Точно-равномерно корректная разрешимость начально-краевых задач для уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

\

л

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи КОСТИН Владимир Алексеевич

ТОЧНО-РАВНОМЕРНО КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев — 1994

Диссертация есть рукопись

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Официальные сшпонэнты: доктор фязико-математических наук, профессор ЗВДЕШШ О.Л., дактор фгзико-матемзтическкх наук, профессор РЕШЖОВ В.Д., доктор фггзико-математичвских наук, КОЧУБЕИ А.Н.

Ведущая организация: Киевский политехнический институт

Защита диссертации состоится *___" .. _ 1994 г.

в ' часов на заседании специализированного совета Д016.50.02 ш Институте математики НАН Украины по адресу: 252601 Киэв-4,ГШ, ул. геращенковская, 2.

с диссертацией можно ознакомиться в библиотека института.

Автореферат разослан "_" " __ 1ЭЭ4 г.

. Учений секретарь специализированного совета, доктор фаз.- мат. наук

ЛУЧКА АЛО.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТУ

Актуальность теми. В 1938 год/ Петровским И.Г. йыла поставлена слелуоная задача.

Пусть - ос .асть а иС^.Т]«!^ для и[0,Т] и *е£>. рассмотрим задачу Коши

atm ' ш

а ц at*

■fc-O ' (2)

где í^j (Х>) = 2И ^ I^n • • ¿-к, - иультииндекс

Щ^Сч «¿u С.Р)

( р - достаточно большое), коэффициента Q - Постоянные Р

íi^LcM^^T^^^i^T^i n ^ítp. о)

■ Р к=£>

Задача (1)-(2) поставлена корректно по АДамар/, веян Ш каждой системы (Ч) на £2 решение UlCi, этой задачи ¿у'цбстйу-sí и найдутся такие чиола Z^t á р » чтй tipil íasítatt -fcéjjb.Ti ВМЙлнйетсв неравенство

¡¡аадМИЕМ.? . • (4) "

Koiieíaníra М нойет завив en йивь ó¥ Т .

Й.Г.Петровский ставится вопрос б наимеиьвем $ ri нррйзэист-яй (í)) При заданном t ^

В случае (S| = m=2 . 1-0 ответ

Kfl •

следует из результатов Соболева C.Ji. (Í938 г.).

Важным классом уравнений (I) являются те уравнения, для которых задача Коши равномерно корректна при 1 . Такие задачи будем называть точно равномерно корректными (ТРК) или ТРК разре« иимыми.

Из (5) следует, что ТРК разрешимая задача Кови приМ-*п®Е* О может быть лишь при rv* \

Хорошо известно, что при tn= 1 1Ы разрешимость задачи (I)-(2) имеет место, если f^ ^D) - эллиптический оператор.

Из результатов М.Совы, С.Куреппа, Г.Фатторини следует, что для тз^З задача (1)~(2) ТРК разрешима ^огда и только тогда, когда N =■ Ó .

Оставался открытым вопрос о существовании операторов при , п > 1 . длй которых бадача Еоши ТРК разрешима в про-

стванствах с метрикой,отличной от Lg (например, в ).

Этот вопрос перешел в одну из проблем, связанней с абстрактной косйнус-функциея (К0$) после работ Э.Хилле (1948 г.), C.Jtypehntí (1958 г.), М.Совы (1968 г»), Г,$атторйни (1969 Г.), С.Г.Креййа (Í967 г.),начавши* изучать С помодьй абстрактных специальных функций, ■(полугруппы» К0$» функций Митт&Ч - Леффлера) ТРК разрешимые задач« Коши для дифференциального уравнения

сГш)

сЦт

где А - линейный оператор, действующий s некотором банаховом пространстве, СП-<■> 2-,. ■ •

При отом получены следующие результаты: задача Копи для уравнения (6) ТРК разрешима в банаховом пространстве В • воли:

а) ГПв-< , А - генератор Со - полугруппы;

б) ГП=2 . Д - генератор КОФ ;

в) Ш^З » Д - ограниченный оператор.

В овйзи с этим весьма важным стаЛ вопрос о критериях генератора соответствующей абстрактной функции. /

В случае С0 - полугруппы ответ дает теорбма Хилле - Иосиды » #иллипса - Феллера - Миадеры (ХЙФФМ), в которой основным уолови-ен является оценка на степени резольвенты оператора Д

1(Л\1А)ИИ(Х-соу1Л (Х>со), (7)

Конб*анта не зависит от

Отсйда следует довольно просто проверяемое достаточное условие генератора С0 - полугруппы

ев)

В случае КОФ ймаигместо теорема Совы - Куреппа - Фатторини (Ш), аналогичная теореме ХИ#ФМ, в которой (?) заменяется услойи-ей ,

, М - конотанта,не зависядая от И. . Однако (9) значительно лроиграьаог условие (7) с точки зрения его проверки. И здесь нет хооово проверяемых достаточных условия , типа (8). Одним из наиболее часто примбняемых условий является

условие: Д"^ - генератор сильно непрерывной группы Tot^éR*, При этом для КОФ справедливо представление

