Типические способы описания собственных классов. Глобальная размеренность классов. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ И ИХ СВОЙСТВА

§ 1.1. Копроективно и коинъективно порожденные собственные классы

§ 1.2. Классы типа Иванова и Харта

ГЛАВА II. ОПИСАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ

§ 2.1. О наследовании свойств копроективности и коинъективности для некоторых собственных классов

§2.2. Индуктивно замкнутые собственные классы в категории абелевых групп

§2.3. % х Лг -проективные. модули.

ГЛАВА III. ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ КЛАССОВ

§3.1. Размерности индуктивно замкнутых собственных классов в категории абелевых групп

§3.2. Глобальная размерность классов Кепка

§3.3. Глобальная размерность классов Харта и Иванова

Пусть Я - ассоциативное кольцо с единице! и ^ - класс коротких точных последовательностей /точных троек/

Е: О-->А 6 >Ъ Л >С->-0 левых Я. -модулей. Если Е €^ говорят, что 6 является ^ -собственным мономорфизмом или ос является -собственным эпиморфизмом.Длинная точная последовательность Б : . .-9-Ан,———>А Л+4-. . называется

-собственной, если все тройки вида

О-—> Ке^с оСл->/\ ^-> 1т. -> 0 принадлежат: $1 .

Говорят, что подмодуль А модуля В является Л -собственным /или просто собственным, когда ясно, о каком классе идет речь/, если тройка 0-->6-> ЫА— —» 0 принадлежит классу я.

Класс Л называется собственным, если выполнены следующие условия:

Р— 1 /вместе с каждой тройкой в Я содержатся все изоморфные ей точные тройки;

Р~2 / всякая расщепляющаяся точная тройка содержится в «Я- ; Р - Ъ / композиция ^ • I двух -собственных мономорфизмов (• и £ является Л -собственным мономорфизмом; Р-З'/ композиция £ °с*, двух Я. -собственных эпиморфизмов <*-и ^ является % -собственным эпиморфизмом; Р-Ч /если б , у -мономорфизмы и с является 51 -собственным, то с является Ж -собственным мономорфизмом; Р~ У'/если сс , р - эпиморфизмы и ]3* ос является -собственным, то также -собственный эпиморфизм.

Расширения длины П модуля /4 с помощью модуля £ , явля-щиеся Л -собственными точными последовательностями, приводят к определению аддитивных функторов

Eocyt^: (R- JIW) *(R-MocL)-+M /см. [2] , гл.III, §4/, причем Bxl^ является подфунктором функтора Eoctj^ .

Из функториальности Ecot ^ следует, что в условиях. Р-Ч и P'V требования мономорфности j и эпиморфности ос лишние /см. [30] и [б] /.

Собственные классы нередко называются чистотой /см.[25], [з]и др./. Б такой терминологии вместо прилагательного" -собственный" используется " St -чистый".

Модуль М называется JR. -проективным или проективным относительно класса , если тройка точна для любой тройки Е из Л . Модуль А/ называется -Я. -инъектившш или инъективным относительно класса ^ , если тройка К схууь (Е, N) точна для любой тройки Е из ,

Существует два самых распространенных способа задания собственного класса.Первый способ заключается в следующем /см.[5]/. Пусть Т(М, Ь) - аддитивный ковариантный или контравариантный функтор, точный справа или слева, и зависящий от объекта М из некоторой категории. Если Ж - некоторый класс объектов этой категории, обозначим через класс всех таких точных троек и. , что тройки THE) точны для любого I1 из ж . Оказывается, t~l (<М) -всегда собственный класс.

Пусть Ж - некоторый класс левых Я -модулей. Если взять в качестве Т (М,' ) функтор Horn. (М,') , получим проективно порожденный собственный класс Ш~1(Ж) . Взяв в качестве TIM,') контравариантный функтор Нот (' ,М) »получим инъ-ективно. люрожденный собственный класс I-1 ( J&) . Другими словами, я"Ш)/ и1 (Ж) является наибольшим собственным классом, для которого все модули из -М являются относительно проективными /инъективными/. Пусть теперь М

- некоторый класс правых R -модулей. Тогда, взяв в качестве Т (М, •) функтор

М <3> • , получим плоско порожденный собственный класс т

Второй способ задания собственного класса заключается в задании такого подфунктора Eoot^ функтора Bod^ , что Еэс£ * (С, А ) состоит из всех Л -собственных растре-ус ний модуля А с помощью модуля С /для любых /А и С /. При этом оказывается, что собственные классы определяют не любые подшункторы /значения которых - подгруппы- Для того, чтобы подфунктор Eott^ функтора Е Ott ^ , для которого Е oct ji (С-? А ) является подгруппой в

ExtJ (С,А) для любых модулей С и А /всякий такой подфунктор называется кратко

Е -функтором/, задавал собственный класс, достаточно выполнение одного из условий Р~ 3 или Р~ 3/ /см. теорему I.I в [2б]/.

