Термовибрационная конвективная неустойчивость наклонного слоя жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Дёмин Виталий Анатольевич

ТЕРМОВИБРАЦИОННАЯ КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НАКЛОННОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Г.З.Гершуни

Официальные оппоненты:

1. д. ф.-м. н., ведущий научный сотрудник Института механики сплошных сред Любимова Татьяна Петровна

2. к. ф.-м. н., доцент кафедры теоретической механики Пермского государственного технического университета Рудаков Рудольф Николаевич

Ведущая организация:

Институт теоретической и прикладной механики, г. Новосибирск.

Защита состоится . . . 1998 г. в . . . . .... на заседа-

нии диссертационного совета Д 063.59.03 в Пермском государственном университете. 614600, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан

Т.^-.. 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Г.И.Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: определяется необходимостью исследования конвективных течений, возникающих в жидкости или газах при наличии высокочастотных вибраций в условиях, когда имеется статическое поле тяжести. Вызывает интерес, в частности, взаимодействие двух механизмов неустойчивости: термогравитациониого и термовибрационного. Детальное изучение этих механизмов неустойчивости может способствовать развитию методов управления вибрационпо-конвективными течениями и теплоперсносом в земных условиях или при наличии микрогравитации, что является важной задачей для многих направлений космических технологий. Цель работы:

• изучение условий механического квази-равновесия неоднородно нагретого наклонного слоя жидкости, находящегося в статическом гравитационном и высокочастотном вибрационном полях;

• численное и аналитическое исследование линейной устойчивости квази-равновесия наклонного слоя жидкости относительно плоских и спиральных возмущений при разных взаимных направлениях равновесного градиента температуры и оси вибрации;

• численное моделирование конечно-амплитудных периодических движений в горизонтальном слое жидкости при произвольном направлении вектора вибрации;

• численый расчет вибрационной конвекции в замкнутом наклонном слое жидкости в случае вертикального градиента температуры и перпендикулярной слою оси вибрации.

Научная новизна результатов.

• Впервые в общей постановке выписано "условие квази-равновесия, находящегося в поле тяжести, наклонного слоя жидкости при наличии произвольно ориентированных однородного градиента температуры и вектора высокочастотной гармонической вибрации.

• Решены линейные задачи устойчивости относительно малых плоских и спиральных возмущений для четырех направлений градиента температуры: вертикального, горизонтального, продольного и перпендикулярного слою, и произвольно ориентированной оси вибрации. Найдены критические параметры и произведено сравнение границ устойчивости для двух типов возмущений.

• Сформулирована задача о двумерной вибрационной конвекции в наклонном слое жидкости; На основе этих уравнений изучены конечно-амплитудные периодические движения в горизонтальном слое жидкости; произведен расчет виброконвективных течений в замкнутом наклонном слое жидкости в случае вертикального градиента температуры и перпендикулярных слою вибраций.

Автор защищает:

• вывод "уравнения гидростатики", являющегося необходимым условием квази-равновесия наклонного слоя жидкости, находящегося в статическом гравитационном и высокочастотном вибрационном нолях;

• результаты исследования устойчивости квази-равновесного состояния плоского наклонного слоя жидкости, подвергающегося высокочастотной вибрации для четырех направлений равновесного градиента температуры: вертикального, продольного, горизонтального и поперечного слою;

• вывод спектральной амплитудной задачи в случае специального вида пространственных (спиральных) возмущений;

• результаты исследования устойчивости квази-равновесия относительно спиральных возмущений для четырех направлений градиента температуры и произвольно ориентированной оси вибрации;

• вывод уравнений, описывающих термовибрационную конечно-амплитудную конвекцию в плоском наклонном слое жидкости при наличии высокочастотной вибрации;

• результаты численного моделирования нелинейных периодических режимов в горизонтальном слое жидкости при произвольном направлении оси вибрации;

• результаты численных расчетов конечно-амплитудных движений в замкнутом наклонном слое жидкости в случае вертикального градиента температуры и перпендикулярной слою оси вибрации

Практическая ценность. Результаты, полученные в данной диссертации, могут способствовать развитию методов управления зибрацион-но-конвективным течением и тепло- массопереносом в условиях микрогравитации. В связи с этим часть исследования выполнялась как хоздоговорная работа под названием "Теоретическое изучение условий для квази-равновесных состояний в плоском наклонном слое в присутствии статического гравитационного поля и высокочастотных вибраций" в рамках программы "Наука НАСА" ТМ 18. Некоторые результаты, представленные в данной диссертации, опубликованы в монографии Г.З.Гершуни и Д.В.Любимова "Thermal vibrational convection", вышедшей в 1998 году в издательстве Wiley&Sons. Часть исследований выполнялась при частичной поддержке РКА-НАСА (контракт 920/18-5208/96). Материалы диссертационной работы использовались при чтении спецкурса "Дополнительные главы теории конвективной гидродинамической устойчивости" для студентов 5 кур-• са физического факультета.

