Точное решение методом гипергеометрических функций ряда задач математической и теоретической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Я 49-013!)-от №

/ / *{ ¿/щ. '

/ \ х V, - / у

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТАРАСОВ Вячеслав Федорович

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

(01.01.03 — математическая физика)

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1998

Оглавление

Введение ...................................... 4

Глава 1. Представления для ряда Аппеля Р2(х,у) в окрестности особой точки (1,1) и вблизи границы его области сходимости

Введение.................................... 13

§ 1. Вспомогательные сведения...................... . 14

§ 2. Некоторые известные представления для аналитического продолжения ряда Аппеля Р2(х, у) в окрестности особой точки (1,1) . . . 19 § 3. Зеркальная симметрия функций Аппеля Р2 и Клаузена зР2 с единичным значением аргументов..................... 23

§ 4. Представления для функций Аппеля Р2(1,1) и Р3(1,1) и их взаимосвязь .................................. 24

§ 5. Точное аналитическое представление ряда Аппеля Р2(х,у) вблизи

границы его области сходимости ................... 30

Глава 2. Многомерное уравнение Шрёдингера, мультипольные матричные элементы для БН-систем и свойства функции Аппеля Р2(х,у) в окрестности особой точки (1,1)

Введение.................................... 34

§ 1. Один класс гипергеометрических дифференциальных уравнений с

тремя параметрами и симметрия функции Аппеля Р2(1,1)..... 34

§ 2. Многомерное уравнение Шрёдингера для БН-систем........ 37

§ 3. Мультипольные матричные элементы для БН-систем и свойства

функции Аппеля Р2(х, у) в окрестности особой точки (1,1) .... 40 § 4. Асимптотики мультипольных матричных элементов для БН-систем

с учетом правил отбора через функции Горна Ф^х, у)....... 52

Глава 3. Представление некоторых физических интегралов с радиальными функциями Шрёдингера и Дирака через функции Аппеля Р2(х,у)

Введение.................................... 58

§ 1. Радиальные слетеровские и марвиновские интегралы с дискретными параметрами и их асимптотики................. 59

§ 2. Обобщение слетеровских и марвиновских интегралов и их представление через функции Аппеля Р2(х, у) .............. . 75

§ 3. Радиальные матричные элементы с дираковскими функциями в

теории тонкой и сверхтонкой структур водородоподобных систем 83

Глава 4. Разрешимость некоторых «модельных» уравнений в теории солитонов через гипергеометрические функции и два мно-

жества солитонов KdV и ELW

Введение.................................... 98

§ 1. Разрешимость «модельных» уравнений типа NLS, tp4, Brg и Hxl

через iFo-функции............................ 98

§ 2. Разрешимость SG-уравнения через 2Р1~функцию..........103

§ 3. Множества KdV и RLW и связанные с ними нелинейные преобразования и законы сохранения......................105

Литература.....................................115

Введение

0.1. В данной диссертации рассматривается ряд вопросов, относящихся к теории гипергеометрических (г.-г.) функций от одной и двух переменных, к теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) и к некоторым т.н. «точно решаемым задачам» в математической и теоретической физике, а также к теории нелинейных волновых эволюционных уравнений (размерности 1 + 1). Такое объединение вопросов позволило по-новому взглянуть на некоторые известные факты из этих разделов математики и ее приложений и получить новые результаты.

Поэтому основная цель работы:

1) разработка метода г.-г. функций от одной и двух переменных и их новых свойств;

2) применение этого метода к некоторым разделам математики и ее приложений (а именно: к теории дифференциальных уравнений, к некоторым точно решаемым физическим задачам, где используются функции Шрёдингера и Дирака);

3) применение этого метода к ряду «модельных» задач в теории солитонов.

В связи с этим в главах 1-3 используются как известные, так и новые свойства функции Аппеля Е2(х, у), а в главе 4 — простые функциональные соотношения (в виде диаграмм) для смежных рЕч-функций от одной переменной. Отметим, кстати, что основным источником свойств функций Аппеля Е1-Е4, начиная с 1926 г. и до сих пор, является глубокая монография [31], а свойств г.-г. функций от одной переменной (к настоящему времени) — известные книги [1,32-36].