Заметим, что проективно порожденный собственный класс ST~l(Jl^i) также допускает задание с помощью подфунктора функтора Ext ^ . Именно, как показывает теорема 1.2 в[5],

Esa*Wc.A)=.fI ^{i'-'Ext^C,^--rEÄt; (М,А)}, где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам

4М-"С с областью определения М изЖ . Двойственным образом,

С,А)=Л Кеъ Exi^(C,A)-*Е<(С,М)> , где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам \ \ А——>М с областью значений М из (Ж .

Модуль Р называется копроективным для собственного класса Я /или, -копроективным/, если Eoct ^ ( Р, А) = — ЕэсХ^ (Р9 А) . Модуль I называется коинъективным для класса Л /или, -коинъективным/, если Eoct ^ ( С , Г) = = ЕосЛ^ (С, Г]. -копроективные и -коинъективные модули в монографии [3] называются соответственно 31 -плоскими и % -делимыми модулями.

Пусть Ф и У - некоторые классы левых Я -модулей. Наименьший собственный класс к , для которого все модули из ¿Р являются копроективными, называется копроективно порожденным собственным классом. Наименьший собственный класс к р) . для которого все модули из У являются коинъективными, называется коинъективно порожденным собственным классом. Классы к (&) и к СУ) в специальных случаях были введены и изучались в[24], поэтому мы их будем называть также классами Кепка /определения Кепка могут быть сведена к определениям, данным выше/. Наименьший собственный класс ц?, У) , для которого все модули из являются копроективными, а все модули из У являются коинъективными, будем называть классом типа Иванова /в специальных случаях такого типа классы исследовались в [б]/. Как замечено в[з], пересечение любого семейства собственных классов является собственным классом, поэтому вышеуказанные определения корректны.

Собственный класс называется индуктивно замкнутым, если прямой предел спектра, состоящего из -собственных троек, является -собственной тройкой. Интерес к индуктивно замкнутым классам объясняется тем, что они содержат класс Кона ^ , состоящий из всех точных троек Е таких, что тройка М 0 Е точна для любого правого модуля М ,

Целью диссертации является изучение копроективно и коинъек-тивно порожденных, индуктивно замкнутых собственных классов, собственных классов типа Иванова и некоторых других, их связей между собой и их места среди типичных собственных классов, известных в литературе, исследование глобальных размерностей этих классов, а также изучение свойств производных объектов для таких собственных классов /копроективных, коинъективных и др. модулей/.

Перейдем к изложению результатов диссертации. В §1.1 изучаются копроективно порожденные и коинъективно порожденные собственные классы. В работе [24] классы К. (Р) к * (У) специфическим методом описаны в случае, когда классы ф и У замкнуты относительно расширений, ¿Р замкнут относительно подмодулей, а У замкнут относительно фактормодулек. Так как классы копроективных и коинъективных модулей для любого собственного класса замкнуты относительно расширений /см. предложения /1.9/ ж /1.14/ в [з]/, то первое условие вполне естественно. Однако даже собственные подмодули копроективных модулей не обязательно копроективны /см. предложение 9.6 в [5],[38]/, так же как фактормодули коинъективных модулей по собственным подмодулям не обязательно коинъективны /см. предложение 9.7 в И/. Поэтому в диссертации требование замкнутости классов 9> и С/ по отношению к подмодулям и, соответственно, к бактормодулям обычно опускается /в соответствии с [з] это требование естественно накладывать на 9> и У лишь в случае наследственного кольца Я. /.

В диссертации дано следущее описание собственных классов К (¿Р) и кр] с помощью подфунктора ЕосЬ^ :

Теорема 1.1.5. Пусть 9* -класс модулей, замкнутый относительно расширений, и пусть класс троек УС определен следующим подфунктором ЕэсА^. функтора ВосЬ^ : где объединение берется по всем Р из 9> и всевозможным гомоморфизмам ; С-*"Р . Тогда класс Ж является собственным и совпадает с к (¿Р) .

