Топология фазовых портретов дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Математический институт имени В.А.Стеклова Российской Акадеиии Наук

сд

до 1334 На ПР3®^ рукописи ишшенко ШИЙ сергеевич

т 517.9

топология, фазоше портретов дифференциальных

уравнений на вещественной и кшшексной плоскости

(0I.0I.C2 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссергации на соискание ученой сгелени доктора ¡¿кзлко-матеаатичесяих наук

Носкье 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений иеханико-катематического факультета Московского государрт-взнеого университета, шгеня м.в.Лоцоносова. Официальные оппоненты: акадеиик РАН В.И.Арнолзд ,

доктор физико-натзыагических наук, профессор Ю.Н. Бибиков, доктор физико-ыатеыагических наук, профессор Б.А. Зорич.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет (физический факультет).

Защита диссеогащга состоится 1994 г.

в 14°° час. на заседании специализированного совете Д. CC2.38.QI при Натеиатическом институте шени В.А.Сгеклова РАН по аздвсу: 117966,1011-1, Иосква, ул. Вавилова ,42, аудитория 451.

С диссертацией иоано ознакомиться в библиотеке Математического института им. Б.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан Н. О ^ 199» г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.0С2.38.О1 при 1ШРАН, профессор

I.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследования полиномиальных (и аналитических) дифференциальных уравнения на вещественной и комплексной : плоскости. А именно, рассматриваются уравнения, заданные по-лсномаальЕнш векторная полями:

ОС = Р(эс> У )

г-а со

(ЭС> у) £ или (ОС, £<£ 2" . В первом случае шогочлены Ри & имеют вещественные коэффициенты, вс втором - произвольные комплексные. Ниже сзстеыа ("1)2 состветствуюцес векторное поле не различается терминологически.

Актуальность темы. Лийереквдапьиые уравнения о полиномиальной правой частьв на плоскостз систематически исследуются со времен Пуанкаре, заложившего основи качественной теории дифференциальных, уравнений. Уравнению I ^посвящеяа вторая часть пестнадцатой проблемы Гильберта. Первая часть касается топологии ългебрашческих кризах к поверхностей. Вторая часть формулируется в одной фразе, которая в начале содерага ссылку на первую, в середине - метод решения, п в конце - формулировку проблемы.

" В связи с &ТОЙ, чисто алгебраической, проблемой, я затрону еяе один возрос, который, как мне кажется, должен быть решен с помосте упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов г ответ на которкЗ гтмеет важнее гвачевие для топологии семейств коевех, опредггяекуг дифференциальными уравнениями, а икенно, во-псос о максимальной числе а расположении предельных циклов ¿¿тС'Ь^у- Пуанкаре для дафферекоиЕльного уравнения первого порода и пзрвоИ агепене виде

V v dx - X

где д , J - целке рагкональнне фуикшиа 71 -fl степени относительно ЗГ, U иле, в однородной запася

где X ■> Y, z^ - Целые рациональнее однородные функции /"¿-й сгепэни относительно 2. 3 которые к ьугно оцредалнгь

как функции параметра "»(^Цитируется ас пборнаку " Проблемы Пысьберты", Косква, "Наука", 1969,0.48.}

В IS23 году А.Дшак овубляковал большой нему ар, згнчсганД. его математическое творчество л названный " 0 предельных циклах"., В этом нему аре Яхтах пытался доказать следующую теора^у.

Полиномиальное векторное поле на шшакости имеет лизь конечное чясло предельных цякгов.

