Топологические свойства типа нормальности и счетной паракомпактности в произведениях и экспоненциальных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК 515 12

Комбаров Анатолий Петрович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТИПА НОРМАЛЬНОСТИ И СЧЕТНОЙ ПАРАКОМПАКТНОСТИ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2007

003064877

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии Механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор А В Иванов доктор физико-математических наук, профессор П. В. Семенов доктор физико-математических наук, профессор Л Б Шапиро Ведущая организация. Математический институт

им. В А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 28 сентября 2007 г в 16 ч 15 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001.84 в Московском государственном университете им. М.В Ломоносова по адресу. 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 28 августа 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501 001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. H Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Класс нормальных пространств, занимающий одно из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году Титце 1 и в 1924 году П С Александровым и П.С Урысоном 2 Свойство нормальности ранее появилось и у Вьеториса 3 Условие нормальности топологического пространства, состоящее в том, что "всякие два лежащих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности" 4, является некоторым естественным ограничением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф Хаусдорфа, Ф. Рисса, J1 Вьеториса, Г Титце, П С Александрова, П. С. Урысона, А Н Колмогорова, А Н. Тихонова. Хорошо известно, что упомянутое выше 'внутреннее" определение нормальности равносильно определению, сформулированному "внешним" образом, поскольку важнейшим характеристическим свойством нормальных пространств является фундаментальная лемма Урысона 5 о возможности функционального разделения непересекающихся замкнутых множеств в нормальном пространстве.

Класс счетно паракомпактных пространств был независимо введен в 1951 году Даукером 6 и Катетовым 7. Топологическое пространство называется счетно паракомпактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие Даукер

1Tietze Н Beitrage zur allgemeinen Topologie I // Math. Ann — 1923 — V. 88. — P 290-312

2 Alexandroff P , Urysohn P Zur Theorie der topologischen Räume// Math Arm —

1924 - V 92.-P 258-266

3Vietoris L. Stetige Mengen// Monatsh für Math und Phys - 1921 —V 31 — P.173-204

4Александров П С , Урысон П С Мемуар о компактных топологических пространствах — М Наука, 1971

5 Urysohn Р Uber die Mächtigkeit der zusammenhangenden Mengen // Math Ann —

1925 — V94 -P 262-295

6Dowker С H On countably paracompact spaces // Cañad Journ of Math — 1951 - V 3 - P 219-224

7Katétov M. Measures in fully normal spaces // Fund Math — 1951 — V 38 — P73-84

доказал, что топологическое пространство X нормально и счетно пара-компактно в том и только в том случае, когда произведение X х [0,1] нормально. Нормальные пространства, не являющиеся счетно параком-пактными, получили название даукеровских Задача построения дауке-ровского пространства двадцать лет была известной задачей общей топологии и была решена в 1971 году M Э Рудин 8.

В общей топологии и ее приложениях большое значение имеет конструкция тихоновского произведения Широко известны теоремы общей топологии, характеризующие топологические свойства пространств в терминах нормальности произведений Теорема Даукера только что упоминалась. Напомним еще несколько примеров Тамано доказал, что пространство X является паракомпактом в том и только в том случае, когда произведение X х ßX нормально. Яджима в 1998 году показал 9, что для тихоновского пространства X нормальность подпространства (X x ßX) U (ßX x X) квадрата (ßX х X)2 эквивалентна линделёфовости пространства X В 1971 году Нобл10 доказал, что пространство компактно в том и только в том случае, когда любая степень этого пространства нормальна Согласно знаменитой теореме Катетова 1948 года 11, если произведение X х Y наследственно нормально, и пространство У содержит счетное незамкнутое множество, то каждое замкнутое подмножество пространства X является Gá-множеством В 1971 году Зенор 12 показал, что, если произведение X х Y наследственно счетно параком-пактно, то либо X совершенно нормально, либо все счетные дискретные подпространства Y замкнуты в Y Естественно возникающая проблема одновременного обобщения теоремы Катетова и теоремы Зенора была поставлена в 1980 году в работе Ван Дауэна 13. Непосредственным след-

8Rudin MEA normal space X for which Xxl is not normal// Fund Math — 1971 -V 73 — P. 179-176

9Yajima Y Analogous results to two classical characterization of covering properties by products// Topology Appl - 1998 — V 84 — P 3-7

10Noble N Products with closed projections II// Trans Amer Math Soc — 1971. —

V 160—P 169-183

uKatëtov M Complete normality of Cartesian products // Fund Math — 1948 —

V 35 -P 271-274

12Zenor P. Countable paracompactness m product spaces// Proc. Amer Math Soc — 1971 -V30 -P199-201

13van Douwen E К Covering and separation properties of box products // Surveys in

ствием теоремы Катетова является метризуемость компакта, куб которого наследственно нормален, и совершенная нормальность компакта, квадрат которого наследственно нормален. В 1948 году Катетов поставил свою знаменитую проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален11. Контрпример в предположении МА+-->СН был построен в 1977 году Никошем 14 Другой контрпример в предположении СН был построен в 1993 году Грюнхаге 15 В 2002 году Ларсон и Тодорчевич16 форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC В связи с проблемой Катетова Грюнхаге 17 в 1984 году доказал, что из наследственной паракомпактности квадрата компакта следует его метризуемость, и более того, из паракомпактности подпространства X2 \ Д следует метризуемость X, если X — компакт. В 1990 году в работе 18 было доказано, что компакт X, нормальный вне диагонали, то есть таткой, что пространство X2 \ Д нормально, удовлетворяет первой аксиоме счетности В 1993 году Грюнхаге построил пример нормального вне диагонали компакта, не являющегося совершенно нормальным 15 В 1997 году Д В.Малыхин 19 доказал, что счетно компактное нормальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности В знаменитой работе А Стоуна 1948 года 20, посвященной доказательству паракомпактности метрических пространств, устанавливаются некоторые

General Topology/ G M Reed, ed — New York Academic Press, 1980 — P 55-129.

14Nyikos P A compact nonmetnzable space P such that P2 is completely normal//

Topology Proc — 1977 - V. 2 — P 359-363

16Gruenhage G , Nyikos P J Normality in X2 for compact X// Trans Amer Math Soc — 1993 — V 340 - P 563-586

16Larson P, TodorCevié S Katetov's problem// Trans Amer Math Soc — 2002 — V. 354 - P 1783-1791

l7Gruenhage G Covering properties on X2 \ A, W-sets, and compact subsets of £-products// TopoL Appl - 1984 - V. 17 - P 287-304

18 Arhangel'sku A V ,KombarovA P On V-normal spaces // Topology Appl —1990

- V 35 — P 121-126

19Малыхин Д В Счетно компактное V-нормальное пространство имеет счетный характер//Вестн Моек ун-та Матем Межан—1997 №5.~ С 31-33

20Stone A H Paxacompactness and product spaces / / Bull Amer Math Soc — 1948

- V 54 - P 977-982

достаточные условия нормальности произведения двух пространств, а именно, произведение метрического пространства и нормального счетно компактного пространства нормально В 1958 г Дьедонне 21 доказал более общую теорему: произведение наракомпакта с первой аксиомой счетности и нормального счетно компактного пространства нормально В той же работе А Стоуна 20 доказана ненормальность произведения несчетного числа копий пространства натуральных чисел

Важную роль при изучении несчетных произведений играют Е-произведения. E-произведение определяется как подпространство произведения, состоящее из всех точек, отличающихся от некоторой фиксированной точки только на счетном числе координат. Е-произведения были определены в 1959 году Корсоном 22, но сама конструкция S-произведения была известна гораздо раньше Еще в 1938 году Л.С.Понтрягин 23 использовал конструкцию S-произведения для построения примера счетно компактного некомпактного пространства Естественно рассматривать E-произведения, не совпадающие с произведением пространств. Е-произведения являются "наиболее просто устроенными" всюду плотными подпространствами несчетных произведений и значительно отличаются по своим топологическим свойствам от произведений. Например, Е-произведение не может быть сепарабельным пространством, наследственно нормальным пространством, паралсомпакт-ньш пространством. Эти и многие другие "экзотические" свойства Е-произведений позволяют использовать их в качестве инструмента для построения контрпримеров в общей топологии Но Е-произведения обладают и рядом полезных "положительных" свойств Например, каждое метрическое пространство может быть вложено в E-произведение пространств, гомеоморфных единичному отрезку 22 Компакты, вкладывающиеся в Е-произведение отрезков, обладают настолько замечательными свойствами, что были выделены в отдельный класс и получили название компактов Корсона 24 Компакт, являющийся непрерывным образом

21Dieudcmne J Un critere de normalité pour les espaces produits// Coll Math — 1958 — V 6. - P 29-32

22Corson H H Normality m subsets of product spaces // Amer J Math — 1959. — V 81 — P 785-796

23Понтрягин JI. С Непрерывные группы — M -Л , 1938

^Michael Е , Rudin М.Е A note on Eberlem compacts// Pacific J Math — 1977 —

E-произведения метризуемых компактов, также метризуем 22, а метрическое пространство, являющееся непрерывным образом Е-произведения пространств, любое конечное произведение которых линделёфово, является линделефовым и, следовательно, сепарабельным пространством 25 Поскольку E-произведение не может быть паракомпактом, важной задачей является вьгаснение условий, при которых E-произведение является нормальным пространством В 1959 году Корсон 22 доказал, что E-произведение полных метрических пространств нормально и счетно паракомпактно В той же работе 22 Корсон сформулировал задачу является ли нормальным пространством 5}-произведение метрических пространств или хотя бы E-произведение экземпляров рациональных чисел? Сначала был получен положительный ответ на второй вопрос Корсона в 1973 году в работе 26 было доказано, что E-произведение метрических сепарабельных пространств нормально В 1977 году С П Гулько 27 и М Э.Рудин 28 независимо дали полный ответ на вопрос Корсона, доказав, что E-произведение метрических пространств является нормальным пространством. Формально к E-произведениям близки ог-произведения, но по своим топологическим свойствам эти подпространства произведения сильно различаются Например, Е-произведение компактов по теореме Понтрягина счетно компактно, но не компактно и, следовательно, не паракомпактно, а ет-произведение компактов финально компактно и, следовательно, паракомпактно. Упомянем также важную для данной par боты теорему Корсона 22 о линделёфовости ¿г-произведения метрических сепарабельных пространств.

