Явные конструкции в теории формальных групп и конечных групповых схем и их приложения к арифметической геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский госулнрспншпый ушшерситеї

М« прпшіх рукописи

БОНДАРКО МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЯВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ В ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ ГРУПП И КОНЕЧНЫХ ГРУППОВЫХ СХЕМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.01.06 - математическая .-югнкп, алітбра и пч>рин «шгел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Санкт-ІІетербурі-2006

Рабоїа нькюліюші на кафедрі1 высший аліебрьі и кюрни чисел Саикт -По горбу рі скої о тсударсі вен ноі о у пиверсні о і а

Научный консультант

доктор фи іико-маїсмаїичсгких наук, нрофеггпр Сергей Владимирович Востоков

Официальные оппоненты

док юр фншко-математических наук* профессор Юрий Геннадиевич Зарчин

доктор фиаико-магемаїичоеких наук,

Леонид Викіороїшч Кузьмин

доктор фїинко-ма тематических наук, профессор Николай Леонидович Гордеев

Ведущая организация:

Самарский Государственный Унннгріиіег.

Защит < і» юїтя 1) -Г/ ос и оО на іас еданнн дт < сріацпоніті и итеїа Л 212 232 20 но 'мтиге диссертаций на сошкапир ученой степени юмора нл\к при Санкт-ПеїерҐл річ ком і'осудар* т воином унивррсиюто по адресу 198501. С\шк]-ЛеіерП\ рі Старый Пегортф, Университегекий пр., д 28, магематико-\іочаниче< кий ф.ж\ їмсі

С диссертацией можно очнакомиться и Научной бибтиоіеке Санкі-Иоіорбч рн кою

і осудцрствсчпіоі о университета но адресу. 199034, Саикт-Г1еторб\ ;н \ штормі юн кая наб , д. 7, 9

Защита будет проходить в Петербуріоком оїдечении Мнгомапічеі ком» иік ти м имени В.А Сіекшта РАИ ио адресч. Саикт-ІІ<черб\рі. иаб роки Фоіііанкн і 27

Аиторофораї р<\ нкмап і ^ ^ 2006 іода

Ученый секретарь совета докіор фишко-матомаїнчсских наж, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертационная работа относится к актуальному направлению арифметической 1'еомстрии — изучению и классификации формальных и р-делимых групп, а также конечных коммутативных групповых схем и абелевых схем нал кольцами целых полных дискретно нормированных полей; кроме того, изучается связь между формальными модулями и ассоциированными модулями Галуа и другими арифметическими свойствами расширений полных дискретно нормированных полей.

Формальные группы и групповые схемы являются одним из основных инструментов изучения абелевых многообразий, алгебраических кривых и алгебраических групп, построения расширений Галуа над локальными и глобальными полями, а также построен ия и изучения кристаллических и полустабильных представлений Галуа.

Отметим, что ранее для формальных групп были известны лишь общая классификационная теория П. Картье, которую пока что удавалось применить только ;ичм изучения формальных групп нал совершенными полями характеристики р (например, н известной работе Ю.И. Манина), более удобные для применения теории Т. Хонды и >1\.-М. Фонтена над локальными полями малого ветвления и классификация К. Броли нал произвольными локальными полями (сформулированная в терминах синтомической типологии). К этой группе результатов примыкает- результат Г. Лаффоля о построении явных представителей в классах изогенности одномерных формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей характеристики и г алгебраически замкнутым полем вычетов характеристики р.

В случае несовершенного поля вычетов никаких результатов изжч-гно не было. Канонические представители в классах (строгой) изоморфности формальных групп были построены Хондой только в неразветвленном случае и только для одномгрных формальных групп.

Для конечных коммутативных групповых схем были известна лишь нолики классификация над нолями характеристики р (модули Дьедонпе) и над кольцами целых малого ветвления (результаты Фоктена, В.А. Абрашкина и Б. Коирада). Заыггим, что в важных классификациокиых работах К. Броля и Ф. Оорта не было описано, какие объекты в соответствующих категориях модулей соответствуют групповым схемам.

Одним из основных для понятий теории конечных групповых схем является функтор общего слоя. Его полнота ранее была известна лишь для р-дслимых групп (классический работа Дж. Тэйта) и над кольцами малого ветвления (М. Рено).

Это создавало препятствия для изучения р-адической структуры арифметических представлений Галуа и абелевых многообразий. В частности, для хорошей и нолустн-

біІПЬНОЙ редукции абелеВЫХ многообразий бы пи известны ТИШЬ 6ЄСКОНЄЧНІ>ІО криюрип (А Гроіеіиик, М. Репо), а гакже конечные I-адические критерии (К) Г. Зарчнн \ Си-лверберг); никаких конечных критериев невырожденной рсмукшш ранее и щечіпо не было

Отдельно отметим проблему изучения идеалов как аддитивных модулей Гл.і\а ІЗо вполне развеївленном случае был известен лишь ограниченный класс расширении и которых бы »а иіучена структура колеи целых, но было почт никаких < ір\м\рт,і\ рспулмаюи о *фугих идеалах расширений полных дискретно нормированных но и и Кроме гою, не было известно никаких необходимых арифметических \і юний лія.іоі о чтобы идеалы в данном расширении имели простую cipVKiypv (например бы ш бы свободны над своими ассоциированными модулями)

Цель работы

Целью этой работы является изучение и явная классификация формальных ірчпи и конечных t рунновых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных нолей, а также применение полученных результатов к изучению редукции абелевых мноюобразий и другим вопросам арифметической геометрии и алі ебранчес кой і горни чисел

Методы исследования

В диссертационной работе применяются конструктивные методы лліебрличикой іеории чисел и арифметической геометрии. В частности» находи ни явный ни і моі\-іей Каріье формальных групп и групповых схем, а также иіучаюіоі (вырлжаюшнеся череї них) касательные пространства групповых схем

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются совершенно новыми и ыключаннси и следующем

1.) Выла дана явная классификации формальных ipvnn в терминах их юі лрнфмон (см глаи\ I) Это дало обобщение и усиление іеории Ж -М Фонгена, іеории нолхчн m более ниныЙ харакіер. Было описано дополнение к функюр> Фон ієна, коюрое м\ич іе е функтором Фоитена дает полную классификацию формальных і рупії

*2) Были построены явные представители в классах строіч>й изоморфное гп комм\-ташвных формальных групп над произвольным кольцом без кручении (см і шв\ і) Результат весьма важен и не имеет аналогов в литературе

3) Была дана явная классификация конечных локальных іруппопьіх схем в крмн-

I:- s'' >•: ,

няхих-молулей Картье (см:: парй1р^_:5.2)^.что,доцо;шилртеорию'Оорта?до nvurfiiion

классификации,,позволяющей,,' «.частности, изучать расширения-груиповых-схем.* ,

4.); Выла вычислена ."размерность” и; "касательное; пространство". групноной Л’хг-мы (см. параграф-5.3),- что дало возможность доказать' равенство; размерности труп-повой схемы снаименьшейразмерностью содержащей ее формальной группы., Кроме того,-было доказано,:.что;свойство локальной групповой:схемы быть усеченнойi rjiyн-пой Б^хчт’и-Т’йта полностью определяется;ее касательным простраштном. Сходные ‘

результаты ранте не встречались, в литературе.'. . , . . ..

' 5.) Быладоказана" почти полнота" функтора общего слоя для конечных* групповых схем (см.шараграф 5.5), .что восполнило важный;пробел в понимании,этот функтор».

■ б.) Впервые были получены "конечных дикие" критериихорошей, полусгтби.п.ной*

и невырожденной редукции абелевых мног00бразий-(см.'главу. С); ,

7.)Выли построены явныепредставители в классах, изогенности формальных.групп -над произвольным дискретно нормированным нолем,';что существенно обобщют результат Г., Лаффоля. Гомоморфизмы между построенными представителями были по. ш<к ' стью изучены; .таких результатов ранее известно не было.'. • . . ,

.8.) Была выявлена связь между ассоциированными-модул ими Галуа «арифметикой расширения: (глава 8); сколько-нибудь сходные: результаты . ранте; известны небыли. .

9.) Дпя широкого класса вполне дико разветвленных расширений Галуа была вычислена структура идеалов какаддитивных модулей Галуа; полученные результаты o'ieiur существенно превосходят все ранее известные результаты в данном< направлен!!и..'

Теоретическая и практическая значимость i.

Работа носит теоретический'характер.,Ее результаты и методы.moi\vt. быть ненольш-вапы специалистами в области арифметической (геометрии, и алгебраической. rWipiiii'Hi-сел:Они могут быть использованы для. изучения арифметики абелевых миогообрншй: кристаллических и;псщустабильных представлений ГЬлуа, для?вывода явных .законов взаимности на формальных модулях и в других: вопросах арифметической гаом^три11. Явныйи "элементарный", характер.основныхре-зультатов диссертации;делпет возмож-пым ее использования как источника заданий для,ди110лмнь1х-раб01\нгкнн.чил1т'ких диссертаций по математическим специальностям..< ,,, .. . .

Апробация диссертации . . . ' • ■

Результаты диссертации докладывались на J ой, 2ой, Зей’и 4ой Международных конференциях^, по арифметической» геометрии, Санкт-Петербург,-2000,-“ 2003, 200-1,' 2003;'

: Международной' алгебраической конференции, посвященной памяти З.Н. Боренич», Санкт-Петербург, 2002; международной конференции “Arithmetic and Geometry of Orders" Обёрвольфах; Германия; 2002/.алгебраическом семинареД.К.<Фаддеевав ПОМИФАИ.:

Санкт-Петербург, 1999-2005, семинаре по теории чисел МИАН, Мое к i-a. 1999 Том собрании North of Engalnd Algcbraic Number Theory Group, Дарем, Аиглич, 2002: рабочем семинаре и рамках SFB "Гоомотрические струксуры" в Университете I Мюпс сер. Германии, 2002; алгебраическом семинаре Иисти1ута Макса Планка в i [шин. [ермання, 2002, 2005: алгебраическом семинаре г. Билефрльл, Германия. 2004: алгебрапчес ком семинаре г. Гепинген, Германия, 2004; алгебраическом семинарр г. Pemn6\pi. Гер-мшш», 2001; семинаре mu-iи гута Высших Научных Исследований, Париж. Франция. 2004, алгебраическом семинаре универси гета г. Бордо, Франция, ал1ебраическом ci'mii-нареуниверситета г. Ноггингем, Великобритания, 2001, 2002, алгебраическом семинаре университета г. Манчестер, Великобритания, 2001, 2002, алгебраическом семинаре \пн-верситета г. Кембридж, Великобритания, 2002.

Публикации

Основные резуньтаты диссертационной работы опубликованы в дпеннлиагн с сап.яч

Структура и объем работы

Дпссорсации и 1ложона на 225 п pammax, состоит ич 10 глав ик ночам введение Список литературы содержит 43 наименовании.

Обозначения

Перечислим основные обозначения, которые нам попадобя сси для с|юрм\ тропки ценеральных результатов работы.

Сбудел полным дискретно нормированных полем характерно!икн 0, с полем нмче юн характеристики р, е — абсолютным индексом ветвления L, Oi, — его кольцом ue'ii>i\. ■> — (logptj^f)!, 7г — некоторой униформиэующей L, и - нормализованным нормированием на Л, ЯЛ максимальным идеалом L, J = дэт-ИО-р)!.

В некоюрых формулировках I. будет содержась полное дискре1 по нормированное нодноле К, [L : К| = и < оо, е' индекс: ветвления L/К (час ю п б\де! райпо с'). Ок кольцо целых К, Tt — след в L/К, ео - степень расширении hjh\. 1ле Л|/Д максимальное нерачветвлениое подрасширение в t.jК, I = 2i+up((jo) +1. /' = ■•) /■',,((n)-t-1

В случае, когда L/K — расширение Галуа, его группа Галуа будет обо! гачаики мере с

G.

Нам также понадобятся некоторые ассоциированные модули la,iva Онреде шм

KlMOl) - {/ 6 К [Cl] • ДОь) С О,} С, - {/ е L[C\ . и(Дх)/х) > * Vi е Г}; 21, = €, П АГ[С,').

Обычно F будет коммутативной тл-мерной формальной i рушюй пил Of. s\ Г б\д\ i конечными плоскими коммутативными групповыми схемами падОь

" Для конечпой'групповой'схемы З/Оь: будем обозначать через Т$''мачульт Ь/.-’чно!!-ственный к^'«/5/^?г(г.елНото^(>Й/^|''1>/0£))}-гдв&&'— идсалЬгополнемии коо^чийнг-иого кольца в. Для конечных плоских групповых’ схем 5, Т будем IIислгь' .Ч' С Т: ‘с'Г.ш существует морфизмЯ -» Т, инъективный на общем слое!;'1' ' 1

Для т, ( > О Л'/,„х|(а) будет обозначать: модуль матриц размера т хЧ падг кольцом Я. 1 . :• .. .. .... .1 ••• '•> ••••• V:

Формулировка центральных результатов, ,;11, , .. . .д..

Основным инструментом для изучения формальных групп над'кнльцами илчы.ч 110.1-ных /пк-кро'гио нормированных;па1сй;'йпяя<ггси данный автором мниариппдпы.Ц^мшипи' классического (абстрактного)'определения модуля Картье. ,и . ч__________________________________________________

Для / = (/() € Л[[Д]]^{/,-:= £ф^^мапьнаяпеременная,:^^^^;...'. А',„) определим!. ' . . • 'Ч г- ■ ■

,•>;т.. .*»•/(?)-“ о-. .;»• - ••• •' ..

. 1 ,«/ * •** ^ • «*- * " И’ 5. ’ - .• I- Лии».* И>*»•.* > \*

Определим иншфиактный модуль Картье формальиого группового закона Л'/О/, кнк,

!И . • .•*'* • )!, ■* • *’У ' ! ;• . . ■ ‘г ..-'и ч .•> * .-Л пс- 'Л • ■» !■ . л:«: Л’;-. **• •

Обозначим ир“^Оь[[Д]1 через й.' ’ >'»•. •••- :

Теорема !. I Для формальных групп и Ег размерностей пц и тг- чья ишццптнш-цыемодулй'Картье-Дыдонне равны Оу и 0$;' г.оотоетктвытб, выполнены г-лгсН/пУщи/' упшкрждения.. , ". ■ - • I;:.'! 1-ми.. -. ... л*./1.:.'- ' < л" '

'• ~ 1)}Пусти'А ■■ матрицами/мера х.т | пшд О и- Сущесгппует уом/шорфпим ’/: ».<

/•У а /^2, /[X) — АХ тос! (1ев2; тогда и только тогда, когда АОх с О^Л '■ 1 "»-•1

2) Для Ш\, = та группы .РУ и ;£*•. строго изоморфны а том и тпалъко том слу'ии>.

