Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Коссович Елена Леонидовна

Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О МАЯ 2013

005060159

Ростов-на-Дону - 2013

005060159

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского". Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математической теории упругости и биомеханики, ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского" Каплунов Юлий Давидович. Официальные оппоненты:

Сумбатян Межлум Альбертович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет", заведующий кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики. Приказчиков Данила Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО "Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана", доцент кафедры "Вычислительная математика и математическая физика".

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)".

Защита состоится "18" июня 2013 г. в 1600 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет" по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006. г. Ростов-па-Дону, ул. Пушкинская, 148. Автореферат разослан 15 мая 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильєви1

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Необходимость изучения колебательных процессов в тонкостенных конструкциях связана с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении и других областях. Такие процессы носят чрезвычайно сложный характер и складываются из комплекса распространяющихся волн. В конструкциях, имеющих большую протяженность, наблюдаются, в том числе, и колебания, вызванные распространением локализованных волн. Это волны, которые распространяются вдоль протяженных границ сплошной среды, служащих волноводами. До недавнего времени локализованные волны выделялись из решения волновой задачи только с помощью интегральных преобразований. Но в последнее время получила распространение новая методика, позволяющая выделить вклад локализованной волны в общее решение волновой задачи. Модели, разработанные Л.Ю. Коссовичем и Ю.Д. Каплуновым с использованием данной методики для упругих и пьезоэлектрических поверхностных волн (волн Рэлея и Гу-ляева-Блюштейна), обеспечивают значительное упрощение постановки и решения задач. Модели состоят из эллиптического уравнения, описывающего затухание волны внутрь по направлению от поверхности и гиперболического уравнения, описывающего распространение волны на поверхности.

Открытая в середине XX века Ю.К. Коненковым для случая изотропной полубесконечной пластины краевая изгибная локализованная волна представляет большой интерес для исследователей. Ее аналоги были обнаружены в анизотропных и слоистых пластинах, а также на торцевом стыке двух пластин. Для изучения закономерностей распространения таких волн требуется построение специализированных уравнений. Однако применение указанной методики к описанию изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах не является тривиальной задачей. Это связано с дисперсностью волны

Коненкова и аналогичных ей волн.

Построенные в диссертационной работе явные согласованные модели представляют как фундаментальный, так прикладной интерес. Предлагаемые модели позволяют существенно расширить знания о закономерностях распространения волны Коненкова и аналогичных ей волн, упростить процесс выделения их вклада в общее поле деформаций, исследовать прочностные и структурные характеристики тонкостенных конструкций.

Цели диссертационной работы.

• Разработка методики построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

• Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных краевых волн в тонких изотропных и ортотропных пластинах.

• Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных интерфейсных волн типа Стоунли в тонких изотропных пластинах.

• Использование построенных моделей для исследования закономерностей распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

Научная новизна. Разработана методика построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких полубесконечных пластинах. Методика положена в основу вывода уравнений, характеризующих затухание волны вглубь пластины и уравнений, описывающих распространение волны вдоль торца или стыка пластин. Построены явные согласованные модели, описывающие раснростра-

нєние краевых пзгибных и интерфейсных волн тонких изотропных и орто-тропных пластинах.

Практическая значимость. Предложенные в диссертации явные модели позволяют упростить процесс выделения вклада краевых и интерфейсных изгибных волн в общее поле деформаций, могут быть применены дія исследования прочности конструкции, для определения в них дефектов, а также могут лечь в основу создания приборов для исследования прочностных и структурных характеристик тонких пластин.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановки рассматриваемых задач о краевом изгибе тонких пластин, строгостью и математической обоснованностью использованных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• научной конференции механико-математического факультета "Актуальные проблемы математики и механики" (ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского1', Саратов, 2011, 2012 гг),

• XV Международной конференции ''Современные проблемы механики сплошной среды" (ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет", Ростов-на-Дону, 2011 г.),

• IV Всероссийской студенческой научно-технической школе "Кадры будущего - 2012" (ГБОУ ВПО Московской области "Международный Университет природы, общества и человека "Дубна", Дубна, 2012 г.),

• международной школе для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике "Saratov Fall Meeting'12" (ФГБОУ ВПО "Са-

ратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского", Саратов, 2012 г.),

VI Конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика" (ФГБУН Институт радиотехники и электроники имени В.А. Котелышкова РАН. Саратовский филиал, Саратов, 2012

г.),

XIV Международной научно-практической конференции "Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности и экономике" (Институт прикладных исследований и технологий, Санкт-Петербург, 2012 г.),

4-й научно-практической конференции "Presenting Academic Achievements to the World" (ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского", Саратов, 2013 г.),

научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики и кафедры радиотехники и электродинамики ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского".

