Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня

Новиков, Дмитрий Вячеславович

Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Новиков, Дмитрий Вячеславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня»

Автореферат диссертации на тему "Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня"

ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Топология особенностей

интегрируемых гамильтоновых

систем

с некомпактными поверхностями

уровня

На правах рукописи

Новиков Дмитрий Вячеславович

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

* пг:;( 2013

005541965

Москва 2013

005541965

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Научные руководители: Академик РАН, профессор

Фоменко Анатолий Тимофеевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Ощемков Андрей Александрович

Официальные оппоненты: Карасев Михаил Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор (ФГАОУ ВПО Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Факультет прикладной математики и кибернетики, Кафедра прикладной математики), Воронцов Александр Сергеевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник (ФГБУН Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН) Ведущая организация: ФГБУН Математический институт им. В. А. Стеклова Р

Защита состоится 20 декабря 2013 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 на базе ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А).

Автореферат разослан 20 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 на базе ФГБОУ ВПО МГУ,

доктор физико-математических наук, профессор ^ ^ ^ А.О.Иванов

/ * У Л ■? /■ / ( / / У у'-*-Ч /

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее - случай Соколова) на алгебрах Ли е(3) и so(3,1). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае so(3,1), кроме того, поток гамильтониана является неполным.

Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильто-новых систем были заложены А. Т. Фоменко1. Указанный новый подход в изучении интегрируемых систем, предложенный А. Т. Фоменко, был затем продолжен А. Т. Фоменко и X. Цишангом2. Ими был открыт топологический инвариант интегрируемых систем (именуемый инвариантом Фоменко-Цишанга). Это граф с числовыми метками, являющийся полным инвариантом таких систем: две системы лиувиллево эквивалентны, если и только если графы Фоменко-Цишанга совпадают. Далее школа А. Т. Фоменко разработала методы вычисления меченых молекул3. Бифуркационные диаграммы многих важных интегрируемых систем были вычислены М. П. Харламовым4.

1см., например,

А. Т. Фоменко, "Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем", УМН, 44:1(265) (1989),145-173,

А.Т. Фоменко, "Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем", Докл. АН СССР, 287:5 (1986), 1071-1075,

А. Т. Фоменко, "Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости", Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:6 (1986), 1276-1307, А. Т. Фом.чгк:), "Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем", Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:4 (1991), 747-779,

А. Т. Фоменко, "Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях", Функц. анализ и его прил., 25:4 (1991), 23-35 И др.

2см. А. Т. Фоменко, X. Цишанг, "О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамилъто-новой механике", Докл. АН СССР, 294:2 (19S6), 283-287

Зсм. A.B. Болсинов, П.X. Рихтер, А.Т. Фоменко, "Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской", Матем. сб., 191:2 (2000), 3-42

4см. М. П. Харламов, Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Изд-во

В серии работ A.B. Болсинова и А. Т. Фоменко5, A.A. Ошемкова6, П. Е. Рябова7 и других были найдены классифицирующие инварианты для многих конкретных физических и механических интегрируемых систем. Как правило, в таких системах совместные поверхности уровня иитегралов компактны. Результаты теории топологической классификации, полученные школой А. Т. Фоменко, подробно изложены А. В. Болсиновым и А. Т. ФоменксР.

Однако теория топологической классификации некомпактых систем до сих пор не разработана, например, нет конечного списка атомов данной сложности (даже само понятие сложности в некомпактном случае пока что не определено). Мы надеемся, что результаты настоящей диссертации смогут быть полезны при построении такой теории.

При анализе некомпактных систем приходится сталкиваться с проблемой полноты полей. Полнота является существенным условием в Теореме Лиувил-ля, в компактном случае она получается автоматически. В отсутствии полноты (а в случае Соколова на so(3,1) так и происходит) связные компоненты совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла не обязательно являются торами, цилиндрами или плоскостями. Аналогичная ситуация наблюдается в случае комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в работе Т. А. Лепского9.

