Тонкая трехмерная пластина со сменой краевых условий на боковой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Оглавление 1 Введение

Глава 1 8 Введение к главе

§1. Плоская задача теории упругости

§2. Квазистатический рост трещины

Глава 2 20 Введение к главе

§1. Постановка задачи

§2. Формальное асимптотическое разложение

§3. Трехмерный пограничный слой

Глава 3 39 Введение к главе

§1. Глобальное асимптотическое приближение и его обоснование

§2. Упрощенные асимптотические формулы и их следствия

Глава 4 72 Введение к главе

§1. Вычисление специальных степенных решений однородной задачи для бигармонического уравнения

§2. Специальные решения неоднородных задач

§3. Системы Ламе

§4. Доказательство теоремы 2.4 79 Заключение 86 Литература

Туреве! Ьу Дд/|£-ТеХ

ВВЕДЕНИЕ.

1. Теория тонких пластин. Первые классические работы С. Жер-мен (1814) и Г. Кирхгофа (1851) по рассмотрению задач о тонких трехмерных пластинах при помощи двумерных моделей опубликованы более ста пятидесяти лет назад. С тех пор по этой тематике написано большое количество статей. Интерес вызван широчайшей возможностью приложений результатов. Классическая (техническая) теория тонких пластин изложена в книгах [48,49,50,46]. С другой стороны эллиптические краевые задачи в тонких областях, которыми описывается деформация пластин, содержат естественный малый параметр, чем являются привлекательными для асимптотического анализа.

В асимптотической теории важным моментом является получение "правильного" анзаца, что предопределяет дальнейший успех асимптотического анализа и позволяет найти оптимальные требования к данным задачи. Именно поэтому являются актуальными гипотезы Кирхгофа Лява, позволяющие предопределять структуру напряженно деформированного состояния. Однако гипотезы Кихгофа-Лява и технические теории тонких пластин обеспечивают равномерное приближение к пространственному полю смещений во всей пластине, но они неверно указывают основные члены асимптотик деформаций и напряжений вблизи боковой поверхности пластины (известные "краевые эффекты" — около краев плоское напряженное состояние переходит в плоское деформированное). Этот феномен описывается математическими конструкциями типа пограничного слоя, существующего вблизи боковой поверхности и затухающего при удалении от нее. Этой тематике посвящено большое количество работ [5,7,9,10,23,24,26,27]. Двумерные пограничные слои позволяют ликвидировать невязки остающиеся в краевых условиях на боковой поверхности пластины. Трехмерные слои возникают в связи с локальными особенностями данных задачи (угловыми точками на границе, трещинами, малыми участками защемленной поверхности, сосредоточенными нагрузками). В [52] разработан наиболее общий подход к построению асимптотических анзацев для решений краевых задач в тонких областях, который легко приспосабливается к задачам теории упругости.

В работах [6,52,51] при построении анзаца решаются последовательно возникающие предельные задачи. В результате выводится двумерная краевая задача на серединном сечении ш€12 пластины = а? х ( — /г/2,/г/2), причем последняя возникает в итерационном процессе как условие разрешимости некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке [—1/2,1/2]. Краевые условия на контуре дш получаются из условия экспоненциального затухания пограничного слоя на бесконечности. Явление пограничного слоя описывается решениями плоской задачи теории упругости в полуполосе П = (—1/2,1/2) х®.+ . В публикациях [7,9,16,17,18,23,25,53,54] изучается разрешимость упругой задачи в неограниченной области П.

Получить априорную оценку нормы обобщенного решения задачи теории упругости для ограниченных областей с частично защемленной границей позволяет неравенство Корна, дающее оценки квадратов норм в для смещений и градиентов смещений через упругую энергию. Традиционные способы доказательства неравенств Корна [59,40,45,64] дают возможность вычислить соответствующие константы только для достаточно простых геометрических форм. Соответствующей тематике посвящены работы [65] и др. Как показано в [3,15], если в Ь'2 нормы смещений и их производных добавить весовые множители (степени параметра /г, а также степени расстояния до боковой поверхности пластины), неравенства Корна становятся асимптотически точными, приспособленными к изучению зависимости решений от малого параметра /г и дающими априорные оценки решений задачи в При этом множители распределяются таким образом, что позволяют различать продольные и поперечные направления в пластине. Обоснования при помощи неравенств Корна асимптотической точности решений двумерных задач теории тонких пластин приведены в [55,56,27].

Первыми статьями, посвященными математически строгому обоснованию теории пластин Кирхгофа были [61]. В них установлены оценки точности приближения по энергетической норме. Информация о степени близости смещений и и II, найденных соответственно из пространственной задачи и плоской модели впервые получена в [3] и [47]. Публикации содержат доказательство теоремы о сходимости и —>■ II при /г —> +0 (где Н — относительная толщина пластины), при помощи неравенства Корна, приспособленного к тонким областям за счет введения в нормы естественного малого параметра к. В них также получена мажоранта в подходящих пространствах для нормы 1м — III. Аналогичные утверждения, на основе вариационно-асимптотического метода, были независимо получены в [4,60,57,58]. Перечисленные выше публикации относятся к изотропным пластинам, а также в них используются пространства Соболева, т.е. выводятся интегральные оценки точности приближений.

2.Теория трещин. Интерес к механике разрушения также объясняется большим практическим значением. Реальные материалы всегда содержат некоторые дефекты, в том числе трещины. При определенных условиях эти трещины безопасны, т.е. не обнаруживают тенденции к росту, при других нагрузках или геометрии они могут оказаться неустойчивыми и вызвать лавинообразное разрушение тел.

Решение задач теории упругости в двумерной области с трещиной не дает достаточно информации для прогнозирования ее дальнейшего поведения. Необходимы дополнительные критерии, позволяющие судить о возможности ее развития. Первый такой критерий, основанный на предположении, что трещина должна развиваться так, чтобы достигался минимум общей энергии тела, был предложен Гриффитсом [62]. При прямолинейном продвижении трещины развитие происходит если коэффициент интенсивности напряжений, множитель при корневой сингулярности напряжений, превосходит некоторое критическое значение, одну из важнейших характеристик материала. Существуют разнообразные математические модели описания трещин. Такие модели используют свои критерии разрушения, основанные на физических соображениях и учитывающие структуру устья.

При изучении поведения решения задач в областях с трещинами применим асимптотический анализ (длина устья является естественным малым параметром). Для двумерных эллиптических краевых задач в областях с кусочно гладкой границей разработана общая теория [16,17,21], а так же [18]. Трехмерным задачам для тонких областей с трещинами посвящены работы [12,13,14]. Применяется метод сращиваемых асимптотических разложений, представление решения вдали от устья (внешнее разложение) имеет такое же строение, что и около вершины (внутренне разложение).

Работа посвящена задаче теории упругости о прогибе тонкой трехмерной цилиндрической пластины под действием поперечной нагрузки. Пластина жестко защемлена по части боковой поверхности, на остальной части поверхности рассматривается трещина.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы.

Первая

глава посвящена плоской задаче для бигармонического уравнения, модели Кирхгофа. В первом параграфе рассматривается постановка и приводится асимптотическое представление для решения ю около вершин трещины. В асимптотику входят специальные степенные решения модельной задачи, расчет явного вида которых вынесен в четвертую главу. Во втором параграфе изучается продвижение одного конца трещины на расстояние е (естественный малый параметр при построении асимптотик). Методом сращивания асимптотических разложений конструируется представление для решения IVе возмущенной задачи. Полученное представление позволяет написать асимптотики для величин, важных в теории упругости — коэффициента интенсивности напряжений и приращения потенциальной энергии деформации. Эти асимптотические формулы и являются основными результатами, полученными в первой главе, см. [19].

Первый параграф второй главы посвящен постановке трехмерной задачи и в нем приведены неравенства Корна, используемые далее в обосновании асимптотических разложений. Во втором параграфе приводится известный вид асимптотического анзаца, в котором фигурирует решение ю двумерной задачи из первой главы. Данный анзац оставляет невязки в краевых условиях на жестко защемленной боковой поверхности пластины. Для их компенсации строится двумерный пограничный слой; при этом возникает неоднородная задача, решение которой приведено в четвертой главе. В третьем параграфе строится трехмерный пограничный слой. Его появление связано со сменой типа краевых условий в вершинах трещины. Доказывается существование и единственность решения задачи в полуслое Л. При этом используется весовое неравенство Корна, оформленное в отдельную теорему, громоздкое доказательство которой перенесено в четвертую главу. В конструкцию трехмерных пограничных слоев входят степенные решения неоднородных задач, рассмотренных в четвертой главе.

В первом параграфе третьей главы производится сращивание асимптотических разложений на бесконечности и построенных в предыдущей главе. Основным результатом является оценка отклонения сконструированного глобального приближения от истинного решения трехмерной задачи по энергетической и весовой метрикам. Во втором параграфе приведены примеры использования полученной асимптотики. Выведена формула для приращения потенциальной энергии деформации в трехмерном случае. Демонстрируется, что первые два члена данного представления доставляет асимптотика энергии двумерной задачи, рассмотренной в первой главе.

Один из пунктов второго параграфа посвящен "плоскому изображению трещины". В постановке объемной задачи фиксируются края трехмерной трещины. Правильный выбор вершин плоской трещины позволяет приравнять к нулю константу при сингулярном члене в глобальном асимптотическом представлении, благодаря чему из асимптотики потенциальной энергии исчезает влияние трехмерного пограничного слоя.

Производится сравнение трехмерной и двумерной .формул Гриф-фитса, дающих выражение для приращения энергии через коэффициенты интенсивности напряжений. КИН являются множителями при сингулярных составляющих в асимптотике решения. В четвертой главе приводится расчет соответствующих сингулярностей. Результаты второй и третьей главы опубликованы в [63].

В четвертую главу вынесены занимающие много места вычисления и доказательства из предыдущих глав.

В нумерации формул указывается

глава, параграф и номер формулы в параграфе.

ГЛАВА 1. Введение.

В этой главе рассматривается двумерная Кирхгофовская модель тонкой пластинки. На пластинку, приклеенную к жесткому профилю, действует поперечная нагрузка. На некотором участке границы предполагается наличие трещины, т.е. реализуются два типа краевых условий (условия Дирихле и смешенные). Ставится соответствующая краевая задача и на основе общеизвестных результатов [16] приводится асимптотическое поведение решения вблизи вершины трещины.

Рассматривается квазистатический рост трещины. Изучаются асимптотики решения возмущенной задачи, а так же важных характеристик механики разрушений — коэффициентов интенсивности напряжений и потенциальной энергии деформации.

§1. Плоская задача теории упругости.

1. Постановка задачи.

Пусть wCl2 область занимаемая тонкой пластинкой, на участке границы Го С dtc пластинка жестко защемлена. Соответствующие краевые условия и уравнение теории Кирхгофа имеют вид: где В — цилиндрическая жесткость пластины, ду — производная вдоль внешней нормали V, $ — поперечная нагрузка. На остальной части границы 70 = дш \ Г0 находится трещина и реализуются следующие краевые условия:

DA2w(i)-/(i), х Е со, w{x) = duw(x) — 0, х G Го,

1.1.1) (1.1.2) duw{x) = О, дАъи , / д 1 дт д2 дт\ О-^-а-^)0 «гт^г + ^^г =0 хето. дв р дв дв2 ду

1.1.3) где <т — постоянная Пуассона материала пластины, а р — радиус кривизны дио. Механически такие краевые условия означают, что вдоль трещины боковая поверхность остается в контакте без трения с жестким профилем обоймы (линеаризованные условия Синьори-ни см [39,40]). Т.е. равны нулю сила и угол, пластинка не может поворачиваться.

Будем считать, что доз содержит прямолинейный участок 7 и трещина 70 Е 7. В этом случае условия (1.1.3) принимают вид: о дАт Б—— = 0 ж Е 7о-ои

1.1.4)

Ограничимся рассмотрением лишь одного конца О трещины 70. Обозначим соответствующий конец О. Введем систему координат. Начало поместим в точку О, ось Ох2 направим вовнутрь области и будем считать, что Го располагается на положительной части оси Охх.

2. Степенные решения модельной задачи.

Для построения асимптотики решения и) задачи (1.1.1) (1.1.2) понадобятся специальные (степенные) решения

Хп{х) = гп+1/2Фп((р), Уп{х) = г"п+3/2Фп(<£>),

1.1.5) модельной задачи

БЛ2«) = 0 в = {х : х2 > 0}, т = д2гп — 0 на = {х : х2 = 0,хг > 0}, (1.1.6) д2т = Вд2Аъи = 0 на К1. = {х : х2 = 0, х1 < 0}.

