Некоторые задачи термовибрационной конвекции в плоском и цилиндрическом слоях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

,, На правах рукописи

Дмитрий Наумович Вольфсси

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧ!! ТЕРМОВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ПЛОСКОМ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного

университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Д.В.Любимов

Официальные оппоне1пы:

- доктор физико-математических наук, профессор Е.Л.Тарушш (Пермский государственный >тшверситет)

- кандидат физико-математических наук, доцент В.И.Чернатьшский (Пермский государственный педагогический университет)

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред РАН, г.Пермь

Защита состоится «. » .Р.К-Т... 1998 г. в .!$.. часов на заседании диссертационного совета Д-063.59.03 в Пермском государственном университете (614600, г.Пермь, ул. Букирева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан ,.С£ИГ. 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

П .ГС . .. >

-Л'»'*.

Г.И. Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

определяется необходимостью исследования механизмов формирования и проблем устойчивости течений жидкости, возникающих под влиянием термогравита-цшлшых, вибрационных и термовибрационных воздействий. Изучение этих вопросов играет важную роль в понимании процессов тепло-массообмена в земных условиях и в условиях мнкрогравитащш.

Цели работы:

- изучение бифуркаций нелинейных режимов вибрационной конвекщш в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу и совершающем высокочастотные вибрации в вертикальном направлении,

- исследование влияния механизма переноса осреднешюй завихренности, пульса-циошгого транспорта, на осредненное течение вязкой несжимаемой жидкости на примере вибрационного течения между двумя бесконечными цилиндрами,

- исследование взаимодействия пульсационного транспорта и термовибрациошюго механизма и их влияния на осредненное течешю вязкой неизотермической жидкости на примере термовибрациошюго течения между двумя бесконечным? цилиндрам!.

Научная новизна результатов:

- проанализированы общие свойства бесконечномерной динамической системы, описывающей динамику нелинейных режимов вибрационной конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу и совершающем высокочастотные вибрации в вертикальном направлении; разработана и реализована схема построения многомодовой динамической системы, позволяющая учесть взаимодействие незатухающих мод вплоть до определенного порядка, сохраняя при этом существенные общие свойства бесконечномерной системы; численно получена диаграмма бифуркаций стационарных состояний многомодовой системы, что позволило выяснить, как меняется бифуркационная картина при увеличешш числа учитываемых мод; методам! теории бифуркаций качественно изучено поведешю многомодовой системы в окрестности бифуркаций коразмерности 2, не наблюдаемых в системе при малом числе учитываемых мод.

- исследовано влияние пульсационного транспорта на осредненное течешю вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами, из которых внешний покоится, а внутренний совершает вибрации с круговой поляризацией без смены ориентации; численно решена линейная задача устойчивости основного среднего течения, генерируемого шлихтинговским механизмом, определены опасные значения параметров и тип опасных возмущений; в пределе узкого зазора между цилиндрами получены асимптотические оценки характеристик опасных возмущений; изучено влияние пульсационного транспорта на вторичные осесим-метричньге течения.

- исследовано влияние пульсационного транспорта и вибрационной силы на осредненное течешю вязкой неизотермической жидкости в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами с разными температурами, из которых внешний покоится, а внутренний совершает вибрации с круговой поляризацией без смены ориентации; численно решена линейная задача устойчивости основного среднего течения, генерируемого шлихтинговским механизмом, определены опасные значения парамет-

ров и тип соответствующих возмущений; в пределе узкого зазора между цилиндрами получены асимптотические оценки характеристик опасных возмущений.

Автор защищает:

- результаты анализа бесконечномерной динамической системы;

- схему построения многомодовой динамической системы,

- результаты численного исследования бифуркаций стационарных состояний многомодовой системы,

- результаты качественного изучения поведение многоходовой системы в окрестности бифуркаций коразмерности 2,

- результаты линейного анализа устойчивости вибрационного течения между бесконечными цилиндрами,

- результаты асимптотического анализа устойчивости вибрационного течения между бесконечными цилиндрами в случае узкого зазора,

- результаты изучения влияния пульсационного транспорта па вторичные осесим-метричные течения между бесконечными цилиндрами,

- результаты линейного анализа устойчивости термовибращюшюго течения между бесконечными цилиндрами,

- результаты асимптотического анализа устойчивости термовибрационного течения между бесконечными цилиндрами в случае узкого зазора.

Достоверность подтверждается согласованностью численных и аналитических результатов, сравнением с работами других авторов.

Практическая ценность. Полученные теоретические и численные результаты углубляют понимание механизмов формирования и проблем устойчивости течений жидкости, возникающих под влиянием термогравигациганых, вибрационных и термовибрационных воздействий. Разработанные методы позволяют применять их в других задачах, связанных с изучением бифуркаций многомерных динамических систем; в задачах линейной устойчивости.

Личный вклад автора Результаты, полученные в данной работе, обсуждались с научным руководителем д.ф.-м.н., профессором Д.В. Любимовым. Кроме того, соавтором в работах [14,15] была д.ф.-м.н. Т.П. Любимова, в работах [10,14,15] - д. Б. Ру. Работа [11] написана в соавторстве с к.ф.-м.н. Д.А. Брацуном.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Пермском городском гидродинамическом семинаре, руководимом проф. Г.З. Гершуни, на конференции "Gordon Research Conference", Алабама, США, август, 1995, на конференции "10th Int. Couette-Taylor workshop", Париж, Франция, июль, 1997.

Публикации. Результаты первой главы опубликованы в работах [10,11], второй главы в работах [14,15], результаты третей главы вошли в монографию [16].

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации -121 страница. Работа содержит 23 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена изучению бифуркаций нелинейных режимов вибрационной конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу. Слой находится в ноле силы тяжести и совершает высокочастотные гармонические колебания в вертикальном направлении.

Во введении ограничивается круг физических эффектов, определяющих поведите системы, проводится обзор известных результатов по тематически связанным задачам, определяются открытые вопросы и ставятся вытекающие из них цели исследования.

В первом разделе приводится постановка задачи, обсуждается выбор безразмерных параметров. Изучение поведения системы осуществляется на основе следующих предположений:

-частота колебаний со много больше, чем характерные гидродинамические

частоты: со » у/Л3 ,со » %/И1 (Л - толщина слоя, теплопроводность жидкости, V = т|/р0- кинематическая вязкость, определенная по динамической вязкости г| и характерной плотности жидкости р0), -амплитуда колебаний а мала по сравнешпо с толщиной слоя И , -жидкость изотермически несжимаема (Л « к Д -длина звуковой волны).

