Точные решения системы уравнений Власова-Максвелла. Устойчивость равновесных состояний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ щдшз 11ЛУ1С

сибирское. юдаше

Иркутский вьтислитеяыйгй центр

На правах рукописи

ПАРКОВ Орий Адольфович

УД1С 617.958

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА-ШСБЕШ. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯЛИ

01.01.02 - днффэренциальнно уревншгая

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на' сонсгсанио ученой степени канщщата (¡иэлко-иатематичесЕях наук

1ШТСК - 1992

Работа выполнена в Иркутской вычислительной цантро СО РАН.

Научный руководитель: академик В.М.Матросов.

Официальные оппонента: доктор физико-математических на$к

В.В.Ведентаин;

кандидат физико-математических наук О.В.Капцов.

Ведущая организация- Красноярский государственный университет

Защита состоится "_"___1992 г. в_.часов

на заседании Специализированного совета К 003.64.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических неук в Иркутском вычислительном центре СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, 33, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан " "_1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, д.т.н.

А.И.Тятшквн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время б качество теоретического описания свойств бесстолкновительноП плазмы наиболее широко используется кинетический подход, основанный на система уравиэ -ний Власова-Максвелла.

В связи с работами по управляемому термоядерному синтезу основное внимание ученых било сосредоточено на исследовании свойств, так называемой, квазинейтральной плазмы. Однако, существует большое число приборов и устройств, в которых условие квазиней -тральностн не выполняется, т.е. плазма является заряженной.

Вследствие этого актуальным является вопрос о теоретическом описании и математическом моделировании фундаментальных свойств зартаенной плаз ил, в частности, вопрос о кинетическом равновесии. В последнее время проявляется большой интерес к возможности по -строения точных решений различных фундаментальных нелинейных уравнений физшш плазьал и, в той числе, к построению точных ре г еюний стационарной системы Власова-Максвелла, описывающей кннз -тическое равновесие заряженной плазт. При это;.? используется широкий спектр катодов современной нелинейной математической физики: преобразования Беклувда, метод Хироты, конечнозонные решения, групповой анализ п т.п.

Актуальной задачей в этом направлении является построение точных двуизрннх и трехмерных решений нестационарной системы Власова-Максвелла. Для данной'систоин размерности больше едшйщы результаты практически отсутстйупт. • •

Бее ,большее внимание привлекают проблемы, исследующиа влияние ограниченности фазового пространства на поведение плазиа, пли, другими словами, краевые п начально-краевые задачи. Серьезные математические работы в этой области только пояплгатсл.

3

Главным направлением "теоретических исследований сеонств няаз-иа (vi заряженной, с частности) является проблема устойчивости равновесного состояния. Большинство работ по устойчивости, випогше-¡шьк в основном физикаш-теоретикаш и, поэтому, шеющих фшкчео-кпй уровень строгости, основано на исследовании линеаризованных .уравнений спектральные методом. В данной работе анализ устойчивости проведен на основе цетода функционала ЛяпунозаПегаева с использованием известных теорем устойчивости по ыерз*^. Этот иетод не требует линеаризации исходных уравнений и позволяет говорить о нелинейной устойчивости равновесных решений. -

Целью работы является построение специального класса точных решений стационарной и нестационарной систеиы уравнений Власова --Максвелла, постановка и исследование краевой задачи для нелинейного эллиптического уравнения, определенно критериев устойчивости равновесных решений.

Методы исследования, Используется общая теория дифференциальных уравнений в частнгк производных, иетсдьз современной неявней -кой математической физики, теория устойчивости систем с распреде-яешшш параметрами.

Научная новизна. Б работе построены точные решения для ста -цпонарной и динамической систеш Власова-Максвелла, описывающей поведение водородной и гелиевой заряженной плазш; указан иетод приближенного решения краевой задачи Дирихле для стационарной системы Власова-Максвслла; "получены достаточные условия формальной я нелинейной устойчивости!равновесного состояния в плазмоводе.

)г'Зубов Б.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1984, 270 е.; Новчан A.A. 0 прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем.- ПМИ, 1959, Т.23, вш.З, c.4G3-4S3. ■

4

Теоретическая и практическая значимость,.. Работа представляет интерес для'специалистов в области дифференциальных уравнений в частных производных к математического моделирования процессов тз плазме. Результата диссертации могут быть использованы в прикладных исследованиях свойств заряженной плазмы: ускорителях электронных колец, терабядериом синтезе, генерации и транспортировке сильноточных электронных пучков и других процессов.

