Термодинамика идеальных бозе- и ферми-газов во внешнем магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВЛ

ТЕРМОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНЫХ БОЗЕ- И ФЕРМИ-ГАЗОВ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 530.145

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физ.-мат. наук, профессор В.Р.Халилов; доктор физ.-мат. наук, профессор А-С.Вшивцев. доктор физ.-мат. наук П.А.Эминов; кандидат физ.-мат. наук Б.В.Магницкий. МПГУ им. В.И.Ленина

Защита состоится "■$0' ииу.?та. 1997 г. в час. на

заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 при МГУ им. М.В.Ломоносова, (г. Москва, Воробьевы горы, физический факультет МГУ, ауд. СфД ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18

доктор физ.-ма-

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность тематики

Воздействие магнитного поля приводит к глубоким изменениям свойств квантовой системы на фундаментальной уровне: в результате квантования движения заряженных частиц в перпендикулярной к направлению поля плоскости энергетический спектр частиц распадается на дискретные уровни Ландау, и происходит перестройка фазового объема системы. Вследствие этого внешнее магнитное поле оказывает существенное влияние на характер физических процессов, протекающих в квантовых системах, и приводит к возникновению многих интересных явлений. Например, изменение фазового объема ферми-газа в магнитном поле лежит в основе такого эффекта, как осцилляции де Гааза - ван Альфена. Другим важным для приложений примером является эффект Мейсснера, когда под действием внешнего магнитного поля происходит фазовый переход сверхпроводника в обычное, несверхпроводящее состояние.

При достаточно сильных значениях напряженности магнитного поля подход, основанный на теории возмущений по константе взаимодействия заряженной частицы с полем, становится неприменимым. Необходимость учета подобных условий возникает, например, при исследовании физических процессов, протекающих в недрах таких астрономических объектов, как пульсары и нейтронные звезды, а также, по-видимому, тех, что существовали на ранних стадиях образования Вселенной. Рассмотрение явлений, протекающих в такой среде, в рамках существующих теорий (квантовой электродинамики и квантовой хромодинамики) позволило бы выяснить, к каким физически осмысленным выводам может

привести попытка их применения для подобных экстремальных условий, что, в свою очередь, позволит оценить рамки применимости современных моделей и диктуемых ими космологических воззрений.

Надо отметить также возобновление в последние годн интереса к исследованию термодинамики квантовых газов в магнитном поле, и в особенности явления бозе-конденсации, в связи открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости. Несмотря на долгую историю этой проблемы (первые работы появились в конце 1940-ых годов), до сих пор в научной литературе не существует единой точки зрения на то, возможна ли бозе-конденсация! а также сверхпроводимость и сверхтекучесть, в сильных магнитных полях или нет. Причиной этому является то, что остаются невыясненными рамки применимости модельных предположений, принимаемых при анализе этой задачи, - в частности, допустимость приближения идеального газа к исследуемым физическим системам, а также механизм учета взаимодействия между квантовыми частицами.

Таким образом, изучение термодинамических свойств квантовых систем во внешних магнитных полях представляет значительный интерес для современной теории поля и квантовой статистики - как с фундаментально-теоретической, так и с прикладной точек зрения.

Цель диссертационного исследования

Целью предлагаемой работы является развитие аналитического аппарата для изучения термодинамики идеальных релятивистских квантовых газов в постоянном и однородном магнитном поле.

Научная новизна

В работе впервые получены в общем виде аналитические по параметрам асимптотические разложения термодинамического потенциала идеальных ферми- и бозе- газов во внешнем магнитном поле с учетом химического потенциала. Впервые предложена процедура вычисления асимптотик химического потенциала как функции плотности числа частиц, температуры и напряженности магнитного поля.

Научная и практическая ценность работы

Развитый в работе математический аппарат может быть

использован для аналитического вычисления асимптотик

термодинамических функций идеальных газов в магнитном поле с

любой степендаточности по параметрам разложения. Ввиду своей

регулярности, предложенный метод легко реализуется средствами

компьютерной алгебры. Приведенная в тексте в качестве примера

процедура, написанная на входном языке системы Mathematics 3.0, ч

может быть непосредственно использована для получения асимтотик термодинамического потенциала скалярного газа.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теоретической физики МГУ и семинарах кафедры математики МОССТАНКИНа.