Это утвергленле, навиваемое ниже "теоремой коягчноста", ыо-г.ет рассматриваться как лервнй, яустъ небольшой, но необходимый car в реаекяг 16-8 проблемы Гильберта для длффврекциальяых уравнений. ,

В первые сослеззеыкке голк И.Г.Петровский вместе со своим молодым ученнхом Е.М.1андвсом, вернувшемся в Университет после тести дет во£ан, провел обширное ксследаьаше, посвяденное второй части 16-й проблемы Гильберта. Петровоигй и Ланднс обобщила ка комплексянЗ случай основные понятия качественной теории дифференциальных уравнений, открытке для вещественного случая Пуанкаре. Она определяли комплексные предельные цшиы, комплекс-нуг) функция Еоследозанкя и исследовали юс свойства. В 1955-57 годах Петровский и Ландас опублянозадш две работы, в которых давалась оценка сверху на ч;юло предельных тужлов уравнения

-3-

а ■

(1) через степени многочленов р и . Есля пользовать-

ся обозначением, принятым позднее в обзорной литературе: Н(П-)

- максимальное число предельных циклов у поля ("1) степеал 'Я

- то утвервдеяия Пегпсзского и Даадиса когу? быть сформулированы следукдам образом:

И (л) ^ 3; Нрь)=:п30(1).

В 196Э году СлЪЕоэаг.овны а автором этих строк, тогда студентом, бил..- обнаружена окабка в работе Петровского и Ландаса 1955 года. До настоящего зеленя замсел Петровского - Ландаса ке довэдеп до сяончатьлького доказательства. Однако работа породила обпарнне ¡исследования по качественной теории дифференциальных уравнений, часть которнх составляет содерхание настоящей дяссзртацзк.

В знаменитой работе А.А.Андропова и Л.С.Поктрягияа, 1937 г, бнл'т отсели "тапитые" векторные поля ка вещественной плоскости и двумерной сфере с точки зрения топологии их глобальных ырзсзнх портретов. Е 60-е году исследование типкчяах векторных полей в •/логочзрком случае б.ччо предприяяхо Огейлок, Аносинм •• Г;Г. последователе®, йтз исследования иоаэкилг начало нсро.5 пемза тмрв^» названной впоследствии "дифференциальная дгпа-а-ка*. Проблема, естественно аознкнахицаа на стыке этих асоледо-

й работы Пегргзс:гого - Ландяса, состояла в том, чтобы .чзучпгь свойства тинггкнх ьстаориюс полей в комплексной плос-коит«5 Г. аачзлу бС-х годов било известно, что поэтнсваальние вс-кторяг^ теля на ¡стшлексзой плоскости шлет не более, чем саеткоз число ко^чегдапк предельных циклов и, как правило, не пкык алгебраически*: фазовых крившс, Петровский - Лаздкг. М.О.^лаЛ-Веренсвык Ояао сбнарукеъ.о свойство плотности ^язовюс

кривых типичного полиномиального векторного поля степени больше или равной 2 на комплексной плоскости. Кроме того, Л.М.Гейзмак и Худай-Вереноз обнаружили, что даже в классе лолиноыкальюнг однородных уравнений стелена больше ила равной 2 на комплексной плоскости нет структуно устойчивых уравнений, Дальнейшие исследования родственных проблем составляет содержание первой главк диссертации.

В 1931 году автором была обнаружена ошибка в немуаре Дплака " 0 предельна* пилах", и упоминавшаяся выао теорема конечности превратилась в проблему. В начале 80-х годов несколько авторов: Чиконе и Шефер, Сотомаяор г Патерлиня, Еагюн и другие доказала частные результаты: теорема конечности для полиномиальных векторных пслей, удовлетворяющих различным дополнительным ограничениям. В 1991 году вышла книга автора £ 1М \ , содержащая полное доказательство теоремы конечности. Годом позже вышла книга Ж.Зка-ля, содержащая независимое доказательство.

Цель работы. Исследовать топологию фазовых портретов дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости. В частности, исследуется мощность множества комплексных предельных циклов дня типичного полиномиального векторного поля, и жесткость этого поля относительно гомеоморфизмов. Кроме того, в диссертации проведены исследования проблемы конечности в том объеме , который допускается принятыми ограничениями размера диссертации,

Методиссл-едования. В обеих частях работы систематически используется метода комплексного анализа. В первой часта применяется многомерный комплексный анализ, во второй -разработанное автором исчисление функциональных коцепей., ^ к0_ цепа естественно возникают в теории нормальных форм резонансных

векторных полей и отображений и впервые Ошш обнарукенн учеником автора (^.Ворониным, 1981. Кроме того, в доказательстве наиболее сильной из приведенных в диссертации теорем конечности применяются введенные авторов сверхточные асимптотические ряды, СТАР, Эти асимптотические ряды позволяют одновременно учитывать степенные и экспоненциальные асяштотики,

Научная новазна.В диссертации впервые доказаны следующие результаты.