Этот критерии использовался в теоретических исследованиях Г.$ат-торини, С.Тревиса, Х.Вебба, С.Г.Крейна, Однако основной "недостаток этого критерия следует из одной теоремы Л.Хермандера. позволявшей утверждать, Что из всех дифференциальных операторов F^ (Ф) генераторам И0$ s {ар(р?.|)р*^обладавщим свойством (10), является только одномерный оператор

Таким образом сложилось впечатление, что не суиествубт многомерных дифференциальных операторов . являвиихся генераторами КОФ в Lp ( РМ Р* <0 •

В связи с этим в 1970 г. С.Г.Крейном били сформулированы следуваде проблемы, связанные с сильно непрерывной КОФ:

Супествувт лй многомерные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами,являющиеся генераторами К0$ в пространствах Lp (ргИ , )> в частности, в пространствах с равномерной метрикой?

2). Попытаться найти критерий генератора Н0#, содержащий лишь конечнбе число проверяемых условий, в отличив от (10), где число таких условий бесконечно.

3), Получить достаточное условиё генератора К0$ не в терминах квадратного корня оператора.

Наряду с задачей Кови, другой класс классических задач для

уравнения Au . при H t°)TÎ составляпт краевые задачи.

<Lï*

Корректной разрешимости таких задач посвящены многочисленные исследования СЛ'.Крейна, П.Е.Соболевского, М.Л.Горбачука и их учеников,

а такие й.К.Борок, И.В.Мельниковои.

Вместе о тем основополагающие работы М.В.Келдыша (1951 г.), В.$8ллера (1952 г.), С.Г.Михлина ^1954 г.). А.Д.йентцеля (1956 г.) положили начало исследовании вырождающихся дифференциальных уравнений и, в частнос. изучению оператора

еда« аЛж'ш^^Ф+сша) (и)

о точки зрения постановки "граничных" условий в зависимости от степени вырождения коэффициентов.

Фундаментальные результаты в этом направлении получены В.П.Глушкг Он также рассмотрел коэрцитивную разрешимость краевых з_дач, связанных с абстрактным дифференциальным уравнением

где Д - линейныи оператор, деиатвуощии в гильбертовом пространстве.

Аналогичные вопросы; для уравнения (12), рассмотренного в банаховом пространстве со специальным порядком вырождения коэффициента Л (■(:) , изучались в работах П.¡В.Соболевском и его учеников.

Цель работы. Решить указанные выше проблемы, связанный в сильно непрерывной косинус » функцией, й, кап следствие, получить ответ на вопрос И.Г.ПеТровскоЬэ в весьма важном Ил« теории и прило-иений случае = О . '

Изучить ТРИ разрешимость краевых задач, связанны* о уравнений» (12) при Маивайоё слабых ограничения)! на ппчрчтпр А . .Действуя*!»* & Санахбйом пространстве 1

йсслеловпть сройотвя гляпкости региений ео&тйетстАуийй* Гочяс равномерно корректна* задач.

Методика « с 6 л м и » » м. 8 работе мшоДиуггсл

£

методы функционального анализа, обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных; методы комплексного анализа, в чаотнос-ти,метод абстрактного преобразования Лапласа.

Конечно разностные методы и метод мульти - аддитивных неравенств типа Ландау - Адамара - Колмогорова.

Метод регуляризации некорректных задач в соответствии с теорией А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Б.К.Иванова.

Научная новизна. Бее результаты, полученные в диссертации,новые.

1. Решена, приведенная выше, проблема сильно непрерывной КОФ. В овяэи с этим получены: а) новый критерий генератора К0$;

б) новый критерий генератора аналитической полугруппы, более естественный с точки зрения приложений и теоретических исследований по сравнению с классическим критерием Иосиды -Соломяка; в) удобные в приложениях достаточные условия генератора КОФ и аналитических полугрупп для широкого класса дифференциальных операторов;

г) найден алгоритм построения генераторов КОФ,соответствующих многомерным дифференциальным операторам с постоянными коэффициентами в пространствах с равномерной метрикой. Тем самым в одном важном частном случае дан ответ на проблему И.Г.Петровского;

д) применяемый здесь метод регуляризации некорректных задач с помоиь» Со - полугрупп позволил исследовать ТРК разрешимость задачи Шзши длЦ абстрактного уравнения с дробныни прбизводными и получить необходимые и достаточные, а такх(е легко проверяемые достаточные условия такой разрешимости.

2. Доказана ТРК разрешимость соответствующих краевых задач для уравнения (12), где оператор (к является генератором Со -полугруппы, а коэффициенты оператора üj имеет порядок вырождения,

изученный М.Ь.Келдышем и Б.П.Глушко.