В задаче присутствует два характерных масштаба времени - внешнего воздействия (период вибраций порядка 1 / со -быстрое время) и внутреннего времени релаксации (порядка /;2 / V - медленное время). Соответственно все поля разделяются на быстрые (пульсационные) и медленные (осредненные) составляющие. Поведение системы в медленном времени описывается классическими уравнениями вибрационной конвекции, получаемыми из уравнений Буссинеска методом осреднения [1].

Эти уравнения формулируются дчя осредненных полей скорости, давления и температуры и медленно меняющейся амплитуды пульсаций скорости, в системе координат, связанной со слоем. Границы слоя считаются свободными и недефор-мируемыми (модельные граничные условия), на осредценную скорость ставятся условия непротекания и отсутствия касательных напряжений, на амплитуду пульсаций - условие иепротекания. В такой постановке задача допускает стационарное решение, отвечающее механическому равновесию, при котором в слое устанавливается .линейное распределите температуры.

Задача устойчивости равновесия формулируется для двумерных возмущений в терминах функций тока среднего и пульсационного течения и отклонения температуры от равновесного распределения:

дlA\^l+J(\\l,Av) = РгОЯа^(дх(р,&) -Рг £>Лг<Э;ср + РгЯадх& + стД21|/ (1) + = ДЗ + сЬ|/, (2)

= (3)

где Яа = /у% - число Рэлея, Рг = у /- число Прандтля,

О = Рг(а(й2 /2ю3/г4; - вибрационный параметр; Р - коэффициент тем-

пературного расширения, © - перепад температур между нижней и верхней границами слоя, ц - ускорение свободного падения и использовано обозначе-

ни eJ (а,Ь) = ( дха)(д1Ь)-(дхЬ)(д,а), г- координата поперек слоя, х- вдоль. Граничные условия в терминах функций тока выглядят следующим образом:

Задача (2-5) содержит, как частный случай, при В - 0 (в отсутствие вибраций) хорошо изученные уравнения двумерной конвекции Релея-Бенара [2].

Во втором разделе определяется симметрия решений, которые будут изучаться, и описывается применение галеркинской процедуры.

Рассматривается слой, бесконечный вдоль х, поэтому естественно предположить, что возникающие конвективные структуры будут периодичны вдоль этой оси. Обозначим период конвективных структур как тогда соответствующее горизонтальное волновое число будет к = 2к / /,. В силу периодичности теперь можно ограничиться изучетием поведения жидкости в конвективной ячейке {(х,г),хе [0,2/к], ге[0,\]}.

Далее предполагается, что конвективные структуры, возникающие в слое вблизи порога неустойчивости теплопроводного режима, обладают симметрией отражения в вертикальной плоскости х = 1/к, проходящей через центр конвективной ячейки и разделяющей конвективные валы разного направления вращения: ау:х->х+1 /к, х->-х, (ч/.&.ф,)(5) Как свидетельствуют результаты линейного анализа устойчивости равновесия в слое с одинаковыми условиями на нижней и верхней границах, опасные возму-щешм так же являются симметричными относительно плоскости г = 1/2 [4]. Кроме того, соответствующие поля ф и ср симметричны, а в антисимметрично относительно плоскостей х = {\/2к,Ъ/2к}. Это означает, что валы, появляющиеся при малой надкритичности, обладают так же свойством точечной симметрии относительно своих центров (х,г) ={(\/2к\ / 2), ( 3 / 2к,\ / 2)} :

(х-¥х+\/2к\ (х-*-хл

'->2+1/2

-> -2

СЧ/Аф^Гу-Э.ф,) (6)

Сделанные выше предположения позволяют в численном исследовании много-модовой системы ограничится рассмотрением периодических решений, удовлетворяющих граничным условиям (4), симметрии отражения (5) и точечной симметрии (6).

Для отыскания решений системы (1-4) поля ф и Э представляются в виде разложений по пространственным базисным функциям (модам) с коэффициешгами (амплитудами), зависящими от времени:

мр "г

\\1(х,г) = пктх)яп(таи) , (7)

ДД '

= со*( пктх) (8)

-О л-1

Разложение доя амплитуды пульсационной скорости <р находится подстановкой (8) в уравнение (3). Получаемое разложение для (р автоматически удовлетворяет граничным условиям (4):

ж Г Ъп \

п(к2т7 +п-)

зт( пктх) ппг). (9)

Подчиняя ряды (7-9) свойству точечной симметрии (б), приходим к индексному правилу отбора учитываемых мод:

(т+п)тос! 2 = 1 => аж=Ъ„= 0. (10)

Подставляя ряды (7-9) в уравнения (1-3) и проецируя на базисные функции в области С{(х,г),х е [0,1/к],г е[0,\]}, переходим от уравнений в частных производных к обыкновенным автономным дифференциальным уравнениям для амплитуд ат(1) и Ьтп (I), зависящих только от времени. В ситу ортогональности базисных функций уравнения для амплитуд оказываются автоматически разрешенный! относительно производных:

Х,=ЛиХ;+В.,ХГХ1. (11)

Здесь производится суммирование по "немым" индексам; вектор Л'( составлен из амплитуд атп(() и Ът(1), расположенных в определешюм порядке, точка над X, означает дифференцирование по времени; матричные элементы зависят от параметров задачи: Д. = А1}(Ка,В,Рг,к) , = В^Иа.О.Рг.к) ; матрица 5 ., симметрична по индексам ] и I.

В третьем разделе, в целях дальнейшего сравнения с результатам исследования миогомодовой системы, воспроизводится картина бифуркаций стационарных состояний для простейшей нелинейной модели - триплета [3,4].

В четвертом разделе анализируются общие свойства бесконечномерной динамической системы и производится линейный анализ устойчивости состояния равновесия. В частности, показывается, что выбранный способ представления полей позволяет автоматически соблюсти диссипативность системы (отрицательность дивергенции фазового потока).

