Топологические свойства пространств Стоуна некоторых булевых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОЛОВАСТОВ Роман Александрович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ СТОУНА НЕКОТОРЫХ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной" степени кандидата физико-математических наук

15 2015

Ижевск —2014

005557431

005557431

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет», кафедра алгебры и топологии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Грызлов А. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Величко Н. В., Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург

кандидат физико-математических наук, доцент Н. К. Шамгунов, ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б. Н. Ельцина», г. Екатеринбург

Ведущая организация: Национальный исследовательский

Томский государственный университет

Защита состоится «24» февраля 2015 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ИММ УрО РАН http://www.imm.uran.ru/C16/Diss/default.aspx

Автореферат разослан «ХН » декабря 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук -У И. Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие пространства Стоуна булевой алгебры имеет важное значение в теории бикомпактных расширений.

Максимальное бикомпактное расширение топологического пространства, называемое расширением Стоуна-Чеха, основано на конструкции пространства Стоуна. Особое место в теории бикомпактных расширений занимают максимальные бикомпактные расширения Стоуна-Чеха дискретных пространств, являющиеся пространствами Стоуна булевых алгебр подмножеств дискретных пространств.

Этим расширениям посвящены работы У. Рудин [21], 3. Фро-лика [10, И], М.Е. Рудин [18-20], К. Кунена [12-14], Я. ван Мил-ла [15-17], В.И. Малыхина [4]. A.A. Грызлова [2, 7. 8].

Развитие теории бикомпактных расширений вызвало потребность в рассмотрении и изучении бикомпактных расширений дискретных пространств, являющихся пространствами Стоуна других булевых алгебр.

М. Белл [6] построил пространство Стоуна булевой алгебры, для которого подпространство свободных ультрафильтров не се-парабельно, но удовлетворяет условию Суслина. Это пространство является бикомпактным расширением счетного дискретного пространства.

Расширение М. Белла использовалось Я. ван Миллом [15] и A.A. Грызловым [7] для доказательства существования новых типов точек в пространстве ßu, тем самым были решены несколько важных проблем теории бикомпактных расширений.

В силу актуальности расширения М. Белла, для теории бикомпактных расширений, возникла задача подробного его изучения.

Исследованию расширения построенного М. Беллом посвящены работы A.A. Грызлова, Е.С. Бастрыкова и P.A. Головасто-ва [1, 3, 9, 22, 23]. В этих работах изучена внутренняя структура этого пространства, получены различные типы его точек и их свойства.

Доказано, что в расширении Белла существуют как сходящиеся последовательности, так и копии пространства ßui.

Пространство, построенное М. Беллом, является пространством Стоуна булевой алгебры подмножеств множества

Oli = {f\n- п С и), f € Pi},

где Pi = {/ £ : 0 f(k) + 1 для всех к G w}.

Здесь и далее под п в зависимости от контекста будем понимать и натуральное число, и множество {0, 1,..., п — 1}. Булева алгебра этого пространства порождена семейством

где Т\ = {7г G : dorn 7г(п) = n + 1 для всех п В работе рассмотрении множества

Oll = {/|п: ПС «,/€/>!};

где Р2 = {/ G : 0 < /(fc) < 1 для всех к G и} = {0, 1}";

ЭТз - {/|n: п С ш, f £ Р3}, где Р3 = ыи.

Отметим, что Я Ç Определим множества

Т{ = {ж G : dorn тг(п) ^ n + 1 для всех n G cj} (г = 1, 2, 3).

В качестве семейств, порождающих булевы алгебры, мы рассматриваем следующие семейства

ßi,i = {Ся:тг G Ti},

B2,i = {С. : 5 G Oli} (¿ = 1,2, 3).

Пространства Стоуна этих булевых алгебр обозначим S<&jti (г = 1, 2, 3; j = 1, 2). Отметим, что 5031Д— это пространство, построенное М. Беллом.