3. Получены оценки производных решений приведенных ваше задач,- о помощью доказанных здесь мульти - аддитивных неравенств, обобщающих неравенства Коши - Адамара - Колмогорова, Гальперина -фон Неймана, Бреаис - Розенкранца - Зингера.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты работы носят как теоретический так и прикладном характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследовании корректной разрешимости начально- краевых задач для уравнений различных типов,

Вместе о тем методы доказательств, применяемые здесь (метод регуляризации, конечно-разностный метод)тносят конструктивный характер и позволяот строить алгоритмы приближенного решения исследуемых задач. Отметим, что точно равномерно корректные задачи не требуют повышений гладкости начальных данных в зависимости от слоя при доказательстве сходимости соответствующих разностных схем.

Аппробация работы. Результаты работы систематически обсуждались на научных семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского госуниверситета (рук. проф. П.Е.иоболевский), неоднократно на семинаре под руководством С.Г.Креина (Воронежский Ш1), на семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте мате-зтики и механики ЗГ7 (рук.Ироф. С.В.Позорный), на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных ВГУ (руководители проф.Й.А.Киприянйв и проф^В.З.Мешков), на семинаре по дифференциальным уравнениям (Воронежский по-* литехническии институт, рук.проф. В.Д.Репиикоь), на семинаре под руко.вйдством проф. Я.Б.РутицкОГо (Воронежская строительная акаде-чип), на сенянпре под руководством М. Л. Горбачу к а 9 Кч^вомм инсти-

туте математики Укр. АН.

Результаты работы докладывались на международных конференциях; по дифференциальным уравнениям и их приложениям (г.Русе,Болгария, 1981 г.)« по дифференциальным и интегральным уравнениям (Самара, 1992 г.). Во Всесовэных математических школах: Воронежская зимняя математическая школа (1957-1994 гг), Х1У школа по теории операторов (Новгород, 1989 г,), ХУ школа по теории операторов (Ульяновск, 1990 г), 1У Крымская Осенняя математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (п.Ласпи, 1993 г).

Основные результаты диссертации обсуждались с ведущими специалистами в области операторных уравнения и их приложений профессорами Дж. Да Лрато (Нормальная школа, г.Пиза, Италия), Дж.Голстейн (Университет, Новый Орлеан, США)»

П у бликации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-19] .В диссертационную работу включены только те резулбтати, которые принадлежат лично автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти-глав и списка литературы. Она изложена на 230 страницах машинописного текста. Список литературы включает X 1 название.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана формулировка задач, решаемых в диссертации (задача И.Г.Петровского, проблема косинус - функции и др.). И дян обзор работ, содержащих результаты, полученные в этом направлении к настоящему времени.

0 первой главе для дифференциального выражения, которое будем

называть оператором Келдыша - Фаллера,

^шН - а да и +& т и1 МЛ + С & и , из)

где а. , 6(4:) , С С4") -достаточно гладкие функции для допускающие обращение в ноль или бесконечность на концах интервала (о,с**) и щ-^) З-О .устанавливаются в нормах неравенства вида

•^вг^А^'к + Фоъ!^!* (14)

Здесь функции строятся по ког" {шциен-

таи О.(4.) , , С(4:) , а к - параметр (вообще говоря, произ-

вольный), -£., и ~ некоторые линейные функционалы. При этом рассматриваются два случая:

1) т, • если суч0йтвует ^р» - оо , такое, что выполняется

неравенство Д*я всех 4е(о,оо) ;

а«) П

2) Т- , если существует , такое( что _—. ¿.ко.

) а Ш в каждом из этих случаев оператору ставится в соответствие

функция каМ+ЗШв случае -Цб Т+ иТМ«

= • о случае•

В частности, если ¡л? - , - >

неравенство (15) имеет вид

йичигкшн-г (Ькв).

3 одном важном случае, когда

= (17)

о) . Функции и ф, (К) вычисляются явно и после

минимизации по параметр/ Н из неравенств (14),(15) следуют мультипликативные неравенства вида:

ничц^^г п е^ий^ (19)

с известными параметрами И», Мг , •

В § 5 обсуждается вопрос о точности этих неравенств. Ответ на который содержится в следующих теоремах;

Обозначим через класс функции и таких, что

И€ Л? , Що)аО. ' Теорема I» Для того, чтобы функция из класса

Удовлетворяла неравенству (18), необходимо и достаточно чтобы с^^тулах Ср^-г! . +

У; " ? "

*■ 1 р

Теорема 2. Для того, чтобы функция И^У/р^ удовлетворяла неравенству (19) при с^юо , , необходимо ч ¡юста^чно, чтобы

Л- ■ ' р

. : ^ т ~ г •

Для<*=1 , , £>0 , р = "у. = с^ =. Брезисом, Розен-

српнием и Зингером получено неравенство

2 II

6

Отметим, что из (19) в атом случае следует точное неравенство

и ¡' < ¡3 лемме 2.5.4 доказана неулучшаемость константы

£

± а

ь ' ! р

Заметим также, что если коэффициенты а операторе -Ц такие, что 1 » а и С(4) ограничены, то неравенство (15)

уточняет теорему Гальперина - фон Неймана, в которой лишь констатирует принадлежность функции пространству Ьсу 5 Шч^р,-?))! но не указывается х алифицированная оценка.