Основные результаты линейного анализа таковы. В отсутствие вибраций равновесие является монотонно неустойчивым относительно возмущений, имеющих форм}' периодических валиковых структур с пространственной зависимостью

функции тока сс 8'т(п/42.x) $¡11(112) . В общем случае (I) Ф 0) опасную ветвь

зависимости критических значений числа Релея () и критических волновых

чисел (кс) от вибрационного параметра удобно представить в параметрическом

виде:

2пА(к]+1/(1-к2е) 1 (1-2 к;)

Ка =-——, ,ксе[ -Ц-^. (12)

к] с VI Ап (\-кс)

В частности, при О > 1/4я4 не существует волновых чисел, отвечающих нарастающим возмущениям, то есть наступает полная стабилизация равновесия.

В пятом разделе описывается схема построения динамической системы типа (11), позволяющая получить картину бифуркаций стационарных состояний с наперед заданной точностью. Суть схемы, предложенной в работе [2], состоит в том, что выбирается целое число ЫсШ , отвечающее максимальному учитываемому суммарному индексу / + ] для мод аи и Ьц. С учетом правила отбора (10) общее число мод и, соответственно, число уравнений составляет

Л^ = А'^ (N Си1 + \) / 2 . Матрицы учтенных мод а0 и Ь0 затем отображаются на вектор X,, / = , коэффициенты при членах, линейных по X, формируют матрицу Ау, = , коэффициенты при нелинейных членах - матрицу В у,, (,_/,/ = . Таким образом, приходим к динамической системе вида (11),

удобной для бифуркационного анализа. Данная схема учета мод позволяет сохранить общие свойства бесконечномерной системы и учесть взаимодействие незатухающих мод вплоть до определенного порядка, задаваемого числом Агси1.

Система (11) исследовалась с применением различных методов. Дтя нахождения стационарных решений был выбран комбинированный метод ЬЖЬМ (Ыс\\1оп-Raphson-Levenberg-Marquard), позволяющий, в частности, задавать область поиска решений [6]. Для построения диаграмм решений (зависимость стационарных решений от параметров) и бифуркационных диаграмм (бифуркационные кривые в пространстве параметров) использовался метод продолжения по параметру [7].

Были определены "внутренние" критерии сходимости, определяющие относительную и абсолютную погрешность при нахождении стационарных решений [10]. Кроме того, делалось сравнение с известным! результатами для обычной конвекции [2,8]. Учитывалось от 51 до 520 мод. Этого оказалось 0 00 °'10 020 й 0;!0 достаточно для определения

Рис.1 Бифуркационная диаграмма стационар- бифуркационных значений пых решений многомодовой системы (11). параметров с точностью 0.01%.

В шестом разделе описывается полученная диаграмма бифуркаций стационарных состояний. Результаты исследования для случая к = 1/\/2 , Рг = 6.8 представлены на Рис. 1. 1 - кривая вилочной бифуркации: на нижней ветви рождаются решения С, г, на верхней -5,,; 2 -кривая бифуркации Хопфа решений С, г; 3 - кривая касательной бифуркации (слияния решений С,, и .V, 2 ). Н1 и //2 - точки смены знака первой ляпунов-

ской величины на кривой 2, в первом случае - скачком, во втором - непрерывно. Сравнение полученной диаграммы бифуркаций стационарных состояний позволяет заключить, что качественные отличия от результатов д ля триплета [3,4] касаются только бифуркации коразмерности 2 (точки //, и Н2).

В седьмом разделе качественно анализируется поведение системы в окрестности бифуркаций коразмерности 2. Для этого строятся нормальные формы [9] для уравнений типа (11) в окрестности упомянутых точек и анализируются фазовые

портреты для координат на центральном многообразии. В малой окрестности //, система типа (11) топологически эквивалентна двухпараметрическому семейству систем вида

Здесь х и у имеют смысл квадрата модуля первой и второй комплексных координат на центральном многообразии, точкой обозначена производная по "медленному" времени, 8, и е2 - параметры семейства, Ъ = 9.24-10"1, с = -2.73. По терминологии [12] данная система является неисключительной системой легкого типа. Вблизи точки Н1 существуют устойчивый и неустойчивый циклы и неустойчивый тор.

Топологическая структура системы типа (11) вблизи Н1 определяется из следующего двухпараметрического семейства:

Здесь р имеет смысл квадрата модуля комплексной координаты па центральном многообразии, точкой обозначена производная по "медленному" времени; е, и 8, - параметры семейства. Вблизи точки Н2 существуют устойчивый и неустойчивый циклы, устойчивое и неустойчивое стационарные решения.

Вторая глава посвящена исследованию влияния мало изученного механизма переноса осредненной завихренности, пульсационного транспорта [13], на осред-ненное течение вязкой несжимаемой жидкости.

Во введении обсуждаются причины и условия приводящие к возникновению пульсационного транспорта, проводится обзор известных результатов по данному эффекту, определяются цели исследования.

В первом разделе формулируются уравнения и граничные условия в общем виде [16]. Изучение поведения системы осуществляется на основе следующих предположений: толщина вязкого пограничного слоя и амплитуда вибраций малы по

сравнению с характерным размером сосуда 8 = (у/со )"2 « Ь, а «Ь\ скорость

осредненного течения удовлетворяет оценкам II0 «соЬ«с (с -скорость звука

в жидкости).

Наличие в задаче двух характерных временных масштабов (1/ю и Ьг / V ) позволяет выделить пульсациошше и средние составляющие. Для описания эффекта пульсационного транспорта необходимо учесть поправку к главной, потенциальной, части поля пульсаций скорости. В безразмерном виде уравнение осредненного движения таковы:

х = х(е1 + х-Ъу),у = у(ъг +сх-у).

(13)

p = p(zi+z:,p+Lгpl)

(14)

—+(П-Ч)й + Пх8 =--+ \'Дг7,

д[ р

У-г7 = 0,

Ух/ = 0, У./ = 0

ей

УР

(15)

оГ

(16) (17)

где £2 = V х й - средняя завихренность, 5' = Яер (/ • V- вектор пульсационно-

го транспорта, у0 - потенциальная составляющая пульсациошюго поля скорости,

д/ / дт = \>а, т - быстрое время, 11ер = агсо / V - пульсационное число Рейнольдса -

параметр подобия задачи. Граничные условия для у„ определяются законом вибраций:

(18)

Для тангенциальной компоненты средней скорости - шлихтинговской скоростью (и&) на внешней границе скин-слоя, для нормальной - значением нормальной компонен ты вектора 5 [16]:

= и& ' = , (19)

