Асимптотические решения уравнения колебаний пластины тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

л - ■//т-у

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА

На правах рукописи

ГОЛУБЕВА Анна Сергеевна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук, профессор Бабич Василий Михайлович

Санкт-Петербург 1998

Оглавление

Введение

Глава 1. Решения уравнения колебаний изотропной пластины, сосредоточенные вблизи замкнутых экстремальных циклов 18

§1. Основные уравнения лучевого метода. Граничные условия 18 §2. Системы координат. Решения "вещественных" уравнений эйконала и переноса в лучевых координатах 23

§3. Построение отраженных решений 30

§4. Условия устойчивости экстремального цикла по первому приближению 35

§5. Собственная частота и собственные функции в первом приближении 41

§6. Построение высших приближений 47

§7. Обоснование полученных формул 57

§8. Неоднородная изотропная пластина с переменными упругими свойствами 62

Глава 2. Решения уравнения колебаний неоднородной анизотропной пластины 69

§1. Основные уравнения. Уравнение эйконала. Фазовая и групповая скорости 70

§2. Плотность и поток энергии. Их усредненные значения. Решение уравнений переноса 76

§3. Об отражейии от границы 82

Список литературы

3

Введение

Настоящая диссертация посвящена исследованию высокочастотных изгибных колебаний тонких упругих неоднородных пластин.

Задача об изгибе пластин восходит еще к началу XIX века: впервые дифференциальное уравнение равновесия тонкой изогнутой пластинки постоянной толщины из однородного изотропного материала

было получено в мемуаре Софи Жермен, вышедшем в 1815 году. Гипотезы, фактически положенные в основу вывода уравнения Софи Жермен, были позднее сформулированы Кирхгофом [39]. Теория пластин, основанная на гипотезах Кирхгофа, носит название классической теории. Поскольку модель пластины Кирхгофа не учитывает влияние поперечных сдвигов и инерцию вращения нормальных элементов, классическая теория применима для изучения изгибных колебаний только в случае, когда толщина пластины мала по сравнению с характерным масштабом изменения напряженно-деформированного состояния. В частности, должно выполняться условие

h « А,

где h - толщина пластины, Л - длина волны. (При выполнении этого условия поправками на поперечный сдвиг и инерцию вращения можно пренебречь).

В настоящей работе колебания пластин рассматриваются в рамках классической теории. Это, очевидно, влечет за собой Необходимость выполнения указанного выше условия на длину волны Л.Данное ограничение приводит к тому, что полученные в работе результаты имеют место для колебаний, при которых

(1)

где к - частота, h 1 - толщина пластины.

Глава 1 диссертации посвящена построению асимптотики собственных частот и собственных форм изгибных колебаний ограниченной изотропной неоднородной пластины с закрепленным краем. Как известно, уравнение свободных колебаний такой пластины, рассматриваемой в рамках классической теории, имеет вид

pw„ + DA2w = О,

(случай пластины с переменной поверхностной плотностью р и постоянными упругими свойствами)

= р(х,у)

или

pwtt + DA2w + 2S7D ■ VAw + ADAw+

XyUJXy ByyWxX^)

где

В = D(l-a)

(случай пластины с переменными р(х,у), изгибной жесткостью D = D(x,y) и коэффициентом Пуассона а = <т(ж, у) )

Здесь w = w(x,y,t) - прогиб срединной плоскости пластины,

Л 2 д4 п д4 д4

А2 = —+ 2—- +

дх4 дх2ду2 ду4

- бигармонический оператор. Подстановка

ю = е~гкги(х} у)

дает уравнения относительно собственных частот и собственных форм колебаний

ВА2и - к2ри = 0, (2)

(случай пластины с постоянными упругими свойствами)

или

И А2и + 2У£> • УДгг + АОАи+

Н"(2 ВХу11Ху ВХХ11уу Вуу11хлг;) к ри — 0, (3)

(случай пластины с переменными упругими свойствами).

Для обоих случаев на границе пластины <9П ставится условие жесткого закрепления: для любого момента времени I

dw

Щт ~ дп

= о.

эа

(п - нормаль к дП).