На защиту выносятся следующие основные результаты и полоши:

| Методики построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибной краевой и интерфейсной волны в тонких пластинах.

• Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонкой изотропной пластине.

• Явная модель, описывающая распространение пзгибных интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах.

• Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонких ортотроиных пластинах.

• Результаты вычислительных экспериментов по расчету смещений тонких изотропных и ортотропных пластин в рамках представленных моделей.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в журналах из списка ВАК [2-4], 2 статьи в сборниках тезисов конференций [1, 5].

Личный вклад автора. Изложенные в диссертационной работе научные результаты получены автором лично и самостоятельно. Постановка задач, обсуждение полученных результатов проводилась совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Материал работы изложен на 122 страницах, содержит 60 рисунков. Список цитированной литературы содержит 115 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи, приведен обзор состояния исследований в изучаемой предметной области, сформулирована научная новизна, показана практическая значимость результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, кратко описано ее содержание.

Первая глава посвящена построению явных моделей, описывающих распространение краевых изгибных волн при торцевом изгибе тонкой полубесконечной изотропной пластины (см. рис. 1).

і 1 X

0 " * ! %

\ 1 ► \

Рііс. 1. Полубесконечная пластина. Декартова система координат

Рассмотрим изгибные колебания тонкой упругой полубесконечной изо тропной пластины толщины 2Л, срединная плоскость которой занимает область —оо < х < оо, 0 < у < оо (рис.1). Введем безразмерные величины

і

Х У тт, ги

(1)

где ги - прогиб, Т - характерный масштаб времени, /г - полутолщпна пластины. Применим интегральные преобразования Фурье и Лапласа относительно переменных £ {д/д£ —» гр) и т {д/дт —» в),

В теории Кирхгофа все компоненты напряженно-деформированного состояния могут быть записаны через функцию прогиба ги. Уравнение движения тонкой изотропной пластины для изображения прогиба IV имеет вид

2р2

(р4 + Л^2)1У = 0,

(2)

(¡г)* йг]2

где Ад = 3рЬ2 (1 — !/2) /ЕТ2, р - плотность материала пластины, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.

На торце пластины г/ — 0 будут ставиться три типа краевых условий:

1) однородные краевые условия

, 1ург\¥ = О, Г

— (2 — и)р2—— = 0;

йт)3 ¿Г]

2) приложенный к торцу изгибающий момент

сР\¥

. _ ир\У = -М0, Лтг . (4)

сНу ,п . „

ъ_

\Z2nD'

мерного изгибающего момента Ма(х, £), О = 2£7/г3/3(1 — и2) - изгибная жест-

где Мо(р,з) = /__ е Л/0(£, т)е 5Гйт) - изображение безраз-

кость пластины;

3) приложенная к торцу перерезывающая сила

-—-ирЧУ = 0, , ~ ^ - (5)

/г2

где ЛГ0(р, в) = е^ (ЛГ0(£, т)е~°Чт) <1£ - изображение безраз-

\/ ¿IX и

мерной перерезывающей силы Мо(х,1).

Введем параметр с соотношением с4р4 + А^2 = 0. Тогда уравнение для этого параметра, являющееся модификацией дисперсионного уравнения для скорости волны Коненкова, получим из решения задачи о свободных колебаниях торца пластины. Оно имеет вид

1 - г/2 - с4 + 2(1 - г/)\Л - с4 = 0. Решением этого уравнения является величина

¿к = (1 - у) [зг/ - 1 + 2л/21/2 -2^ + 1] , (6)

9

которая представляет собой коэффициент скорости волны Коненкова. связан с фазовой скоростью этой волны Срд соотношением срд = (с2к/Хо) Р-

Построим явную модель, описывающую распространение краевой изгиб-ной волны в тонкой изотропной полубесконечной пластине. Вначале запишем точное решение задачи об изгибе тонкой полубесконечной изотропной пластины для изображения прогиба на торце г) = 0. Считая с = ск, проводим асимптотический анализ полученного решения. В результате приходим к приближенному решению, описывающему вклад волны Коненкова в общее поле деформаций:

^ = (V)

где

ДхЫ = [(1

д2Ы = -[(1 + (9)

ДЫ = (у/Т^-у/Т^сГ)^-®'

Х(ск) = 1 - V2 - 4 - 2(1 - и)у/1 - 4, (10)

или, через параметр р интегрального преобразования, имеем:

(р% + *2а§) IV, = -д^'Мор'2- (П)

Равенство (11) можно трактовать как уравнение в изображениях. Используя правила преобразования дифференциальных операторов, получим соответствующее ему уравнение для оригинала. В результате приходим к приближенному уравнению:

4 д4гий | 2р1г д2ше _ 1 д2М0 °к дх4 + Я дР " Уе Б дх^ ; '

