Топологический метод исследования ветвления решений нелинейных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Топологический метод исследования ветвления решений

нелинейных краевых задач Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Санкт-Петербург — 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Институте Точной Механики и Оатака

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С.А. Вавилов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Г. Осмоловский доктор физико-математических наук, профессор В'.А. Треногин

Ведущая организация: Пермский Государственный

Университет

Защита состоится "¿7" 1997 г. в часов на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г. Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет, аудитория 3534.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 198034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

& /1'

Автореферат разослан " С ' 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент А.И. Шепелявый

Общая характеристика работы

Как правило, исследование линейных задач различной природы (линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, интегральных или функционально-дифференциальных уравнений и т. п.) начинается с доказательства существования и единственности решения в выбранном функциональном пространстве. К сожалению, для нелинейных задач единственность решения — явление достаточно редкое. Поэтому часто в качестве идеального результата анализа разрешимости нелинейного уравнения стремятся получить утверждения о существовании более одного решения, что как правило оказывается непростой задачей. Во многих практически важных случаях некоторые решения (обычно называемые тривиальными) известны заранее, а исследователя прежде всего интересуют нетривиальные решения, располагающиеся "вблизи" множества тривиальных решений в выбранном функциональном пространстве. Типичная задача такого рода наряду с переменными, описывающими состояние исследуемой системы, содержит еще и ряд физических параметров, при изменении которых можно ожидать скачкообразное изменение множества решений. В диссертации исследуются задачи ветвления такого типа, относящиеся к трем классическим постановкам.

1. Бифуркационная задача вида 1

Lx = F(x, Ai), (1)

где х £ Е\ — неизвестный элемент, Aj € 1R — вещественный параметр, L : Е\ —► Е2 — линейный плотно определенный в Е\ оператор, F :

'Нумерация формул, обозначений и утверждений автореферата и диссертации не совпадают

Еу х Н —» Е-2 — нелинейный оператор, удовлетворяющих! условию

Е\ и Е-2 — вещественные банаховы пространства. Известно, что при условии существования непрерывной производной Фреше в нуле Ех(0, Ах) у оператора Г все точки бифуркации исходной задачи обеспечивают нетривиальную разрешимость линейного уравнения

1® = /,1(0>А1)а;. (2)

Задача же нахождения конструктивных достаточных условий существования точек бифуркации практически полностью решена только в случае, когда (1) допускает вариационную формулировку.В отсутствии вариационной структуры, как правило, приходится использовать какой-либо из классических результатов, требующих, например, знания кратности соответствующих собственных значений, практическая проверка которой часто весьма затруднительна.

2. Обобщенная задача на собственные значения вида

Ьх - Я(Х)х, (3)

где Н(Х): Е\ -—у Еч —1 линейный оператор. Задача состоит в нахождении тех значений параметра А = А', называемых характеристическими числами, при которых уравнение. (3) допускает нетривиальные решения х ф 0. Несмотря на то, что методы спектральной теории для линейных операторов достаточно развиты, все же решить поставленную задачу, вообще говоря, непросто, если только она не имеет весьма специального вида, например, сводится к задаче на собственные значения для компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

3. Кобифуркационная задача. Эту задачу можно рассматривать как "двойственную" к (1):

Lx + F(\,х) = 0, (4)

где L: Е\ —* — необратимый линейный фредгольмов оператор, х £ Ei, A G В., F: Ei —* Е2 удовлетворяет условию F(0, х) = 0 для любого х £ Е\. Множество

М = {0} х keri cKx^i

можно тогда рассматривать как многообразие тривиальных решений (4). Цель состоит в отыскании таких точек х' £ kerL С Е\, называемых точками кобифуркации, что каждая окрестность точки (0, х') содержит нетривиальное (т.е. не содержащееся в М) решение уравнения (4).

Методика исследования. В диссертации развивается метод анализа задач ветвления, основанный на использовании классической теории ветвления решений нелинейных уравнений, предложенного С.А. Вавиловым метода неэквивалентных замен переменных, и развитии теории Лерэ-Шаудера топологической степени отображения в применении к отображениям в пространствах, имеющих структуру прямого произведения Е х Н" бесконечномерного банахова пространства Е и конечномерного пространства IR".