Достоверность результатов подтверждается соответствием полученных результатов уже известным в общих областях значений параметров; независимостью результатов решения спектральных ампли-

тудных задач от применяемых приближенных методов; совпадением результатов численного интегрирования с аналитическими в тех случаях, когда имеется "точное" решение; соответствием точек смены режимов конвекции в прямоугольной наклонной ячейке Хеле-Шоу с результатами численного решения линейной задачи устойчивости в бесконечном слое.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на IV Сибирском семинаре по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (23-25 апреля 1997 г., Новосибирск), на V Международном семинаре по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (22-24 апреля 1998 г., Новосибирск), на 11-ой Международной зимней школе по механике сплошных сред (1997 г., Пермь), на совместном X Европейском и V Всероссийском Симпозиуме по физическим наукам в области микрогравитации (1997 г., Санкт-Петербург), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре под руководством проф. Г.З.Гершуни и Д.В.Любимова. Публикации. Основное содержание кандидатской диссертации опубликовано в восьми печатных работах.

Структура и объем. Диссертация содержит шесть глав и заключение; первая глава содержит введение и обзор литературы. Общий объем диссертации 161 страница; работа имеет 67 рисунков. Список литературы насчитывает 105 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава состоит из введения (в нем дается краткая характеристика явлению вибрационной конвекции и приводится содержание диссертации) и литературного обзора, который по своей структуре состоит из двух частей; в первой части обсуждаются работы по модуляции параметра, вторая часть обзора посвящается работам, выполненным на основе осредненных уравнений конвекции.

Во второй главе с помощью метода осреднения выводятся уравнения вибрационной конвекции (С.М.Зеньковская и И.Б.Симоненко // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1966. - №5. - с. 50-55; И.Б.Симоненко // Мат. сборник. - 1972. - т. 87. - Вып. 2. - с. 236-253.). Уравнения выводятся в приближении малых амплитуд и высоких частот вибрации, так что характерное время колебаний г удовлетворяет следующим условиям: т « 1? ¡v, l}¡х', (L - характерный размер полости; у, х - коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности). Однако, считается, что характерные времена колебаний много больше Lie (с - скорость звука в среде). Это позволяет считать жидкость несжимаемой. В безразмерном виде система осредненных уравнений, описывающих вибрационную конвекцию, и граничные условия имеют вид:

— + —-(vV)v = -Vp+Av + RaTy + Rav(wV)(rIn -1?), dl Pr

Pr—+ vVr= A7\ divv = 0, ^

а

div w =0, rot и- = V Г x п. (3)

= 0, wn | f =0 (4)

Здесь v , T,p- соответственно, осредненные ноля скорости, температуры и давления. В уравнения входит дополнительная "медленная" переменная tv, являющаяся, по существу, амплитудой пульсационной компоненты скорости. В уравнения также входят: у - единичный вектор, ориентированный вертикально вверх; п - единичный вектор, характеризующий направление оси вибрации. Система уравнений содержит три безразмерных параметра: Ra - число Рэлея, Rav- вибрационный аналог числа Рэлея и Рг - число Прандтля

Ra=sPAhA/v%, Rav=(fnbAh2)2/2v%, Рг=к//.

Здесь р- коэффициент теплового расширения; Ь - амплитуда вибраций; /г, А - характерные размер полости и температурный градиент; g - величина ускорения свободного падения. На границах полости средняя скорость V удовлетворяет условию прилипания. Векторное поле н', учитывая "невязкий" характер пульсаций, удовлетворяет условию непротекания.

Уравнения (1) - (4) описывают "медленные" по сравнению с осцил-ляциями конвективные движения в подвергающейся высокочастотной вибрации замкнутой полости. При определенных условиях в жидкости возможна ситуация, когда средняя скорость равна нулю, однако, пульсации, в общем случае, имеются. Это состояние будем называть квазиравновесием (см. параграф 2.2). Уравнения, описывающие квазиравновесие в жидкости = 0, 7 = 0), запишутся в форме:

ЩУТо * Л + Яау[Щи0п) хУГо] = 0, (5)

ДГ0 = 0, О, го1п0 = УТ0хп, (6)

где Т0, )Т'0 - равновесные безразмерные поля температуры и амплитуды пульсационной компоненты скорости.

Далее квази-равновесие изучается на примере наклонного слоя жидкости с твердыми изотермическими границами. Слой наклонен к вертикали под углом а. Система координат выбирается таким образом, чтобы ось х была направлена перпендикулярно слою, а ось z вдоль него (границы слоя находятся при л- = ± 1). В этой системе координат единичный вектор, направленный вертикально вверх, имеет компоненты: у (-sincc, 0, cosa); единичный вектор, характеризующий ориентацию оси вибрации, запишется в виде ñ(-sm<¡>, 0, cos$; ф- угол между вектором вибрации и осью г. Введено ограничение: VT0 = m; m - единичный вектор в направлении равновесного температурного градиента. Уравнение Лапласа АТ0 = 0 при этом удовлетворяется тождественно. Вектора у, Я и m лежат в одной плоскости (х, z). Исходя из предположения, что равновесное векторное поле w0 имеет лишь продольную относительно слоя составляющую, т.е. ñ'o(0, 0, tvQ(x)), найден в общем виде профиль w0(x) = {mxiiz -mznx)x. Заметим, что в этом случае поле w0 соленоидально и удовлетворяет граничным условиям: п'ох = 0 при х = ± 3. Подставляя поле w0 в уравнение (5), получил! "условие гидростатики", являющееся необходимым условием квазиравновесия наклонного слоя жидкости:

Ra(tnz sin а + mY cos а) + RaY(mxn2 - m2iix)m:n: =0. (7)

В параграфе 2.3 выведены линейные уравнения, на начальном этапе отвечающие за эволюцию малых возмущений в плоском наклонном слое жидкости. Решение находится в виде пропорциональных ехр{- At} функций (нормальные возмущения). Выписана спектральная амплитудная задача, собственным числом которой является декремент Я. Когда декремент вещественен, граница устойчивости определяется условием А - 0. В случае комплексного декремента (Л = Лг + /Я,-) граница устойчивости может быть определена из условия Яг =0; A¡ при этом имеет смысл нейтральной частоты осциллирующего возмущения.