0.2. Результаты и доказательства в работе техничны, т.е. все они могут быть повторены, но некоторые из них «технически» трудоемки. В настоящем введении подобраны лишь основные результаты каждой из четырех глав.

В главе 1 даны представления для ряда Аппеля Е2(х,у) в окрестности О(С0) особой точки Со(1,1) и вблизи границы Г = гЮ2 его области сходимости Б2: |х| + |у| < 1 (см. рис. 1).

В § 1 содержатся вспомогательные сведения, необходимые для последующего изложения: определения функций Аппеля Е2 и Ез в виде двойных г.-г. рядов, интегральные представления типа Лапласа-Эрдёйи и Меллина-Бернса для Е2, преобразования П. Аппеля для Е2 и Е3, формулы приведения и рекуррентные соотношения для Е2, а также (кратко) определения функций П. Олссона Ер и Ерк и функций В. Еаргаро и Д. Онли (^1 и С^2 в виде г.-г. рядов от двух переменных.

Затем, в § 2, в хронологическом порядке даются некоторые известные

I

представления для аналитического продолжения ряда Аппеля Р2(х, у) в О (Со): формулы П. Олссона (1965), Г. Хейне (1969), В. Гаргаро и Д. Онли (1971), К. Сада и Л. Райта (1976).

Далее, в § 3, доказывается (в теореме 1.3.1) новое свойство («зеркальная симметрия») функций Аппеля Р2(1,1) и Клаузена зР2(1) при замене ] |-> — ] — 1, ] £ 2, относительно центра ^ = —1/2 и при определенном наборе их параметров (см. рис. 2). Это свойство играет «ключевую роль» во многих последующих теоремах и приложениях (к физическим задачам), помогал обнаружить в них «скрытую» симметрию.

В § 4 сначала дается модификация указанных выше (в § 2) представлений для аналитического продолжения ряда Аппеля Р2 в Ц-окрестности («двухлучевая звезда» с центром в точке С0(1,1) и радиусом 8 Е (0,1), см. формулу (1.4.2)). Все эти модификации в пределе при 8 —У +0 точно совпадают с результатом теоремы 1.3.1, что доказывает их эквивалентность.

Затем, там же в § 4, доказывается, что: функция Аппеля Рз(1,1), как и Г2(1,1), также обладает свойством «зеркальной симметрии» и они взаимосвязаны между собой (см. теоремы 1.4.3-1.4.6).

В § 5 главы 1 получено точное аналитическое представление ряда Аппеля Р2(х, у) вблизи границы его области сходимости, т.е. на Г_: |х| + |у| = 1 — 8, 8 —+0, |х/у| < 1. Используя основную теорему 1.5.1, легко получить асимптотические разложения ряда Аппеля Р2(х,у) по параметру 8 = 1 — х — у —+0 любого порядка 0(^к), к ^ 1. Следствия из этой теоремы позволяют получить многие новые формулы приведения и рекуррентные соотношения для Р2(х,у) как на самой границе Г = сЮ2, так и, в частности, в граничной точке с0(1/2,1/2), которые можно затем использовать, например, в § 1 главы 3.

0.3. В главе 2 показана связь между одним классом г.-г. дифференциальных уравнений с тремя параметрами, многомерным уравнением Шрёдингера для БН-систем и мультипольными матричными элементами для БН-систем с новыми свойствами функции Аппеля Р2(х,у) в Ц-окрестности особой точки (1,1).

Так, в § 1 рассмотрено одно обобщенное г.-г. дифференциальное уравнение (2.1.1) с параметрами а, с и е. По параметру в, 2,з £ это уравнение «порождает» счётное множество (кратко, У-класс); его элементы У^с е V как «точки» можно разместить на графике симметрии функции Аппеля Р2(1,1) (см. рис. 2).