Неравенства типа (1<0» (15) используется в диссертации в трех нилравлениях:

1. Исследуются свойства гладкости решений, соответствующих задач для уравнений, содержащих оператор Келдыша - Феллвра.

2. Эти неравенства позволяет определить операторы, подчиненные в смысле Т.Като оператору Келдыша - Феллера, что являет!. I важным

в теории возмущений линейных операторов.

3. Они являются основными при установлении аппроксимационных овойств, соответствующих разностных схем в главе 5.

В 1952 году В.Феллер, используя теория полугрупп, исследовал параболическое уравнение

Эх2- Зх

^о - ^ - 'г, х оо

с точки зрения существования и единственности его решения, удовжэ.т-воряюцего начальному условии

Диалогичные вопросы были рассмотрены и А.Л.ВенТцелей. Этими авторамп били указаны наиболее общие дополнительные условия,при которых дифференциальное выражение =<1Мц;!{х")-гё(х>и.'(х) порож-. д&сг генератор С„~ полугруппы в пространствах С*,,-?^ и, лле-

довательно, задача (20)-(2I) ТРК разрешима в пространствах •

Однако, свойства гладкости соответствувщих решений этими авторами не изучались.

Впервые, для частного случая 9И»=х, , &>0

о . ^ = Х.Брезис, В.Розашсранц и В.Зингер изучили свойства дифференцируемости решения задачи (20)-(21), с целью приложения с исследовании диффузионных процессов.

Во второй главе диссертации о помощью результатов, полученных в первой главе, устанавливаются неравенства для норм производных решения задачи Коши в случае ) • Результаты получены путем изучения сначала свойств решений стационарного уравнения

QWu'M + fc(x)uM - \uix)=f м , (22)

а затем применяется Теорема ХИФФМ о существовании С0 полугруппы. Для уравнения (22) получены следующие теоремы. Теорема 3. Если • т0 уравнение (22) при любом

имеет однопараметрическое семейство решений Ufe^' и для того, чтобы какое-либо из них удовлетворяло неравенствам

IIUll - "JiL , (23)

A

л

необходимо и достаточно, чтобы |К(о)}й .

Т е о р 6 м а 4. Если Т+ и ■ Jfil е" '(*«> *(«>,">)) и

4-икгирсвано, то уравнение (22) имеет единственное решение U€ip ч аля него справедливы неравенства (23),(24).

Теорема 5. Пусть - область значений функции

тогда,если в условиях теоремы 4 А!^ I (о.х,Л » уравнение

7

(22). имеет однопараметрическое семейство решений

Пусть А 5 - оператор, определенный дифференциальным выражением и область» пределения $(АО , состоящей из функций ^(х*) , обладающих свойствами

тогда справедлива ^

Теорема 6. Если СТ+ , = ¡-4 ——

то задача (20)-(21) имеет единственное решение оо следующими свойствами;

а) УН) - а

полугруппа^

б) *ир I иа,х)| ^ ехр(Со1г) 11^11,

X ¿(о,о»)

со-

, о) » воли о ^ ,

Т е о р е м а 7. Если и оператор Д определен

дифференциальным выражение). и областью определения 5ШЬ(и: иеЯЗЛиб©, ^ 1

5«-» СЧ -1 '•

.то задача

Х-у о

(20)-(21) имеет единственное решение, представимое в виде

и ({,*)- иш^сх), (г5)

г до - сжимающая Со - полугруппа. При этом

Теорема в. Если и = К^Л0^

\ » »о эадача (20)-(21) имеет единственное

решение

о и для него справедливо представление (25) и неравенство (26).

Применяя полученные результаты в § 5 гл.2, исследуются свойства гладкости решения задачи Коти для дифференциального уравнения

(20) в случае, когда

4 Эх •> (27)

Лр» этом нам потребуются пространства

Х.Брезио. В.Розенкранц и Б.Зингер показали, что при

1 , то А , заданный дифференциальным выражением (27), является генератором сжимавшей Со полугруппы относительно нормы || | Ц^ , т.е. Ц (Ж^Ц,^ и из этих оценок выводились свойства дифференцируемости решения задачи (20)-

(21). . • ' ' Злеоь основной является

Теорема 9. Д - есть генератор сильно непрерывной орнмячщей полугруппы ^({У. С областью определения

tim , Üm^WrO, o<cl im i плотной в .

*"*°1оли . — <J(>0 ость единственное

речение задачи (20)-(21) со следующими свойствами:

о *

iNA I ОХ '

Ъор

Наконец, если ^еЗ™ и O+^V^^V^ß »

такое, что

J н

«suP —

3*'

У^О

Иссле эвание гладкости ограниченного реаения задачи

61 ~ ах1 эх

. . (29)

Здесь . 16(0,0^

Уравнения вида (28) рассматривались 0.Стоуном (1961 г). •

Очевидно, что в случае £>р , и £ Ь^О^)

и,кроме того, Т.(к) «(—)

Следовательно, по теореме Ч задача (28)-(29) имеет единственное ограниченное при каждом решение. Оно представимо в

1ь

виде , где 0(1} - сжимающая в 53 полугруппа и, кроив того. _

<9 х » • - ■ •

Кроме того, справедлива следующая теорема, обобщающая теорему Х.Браэиса, В.Розенкранца и В.Зингера.