■ если Т)\ = Ог. ' • . ' ’•

. ■ . * , ?:с ; [ (. :■ 1г ■ . . - *! г.л’. г' - >1 ' ,и "1. 1

11‘Пуппь О . п-лифнм формальная группа,‘ ' падпрожртиугш^Л^^мяф/рпип т. Тогда существует т-мерная формальная>группа'Р и:матрица. А €■ Лхт(0/.) такие, что Ш[Д]1 П/?с = Айр. • ...

•' III Пусть Р— т-мерная формальная группа конечной высоты. А е Л/„х|.ЛО/.),

1)-Пусть выьолненоАОр С Л’1. ТогдаАйр с р"аШ1р‘[(Д1]’*. ’ ' '

2) Пусть для у € Вг, у = 52(>0йД‘гв«*палиеяо Лу б /?!;: Тогда 6

./||д]1": . ■ ■. •. ■ «ии, !•.. г - -• !■ 14 . - Г

■'зушсх №.~.*Орш,-&е-Р,{х:У)ш &(жХ\жУ):. '

.и- ‘ ■ , . <!% •:./<■ • -о. ■

Кроме того. е^и поле Ь локально, то мы указываем явный базис /)*• над Ж,,[[Л]]: |к> всех случаих О/г является свободным модулем раамсрности тпе над нскторой (|П‘Ком-М)тативной) областью целостности И^.1 ’ . _

Классификационная теорема о конечных локальных групповых схомах (|х>рму;ш|>,у.-епхя в терминах-их модулей Картье,.определенных Ооргом (см. пункты-1.2.1 и-1.И). •

,н

Теорема 2. / Саі I-модуль М імомо^ен 0(5) для некоторой лгтг'чпоі) г оя пи>!і п чи ^ми ґруппааой схемы 5 над О/, если и тполъио если А/ ус7о«лгтгт//ягт с «с/і/7сш(>ш */глшнш ы

1.) М/УМ О[4~модулъ конр'їной длины

2 ) Моді/ль М не имеет У •кручі иия

.*;п,>0У'Л/ = {о}.

4.) Не сущегтаует собственного Смі-подмодупя N С М пмммк что (г) \/ С \ и, принтом* М[N не имеет V-кдоченил.

И Пусть 5 конечная локальна гртуяпооал гтелш

/.;г.9^ Л/(.9)/У{Л/{.9))

2,) Пиим*пъшчя ра,імерппппь формальний группы Р конечной аыгонш таьой. что 5 окладіїшаетгя и Г, равна (Інпсі, (Т5).

М.) Я = Ічеі[рг], для гП’Мерной фо^шальной группы Р егми гх толььо мли //V 0 н

Г5 »(£),/;/£)/Г.

/// А/ — ) для )п-.мерной фо^шалыюй уріршьі р сс-ли п пмхлъъо її ш ьромг

г/глшлш іи/пкиш I, такли оынолт по ргМ — 0 и М/VМ л (О/ /у/О/ )'"

Лл/?п»/ ьпнечнмг ^ріупгсотие стт»иы 5.Т ешины. тоЕчїЧ*4* *Г) КчЛ) иИ (С( '*>). Г'(7 ))

Это дает полную классификацию конечных пчоских гвя шых ірмнюішч і чем на і кольцами немых полных дискретно нормированных попей.

Мы інкжо доказываем «.ледующее обобщение к. пи с ичоскоіч» ре»\ іьшін М Ропи

Теорема 3. Пусть 7\ В конечные плоские коммутативные г іглш пид О/. 7/ ,.Ь'/ иі ойщш <лои. Ь(л . ?£, > ^ морфпим грірпшим і г і ем. ішд Л

Тогда существует О г,-морфи *м ц Т —► £ такой, что (}{ (те общий глой ц)

Г НГПШСІГН'ТЛ с і?Іц .

Таким обра кш, групповые схемы ”ночіи ион іананлитиоия” но общем\ і юн» 1сч -ко виде і ь, чю оценка па ч явлнечея ючной

Чаппым < і\ чаем теоремы 3 при г < р ян іяеїчя оиюнпоЛ реп імлг г мііііі Репо (о ГОЧ. что К ЧГОМ случае функюр общего СЛОЯ ЯШІЯПГЯ пошым) И* нее шкже иемед-НЧІПО гпе;іуеі итегтный результат Дж. 'Гій'іа о том. чю функюр общею ( ши і ія у>-/И'аимых і рупії вполне униналгшеи

Мі>і іакже докн:)Ьшаем нналопишый флкі о ра< іннрепнях ірмшош.іч (чс‘м

Теорема 4. Исли г < (р — 1 )рн то пташптеаъ группы

Ког(Ехі0і (А\ Т) -у ГаЬ/Д5ь Т,.)) і \)

(гяиоб/ммьппи' тиИ/цировшш фуньшарим общ* /о і.лан) не ир* «иг і одши /г"

Чооремн 4 (НОНН ЯВ-ІЯЄ1ЧЯ обобщением СООПНМС шукшісі о ре 1\ іьиті ДОК» Ы11ПО|<1 Рсчю дія г і\ чаи г < р — 1

Мм>локя:шпяом.’ то р-дрлимяя гр\'11П11 )' нмеег "хо|>о[пу ю |х'Дук1ипо"нл.т пп.чпим'м

■ А’ С £» тогда, и только;тогда,- не общий слой.определен надА' и: некоторая//-иаи рунни»

•. V" определена'над- -'Ч ;'Ч' ■ ' . * ' ' "'‘г’ .

Теорема 5. Пусть Г р-дклймая группаипдК р-дглнмин грутш-над О;. к

^•Кчр№к8рес^'-®-1’хя|ж!048йсЬ.*0»«1»вй^шг,='2в+»|,(ей)[Ь1;- « мркг 1)/Л 1

вояьмем.г=~2я + ;»р(ео)< .. • я-/1-1, •... »••• ';.-1.■ •. ■ . V,.‘.'.V

, Тогда если для некоторой плоскойкоммутативной групповой-схемы Н ппд Оцяд]ю изогежш;Кег[рг]1,-,|с изоморфно Нк, как~К-схема, то существует р-дслимия /]пртп X к«>Ок!|мти,%чм.^•.• :.• г ■■ “о. ■„. ‘."Л- ■

' ' Эти результаты дают возможность доказать ряд"конечных диких” (т.е. />-иднческнх] критериев хорошей и нилустабилыюй’редукции абелевых многообразия. Мы нплынне.мч . ИХ конечными потому, ЧТ*^ П ОТЛИЧИООТ Критериев гротондика-Ррно, ДОСТа'ГОЧНО Проне-рить некоторое условие на некоторую конечную подсхему р-кручении мнопюГцтчнн К (н место ■ исего т)-кручепия); при .-этом,рассматривается. подсхема. 00()ТШ'ТСТ1\УН>1Н>1И .,11’- -

' ментам крученинуроння,который :шнйсит.только от’ (иитматривиемых полеП.В едучпе

хорошей’ 1М’„чук циивонрос о 'су щестношмши таких критерием был шк'ганлен Н. Катнем.

. - . ...м- . "О-* - .!*!-. г ..... '• ч,,.

Заметим..что ранее были ичнеетпы только (Салические критерии';(работы Ю.'Зирхннп•

и-А; Сйлверберг)?’.’’ : ’ ’ " '........... !'' “ ’ *:’г ' : '' ‘ “ " .

- : - .. , ,) ' ;■ . .. ' > I'. •: • ' .' '

Теорема в (Проблема Катца). 1.) Пусть абелево многообразие. V опркЖъияю ниО А’ й ■ имсап.хорошую редукцию > над'И,! г". = 2»'+ «р(ео) +' 1: ‘ Если. для цактпороИ '.гшн-ьпА коммутатгХвной групповой ‘схемы Н падО^ядро изогении Ксм [рг] 1_л-' и.нш/цмршгНк как 1\-схема, то \гиме.ет хорохщро рг.дук1(ию над К. ' " ' *' '

' 1 2:)‘Если.при этом е*== (р — 1)р‘~1,.то доататочно ваять г = 2я + 1>(,((-о).

1.. .Таким обратом,можно сказать,-.что.если абелево.многообразие нмм'т.нотеншт.тьн» хорошую редукцию.: то достаточно проперять имеет ли "хорошую ре.чукцшо" групшмши ' схема I Кеф/|^,к (т.«: определена ли она над 0к), где. 1\’1а11ИС1гг.только от раесмагрнш!-' емых полей; • . * • ' , ■' •

Зпметнм; что для е <:р — 1 >:.мм имеем г. — 1: таким обр«,«>м..тео]м>мп 0 > оГ>об|11еш1е теоремы 5.3 статьи Б.‘Конрада. 1-л - <• •

Мы также 'Дока;1ываем некоторый ркзультат о абелевых мнойюбраГшя.'Т. <•• шпччщн-... ально !н>;|ус'габш1ыюй:р<‘цукцней.‘; ■ ^ ■ ■' — . - 1 _ ;

Теорема 7. Пусть \' ,~ - т-мерное абклгво многонб^зпе над К..меющег. тшуыш-билъную редукцию.падС: > к,. - ■ -\п .

Тогда№имеет полустабильную редукцию над К/если^и,только, ясли длямюпшчиА гатечной групповой схемы.Н над Ок .пыполнено ТЯо;. Э.(1Э;.//>,0/.)"| ('7К р. гущчгтну-у.т пдо:>п г1пц'), при огпо.и суиц'гтпвуг.т .Ш)71пм()}н/т:1м Нк ■--> Кег[/^]^.^.. • ■

Наши методы также позволяют доказать следующий криюрип невырожденной редукции (см пункт 6 3.5).

Теорема 8. I Пусть V — тп-мерное абелево многообразие над К. илиюгцгг / opmmjm редукцию над L.

Тогда следующие условия равносильны.

(1) V имеет хорошую невыроокденную редукцию над К.

(2) Для некоторой групповой схемы И/О к мультипликативного типа (т е. двойственной к эталъной) выполнено THql ~ {Оь/р* 0г,)"\ при этом существует мономорфизм g ■ Нц —* Кег[р'']у к-

(;)) Для некоторой групповой подсхемы Нц С Kci[;/’]и ноля Л/, кe]xiюешвлптого над К. выполнено Нщ Э (/jpI. Л1)т. Здесь /tpr групповая схема ко]тгй ili единицы степени jl'.

II Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее tumyt табильтро редукцию над L

Тогда следуюи^ис условия равносильны

(1) V имеет невырожденную редукцию над К.

(2) Для некоторой групповой схемы II над О к мультипликативного тина 'ущ>-ствуют вложения Нк в Kcr\ff)v,K 11 (0/,/р'Оt)m в ТIloL.

(S) Для некоторой групповой подсхемы IIк С Kerfp1]^ и поля Л/, неризвешит иного над К, выполнено Нм — •

Кроме того, доказывается ряд (новых) результаюв о crpyKiype идеалов как модулей Галуа во вполне разветвленных расширениях полных дискретно нормирона1шы\ по Н'й В большом количестве случаев приводятся необходимые и достаточные vc.iobiih пни. когда идеалы свободны над своими ассоциированными порядками (как моду ш Га па) Мы также доказываем, чго расширение куммеровово дли данной формплышП ipsintbi тогда и только тогда, когда некоторые элементы групповой rjii ебры доскпочно 111.11.110 "повышают нормирования" (i.e. лежаг в соответствующих 21,). Отмпим. чю бо н.ини-значения для доказательства результатов о леопольдовых расширениях имею: еноН< t па одномерных групповых схем.

Содержание работы

Теперь изложим содержание работы более подробно

Мы напоминаем основные определения теории формальных 1 руин (формальные 1 р\ н-пы, их логарифмы, модули Картье). Приводится принадлежащее Ф. Оорт\ определение модуля Картье C(S) дня конечной связной групповой схемы 5. Далее мы ианомшыем ПОНН1ИС этнических и криволинейных формальных групп. Описынаекн кош ip\Mimi и свойства некоторых универсальных формальных групповых <акинон. онреде кчшы\ и книге М Хтепинкотя Припали гея классификация 'Г Хонды форма ч>иы\ ip\mi пил

' кольцами целых неразветвленных полей. .Также в работе применяется обобщение; ію-

-Ч./.І.•« . V.* • м.-м -г-.л г»,.. *>; і л

зультатов Хонды на более широкий класс колец (полученное ОСазевинкелем). ,

. *;■;*. і і л; с л'*/* *. і .••їй-%і; і ►.

В главе 2 приведены* вспомогательные утверждения, доказанные автором. В иара-1;»» .п. **.*«. г»., — ,і г:і <■>лг.г; * ... і».. “ г..} г : п і д .. і

• графе 2.1 доказывается важный результат о том; что на каждом.абсшіютно неразнгтн-

. • • 1 Л-;**' і» *г* <„ :.*•> чГ* *.*'7.:' • : .‘V.VIі 1#; - ‘ : • ■ ,;і и

■ лешюм.полном дискретно нормированном-ноле можно ііпссти.(недШ9:шпч!ю)'ош?|ж'н)|> <

":'£ * *• ' ’■ . і*’ Сі'‘гплгг* .. .....-і,'и ■ ••• я.

Фробёниуса оч Мы .также доказываем; что любое полное дискретно нормированное ноле •к: і/::. •./і >і ;ч *;(.,« » \ иі".\г г. , !» чмї.'і

является і вполне разветвленным расширением а-поля.% - ; . • -■

• *.'• у-и-*.*.*».'яг* гой*;::.4'•• і ‘м."> ,и '0\.

В параграфв . 2.2 * описывается процедура расширения г скаляров для формальных

• :с і ■ і . •»». •. { '»'•*» ч.*!* .і-.'Гічі.,,!»': .ч.і,;?** ■*;і . „V.' г .*■ і •* .»и

• групп над полными дискретно нормированными ПОЛЯМИ; / : . ; ....

...> . ь* *.г*• ,* ■ V.»: ч-'1 ічіи'Л*:»»;*4:? \ч ’

4 Далее; локачы ваотея несложная лемма, котораяпозволяет* переводить н ужіі ые нам

• . • •. г. * ^ : і ••■с

классификационные утверждения с языка матриц наязык;модулсй;:мы ошіеинаем

мальный закон; получающийся из Р линейной заменой переменнойЬ ' / - *

; I. •:»% • «Л.Ї иЧ ; * . ... ;х;:;,і л :•»?■ . г

Наконец, доказывается, что любой гомоморфизм конечнмх.'плоских коммутативнмх V

і г* .и :.- V і- .V .ч- :> і'»’.'-:

групповых схем можно продолжить до гомоморфизмн^некоторых их рйЗ]хмигний V ПО-

мощыо р-дслимых групи; этот■ результат имеег^большое знамение ;уія. исследования

. ■ • • •*П ’•*. ік;* і- і; :•*г * •-,»*«*»\ ..М»,’*!!