В общей топологии и её приложениях большое значение имеет изучение топологических свойств пространства всех (непустых) замкнутых подмножеств топологического пространства X или, другими словами,

V 72 - Р 487-495

2sEiigelkiTig R On functions defined on Cartesian products // Fund Math — 1966 —

V 59 - P. 221-231

26Комбаров А П , Малыхин В И О ^произведениях // ДАН СССР — 1973 — Т 213 - С 774-776

27Гулько С П О свойствах множеств, лежащих в Е-произведениях // ДАН СССР - 1977 - Т 237. - С 505-508

28Handbook of Set-Theoretic Topology / Kunen К and Vaughan J E, eds — Amsterdam North-Holland, 1984

экспоненциального пространства ехр(Х) в топологии Вьеториса Теория экспоненциальных пространств оформилась в качестве самостоятельного направления общей топологии после работы Э Майкла 1951 года 2Э, в которой были изучены общие вопросы, связанные с фундаментальными топологическими свойствами экспоненциальных пространств Еще в 1922 году Вьеторис 30 доказал, что компактность пространства X эквивалентна компактности пространства ехр(Х) и, следовательно, из компактности пространства X следует нормальность ехр(Х) В 1955 году В M Иванова 31 показала, что из нормальности ехр(Х) следует счетная компактность пространства X. В 1970 году Кислинг 32, предполагая континуум-гипотезу, доказал, что из нормальности ехр(Х) следует компактность пространства X В 1973 году В. И. Малыхиным и Б Э Ша-пировским 33 теорема Кислинга была распространена на более широкий класс моделей И, наконец, в 1975 году H В Величко 34 доказал эту теорему в ZFC, то есть без каких-либо дополнительных теоретико-множественных гипотез. Теория экспоненциальных пространств оказалась чрезвычайно полезной для такого важного и интенсивно развивающегося в последние годы направления общей топологии как изучение геометрических свойств ковариалтных функторов Особенно необходимо отметить здесь работы В В Федорчука 35, Е В Щепина Зб, А.В.Иванова 37,

29Michael Е Topologies on spaces of subsets// Trans Amer Math Soc — 1951 — V 71-P 152-182

30Vietons L Bereiche zweiter Ordnung// Monatsh für Math und Phys — 1922 — V.32—P 258-280

31 Иванова В M К теории пространств подмножеств// ДАН СССР— 1955 — Т101,—С 601-603

32Keeshng J. On the equivalence of normality and compactness m hyperspaces // Pacific Journal of Math - 1970 —V 33 -P 657-667.

33Малыхин В И , Шапировский В Э Аксиома Мартина и свойства топологических пространств// ДАН СССР- 1973 -Т 213 - С 532-535

34ВеличкоН В О пространстве замкнутых подмножеств// Сиб матем ж —1975 — Т16 - С 627-629

35Федорчук В В О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов// Успехи математических наук — 1984 — Т 39 — С 169-208

звЩепин Е В Функторы и несчетные степени компактов// Успехи математических наук — 1981 — Т 36 — С 3-62

37Иванов AB. О функторах конечной степени и >г-метризуемых бикомпактах// Сибирский математический журнал. — 2001 — Т 42 — С. 60-68

JI Б.Шапиро 38 В середине 70-х годов Е В.Щепин, выделив ряд естественных условий, ввел важное понятие нормального функтора, включающее в себя и степенной функтор и конструкцию экспоненциального пространства В 1989 году В В Федорчук 39 доказал теорему, если для какого-нибудь нормального функтора J- степени > 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт Теорема Фе-дорчука является обобщением классической теоремы Катетова о кубе М М Чобан 40 доказал, что если экспоненциальное пространство ехр(Х) является наследственно нормальным пространством, то X — метризуемый компакт

Понятие нормального пространства появилось в прошлом веке на начальном этапе развития общей топологии, возникновение которой оказаг лось следствием перестройки оснований математического анализа, происходившей в течение девятнадцатого века По образному выражению известнейшего американского тополога М Э Рудин "понятие нормальности находится на границе, где теоретико-множественная топология переходит от математического анализа к теории множеств" 41 Таким образом, естественной задачей общей топологии является задача выяснения границ действия многих результатов, вовлекающих свойства нормальности и счетной паракомпактности, в случае, когда эти свойства заменяются на более общие топологические свойства, близкие к нормальности или счетной паракомпактности При этом возможны следующие обобщения свойства нормальности- 1) можно ослаблять условия на функции, разделяющие замкнутые множества; 2) можно сужать класс разделяемых замкнутых множеств, 3) можно изменять класс множеств, с помощью которых разделяются замкнутые множества. Все три логические возможности рассматриваются и исследуются в диссертации.

Общеизвестно, что аксиомы Тг , г < 3|, сохраняются тихоновскими

38 Шапиро JI Б Об однородности диадических бикомпактов/ / Матем заметки — 1993 - Т 54, № 4 - С 117-139

39Федорчук В. В К теореме Катетова о кубе // Вести Моек ун-та Матем Механ — 1989 №4-С 93-96

40 Чобан М М Многозначные отображения и их приложения Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук — Тбилиси, 1979

41Grunberg R. , Junqueira L R, Tall F.D Forcing and normality// Topol. Appl — 1998. — V. 84 — P. 145-174

произведениями Простейшие примеры показывают, что свойство нормальности (аксиома Z4) разрушается даже при возведении пространства в квадрат Таким образом среди общих проблем в этом направлении естественно выделить следующие: (I) Нахождение достаточных условий, при выполнении которых подпространство произведения или само произведение обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности (II) Выяснение характера ограничений на сомножители, которые накладывает условие типа нормальности или счетной паракомпактности, выполняющееся в подмножествах произведения (III) Выяснение характера ограничений на пространство X, которые наклаг-дывает условие, что пространство ^(Х) обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности, если Т —- некоторый нормальный функтор Проблемы I, II и III, а также проблема выяснения границ, внутри которых остаются справед ливыми аналоги классических теорем о произведениях и экспоненциальных пространствах, вместе с вышеприведенной проблемой одновременного обобщения теорем Катетова и Зенора и послужили отправными моментами диссертационной работы

Цель работы — изучение классов топологических пространств, близких к нормальным и к счетно паракомпактным пространствам, усиление ряда результатов, касающихся нормальности и счетной паракомпактности в тихоновских произведениях, экспоненциальных пространствах, пространствах вида Т{Х), где Т — некоторый нормальный функтор, решение ряда естественных задач общей топологии, относящихся к свойствам типа нормальности и счетной паракомпактности

Основные методы исследования. Используются различные методы общей топологии, и в частности, методы теории кардинальнозначных инвариантов, методы комбинаторной теорйи множеств, методы теории нормальных функторов, а также оригинальные методы и подходы, в том числе, разработанный автором метод изучения топологии пространства с помощью новых понятий секвенциальности и компактности по непустому множеству свободных ультрафильтров

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1) Доказана эквивалентность свойства нормальности ^-произведения паракомпактных р-пространств свойству счетности тесноты £-произведения

2) Решена поставленная Ван Дауэном 13 проблема одновременного обобщения теоремы Катетова 1948 года и теоремы Зенора 1971 года, а именно, доказано, что, если произведение X х У наследственно ¿-нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмножества пространства У замкнуты В частности, доказано, что счетно компактное пространство, куб которого наследственно ¿-нормален, является метризуемым компактом

3) Доказано, что класс паранормальных в смысле Ван Дауэна пространств совпадает с классом нормальных пространств Полученный результат позволил дать ответы на некоторые вопросы, поставленные Ван Дауэном в 1980 году

4) Доказано, что, если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 и компакта X пространство Т(Х) \ X наследственно ненормально, то X — метризуемый компакт

5) Доказано, что пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в следующих случаях (1) если X — компакт, слабо нормальный вне диагонали, (2) если выполняется теоретико-множественное предположение РЕА. и X — компакт, ^-счетно паракомпактный вне диагонали, (3) если X — счетно компактное пространство, регулярное и Анормальное вне диагонали

6) Доказана эквивалентность утверждений (1) пространство X является компактом, (2) пространство X счетно компактно и экспоненциальное пространство ехр(Х) является слабо нормальным пространством, (3) пространство ехр(Х) является ^-¿-нормальным пространством, (4) любая степень пространства X является слабо нормальным пространством, (5) любая степень пространства X является ^-¿-нормальным пространством. Тем самым усилены результаты Н В Величко 1975 года 34 и Н.Нобла 1971 года 10

7) Доказана эквивалентность утверждений (1) пространство X является метризуемым компактом; (2) пространство ехр(Х) является на-

следственно ¿-нормальным пространством; (3) пространство ехр(Х) является наследственно С*-нормальным пространством, (4) пространство ехр(Х) является наследственно .D-нормальным пространством

8) Внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна распространены на существенно более широкий класс М-пространств, введенных Моритой 42.

9) Доказано, что для пространства СР{Х) непрерывных действительнозначных функций в топологии поточечной сходимости свойство F0-8-нормальности эквивалентно свойству нормальности, а свойство наследственной ¿-нормальности эквивалентно свойству совершенной нормальности.

10) Доказано, что паракомпактное Е-пространство X имеет G&-диагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ А допускает локально конечное (в Х2\А) прямоугольное открытое покрытие. В частности, паракомпактное р-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X2 \ Д допускает локально конечное (в X2 \ А) прямоугольное открытое покрытие.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в различных разделах общей топологии- в теории сходимости, в теории кардинальнозначных инвариантов, в топологических вопросах теории категорий, в теории пространств отображений и, в частности, в теории топологических пространств функций

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П С Александрова под руководством профессоров В В Федорчука, А В Архангельского, Б А Пасынкова, В И.Пономарева, В В Филиппова, на научной конференции "Ломоносовские чтения", на Общемосковском топологическом семинаре, на Международной топологической конференции, посвященной 100-летию П.С.Александрова (Москва, 1996), на

42Morita К Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann — 1964 — V 154 — P.365-382

Всероссийских и международных топологических конференциях "Александровские чтения" (1998 — 2006), на Всесоюзных и международных конференциях и симпозиумах по топологии и её приложениям (Минск, 1977, Тирасполь, 1979, 1985, 1991; Ленинград, 1982, Примор-ско(Болгария), 1984; Баку, 1987, Берн (Швейцария), 1991, Киев, 1992, Прага (Чехия), 1981, 1988, 1996, 2001, Кралево-Матарушка Баня (Югославия), 1998, Львов, 2002; Эгион (Греция), 2006), на Международной конференции по геометрической топологии, дискретной геометрии и теории множеств, посвященной столетию Л.В.Келдыш (Москва, 2004)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-30].

Структура диссертации. Диссертация объемом 211 страниц состоит из введения, семи глав, разбитых на 27 параграфов, и списка литературы из 185 наименований, включая 30 работ автора

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач, сформулированы основные результаты

Первая глава. Исследуются классические свойства нормальности и счетной паракомпактности в произведениях. Основным результатом первой главы является доказанная в § 1.3 теорема 1, являющаяся усилением ряда теорем, принадлежащих Корсону, M Э Рудин, С П. Гулько.