Теорема 10. Если функция такая, что

«Л ^

, то для единственного решения задачи (28)~(29) справедливы оценки

о к

Центральными главами диссертации являются третья и четвертая. Третья глава содержит новый критерий генератора аналитической полугруппы,отличный от классического критерия Соломяка - Иосчды. и который оказывается более естественным, как о точки зрения приложений к исследованию конкретных операторов, так и при применении теории аналитических полугрупп к решению проблемы косинусной функции, основной в настоящей работе.

В третьей главе основной является

Теорема .II. Для того, чтобы замкнутый оператор Д был

генератором аналитической полугруппы в банаховом пространстве необходимо и достаточно, чтобы 9НД) = в и существовали такие числа М , СО и ¿>1 , что для всех X'. РеХ^со выполняет-

ся нэраэенство

При отом для полугруппы

ис*) в секторе

З^аИМ^МИ*^ (я)

(Оиьо <1-1 п

Здеоь контур состоит из / " 1

справедливо представление

(32)

Гад

ОМ»!. £

Следувщоя теорема содержит достаточные условия генератора аналитической полугруппы и является полезной в приложениях.

Цусть ^ С - ограниченная или неограниченная область, а

С£)= {?(*): {м € *&<&), } ,

Предположим, что Д - линейный опер&тор такой, что является его собственной функцией, т.е.

, причем 1

Кроме того, будем предполагать, что для всех V. (?еХ"><Ц,>о и справедливо представление для резольвенты

а ■

тогда справедлива

Георема 12. Бели для ядра в (33) выполня-

ется неравенство ^

при некоторых Г^ и не зависящих от Ч , Э , X , то для выпрлняется неравенство (30) в нормах пространств .

Анализируя ход доказательства этой теоремы, легко получить следупцее

Следствие I. Если оператор А удовлетворяет условиям теоремы Ми Дв- некоторый линейный оператор, подчиненный оператору Д в ток смысле, что для его резольвен-

ты справедливо представление (33) и для ядра }<(д выполня-

ется неравенство • .

то справедлива оценка ^

где и ^ - соответствующие собственная функция и собствен-

ное число оператора Д .

Из теорем 10,11 н следствия I следует Т е о р е м а 13. Если выполнены условия следствия I и ЙСАО-^З С51) ' то опеРатоР А« являэтея генерятарем аналитической полугруппы 0(зГ)в С£2.) » пРиче» ^ тия-атой полугруппы.

В параграфе 2 третьей главы содержатся различимо ионхротныр-примеры генераторов аналитических полугрупп, демонстрирующие прилс-

жеиия приведенных теорем.

Следующий пример содержит положительный ответ на вопрос профессора Да Прато.

Пример I. Пусть = , • Оператор

Д задается дифференциальным выражением Лагранжа =

^-¿Л-х*)^^ " областьо определения ^СА)=[и: иеЗЗДие^].

Оказывается, что так заданный оператор Д является генератором аналитической полугруппы.

Пример 2 .В этом примере для оператора Штурма - Лиувил-ля и'м + сЦх^Ц.ОО , Х<^ . доказывается оледуюиая

Теорема 14. Для того, чтобы оператор Д.-: сил ГёНёрагором аналитической полугруппы в ^((У), достаточно, а в олучао, 4-00 и необходимо, чтобы » где

пространство Степанова о нормой Ца |] - вир ^ | Ч.(х)\с|)с .

а

В третьем параграфе для £2. исследуется оператор Д,

заданный дифференциалышм выражением (13) при следующих условиях а коэффициенты, введенные Н.Л.Келдышон и детально исследованные В.П.Глушко.

.Условие . Если при некотором п^ выполняется неравенство ■б(о')+ (ип-1) а'(о) ¿о , то Рк удовлетворяет условию i) • {

Условие Е Если 0.(о)>0- , то г удовлетворяет условию £ .

Обозначим через ' оператор', определенный дифференциаль-

ным выражением -(¡*Ц(>.\ удовлетворяющим условно и областью

определения

-О^ФСгс.п"), иеЗМ, ^ЦМ-вУ Го), '

С^ - оператор, определенный дифференциальным выражением ^иЦ удовлетворяющим условно Е , и областью определения

<£>(<?,•) = (и Н*: ехЦ € В (to.il), и € £>(со,<), 6 щл)+0и!(1) = о £>г+©г>о, ^о^

Таким образом, а определении оператора участвуют два граничных условия, а в определении - одно.

О л и Рг бУДем называть операторами Келдыша.

Из результатов В.Феллера и А.Д.Вентцеля следует, что операторы Ол и являютоя генераторами С> полугруппы в пространствах ^(Со.о),

В диссертаций этот результат усиливается в следующей теореме.

Теорема 15. Пусть - оператор Келдыша, если <2(х] , & Сои!^ » 70 0 является генератором анали-

тической полугруппы 13 0 полуплоскости | [ ¿г .