ГрУІШОВМХ (^сем;.- * ' ’ . . . . • • : . ‘ •, •

•. 2 ."й.*• ’ .'‘і .V;!.."

■ Результаты главы 2 были изложены в статьях |10|, |11|, |10| и |3|; ііклад нпгори » |1()|.

І11І был основным. . •

,:і. Г Г>; і ,і;.‘Г.; й:: .і-,’ ' '*• і г.-,- :: І’

’ Цель.главы 3■ — построение канонических представителей; в классах строгоИ.и'иь м .»••., . -.-.•і ..!гг.:«г.-л- ;.і'.'і ^

морфности формальных групповых законов; Для произвольноїхі: кольца 11. (ж» кр\"к>-

■ ». •:Т..'|Г!0К и ::г;-••-.к:. г Чі ' і.і м.»: < ^

' нии и каждого ■ простого р Є 25 ■ мы выбираем систему .)ір«лствителей : — й.

\lj.i .чіікячілійом. что любйя формальїіая груїіпа К ийд /? строго. ичомор<|)ня роїцкі о:і-

ной формальной траппе ^(^^чьи коэффициенты при выражении че|>с;і упиисрса. м.ииН

криволинейный; закон лежат в соответствующих 9у(й,/рЛ).. От/ісльно рассматри ишч<:н -

случай, когда й является 2<„)-алгеброй, В зтом случае выполнен аналогиммыН ргіу,и.і>і г

п л..;;. і ’ ; .м.. ..л . ігг . 1 і. г:;и‘ і:ь*^ л'.!; ■ г .НУ; '

для универсального р-типическото закона. Для Л, равного кольцу, целых нєріу.івстн.'іі'іі-

ною локальногч поля, эти каноническне нредстаиители классов строгой ичомо|>фшктм

совп^чаш’ с построенными в рабтих [и)| и |1|.; .. . ^ ‘

Также доказываем, что если 5 с Я н представители н А’ соглас'оііііні)! г іфодсіи-

вителями в А, то формальная группа Е над Я строго изоморфна'формальной группе-.

- Гм-. ; .... - , л-куі.к,; (г, ;.л

определенной над Я,- тогда и только тогда, когда канонический ПІХ'ДСЧ’ВІНГПМЬ /■' и[Цм'-

• ■ .... • ,ч (. .:я.ич- •; ’ч!--''" -‘Г. г... •... ,ю

делен над:.*>..Кроме.того, мы приводим необхо!3имые и достаточные условия 'гоїчї, когдм

нм/»;.’. 4 -«ь.*-»;; і- і »і-»* .гг: ; > •' *ог г,*'.» *

отображение, индуцированное гомоморфизмом колец без кручении; на классах-ет|Х)іч>П ‘

изоморфности формальных групп,-инъективио и сюрьсктишюЛ , ' ' ' ■

Результаты главы З были изложены в тех частях статей |1] и [12), которые по-икк-тью.

принадлежат автору. ,

Целью главы 4і является явная классификация; формальных груші над кіьіьнамн

‘ і. V- . і м.'• , і 'пи кали;. ... і -н:\-,‘НГ !'У.- ^;;.і-'..л

целых полных дискретно нормированных полей г (с не обязательно соноршенным немом I....... . •• ш,.Л1п -.-.-І-Си---;;-.- -М'.г-;..;.

вычетов) в терминах их логарифма, как с точностью до нзогении, так я с. точностью

ДО || №МОрф|1 1МН.

Мы вводим два инварианта формальных групповых законов. Первый классифицирует формальные группы с точностью изогений некоторого вида, эгот вил явно описывается. Для вычисления второго инварианта достаточно знать несколько первых ксиффи-циентов логарифма. Два инварианта вместе задают формальную группу с тчпос 1Ыо до строгого томорфизма. Оба инварианта хорошо ведут себя при расширении ос 110111101 о поди и при применении к нему автоморфизмов. Это свойство является важным преимуществом нашей классификации по сравнению с классификацией Бродя форма н,-ных групп над кольцами целых обычных локальных нолей. В чаи поп и. док.нынагня. чю первый инвариант полностью определяет, изогенна ли дальная формальная I р« шы пекоюрой группе, определенной над меньшим полем.

Целью параграфа 4.1 является применение результатов Хонды (о классификации н перн шгтнлгнном случае) к классификации формальных групп над прон пильными локальными полями. Основная идея состоит в замене с помощью ограничения скаляров т-мерной группы над О г. на те-мернуго группу над неразветвленным кольцом.О. С помощью матричной леммы параграфа 2.3 мы переводим классификацию на я <ык модулей. Мы формулируем (первое) определение инвариантного модуля Клр| ье-Ды>донпг формальной группы.

В параграфе 4.2 доказывается, что оператор, соответствующий логарифму р-1 ни 11-ческой формальной группы над вполне разветвленным расширением ст-ноля, нредпли-лиется в виде дроби. Мы определяем инвариант дробной части логарифма Мы выясняем, как связаны между собой дробные части логарифмов изоггнных формнльмыч | р\ пп. В конце параграфа доказывается, что оператор, соошстсгвуюншй лоырифм\ р-тинической формальной группы над произвольным разветвленно-свирепым рпешире-ннсм (7-по.1я, представляйся в виде дроби. Кроме того, мы доказываем, чю дне шкп\ дроби имеют одинаковый знаменатель тогда и только тогда, когда редукции форма, п.-ных групп равны (как ряды).

Параграф 4.3 посвящен изучению инвариантных модулей Каргье-Дьсдонне для формальных групп. Отличие от определения Картье состоит в том, что мы расс ма1ри»нем логарифмы р-1 шшческих кривых. Это дает каноническое вложение нашею мод\-|Я к /.([Д]]"1. Чтобы продемонстрировать плодотворность такого определения, мы выясняем, Koi.ua формальная группа изогенна формальному групповому закону, опргделепть му над подполем основного поля. В конце параграфа мы распространяем опредс к-ння и результаты параграфа на не р-гипические группы.

В параграфе 4.4 мы определяем модульный инвариант Мр. Это определение и с ной-ечва Мр являются совершенно новым и очень важным шагом в изучении формальных I р\пп. Далее доказывается, что вместе с инвариантом дробной части (или шшарпашом Фонтена) модульный инвариант классифицирует формальные группы г точно! гыо до изоморфизма. Доказываются базовые свойства Мр. Мы используем наши методы .ни

классификации формальных групп, сначала для е < р, потом дли одномерных I руин вькшы > 1 при е < р*/2. Свойства М/. также применяйся к докам голы тн\ снойпп инвариантных модулей Картье-Дьедонне, которые используются при исследовании общего слоя конечных I руппопых схем.

В пара! рафо 4.5 описывается связь между нашими результатами и {обычными) модулями Картье, а также теорией Фонтена.

Результаты главы были изложены в работах |1| и |10|, все они, кроме ч;и ш рп\.н,-■гитов параграфа 4.1, были получены автором самостоятельно.

Целыо главы 5 является изучение конечных коммутативных плоских I рупштых.см'м (далее для краткости просто схем) над кольцом целых полного дискретно нормированною пил».

В параграфе 5.1 вводится важное определение замкнутого подмодуля модуля Кн|п ьо. Выясняется, что замкнутые подмодули модуля Картье обладани игеми необходимыми нам свойствами замкнутых подмножеств топологического пространства Дмеедокшы-ваетья, что замкнутые подмодули модуля Оорта групповой схемы взаимно плнотачио (оотвек-твУЮ! замкнутыми подсхемам. Мы также вводим определенно ишапшных модулей Картье-Дьедонне для формальных групп.

В параграф» 5.2 мы получаем полную классификацию конечных свялшх I р\ нповых схем над разнохарактеристическими полными дискретно нормированными ко'шцнм» и терминах их модулей Картье. Таким образом, мы даем полное ииное описание оГцщ ш функтора Оорта.

В параграфе 5.3 доказывается эквивалентность различных определений касяюльно-ю пространства и размерности таких групповых схем Это дает доказательство части И теоремы 2

Далее мы переходим к доказательству теоремы 3. Заметим, чю, очевидно, ггореми

3 равносильна следующему результату. Пусть 6\Т — конечные плоские коммч гаишные групповые схемы над £)&.

Теорема 9. Показатель группы Нош£,(Т'ь, 6'ь)/ Нотох (Т, X) делит р'.

Также доказывается, что для связных схем оценку можно немнога улучши п,.

Легко видеть, что оценка на 5 является точной. Действительно, для /, = ) мы

имеем е = (р - 1)р“-1. При этом /ир« и 2/р“2 имеют одинаковые общие слои над однако, очевидно, не существует ненулевого морфизма из в Х/р"2 . Также легко видеть, что (1Р‘ при е > (р — 1)р'*~1 изоморфна групповой схеме А’, соотво гствующоП многочлену (7гх+ 1)р" = 1; при этом снова Нот(^р», 6’) = {0}. Пользуясь провоженном 2.4.2 можно показать, что оценка точна также для схем сколь угодно больших показателей. Заметим также, что случай е > р в теореме 3 требует техники, существенно отличной от техники Рено, так как утверждение невозможно свести к неприводимым схемам над £)&.

" * * І • .'VII (.т ; .и. ■< гі:-г ,

;.,.В параграфе 5.4 мы напоминаем соответствие между замкнутыми, подсхемами н под-

і г- І-. -ж-.,. ............................. .... .ту.;,!., .. .X. * _ • .1 ; ■, V

схемами'общего',слоя.: С. помощью несложных рассуждений теорема З сііодн ии к ін'кі)-, торому. утверждению о формальных группах. , •. ...

. В Начале параграфа 5.5 доказывается важное утверждение о том.-.что сс.іи морфшм групповых схем — изоморфизм на общем слое, то идро.реакции имеет показатель: !«■

. пррпооходящий р’,. (каксхома .над;.Л), | Этот- результат снопа сводится к т^доліїлімм. и ' далее,:к формальным группам.-Дуализируя его,-мы,получаем ту же оцеику пн покл ы-

»« ч- «. -,;•••* <• і* '**.- V»,; '•

имь.коя.-цш, На гамом.деле, доказанные утверждения даже .сильнее:.-» частности. ядро

‘ - .. ...................... л- -^1.,, , ІТ •:*. - ■

аннулируется а-ой степенью'опер»тора Фробениуса. Те.же примеры, чічіидлятімук’Мі.і -■. 3,110казывают, что оценка точная; Из этих утверждений мы выводим теорему '3." .

, .,В параграфе.5.6 до1^ывается теорема4.', ..., и..м . - ^

, ;,.. Мы также.используемтеорему 3 для доказательства утверждений'про ядра умно-

• ’ - .......-V......г^..« ? •» :г;- *.и

,жения:на1^}формалмых группу,'-. ,,1(,,, ли. , .

'* Т^ремаІО.І) Пустъ'Р; О'--' [формальные группы: конечной ■ высоты пив 'О/,;' Ыпцпг.; ’слойквг^"1сгад^ор(^ны.'Тоа^'если’е'-^ір - 1)р’%' гпо 'Кй'!;/]^.

' .-Ксф'іс-■ •; Г.-:...<1 ч;

• . 2} То.же выполнено дЯл гі^извольиьіср-дмимьіТ. групп п;іи -і'і = •«. Г-Т>!-, -и.о

‘ У. При зтом в 'о6о№НП№кі7иіх отобрс&ісен\іЯ, з'адатцие-\іаомпрфи;ім;- гпжлш-тшішіг

' юамор&йлю!^ \'*'*‘ ■’■■■.’к.м ... ;:чм.-р-г

., • , • " . . . - .* >

■■п... Мытакжедоказываем важну ютеорему,5.6.2отом, какие схемы могут.иметь обншП '

■ слой,'и:юморфный;Кег[р!]г.ч-' >. -и;,и-;. .: і.т.і.иі.г,--г• ягИ...: г ..

.. Результаты.главы 5 имеют большое значение дляарифметики ірулноних схсм;.а.'і-

мгебраических групп и кристаллических;представлений;', .......... иь ;>1-.

.....Результаты были изложены-в работах,|3]‘ін [4|5,/,;... . і(->.-.:і<іі,:".'<■

В главе С.мы переходим к изучению редукции абелевых многообразий;,мы якппшо пользуемся: результатами главы 5. ' .

*• * Ї 1 / і' і Ґ ' ' ' <■* ,г- 1 ф ы ■ ■ в ^ , г -

: . В параграфе 6,1: мы сводим теорему; 6 к теореме '5'.‘Далее -доказываетси с-ледующсе

- важное утверждоние. ;... . .і;.-.,,*

' Теорема 11. Пусть {/ " -- р-дёлимая 'группа над К;; 5’А-- р-делимая грі/ппїі паё О/..

'!Ч',Ы ‘А’/'. .пппт^хшоморфшм мМётІиаомбрфшм.снятой!части'.9 :с некоторой 'фор-

'.’.'с ПОМОЩЬЮ теоремы.11 МЫ СВОДИМ теорему.5 К некоторому утвернуїениіоі о формам,-м“ных^-руппахр'!;';---- .. >м,і-:'.'.-г. к ■: у. - ..ц. ;;г. ,

'/ і-'- В^їнрягряфо 6.2!Мы: <-водим лтрему^б к утвгрждениіо^о^ю^-лих Каїп'ьо. ^ХІо.іч-.ііі Картье очень хорошо подходяттуїя плоского спуска, так что мы легко г$аііерніас;м доказательство теоремы 5 (и, тем.самым, б). •

п

Л&ШЧ.* формулIIруЮ2ЧТЯ некоторые утиерждення О спуске ДЛЯ p-ACJIHV1WX / руин и терминах касагелышх пространств. С помощью двойственности Вейли докизынапга, чп> абелево многообразие имеет подуст абильную редукцию если и шлько или i*m "фо|>-мальная чань" имеет "хорошую редукцию". Это позволит нам докали ь криюрнП хорошей редукции, сформулированный на языке касательных npocipamrm к ^липовым схемам.

В пара! рафе 6.3 мы доказываем теоремы 7 и 8. Для удобеюп чнхаюлл, мы шшомм-наем определение невырожденной редукции.

Отметим, чао использование касательных пространств rvmcr ничто ui шчжч фор« мулировки (и, конечно, доказательства) от соответствующих /-адичеекпх ннрпанкш: и частности. мы применяем к конечным схемам соображения рашерпоп н.