Теорема 1. Пусть Е является Е-произведением паракомпактных р-пространств. Тогда следующие утверждения эквивалентны• 1 теснота Е счетна, 2 Е коллективно нормально; 3 Е нормально; 4. S нормально и счетно паракомпактно

Также в § 1.3 рассматриваются вопросы, связанные с нормальностью Ет-произведений Доказываются следующие теоремы.

Теорема 2. Если любое конечное произведение пространств Ха, а А, нормально, и все Ха являются т-ограниченньши пространствами

тесноты < m, то Т,т-произведение пространств Ха, а Е А, нормально и является ш-ограниченным пространством.

Теорема 3. Если £т является Т,т-произведением компактов, то теснота пространства £т не превосходит т в том и только в том случае, когда пространство Ет нормально

Приводится пример ненормального £т-произведения компактов, показывающий существенность условия, налагаемого на тесноту

В § 1.4 изучаются сг-произведения Согласно определению, принадлежащему Корсону, «г-произведение пространств состоит из всех тех точек Е-произведения, которые отличаются от фиксированной точки лишь на конечном числе координат В § 1.4 доказывается теорема 4.

Теорема 4. а-Произведение пространств, любое конечное произведение которых является тихоновским т+ -финально компактным (соответственно, является паракомпактным) пространством, является т+-финально компактным (соответственно, паракомпактным) пространством

Известны примеры ненормальных сх-произведений пространств, любое конечное произведение которых нормально 43 В § 1 4 получены достаточные условия нормальности <т-произведения

Теорема 5. Если любое конечное произведение пространств Ха, а € А, нормально и все пространства Ха являются tri- компактными (соответственно, tn-ограниченными) пространствами характера (соответственно, тесноты) < пг, то а-произведение пространств Ха, а Е А, нормально и тл-паракомпактно

§ 1.1 имеет вспомогательный характер, но в то же время представляет и самостоятельный интерес, поскольку в этом параграфе определяются и изучаются новые понятия секвенциальности и компактности по непустому множеству ультрафильтров V С ßoj \ ш Понятие секвенциальности по множеству ультрафильтров позволяет дать единое описание секвенциальных пространств и пространств счетной тесноты. Параллельно в

43Chiba К The strong paracompactness of «т-products // Scientiae Math — 1999 — V 2 -P. 285-292

§ 11 вводятся понятия сильно (слабо) "Р-компактных пространств. Сильно ( слабо) "Р-компактные пространства охарактеризованы с помощью замкнутых проекций. Выясняются условия, при выполнении которых произведение является секвенциальным по множеству ультрафильтров В частности, доказывается

Теорема 6. Произведение двух слабо V-секвенциальных пространств, одно из которых локально сильно V-компактно, является слабо V-секвенциальным.

При V= ßw\w получаем, что произведение двух пространств счетной тесноты, одно из которых является локально w-ограниченным, имеет счетную тесноту, что является усилением известной теоремы В.И.Малыхина 44, доказавшего, что теснота произведения двух пространств счетной тесноты, одно из которых локально компактно, счетна

Предложенный метод изучения топологии пространства с использованием свободных ультрафильтров использован в § 1 2 для доказательства теорем о нормальности произведения двух пространств

Теорема 7. Произведение сильно (соответственно, слабо) V-секвенцгшльного паракомпакта. и нормального слабо (соответственно, сильно) V-компактного пространства коллективно нормально и счетно паракомпактно

Теорема 7 является усилением теорем Стоуна 20, Дьедонне 21, Нобла10 и автора 45 Также в § 1 2 с помощью результатов В.В Федорчука 46 и А Осташевского 47 доказывается, что невозможен положительный ответ на естественно возникающий вопрос нормально ли произведение пара-компакта счетной тесноты и нормального счетно компактного пространства7 Далее, показывается, что нормальность произведения паракомпак-

44Малыхин В И О тесноте и числе Суслина в exp X и в произведении пространств // ДАН СССР — 1972 - Т 203 — С 1001-1003.

■^Комбаров А П О произведении нормальных пространств Равномерности на ^произведениях // ДАН СССР — 1972 — Т 205 - С. 1033-1035

46Федорчук В В Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств// Матем сб — 1976—Т99 — С 3-33

47Ostaszewski A J On countably compact, perfectly normal spaces// JJLondon Math. Soc - 1976 — V 14 - P 501-516

та счетной тесноты и совершенно нормального счетно компактного пространства не зависит от аксиом теории множеств ZFC. Отметим, что вопрос о существовании "наивного" примера ненормального произведения паракомпакта счетной тесноты и нормального счетно компактного пространства остается открытым.

§ 1 5, результаты которого затем используются в § 1 б, посвящен замкнутым ш-компактным отображениям и уплотнениям. Попутно усиливаются результаты работы А В.Архангельского 48.

В § 1 6 внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлей-на распространяются на М-пространства Пусть теперь Е является Е-произведением отрезков Напомним, что подпространство Е* с Е определяется как совокупность точек х — {ж,*}, для которых множество индексов {а € А ха > е} является конечным для любого е > О Подпространство Е* называется Е*-произведением отрезков Компактные подмножества Е» — это в точности компакты Эберлейна, то есть компактные подмножества банаховых пространств в слабой топологии 49 Хорошо известны следующие внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна. компакт X является компактом Корсона (Эберлейна) в том и только в том случае, когда X обладает точечно-счетной (<т-точечно-конечной) системой открытых ^-множеств, То-разделяющей точки X 24,49 Обобщением характеристики компактов Корсона является теорема 8, в доказательстве которой свойство нормальности играет существенную роль.

Теорема 8. Пусть X является М-пространством. Тогда X гомео-морфно некоторому подпространству Е-произведения отрезков в том и только в том случае, когда X является нормальным пространством с точечно-счетной системой открытых Fa-множеств, То-разделяющей точки пространства X.

Обобщением внутренней характеристики компактов Эберлейна в классе М-пространств является теорема 9, также доказанная в § 1.6

48 Архангельский ABO совершенных отображениях и уплотнениях //ДАН СССР - 1967 - Т 176 - С 983-986

49 Rosenthal Н Р The heredity problem for weaMy compactly generated Banach spaces// Compos math — 1974 — V 28 — P 83-111

Теорема 9. Пусть X является М-пространством Тогда следующие условия эквивалентны 1. X гомеоморфно некоторому подпространству

произведения отрезков; 2 X — паракомпакт с а-точечно-конечной системой открытых Fa-множеств, Т0-разделяюгцей точки X, 3 X является нормальным пространством с а-точечно-конечной системой открытых Fa-множеств, To-разделяющей точки X.

Вторая глава. Рассматривается свойство типа нормальности, определенное А.В Архангельским 50 Пространство X называется слабо нормальным, если для любых двух замкнутых непересекающихся множеств Fi и F2 из X найдется метрическое сепарабельное пространство Р и непрерывное отображение / : X Р, такие, что /(Fi) П /(F2) = 0 Из леммы Урысона вытекает, что всякое нормальное пространство слабо нормально Обратное утверждение неверно, поскольку, например, любое пространство, уплотняющееся на метрическое сепарабельное пространство, слабо нормально и даже наследственно слабо нормально Уместно заметить, что понятие слабо нормального пространства было введено А.В Архангельским в связи с теорией расщепляемых пространств 51 Слабая нормальность является одновременным обобщением свойств нормальности и расщепляемости.

В § 2.1 рассматривается слабая нормальность экспоненциального пространства Поскольку из нормальности экспоненциального пространства ехр(Х) по теореме Ивановой 31 следует счетная компактность пространства X, получаем, что из условия "exp(X) нормально", содержащегося в теореме Величко 34, следует условие "X счетно компактно и ехр(Х) слабо нормально". Поэтому следующая теорема является обобщением теоремы Величко 34.

Теорема 10. Пусть X счетно компактно и ехр(Х) слабо нормально Тогда пространство X является компактом

Показывается, что слабая нормальность (даже наследственная сла-

50Arhangel'skn А V Divisibility and cleavability of spaces // Recent Developments of General Topology and its Applications — Math Research 67 — Berlin Academie-Verlag, 1992 —P13-26.

51ArhangePskii AVA survey of cleavability // Topology Appl — 1993 — V 54 — P 141-163

бая нормальность) пространства ехр(Х) не влечет компактность X. Иными словами, условие счетной компактности пространства X в формулировке теоремы 10 является существенным, и в этом смысле теорема 10 неулучшаема.

В § 2 2 получено обобщение теоремы Нобла 10 о нормальности степеней, а именно, доказано, что пространство X компактно в том и только в том случае, когда любая степень пространства X слабо нормальна.

Основным результатом § 2 3 является следующая теорема, представляющая собой усиление вышеупомянутого результата из работы 18

Теорема 11. Слабо нормальный вне диагонали компакт удовлетворяет первой аксиоме счетности

Третья глава посвящена изучению слабых форм счетной паракомпактности В § 3 1 с помощью хорошо известной характеристики счетно па-ракомпактных пространств (см 52, 5 2.1) вводится новый класс ш-счетно паракомпактных пространств. Всякое счетно паракомпактное пространство ¡¿-счетно паракомпактно В § 3 1 доказывается, что каждое псевдонормальное (а значит, и каждое нормальное) пространство ш-счетно паракомпактно. Доказывается аналог теорем Катетова и Зенора для наследственно ш-счетно паракомпактных произведений

В § 3.2 с использованием характеристики счетно паракомпактных пространств, предложенной Мансфилдом (см. 52, 5.5 17), вводятся слабые формы счетной паракомпактности зЕ, Е и тЕ. Пространство X обладает свойством вЕ (соответственно, Е ), если каждая счетная дискретная система п < и} замкнутых счетных подмножеств (соответственно, одноточечных подмножеств) пространства X "раздувается" до локально конечной системы открытых подмножеств. Пространство X обладает свойством мЕ, если каждое бесконечное замкнутое дискретное подмножество пространства X содержит бесконечное подмножество, точки которого "раздуваются" до локально конечной системы открытых подмножеств. Доказывается, что всякое м-счетно паракомпактное пространство обладает свойством вЕ

б2Энгелькинг Р Общая топология — М Мир: 1986

В § 3 3 изучаются замкнутые отображения на g-пространства Известно, что, если / является замкнутым отображением пространства X на ^-пространство У, то граница полного прообраза f~1(y ) является счетно компактным множеством для каждого у е F, если пространство X нормально 53 или является счетно паракомпактным пространством 54 Следующая теорема является одновременным обобщением теорем Майкла и Харлея

Теорема 12. Пусть пространство X обладает свойством wE, пространство Y является q-пространством и отображение / X —► У пространства X на пространство Y замкнуто.