Рассматриваемые булевы алгебры представляют собой основные характерные варианты булевых алгебр подобного типа.

В работе рассмотрении следующие вопросы, выясняющие строение и свойства указанных пространств Стоуна.

Какова внутренняя структура указанных пространств Стоуна.

Каковы взаимосвязи этих пространств между собой.

Как связаны эти пространства с такими широко известными пространствами, как (Зш и канторовым совершенным множеством.

Каким свойством обладают сходящиеся последовательности и копии пространства /Зш в этих пространствах.

Какая взаимосвязь между открыто-замкнутыми подмножествами пространств и подмножествами гомеоморфными рш.

Какими необходимыми характеристиками можно описать множества, гомеоморфные

Каковы кардинально-значные характеристики указанных пространств, каковы число Суслина и плотность подпространств свободных ультрафильтров.

Решению этих вопросов посвящена настоящая диссертация.

Цель работы. Работа посвящена изучению свойств пространств Стоуна различных булевых алгебр, и установлению соотношений подмножеств этих пространств с пространством Стоуна-Чеха канторовым совершенным множеством и другими.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим среди них основные:

— получена комбинаторная характеристика подмножеств пространства 9^2, замыкание которых есть открыто-замкнутая

копия расширения Стоуна-Чеха Рш счетного дискретного пространства;

— доказано существование подмножеств пространства , замыкание которых не открыто-замкнуто в 523^2, но является копией /Зи), и подмножеств ЭТ2, замыкание которых открыто-замкнуто в 593^2, но не является копией /Зш;

— доказано, что подпространство свободных ультрафильтров пространства S9З^з удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно;

— выяснено внутреннее строение пространства 5532,з>на основе этого построен гомеоморфизм 5^2,з на совершенное нигде не плотное ограниченное подмножество прямой.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории бикомпактных расширений топологических пространств.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на конференции им. Н. И. Лобачевского (Казань, 2007), студенческой научной конференции (г. Ижевск, 2008), международной 41-й всероссийской молодёжной школы-конференции (г. Екатеринбург, 2010), международных научных конференциях "Ломоносов-2011 "и "Ломоносов-2013"(г.Москва, МГУ, 2011, 2013), конференции "Problems of modern topology and applications" (г. Ташкент, Узбекистан 2013); а также на семинарах им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии МГУ (г.Москва), топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (г.Екатеринбург).

Публикации. Основные результаты опубликованы в шести статьях, список которых приведён в конце автореферата, и тезисах конференций. Работы [22], [23] выполнены в нераздельном соавторстве с А. А. Грызловым и Е. С. Бастрыковым, работы [26], [27] выполнены в нераздельном соавторстве с А. А. Грызловым. Во всех работах основными являются исследования автора.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.3 означает, что эта теорема находится во второй главе. Объём диссертации составляет 80 станиц машинописного текста и содержит 38 библиографические ссылки.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава работы содержит основные понятия и определения, в ней приведена конструкция рассматриваемых пространств Стоуна и ряд их свойств.

В первом параграфе приведена основные сведения о пространствах Стоуна булевых алгебр, которые можно найти в [5]. Прежде всего приведем определение пространства Стоуна булевой алгебры.

Определение 1.7 Пространством Стоуна булевой алгебры 03 называется множество ультрафильтров в 03 с топологией, задаваемой базой состоящей их открыто-замкнутых подмножеств [Л] следующего вида:

[Л] = {£е503: дляА£<В.

Приведены некоторые свойства пространств Стоуна, необходимые в дальнейшем и теорема о бикомпактности пространства Стоуна.

Во втором параграфе рассматриваются два типа булевых алгебр подмножеств счетных частично упорядоченных множеств и ЭТз. Изучению пространств Стоуна этих булевых алгебр и посвягцена данная диссертация. Опишем эти булевы алгебры.