Публикации

Опубликовано 7 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, двух приложений, и списка цитируемой

литературы в 99 наименований. Общий объем диссертации составляет/36 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается актуальность исследуемой проблемы и дается краткий обзор методов изучения влияния магнитного поля на квантовые системы при наличии внешнего поля, температуры и плотности вещества, а также основной проблематики исследований в этой области. Здесь также представлена общая структура диссертации.

Глава 1 " \Л/-базоны в сильном магнитном поле" посвящена исследованию влияния сверхсильного магнитного поля на вакуум теории электрослабых взаимодействий Вайпберга-Салама при высоких температурах. Глава состоит из трех параграфов.

В параграфе 1 " Температурные зффектьг в модели Вайпберга-Салама в сильном магнитном полё' изучается процесс восстановления спонтанно нарушенной симметрии теории в присутствии внешнего магнитного поля, а также рассмотрен вопрос о возможности спонтанного рождения М/-бозонных пар в сверхсильных магнитных полях [1]. С этой целью исследуется термодинамический потенциал идеального газа \\'-бозонов, который представляет собой одяопетлевую поправку к эффективному потенциалу векторного поля.

Необходимо отметить, что анализ этих явлений проводится, как обычно, с использованием энергетического спектра, полученного из линеаризованного лагранжиана теории. Однако спектр энергии заряженного векторного бозона в сверхсильном магнитном поле в линейном приближении содержит так называемую "тахионную" моду, с чисто мнимой энергией основного состояния. Как показано в

параграфе 2 этой же главы, "Коидеисатные состояния заряженных векторных бозонов в сверхсильном магнитном поле", в модели Вайнберга-Салама с полным нелинеаризованным лагранжианом в сверхсильных магнитных полях возможно появление нового вакуумного состояния с нетривиальной топологией, и поэтому традиционный подход, строго говоря, не является вполне корректным [2].

Глава 2 " Термодинамические, потенциалы бозе- и ферми-систем" посвящена термодинамике квантовых идеальных бозе- и ферми- газов в магнитном поле. Изложена методика получения в общем виде асимптотических разложений термодинамического потенциала этих систем с использованием преобразования Меллина. Полученные асимптотики могут быть использованы для описания различных физических явлений, в частности, для изучения реакций с элементарными частицами, протекающих на нейтронных звездах. Рассмотрены различные предельные случаи обоих термодинамических параметров - как температуры, так и напряженности магнитного поля. Обсуждены некоторые физические приложения найденных асимптотических разложений. Глава состоит из трех параграфов.

В параграфе 1 " Термодинамика заряженных бозонов во внешнем магнитном поле" получены в явном виде точные по химическому потенциалу общие аналитические выражения для асимптотик термодинамического потенциала этой системы [3]. Асимптотики вычислены в двух предельных случаях:

[а) слабое магнитное поле и высокая температура:

еН , га

—г-«1, — «1,

т2 Т

(б) слабое магнитное поле и низкая температура:

еН ш

—г- «1, — »1.

т Т

("Слабым" здесь магнитное поля является по сравнению с критическим значением Щ — пР-/е. )

В параграфе 2 " Термодинамика скалярных и ферми-частиц во внешнем магнитном доле" параллельно для скалярных и ферми-газов вычисляются точные по химическому потенциалу аналитические выражения для асимптотик термодинамического потенциала [4]. Асимптотики вычислены для двух предельных случаев:

(а) низкая температура:

т 1

— »1,

Т

здесь термодинамический потенциал представляется в виде ряда по "фугитивности" ехр((ц-т)/Т) с коэффициентами, точно зависящими от напряженности магнитного поля;

(б) "относительно слабое" магнитное поле и высокая температура:

■УеН 51

-«1, — «1.

Т Т

В параграфе 3 "Термодинамика частиц с аномальным магнитным мометном" получено точное выражение для термодинамического потенциала нуклонного газа с учетом аномального магнитного момента М в виде асимптотического разложения по двум безразмерным параметрам {6]:

МН , л/еН ,

~Г= « 1. -«1 -

ТеН Т '

Показано, что выражение для термодинамического потенциала содержит осциллирудацие по напряженности поля (по безразмерному параметру у ^ сН/т2) слагаемые - "осцилляции Ландау".

