Термодинамические и кинетические свойства слаболегированных низкоразмерных антиферромагнетиков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение

I Квантовый интерференционный механизм образования "полосатой фазы"

1.1 Введение.

1.2 Уравнения Боголюбова - де Жена с двумя неоднородными параметрами порядка

1.3 Физические следствия.

1.4 Роль периодического потенциала решетки в образовании "полосатой фазы".

II Уравнения ренормгруппы для многопараметрических фазовых переходов в коррелированных электронных системах

II. 1 Введение.

П.2 Метод "пробного взаимодействия" вместо метода пробного поля 41 И.З "Паркетные" уравнения с пробным четырехфермионным взаимодействием

II.4 Выводы

III Динамика носителей заряда в слаболегированных слоистых антиферромагнетиках в пределе сильной связи

III. 1 Введение.

Ш.2Динамика дырки в двумерном квантовом антиферромагнетике постановка задачи, модельный гамильтониан.

II 1.3Уравнение Дайсона, собственная энергия дырки.

III.4Самосогласованный закон дисперсии квазичастиц, резонансы с участием "спиновых струн".

Ш.бВершинные поправки, "самосогласованный" малый параметр . 64 111.61;-Л

§ модель с электрон-фононным взаимодействием: теорема

Латтинджера, поверхность Ферми, теорема Мигдала.

Ш.7Перенормировка массы в 1;-Л^ модели.

Ш.8Проверка теоремы Латтинджера.

Ш.ЭПоправки к вершине электрон-фононного взаимодействия

IV Динамическая проводимость слаболегированного слоистого антиферромагнетика: "инфракрасная аномалия" в слое и "псевдощель" в направлении перпендикулярном к слоям

IV. 1 Введение.

1\Л2Проводимость в плоскости слоя в "инфракрасной" области частот

IV.3 Проводимость в направлении оси с : модель "магнитных ворот"

IV.4Проводимость в направлении оси с : происхождение "псевдощели"

V Неустойчивость и разделение фаз в слаболегированном антиферромагнетике с бозе-парами малого радиуса

V.2 t-J модель для бозе-частиц .92

V.3 Фазовая неустойчивость слаболегированного антиферромагнетика: температурный кроссовер или разделение фаз .97

V.4 Влияние кроссовера на поведение обратного времени спинрешеточной релаксации и найтовского сдвига ЯМР.102

Заключение 111

Список литературы 114

ВВЕДЕНИЕ

Открытие в 1986 году высокотемпературных сверхпроводящих (ВТСП) ку-пратов Дж. Беднорцем и А.Мюллером [1] привлекло пристальное внимание исследователей к проблеме описания физических свойств этих сильно коррелированных электронных систем [2-4]. Дело в том, что оксиды переходных металлов с перовскитной структурой, к семейству которых принадлежат ВТСП купраты, характерны слабой коллективизацией электронов(дырок) из недозаполненных с1-оболочек атомов переходных металлов и сильным кулоновским отталкиванием между ними на близких расстояниях (слабая экранировка). Вследствие этого, например, кристалл Ьа2Си04 является антиферромагнитным изолятором при температуре ниже « 300К. Причем, на один атом меди с недозаполненной с1-оболчкой (а9), в плоскости Си02, приходится в среднем одна дырка, так что ион меди обладает одним неспаренным спином 1/2. Последовательное замещение некоторой (малой) доли атомов Ьа стронцием превращает Ьа2жЗгхСи04 сначала в неупорядоченный магнитный полупроводник (х < 0.05), а затем в ВТСП материал, являющийся так называемым "странным металлом" при температурах выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние, Тс. Температурные и частотные зависимости кинетических коэффициентов слаболегированных ку-пратов в нормальном состоянии существенно отличаются от предсказываемых теорией ферми-жидкости Ландау [5].

По мере роста концентрации легирования х в интервале 0.05 < х < 0.15, температура сверхпроводящего перехода, Тс, соединений Ьа2жЗгжСи04 возрастает от нуля, достигая максимального значения для данного семейства купратов. Такие соединения с максимальной Тс называются оптимально легированными. Дальнейшее увеличение концентрации Бг (х > 0.17) приводит к быстрому снижению Тс, так что материал "выходит" из класса ВТСП. Параллельно этому, поведение материала в не сверхпроводящем (нормальном) состоянии становится все более похожим на поведение обычного металла. Свойства иттриевых купратов, УВагСизОб+ж, по мере их легирования кислородом, х > 0, изменяются аналогично свойствам Ьа2ж8гжСи04 в области концентраций Бг 0.05 < х < 0.15. В конечном счете, легирование кислородом иттриевых купратов приводит к увеличению концентрации дырок в атомных плоскостях Си02. Эти плоскости являются общим элементом структуры всех ВТСП купратов. Моделированию физических свойств электронных подсистем в плоскостях Си02 посвящен основной поток теоретических работ по ВТСП.

Кратко опишем основные экспериментальные и теоретичекие направления исследований сильно коррелированных электронных систем на основе купратов, стимулированные открытием 1986 года.

Введение в экспериментальную ситуацию

Основные методы экспериментального исследования купратов включают фо-тоэмисионную спектроскопию с разрешением по углу рассеяния (ФЭС) [35,73], ядерный магнитный/квадрупольный резонанс (ЯМР/ЯКР) [95,6], нейтронное (упругое и неупругое) и рентгеновское рассеяние [10,88], микроволновую спектроскопию [36,65,66], резистивные и гальваномагнитные измерения [5], калориметрию [25], сканирующую туннельную микроскопию [72] и ряд других методов. Хотя получение новых, принципиально важных данных в настоящее время продолжается, тем не менее попытаемся кратко описать некоторые уже достоверно известные фрагменты общей картины физических свойств ВТСП купратов (см. например [2,3]).