В третьей главе рассматривается шестнадцать характерных конфигураций, соответствующих четырем различным направлениям равновесного однородного градиента температуры (ш) и независимо от него четырем направлениям оси вибрации (л). Ориентация векторов m и ñ может быть вертикальной, горизонтальной, продольной и поперечной слою. Каждая конфигурация анализируется на наличие квазиравновесия. Если квази-равновесие имеет место, то исследуется его линейная устойчивость относительно периодических вдоль оси х плоских возмущений. В длинноволновом пределе задача решается аналитически с помощью метода малого параметра (производится разложение в

ряд по волновому числу к, которое в длинноволновом пределе является малым параметром). В области произвольных волновых чисел дифференциальные уравнения интегрировались численно методом Рунге-Кутта-Фельдберга. В качестве примера приведем критические параметры неустойчивости для вертикального градиента температуры и двух направлений оси вибрации (штриховые линии): поперечного слою (рис. 1;) и вертикального (рис. 2;).

Рис.1о. Критические числа Рэлея в зависи- Рис.\б. Критические волновые числа в зави-

мости от угла наклона для разных значений симости от угла наклона для разных значе-

вибрационного числа Рэлея (перпендику- ний вибрационного числа Рэлея лярная слою ось вибрации).

Рнс.2а. Критические числа Рэлея в зависимости от угла наклона для разных значений вибрационного числа Рэлея (вертикальная ось вибрации).

Рис.2б. Критические волновые числа в зависимости от угла наклона для разных значений вибрационного числа Рэлея

В случае перпендикулярной слою оси вибрации для малых углов наклона (0° < а < ас) характерна длинноволновая неустойчивость; ас -критический угол, величина которого зависит от Яаг В области больших углов наклона слоя (ас < а < 90°) наиболее опасными становятся ячеистые возмущения. При вертикальном векторе вибрации зависимость критического волнового числа от угла наклона а оказывается более сложной.

В четвертой главе производится анализ квази-равновесных конфигураций в случае произвольно ориентированной оси вибрации. Оказалось, что при вертикальном градиенте температуры квази-равновесие существует лишь в случае вертикального и поперечного слою направлений оси вибрации (см. "условие гидростатики" (7) и рис. 1, 2). Если градиент температуры горизонтален или продолен слою, то квази-равновеие возможно при произвольной ориентации вектора вибрации. В случае горизонтального градиента температуры "условие квазиравновесия" (7) вырождается в Яа +Яау5\пасо5фсо5(а - ф) = 0. При продольном градиенте температуры квази-равновесное соотношение будет иметь форму: Яат\а-Яаг бш^соб^ = 0. Заметим, что квазиравновесие имеет место только при выполнении условия гидростатики. Это означает, что задача устойчивости решается в том случае, когда параметры Ка, Яаг, а\\ ф связаны "условием гидростатики".

а

с§ 1000

□ = 30"

I

I 1 а=30°

\ Г

□ = +0°

I I ' I ' 'I ' >1 I Ч ' I I ' I и 60-45-30-15 О 15 30 45 ВО 75 90

20001

с?

а

1000-

1-а=30о

2-о=50°

Ь 1

\

11 11 I I | I 1........ 11'| 111 ....

О 10 20 30 40 50 60 70 80 30

£

Рис.3. Критические числа Рэлея в завнси- Рис.4. Критические числа Рэлея в зависимости от ф для разных углов наклона при мости от ф для разных углов наклона при горизонтальном градиенте температуры. продольном градиенте температуры.

В параграфах 4.1 и 4.2 соответственно решаются задачи устойчивости для горизонтального и продольного градиентов температуры. Приводятся примеры нейтральных кривых и критические параметры неустойчивости для разных направлений оси вибрации. На рис. 3, 4

\

(штриховые линии) представлены критические числа Рлея для наклонного слоя жидкости в случае горизонтального и продольного градиентов температуры.

Пятая глава содержит исследование квази-равновесия относительно специального вида трехмерных (спиральных) возмущений. Производится сравнение критических параметров устойчивости для плоских и спиральных возмущений. В параграфе 5.1 выводятся уравнения для возмущений, пропорциональных ехр{- /л+ку} (причем по определению д!& = 0). Задачи устойчивости квази-равновесия относительно спиральных возмущений при вертикальном градиенте температуры решаются в параграфе 5.2. На рис. 1, 2 сплошными линиями изображены кривые устойчивости и критические волновые числа соответственно для поперечного слою и вертикального направлений оси вибрации. Видно, что при поперечном векторе вибрации во всем интевале углов наклона слоя 0° < а < 90° спиральные возмущения являются более опасными по сравнению с плоскими. Исключение составляет горизонтальный слой жидкости, в котором плоским и спиральным возмущениям соответствует одно критическое число Рэлея. Когда ось вибрации вертикальна, то при достаточно больших значениях вибрационного числа Рэлея Яау для малых углов наклона за возникновение конвекции отвечают плоские возмущения; с ростом а наиболее опасными становятся спиральные возмущения.