Дискретный спектр всех уравнений из У-класса Е = —А2/2 < 0, где

А = Z/(a+с/2 ) > О, не зависит от параметра s (см. теорему 2.1.1). Если сделать разбиение V-класса относительно «центра симметрии» s0 = —3/4, то имеем V = V_ U V+, где «точки» из V_ (s < s0) и V+ (s > s0) лежат на разных ветвях графика симметрии функции Аппеля F2(l, 1).

Показано, что асимптотика по параметру а (когда а —> со и А —> +0) «амплитуды» А решений уравнений из V_ и V+ разная (см. теорему 2.1.2), а именно: она имеет порядок ~ 1 /a2s+3/2 для V+ и 0(1) для V_ (т.е. не зависит от параметра а).

Далее с использованием метода ВКБ с заменой 1(1 + 1) ь->- (1 + 1/2)2 для уравнения Шрёдингера (s = 0) доказано, что данная замена фактически переводит «точку» Se (с s = 0) в другую «точку» с s = 1/2 (см. рис. 2). Как отмечается в [41] и [42], в этом случае «сохраняется» изоспектральность исходного оператора Шрёдингера и «улучшается» поведение радиальной функции Ф(г) в нуле и на бесконечности.

Третья модификация ВКБ-приближения для уравнения Шрёдингера (когда отбрасывается член 1(1+ 1)/2г2) сохраняет изоспектральность его оператора только при s = с/2 и s = 1 — с/2.

0.4. В § 2 рассмотрено многомерное уравнение Шрёдингера для DH-сис-тем, которое по параметру D ^ 1 «порождает» V'-счетное множество (см. теорему 2.2.1), которое вложено в V-класс, т.е. V' С V, если установить взаимосвязь между всеми параметрами этих множеств, полагая s = (3 — D)/2. Тогда «точки» DH-моделей (атомов водорода) также размещаются на графике симметрии функции Аппеля Рг(1,1) (см. рис. 2).

Если для V'-класса применить первую модификацию ВКБ-приближения с условием £ —> +0 (когда N fi), то получаем вырожденный V'-класс (см. теорему 2.2.2).

Если для комплексификации V'-класса сделать замены (2.2.3), то получаем V^-класс для случая непрерывного спектра (см. теорему 2.2.3), где постоянная |BD| — «амплитуда» вещественнозначной функции #o(kr) — имеет разное представление для четных и нечетных D ^ 1; этот факт, например, не отражен в [43,44].

0.5. В § 3 получены точные аналитические выражения для мультиполь-ных матричных элементов DH-систем, которые играют важную роль при решении многих кулоновских задач в пространствах разной размерности. Основная теорема 2.3.1 показывает, что исследование этих матричных элементов можно связать со свойствами функции Аппеля F2(x,y) в U-окрестности особой точки

^(к-10)(к-8)(к-6)х

(1,1) и обнаружить (тем самым) их «скрытую» симметрию.

Для сравнения можно привести очень громоздкие формулы Шерцера [75] для вычисления матричных элементов вида (nl|rk |.п1')зн, где 1 = п — 1,п—7 и k ^ — (1 + 1' + 2), которые даны в виде таблиц; например, имеем (с. 2833):

/ 71 М -л /пуг(2п + к~11)

(n, п — 7 | г |n,n-7)=(-j 2пГ(2п _ б)

х (к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)(к + 9)(к + 11)(к + 13) + + ¿(к - 8)(к - 6)(к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)(к + 9)(к + 11)2п +

ZjVJ

+ |(к - 6)(к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)(к + 9)2п(2п - 3) + + ^(к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)2п(2п - 4)(2п - 5) +

0

1 5

+ у (к - 2)к(к + 3)(к + 5)2п(2п - 5)(2п - 6)(2п - 7) + + 6к(к + 3)2п(2п - б)(2п - 7)(2п - 8)(2п - .9) + + 2п(2п - 7)(2п - 8)(2п - 9)(2п - 10)(2п - 11)

«Аналогичным образом» проводятся вычисления матричных элементов вида (nl | гк | п1')зн с к £ [—8,5] в [68,69] иске [—16,13] в [73], а также в других работах [70-72].

