Топологические конфигурации монопольного типа и динамика квантовых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ни. В.И.СТЕПАНОВА

РГЗ сл

На правах рукописи

ПРИСЬ ИГОРЬ ЕВГЕНЬЕВИЧ

ОПОЛОГПЧЕСКНЕ КОНФИГУРАЦИИ МОНОПОЛЬНОГО ТИПА И ДИНАМИКА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

01.04.02-т£оретггчдсхаа флота

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па сспстахпге учёной степепл хапдидата фэзию-матснатпчасжях пауг

М

19 94

пег

Работа выполнена в Институте физики Академии наук Беларуси.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

главный научный сотрудник Е.А.Толкачёв

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор А.А.Богущ

кандидат физико-математических наук А.Э.Марголин

Ведущая организация: физический факультет

Белорусского государственного университета

Защита диссертации состоится " ' " сМа/гта 1994г. в м часов на заседании специализированного совета Д 006.01.02 при Институте физики АНВ: 220072, Минск, проспект Франциска Скорины, 70.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики АНБ.

Автореферат разослан "Д" ЛА^&ЖЯ 1994:

Учёный секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Ю.А.Курочкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Как известно, оа последние десятилетия сфера применения теоретико-групповых методов в квантовой теорпп значительно расширилась. Принципиальным моментом в этом направлении было появление концепции групп динамической симметрии и основанного на ней метода когерентпых состояний. Дальнейшее рао-аптне спмметрийного подхода связано с недавно открытыми q-дeфop-мированнымн (или квантовыми) группами, возможные приложения которых интенсивно исследуются.

Одной из физически важных и в то же время точно решаемых модельных систем, на которых апробируются новые математические методы, является атом водорода (или кеплерова задача). Классический пример - это исследование его "скрытой" и динамической симметрии. Широкое распространение получило описание атома водорода п терминах 4-мерпого гармонического осциллятора, при котором "скрытая" симметрия выражается в явном виде.Такой подход был использовал, в частности, д.тя построения когерентных волновых пакетов, описывающих высоковозбуждёпные состояния атома водорода и д-аналогов его энергетического спектра.

Однако существенным "недостатком" атома водорода как модельной системы является его топологическая тривиальность. Поэтому в последпее время все больше внимания уделяется исследованию гипотетических топологически нетривиальных аналогов атома водорода — атома дпогена и МЮ-кеплеровой задачи. Прп этом гамильтониан атома диогена содержит векторный потенциал, описывающий поле магнитного заряда (магнитного мопополя), которым наряду с электрическим обладает его ядро, а в гамильтониан МЮ-кеплеровой задачи входит еще и дополнительный центробежный член, восстанавливающий тс же группы впутренней п динамической симметрия, что и в случае водоро-доподобного атома.

Обе эти модельные задачи пмеют и значительный физический интерес, поскольку, например, изучение атома диогена даст богатую информацию о взаимодействии медленного магнитного мопополя с атомными системами, а центробежный член естественно возникает в суперсимметричной задаче со спином 1/2.

Наиболее адекватным математическим аппаратом для описания абе-левого статического магнитного заряда является расслоепие Хопфа Я и (2) и 53 - 52 или его расширение - расслоение Кустаанхеймо-Штифеля

(РКШ) Л4 —» Я3, которое возникает при рассмотрешш поля магнитного монополя как калибровочного поля на языке теории связностей и расслоенных пространствах.

При описании 3-мерной квантовой системы с магнитным оарядом в РКШ переходят к 4-мерному уравнению Шрёдиигера с дополнительным условием па волновую функцию, Хф = дф, где X - линейный оператор сдвига вдоль слоя РКШ, д - магнитный заряд. Эта схема включает в себя и топологически тривиальный случай g=0 (несмотря на топологическую нетривиальность РКШ), в частности, атом водорода. Однако в последнем случае описание квантовой системы в РКШ не является калибровочным.

Переход к 4-мерному уравнению Шрёдингера в ряде случаев упрощает исследование стшетринных аспектов исходной 3-мерной задачи, а также позволяет применить некоторые приближённые методы (что бывает невозможным сделать в 3-мерии), как, например, алгебраический интерполяционный метод или упомянутое выше построение когерентных волновых пакетов для атома водорода.

Кроме того, квантовые системы в РКШ допускают анализ методами геометрического квантования, а также с точки зрения гамильтонова (лагранжева) формализма с однозначным функционалом действия.

Отметим ещё использование РКШ в формализме интегрирования по путям и для описания задачи рассеяния зараженной частпцы но монополе, в частности, для построения соответствующей функции Грина.