1. Тсчнчное полячоюальное зекторное поле на комплексной плоскости икеет очеткоз число ко.\:плекскых предельикх циклов«.

2. О^ормулчрззапо по;1ятие абсолютной негрубости и доказано, что типичное полиномиальное векторное поле на кшыексной плоскости етш свойством обладает.

3. Доказана ••^еорека о конечности числа лредельькх циклов у гюлкнокг.алъг.ого векторного шля на вещественной плоскости, все особые точки которого, включая бесконечно удаленняе, невыроядены.

4. Полномьл описью отображение соответствия для гиперболического сектора особой точка аналитического векторного поля на плоскости тяис- седлоузел. Это ошюаняе позволяет свести исследование преобразования монодроыил для сепаратрзсногр .»/тюгоуготгькя-ка слалятитеекого векторного поля к чисто аналитической задаче. Обнаружено, что функциональные коцепи играет- ключевую рель при продол-Г-еггеи преобразования монодроиа в комплех-ссную область.

5. Доказана теорема о нена-.спленпи предельык циклов та:« казнвземому алычр::анткоед полпиаклу, Длл доказательства этой теоремч автором построечо исчисление фуккдаональкж коцепей и доказана теорема ®>рггмьк»-2.инделедса да них. Кроме того, в диссертации определяется класс "сверхточных асимптотических рядов" и исследуется раЕдопекая преобразований данодроыии сепаратрис-

- S ~

ного многоугольника з асимптотические ряда этого класса.

Приложения . Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти приложения в комплексном анализе, качественной теории дифференциальных уравнений, теории слоений.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно излагались на ряде семинаров ЫУ, включая семинары под руководством В.И.Арнольда; Л.Г.Битушкина, А.АЛЪнчара, Б.В»Шабата ; Ю.К.Маняна; Я.Г.Саная; по заседаниях Московского а Ленинградского Математического Общества; на совместных сессиях .Московского Математического Общества и семинара имени И.Г.Петровского.

Кроме того, результаты первой главы диссертации излагались в 45-иикутноа докладе в секции "Обыкновенные дифференциальные уравнения" на Международном Математическом Конгрессе 1978 г в Хельсинки, Эти результаты составила значительнуо часть книги Х.Гомес-Уонта и I. Ортис-Бобедальи " Голоморфные динамические система на поверхностях", опубликованной Мексиканским Математическим Обществом в 198Э году.

Результаты второго параграфа второй главы диссертации^ докладывались Р.Муссв на сзмикаре Бурбаки, ноябрь IS85.

Результаты двух последних глав диссертации излагались в виде 45-ианутного доклада в секции "Обыкновенные дифференциальные уравнения" на Международном Математическом Конгрессе в Киото, I9S0,.a также на различных внутрисоюзных и международных школах и конференциях: Воронежской Зимней Математической Школе, 1983,1990, I и III Сибирских школах по Ддгебре и Анализу, 1987,1989, на конференции по бифуркациям и периодическим орбстаы в Люшш, Франция, 1989, в цикле из б лекций

в Бургундском университете в Дижоне, Франция, ЗЬ90, в цикле из 5 лекций в Институте Нанкаи, Тяншш, 1530, в цикле ез 5 часовых докладов на конференции по голоморфной динамике в Гуанахуато, Мексика, 1931,в пленарном докладе на конференции "Эквадиф$" в Барселоне, 1^91, в цикле из 5 лкшгё, прочитанных в Институте .V Чистои и Прикладной математики в Рио ле 1анейро, Бразилия, Д932. в цикле из пяти часовых докладов на семинаре по би$уркаду,ям и периодическим, ороитам в Канаде, 1992.