Получение идиких” Критериев хорошей, полусгабильной И НСВЫроЖДеНПОЙ реД\К1ШН абелевых многообразий существенно улучшает наше ионимание их арифметики.

Результаты были изложены в работах |3| и [4].

В 1 чане 7 с помощью техники главы 4 мы описываем классы шогенпост it тпомгрныч формальных групп. Целью главы 7 является распространение и развито соопичстт-ющею результата Лаффоля на произвольные полные дискрешо нормированные но ж характеристики 0 с полем вычетов характеристики р В отличие oi Лаффоля. мы явно указываем связь между логарифмами формальных tpynu и клипе нminimum н кь гарифмом построенного нами представителя. Также указывается количество попарно ней шморфных представителей ука шиною вида в каждом клжсе игокчннм ш.

Мы полностью описываем гомоморфизмы между построенными tipe.u твтедямн. В качестве приложения полученного результата вычисляются нормирования и "нычг-iwM элементов кручения одномерных формальных модулей. Мы гакже нычис тем .tin произвольной одномерной формальной группы дробную часть ее лошрифма

Во параграфе 7 1с помощью свойств инвариантных модулей Картье-Дьедошю формальных групп явно строятся "хорошие" формальные (рупповые шконы В п'рми-нах коэффициентов логарифма определяется некоторое неположиюльноо норчнроиа-ине формальных групповых законов. Мы полностью описываем гомоморф» *мы межд\ хорошими группами в терминах дробной часги логарифма. В конце параграф» мы формулируем основную георему и доказываем, что каждая группа тончит хорошей.

В параграфе 7 2 изучается свя?ь между многоугольниками Ныотпа. нормированиями корней -Ю1ярифма и дру| ими инвариашами форматной rpviiuu. С’ помощью полученных результатов вычисляется дробная часть ло!арифма дли прон шо н.ной формальной группы. Мы доказываем, чго нормирование логарифма можно определим» н терминах нормирования его корней, а поэтому оно чависит только oi класса нюморф-ttociH формальных групп. Доказывается, что нормирование равно 0 ,1ди ipvini. и«>-МОрфнЫХ ХОрОШИМ, И ТОЛЬКО ДЛЯ НИХ. ТЪСЖС ВЫЯСНЯСТСЯ, ЧТО "хорошел 1»и фо|>МП II»-

ной группы зависит только от "дробной части" ее логарифма. Далее мы швершнем

доказа'тельство основной тсорёмы 7.1.7:' 1 : , . .

■' ’ В 'параграфе 7.З мы : сравниваем 'функтор дробной: части логарифма 4юрмяльш>П группы: с; функтором, построенным- Фонтеном.' Полученные результаты; йшв&шют* ш7- > . строить'примеры групп, инвариантыФонтена которыхсовпадают, но нннарианты '.лроб- . нойчасти незквивалентны (т.е.; р«хмотренне'дробных час-гей показывает, что группы • неизоморфны). . . 1 • • • .

,, - . . . • . ■ 1 . > • • ■ , ... ,«к •; ■ • | У

' Результаты главы 7 были’нзложеныв работе[2|. ' •' ' . ; :

Глава 8 посвящена арифметике формальных модулей, в частности, их когамаюгп-чёскимсвойств&м, них связи со структурой'ассоциированных модулейГалуа.’ '

” : Мы доказываем,что первые когомологииформального модуля алгебраического пат мыкания нормированного 'поля .^’тривиальны тогда « только тогда,. когда А глубоко» |>а'11«,-П).-К‘11о, '-|-.о.- оператор следа дай ?любого, конечного расширения' /;//\^ о-^ражпс’-г^ Щ на Шк'. Тб,'что из'тривиальности#.1. 'следует глубокая разпствлен]1<хггь- К; доказывается в параграфе 8.1. . ; . ' V'..' - !

' * Далее' изучаются свойства 'ассоциированных модулей Талуа — сначала для идеалов ; дсдскиндовых областей (параграф8.2),за,гем для полных 'дискретно' нормированных -полей (параграфв.З). Нашим главныминструментомявляется иаоморфйзм о : /. у.^-и'^ ^[бТ. Он дает простое описание всех атеоций[юванных модулейТалуи;'к|>омо того, с помощью него легко доказываются свойства покоэффициентного умножения- *' ня алсоциированныхмодулях. '' ‘ .

В параграфе 8.3 мы,в основном/рассматриваем случай, когда /^//С вполне ра:«м‘тг1-лево: Мы вводим'фильтрацию ^ наЛ[0] .атакже связанную с ней фильтрацию X; на

г>шк: 1 ;- •••••-= "■

‘ ’ В' параграфе 8.4' для т-мерной формальной ‘ группы Е 'мь1‘0нредс}|яем множеггно Я'(£<) С £.™,'на котором мы складываем с помощью ^; мы также опгждоыем некоторую». фильтрацию’ на формальных модулях.

Впараграфе’8.5 мы формулируем и доказываем центральный результат главы 8. Сформулируем несколько упрощенный вариант этого утверждения. 1 ' '' ”.

Обозначим через й глубйну вегвленияЛ/Кт.е.'й = гшпг£/,. и(7’и-) - н(.г). ". '■,

...-Л-.';- .и:

>Реорема12. Пустъ отображсние<....... , . .

" V.1 Л®;-*V;

. принадлежит^1 (Р(5П)), т. «. удовлетворяет условию коцикла.Тогда существует нш-КОЙ х.€;Р(ШЩ.что * IЧ-- ■ ,* 1-г •!>:>., ■".•; ■;■,■!-< 1 ..ни».;*,- -•■.

.:< [.Х'—.е(х)\= аьХ<т.& С\{ , -. : ^ • 1 | (2).:

(т. е. -х' расщепляет А), причем и(х) > с > 0,- тогда и толъко тогда, когда ’Ли» каждом! •-

{,1‘< х < т, элемент /! = ^а£ащ„а пхтнадЛе31<мт ~

.I-".. 1 г\ . * ’< .Г.-.М ,* *■ '• ’Л . *’;•)!

. Заметим, что мы не требуем коммутативности -.-Р-,. . . .

Эн» V і нержление можно рассмаїринаїь как анилої гсоремы Гичьберін 90 .і їй фп])-млльііьіч ірупп Никакое сходное утверждение про формальные ірунпьі рапсе ишспію не было.

Доказательство основано на том, что факторы естественной филырацни проп івиїь-ноіо формального модуля изоморфны факторам фильтрации аддишиною мо іу ш: іа-ким образом, можно сформулировать утверждение о том, >ио іо'їна некоюрші лшшіїиі ючнан носледоиагельносіь "высших ассоциированных модулей" Также докаімкні-к и •по раицеплишщнй элемент л. }до6но иска і ь методом поглрдоиаммьнмх приближений.

В параграфе 8.6 мы доказываем, что над глубоко разветвленным полем кої-омолої ин формального модуля тривиальны.

В параграфе 8.7.2 мы изучаем аналог теории Куммера для формальных і рупії. Вмилите я естественное определение куммерова расширения в что К ситуации В одномерном случае куммерово расширение порождается корнем явно выписываемо! <> \ равнения, пи позволяет исследовать арифметику расширения. Из теоремы 12 немо.иенпо по іучаем что то, являете* ли расширение куммеровым для данной формальной і руины. полно-егью определяется модулями 21, (см. георему 8.7 4).

В параграфе 8 8 мы изучаем, какой набор элементов с заданным грмпюпом тмншч чижа бы п. конечной подгруппой одномерного формальною модули.

Теорема 12 пыявляет ранее неиївеетную и очень важную гннн. меж.п і і|»м\рі>1| формальных модулей и ассоциированными модулями Гдлуа Ре.іульїаіьі о формальных модулях в бесконечных расширениях локальных нолей являются важным дополнением к работе Коатса и Гринберга

Результаты [лавы 8 были изложены в работах [9|, [8], [б| и |7|.

В главе 9 мы переходим к изучению структуры идеалов, как нддишиныч м«л\ и'И Пы>а Оімеїим, чю, как сле,^уеі из резулыатон I 1лвы 8, -мої вопрос нетк ре.ісіигшт связан с арифметикой формальных групп и формальных модулей.

Первый резулыат 0 структуре аддитивных модулей Галуа о юм, чш ко іьцо це іьі\ абелева расширения поля О, степень которого взаимно прост с дискримипапюм. ичнчч целый нормальный базис, был доказан Гильбертом в 1897 году Чуіь чи і,к г ІІІнайіер ослабил условие Гильберіа и доказал тот же резульїаі для абелевых ниодх р\чны\ расширений ноля с/. Дія произвольного абелева расширения числовых нолей ірсбона-ние, чтобы расширение было всюду ручным, для существования нормаиыюю банка н кольце целых является необходимым, но не достаточным; эта проблема была по пин і ы<> решена М. Тэйлором.

В случае наличия дикого ветвления у расширения структура ко іьцн целых к.ік модуля Галуа остается практически неисследованной до сих пор. Имеюіся шип. ра ірін-ненные результ.1ты.

Одним из немногих случаев, когда структуру кольца целых (или илеа т) можно описать - это случай, когда идеал свободен над своим ассоциированным порядком. X.

. ' ; . ■ 185 *; ^ п I.(1 • ■ " * I*1 *1 I ,’| .* . ■ *,.. ,: (*.(. /.<"и ■; *. : 1.'"' , • ' • • * I ■

Леопольд доказал, чтодля К.= О, Сабелева,кольцо О/.свободио над споим ассоции-

I’.,; г- ->-.Ч’МГ ' . * ; ,.

роваиным порядком. Позднее этот результат был распространен на случай,* когда пи.к-

I. абелево над О или О», К С. Ь. . ' ..

. .-и-гы iv.it! не,,;,;:: • . • пу г>: .Г- V. '

Мы Будем изучать (дробные) идеалы, свооодиыс>над своими ассоциированными но-- ' ■*| ‘ '■’> - : к' V г':*.•!

рядками (мы называем их идеалами Леопольда);.Расширениями Лсопольдамы иячы-

ваем расширения, которые ^содержат (по крайней; мере^ один) идеал Леопольда.’ Мы-.

ограничимся.рассмотрением локалыюй снтуации; нри этом будем считать’ [жешитмчим' -

вполне дико разветвленным, так как этот случай является наиболее сложным (н содср-.

* V: г*» ■ * 1члг1 : • ’

’жительным)! • . ■ : . .

- . ' ' ■ ' ' ' ‘ -'4“'/'':' ;■* '

Первый пример не абсолютно вбелевого расширения Леопольда был приведен М:

ч .м./.:. 1,.'»■:>/:-.>: г-м;- ..■ -у.. 1.. '.•■■■- с.: ■ г,- - -.я 'X

Тэйлором: он. исследовал некоторые, промежуточные расширения в.башне расширит!

,п ■ -.>■ !• ...с. .<1-,:^ ,|. ; . с:. . . у:.|И ! '■ .-I>чг /'".■••1 \г

Любина-Тэйта. Аналогичное утверждение для более широкого класса расширений бм.ю

доказано в Л. Чайлдсом;и Д: Мск:сом; допоявлекияработ|6|, [7|зтот результат, был

наиболее общимизизвестных. _ ’ . . ■ • ' ■

. " В перечисленных примерах ассоциированный порядок также являлся порядком. Хин-

фи. Н. Байоггом было доказано, что ассоциированный порядок- может быть хо1 |фоным

. с •, , .. . г, |Г • •. ‘л;.т.;ч ■

только в случае, когда дифферента расширения порождена элементом нижнего ноля.

. ■' :• ■' * '■ С' ‘ :г,.V; ’■ -1 : ■■'•п..

■. В: параграфах 9.2 й.9.3 мы:изучаем этот случай. В параграфе 9.2■ доказын«1^<я,

■■ ■' ;-Г. ■ ^ .г( ;

что кольцо целых леонольдово тогда и только тогда, ког^ча ассоциированный ио|»1:и>к-

....•• • -< • .............. .. .«.-.•т.. . ; • ,

со.чоржит элемент.^; значепис;которого" на элемс1ту£; с нормированием п — 1 янчж'-п-н

уииформизующей поля £ (теоремы 9.2.3 и 9.2.4);‘Также доказывается; что если кольцом

О;, свободно над 21ь/^(£)то:Ццк(.Р,1.У~г порядок-Хопфа, а некоторые."пл*иоии|!‘'^ .

. V : ' • . ^ ';>■

...В,параграфе 9.3 доказывается,.что всякое такое абелево расишроние-ткчяпЧя ку.м-.

мероиым для одномерной формальной группы,-причем корень соответстнукнщчч) уран-.нения;, униформизующая;//. ' ............. ...........

г В последующих параграфах мы ■ отказываемсяот(условия; порожденпосгн ;;ик|к|и’-: рейты элементом'нижнего поля. Оказывается, что можно.прсдъяьить'тщхжнйкласс леонольдовых расширений. не удовлетворяющих эачэму условию. и вомноп^ <мутя\ ,-^оказаг1., то все леопольдовы расширения принадлежат этому классу. •.

. ; В параграфе 9,4;опрелеляет<^:некоторый класс .рат!пхшяй:(мм%птмв№м^нх;<1№

, лустабильными),,дпя которых существует элементтрупповой а^и'еб|)Ы аналогичны!! .

• элементу, рассматривавшемуся в предшествующих параграфах.' Главный: рочультиг. нн-раг рафа —, что абелево, расширение - полустабадьно тогда и: только тог.ча, коглн; чип .куммерово для одномерпой формальной группы,причем нормирование.корпя'ечнлпи'г•-ствующего уравнения ее делится на р. ■ • '

, . В параграфе 9.5 мы вычисляем явно ассоциированные модули Галуа » полусчиЪнль-.пых расширениях (теорема 9.5.4). Это позволяет доказать, что каждое.падуеггаби.чыни!'

■ расшнрение леопольдово. Также явно вычисляется структура всех идсчиюп шкчусга-

бильнмх расширений как модулей Галуа* Регультаты о расщепимскти коцнк ton срнп лают возможность выяснить, какие куммеровы уравнения ра.1рсшнмы в но i\< тПн. п.-пых расширениях. Также доказывается, что подьем нестабильною рнипнрепия ни р\*и вое расширение большой степени не может быть леопольдов Кроме юго, no.rveiaOn и»-пость равносильна некоторым дру1им свойствам расширения.