Для произвольного в е (г = 1, 2, 3) определим

С3 — {I £ : £ является продолжением в}.

Также определим множества

Ti = {7г е 9t" : dorn тг(п) = п + 1 для всех п € и J.

Для каждого 7Г е (г = 1, 2, 3) обозначим

C« = и{ Ск(п) : п £ ш }.

Обозначим через 2$i,i (г = 1, 2, 3) булеву алгебру, порождённую семейством

Bhi = { Сл : 7Г € Ti }.

Обозначим через 2Ь,г (г — 1, 2, 3) булеву алгебру, порождённую семейством

В2Л = {Св:8€Чи}.

Определим пространство S^j^ как пространство Стоуна булевой алгебры S^j (г = 1, 2, 3; j — 1, 2).

Далее доказывается рад свойств данных пространств, позволяющий описать их базы. Определим семейства

Г1,4 = { U сж : 7Г е Ti, Т' С Т, \Т'\ < и, М С и } (г - 1, 2, 3);

TT 6Т'

01,3 = № \ ( U сж) : Т' С Тз, |Г I < w}.

TT €Т'

Теорема 1.2 Семейства

Ъ1Л = {{и]:иеГ1Л} Bi,2 = { [17] : U 6 rli2}

В1.з = {[У]:УбГ1,3ив1,3}

являются базами пространств 55Sij2 и 5iBi)3 соот-

ветственно.

Определим семейства

r2,i = { са \ U Ct : s G mi, N' С IJV'I < <Л (г = 1, 2, 3),

t£N'

02,з = { % \ U Ct : N' С ОТз, \N'\ < оЛ. tew

Теорема 1.3 Семейства

®2,i = { [U] : U G Г2Д}

®2,2 = { [С/] : U G Г2,2} ®2,з = { [U] : U G Г2,3 U ©2,з}

являются базами пространств 5532;i, SiB2i2 и 5!В2з соответственно.

Вторая глава содержит основные результаты работы.

Первый параграф посвящен пространству Резуль-

таты данного параграфа опубликованы в [22, 23]. Данное пространство было первым среди пространств такого типа, которые были рассмотрены нами. Оно было построено М. Беллом [6], как пример пространства Стоуна, подпространство свободных ультрафильтров которого удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно.

Пространство построенное М. Беллом можно рассматривать как бикомпактное расширение дискретного пространства фиксированных ультрафильтров. Кроме указанных свойств подпространство свободных ультрафильтров обладает другими интересными свойствами.

В хорошо известном пространстве /Зи> замыкание любого счетного подмножества ш гомеоморфно всему /Зш. В данном пространстве ситуация кардинально иная.

Основным результатом этого параграфа являются теоремы 2.3 и 2.4 в которых выделяются подмножества, замыкание которых гомеоморфны /Зш и подмножества 01х, являющиеся сходящимися последовательностями в ¿¡^д. Сходящиеся последовательности и копии Ри представляют особый интерес, поскольку являются крайними вариантами бикомпактных расширений счетных множеств. Акцент на данные свойства делается и при изучении последующих пространств.

Теорема 2.3 Пусть {,чг: г £ и>} — бесконечная строгая антицепь в и X = {хг : г е ш} такое, что ц е [С^]. Тогда [X] гомеоморфно

Теорема 2.4 Пусть Л = {s; : г G ш} бесконечная цепь на (Hj. Тогда А является сходящейся последовательностью в 5i811.

Показано, что копий ßw и сходящихся последовательностей в 1д достаточно много.

Теорема 2.5 Пусть

Q={xe 5®I J: х = lim sn, {s„:n£w}C <ПЛ,

' П-+ OO

ß = {Л*: А С CTii, [Л] гомеоморфно ßw}. Тогда Q всюду плотно а семейство ß является п-сетью в S® J1.

Также важным результатом является описание предельных точек цепей и антицепей в терминах центрированных систем множеств.