Аномалии транспортных характеристик

Свойства купратов в нормальном (несверхпроводящем) состоянии различны в слабо- оптимально- и сильнолегированных соединениях. Так электросопротивление оптимально легированных купратов в нормальном состоянии линейно зависит от температуры на интервале шириной порядка 1000К, вплоть до Т=ТС (в ВТСП купратах с электронным типом носителей, Ыс^-яСе^СиС^, данная зависимость квадратична). В неоптимально легированных купратах эта зависимость отклоняется от линейной при температурах ниже комнатной и выше Тс, становясь степенной: осТ*1, причем, показатель п больше единицы в слаболегированных купратах, и меньше единицы в сильнолегированных соединениях, [5]. В оптимально легированных купратах при температурах Т>ТС данные по динамической электропроводности в плоскости слоев СиОг (плоскость аЬ), о"(а>), указывают на линейную (ос из) зависимость от частоты обратного времени рассеяния носителей заряда, 1 /т(ш), в инфракрасном диапазоне частот и> < ЮООсто-1 [36,65,66]. Однако, в слаболегированных иттриевых купратах, в интервале температур Тс <Т<Т*, зависимость от частоты 1 /т(ш) в плоскости аЬ становится квадратичной, ~ а;2, в области частот и> < и>* осТ*, оставаясь линейной при ш > со*. Одновременно, в частотной зависимости проводимости <тс(ш) нормально к слоям СиОг (проводимость вдоль оси с), проявляется так называемая "псевдощель" в виде провала или "ступеньки" в области частот со < и>*, при температурах Т<Т*. Кроме того, в частотной зависимости ас{и) слаболегированных купратов не обнаружен друдевский пик при и> —0. При замещении 1-2% атомов меди немагнитной прмесью Zn в слоях СиОг слаболегированных иттриевых купратов, явление псевдощели исчезает, частотные зависимости сг(ш) и <тс(и>) становятся такими как у оптимально легированных соединений (без примеси Zn), однако Тс при этом существенно снижается (в 1.5 - 2 раза). Явление псевдощели не обнаружено в сильнолегированных купратах.

Поведение в магнитном поле нормальном к слоям СиОг

Транспортные характеристики слаболегированных купратов также существенно отличаются от таковых у обычных металлов своим поведением в магнитном поле [5]. Так в поле порядка бОТл, подавляющем сверхпроводимость, сопротивление в плоскости аЬ логарифмически возрастает с понижением температуры, не достигая, однако, по абсолютной величине квантового предела сопротивления для двумерных систем: /г/(4е2). Таким образом, в основном состоянии слаболегированные купраты являются либо сверхроводниками, либо изоляторами (в магнитном поле). При этом, относительная малость абсолютной величины сопротивления указывает на коллективную (не примесную) природу возникающего диэлектрического состояния.

Инфракрасная аномалия проводимости в плоскости слоев СиС>2

Экспериментальные данные по частотной зависимости вещественной части проводимости, сг(ш), в плоскости слоев в слаболегированных соединениях Ьа2-хЗгжСи04 (х <С 1), [36], свидетельствуют о том, что в изолирующей фазе, (ж = 0), проводимость сг(а>) ничтожно мала внутри интервала частот (энергий) шириной порядка энергии переноса заряда с меди на кислород ра 1.5 — 2.0 эВ. Легирование слоев СиОг дырками (х ф 0) приводит к существенному возрастанию спектральной плотности <т{и) в области малых частот, что связано с появлением друдевского пика подвижных носителей заряда при и = 0. Спектральный вес пика растет пропорционально х. Одновременно, в широком интервале частот 0.1 эВ < и> < 1.0 эВ, называемом "инфракрасной" областью, появляется пологий максимум функции ст(ц;), соответствующий сильному поглощению энергии поля. При этом, спектральный вес в области за щелью и > 1.5 — 2.0 эВ убывает. Аналогичное поведение сг(ш) обнаружено и в других купратах. Это явление принято называть "инфракрасной аномалией" [36]. Измеренная интегральная проводимость в Ьа2ж8гжСи04 в интервале частот до 4 эВ не зависит от х, указывая на то что при слабом легировании дырками происходит лишь перераспределение спектральной плотности из области за щелью в область малых частот.

Аномалии магнитных свойств на малых частотах

Свойства слаболегированных купратов, отличные от обычных ферми-жидкостных, проявляются также в их магнитных характеристиках. Так данные ЯМР и ЯКР [95,6] указывают на существенное отклонение от закона Кор-ринги температурной зависимости времени спин-решеточной релаксации, Т1, на медных узлах в плоскостях СиОг- Именно, отношение 1/(ТхТ) не равно константе, но имеет отчетливый максимум при температуре Т* 3>ТС, где Т* ~ Т*. По мере увеличения концентрации дырок Т* уменьшается и совпадает с Тс в оптимально легированных соединениях. При этом температурная зависимость 1/СГ1Т) начинает качественно напоминать закон Корринги при Т>ТС, превышая, однако, в несколько раз значение 1ДТ1Т), следующее из оценок по теории ферми-жидкости. Температурная зависимость найтовского сдвига, К(Т), ( пропорционального магнитной восприимчивости электронов), в отличие от восприимчивости ферми-жидкости (вклад Паули), также существенно зависит от температуры. Именно, К(Т) начинает убывать с понижением температуры уже при Тй^ Т*, существенно превышающей Тс в слаболегированных купратах. Эта аномалия отсутствует в сильнолегированных купратах. Данное явление получило название "спиновой щели", поскольку его связывают с синглетным спариванием электронных спинов в нормальном состоянии [2] при температурах ниже Т*.

Антиферромагнитные и зарядовые флуктуации в купратах

Пожалуй одним из наиболее интенсивно изучаемых свойств слаболегированных купратов и никелатов, Ьа2г-8г.,.МЮ4, является тенденция к антиферромагнитному упорядочению с образованием несоизмеримых волн спиновой и зарядовой плотности [10,88]. Анализ данных по нейтронному (упругому и неупругому) и рентгеновскому рассеянию в слаболегированных соединениях указывает на возникновение в них, при температуре Т^ >ТС, периодических зарядовых и магнитных (при Т5р <Тсй) сверхструктур. Причем, периоды структур зависят от концентрации легирования и несоизмеримы с периодом кристаллической решетки. Период модуляции антиферромагнитного порядка вдвое превышает период модуляции заряда. Образование таких сверхструктур в кристаллических плоскостях СиСЬ и N102 регистрируется [10] появлением, ниже некоторой температуры, характерной системы пиков интенсивности нейтронного рассеяния. Пики интенсивности, соответствующие магнитному (спиновому) и зарядовому упорядочению, имеют следующие координаты в двумерной зоне Бриллюэна квадратной решетки слоя : (1/2 ± б, 1/2) для спиновой сверхструктуры и (±2б, 0) для зарядовой сверхструктуры. Одноврменно регистрируется также аналогичная система пиков, но повернутая в плоскости слоя на 90 градусов относительно описанной выше : (1/2,1/2 ± е) и (0, ±2е) для спина и заряда соответственно. Здесь координаты выражены в единицах 27г/а, где а- период квадратной решетки слоя. В исследованном интервале малых концентраций легирования, 0.05 < х^ < 0.13, выполняется соотношение : е = ж^/2 в купратах и е = х^ в никелатах. В области более высоких концентраций х& линейная зависимость нарушается и намечается плато. При этом следует упомянуть, что при нулевой концентрации легирования данные вещества являются антиферромагнитными изоляторами, с антиферромагнитным волновым вектором : С^ар = (1/2,1/2) (модуляция плотности заряда отсутствует).