В параграфе 9.6 мы сравниваем понятия стабильного и полустабнлыюю расширения (см. определение 9.4.1). Мы строим пример полуетабильного, но не с тбпчыпни расширения. Также доказывается, что если дифферента полустабнчьного расширенны порождена злеменюм нижнего поля, то оно стабильно.

j ч

В паря1рдфо 9.7 мы шучаем "категорные свойгтпа" расширений Леош» 1ьда (кг леопольдоносм, промежуточных расширений) и строим базисы астоц|шро/шппы.\ ми-дулей промежуточных расширений. Параграф тпершаегея дпказате. м.с i im\i I ого. чш в большинстве случаев скачки ле[ плен и я Леопольдова расширения сравнимы «га и собой по модулю п — [L • К].

В параграфах 9.8 — 9 10 доказывается, что всякое абелево расширение Леопольда мои нч ворнющсе некогорым (по очень с ильным) условиям, пемус 1аби 1Ы10 Таким образом, можно сказать, что проблема Леопольда (те., проблема классификации Леопольдовых расширений) решена для "большинства" абелевых расширений

В параграфе 9.7 мы формулируем основную теорему для общею <vivчая (|соремн 9 8 1). Теорема докатывается по индукции Для этого изучаются мпнима и.по иес-т-бильные расширения, т.е., расширения Леопольда, содержащие полупаби шные расширения индекса р.

В параграфе 9.9 производятся некоторые вычисления дна1рамм ,ци минимально нестабильного расширения; это даст доказательство троремы 9 8.1.

В параграфе 9.10 обсуждаются некоторые альгернативные партии и 1горемы 9 8 I (ir, в некоторых случаях условия теоремы 98.1 можно оишбшь). Также iipoimii

11]>имер нггтйбинанш о расширении, содержащего идеал, свободный над i поим жеишш-рованным порядком. Пример показывает, что условия георсмы 9.8.1 "почти iian.iv4iniic' из возможных". '

Таким образом, в главе 9 описывается класс диких Леопольдовых расширений, который гораздо больше известных ранее классов. Кроме того, в большом кплпчгс пи-случаев мы доказываем, что Леопольдово расширение принадлежи! ошнанномх памп типу, никаких схожих результатов ранее известно не было. Таким обрщом, [>('и шипы 1 лавы дают большое продвижение в понимании структуры идеалов к модллсП la.ua и связи этой структуры с арифметикой расширения.

Результаты главы 9 были изложены в работах [6|, [7| и |5|

Автор выражает глубокую бла1 одарность своему научному Koiiey.ihiainv нроф С'.В. Bociokobv га многочисленные полезные обсуждении резулыагов риГипы

' Основ'ные работы автора потемё диссертаций "

1. Бондарко М.В.Явная классификация формальных групп над полными дискрет-1 . ’ но нормированными полями с несовершенным полем вычетов,; .// Труды Сапкч-- Петербургского Математического общества. 2005. т.11: С.1-ЗС.

:Л| 2.;, Бондарко М.В.’ Классы, изогенности ,формальных;групп над полными .дискретно'-' .. .нормированными,,полями ч-'.прриувольнымопопемуиычт'ов'/./ Алп,бра>.и>Лна.,іні:; :2005^.Швыш;б,СЛ05-124.,: ....... >. .

. 3.. Бондарко М.В. Общий слойконечныхгрупповых схем;';"конечный^1ИкиП^' кріт1-

' і ‘ рнйхирошей редукции абслевых мпогообразий / /'Известии Росси Некой академії11 і наук.серия матсматическая.:2006.т.70.'вып./4: С. 22-53;'

4V Бондарко М.В.* Классификация, конечных «груиповых! схем 'над, кольцами целых ' полных дискретно нормированных полей; касательное пространство>и подуета-бильная редукцияабелсвых многообразий// Алгебра и Анализ. 2006; т.-18. выи.

' 5: С^72--98?"'7: і •’ ......“

■ - > ■I• г.• . ... ” ■ .... •. . •• • ■ ,...

„ 5; Бондарко.М.В; Проблема Леопольдта для нмолне разветвленных, абелевых'рас-

ширений полных дискретных,нормированных'полей//- Алгебра и Аііа.тич,-2()0(К ч.

,; ,,;18:вып^5лС:99--129. ...... ' ,,j ’ 7,;:!’. . ;

C.Bomlaiko;M.V. Local; Leopold (,’й problem.for rings ofuhtegcrs iniabdiamp-cxtriisiim.s .' of complete discrete valuation fielda//;Documenta'Math. 2000.л’ОІиіпс5.%рр.*6Г)7іб93.*'.

7. Bondarko M;V; Local Leopoldt’s problem for ideals in p-extensions of complete discrete; "• .'■ •: valuation 6elds//AlgebraicNumber Theory.and1 Algebraic Geometry:' Papers’Dedicated?

to A;, Nr.Parshiir ontKe;Occasiomof his Sixtieth!"birthdayhP.! 27;-57: CoiileVnpovavy ' 'Mathematics; Providence'," 2002k '''• • ‘ "T- .

8. Bondarko M.V.‘ Links between'associated additive Galoia modules and computation of

// V for-local formal group modules//;.The'Journal: ofNumber Theory;2003J v-^ІОЦ P..

’ 74-104J-' ’ ' -7 7'.7.' ’ -7 ‘ ■

і . 9;;-Bondarko M.V.,Cohomology of formal gronp moduli and deeply .laimfied^rxunisiousf.

... theMathematical TJroceedingsof theCambridge Philosophical-Society. 2003.. v. 135. .

P.\19;24.'~. .... . . .. .'.. . . . 7 •. .

' 10." Бондарко Востоков G.B.‘ Явная1 классификация формальных групп над ;ю-

" ' ' кальними полями// Труды МИАН! 2003.х 241; вып. 2. С. 434S7.: ■■ • •

11. Бондарко М.В;, Востоков С.В.; Мин'чев X. Ограничение ск'аляров'для'формальных-.

. групп//:Записки научных семинаров гібМИІ-319. 2004.' С.59 71; ." > ■ 1 '

12. Бондарко М.В,', Востоков С.В., Лоренц Ф. Спаривание. Гильберта ;уш формадь-

'■ . ных групп над ст-колытми// Записки; научных-семинарои ПОМИ. 313; 200-4. СТ. ■

• 5-58. :

1 Іодпиишо впечліь 17 OK 06 Форма і 60x84 1/16 Ьуміїга офсеті кім І Ісча гь офсе 11 цвд У и і меч лисюи 1,16 І нрлж 100 псі гіак;в№21

І (,()І І інлографии И м<псльства < 'І ІбГУ 149061, С-I Іетсрбурі, (’редішй пр, д 41.

Введение. Формулировка основных результатов

Обозначения и соглашения

1 Основные определения: формальные группы и их модули Картье; модули Оорта групповых схем. Классификационные результаты Хонды и Хазевинкеля

1.1. Основные понятия теории формальных групп.

1.1.1. Формальные группы, их гомоморфизмы, (строгие) изоморфизмы

1.1.2. Формальные группы в характеристике ноль.

1.2. Модули Картье-Дьедонне.

1.2.1. Кольцо Картье; функтор Картье.

1.2.2. Модули Дьедонне в характеристике р; свойства редукции.

1.3. Модули Оорта.

1.4. Определение и свойства универсальных коммутативных формальных групповых законов.

1.4.1. Криволинейные и р-типические группы

1.4.2. Универсальные формальные групповые законы и их свойства

1.5. Классификация формальных групп над неразветвленными кольцами

2 Вспомогательные результаты

2.1. Определение и свойства сг-полей. Основная структурная теорема.

2.2. Ограничение скаляров для формальных групп.

2.2.1. Обозначения и терминология

2.2.2. Лемма Йонеды и групповые объекты в категориях; представимые функторы.

2.2.3. Понятия расширения и ограничения скаляров.

2.2.4. Основные результаты об ограничении скаляров.

2.2.5. Доказательства

2.2.6. Формулы.

2.3. Главная матричная лемма.

2.4. Формальный групповой закон Fa

2.5. Вложение схем в р-делимые группы.

3 Представители в классах строгой изоморфности формальных групп

3.1. Формулировка.

3.2. Определенность формальной группы над подкольцом.

3.3. Поведение классов строгой изоморфности формальных групп при гомоморфизмах колец

3.4. Канонические представители в классах изоморфности над неразветвлен-ными кольцами.

4 Классификация формальных групп

4.1. Логарифмическая матрица.

4.1.1. Примененение методов Хонды в сочетании с ограничением скаляров

4.1.2. Построение матрицы

4.1.3. Основные свойства логарифмической матрицы.

4.1.4. Инвариантные модули Картье-Дьедонне.

4.2. Дробные части; классификация с точностью до изогении.

4.2.1. Представление Л в виде дроби во вполне разветвленном случае

4.2.2. Определение дробных частей

4.2.3. Образ логарифмической матрицы на рациональном уровне

4.2.4. Главная теорема о'дробных частях'

4.2.5. Следствия из теоремы

4.2.6. Гомоморфизмы одномерных групп

4.2.7. Представление Л в виде дроби в общем случае.

4.2.8. Связь и с редукцией F.

4.3. Свойства инвариантных модулей Картье (-Дьедонне).

4.3.1. Категория D-модулей.

4.3.2. Эквивалентность двух определений DF.

4.3.3. Основные свойства Dp.

4.3.4. Замена основного поля.

4.3.5. Свойства образов инвариантных модулей Картье при L-линейных отображениях.

4.3.6. Свойства Dp для не-р-типических формальных групп.

4.4. Модульный инвариант

4.4.1. Вложение инвариантных модулей Картье в пополненные модули рядов.

4.4.2. Определение и основные свойства модульного инварианта.

4.4.3. Свойства Мр для групп конечной высоты. Алгоритм для классификации формальных групп.

4.4.4. Классификация для е < р

4.4.5. Классификация формальных групп для е < р2/2.

4.4.6. Применение к свойствам инвариантных модулей.

4.5. Свойства пополнения в терминах модулей Картье; связь с теорией Фонтена

4.5.1. Описание пополнения на "инвариантном" языке.

4.5.2. Сравнение с теорией Фонтена.

5 Конечные групповые схемы

5.1. Некоторые новые понятия и результаты в теории модулей Картье

5.1.1. Замкнутые подмодули; разделенные модули.

5.1.2. Связь разделенных модулей с групповыми схемами

5.1.3. Инъективные модули Картье формальных групп.

5.1.4. Свойства инъективных модулей Картье.

5.1.5. Поведение модулей Оорта при расширении колец.

5.1.6. Утверждения о модулях Картье, связанных с редукцией.

5.2. Основная классификационная теорема для групповых схем; расширения групповых схем

5.2.1. Формулировка теоремы.

5.2.2. Доказательство необходимости в теореме 5.2.

5.2.3. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1: построение некоторой формальной группы.

5.2.4. Существование формальной группы конечной высоты.

5.2.5. Завершение доказательства частей I и II.

5.2.6. Доказательство достаточности в теореме 5.2.1, часть III.

5.2.7. Расширения групповых схем.

5.3. Касательное пространство групповой схемы.

5.3.1. Определение; выражение в терминах модуля Оорта.

5.3.2. Размерность групповой схемы.

5.4. Некоторые вспомогательные результаты.

5.4.1. Связь замкнутых подсхем с общим слоем

5.4.2. Сведение теоремы 0.0.3 к р-делимым группам.

5.4.3. Сведение к связной компоненте.

5.5. Доказательство основных утверждений про общий слой групповых схем

5.5.1. Ядро редукции.

5.5.2. Коядро редукции

5.5.3. Доказательство предложения 5.4.2.

5.5.4. Усиление теоремы 0.0.3 в случае, когда S связна.

Перечислим основные обозначения, которые нам понадобятся для формулировки центральных результатов работы. Эти обозначения будут также использоваться во всей работе.

L будет полным дискретно нормированных полем характеристики 0 (кроме глав 8, 9), с полем вычетов характеристики р, е — абсолютным индексом ветвления L, Dl — его кольцом целых, s = [logp(^-)], 7г — некоторой униформизующей L, v — нормализованным нормированием на L, 9Л — максимальным идеалом L, J =

L часто будет содержать полное дискретно нормированное подполе К, [L : К] = п < оо, ё — индекс ветвления L/K (часто п будет равно е'), О к — кольцо целых К, Тг — след в L/К, С\ — степень расширения L/Ki, где К\/К — максимальное неразветвленное подрасширение в L/K, I = 2s + vp(ei) + 1, V = s + vp(ei) + 1.

В случае, когда L/K — расширение Галуа, его группа Галуа будет обозначаться через

G.

Нам также понадобятся некоторые ассоциированные модули Галуа. Определим

21l/k(Dl) = {fe K[G} : f(0L) С Dl} €i = {/ e L[G]: v(f(x)/x) >iVxe L*}; % = €{П K[G\.

Обычно F будет коммутативной m-мерной формальной группой над Ol, S,T будут конечными плоскими коммутативными групповыми схемами над Dl

Для конечной групповой схемы S/£>l мы будем обозначать через TS модуль, Оь-двойственный к Js/Js2 (т.е. Нотol(Js/Js>L/&l)), где Js — идеал пополнения координатного кольца S. Для конечных плоских групповых схем S,T будем писать S С Т, если существует морфизм / : S -*Т, инъективный на общем слое.

Для m,l > 0 A/mxi(2l) будет обозначать модуль матриц размера m х I над кольцом

21.

Целью этой работы является изучение и классификация формальных групп и конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей. Среди основных результатов работы можно указать явную классификацию формальных групп в терминах их логарифмов (см. главу 4), построение явных представителей в классах строгой изоморфности коммутативных формальных групп над произвольным кольцом без кручения (см. главу 3), явную классификацию конечных локальных групповых схем в терминах их модулей Картье (см. параграф 5.2), вычисление "размерности" и "касательного пространства" групповой схемы, а также описание усеченных групп Барсотти-Тэйта на языке касательных пространств (см. параграф 5.5), доказательство «почти полноты» функтора общего слоя для конечных групповых схем (см. параграф 5.5).

Эти результаты применяются для изучения спуска для делимых групп и получения "конечных диких" критериев хорошей, полустабильной и невырожденной редукции абелевых многообразий (см. главу 6); а также для построения явных представителей в классах изогенности формальных групп (см. главу 7); вычисление структуры идеалов как аддитивных модулей Галуа и выявления связи между ассоциированными модулями Галуа и арифметикой расширения (главы 8 и 9).

Сформулируем некоторые центральные результаты работы.

Основным инструментом для изучения формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей является данный автором инвариантный аналог классического (абстрактного) определения модуля Картье.

Для / = (/i) € Ь[[Д]]т, /* = £ rriij Aj, А — формальная переменная, X = (Х\,. Хт) определим

М = (fi(x)) = (]Tm^). j

Определим инвариантный модуль Картье формального группового закона F/Ol как DF = {fe Ь[Щт ■ expF(/(*)) € 0L[[x]]m}.