Научная новизна. На защиту выносятся следующие положения, определяющие научную новизну результатов диссертационной работы:

- Сформулированы новые утверждения, позволяющие вычислять топологическую степень отображений в пространствах вида Е х И", где Е — бесконечномерное банахово пространство, развивающие заложенный в работах J. Cronin, М. Furi, М. Martelli и

С.А. Вавилова топологический подход к исследованию разрешимости операторных систем уравнений в этих пространствах;

- Получены достаточные условия существования точек бифуркации задач вида (1), обосновывающие применение метода линеаризации для поиска интервалов, содержащих точки бифуркации, и использование приближенного метода Галеркина для селекции точек бифуркации среди множества характеристических чисел соответствующих линеаризованных задач;

- Для бифуркационных, постановок краевых задач на существование периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений, линеаризация которых приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа Хилла, найдены интервалы, содержащие точки бифуркации, а также обоснован выбор приближенного метода поиска ветвей нетривиальных решений и точек бифуркации;

- Для обобщенных задач на собственные значения вида (3) на примере краевых задач на существование периодических решений для дифференциальных уравнений типа Хилла и линеаризованной задачи об устойчивости цилиндрической оболочки при неоднородном осевом сжатии найдены' интервалы, содержащие характеристические числа, а также обоснован выбор приближенного метода их поиска;

- Для кобифуркационных задач вида (4) сформулированы достаточные условия существования точек кобифуркации, а также обосновано применение метода Галеркина для их поиска.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют развить новые

конструктивные методы анализа широкого класса нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений, и, в частности, могут быть применены для анализа ряда актуальных задач механики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались

- на коллоквиумах по дифференциальным уравнениям кафедры прикладного анализа факультета технической матеметикн и информатики Университета г. Delft, Нидерланды, 1992 и 1994 гг.

- на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского Государственного Университета под руководством проф. П.Е. Товстика, 1993 г.

-- на семинаре проф. Н.В. Азбелева по функционально-дифференциальным уравнениям,1994 г.

- на израильском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям в научно-исследовательском институте математики г. Ariel, Израиль, под руководством проф. М.Е. Драхлина, 1993 и 1994 гг.

- на семинарах по нелинейному анализу математического факультета Техниона, г. Haifa, Израиль, под руководством проф. S. Reich'a, 1993 и 1994 гг.

- на семинаре кафедры системного анализа и информатики Университета Флоренции, Италия, 1994 г.

- на третьей всеитальянской конференции "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление" на острове Эльба, 1994 г.

- па семинаре кафедры математики и информатики Университета г. Udine, 1996 г.

s

Публикации- Содержание диссертации опубликовано в 5 работах [1]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глаз, заключения и списка литературы, включающего 53 наименования. Общий объем работы составляет 108 страниц машинописного текста.

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации.

В главе 1 исследуется разрешимость операторных систем уравнений вида

где и £ Е, А 6 К", Т : Е х И" —► Е — нелинейный оператор, £) : Е х К" —+ К" — нелинейный вектор-функционал, Е — банахово пространства, вообще говоря, бесконечномерное. В случае полной непрерывности оператора Т. а также непрерывности и ограниченности £) для исследования разрешимости систем этого класса можно воспользоваться теорией топологической степени Лерэ-Шаудера, примененной к отображению Ф: Е х И" —> Е х К",

В этом случае степень с!с§(Ф, 0) может быть корректно определена, если Ф не вырождено на границе области П С Е х И". Пусть О) С Е и С Н" — области (ограниченные открытые множества), О = П1 хГ2г-Будем говорить, что Ф (или система (5)) топологически нетривиально

-.[5].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

и = Т{и, А), D(w, А) = 0,

(5)

(6)

на областях С Е, С К" (обладает свойством ^(П^Пг)), если ф 0. Доказывается следующее утверждение, используемое в дальнейшем для установления топологической нетривиалыюстн.