Теорема 2.8 Если £ = {Сп\м} — максимальная центрированная система элементов семейства

{ Сп]м : тг 6 Ть М С ы },

™\п{с;[и: с„1ме£}\ = 1.

Теорема 2.9 Если £ = {С} — максимальная центрированная система элементов семейства

= и Ск-.Т'сТи |Г'|<а;},

тг ет'

то |п{С* : С € ^ }| = 1.

На основании данных теорем выделены два класса точек 503 ^ г так называемые и- и ¿-точки, и-точки — суть точки 5031которые имеют базу окрестностей в 503* состоящую из множеств вида С*|М, а ¿-точки—суть точки ^, которые имеют базу

окрестностей в ^ЗЗ^д, состоящую из множеств вида ([П1 \ и С'п) *

тг еТ'

Второй параграф посвящен изучению свойств пространства 5231,2- Результаты данного параграфа опубликованы в работах [24, 25]. Отличительной чертой данного пространства от 503является то, что произвольный элемент в € имеет ровно 2 продолжения на следующий шаг.

Прежде всего показано как связаны пространства 5®11 и 503!,2.

Теорема 2.12 Существует гомеоморфизм ф: [Cblssi 1 503ii2 такой, что ф\<п2 — тождественное отображение.

Под [-i4]sg3j j понимаем замыкание множества Л в пространстве 5931д. Из данной теоремы следует, что в пространстве 5031)2 бесконечные цепи из 912 являются сходящимися последовательностями, а замыкания бесконечных строгих антицепей гомео-МОрфнЫ ßbJ.

Однако, в отличии от пространства 503^1, здесь пределы цепей являются изолированными точками в 503j 2, а замыкания строгих антицепей являются открытыми множествами, что доказывается в следующей теореме.

Теорема 2.13 Для пространства 503i>2 следующее верно:

1) А = {si € 9t2: i е ui} — полная цепь. Тогда А € 03ii2, [Л] является открыто-замкнутым множеством в 5231)2 и [Л] \ А состоит из одной точки.

2) Если А = [sn = f\n: n е M)-цепь, где f € Р2 и M С ш такое, что \М\ = \ М\ = ш. Тогда [Л] не является открыто-замкнутым множеством в 503ii2.

3) А — (ж(п) : n G M С и} — бесконечная строгая антицепь. Тогда А 6 03i>2 и [Л] является открыто-замкнутым множеством в 503ii2 и гомеоморфно ßui.

Основными результатами данного параграфа являются теорема 2.15, дающая критерий подмножества 0Î2 замыкание которого является открыто-замкнутой копией ßu, а также примеры 2.1 и 2.2.

Теорема 2.15 Пусть А С 0Т2, |Л| = и>. Замыкание [Л] является открыто-замкнутой копией ßuj тогда и только тогда, когда А есть объединение конечного числа строгих антицепей из 9î2.

Пример 2.1 Пример не открыто-замкнутой копии Рш в 5931,2-

Пример 2.2 Пример открыто-замкнутого подмножества не гомеоморфного Рш и без изолированных точек в наросте.

Для неизолированных точек из 593 \ 2 доказана следующая теорема.

Теорема 2.14 В любой окре&ности Ох произвольной неизолированной точки из нароста х € 5231 2 содержится открыто-замкнутая копия рш.

Также как и в пространстве 5931,1 здесь через центрированные системы множеств определяются и- и /-точки. Рассмотрено соотношение понятий и- и /-точек в пространствах 5931 2 и 5231Д.

Теорема 2.18 Если х £ 5231,2, тогда х не является и-точкой в пространстве 523хд.

Следствие 2.9 Если х является и-точкой из 5931,2, тогда х не является и-точкой в пространстве 5931 д.

Теорема 2.19

1) Если х является 1-точкой в 5231,2, тогда х является I-точкой и в объемлющем пространстве 5231,1.