В качестве существующих обобщений укажем на суперсимметричное РКШ и суперсимметричный потенциал Дирака. Примеры суперсимметричных квантовых систем с магитным оарядом дают М1С-кеп-лерова задача со сшшом 1/2 и система электроп-мононоль.

"Висим образом, введение в рассмотрение магнитного заряда существенно обогащает физику исходной проблемы и создает новые возможности для применения теоретико-групповых, алгебраических и геометро-топологическнх методов.

Целью диссертационной работы является исследование квантовых систем с магнитным оарядом (в том числе q-дeфopмпpoвaшIЫx) на основе теории групп динамической симметрии, метода когерентных состоянии и развитого в работе ковариантного кватернпонного варианта РКШ. Ковариантность понимается в смысле использования целого семейства расслоений.

Научная новиоиа. В работе предложен новый коварпантный подход к описанию квантовых систем с магнитным ¡зарядом, основанный на использовании целого семейства изоморфных РКШ, что, с одной стороны, значительно упрощает исследование квантовых систем с магнитным зарядом, а с другой позволяет использовать появляющийся произвол в виде дополнительного вектора, параметризующего это семейство.

В качестве приложений такого коварпантного подхода получены общие коварпантпые выражения для оператора пространственной инверсии па расслоении, сечений РКШ, функции калибровочного преобразования, "калибровочной" координаты вдоль слоя РКШ, дана новая интерпретация потенциала Дирака как сечения расслоения Хопфа (потенциала поля дпопа как неподвижной точки расслоения сечешш РКШ), потенциал Дирака получен по аналогии с подходом Берри при помощи варьирования дополнительного вектора, параметризующего РКШ.

Применение теоретико-групповых методов "на фоне" РКШ позволило решить ряд задач для систем с мопополем, в частности, построить когерентные волновые пакеты и «^-деформированный энергетический спектр для М1С-кепяеровой задачи. Впервые дано описание атома дно-гена в терминах 4-мерного пзотропного сппгулярного осциллятора со связью.

Для бессшшового релятивистского атома дпогепа построена функция Г^ина в базисе обобщённых (по Переломову) когерентных состояний.

Исследован вопрос о ^-обобщении РКШ исходя из коварпантной кватернионпой формулировки классического РКШ. Построен q-aпaлoг РКШ.

Практическая значимость. Предложенный в диссертации новый ковариаптпый подход к описанию потепцяала Дирака как калибровочного поля на расслоении, основанный на введении целого семейства изоморфных расслоеппн, может быть распространён на исследование других калибровочных полей, симметричных относительно некоторой подгруппы группы пространственно-временной симметрии с точностью до калибровочного преобразования п описываемых в терминах расслоённых пространств.

Когерептные волновые пакеты, построенные для М1С-кеплсровой задачи, могут быть попользованы для исследования эффектов, связанных с взаимодействием высоковозбу>::дёкного атома с магнитный мопополем.

Квантовый аналог РКШ может оказаться полезным для дальнейшего исследования q-дeфopмиpoвaнныx спектров, процедуры редукции в условиях q-дeфopмaщш и деформированного потенциала Дирака.

На оащиту выносятся следующие основные положения:

1. Предложен новый ковариаятный подход к описанию квантовых систем с магнитным зарядом, основанный на использовании семейства изоморфных РКШ.

2. На основе хватернионпого варианта векторной параметризации группы вращений дана новая интерпрнетация потенциала Дирака как сечения расслоения Хопфа.

3. Показало, что геометрическая фаза, возникающая при циклической эволюции векторного параметра, характеризующего семейство изоморфных РКШ, выражается через потенциал Дирака.

4. Построены когерентные волновые пакеты, приближённо описывающие ридберговскпе, т.е. высоковозбужденные состояния квантовой МЮ-кеплеровои задачи, и установлена связь с классическим случаем.

5. Построена функция Г^ина в базисе когерентных состояний для уравнения Клейна-Фока в поле диона, и при помощи её найден энергетический спектр.

6. Дано описание атома диогена как 4-мерного изотропного сингулярного осциллятора со связью.

7. Получены различные варианты q-дeфopмиpoвaннoгo спектра М1С-кеплеровой задачи.

8. Построен q-aнaлoг РКШ.

Апробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на многочисленных семинарах в ИФ АНБ (1990-1993), Всесоюзной конференции по фундаментальным взаимодействиям элементарных частиц ОЯФ АН СССР (Москва, 1990), Всесоюзном совещании по гравитации и электромагнетизму (Минск, 1991), XII рабочей школе по геометрическим методам в физике (Веловежа (Польша), 1993), XVI семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, 1993).

Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 10 работах.

Объём и структура работы. Диссертационная работа содержит 126 страппц машинописного текста и состоит па Введения, трёх глав, в каждой по которых по трп параграфа, Заключения и списка литературы, включающего 110 наименований источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность исследования, сделай краткий исторический обзор, указано место, которое оанимает данное исследование в ряду других работ, близких по теме, сформулирована саг дача исследования, перечислены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе строится 0(4)-ковариантнос РКШ в кватернионах и рассматриваются некоторые приложения такого ковариантного подхода: доказательство существования 4-мерного представления оператора Р-пнверсии в виде автоморфизма РКШ и нахождение общей хо-вариантной формулы для этого оператора (§1), детальное исследование функции калибровочного преобразования потенциалов Дирака с произвольными линиями сингулярности (§2), интерпретация потенциала поля дпона ках неподвижной точки расслоения сечений РКШ (§3).

Коварпантное преобразование КШ в кват^рнпонной форме{§1) определяется как отображение Я4 = Л4\{0} —* Я3 = Я3\{0}, имеющее вид

т = х = хпх, п2 = —1,

где х = Xjej - произвольный кватернион.

Ковариаятное РКШ (§2) хак семейство главных РКШ со структурной группой 11(1) определяется паданием помимо ковариантного преобразования КШ ещё правого действия структурной группы вертикальными автоморфиомами

е", ре Я: х хе«-'/2')*), д _ т/2) т € 2\{0} и формы связности - 1-формы

где (), обозначает скалярную часть кватерниона..

Изоморфном двух расслоений, определяемых векторами щ и п2, даётся правым сдвигом в В* : х —♦ хх21,х31х21 = 1> где х21 соответствует вращению пз —► щ.

Аналогично вводится сопряжённое антиизоморфное расслоение с левым действием структурной группы, причём антиизоморфизм дается операцией кватернионного сопряжения.

В теории магнитного мопополя лагранжиан не инвариантен относительно пространственной инверсии Р. Возможность определения операции Р в расслоении недавно привлекла к себе внимание. Общее решение отого вопроса даётся следующим утверждением: Р есть антиизоморфизм РКШ (изоморфизм сопряжённого РКШ) и имеет вид

Р = кпеа^\ (пк) = 0, Р = -1,

где а(х) - произвольная 3-мерная функция на Л3, а Р действует как правый сдвиг.

В §2 найдена общая формула для функции калибровочного преобразования, соответствующей потенциалам Дирака с произвольными линиями СИНГУЛЯРНОСТИ П! и п2:

р(п 1, па, т», г) = —2дагсзт—,

2/(1 - (^п1))(1 - (?йа))(1 + (ти))(1 + (ЙЙ3))

В §3 дана новая интерпретация потенциала Дирака как сечения расслоения Хопфа или - потенциала поля диона как неподвижной точки расслоения сечений РКШ. Новая интерпретация оказалась возможной благодаря использованию векторной параметризации группы вращении и выявляет её дополнительный геометрический смысл, обусловленный наличием в РКШ связности. Точная формулировка соответствующих свойств потенциала поля диона даётся следующим утверждением: естественное приклеивание расслоения сечений Б1 х Б1 к базе Б2 потенциалов поля диона (т.е. такое приклеивание при котором всякое сечение из 5а х 51, представленное в векторной параметризации с кал: векторное попе, отображается в такое же векторное попе из Б2, если последнее существует) осуществляется в единственной и притом неподвижной относительно этого приклеивания точке с(п,п,г,а — 0) = А(п).

Наряду с втим в §1 исследуются различные формы записи ПКШ и их взаимосвязь, даётся вывод хватернионной формы ПКШ из бикватернп-онноп формы оапнсн дпраховского тока. В качестве промежуточного

математического результата для нахождения функции калибровочного преобразования в §2 получена коварнантная формула для сечений ковариантного РКШ, показана её факториэуемость и установлен геометрический смысл.

Формулы для сечений имеют вид:

й„ Г) = , . 1 (1 + гп2)(1 - ЙА) =

2/(1 - (гп2))(1 + (Й,Й3))

±у/г , . 1 (1 + (Й1»2) - (гп2) - (гп,) - [Д2П1]

2у(1 - (гп3))(1 + (Й,п2))

+[гЙ2] + [ГП|]), й, ^ -й2,

а в случае п = щ = — п?

5(Й, -Й, г) = ±у7 ~ гп)* , (йЙ) = О, ¿У -й;

причём, если 512: Я3 —► Л4 - соответствующее отображение, то

51>(п1) = АРЩМ,

где А°{п2)<1г - 1-форма потенциала Дирака.