Здесь п = 1,2,3., д^ = д/дxj1 (г,<р) — полярные координаты, (р £ (0,7г). Вычисление явного вида степенных решений приведено в главе 4. Укажем условия нормировки:

-Вд2АХп\^0 = (2тг)

-1/2 гп-3/

Решения Уп(х) нормируются из условий биортогональности д(Хгп,Уп)=а

1.1.7)

1.1.8) где ц — антисимметрическая квадратичная форма, порожденная формулой Грина, т.е. д(Х, У) = 1Ю У* (Хд2АУ - д2ХАУ+

АХд2У - д2АХ Уйр

1.1.9)

Отметим, (см. [22]) что для любых степенных решений Xй и Уп имеет место равенство д(д\Х,У) = —д{Х,д\У). Кроме того, согласно формуле Грина величина д(Хто,Ут) не зависит от Л, следовательно д(Хто,Уп) = 0 при тф п. Соотношение ц(д\Х1 ,—^Х1) = 1 используется для определения значения множителя а = 1/Ю из соотношения дхХ1 = -аГ1. (1.1.10)

Приведем явный вид степенных решений фигурирующих далее в асимптотических формулах

X1 (х) = г3/2Ф: (<£>)

1 3/2/1 . 3 . 1 \

-' - вт — (р — вт —ш

Ол/2тг \3 2 /

1.1.11)

У1 (ж) = г1/2^1^) = —Х—г1!2 (8Ш -<р - Зет М

У2(х)=г~1^2((р)

2у/2тг

-1/2 Л 5 . 1 \ ' ' вт —<р — 5 вт -ю

3. Асимптотика решения около вершины трещины.

Известно (см. [16]), что если вблизи точки О нагрузка / = О, то существует единственное решение ио Е Н2(со) задачи (1.1.1)-(1.1.3), которое оказывается гладким всюду, кроме точек О±, концов отрезка 7°. В этих точках вторые производные функции т имеют корневые особенности, что выражается следующим представлением решения (см. [16,17],[

§5.7]и др.):

Му) = ^Х±(Г±){А±4/2Ф1(^±) + \™±У1\ + ЭД- (1-1-12)

Здесь К± и Бт± - некоторые постоянные, которые в силу условий нормировки (1.1.7) можно интерпретировать как коэффициент интенсивности напряжений и изгибающий момент в точке О^. Под Х± подразумеваются срезающие функции с непересекающимися малыми носителями, равные единице вблизи точек причем для дальнейшего удобно считать, что сужения х± на ^со равны нулю вне отрезка 7. При любом к = 0,1,. для остатка гю в окрестности точки О^ выполнено неравенство

У кчт(у)\^скг-к+5'2,

1.1.13) где УуЪи — совокупность всех производных порядка к. Ф1 угловая часть решения X1 имеет вид (см.(1.1.11), [19],[

§5.7] и др.) При этом функция у I—> лу(у) = г3/2Ф1^) удовлетворяет модельной задаче (1.1.6) в верхней полуплоскости

Коэффициенты К± вычисляются по формуле у)г1±{у)<1у,

1.1.14) причем - весовая функция (см. [20-22] и др.), т.е. неэнергетическое решение однородной задачи (1.1.6), имеющее особенность в точке г1/2ФЧЫ + А±,±г%гФ1(<р±) + 0(г2±), г±

3/2^1, г1±{у)

А^Ч^у^ + О^), Г± —>■ 0,

О, О,

1.1.15) а Ф1 — известная угловая часть (1.1.11), Функция у \—: — степенное решение модельной задачи (1.1.6).

Из коэффициентов Д. разложений (1.1.15) составим матрицу А размером 2x2.

Лемма 1.1. Матрица А симметрическая и положительно определенная.

Доказательство. Ищем весовую функцию Zl± как сумму

Остаток является решением задачи

1.1.16)

БД^±(у)= 0, у ей,

1.1.17) ф1^), дпг±(у) = -дпг1'Ч1(<Р±) у € дш \7°,

1.1.18) (1.1.19)

Краевое условие (1.1.19) оказывается однородным благодаря формуле (1.1.11). По той же причине правые части (1.1.18) аннулируются вблизи точки 0±, а значит, задача (1.1.17)-(1.1.19) имеет единственное решение ¿^ € Н2(си). Это решение допускает асимптотическое представление (1.1.15) ( без сингулярного слагаемого г^Ф1). В отличие от (2.2.4)-(2.2.6) задача (1.1.17)-(1.1.19) имеет ненулевые правые части в краевых условиях (1.1.18) и поэтому (см.

§2. Квазистатический рост трещины

1. Возмущение задачи.

Предположим теперь, что трещина увеличилась. Будем рассматривать вариацию лишь одного конца дуги Г0). Для удобства считаем, что рост происходит в точке О. Обозначим Ге укороченную дугу (зону жесткого защемления пластины) с концом в точке 0€ = (е, 0), где б — малый положительный параметр, величина на которую продвинулась трещина. Пусть we — решение возмущенной задачи

DA2«;6 = / х ecu w£(x) = dl/we(x) =0, х € Tv, dvw€(x) — DdiyAw( (x) =0, x € jv, где 7e = dto \ Ге — подросшая трещина.

2. Асимптотика решения we.

Асимптотика решения we строится при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений [9,42]. Представим we(x) в виде ряда по степеням е

We(x) = w°(x) + ewl(x) + e2w2(x) (1.2.1)

В качестве основного приближения w° естественно взять решение невозмущенной задачи w. Переходя вблизи точки О в (1.1.13) к быстрым переменным £ = е~1х, получаем, что w°(x) = Ке3/2 X1 (£) + keb'2X2{Z) + 0(е7/2|£|7/2). (1.2.2)

Для упрощения записи из формулы (1.1.13) и далее удаляем полиномиальные члены, которые не оказывают влияния на дальнейшие вычисления.

Разложение (1.1.13) является внешним разложением, исходя из (1.2.1) внутреннее разложение следует искать в виде

В растянутых координатах £ конец дуги Ге попадает в точку ö\ = (1,0). Следовательно, г>3/2 будет решением следующей задачи

DAV/2(^) = O (1.2.3) t>3/2(0 = Ö2t73/2(0 - 0 при > 1, 6 = 0, (1.2.4)

- д2А^2(0 = 0 при & < 1, 6 = 0 (1.2.5)

Из согласования внешнего и внутреннего разложений получаем условие для г>3/2(£) на бесконечности o-ütx1«).

При записи в полярных координатах (pi,<fi) с центром в ö\ решение v3'2(£) приобретает явный вид

Кр\/2 Ф1^)- В координатах (£ъ£г) с центром в точке О г>3/2(£) = КХ1 — l,^)- Обозначая ©г = ¿ = 1,2 получим

- кх\а! -1,6) = KXWÜGi - i,e2) = й3/2А'Х1(е1-|е|-1,е2), (1.2.6) раскладывая последнее выражение в ряд Тейлора имеем

3/2 ф = ^3/2к (Л-1(е) 1^-1^x1(0) +0(|£|"2))

Используя теперь равенство (1.1.10) получаем асимптотику для г>3/2 при £ —> ОС

Реализуя процедуру сращивания, уточним внешнее разложение очередным асимптотическим членом еги1{х), подчиненным следующему требованию тг(х) ~ КаУ1{г), г 0. (1.2.7)

Функция т1 должна удовлетворять однородной краевой задаче (1.2.3)-(1.2.5), т.е. она пропорциональна весовой функции Z1 (неэнергетическому решению), имеющей асимптотику (1.1.15). Весовая функция служит для вычисления коэффициента интенсивности (1.1.14).

В силу (1.2.7) гие(х) = ии0(х) + ею1 (х) = ю°(х) + еаКС} (х) = е5/2 (кХ2(С) + аКСшХ1 (£)) + - (1-2.8)

Продолжая процедуру сращивания, множитель при б5//2 назначаем в качестве главного члена асимптотики функции внутреннего разложения г;5/2 при р\ —>• ос. Поэтому

5/2(£) = ^1/2Ф2Ы + (1.2.9) где Т — величина подлежащая определению. Проделав с формулой (1.2.9) построения, аналогичные проведенным с функцией V3/2, получаем асимптотику

2(0 = кх2{^ - 1,б) + гх1(С1 -1,6) =

Приравняв коэффициенты при в формулах (1.2.8) и (1.2.9), видим, что

Т=к- + КаСш.

Для построения функции w2(x) (удовлетворяющей однородной задаче (1.2.3)-(1.2.5) внешнего асимптотического разложения добавим в ряд Тейлора (1.2.6) дополнительный член v3/2(e) = ^3/2 R (Х1(0) \Z\-ldlXl(Q) + i|^r2512X1(0) + O(|C|-3) (1.2.10)

Откуда

3/2(0 = К (х1® + aY1 (£) + + 0(|^Г3/2).,

Из равенств (1.2.10) и (1.2.9) видно, что w2 при г 0 должна иметь следующую асимптотику w2(x) ~ AlZ1 + A2Z2 г —>■ 0,

Z2(x) = Y2(x) + 0(r3/2) г —> 0, (1.2.11) условия нормировки (1.1.7) позволяют написать следующее равенство: k = J Z2(x)f(x)dx.

Имеем w£(x) = КХг{х) + кХ2{х) + еаКСшХ1(х) + eoiKYl (х) + e2A1Y1 (х) + e2A2Y2 (1.2.12)

3/2^3/2 + е5/2у5/2 = КХ1 {х) + еаКу 1 + е2<^КУ2{х) + кХ2{х

-е—Х1 - е2к-У1 + еТХ1 (х) + е2аТУь 2 4 V ;

Приравнивая коэффициенты при е У и е2У2 получаем

А1 = -к- + аТ А2 = -К

1.2.13)

3. Асимптотические формулы для коэффициента интенсивности и приращения потенциальной энергии.

Внутреннее разложение (1.2.12) служит приближением для те в окрестности точки Ое,а так же те(х) = КеХ1{хе) + где Х1(хе) решение X1 записанное в координатах с центром в точке Ое из равенств (1.2.12) и (1.2.13) выводим приближенную формулу для коэффициента интенсивности

Ке = К + еТ + 0(е2) =

К + е(аСшК+1-к \ +0( б2).

1.2.14)

Рассмотрим теперь приращение потенциальной энергии деформации II = Е — А, где Е — упругая энергия, а А — работа внешних сил. Благодаря формуле Грина Е = ^А и, следовательно, при учете (1.2.11)

Аи = ие-и0 = ~(Ае-Ао) =

J (гие — гуд)/ йх = — - J(еги1 + е2«;2)/ ¿х = тк! ! к(аСшк + \к) -

После сокращений получаем формулу

Аи = -^еК2 - |е2К{аСшК + \к) + <Э(е3). (1.2.15)

Впрочем, вывод (1.2.14) можно упростить. В самом деле, производная 11'е энергии по длине трещины равна — |аКа значит, 11" — —аКеК'е. Таким образом, (1.2.15) есть ничто иное, как формула Тейлора для IIе вблизи точки 6 = 0.

Представления (1.2.14),(1.27) используются для формулировок критериев разрушения Гриффитса и Ирвина [43], как вариационных неравенств [41]. Упомянем статью [44] посвященную схожей тематике.

ГЛАВА

Во второй главе рассматривается трехмерная однородная изотропная цилиндрическая пластина = со X (—/г/2, /г/2) С К3, которая изгибается под действием поперечной нагрузки. Направляющая цилиндрической поверхности Г^ = доох(—к/2,к/2) гладкая, причем ее часть Г® жестко защемлена, а на Т^ = \Г® поставлены линеаризованные условия Синьорини, т. е. рассматривается трехмерный аналог задачи изученной в первой главе.

В этой главе помимо постановки задачи приводятся весовые неравенства Корна [3,15], необходимые при обосновании асимптотики. Строится асимптотика решения, находятся традиционные члены асимптотического анзаца, связанные с двумерными краевыми задачами — результирующей задачей для бигармонического уравнения на сечении со (рассмотренной в первой главе) и задачей о плоском пограничном слое в полуполосе П. Обсуждается поведение решений вблизи точек смены краевого условия на дсо и на бесконечности в П. Рассматривается задача в полу слое А, описывающая явление трехмерного пограничного слоя, приводится весовое неравенство Корна, доказывается разрешимость задачи и строится асимптотика ее решений.

§1. Постановка задачи.

1. Краевая задача.