Теорема 1.1.6» Пусть У - класс модулей, замкнутый относительно расширений, и пусть класс троек X определен следующим подфунктором Еос£ Ь функтора

ЕоиЦ :

Е1ууь {д,: Ео*£(С,и->ЕосХ\{С , А)} „ где объединение берется по всем I из 3 и всевозможным гомоморфизмам ^ I-• Тогда класс ^ является собственным и совпадает с к

Эти теоремы указывают на определенную двойственность между проективно порожденными и копроективно порожденными, а также инъективно порожденными и коинъективно порожденными собственными классами,

В случае, когда классы & и У замкнуты относительно расширений, замкнут относительно подмодулей и У замкнут относительно фактормодулей, эти теоремы были выведены из теоремы 1.1 в[24] С.Н.Фединым /см,[15]/.

В §1.2 изучаются классы типа Иванова в случае наследственных колец и замыкания по Харту 5с произвольных собственных классов 31 в категории абелевых групп /изучавшиеся в литературе лишь для специальных классов 31 , см. [34] , [22} /1

В случае, когда кольцо Я. наследственно, всякий с (3 -мономорфизм является композицией к О) -мономорфизма и Я (5Р) -мономорфизма /см. [15.]/. Используя этот факт мы доказываем следующее утверждение.

Предложение 1.2.1. Пусть кольцо Я наследственно, и У - классы модулей, замкнутые относительно расширений, 3^ замкнут относительно подмодулей, У замкнут относительно фактор-модулей и выполнены следующие условия: I/ если

I с Р , 1е 3 , Ре 9 , то Р/1е&. 2/ есш Хс 1,1е 3 ,1// € ^ 9 ю Хе У .

Тогда для любых модулей С и А имеем:

Еэс^^уС, = (С, А) + (С?А) .

Это предложение будет существенно использовано в §3.3. Пусть - произвольный собственный класс точных троек абе-левых груш. Под классом Харта понимается класс всех таких троек Е , что пЕёЛ для некоторого целого пФ О .В частности взяв в качестве Л класс 30 всех расщепляющихся троек, получим класс э0 = ТеосЛ квазирасщепляющихся троек /см.[34]/. Напомним, что Те.х£ (С, А ) - периодическая часть группы ЕэсКС,А) .Взяв в качестве л классы 2) и 5 соответственно периодически расщепляющихся и сервантно точных троек, получим классы ж $ квази-периодически расщепляющихся и квази-сер-вантно точных троек /см.[22]/ /точная тройка называется периодически расщепляющейся, если всякая периодическая группа относительно нее проективна/.

Теорема 1.2.2. Для любого собственного класса Я в категории абелевых групп Ж - собственный класс.

Отсюда получаются теоремы 2/л/ и /ё/ из [22], где это утверждение доказывается лишь для классов 2) и 3 .

Теореглы 3 и 4 из [22] показывают, что у классов 2) и б нетривиальных относительно проективных и относительно инъективных групп нет. Оказывается, это не случайно. Имеет место следующий общий факт.

Следствие 1.2.6. Для любого собственного класса

Я класс

УЬ -инъективных групп совпадает с классом делимых групп и если

О не является проективной для ^ , то А. -проективные груп пы совпадают со свободными. В противном случае, Зг -проективные группы - это в точности группы вида Е (В А , где Г - свободная группа и А - делимая группа без кручения. Доказано, что если Л является классом типа Иванова, то

Уъ тоже является классом типа Иванова. Именно, справедлива

Теорема 1.2.3. Для произвольных классов 3* и CJ абелевых групп

1. Ф.Каш Модули и кольца, М., "Мир", 1981.

2. С.Маклейн Гомология, М., "Мир", 1966.

3. А.П.Мишина, Л.А.Скорняков Абелевы группы и модули, М., "Наука", 1969.

4. Л.Фукс Бесконечные абелевы группы, т.1,2, М.,"Мир",1974, 1977.

5. Е.Г.Скляренко Относительная гомологическая алгебра в категории модулей, УИН, 33:3/1978/, 85 120.

6. А.И.Генералов К определению чистоты модулей, Матем. заметки, II. вып. 4, 375-380.

7. А.И.Генералов Индуктивные чистоты в категории модулей, СМЖ, 24:4/1983/, 201-205.

8. А.В.Иванов си -делимые и Си -плоские модули, Матем, заметки, 24:6/1978/, 741-747.

9. С.И.Комаров Об Gl Я -чистоте в абелевых группах, Вестник МГУ, 2/1982/, 11-18.

10. В.И.Кузьминов 0 группах чистых расширений абелевых групп, СМЖ, 17:6/1976/, 1308-1320.

11. Л.Я.Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 16/1945/, 129-162.

12. А.А.Мановцев Индуктивные чистоты в абелевых группах, Матем. сб., 96:3/1975/, 414-446.