ЛГУ, 1988

5см., например, A.B. Волсинов, А.Т. Фоменко, 'Траєкторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траєкторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела", Функц. анализ и его прид., 29:3 (1995), 1—15

°см., например, A.A. Ошемков, "Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела". Труды семинара по вект. и тенз. анализу, 25 (1993), 23-109

7см., например, П.Е. Рябов, "Бифуркации первых интегралов в случае Соколова", ТМФ, 134:2 (2003), 207-226

8см. А. В. Волсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, РХД, Ижевск, 1999

9см. Т. А. Лепский, "Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с комлексным полиномиальным гамильтонианом малой степени", Матем. сб., 201:10 (2010), 109-136

10см. S. Bromberg and A. Medina, "A note on the completeness of homogeneous quadratic vector fields on the plané", Qualitative Theory of Dynamical Systems, 6:2 (2005), 181-185

приводятся критерии полноты для полиномиальных векторных полей степени > 2. Среди работ, посвященных доказательству полноты потоков, отметим диссертацию А. Ю. Москвина11, в которой доказано, что полнота потоков интегралов, полученных методом Садэтова, эквивалентна полноте потоков на соответствующей полупростой алгебре Ли.

Другим препятствием при анализе некомпактных систем является то, что в некомпактном случае могут быть некритические бифуркационные значения (например, так оказывается в изучаемом случае Соколова на е(3)). Соответственно для построения бифуркационной диаграммы недостаточно найти критические точки и их образы. Необходимо изучать, как устроена совместная поверхность уровня интегралов.

Сама общая задача определить и классифицировать некомпактные перестройки (по аналогии с компактной классификацией), в рамках которой в настоящей работе проводится исследование случая Соколова, поставлена А. Т. Фоменко.

Цель диссертационной работы

Диссертационная работа имеет следующие основные цели:

1. Исследование топологии случая Соколова иае(З).

2. Исследование топологии случая Соколова на бо(3, 1).

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

1. для случая Соколова на е(3)

• описана топология изоэнергетических поверхностей гамильтониана (см. стр. 9 автореферата);

• найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. стр. 8-9 автореферата), и отображения момента (см. стр. 9 автореферата);

11см. А. Ю. Москвин, Топология особенностей дробно-рациональных интегрируемых систем, диссертация на соискание звания кандидата физико-математических наук, 2010

• вычислены индексы критических точек дополнительного иитеграла на изоэнергетических поверхностях (см. стр. 9-10 автореферата);

• описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. стр. 10 автореферата);

• доказана полнота полей э^аЛ Я и sgrad К, что является важным условием в Теореме Лиувилля (см. параграф 1.6 диссертации).

2. для случая Соколова на зо(3,1)

• описана топология изоэнергетических поверхностей гамильтониана (см. стр. 11 автореферата);

• найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. стр. 10 автореферата), и отображения момента (см. стр. 11 автореферата);

• вычислены индексы критических точек дополнительного интеграла на изоэнергетических поверхностях (см. стр. 11 автореферата);

• описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. стр. 12 автореферата);

• доказано, что поток векторного поля, отвечающего гамильтониану, неполон (см. параграф 2.5 диссертации).

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Предложены методы доказательства полноты полиномиальных векторных полей, анализа топологии гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня, в том числе в случае неполноты потоков. Описанные примеры систем с некомпактными особенностями могут быть полезны для построения теории некомпактных особенностей.

Апробация

Основные положения диссертационной работы докладывались

• на конференции «Александровские чтения» (Москва, с 30 мая по 02 июня 2006 г.);

• на конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, с 17 по 27 апреля 2006 г.);

• на международной конференции «Differential and Functional Differential Equations 2008» (Москва, с 17 по 24 августа 2008 г.);

• на семинаре в Университете г. Бохум (Германия, май 2008 г.);

• па конференции «Ломоносов» (Москва, с 11 по 15 апреля 2011 г.);

• на семинаре имени В. В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. А. В. Карапетяна (Москва, 23 октября 2013 г.);

• неоднократно на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством акад. А. Т. Фомепко и проф. А. С. Мищенко (мехмат МГУ имени М. В. Ломоносова).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ [1-5], из них 2 в изданиях по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения и двух глав. Список использованной литературы содержит 32 наименования. Текст диссертации содержит 106 страниц.