Во втором разделе формулируется конкретная задача, демонстрирующая изучаемый эффект - проблема формирования и устойчивости течения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами, в отсутствие силы тяжести. Внешний цилиндр покоится, а внутрешшй совершает вибрации с круговой поляризацией вокруг оси внешнего без смены ориентации [14,15]. В этой геометрии происходит формирование осредненного течения, поскольку касательная компонента пульсационного поля скорости неоднородна вдоль границы. Фактически она представляет из себя бегущую волну. Амплитуда волны меняется в радиальном направлении и постоянна на осреднешюй поверхности внутреннего цилиндра, а фаза меняется в азимутальном направлении. Пульсационное поле скорости, вектор пульсациошюго транспорта и основное среднее течение могут быть выписаны в явном виде: ~ Р

у0 = а<ь{(дгР)8т(ц-М)ёг + — соз(ц — соГ^ё }, Р = Аг + В/г, (20)

г

5 = = (21)

щ = и(г)ёч, Щг) = Яе/Ахг + В,/г), (22)

где и Я2 - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно, К=К2/К1, В = А- В/ , А, = -3(1 + К2)/(Я2 -I)2,

В, -3(1 + Н2 +К')/(Я2-I)2.

Основное течение и вектор пульсациошюго транспорта имеют только азимутальную составляющую, так что последний не оказывает влияния на формирование основного среднего течения. Шлихтинговские граничные условия могут быть интерпретированы как условия прилипания на двух фиктивных цилиндрах, имеющих те же радиусы, что и реальные цилиндры, и вращающихся с постоянными угловыми скоростями О, = 11(1) и = П(К)/Я в одном направлении.

Линейная задача устойчивости основного среденего течения имеет следующий вид:

дй - - VР

— + (йй-Ч)й+(й-У)Т1а+(]1>&)П+е1х8 =--+ Аи , (23)

д1 р

У-г7 = 0, (24)

где ¿7,0. = V х й - возмущения средней скорости и завихренности, а вектор пуль-

сационного транспорта определен соотношением (21). На поверхностях внутреннего и внешнего цилиндров возмущения обращаются в ноль:

г = 1,Я: и = О. (25)

Задача (23-25) инвариантна относительно трансляций вдоль оси г , поворотов на произвольный угол вокруг этой оси и отражения 2 —» — 2 . В отличие от задачи

Куэтта-Тэйлора, которая содержит два независимых параметра: г| = Я1 / Яг и (.1 = /' Г2, , в рассматриваемой постановке угловая скорость фиктивных цилиндров не является независимым параметром и выражается через отношение радиусов Я (Д = 1 /т1): ц = /Ц = и(Ю/(Ш(\)) = /Г6.

В третьем разделе приводятся результаты численного анализа на основе постановки (41-42). Решения отыскивались в виде нормальных возмущений:

й = и(г)ен'^е-а>, Р = Р(г, (26)

где азимутальное волновое число п является целым, а осевое волновое число к -действительным. Задача (23-25) не является самосопряженной, так что собственные значения со являются, вообще говоря, комплексными. Нейтральная кривая

Яер(к) определяется решением уравнения

1т(а(к,п,Яер,Я)) = 0, (27)

где (27) записано для со с максимальной мнимой частью. При фиксированном отношении радиусов и для определенного азимутального волнового числа критические значения Я с? и к находятся минимизацией зависимости Яе„ от к на

рс с р

нейтральной поверхности, определяемой условием (27):

Яерс(п,Я) = тт[Яер(к,п,Я)] . (28)

Минимизация Яерс(п,Я) по п определяет опасные Яс^(Я) и пс(Я). Для

осуществления линейного анализа был использован метод Тау-Чебышева. Нейтральные кривые были посчитаны для различных значений отношения радиусов: Я е {\. 1,1.25,2.0,2.5,3.0} , так что был исследован широкий диапазон размеров зазора между цилиндрами, от узкого (Я —> 1) до асимптотического предела, когда (I 0 (в случае Я = 3: ц = З"6). Осеснмметричные нейтральные возмущения оказались монотонными, тогда как возмущения соответствующие п = 1,2,...- колебательными. Для всех исследованных значений отношения радиусов оказалось, что опасными являются монотонные осеснмметричные возмущения, периодичные вдоль оси 2 (= 0,пс - 0,кс & 0).

Те же вычисления производились для уравнений не учитывающих эффект пульсационного транспорта. Сравнение результатов показывает, что учет дополни-

тельного механизма переноса осредненпой завихренности существенно понижает порог устойчивости основного решения.

В четвертом разделе аналитически исследуется линейная задача устойчивости (23-25) в предельном случае, когда зазор между цилиндрами мал по сравнению с их размерами (е = Я -1, е «1). Задача принимает форму классической задачи конвективной устойчивости плоского слоя жидкости с твердыми границами, что позволяет получить асимптотические зависимости:

Азимутальная фазовая скорость ас /п критических неосесимметричных возмущений совпадает с суммой шлихтинговской скорости и скорости пульсационно-го переноса. Это проясняет немонотонный характер таких возмущений: спиральные ваты вращаются в азимутальном направлении под действием основного течения и пульсационного переноса.

Численный линейный анализ в случае узкого зазора хорошо согласуется с асимптотическими оцеикаг.ш (29).

В пятом разделе изучалось влияние пульсационного транспорта на вторичные течения. На основе результатов линейного анализа исследование было ограничено предположением осесимметричности течения и периодичности вдоль оси цилиндров. Оказалось что учет пульсационного транспорта существенно понижает порог зарождения вторичного течения, а так же существенно деформирует его структуру. В частности, вблизи внутреннего цилиндра образуются вихри приводящие к значительному усилению циркуляции жидкости.

Третья глава посвящена обобщению постановки, рассматриваемой во второй главе, на случай слабой неизотершиности жидкости.

Во введении обсуждаются факторы, оказывающие влияние на осреднсинос поведение жидкости: нелинейное взаимодействие пульсащш скорости и средней завихренности и нелинейное взаимодействие пульсаций скорости с неоднородностя-ми плотности. Проводится обзор известных результатов, определяются цели ис-следовашм.

В первом разделе обсуждаются уравнения и граничные условия в общем виде. Изучение поведения системы осуществляется на основе предположений, сделанных во второй главе и условия слабой неизотермичности: Р© «1 (© - характерная разность температур между различными участками границы, 3 - коэффициент тешювого расширения). Далее на основе разложегам по малому параметру е = а / Ь выводятся уравнения для средних [16]:

(29)

где к™ = 3.117, Ла™ = 1707.762.