Тогда граница Rr(/-1(i/ ) ) является счетно компактным множеством для каждой точки у € Y

Приводится пример, показывающий, что свойство wE в условии теоремы 12 является существенным.

В § 3 4 доказываются теоремы, являющиеся аналогами теоремы Зе-нора о наследственной счетной паракомпактности произведения для введенных свойств типа счетной паракомпактности. Основным результатом § 3 4 является следующая теорема

Теорема 13. Если любое подпространство произведения X х Y обладает свойством sE, пространство Y регулярно и содержит счетное незамкнутое подмножество, то каждое счетное замкнутое подмножество пространства X является G¡-множеством.

Пусть Q — некоторое топологическое свойство Будем говорить, что пространство X обладает свойством точечно- Q (соответственно, обладает свойством F„-Q, обладает свойством Q вне диагонали), если для каждой точки х 6 X подпространство X \ {х} (соответственно, каждое ^-подмножество пространства X; пространство X2 \ А ) обладает свойством Q

Теорема 14. Если произведение XxY обладает свойством точечно-Fa-

63Michael Е A note on closed maps and compact sets// Israel J Math — 1964 — V 2 - P 173-176

S4Harley P.W On coimtably paracompact spaces and closed maps// Portug Math — 1989 -V 46 —P 115-119

sE, пространство Y регулярно и содержит счетное незамкнутое подмножество, то каждая точка пространства X является G¡-точкой

Теорема 15. Если произведение X х. Y обладает свойством точечноЕ и Y содержит счетное незамкнутое подмножество с единственной предельной точкой, то каждая точка пространства X является Обточкой

Теорема 16. Если произведение X х У обладает свойством точечно-wE и Y содержит сходящуюся последовательность, то каждая точка пространства X является G$-точкой

Следствие. Пусть X является бесконечным компактом. Тогда пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в том и только в том случае, когда X 2 ш+1 и X2 обладает свойством точечно-wE

Приводится пример, показывающий, что условие ХЭш+1 является существенным и не может быть опущено

В § 3 5 показывается, что несчетное произведение неодноточечных пространств обязательно содержит подпространства, не обладающие свойством wE Также в § 3.5 доказывается, что точечно-wE диадический компакт метризуем. Это утверждение является значительным усилением известной теоремы Б.А.Ефимова (см 52, 3.12 12(к )), доказавшего метризуемость наследственно нормального диадического компакта

В § 3 6 рассматриваются свойства типа счетной паракомпактности в пространстве X2 \ А В частности, доказывается теорема 17

Теорема 17. Компакт, обладающий свойством Fa-sE вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности в каждой точке некоторого всюду плотного множества

Заметим, что пример компакта X = a>i + 1 показывает, что даже из F^-псевдонормальности пространства X2 \ А не следует первая аксиома счетности во всех точках X. Ситуация меняется, если Fa-псевдонормальность усилить до Fff-счетной паракомпактности и воспользоваться дополнительным теоретико-множественным предположением PFA, являющимся мощной версией известной аксиомы Мартина

Теорема 18. [PFA] Компакт, являющийся Fa-счетно паракомпакт-

ным вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Основным результатом § 3 7 является следующая теорема

Теорема 19. Если экспоненциальное пространство ехр(Х ) регулярно и обладает свойством точечно-Е, то пространство X является наследственно сепарабелъным совершенно нормальным счетно компактным пространством

В § 3 8 рассматриваются паранормальные в смысле Ван Дауэна 13 пространства. Регулярное пространство X называется паранормальным, если для любой дискретной последовательности {.Р„ п<ш} замкнутых подмножеств X найдутся открытые множества {11п,к ' п, к < а>}, такие, что Гп С иП)к для всех га, к < ш, и <~\{ип,к : п,к < ш} — $ 13. Паранор-мальность была введена Ван Дауэном в связи с попыткой одновременного обобщения классических теорем Катетова и Зенора о наследственно нормальных и наследственно счетно паракомпактных произведениях Ван Дауэн полагал, что (регулярные) счетно паракомпактные пространства паранормальны (13, р. 63), то есть, что паранормальность является слабой формой счетной паракомпактности, что неверно, поскольку спра<-ведлива теорема 20.

Теорема 20. Класс паранормальных пространств совпадает с классом нормальных пространств

В статье 13 сформулированы следующие вопросы 1) Если пространство У содержит замкнутое подмножество, не являющееся регулярным (^-множеством, а пространство X содержит счетное незамкнутое подмножество, то содержит ли произведение X х У подпространство, не являющееся паранормальным"7 ( 13, р.64) 2) Если Г> является замкнутым дискретным подмножеством паранормального пространства X, то верно ли, что 2'-°! < ? (13, р 65) Доказанная теорема позволяет дать положительные ответы на эти вопросы Ван Дауэна Отметим в связи со вторым вопросом, что для паранормальных пространств Ван Дауэн 13 получил более слабую оценку |1)| <

Четвертая глава. Основным результатом четвертой главы является решение проблемы одновременного обобщения теоремы Катетова 1948 го-

да 11 и теоремы Зенора 1971 года 12, а именно, в этой главе доказывается теорема 21.

Теорема 21. Если произведение X х Y наследственно 8-нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Следствие. Счетно компактное пространство, куб которого является наследственно S-нормальным пространством, метризуемо

Основное определение содержится в работе Дж.Мака 55. Пространство называется ¿-нормальным 55, если любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых является регулярным G,5-множеством, содержатся в непересекающихся окрестностях При этом подмножество G топологического пространства называется регулярным Су-множеством, если оно является пересечением счетного числа замкнутых множеств, внутренности которых содержат множество G Всякое нормальное пространство, очевидно, ¿-нормально. Мак 55 доказал, что каждое счетно паракомпактное пространство является ¿-нормальным Таким образом свойство ¿-нормальности является одновременным обобщением нормальности и счетной паракомпактности В той же работе 66 Мак получил аналог теоремы Даукера пространство X счетно пара-компактно в том и только в том случае, когда произведение X х [0; 1] является ¿-нормальным пространством

В § 4 1 изучаются ^-¿-нормальные пространства В 1976 году Зенор (см. 52, 5 5 16(b)) доказал, что если все .^-подмножества произведения X х Y являются счетно паракомпактными пространствами, то либо X нормально, либо все счетные подмножества пространства У замкнуты Основным результатом § 4.1 является следующая теорема, представляющая собой обобщение вышеприведенной теоремы Зенора

Теорема 22. Если произведениеXxY является F^-ô-нормальным пространством, то либо X нормально и счетно паракомпактно, либо все счетные подмножества пространства Y замкнуты

В качестве приложения теоремы 22 получаем еще одно обобщение

55Mack J Countable paracompactness and weak normality properties// Urans. Amer Math Soc - 1970 — V 148 — P 265-272

теоремы Нобла о нормальности степеней: пространство X является компактом в том и только в том случае, когда любая степень пространства X является Ра -5-нормальным пространством, причем показывается, что условие /^-¿-нормальности не может быть ослаблено до условия ¿-нормальности Еще одно применение теоремы 22 относится к экспоненциальным пространствам, а именно, справедливо следующее усиление теоремы Величко о нормальности экспоненциального пространства

Теорема 23. Если экспоненциальное пространство ехр(Х) является Ра -¿-нормальным пространством, то X является компактом.

Показывается, что в теореме 23 нельзя ослабить условие Ра-8-нормальности до условия ¿-нормальности. Далее, из теоремы 22 выводится эквивалентность свойств Ра -8-нормальности и нормальности для пространства СР(Х) непрерывных действительнозначных функций в топологии поточечной сходимости

В § 4 2 с использованием результатов, полученных в § 4 1, исследуется свойство наследственной ¿-нормальности и, в частности, доказывается вышеприведенная теорема 21 Еще одним усилением теоремы Б А Ефимова является следующее утверждение наследственно 8-нормалъный диадичеасий компакт метризуем Также получено обобщение теоремы Чобана 40, а именно, доказано, что, если ехр(Х) наследственно 6 -нормально, то X — метризуемый компакт В качестве еще одного следствия теоремы 21 получаем эквивалентность наследственной 6-нормальности пространства СР(Х) свойству совергиенной нормальности СР(Х).

Пятая глава. В этой главе вводится новое понятие нормальности над классом топологических пространств Пусть Ы — некоторый класс топологических пространств Топологическое пространство X называется нормальным над классом Ы или Ы-нормальным, если в X любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых принадлежит классу Ы, содержатся в непересекающихся окрестностях Очевидно, все нормальные пространства ¿/-нормальны для любого класса 1А Отметим, что псевдонормальные пространства — это в точности нормальные

пространства, где S является классом всех счетных регулярных пространств Пусть теперь Q — некоторый другой класс топологических пространств Класс U будем называть Q-стабилъпым, если для каждого X (= U иУ е Q произведение X х Y принадлежит U Например, если С является классом всех линделёфовых пространств, то класс С является 5-стабильным. Основным результатом § 5 1 является еще одно обобщение теоремы Катетова.

Теорема 24. Если произведение X х Y является наследственно Ы-нормальным пространством, и класс U является Q-стабилъным, то или каждое замкнутое подмножество пространства X, принадлежащее классу U, является регулярным От-множеством при

m = mm{|M| M е fi, M С У, M ф M}

или все подмножества пространства Y, принадлежащие классу Q, замкнуты

Следствие. Если произведение X х Y наследственно псевдонормалъ-но, то или всякое счетное замкнутое подмножество пространства X является регулярным Gg-множеством или все счетные подмножества пространства Y замкнуты

Обозначим через С (соответственно, через К ) класс пространств, представимых в виде объединения счетного числа счетно компактных (соответственно, компактных) подпространств. Следствиями теоремы 24 являются две теоремы о кубе счетно компактное (соответственно, компактное) пространство, куб которого наследственно С-нормален (соответственно, наследственно ¡С-нормален), метризуемо

В § 5 2 более подробно рассматривается класс /^-нормальных пространств, которые мы будем называть линделеф-нормальными Заметим, что произведение u>i х (ш + 1 ) является наследственно линделёф-нормальным пространством, но замкнутое множество LIM всех счетных предельных ординалов в cji не является &Vмножеством в пространстве и)\ Тем не менее, всякое замкнутое подмножество u>i со свойством Лин-делефа является Сгг-множеством, что, в частности, следует из теоремы 25, которая также является аналогом теоремы Катетова

Теорема 25. Если произведение X х У наследственно линделеф-нормально, то или всякое замкнутое подмножество со свойством Лин-делефа пространства X является регулярным О ¡-множеством или все счетные подмножества пространства У замкнуты

Следствием теоремы 25 является еще одна теорема о кубе компакт, куб которого является наследственно линделеф-нормалъньш пространством, метризуем, причем в этой теореме условие компактности нельзя ослабить до условия счетной компактности

Обозначим теперь через С* класс пространств, представимых в виде счетного объединения счетно компактных совершенно нормальных сепа-рабельных подпространств.