где и>е(х, £) - краевой прогиб, связанный с краевой изгибной волной Конеико-

В обыкновенном дифференциальном уравнении для изображения прогиба в первом приближении положим s2 = —с^-р4,/Ац:

d4W,.n „■¡(PWin 14 у

~ р ~dhf~+ ( c,<)v in = ! (13)

где Win - изображение прогиба внутренней части пластины, вызванного распространяющейся волной Коненкова. В пространстве оригиналов оно соответствует уравнению, характеризующему затухание волны внутрь пластины:

После упрощения, краевые условия для и,\п(х, у) записываются в виде w„,{:г,0) = we(x),

d2win _ _ 9V (15)

ду2 дх2

Таким образом, построенная явная согласованная модель, описывающая распространение краевой изгибной волны, состоит из уравнения (12) на торце и задачи (14)-( 1-5) внутри пластины.

Для случая приложенной к торцу перерезывающей силы модель строится по аналогичной методике. Вначале определяется точное решение задачи для изображений. Затем ищется первое приближение около полюсов Коненкова решения на торце пластины, преобразуется обыкновенное дифференциальное уравнение для изображений, ставятся краевые условия. Полученная в результате явная согласованная модель имеет вид: 1) уравнение, описывающее распространение волны:

4 dlve(x, t) 2ph d2ve _ (2) 1 d2N0 Ск дх* D dt2 ~ D дх2 ' К >

где ve(x, t) - угол поворота на торце пластины,

АЫ = (чД^-у^^)^-^), ЛгЫ = + (18)

Д2Ы = [(1 -и)- с2к] у/Т+Щс, 2) уравнение, описывающее затухание волны вглубь пластины.

где у) - угол поворота внутри пластины. Краевые условия для ь'т(х, у) ставятся следующим образом:

УгП(х,0) = Уе{х), д\п , &уе (20)

Рис. 2. Краевой прогиб изотропной пластины (А0 = 1). Точное решение и вклад волны Коненкова

Построенная таким образом явная согласованная модель отражает двойственную природу изгибной краевой волны, которая распространяется вдоль края пластины (рис. 2) и затухает в противоположном направлении (внутрь

Рис. 3. Профиль затухании волны внутрь пластины

пластины) (рис. 3). Использование решений, полученных при помощи модели, позволяет определить амплитуду колебаний, характер распространения волны вдоль края пластины и ее затухания по направлению от торца.

Результаты, полученные в первой главе, опубликованы в работах [3, 5].

Во второй главе строятся явные согласованные модели, описывающие распространение изгибных интерфейсных волн типа Стоунли в двух тонких полубесконечных изотропных пластинах.

Рис. 4. Стык двух полубесконечных пластин. Ориентация осей системы координат

Рассмотрим интерфейсный изгиб двух тонких полубесконсчных изотроп-

ных, в общем случае различных по свойствам, пластин толщиной 2/г., как показано на рис.4.

Введем безразмерные величины равенствами

и:г = 1г\¥и В і - /Щ,

(21)

г = 1.2. где іііі - прогибы пластины 1 и 2, Д - изгибные жесткости пластин, И = (1?1 + £>2) /2 - характерное значение жесткости пластин, £>,; - безразмерные изгибные жесткости пластин. После применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа уравнения движения запишутся в виде

2р2-згг + (Р + «2А?)и'І = 0. г = 1,2,

(22)

йг)* " йг]2

где А; = 3рік2 (і — V2) ¡Е(Г2 - частотные параметры для пластин 1 и 2, рі -плотности материалов каждой из пластин, г/* - коэффициенты Пуассона, Еі - модули Юнга пластин.

На стыке пластин т] = 0 ставятся три типа контактных условий: 1) однородные контактные условия

йтр

И-1 = И-2,

<мг

сії] сіт/

<І2Щ - іуіР2Щ ¿2 ' А _

-(2- 2сМх _ Рі' ¿1

сРЩ

с/т?2 <ІЧУ2

йгр

и2р2 Й'о

(23)

2) приложенный к стыку изгибающий момент

Жі =

в\\\ (Ш2

¿Г] йт]

<І2Щ йт]2 - иіР2]Уі _ А А

-(2- _ р2 А

сіп3

3) приложенная к стыку перерезывающая сила

Ші

¿Л)

- 1>2Р2\У2 Мо

еіт?2 А

гіг?2 - (2 -

гігі2

__ _ (2 _ __

(І77 5

А 'сРЩ

¿1 йг)2

А '(13щ

¿1 ю

- !/2р21'72

(2 - у2}р

(25)

СІ1]

+ ■

N0 А'

Уравнение для определения безразмерного постоянного коэффициента скорости изгибной интерфейсной волны типа Стоунли принимает следующий вид:

[(1 + а)с2 + й]2 + Ьс2 + [{1 + аУ ~Щ2у/1 + с2^1-Ьс2

- [(1 - а)с2 + й]2 - [(1 - а)с? - с/]2 VTT?^/ГTЬ? (26)

-4а [\/Г=~с? + VI - Ь2с4] с4 = О,

где

Рі V А

'2 л/—І^Аі

С = --,

а=а(3, ь =

(1 - - (1 - ^2)/з2.

