов теории возмущений высокого порядка (в цитируемой выше работе [6] проведен расчет первых 400 членов ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектронной системы) мы получим достаточно полную информацию о свойствах точной энергии E{Z) основного состояния как функции заряда ядра Z. Говоря о свойствах E(Z), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного,т.е. в Гл.2 мы займемся прежде всего изучением характера и расположения особых точек функции E(Z) для основного состояния двухэлект-ронной системы. Подчеркнем, что эта информация может быть получена только в рамках используемого подхода, т.е., с помощью исследования набора коэффициентов ряда теории возмущений по 1JZ, поскольку результатом, например, результатом высокоточного вариационного расчета энергии, будет число, мало что говорящее о глобальных свойствах энергии, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Такое глобальное исследование свойств E(Z) приводит, как мы увидим в Главе 2 к довольно неожиданному результату о наличии в задаче о двухэлектроном атоме малого параметра, проявляющегося в том, что в выражение для точной энергии основного состояния этой системы, по-видимому, входит малый (порядка 103) параметр.

Мы продолжим исследованое энергии основного состояния как функции заряда ядра Z в Главе 3 с несколько других позиций. Изложение этой Главы следует нашим работам [15, 16J. Хорошо известна роль, которую так называемые дисперсионные соотношения играют в физике. Достаточно упомянуть, например, теорию рассеяния. Эффективность дисперсионных соотношений объясняется их "глобальным "характером, их вывод, как правило, основывается на совершенно общих свойствах исследуемых величин (например, амплитуды рассеяния в теории рассеяния). В Главе 3 мы покажем, что основываясь на самых общих свойствах E(Z) как функции Z (которые будут получены в Главе 2), можно получить дисперсионное соотношение для точной энергии основного состояния, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Пользуясь этим соотношением, мы сможем получить аналитическое выражение для асимптотики коэффициентов ряда теории возмущений, найденное ранее [6] с помощьючисленного анализа коэффициентов ряда теории возмущений.

В Главе 6 мы даем детальное описание используемого нами в Главе 3 метода комплексных вращений. Этот метод является, на сегодняшний день, пожалуй самым удобным и мощным средством расчета характеристик (положений и ширин) резонансов в атомных системах. Речь может идти как о резонансах возникающих в электрическом поле, так, например, и об автоионизационных состояниях в атоме. Главное удобство метода заключается в том, что задача о расчете характеристик резонансных состояний сводится к задаче технически мало чем отличающейся от обычного вариационного расчета связанных атомных состояний. В качестве примера применения метода к кулоновским системам мы приводим результаты расчетов параметров (положений и ширин) дважды возбужденных состояний в системе Ps (состоящей из позитрона и двух электронов). Эти результаты получены в работах [21, 22, 23, 24]. Для этих состояний обнаружен (ранее известный для таких систем как Не, Н) факт применимости так называемой К,Т классификации, восходящей к работам [25, 26]. Подробнее об этой классификации рассказано в тексте диссертации, здесь отметим тот любопытный (и до сих пор не имеющий последовательного квантово-механического толкования) факт, что квантовые числа К, Т, имеющие чисто теоретико- групповое происхождение, оказываются столь успешными при группировке уровней двыжды-возбужденных состояний в так называемые колебательно-вращательные серии.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

2.4 Заключение

В заключение этой главы мы резюмируем кратко полученные выше результаты. Нам будет удобнее сформулировать эти результаты в терминах переменной Z.

Нами установлены следующие свойства функции E(Z)- энергии основного состояния двухэлектронной системы (напомним, что по&E{Z) понимается полная нерелятивистская энергия системы деленная на Z2).

Особые точки E(Z) расположены в точках Z\ ~ 0.91102826, ~ 0.1064 и Zq = 0. Последняя из этих точек является полюсом второго порядка, разложение для E(Z) в окрестности этой точки дается ф-лами (2.36). Точки Zi и Zi имеют сложную природу, являясь особыми точками неоднозначного характера.