13. Е.Г.Скляренко Чистые и конечно предетавимые модули, гомомор1 " физмы двойственности и свойство когернтности кольца, Матем. сб. Ю5/147/:2/1978/, 192-206.

14. Е.Г.Скляренко К теореме Мановцева-Кузьминова, СЖ, 22:1 /1981/, 144-150,

15. С.Н.Федин Собствнные классы точных троек и подфункторы функтора В£ , Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н., М., 1983.

16. С.Н.Федин, о понятии индуктивного замыкания собственного класса, Матем. заметки, 33:3/1983/, 445-457.

17. С.Н.Федин 0 чистой размерности колец и модулей, УМЙ, 37:5/1982/, 203-204.

18. X. $Ясои>ъ Мои* оуь ргсгсСЬт , Слиск. ТИсМ*. гг:Ч (i9?2)1 525-53

19. Ъ. ЗъусЛы&СЬи^К' ¿2 оть к&ггиэ&э^у сосубе.о^сги.'е^, Си^гь. о4■ УПсМь., С9; 1 (1953., €6- У.

20. Ж,£ Я. ЬиМеъ, У. Лоъ'ьос-К'* о<{ ^¿х*Ркс&Х. Тъсиод. Яор.Зоб.ХоьЛоп 1*1-2.2.2.

21. Р. Ы4(>4 ръо^йпс ¿4 , 7ке Скгиея. УПсМь. ТПогьЬкуС , $5(1Э?£),22. ¿5. Л-аъЬ Тъто ра,п.а£6е£ Нлггуи>£о^са / аЛре-Лкх-д,Шсо^. (ХсаА. 5и. ., 2*:3 ~ У (19 ? У/, 32 1-32

22. Р. &-Ссгкчпап,} (X. ^Со-С&г^Сок.глЛаЬСпп. , №а,Ьк. 2е1Ьскл.,102(19*1), №'411.

23. Т. К^ер/^-а. Оп. опе с^а^) ръс-'ы (сед , Сотп.те*.~6. ТИсийг. Чпллт. : 1 13 9 ~ и25. т. ТЯал. с^уг^Ссь 0<п р<шг* о^. 0.£е£с4.п.СЬссА. 7ПАЛ4ъ. , ц {10со;, 1- 13.

24. Я. 2). ^Ми-гмсе. Ригсс^С^. СЫъо1 ■дгсЛ^'Ьс£(XI ¿(¿¿кЬсЬр^1п: 7<ур-1сд ¿т СМе&а.П' уъо^р*, 436 3,121-17-1.

25. B. iH^n^'ZchK. Ct/h&btri't 'bin^i CUKCI FP- ¿^'ea-ti^e ryvotLttiid, j. ZO^CJLotv бос., Zt 2>(107-O)* 3ZZ-3Z9.lb\€(19U), St1-Stif.

26. C. Wa-l /с ел* Pzojic-twe со^спыоги fvvufi, Ш.у. WbaJb., 17; 4(131$), 629-?06.

27. С. P. VT^tfCe^ P*uoj>*cUej oj. Ex£ <уи,сх.<дСо/ Ct-beJLcccJb- g/is&u-'prt, (L&t-Oc. ITLcUth-i Ctc&-cL.

28. R. В■ 'UTcLt^ie.tcL PuiAty, and аЛ^гЛъсьСс- c^>7rvpa^itк1 fob rr^ocLuAe-d}

29. Р.Г.Ализаде 0 собственном классе Кепка, Матем. заметки, 37:2/1985/, 268-273.

30. Р.Г.Ализаде, С.Н.Федин Об 31 ^ -проективных модулях, Деп. в ВИНИТИ 6 дек. 1982г., J& 5970-82 ДЕЛ, 14 стр.

31. Р.Г.Ализаде Об индуктивно замкнутых собственных классах в категории абелевых групп, Деп. в ВИНИТИ 6 дек. 1982г., В 5971-82 ДЕЛ, II стр.

32. Р.Г.Ализаде Некоторые свойства индуктивно замкнутых классов в абелевых группах, Материалы 4 конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 60-летию образования СССР, Баку, 1983, 41-44.

33. Р.Г.Ализаде 0 глобальной размерности собственных классов в категории абелевых групп, IX Всесоюзный симпозиум по теории групп, Тезисы докладов, М., 1984, 171.

34. Р.ГДлизаде 0 глобальной размерности некоторых собственных классов, УМН, 40:1/1985/, 181-182.

35. Р.Г.Ализаде 0 собственных классах Харта, ХУТП Всесоюзная алгебраическая конференция, Тезисы докладов, Кишинев, 1985, 14.