(27)

(28)

Уравнение (26) не разрешается аналитически. Волна типа Стоунли возникает не для всех сочетаний параметров контактирующих пластин. В диссертации

представлены графики и аналитические выражения для границ областей существования этой волны.

Методика построения явных согласованных моделей, описывающих распространение интерфейсной изгибной волны типа Стоунли, аналогична приведенной в первой главе. Определяются точные решения задач об интерфейсном изгибе двух: тонких полубесконечных изотропных пластин. В случае деформирования пластин приложенным на стыке изгибающим моментом решение записывается для изображений прогибов, а в случае перерезывающей силы - для изображений углов поворота.

Из анализа точных решений, взятых для области стыка пластин, выделяется вклад интерфейсной волны типа Стоунли. Получены два уравнения, описывающие распространение изгибной интерфейсной волны вдоль стыка пластин. Уравнения, характеризующие затухание волны по направлению от стыка, строятся из обыкновенных дифференциальных уравнений для изображений прогибов или углов поворота асимптотическим анализом около полюсов Коненкова. Для указанных уравнений ставятся интерфейсные условия, связывающие решения построенных уравнений между собой.

Явная модель, описывающая распространение изгибной интерфейсной волны, инициированной изгибающим моментом, имеет следующую форму:

1) уравнения на стыке пластин

4 д2теЛ 2р1Нд\уеЛ _ 1 {1)д2Ма Ск дх4 + Бх дР ~ ОГе'1 дх2 '

где прогибы и'е.;(ж, I) пластин с номером г (г — 1,2) вызваны вкладом интерфейсной изгибной волны типа Стоунли, коэффициенты (Э'1', зависщие от Ск и материальных параметров пластин, представлены в диссертации:

2) уравнения, описывающие затухание волны внутри каждой из пластин

+ Ч.+ = (30)

16

где п^пЛ(х,у) - прогиб пластины с номером г (г = 1,2),

V Р1

Краевые условия для уравнений (30) имеют вид

Щпл{.Х, 0) = гиЩг(х),

д21щп,1 _ д2ше4 (32)

Зу2 г б?!2

Явная модель, описывающая распространение изгибной интерфейсной волны, инициированной перерезывающей силой, записывается в виде: 1) уравнения на стыке пластин

4 д2уеЛ 2рНд2уеЛ = 1 пщд2Щ

Ск дх* + я, а2 а^2:

С-51Г. (33)

где г;^,- - углы поворота пластин 1 и 2 на стыке, вызванные распространением изгибной интерфейсной волны типа Стоуили; 2) уравнения для углов поворота внутри пластин

где г)ш.,(:г, у) - угол поворота пластины с номером г (г = 1,2). Краевые условия для У^(х,у) имеют форму

д2Уш _ _,„ _ (35)

ду2 ~ 1 дх2 '

Использование моделей позволяет выделить вклад изгибной интерфейсной волны в общее поле деформаций на стыке двух изотропных полубеско-печных пластин.

Результаты второй главы опубликованы в работе [3].

В третьей главе методика построения явных моделей, описанная в главе 1, распространяется на случай полубесконечной ортотропиой пластины.

Рассмотрим изгиб тонкой полубесконечной пластины, описываемой классической теорией Кирхгофа и изготовленной из ортотропного материала. Введем безразмерные переменные вида

БХ = 0ЬХ1 £>„ = ££>„, £>1 = Г>1>1, Вху = 1)Ъху, (36)

где Д., Бу, £>ь Оху - изгибные жесткости, Б = (Дт + Оу) /2 - характерное значение изгибных жесткостей материала пластины. После применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа уравнение движения для изображения прогиба IV запишем в форме:

■ 20! + 2 Оху)р2<^г + 0хР4 + = 0, (37)

d4V

Dy dr]'1

2 pif

DT-

где ÀQ =

На торце пластины 7; = 0 рассматриваются три типа краевых условий:

1) однородные краевые условия

Dy~~DlP4V = О,

dr! - (38)

2) приложенный к торцу изгибающий момент

- <Р\'\

Dv—--DlP2w = -м,

■Oi

' т о —' if ' ' "■'У1

drr . (39)

- О;

3) приложенная к торцу перерезывающая сила

- -Л,

Коэффициент скорости изгибной краевой волны в ортотропной пластине имеет вид ^

ск = (6ХВУ~(^1)1 + 4ЩУ-21)ХУ)2У . (41)

Явные модели, описывающие распространение краевой изгибной волны, строятся как и в предыдущих случаях. Вводится размерный аналог постоянного коэффициента с*к = ск\ГО.

Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны, инициированной изгибающим моментом, записывается в виде:

1) уравнение на торце

с*к дУ 2Ф&ии = (1)* 1 д2М0 (42)

П* дх4 Д, дР ' Пу дх2 ' 1

где тс(х,1) - краевой прогиб, связанный с краевой изгибной волной в ортотропной пластине,

2) уравнение, характеризующее затухание волны вглубь пластины:

(4з)

с краевыми условиями при у = О

ш,;„(а;,0) = и'е{х),

(44)

Цу ду2 1 дх2 •

Явная модель, описывающая распространение краевой изгибной волны, инициированной перерезывающей силой, записывается в виде: 1) уравнение на торце

2рИёРщ = (45)

дх4 £>„ дР Чс Д, дх2 ' ^

где ие(х, £) - угол поворота на торце пластины, вызванный распространением краевой волны в ортотропной пластине,

2) уравнение для угла поворота внутри пластины имеет вид

дх4

дх2ду2

с краевыми условиями иа у = О

Ут(х,0) =уе(х}1

Д

д2у„ ' ду2

д\, ду4

= 0,

(46)

(47)

100

Рис. 5. Краевой прогиб ортотроиной пластины (Ох — 0.99). Полное решение и вклад краевой изгибной волны Коненкова

Использование построенных моделей удобно при исследовании влияния свойств ортотропных материалов на характер распространения краевой волны. Для этого берется первое уравнение модели, описывающее распространение волны вдоль торца, а также равенство (41). В результате были определены соотношения жесткостей материала, для которых вклад краевой изгибной волны в общее поле деформаций играет ключевую роль или пренебрежимо мал. В первом случае примером может служить материал, в котором Аг = Т)у = Г)Ху — 1, Г)] ~ 0.99 (рис.5). Во втором случае примером является материал со следующим соотношением жесткостей: Ох = Пу = 1, 0\ = 0.3,

Ату = 5 (рис.6).

и.1 0 і ... - —•Явная модель -—Точное решение

/ *

-0.1 - « / 1 ( -

-0.2 - і \ г і г г -

-0.3 - » 1 1 % І -

-0.4 - » ( -

-0.5 П А - 1 * 1 1 1 1 і і -

Рис. 6. Краевой прогиб ортотролной пластины (Дг„ = 5). Полное решение и вклад краевой взгибной волны Коненкова

Результаты третьей главы опубликованы в работе [4].

Основные результаты и выводы

1. Разработана методика построения явных согласованных моделей, описывающих распространение нзгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

2. Построена явная согласованная модель, описывающая распространение изгибной краевой и интерфейсной волн в тонких изотропных пластинах.

3. Построена явная согласованная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонких ортотропных пластинах.

4. Построенные модели выделяют вклад нзгибных краевых и интерфейсных волн в общее поле деформаций тонких пластин. Исследовано влияние вклада нзгибных краевых волн в общее волновое поле в зависимости от параметров ортотропии.

Список публикаций

1. Глухова О. Е., Коссович Е. Л. Исследование возникновения краевых волн и многослойных графеиовых пластинах при различных способах укладки слоев // Тез. докл. V конф. молодых учен."Наноэлектроннка, нанофотоии-ка и нелинейная физика". - Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2012. С. 77-78.

2. Глухова О. Е., Коссович Е. Л. Явные модели распространения краевых волн в многослойных графеновых пластинах // Нано- и микросистемная техника. 2012. № 5. С. 8-14.

3. Каплунов Ю. Д., Коссович Е. Л., Мухомодьяров Р. Р., Сорокина О. В. Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 56-63.

4. Коссович Е. Л. Явные модели распространения изгибных краевых волн в тонких полубесконечных ортотропных пластинах // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 64-69.

5. Коссович Е. Л., Каплунов Ю. Д. Явные модели распространения изгибных волн в тонких упругих пластинах // Тез. докл. XV межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды"- Ростов-на-Дону: изд-во Южного федерального университета. 2011. С. 28-29.