Глава Ч посвящена сешению проблемы косинуоной функции и связанной с ней задачей И.Г.Петровского. __

Пусть ^ - одно из множеств: или Щ и 6 -

банахово пространство.

Семейство ОС^ ограниченных в Ё> линейных операторов называется сильно непрерывной косинус - функцией (КОФ), если оно удовлетворяет условиям:

• I. -иеЗ.

г. Сс<о= I

( I - тождественный оператор),

3. (^С-^Х сильно непрерыйна по 4: при любом фиксирован-нои к € & •

Производящим оператором (генератором) КОФ называется линейный оператор Д определенный как сильный предел, разности:

21

ССскы> -1-= Ах.

А замкнут и ^СА}^ Ь-Рассмотрим функции Эрмкта Ц.^ с первым отрицательным

индексом, Н-у^^Н'

где ^

"Р о

- интеграл вероятности, можно считать, что интегрирование ведется вдоль отрезка прямой, соединявшей точки О и 9Ь •

ф(г>1 является целой функцией, а (-ЦС^. при Л>о -преобразование Лапласа функции

г

Для функцнл комплексного переменного Г со значениями

в введем интеграл

'ТЛО "1 € 3 » который будем называть Н<ъ . - преобразова нием функции •

Пусть А - линейный оператор, действующий в 2> и такой, что для всех X'. >0 существует резольвента

Я(хг)Д~)=(АЛ2Л \ тогда справедлива

Теорема 15 (основная). Дяя того, чтобы оператор Д был производящим оператором КОФ, необходимо и достаточно, чтобы он был

производящим оператором аналитической пол/группы и при каждом ^ для й-х - преобразования резольвенты выполнялась оценка

й^анмимш, (34)

равномерная по ("&>£)

При атом для функции справедливо представление

г* [и-^од + н^ЗШ, если

. Здесь предел понимается в сильном смысле. Следующие результаты является результатом применения теоремы 15.

Теорема 17. Оператор Штурма - Лиувилля, рассмотренный в примере 2,является генератором КОФ тогда и только тогда, когда выполнены условия теоремы 13.

Теорема Оператор Бесселя, заданный дифференциальным выражением = и"(у)+- 55. и' И областью определения '^(А^-^^й'ЙоЛб^^цС 'ЗЬо}, является генератором К0$ при о £ а < А и не является таковым при а >, 1 .

Последняя теорема применяется к исследованию ТРК разрешимости задачи Коыи для гиперболических уравнений Трккоми о начальными данными не на линии параболического вырождения

(35)

ч^^Ъ^Ь , (36)

При этом (35) является уравнением первого рода, а (36) уравнением второго рода, причем для (36) прямая ^=.0 является характеристикой.

Для уравнений (35), (36) хорош изучена задача Коей о начальными данными на линии вырождения (см^например, монографии Смирнова И.И. по уравнениям смешанного типа).

Здесь исследуется ТРК разрешимость задачи Коои, когда данные Коши задастся на прямой Х—0 .

Исследования проводятся по следувдей схеме: уравнения (35),

(36) рассматриваются как абстрактные уравнения второго порядка «и

- - Ди в пространстве непрерывных и ограниченных „на £©,*>") фугас-

ций с равномерной метрикой, далее применяется полученные здесь результаты для КОФ.

Теорема 19. Бола в уравнении (34) , то задача

Коши ТРК разрешима; еоли ууи-2 » 70 задача Коши не ТРК разре-оима.

Т е о ч о к а 20. Если в уравнении (34) выполнено условие

гч ^ 2<1-0-М)пг ^ ^ , то задача Коши ТРК разрешима, если 2-гл.

, ( Т0 соответствующая задача Койй не ТРК раз-

2-го. " ревима.

В пятом параграфе четвертой глава для операторов, рассмотренных в теореме II,доказывается

Теорема 17. Если для ядра ((<Сч,"5./V) в С33) "Ри выполняется условие

то имеет место неравенство (34).

В качестве приложения теоремы 17 в шестом параграфе приводится пример многомерного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, порождающего КОФ в Т3( 2*") .

Л Л ^ —

Ц/сть К и А - оператор Лапласа » 0П~

ределенный в по Соболевскому П.6., когда в качестве

области определения ^ СА^ берется множество значений оператора ЯМ^ЧА-^У^ д-«я пробегающих вое фи"),

Теорема 21. Оператор А , заданный как нечетные степени ) оператора Лапласа в ^ЪСй*)^ является генератором К0§ тогда и только тогда, когда

Следующая теорема, которая доказывается в оедьмом параграфе четвертой главы, позволяет строить генераторы КОФ и судить о богатстве класса этих операторов.

Теорема 22. Если А - генератор К0§ в 5 I *о всякий операторный многочлен

р (А^дПЁе.А*

также является генератором КОФ в В <

Теорема 22 являемся аналогом теоремы Паке, утверждающей, Что если А " генератор аналитической в правой полуплбскоем полугруппы У в банаховой пространстве, то тёкув же полугруппу порождает оператор (-О^'Д'+^В«!А^ прИ лсбых линейных и ограниченных в операторах .