2) Если х является 1-точкой в 5231,2, тогда для любогоX С 91 такого, что [-Х^яаз!,! \ X = {х} выполнено \ 1 <

Также приводятся результаты описывающие связь полных цепей и полных антицепей из

Теорема 2.16 Для пространства S®^ справедливо:

1) Если {7г(п): п £ ш} - полная строгая антицепь, то множество 0^2 \ Съ = {tn: п 6 ш} — полная строгая цепь и для всех neu справедливо tn = 7г(п + l)|„+i .

2) Пусть Щ = {i G 9t2: dornt = n-f 1} для всех n£ui. Если (7г(п): п € М} таково, что \ Стг|м| = 1 для всех п £ ш, то {ж(п): п € М} — полная строгая антицепь.

В третьем параграфе рассмотрено пространство 1,3. Результаты данного параграфа поданы в печать [27]. Отличительной чертой данного пространства от предыдущих пространств является то, что произвольный элемент й 6 9Тз имеет счетное число продолжений на следующий шаг. Как следствие этого, в данном пространстве фиксированный ультрафильтр не является изолированной точкой, а множество свободных ультрафильтров является всюду плотным.

Приведена классификация точек данного пространства. Доказано следующее:

©1,3 = {Я3 \ ( 11 Стг) : Г С Т3, |Т'| < а;} является базисом

тхеТ'

ультрафильтра £0 (Лемма 2.4).

Для всякого в € 91з семейство множеств

^ = {С. \ и С.: Т' С Гз, \Т'\ <иС,} тгеТ' тгег'

является базисом фиксированного по й ультрафильтра 5 (Лемма 2.5). Множество всех фиксированных ультрафильтров обозначим .

Для произвольной бесконечной цепи о; = : п 6 ш} С семейство непустых множеств

^ = {С* \ С,: Т' С Т3, \Т'\ < и, аП ( {] С„) = 0}

теТ' тгеТ'

является базисом свободного ультрафильтра (Лемма 2.6).

Множество свободных ультрафильтров построенных по бесконечным цепям «С913 обозначим Р\.

Для всякого свободного ультрафильтра £ ф. Р\ и {£о} найдется множество Ст,\м такое, что тт е Г3, М С ш, \М\ = и> и {7г(п): п £ М} есть строгая антицепь и £ Э Сп\м и Стг(п) ^ £ Для всякого п Е М (Лемма 2.7).

Множество всех таких свободных ультрафильтров обозначим

Тем самым описаны базисы всех ультрафильтров из 5® 1,3. Теорема 2.20 5931,3 = {Со} и Й3 и А и Р2.

Главным вопросом для данного пространства является выяснение плотности и числа Суслина подпространства свободных ультрафильтров. Отметим, что метод использованный М. Бел-лом, для доказательства того факта, что 525* х удовлетворяет условию суслина, но не сепарабельно, неприменим для данного пространства.

Основными результатами данного параграфа являются теорема 2.21, дающая оценку числа Суслина 523^ 3, и теорема 2.22 о плотности 5® 1,3.

Теорема 2.21 с(593^3) = ш.

Теорема 2.22 Подпространство свободных ультрафильтров 523J3 не сепарабелъно.

Четвертый параграф посвящен пространствам Стоуна булевых алгебр порожденных множествами вида {Cs : s G 9îj} (j = 1, Результаты данного параграфа опубликованы в [26].

В силу конструкции, данные пространства Стоуна 5232,1, 5232,2 и 5232,з существенно отличаются от рассмотренных ранее.

Основные результаты параграфа связаны с пространством 5232,з- Прежде всего, описаны точки 5232,з, как ультрафильтры обладающие базисами определенного вида. Доказано следующее: Для произвольного s G 91з семейство

= iCA U Cf s $ U Си N' С ет3> \N'\ < и}

teN' teN'

является базисом фиксированного по s ультрафильтра s (Лемма 2.10).