Что касается других особых точек, отличных от перечисленных выше, которые E(Z) в принципе может иметь, можно сказать следующее. Выше (2.41), мы получили условие, которому координаты этих точек (если они имеются) должны удовлетворять. В терминах переменной Z это условие гласит:

В комплексной плоскости переменной Z это условие выделяет внутренность окружности проходящей через точки Z\,Zi с центром на действительной оси (Рис. (2.5). Все остальные особые точки E(Z) (если таковые имеются) располагаются внутри этой окружности. Наличие такой особой точки внутри этой окружности на действительной оси маловероятно, так как такая точка была бы обнаружена с помощью проведенного выше численного анализа. Возможно, конечно, наличие комплексно-сопряженных особых точек (тот факт, что особые точки либо вещественны, либо комплексно сопряжены, следует из вещественностиE(Z) на вещественной оси. Наличие этих точек, строго говоря, исключить нельзя. Мы сделаем предположение, что таких точек нет. В следующей главе мы увидим, что такое предположение ведет к проверяемым следствиям, находящимся в согласии с известными свойствами E(Z).

Функция E(Z) является вообще говоря многозначной. Ее однозначная ветвь, которая представляет для нас интерес (E(Z) совпадает с энергией основного состояния двух-электронной системы при положительных Z) получается (при сделанном выше предположении об отсутствии других особых точек внутри окружности на Рис. (2.5) проведением разреза между точками Z\ и Z-x, как показано на рисунке.

Представленные в настоящей главе результаты позволяют сделать вывод о существовании малого параметра в двух-электронном атоме.

Рис. 2.5: Расположение особых точек E(Z).

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Иванов, Игорь Анатольевич, Троицк

1. E.A.Hylleraas Z.Phys., vol. 65, p. 209, 1930.

2. R.E.Knight and C.W.Scherr Rev. Mod. Phys., vol. 35, p. 436, 1963.

3. J.Midtdal Phys.Rev. A, vol. 138, p. 1010, 1965.

4. F.C.Sanders and C.W.Scherr Phys. Rev., vol. 181, p. 84, 1969.

5. J.Midtdal, G.Lyslo, and A.Aashamar Phys.Norv., vol. 3, p. 163, 1969.

6. J.D.Baker, D.E.Freund, R.N.Hill, and J.D.Morgan Phys. Rev. A, vol. 41, p. 1247, 1990.

7. T.Kato J.Fac.Sci. Univ. Tokyo Sect., vol. I 6, p. 145, 1951.

8. T.Kato, Perturbation Theory for Linear Operators. Springer, New York, 1976.

9. F.H.Stillinger J.Chem. Phys., vol. 45, p. 3623, 1966.

10. E.Brandas and O.Goscinski Int. J. Quantum Chem., vol. 4, p. 571,1970.

11. I.A.Ivanov Phys.Rev.A, vol. 54, p. 2792, 1996.

12. M.Abramovitz and I. A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Washington, 1976.

13. C. Brezinski and M. R. Zaglia, Extrapolation Methods, Theory and Practice. North-Holland, 1991.

14. E. Weniger Сотр. Phys. Rep., vol. 10, p. 189, 1989.

15. A.V.Sergeev and S.Kais Int. J. Quantum Chem., vol. 75, p. 533, 1999.

16. A.V.Sergeev and S.Kais Int.J.Quantum Chem., vol. 82, p. 255, 2001.

17. А.И.Маркушевич, Теория Аналитических Функций. Наука, Москва, 1968.

18. М.В.Федорюк, Асимтотика: Интегралы и Ряди Наука, Москва, 1987.

19. I.S.Gradshtein and I.M.Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products. Academic Press, New York, 1965.1. Глава 3

20. Дисперсионное соотношение для энергии как функции Z.

21. Вывод дисперсионного соотношения.