Обозначим Up~j0l[[A]] через R.

Теорема 0.0.1. I Для формальных групп Ft и F2 размерностей m,i и mi, чьи инвариантные модули Картъе-Дъедоние равны Di и соответственно, выполнены следующие утверждения.

1) Пусть А — матрица размера т2 х mj над Оl- Существует гомоморфизм / из Fi 6 Fi> f(X) = АХ mod deg2, тогда и только тогда, когда ADi С Дг

2) Для mi = 7П2 группы Fi и F2 строго изоморфны в том и только в том случае, когда Di = D2

II Пусть G — n-мерная формальная группа, U — подпространство Ln размерности т. Тогда существуют т-мерная формальная группа F и матрица А £ Мпхт(Ol) такие, что /7[[Д]] П Do = ADp

III Пусть F — т-мерная формальная группа конечной высоты, A G Мпхт(0ь),

1) Пусть выполнено ADF С Rn. Тогда ADF С р~*9Лр'[[Д]]п.

2) Пусть для у € DF, у = £i>0yiAl выполнено Ay G Rn. Тогда psA yi+s As € J[[A)}\

3) Dp П Rm = 7tDf„, где F„{X, Y) = тгY).

Кроме того, если поле L локально, то мы указываем явный базис Dp над Zp[[A]]; во всех случаях Dp является свободным модулем размерности те над некоторой (некоммутативной) областью целостности XV.

Классификационная теорема о конечных локальных групповых схемах формулируется в терминах их модулей Картье, определенных Ф. Оортом (см. пункты 1.2.1 и 1.3).

Теорема 0.0.2. I Cart -модуль М изоморфен C(S) для некоторой конечной связной плоской групповой схемы S над £>l если и только если М удовлетворяет следующим условиям.

1) M/VM — О^-модуль конечной длины.

2) Модуль М не имеет У-кручения.

3) ГЪоV'M = {0}.

4) Не существует собственного Cavt-подмодуля N С М такого, что (ж)М С N, и, при этом, M/N не имеет V-кручения.

II Пусть S — конечная локальная групповая схема.

1) TS = M(S)/V(M(S)).

2) Наименьшая размерность формальной группы F конечной высоты такой, что S вкладывается в F, равна dimoL (TS).

3) S = Ker[pr]f для т-мерной формальной группы F если и только если prS = 0 и (DL/prDL)m.

III М = C(Ker[pr]p) для т-мерной формальной группы F если и только если, кроме условий пункта I, также выполнено ргМ = 0 и M/VM « (Оь/ргОь)т■

IVЕсли конечные групповые схемы S, Т связны, mo Ext1^, Т) = Ext1cart(C(5'), С(Т)).

Это дает полную классификацию конечных плоских связных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей.

Мы также доказываем следующее обобщение классического результата М. Рено.

Теорема 0.0.3. ПустьT,S — конечные плоские коммутативные схемы надОь, Tl,Sl~ их общие слои, hb - Tl —> Sl ~ морфизм групповых схем над L.

Тогда существует Оь-морфизм g : Т —> S такой, что ql (т.е. общий слой д) совпадает с pshi.

Таким образом, групповые схемы "почти восстанавливаются" по общему слою. Легко видеть, что оценка на s является точной.

Частным случаем теоремы 0.0.3 при е < р является основной результат статьи [37] (о том, что в этом случае функтор общего слоя является полным). Из нее также немедленно следует известный результат Дж. Тэйта о том, что функтор общего слоя для р-делимых групп вполне унивалентен.

Мы также доказываем аналогичный факт о расширениях групповых схем.

Теорема 0.0.4. Если е < (р — 1 )ри, то показатель группы

Ker(Extl0L(S,T) - Ext\(SL,TL)) (1) отображение индуцировано функтором общего слоя) не превосходит ри.

Теорема 0.0.4 снова является обобщением соответствующего результата, доказанного в [37] для случая е < р — 1.

Мы доказываем, что р-делимая группа У имеет "хорошую редукцию" над подполем К С L тогда и только тогда, ее общий слой определен над К и некоторая р-подгруппа Y определена над Dl

Теорема 0.0.5. Пусть V — р-делимая группа над K,Y — р-делимая группа над Ql и У *Specк SpecL = Y xSpecoL SpecL. Определим г = I, в случае е = (р — 1 )ps1 возьмем v = I — 1.

Тогда если для некоторой плоской коммутативной групповой схемы Н над О к ядро изогении Ker\pr]v,K изоморфно IIк как К-схема, то существует р-делимая группа Z над О к такая, что V = Z Xspeco к Specif.

Эти результаты дают возможность доказать ряд "конечных диких" (т.е. р-адических) критериев хорошей и полустабильной редукции абелевых многообразий. Мы называем их конечными потому, что, в отличие от критериев А. Гротендика (см. [27]), достаточно проверить некоторое условие на некоторую конечную подсхему р-кручения многообразия V (вместо всего р-кручения); при этом рассматривается подсхема, соответствующая элементам кручения уровня, который зависит только от рассматриваемых полей. В случае хорошей редукции вопрос о существовании таких критериев был поставлен Н. Катцем. Заметим, что ранее были известны только Z-адические критерии (см. [39], [40]).

Теорема 0.0.6 (Проблема Катца). 1) Пусть абелево многообразие V определено над К и имеет хорошую редукцию над L, г = I. Если для некоторой плоской коммутативной групповой схемы Н над О к ядро изогении Ker \pr]v,K изоморфно Нк как К-схема, то V имеет хорошую редукцию над К.

2) Если при этом е = (р — 1 )р"~1, то можно взять г = 1 — 1.

Таким образом, можно сказать, что если абелево многообразие имеет потенциально хорошую редукцию, то достаточно проверять имеет ли "хорошую редукцию" групповая схема Ker \pT\v,K (т.е. определена ли она над О к), где г зависит только от рассматриваемых полей.

Заметим, что для е < р — 1 выполнено I = 1; таким образом, теорема 0.0.6 — обобщение теоремы 5.3 статьи [20].

Мы также доказываем некоторый результат о абелевых многообразиях с потенциально полустабильной редукцией.

Теорема 0.0.7. Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее полуста-билъную редукцию над L.

Тогда V имеет, полустабилъную редукцию над К если и только если для некоторой конечной групповой схемы Н надОк выполнено Т#оL D (т.е. существует вложение), при этом существует мономорфизм g : Нк —* Ker\pl}v,K

Наши методы также позволяют доказать следующий критерий невырожденной редукции (см. пункт 6.3.5).

Теорема 0.0.8. IПусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее хорошую редукцию над L.

Тогда следующие условия равносильны.

1) V имеет хорошую невырожденную редукцию над К.

2) Для некоторой групповой схемы Н/Ок мультипликативного типа (т.е. двойственной к этальной) выполнено THql и {Dl/p^Ol)™, при этом существует мономорфизм g : Нк —* Кег[рг']у,;с.

3) Для некоторой групповой подсхемы Нк С Ker[pl']vtK и поля М, неразветвлеино-го над К, выполнено Нм = (/х^ м)т. Здесь /у — групповая схема корней из единицы степени р1'.

II Пусть V — т-мерное абелево многообразие над К, имеющее полустабилъную редукцию над L.

Тогда следующие условия равносильны.

1) V имеет невырожденную редукцию над К.

2) Для некоторой групповой схемы Н над О к мультипликативного типа существуют вложения Нк в Кег[рг]у,Я" и (^l/t^^l)"1 ~ в THoL

3) Для некоторой групповой подсхемы Нк С Ker\pl\v,K и поля М, неразветвленного над К, выполнено Нм — (/у,л/)т

Отметим, что никаких других конечных критериев невырожденной редукции ранее известно не было.

Кроме того, доказывается ряд (новых) результатов о структуре идеалов как модулей Галуа во вполне разветвленных расширениях полных дискретно нормированных полей. В большом количестве случаев мы приводим необходимые и достаточные условия того, когда идеалы свободны над своими ассоциированными порядками (как модули Галуа). Также доказывается, что расширение куммеровово для данной формальной группы тогда и только тогда, когда некоторые элементы групповой алгебры достаточно сильно "повышают нормирования" (т.е. лежат в соответствующих 21^).

Теперь изложим содержание работы более подробно.

В первой главе приводятся определения и результаты, доказанные другими авторами.

Мы напоминаем основные определения теории формальных групп (формальные группы, их логарифмы, модули Картье). Приводится принадлежащее Оорту определение модуля Картье C(S) для конечной связной групповой схемы S (см. [35]). Далее мы напоминаем понятие р-типических и криволинейных формальных групп. Описывается построение и свойства некоторых универсальных формальных групповых законов, определенных в книге М. Хазевинкеля. Мы приводим классификацию Хонды формальных групп над кольцами целых неразветвленных полей и его обобщение на более широкий класс колец (полученное Хазевинкелем).

В главе 2 приведены вспомогательные утверждения, доказанные автором. В параграфе 2.1 мы доказываем важный результат о том, что на каждом абсолютно неразветв-ленном полном дискретно нормированном поле можно ввести (неоднозначно) оператор Фробениуса а. Также доказывается, что любое полное дискретно нормированное поле является вполне разветвленным расширением сг-поля.

В параграфе 2.2 описывается процедура расширения скаляров для формальных групп над полными дискретно нормированными полями.

Далее мы доказываем несложную лемму, которая позволяет переводить нужные нам классификационные утверждения с языка матриц на язык модулей; описывается формальный закон, получающийся из F линейной заменой переменной.

Наконец, доказывается, что любой гомоморфизм конечных плоских коммутативных групповых схем можно продолжить до гомоморфизма некоторых их разрешений с помощью р-делимых групп; этот результат имеет большое значение для исследования групповых схем.

Результаты главы 2 были изложены в статьях [11], [12], [11] и [3]; вклад автора в [11], [12] был основным.

Цель главы 3 — построение канонических представителей в классах строгой изоморфное™ формальных групповых законов. Для произвольного кольца R без кручения и каждого простого р 6 Z мы выбираем систему представителей 0Р : R/pR —> R. Доказывается, что любая формальная группа F над R строго изоморфна ровно одной формальной группе 6(F), чьи коэффициенты при выражении через универсальный криволинейный закон лежат в соответствующих dp(R/pR). Отдельно рассматривается случай, когда R является Z(p)-aлгeбpoй. В этом случае выполнен аналогичный результат для универсального р-типического закона.

Отметим, что единственный более ранний результат в этом направлении был получен в работе [29] только для одномерных формальных групп над неразветвленным локальным полем.

Мы также доказываем, что если S С R и представители в S согласованы с представителями в R, то формальная группа F над R строго изоморфна формальной группе, определенной над S, тогда и только тогда, когда канонический представитель F определен над S. Кроме того, приводятся необходимые и достаточные условия того, когда отображение, индуцированное гомоморфизмом колец без кручения на классах строгой изоморфности формальных групп, инъективно и сюрьективно.

Результаты главы 3 были изложены в тех частях статей [1] и [13], которые полностью принадлежат автору.

Целью главы 4 является явная классификация формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей (с не обязательно совершенным полем вычетов) в терминах их логарифма, как с точностью до изогении, так и с точностью до изоморфизма.

Отметим, что для несовершенного поля вычетов никаких классификационных результатов ранее известно не было.

Мы вводим два инварианта формальных групповых законов. Первый классифицирует формальные группы с точностью изогений некоторого вида, этот вид явно описывается. Для вычисления второго инварианта достаточно знать несколько первых коэффициентов логарифма. Два инварианта вместе задают формальную группу с точностью до строгого изоморфизма. Оба инварианта хорошо ведут себя при расширении основного поля и при применении к нему автоморфизмов. Это свойство является важным преимуществом нашей классификации по сравнению с классификацией К. Броля формальных групп над кольцами целых обычных локальных полей. В частности, доказывается, что первый инвариант полностью определяет, изогенна ли данная формальная группа некоторой группе, определенной над меньшим полем.

Целью параграфа 4.1 является применение результатов Хонды (о классификации в неразветвленном случае) к классификации формальных групп над произвольными локальными полями. Основная идея состоит в замене с помощью ограничения скаляров m-мерной группы над Ок на те-мерную группу над неразветвленным кольцом D. С помощью матричной леммы параграфа 2.3 классификация переводится на язык модулей. Мы формулируем (первое) определение инвариантного модуля Картье-Дьедонне формальной группы.

В параграфе 4.2 доказывается, что оператор, соответствующий логарифму /атипической формальной группы над вполне разветвленным расширением сг-поля, представляется в виде дроби. Мы определяем инвариант дробной части логарифма. Мы выясняем, как связаны между собой дробные части логарифмов изогенных формальных групп. В конце параграфа доказывается, что оператор, соответствующий логарифму р-типической формальной группы над произвольным разветвленно-свирепым расширением а-поля, представляется в виде дроби.

Кроме того, мы доказываем, что две таких дроби имеют одинаковый знаменатель тогда и только тогда, когда редукции формальных групп равны (как ряды).

Параграф 4.3 посвящен изучению инвариантных модулей Картье-Дьедонне для формальных групп. Отличие от определения Картье состоит в том, что мы рассматриваем логарифмы р-типических кривых. Это дает каноническое вложение нашего модуля в

L[[A]]m. Чтобы продемонстрировать плодотворность такого определения, мы выясняем, когда формальная группа изогенна формальному групповому закону, определенному над подполем основного поля. В конце параграфа определения и результаты параграфа распространяются на не р-типические группы.

В параграфе 4.4 определяется модульный инвариант Мр. Это определение и свойства Mf являются совершенно новым и очень важным шагом в изучении формальных групп. Далее доказывается, что вместе с инвариантом дробной части (или инвариантом Фоитена) модульный инвариант классифицирует формальные группы с точностью до изоморфизма. Доказываются базовые свойства Mf. Мы используем наши методы для классификации формальных групп, сначала для е < р, потом для одномерных групп высоты > 1 при е < р2/2. Свойства Mf применяются к доказательству свойств инвариантных модулей Картье-Дьедонне, которые понадобятся далее при исследовании общего слоя конечных групповых схем.

В параграфе 4.5 описывается связь между нашими результатами и (обычными) модулями Картье. Далее, для удобства читателя, знакомого с теорией Ж.-М. Фонтена для формальных групп (см. [24]), явно описывается (без доказательства) функтор из категории модулей Картье (соответствующих формальным группам) в категорию Фонтена.

Наши результаты дают усиление классической и общепризнанной теории Фонтена и перевод ее на более явный язык, а также дополнение теории Фонтена до полной классификации формальных групп. Это имеет фундаментальное значение для построения теории формальных групп над полным дискретно нормированным полем. Ряд приложений полученных результатов может быть найден в последующих главах работы.