Пусть со — двумерная область рассмотренная в' первой главе, гладкая граница дсо которой содержит отрезок прямой 7. Положим со X (-/г/2,/г/2), = дсо X (-/г/2, /г/2); (2.1.1) здесь Н > О — малый параметр, толщина пластины. Основания ¡Г^ обозначим = со х {±/¿/2}. На боковой поверхности введем множество

Т/г = {х = (у, г) етк:у2 = О,

-/ - к<1(}Г1г) <У1<1+ + (2.1.2) где (2/1,2/2) —декартовы координаты введенные в первой главе, <1± - гладкие четные функции на [—1/2,1/2], а отрезок 70 = [—/,/+] содержится внутри 7. В цилиндре рассмотрим линейную задачу теории упругости

Ь^х)и = -^Ахи- (Л + /1)Х7хЧх-и = / в (2.1.3) г13(гг) = о23(и) = а33(и) = 0 на (2.1.4) = О наГ£ = Гл\Тл, (2.1.5) и2 = 0, (т12(и) = 0, а23{и) = 0 на Т/г, (2.1.6) в которой /(ж) = /3 (р)е3 - поперечные массовые силы, е3 — орт оси Xj, (Гц(и) и €ц(и) - декартовы компоненты тензоров напряжений и деформаций, 2^к(и) + Х6^ке(и), ],к = 1,2,3,

2.1.7) ч I (дип ди}~\ , ч . ч / ч . ч

Чк(и)= 2 ' = еиН + 622(«) + бззН,

А)0и]и>0 - постоянные Ламе, символ Кронекера, V х =

§гас1 и Vх- — (Ну векторные операции, Дж = • Уж оператор Лапласа. Наконец, — функционал упругой энергии,

Постоянные с в (2.1.10) и (2.1.11) не зависят от и и к € (0,1].

2. Формальное асимптотическое разложение.

1. Результирующая задача на сечении.

Как известно (см. [1-10] и др.), асимптотический анализ задачи в тонкой пластине сопровождается таким анзацем для поля смещений: и(к:х) (2.2.1) здесь т - функция (прогиб пластины), подлежащая определению, а 5) - дифференциальный оператор,

У)т(у) = к 2ю(у)е6 - к ди), , • к°а0(-)Аут{у)е3 + к1а1{~) А — (у)е\ о (С) = Л

V 4

С2

1(0 = 7 1

Л + 2// V 2 24/ '

1 11Л + 12/1

1 ЗА + 4/2^ С

2.2.2)

2.2.3)

6 А+ 2/1 24 А+ 2//

Правая часть (2.2.1) оставляет малую невязку в задаче (2.1.3)-(2.1.6) в том случае, если функция т является решением задачи Кирхгофа, рассмотренной в первой главе

ВА2чю(у) = ¥(у), У е^,

2.2.4)

IV у) = дпт(у) = 0, у€ди>\ 7°,

2.2.5) ды . ч ^ А дио . ч п

-{у) = ПАу-(у) = 0, ,6/,

2.2.6)

При этом В = - приведенная (Н = 1) цилиндрическая жесткость пластины, а правая часть Г совпадает с функцией /3 из (2.1.3). Отметим, что при более сложном нагружении пластины функция Е выражается через правые части системы (2.1.3) и краевых условий (2.1.4) (см., например, [7]).

Обращаем внимание на то, что из-за особенности 0(г±2) функции т величина (2.2.2), содержащая производные этой функции, не попадает в энергетический класс Н2(0,ь)3. Для устранения этого несоответствия в §3 этой главы будут построены трехмерные пограничные слои вблизи линий смены типа краевых условий (2.1.5),(2.1.6).

2. Двумерный пограничный слой.

Нетрудно убедится в том, что в силу (2.2.6) вектор (2.2.2) полностью удовлетворяет краевому условию (2.1.6). В условии Дирихле (2.1.5) остается невязка с главной частью 1г0ао(11~1г)Ау'ш(у)е3. Как обычно (см. [23-26,7,9,10] и др.), для ее компенсации строится слагаемое типа пограничного слоя

1п1Н 1 г)АуЪи(0, в),

2.2.7) причем компонента у8 (проекция вектора V на ось «) нулевая, переменная в считается параметром, а компоненты г>п и г>2 являются решением двумерной задачи теории упругости в полуполосе п = {(гу,с) :^>0,|с| < 1/2}, где т] = 11~1п и С = г - быстрые переменные.

Рассмотрим решение V плоской задачи теории упругости

М + д2ЛУп — (а + йд^дгу* + дсу2) = о, <эс2)14 - (л + ¿г)дс(с>,к + аст4) - 0, fa,с) g п; (2.2.8) (2n + \)d<:Vz + \drlVn = iid<:Vn + ndriVz = q1 v > 0, ( = ±1/2; (2.2.9) К (о, с) = 0, К(0,С) = -ао(С), Се (-1/2,1/2). (2.2.10)

Отметим, что вектор V представлен в координатах (s,n, z), а функция w, записанная в координатах (n,s), обозначается w(n,s). Следующие утверждение известно (см., например, [7] и [18;§5.7]).

Лемма 2.3. Существует единственное решение задачи (2.2.8)-(2.2.10), представимое в виде vn(fi,c) = bo(u)c + vn(v,Q,

Vz(r,X) = biM - bo(u)ri + Vz(v,(), (2.2.11) где bi{v) -постоянные, зависящие от коэффициента Пуасона v — А[2(А + (Vn,Vz) £ Н1(1Г)2 является гладкой вектор-функцией всюду, кроме вершин Р^ = (0, ±1/2) полуполосы, и экспоненциально убывает при г] —> +оо. Множитель Ь0(р) положителен при v G (0,1/2) п60 (0) =0.

Из-за роста функции V при rj —> оо мы не можем взять v = V в (2.2.7). Для устранения этого недостатка рассмотрим поправку wl к решению гладкого типа, т.е. заменим формулу (2.2.1) такой : u(h, х) ~ г, Vy){w(y) + hw1 (у)). (2.2.12)

Теперь условие Дирихле на T°h приобретает новую невязку h-[wl(0, s)e3 - h° s)e{ + 0{hl). (2.2.13) i= 1 Уг

Первое слагаемое из (2.2.13) уничтожается путем постановки краевого условия ш1^) = о, (2.2.14)

В результате невязка принимает вид к°Сдпт1(0,8)еп + 0(/г1), где еп — направление внутренней нормали в точке в £ дсо. В качестве главного члена пограничного слоя теперь возьмем сумму

НУ>0 = П^ОЛХМ + дпт1(0,з){г/е3 - (еп). (2.2.15)

Выражение из фигурных скобок является решением задачи (2.2.8)-(2.2.10) с новыми данными 0, —£ и 0 в правых частях соотношений (2.2.10). В силу (2.2.11) вектор-функция (2.2.15) оказывается ограниченной в том случае, если дп«;1^,«) = боИЛуЦО,«).

2.2.16)

Формулы (2.2.14) и (2.2.16) доставляют краевые условия на ди> \ 70 для неизвестной функции ги1. Согласно [7, 27] эта функция должна быть бигармонической, т.е. вд>1(|/) = 0, уеп.

Наконец, аналогично (2.2.6) напишем

2.2.17) дъи1 ду2 ди!1

2.2.18) и подчеркнем, что в согласии с (2.2.6) и (2.2.18) вектор из правой части (2.2.12) полностью удовлетворяет краевому условию (2.1.6).

Благодаря формулам (1.1.11) для угловых частей Ф-7 получаем, что Ауг£1/2ф1{(р±) = 0 при <р± = 0, ] = 1,2. Учитывая представление (1.1.12) функции т, видим, что правая часть (2.2.16) равна 1 /2

Ь0(и)т± + 0(г± ) при г± —> 0. Если т± ф 0, то задача (2.2.14)-(2.2.18) не может иметь непрерывно дифференцируемого решения из-за скачков нормальной производной в концах отрезка 70 (ср. с

2.2.16)-(2.2.18)). Указанные скачки компенсируются при помощи степенных решений

Ь0(^)т±г1Е((р±), (2.2.19) (1 - 7г-1у?±)8т^±.

Функции из (2.2.19) не принадлежат Н2(со), т.е. задача (2.2.14)-(2.2.18) не имеет решения с конечной энергетической нормой. Можно было бы доказать существование единственного решения с ограниченной производной, однако, как мы увидим далее, исследование пограничного слоя в концевых зонах поверхности Т^ потребует по

1 /2 строения функции т1 с особенностью 0(г± ). §3. Трехмерный пограничный слой. 1. Модельная задача.

Пусть А° — слой М2 х (-1/2,1/2) и Л = {£ = (6,6,6) е А° : 6 > 0}. В полуслое Л рассмотрим задачу теории упругости

- (Л + ■ Щ0 = £ е А, (2.3.1) ар([/;е,± 1/2) = £*(£'), 3 = 1,2,3, = (2.3.2)

С7(0 =0, £ € г; = {£ : 6 = 0, 161 < 1/2, 6 > 46)}, (2.3.3)

Ш = 0, <П2(и-,0 = 0, «г23(С/;0 = 0, £ € Т? = {£ : 6 = 0, 161 < 1/2, 6 < 46)}- (2.3.4)

Указанная задача получается из задачи (2.1.3)—(2.1.6) после перезаписи последней в быстрых переменных С = (^1(у1±1±),Н-1у2,к~1г) (2.3.5) и формального перехода к И = 0. Для определенности ограничиваемся рассмотрением правого конца трещины Тд из (2.1.2), т.е. <1 = <1+ъ (2.3.3) и (2.3.4).

Пусть % — замыкание по энергетической метрике Е{11, V; Л) линеала гладких вектор-функций в Л, имеющих компактные носители и удовлетворяющих условиям Дирихле из (2.3.3),(2.3.4).

Теорема 2.4. Пусть II (Е Сдю(Л)3; тогда справедливо весовое неравенство Корна

Ш; Л1|2 := Л Е ди к= 1 ди? 2

-Ь?Г4|гУз|2 сЕ(и, II; А),

-2

9£/я 2 ас/у 2 + з дЬ

1 и3

2.3.6) где = 1 + рр, а ^р £ (0,7г)и р = —полярные угол и радиус в плоскости = (€1, •

Следствие 2.5. Если II то

Я~1\и{{£',±1/2)\2 + 1{-2\и3(£',±1/2)\2}(1£1 <С с\Ш1\2.

Доказательство. Искомое неравенство вытекает из формулы Ньютона-Лейбница

1/2

•(еМ/2)2 + ^(е/,-1/2)2=2 I

-1/2 умноженной на подходящий весовой множитель и проинтегрированной по е Н Вернемся к исследованию задачи (2.3.1). Предположим, что ее правые части представлены в виде

Как обычно (см. [28, 29] и др.), элемент и пространства V,, удовлетворяющий интегральному тождеству (2.3.10) при любой пробной функции V £ И, объявляется обобщенным решением задачи (2.3.1)-(2.3.4).

Теорема 2.6. Пусть правые части задачи (2.3.1)^(2.3.4) подчинены условиям (2.3.7), (2.3.8). Тогда существует единственное обобщенное решение II £ У, и справедливо неравенство

Ш1\ + Е{и, и; Л)1/2 <С сДфг, ' (2.3.11) где 0) — сумма норм функций (2.3.8) в указанных пространствах.

Доказательство. Заметим, что для правой части /(г>) тождества (2.3.10) верна оценка

11М1 ^ сЛГ{Т, Я) (|1У1| + Е(и, и; Л)1/2) , обеспеченная теоремой 2.4 и следствием 2.5. Теперь разрешимость задачи и неравенство (2.3.11) вытекает из теоремы Рисса о представлении непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.№

2. Специальные решения модельной задачи.

Построим решения однородной задачи (2.3.1)-(2.3.4) с предписанным поведением на бесконечности. Первое из таких решений ищем в виде

ИЧО = 2)(1,V?) (1 - х(р)) Р3/2^ (Ф) + ит (2.3.12) где % 6 — срезающая функция, равная единице при р <

Ро и нулю при р > 2ро (радиус р0 выберем так, чтобы срезка 1 — X аннулировалась на линии, разделяющей множества и Т®), !Х) — дифференциальный оператор из (2.2.1), р3^2Ф1((р) — степенное решение, имеющее угловую часть (1.1.11).

Замечание 2.7. Прямые вычисления показывают, что при би-гармонической функции вектор

2.3.13) удовлетворяет однородной системе уравнений (2.3.1) в слое и однородным краевым условиям (2.3.2) на основаниях слоя. Именно из-за этого свойства вектора (2.3.13) в асимптотике решения задачи (2.3.1)-(2.3.4) фигурируют степенные решения модельной задачи (1.1.6). Сказанное об уравнении (2.3.1) вытекает из равенства

2 в е3 (/то(£з) + (Л + ц) Д?^«') = О

Для напряжений, указанных в левой части (2.3.2), имеем

3 (ть^а = 2(й - \) зз (S>(l,íз,Vtf-)w;í') = Ав1(й)Д^(С).