Теорема 1 Лустпь С Е — выпуклое множество, Т - вполне непрерывный оператор, Г) — непрерывный и ограниченный вектор-функционал, £)о: Мп —*■ Л1" — непрерывное векторное поле, и выполнены следующие условия:

(г) ?(дПис1П2) С Пь

(п)Чие с1ПьЧ\едП2 0 < \\П(и.,Х)~Щ0,Х)\\лг < ||£>(0,А)||^.

Тогда с1е§(Ф(и, Л), 0) = А), 0). В частности, если

с^(-0(0. А),0) ф 0, то система уравнений (5) имеет по крайней мере одно решение (и', А') £ и.

Доказываются также некоторые "принципы родственности", применяемые для вычисления топологической степени. Наиболее употребительным оказывается следующий принцип: рассмотрим "итерированное" отображение в Е х К":

Теорема 2 Если Т — вполне непрерывный оператор, I) — непрерывный и ограниченный вектор-функционал, а одно из отображений

В главе 2 исследуется применимость метода линеаризации для поиска точек бифуркации задачи (1). В предположении фредгольмовости

Ф или фМ певырождено на границе дП, то второе также невырождено на <9П, причем.

и необратимости оператора L,

kerL = span {91,.. .,<рп), kerL* = span {фх,..., фп},

задачи (1) и (2) переписываются в виде эквивалентных систем уравнений ветвления Ляпунова-Шмидта, а затем вводится неэквивалентная замена переменных

i—2

(8)

исключающая из множеств их решении тривиальное решение х = 0. В результате получаются следующие две вспомогательные системы функциональных уравнений с неизвестными и 6 Е — элементом фактор-пространства Е = Е\ / кег Ь и конечномерным вектором А = {А1,...>А„} 6Г:

1. для нелинейной задачи (1)

(9)

i (f ^(u + 'yi + .E Хм), Ai j , ^ = 0, j = 1,..., n; 2. для линеаризованной задачи (2)

- L~lFx{0, A,) u + <pi + E A,

/ V „ \=2 (10) Ft( 0, Ai) (u + <pi + E K<Pi ),Фз)= 0, j — 1,... ,n.

Здесь £ ф 0 — свободный параметр, Ь~1 : Е\ —» Е — обобщенный обратный к Ь оператор, построенный в соответствии с леммой Шмидта. Обозначим Р\ : А £ И" н+ Х\ € К. Доказывается следующая основная теорема о линеаризации.

Теорема 3 Пусть Р — непрерывный ограниченный оператор, оператор Ь"1 вполне непрерывен, и существуют такие области П\ С Е и С Мп, что выполнены следующие условия:

(г) Ах) - ^((^Л^гЦ^/ЦеКе! 0, где /^(0, А1)а; - непрерывный

однородный по х оператор, при ЦжЦ^ —> 0, равномерно по А1 6 сШ2);

(п) система уравнений (10), выписанная для линеаризованной задачи (2), обладает свойством

Тогда исходная задача (1) имеет непустое множество точек бифуркации внутри интервала Р1(^2); которое может быть аппроксимировано методом Галеркина, примененным к системам уравнений (9) при £ —> 0.

Применение линеаризационной теоремы 3 в сочетании с теоремой 1 (и, для некоторых задач, также с теоремой 2) приводит к достаточным условиям существования точек бифуркации в определенных интервалах. формулируемым в терминах априорных оценок.

В главе 3 исследуются бифуркационные постановки краевых задач на существование периодических решений для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений, линеаризация которых приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка типа Хилла с переменным периодическим коэффициентом, а также родственные краевые задачи для ФДУ. Такие задачи часто возникают в приложениях, связанных с изучением параметрически возбуждаемых колебаний различных физических систем. Анализ задач производится методом, развитым в главе 2 и логически разбивается на два этапа: на первом ("оценочном") находятся лишь интервалы, содержащие точки бифуркации, а на втором эти точки локализуются внутри

найденных областей при помощи численного метода. Таким образом обеспечивается селекция точек бифуркации среди множества характеристических значений линеаризованной задачи. Для каждой пз обсуждаемых в главе 3 задач находятся интервалы, в которых динеариза-ционной теоремой 3 в сочетании с утверждениями главы 1 гарантируется существование точек бифуркации, а также приводятся системы уравнений ветвления, численное решение которых методом Галеркина дает множество точек бифуркации и ветви нетривиальных решении.