Предполагается, что описанная выше сверхструктура состоит из периодической системы антиферромагнитно упорядоченных параллельных полос, разделенных доменными стенками, на которых фаза спиновых корреляций сдвигается на тг, а плотность "дырок" достигает максимума. В связи с таким пространственным строением данное упорядоченное состояние было названо "полосатой фазой".

Обнаружено также, что в зависимости от характера упорядочения медьсодержащих кислородных октаэдров (образующих слои в купратах), пики интенсивности нейтронного рассеяния, описанные выше, наблюдаются в экспериментах по упругому либо неупругому рассеянию нейтронов. Так, в тетрагональной фазе, когда связь электронов с ионной решеткой слоя С и О 2 максимальна, "полосатая фаза" имеет статический характер (Брэгговское рассеяние) и сверхпроводимость не возникает. В орторомбической же фазе купратов нейтронные пики "полосатой фазы" наблюдаются лишь в экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов, с характерной передачей энергии > Змэв, которая возрастает до 5 4- 7мэв в сверхпроводящем состоянии (т.е. при Т<ТС), [10]. При этом переход в низкотемпературную тетрагональную фазу в купратах индуцируется замещением части атомов Ьа атомами N(1 : Ба^в-г^о^г-сСиО«!. В нике-латах связь электронной подсистемы с решеткой является более сильной и пики "полосатой фазы" всегда видны в Брэгговском (упругом) рассеянии, при этом, сверхпроводимость не возникает вовсе. В сильнолегированных купратах пики в нейтронном рассеянии, соответствующие "полосатой фазе", не наблюдаются.

Протяженные" седловые сингулярности и "плоские" зоны в ВТСП купратах, псевдощелъ

Данные ФЭС с угловым разрешением [35] в купратах свидетельствуют о наличии протяженных участков в двумерной зоне Бриллюэна слоя Си02, в окрестности точек р — (0, ±1/2); (±1/2, 0), в области которых энергия электронных возбуждений остается почти постоянной. Эти области получили название "протяженных" седловых сингулярностей ван Хова, или "плоских зон", поскольку в них спектр имеет квазиодномерный характер. Энергия возбуждений в "плоских зонах" лежит вблизи уровня Ферми в дырочных купратах (±40мэв) и является более удаленной от уровня Ферми (на порядок) в ВТСП купратах электронного (п-)типа, Ш2-:гСе;г;Си04. В области температур Тс <Т<Т* в одночастичной плотности состояний на уровне Ферми в области плоских зон обнаружено возникновение псевдощели шириной Ея < 50мэв [35]. Причем, по мере приближения концентрации легированных дырок к оптимальной, Т* —> Тс и псевдощель исчезает: Е5 —»■ 0.

Таким образом, многие характеристики слабо- и сильнолегированных купратов существенно различаются.

Основные усилия теоретиков сосредоточены на развитии и модификации традиционной концепции квазичастиц применительно к коррелированным электронным системам. Связанные с этой проблемой теоретические исследования можно условно разделить на отдельные группы, различающиеся, прежде всего, гипотезами об устройстве основного состояния коррелированной электронной системы, а также способами построения возбужденных состояний. Изложим кратко общую схему существующих основных подходов к решению данной проблемы.

Направления теоретических исследований

В настоящее время существует несколько альтернативных схем (теорий) описания основного и возбужденных состояний сильно коррелированных электронных систем в ВТСП материалах. Их можно условно разбить на группы по основным направлениям. Перечислим лишь некоторые из этих направлений, наиболее интенсивно развивающиеся в настоящее время :

1) учет корреляций путем распространения точных решений для одномерных систем [15] на двумерные системы: разделение спина и заряда электрона [2];

2) слияние электронов выше температуры сверхпроводящего перехода в пары или биполяроны малого радиуса (сравнимого с постоянной решетки); при этом, биполяроны обладают удвоенным электронным зарядом и целым спином, а сверхпроводящий переход рассматривается как следствие бозе-конденсации пар

75];

3) формирование "полосатой фазы" путем пространственного "расслоения" кристалла на области (полосы-домены) с антиферромагнитным упорядочением электронных спинов, разделенные "доменными стенками", которые населены легированными дырками и ответственны за металлические/сверхпроводящие свойства слаболегированных купратов [11,12,16].

Кратко охарактеризуем данные направления.

Разделение спина и заряда электрона в низкоразмерных системах

Описание свойств электронных систем с сильным взаимодействием между электронами представляет собой сложнейшую задачу. Как упомянуто выше, стандартное приближение Хартри-Фока предсказывает металлические свойства у нелегированных купратов, которые в действительности оказываются антиферромагнитными изоляторами благодаря переходу Мотта-Хаббарда [2]. Точные решения найдены лишь для некоторых одномерных моделей [15,17]. Как известно, [47], теория ферми-жидкости Ландау для трехмерных систем основана на картине квазичастиц, которые получаются из частиц ферми-газа путем адиабатического включения взаимодействий. В результате, квазичастицы характеризуются тем же набором квантовых чисел, подчиняясь статистике Ферми-Дирака.

Таким образом, теория ферми-жидкости строится на основе решения задачи об идеальном ферми-газе. Электрон-электронное взаимодействие приводит к перенормировке основных параметров квазичастиц, а также к конечности их времени жизни. Время жизни, однако, обращается в бесконечность при приближении к ферми-поверхности обратно пропорционально квадрату энергии квазичастицы, обеспечивая тем самым справедливость квазичастичного описания низколежащих по энергии возбуждений электронной системы. Взаимодействие также приводит к появлению в ферми-жидкости бозонных ветвей спектра, соответствующих коллективным модам ("ферми-звуки"). Наличие фермиевских квазичастиц проявляется в наличии скачка функции распределения частиц по импульсам, при пересечении поверхности Ферми, равного вычету квазичастичного полюса одночастичной электронной функции Грина. Причем, число состояний внутри поверхности Ферми (ниже уровня Ферми) равно числу реальных частиц, согласно теореме Латтинджера.