Теорема 26. Если ехр(Х) является наследственно С*-нормальным пространством, то X — метризуемый компакт.

Следствие. [МА + -чСН] Если пространство ехр(Х) является наследственно линделеф-нормальным пространством, то X — метризуемый компакт

В § 5 3 вводится и изучается свойство совершенной ¿/-нормальности Регулярное пространство X называется совершенно К-нормальным, если замыкание А любого множества А С X, такого, что А & К, является функционально замкнутым множеством В § 5 3 обобщается известная теорема Катетов а о совершенно нормальных произведениях 11, причем следствием полученного обобщения теоремы Катетова является утверждение о том, что счетное произведение совершенно линделеф-нормально в том и только в том случае, когда все конечные подпроизведения являются совершенно линделеф-нормальпыми пространствами.

§ 5 4 посвящен нормальным функторам в смысле Е В.Щепина 36 В.В.Федорчук 36 доказал, что, если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт ТФ.Жураев 56 по аналогии с теоремой Зенора о кубе заменил в теореме В В Федорчука наследственную нормальность компакта Т{Х) на наследственную счетную паракомпакт-

56Жураев Т Ф Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн Моек ун-та Матем Механ — 2000 №4 — С. 8-11

ность Т{Х) Понятие нормальности над классом пространств позволяет усилить эти результаты, а именно, следующая теорема является одновременным обобщением теорем В В.Федорчука и Т Ф Журае-ва, причем метод доказательства восходит к работам М Катетова 11 и В В.Федорчука 35

Теорема 27. Если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 и компактаХ пространство J7(Х)\Х наследственно К-нормально, то X — метризуемый компакт

Шестая глава. В 1981 году Бранденбург 57 в определении нормальности заменил непересекающиеся открытые множества, разделяющие замкнутые множества, замкнутыми (З^-множествами Получившееся свойство jD-нормальности оказалось одновременным обобщением нормальности и свойства быть пространством с измельчением 57

Хорошо известно, что из совершенной нормальности экспоненциального пространства ехр(Х) следует компактность и метризуемость пространства X Известны два разнородных обобщения этого утверждения В 1976 году В.В Попов 58 доказал, что, если пространство ехр(Х) регулярно и совершенно, то X — метризуемый компакт М М Чобан 40 доказал, что, если пространство ехр(Х) наследственно нормально, то X — метризуемый компакт Основным результатом § 6 1 является теорема 28, представляющая собой одновременное обобщение теоремы В.В Попова и теоремы М М Чобана

Теорема 28. Если пространство ехр(Х) наследственно D-нормально, то X — метризуемый компакт.

В 1997 году Д.В.Малыхин 19 доказал, что счетно компактное нормальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счет-ности. Следующая теорема является усилением теоремы Д В Малыхина и основным результатом § 6 2

Теорема 29. Счетно компактное пространство, являющееся регуляр-

57Braadenburg Н Separating closed sets by continuous mappings mto developable spaces // Can J Math — 1981 — V 33 - P. 1420-1431

58Попов В В О пространстве замкнутых подмножеств // ДАН СССР — 1976 —

Т 229 — С 1051-1054

ным и £>-нормальным вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности

Седьмая глава. В этой главе рассматриваются прямоугольные покрытия Семейство $ подмножеств X х X называется прямоугольным, если ■&={11ах\¥а а € А}.

Грюнхаге и Пелант 59 доказали, что каждое паракомпактное вне диагонали Е-пространство имеет диагональ типа Следующая теорема 30 дополняет теорему Грюнхаге-Пеланта и является основным результатом §71

Теорема 30. Паракомпактное Е-пространство X имеет Оц-диагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ А допускает локально конечное (в X2 \ А) прямоугольное открытое покрытие

Следствие. Паракомпактное р-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X2 \ А допускает локально конечное (в X2 \ А) прямоугольное открытое покрытие

В § 7 2 рассматриваются счетные прямоугольные покрытия Теорема 31. Линделефово /3-пространство X имеет О ¿-диагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ А допускает счетное прямоугольное открытое покрытие

Следствие. Линделефово р-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X2 \ А допускает счетное прямоугольное открытое покрытие.

В заключение отметим, что условие /?- в формулировке теоремы 31 не может быть опущено Соответствующие примеры были построены А Н Якивчиком 60 и Беннетом и Латцером 61

69Gruenhage G , Pelant J Analytic spaces and paracompactness of X2 \ Д // Topology Appl - 1988 — V 28 — P 11-15

®°Якивчик A. H О диагональном числе топологических пространств // Вести Моек ун-та Матем Механ — 1990 №6,— С 84-86

61 Bennett Н , Lutzer D Off-diagonal metnzation theorems// Topol Proc — 1997 — V 22 — P 37-58

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(Публикации [1]—[21] из официального Перечня ВАК)

[1] Комбаров А П О нормальности £т-произведений // ДАН СССР

- 1973 - Т. 211. - С 524-527

[2] Комбаров А.П Нормальные ст-произведения // ДАН СССР — 1977 - Т 232 - С 1004-1007

[3] Комбаров А П О тесноте и нормальности Е-произведений // ДАН СССР - 1978 — Т 239 — С 775-778

[4] Комбаров А П. О пространствах с точечно-счетной полубазой// Вестн Моек ун-та Матем. Механ — 1981 №3 — С 28-31

[5] Комбаров А П О замкнутых т-компактных отображениях и уплотнениях // Вестн Моск. ун-та Матем Механ —1981 №6 — С 70-72

[6] Комбаров А П Об одной теореме А Стоуна// ДАН СССР — 1983

- Т. 270 - С 38-40

[7] Комбаров А П О компактности и секвенциальности по множеству ультрафильтров//Вестн. Моек ун-та Матем Механ —1985 №5 — С 15-18

[8] Комбаров А П Наследственная паракомпактность X2 и метризуемость X // Вестн. Моек ун-та Матем Механ — 1988. № 2 -С. 79-81

[9] Комбаров А П О ^-счетно паракомлактных пространствах / / Вестн Моек ун-та Матем Механ — 1989. № 4 — С 91-93

[10] Комбаров А П Замечание к теореме Катетова// Вестн. Моек унта. Матем Механ - 1990 №2 — С 82-83

[11] Комбаров АП Теснота паракомлактных ¿-пространств и счетная паракомпактность ^-множеств в произведениях// Вестн Моек ун-та Матем Механ — 1990 №3 — С 87-89

[12] Комбаров А П Псевдонормальность ^-подмножеств X2 \ А// Вестн Моек ун-та Матем Механ — 1991 №1 — С. 85-87

[13] Комбаров А П О теоремах Катетова и Зенора// Вестн. Моек унта Матем. Механ — 1992. №1 — С. 102-104

[14] Комбаров А.П О слабой нормальности пространства X2 \ Д// Вестн Моек ун-та Матем Механ — 1995 №3 — С 40-44

[15] Комбаров АП Счетная нормальность подмножеств ехр(Х)// Вестн Моек ун-та Матем. Механ — 1995. №5 — С 97-99

[16] Комбаров А П О свойствах типа нормальности в произведениях// Вестн Моск. ун-та Матем Механ — 1998 №4 — С 64-66

[17] Комбаров А П О свойствах типа счетной паракомпактности в произведениях//Вестн Моек ун-та Матем Механ— 1999 №3 — С. 25-28

[18] Комбаров А.П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе// Вестн Моск. ун-та Матем Механ.— 2004 №5 — С. 59-61

[19] Комбаров А.П О нормальных функторах степени > 3 // Матем заметки - 2004 - Т. 76.- С 147-149

[20] Комбаров А П О D-нормальности X2 \ Д //Успехи матем наук — 2004 - Т 59 - С 173-174

[21] Комбаров А П О паранормальных пространствах // Матем заметки - 2007 - Т 81-С 311-313

[22] Kombarov А Р On rectangular covers of X2 \ A// Comment Math Umv Carolmae - 1989 - V 30 - P 81-83

[23] Kombarov A P Weak normality, exp(X) and powers // Topology and Applications International Topological Conference Dedicated to P S Alexandroff's 100th Birthday — Moscow "Phasis", 1996 - P.71-72

[24] Kombarov A.P On expandable discrete collections// Topol Appl. — 1996 - V. 69 - P. 283-292

[25] Kombarov A P Weak normality of subsets of exp(X) // Topol Appl.

- 1997 - V 76 — P 157-160

[26] Комбаров А.П Слабая нормальность 2х и Хт// Фундаментальная и прикладная математика — 1998 — Т. 4 — С. 135-140

[27] Kombarov А Р On Fa-S-normahty and hereditary ¿-normality // Topology Appl - 1999 - V. 91 - P 221-226

[28] Kombarov A P On Lindelof-normal spaces // Topology Appl — 2000

- V. 107 - P 117-122

[29] Комбаров А П. Свойства тина нормальности и ковариантные функторы// Фундаментальная и прикладная математика — 2003 — Т. 9, № 2.— С 57-98. (Kombarov АР Normality-type properties and covariant functors// Journal of Mathematical Sciences — 2003

- V. 131, № 4 - P. 5738-5764.)

[30] Kombarov A.P. On ¿»-normality of X2 \ A and hereditary D-normality of exp(X) // International Conference on Geometric Topology, Discrete Geometry and Set Theory (Dedicated to the centenary of L V.Keldysh)

- Moscow. Steklov Mathematical Institute RAS, 2004. — P 30-31.

Издательство ЦПИ при механико-мзтематическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать 2$,0&0%

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л / У6

Тираж 100 экз Заказ

Введение

1 Глава первая. Нормальность и счетная паракомпактность в произведениях

1.1 Компактность и секвенциалыюсть по множеству ультрафильтров и замкнутые проекции

1.2 Нормальность произведения двух пространств.

1.3 Теснота и нормальность Е-произведений.

1.4 Нормальные ¿г-произведения

1.5 Замкнутые т-компактные отображения и уплотнения

1.6 Распространение характеристик компактов Корсона и Эберлейна на М-пространства

2 Глава вторая. Слабая нормальность

2.1 Экспоненциальное пространство.

2.2 Большие степени

2.3 Пространство X2 \ А.

3 Глава третья. Слабые формы счетной паракомпактности

3.1 а;-Счетная паракомпактность.

3.2 Дискретные системы замкнутых множеств.

3.3 Замкнутые отображения на д-пространства.

3.4 Аналоги теоремы Зенора.