В качестве иллюстрации рассмотрим краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом

£ + + 9(0ММ*)) = Ф). 1 е [°'ТЬ

/0Г х{г) А 4- А1 ¿/(*) 4- А14Т) = фг[х),

х{т) — 0, г$[0,Т\.

где Т > 0 — заданное число, д^ £ Х1(0,Т), ¡г: [О, Т] —> И! - измеримая функция, / имеет ограниченную вариацию на [О, Г], А[ — бифуркаци--онный параметр, г: Ж7и(0,Т) ¿'(М), Фи Фг- АС1Л(0,Т) II — нелинейные непрерывные операторы, заданные на пространстве АС1,1 {О, Т) функций, имеющих абсолютно непрерывную первую производную и вторую производную из пространства Лебега /,'(0,Г), удовлетворяющие условиям г(0) = 0, 0) = 0, и ||г(а;)||1 = о(||а;||.4Г71.1(0,Г))7 \\Ф№)\ \ = о(||аг||лсм(о,г)) ПРИ И^И^С'.чо.т) 0, где || • ||р обозначает норму в 1/(0, Т), г — 1,2. Будем считать оператор г вполне непрерывным. Пусть 5/, — оператор внутренней суперпозиции, определяемый фор-

малыга соотношением

(ЗД(1);=Ь<Ч0>, т £10,л,

( о, могю.т].

Выполняя необходимые преобразования, получим, что система уравнений вида (10), выписанная для соответствующей линеаризованной задачи, топологически нетривиальна на некоторых областях из Е х И, если и только если на соответствующих областях нетривиальна следующая эквивалентная система уравнений относительно неизвестных г еР(0,Т), М € Е

'^(0 = (МО+ + )(«)),

т.

/Мг) + яШМт) + (Л/,г)(т)) с1т+ (12)

т

А, /((1А(г) + (ЛАг)(г)) ¿Пт) + А? = 0,

где (Ллг)(*) := 5Л/С0(*, ф(г) <*т, 1 := (5,Д)(<), ¿70(*,г) - функция Грина двухточечной краевой задачи

£(<)=Р(0> х(0) = х{Т) = 0.

Рассмотрим вспомогательное одномерное векторное поле -Оо(А[) = А| + апА1 + 6х, где вц = /0Г <?(г)1/,(<) Л + !о 1А(0 #(«). ¿1 =/о" Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 Пусть найдутся такие, числа р\ > 0, Р2 > 0, что А)(—Рг)-АДрг) < 0, и выполнется следующая система неравенств

[ (/02|Ы|1+1Ы|1)(1+С^,) <

I ЫЫЬ + 1ЫЬ)о»/>1 +Р2С/Р1 < (¿(рг),

г<?е сл := шрадер^еВД^М*)'7")!' с/ := var[oIз^/(í), <1{р2) :=

тт{|Д)(—Рг)|; |-Оо(/>2)!}- Тогда задача (11) имеет по крайней мере одну точку бифуркации'па интервале (—р-2,р-2)-

Отмстим, что условия приведенной теоремы выполняются, в частности, для достаточно больших р? и достаточно малых |}¿7}11, ||(?|Ь и с/. Стоит также подчеркнуть, что приведенные в уловиях теоремы оценки не являются грубыми и учитывают также информацию о функции Таким же методом можно доказать, что при подходящем выборе аи и &! исходная задача будет иметь три различных интервала, содержащих точки бифуркации. Ветви нетривиальных решений и точки бифуркации внутри найденных интервалов можно найти, как обычно, при помощи метода Галеркина, примененного с соответствующим системам вида (9) при £ —+ 0.