Одномерные ферми-жидкости, подчиняясь теореме Латтинджера, не имеют, однако, фермиевских квазичастиц [15]. При этом, ферми-точки ±кр в импульсном пространстве по-прежнему определяют расположение особенностей в функции распределения частиц по импульсам (или ее производных). Элементарные возбуждения системы являются коллективными бозонными спиновыми и зарядовыми модами, распространяющимися с различными групповыми скоростями [14,15,17]. Это означает, что добавленный в систему электрон распадается на указанные зарядовые и спиновые возбуждения, пространственно разделяющиеся с течением времени, т.е. имеет место разделение электронного заряда и спина [2]. В результате, корреляционные функции флуктуации заряда, спина и сверхпроводящих флуктуаций в одномерных электронных системах являются степенными функциями, с показателями степени зависящими от величины взаимодействия. В трехмерных ферми-системах эти показатели являются независящими от взаимодействия константами. Кроме того, в одночастичной плотности состояний, как функции от расстояния до уровня Ферми, б — ер, теория предсказывает псевдощель ос| б — бр \а, с показателем степени а зависящим от взаимодействия между электронами. Функция распределения частиц по импульсам оказывается непрерывной в точке Ферми: | к — кр что соответствует исчезновению вычета, гк, одночастичной электронной функции Грина по закону ¿к ~ \к — кр\а. В то же время, теория предсказывает наличие друдевского пика в частотной зависимости проводимости одномерных систем, подобно трехмерным.

На особые свойства одномерных ферми-жидкостей указывает сингулярность на поверхности Ферми электрон-дырочной и электрон-электронной функций отклика, что приводит к Пайерлсовской неустойчивости [13] при наличии рассеяния электронов "назад" с отрицательной амплитудой рассеяния друг на друге (притяжение), и к сверхпроводящим флуктуациям, при наличии притяжения в куперовском канале [14]. Как показано Халдейном [15], асимптотические свойства одномерных бесщелевых ферми-систем в пределе о; —)- 0, д —> 0, названных им "латтинджеровыми жидкостями" (в отличие от "ферми-жидкостей" с конечным скачком функции распределения частиц по импульсам на поверхности Ферми), могут быть получены на основе точных решений для модели Томонаги-Латтинджера [15], подобно построению теории ферми-жидкости Ландау на основе точного решения для идеального трехмерного ферми-газа. Причем, построение корреляционных функций латтинджеровой жидкости (в инфракрасном пределе и> —> 0) может быть произведено с помощью псевдочастиц, фигурирующих в точном решении одномерной модели Хаббарда методом анзаца Бете.

Слоистые ВТСП купраты, благодаря наличию в них атомных плоскостей СиСЬ, близки по свойствам к двумерным ферми-системам. Попытка обобщения свойств одномерных латтинджеровых жидкостей на двумерный случай [2] мотивирована наличием данных об аномальных свойствах слаболегированных купратов в нормальном состоянии, упомянутых выше. В частности, псевдощель в одночастичном электронном спектре на уровне Ферми, наблюдаемая при температурах много выше температуры сверхпроводящего перехода, явилась существенным аргументом в пользу такого подхода. Гипотеза Андерсона состоит в применимости двумерной модели Хаббарда, с отталкиванием на узле решетки, для описания основных свойств слаболегированных ВТСП купратов. Концепция такого описания для двумерных систем, основанная на результатах Халдейна для одномерной модели Томонаги-Латтинджера, получила название "томографической жидкости Латтинджера". Предполагалось, что двумерная система ведет себя как бесконечный набор одномерных систем, получаемый путем покрытия двумерной поверхности Ферми одномерными лучами в импульсном пространстве. Каждый такой луч соответствовал бы одномерной ферми-системе. При этом амплитуды рассеяния частиц с переходом между различными лучами предполагались несущественными параметрами, выпадающими из теории в инфракрасном пределе после масштабной ренормировки. Справедливость такого подхода остается, однако, под вопросом [23].

Последовательное построение микроскопической теории коррелированных (квази) двумерных электронных систем является принципиально важным направлением современной физики коллективных явлений, и определяет одну из ее основных "точек роста".

Локальные пары, или электронное спаривание в реальном пространстве

Другой взгляд на проблему нормальных и сверхпроводящих свойств ВТСП купратов основан на гипотезе о спаривании электронов (дырок) в пространственные пары малого радиуса (сравнимого по величине с постоянной решетки), поведение которых описывается моделями жидкости заряженных бозе-частиц с жесткой сердцевиной [75]. Идея об образовании локальных пар не нова, а их наличие в некоторых семействах соединений с ионами переменной валентности доказано экспериментально [76]. Такие соединения можно условно разбить на несколько основных групп [76,75].

К первой группе относятся соединения типа МгЭЪХб (М=Сз,11Ь; Х=С1,Вг), в которых происходит зарядовое упорядочение ионов в валентных состояниях отличающихся на величину удвоенного заряда электрона, 2е. Например, в соединении СэгЗЬОб при Т= 70 -Ь 75К происходит упорядочение в-электронных пар на ионах ЯЬ в виде пространственного чередования ионов ЯЬ3"1", ЯЬ5"1", при отсутствии в материале ионов 8Ь4+. Пары электронов, сосредоточенные на одном ионе, называются локальными или одноузельными парами (биполяронами).

Другую группу соединений образуют оксиды переходных металлов, типа Т1407 и ТнхУх07, или N а^УгОв, которые содержат связанные пары на соседних узлах в кристаллической решетке: (Т14+-Т14+),(Т13+-Т13+), или пары (У4+-У4+),(У5+-У5+) соответственно. Такие связанные пары называются двухузельными биполяронами.

К третьей группе принадлежат сверхпроводящие перовскиты ВаРЬ^^В^Оз, а также РсШ^, 1л1+хТ'12-х0^ и современные, родственные ВТСП соединения Ва1жКгВ10з (Тс ~ ЗОК) и В^ХКЬХВЮ3.