3.5 Несчетные произведения

3.6 Пространство X2 \ А.

3.7 Экспоненциальное пространство.

3.8 Паранормальность в смысле Ван Дауэна

4 Глава четвертая. Свойство ¿-нормальности

4.1 5-Нормальность ^-подмножеств.

4.2 Наследственная 5-нормальность.

5 Глава пятая. Нормальность над классом топологических пространств

5.1 Наследственная ¿/-нормальность.

5.2 Линделёф-нормальность

5.3 Совершенная ¿/-нормальность.

5.4 Нормальные функторы степени ^ 3.

6 Глава шестая. Свойство D-нормальности

6.1 Экспоненциальное пространство.

6.2 Пространство Х2\А

7 Глава седьмая. Прямоугольные покрытия X2 \ А

7.1 Локально конечные прямоугольные покрытия

7.2 Счетные прямоугольные покрытия.

Список диаграмм

1 Диаграмма 1.

2 Диаграмма 2.

3 Диаграмма 3.

4 Диаграмма 4.

5 Диаграмма 5.

6 Диаграмма 6.

7 Диаграмма 7.

Класс нормальных пространств, занимающий одно из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году Титце [140] и в 1924 году П.С.Александровым и П.С.Урысоном в работе [54]. Свойство нормальности появлялось также и у Вьеториса [144]. В своем знаменитом "Мемуаре о компактных топологических пространствах" П.С.Александров и П.С.Урысон пишут [1]: "Пространство называется нормальным, если всякие два лежащих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности." Условие нормальности топологического пространства является некоторым естественным ограничением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, Л. Вьеториса, Г. Титце, П. С. Александрова, П. С. Урысона, А. Н. Колмогорова, А. Н. Тихонова. Напомним аксиомы отделимости.

Аксиома То: пространство называется То-пространством, если для каждой пары различных точек £1,0:2 € X существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек (А Н. Колмогоров). Аксиома Т\: пространство называется Т\-пространством, если для каждой пары различных точек Х\,Х2 € X существует открытое множество II С X, такое, что х\ € II и Х2 и (Ф. Рисс). Аксиома пространство X называется Тг-пространством или хаус-дорфовым, если для каждой пары различных точек Х\,Х2 € X существуют открытые множества 11\, £/2 С X, такие, что х\ € Щ, Х2 € С/2 и и\ П и2 = 0 (Ф. Хаусдорф).

Аксиома Т3: пространство X называется Тз-пространством или регулярным, если пространство X является ^-пространством и для любой точки х (Е X и каждого замкнутого множества Г С X, такого, что х 0 .Р, существуют открытые множества /7]., £/2 С X, такие, что х € 11ъ ^ С и2 и П и2 = 0 ( Л. Въеторис).

Как хорошо известно, всякое нормальное пространство является тихоновским, тихоновское пространство регулярно, а регулярное пространство является хаусдорфовым [52], [2]. Все пространства в диссертации предполагаются хаусдорфовыми. Далее, под ординалом понимается множество всех меньших ординалов, кардинальное число — это начальный ординал. Если ш — бесконечное кардинальное число, то ш+ — следующее за ним кардинальное число. Иногда начальное порядковое число мощности ш обозначается через о;(ш). Прочие обозначения и терминология, не разъясняемые ниже, такие же, как в книгах [52], [9].

Аксиома Т31 существенно выделяется в ряду других аксиом. Определение тихоновских пространств является "внешним" определением, в котором предполагается существование некоторых внешних объектов относительно рассматриваемого пространства. Хорошо известно, что свойство нормальности может быть сформулировано "внешним" образом, поскольку важнейшим характеристическим свойством нормальных пространств является то, что для них справедлива фундаментальная лемма Урысона [142] (см. [52], 1.5.10) о возможности функционального разделения непересекающихся замкнутых множеств в нормальном пространстве. Лемма Урысона и дает "внешнее" определение нормальности и эквивалентна так называемой теореме Титпце-Урысона ([52], 2.1.8) о возможности непрерывного продолжения действительнозначной непрерывной функции, определенной на некотором замкнутом подпространстве нормального пространства, на все это пространство. Хорошо известно, что Титце доказал теорему о продолжении только для метрических пространств [139], иными словами, Титце доказал нормальность метрических пространств, а до Титце частный случай теоремы Титце-Урысона для плоскости В? был получен Лебегом [112], занимавшимся задачей Дирихле и в связи с этой задачей рассматривавшим продолжения непрерывных функций, определенных на границе так называемой "замкнутой области". Метод доказательства Титце предполагал существенное использование метрики метрического пространства, и сам Титце указывал [139] на некоторое несовершенство своего доказательства, которое "работает" лишь в случае, когда продолжаемая функция ограничена на каждом ограниченном подмножестве метрического пространства. В 1925 году П.С.Урысон [142] доказал теорему о продолжении в максимальной общности для нормальных пространств, причем метод доказательства Урысона отличался от всех предыдущих доказательств и состоял, как ныне хорошо известно, в представлении продолжения в виде суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Заметим, что теорема Титце-Урысона не может быть доказана методом Титце, но в силу причин исторического характера эта теорема называется теоремой Титце-Урысона.

Класс счетно паракомпактных пространств был независимо введен в 1951 году Даукером [79] и Катетовым [103]. Топологическое пространство называется счетно паракомпактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Даукер доказал, что топологическое пространство X нормально и счетно паракомпактно в том и только в том случае, когда произведение X х I пространства X на отрезок I = [0; 1] нормально. Нормальные пространства, не являющиеся счетно паракомпактными, получили название даукеровских. Задача построения даукеровского пространства двадцать лет была известной задачей общей топологии. Эта задача была решена в 1971 году М.Э.Рудин [131], построившей пример даукеровского пространства X, то есть такого нормального пространства

X, что произведение X х I пространства X на отрезок I не является нормальным пространством. В теории гомотопий нормальные счетно паракомпактные пространства называют бинормальными [43]. Важность бинормальных пространств определялась тем фактом, что для таких пространств выполняется теорема Борсука о продолжении го-мотопии [43] (см.также [52], 5.5.21). Пример даукеровского пространства, построенный М.Э.Рудин, мотивировал работы Морита и Стар-берда. В 1975 году Морита [122] и Старберд [132] независимо доказали, что теорема Борсука выполняется и для любого нормального пространства.

Еще один пример — проблема метризуемости нормального моровского пространства. Хорошо известно, что существование сепарабельного неметризуемого нормального моровского пространства совместимо с и не зависит от [135].

Понятие нормального пространства появилось в прошлом веке на начальном этапе развития общей топологии, возникновение которой оказалось следствием перестройки оснований математического анализа, происходившей в течение девятнадцатого века. По образному выражению известнейшего американского тополога М.Э.Рудин "понятие нормальности находится на границе, где теоретико-множественная топология переходит от математического анализа к теории множеств" (см. [89]). Таким образом, естественной задачей общей топологии является задача выяснения границ действия многих результатов, вовлекающих свойства нормальности и счетной паракомпактности, в случае, когда эти свойства заменяются на более специальные топологические свойства, близкие к нормальности или счетной паракомпактности. Рассмотрим возможные способы обобщения свойства нормальности.

Во-первых, можно уменьшить каким-либо образом класс замкнутых множеств, разделяемых открытыми множествами. Например, рассмотрим определение ¿-нормальности, которое содержится в работе Мака 1970 года [114]. Пространство называется ¿-нормальным [114], если любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых является регулярным (^-множеством, содержатся в непересекающихся окрестностях. При этом подмножество (3 топологического пространства называется регулярным (^-множеством, если оно является пересечением счетного числа замкнутых множеств, внутренности которых содержат множество 6?. Мак [114] доказал, что каждое счетно паракомпактное пространство является ¿-нормальным и получил следующий аналог теоремы Даукера: пространство X счетно па-ракомпактно в том и только в том случае, когда произведение пространства X на отрезок I = [0; 1] является 8-нормальным пространством. Всякое нормальное пространство, очевидно, ¿-нормально. Таким образом свойство ¿-нормальности является одновременным обобщением нормальности и счетной паракомпактности. Гуд и Три [88], отвечая на вопрос Никоша, построили "наивный" пример ¿-нормального моровского пространства, которое не является счетно паракомпакт-ным и, в частности, не метризуемо. Заметим здесь, что всякое нормальное моровское пространство счетно паракомпактно. Другой пример: Е.В.Щепин [48] ввел класс х-нормальных пространств. Пространство называется х-нормальным, если в нем любые два непересекающиеся канонически замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности. Оказалось, что для х-нормальных пространств справедлив аналог теоремы Титце-Урысона, а именно, Е.В.Щепин доказал, что топологическое пространство х-нормально в том и только в том случае, когда всякая ограниченная непрерывная вещественная функция, определенная на канонически замкнутом множестве, допускает непрерывное продолжение на все пространство. Произведение метризуемых пространств в любом количестве является совершенно х-нормальным пространством, то есть всякое канонически замкнутое в нем множество является множеством нулей некоторой непрерывной вещественной функции [49]. Для совершенно х-нормальных пространств оказался справедлив аналог теоремы Катетова о совершенно нормальных произведениях: произведение счетного числа пространств будет совершенно х-нормальным, если таковым будет каждое его конечное подпроизведение [50].

Разумеется, возможны также различные способы обобщения свойства счетной паракомпактности. Во-первых, обобщение стандартной характеристики счетно паракомпактных пространств ( [52], теорема 5.2.1). Во-вторых, обобщение характеристики, предложенной Мансфилдом (см. [52], 5.5.17), который доказал, что пространство X счетно паракомпактно в том и только в том случае, если для каждой счетной локально конечной системы : г < и} замкнутых подмножеств пространства X найдется локально конечная система : г < и} открытых подмножеств пространства X, такая, что Fi С для каждого натурального г < и. Оба эти способа, а также связь свойств типа счетной паракомпактности с упомянутыми выше обобщениями нормальности, будут рассмотрены в диссертации.

Общеизвестно, что аксиомы , г ^ 3|, сохраняются тихоновскими произведениями. Простейшие примеры показывают, что свойство нормальности разрушается даже при возведении пространства в квадрат. Квадрат прямой Зоргенфрея не является ни нормальным ни счетно па-ракомпактным пространством. Э.Майкл [117] привел замечательный пример ненормального произведения наследственно паракомпактного пространства и сепарабельного метрического пространства. Пример произведения двух нормальных счетно компактных пространств, топология которого даже не содержит в себе топологию нормального пространства, построен Бузяковой в работе [13]. Таким образом среди общих проблем в этом направлении естественно выделить следующие:

I) Нахождение достаточных условий, при выполнении которых подпространство произведения или само произведение обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности.