В главе 4 исследуются обобщенные задачи на собственные значения вида (3) как в абстрактной постановке, так и в приложении к вопросу о существовании периодических решений у линейных обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнении типа уравнения Хилла, а также в линеаризованной задаче об устойчивости пологой цилиндрической оболочки. Рассмотрим, к примеру, следующую краевую задачу для линейного параметризованного обыкновенного дифференциального уравнения:

| х + аг + ш2х = ( 1(0) = ж(Т); ±(0) = ¿(Г),

где х{1) — неизвестная функция. « ф 0 — заданный коэффициент демпфирования, /(£) — заданная достаточно гладкая Т-периодическая функция, представляющая параметрическое возбуждение, и> = 2тт/Т, а А1 € К. — "спектральный" параметр. Необходимо выяснить, существуют ли такие значения параметра А1 (характеристические числа), что задача (13) допускает нетривиальные классические решения

x(t) ф О. Ответ на поставленный вопрос, весьма тривиален в случае, когда /(¿) сохраняет знак на [О, Т]: при этом стандартной заменой переменных задача (13) может быть сведена к задаче на собственные значения для компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. В главе 4 изучается более сложный случай, когда f(t) меняет знак на [О, Г], т.е. имеет по крайней мере одну точку поворота t* 6 [0,Т] : f(t") = 0. Исходная задача при этом не сводится к задаче на собственные значения симметричного оператора. Заметим также, что при отсутствии демпфирования (а = 0) поставленный вопрос допускает тривиальный ответ: прп Ai = 0 любая линейная комбинация функций sin ují н eos toi является, очевидно, решением. Поэтому в таком случае имеет смысл интересоваться только ненулевыми характеристическими числами Х[ ф 0.

Для каждой рассматриваемой в главе 4 обобщенной задачи на собственные значения строится при помощи редукции Ляпунова-Шмидта и соответствующих неэквивалентных замен переменных специальная система уравнений ветвления, решения которой соответствуют нетривиальным решениям исходной задачи. Для анализа систем уравнений ветвления используется теория степени Лерэ-Шаудера в форме, развитой в главе 1. При применении этого подхода к задачам существования периодических решений уравнений типа (13) приходится иметь дело с достаточно сложными двумерными системами уравнений ветвления. Это связано с тем, что ядро оператора L (см. операторное уравнение (3)) в этих случаях как правило двумерно. Для применения теории степени для анализа разрешимости такого рода систем предлагается метод построения областей Ü С Е х И", в которых топологическая нетривиальность соответствующих отображений типа (6) гарантируется теоремой 1.

Применение предлагаемого подхода к исследованию различных

спектральных задач на существование периодических решений уравнений типа Хилла позволяет получать достаточные условия нетривиальной разрешимости с весьма слабыми требованиями на коэффициенты разложения в ряд Фурье функции f(t), представляющей параметрическое возбуждение. В особенности важно, что предложенные методы работают и в ситуации, когда f(t) содержит бесконечное число гармоник в разложении в ряд Фурье. Такие задачи трудно анализировать стандартным методом определителя Хилла.

Наконец, в главе 5 кратко рассматриваются кобифуркационные задачи вида (4) и формулируются достаточные условия существования точек кобифуркации, а также обосновывается применение метода Га-леркина для их поиска.

Список литературы

1. Vavilov S.A., Stepanov Е. An operator method to study some resonance boundary-value problems in elasticity theory. //Report 92-84 of the Faculty of Technical Mathematics and Informatics. Delft University of Technology. The Netherlands. 1992.

2. Stepanov E., Vavilov S.A. Nonlinear resonance beam oscillations induced by shear forces. // Journal of Nonlinear Analysis-Theory, Methods and Applications. — 1994. — vol. 23, N 11. — pp. 1477-1490.

3. Stepanov E., Vavilov S.A. Turning points and eigenvalue problems. //Journal of Math. Analysis and Applications. — 1996. — vol. 199 — pp. 699-727.

4. Stepanov E., Vavilov S.A. Bifurcation points at resonance. //Report 94-53 of the Faculty of Technical Mathematics and Informatics. Delft University of Technology. The Netherlands. 1994.

5. Stepanov E. Topological degree for systems of functional equations arizing in control theory. //Functional Differential Equations. —1995. — vol. 3, N 1-2. — pp. 239-255.