С теоретической точки зрения наиболее простой моделью, в которой возникают локальные пары, по-видимому, является модель Хаббарда с притяжением электронов на узле решетки, так называемая 1-11- модель с отрицательным £/. Здесь ¿-характеризует ширину электронной/поляронной зоны, а II < 0 определяет энергию притяжения [75]. В пределе слабой связи 2 |[/|, теория дает для температуры сверхпроводящего перехода выражение: Тс ос ехр (—2г1/\1/\), подобное результату в теории Бардина-Купера-Шриффера (с точностью до пред-экспоненциального множителя в виде ширины зоны вместо фононной частоты). Здесь г - координационное число кристаллической решетки. В пределе сильной связи: I <С \и\, происходит образование локальных одноузельных пар, и гамильтониан системы в секторе состояний со спаренными электронами становится эквивалентным гайзенберговскому, с псевдоспином характеризующим локальную плотность пар. При этом Тс ос ¡(х)1\и\, где /(ж) ~ ж2/3 для трехмерной системы; и /(ж) ~ х в квазидвумерном случае, если концентрация пар х мала, ж <С 1; наконец, /(ж) ~ 1, если концентрация пар близка к 1/2 [75].

Таким образом, при переходе от слабой связи к сильной, при заданной концентрации электронов, Тс должна достигать максимума при некотором значении \U\ft. Подстановка в формулу Тс ос ж2/3/т значения массы порядка электронной приводит к большим значениям Тс. Однако, в случае электрон-фононного механизма спаривания (притяжения), и с учетом необходимости доминирования притяжения над кулоновским отталкиванием, масса полярона должна существенно превышать "затравочную" массу свободного электрона. Это обстоятельство делает проблематичной применимость биполяронной гипотезы, основанной на фононном механизме образования биполярона, для объяснения большой величины Тс в ВТСП купратах.

За рамками предсказаний модели оказывается также переход в состояние антиферромагнитного диэлектрика при концентрации валентных электронов равной одному электрону на узел решетки (х = 1/2). В то же время, теоретические исследования с использованием модели Хаббарда с отталкиванием на узле, 1 — 11, где II > 0 и и > t, а также ^ — — 7 модели, полученной в пределе при незначительном отклонении от полузаполнения электронной зоны, свидетельствуют в пользу образования спиновых поляронов и притяжения между ними [3,39,40,49,44,43,48,74] (см. также обзор [32] и ссылки в нем). Однако, пожалуй самым неожиданным следствием произведенных исследований явилось теоретическое открытие перехода в состояние "полосатой фазы" [11,12]. Перейдем к краткому рассмотрению некоторых теоретических аспектов этого направления исследований.

Полосатая фаза" слаболегированных антиферромагнетиков: разделение спина и заряда в электронных системах размерности (1 > 1

Возможность перехода в состояние "полосатой фазы" была обнаружена теоретически путем применения вариационных методов в приближении Хартри-Фока для кластеров малых размеров [11,12]. Впоследствии, было предложено также и феноменологическое описание перехода в "полосатую фазу" с использованием функционала Гинзбурга-Ландау, записанного исходя из соображений симметрии и экспериментальных данных [16].

Тенденция к разделению заряда и спина электрона, предложенная Ф. Андерсоном [2] по аналогии с одномерными электронными системами, проявилась, однако, в достаточно неожиданной форме. Характер основного состояния антиферромагнитного изолятора существенно изменяется при введении в систему конечной малой концентрации заряда. Легированные дырки концентрируются в доменных стенках - "рукавах", при переходе через которые происходит изменение на 7г фазы антиферромагнитного упорядочения спинов в разделенных "рукавами" антиферромагнитных доменах. С одной стороны, поскольку "полосатая фаза" является классическим конденсатом макроскопического числа частиц электронной системы, ее образование означает дальний порядок по заряду и спину электронов, и предполагает стабилизацию состояния с учетом реальной трехмерности кристалла. С другой стороны, сама пространственная структура параметров порядка (плотности электронного заряда и спина) является квазиодномерной, поскольку состоит из чередующихся полос с максимальной плотностью спина или заряда (легированные дырки) соответственно. Спиновая плотность обращается в ноль вдоль дырочных полос - "рукавов". Скорость распространения возмущений спиновой плотности внутри спинупорядоченных полос отлична от скорости распространения возбуждений вдоль "рукавов", заполненных легированными дырками. В системе также имеются коллективные моды, связанные с изгибными флуктуациями дырочных "рукавов" [11].

Устойчивость дырочных "рукавов" по отношению к "диссоциации" дырок и к их уходу вглубь антиферромагнитно упорядоченных доменов обеспечивается возникающими в таком процессе дефектами спинового упорядочения. Энергия дефектов растет пропорционально удалению "оторвавшейся" дырки от "рукава". Именно эти дефекты спинового упорядочения в системе размерности превышающей единицу препятствуют распаду дырки/электрона на независимые спиновое и зарядовое возбуждения, как это происходит в чисто одномерной системе.

Устойчивость "полосатой фазы" в энергетическом отношении проще понять путем ее поэтапного построения из одномерных цепочек, простирающихся в направлении перпендикулярном дырочным "рукавам" и антиферромагнитным полосам. По аналогии с точными решениями для одномерных электронных систем с переходами Пайерлса-Фрелиха [19], получающийся одномерный срез "полосатой фазы" поперек полос можно рассматривать как периодическую солитон-ную решетку. Солитонные уровни располагаются внутри антиферромагнитной энергетической щели, возникающей в модели Хаббарда в соизмеримой системе (т.е. до легирования дырками). При построении двумерной "полосатой фазы" из таких цепочек с солитонными сверхрешетками, солитонные уровни, вообще говоря, расщепляются в квазиодномерные зоны. Эти зоны соответствуют передвижению электронов/дырок вдоль "рукавов" [11]. Условием стабильности всей структуры является существование энергетической щели, отделяющей верх заполненной нижней хаббардовской зоны от дна солитонной квазиодномерной зоны.

Вопрос о степени заполнения дырками описанных квазиодномерных зон солитонной природы интенсивно изучается [11,12]. Это связано с обнаруженным различием между несоизмеримыми антиферромагнитными структурами в слаболегированных купратах и никелатах [10]. Именно, период следования спину-порядоченных полос в купратах отличается вдвое от соответствующего периода в никелатах при одинаковой концентрации легированных дырок. Помимо этого, полосы в купратах направлены вдоль образующих векторов квадратной решетки в слоях Си02, в то время как в никелатах полосы направлены по диагоналям квадратной решетки. Помимо этого, открытым остается вопрос о природе особой устойчивости "полосатой фазы" при концентрации легированных дырок равной х = 1/8 [10].