Множество всех фиксированных ультрафильтров обозначим

Пусть / G Р3 и {sn = /|n: n G ш} полная цепь в 9t3. Тогда семейство оf = {CSn : n G ш} является базисом некоторого ультрафильтра G 5232,з-(Лемма 2.11)

Обозначим F = / £ Р3}, где —ультрафильтр, мажорирующий семейство <7/ = {C/|„ : n G ш} для / G Р3.

Семейство 02,3 = { 013\ (J Ct : N' С 9Î3, \N'\ < w,} является teN' '

базисом некоторого ультрафильтра (о £ 5232,з-(Лемма 2.12)

Данные ультрафильтры описывают все точки пространства 5232,з-

Теорема 2.24 5932,з = Ко} U F U Ôl3-

Теорема 2.25 Подпространство Р пространства гомео-морфно множеству иррациональных чисел.

На прямой построено следующее подмножество.

Пример 2.4 Множество J — совершенное нигде не плотное ограниченное подмножество прямой.

Теорема 2.26 Пространство 5®г,з гомеоморфно J. Список литературы

[1J Бастрыков Е. С. О некоторых точках расширения Белла счётного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2009. - Т. 4. — С. 3-6. -

URL: http://vestnik.udsu.ru/2009/2009-014/vuu_09_014_01.pdf.

[2] Грызлов А. А. О бикомпактных расширениях дискретных пространств / А.А.Грызлов // Фундаментальная и прикладная математика,— 1996, — Т. 2, № 3, — С. 803-848.

URL: http://www.math.msu.su/_fpm/rus/96/963/96306t.htm.

[3] Грызлов А. А. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки / А.А.Грызлов, Е. С. Бастрыков // Труды ИММ,- 2011,- Т. 4.

[4] Малыхин В. И. Ненормальность некоторых подпространств ßX, где Х-дискретное пространство / В. И. Малыхин // Докл. АН СССР. — 1973. - Т. 211. — С. 781-783.

[5] Сикорский Р. Булевы алгебры / Р. Сикорский // Москва: «Мир», 1969.

[6] Bell M. G. Compact ccc non-separable spaces of small weight / M. G. Bell // Topology Proceedings. - 1980. - Vol. 5. - P. 11-25. URL: http://topo.math.auburn.edu/tp/reprints/v05/tp05002s.pdf.

[7] Gryzlov A. A. On the Rudin-Keisler order on ultrafilters / A. A. Gryzlov // Topol. Appl. - 1997. - Vol. 76. - P. 151-155.

[8] Gryzlov A. A. Independent matrices and some points of j3t / A. A. Gryzlov // Topol. Appl. - 2002,- Vol. 107.- P. 79-81.

[9] Gryzlov A. A. On convergent sequences and copies of ¡3N in the Stone space of one boolean algebra / A. A. Gryzlov // Topology Proceedings. - 2013. - jul. - Vol. 42. - P. 165-171.

URL: http://topoIogy.auburn.edu/tp/reprints/v42/.

[10] Frolik Z. Homogenity problems for extremally disconnected spaces / Z. Frolik // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1967. - Vol. 8. -P. 757-763.

[11] Frolik Z. Sums of ultrafilters/Z. Frolik//Bull. Amer. Math. Soc.-1967.-Vol. 73.-P. 87-91.

[12] Kunen K. Ultrafilters and independent sets / K.Kunen // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 172. - P. 295-306.

[13] Kunen K. Some points in /3N / K. Kunen // Math. Proc. Cambrige Phil. Soc. - 1976. — Vol. 80. - P. 385-398.

[14] Kunen K. Weak p-points in N* / K.Kunen // Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 23 Topology. — Budapest, 1978. — P. 741-749.

[15] van Mill J. Weak p-points in compact P-spaces / J. van Mill // Topology Proceedings. — 1979.- Vol. 4, no. 2.- P. 605-628.