Результаты главы были изложены в работах [1] и [11]; все они, кроме части результатов параграфа 4.1, были получены автором самостоятельно.

Целью главы 5 является изучение конечных коммутативных плоских групповых схем (далее для краткости просто схем) над кольцом целых полного дискретно нормированного поля.

В параграфе 5.1 вводится важное определение замкнутого подмодуля модуля Картье. Выясняется, что замкнутые подмодули модуля Картье обладают всеми необходимыми нам свойствами замкнутых подмножеств топологического пространства. Далее доказывается, что замкнутые подмодули модуля Оорта групповой схемы взаимно однозначно соответствуют замкнутым подсхемам. Также вводится определение инъективных модулей Картье-Дьедонне для формальных групп.

В параграфе 5.2 мы получаем полную классификацию конечных связных групповых схем над разнохарактеристическими полными дискретно нормированными кольцами в терминах их модулей Картье. Таким образом, получено полное явное описание образа функтора Оорта, определенного в [35].

В параграфе 5.3 доказывается эквивалентность различных определений касательного пространства и размерности таких групповых схем. Это дает доказательство части

II теоремы 0.0.2.

Далее мы переходим к доказательству теоремы 0.0.3. Заметим, что, очевидно, теорема 0.0.3 равносильна следующему результату. Пусть S,T — конечные плоские коммутативные групповые схемы над Оь

Теорема 0.0.9. Показатель группы Hom^(Ti, Si)/ HomoL(Г, S) делит ps.

Также доказывается, что для связных схем оценку можно немного улучшить (см. теорему 5.5.6 ниже).

Так как конечная групповая схема раскладывается в сумму р-схемы (аннулируемой степенью р) и не-р-схемы (показателя, не кратного р) и все не-р-схемы этальны, мы будем рассматривать только р-схемы. Хорошо известно, что функтор общего слоя унивалентен на плоских схемах, т.е. ипъективен на морфизмах. Поэтому морфизм g единственен. Заметим также, что условия теорем зависят только от индекса ветвления L.

Действительно, если искомый g существует над кольцом целых некоторого расширения L, то он определен над Оь- Таким образом, нам достаточно доказывать теорему 0.0.3 для некоторого L' D L, индекс ветвления Z//L равен 1. Поэтому при доказательстве теоремы 0.0.3 мы будем считать, что поле L совершенно.

Легко видеть, что оценка на s является точной. Действительно, для L = Qp(jUp») мы имеем е = (р — l)pu1. При этом /лри и Z/puZ имеют одинаковые общие слои над L, однако, очевидно, не существует ненулевого морфизма из pLpu в Z/puZ . Также легко видеть, что Цри при е > (р — l)pu1 изоморфна групповой схеме S, соответствующей многочлену (7пс+ 1)р" = 1; при этом снова Hom(/xp«, S) = {0}. Пользуясь предложением 2.5.1 можно показать, что оценка точна также для схем сколь угодно больших показателей. Заметим также, что случай е > р в теореме 0.0.3 требует техники, существенно отличной от техники Рено, так как утверждение невозможно свести к неприводимым схемам иад £>ь

В параграфе 5.4 мы напоминаем соответствие между замкнутыми подсхемами и подсхемами общего слоя. С помощью несложных рассуждений теорема 0.0.3 сводится к некоторому утверждению о формальных группах.

В начале параграфа 5.5 доказывается важное утверждение о том, что если морфизм групповых схем — изоморфизм на общем слое, то ядро редукции имеет показатель, не превосходящий р" (как схема над L). Этот результат снова сводится к р-делимым, и далее, к формальным группам. Дуализируя его, мы получаем ту же оценку на показатель коядра. На самом деле, доказанные утверждения даже сильнее: в частности, ядро аннулируется s-ой степенью оператора Фробениуса. Те же примеры, что и для теоремы 0.0.3, показывают, что оценка точная. Из этих утверждений мы выводим теорему 0.0.3.

В параграфе 5.6 мы доказываем теорему 0.0.4.

Теорема 0.0.3 также применяется для доказательства утверждений про ядра умножения на р1 формальных групп.

Теорема 0.0.10. 1) Пусть F,G — формальные группы конечной высоты надОь, общие слои Ker[p1+u}f и Кефг+и]с изоморфны. Тогда если е < (р — 1 )ри, то Ker[p']F =$L Kev]pl]G.

2) То же выполнено для произвольных р-делимых групп при и = s.

При этом в обоих пунктах отображения, задающие изоморфизм, согласованы с изоморфизмами общих слоев.

Мы также доказываем важную теорему 5.G.2 о том, какие схемы могут иметь общий слой, изоморфный Кег[р']^.

Результаты главы 5 имеют большое значение для арифметики групповых схем, алгебраических групп и кристаллических представлений.

Результаты главы были изложены в работах [3] и [4].

В главе б мы переходим к изучению редукции абелевых многообразий; мы активно пользуемся результатами главы 5.

В параграфе 6.1 теорема 0.0.6 сводится к теореме 0.0.5. Далее доказывается следующее важное утверждение.

Теорема 0.0.11. Пусть U — р-делимая группа над К, S — р-делимая группа над 0l, UL = Sl, этот изоморфизм задает изоморфизм связной части S с некоторой формальной группой So/О к, при этом действие группы инерции К на U/Sok(F) (F — алгебраическое замыкание К), тривиально. Тогда U определена над 0%.

С помощью теоремы 0.0.11 теорема 0.0.5 сводится к некоторому утверждению о формальных группах.

В параграфе 6.2 мы сводим теорему 0.0.5 к утверждению о модулях Картье. Модули Картье очень хорошо подходят для плоского спуска, так что мы легко завершаем доказательство теоремы 0.0.5 (и, тем самым, 0.0.6).

В параграфе 6.3 мы формулируем некоторые утверждения о спуске для р-делимых групп в терминах касательных пространств. С помощью двойственности Вейля доказывается, что абелево многообразие имеет полустабильную редукцию если и только если его "потенциально формальная часть" имеет "хорошую редукцию". Это позволяет доказать критерий хорошей редукции, сформулированный на языке касательных пространств к групповым схемам. Далее доказываются теоремы 0.0.7 и 0.0.8. Для удобства читателя, мы напоминаем определение невырожденной редукции.

Отметим, что использование касательных пространств существенно отличает формулировки (и, конечно, доказательства) от соответствующих /-адических вариантов; в частности, мы применяем к конечным схемам соображения размерности.

Получение "диких" критериев хорошей, полустабильной и невырожденной редукции абелевых многообразий существенно улучшает наше понимание их арифметики.

Результаты были изложены в работах [3] и [4].

В главе 7 с помощью техники главы 4 описываются классы изогенности одномерных формальных групп. Г. Лаффолем было доказано, что каждый класс изогенности одномерных формальных групп над кольцами целых полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с алгебраически замкнутым полем вычетов характеристики р содержит групповой закон, логарифм которого имеет некоторый явно описанный вид. Таким образом, был сделан шаг к явной классификации одномерных формальных групп с точностью до изогении. Целью главы 7 является распространение этого результата на произвольные полные дискретно нормированные поля характеристики О с полем вычетов характеристики р. В отличие от [30], мы явно указываем связь между логарифмами формальных групп в классе изогенности и логарифмом построенного нами представителя. Мы также указываем количество попарно неизоморфных представителей указанного вида в каждом классе изогенности.

Мы полностью описываем гомоморфизмы между построенными представителями. В качестве приложения полученного результата вычисляются нормирования и "вычеты" элементов кручения одномерных формальных модулей. Кроме того, для произвольной одномерной формальной группы вычисляется дробная часть ее логарифма.

Во параграфе 7.1 с помощью свойств инвариантного модуля Картье-Дьедонне формальной группы явно строятся "хорошие" формальные групповые законы. В терминах коэффициентов логарифма определяется некоторое неположительное нормирование формальных групповых законов. Полностью описываются гомоморфизмы между хорошими группами в терминах дробной части логарифма. В конце параграфа мы формулируем основную теорему и доказываем, что каждая группа изогенна хорошей.

В параграфе 7.2 изучается связь между многоугольниками Ныотона, нормированиями корней логарифма и другими инвариантами формальной группы. С помощью полученных результатов вычисляется дробную часть логарифма для произвольной формальной группы. Мы доказываем, что нормирование логарифма можно определить в терминах нормирования его корней, а поэтому оно зависит только от класса изоморф-ности формальных групп. Доказывается, что нормирование равно 0 для групп, изоморфных хорошим, и только для них. Также выясняется, что "хорошесть" формальной группы зависит только от "дробной части" ее логарифма. Далее мы завершаем доказательство основной теоремы 7.1.7.

В параграфе 7.3 мы сравниваем функтор дробной части логарифма формальной группы с функтором, построенным Фонтеном в работе [24]. Полученные результаты позволяют построить примеры групп, инварианты Фонтена которых совпадают, но инварианты дробной части неэквивалентны (т.е., рассмотрение дробных частей показывает, что группы неизоморфны).

Результаты главы 7 были изложены в работе [2].

Глава 8 посвящена арифметике формальных модулей, в частности, их когомологическим свойствам, и их связи со структурой ассоциированных модулей Галуа.

Доказывается, что первые когомологии формального модуля алгебраического замыкания нормированного поля К тривиальны тогда и только тогда, когда К глубоко разветвлено, т.е. оператор следа для любого конечного расширения L/K отображает Ш на Шк■ То, что из тривиальности Я1 следует глубокая разветвленность К, доказывается в параграфе 8.1.

Далее изучаются свойства ассоциированных модулей Галуа — сначала для идеалов дедекиндовых областей (параграф 8.2), затем для полных дискретно нормированных полей (параграф 8.3). Нашим главным инструментом является изоморфизм L-пространств ф : L ®к L —► L[G]. Он дает простое описание всех ассоциированных модулей Галуа; кроме того, с помощью него легко доказываются свойства покоэффи-циентного умножения * на ассоциированных модулях.

В параграфе 8.4 для m-мерной формальной группы F, мы определяем множество F(L) С Lm, на котором мы складываем с помощью F; мы также определяем некоторую фильтрацию на формальных модулях.

В параграфе 8.5 мы формулируем и доказываем центральный результат главы 8. Сформулируем несколько упрощенный вариант этого утверждения.

Обозначим через d глубину ветвления L/K, т.е. d = minxei,» v(Trx) — v(x).

Теорема 0.0.12. Пусть отображение

A: G F(9Jt), а аа = (altT,. ат<7) принадлеэюит Zl(F(9Й)), т.е. удовлетворяет условию коцикла. Тогда существует такой х G F(ffl), что х - а{х) = a„VaeG (2) f т.е. х расщепляет А), причем v(x) > с> 0, тогда и только тогда, когда для каждого L 1<г< т, элемент — YIozg (Г^+с

Заметим, что мы не требуем коммутативности F.

Это утверждение можно рассматривать как аналог теоремы Гильберта 90 для формальных групп. Никакое сходное утверждение про формальные группы ранее известно не было.

Доказательство основано на том, что факторы естественной фильтрации произвольного формального модуля изоморфны факторам фильтрации аддитивного модуля; таким образом, можно сформулировать утверждение о том, что точна некоторая длинная точная последовательность "высших ассоциированных модулей". Также доказывается, что расщепляющий элемент х удобно искать методом последовательных приближений.

В параграфе 8.6 доказывается, что над глубоко разветвленным полем когомологии формального модуля тривиальны.

В параграфе 8.7 мы изучаем аналог теории Куммера для формальных групп. Вводится (см. определение 8.7.1) естественное определение куммерова расширения в этой ситуации. В одномерном случае куммеровы расширения порождаются корнями явно выписываемых уравнений; это позволяет исследовать арифметику расширений. Из теоремы 0.0.12 немедленно получаем, что то, является ли расширение куммеровым для данной формальной группы, полностью определяется модулями 2lj (см. теорему 8.7.4).

В параграфе 8.8 мы изучаем, какой набор элементов с заданным групповым законом может быть конечной подгруппой одномерного формального модуля.

Теорема 0.0.12 выявляет ранее неизвестную и очень важную связь между структурой формальных модулей и ассоциированными модулями Галуа. Результаты о формальных модулях в бесконечных расширениях локальных полей являются важным дополнением к работе Дж. Коатса и Р. Гринберга.

Результаты главы 8 были изложены в работах [9], [8], [б] и [7].

В главе 9 мы переходим к изучению структуры идеалов, как аддитивных модулей Галуа. Отметим, что, как следует из результатов главы 8, этот вопрос непосредственно связан с арифметикой формальных групп и формальных модулей. Большое значение для доказательства результатов о леопольдовых расширениях имеют свойства одномерных групповых схем.

Первый результат о структуре аддитивных модулей Галуа о том, что кольцо целых абелева расширения поля Q, степень которого взаимно проста с дискриминантом, имеет целый нормальный базис, был доказан Д. Гильбертом в 1897 году. Чуть позже Шпайзер ослабил условие Гильберта и доказал тот же результат для абелевых всюду ручных расширений поля q. Для произвольного абелева расширения числовых полей требование, чтобы расширение было всюду ручным, для существования нормального базиса в кольце целых является необходимым, но не достаточным; эта проблема была полностью решена М. Тэйлором.

В случае наличия дикого ветвления у расширения структура кольца целых как модуля Галуа остается практически неисследованной до сих пор. Имеются лишь разрозненные результаты.

Одним из немногих случаев, когда структуру кольца целых (или идеала) можно описать — это случай, когда идеал свободен над своим ассоциированным порядком. X. Леопольд доказал, что для К = Q, G абелева, кольцо О^ свободно над своим ассоциированным порядком. Позднее этот результат был распространен на случай, когда поле L абелево над Q или Qp.

Мы будем изучать (дробные) идеалы, свободные над своими ассоциированными порядками (мы называем их идеалами Леопольда). Расширениями Леопольда мы называем расширения, которые содержат (по крайней мере, один) идеал Леопольда. Мы ограничимся рассмотрением локальной ситуации; при этом будем считать расширение вполне дико разветвленным, так как этот случай является наиболее сложным (и содержательным) .

Первый пример не абсолютно абелевого расширения Леопольда был приведен М.

Тэйлором; в его работе были рассмотрены промежуточные расширения в башне расширений Любина-Тэйта. Аналогичное утверждение для более широкого класса расширений было доказано JI. Чайлдсом и Д. Моссом; до появления работ [6], [7] этот результат был наиболее общим из известных.