II) Выяснение характера ограничений на сомножители, которые накладывает условие типа нормальности или счетной паракомпактности, выполняющееся в подмножествах произведения.

III) Выяснение характера ограничений на пространство X, которые накладывает условие того, что пространство Т{Х) обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности, если Т — некоторый нормальный функтор.

Проблемы I, II и III, а также проблема выяснения границ, внутри которых остаются справедливыми аналоги классических теорем о произведениях и экспоненциальных пространствах, вместе с вышеприведенной проблемой одновременного обобщения теорем Катетова и Зенора, поставленной Ван Дауэном [77], и послужили отправными моментами диссертационной работы. Переходим к краткому изложению основного содержания диссертации.

1. Александров П. С. , Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. — М.: Наука, 1971.

2. Александров П. С. , Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973.

3. Архангельский А. В. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства // Матем. сб. — 1965. — Т. 67. — С. 55-85.

4. Архангельский А. В. Бикомпактные множества и топология пространств// Труды Московского Математического общества — 1965. — Т. 13. — С. 3-55.

5. Архангельский А. В. О совершенных отображениях и уплотнениях //ДАН СССР. — 1967. — Т. 176. — С. 983-986.

6. Архангельский А. В. О бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслина наследственно. Теснота и свободные последовательности // ДАН СССР. — 1971. — Т. 199. — С. 1227-1230.

7. Архангельский А. В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты //Успехи матем. наук — 1978. — Т. 33. — С. 29-84.

8. Архангельский А. В. Топологические пространства функций. — М.: Издательство Московского университета, 1989.

9. Архангельский А. В. , Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М.: Наука, 1974.

10. Болжиев Б. А. Секвенциальность топологических и равномерных пространств: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Фрунзе, 1987.

11. Бузякова Р. 3. О произведении нормальных пространств// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ — 1994. №5.— С. 81-82.

12. Величко Н. В. О пространстве замкнутых подмножеств// Сиб. матем. ж.— 1975.—Т. 16.— С.627-629.

13. Гулько С. П. О свойствах множеств, лежащих в Е-произведениях // ДАН СССР. — 1977. — Т. 237. — С. 505-508.

14. Ефимов Б. А. Метризуемость и Е-произведение бикомпактов // ДАН СССР. — 1963. — Т. 152. — С. 794-797.

15. Ефимов Б. А. , Чертанов Г.И. О подпространствах Е-произведений прямых //Comm. Math. Univ. Carolinae — 1978. — V. 19. — P. 569-592.

16. Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 2000. №4.— С. 811.

17. Иванов А.В. О функторах конечной степени и х-метризуемых бикомпактах// Сибирский математический журнал. — 2001. — Т. 42. — С. 60-68.

18. Иванова В. М. К теории пространств подмножеств// ДАН СССР.— 1955.— Т.101— С.601-603.

19. Клебанов Б. С. Непрерывные образы тихоновских произведений метрических пространств: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Москва: МГУ, 1980.

20. Клебанов Б. С. О факторизации отображений произведений топологических пространств// ДАН СССР. — 1982. — Т. 262. — С. 1059-1064.

21. Комбаров А. П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на £-произведениях // ДАН СССР. — 1972. —Т. 205. — С. 1033-1035.

22. Комбаров А. П. , Малыхин В. И. О Е-произведениях // ДАН СССР. — 1973. — Т. 213. — С. 774-776.

23. Комбаров А.П. Об одной теореме Корсона // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ — 1978. №6.— С. 33-35.

24. Кюнен К. Комбинаторика // Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. — М.: «Наука», 1982.

25. Малыхин В. И. О тесноте и числе Суслина в ехрХ и в произведении пространств // ДАН СССР. — 1972. — Т. 203. — С. 10011003.

26. Малыхин В. И. Топология и форсинг // Успехи математических наук — 1983. — Т.38. — С.69-118.

27. Малыхин В. И., Шапировский Б. Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств// ДАН СССР— 1973.—Т.213.— С.532-535.

28. Малыхин Д. В. Счетно компактное V-нормальное пространство имеет счетный характер// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1997. №5.— С. 31-33.

29. Малыхин Д. В. Некоторые свойства топологических произведений: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Москва: МГУ, 1999.

30. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. — M.-JL, 1938.

31. Попов В. В. О пространстве замкнутых подмножеств // ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. — С. 1051-1054.

32. Резниченко Е. А. Однородные произведения пространств // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1996. №3.— С. 10-12.

33. Рудин М.Э. Аксиома Мартина // Справочная книга по математической логике. Ч. И. Теория множеств. — М.: «Наука», 1982.

34. Савченко И. А. О пространствах, близких к секвенциальным: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Москва: МГУ, 1990.

35. Ткачук В. В. Методы теории кардинальных инвариантов и теории отображений в применении к пространствам функций// Сибирский математический журнал. — 1991. — Т. 32. — С. 116-130.

36. Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств// Матем. сб. — 1976.—Т.99. — С. 3-33.

37. Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах кова-риантных функторов// Успехи математических наук — 1984. — Т.39. — С. 169-208.

38. Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе // Вестн. Моск. унта. Матем. Механ.— 1989. №4,— С. 93-96.

39. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. — Издательство Московского университета, 1988.

40. Филиппов В. В. Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с особенностями в правой части// Матем. заметки — 1985. — Т. 38.— С. 832-851.

41. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. — М.: Мир: 1964.

42. Чобан М. М. Многозначные отображения и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Тбилиси, 1979.

43. Шапиро JI. Б. Пространство замкнутых подмножеств D^2 не является диадическим бикомпактом// ДАН СССР. — 1976. — Т. 228. — С. 1302-1305.

44. Шапиро JI. Б. Об однородности диадических бикомпактов// Ма-тем. заметки. — 1993. — Т. 54, № 4. — С. 117-139.

45. Шапировский Б. Э. О пространствах с условием Суслина и Шанина // Матем. заметки. — 1974. — Т. 15. — С. 281-288.

46. Щепин Е. В. Действительные функции и пространства, близкие к нормальным// Сиб. матем. ж.— 1972.—Т.13.— С.1182-1195.

47. Щепин Е. В. О топологических произведениях, группах и новом классе пространств более общих, чем метрические// ДАН СССР. — 1976. — Т. 226. — С. 527-529.

48. Щепин Е. В. Вещественные функции и канонические множества в тихоновских произведениях и топологических группах// Успехи математических наук — 1976. — Т.31. — С. 17-27.

49. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов// Успехи математических наук — 1981. — Т.36. — С.3-62.

50. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир: 1986.

51. Якивчик А. Н. О диагональном числе топологических пространств // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1990. №6.— С. 84-86.

52. Alexandroff Р. , Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Raume// Math.Ann. — 1924. — V.92. — P.258-266.

53. Alster K. , Engelking R. Subparacompactness and product spaces// Bull.Acad.Polon.Sci. — 1972. — V.20. — P. 763-767.

54. Arhangel'skii A. V. Divisibility and cleavability of spaces.// Recent Developments of General Topology and its Applications. — Math. Research 67.— Berlin: Academie-Verlag, 1992.—P. 13-26.

55. Arhangel'skii А. V. A survey of cleavability // Topology Appl. — 1993. — V. 54. — P. 141-163.

56. Arhangel'skiiA. V. , Kombarov A. P. On normality of X2 \ Д // Baku International Topological Conference. — Baku, 1987. — P.20.

57. Arhangel'skii A. V. , Kombarov A. P. On V-normal spaces // Topology Appl. — 1990. — V. 35. — P. 121-126.

58. Balogh Z. , Dow A. , Fremlin D. H. , Nyikos P. J. Countable tightness and proper forcing // Bull. Amer. Math. Soc. — 1988. — V. 19. —P. 295-298.

59. Bennett H. , Lutzer D. Off-diagonal metrization theorems// Topol. Proc. — 1997. — V. 22. — P.37-58.

60. Bernstein A.R. A new kind of compactness for topological spaces// Fund. Math. — 1970. — V. 66. — P.185-193.

61. Brandenburg H. Separating closed sets by continuous mappings into developable spaces // Can. J. Math. — 1981. — V. 33. — P. 14201431.

62. ChaberJ. Conditions which imply compactness in countably compact spaces // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. — 1976. — V.24. — P. 993-998.

63. Chiba K. On the weak Б-property of (j-products// Math. Japonica1982. — V.27 — P.737-746.

64. Chiba K. On the D-property of cr-products// Math. Japonica — 1987.V.32 — P.5-10.

65. Chiba K. The submetacompactness of cr-products// Math. Japonica1991. — V.36 — P.711-715.

66. Chiba K. Normality of a-products// Proc. Amer. Math. Soc. — 1993.V.119 — P.999-1003.

67. Chiba К. Covering properties of cr-products// Math. Japonica — 1994. — V.39 — P.343-352.

68. Chiba K. The strong paracompactness of cr-products // Scientiae Math. — 1999. — V. 2. — P. 285-292.

69. Corson H. H. Normality in subsets of product spaces // Amer. J. Math. — 1959. — V. 81. — P. 785-796.

70. Dieudonne J. Un critere de normalite pour les espaces produits// Coll. Math. — 1958. — V. 6. — P. 29-32.

71. Dowker C.H. On countably paracompact spaces // Canad. Journ. of Math. — 1951. — V. 3. — P. 219-224.

72. Eda K. , Gruenhage G., Koszmider P. , Tamano K. , Todorcevic S. Sequential fans in topology // Topology Appl. — 1995. — V. 67. — P. 189-220.

73. Engelking R. On functions defined on Cartesian products // Fund. Math. — 1966. — V. 59. — P. 221-231.

74. Fedorchuk V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors// Topology Appl. — 1997. — V.76. — P. 125-150.

75. Garcia-Ferreira S. On FU(p)~spaces and p-sequemtial spaces// Comment. Math. Univ.Carolinae. — 1991. — V. 32 — P. 161-171.

76. Garcia-Ferreira S. Quasi M-compact spaces// Czch. Math. Journ. — 1996. — V. 40 — P. 161-177.

77. Garcia-Ferreira S., Kocinac Lj. Convergence with respect to ultrafil-ters// Filomat (Nis) — 1996. — V. 10 — P. 1-32.

78. Garcia-Ferreira S., Malykhin V.I. p-Sequentiality and p-Frechet-Urysohn property of Franklin compact spaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1996. — V. 124. — P. 2267-2273.

79. Glicksberg I. Stone-Cech compactifications of products // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. — V. 90. — P. 369-382.

80. Good C. , Tree I.J. On ^normality// Topol. Appl. — 1994. — V. 56 — P. 117-127.

81. Grunberg R. , Junqueira L.R., Tall F.D. Forcing and normality// Topol. Appl. — 1998. — V. 84 — P. 145-174.

82. Gruenhage G. Covering properties on X2 \ Д, W-sets, and compact subsets of E-products// Topol. Appl. — 1984. — V. 17 — P. 287-304.