Л У Ь Л И К А Ц И И . Основные результаты диссертации опубликованы з раоотах автора, список которых прилагается в коние автореферата. Книга содержит полное доказательство теоремы конечности, но ее ооъек - 450 страниц машинописи - не позволяет включить ее в состав диссертации полностью.

С Т РУК ТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертант состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Общик объем диссертации 273.страницы, в спяске литературы 76 названии.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Во введении излагается история последу ш* в диссертации вопросов, дается несоходамке определения и формулируются основные результаты.

Первая глава содерют терреш оо абсолютной негруоости и счетном числе предельных циклов для типичных доляно.'мальнкх векторных поляк на кокшчкеной плоскости.

Эторая глава содернпт теорему конечности для полиномиальных векторных полей на с невыроаденнимд ссобпмя точками и опи-

сание продолжения в комплексную область отобрая.:нйй соответствия гиперсолических секторов невыровненных седел и седло;, злов.

) Третья глава содержит теорему конечности для векторных полей с так называемыми альтернантиыми полишислаки. доказательство

этой теореш включает все идеи, необходимые для доказательства общей теоремы конечности, но является существенно более простым технически. Тем не менее, эта теорема представляет собой идейно и технически наиболее сложный результат диссертации. Четыре параграфа третьей главы идейно в точности соответствую? первым четырем главам книги \jL¡¡J . Нумерация теореи начинается заново в каждой главе. Перейдем к изложению основных результатов по главам. Всвду низе П

Во введении излагается история исследуемых в диссертации вопросов и формулируются основные результата.

Содержание главы I. В первой глава исследуются топологические свойства типичных полиномиальных векторных полей на комплексной плоскости. Эти векторные поля обладают свойством абсолютной негрубости, которое прямо противоположно свойству структурной устойчивости, открытому Андроновым - Понгрягиным (1937 г.).

Пространство векторных полей на комплексной плоскости с полиномиальными компонентами степени не выше 71 , обозначаемое c/Z^, можно отождествить с пространством коэффициентов соответствующих полиномов. Это конечномерное (линейное) пространство размерности (п+/)Сти-2) • На нем определена естественная мера Лебега.

Свойство уравнения ©С е назовем общим, или типичным, если множество тех уравнений , для которых это свойст-

во не выполнено, имеет Лебегову меру 0.

Теорема 3 (об абсолютной негрубости). Для общего дифференциального уравнения существует такая окрестность 2¿, уравнения оС и такая окрестность тождественного гомеоморфизма СР-+СР в равномерной топологии, что всякое урав-

нениэ с< ^ , топологически эквивалентное я сопряжен-

ное о схС гомеоморфизмом ^^ , аффинно эквивалентно уравнении о< .

Будэц говорить, что уравнение оС , описанное в теореме, абсолютно авгрубоа. _ •

Пусть о< е ~ произвольная система вида (0.1). Этой сас-

le'fe ооот£5гствует неавтономное уравнение

jLg. = G-C-x, ¿U

cCjc. , (0.2)

таксе обозначаемое букзой &С .

Аналитическая кривая называется решением уравнения о< , если в каждой своей точке она касается направлений пая оС , непркзодима, полна (т.е. не содержится ни г каксЯ непрйвединой аналитической Еривой jf? Р , касающейся направлений поля с< ) и не содержит особые точки уравнения оС (даге если присоединение особой точки оставляет кривую ^ голоморфной).

3 силу этого определения решеккз (f есть одномерное комплекс-асе многообразие, ьясяекнсо в CP* . Решение с начальным условней р всюду обозначается ^

Циклом на решении уравнения ос Сели комплексным циклом уравнения oi ) называемся нетривиальней (отличный от единичного) эле?гент фундаментальной группы J^T^- . Циклы на ре-

шениях уравнения оС. называются гомологически независимыми, если та из hex, которые лежат на одном регении, гоыологотески независим на этой решении.