8,и + Г й • + П х Я = -Ур + Дй + вг^КУО,

(30)

д10 + (й+1)-Уд = — Д9,

' ' Рг

У-П = о,

(31)

где n = Vxü, S=Rep(f0-V)t0,Kp=f02/2, (33)

К - кинетическая энергия пульсаций скорости. Параметрам! подобия задачи

являются Gr = iiWß©L2/v2 - вибрационное число Грасхофа, Rep - пульсаци-

опное число Рейнольдса и число Прандтля (Рг ).

Последнее слагаемое уравнения (30) - вибрационная сила. В отличие от уравнений первой главы оно пропорционально первой степени ß0, его вклад, таким

образом, зависит от знака © . Роль потенциальной энергии играет -Кр, то есть

движение в направлении уменьшения кинетической энергии пульсаций соответствует движешпо вверх в поле силы тяжести. Граничные условия для амплитуды пульсаций и средней скорости в неизотермическом случае те же (18-19).

В треп>ем разделе рассматривается термовибрационное течение в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами. Геометрия та же, что и в предыдущей главе. На поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура; Grv > 0 соответствует нагреву внешнего цилиндра, Gr, < 0 - нагреву внутреннего. Структура потенциальной составляющей поля скорости, вектора пульсационного транспорта и основного среднего течений определяются выражениями (20), (21), (22) соответственно. В основном, стационарном (в масштабе медленного времени) состоянии между цилиндрами устанавливается радиальное распределение температуры: 0о = In г/InR (34)

В третьем разделе формулируется задача линейной устойчивости основного решения. Линеаризация уравнений (30-32) вблизи основного решешга (22, 34) и учет граничных условий (25) для скорости и условия изотермичности границ при-

водят к следующей постановке:

д,и + (й0 ■ V)ü + (й ■ VJi70 + Q х S = -Vp + Дг7 + CirvKVQ (35)

5,6 + (ii0 + S) ■ V0 + (й ■ VJ00 = -L ДО , (36)

Pr

V-z7 = 0 , (37)

r = l,R: г7 = 0, 9 = 0. (38)

Все замечания по поводу симметрии изотермической задачи в линейной постановке без изменений переносятся на настоящий случай. Решения так же ищутся в виде нормальных возмущений типа (26). Аналогично определяется задача на собственные значения со . Нейтральная поверхность Огу(11ер,к,п,Рг,Н) определяется решением уравнения

¡т(и(к,п,Сг,ДерЛ,Рг)) = 0 , (39)

где (39) записано для и с максимальной мнимой частью. При фиксированных Р , Рг и Рер критические значения, Сг,с и кс находятся максимизацией (нагревается внешний цилиндр, что соответствует нагреву горизонтального слоя сверху) зависимости Сг от к на нейтральной поверхности, определяемой условием (49):

СгК(п,Я,РгЯер) =тах[Сгу(к,пД,Рг,Рер)], (40)

Максимизация Сгс(п,11,Рг,Яер) по п определяет опасные Стгус(Я,Рг,Яер) и п/Я,Рг,Яер).

В четвертом, пятом, шестом и седьмом разделах аналитически исследуется линейная задача устойчивости 05-38) в предельном случае, когда зазор между цилиндрами мал по сравнению с их размерами (с = Л -1, е «1).

Задача принимает форму классической задачи устойчивости бинарной смеси нереа-гирующих компонент без учета эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности в горизонтальном слое жидкости с твердыми! границами, на которых поддерживаются постоянные равновесные значения температуры и конценгращш [17]. Роль скорости играют возмущения радиальной и осевой компоненты скорости исходной задачи, роль концентрации - возм>тцение азимутальной, роль температуры - возмущение температуры. В невозмущенном, равновесном состоянии отсутствует движение, а градиешы температуры и концентрации постоянны и вертикальны. Параметры подобия задачи:

число Рэлея (Яа--сСгуРг/2), концентрационное число Рэлея (11а£ - ПЯе2р/2 ), число Прандгля (Рг ) и число Шмидта (Ргл =1). Здесь возможна как монотонная так и колебательная неустойчивости. При определении границы монотонной неустойчивости задача сводится к задаче Рэлея-Бенара о конвекции в горизонтальном слое жидкости с твердыми границами, поддерживаемыми при постоянных температурах. Роль температуры играет комбинация

а - (СКаа + ЬКа)/(Яал +Яа), где С - концентрация примеси. Граница монотонной неустойчивости имеет следующий вид:

27 Яе1^ - еСгп Рг - 2На™. (41)

Модуль опасного волнового числа определяется выражением (39). Направление волнового вектора критических возмущений вырождено для азимутальных волновых чисел п , удовлетворяющих равенству (ке)г +пг - (к™/г)2. Частота критических неосесимметричных возмущений определяется асимптотической формулой (29).

Они, таким образом, представляют собой спиральные валы вращающиеся со скоростью, равной сумме основного среднего течения и скорости пульсационного транспорта. Граница колебательной неустойчивости определяется численно.

В восьмом разделе приводятся результаты численного исследования задачи (35-38) в случае узкого зазора. Они хорошо согласуются с полученными в предыдущих разделах асимптотическими оценками.

-10 о 10 го

30 40 50 60 70 80 90

шоп. п=»0 оэс. л=0 05С По1 ОДС. П>1

20 25 Вв0

Рис.2 Зависимости опасного чисела Грасхофа Огуг от Кер. Я - 1.5 , Рг = 6.8.

В девятом разделе приводятся результаты числегагого исследования задачи (3.53в случае зазора конечного размера. Общая картина смены неустойчнвостей с увеличением пульсационного Рейнольдса такова (Рис. 2):

колебательная неустойчивость (неосесимметричные возмущения) —» монотонная неустойчивость (осесимметричные возмущения) —> колебательная неустойчивость (возмущения с п— 1)—»колебательная неустойчивость (осесимметричные возмущения) —> колебательная неустойчивость (возмущения с /7 = 1).

Первые три случая связаны с неустойчивостью в поле центробежных сил при наличии сдвигового течения, в последующих трех важную роль играет так же термовибрационный механизм.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проанализированы общие свойства бесконечномерной динамической системы, описывающей динамику нелинейных режимов вибрационной конвекции в горизонтальном слое жидкости, находящемся в поле силы тяжести, подогреваемом снизу и совершающем высокочастотные вибрации в вертикальном направлении; разработана и реализована схема построения многомодовой динамической системы, позволяющая учесть взаимодействие незатухающих мод вплоть до определенного порядка, сохраняя при этом общие свойства бесконечномерной системы.