Постановка задачи

Пусть 0 - конечномерная алгебра Ли с базисом ei,..., е„, а д* - соответствующая коалгебра с дуальным базисом е1,..., еп, то есть c'(cj) = ¿J. Пусть х\,..., х„ - аффинные координаты на д*, соответствующие базису ei, - ■ • , е,„ а А - структурные константы алгебры Ли g: [е;, ej] = c^e^.

Определение 13. Скобка Пуассона-Ли на пространстве д* задается следующей формулой:

где /ид- гладкие функции на д*. Определение 14. Уравнения

х{ = {х{, Н},

задающие динамическую систему на д*, где Н - гладкая функция (гамильтониан) на д*, называются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли д*.

Они часто встречаются в механике и физике. Например, различные задачи о движении твердого тела задаются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли е(3)*.

Определение 15. Функции, принадлежащие ядру скобки Пуассона-Ли, называются функциями Казимира.

. Рассмотрим следующее семейство скобок Пуассона-Ли на пространстве М6:

{5,, 5^} = eijh.Sk, {¿'¡, Щ] = {-^1, = Л-Су^/;,

где Si и Я^ - компоненты трехмерных векторов 5 и Я, - знак перестановки (123) —> {Цк), а к - произвольное действительное число. При н > О (х = 1) получаем, что скобка соответствует алгебре Ли зо(4), при х = 0 - алгебре Ли е(3), а при х <0 [ус = — 1) - алгебре Ли бо(3, 1). Функции Казимира:

= + /2 = <5,Й>,

где (•, •) - скалярное произведение в К3. Рассмотрим гамильтонианы вида

Н= (АЯ^) + (Ь,5 х Л),

где А - постоянная симметричная матрица, 6^0- постоянный вектор, х -векторное произведение.

Новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера с квадратичным гамильтонианом и интегралом четвертой степени на этом семействе алгебр Ли были найдены A.B. Борисовым, И.С. Мамаевым и В.В. Соколовым12. Случай Соколова:

ffi = -~S\ + aSl + - S2RX, а

Кг = Q3(*S2 - R2) - aQj + -Q\ + (- - a)Q\, где Q = S x Я.

а а

Случай Борисова-Мамаева:

#2 = (а - -7^)5? + 2aSj + aSj + Sjfi2 - S2Ri, 4a

K2 = 4o?S%S2 + 4aS2(S2Q3 - S3Q2) + Ql + Оз - s1r2 , где Q = S x. R.

Можно считать, что x равно 1, —1 или 0. Действительно, замена R' =

—j= R и а' = —т=, при и/0, приводит нас к этому случаю. VN vN

Как известно13, ограничение скобки Пуассона-Ли на орбиты общего положения коприсоединенного представления соответствующей группы Ли задает гамильтонову систему на М* = { (S, R) | fi(S, R) = с, f2(S, R) = д }, с ф 0. В нашем случае можно считать, что с = ±1. Действительно, замена S = -^/¡с|£>', R = у/\с\R' приводит нас к этому случаю, при этом векторное поле sgradH просто умножается на \/|с[3. Здесь существенно, что гамильтониан является однородным. Поэтому в этой работе мы считаем, что с = 1.

Кроме того, следуя работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста14 , без ограничения общности можно полагать, что д ^ 0, поскольку при замене

(Si, S2l S3, Ri, R2, R3) {-Si, S2, S3, Ri, —R2, —R3)

/1, H, К сохраняются, f2 меняет знак.

,2см. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, В. В. Соколов, "Новый интегрируемый случай иа so(4)", Докл. РАН, 381:5 (2001), 614-615,

В. В. Соколов, "Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so(4)", Докл. РАН, 394:5 (2004), 602605,

В.В. Соколов, "Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа", ТМФ, 129:1 (2001), 31-37

13см., например, В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, Москва-Ижевск: Факториал и изд-во Просперус Удмуртского унта, 1995

14см. Г. Хагигатдуст, А. А, Ошемков, "Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4)", Машем, сб., 200:6 (2009), 119-142

Далее можно считать, что а > 0, так как замена Si —► —Si, R\ —> —R\, а —» —а приводит нас к этому случаю.

Как и в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста14, при к > 0 можно исследовать только случай 0 < а ^ так как при замене 5i <-» 5г, R\ Д2,

УК

а —> — инварианты /1, /2 сохраняются, а гамильтониан и дополнительный интеграл меняют знак (что не влияет на топологию).