Если градиент продолен слою (параграф 5.3), то задача устойчивости может быть решена аналитически. Подстановка в систему уравнений для возмущений решения в виде простых гармоник дает следующий спектр декрементов:

(1 + Рг)(^2 + 1-2)

Л\Л2 =-±

2Рг

2Рг(/?+к2)

(1 + Рг)2(/^2 +к2)4 -4Рг(//2 + к2)

(/Г+к2)К

- . , - п1/2 (8)

Л 4- Пп С Ч2^

л '

где /л = л/2, л, Зтг/2, 2л... Анализ спектра декрементов показывает, что существует область параметров, в которой квази-равновесие абсолютно устойчиво. Расчеты, выполненые для разных значений волнового числа к, изображены на рис. 5. По мере увеличения Каг происходит слияние монотонных ветвей с образованием пар осциллирующих возмущений: в области больших Кау спектр состоит из затухающих коле-

бательных мод. Подставив условие Я = 0 в (8), получим формулу, определяющую границу устойчивости Ray(k) (нейтральная кривая):

? 9 3 / Í ? ^ 7)

Rav=(/j + к ) /|(// + /:")sin(zicos^ctg« - cos" ф- к" |

Из формулы видно, что минимум на нейтральных кривых всегда находится при к = 0, т.е. имеем длинноволновую неустойчивость. Пересчет параметров неустойчивости с помощью "условия гидростатики" дает спектр критических чисел Рэлея:

Ra,„ = ¡u4 sin ф/sin a(sin 0ctg а - cos ф)

Критические числа Рэлея изображены на рис.4, сплошными линиями. В параграфе 5.4 изучается устойчивость квази-равновесия при горизонтальном подогреве. Для произвольных волновых чисел задача решалась численно методом Рунге-Кутта-

Фельдберга. Однако, в случае малых к спектральная амплитудная задача допускает точное решение в виде простых гармоник, оо 1-Ь г/о Уо Производится разложение соб-

Эт ственных функций по малому па-

Рис. 5. "Нижняя" часть спектра декрементов, раметру /с. Показано, ЧТО МИНИ-Сплошные линии соответствуют монотон- мум находится при к — 0. Таким ным, штриховые-колебательным модам. обраЗОМ, критические ЧИСЛЭ Рэлея определяются простой формулой:

Ram = ¡л" cos(a - ф)/sin2 asin(« - ф).

На рис.3, сплошными линиями показаны критические числа Рэлея как функции фддя разных углов наклона слоя. Как и в случае продольного градиента температуры, в области малых углов ф наиболее опасны плоские возмущения, при увеличении угла, определяющего направление оси вибрации, спиральные возмущения становятся более опасными и отвечают за возникновение конвекции.

Рис. 8а. Поле функции тока при Яа - 90, Яаг = 300.

Рис. 86. Поле температуры при Яа = 90, Яа,, - 300.

В шестой главе численно методом конечных разностей моделируется вибрационная конвекция на основе полных нелинейных уравнений. Для расчетов применялась явная схема в сочетании с двухполевой методикой. В параграфе 6.1 исследуются конечно-амплитудные пространственно-периодические движения в горизонтальном слое жидкости. Ось вибрации наклонена под некоторым углом к слою. В иодкритической области возмущения затухают. При переходе через критическое число Рэлея возмущения развиваются и в жидкости устанавливается течение с

волновым числом равным критическому. Пример полей функции тока и температуры (ось вибрации наклонена к слою под углом ф - 45°) для Рг = 1 изображен на рис. 8а и 86. Заметим, что вихри вытягиваются перпендикулярно оси вибрации; интенсивность вихрей вращающихся в противоположных направлениях не одинакова. Однако, в эксперименте состояние квази-равновесия не наблюдается. Параграф 6.2 посвящается моделированию вибрационной конвекции, возникающей под действием поперечных высокочастотных вибраций в замкнутом наклонном слое жидкости. Действительно, в отличие от модели бесконечного слоя, при действии высокочастотных вибраций, жидкость, заполняющая замкнутую полость прямоугольной формы, не может находиться в состоянии квази-равновесия. Осредненное течение, имеющее термовибрационную природу, существует в жидкости даже в случае, когда отсутствует Рэлеевский механизм неустойчивости (состояние невесомости). На рис. 9а представлено поле функции тока для Рг = 1, Яа. - 300. Угол а, определяющий наклон слоя относительно вертикали, равен а - 70°. Как показывают расчеты, жидкость находится в состоянии, в некотором смысле, близком к квази-равновесию. Это связано с тем, что осредненное течение индуцируется торцами слоя. Образующееся течение имеет вид вихрей размером порядка толщины слоя и локализовано у торцов слоя. Если длина слоя много больше толщины, то в середине слоя образуется "застойная" область,

характеристики которой с хорошей точностью соответствуют квазиравновесию. Движение во всем слое возникает при числе Рэлея примерно равном критическому.

Рис. 9а. Поле функции тока при Ка-0

Рис. 96. Поле функции тока при На = 280

Рис. 9с. Поле функции тока при Лд = 860

При этом критическое волновое число сопоставимо с соответствующим параметром для замкнутого слоя. В зависимости от угла наклона

слоя при малых надкритичностях в жидкости могут возникать одно-вихревые или ячеистые (рис. 95) структуры. Увеличение надкритич-ности всегда приводит к перестроению ячеистых структур, и, в конечном счете, установлению в жидкости одновихревого движения, см. рис. 9с.