Подписано в печать 06.05.13. Формат 60x84 1/16. Печать RISO. Объем 1 п. л. Тираж 120 экз. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе Саратовского государственного университета. имени Н.Г. Чернышевского 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского"

На правах рукописи

04201358389

Коссович Елена Леонидовна

Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких

пластинах

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Каплунов Юлий Давидович

Саратов - 2013

Содержание

Введение ................................... 5

Глава 1. Явные модели, описывающие распространение изгиб-ных краевых волн в полубесконечных изотропных пластинах 15

1.1. Постановка задачи о краевом изгибе тонкой полубесконечной

изотропной пластины........................15

1.2. Свободные колебания торца пластины ..............17

1.3. Возбуждение изгибной краевой волны изгибающим моментом

на торце пластины..........................21

1.3.1. Точное решение.......................21

1.3.2. Методика построения явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны ..............................23

1.3.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечным изгибающим моментом, приложенным на торце . . 26

1.4. Возбуждение изгибной краевой волны перерезывающей силой

на торце пластины..........................36

1.4.1. Точное решение.......................38

1.4.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны .....39

1.4.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечной перерезывающей силой, приложенной на торце ... 40

Глава 2. Явные модели, описывающие распространение изгиб-ных интерфейсных волн типа Стоунли..............46

2.1. Постановка задачи об интерфейсном изгибе тонких полубесконечных изотропных пластин....................46

2.2. Свободные интерфейсные колебания пластин ..........49

2.3. Возбуждение интерфейсной волны типа Стоунли приложенным на стыке изгибающим моментом...............54

2.3.1. Точное решение.......................54

2.3.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной интерфейсной волны . . 56

2.3.3. Решение задачи об изгибе пластин, вызванном точечным изгибающим моментом, приложенным на стыке . . 58

2.4. Возбуждение изгибной интерфейсной волны типа Стоунли приложением перерезывающей силы на стыке двух полубесконечных пластин...........................65

2.4.1. Точное решение.......................65

2.4.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной интерфейсной волны . . 66

2.4.3. Решение задачи об изгибе пластин, вызванном точечной перерезывающей силой, приложенной на стыке ... 68

Глава 3. Явные модели, описывающие распространение краевой изгибной волны в тонкой полубесконечной ортотропной пластине..................................73

3.1. Постановка задачи о краевом изгибе тонкой полубесконечной ортотропной пластины.......................73

3.2. Свободные колебания торца пластины ..............75

3.3. Возбуждение изгибной краевой волны изгибающим моментом

на торце пластины..........................80

3.3.1. Точное решение.......................80

3.3.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны .....81

3.3.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечным изгибающим моментом, приложенным на торце . . 82

3.4. Возбуждение изгибной краевой волны иеререзывающаей силой

на торце пластины..........................93

3.4.1. Точное решение.......................93

3.4.2. Построение явной согласованной модели, описывающей распространение изгибной краевой волны .....94

3.4.3. Решение задачи об изгибе пластины, вызванном точечной перерезывающей силой, приложенной на торце ... 95

Приложение А. Распространение краевых изгибных волн в

многослойном графене.........................101

А.1. Механические свойства графена..................101

А.2. Модели многослойного графена..................103

А.З. Построение явных согласованных параболических-эллиптических моделей, описывающих распространение краевой волны

Коненкова в многослойных графеновых пластинах.......105

А.3.1. Зависимость жесткости графеновой пластины от числа

слоев.............................107

Литература..................................109

Введение

Актуальность работы. Актуальность исследования колебаний тонких пластин связана с их применением во многих областях промышленности, в том числе в авиа- и космической промышленности, судостроении, приборостроении и строительстве. В силу этого предъявляются высокие требования к оптимизации расчетных методов для определения динамических параметров конструкций, а также методов определения дефектов в таких конструкциях. Колебания, особенно высокочастотные, в телах различной формы, в том числе и в тонких пластинах, имеют чрезвычайно сложный характер и складываются из комплекса падающих волн. Особую роль в таких колебаниях играют локализованные волны. Эти волны возникают в упругих и вязкоупру-гих телах, имеющих протяженные границы, которые в этом случае служат волноводами. Исследование распространения локализованных волн связано с получением уравнений, решением которых будет служить скорость волны. Получение таких уравнений является сложной задачей, так как скорость локализованных волн не входит явно в общую постановку задачи о деформации исследуемых тел [58].

Уравнения для скорости поверхностной волны, первой локализованной волны, описанной аналитически, представлены в работе Рэлея [93]. Наиболее распространенный подход для построения его решения - это применение численных методов. Впервые приближенное аналитическое решение было получено И.А. Викторовым [3]. Аналогичные решения были построены и другими учеными, например, Дж.Д. Ахенбахом в [1], а точное выражение для скорости волны Рэлея было найдено М. Рахманом и Дж.Р. Барбером [91] и, позже, Д. Нкемзи [82]. Модификации данного решения были опубликованы в работах [76, 92].