С математической точки зрения речь идет о нахождении собственных чисел и собственных элементов линейных самосопряженных (точнее, в существенном самосопряженных) операторов в гильбертовом пространстве. Нетрудно показать, что если поверхностная плотность пластины отделена от 0,

р{х,у)>8> 0,

то рассматриваемые операторы Являются положительно определенными и имеют дискретный спектр.

Вопрос нахождения собственных частот и собственных форм из-гибных колебаний тонких пластин, ввиду большой важности для приложений, всегда привлекал к себе особое внимание исследователей. Помимо точных методов, применимых лишь к узкому кругу задач, допускающих разделение переменных, к настоящему времени разработано большое число различных приближенных подходов. Сюда относятся вариационные методы (Рэлея [30] , Ритца [42],[43] Бубнова-Галеркина, и родственные им), численные методы (конечных разностей, конечных элементов) и другие (см., например, справочник [11]). Эти методы применяются в основном для определения первых собственных частот и форм. Исключение составляет только так называемый асимптотический метод [6], дающий хорошие результаты для высших частот. Идея метода заключается в использовании концепции динамического краевого эффекта и свойства малой зависимости спектра упругих колебаний при высоких частотах от краевых условий. Этот метод применяют для пластин, занимающих прямоугольную (в обобщенном смысле) область.

В настоящей работе для нахождения высших собственных частот и соответствующих форм колебаний применяется комплексный лучевой метод. (Как обычно, применение комплексного лучевого метода означает, что в лучевом разложении участвуют комплекснозначные функции, а физический смысл придается вещественной (или мнимой) части разложения.)

Оказывается, что подстановка стандартного лучевого разложения

где ш = л/к, в уравнения (2) и (3) позволяет получить для функций т и уравнения, чрезвычайно сходные с классическими уравнениями эйконала и переноса. В частности, уравнение эйконала для обоих случаев (2) и (3) имеет вид

где

>2, г/'

и

/ л

с = сух, у) = </— >0.

V р

Очевидно, это уравнение распадается на два: классическое уравнение эйконала

V2r

1

и уравнение

V т = —--.

(4) (40

Для уравнения эйконала (4) можно стандартным образом ввести понятие лучей как экстремалей функционала Ферма

ds

/

с

М0

Далее, из условия жесткого закрепления границы пластины вы-

ди

~ дп

= 0. (5)

аа

Из этого условия нетрудно вывести, что отражение лучей от границы пластины происходит по закону геометрической оптики "угол падения равен углу отражения". Тем самым для уравнений (2) и (3) естественным образом возникает понятие замкнутого экстремального цикла (см. Определение на стр. 23), полностью совпадающее с классическим.

Более того, оказывается, что, как и в классическом случае уравнения Гельмгольца, для уравнений (2) и (3) с краевым условием (5) можно построить формальные решения, сосредоточенные в окрестности устойчивых по первому приближению экстремальных циклов. Отыскание асимптотических разложений таких решений (т.е. собственных функций соответствующего оператора) и отвечающих им собственных значений и является целью Главы 1.

В случае уравнения Гельмгольца задачи о собственных функциях и собственных значениях указанного вида хорошо изучены. Здесь следует выделить работу B.C. Булдырева [7], где впервые была высказана гипотеза о существовании подпоследовательности собственных функций, сосредоточенных в окрестности одномерных циклов, устойчивых по первому приближению.

Важным частным случаем замкнутых экстремальных циклов являются инвариантные относительно отражения от границы лучи. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности таких лучей, называются собственными функциями типа прыгающего мячика, а задача о нахождении асимптотических разложений для таких функций и соответствующих собственных значений - задачей о прыгающем мячике (bouncing ball problem). Задача о прыгающем мячике для случая постоянной скорости распространения волн с(х,у) = 1 с помощью метода параболического уравнения была рассмотрена Л. А. Вайнштейном [10], B.C. Булдыревым [8], В.Ф. Лазуткиным [16], а для переменной скорости В.М. Бабичем и В.Ф. Лазуткиным [5]. Родственные задачи о собственных функциях, сосредоточенных в окрестности оси волновода, изучались B.C. Булдыревым [9] и В.Ф. Лазуткиным [17].