Однако, в отличив от теоремы Лаке, утверждений *ёорёмы 22 неверно в случае четного н . что показывается в работе о помощью примера.

Используя метод регуляризации контурного интеграла, нричбнимнй йййе Для построения КО4, в восьмом параграфе исследуется тецм-

равномерно корректная разрешимость задачи Кран для уравнений в дробными производными в смысле Лиувилля.

№

(за)

где Д - линейный замкнутый оператор о 90 ("А ) - ,

IЦ I ^ h-A-1

(а-ъ) utsWs, Г M о

К=-[-<13, h-WeA-cn,

Для целых dis» 2 задачу (37)-(38) рассматривал П.А.Кири-чук о учетом порядка роста решения на бесконечности. В этой случае для равномерной корректности отой задачи необходимо и достаточна, чтобы А был генератором функция Ниттвг - Леффле-ра с параметре J. .

В случае дробных регуляризованных производных в.смысле Лиувилля задача Коши рассматривалась А»Н,Кочубеем в связи о диффузионными процессами*

Здесь доказывается оледувцая

Теорема 23. Для того, чтобы задача (3^)-(Э8) была ТРЙ разрешима,необходимо и достаточно, чтобы существовали такие чиола -д , , что для всех V. R<=\>tO >-о резольвента оператора А удовлетворяла неравенствам

(IЙ (АЛ) Il * M (-j^y (h\fX [ VA-toi'1,

Тек же, как и а случае аналитических полугрупп и КОФ справедлива

Теорема 24. Дусть для Д выполнены условия теоремы 12} у тогда для тоей, чтобы задача Коли (37)-(38) была точно корректно / разрешима в нормах пространств , достаточно, чтобы

выполнялось условие Щ Й^Х""'О,

Пользуясь полученными результатами, тактиекак в случае КО} для нечетных степеней оперг-ора Лапласа в доказываются

теоремы: ,

■ А а

• Теорема 25. Если О-^^.иД^Д - нечетная степень оператора Лапласа в « То задача

Кови (37)-(Э8) ТРК разрешима при лвбых уп .и Л. ■

Теорема 26. Если в условиях теоремы 25 ^¿¿Й , то задача Ковш (Э7)-(36) ТРК разрешима тогда и только тогда, когда выполнено неравенство (Н-и) ;£

В пятой главе рассматривается дифференциальное уравнение

(39)

где оператор Келдыша, Д - генератор Со Полугрупп»

в 5 * 46 3 » ^ " 0*ян мй интервалов (0,1) или (0, ее ),

Определение!, функция иЦ? С чазиваетйя

обобщенным решением уравнания (39), е'сли

I) , 2) О^кЗМВ^Х

3) «З&СА") • для

она удовлетворяет урЬоне-

ний (39) а интервале ^ .

Рассмотрим следующие краевые задачи:

I. 'Ь(ои). ■

АиЛ^О, (42)

В, чйЬэ^и'ео^, ч^В, (иол).

Определение 2. Краевая задача (40)-(41) (соответственно (42)-(43) ) называется ТРК разрешимой,если для любых Ч\ Ц^б- & существует единственное обобщенное решение этой задачи, непрерывно зависящее от Ц5 и ^ в нормах пространсТва & .

Теорема 27. Пусть наименьшее из чисел ср, для которых выполняется оценка на резольвенту оператора ;

11 (^Х-^)"1 • « ОЬ - тип полугруппу генератором.

ко»орой я ляется оператор Д { тогда, если СО+<|о^О , то Задача (40)-(<а) ТРК разрешима и ее решение -цС^А) обладает следующими свойствами: . •

а) И^Д^ ЗД)*, • " сШно "бпреравное семейство линейных ограниченных операто{зой, причем'справедлива оценка || $ г«е - реаеннз задачи (40)-(41) При Д = ,

б) для справедлива ¿ценна

,Ц£и'!!) - МЦ«ги))(!и|'|| + ИМИ);

в) для сС>-г (5 справедливо .представление '

(41)

где

V. ь. •>

№

"лонаная" интерполирующая сеточное решение иц задачи (ад)-^!) на интервале (О.Гу. ^ р ^ При этом справедливо представление 1Л;- (V) ——---

где многочлены (\Л образуют ортогональную систему.

Аналогичная теорема имеет место для задачи (^-ЙЭ), а также для случая

П. , который рассмотрен в последнем седьмой параграфа

пя<ой главы. Здесь исследуются задачи

С^-ЬШГН- А\1(4) = 0, (кк)

+ АиСЪ =с>, (45)

ЪиЧоНвиСо^Ч1,- ^

Если Д порождает полугруппу

, кмевщ^ТЬ тип

СОд<; О • т0 справедливы теоремы I ,

Теорема 2Й. Пусть С^ЙЛ £ Ц и выполняется ублбвие £ - Келдаша', тогда единственны« резней 1»'АК^Сб, уравнения (<й) является иИ^ёф »

Т а о р з и в 29. Пусхь Х- и наполняется услонаэ

тогда задача (45) - (4S) TER разреши.