В первом случае на основании полуслоя аннулируется множитель — 1/4, а во втором — множитель К

Функция \У° = — ]¥ оставляет в однородных уравнениях (2.3.1)-(2.3.4) невязки двух типов. Невязки первого типа порождены введением срезки, устраняющей сингулярности производных степенных решений р3^2Ф1(ср). Такие невязки являются гладкими функциями с компактными носителями. Невязки второго типа возникают из-за того, что функция 2)/>3/2Ф1(</?) не удовлетворяет полностью краевому условию (2.3.3) в окрестности бесконечности. Согласно сказанному в п. 2§2 этой главы невязка в условии (2.3.3) имеет вид

Е «зУ (1 - х(р)) ¿:АРу2ф1 (ч>) =

Снимем эту невязку при помощи выражения

-3/2 1

6)е2 (1 - х(Ы) СГ3/2 ехр(-б). (2.3.14)

БУ2тг

Подчеркнем, что отличается от нуля лишь при £1 > 0 и 0 при £1 < 0. Нетрудно убедится в том, что функция Ш1 и все ее производные принадлежат пространству Ь2(А)3. Итак, положим

2.3.15)

Остаток Ш — решение задачи (2.3.1) (2.3.4) с правыми частями, представимыми в виде (2.3.7), где

Т3 а в и помещены невязки первого типа. Ясно, что выполнены включения (2.3.8) и поэтому теорема 2.6 доставляет решение IV Е Л. Теперь сумма (2.3.15) удовлетворяет однородной задаче (2.3.1)-(2.3.4) и, поскольку ЦТ® ^ 7/, является ее нетривиальным решением.

Второе специальное решение строится при помощи тех же приемов, но его главным асимптотическим членом на бесконечности служит £2 (см- третье слагаемое в правой части (2.1.6)). Положим

П>(£) = 2>(1,£з,^) 1

Й + (1 -х(йШи)р1Е(<р)

При этом угловая часть Н определена в (2.2.19)

2.3.16) где Уп,Уг — экспоненциально затухающие остатки в решении V плоской задачи теории упругости (2.2.8) (2.2.10) в полуполосе П. Так как вектор V не зависит от он удовлетворяет трехмерной однородной системе (2.3.1) и однородным краевым условиям (2.3.2),(3,3), а невязки произведения (1 — х)У исчезают на бесконечности с экспоненциальной скоростью. Подобная (2.3.14) величина

0 = ^1(6)(1 -х(6)) (^е3 - ^е1) ехр(-б) (2.3.17) служит для компенсации невязок слагаемого в краевых условиях (2.3.3) около бесконечности. Ясно, что функция УУ1 и ее производные, принадлежат пространству /^(Л). Поэтому, применяя теорему 2.6 к задаче для УУ, находим решение из класса % и тем самым заканчиваем построение специального решения (2.3.16) однородной задачи (2.3.1)-(2.3.4).

3. Асимптотика на бесконечности.

Формула (2.3.15) не дает полного представления о поведении специального решения ]У на бесконечности, поскольку оценка остатка величиной о(р1), гарантируемая включением IV1 + \¥ € недостаточна для применения метода сращиваемых разложений. Более того, при обосновании асимптотики в третьей главе понадобится представление с остатком о(/?-1/2). В связи с этим укажем уточненную асимптотику специального решения Ш задачи (2.3.1)-(2.3.4).

Анализ конструкций (2.3.12) и (2.3.16), использованных в предыдущем разделе, показывает, что асимптотика на бесконечности решений задачи в полуслое Л формируется из степенных решений модельной задачи (1.1.6) в полуплоскости, подправленных двумерными пограничными слоями около боковой поверхности и Подобные асимптотики находились в статьях [11-14], а процедуры их построения мало чем отличаются от изложенной в §2 этой главы, поскольку сечение полуслоя сферой с большим радиусом Л оказывается тонкой областью, "высота" которой составляет 0(1), а "длина" — О(тгД).

Среди всевозможных степенных решений задачи (1.1.6), помимо решений г3//2Ф1(<^), г1/2^1^), г1/2Ф2(у>), (см. (1.1.11)), будут востребованы решения |у2 — г2Ф3/2 и г°Ф3/2(<^) с такими угловыми частями (вычисления смотри главу 4):

Ф3/2Ы = ^(с «¡2^-1).

Укажем уточненную асимптотику специального решения Ш задачи в полуслое

ИЧО = (1 - х(р)) Ы + Мр1'2*1 ш с3/2рЧ3/*(<р) + с2р-1/2&(<р) +

Здесь М, С3/2, с2 и Ь1(р) -- некоторые постоянные,

2.3.18)

Ф20(у>) = вт -<£>,

2.3.19) а для остатка \¥ следующий интеграл сходится при любом и £ (0,1/2):

1 + л я4 Е

2.3.20)

При этом К — весовой множитель, фигурировавший в (2.3.6). Прокомментируем формулу (2.3.18). Как уже пояснялось ранее, среди трехмерных векторов еу/'ф'М, -¿йе'Ар^Ф1^), г=1 д а0(6)А^3/2Ф1Ы, (2-3.21) г=1 составляющих выражение 2)(1,£3, \7^/)/>3//2Ф1 (<р) (см/ (2.2.2)), лишь последний не удовлетворяет условиям Дирихле (2.3.3) при £1 > О, £2 = 0, |£з| < 1/2. Соответствующая невязка учитывается при построении пограничного слоя д дЬ -(1-х{е)) р

3/2ф] 0

6,6) =

-3/2^1

6,6),

2.3.22)

Бл/2^ где г;1 = (0, ^з), а двумерный вектор

Я1{п,г])= (Я1п{п,г]),%1{п,г])) = ^¡{п,?]), является решением плоской упругой задачи (2.2.8)-(2.2.10) в полуполосе П, причем условия (2.2.10) заменены такими:

77 е (-1/2,1/2).

2.3.23)

Подчеркнем, что при надлежащем выборе величин Ь1(и) и Ь\(и) существует единственное решение Ш1 6 Н1 (П)2 задачи (2.2.8), (2.2.9), (2.3.23), которое экспоненциально затухает на бесконечности (ввиду нечетности функции £ м- ах(£) из (2.2.3) проверка этого факта вполне аналогична п. 2 §2 этой главы). Компенсируя фрагмент (2.3.21) обсуждающейся невязки, пограничный слой (2.3.22) оставляет в правой части краевого условия (2.3.3) выражение 1

-3/2 ГЬ1 которое устраняется асимптотическими членами

ВлДтт

При этом функции и лу-3/2 являются частными решениями модельной задачи (2.2.12) с неоднородными условиями Дирихле ду2

ЛУ

-3/2(|/ь0) = 1, ^-3/2(^0) = 0, У1 > 0. Первое из этих решений задается формулой и учтено в (2.3.18), (2.3.19). Из-за достаточно быстрого убывания при р —> оо второе решение не понадобится.

Обсудим теперь асимптотический остаток Сначала заметим, что для каждого из выделенных в (2.3.18) слагаемых весовой интеграл (2.3.20) расходится. С другой стороны, для решения (2.3.22) типа пограничного слоя (ввиду присутствия в (2.3.20) весового множителя #(£') = 1 + <рр) и для выражения

С5/2Р включающего в себя очередные степенные решения модельной задачи (1.1.6), весовой интеграл (2.3.20) сходится, т.е. эти асимптотические члены поглощаются остатком \¥. Именно упомянутыми обстоятельствами определяются границы изменения весового показателя >с. В отличие от нормы (2.3.6) в (2.3.20) проекции векторов на продольные и поперечные направления в слое не различаются — весовые множители одинаковы. Поэтому информацию о скорости убывания остатка при £ —>■ оо следует признать неточной, однако ее будет достаточно для обоснования в третье главе асимптотики решения задачи (2.1.3)—(2.1.6).

Подобные (2.3.18) асимптотические формулы для .решений задач теории упругости в слое установлены в [30]. Наличие боковой поверхности у полуслоя привносит новые трудности, которые в случае условий Дирихле преодолеваются при помощи приемов, предложенных в [31,32,14]. Краевые условия (2.3.4) допускают гладкое продолжение упругих полей на слой с разрезом при сохранении системы уравнений (2.3.1) и краевых условий (2.3.2). В самом деле, при £2 < 0 положим

1,6,6) = ^(6,6,6), д = 1,3, (2.3.24) и заметим, что формулы (2.3.24) обеспечивают выполнение соотношений (2.3.4). Так как продолженный вектор и удовлетворяет условиям Дирихле (2.3.3) на обеих поверхностях разреза для обоснования асимптотического разложения (2.3.18) и доказательства сходимости интеграла (2.3.20) достаточно применить упоменавщие-ся результаты [30-32].

Замечание 2.8. В силу четности функций с^, описывающих линии смены краевых условий (2.1.5) и (2.1.6), свойство (2.1.9) решения задачи (2.1.3)-(2.1.6) наследуется рассматриваемым решением \¥ однородной задачи (2.3.1) (2.3.4), г = 1,2;

Именно поэтому асимптотическое разложение (2.3.18) сформировано только из решений модельной задачи (1.1.6), а решения другой

ГЛАВА 3. Введение.

В этой главе конструируется и обосновывается глобальное асимптотическое приближение решения трехмерной задачи теории упругости изученной во второй главе. Выводится оценка его отклонения от истинного решения по энергетической метрике. Асимптотические конструкции несколько упрощаются за счет перегруппировки членов и выбора "плоского изображения" трещины.

В качестве примера использования найденных асимптотических представлений вычисляются характеристики трещины, важные в механики разрушения (приращение потенциальной энергии деформации пластины при росте трещины). Проверяется, что асимптотическая формула для энергии, полученная на основе уточненной плоской модели Кирхгофа, изученной в первой главе, доставляет двучленную асимптотику приращения энергии в трехмерной задаче.

§1. Глобальное асимптотическое приближение и его обоснование.

1. Процедура сращивания.

Перейдем к быстрым переменным (см. (2.3.5)). В соответствии с асимптотическими формулами (2.2.1) и (1.1.12) находим, что при малых г±, но больших р± = Ь~1г±, справедливо соотношение

3.1.1)

Таким образом, в качестве главных членов трехмерных пограничных слоев, возникающих вблизи концов трещины следует взять выражения

Л"1/2!^*«*), (3.1.2) где — специальные решения задачи (2.3.1)-(2.3.4) при (I = построенные в предыдущем параграфе. При этом формула (2.3.12) с малым остатком показывает, что правая часть (3.1.1) служит асимптотикой величины (3.1.2) при р± —» оо. Применяя уточненное асимптотическое представление (2.3.18) и возвращаясь к медленным переменным (г±,(р±), находим, что и(Н, х) ~ Н~х/2К±]¥±{£±)

1/2,т,1, 3(Л,г,Уу)К±г±2Ф1 (^±)+Л5)(Л,г,Уу)К±М±г^Ъ1 (<Р±). (3.1.3)

Здесь М± — величина М из (2.3.18), отвечающая форме й = <1± линии раздела краевых условий (2.3.3) и (2.3.4).

Теперь сравним формулы (3.1.3) и (2.2.12). Условие сращивания этих разложений будет соблюдено, если предписать решению ю1 задачи (2.2.14)—(2.2.18) следующее поведение вблизи концов отрезка 7°:

1/2,Т,1

IV у) = А±М±4/2Ф1(^±) + о(г^), г± 0.

1/2,

Значит, как и предсказывалось в конце §2 второй главы, поправочный член т1 в асимптотике (2.2.12) оказывается сингулярным. Учитывая скачки нормальных производных (см. (2.2.16) и (2.2.18)), представим т1 в виде т

1(у) = Ух(г±) К±М±г±2Ч?1 ((р±) + Ьо(и)т±г±Е((р±) г&1 {у), гЙ1бЯ2(^)

3.1.4) и включим в трехмерный пограничный слой (3.1.2) еще одно специальное решение У\?±, т.е. положим и{к,х) ~ Л~1/2А±^±(£±) + /г%±УУ±(£±). (3.1.5)

Нетрудно убедиться, что теперь сращивание разложений (2.2.1) и (3.1.5) производится при учете третьего члена 0(г^) в представлении (1.1.12).

Лемма 3.1 Существует единственное решение ги1 задачи

2.2.14)—(2.2.18), подчиненное условию (3.1.4). Доказательство. Подставив (3.1.4) в уравнение (2.2.17) и краевые условия (2.2.14), (2.2.16) и (2.2.18), формируем задачу для определения остатка т1. Поскольку в ней устранены все сингулярности, находим энергетическое решение и)1 Е Н2(£1).