Апробаюя работы.. Основные результаты работы докладывались на: Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи математической фи -зики" (Киев, 1988); Всесоюзной конференции "Математическое мод© -дггрование: нелинейнш проблемы и вычислительная математика" (Звенигород , 1988); .Чсггдународной школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск, 1989), Млни-сешшаро "Дифференциальные уравнения в частных производных" (Международный центр щ. С.Банаха, Варяава, Польез, 1989); обсуздались на семинарах Красноярского ВЦ СО РАН (к.ф.-«.и. Капцов О.В.); ШШ т. М.В.Келдыша РАН (д.ф.-м.н. проф. Павлоцкий Й.П., д.ф.-м.н. Веденяпин В.В.), МГУ (чл.-корр., • проф. Рушшцов В.В.), а такие на конференциях и семинарах ИрБЦ СО РАН. ■ . . '

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 68 наименований. Ра -бота изложена на 97 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор по теме диссертации н ¡кратко изложено содержание работы.

В первой главе исследуется стационарная двухкомпонентная система Власова-Цансвелла, описывающая равновесие оаряаедаой плазмы.

(I)

, гей В* ^¡у^^ч)^,

я к3

¿1V Е = 4Л £ Р [/д <П V) , скч В ~ о • к

Здесь ~ функция распределения частиц сорта "а"; /* *

® ^ 1 V" (УХ/ Уу, состояние и скорость части-

ца; Е ~ (и~((Г),Еу(г)1Ег,(Г')1 - напряженность електрического поля 5

В~(&х(п, Ву(П, 4 (Г)) - иагнитнпя индукция; ^ -па-

сса и заряд частицы сорта "а"; индекс " I" относится к ионам,"ь"-к электронам,

В § I глЛ рассмотрен вопрос о сведении уравнений Власова-Максвелла (2) при выборе функций распределений в вще

; А

/« <п " * "/>{*« (-^пР^к+ч**"" щгг)}' (2)

к системе нелинейных эллиптически; уравнений ни функции у _ ( % ц) » Соответствующие злектроиагнитные поля Е , О

6

йкрслгяы через реаения этой cvvzeirj. S (2) napsusrp - поло-

зитсяышй, связан с температурой па"-й ко-.щокенты плазш, Рц « \ <\

= (0, 0, Рл) - некоторый постоянный ввктор.

Тяоряма I. Пусть функция распределения имеет вид (I.12), Тогда есшстрсмапштное поле ^ Е, В J определяется формулами

Е(Г) В K7tf(r/ t

'а

где У , у удовлетворяй? систем уравнений

s/ $ /5

А1/=MSd^f^wfaw+M-v}' (3)

-2> . п>

Далее рассматривается редукция снстеиы (3) к нелинейному эд-лкптпческоау уравнении, названное "разрешавший"

. Аи(х,у)= еи- , С<0 (4)

Указано, что такал редукция является фактически первым членен в разложении по ыалоау параметру $ - отношении средней гндродина-цаческой скорости частиц к скорости света (нарелятивнстский пучок) В § 2 рассмотрен частный случай разрешающего уравнения, когда выполнено условие с£{ = <Хе - рапенство тс;яюратур ионной и электронно!! составлявших плаяии. Единственным параметром, от которого существенно зависит тип разрешающего уравнения, будет отношанкэ заряда нона к заряду электрона: ~ ~ , "¿-1,2,.,

водородной плоэш ( 1) уравнение (4) приводится к уравнекиа

Бк -Гордон

1 sh.1L . (55

поыощьп подстановки и.(Х,и)

встроено частное точное решение

и

\й - ск (Щ>/

о которому восстановлены характеристики плазмы - поля Е и В , ункции распределения . Обсуадаегся физический смысл этого эшения.

В § 3 точные решения уравнения (5) строятся с помощью метода «роты. Решения отыскиваются в вцце

Г ~ 6

10 Р и некоторые искомые функции переменных ^ и ^ .

дставив (6) в (5), получим систему уравнений на

Р и С :

2 Л

разом

о 12). - билинейный .оператор Хироты, действующий следующим

гу]]

м — т

Систему (7) заменой Р ~ а сп0Ат к

ноцу уравнении

я/•/-/-/'

Теорема 2. Функции ^ и вида

-V ./V* ^

л - ^>

?£ = 1Г-Г91,

где , ; суша по пробегает по всем наборам^А;,

Вц* )к?"1 удовлетворяют уравнению (8).