83. Gruenhage G. Generalized metric spces and metrization // Recent Progress in General Topology / M.Husek, Jan van Mill, editors. — Elsevier Science Publishers B.V., 1992. — P. 239-274.

84. Gruenhage G. , Pelant J. Analytic spaces and paracompactness of X2 \ Д // Topology Appl. — 1988. — V. 28. — P. 11-15.

85. Gruenhage G. ,Nyikos P.J. Normality in X2 for compact X// Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 340. — P. 563-586.

86. Hanai S. Inverse images of closed mappings// Proc. Japan. Acad.— 1961.— V.37. — P. 298-301.

87. Hanaoka J., Tanaka H. E-products of paracompact VC-like spaces// Topology Proc. — 2002. — V. 26. — P. 199-212.

88. Handbook of Set-Theoretic Topology / Kunen K. and Vaughan J. E., eds. — Amsterdam: North-Holland, 1984.

89. Hansard J.D. Function space topologies// Pacific J. Math. — 1970.V.35 — P. 381-388.

90. Harley P.W. On countably paracompact spaces and closed maps// Portug. Math. — 1989. — V. 46 — P. 115-119.

91. Husek M., Pelant J. Extensions and restrictions in products of metric spaces// Topology Appl. — 1987. — V. 25 — P. 245-252.

92. Isiwata T. On closed countably-compactifications// General Topology Appl. — 1974. — V.4 — P. 143-167.

93. Jones F.B. Concerning normal and completely normal spaces// Bull.Amer.Math.Soc. — 1937. — V. 43. — P.671-677.

94. Katetov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. Math. — 1948. — V. 35. — P.271-274.

95. Katetov M. Measures in fully normal spaces // Fund. Math. — 1951.V. 38. — P.73-84.

96. Keesling J. Normality and properties related to compactness in hy-perspaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1970. — V.24 — P.760-766.

97. Keesling J. On the equivalence of normality and compactness in hy-perspaces // Pacific Journal of Math.— 1970.—V.33.—P.657-667.

98. Kemoto N., Szeptycki P.J. Countable paracompactness of u-products// Topology Appl. — 2005. — V. 149. — P. 259-271.

99. Kister J.M. Uniform continuity and compactness in topological groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1962. — V. 13. — P. 37-40.

100. Kocinac Lj. p-Sequential spaces and cleavability// Serdica Math. J.1998. — V. 24. — P. 89-94.

101. Kramer T.R. A note on countably subparacompact spaces // Pacific J. Math. — 1973. — V. 46. — P. 209-213.

102. Kunen K. Weak P-points in N*// Colloquia Mathmatica Societatis Janos Bolyaj — 1978. — V. 23 — P. 741-749.

103. Larson P., Todorcevic S. Katetov's problem// Trans. Amer. Math. Soc. — 2002. — V. 354 — P. 1783-1791.

104. Lebesgue H. Sur le probleme de Dirichlet// Rend, del Circ. Mat. di Palermo — 1907. — V. 24 — P. 371-402.

105. Le Donne A. Shrinking property in E-products of paracompact p-spaces// Topology Appl. — 1985. — V. 19 — P. 95-101.

106. Mack J. Countable paracompactness and weak normality properties// Trans. Amer. Math. Soc. — 1970. — V. 148 — P. 265-272.

107. Meyer P. R. Sequential space methods in general topological spaces //Coll. Math.— 1971—V.22 — P.223-228.

108. Michael E. Topologies on spaces of subsets// Trans. Amer. Math. Soc.1951. — V. 71 — P. 152-182.

109. Michael E. The product of a normal space and a metric space need not be normal// Bull. Amer. Math. Soc. — 1963. — V. 69 — P. 375-376.

110. Michael E. A note on closed maps and compact sets// Israel J. Math.1964. — V.2 — P. 173-176.

111. Michael E. , Rudin M.E. A note on Eberlein compacts// Pacific J. Math. — 1977. — V. 72 — P. 487-495.

112. Morita К. Paracompactness and product spaces // Fund.Math. — 1962. — V. 50. — P.223-236.

113. Morita K. Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann. — 1964. — V. 154. — P.365-382.

114. Morita K. On generalizations of Borsuk's homotopy extension theorem // Fund. Math. — 1975. — V. 88. — P. 1-6.

115. Noble N. The continuity of functions on Cartesian products // Trans. Amer. Math. Soc. — 1970. — V. 149 — P. 187-198.

116. Noble N. Products with closed projections II// Trans. Amer. Math. Soc. — 1971. — V. 160 — P. 169-183.

117. Nogura T. Tightness of compact Hausdorff spaces and normality of product spaces // Journal of Math. Soc. Japan. — 1976. — V. 28. — P. 360-362.

118. Nyikos P. A compact nonmetrizable space P such that P2 is completely normal// Topology Proc. — 1977. — V. 2. — P. 359-363.

119. Ostaszewski A. J. On countably compact, perfectly normal spaces// J.London Math. Soc. — 1976. — V. 14. — P. 501-516.

120. Pareek С. M. Characterizations of p-spaces // Canad. Math. Bull. — 1971. — V. 14. — P. 459-460.

121. Proctor C. W. A separable pseudonormal nonmetrizable Moore space // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. sci. math., astron. et phys. — 1970. — V. 18. — P. 179-181.

122. Rosenthal H.P. The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces// Compos, math. — 1974. — V. 28. — P.83-111.

123. Rudin M.E. A normal space X for which X x I is not normal// Fund. Math. — 1971. — V. 73. — P. 179-176.

124. Starbird М. The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition // Fund. Math. — 1975. — V. 87. — P.207-211.

125. Stone A. H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. — 1948. — V. 54. — P. 977-982.

126. Szeptycki P. J. Weak normality in Dowker spaces // Topology Proceedings — 1995. — V. 20. — P. 289-296.

127. Tall F.D. Set-theoretic consistency results and topological theorems concerning the normal Moor space conjecture and related problems. Thesis, University of Wisconsin. — Madison: 1969. — Dissertations Math. — 1977 — V. 148. — P. 1-53.

128. Tanaka H., Yajima Y. E-products of paracompact C-scattered spaces// Topology Appl. — 2002. — V. 124 — P. 39-46.

129. Tanaka H. E-products of paracompact Cech-scattered spaces//Comment. Math. Univ. Carolinae — 2006. — V. 47. — P. 127-140.

130. Teng H. On (7-product spaces// Math. Japonica — 1991. — V.36 — P.515-522.

131. Tietze H. Uber Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind // Journ. fur die reine und angew. Math. — 1915. — V. 145. — P. 9-14.

132. Tietze H. Beitrage zur allgemeinen Topologie Iff Math. Ann. — 1923. — V. 88. — P. 290-312.

133. Tychonoff A. Uber die topologisch Erweiterung von Raumen // Math. Ann. — 1930. — V. 102. — P. 544-561.

134. Urysohn P. Uber die Machtigkeit der zusammenhangenden Mengen // Math.Ann. — 1925. — V.94. — P.262-295.

135. Vaughan J. E. A countably compact spaces and its products // Proc. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 71. — P. 133-137.

136. Vietoris L. Stetige Mengen// Monatsh. fiir Math, und Phys. — 1921 — V.31 — P. 173-204.

137. Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung// Monatsh. fiir Math, und Phys.1922.— V.32.— P.258-280.

138. Walker R.C. The Stone-Cech compactification. — Berlin: 1978.

139. Weiss W. Countably compact spaces and Martin's axiom// Can. J. Math. — 1978. — V. 30 — P. 243-249.

140. Wulbert D. E. Subsets of first-countable spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1968. — V. 19. — P. 1273-1277.

141. Yajima Y. On E-products of E-spaces// Fund. Math. — 1984. — V. 123. — P. 29-37.

142. Yajima Y. On E-products of semi-stratifiable spaces// Topology Appl. — 1987. — V. 25. — P. 1-11.

143. Yajima Y. The shrinking property of E-products// Tsukuba J. Math.1989. — V. 13. — P. 83-98.

144. Yajima Y. Analogous results to two classical characterization of covering properties by products// Topology Appl. — 1998. — V. 84. — P. 3-7.

145. Yakivchik A.N. Weakly normal topological spaces and products// Topology Appl. — 1997. — V. 76. — P. 193-202.

146. Zenor P. Countable paracompactness in product spaces// Proc. Amer. Math. Soc. — 1971. — Y.30. — P.199-201.

147. Zenor P. Countable paracompactness of Fa-sets// Proc. Amer. Math. Soc.— 1976. — V. 55. — P. 201-202.Публикации автора по теме диссертации.

148. Комбаров А. П. О нормальности Ет-произведений // ДАН СССР. — 1973. — Т. 211. — С. 524-527.

149. Комбаров А.П. Нормальные сг-произведения // ДАН СССР. — 1977. — Т. 232. — С. 1004-1007.

150. Комбаров А.П. О тесноте и нормальности Е-произведений // ДАН СССР. — 1978. — Т. 239. — С. 775-778.

151. Комбаров А.П. О пространствах с точечно-счетной полубазой// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1981. №3 — С. 28-31.

152. Комбаров А.П. О замкнутых m-компактных отображениях и уплотнениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1981. №6.— С. 70-72.

153. Комбаров А.П. Об одной теореме А.Стоуна// ДАН СССР. — 1983. — Т. 270. — С. 38-40.

154. Комбаров А.П. О компактности и секвенциальности по множеству ультрафильтров// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1985. №5.— С. 15-18.

155. Комбаров А.П. Наследственная паракомпактность X2 и метризуемость X // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1988. № 2. — С. 79-81.

156. Комбаров А.П. О ^-счетно паракомпактных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1989. № 4. — С. 91-93.

157. Kombarov А.P. On rectangular covers of X2 \ A// Comment. Math. Univ.Carolinae. — 1989. — V. 30 — P. 81-83.

158. Комбаров А.П. Замечание к теореме Катетова// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 1990. №2 — С. 82-83.

159. Kombarov А.P. On Lindelof-normal spaces // Topology Appl. — 2000. — V. 107. — P. 117-122.

160. Комбаров А.П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.— 2004. №5.— С. 59-61.

161. Комбаров А.П. О нормальных функторах степени ^ 3 // Матем. заметки — 2004. — Т. 76.— С. 147-149.

162. Комбаров А.П. О D-нормальности X2 \ А //Успехи матем. наук2004. — Т. 59. — С. 173-174.

163. Комбаров А.П. О паранормальных пространствах // Матем. заметки — 2007. — Т. 81.— С. 311-313.