Несмотря на тот факт, что волна Рэлея была впервые открыта для упру-

гого изотропного полупространства, ее аналоги существуют и для более сложных моделей рассматриваемых тел. Экспериментально показано, что поверхностные волны распространяются в изотропных дисках [88]. Аналитическое решение для подобной задачи оказывалось верным лишь для низкочастотного приближения. В случаях более высоких частот колебаний были разработаны несколько теорий [34, 77, 101]. Уравнения для скорости поверхностной волны в телах, изготовленных из ортогропных материалов, были представлены в статьях [31, 87, 109]. Точное решение этих уравнений было получено в [111]. Детальный обзор уравнений для локализованных волн в анизотропных телах был сделан в работе П. Чадвика и Г.Д. Смита [37]. Доказательства единственности решения для скорости поверхностной волны были приведены во многих работах, одной из наиболее важных из них является [78]. Влияние начальных напряжений на распространение волны Рэлея описано в работах [35, 45]. В настоящее время для объяснения законов распространения подобных волн используется трехмерная теория упругости (например, см. [70]).

Недавно было открыто, что поверхностные волны являются средством определения дефектов в конструкциях. На основе принципов, приведенных в статьях [65, 74, 75] создаются новые приборы, находящие позиционирование трещин в телах при помощи генерируемых поверхностных волн и их отражения.

Локализованные волны также возникают на границе раздела двух упругих материалов. Впервые такая волна была обнаружена Стоунли [103] и названа в честь автора. Уравнение для скорости волны Стоунли более сложное по сравнению с уравнением для поверхностной волны. Условия возникновения и распространения в анизотропных телах волн, аналогичных волне Стоунли, описаны в статьях [5, 30, 35, 36, 46]. Волны, возникающие на границе между упругой и акустической средами, были исследованы Дж. Дж. Шольте [97] и В.Т. Гоголадзе [11].

В середине XX века был открыт новый вид локализованных волн, возникающих в тонких пластинах. Эти волны, являющиеся подвидом изгибных волн, распространяются вдоль свободного края пластины или полосы и затухают в перпендикулярном направлении. Особенностями краевой изгибной волны являются ее дисперсность и зависимость ее скорости и амплитуды от толщины пластины [70]. Для полубесконечной изотропной пластины дисперсионное волновое уравнение для скорости этой волны было получено Ю.К. Коненковым в 1960 году [21]. Впоследствии краевая изгибная волна получила название волны Коненкова в честь ее первооткрывателя. В работах Г.И. Михасева и П.Е. Товстика [25] и М.В. Вильде, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Кос-совича [4] приведены решения этого уравнения, учитывающие переменный характер скорости волны и выделяющие постоянный множитель при скорости волны, зависящий только от коэффициента Пуассона. Более ранняя работа А.Ю. Ишлинского [18], в которой описывается теория устойчивости пластин, предваряет работу Коненкова, приводя решение схожей задачи и получение аналогичного дисперсионного уравнения. Вплоть до настоящего времени краевая изгибная волна остается малоизученной и "открывается заново" (см. работы P.M. Де Ла Рю [43], Б.К. Синха [102], Р.Н. Терстнона и Дж. МакКенпы [107] и С. Кауффманна [64]). Как и поверхностные волны Рэлея, изгибные краевые волны возникают не только в изотропных тонких пластинах, но и при ортотропии (см. [2, 83, 89, 106]) и общей анизотропии пластин (например, [113], а также [48, 73]), также в слоистых пластинах [16, 49, 112]. Для случая круговых пластин точное дисперсионное уравнение, выраженное в терминах функций Бесселя, было получено в [44]. Исследование распространения изгибных волн в телах различной формы приведены в [51]. Отражение краевых волн от дефектов вблизи края пластины частично описано в [108]. Изгибная интерфейсная волна типа Стоунли, распространяющаяся на стыке двух пластин, была рассмотрена в [17]. Условия существования такой волны

на интерфейсе двух пластин при идеальном контакте были сформулированы в работе [26].

Уравнения для краевых волн, распространяющихся вдоль свободного края, можно получить в рамках теории Миндлина [79-81]. Этот факт был обнаружен А.Н. Норрисом, В.В. Крыловым и И.Д. Абрахамсом [84]. Приведенные в этой работе результаты хорошо согласуются с численными расчетами распространения краевых волн, показанными в статьях [32, 33, 67].

Вышеупомянутые краевые волны также могут быть получены в рамках трехмерной теории пластин. Естественно предположить, что все локализованные волны входят в состав полных решений [70]. Например, если исходить из конечноэлементного и экспериментального анализа, приведенного в [68], фундаментальная трехмерная антисимметричная краевая волна, взятая в низкочастотном приближении, становится волной Коненкова. В работах [57, 68, 71, 114] и [66] представлены интересные и полезные подходы к обнаружению краевых и поверхностных волн в трехмерных пластинах.

Краевые изгибные волны могут быть использованы для нахождения дефектов в тонких пластинах вблизи их края. Например, исследование закономерностей отражения изгибных краевых волн от трещин и других дефектов показано в работах [38, 85, 104, 105].