Под изучением системы мы понимаем исследование слоения Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты совместных поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла. Слоение Лиувилля случая Борисова-Мамаева на е(3) исследовано в работе П. Е. Рябова7, где указанный случай назван случаем Соколова. Лиувиллево слоение интегрируемой системы Соколова на алгебре Ли so(4) описано в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста14, а также в работах Г. Хагигатдуста15. В настоящей работе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на оставшихся в указанном семействе некомпактных алгебрах Ли е(3) и so(3,1).

Содержание работы

Во Введении приводится постановка задачи, кратко излагаются необходимые понятия, дается обзор полученных результатов.

Глава 1 состоит из 8 параграфов и содержит исследование случая Соколова на е(3).

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 1 результаты.

Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат параграфа - следующее

Утверждение 1.2.3. Бифуркационные значения гамильтониана случая Соколова на е(3) (при >с = 0) являются следующими кривыми на плоскости (.9,h):

1. h = 0, g 6 К;

1scm. Г. Хагигатдуст, "Бифуркационная диаграмма некоторого класса гамильтонианов на алгебре so(4)", Всстн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 6 (2005), 3-10,

Г. Хагигатдуст, "Топология изоэнергетипеских поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4)", Докл. РАН, 401:5 (2005), 599-602

„ , Аа2д2 - 1

2. к =-\-, д е К;

4а

3.к = де Ж,

4а

причем точки вида 1 — 2 являются критическими значениями, а точки вида 3 - некритическими бифуркационными значениями.

Третий параграф посвящен исследованию топологического типа изоэнер-гетической поверхности уровня гамильтониана. Доказывается следующая

Теорема 2. Топология изоэнергетической поверхности уровня случая Соколова, на е(3) при регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана Н, (д, к) имеет следующий тип:

1. 2Е3 при к < --1-;

4а

2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный па К, при к > , , 4а V -1 ъ ,Л

В четвертом параграфе находится бифуркационная диаграмма отображения момента для случая Соколова иае(З). В нем доказана следующая

Теорема 5. Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на е(3) состоит из следующих кривых:

9 , 4с*У-1

1) луча к = —к + ад , п >-—-,

при этом в прообразе получаются 2 критические окружности;

2) параболы к = — ак2 — к, к € 3.,

при этом в прообразе 2 критические прямые;

3) отрезка к — — -1<^<4а2д2-1

3) отрезка к-^, ^ $ П ^ ^ , ^

при к < — — в прообразе будут 4 критические прямые, а при к > — — -2 критические окружности;

4) луча к — —к, к ^ —— -

4а

При этом типы (1 — 3) являются критическими значениями, а тип 4 -некритическими бифуркационными значениями.

Пятый параграф посвящен вычислению индексов критических точек. Его результатом является следующее

Утверждение 1.5.1. Индексы критических точек случая Соколова яае(З) имеют следующий тип:

1. Прообразы кривой к = —ак2 — к, к < имеют индекс 2;

2. Прообразы кривой к = —а/г2 — И, !г> —— имеют индекс 1;

2а 4 а2 а2 - 1

3. Прообразы кривой к = — к + ад2, к >---имеют индекс 2;

4а

„ , ,11, 4а2д2 - 1

4. Прообразы кривой к = —,--—< к <---имеют индекс 2.

4а 2а 4а

В шестом параграфе доказывается полнота векторных полей sgrad Н и

sgrad К.

В седьмом параграфе исследуется топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана Я и дополнительного интеграла К. Его основной результат - следующая

Теорема 6. При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной диаграмме для отображения момента, (к, к) совместная поверхность уровня Н и К для случая Соколова на е(3) имеет следующий тип:

1. Пустое множество над верхней границей бифуркационной диаграммы;

2. Два цилиндра под параболой к = —ак2 — к;

3. Четыре цилиндра над параболой к = —ак2 — к, но под лучом к = —к;

4. Два тора над лучом к — —к, но под лучом к = —к -г ад2.

Восьмой параграф посвящен описанию перестроек случая Соколова на е(3).

Глава 2 посвящена исследованию случая Соколова на зо(3,1) и состоит из семи параграфов.

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 2 результаты.

Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат - следующее

Утверждение 2.2.3. Бифуркационные значения гамильтониана случая Соколова на зо(3,1) (при х < 0) являются следующими кривыми на плоскости

1. к = 0, д € К;_

причем эти точки являются критическими значениями.

В третьем параграфе находится топологический тип изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказана следующая

Теорема 7. Изоэнергетичсская поверхность для гамильтониана случая

а — \/(а2 + >«0(1 — 4хд2) Соколова на ко(3,1), 1г ф 0, }\ ^ -----, диффеоморфна

открытому двумерному диску с 3 дырками, умноженному на К

Четверный параграф посвящен нахождению бифуркационной диаграммы

отображения момента. В нем доказана следующая

Теорема 8. Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на ёо(3, 1) состоит из следующих кусков: _

* и *и2 и 2 ^ а~У(а2 + х)(1-4хд2)

1) куска параболы к = ^п — п + ад , п ¿г-—-,

яри этом в прообразе получаются2 критические окружности (0, ¿>2,0, <51,0, <2з) •

хд2

2) параболы к = —а/г2 — /г--, /г £ М,

при этом в прообразе 2 критические прямые (¿>1,0,0,0, <Эз)-

, 1-4 хд2 1 о-у/Са' + хК!-^)

3) отрезка к =---, — —— ^ /г ^---,

7 4а 2а 2х

при этом в прообразе будут2 критические окружности (Б 1,5г, 5'з, 0, —)•

4) изолированной особой точки К — к = 0.

В пятом параграфе доказано, что гамильтоново векторное поле случая Соколова на бо(3, 1) неполно.

В шестом параграфе вычисляются индексы критических точек. Доказано следующее

Утверждение 2.6.1. Индексы критических точек случая Соколова иа5о(3,1) имеют следующий тип: ^

1. Прообразы кривой к — -а/г2 - /г - к < -— имеют индекс 2;

а 1а

хд2 1

2. Прообразы кривой к - -а/12 - /г--—, /1 > -— имеют индекс 1;

, а - х/(а2 + х)(1 - 4хд2) 3. Прообразы кривой к = ^/г - И + ад, п > -—-

имеют индекс 2;

1_4хд2 1 . а - У(а2 + х)(1-4хд2) 4. Прообразы кривой к = ———, — — < п <-—-

имеют индекс 2.

В седьмом параграфе найден топологический тип совместной поверхности

уровня гамильтониана Я и дополнительного интеграла К. Доказана следующая

Теорема 9. При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной диаграмме для отображения момента, (h, к) совместная поверхность уровня Н и К случая Соколова на so(3,1) имеет следующий тип:

1. Пустое множество приk > —ah2 — h — ^g2 и h < — пустое множество

1 — 4хд2 . о 1 1

при к >-, пустое множество при к > ~h — п + ад ;

4 а а

2. Две двумерные сферы с четырьмя проколами каждая при k < —ah —

h-*g2, (М)тЧО, 0) придф 0;

3. Два двумерных тора при к > —ah2 — h — ~g2 и к < ^h2 — h + ag2.

Основные результаты работы

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. для случая Соколова на е(3) и so(3,1) найден топологический тип изо-энергетических поверхностей уровня гамильтониана;

2. для случая Соколова на е(3) и so(3,1) вычислены индексы критических точек дополнительного интеграла на изоэнергетических поверхностях;

3. для случая Соколова на е(3) и so(3,1) построены бифуркационные диаграммы отображения момента;

4. для случая Соколова на е(3) и so(3,1) найден топологический тип совместных поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность академику РАН, профессору А.Т. Фоменко и д. ф.-м. и., профессору A.A. Ошемкову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь. Кроме того, хотелось бы выразить признательность д. ф.-м. н., профессору М. П. Харламову за ценные обсуждения и поддержку. Без помощи указанных людей эта работа никогда бы не была написана.