С кандым комплексным циклом ^f , лезащки на регенси ^ уравнения Ы. , связана комплексная функция последования, обозначаемая с ' • Эта фунггдкк введена Петровским и Яандасом

(1955 г. ^называется в западной литературе преобразование!! гсло-номии и играет роль, аналогичную отображению Пуанкаре для вещественных предельных; циклов.

Комплексный цикл называется предельным, если соответствующая функция послед ования имеет изолированную неподвижную точку, соответствующую этоыу циклу.

Теорема На радениях общего уравнения &С <= сдается счетное число гомологически независимых комплексных предельных циклов.

Вторая глава диссертация совпадает с большей частью первой главы книги . 3 ней содержатся все основные результаты по теореме конечности для предельных циклов, которые были получены азтором к началу 1985 г. с помощью средств классического анализа без применения функциональных коцепей и сверхточных асимптотических рядов. Эха глаза, по замыслу автора, является наиболее легкой для чтения.

В первой параграфе второй главы дается современное изложение основного верного результата немуара Двлака [21 и указывается находящаяся в немуаре овшбка.

Во втором параграфе доказана

Теорема I. Полиномиальное векторное пела с незыроядеяныии особыми точками на вещественной плоскости, включая бесконечно удаленные, имеет лишь конечное число предельных циклов.

Третий параграф посвящен описанию отображений соответствия для гиперболического сектора вещественной особой точки типа седло-узел. По определению, это особая точка, линеаризация векторного поля в которой имеет одно нулевое и одно ненулевое собственное значение.

Приведем необходимые определения.

Особая точка векторного поля на плоскости называется элементарной, если линеаризация поля з этой точка имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение.

Отобраяение соответствия гиперболического сектора особой точка - это отображение вдоль фазовых кривых полутрансверсали, т.е. полуинтервала с вершиной на сепаратрисе, через который фазовые кривые входят в окрестность особой точки, на полутравсверсаль, через которую она аз эрой окрестности выходят.

Отображение соответствия для гиперболического сектора седло-узла разлагается в произведение трех инозит ел ей, два из которых нуждаются в определении, к которому ш и переходим.

Росток векторного поля в вырожденной элементарной со об ой точке формально орбитально эквивалентен ростку

2=2 **'Су + О. г аг = - ЛГ

Здесь К -кратность особой точки, й- -константа, вещественная, если исходный росюк был вещественный. Для формальной нормальной формы многообразие 2 - О - снимающееся, а многообразие &~=0--центральное.Отображение соответствия полу>трансверсали к перзому многообразию на полутрансверсаль ко второму, короче отображение /С' центральному многообразию для нормализованной системы обозначается Д-стандартное и имеет зад (г.)- в.ур

(-1 / Аъа. = а. г).

Множители такого вида вносят экспоненциально малые члены в асимптотику преобразований монодромии.

Отметим, что любая выв отданная элементарная особая точка имеет, мозет быть, после обращения времени, одномерное устойчивое и

одномерное центральное многообразие. Отображение соответствия на полутрансверсаль с вершиной на центральном многообразии называется отображением центральной?' многообразию, обратное отображение - ОТ центрального многообразия. Короче эти отображения называются отображениями класса К. И от соответственно.

Росток вещественного голшорфяого векторного лоля в изолированной вырожденной элементарной особой точке всегда имеет одномерное голоморфное инвариантное многообразие; сжимающееся после подходящей замены времени и, как правило, не имеет голоморфного центрального многообразия. Сжимающемуся многообразию соответствует преобразование монодроиии

л- 2. - л - ¿jr¿ -h...

Здесь К то же, что и в формальной орбитальной нормальной форме ростка. Это преобразование фориально эквивалентно сдвигу за время — вдоль траекторий векторного поля

vez) = CX + AZ'J

-ггг

Этот сдвиг обозначается ^гг

Соответстзущиа нормализующие ряды, как правило, расходятся, однако являются асимптотическими для нормализующих коцепей, к описанию которых мы и переходим.