2.Численно получена диаграмма бифуркаций стационарных состояний многомодовой системы, что позволило выяснить как меняется бифуркационная картина при увеличении числа учитываемых мод. Оказалось, что бифуркации стационарных состояний коразмерности 1 качественно сохраняются. Различия касаются бифуркаций коразмерности 2.

3.Качественно изучено поведение многомодовой системы в окрестности бифуркаций коразмерности 2, не наблюдаемых в системе при матом числе мод. Построены и проанализированы фазовые портреты для малых окрестностей бифуркационных значений параметров.

4. Решена линейная задача устойчивости основного среднего течения, генерируемого шлихтинговским механизмом в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами, из которых внешний покоится, а внутренний совершает вибрации с круговой поляризацией без смены ориентации. Оказалось, что неустойчивость обусловлена центробежными силами. Опасные возмущения являются монотонными и имеют вид вихрей Тейлора. В пределе узкого зазора между цилиндрами получены асимптотические оценки характеристик опасных возмущений; показано, что критические неосесимметричные возмущения представляют собой вращающиеся спиральные ваты.

5.Показано, что пудьсационный транспорт оказывает существенное влияние на структуру вторичных течений.

6.Показано что техлтературная неоднородность жидкости слабо неизотермичной жидкости в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами дополнительно приводит к появлению колебательной неустойчивости. Структура опасных возмущений определяется взаимодействием механизмов, обуславливающих неустойчивость в поле центробежных сил и термовибрационным механизмом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А.. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. 1989. С 109-118.

2. Veronis G. Large-amplitude Benard convection. //J.F.M. 1966. Vol. 26. P. 49-68.

3. Закс M.A., Любимов Д.В., Чернатынскии В.И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции// Известия АН СССР. ФАО. 1982. С. 312-314

4. Lyubimov D.V., Zaks М.А. Two Mechanisms of Transition to Chaos in Finite-Dimensional Models of Convection// Physica 9D. 1983. P.52-64.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972, С.250-255

6. Numerical Recipes in Fortran 77. Section 9.http://nr.harvard.edu/nr/bookf.html

7. Kubichek M., Marek M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipa-tive Structures. Springer-Verlag. 1983.

8. Clever R.M., Busse F.H. Transition to time-dependent convection// J.FluidMech. 1974. Vol. 65, part4. pp. 625-645.

9. Kuznetsov Y. Explicit normal form coefficients for all codim 2 bifurcations of equilibria in ODEs// Report MAS-R9730. October 31. 1997.

10. Любимов Д.В., Py Б., Вольфсон Д.П. Бифуркации стационарных состояшш в одной задаче вибрационной конвекции. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермский ун-т. Пермь, 1998, С. 49-81.

11. Dynamical systems exploration on distributed-memory parallel processors. FINAL REPORT on CEC-DG III CONTRACT ITDC-203, Parallel Computing for CMM; Rus-sian-EU Network, November, 1997, part 7, D.A.Brasun, D.N. Volfson.

12.Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников ЛП. Современные проблемы математики. // ВИНИТИ. 1986. Т. 5. С.31-35.

13. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations, Eur. J. Mech., B/ITuids, 1995,14(4), pp. 439-458

14. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В., Volfson D.N. Vibrational Flows in the Gap Between Two Infinite Cylinders. Eur. J. Mech., 1997, B/Fluids, 16, N5, pp.705-724

15. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В., Volfson D.N. Stability of Couette-Taylor Flow Generated by the Schlichting Mechanism. 10th International Couette-Taylor Workshop. Paris, France. 1997. pp.113-115

16. Gershunib G.Z. •& Lyubimov D.V., Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, pp.2232-292

17. Nield D.A. The Thennohaline Rayleigh-Jeffreys Problem. J. Fluid. Mech. 1967, Vol.29, part 3, pp. 545-558.

Подписано в печать .

Формат 60x84 '/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93 Тираж 100 экз. Заказ ЬЁЛ . 614600, г.Пермь, ул. Букирева, 15, Типография Пермского университета

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Вольфсон Дмитрий Наумович

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ПЛОСКОМ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Любимов Д.В.

Пермь - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В

ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

Введение.......................................................................................................3

1.1. Постановка задачи................................................................................8

1.2. Галеркинская процедура...................................................................13

1.3. Результаты для триплета........................... ........................................17

1.4. Общие свойства многомодовой модели..........................................20

1.5. Схема численного анализа многомодовой модели.........................25

1.6. Результаты численного анализа многомодовой модели................32

1.7. Анализ двух бифуркаций коразмерности 2..................................... 36

Заключение................................................................................................41

2. ВИБРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Введение.....................................................................................................42

2.1. Уравнения и граничные условия......................................................45

2.2. Вибрации с круговой поляризацией. Постановка задачи..............49

2.3. Линейная задача устойчивости.........................................................56

2.4. Приближение узкого зазора между цилиндрами............................61

2.5. Осесимметричное вторичное течение.............................................65

Заключение................................................................................................69

3. ТЕРМОВИБРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Введение.....................................................................................................70

3.1. Уравнения и граничные условия......................................................75

3.2. Вибрации с круговой поляризацией. Постановка задачи..............82

3.3. Линейная задача устойчивости.........................................................85

3.4. Приближение узкого зазора между цилиндрами............................88

3.5. Узкий зазор. Монотонная неустойчивость.....................................93

3.6. Узкий зазор. Колебательная неустойчивость..................................96

3.7. Узкий зазор. Модельные граничные условия.................................96

3.8. Узкий зазор. Численный линейный анализ.....................................98

3.9. Конечный зазор. Численный линейный анализ............................106

Заключение..............................................................................................120

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................121

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

Введение

Рассматриваемая в этой главе задача относится к задачам классической вибрационной конвекции [1.1]. Основными эффектами, определяющими поведение системы, здесь являются конвекция, возникающая в поле силы тяжести из-за разности температур между различными частями границы, и вибрационное воздействие, проявляющееся через осредненный перенос неоднородно нагретой жидкости пульсациями скорости.