Глава 3 "Химический потенциал ферми-систем в магнитном поле" посвящена построению предлагаемого метода вычисления химического потенциала и его приложениям к системам идеальных ферми-газов [5,6]. Глава состоит из пяти параграфов.

В параграфе I "Вычисление химического потенциала при помощи обращения степенных рядов" содержится изложение метода, идея которого состоит в следующем. Предположим, что полное число частиц в системе N можно представить в виде степенного асимптотического ряда следующего вида:

где Цц)- это либо сам химический потенциал ц, либо "фугитивность" ехр((^1-т)/Т], а коэффициенты а, являются некоторыми функциями температуры Т и ренорм-инвариаптной величины еН. В этом случае задача обращения этого уравнения относительно величины ¡(¡л) сводится к задаче обращения степенного ряда. Это обращение можно провести в общем виде, удерживая зависимость от Г и еН в аналитической форме, и, таким образом, найти коэффициенты обратного ряда - в принципе до любого заданного порядка.

Подобный подход является естественным дополнением развитой в предыдущей главе методики вычисления асимптотических рядов, как раз и позволяющих получать исходные представления указанного вида.

Далее общий подход иллюстрируется на ряде моделей нарастающей степени сложности. В параграфе 2 "Безмассовые кварки" проводится приложение изложенной процедуры в

простейшем случае газа безмассовых кварков в киральном пределе в отсутствие внешних-полей. Рассмотрены два предельных случая:

(а) высокая температура:

— «1,

Т

(б) низкая температура:

т

— »1.

Т

В параграфе 3 "Релятивистский электроный газ" рассмотрен релятивистский ферми-газ во внешнем постоянном магнитном поле. Вычисление химического потенциала проведено для следующих предельных случаев:

(а) слабое магнитное поле и высокая температура:

еН , ш

—^ «1, — «1,

ш2 Т

(б) слабое магнитное поле и низкая температура:

еН , ш

—г «1, — »1. т2 Т

(в) сверхсильное магнитное поле и высокая температура:

еН , т

—г»1, —«1,

т2 Т

(г) сверхсилыюе магнитное поле и низкая температура:

еН , ш

—г-»1, —»1.

т2 Т

В параграфе 4 " Фермионный газ с учетом аномального магнитного момента электрона " для рассмотренной системы найдены асимптотики плотности числа частиц и химического потенциала в двух предельных случаях:

а) высокая температура:

и

т

— «1 Т

(6) низкая температура:

ш , — »1. Т

Наконец, в параграфе 5 "Кварка с ненулевой массой' рассмотрен газ массивных кварков в постоянном неабелевом магнитном поле. Получение здесь асимптотическое разложение числа частиц кваркового газа по степеням напряженности поля используется для вычисления химического потенциала в двух предельных случаях:

а) слабое магнитное поле и высокая температура:

еН , т , —г «1, — «1. т2 Т

(б) слабое магнитное поле и низкая температура:

еН . т , — «1, т Т

Как и следует ожидать, бесполевой вклад повторяет результат, полученный ранее для электронного газа и безмассовых кварков. Однако неабелевый характер магнитного поля приводит к появлению нечетных по напряженности поля степеней в выражении для числа частиц, и поэтому полевой вклад в химический потенциал в данном случае получается иной.

В Главе 4 "Получение асимптотических разложений термодинамических функций методами компьютерной алгебры" рассмотрены возможности приложения современных систем компьютерной алгебры для аналитического вычисления термодинамических функций согласно изложенной нами методике [7]. Поскольку основной технической трудностью в использовании

асимптотических методов является печально известная "громоздкость" получающихся выражений, возможность естественно сформулировать предложенные нами процедуры на алгебраическом компьютерном языке является серьезным их достоинством. В этой главе, в качестве примера, подробно изложена реализация в системе МаШетаиса процедуры получения высокотемпературных асимптотических разложений термодинамического потенциала идеального бозе-газа во внешнем магнитном поле, описанная в Главе 2.