Голоморфная замена координат, сопрягающая рссток ^ с его формальной нормальной формой, определена не в полной окрестности неподвижной течки О , а лишь в специальных секторах с вершиной О , раствором о< е f —■) и радиусом, который стремится к О , когда стремится к . Число этих

секторов разно 2. к , их биссектрисы направлены по лучам

^ -h . / ■= У,-.., 2k-í. Эти секторы пок-

А- <т

2*с к

рьгвают прокол оту и окрестность нуля. В каждой из них задана "нормализующая карта", сопрягающая росток ^ с его формальной корнанной формой. Эти карты образуют "нормализующий атлас". Функции перехода этого атласа нетривиальны - отличны от тождественного отображения. Более того, описанная конструкция дает функции перехода, пробегающие богатое функциональное пространство. В этом и состоит нелинейное явление Стонса, исследованию и приложениям которого посвящена книга [¿.г] .

.Теперь можно сформулировать второй основной результат главы Я.

Теорема 6. Отображение соответствия К центральному многообразии вырожденной элементарной особой точки вещественного аналитического векторного поля являет-

.ся ограничением на (Щ,0) суперпозиции

а - ^ ° лзг *

где ^^-нормализующее отображение коцепь для соответствующего преобразования ионодромии, -отображение набора /^й-г/ч,

Q и-

определенного в секторе О , с биссектрисой, имеющей угся наклона ,отображение определено выше, а росток

^ голоморфен в нуле.

Отображение Пуанкаре для сепаратрисного многоугольника (назы-• ваемого также сложным циклом) разлагается в суперпозицию отображений соответствия для гиперболических сенторов особых точек, являющихся вершинами этого сложного цикла. Предыдущая теорема показывает, что функциональные коцепи естественно появляются в исследовании отображения Пуанкаре {называемого также преобразованием монодрошш), соответствующего сложному циклу аналитического векторного поля.

Третья глава посвящена-теореме конечности для так называемих адернавгяих слокнкх циклов, определение которых состоят в следующей.

Слоеный цикл зазывается альтерналткыи, если все его особые точки элементарны, и в разлокенкк соответствующего отображения Пуанкаре в суперпозицию оюбразанкй соответствия отображения класса К н от чередуются.

Основной результат глаыг 1 состоит в следующее.

Теорема о ненаколяевии для альтернантзга о л охнет циклов.

Предельные циклы аналитического векторного паи; не негавдивавт-ся к альтернанта ому сложному циклу гзгого лея.

Равносильная формулировка.

Теорема тоздественностк для альтернантных еденных шпеов. Если отображение Пуанкаре альтернантного алойного цикла аналитического векторного ноля ваеет счетное число кеподвкнных точек, го оно тождественно.

Схема доказательства. Для доказательства теоремы тоадзственнссти строится кноаесгзо ростков отображений ОГ, о)-* (Г, О) содержащее преобразования ыонодромии альтернантных слоеные циклов -аналитических векторннх полей, не более широкое. Ростка этого нового инсхества обхедапт двумя свойствами: разложимости к продев7.-гимосм. Ряэлоаииость означает, что каждому ростку соответствует--асимптотический ряд, содернащий к^формацзтп не только о степенных, но м об экспоненциальных асимптотиках. Такие ряды называются СТ.й'-сворхтсчные асимптотические ряда (подробнее он.

п.1.5 гл. ¡И). Тривиальность такого ряда, т.е. его совладение с гсздественным, означает, что поправка соответствующего рос^г.а очень быстро убывает при X—>0 .В ceos очередь, члена р:.да пе колеблются, так что наличие счетного числа неподзГЕнах: точек

у ростка влечет тривиальность соотзетствуяцего ряда.