Используя результаты [17,18], можно получить неравенства, аналогичные (1.1.13),

IV*«;1 (у)\ ^ скг~к+^\ к = 0,1, 2,. . (3.1.6)

Решение (3.1.4) имеет те же особенности, что и весовые функции

1.1.15). Поэтому справедливо Следствие 3.2. Согласно (1.1.15) разность

У) = *>ЧУ) - (3.1.7) где весовые функции (см. (2.2.9),(1.1.15)), удовлетворяет оценкам йЧгОК^г1-*, к = 0,1,2,. . (3.1.8)

2. Промежуточное глобальное приближение.

Склеим" асимптотические разложения (2.2.12), (2.2.7) и (3.1.5) в единую приближенную формулу для решения и задачи (2.1.3) (2.1.6). В эту формулу будет включено много "лишних" слагаемых, нужных для чисто технических целей, — поэтому конструируемое приближение называем промежуточным и далее в §2 этой главы занимаемся его упрощением.

Используя срезки х±-> введенные в (1.1.12), образуем срезающую функцию Хь(у) — 1 — Х+(^-1г+) — равную единице всюду на со, кроме с/г окрестностей точек Кроме того, будет использоваться срезка обслуживающая двумерный пограничный слой. Она имеет носитель в ¿^-окрестности контура дсо (где введены криволинейные координаты), равна нулю вблизи отрезка 7о = {« : < 5 < (около трещины Т^ упомянутый пограничный слой отсутствует) и определяется следующим образом:

Хн{8,п) = Хш(п) (1 - хк(з)), Хс € с°° (К), хМ = 0 при И > 2^/3, Хш№ = 1 при Щ < 3

Ясно, что указанные срезающие функции можно выбрать так, чтобы Хи, и Х^ совпали на контуре дсо. Положим и (К X) = Х„(уЩк, г, V,) («,(») + кго1(у) + к3'2 го3'2(у) + к2т2(у)) +

Здесь т и т1 — решение задач (2.2.4)-(2.2.6) и (2.2.17),(2.2.18) (2.2.14),(2.2.16),

3/2Ы = $>±(г±) (к±4/2г°±*3/2(<р±) + т±СМ/2Ф1^±))

3.1.9)

5 > 5 <

Ш' у) = (К± ф%±)+

V — двумерный пограничный слой, определенный в соответствии с г ±

2.2.7) по решению (2.2.11) задачи (2.2.8)-(2.2.10) в полосе П, И^ и ~ ±

УУ — остатки в асимптотических представлениях (2.3.18) и (2.3.25) трехмерных пограничных слоев, построенных согласно §3 главы 2 для двух концевых зон трещины Т^. Наконец, слагаемое V1, имеющее характер пограничного слоя и вычисляемое далее в п.5 этого параграфа, служит для компенсации невязок, образовавшихся в условии Дирихле (2.1.5). Подчеркнем, что краевое условие (2.1.6) выполнено. Дело в том, что, как упоминалось ранее, функции к,г,Уу)(ш(у) + кт1(у) + к3/2<ш3/2(у)+]г2т2(у)) и\¥ , УУ удовлетворяют (2.1.6), а умножение их на срезки 1 — х±{Ь 1г±) и Х±(г±) не нарушают краевого условия: из (2.1.6) и (2.1.7) вытекает, что

Х±(г±)и2(х) = О, а12{х±Щх) = Х±{г±)(У\2 (и,х) + ¡1 (и2(х)^~(г±) + = О, ст2з(х±ЩХ) = Х±(г±)°2з(и,х) + ¡1 (и2(х)^-(г±) + и3(х)^^(г±) 0, поскольку дх±/дх3 = 0 и дх±/дх2 = 0 при х\ — 0.

Умножим систему (2.1.3) скалярно на V, = и — II и проинтегрируем по частям в О/,, при учете краевых условий (2.1.4)—(2.1.6). Так как вектор II € Л^(Г^)3 удовлетворяет условиям Дирихле из (2.1.5) и (2.1.6), в результате получаем равенство а]к{и),€^к(п))и = (/, те)

Пн >

1У±(Л, у) = у) - ТУ^Л, г±, у>±), СА,г±л ( Г±/2 + Нг±2 к = 0,1,

3.1.17)

Имеем

- (а^ (ЯУГ),[е5кХк]П). (3.1.18)

Первое слагаемое справа в (3.1.18) будет обработано в следующем разделе. Носители коэффициентов коммутаторов, фигурирующих во втором и третьем слагаемых, расположены в малых окрестностях точек О^, на которых Х^(у) = 1 — Х±(^~1?"±) = 1 ~~ Х±(р±)-Поскольку Х±(г) = 1 на этих носителях, вместо Л в рассматриваемых слагаемых можно писать Х±(г±)^- Заменим еще в них X^ и на 1 — х±(р±) и W:t, а также расширим область интегрирования до полуслоя Л/г = : 6 Л} . В результате получаем азк, 1 - Х±(Р±)] ^±,е±(П)) - {азк (ЗЛУ^ , 1 - Х±(р±)) Ю =

Чк ((1 - Х±(Р±))®™±) (Х±(г±)П))Ак -- (а5к ,езк ((1 - Х±(Р±)) Х±{г±)П)Ан

3.1.19)

Так как в (3.1.16) все функции бигармонические, согласно замечанию 2.7, последнее вычитаемое в (3.1.19) равно нулю. В самом деле, поле удовлетворяет однородной задаче (2.3.1)-(2.3.4) (напоминаем про уговор отложить обсуждение условий Дирхле на Гд до п. 5), а поле (1 — Х±(р±)) Х±(г±)7^ обладает компактным носителем, отделенным от отрезка € дА : р± = 0}, на котором у функций из (3.1.16) имеются особенности; таким образом, нужное равенство достигается интегрированием по частям.

Обратимся к первому слагаемому в правой части (3.1.19). В силу (2.3.18),(2.3.25) и (3.1.15)

3-1.20) (1-Х«з))т±У±К±); здесь — прежнее слагаемое типа двумерного пограничного слоя. Слева в (3.1.20) стоит решение однородной задачи (2.3.1)-(2.3.4) и поэтому сумма первых слагаемых из правых частей (3.1.14) и (3.1.19) равна

-ш±((7,к ((1 - х(6)) (х±(г±)П)).

3.1.21;

Именно эта величина, взятая с обратным знаком, остается после анализа двумерного пограничного слоя (см. далее п. 5).

Нужно еще оценить погрешности, образовавшиеся вследствие замен \У '\У±, т.е. найти мажоранты для скалярных произведений

4 = ([^,1 - х±(р±)]®Уг±,Чк{Ю),

4 = (*5к (ЪуИ) , [е,-ь 1 - х±{р±Ш).

На носителях коэффициентов коммутаторов имеем г ~ к и Э/г(ж) ~ Н. Следовательно, пользуясь неравенствами (3.1.17),(2.1.11) и заменяя в них указанные весовые множители на к, видим, что 4

1/2

-2 К *

2)W= х

1/2 0 сне (тг, тг;

1/2

1/2 4 с/Г1

Я + а с1х X

Такие же формулы верны и для Нр,£)ъир при р = 1,3/2,2. Поскольку функции иир бигармонические и ъи удовлетворяет уравнению (2.2.4), при учете формулы е33{ХьЩ = Х^33{71) приходим к неравенству азз (2)\У) ,е33№7г))|< С02Ц/з^ИЦ х |е33№Я);Ь2(ЗД|| ^ С7г3/2£(7г,7г;ЗД. (3.1.24)

Подразумевая суммирование по г, п = 1,2, проинтегрируем по частям и получим д

3.1.25)

Подчеркнем, что "переброска" производных по у{ стала возможной потому, что 71 = 0 на , = 0 на Т^ и = 0 на 7°. Кроме того, сгг3(2)го; ±Л,/2) = 0, что позволило перебросить производную дг'

Обращаясь к (3.1.23), видим, что дуг дуг гП ^ ^А + 2^ \ 4У у Итак, сумма выражений (3.1.25) равна

А + /1

3.1.26)

- Л>АТг3). (3.1.27)

Если же вместо ги взять ки; 1 /г3/2 «г3/2 или /¿2гу2 и повторить преобразования (3.1.25),(3.1.26), то выражение (3.1.27) исчезнет ввиду бигармоничности этих функций. Аналогично а}п(ш),€{п(ХнП)) = к{\ + 2//)(а1^-А2«;,7гг),

7),с,-„(^лтг)>|^ сл3/2!^^;^^)!

П2;Ь2{ПН)\\) < СН3/2Е(П,П-,Пн), (3.1.28) к?егП(ХкП)) = 0, р = 1,3/2,2.

Обращаем внимание, что интегрирование по частям возможно благодаря упоминавшимся ранее причинам; кроме того,' ду1ду2 О на 7° в силу (2.2.6) и Х^ = 0 вблизи точек т.е. сингулярности производных не мешают.

Присоединим к (3.1.27) скалярное произведение (/,= (/з,^з) из (3.1.12). Заметив, что среднее по 2 6 ( — /г/2, /г/2) первого из сомножителей в з + 2/г (С2 - ^ А2^(у),ХнП3) + ((1 - Х,)/3,7г3> (3.1.29) равно /3(у) — А2ги(у) = 0 (ср. с (2.2.4)), заключаем, что выражение (3.1.29) совпадает с

3 + 2/.^^ (V - £) А2уп,хн (тг3 - тг3)> + ((1 - X,) /3,тг3), а его модуль имеет такую мажоранту: с/г3/2||/з;Х2И||{||^7гз;12(ад|| + ДК27гз;Х2(^)||} < С/г3/217г;Оа < С7г3/2£(7г,7г;ад1/2. (3.1.30) г/2

Здесь использовано обозначение 7£з(у) = /г-1 / 7^з (у,г)с1г, а такг/2 же неравенство Корна (2.1.11) (множитель /г2Э^4 эквивалентен /г-2 на вирр (1 — Х/г)) и одномерное неравенство Пуанкоре

•/г/2

-/г/2

П3(у,г)-Пя(у) , Л2 аг — г/2

-/г/2 дгЩу,г г, проинтегрированное по у £ ио.

Итак, собирая приведенные соотношения (3.1.24),(3.1.28),(3.1.30), обнаруживаем, что ajk(VW),ejk(XhK)} - (f3,1Z3) ^ ch^2E(1Z, К- Ц)1/2. (3.1.31)

5. Невязки, оставленные двумерным пограничным слоем.

Отщепим от первого и второго слагаемых в правой части (3.1.10) выражения и присоединим их к последнему члену в (3.1.10). В результате оно примет вид суммы члены которой по определению удовлетворяют (2.3.3), а значит, и (2.1.5). Остальные слагаемые в (3.1.10) (без х±у1) порождают в условиях Дирихле (2.1.5) такую невязку:

Хь(у){Я(11, г, ?/)-Х> (г±)Э(Л, г, У^ЧУ^Л, у)}+

Xh{s,n)V(^^){Ayw{s,0)-Y,™±X±(r±)}+ (3.1.32)

Xh{s, n)bi(u)Ayw{s, 0)e3.

Чтобы устранить влияние последнего слагаемого из (3.1.32), не затухающего внутри пластины, введем в поле v1 конструкцию, имитирующую первую пару асимптотических членов в (2.2.2), vl(h,x) = v°(h,x) -\-v(h,x), г=1 д ег—(хн(8,п)Ауш(з, 0)).

3.1.33)

Функцию V представим как произведение срезки х/Д5,^) и величины Л^в, /¿-1,г), исчезающей со скоростью 0(ехр(—/г1п)) при удалении от Г^. В целом сомножитель V произволен, но при п — 0 он должен совпадать с разностью V0 и первых двух членов в (3.1.32). Эти требования выполняются при полимиальной зависимости V от 1ъ~1 г и гладкой экспоненциальной от ¡г~1п. Дифференциальные свойства функции V относительно переменной 5 и порядок ее малости в сравнении с параметром Н предопределяются конструкцией первых двух выражений в (3.1.32).