Решения, сосредоточенные в окрестности луча (без рассмотрения вопросов отражения) в весьма общей ситуации системы уравнений второго порядка были получены В.Е. Номофиловым [25].

Асимптотика собственных частот и собственных форм колебаний многозеркальных резонаторов для трехмерного случая строилась М.М. Поповым [26]-[28] с помощью лучевого метода в малом и методом параболического уравнения. Высшие приближения для метода параболического уравнения в задаче о многозеркальном резонаторе были получены Б.Н. Семеновым [31]. По поводу других родственных результатов см. монографию [3] и приведенные там ссылки.

Очевидно, уравнение Гельмгольца с краевым условием

«и =0

можно рассматривать как задачу о собственных частотах и собственных формах колебаний мембраны (однородной или неоднородной) с закрепленным краем (см. [32]). Поскольку с точки зрения механики мембрана представляет собой бесконечно тонкую и сильно растянутую во всех направлениях пластинку, естественно ожидать, чтЪ для собственных частот и форм колебаний тонких пластин имеют место сходные результаты. И действительно, построение формальных решений уравнений (2) и (3), сосредоточенных в окрестности заданного луча (без учета краевых условий) можно провести полностью аналогично таким построениям в случае уравнения Гельмгольца. (Отметим, что для существования таких решений, как

и в случае уравнения Гельмгольца, устойчивость луча по первому приближению не требуется (см. [3], гл. 7).)

Однако в том, что касается отражения от границы, ситуации для пластины радикально отличается от ситуации для мембраны. Хорошо известно, что при падении изгибной волны на границу изотропной пластины, помимо изгибной волны, отражающейся по закону геометрической оптики, возникает неоднородная волна, быстро затухающая при удалении от границы пластины. Неоднородные волны можно рассматривать как волны Рэлея [30], сосредоточенные вблизи боковой поверхности пластины. Эти волны не уносят энергию, но их присутствие приводит к изменению фазы другой отраженной волны. В нашей записи таким волнам соответствуют функции и, для которых уравнение эйконала имеет вид (4'). Заметим, что даже безотносительно физического смысла задачи необходимость построения двух отраженных волн по заданной падающей вытекает из наличия двух независимых краевых условий (5).

Отметим следующий факт, имеющий принципиальное значение для наших построений. Хотя, вообще говоря, неоднородная отраженная волна распространяется вдоль границы пластины, в случае, когда решение уравнения (2) или (3), соответствующее падающей волне, сосредоточено вблизи некоторого луча, т.е. представляет собой гауссов пучок, неоднородная волна будет быстро затухать при удалении от точки отражения гауссова пучка по любому направлению (в том числе и вдоль границы). Учитывая это обстоятельство, мы можем уточнить вид искомого формального решения уравнения (2) или (3) с краевыми условиями (5) (см. Рис. 1). Именно, искомую функцию и можно записать в виде

и = щ + м2,

где обе функции и\,П2 являются формальными решениями уравнения (2) или (3). При этом функция щ сосредоточена вблизи замкнутого экстремального цикла (точнее, в полоске, имеющей ширину порядка а;-1/2), а функция г/2, соответствующая неоднородным отраженным волнам - в малых окрестностях вершин экстремального цикла. Наличие этой функции приводит к появлению дополнительных слагаемых в формуле для и в первом приближении по сравнению с аналогичной формулой для уравнения Гельмгольца.

0t

Рис. 4

При построении высших приближений для уравнений (2), (3) никаких принципиально новых трудностей по сравнению с аналогичными построениями для уравнения Гельмгольца не возникает. Однако в силу специфики задачи (а именно, необходимости построения решений, соответствующих неоднородным отраженным волнам в окрестности вершин экстремального цикла) используемый нами метод отличается от методов работ [18], [9] и [31].

Глава 2 диссертации посвящена изучению распространения высокочастотных изгибных волн в тонких неоднородных анизотропных пластинах. В рамках классической теории уравнение свободных изгибных колебаний таких пластин, записанное в симметричной форме, имеет вид

Здесь и = ж2) - прогиб срединной плоскости пластины,

— 1,2, р = р(хх,х2) - поверхностная плотность пластины, ЕЦЫ = ЕзгЫ = Екиз(хих2) - величины, характеризующие жесткость пластины и нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующим переменным.