Наконец, одним из главных вопросов возникающим в связи с исследованиями "полосатой фазы" является ее отношение к сверхпроводимости в легированных ВТСП купратах. Здесь, пожалуй, наиболее существенным является наблюдаемое исчезновение сверхпроводимости в условиях отсутствия изгибных флуктуаций "рукавов", т.е. когда "полосатая фаза" является статической структурой, обнаруживаемой по упругому (брэгговскому) рассеянию нейтронов. В то же время, в соединениях с флуктуирующими "полосами", наблюдаемыми лишь в неупругом нейтронном рассеянии, сверхпроводимость не подавлена.

Одно из возможных объяснений подобной взаимозависимости сверхпроводимости и упорядочения спина и заряда состоит в предположении выдвинутом группой В. Эмери (1998) [11]. Если взаимодействие между соседними дырочными "рукавами" превышает энергию нулевых изгибных колебаний, то система "рукавов" становится квазидвумерной и происходит стабилизация волны зарядовой плотности вдоль "рукавов". В противоположном случае флуктуирующие "рукава" образуют электронную фазу типа жидкого кристалла, которая может являться либо сверхпроводником, либо "странным металлом" с отличными от обычной ферми-жидкости свойствами. Подобная гипотеза нуждается, однако, в микроскопической проверке. Это представляется тем более актуальным, что в оптимально легированных ВТСП купратах с наивысшей температурой сверхпроводящего перехода концентрация легированных дырок достаточно высока, чтобы сделать ширину спинового домена порядка нескольких постоянных решетки и порядка ширины дырочного "рукава". При этом использование картины "полосатой фазы", основанной на решениях в приближении Хартри-Фока, может оказаться необоснованным ввиду квантовых флуктуационных эффектов. Косвенно данное обстоятельство подтверждается существенной размытостью пиков нейтронного рассеяния в импульсном пространстве, что указывает на малую длину корреляции "полосатой фазы" в оптимально легированных соединениях [10].

Как можно заключить исходя из всего изложенного выше, основная проблематика сильно коррелированных электронных систем сводится не только и не столько к вопросу: "почему высока температура сверхпроводящего перехода?", но представляет собой одно из важных направлений развития современной науки о коллективных свойствах больших систем сильно взаимодействующих частиц. Именно под таким углом зрения на проблему ВТСП купратов отобраны основные задачи, вошедшие в данную диссертационную работу. Перейдем к краткому описанию структуры диссертации.

Структура диссертационной работы

С точки зрения фундаментальной теории коррелированных электронных систем, наибольший интерес представляет описание свойств слаболегированных купратов, близких к переходу металл-диэлектрик, в которых корреляционные эффекты выражены наиболее ярко [7]. В диссертации предложены и исследованы физические механизмы ряда наблюдаемых аномалий термодинамических и кинетических свойств слаболегированных антиферромагнетиков из семейства оксидов переходных металлов с перовскитной структурой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поскольку обсуждение полученных результатов произведено в отдельных главах диссертации по мере их изложения, ограничимся резюмированием проделанной работы. К основным результатам работы можно отнести следующие:

1) произведен микроскопический вывод эффективного функционала Гинзбурга-Ландау, описывающего фазовые переходы с двумя связанными параметрами порядка, плотностями заряда и магнитного момента электронов, в слаболегированных низкоразмерных антиферромагнетиках;

2) вычислены температурные и концентрационные зависимости параметров связанных несоизмеримых сверхструктур зарядовой и спиновой плотности ("полосатой фазы"), возникающих в результате фазового перехода в квазиодномерной электронной системе на периодической цепочке, с отталкиванием между электронами на узле;

3) получены в аналитическом виде расходящиеся решения уравнений ренорм-группы в однопетлевом ("паркетном") приближении, характеризующие возникновение сильной связи между флуктуациями магнитного и зарядового упорядочения в одномерной электронной системе на периодической цепочке, с концентрацией электронов близкой к одному электрону на узел;

4) получено приближенное аналитическое решение уравнения Дайсона, на основе которого найдены закон дисперсии и спектральная плотность состояний дырки в слаболегированном квазидвумерном антиферромагнетике, хорошо согласующиеся с известными результатами численного моделирования;

5) вычислены спектральная плотность, функция распределения частиц по импульсам, форма дырочной поверхности Ферми и частотная зависимость проводимости в модели слаболегированного слоистого антиферромагнетика с электрон-фононным взаимодействием, при концентрации электронов близкой к одному электрону на узел решетки;

6) вычислены первые поправки к вершине электрон-фононного взаимодействия в модели слаболегированного слоистого антиферромагнетика и установлена применимость теоремы Мигдала, несмотря на существенное сужение зоны фермиевских квазичастиц;

7) в модели слаболегированного слоистого антиферромагнетика со слабым взаимодействием между слоями вычислена частотная зависимость проводимости перпендикулярно к слоям в нормальном состоянии (выше температуры сверхпроводящего перехода). Полученная зависимость содержит основные особенные черты (аномалии), наблюдаемые в слаболегированных высокотемпературных сверхпроводящих купратах;

8) в модели слаболегированного квазидвумерного антиферромагнетика с ку-перовскими парами малого радиуса (ПМР), вычислены температурные зависимости характеристик ядерного магнитного резонанса в нормальном состоянии. Полученные температурные зависимости сдвига Найта и обратного времени спин-решеточной релаксации, Т]"1, качественно повторяют аномальное поведение этих величин, обнаруженное в слаболегированных сверхпроводящих купратах.

В целом, анализ существующей научной литературы и рассмотрение проведенное в данной диссертации позволяют предположить, что исследования по физике коррелированных электронных систем содержат большой потенциал нерешенных задач и неожиданных открытий. Особого внимания заслуживает разработка более эффективного описания основного состояния системы, позволяющего охватить поведение значительной части ее степеней свободы. Результаты, перечисленные выше в пп. 4-7, указывают на малый удельный вес квазичастиц фермиевского типа в спектральной плотности коррелированных электронных систем с числом электронов на узел близким к единице. Кроме того, результаты отмеченные выше в п. 8 (см. также Гл. 5) свидетельствуют о неустойчивости схемы бозе-квазичастиц (ПМР) благодаря возникновению сильной связи между длинноволновыми флуктуациями плотности ПМР и антиферромагнитного порядка в квазидвумерной системе (отметим однако, что бозе-конденсация может приводить к стабилизации и препятствовать "слипанию" ПМР в большие "капли" в некоторой области значений параметров системы [81]). В этом смысле, концепция "полосатой фазы", рассмотренная в первых двух главах (см. также пп. 1-3 выше), является одним из возможных кандидатов на описание устройства перестроенного основного состояния. Однако, вопрос о соотношении между этой фазой и сверхпроводящим состоянием электронной системы пока остается открытым.