Работы автора по теме диссертации

[1] Д. В. Новиков, "Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли е(3)", Матпем. сб., 202:5 (2011), 127-160

[2] Д. В. Новиков, "Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(3,1)", Вести. Моск. унта. Сер. 1. Матем. Мех., 4 (2011), 62-64

[3] Д. В. Новиков, "Топология новых интегрируемых случаев на алгебрах Ли so(5), so(3,1), and е(3)", Тезисы международной конференции по дифференциальным и функциональным дифференциальным уравнениям (DFDE), 2008, 110-111

[4] Д. В. Новиков, "Топологические особенности новых интегрируемых случаев", Тезисы конференции «Александровские чтения», 2006

[5] Д. В. Новиков, "Топологический анализ интегрируемого случая Соколова", Материалы конференции «Ломоносов-2011», 2011

Подписано в печать:

19.11.2013

Заказ № 9162 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Новиков, Дмитрий Вячеславович, Москва

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

на правах рукописи

04201458496 УДК 517.938.5+514.762

Новиков Дмитрий Вячеславович

Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня

01.01.04 — геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Академик РАН А. Т. Фоменко, Проф. А. А. Ошемков

Москва - 2013

Оглавление

Введение

1 Случай Соколова на е(3)

1.1 Введение................................

1.2 Бнфурканионные 'значения гамильтониана............

1.3 Топология изочнернпическоп поверхности............

1.4 Бифуркационная дтирамма отображения момента.......

1.5 Индексы критических точек.....................

1.6 Доказательство полноты векторных но. км"! ь»т;:н] Н и sgrad К .

1.7 Топология совместной поверхности уровня II и К........

1.8 Перестройки .............................

2 Случай Соколова на ?о(3. 1)

2.1 Введение................................

2.2 Бифуркационные значения гамильтониана............

2.3 Топология изоэнергетической поверхности ............

2.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента......

2.5 Неполнота поля 8§гас1 Н.......................

2.С Индексы критических точек.....................

2.7 Топология совместной поверхкости уровня И и К........84

Литература 102

Введение

Описание работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее - случай Соколова) па алгебрах Ли е(3) и бо(3, 1). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае во(3,1), кроме того, поток гамильтониана является неполным.

Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильто-новых систем были заложены А. Т. Фоменко в работах [1], [2], [3], [4], [5] и других. Указанный новый подход в изучении интегрируемых систем, предложенный А. Т. Фоменко, был затем продолжен А. Т. Фоменко и X. Цишангом, см., например, работу А. Т. Фоменко и X. Цишанга [б]. Ими был открыт топологический инвариант интегрируемых систем (именуемый инвариантом Фоменко-Цишанга). Это граф с числовыми метками, являющийся полным инвариантом таких систем: две системы лиувиллево эквивалентны, если и только если

графы Фомснко-Цишанга совпадают. Далее школа А. Т. Фоменко разработала методы вычисления меченых молекул, см., например, работу А. В. Болси-нова, П. Рихтера и А. Т. Фоменко [7]. Бифуркационные диаграммы многих важных интегрируемых систем были вычислены М. П. Харламовым в книге [8]. В серии работ А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [9], А. А. Ошемкова [10], П. Е. Рябова [11] и других были найдены классифицирующие инварианты для многих конкретных физических и механических интегрируемых систем. Как правило, в таких системах совместные поверхности уровня интегралов компактны. Результаты теории топологической классификации, полученные школой А. Т. Фоменко, подробно изложены А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [12].

При анализе некомпактных систем приходится сталкиваться с проблемой полноты полей. Полнота является существенным условием в Теореме Ли-увилля, в компактном случае она получается автоматически. В отсутствии полноты (а в случае Соколова на зо(3,1) так и происходит) связные компоненты совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла не обязательно являются торами, цилиндрами или плоскостями. Аналогичная ситуация наблюдается в случае комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в работе Т. А. Лепского [13].

Заметим, что даже тогда, когда потоки полны, доказательство этого факта может быть нетривиально. Для доказательства полноты нет общих методов, например, критерий того, когда однородное квадратичное поле в М2 является полным, появился совсем недавно (см. работу [14]). Автору неизвестны работы, где приводятся критерии полноты для полиномиальных векторных полей степени > 2. Среди работ, посвященных доказательству полноты потоков, отметим диссертацию А. Ю. Москвина [15], в которой доказано, что полнота потоков интегралов, полученных методом Садэтова, эквивалентна полноте потоков на соответствующей полупростой алгебре Ли.

Цели исследования

Диссертационная работа имеет следующие основные цели:

1. Исследование топологии случая Соколова нае(З).