Продолжимость означает, что росток можно продолвить в комплексную область 'до функциональней коцепи. Для функциональных коцепей, возникающих при продолжении преобразования ысаодронии, справедлива теорема Фрагмена-Лияделафа: если поправка ростха слишхси быстро убывает, то она тождественно равна нулю. Тривиальность СТАР как раз гарантирует "слишком быстрое" убывание поправки.

Получается следующая импликация (-преобразование ыонод-ронии слокнсго цикла / , /\./ - СТАР для Ау, Ял« -мно-

« ц •

жесгво роаткоз со счзгнш числом нелодаигшкх точек):

а/^ яге ¿v = ^ ^ =

Если все особые точки на элецэзтарноц слоеном цикла - гиперболические седла, он называется гиперболическим, в противном случае - негяперболическии. В гиперболической случае изложенная программа с использованием обычных, а не сверхточных, асимптотических рядов проведена в § 3 главы П.

В случае алиернантенх. слокных циклов эта программа проведена в главе Ш. В случае произвольных сложных циклов она проведена в

ш

В заключение опишем оснознуо идею определения и применения ^ сверхточных асимптотических рядов.

Пусть исследуется множество ростков отображений ((/Я^О) . Каждый из этих ростков разлагается в асимптотический ряд, частные суммы которого приближают росток с точностью до любой степени ¿С , например, в ряд Дюлака. Будем называть такие ряды обычными.Однако гелательно разлагать изучаемые ростки в ряды, члены которых имеют не только степенной, но и

зкспонеаиальный порядок иалосгц. На первый взгляд это невозможно: любой остаточный член обычного ряда имеет степенной порядок малости, к учет энспоиекциесшю убывегадо; членов кажется бессмысленным.

Эта трудность сбхсг.стся следующим образом. Вводится прсиегуточный класс фупкдий ; фушеди этого класса разлагайся в обычные ряда и однозначно ими задаются; пуловеру ряду соответствует

* л

нулезая функция. Затем ростки класса /"'/✓ разлагаются в рядл по убивающим зксаонеаац, причем коэффЩЕаагк зтохо ряда угсе не числа, а функции класса М0 . Простейший'иркмер Cl'AP выглядит так:

О) 21 = а-оСт) + Т. сцад^р'- , е At., v¿ л» \>о

Ряд называется асимптотические для ростка т , «ели для любого ч) > 0 сущиотзуе!1 частная суша рлда5 прибаякадея росток аз (1^,0; с точьезтью до о (&хр (- j) „ Вся nräopüa-

£

ция о разложении ростка t в обычный ряд заключена в озободком члене сверхточного: обычные ряды для г и &0 совпадав!.

ПокЕЕдк' на простом примере, как использувтс^ сверхточные ряды для доказательства теоремы тслдзстьснрооти. Предположим дополнительно к предыдущему, что класс Alo ( ) содержи' ростхя функций 0 г ОС) и ростки этого класса разлагаются в ряди Дю-лака (соотгзтстзонно, в СТАР (■&)) и задается этиыи рядами с-д-нозеэчно. Тогда справедлива

Теорзца „ __ .

Тэорека доказывается пс той se схеме, что и лемма Далека (иг. § Z главк il). Пусть теорема неверна: существует ^£ Мг Л /Г / ¿c¿ Пусть (ß) СТАР дая 4 • Пусть скача-

'J. I ' f lJC оо t

1?.

А

V

ла ¿¿¡^ . Тогда соответствующий ряд Дшана Сс1 Ф О

Следовательно, росток £.а-¿сС равен главному члену своего ряда Дюлана, умноженному на I + ; в частности, существует такое , что

/ ¿г.«, - 1(11 > ¿с\

Далее, из раглозиыостк в СТАР (&) следует:

¿С О т.

Поэтому, 7О при маднх ¿С , и, значит, /7-х. -лрстиворечие.

Пусть теперь ¿2.» - Сс1 , ^ ^ ¿сб . Тогда СКР (^отличен от ; в противном случае ^ = ¿<£ , поскольку росток клас-

са М1 однозначно задается своим асимптотическим рядом. Из определения разложимости получаем

= С **еу> (-£))(*+<>№).