В заключение, считаю своим приятным долгом поблагодарить моих соавторов : Йоса де Йонга, Ричарда Феррелла, Дерка Рейфмана, Владимира Костура и Бамсу Куюнга за интересное сотрудничество. Автор благодарен A.A. Абрикосову и Яну Заанену за критические замечания и стимулирующие обсуждения в ходе выполнения различных этапов работы. Приношу мою глубокую благодарность коллективу кафедры теоретической физики МГИСиС, возглавляемой Ю.Х. Векиловым, за полезные обсуждения работы и многолетнюю моральную поддержку в ходе ее выполнения.

1. J.С. Bednorz and К.А. Muller, Z. Phys. В 64, 189 (1986).

2. P.W. Anderson, Science 235, 1196 (1987); J. Voit, Phys. Rev. В 47, 6740 (1993).

3. J.R. Schrieffer, X.G. Wen, and S.C. Zhang, Phys. Rev. В 39, 11663 (1989); D. Pines, in "High Temperature Superconductors and the С60 Systems", ed. Ren, H-C., (Gordon к Breach), 1 (1995).

4. T.Imai et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1002 (1993).

5. N.F. Mott, Phil. Mag.6, 287 (1961).

6. S.I. Mukhin, J.Phys. Chem. Solids 59, 1846 (1998).

7. S.I. Mukhin, J. Supercond. 12,734(1999); С.И. Мухин, Препринт "Stripe phase ordering as quantum interference phenomenon", МГИСиС, cond-mat/9811409, (1998).

8. H.J. Schulz, J. Phys. (Paris) 50, 2833 (1989); Phys. Rev. Lett. 64, 1445 (1990).

9. В. Horovitz, H. Gutfreund and M. Weger, Phys. Rev. В 12, 3174 (1975).

10. Ю.А. Бычков, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, ЖЭТФ 50, 738 (1966); И.Е. Дзялошинский и А.И. Ларкин, ЖЭТФ 61, 791 (1971); J. Solyom, Adv. Phys. 28, 201 (1979); А.Т. Zheleznyak, V.M. Yakovenko, and I.E. Dzyaloshinskii, Phys. Rev. В 55, 3200 (1997).

11. О. Zachar, S.A. Kivelson, and V.J. Emery, Phys.Rev. В 57, 1422 (1998).

12. M. Gaudin, Phys. Lett. 24 A, 55 (1967).

13. Л.В. Келдыш и Ю.В. Копаев, ФТТ 6, 2791 (1964); Б.А. Волков, Ю.В. Копаев и А.И. Русинов, ЖЭТФ 68, 1899 (1975); Б.А. Волков, А.И. Русинов и Р.Х. Тимеров, ЖЭТФ 70, 1130 (1976).

14. С.А. Бразовский, С.А. Гордюнин и H.H. Кирова, Письма в ЖЭТФ, 31, 486 (1980); W.P. Su, J.R. Schrieffer, A.J. Heeger, Phys. Rev. D 22, 2099 (1980).

15. L.P. Gor'kov and A.G. Lebed', J. Physique Lett 45, L-433 (1984).

16. K. Machida and M. Fujita, Phys. Rev. В 30, 5284 (1984).

17. И.Е. Дзялошинский и Е.И. Кац, ЖЭТФ 55, 338 (1968); A. Luther, Phys. Rev. В 50, 11446 (1994).

18. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 5 "Статистическая физика", Часть 1, Москва, "Наука", 1976, стр. 582.

19. Т.К. Worthington, W.J. Gallagher, and T.R. Dinger, Phys. Rev. Lett. 59, 1160 (1987); J.W. Loram et al, Physica С 162-164, 498 (1989).

20. Y. Endoh, K. Yamada, R.J. Birgeneau et al., Phys. Rev. В 37, 7443 (1988); В. Keimer, R.J. Birgeneau, A. Cassano et al., Phys. Rev. Lett. 67, 1930 (1991).

21. S.I. Mukhin and L.J. de Jongh, Physica A 228, 115 (1996).

22. Bumsoo Kyung and S.I. Mukhin, Phys. Rev. В 55, 3886 (1997).

23. Bumsoo Kyung, S.I. Mukhin, V. Kostur, and R.A. Ferrell, Phys. Rev. В 54, 13167 (1996).

24. S.I. Mukhin, Bumsoo Kyung, and R.A. Ferrell, Annalen der Physik 6, 75 (1997).

25. R.A. Ferrell and S.I. Mukhin, J. Phys. Chem. Solids 59, 1976 (1998).

26. E. Dagotto, Rev. Mod. Phys. 66, 763 (1994); и ссылки в обзоре.

27. A.F. Barabanov et al, Physica С 252, 308 (1995).

28. S. Uchida et al, Phys. Rev. B43, 7942 (1991); G.A. Thomas et al, Phys. Rev. В 45, 2474 (1992).

29. В. О. Wells et al, Phys. Rev. Lett. 74, 964 (1995).

30. A. Nazarenko et al, Phys. Rev. В 51, 8676 (1995).

31. C.L. Kane, P.A. Lee and N. Read, Phys. Rev. В 39, 6880 (1989).

32. A. M. Tikofsky, R. B. Laughlin, and Z. Zou, Phys. Rev. Lett. 69, 3670 (1992).

33. S.I. Mukhin and L.J. de Jongh, Journ. of Low Temp. Phys. 99, 473 (1995) .

34. A. Auerbach and B.E. Larson, Phys. Rev. В 43, 7800 (1991).

35. F. Marsiglio et al., Phys. Rev. В 43, 10882 (1991).

36. K.J. von Szczepanski et al., Phys. Rev. В 41, 2017 (1990).

37. Jun-ichi Igarashi and P. Fulde, Phys. Rev. В 48, 12713 (1993).

38. A.B. Мигдал, ЖЭТФ 34 , 1438 (1958); Г.М. Элиашберг, ЖЭТФ 38 , 966 (1960).

39. A.A. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, "Методы квантовой теории поля в статистической физике", М.: Физматгиз, 1962.