Поскольку невязка третьего слагаемого из (2.2.2) компенсируется решением типа пограничного слоя, в силу (1.1.12),(1.1.13) вклад выражения Хк{Т>ии-^2х±£> (К±г3/2Ф1((р±) + \т±у1)} в У(«, 0, оценивается величиной с/г1

Аналогичный вклад от

Н1Хк{Ът1 - (а±М±г!/2Ф1(^) + Ьъ{р)т±г\В

3.1.34) согласно (3.1.4),(3.1.6) составляет О +/Л±3/2) . (3.1.35)

Свойства срезающих функций х± (см- комментарии к (1.1.12)) и строение (3.1.11) членов гс3/2 и т2 показывают, что следы на Г° функций

Хн{тртр - ^ V}, р = 3/2, 2, представляются как суммы }грС20,р(8,11 1 г) 11р+1(^1,р(8,11 где — полиномы переменной ( с коэффициентами из Со°(ди> \ 7°). В итоге получаем оценки

У(

3.1.36)

Подчеркнем, что формулы (1.1.13) и (3.1.6) позволяют дифференцировать величины, указанные в (3.1.34) и (3.1.35), т.е. д8У(з,г,Л) се'^Н

-Г1и1 {-3/2 Кг

-5/2

3.1.37)

Перейдем к рассмотрению произведений

3.1.38) появляющихся справа в (3.1.12). Коммутируя со срезками, получаем у'ш - ^ Х±т± I ) Лезк, Хк]Щ +

-{(т^ХкЬ^^уШе^.е^П)) = : /1 + /2 - /з + ^^ + # ~ /з±} + ^

3.1.39)

Хн отличаются от нуля лишь на объединении двух множеств {у : в € ди \ 7°, п е (4>/3, 2^/3)} и {у: п^ 2^/3, ±(в - в±) € (сЛ, С/г)}, причем на первом из них величины У±(/г~1п, /г-1^) экспоненциально малы, а значит, оценки соответствующих интегралов очевидны. Итак, и сн

1/2 с/11/2 Л"2 1е-25оП/Ып1 \г^2\2ёг + е-28^\ Е(П, П, ЗД1/2 ^ с/1 ос С71

1е-25оП/Ып1 (Л"2|г1/2|2Ч

0 с/г 1/2 г"1/2|2^г + е"25^ Е(П,П; Щ1/2 < сЛ1/2 4Х/гШ±У±; £2(ЗД||£(7г, 7г; зд1/2 < г V72 2 о

Учитывая, что весовой множитель О/Д?/), фигурирующий в левой части неравенства Корна (2.1.11), эквивалентен п + к на носителе виррх/п получаем оценку п с (\bhOira h-1\\dlal3(Xhm±V±);L2(nh)\\x . x (K^L^I +h\\^21l3;L2(nh)\\) <C oo sí chl'2{h~2 J [(n + h)2 + h~2(n + h)*] e-2S°n'hdny'2m-, QhI sC 0 chin- QhI.

Осталось разобраться со скалярным произведением Д. Решающим оказывается тот факт, что V^ удовлетворяет однородным системе (2.2^8) и краевым условиям (2.2.9), a 1Z аннулируется на т.е.

J ( - ^2x±{r±)m± j {(ann{V±),enn(xhK))n + ди>\~(с

2 {(ТпЛ^^пгЫП))п + (o-Z2(V±),62z(x/l^))n}d5 = 0. Модуль оставшейся части имеет такую мажоранту: а , . Г\----------------^ awfisuPPXh

Ayw -^1х±т± X

J (1 + h~2n2) e-25on/hdny/2E{n,1Z; 0/>)1/2 ^

C ch\\ogh\^2E(n,1Z-,nh)l/2. Здесь были учтены формула (1.1.12) и оценки (1.1.13).

6. Оценка промежуточного остатка.

Соотношения, установленные в предыдущих разделах, показывают, что правая часть равенства (3.1.12) не превосходит

Таким образом, обращаясь к весовому неравенству Корна (2.1.11), приходим к следующему утверждению.

Теорема 3.3. Пусть для правой части / = /зе3 системы (2.1.3) выполняется включение /з Е Н1 (со).Тогда решение изадачи (2.1.3)-(2.1.6) и его асимптотическое приближение (3.1.10) связаны неравенством

1и - и; ад + |езк{и) - е,к{и); ¿2(ЗД| ^ С^1"*, (3.1.40) где х —произвольное положительное число, а постоянная Сн зависит от х, /, и), А, ¡1 и т. п., но не от толщины пластины

§2. Упрощенные асимптотические формулы и их следствия.

1. Асимптотика потенциальной энергии деформации.

Теорема 3.3 позволяет вычислить и обосновать асимптотики величин, важных для механики разрушения. Одной из таких величин является потенциальная энергия деформации, г € (0,1]. и(и;14) := Е(и,щПк) - у ¡ъ(у)щ(к,х)дх

Пн

Покажем, что из (3.2.2) можно удалить все члены, кроме ю и /ш;1, и получить формулу

I ШЫУ) + Ьг»х{у)}<1у + (3.2.3) ш

В силу (3.1.11) к3/2и)5/2(у) + /г2гу2(у) — 0(Д3/2) на носителе срезки Хь (см. начало п. 1 §4) и поэтому

Согласно (1.1.12),(1.1.13) и (3.1.4),(3.1.6) два оставшихся члена в фигурных скобках из (3.2.2) не превосходят с(г3/2 + кг1/2), а значит, множители Хь(у) при них можно опустить,

КI /3 (1-Х/г)^-2{ш + ^1}^|^с/г1/2||/3;Ь2(

СО .

Таким образом, первое слагаемое справа в (3.2.2) порождает правую часть (3.2.3). Проверим оценки для последних двух интегралов из (3.2.2). Поскольку |Дуго(0, в)| < с на дсо (см. текст перед (2.2.19)), имеем зХи^х сь}'2

1/2 сл, где ПЛ-= {(г], £) : |£| < 1/2, 0 < £ < а норма функции V в ¿2) есть О ^(гпе82П/г-1(гш)1//2^ = 0(1г~1), так как эта функция ограничена (слагаемое из (2.2.11), растущее на бесконечности, исчезает из (2.2.15) благодаря постановке краевого условия (2.2.16)). Наконец, используя формулы (2.3.20) и (2.3.26), обнаруживаем, что /зХ± + т±щ) йх ^ С/^Ц/з^ИЦх

С Ch1'2 {h-'^h^WW ;L2 {Aich-1)) |+ h3/2\\W±;L2(A(dr1))\\^ < Ch1/2 ^-1/2Л3/2Л-х|| (l+p2yfW±;L2 (Aich-1)) ||+ h3/2h-i/2-^ (1 + L2 (Aich'1)) I <

C c/i-x+3/2.

Подчеркнем, что множитель /г3/2 появился в результате замены х ^ (см. (2.3.5)). Кроме того, на множестве Л (с/г,-1) = {£ € Л : ^ Ch-1}, содержащим носитель срезки х± (^IC^'D? выполнены неравенства 1 ^ Ch~2>t (1 + р2)~н , 1 ^ Ch~l~2>c (1 + p2)H~l/2, которые дали возможность внести весовые множители под знаки норм функций W и W .

Заметим, что согласно представлению (3.1.7)

J hwldy = J F^dy + ^KiMi J FZ±dy.

LO U ÜJ

В силу (1.1.14) имеем f FZ±dy = K±. iO с явлением плоского пограничного слоя, а величины М±(К±)2 порождены трехмерным пограничным слоем около концов трещины

2. Асимптотическое представление решения на удалении от вершин трещины.

Выкладки из предыдущего раздела показывают, что при вычислении асимптотики функционалов от решения и некоторыми членами приближения (3.1.10) можно пренебречь. Между тем, нетрудно убедиться в том, что весовая Г; 0/Д и анизотропную Ц-;^! нормы члена составляют О^"1/2), а для членов ^Х^т4 при q = 1,3/2,2 те же нормы равны О(/г0) и соответственно, причем уменьшение показателя степени /г в первой из них происходит из-за особенностей 0(г±9+3^2) функций тч в точках О^. Из сказанного вытекает, что названные члены включены в приближенное решение II обоснованно (мажоранта в (3.1.40) есть о(/гх/2) при Л- —>■ +0) и упрощения асимптотических формул можно добиться, лишь ослабив эталонную норму.

Продолжая вычисления, обнаруживаем, что 1-1 нормы у слагаемых хли, ХиЬу1 и 1/2IV суть 0(/г°), ау х±Н; —0(Ь^2). Наконец, I • ¡-нормы у тех же четырех слагаемых равны 0(Ь°), 0(Ьг), О(Ь0) и О (/г1/2) соответственно. Таким образом, для устранения пограничных слоев из асимптотического приближения переход от нормы 1-; к норме Ц-;^! недостаточен, и поэтому приходится подстраивать новые весовые нормы. Именно, при з ^ 0 и £ ^ 0 положим

Iи; П/Д^ = Е

1к=1 ди1 дук дг дП ; ди3 дг

12Ъй4\и3\ дУз д2^ (тах{Д, г±})2г с1ус1г г2, 'л Эь ~\и.

1/2

3.2.5)

Заметим, что ^О/До^ — Дополнительные весовые множители и тах{/г,г±} подавляют составляющие, сконцентрированные вблизи поверхности Г® и около концов трещины Т^. Следствие 3.4. Справедливы неравенства

Iи - ХНЯ (т + 1гт1)- ПЛ10,1 < с^1"^, (3.2.6)

Iи - (ги + кт1)] ЗДМ ^ с/г1"^. (3.2.7)

Доказательство. Поскольку 1-; при 5 ^ в, Т ^ нужные утверждения обеспечиваются оценкой (3.1.40) и такими формулами:

1хлг;;ПЛ11,о = О(Л), ; ЗД0,1 = О (к),

Для проверки последних можно воспользоваться леммой 2.2 и соотношениями (3.1.33)-(3.1.37),(2.3.20),(2.3.26). ' 1Е1 Заметив, что Т>н(у)~2+8 тах{Л, г-)-} > с > 0 при у Е о; и 5 = 1, выводим из неравенства (3.2.7) и определения (3.2.5), что

1/2 -1/2

Такая оценка напрямую ведет к представлению (3.2.4) функционала (3.2.1) потенциальной энергии деформации.

3. Асимптотическое представление решения вблизи концов трещины Т^.

Перегруппируем несколько членов в асимптотическом представлении (3.1.10). Именно, отщепим от т, т1 особенности, выделенные в (1.1.12), (3.1.4), и вместе со слагаемыми ¡Эги3/2 и 2)м;2 присоединим к членам последней суммы из (3.1.10). Добавив также слагаемое т±У±, имеющееся в пограничном слое v, согласно формулам (2.3.18) и (2.3.25) образуем линейную комбинацию

Н-^КьУГ*^) + т±У^±(^±) (3.2.8) специальных решений однородной задачи (2.3.1) (2.3.4), построенных в п. 2§3. Поскольку оставшиеся фрагменты первого и второго слагаемых справа в (3.1.10) малы при г± —»■ 0 (мы не уточняем это утверждение — соответствующие оценки в весовых классах весьма громоздки) выражение (3.2.7) идентифицируется как главный член асимптотики решения и задачи (2.1.3)-(2.1.6) вблизи фронтов трещины Т/г

4. Плоское изображение трещины Т^.

Концы отрезка 70, являющегося трещиной в двумерной задаче (2.2.4)-(2.2.6), выбраны в (2.1.2) произвольно. В самом деле, положив = ±1±±1°±Н, (3.2.9) получаем новую "плоскую" трещину 70 и новые профили ¿± = (1± — 1\. Так как в механике толщина /г малая, но фиксированная величина, наличие параметра Д в определении (3.2.8) условно и требуется найти какой либо способ выбора 1±. Оказывается, 1± можно фиксировать так, чтобы в асимптотике (2.3.18) функции И^ множители М± стали равными нулю. При этом из формулы (3.1.7) для IV1 исчезают весовые функции Z± (производные ю1 становятся ограниченными), а в представлении (3.2.4) потенциальной энергии деформации пропадают члены 2"1М±(А"±)2, отражающие влияние трехмерного пограничного слоя. Последнее обстоятельство позволяет рассматривать интервал 70 с концами (3.2.8) как правильное плоское изображение трехмерной трещины Т^.

В первой главе (см. также [19]) указана следующая связь степенных решений модельной задачи (1.1.6) с угловыми частями (1.1.11):

X1 (у) = г3/2Ф] Ы, У1 (у) = г1/2*1 Ы, (3.2.10)

JLx\y) = -*Y\y\ a=g. (3.2.11)

Заметим, что (см п.2 §2 Глава 1.) n3/2^(B! + ГГ1^) =

- |е/|3/2{х1(в1,в2) + [Г^ЧхЧвьв^ + Oder2)} = Xl(e)-l0aYl(O+O( |£'г1/2) напомним, что здесь 0 = (Oi,02) = iC'i1^'- Следовательно, сдвиг начала координат вдоль оси на расстояние 10 изменяет второй член из фигурных скобок в (2.3.18) и делает его равным

М — а/°)г1/2Ф1 (ср.) ' (3.2.12)

Итак, функция W^ утрачивает слагаемое (3.2.9) в том случае, если концы трещины 7° определены последним равенством (3.2.9), в котором l°± = dm±.

5. Двумерные и трехмерные формулы Гриффитса.