Рассуждая, как в предыдущем абзаце, получаем, что ^ О при малых ¿С . Два другие сомножителя в формуле для го-

не не обращаются в нуль вблизи нуля. Следовательно, противоречие.

Глава первая воспроизводит работу £2.^ , заключение к которой содержало программу дальнейших исследований. В конце главы добавлен п. 10.7 "Пятнадцать лет спустя", в котором обсуждается, з какой мере эту программу удалось осуществить.

Нумерация формул и теорем в каждой главе начинается заново. При ссылках из одной главы в другую это оговаривается специально. Некоторые теоремы выделяются не номерами, а названиями: теорема тождественности, теорема Фрагиена-Зинделёфа и т.д.

ПУБЛИКАЦИИ ДО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. йльяшенко ij.C. Слоения на аналитические кривые. Мат ем. сб., 1972. т. 88 £ 4, с. 556 - 577.

2. Йльяшенко L.C. Топология разовых портретов аналитических да^еренциальных уравнений на комплексной проектквчои плоскости. Тр. сем. им. И.Г.Петровского, 1Ь78, вып. 4, с. 83 - 136.

3. Йльяшенко Ю.С. О проблеме конечности числа предельных циклов полиномиальных векторшг полек на плоскости. У,MR, IS82, т. 37, вып. 4, с. 127.

4. Йльяшенко Ю.С. Особые точки и предельные цк*:лы дифференциальных уравнении на вещественной и комплексное плоскости. Препринт НКНЦ АН СССР, Бущино, КЬ2, 38 с.

5. Йльяшенко k-'.С. Предельные паклч полиномиальных векторных полей с невыраженными особыми точками на вещественной плоскости. Аулкц. ан. и его црилох., 1964, т. 18, вып. 3, с. 32 - 42.

6. Ильяиенко Ю.С. Мемуар Диака " 0 пргдель'гкх циклах'1 к

- смежные вопросы локглыюк теории ди<4ерекииа,1ьны:с уравнений. У tin, 1Ь85, т. 40, вып. 6, с. -II - 78.

7. йльяшенко L. С. Сзпаратрискыз двуугольники векторнь::: полей на плоскости. Вестник ^ЕГУ, сер. матем., IS86, вып. 4, с. 25 - 51.

Б. Йльяшенко D.C. Теорема конечности дал продельных циклов. У ¡¿Н, 1987, т. виг.. 3, с. 223.

5. Ильлшгнко Ju.C. Теоремы конечности до.: предельных циклов, ¿¡¿ii, ISS0. т. 45, вып. 2, с. 143 - 200.

10. Ilyashcni:o Tu.3. Global ana ZocrJ. c.s?ect3 of the thocry of complex differential equations. Proceedings of International Congress of Katnenaticianc. Helsinki. 197S. p. 821 - c26.

11. Uyashenko Yu.S. ihe fir.itenesc problem for limit cycles of polynomial vector fields on the plane, gen:-, of saddle resonant vector fields and nonHausdorff itienann surfaces. In iacture

noteo in fcath; 1О6О. IS34.

12. Ilyashecko iu.s. fbe topology at рЪвзе nortrftites oi analytic differetial equations in the conplex projective plane. 3*lftcta Hath. 3or., v.5, n ¿, l?S6, p.141 - 199.

13. Ilyashenko Xu.S. Finitcness theorems ior limit cycles-. Proceedings oi International fortress oi mathematicians, x.yoto, 1990, v. 11, p. 1259-1270.

14. Ilyasiienio iu. 8. iinitenees theorems for lirait cycles. Лает. Rath. Зое. iransl.vol. 94, 1991» 285 p.

15. IlyaEhsi&o У11.3., sdixor, Monlinear stokes Phenomena, serisa "Adrahctes in Soviet riathecatics", т. 14, Aner. iSath. Зое., 1S93; paper 1: Ilyashenko Tu.S. , bonlinear Stokes Phenomena, 1 - 55-