Вторая глава начинается с построения ковариантного кватерни-онного описания квантовой механики на ковариантном РКШ и установления связи с 3-мерным описанием (§1). Промежуточным результат том является, в частности, нахождение ковариантного атласа локальных карт, покрывающих РКШ. Потенциал Ву-Янга записывается при втом в ковариантной форме.

Чтобы построить кватернионную квантовую механику па РКШ, строится трпвиалиоация РКШ. "Калибровочная" координата х(й) находится из формулы 5(г = 7г(ж))е~!^я = х, или 5(г) = ге^",

Т^ивиализация {(*(й, го, х), г), т2 = -1} РКШ, где (х(й, гЯ, х), г) - локальная координатная система в РКШ, такая, что х(й, т, х) = О для х 6 -5(п, т, г), имеет вид:

«3 Ф -п1'| ,

- ч ({хп)\

Х(п, п, х) =

Х(й, -Я, и) = -2дагс1д(^^У

Для перехода в 3-мерие определяются операторы X, которые являются генераторами группы 0(4) и х (2) :

где V = д, V = и ()у обозначает векторную часть кватерниона.

"Калибровочная" координата необходима для иостроения гильбертова пространства

Ъ, =

в котором действует оператор J. Соответствующий ему редуцированный 3-мерный оператор обобщённого углового момента з = {г, (р — ^■"("а))! + дг действует в пространстве функций на Л3.

Связь между 3-мерным п 4-мерным описаниями даётся следующим утверждением: 4-мерное уравнение Шрёдингера (с дополнительным условием)

= Еф(х),

где ф(х) 6 I,,, т.е.

(п,Х)^(®) = дф(х) (р/)ф = дф,Р= х(-П1)х/г,

эквивалентно 3-мерному уравнению Шрёдингера для частицы с единичным электрическим зарядом, е=1, движущейся в поле статического дио-на с магнитным зарядом g и электрическим зарядом -е=-1 с добавочным потенциалом У(г),

-I + УФ = + + Уфг,в, Ф)

= Еф{г,е,Ф). 10

В качестве приложения показано, что потенциал Дирака на базе или в пространстве параметров п^ можно получить в духе подхода Бер-ри (§1), если дополнительное условие на 4-мерную волновую функцию рассматривать как уравнение на собственное значение и собственые функщш, зависящее от векторного параметра, который можно варьировать.

В §2 двумя способами (п. 2.1 - алгебраический, п. 2.2 - геоме-тртческпй) в РКШ построены когерентные волновые пакеты для М1С-кеилеровой задачи. Показано, что в классическом пределе для средних по этим волновым пакетам значений операторов координат, импульса и энергии получаются классические формулы для уравнений движения и энергии.

Система уравнений, определяющая когерентные волновые пакеты |а > (с(£)) = |а > е-*7"1 (в 4-мерном пространстве), имеет вид

а

< а\К\а >= к, < а|Х|а >= ц, < = / | < г > {а)\<1о,

о

где |а >= Пи 1«; >. 1«; >= «рИЖ^ ~ -

ау 6 С, - когерентные состояния для 4-мерного гармонического осциллятора с частотой, зависящей от энергии (и> = М = 4т), с

гамильтонианом К] к - константа.

Метод обобщённых когерентных состояний по Переломову совместно с методами динамической симметрии и функции Г^ина проиллюстрирован в §3 в задаче нахождения энергетического спектра уравнения Клейна-Фока с магнитным зарядом.

Тккой подход оказывается возможным благодаря существующей здесь алгебре динамической симметрии 811(1,1) с генераторами

2т г 2т г

К3 — Г1ГТ,

где 7гг = 1(гт? + тгг), я = р-] = [г, тг] - цг, г = г/г, ц = ед, А° -потенциал Дирака, через которые выражается оператор резольвенты задачи.

В результате возникающая в представлении когерентных состояний функция Гарина,

СЕ«, С') =«£ Г - Е^гк - 2ЯЯа)}х

(1 - 1С1')'(1 - 1СЧ')*

(1 - ехр{~2и{т* - Е?у/*)еС)п'

к = ~ + [\ + Ю + 1) " Ц2 ~ 3 = Ы, И + 1,»..

отличается от функции Грпца для атома водорода выбором представлений группы 811(1,1) (значений индекса к).

В третьей главе, в частности, продолжено применение метода динамической симметрии (§§1,2), включая рассмотрение q-дeфopмпpoвaн-ных симметрии (§2).