0ТМЭТ2М, ЧТО ШЕ9Д9ИКЭ рвЗбКИЙ ЭВ0ЛЩ20НННХ урЗВЕБШй • 323

бэсконечности и , в частности, ратаннэ задачи Дкрпхлэ яла

даф$ярвтщвльна-отаратарного уравната второго порядка вв полуоса

изучалась В.Ы.Горбачукам. ,

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДЙССЕРТАЦЙЙ СШВЛШВШ В ШВДУЩЙХ

РАБОТАХ:

1. Костин В.А. Пространства Lp>tp и вволшцконныэ ypas; шя // Дифференциальные уравнения.- 1SS9.-5, H S.- О. 1406-1414.

3. Костин В.А. О точносга накоторых сцэнок // Тр. НИШ ВГУ.-Воронеа, 1S71.-G. 75-81.

3. Ностш В.А. Об одном вволндазнном уравнении с шроздешэм // Дпф&зренцгальвыа урэанвния.- 1974.-Ю, я 9.- О. 1607-1515.

4. Костин В.А. О гладкости реаэнкЭ некоторых уршзэнна параболического типа. I// Диффэрзнцталкнга урзЕнэвал.- 1976. -12. Н 8.- 0. 1495-1 SOS.

5. Костин В.А. О гладкости рзпэннй шкоторзх . уравнений параболического типа.и// ДЕфферэнциальвыэ ураннэЕля.- 1976. -12. S 9.- 0. 1619-1624.

6. Костан В.А. О тладкостя; решений некоторкх ■ ургвшнвЗ азра-бапичаского типа, иг// Диф$эренцкалшгэ урзввэЕяа.- 1976. -12. Я 11.- С. 2097-2100.

7. Костин В.А. Об одной неравенство ДЛЯ ОСШШОЕЗЕЕОГО даффэренгщвльного оператора второго порядка // Иэтодн решения одараторшх уравнений.- Воронэз. ЕГО1, 1978,- с.82-87.

8. Коотда В.А. 0 некоторых неравенствах для обшшдаангого дефферэнциалшого оператора второго порядка.- Воронам. -1960. - 28с. - Дал. В ВИНИТИ, 15.Х1.80, Н 1264-80.

9. Костин В.А. Обобаднныэ полиномы Чвбыивва от оператора и ш. применение к исследовании разностных схеи. - вороша. - 1SS0 - 26с. - Дга. В ВИНОТ, 4.3.80, И 4684-Ш.

Ю. Костин В.А.0 ровэшй пврвоа краевой задачи дая урашанпз второго порядка в банаховой проотр в кствэ //иэздувнродаая конференция го даИйрэнттвльвым уравнениям в вх ярмогзЕши.-

РУСЕ . t98tО. 1te.

tt. Костш В.А. Применение трехдаягонвльшх матриц к реиенюо двффдрэнцнальных уравнений. - Вороне«. - 138Б - 28о. - Деп. В ВИШИ, 17.1.88, S 155-1388.

12. Костив В.А. Об одной критерии сильно напрернввпй гсосияуо-фуикции // XIТ школа го теории операторов, 1Э8Э г.: (Тез. докл.), Новгород, 1& . - 0.32.

.13. Костин В.А.Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных даствус-фушщиях //Докл. АН ССР.- 198Э-- 307, В 4,- С. 7Э6-7ЭЭ.

f4.. Коотан В.А. К задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальше уравнения в чзстных производных.- Новосибирск, 1Э8Э.- 0.93 - 118. Костин В.А. О точно равномерно корректной разрешимости задаче КОШ// докл. АН ССС!Р.-1991.-319, т.-0. 38-41.

16. Костин В .¿.Задача Кош для гиперболических уравнений Тракам г с начальными данными не на .тяга параболического вырождения // Диффвренцаальные уравнения.- 1391.--S. Z7 В 4.- C.7IS-7I7.

17« Косгш В.А .К задаче Коши для абстрактных двНйренциальных Уравнений о дробныш производными //Докл. АН СССР.- 1992.- 326, К 4.- С. 597-600.

18. Костин В.А. О задаче Коия для абстрактного гиперболического уравнения //Ыавдунар. науч. конф. по даВДэразц. и штегр. уравнениям ,Самара, 1992 г.: <Твз. докл.)-- Самара, 1992.- С.135

19. Костин В.А. К решении одной проблемы, связанной с абстрактной ассиаус-фунздйвй // Докл. АН России.- 1994.- 336, в©.- С.546-549.

_ - _ ШклагУ-

Поди, в дач. 27.04.94. Формат 60x84/18. Бумага тш. Офс. печать.

Sea. пвч. л. 1,86. Усл. вр.-атт. 1,88. Уч. - изд. л. 1,5

Uqras 100 sit3. SaK.ii5" Бесплатно

Отпечатано в Института математики АН Украины 252601 Киев 4, ГСП» ул ^Геращенковская* 3