В перечисленных примерах ассоциированный порядок также являлся порядком Хоп-фа. Н. Байоттом было доказано, что ассоциированный порядок может быть хопфовым только в случае, когда дифферента расширения порождена элементом нижнего поля.

В параграфах 9.2 и 9.3 мы изучаем этот случай. В параграфе 9.2 доказывается, что кольцо целых леопольдово, тогда и только тогда, когда ассоциированный порядок содержит элемент значение которого на элементе L с нормированием п — 1 является униформизующей поля L (теоремы 9.2.3 и 9.2.4). Мы также докажем, что если кольцо 0L свободно над 2Ll/k{&l), то 21 l/k(Ol) ~ порядок Хопфа, а некоторые "степени" £ дают базис 21 l/k{®l)

В параграфе 9.3 доказывается (теорема 9.3.1), что всякое такое абелево расширение является куммеровым для одномерной формальной группы, причем корень соответствующего уравнения — униформизующая L.

В последующих параграфах мы отказываемся от условия порожденное™ дифференты элементом нижнего поля. Оказывается, что можно предъявить широкий класс леопольдовых расширений, не удовлетворяющих этому условию, и во многих случаях доказать, то все леопольдовы расширения принадлежат этому классу.

В параграфе 9.4 определяется некоторый класс расширений (мы называем их полустабильными), для которых существует элемент групповой алгебры аналогичный элементу, рассматривавшемуся в предшествующих параграфах. Главный результат параграфа — что абелево расширение полустабильно тогда и только тогда, когда оно куммерово для одномерной формальной группы, причем нормирование корня соответствующего уравнения не делится на р.

В параграфе 9.5 мы вычисляем явно ассоциированные модули Галуа в полустабильных расширениях (теорема 9.5.4). Это позволяет доказать, что каждое полустабильное расширение леопольдово. Также явно вычисляется структура всех идеалов полустабильных расширений как модулей Галуа. Результаты о расщепимости коциклов сразу дают возможность выяснить, какие куммеровы уравнения разрешимы в полустабильных расширениях. Мы также доказываем, что подъем нестабильного расширения на ручное расширение большой степени не может быть леопольдов. Кроме того, полустабильность равносильна некоторым другим свойствам расширения.

В параграфе 9.6 сравниваются понятия стабильного и полустабильного расширения (см. определение 9.4.1). Мы строим пример полустабильного, но не стабильного расширения. Также доказывается, что если дифферента полустабилыюго расширения порождена элементом нижнего поля, то оно стабильно.

В параграфе 9.7 изучаются "категорные свойства" расширений Леопольда (т.е. леопольдовость промежуточных расширений); строятся базисы ассоциированных модулей промежуточных расширений. Параграф завершается доказательством того, что в большинстве случаев скачки ветвления Леопольдова расширения сравнимы между собой по модулю п = [L : К].

В параграфах 9.8 — 9.10 доказывается, что всякое абелево расширение Леопольда, удовлетворяющее некоторым (не очень сильным) условиям, полустабилыю. Таким образом, мы можем сказать, проблема Леопольда (т.е. проблема классификации Лео-польдовых расширений) решена для "большинства" абелевых расширений.

В параграфе 9.7 формулируется основная теорема для общего случая (теорема 9.8.1). Теорема доказывается по индукции. Для этого мы изучаем минимально нестабильные расширения, т.е. расширения Леопольда, содержащие полустабильные расширения индекса р.

В параграфе 9.9 производятся некоторые вычисления диаграмм для минимально нестабильного расширения; это дает доказательство теоремы 9.8.1.

В параграфе 9.10 мы обсуждаем некоторые альтернативные варианты теоремы 9.8.1 (т.е., в некоторых случаях условия теоремы 9.8.1 можно ослабить). Также строится пример нестабильного расширения, содержащего идеал, свободный над своим ассоциированным порядком. Пример показывает, что условия теоремы 9.8.1 "почти наилучшие из возможных".

Таким образом, в главе 9 описывается класс диких Леопольдовых расширений, который гораздо больше известных ранее классов. Кроме того, в большом количестве случаев доказывается, что Леопольдово расширение принадлежит описанному нами типу; никаких схожих результатов ранее известно не было. Таким образом, результаты главы дают большое продвижение в понимании структуры идеалов к модулей Галуа и связи этой структуры с арифметикой расширения.

Результаты главы 9 были изложены в работах [б], [7] и [5].

Автор выражает глубокую благодарность проф. С.В. Востокову за многочисленные полезные обсуждения результатов работы.

Обозначения и соглашения. Перечислим основные обозначения, которыми мы будем пользоваться в течении всей работы (некоторые из них уже были введены выше). К сожалению, в некоторых параграфах нам придется придать несколько иной смысл перечисленным ниже символам, однако это всегда будет явно оговорено.

Обычно L/N будет расширением степени d полных дискретно нормированных полей характеристики 0 с полем вычетов характеристики р (кроме глав 8, 9, где мы также рассматриваем равнохарактеристические полные дискретно нормированные поля характеристики р), е — абсолютным индексом ветвления L, Oi — его кольцом целых, Ш — его максимальным идеалом, тт — некоторой униформизующей L, L — полем вычетов L, v нормализованным нормированием на L, J = q = — s = [l°gp(^ri)]> ® кольцо целых N, N — поле вычетов N.

Кроме того, L часто будет содержать полное дискретно нормированное подполе К, [L : К] = п < оо, е' — индекс ветвления L/K (часто п будет равно е'), TV — след в L/K', ттк ~ некоторый униформизующий элемент Л", ~ кольцо целых К, Шк — максимальный идеал О к, к — его поле вычетов, ео — абсолютный индекс ветвления К, vo — нормализованное нормирование на К, продолженное также на K&Xg (алгебраическое замыкание К), ei — степень расширения LjKx, где K\j К — максимальное неразветвленное подрасширение в L/K, I = 2s + vp(e\) + 1,1' = s + vp(ei) + 1.

В случае, когда L/K — расширение Галуа, его группа Галуа будет обозначаться через

G.

Для m-вектора х = (xj) £ K&]gm обозначим через v(x) G Q минимум v{xi). e{Y/Z) будет обозначать индекс ветвления расширения полных дискретно нормированных полей Y/Z, £>z — кольцо целых Z.

Отметим, что в параграфах 8.1 и 8.6 поля L и К будут не дискретными; соответственно изменится определение v.

F будет обозначать формальный групповой закон над О к или Dl (далее — просто формальная группа). Везде, кроме параграфов 8.4 — 8.6, формальная группа F будет считаться коммутативной; она будет по умолчанию считаться m-мерной кроме тех параграфов, где рассматриваются только одномерные формальные группы

Для каждого а € Dl через Fa будет обозначаться формальный групповой закон a-1F(aX,aX), см. предложение 2.4.1 ниже.

X = (Xi) = Xi,., Xm, х — формальные переменные.

F — редукция F (по модулю п или 7г), \р = (АДА-)), 1 < г < ш — логарифм F.

Cart = Cartp(Di,) будет обозначать р-типическое кольцо Картье кольца Di (см. определение в пункте 1.2.1).

S будет обозначать редукцию схемы S, / — редукцию морфизма /.

Для m,l > 0 Mm(2l) будет обозначать кольцо матриц размера тпхтп над (возможно, некоммутативным) кольцом 21, Мтх;(21) — модуль матриц размера тп х I. Мы часто будем отождествлять элементы A/mx;(2l) с соответствующими им операторами из 21г в Шт. Im обозначает единичную матрицу размера m; ei — т-вектор (0,0,., 1,0,., 0) (1 находится на г'-ом месте).

Мы рассматриваем линейный оператор А, возводящий переменные в степень р, т.е. действующий на многочленах по правилу дсЕ0*-.'- П*?) = д(Еа^) =

Для Л 6 Л/т(21[[Д]]), коэффициенты матрицы А(Х) равны Кц = Су( Д', сщ 6 21, набор Л(Х) определяется как набор рядов А = (А;), 1 < г < тп, где A* = Yli<j<m ;>0 c^xf. Для элемента h(A) € L[[A]] определим его L-линейное действие на L[[x}], пользуясь формулой Д(/(х)) = f(x?) для / € L[[x}}.

Для h Е (Sl[[A]])m, коэффициенты h равны hi = J2i>o с*'Дг> си € 21, определим h(x) = (Ы(х)), 1 < i < m, где Л,-(ж) = ^2сцхр'. (3) о

Для г е Z величина г mod п будет обозначать остаток г по модулю п, т.е.

О < г mod п <п, г = (г mod n) mod п.

Во всей работе "схема" ("групповая схема") по умолчанию будет обозначать конечную плоскую коммутативную групповую р-схему (над Ох,)

Мы будем писать T<Y если групповая схема является замкнутой подгруппой схемы или р-делимой группы Y, при этом р-делимая группа рассматривается как инъективный предел групповых схем.

Для схем S, Т будем писать S С Т, если существует морфизм / : S —> Т, инъективный на общем слое. Обычно из контекста будет ясно, какой морфизм имеется в виду. Конечно же, отношение С транзитивно. Мы также будем говорить, что S — подсхема Т. Через CIt(S) будем обозначать либо замыкание подсхемы S в схеме Т (в категории плоских схем), либо замыкания подмодуля в модуле Картье (см. определение в пункте 5.1.1).

Напомним также определение двумерного поля и его кольца целых: для полного дискретно нормированного поля L' определим

•ВД{д}} = {Ea*Ai-G a« -0 при 1 - l'{{a}} = QpO^HiA}} ie z {^РагД1, ai e L', a,i —► 0 при i —* —oo, > с для некоторого с 6 Z}. ie z

1. Бондарко М.В. Явная классификация формальных групп над полными дискретно нормированными полями с несовершенным полем вычетов. // Труды Санкт-Петербургского Математического общества. 2005. т. 11. С. 1-3G.

2. Бондарко М.В. Классы изогенности формальных групп над полными дискретно нормированными полями с произвольным полем вычетов// Алгебра и Анализ. 2005. т. 17. вып. 6. С. 105 124.

3. Бондарко М.В. Общий слой конечных групповых схем; "конечный дикий" критерий хорошей редукции абелевых многообразий /'/' Известия Российской академии наук, серия математическая. 200G. т. 70. выи. 1. С. 21 52.

4. Бондарко М.В. Классификация конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно нормированных полей; касательное пространство и полустабн.тьная редукция абелевых многообразий// Алгебра и Анализ. 200G. т. 18. вып. 5. С. 72 98.

5. Бондарко М.В. Проблема Леопольдта для вполне разветвленных абелевых расширений полных дискретных нормированных нолей// Алгебра и Апатнз. 200G. т. 18. вып. 5. С. 99-129.

6. Bondarko M.V. Local Leopoldt's problem for rings of integers in abelian p-extensions of complete discrete valuation fields/'/ Documenta Math. 2000. volume 5. P. G57 G93.

7. Bondarko M.V. Links between associated additive Galois modnles and computation of IP for local formal group modnles/,/' The Journal of Number Theory. 2003. v. 101. P. 74-104.

8. Bondarko M.V. Cohomology of formal group moduli and deeply ramified extensions the Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2003. v. 135. P. 19-24.

9. Бондарко М.В. Наличие идемпотентов в кольце эндоморфизмов идсата р-расширения полного дискретно нормированного поля с полем вычетов характеристики р как модуля Галуа// Записки научных семинаров I10MII. 1999. т. 20"). С. 22-28.

10. Бондарко М.В., Востоков С.В. Явная классификация формальных групп над локальными нолями/ / Труды МИЛИ. 2003. т. 241. вып. 2. С. 43 67.

11. Бондарко М.В., Востоков С.В., Минчев X. Ограничение скаляров для формальных групп// Записки научных семинаров ПОМП. 319. 2004. С. 59 71.

12. Бондарко М.В. Востоков С.В. Лоренц Ф. Спаривание Гильберта для формальных групп над (Т-кольцами// Записки научных семинаров IIOMII. 313. 2001. С. 5-58.

13. Бондарко М.В., Востоков С.В., Жуков И.Б. Аддитивные модули Галуа ' Алгебра и Анализ. 1997. т. 9. вып. 4. С. 28-46.

14. S. Bosh, W. Lutkebohmert, М Raynoud. Xeron models. Springer-Yerlag. Berlin Heidelberg-Xew York, 1990. 315 pages.

15. Brenil C. Groupcs p-divisibles, groupes finis et modules filtrcs// Aim. of Math. 2002. vol. 152. no. 2. P. 489 549.

16. Coatcs J., Grecnberg R. Kummer theory for abelian varieties over local fields Inventories mathernaticae. 1996. v. 124. P. 129-17420| Conrad B. Finite group schemes over bases with low ramification,/ Compositio Mathematica. 1999. v. 119. P. 239-320.

17. Demazure M., Gabriel P. Groupes algebriques. Masson. Paris, 1970.22| Fesenko L On deeply ramified extensions : i J. London Math. Soc. 1998. vol. 57. iss. 2. P. 325 335

18. Fesenko I., Yostokov S. V. Local field and their extensions: A constructive approach, second edition. AMS, Providence, RI, 2001.

19. Fontaine J.M. Groupes p-divisibles sur les corps locaux// Asterisque. 1977. n. 17 48. Soc. Math. France, Paris.

20. Hazewinkel M. Formal groups and applications. Springer-Yerlag, Berlin- Heidelberg New York, 1978.

21. Honda T. On the theory of commutative formal groups// J. Math. Soc. .Japan. 1970. vol. 22. P. 213 246.

22. G. Laffaile, Construction de groupes /^divisible.?, Le cas de dimension ]. Asterisqiie 05. Soc. Math. France, Paris, 1979, 103-123.31| Lubin J., Tate J. T. Formal complex multiplication in local fields// Ann. of Math. 19G5. vol 81 (2), P. 380-387.

23. Mazur В., Tate J. Canonical height pairings via biextensions. In: Arithmetic and geometry, Vol. I, Progr. Math., 35, Birkhauser Boston, Boston, MA. 1983. P. 195 237.

24. Milne J. Arithmetic Duality Theorems. Boston, 1986.

25. Mumford D., Oort F. Deformations and liftings of finite, commutative group schemes Invent. Math. 1968. v. 5. P. 317-334.

26. Serre J.-P. Local fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Springer-Yerlag. 1997 Berlin- -Heidelberg-New York.

27. Silverberg A., Zarhin, Yu. G. Reduction of abelian varieties//' The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), NATO Sci. Ser. С Math. Phys. Sci. 548. 2000. P. 495-513.

28. Tate J. p-divisible groups//' Proc. Conf. Local Fields (Driebergen. 19CG) P. 158 183 Springer, Berlin, 1967.113| В. E. Воскресенский, Алгебраические торы. Наука. 1977. 224 стр.