Отличительной чертой классической виброконвекции служит учет зависимости плотности от температуры только в массовых силах, как это делается в приближении Буссинеска при изучении конвекции в отсутствие вибраций.

Базовым понятием в рассматриваемой области является механическое квазиравновесие - состояние, в котором элемент жидкости пульсирует с частотой вибраций вблизи определенного положения, но в среднем покоится. В такой ситуации, даже в отсутствие поля силы тяжести, неоднородность температурного поля может вызвать движение, поскольку имеется специфический механизм осредненного распространения возмущения от одного элемента жидкости к другому.

Цепочка, приводящая к возможности среднего движения, такова. Разные элементы жидкости имеют разную среднюю температуру. Из-за эффекта объемного расширения они имеют так же и разную плотность и, следовательно, разные вибрационные ускорения. Таким образом, и поле пульсаций скорости является неоднородным. Температура в фиксированной точке пульсирует, поскольку в разные моменты времени в ней находятся элементы жидкости разной температуры. Пульсации ускорения и температуры происходят в фазе, так что в

среднем возникает эффективная архимедова сила, которая может заставить жидкость двигаться.

Исследования различных задач устойчивости квазиравновесия в отсутствие гравитации показывают, что порог неустойчивости может как понижаться, так и повышаться, - в зависимости от взаимной ориентации градиента температуры и оси вибраций. В некоторых случаях возможна и абсолютная стабилизация квазиравновесия .

В работе [1.2] был сделан линейный анализ устойчивости для симметричных граничных условий: прилипания - для скорости, идеально теплопроводных и теплоизолированных - для температуры и различных взаимных ориентаций градиента температуры и оси вибраций. Независимо от взаимной ориентации обнаружена монотонная неустойчивость.

Несимметричные граничные условия для температуры, напротив, обычно приводят к колебательной неустойчивости квазиравновесия, что продемонстрировано в работе в работе [1.3].

Продольные вибрации слоя с теплоизолированными границами приводят к появлению длинноволновой моды неустойчивости [1.4].

Обширная литература так же посвящена проблемам взаимодействия термогравитационного и термовибрационного механизмов неустойчивости. Например, работе [1.5] детально решены линейные задачи устойчивости квазиравновесий в наклонном слое жидкости для шестнадцати возможных комбинаций направлений градиента температуры и оси вибраций, каждый из которых имел одно из направлений: вертикальное, горизонтальное, продольное и перпендикулярное слою. Определены границы неустойчивости относительно плоских, спиральных и длинноволновых возмущений.

Результаты экспериментальных исследований вибрационной конвекции в горизонтальном плоском слое представлены в ряде работ среди которых упомянем [1.6,1.7]. Приведенные в цитируемых работах результаты опытов хорошо согласуются с теоретическими выводами относительно влияния термовиб-

рационного механизма. Эксперименты проводились с различными жидкостями - дистиллированной водой, этиловым спиртом и трансформаторным маслом. Границы слоев делались из металла, так что обеспечивалось хорошее приближение к модели изотермических границ. Как свидетельствуют эксперименты, кризис теплопроводного режима в горизонтальном плоском слое, подверженном вибрациям, связан с образованием двумерных конвективных структур типа валов, с осями, перпендикулярными направлению вибраций. В случае продольных вибраций образование валов наблюдалось и при нагреве сверху, то есть при устойчивой стратификации по плотности. Тем самым, подтверждалось, что неустойчивость обусловлена термовибрационным эффектом. В случае поперечных вибраций основным качественным результатом являлась полная стабилизация равновесия при достаточно интенсивных вибрациях.

В ситуации, когда вибрации совершаются в направлении, параллельном градиенту температуры, основным состоянием жидкости является собственно равновесие, а не квазиравновесие. Жидкость вибрирует как целое в лабораторной системе отсчета и покоится в системе отсчета, связанной с сосудом, в котором она находится (предполагается, что таковой должен быть, чтобы заставить жидкость вибрировать). Если возмущения температуры малы и градиент температуры в первом приближении можно считать параллельным направлению вибраций, то термовибрационный механизм оказывает стабилизирующее влияние. Достаточно сильные вибрации способны стабилизировать равновесие, что и наблюдалось в упомянутых выше экспериментах. При умеренных вибрациях, с увеличением числа Рэлея равновесие может стать неустойчивым, и в жидкости может установиться вторичное течение. Понятно, что это течение уже существенным образом исказит линейный профиль, имевшийся в состоянии равновесия, поле градиента температуры станет неоднородным и влияние термовибрационного механизма будет зависеть от структуры самого течения. Более того, если установившееся течение окажется нестационарным, например, периодическим, то в разные моменты времени влияние будет разным. Таким

образом, при изучении вторичных течений в задачах с параллельными равновесным градиентом температуры и осью вибраций следует ожидать нетривиальных нелинейных режимов.

Для описания сильно нелинейных режимов течения существует множество подходов. В случае двумерных течений основными альтернативами являются сеточный метод и метод Галеркина. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Поскольку в данном случае преимущества одного проявляют недостатки другого, ограничимся преимуществами каждого.

Первый метод удобен для детального выяснения структуры течения, нахождения стационарных решений, переходных режимов между ними [1.8]. Второй метод обычно ассоциируется с маломодовыми моделями, которые лишь качественным образом описывают состояния системы, зато позволяют понять причины бифуркаций, их последовательности, ведущие от порядка к хаосу (иногда обратно) [1.9].

Однако, в последнее время возрос интерес к изучению многомодовых систем, естественным образом сочетающих точность прямого численного метода и понятийный аппарат теории динамических систем.

К пионерским работам такого рода можно отнести исследование [1.10]. В этой работе было изучено влияние высокочастотных вибраций на нелинейные режимы термогравитационной конвекции в замкнутой области, подогреваемой снизу. Рассматривалась двумерная постановка задачи, область имела квадратное сечение. Все границы полагались твердыми; на нижней и верхней поддерживались постоянные температуры, на боковых стенках - равновесное (линейное) распределение. В качестве безразмерных параметров были выбраны число Рэлея, вибрационное число Рэлея и число Прандтля. Основное внимание уделялось определению возможных вторичных течений и областей их устойчивости. Задача решалась методом Галеркина с базисными функциями, составленными из полиномов Чебышева. В конечном счете, задача была сведена к отысканию стационарных состояний динамической системы, каждое уравнение

которой описывало динамику вклада определенной составляющей вторичного течения в общую картину. Вычисления производились для чисел Прандтля 0.02, 1.0 и 15.0. В общей сложности было обнаружено четыре качественно различных нетривиальных режима вибрационной конвекции, их можно классифицировать по симметрии, которой они обладают: инверсионная (точечная), отражения в горизонтальной плоскости, проходящей через центр квадрата, отражения в вертикальной плоскости, проходящей через центр квадрата, и несимметричное. При всех исследованных значениях числа Прандтля присутствуют области устойчивости решений первых двух типов, вторая пара решений становится устойчивой при числах Прандтля, больших единицы. Области устойчивости различных решений перекрываются, что заведомо приводит к зависимости решений от начальных условий.