В §2 первой главы мы рассмотрели простейшую плоскую задачу механики разрушения — продвижение только одного конца трещины. Теперь займемся изучением аналогичной трехмерной задачи. Ограничимся случаем параллельного переноса фронта <1^ = {х : у1 = + г), у2 = 0, \г\ < Л/2} трещины Т^ на расстояние

6. В этом случае плоское изображение трещины 70 (см. п. 4) также удлиняется: 7е = {у : —1 ^ у1 ^ + е, у2 = 0}. Соответствующее приращение потенциальной энергии деформации в двумерной задаче Кирхгофа (см. п.З §2 Главы 1, [33]) вычисляется по известной формуле

А\]к = — —/г-1 е (аК2± + О(е)) (3.2.13) главный член асимптотики (1.2.15). Она получается при помощи асимптотического представления (1.2.8) решения w£ задачи (2.2.4) (2.2.6) с удлиненной трещиной 7е. В самом деле, подставив (1.2.8) в (1.1.22) с w = W = we, проинтегрировав по частям и воспользовавшись соотношением (1.1.14), получаем (3.2.13).

Проделаем аналогичную процедуру в уточненной формуле для потенциальной энергии деформации пластины, т.е. примем во внимание вторую скобку из (3.2.4) (напоминаем, что М± = 0 согласно п.4). Так как функции Ауг и ДуГ1/2^1 (ср) обращается в нуль при <р = 0, при вычислении интеграла

-h0(v)D J \Aywe{s,0)\2ds (3.2.14) dco\~f£ можно по прежнему пользоваться главным членом представления (1.2.8). Таким образом, интеграл (3.2.14) равен

-i&oMD J \Ayw{s,0)\2ds+h0{v)D J \Ayw(Sl0)\2ds+O{e2) = дш\7° 7e\7° -\bo(v) J \Ayw(s,0)\2ds + l-eb0{v)Bm\ + 0(e2).

Здесь учтено, что в силу (1.1.12),(1.1.13) Ayw(s,0) = т+ -f 0(е) на малом отрезке 7£\7° = (/+,/++ е). В результате обнаруживаем, что

AU= -^h~1ei[aKl-hb0(p)'Dm2+-hO(e + h3/2-,<)y (3.2.15)

Получим то же представление (3.2.15) для потенциальной энергии деформации пластины, исходя из трехмерной постановки задачи (2.1.3)-(2.1.6).

Согласно известной формуле Гриффитса (см. [34-37] и др.) приращение потенциальной энергии деформации выражается через коэффициенты интенсивности напряжений поля и, т.е. множители при сингулярной составляющей решения задачи (2.1.3)—(2.1.6), u(h,x) ~ г)!2 (к^М^ФЧФ +К2(Мл)Ф2($) • (3.2.16) имеющей зажатые берега (см. трюк с продолжениями функций, описанный соотношениями (2.3.24)). Угловые части Фг определены равенствами

Ф* = —-j=j--- (-(Л + bfjt) sin I + (ЗА + 7fi) sin ^ ] ,

2\/2тт(Х + 3/x) V 2 2 /

Ф* = A+5/i f- COS ^ + eos £ V Ф* = 0, * 2л/2тг(а + 3/lí) v 2 2 / s

Ф2 = О, Ф2 = о, =

Обратим внимание на множитель cos(n,a?i) в интеграле (3.2.17). Весовой множитель в формуле Гриффитса совпадает с глубиной приращения поверхности трещины, вычисленной вдоль нормали. В нашем случае осуществляется параллельный перенос фронта d^ и упомянутая глубина равна 6Cos(ñ.,:ri).

Вспомним, что вблизи концов трещины Т^ трехмерное поле смещений u(h,x) приближено суммами (3.2.8). Обозначим K^(si) и ¡Cf(si) коэффициенты интенсивности напряжений в специальных решениях W+ и W+ однородной задачи (2.3.1)—(2.3.4),

W+(0 - г1/2 (кК1(з1)Ф1(ф)+К2(з1)Ф2(ф)) , w+(0 ~ г1/2 (^(.ОФ1^) + /С2(51)Ф2(^)).

Здесь обозначения аналогичные использованным в (3.2.16); в частности, «i — длина дуги на фронте d^ трещины Y®. Таким образом, приближенные формулы для Кi(h,Sh) приобретают вид

Ki(h,sh) ~ h-'K+Kiis,) +h~í/2m+ICl(s1). (3.2.19)

Дополнительный (по сравнению с (3.2.8)) множитель h~1//2 возник

-1/2 т i /2 -1/2 при растяжении координат, поскольку rh' = h4 г 1/ .

Сравнивая главные члены асимптотик (3.2.4) и (3.2.17),(3.2.19) видим, что достаточно убедиться в справедливости равенства

2 л 2 г=ч еН~1 (аК\ - кЬ0(и)Т>т\) .

3.2.20)

Как и случае вывода формулы (1.1.14), проверка (3.2.20) осуществляется следующим образом: в формулу Грина для области {£ € Л : |£'| < Д} с вырезанной ¿-окрестностью У<5 дуги <1^" подставляются векторы И^) + т+Н>+(£),

3.2.21)

Эти векторы удовлетворяют однородным уравнениям (2.3.1)-(2.3.4), так как во втором случае производится дифференцирование вдоль границы. Следовательно, из полученной формулы Грина исчезают все интегралы, за исключением интеграла по поверхностям 7д — {С £ Л : < К} и <9У«5ПЛ. Прямая проверка, опирающаяся на асимптотические представления (2.3.18) и (2.3.25), показывает, что предел при И —> +оо интеграла по 7д равен правой части (3.2.20), умноженной на К. Благодаря соотношениям из замечания 2.7 расчеты по существу сводятся к вычислению контурного интеграла в формуле Грина для бигармонического уравнения; при этом используется связь (3.2.11) степенных решений (3.2.10) (подробности см., например в [13]), а также неожиданное свойство биортогональности степенных решений Х{£) — и = Риз (2.2.19). Именно, справедливо равенство д д —ХА^—У* др д^г

71 д д д д ч имитирующее известное свойство биортогональности степенных решений г3/2Ф1 и г1/2^1 модельной задачи (1.1.6), которое, согласно [20,21,19,22], обеспечивает интегральное представление (1.1.14).

При обработке интеграла по трубчатой поверхности П Л принимаются во внимание связи (3.2.18) степенных решений модельной задачи теории упругости. По причине известной биортогональности названных решений (см. [20-22] и др.) предел при 6 —+0 рассматриваемого интеграла равен левой части (3.2.20), умноженной на К (подробности см. в [38,13]). Подчеркнем, что множитель сов^п,^) возникает из-за того, что связь (3.2.18) подразумевает дифференцирование по направлению нормали к <1^ С {£ : £2 — 0}, а в (3.2.21) фигурирует производная д/д^\.

Итак, равенство (3.2.20) проверено, а значит, уточненная формула (3.2.4) для приращения потенциальной энергии деформации плоского изображения трещины оказывается двучленной асимптотикой аналогичной трехмерной формулы (3.2.17), которая учитывает продвижение всего фронта <1^ трещины по краю тонкой пластины.

ГЛАВА 4. Введение.

Данная глава носит вспомогательный характер. В нее помещены громоздкие расчеты из предыдущих глав. Из первой главы сюда перенесены вычисления явного вида степенных решений (1.1.11) модельной задачи (1.1.6), и определение значения множителя а из соотношения (1.1.10). Вычисления вспомогательных степенных решений неоднородных модельных задач возникающих во второй главе при компенсации невязок оставляемых двумерным пограничным слоем в краевых условиях. А также решения систем Ламе, третья глава §2, фигурирующие в асимптотике приращения потенциальной энергии деформации. Доказательство теоремы 2.4 из второй главы приведено в четвертом параграфе.

§1. Вычисление специальных степенных решений однородной задачи для бигармонического уравнения.

Нас интересуют решения соответствующей модельной задачи

Д2«? = 0 в = {х : ж2 > 0}, (4.1.1) и) = д2т = 0 на = {х :х2 = 0, хг > 0}, (4.1.2) д2т = д2Ат = 0 на М1. = {х : х2 = 0,хг < 0}. (4.1.3)

Здесь д] = д/дх3, (г,ср) — полярные координаты, (р € (0,7г).

Как известно (см. [16]), общий вид таких степенных решений следующий гх (а вт\<р + Ъ+ свт(Л - + (1соъ{\ - 2)(р) (4.1.4)

Подставим данную формулу в краевые условия. Из (4.1.2) получаем соотношения для коэффициентов b = -d а = —с(А - 2) Краевое условие (4.1.3) дает два типа решений (см. [41])

А = 0,±1,±2,. rA(6cos — 6cos(A — 2)(р) (4.1.5)

А = ±|, . rA(a sin А^ - sin(A - 2)<р) (4.1.6) Решения типа (4.1.6) в свою очередь делятся на две группы

Хп(х) = гп+1^2Фп(р), п = 1,2,3,. (4.1.7) такие функции входят в асимптотику решения задачи, обладающего конечной упругой энергией. Они также порождают особенности напряжений и их производных в точке отрыва.

Вторая группа решений образована функциями вида

Yn(x) = г~п+3/2Я>п((р) (4.1.8)

Они имеют сингулярности в точке отрыва и соответствующий интеграл энергии расходится.

Функции вида (4.1.5) так же фигурируют в асимптотике решений обладающих конечной энергией. Соответствующие напряжения являются гладкими.

Нас будут интересовать решения типа (4/1/6). Условия нормировки происходят из механики трещин.

-Вд2Хп\^0 = (27т)-1/2 тп~5/2

Откуда получаем явный вид решения

А = 3/2 из формулы у = г sin ip и вида необходимого нам решения |у2 получаем b'2 = — J. А = 0 соответствует bo — bo cos 2(р.

Для этих двух функций интеграл q(X, Y) равен единице. Следовательно 6n = — 7Т-.

Z 7г

§2. Специальные решения неоднородных задач.

При изучении двумерного пограничного слоя в §2 второй главы возникла следующая неоднородная задача

Д : 2уии1 = О

0, дпш1 = Ь0{и)Ауи)(0,8) (4.2.1) дпт1 = 0, дпАуги1 = 0 Как известно асимптотика ю имеет вид

2х±(г±){К±г^2 ф1^) + \гп±У1) ± а

Прямые вычисления дают

Ь0(и)Аую(0, в) = Ь0(р)т±

Для компенсации данных невязок используем степенные решения вида

Ьо(")т±г1Е((р±) следующей модельной задачи 0, дпх? = 1 <9плу = 0, 9ílд?^w = о

Явный вид:

Г1Е((р±) — Г1 (1 — 7Г1<£>±) 8т<£>±.

В §3 второй главы для компенсации невязки оставленной двумерным пограничным слоем (2.3.22) в условии (2.3.3) понадобилось решение, лу-1/2 = 2Г-1/2 si.ii —,

2' соответствующей неоднородной задачи а2^-1/2 = о, лу-1/2 = 0, а^"1/2=г"3/2, = 0, 5пД^"1/2 = 0.

§3. Системы Ламе.

В параграфе 2 третьей главы рассматривалась трехмерная задача о продвижении трещины. В выражении для приращение потенциальной энергии деформации участвовали коэффициенты интенсивности напряжений, которые являются множителями при сингулярных решениях задачи теории упругости (2.1.3) (2.1.6). Использовались следующие решения: и(у) = гХФг{ср) г^2ф{{<р), г"1/2^», ¿ = 1,2. Где угловые части Фг(<^) и Фг(</?) есть

Необходимо удовлетворить следующим краевым условиям иг = и^ — us — 0, при <р = О, и ч> 0, lldtpUs = 0, CT(/Jr(wr,«v) = 0, при (fi = 7Г.

Напоминаем, что + --у

Известен (см. [16]) общий вид таких решений ur(y) = rx (A cos(l + \)<р + В sin(l + \)(fi

С cos(l - X)(fi + D sin(l - \)<p, U(p(y) = rx (B cos(l + \)(fi - A sin(l + X)ip +tD cos(1 — \)ip — tC sin(l — X)ip, us(y) = rxF sin<^/2.

4.3.1)

Рассматриваем соответственно Л = 1/2, —1/2. Множитель т определяется следующим образом г =

3 + Л - 4и 3 - Л - 4г/ где и — 2(л+д) — коэффициент Пуассона. Известна также структура решения и(у) г' = 1, и8(у) = О, г = 2, иг(у) = 0, = 0.

Подставляя (4.3.1) в краевые условия получаем для Л = 1/2 и Л = -1/2

А = С = 0, В = -тБ.