В заключении перечислены основные результаты работы.

ВЫВОДЫ

1. В общем виде исследованы условия, определяющие механическое квази-равновесие в наклонном слое жидкости, находящемся в статическом поле тяжести и подвергающемся высокочастотной вибрации. Показано, что квази-равновесие в наклонном слое жидкости существует, если выполняется некоторое алгебраическое соотношение ("условие гидростатики"). Имеющийся набор параметров образует большое разнообразие квази-равновесных ситуаций.

2. В диссертации рассматриваются горизонтальное, вертикальное, продольное и поперечное слою направления однородного градиента температуры. Для каждого из четырех возможных вариантов направления градиента температуры численно решена задача устойчивости квази-равновесия относительно малых возмущениий: плоских и специального вида трехмерных (спиральных) возмущений.

3. Как оказалось, в случае вертикального градиента температуры (подогрев снизу) квази-равновесие имеет место лишь при вертикальной и поперечной ориентациях оси вибрации. Если ось вибрации поперечна слою, то спиральные возмущения отвечают за возникновение конвекции при любом угле наклона слоя. Исключение составляет лишь горизонтальный слой жидкости, в котором плоским и спиральным возмущениям соответствует одно критическое число Рэлея. Вибрации при подогреве снизу повышают устойчивость квази-равновесия. Для почти вертикального слоя (малые углы наклона) характерна длинноволновая неустойчивость, а для почти горизонтального слоя (большие углы наклона) характерна неустойчивость относительно ячеистых возмущений.

Что касается вертикальной оси вибрации, то для плоских возмущений при достаточно больших вибрационных чисел Рэлея смена длинноволнового режима на ячеистый происходит дважды. Причем, в случае малых углов наклона за возникновение конвекции отвечают ячеистые возмущения. Затем имеется диапазон углов с длинноволновой неустойчивостью. При дальнейшем увеличении угла наклона наиболее опасными опять становятся ячеистые структуры. Спиральные возмущения ответственны за возникновение конвекции при малых вибрационных числах Рэлея. С ростом вибрационного параметра в области малых углов наклона конвективный порог определяется плоскими возмущениями, при больших углах наиболее опасными становятся

спиральные возмущения. В горизонтальном слое по-прежнему плоским и спиральным возмущениям соответствует одно критическое число Рэлея.

4. Для продольного и горизонтального градиентов температуры квази-равновесие возможно при произвольном направлении вектора вибрации. В зависимости от угла наклона слоя наиболее опасными могут быть как плоские, так и спиральные возмущения. Существует область параметров, в которой квази-равновесие абсолютно устойчиво. Отметим, что для продольного градиента температуры в случае спиральных возмущений задача устойчивости имеет аналитическое решение, что позволяет построить точно нейтральные кривые и графики декрементов. В случае плоских возмущений в результате неустойчивости могут возникать как плоскопараллельное течение, так и периодические конвективные структуры с конечной длиной волны. Для спиральных возмущений характерна длинноволновая неустойчивость.

5. В нелинейной постановке численно методом конечных разностей рассмотрена задача о горизонтальном слое жидкости, подвергающемся вибрации в произвольном относительно слоя направлении. Для стационарных пространственно-периодических конечно-амплитудных движений в жидкости найдены значения осредненных полей скорости и температуры в зависимости от направления оси вибрации, получены некоторые интегральные характеристики (амплитуда течения, безразмерное значение теплопотока и т.д.) как функции над-критичности.

6. Исследована конечно-амплитудная конвекция, возникающая в длинной наклоненной к вертикали прямоугольной ячейке Хеле-Шоу под действием вибрации. Увеличение подогрева при фиксированной интенсивности вибрации всегда приводит к перестроению ячеистых режимов в течение с большей длиной волны, так что в конечном счете в слое устанавливается одновихревое течение.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Demin К/1., Gershuni G.Z., Verkholantsev I.V. II Mechanical quasi-cquilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer. Int. J. Heat Mass Transfer, 1996, v. 39, № 9, pp. 1979-1991.

2. Гершуни Г.З., Дёмин В.А. И К вопросу об устойчивости механического квази-равновесия плоского наклонного слоя жидкости, находящегося в гравитационном и вибрационном полях. III Между-нар. семинар по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей. Тез. докл.. Новосибирск, 1996, с. 24-25.

3. Демин В.А. II Об одном точном решении уравнений вибрационной конвекции. 11-я Междунар. зимняя школа по мех. сплош. сред. Тез. докл.. Пермь, 1997, с. 114.

4. Demin V.A., Gershuni G.Z. II Thermovibrational convective instability of inclined fluid layer with respect to spiral disturbances. Joint Xth European and Vth Rusian Symp. on Physical Sciences in Microgravity. Abstr., St. Petersburg, 1997, p. 43.

5. Демин B.A. Н Термовибрационная конвективная неустойчивость наклонного слоя жидкости относительно спиральных возмущений. IV Сибирский семинар по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Тез. докл.. Новосибирск, 1997, с. 42-43.

6. Гершуни Г.З., Дёмин B.A. II К вопросу о термовибрационной конвективной неустойчивости равновесия наклонного слоя жидкости относительно длинноволновых возмущений. Вестник Пермского Университета. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, Вып. 2, 1997, с. 7-14.

7. Гершуни Г.З., Дёмин В.А. II Термовибрационная конвективная неустойчивость механического квази-равновесия наклонного слоя жидкости. Изв. РАН, МЖГ, 1998, №1, с. 8-15.