0.6. В п. 3.3 доказано (см. теорему 2.3.2), что диагональные матричные элементы (uk)o имеют явную симметрию относительно точки ко = —3/2; поэто-

I

му их также можно «разместить» на графике симметрии функции Аппеля F2(l, 1) (см. рис. 2). Теорема 2.3.4 для величин (rk)o дает обобщение известного рекуррентного соотношения Пастернака-Крамерса (2.3.1) для (гк)зн- Этот результат связан с новыми свойствами функции Аппеля F2(l, 1) и Клаузена 3F2(1) (см. теорему 2.3.5).

0.7. В п. 3.4 на базе общей теоремы 2.3.1 получены явные выражения для дипольных (k = 1), квадрупольных (к = 2), октупольных (к = 3) матричных элементов и других высших мультиполей (к > 3) для DH-систем с учетом правил отбора (2.3.9) (см. теоремы 2.3.6-2.3.14). В частности, теорема 2.3.8 обобщает известную «формулу Гордона» (2.3.2) для ЗН-атома. В п. 3.6 приведено доказательство этой общей теоремы (см. теорему 2.3.17), которое основано на новой

I

формуле приведения для функции Аппеля F2(x,y) в U-окрестности особой точки (1,1)-

Далее, теорема 2.3.15 дает общее выражение для мультипольного матричного элемента вида (ni | rk | п1')б, где 1 — 1' = 0, =Fk. Доказательство этого резуль-

тата в п. 3.5 сводится к теореме 2.3.16, где даны новые формулы приведения для функции Аппеля F2(l,1).

0.8. В п. 3.7 (§ 3) рассмотрены .два тцпа ортогональности для функций fo = fNM(D,r) в L2(R+). Теорема 2.3.19 показывает, что ортогональность этих функций по параметрам N и fj, может быть связана с двумя новыми свойствами («ортогональности») функции Аппеля F2(x, у) в U-окрестности особой точки (1,1). Эта теорема обобщает для DH-систем известный результат для ЗН-атома, впервые полученный Пастернаком и Штернхаймером в 1962 г. [84], и дает ему новое объяснение. Пример 2.3.2 иллюстрируют эту теорему для D = 1,2 и 3.

0.9. В § 4 получены асимптотики (по параметру n' —S- оо) мультипольных матричных элементов для DH-систем (с учетом правил отбора), которые выражаются в общем случае через функции Горна Фг(х, у). Из общей теоремы 2.4.1 выведены явные формулы асимптотик для дипольных (к = 1), квадрупольных (к = 2) и октупольных (к = 3) матричных элементов; эти новые результаты, например, отсутствуют в литературе [39]—[66], [81], [82]. Примеры 2.4.1-2.4.3 иллюстрируют случаи к = 1,2 и 3 для ЗН-атома.

0.10. В главе 3 даны точные аналитические выражения для некоторых физических интегралов через функции Аппеля.F2(x,у), изучение которых также можно связать со свойствами функции Аппеля F2(x, у) в U-окрестности особой точки (1,1).

В § 1 рассмотрены слетеровские радиальные интегралы Rk(ll, 21; 12, 22), Gk(ll,22) и Fk(ll;22), которые часто называют соответственно общим, обменным и прямым (кулоновским) интегралами в теории атомных спектров [60,61,63]. Эти интегралы содержатся в «радиальной части» матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия« Щ2 = l/ri2-

Общий интеграл Rk определяется в виде (3.1.2); он, согласно схеме (3.1.4), может быть преобразован в интегралы Gk и Fk- Если записать интегралы Rk, Gk и Fk в виде (3.1.10), их точное аналитическое выражение через функции Аппеля F2 дают соответственно теоремы 3.1.1-3.1.3.