U + 8/o)

- 4© V4 (V + ^ 4 |/73|2^. . (4.4.3) л

Заметив, что 1— 4£| ^ 3/4 на суженном полуслое Л' = {£ 6 Л, |£3| < 1/4}, избавляемся от дополнительного весового множителя путем сужения области интегрирования в (4.4.2) и (4.4.3) до Л'. В итоге получаем неравенство

1м;Л'1|2 ^ с£(11,и : Л). (4.4.4)

Осталось распространить интеграл из левой части на исходный полуслой Л = {£ : £2 > О, |£3| < 1/2}. С этой целью рассечем полуплоскость на фрагменты (см. стр. 85). Первый квадрант разобьем на квадраты со сторонами длиной 2к; к,] = 0,1,2. Индекс к указывает номер шеренги, выстроенной вдоль оси £1, а 2 — порядковый номер в шеренге. Второй квадрант составим из единичного квадрата до,о = (— 1, 0) X (1,0) и Г'-образных множеств:

Як,о = {£' : Чь&€(0,2*)}\К' : [0,2^]}, к = 1,2,. из квадрата со стороной 2к отрезается нижняя правая четверть). Под центром фигуры д^^ понимаем центр квадрата, с которым она совпадает или из которого получена. Как нетрудно' проверить, на каждом из этих множеств выполнено неравенство

0 < с2к ^ 1 + <рр^С2к, (4.4.5) где постоянные с и С не зависят от к и

Рассмотрим части (¿к,з и • полу слоев Л и Л', проецирующиеся на д^^. Замена координат £ X = 2/с(£ — где — центры фигур д^^ на плоскости {£3 = 0}, переводит (¿к,з и Я'к 3 в тонкие пластины (¿к и 'к, имеющие толщины 2~к и 2~к~1 соответственно. Срединным сечением пластин служит либо единичный квадрат {X' : |Хг| < 1/2}, либо .Г-образное множество {X' : \Х'\ < 1} \ {X1 : € [0,1],Х2 6 [—1,0]}. Применяя неравенство Корна (2.1.10) в

84 каждой из пластин к функции X и(Х) = и{2~кХ + и возвращаясь к исходным координатам находим, что

4.4.6)

Благодаря формуле (4.4.5) постоянные множители 2~к в (4.4.6) заменяются на "правильный" весовой множитель и, таким образом, мы приходим к соотношению

Ш; <2а^1|2 < с (Е(и, и- + \Ш; <Э'к¿1\2) .

Суммируя эти неравенства по = 0,1, 2., получаем оценку

Ш; Л1|2 ^ с (Е(11, И; Л) + |Н7; Л'1|2) , которая вместе с (4.4.4) заканчивает доказательство теоремы. й

85

Заключение.

Основной результат полученный в диссертации — асимптотическое приближение к решению задачи теории упругости об изгибе тонкой трехмерной пластины и оценки его отклонения от истинного решения. Полученное приближение отражает влияние толщины пластины на ее напряженно-деформируемое состояние.

Упомянутая асимптотика формируется из решения ги задачи Кирхгофа, поправочного решения ии1 аналогичной задачи (с измененными правыми частями), двумерного пограничного слоя v и двух трехмерных пограничных слоев к~1/2К±\¥±, т±УУ± отвечающих концам трещины.

Если поперечная нагрузка имеет вид / = /Зе3 и /з € Н1(со), то решение и трехмерной задачи и его асимптотическое приближение 17 связаны неравенством

1и - и; ВД + \\е,к(и) - е,к(и); Ь2{{\)\| <С С^Л1"*, где и — произвольное положительное число, а постоянная Смг зависит от х, /, со, А, ¡1 ит. п., но не от толщины пластины н е (0,1].

Вычислено приращение потенциальной энергии деформации, используемое в критерии Гриффитса, который позволяет прогнозировать поведение трещины. При правильном выборе плоского изображения трещины, формула полученная исходя из асимптотики решения двумерной задачи, имеет вид:

ЛИ (и; = -)^ЬГ1е{аК% - кЬ^)Т>т\ + 0{е + /¿3/2"х)}.

Сравнение с точной (трехмерной) формулой Гриффитса показывает, что она обеспечивает двучленную асимптотику энергии трехмерной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольденвейзер A.J1. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// Прикл. матем. и механ. 1962. Т. 26. N4. С. 668-686.

2. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1976. 512 с.

3. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры// Прикл. матем. и механ. 1973. Т. 37, N5. С. 913-924.

4. Destuynder P. Comparision entre les modeleles tridimensionnels et bidimensionnels de plaques en élasticité// RAIRO Analyse Numerique. 1981. V.15. P. 331 396.

5. Назаров С.A. Введение в асимптотические методы теории упругости. JL: Изд-во ЛГУ. 1983. 117 с.

6. Леора С.Н., Назаров С.А., Проскура A.B. Вывод предельных уравнений для эллиптических краевых задач в тонких областях при помощи ЭВМ// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. N7. С. 1032-1048.

7. Зорин И.С., Назаров С.А. Краевой эффект при изгибе тонкой трехмерной пластины// Прикл. матем. и механ. 1989. Т. 53. N4. С. 642-650.

8. Ciariet P.G. Plates and junction in elastic multi structures. Paris: Masson, 1990. 215 p.

9. Mazja W.G., Nazarov S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische theorie elliptischer randwertaufgaben in singular gestrorten Gebienten. 2. Berlin: Akad. Verlag. 1991. 319 S.

Maz'ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic Theary of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domain. Vol. 2. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser Verlag, 2000 323p.)

10. Dauge M., Gruais I. Developpment asymptotique d'order arbitrare pour une plaque elastique minee encastree// Cr. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1995. T. 321. P. 375 380.

11. Назаров С.А. Упругие емкость и поляризация дефекта в упругом слое// Механ. тв. тела. 1990. N5. С. 57-65.

12. Назаров С.А. Проявление пространственной структуры поля напряжений в окрестности угловой точки тонкой пластины// Прикл. матем. и механ. 1991. Т. 55. N4. С. 653-661.

13. Назаров С.А. Об эффекте трехмерности вблизи вершины трещины в тонкой пластине// Прикл. метем, и механ. 1991. Т. 55, N3. С. 500-510.

14. Назаров С.А. Асимптотика решения краевой задачи в тонком цилиндре с негладкой боковой поверхностью// Известия РАН. Серия матем. 1993. Т. 57. N1. С.202-239.

15. Назаров С.А. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей// Вест. СПбГУ. Серия 1. 1992. Вып. 2 (N8). С. 19-24.

16. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Труды Москов. матем. общества. 1967. Т.16. С. 219 292.

17. Мазья В.Г., Пламеиевский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип Мирандн-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе. Math. Nachr. 1978. Bd. 81. S. 25-82.

18. Назаров С.А., Пламеиевский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М. Наука. 1991. 336 с.

Nasarov S.A., Plamenevsky В.A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994. 525 p.)

19. Изотова О.В., Назаров С.А. Высвобождение энергии при уменьшении зоны защемления изгибаемой пластины//Вест. СПб-ГУ. Серия 1. 1999. Вып. 3. С. 64-67.

20. Buecner H.F. A novel principie for computation of stress intensity factor// Z. Angew. Math. Mech. 1970. Bd 50. S. 529-546.

21. Мазья В.Г., Пламеиевский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений краевых задач в областях с коническими точками// Math. Nachr. 1977. Bd. 76. S. 29-60.

22. Назаров С.А. Весовые функции и инвариантные интегралы// Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990. Т. 1. С. 17-31.

23. Fridichs К.О., Dressier R.F. A boundary layer theory for elastic plaes. Comm. Appl. Math. 1961. V. 14. N1. P. 1-33.

24. Гольденвейзер A.JI., Колос А.В. К построению двумерных уравнений упругих тонких пластин// Прикл. матем. и механ. 1965. Т. 29, N1. С. 141-161.

25. Gregory R.D., Wan F.V.M. Decaying states of plane strain in a semi-infinite strip and boundary condition for plate theory// J. Elast. 1984. V. 14. N1. P.27-64.

26. Зорин И.С., Назаров С.А. Двумерная асимптотика решения задачи о продольной деформации пластины, защемленной по краю// Вычисл. механ. дефор. тв. тела. 1991. Т. 2. С. 10-21.

27. Назаров С.А. Пограничные слои и условия шарнирного опи-рания для тонких пластин// Записки научных семинаров ПОМИ. 1999. Т.257. С. 228-287.

28. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.

29. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971. 371 с.

30. Назаров С. А. Асимптотические разложения на бесконечности решений задачи теории упругости в слое// Труды Москов. матем. общества. 1998. Т. 60. С. 3-97.

31. Назаров С.А. Асимптотика задачи Дирихле в угловой области с периодически меняющейся границей// Матем. зам. 1991. Т. 49. N5. С. 86-96.

32. Nazarov S.A. Asymptotics at infinity of the solution to the Dirichlet problem for a system of equqtions with periodic coefficients in an angular domain// Russian J. Math. Phys. 1995. V. 3. N3. P. 297 326.

33. Мазья В.Г., Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек// Труды Москов. матем. общества. 1987. Т. 50. С. 79-129.

34. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. В кн.: Разрушение. Т. 2. М.: Мир. 1975. С. 83-204.

35. Черепанов Г.П. Распространение трещин в сплошной среде// Прикл. матем. и мех. 1967. Т. 31, N3. С. 476- 488.

36. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1968. V. 35, N2. P. 379-386.

37. Назаров С.А., Полякова O.P. Об эквивалентности критериев разрушения для трещины отрыва в упругом пространстве// Мех. тв. тела. 1992. N2. С. 101-113.

38. Назаров С.А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения трещины отрыва// Мех. тв. тела. 1989. N2. С. 152-160.

39. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике // М. 1970. С. 512.

40. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике // М. 1980. 384 с.

Duvaut G., Lions J.-L. Les inequation en mecanique en physique// Paris. 1972.)

41. Назаров С.A., Полякова O.P. Критерий разрушения, асимптотические условия в вершинах трещин и самосопряженные расширения оператора Ламе // Труды Московского математического общества. 1996. Т.57. С. 16-75.

42. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // М. 1989. 334 с.

43. Качанов Л.М. Основы механики разрушения // М. 1974. 312 с.

44. Назаров С.А., Полякова O.P. Деформация и отрыв тонкой прокладки из малосжимаемого материала // Механика твердого тела. 1993. N 5. С. 123-134.

45. Партон В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости// М. Физматгиз. 1981.

46. Новожилов В.В. Теория упругости// Л.: Судпромгиз. 1958.

47. Шойхет Б.А. Одно энергетическое тождество в физически нелинейной теории упругости и оценка погрешности уравнений плит//Прикл. матем. и механ. 1976. Т. 40, N 2. С. 317-326.

48. Тимошенко С.П., Войновский Кригер С. Пластинки и оболочки/ / М. Физматгиз. 1963.

49. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки// М. Физматгиз. 1957.

50. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин// М. Наука. 1987.

51. Назаров С.А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях// Вестник ЛГУ. Серия 1. 1982. Выпуск 2(7). С. 65-68.

52. Назаров С.А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких// Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, N 5. С. 1-92.

53. Назаров С.А. Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальными свойствами в областях выходящих на бесконечность// Записки научных семинаров ПОМП РАН. 1997. Т. 249. С. 212-231.

54. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов// Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. N 5. С. 77-142.

55. Назаров С.А. Асимптотический анализ произвольно анизотропной пластины переменной толщины (пологой оболочки) // Матем. сборник. 2000. Т. 191, N 7. С. 129-159.

56. Motygin O.V., Nazarov S.A. Justification of the Kirchhoff hypothèses and error estimation for two dimensional models of anisotropic and inhomogeneous plate, including laminated plates // IMA. J. Appl. Math. 2000. V. 65. P. 1-28.

57. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity// Volume II: Theory of Plate. Amsterdam: North Holland. 1997.

58. Destuynder P. Modélisation des coques Minces Elastiques// Paris: Masson. 1990.

59. Necas J. Les metodes directes en theorie des équations elliptiques// Paris: Masson. 1967.

92

60. Destuynder P., Gruais I. Error estimation for the linear three-dimensional elastic plate model// Asimptotic Metod for Elastic Structures. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1995. P. 75-88.

61. Morgenstern D. Herleitung der Plattentheorie aus der dreidimensionalen Elastizitatstheorie//Arch. Rat. Mech. Anal. 1959. V. 4, N 2. P. 145-152.

62. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids// Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. V. 221. 1920. P. 25-35.

63. Изотова O.B., Назаров С.А. Тонкая трехмерная пластина с трещиной вдоль зоны защемления на ее боковой поверхности// Проблемы матем. анализа. Вып. 21. Новосибирск: Научная книга. 2000. С. 138-192.

64. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы уравнений теории упругости. Неравенства Корна// Успехи матем. наук. Т.43. N 5. 1988. С. 55-98.

65. Horgan С.О. Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics// SIAM. Review. V. 37. 1995. P. 491-511.

66. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин// М. Наука. 1984. 255 с.