40. Е. Dagotto and A. Nazarenko, Phys. Rev. Lett. 73, 728 (1994) .

41. О. P. Sushkov, Phys. Rev. В 49, 1250 (1994).

42. G.M. Eliashberg and W. von der Linden, Sov. Phys. JETP Lett. 59, 441 (1994).

43. W. F. Brinkman and Т. M. Rice, Phys. Rev. В 2, 1324 (1970).

44. G. Martinez and P. Horsch, Phys. Rev. В 44, 317 (1991).

45. Z. Liu and E. Manousakis, Phys.Rev. B45, 2425 (1992).

46. A. Ramsak, P. Horsch and P. Fulde, Phys. Rev. В 46, 14305 (1992); P. Horsch, A. Ramsak, and P. Fulde, Physica В 194-196, 1567 (1994).

47. S. Engelsberg and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 131, 993 (1963).

48. J. P. Falck, A. Levy, M. A. Kastner, and R. J. Birgeneau, Phys. Rev. В 48, 4043 (1993).

49. W. Stephan and P. Horsch, Phys. Rev. В 42, 8736 (1990); A. Moreo and E. Dagotto, Phys. Rev. В 42, 4786 (1990).60 6162 63 [64 [65 [666768 69 [7071 72 [7374

50. J. Igarashi and P. Fulde, Phys. Rev. В 48, 12713 (1993).

51. S. L. Cooper, P. Nyhus, D. Reznik, M. V. Klein, W. C. Lee, D. M. Ginsberg, B. W. Veal, A. P. Paulikas, and B. Dabrovski, Phys. Rev. Lett. 70, 1533 (1993).

52. K. Tamasaku, T. Ito, H. Takagi, and S. Uchida, Phys. Rev. Lett. 72, 3088 (1994).

53. A. G. Rojo and K. Levin, Phys. Rev. В 48, 16861 (1993).

54. A. J. Leggett, Braz. J. Phys. 22, 129 (1992).

55. D.N. Basov, et al. Phys. Rev. В 50, 3511 (1994).

56. C. С. Homes, Т. Timusk, R. Liang, D. A. Bonn, and W. N. Hardy, Phys. Rev. Lett. 71, 1645 (1993).

57. D. N. Basov, H. A. Mook, B. Dabrowski, and T. Timusk, Phys. Rev. В 52, 1 (1995).

58. F. Federici and A. Varlamov, Phys. Rev. В 55, 6070 (1997). P. Bourges et al., Phys. Rev. В 53, 876 (1996).

59. H. A. Mook et al., Phys. Rev. Lett. 69, 2272 (1992); N. Рука et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1457 (1993).

60. A.A. Abrikosov, Phys. Rev. В 55, 11735 (1997). С. Renner et al., Phys. Rev. Lett. 80, 157 (1998).

61. H. Ding et al., Nature 382, 51 (1996); Phys. Rev. Lett. 78, 2628 (1997); A.G. Loeser et al., Science 273, 325 (1996).

62. Г.В. Уймин, JI.A. Максимов, А.Ф. Барабанов, Письма в ЖЭТФ 48, 281 (1988); А.Ф. Барабанов, JI.A. Максимов, Г.В. Уймин, Письма в ЖЭТФ 47, 532 (1988); ЖЭТФ 96, 655 (1989).

63. J. de Jongh, Physica С "152, 171 (1988); и ссылки в этих работах.

64. S.I.Mukhin, D.Reefman and L.J.de Jongh, Physica С 171, 42 (1990); ibid. С 174, 455 (1991).

65. D. Reefman, S.I. Mukhin and L.J. de Jongh, Physica С 199, 403 (1992).

66. S.I.Mukhin, D.Reefman and L.J.de Jongh, Physica Scripta T 45, 47 (1992) (Proc. of the 12th EPS General Conference of the Condensed Matter Division, Prague, Czechoslovakia, April 6-9, 1992).

67. S.I. Mukhin and L.J. de Jongh, Physica С 211, 77 (1993).

68. D. Reefman, S.I. Mukhin and L.J. de Jongh, Physica С 211, 93 (1993).

69. S.I. Mukhin, "Real-space pair model predictions for the NMR behavior in high-Tc cuprates", LANL Preprint LA-UR-93-1472, Los Alamos, NM, 1993.

70. S.I. Mukhin and L.J. de Jongh, J. Phys. Chem. Solids 54, 407, 1993. (Proc. of the Conference on Spectroscopies in Novel Superconductors, Santa Fe (USA), March 17-19, 1993).

71. J. Baak, S.I. Mukhin, H.B. Brom, M.J.V. Menken nd A.A. Menovsky, Physica С 210, 391 (1993).

72. S.I. Mukhin, Acta Physica Polonica A 85, 133 (1994) (Proc. of the European Conference "Physics of Magnetism 93", Poznan 1993).

73. D.P. Arovas and A. Auerbach, Phys. Rev. В 38, 316 (1988).

74. Y. En doli et al, Phys.Rev. B 37, 7443 (1988); B. Keimer, R.J. Birgeneau, A. Cassanho, Y. Endoh, R.W. Erwin, M.A. Kastner and G. Shirane, Phys. Rev. Lett. 67, 1930 (1991).

75. R.L. Stratonovich, Soviet Phys. Doklady 2, 416 (1958); J. Hubbard, Phys. Rev. Lett. 3, 77 (1959).

76. M. Takahashi, Phys.Rev. B 40, 2494 (1989).

77. N. Metropolis et al J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).

78. B.S. Shastry, Phys.Rev. Lett. 63, 1288 (1989).

79. T.Moriya, Progr. Theor. Phys. 28, 371 (1962) .

80. A.J. Millis, H. Monien, D. Pines, Phys. Rev. B 42, 167 (1990).

81. M. Takigawa, A.P. Reyes, P.C. Hammel, J.D. Thompson, R.H. Heffner, Z. Fisk and C. Ott, Phys. Rev. B 43, 247 (1991).

82. M. Takigawa, W.L. Hults, J.L. Smith, Preprint LA-UR-93-880, (1993).

83. N. Bulut, D.W. Hone, D.J. Scalapino and N.E. Bickers, Phys. Rev. B 41, 1797 (1990).