8. Дёмин В.А. II Неустойчивость плоского слоя жидкости. Конечные возмущения. V Международный семинар по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Сборник докл.. Новосибирск, 1998, с. 148-151.

9. Гершуни Г.З., Дёмин В.А. II Конечно-амплитудные движения в плоском наклонном слое жидкости при наличии вибраций высокой частоты. Представлена в Вестник Пермского Университета, 1998.

10. Demin V.A., Gershuni G.Z. II Theoretical investigation of quasi-equilibrium state in an inclined plane fluid layer in the presence of a static gravity field and high frequency vibrations. Submited in J. Vibrational effects in fluid dynamics, 1998.

ф.

Подписано в печать 24.06.98. Формат 60x84 Ч\ь. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 299.

614600, г.Пермь, ул. Букирева, 15 Типография Пермского Университета



^ / / о / «Г^с

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Дёмин Виталий Анатольевич

УДК 532.516 + УДК 532.72

ТЕРМОВИБРАЦИОННАЯ КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НАКЛОННОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научный руководитель: проф. кафедры теоретической физики Г.З.Гершуни

Пермь - 1998

План диссертации:

Глава I. Введение 4

Обзор литературы 6

Глава II. Вибрационная конвекция. Вывод основных уравнений 22

1. Уравнения вибрационной конвекции 22

2. Состояние механического квази-равновесия 26

3. Постановка задачи устойчивости квази-равновесия

относительно нормальных возмущений 29

Глава III. Некоторые характерные задачи вибрационной конвекции 31

1. Устойчивость квази-равновесия плоского наклонного слоя

жидкости при подогреве снизу 34

1.1 Вертикальная ось вибрации 34

a) Устойчивость квази-равновесия в длинноволновом

пределе 35

b) Устойчивость квази-равновесия относительно мод с

произвольным волновым числом 39

1.2 Перпендикулярная слою ось вибрации 50

a) Длинноволновая неустойчивость квази-равновесия

наклонного слоя жидкости 50

b) Устойчивость квази-равновесия в случае

произвольных волновых чисел 52

2. Устойчивость квази-равновесия при продольном подогреве 57

3. Квази-равновесие плоского наклонного слоя жидкости.

Подогрев сбоку 61

4. Наклонный слой жидкости при поперечном градиенте

температуры 62 Глава IV. Плоский наклонный слой жидкости. Произвольное

направление оси вибрации 65

1. Устойчивость квази-равновесия плоского наклонного

слоя жидкости при подогреве сбоку 66

2. Квази-равновесие в плоском наклонном слое жидкости

при продольном градиенте температуры 73

Глава V. Спиральные возмущения в наклонном слое жидкости 79

1. Вывод амплитудных уравнений в случае спиральных возмущений 79

2. Устойчивость наклонного слоя жидкости. Вертикальный

градиент температуры 82

a) Перпендикулярная слою ось вибрации 83

b) Вертикальная ось вибрации 91

3. Наклонный слой жидкости в случае продольного градиента

температуры 95

4. Наклонный слой жидкости при подогреве сбоку 105

5. Горизонтальный слой жидкости. Ось вибрации произвольна

относительно слоя 109

Глава VI. Конечно-амплитудные движения в плоском наклонном

слое жидкости 114

1. Движения с конечной амплитудой в горизонтальном слое жидкости 114

a) Метод решения 115

b) Результаты расчетов надкритических движений 116

2. Замкнутый плоский наклонный слой жидкости при подогреве

снизу 126

a) Область малых углов наклона слоя 130

b) Область больших углов наклона слоя 138 Заключение 152 Список литературы 154

Глава I. Введение

В гидродинамике одним из центральных является понятие устойчивости, которое определяется как "свойство системы быть невосприимчивой к малым возмущениям" [1]. Причем всегда принципиальное значение имеет вопрос об эволюции возмущений (система устойчива, если возмущения затухают со временем). Основы теории гидродинамической устойчивости и наиболее часто применяемые методы решения прикладных гидродинамических задач можно найти в монографиях [2-6]. Данная диссертация посвящается обсуждению устойчивости наклонного слоя жидкости, подвергающегося высокочастотной вибрации.

Известно, что высокочастотные колебания полости, заполненной жидкостью, при наличии температурной неоднородности могут вызывать регулярные осредненные течения (явление термовибрационной конвекции) [7, 8]. Возникающее при этом конвективное течение состоит из двух компонент - колебаний с частотой вибрации и осредненного течения. Если период колебаний много меньше всех гидродинамических времен, а амплитуда смещения в некотором смысле мала, то может быть применен метод осреднения [9], который позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений для осредненных полей скорости, температуры и давления. В теории тепловой конвекции этот метод был впервые развит в работе С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко [10] для изучения влияния высокочастотной вибрации на конвективную устойчивость равновесия горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу.

При определенных условиях, когда "медленная" составляющая скорости равна нулю (имеются пульсации скорости, температуры и давления, однако, в среднем жидкость покоится), возможно состояние механического квази-равновесия. Если неоднородность температуры достаточно велика, то квази-равновесие становится неустойчивым и в жидкости пороговым образом возникает некоторое осредненное конвективное течение.

В настоящей диссертации исследуется устойчивость квазиравновесия наравномерно нагретого наклонного слоя жидкости, находящегося в статическом гравитационном и высокочастотном вибрационном полях. В ходе решения задачи находятся спектры возмущений, определяются формы критических движений и границы устойчивости. Излагаются некоторые результаты нелинейных исследований конечно-амплитудной конвекции.