Для сравнения отметим, что в литературе (см., например, [91,92]) общий интеграл Rk(ab, cd) представляется в виде пары пятикратных сумм, теоретическое изучение которых, очевидно, становится невозможным. Именно поэтому за основу вычисления общего интеграла Rk берется «численный эксперимент» на ЭВМ (с большим набором таблиц в зависимости от параметров этого интеграла); естественно, это приводит к весьма приближенным численным значениям

этих интегралов. Тем не менее, «визуальный обзор» этих таблиц позволил авторам в [92] найти несколько интересных «общих закономерностего (3.1.18) и (3.1.19) для интеграла Кк, но без объяснений. В работе автора [24] было доказано, что все эти и другие «закономерности» для интеграла Б* могут быть легко объяснены с учетом свойств функции Аппеля Р2(х, у) в Ц-окрестности особой точки (1,1) (см., например, теорему 3.1.6 и примеры из п. 1.3).

0.11. В п. 1.2 главы 3 дано (новое) альтернативное выражение для общего

' ' (з)

интеграла Ик через функции Аппеля Р2 и Лауричеллы Рд (см. теорему 3.1.5). Это представление для 11к получается, если внутренний интеграл в (3.1.2) свести к неполной гамма-функции Эйлера 7(х,у). В п. 1.3 даны примеры и некоторые соотношения для слетеровских интегралов.

0.12. В п. 1.4 главы 3 на основе общей теоремы 3.1.1 получены (точные) асимптотические формулы общего интеграла II к по одному и двум параметрам через функции Горна Ф1(х,у). Частные случаи теоремы 3.1.7 (см. примеры 3.1.14 и 3.1.15) согласуются с аналогичными случаями в [91].

0.13. В § 2 главы 3 дано обобщение слетеровских и марвиновских интегралов и их представления через функции Аппеля Р2. Как известно [63], марви-новские интегралы (3.2.1) и (3.2.2) содержатся в «радиальной части» матричных элементов операторов магнитных взаимодействия типа Их/51 и Н12'ч° (соответственно «спин-спин»и «спин-орбита»). Определение 3.2.1 дает (новый) «обобщенный слетеровский интеграл» типа Щ ' с ядром

д^.") = гк+/угк+^ Очевидно, что Т^0'1^ = Кк — обычный слетеровский интеграл (3.1.2). Определение (3.2.2) дает (новый) «общий слетеровский интеграл» типа с ядром ; в част-

ности, имеем: = 4 = = Ъ • (2к + 1)/(г* - г*) и т.д. Эти два

типа интегралов впервые введены в [24,27], для них также можно использовать схему преобразований (3.2.14), чтобы получить соответствующие «обменные» и «кулоновские» интегралы.

Теорема 3.2.1 дает точное аналитическое выражение для коэффициента через функции Аппеля Р2. Как видно, она является более общей, чем теорема 2.1.1 для коэффициента Ь^* обычного интеграла Як-

В п. 2.4 главы 3 дан (новый) «обобщенный марвиновский интеграл» Б^'^ с ядром (3.2.20); в частности, имеем:

о(0Д) = з0к

— обычный (второй) марвиновский интеграл типа (3.2.2). Если для интеграла использовать схему преобразований (3.2.21), то можно получить соответствующие «обменные» и «кулоновские» интегралы (тем самым свести их вычисление к теореме 3.2.1). Теоре-

0.15. В § 3 главы 3 рассматриваются радиальные матричные элементы с дираковскими функциями £ и g в теории тонкой (ТС) и сверхтонкой (СТС) структур водородоподобных систем. Хорошо известно, что эти релятивистские интегралы (за исключением простейших случаев, например, «круговых орбита-лей») вычисляются приближенно [102-104,112,113] с использованием аппроксимации (3.3.25) через функции Бесселя. В результате чего для «согласования» теоретических и экспериментальных данных в теории тонкой и сверхтонкой структур вводятся т.н. «релятивистские поправочные множители» Г, II, Т, в и Б [102-104].

В данной работе все релятивистские интегралы типа (3.3.6)—(3.3.9) представляются точно аналитически через функции Аппеля Р2(х, у) (и поэтому отпадает необходимость учитывать указанные выше «поправки»).

В п. 3.2 дается (необходимая ниже) вспомогательная информация: в п. 3.2 (2) — рекуррентные соотношения для функций Р2 и зБ^ для j = 1 ± 1/2; в п. 3.2 (3) дается аналитическое представление фун