Длл получения других вещественных решений уравнения (5) но-обходимо, чтобы комплексные векторы к; в (9) удовлетворяли

соотношениям

я/ -л/ = * , (#/,])/!= о, ...,/Г ,

где- ■- двунерные вещественные векторы, четности чпее

и /I' совпадают, Длл /С~ 1 восстановлен пвикй вид- ползй Ь , В а функций распределений (Г, V) и (Г, V) (ось О, направлена вдоль вектора P¿ )

<3

f 4 f^ ^ Q^RQwR

с _ 4 fash Qsin R + ayCh Qcos R

Вж-~(Pi/и,-c)Ey > Ву=1$Мс]Ех > Еж*Ве= о '

где Q * а (Г-Г J +Ви/2 , R = b<r-rj ; величины Лц , ап связаны с характеристиками системы. Качественный анализ етого решения показывает, что система обладает определенной периодической структурой, связанной с магнитными островами для неограниченной плазмы, или со структурами Кварцхавы для плоских токовых слоев.

§ 4 посвящен исследование случая Z = 2 (гелиевая плазма), когда разрешающее уравнение (4) принимает вид

¿u(z,^ j(eu-e'lu}. <10)

С помощыэ найденной подстановки 11 - "Cft{"1 ~ ^/р ) приводим уравнение (10) к билинейному виду:

2 г~ г- „ г-Н (И)

BtF'F-FG

к

В отличие от предыдущего параграфа, здесь иетод Хиротн не дал

возможности определить общий ввд решения, поатому для построения •

каждого нового решения приходится заново решать билинейные уравнения (II).

При 1 простейшее решение уравнения (10) имеет ввд:

которому отвечает решение стационарной системы Власова-Максвелла

■ з-гскЧц+умг]

' у з-гскЧ<ц+р>/г] В*= ~{пс)Еу ' Ву*(щс)Ё* ' Ëi 'В," о ■

где ^ + = к (Г+Га); Г- (Х,у.) , Г0 - постоянный сеатср.

II

Случаю 2 отвечает решение

? )

+ эА< (е?'+еи) _

ыь + 1/е** еЧ+Ал**

Здесь коэффициенты /4±1, /4±£ , <2ц , определяются чэ -

рез векторы !(1, ¡(¿.

Найден также явный вид решений при Л=3 -и Ж» 4.

5 5 посвящен постановке краевой задачи Дирихле для стационарной системы (I) в ограниченной области . Для решения краевой звдачй использован ыэтод разложения по малому параметру ¿Г , предложенный в § I.

В главе 2 рассматривается задача построения точных решений нестационарной двухкошонентной системы Власова-Максвелла

а - 1,е ,

- — & - ^Е > ЖуВ - о >

с а'с

1 дЕ , ^

8й к1 12

В § I кратко приведены основные мсыентн работы"' по редук -да динамической системы (12) к нелинейному гиперболическому равнению

£ р - Аи.-4*1,(1-ЦЬ1)£фА . и»

и*

де 11 (Г, Ъ) удовлетворяет условию Теорема 3, Пусть

произвольные дифференцируемые функ-

ии своего аргумента и

/-А (- У* + Т) (¿V < <*> Тб , ~~ а »

J ра 1 * х / «.у , х с I , '' гщ тс

огда каждому решению гиперболического уравнения (13)

условием (14) отвечает решение системы (12) вида

/* 3 и {"* (- ^ + П + "*)} >

Н1

Е = {Ф+ -1 ы ь} >

П 4 г Л (15)

)---

.парков Ю.А., Рудых Г.А., Сидоров H.A., Синицын A.B. Об одном сэ-мействе решений системы Власова-и!аксводла и юг устойчивость. тем.мод., 1990, Т.2, » 12, с.68-101.

f-до y>c~ (f0(r) - произвольной гарькишчзская функция} ¿i s fa - Mist. . . . .,

В § 2 строятся точные решения, отвечавщиа распрсдсаэшш

ввда

• fjn V) = +Га +.Ъ>)} '

для которых уравнение (13) переписывается в форла

- ди = -М(еи-ееи),

у

где ^^.i.fi^^^jV^ *

В третьей главе рассмотрена задача устойчивости заряженного олектронно-ионного пучка, помещенного в сверхпроводящий копух.

В § X дана постановка начально-краевой задачи для исходной системы (12), приведено определение формальной устойчивости15^. Показано, что поставленная начально-краевая задача обладает следующими сохрадшгршися функционалами:

rz^jlE'tB'/cir+EjJZf'fJMv - «рм

SB BR*

Используется терминология работы: Hola D., üar.idsn j., Ratiu I., Veinobein llonlinoar stability pf fluid nad plasma equilibria,- Phyo.Reporta, 1985, V.123, И 1-2, p.1-116.

14

~ 2 JJ- общий инвариант Казимира, ¡г к»

- проекция на ось обобщенного импульса.