В главе 1 с помощью метода осреднения производится вывод уравнений конвекции при наличии вибрации высокой частоты. Находятся условия существования квази-равновесия. Формулируется задача устойчивости относительно нормальных возмущений.

Линейная конвективная устойчивость механического квазиравновесия в плоском наклонном слое жидкости, находящемся в высокочастотном вибрационном и статическом гравитационном полях, изучается в главе 2. При этом рассматривается четыре характерных варианта ориентации градиента температуры и независимо от него оси вибрации. Направление векторов может быть вертикальным, горизонтальным, продольным и поперечным слою. Всего таким образом, рассмотрено шестнадцать дискретных конфигураций. Для каждого случая взаимной ориентации градиента температуры и вектора вибрации были найдены условия квази-равновесия. В ситуациях, когда квазиравновесие имеется, численно методом пошагового интегрирования решаются задачи устойчивости относительно произвольных плоских возмущений, находятся характеристики критических возмущений.

В главе 3 рассматривается плоский наклонный слой жидкости с твердыми границами. Градиент температуры предполагается постоянным и может иметь одно из четырех направлений: вертикальное, горизонтальное, продольное и поперечное к слою. Однако вектор, направленный вдоль оси вибрации, ориентирован произвольным образом относительно слоя. Изучается возможность механического квазиравновесия и его линейная устойчивость относительно плоских возмущений.

Линейное исследование конвективной устойчивости механического квази-равновесия наклонного слоя жидкости относительно спиральных возмущений содержится в главе 4. Ось вибрации произвольно ориентирована относительно слоя. В зависимости от направления равновесного градиента температуры аналитически или численно находятся границы устойчивости. Производится сравнение критических характеристик для спиральных и плоских возмущений. В главе 5 на базе полных нелинейных уравнений вибрационной конвекции производится исследование конечно-амплитудных движений, возникающих в плоском горизонтальном слое жидкости при воздействии вибрации высокой частоты. Изучаются стационарные периодические вдоль горизонтальной оси конвективные структуры в зависимости от направления оси вибраци. Однако, с экспериментальной точки зрения более интересен случай замкнутого слоя. Далее в полной нелинейной постановке исследуются надкритические течения возникающие в замкнутом плоском наклонном слое под действием вибрации высокой частоты. Для расчетов течений используется метод конечных разностей.

Обзор литературы

Изучение эффектов, связанных с влиянием высокочастотных вибраций на состояние жидкости, началось с задач, в которых имеется зависимость одного из параметров, характеризующих равновесие, от времени (переменное электрическое и магнитное поля, переменные внутренние источники тепла, периодически меняющаяся температура границ и т.д.). Впервые влияние периодической модуляции температуры границ на конвективную устойчивость плоского горизонтального слоя жидкости исследована в работе Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого [11].

Следуя [11], рассмотрим случай нестационарных условий подогрева слоя, когда температура на границах, а также и её равновесный градиент, периодически меняются со временем. Несмотря на то, что температура меняется со временем по закону, который определяется условиями подогрева, зависящими от времени, в жидкости допускается существование "нестационарного" равновесия.

Границы слоя предполагаются свободными и хорошо проводящими. В пределе низких частот (со0 « %/, х - температуропроводность жидкости, Ь - толщина слоя) система уравнений гидродинамики для возмущений может быть сведена к уравнению второго порядка для амплитуды с периодическими коэффициентами:

/ + 2# + [1-#я + г<К0]/ = 0 (1)

Здесь Яа - число Рэлея, е - безразмерный параметр, который играет роль коэффициента трения (2е~ (1 + Рг)Д/Рг), г - безразмерная амплитуда колебаний, <р{1) - прямоугольная (ступенчатая) функция, Рг - число Прандтля.

Дифференциальные уравнения такого типа (называющиеся уравнениями Хилла [12]) часто встречаются в физике. Анализ уравнения (1) применительно к данной задаче показывает, что устойчивость равновесия жидкости определяется не только средним градиентом температуры, но и сложным образом зависит от температуры и частоты модуляции.

При Яа < 1 (подогрев сверху) имеются лишь области резонансного возбуждения, а при Яа > 1 (подогрев снизу) появляется также основная полоса неустойчивости. Модуляция температуры, в зависимости от амплитуды и частоты, может приводить как к повышению так и понижению устойчивости равновесия жидкости. В области параметрического возбуждения конвекции могут существовать колебания с частотой, равной частоте модуляции (целые области), и с частотой, равной половине частоты модуляции (полуцелые области).

Дополнительные исследования устойчивости плоского слоя жидкости под влиянием гармонической температурной модуляции проводились в [13]. Условия подогрева определялись средним постоянным значением температурного градиента А0, частотой модуляции со0 и

амплитудой а0:

где т] = а0/А0 - относительная амплитуда модуляции; у - единичный

вектор, направленный вертикально вверх. Как оказалось, в случае гармонического закона модуляции качественные особенности структуры областей устойчивости, отмеченные при обсуждении прямоугольной модуляции, не меняются.