В §1 даётся описание атома диогена в РКШ как 4-мерного изотропного сингулярного осциллятора со связью. Соответствующее стационарное уравнение Шрёдпнгера имеет вид уравнения па единичное собственное значение:

в котором частота зависит от энергии 3-мерной задачи. Уравнение связи имеет вид (х201 — х\дг ■+• х4^3 — хгд^ф = 2гдф.

ТЬ.кой подход, в частности, позволяет получить энергетический спектр без использования формул Бэйкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, которые необходимы в стандартном подходе для исключения из рассмотрения некомпактного генератора группы 811(1,1).

Связь со стандартным подходом в З-мерпп устанавливается при помощи процедуры редукции.

В п.1.2 §1 устанавливается непосредственная связь между спектром и волновыми функциями сингулярного осциллятора и атома диогена.

В §2 рассматриваются различные варианты с^-деформации М1С-кеп-перовой задачи и атома диогена (в частности, с ипользовашзем не деформированного РКШ), и находятся соответствующие д-деформированные энергетические спектры.

В частности, спектр д-МЮ-кеплеровон задачи с симметрией £>£7е{2) х 5£/,(2) имеет следующий вид:

Е0

+1]7+Т++.1),

где [а]ч = (да - д'а)/(Я - <?-'), [а),=1 = а; |Д - л| = ИВ случае применения 4-мерного подхода с использованием преобрал оования КШ один из возможных вариантов q-cпerтpa отличается от соответствующего спектра для атома водорода дополнительным условием на квантовые числа:

р , 16Др

где

так что, например, при \ц\ = 1, основной уровень М1С-кеплеровой системы деформируется точно так же как первый возбуждённый уровень атома водорода: £'п=о1|/1|=1 = Еп-- 16Е0/([2), + [3], + 2)а или 42?о/([2], + 2)3; т.е. наряду с деформацией присутствует расщепление уровня на два подуровня.

В §3 дан вывод полной системы аксиом алгебры квантовых кватернионов из требования изоморфизма этой алгебры квантовой группе (517(2) х А+),, н на этой основе построен q-aнaлoг РКШ в кватернионах.

В частности, д-аналог преобразования КШ имеет вид = 2(а!<1) + а3а4), &з = 2(а3а3 - а,а4), Ьз = а^ + а? - ? (а\ + Ь4 = 2[а4,а3),

где нужно иметь в виду правильный порядок сомножителей, принадлежащих некоммутативной алгебре.

С}-аналог структурной группы 11(1) определяется группоидом

ия{ 1) = {е**5; с е А, с* = с}, 17,(1) Э Щ1) и {еа"; а € Л},

а q-aнaлoг формы связности - формулой

^(ч-ч I)(oido1 + a3<ioj

В Заключении указаны некоторые возможные дальнейшие приложения результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Прись И.Е., Толкачёв Е.А. Когерентные состояния и связь между квантовым и классическим описанием атома диогена.//ЯФ. 1991. Т.53. С.414.

2. Прись И.Е., Тэлкачёв Е.А. Атом диогена как 4-мерный изотропный сингулярный осциллятор со связью.//ЯФ. 1991. Т.54. С.962.

3. Прись И.Е., Толкачёв Е.А. Функция Г^ина для скалярного заряженного Еэодублета, взаимодействующего с пеабелевым дпо-НОМ.//ЯФ. 1991. Т.54. 285.

4. Прись И.Е., Сиваков И.В., Толкачёв Е.А. Вещественное матричное представление преобразования Кустаанхеймо-Штифеля.//В сб."Ковариаптные методы в теоретической физике". Минск, 1991. С.128.

5. Прись И.Е., Толкачёв Е.А., Томпльчик JT.M. Атом диогепа как 4-мерный сингулярный осциллятор. Спектр и волновые функ-щш.//ДАНБ. 1992. Т.Зб, N 2. С.123.

6. Прись И.Е., Сиваков И.В., Толкачёв Е.А. Коварпантное преобразование Кустаанхеймо-Штифеля в кватернионах.//ДАНБ. 1993. Т.37, N2. С.135.

7. Прись И.Е., Толкачёв Е.А. Потенциал Дирака как сечение расслоения Хопфа.//ДАНБ. 1993. Т.37, N 3. С.ЗО.

8. Прись U.E., Толкачёв Е.А. О монопольных потенциалах в расслоении Кустаанхеймо-Штифеля.// Препринт N 677 ИФ AHB. Минск, 1993.

9. Прись И.Е., Толкачёв Е.А. О q-деформации дискретного спектра квантовой системы заряд-дпон.// ЯФ. 1993. Т.56. С.66.