В § 2 приведены дополнительные» первно интегралы, сутдзствуа -

ё

|дио в силу симметрии задачи

5г

Е// гй с1ы*г

а Я Я3

где ^(Ш - дваяды дифференцируемая функция своего аргумента,

а

удовлетворяет условии

а ^"■■щ! '

Для исследования формальной, устойчивости построен функционал -

пунога-Четаева в вида связки первых интегралов

£ = 7' * £ . '

л-f

Ьичислена перьая вариация функционала ь .

Б § 3 из равенства пул» пер&ов впрващш функционера (16) на! лены уравнения равновесии* состояний

Г1 и и ± /0 ¡л ,,» <тV)

' 2%

Ait* ^

с краевыми условиями:

» - Уо » % (16)

as? дя Й2

где D ( г) - заданная функция. Гармоническая функция трактуется как заданное внешнее поле.

В § 4 приведены достаточные условия формальной устойчивости равновесия, полученные из анализа второй вариации функционала Дя-пунова-Чатаова

ïEiï < с < 0 , <p"(wj >о ,a*L,е.

Wi дНа.

В § 5 ставится задача об устойчивости по Ляпунову (нелиней -ная устойчивость). Для определения нелинейной устойчивости используется метод выпуклых оценок, предложенный Арнольдои В.И.®' при -ыешггельно к устойчивости движения жидкости.

В 5 6 приведены достаточные условия устойчивости по Ляпунову, найденные на основе этого подхода.

Теорема 4. Стационарное решение системы (17) с краевым уело -виеи ( 18) является устойчивым по Ляпунову, если справедливц неравенства

г * f(U'i € С2< 1-°°, \Pi\Mi< С.

€ С *

W

Арнольд В.й. Об одной априорной оценке теории гвдродинамичес

ной устойчивости, - Изв.вузов. Иатеаатика, I9C6, J? 5, с.3-5.

J6

В закудтанта. кратко фср'.тул'фуюгся основныз разуяътати р~бо-

Б работе получены следуяп?!б основные результаты:

I. И?Дг.сна' шгсгопараиетричесяая фсриуяа тачного рзггншх дяухиср -üoro урпвиения Sil -Гордой. Восстановлены в яз;:оу спда харак -сориетики заряженной ллээии - элзнтрсиаиттноэ поло н функции ^асгтрглашгая электронен п иста для стащонсрного состояния ссдородкой плазмы.

2„ IIa основа ватода билинейных операторов XnpoTSJ предложен алго -рггтм построения возрастающей «о слояиоста цепочки точных решо-нпй уразнслия типа Буллофа-Додда-Кибера-Шабата, опискзаящего равновесие реякевой заряженной плазмы.

3. Указан метод приближенного решения краевой осдачи Дирихло для стационарной сйстеш Власова-Максвелла.

4. Лолучокн достаточна условия формальной устойчивости р&шговее-нсго состояния а плаэмосодв на осног.е метода Ляпунова-Чапаева.

5. Найдены достаточные условия устойчивости по Ляпуиопу.

«

Основные результати диссертации опубликованы в работах:

1. Марков Ю.А. Точные рэшеиия иелшмейялс урашэкпй рагнсвесня цлазпы.- Препринт ИрВЦ CO-АН СССР, 1983, №'1, 23 с.

2. Парков Ю.А. О нокоторих тошен решениях кинетической модели равновесия плазац. - ДАЛ СССР, 1089, Т.308, $ I, е.60-03.

3» Наркоз Ю.Д., Рудих Г.Л., Сндсрса И.Л., Сшмцш Л.В. Сущзствова-нпз стационарных решений системы Власова-Максвелла. Точгшэ рэ -пения. - Матсм.модел., IS39, T.I, Р б, с.95-107.

4. Царкоп D.A., Рудах Г.Л., Сидоров Н.Л., Сшшцын A.D. Об одксу

17

o£M3i1orfBö решений cncteiai Власова-Максвзлла и их устойчивость, - Ьктьу.кодол., 1990, Т.2, Р 12, с.88-101.

>. liarkoT Y.A., fiudytb, G.A, Sidoror- 1Т.А., Sinitzin A.V. Sozaa faailles of solutions of tho Vlaoov-Uaxwell eye tea and thair otability«- UJACS, She Xyapunov functions"nethod end applications, 1990, p.197-203.

6. ÜapnoE Ю.А. Об одной классе точных решений кинаткчзской модели рашюваспя шгазш. - Ю, 1992, Т.91, Р I, с.129-141.

. Markov S.A., Rudykb O.A., Siüorov H.A., Sinitsin Ä.V. und Toi-ctonogov D.A» Steady-otatc solutions of the Vloeov-Uaxirell eyotca and their stability. Aoto Appl.llath«, 1992.