Решения уравнения (6) строятся с помощью вещественного варианта пространственно-временного лучевого метода (ПВЛМ) [4]. Хотя рассматриваемая задача и является стационарной, применение ПВЛМ вполне оправдано, поскольку данный метод позволяет без труда получить ряд важных общих соотношений. Так, например, имеет место равенство, связывающее усредненный поток энергии (5) и усредненную плотность энергии {£)

и позволяющее трактовать групповую скорость как скорость переноса энергии. Легко выводится также закон сохранения (усредненной) энергии в форме гидромеханического уравнения неразрывности (см. ниже). Последнее уравнение иллюстрирует известную концепцию H.A. Умова [35] об "энергетической жидкости", льющейся в телах с групповой скоростью.

В качестве анзатца берется разложение

рии + Е^к1щ]Ы + 2 E?klu3kl + Eflukl = 0.

(6)

(см. [33]).

(S) = <£>«,

h (*р)п

оо

(7)

где = Р ~ большой параметр.

Подстановка разложения (7) в уравнение (6) дает нам уравнение относительно фазы в:

рв2 + ЕИк1в.в.вкв{ = о

(8)

(которое по аналогии с классическим случаем мы будем называть уравнением эйконала) и уравнения относительно амплитудных функ-

(уравнения переноса).

Как и в классическом случае волнового уравнения, уравнение эйконала (8) допускает запись в форме уравнения Гамильтона-Якоби

где г = 1,2, а его решение для заданного начального значения

сводится к интегрированию характеристической системы при соответствующих начальных данных. Уравнения переноса (9) и (10) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль характеристик канонической системы и легко интегрируются.

К сожалению, вопрос об отражении от границы для общего анизотропного случая в настоящей работе рассмотреть не удалось. Можно предполагать, что при падении изгибной волны на закрепленную

границу анизотропной пластины, как и в изотропном случае, возникают две отраженные волны: обычная волна (для которой, очевидно, закон "угол падения равен углу отражения" уже не имеет места) и неоднородная (сосредоточенная вблизи границы пластины). Однако показать это удалось лишь для ортотропного случая (см. §3 Гл. 2).

Применяемый нами подход к построению решения является аналогом классического ПВЛМ для волнового уравнения, изложенного

ций £/"("), п = 0,1,...:

4[/(о)Еаы@ вкв1 + 2£/(о) д (ЕЩЧ0 00Л = о, (9)

(Ю)

0о + Я(0,-,я,-) = О,

в монографии [4]. В идейном плане наши построения основываются также на работе В.М. Бабича [2], в которой пространственно-временной лучевой метод применялся для исследования распространения волн в слабо неоднородном анизотропном упругом слое.

Из работ авторов-механиков отметим некоторые наиболее близкие по методам исследования работы. Это прежде всего статьи Г. Коэна и Р. Томаса [36]-[38], посвященные неустановившимся волнам в изотропных и анизотропных пласФинаЗс. В этих работах в качестве модели пластины рассматривается пластина Соввега! (см. [41]), а построения ведутся с помощью лучевого метода в сочетании с методом сингулярных кривых.

В работах Г.И. Михасева (см., например, [19]-[21]) близкие методы применялись для исследования распространения волновых пакетов в тонких изотропных оболочках.

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам. Диссертация состоит из двух глав, разбитых на 11 параграфов.

Глава 1 целиком посвящена изотропному случаю. При этом в §§1-7 строятся асимптотические формулы для собственных частот и собственных форм колебаний пластины, имеющей переменную поверхностную плотность и постоянные упругие свойства (уравнение (2)), а в §8 эти результаты обобщаются на технически более сложный случай пластины с переменными упругими свойствами (уравнение (3)). Ив том, и в другом случае на границе пластины ставится условие жесткого закрепления.

Отметим, что при изучении реальных пластин построенные в Главе 1 асимптотические формулы применимы для нахождения только конечного (хотя и большого) набора собственных частот, удовлетворяющих условию (1).

В §1 дается постановка задачи и обсуждаются основные допущения. Здесь же для рассматриваемого �