Имеется также другой способ параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Пусть полость, заполненная жидкостью совершает вертикальные гармонические колебания с частотой а>0 и амплитудой Ъ0. В системе отсчета, связанной с полостью, ускорение свободного падения заменяется в соответствии с формулой:

влиянии модуляции поля тяжести на конвективную устойчивость горизонтального слоя жидкости рассмотрена в [13] для двух типов граничных условий. В случае свободных изотермических границ уравнения для возмущений сводятся к уравнению Хилла (1). Это означает, что задачи о конвективной устойчивости с модуляциями вертикального градиента температуры и поля тяжести математически эквивалентны. Для слоя с твердыми границами уравнения для возмущений приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами с помощью метода Канторовича. Если жидкость заполняет полость произвольной формы, то задача с помощью метода Канторовича также может быть сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрен бесконечный вертикальный круговой цил-линдр, совершающий колебания вдоль своей оси. В предельном случае высокочастотных колебаний полости границы устойчивости, выражающие зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции, получены с помощью метода осреднения [9].

Для исследования решения уравнения типа (1) Г.С.Маркман и В.И.Юдович в работе [14] применяли несколько иной подход. Решение находилось путем разложения амплитуды в ряд Фурье в сочетании с

ЧТ0 = -А0(\ + ,

g^g(\ + т]smй)0t).

(2)

безразмерный параметр модуляции. Задача о

алгоритмом цепных дробей. В [15] на основе полных нелинейных уравнений методом Ляпунова-Шмидта изучались периодические течения с "полуцелой" частотой, появляющиеся после потери устойчивости. В линейном приближении по малому параметру найден критерий устойчивости такого рода течений. В [16] показано, что имеет место и нелинейная устойчивость в классе возмущений той же периодичности.

В [17] представлены некоторые дополнительные результаты исследования возникновения конвекции в горизонтальном слое жидкости с твердыми изотермическими границами при модуляции температуры; для расчетов использовался метод Канторовича.

Учет неоднородности распределения температуры в слое при температурной модуляции произведен в [18]. Рассматривается бесконечно глубокий бассейн, заполненный жидкостью. Температура поверхности жидкости гармонически изменяется со временем. Вглубь жидкости распространяется температурная волна, амплитуда которой экспоненциально уменьшается по мере удаления от поверхности. Для приближенного решения краевой задачи использовался интегральный метод Кармана-Польгаузена, применяемый в теории пограничного слоя [19]. Расчеты произведены как для случая свободной, так и твердой верхних границ жидкости. Равновесие жидкости, оказывалось неустойчивым при определенных условиях. Получена оценка границы "основной" области неустойчивости.

Работа [20] посвящена влиянию вертикальной вибрации с конечной частотой (2) на конвективную устойчивость горизонтального слоя жидкости при нагреве сверху. В ней показано, что в системе отсчета, связанной со слоем, состояние покоя теряет устойчивость при превышении числом Рэлея некоторого критического значения. Для исследования устойчивости вторичного режима применялся метод Ляпунова-Шмидта. Вторичный режим мог быть как устойчивым, так и неустойчивым по отношению к малым возмущениям. В области устойчивого вторичного режима модуляция силы тяжести приводила к тому, что направление вращения валов через некоторое время менялось на противоположное.

В.А.Брискман и А.А.Черепанов в [21] изучали параметрическую стабилизацию неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах. Трубки, имеющие квадратные сечения, соединяются друг с другом своими верхними частями, но открыты снизу. Уровни жидкости в обоих коленах одинаковы. Параметры системы (коэффициент поверхностного натяжения а и плотность р жидкости, а также поперечный размер трубки d) подобраны так, что в отсутствие параметрического воздействия равновесие системы абсолютно неустойчиво. Предполагается, что потеря равновесия может определяться, во-первых, неустойчивостью Рэлея-Тэйлора, во-вторых, перемещением

жидкости, при котором поверхность изгибается как мембрана с закрепленными краями, причем смещения жидкости в разных коленах связаны между собой, и, в-третьих, движением жидкости как целого (жидкость в одном колене поднимается, а в другом опускается без искривления поверхности). Заметим, что движение жидкости как целого аналогично движению перевернутого маятника. Положение равновесия такого маятника абсолютно неустойчиво [22]. В качестве стабилизирующего фактора рассматриваются вертикальные колебания системы сосудов.

Авторы исходили из предположения, что подобная стабилизация равновесия возможна в области высоких частот. Амплитудное уравнение осреднялось (эта процедура уже упоминалась) и находилось условие невозрастания решений. Оказалось, что начиная с некоторого порогового значения амплитуды колебаний возмушения перестают нарастать. Таким образом, высокочастотная вибрация может подавлять неустойчивость любого из выше перечисленных видов возмущений. Однако, оценки показывают, что модуляция параметра в области рассматриваемых частот может вызвать новый вид неустойчивости -параметрический резонанс: капиллярные волны начинают нарастать при достаточно большой амплитуде колебаний. Поэтому, существует ограничение на амплитуду сверху. Заметим, что такая ситуация специфична для задач об устойчивости равновесия тяжелой жидкости налитой поверх легкой. Несмотря на ограничения, численные данные показывают, что параметрическая стабилизация вполне достижима в эксперименте. Так, для глицерина в сосуде с длиной Ь= 10 см и поперечным размером й - 2 см амплитуда колебаний а - 1,9 см, частота со

= 70, 7 с~\ для анилина а = 1,56-10_3 см, со - 9,1 -104 с~К

В [23] описывается параметрическое воздействие на конвективную устойчивость равновесия проводящего слоя жидкости, который находится в скрещенных электрическом и магнитном полях, перпендик