В этой главе будут рассматриваться нелинейные режимы вибрационной конвекции в горизонтальном слое со свободными недеформируемыми границами под действием вертикальных вибраций (поскольку ось вибраций параллельна силе тяжести можно говорить о модуляции силы тяжести). Классическая геометрия задачи позволяет легко найти основное решение - равновесие, состояние в котором устанавливается линейное распределение температуры между границами слоя и жидкость покоится в системе координат, связанной со слоем. Известны также результаты линейного анализа устойчивости основного решения [1.20] и результаты нелинейного анализа на основе простейшей трехмодо-вой модели, полученной из уравнений вибрационной конвекции методом Га-леркина [1.18].

В последнем случае исследовалась картина бифуркаций, происходящих в системе при изменении управляющих параметров, в частности, возможные сценарии усложнения поведения: от тривиального решения, равновесия, до стохастических режимов.

Данная работа возникла из желания проверить, какие из обнаруженных ранее бифуркационных переходов "выживут" при увеличении числа рассматри-

ваемых мод. При этом предполагалось, что такое увеличение должно приближать получаемые результаты к решениям системы частных дифференциальных уравнений вибрационной конвекции.

Для наиболее последовательного решения этой задачи необходимо реализовать схему построения динамической системы произвольной размерности. Тогда, рассматривая системы с возрастающим числом мод, можно надеяться, что получаемые при этом бифуркационные диаграммы будут сходиться.

Дальнейшее изложение организовано следующим образом. В первом разделе приводится постановка задачи, обсуждается выбор безразмерных параметров. Во втором разделе определяется симметрия решений, которые будут рассматриваться, и описывается применение галеркинской процедуры. В третьем разделе, в целях дальнейшего сравнения с результатами исследования многомодо-вой системы, воспроизводится картина бифуркаций стационарных состояний для триплета [1.18]. В четвертом анализируются общие свойства бесконечномерной динамической системы и производится линейный анализ устойчивости состояния равновесия. В пятом, шестом и седьмом разделах описываются схема численного исследования многомодовой системы и полученная на ее основе диаграмма бифуркаций стационарных состояний.

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим горизонтальный плоский слой жидкости, подогреваемый снизу. Слой находится в поле силы тяжести и совершает гармонические колебания в вертикальном направлении. Будем полагать, что частота колебаний со много больше, чем характерные гидродинамические частоты: (й » v/h2» h2 (h - толщина слоя, %- теплопроводность жидкости, v = ri/p0- кинематическая вязкость, определенная по динамической вязкости г|и характерной плотности

жидкости р0). Амплитуду колебаний а будем считать малой по сравнению с

характерным размером задачи Ъ: а «И.

Будем также полагать, что жидкость изотермически несжимаема, что можно делать, если характерный размер задачи мал по сравнению с длиной звуковой волны:

Будем далее считать границы слоя свободными и недеформируемыми. Это, в частности, означает, что в отсутствии нагрева жидкость двигалась бы как твердое тело в лабораторной системе координат и покоилась бы в системе координат, связанной со слоем. Таким образом, в данной постановке неоднородность пульсационного поля скорости возникает только из-за неизотермичности, то есть имеет место классическая вибрационная конвекция [1.11].

Предположения, сделанные выше, дают возможность различать два характерных временных масштаба: осцилляционный (1/ш) и диссипативный (к2 / гили к2 /%). Это позволяет выделить осциллирующие и осредненные составляющие динамических переменных, описывающих движение жидкости, и, используя метод многих масштабов, получить уравнения для осредненных полей.

Уравнения вибрационной конвекции записываются для осредненных и пуль-сационных полей, в системе координат, связанной со слоем. Они описывают движение жидкости в сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации, и имеют следующий вид [1.12]: й, +(й-У)и = -Ур/р0 +уА й + §рт +

(1.1.1)

V • Я = О,

Ух й = УГ х п,

Т(+(й-У)Т = ХАТ,

где введены следующие обозначения:

(1.1.2)

(1.1.3)

(1.1.4)

(1.1.5)

й,р,Т - осредненные поля скорости, давления и температуры соответственно;

Й- соленоидальная часть поля Тп, пропорциональная амплитуде пульсаци-онной составляющей скорости;

п - единичный вектор, задающий направление вибраций;

(3 - коэффициент температурного расширения; вектор ускорения свободного падения.

Выберем в качестве единиц измерения длины -к, времени - к2 / %, скорости - %/к, давления - р%2 /к2, температуры - ®/Яа, где ©- разность температур между нижней и верхней границами слоя, & Яа = g$®k2 / - число Рэлея. В безразмерной форме уравнения (1.1.1-1.1.5) примут вид (для безразмерных переменных сохраняем прежние обозначения):

и,+(й-У)и = -Ур + РгАи + РгТу + ' { 7 у г (1.1.6)

У-м = 0, (1.1.7)

У-й = 0, (1.1.8)

V хй = УГхй, (1.1.9)

Т(+(й-У)Т = АТ (1.1.10)

В системе (1.1.6-1.1.10) кроме числа Рэлея присутствуют еще два безразмер-

^ /___2 Л2 ..2

ных параметра: Рг = \>/%- число Прандтля и £> = —Рг

2

асо

V

ё у

у

—— - вибрацией к

онный параметр. Ограничим рассмотрение двумерными движениями и поместим декартову систему координат (х,г) в вертикальном сечении слоя, направив ось х вдоль слоя (рис.1).

I

л

х

Т=0

Рис. 1.1. Геометрия задачи

Сформулируем граничные условия для уравнений (1.1.6-1.1.10). Поскольку границы предполагаются свободными и недеформируемыми, на осредненную скорость необходимо наложить условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Амплитуда пульсационной составляющей, входит в уравнения под знаком первой произ