В Заключении подытоживаются основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту.

В Приложении А объясняется процедура получения асимптотик сумм из функций Макдональда специального вида, с которыми приходится иметь дело в процессе вычислений, и приводятся результаты для используемых частных случаев.

Приложение В содержит текст вспомогательных функций для системы МаШетаИса 3.0, необходимых для выполнения программы, приведенной в Главе 4.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Рассмотрен процесс восстановления спонтанно нарушенной симметрии в модели Вайнберга-Салама с учетом воздействия на систему внешнего магнитного поля. Показано, что основную роль в этом процессе играет термостат, а не магнитное поле.

2. Получены точные формулы, описывающие процесс спонтанного образования \*У+\М'-бозо1шых пар в сверхсильном магнитном поле.

3. Найдено решение полевых уравнений теории Вайнберга-Салама в магнитном поле с нелинейными членами взаимодействия,

обладающие нетривиальной топологией. Эти решения можно интерпретировать как конденсатное состояние \У-бозонов в сверхсильном магнитном поле.

4. Получены общие выражения для асимптотик термодинамических потенциалов идеальных релятивистских бозе- и ферми- газов в магнитном поле для предельных случаев высоких и низких температур и слабых и сильных магнитных полей. На основании полученных асимптотик сделаны выводы о том, что магнитное поле приводит к повышению температуры конденсации бозонного газа и к увеличению числа пар Ш-бозонов при столкновениях в горячем бозонном газе.

5. Получено точное выражение для термодинамического потенциала фермионного газа в магнитном поле с учетом аномального магнитного момента. Показано, что это выражение содержит слагаемые, осциллирующие в зависимости от напряженности поля.

6. Предложен общий метод вычисления химических потенциалов релятивистских квантовых систем, основанный на процедуре обращения степенных рядов. Описанный метод применен при вычислении химических потенциалов релятивистского электронного газа, газа фермионов с аномальным магнитным моментом и газа кварков, погруженных в однородное постоянное внешнее магнитное поле, для ряда предельных случаев.

7. Изучены возможности реализации разработанных методов вычисления асимптотик термодинамических функций на компьютере. Сделан вывод о том, что вследствие их высокой регулярности предложенные методы естественно формализуются для современных средств компьютерной алгебры.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. В.Р.Халилов, А.В.Николаев, Температурные эффекты в модели Вайнберга-Салама в сильном магнитном поле, Ред. ж. "Известия вузов, Физика", Томск, 1990, Деп. в ВИНИТИ, per. N° 4145-В90 от 24 июля 1990.

2. А.В.Николаев, И.А.Обухов, В.К.Перес-Фернандес, В.Р.Халилов, Конденсатные состояния заряженных векторных бозонов в сверхсильном магнитном поле, Вестник МГУ, серия 3, Физика. Астрономия, т. 43, № 1, с. 29-33, 1988.

3. В.Г.Багров, А.С.Вшивцев, А.В.Николаев, В.К.Перес-Фернандес, Термодинамические и эффективные потенциалы квантовых бозе- и ферми-систем в абелевом и иеабелевом магнитном поле, Препринт № 8, Изд. Томского филиала СО АН СССР, Томск, 1988.

4. А.С.Вшивцев, А.В.Николаев, В.Р.Халилов, Термодинамика скалярных и ферми-частиц в сильном магнитном поле, Деп. в

ВИНИТИ, per. № 3329-В90 от 16 июня 1990.

«

5. В.Г.Багров, A.C.Вшивцев, А.В.Николаев, В.Р.Халилов, Химический потенциал фермионного газа в магнитном поле, Препринт Na 19,. Изд. Томского научного центра СО АН СССР, Томск, 1990.

6. А.С.Вшивцев, А.В.Николаев, В.Р.Халилов, Химический потенциал фермионного газа в магнитном поле с учетом аномального магнитного мометна электрона, Укр. физ. журн., т. 36, № 1, с. 12-17, 1991.

7. A.Nikolaev, A.Vshivtsev, Derivingr asymptotic expansions of thermodynamic functions by computer, Technical Report CUCS-001-97, Computer Sience Dept., Columbia University, 1997.