Локализованные волны также возникают в тонких оболочках, описываемых теорией Кирхгофа-Лява [24, 59, 63]. В них обнаружены как волны Рэ-лея, так и краевые волны, совпадающие с коротоковолновым приближением окружных волн, локализованных возле свободного торца оболочки (см. [60]). В данном случае кривизна оболочки не всегда пренебрежима в асимптотическом анализе, поэтому требуется учитывать ее влияние вследствие связанности изгибных и объемных перемещений [60]. Более того, в таких оболочках существует супер-низкочастотная краевая волна, не имеющая аналогов среди краевых волн в пластинах и описываемая так называемой безмоментной тео-

рией оболочек [12]. Описанию распространения краевых волн в тонких полубесконечных цилиндрических оболочках посвящены многочисленные работы современных авторов, например, [15, 25, 50, 62, 63].

Появление высокочастотных и чрезвычайно интенсивных колебаний около края тонкой пластины или оболочки, тесно связанных с локализованными волнами, называется краевым резонансом. Впервые это явление было обнаружено в экспериментальной работе Е.А.Г. Шау [98]. Краевые резонансы в тонких пластинах и полуполосах были описаны в работах [4,13, 14, 29, 42, 61, 90, 95]. Случай краевого резонанса в упругом полубесконечном цилиндре описан в [54]. В большинстве работ по исследованию явления краевого резонанса наиболее часто используется метод разложения по модам, также называемый методом однородных уравнений. Этот метод впервые был предложен Рэлеем [93] и Лэмбом [69], которые исследовали моды у поверхности плоского слоя. Для построения разрешающих систем таких уравнений обычно используются вариационные методы [29] или соотношения обобщенной ортогональности [115]. В работах [6, 7, 27] решение данных задач определяется методом разложения в виде суммы бесконечного ряда. Следует отметить, что в монографии И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [8] описано применение вышеуказанного метода к твердым нерегулярным волноводам и предложен удобный и универсальный способ построения систем алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения по модам.

Недавно была разработана новая методика описания распространения локализованных волн. Зачастую оказывается полезным строить явные приближенные модели, описывающие локализованные волны и выделяющие их вклад в общую постановку задачи. Модели, отражающие двойственную гиперболическую-эллиптическую природу поверхностных волн Рэлея и Гуля-ева-Блюштейна, были построены в работах Л.Ю. Коссовича и Ю.Д. Кап-лунова и др. [20, 41, 55, 56, 58]. Данные модели состоят из эллиптического

уравнения, описывающего затухание волны по направлению от поверхности, и гиперболического уравнения, характеризующего распространение волны на поверхности, и обеспечивают значительное упрощение постановки и решения задач, нацеленных на анализ распространения поверхностных волн.

Данная диссертационная работа посвящена построению явных аппроксимирующих моделей, описывающих изгибные краевые и интерфейсные волны. Разработка таких моделей не является тривиальным распространением подхода к построению приближенных моделей для поверхностных волн, особенно учитывая дисперсность краевой волны Коненкова и ее аналогов. Модели построены для ряда случаев краевого изгиба тонких полубесконечных пластин: изгиб тонкой изотропной пластины, интерфейсный изгиб на стыке двух изотропных пластин, а также случай краевого изгиба тонких ортотроп-ных пластин. Модели включают эллиптическое уравнение, характеризующее затухание волны в направлении от края пластины, а также параболическое уравнение, описывающее распространение волны вдоль торца. Построенные модели отражают двойственную параболическую-эллиптическую природу из-гибных краевых волн.

Цели диссертационной работы.

• Разработка методики построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

• Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных краевых волн в тонких изотропных и ортотропных пластинах.

• Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных интерфейсных волн типа Стоунли в тонких изотропных пластинах.

• Использование построенных моделей для исследования закономерно-

стей распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

Научная новизна. Разработана методика построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких полубесконечных пластинах. Методика положена в основу вывода уравнений, характеризующих затухание волны вглубь пластины и уравнений, описывающих распространение волны вдоль торца или стыка пластин. Построены явные согласованные модели, описывающие распространение краевых изгибных и интерфейсных волн тонких изотропных и орто-тропных пластинах.

Практическая значимость. Предложенные в диссертации явные модели позволяют упростить процесс выделения вклада краевых и интерфейсных изгибных волн в общее поле деформаций, могут быть применены для исследования прочности конструкции, для определения в них дефектов, а также могут лечь в основу создания приборов для исследования прочностных и структурных характеристик тонких пластин.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Методики построения явных согласованных моделей, описывающих распространение изгибной краевой и интерфейсной волны в тонких пластинах.

• Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонкой изотропной пластине.

• Явная модель, описывающая распространение изгибных интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах.

• Явная модель, описывающая распространение изгибпой краевой волны в тонких ортотропных пластинах.

• Результаты вычислительных экспериментов по расчету смещений тонких