[16] van Mill J. An introduction to f}u \w. / J. van Mill // — Amsterdam: Vrige Univ., 1981.

[17] van Mill J. Weak p-points in Chech-Stone compactifications / J. van Mill // Trans. Amer. Math. Soc. — 1982. — Vol. 173, no. 2. — P. 657-678.

[18] Rudin M. E. Types of ultrafilters / M.E.Rudin // Topology Seminar. — Wisconsin, 1965,—P. 145.

[19] Rudin M. E. Partial orders on the types in 0N / M.E.Rudin // Trans. Amer. Math. Soc.— 1971. — Vol. 155, no. 2,— P. 353-362.

[20] Rudin M. E. Lectures on set-theoretic topology / M. E. Rudin // Reg. Conf. Ser. Math.23, Univ. Wyoming. — 1974.

[21] Rudin W. Homogenety problems in the theory of Cech compactifi-cations / W.Rudin // Duke Math. J.— 1956.— Vol. 23, no. 3.— P. 409-426.

Основное содержание исследования и полученные результаты отражены в следующих публикациях.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской федерации, и зарубежных изданиях

[22] Golovastov R. A. On Bell's compactification of N / A. A. Gryzlov, E. S.Bastrykov, R. A. Golovastov // Topology Proceedings. — 2010. jul. - Vol. 35. - P. 177-185. -

URL: http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v35/.

[23] Головастое P. А. О точках одного бикомпактного расширения N / А.А.Грызлов, Е.С.Бастрыков, Р.А.Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2010.- Т. 3.- С. 10-17.

[24] Головастов Р. А. Об одном бикомпактном расширении счетного дискретного пространства / Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.-2011.-Т. 1.—С. 14-19.

[25] Головастов Р. А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры / Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2012. — Т. 3. — С. 19-24.

[26] Головастов Р. А. О пространствах Стоуна булевых алгебр и канторовом совершенном множестве / А. А. Грызлов, Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2013. — Т. 1. — С. 11-16.

[27] Головастов Р. А. О плотности и числе Суслина подмножеств одного пространства Стоуна / А. А. Грызлов, Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2014. — Т. 4. — С. 18-24.

Публикации в других изданиях

[28] Головастов Р. А. О некоторых бикомпактных расширениях счётных дискретных пространств / Е. С. Бастрыков, Р.А.Головастов // Труды мат. центра им.Н.И.Лобачевского.— Т. 36. - 2007. - С. 23-24.

[29] Головастов Р. А. О расширении Белла / Р. А. Головастов // XXXVI итоговая студенческая научная конференция, посвященная 450-летию добровольного вхождения Удмуртии в состав Российского государства: материалы конф. — Удмуртский государственный университет, 2008. апр. — С. 7-8.

[30] Golovastov R. A. On a compactification of N / А.А. Gryzlov, Е. S. Bastrykov, R. A. Golovastov // 23th Summer Conference on Topology and Its Applications.— Mexico: National Autonomous University of Mexico, 2008. jul.

[31] Головастов P. А. О некоторых классах точек расширения Белла счетного дискретного пространства / Р. А. Головастов // Тезисы 41-й всероссийской школы-конференции.— Екатеринбург, 2010. февр.-С. 110-113.

[32J Головастов Р. А. Об одной компактификации счетного дискретного пространства / Р. А. Головастов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011». — М.: МАКС Пресс, Электронный ресурс, 2011. апр.

[33] Головастов Р. А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр / Р. А. Головастов // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2013».— М.: МАКС Пресс, Электронный ресурс, 2013. апр.

[34] Golovastov R. A. On the Stone spaces of some boolean algebras / A. A. Gryzlov, R. A. Golovastov // Problems of modern topology and applications: abstracts of the international conference. — Tashkent, 2013. may.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 08.12.14. Формат 60x84 Vi6-Тираж 100 экз. Заказ № 2276.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 2. Тел. 68-57-18