2. Исследование топологии случая Соколова назо(3,1).

Методы исследования

При исследования применяются методы теории топологической классификации интегрируемых систем, разработанной А. Т. Фоменко и его школой, а также методы топологического анализа, разработанные М. П. Харламовым. Кроме того, используются дифференциально-геометрические методы, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми и заключаются в следующем: 1. для случая Соколова на е(3)

• описана топология изоэнергетических поверхностей гамильтониана (см. Теорему 2);

• найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему

5);

• вычислены индексы критических точек дополнительного интеграла на изоэнергетических поверхностях (см. Утверждение 1.5.1);

• описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6);

• доказана полнота полей sgrad Н и в^ас! К, что является важным условием в теореме Лиувилля (см. параграф 1.6).

2. для случая Соколова на во(3,1)

• описана топология изоэнергетических поверхностей гамильтониана (см. Теорему 7);

• найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 2.2), и отображения момента (см. Теорему 8);

• вычислены индексы критических точек дополнительного интеграла на изоэнергетических поверхностях (см. Утверждение 2.0.1);

• описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 9);

• доказано, что поток векторного поля, отвечающего гамильтониану, неполон (см. параграф 2.5).

Теоретическая и практическая значимость

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались

• на конференции «Александровские чтения» (Москва, с 30 мая по 02 июня 2006 г.);

• на конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, с 17 но 27 апреля 2006 г.);

• на международной конференции «Differential and Functional Differential Equations 2008» (Москва, с 17 по 24 августа 2008 г.);

• на семинаре в Университете г. Бохум (Германия, май 2008 г.);

• на конференции «Ломоносов» (Москва, с 11 по 15 апреля 2011 г.);

• на семинаре имени В. В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна (Москва, 23 октября 2013 г.);

• неоднократно на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством акад. А. Т. Фоменко и проф. А. С. Мищенко (мехмат МГУ имени М.В. Ломоносова).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ [16], [17], [18], [19], [20], из них 2 в изданиях по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на 106 страницах. Список литературы содержит 32 наименования.

Содержание работы

Глава 1 состоит из 8 параграфов и содержит исследование случая Соколова на е(3).

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 1 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат параграфа следующее

Утверждение 1.2.3. Бифуркационные значения гамильтониана случая Соколова на е(3) (при х = 0) являются следующими кривыми на плоскости

(дЛ):

1. К = 0, д 6 М;

п ь 4о?д2 — 1

2.К =--, д е М;

3. И = деШ,

4а

Теорема 2. Топология изоэнергетической поверхности уровня С^ Л случая Соколова на е(3) при регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана Н, (д, /?<) имеет следующий тип:

1. 2М3 при 1х< —-;

4а

2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный на К, при К > — -—,

4а

4а2 а2 - 1

В четвертом параграфе находится бифуркационная диаграмма отображения момента для случая Соколова на е(3). В нем доказана следующая

Теорема 5. Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на е(3) состоит из следующих кривых:

7 , о , . 4а2д2 - 1

1) луча к = —к + ад , к ^ -,

4а

при этом в прообразе получаются 2 критические окружности;

2) параболы к = —ак2 — к, к £ К,

при этом в прообразе 2 критические прямые;

Я) Ь 1 1 ^ л ^ 4с*У ~ 1

3) отрезка к = —,--^ к ^-,

^ 4а 2а 4 а

при к <--в прообразе будут 4 критические прямые, а при к >---

4а 4а

2 критические окружности;

4) луча к = —к, к ^ ——.

4а

При этом типы (1 — 3) являются критическими значениями, а тип 4 -некритическими бифуркационными значениями.

Пятый параграф посвящен вычислению индексов критических точек. Его результатом является следующее

Утверждение 1.5.1. Индексы критических точек случая Соколова нае(З) имеют следующий тип:

1. Прообразы кривой к = —ак2 — к, к < —— имеют индекс 2;

2а

2. Прообразы кривой к = —ак2 — к, к > — —— имеют индекс 1;

2 а 4а2д2 - 1

3. Прообразы кривой к = —к + ад2, к >---имеют индекс 2;

4 а

„ ^ 1 1 4а2д2 - 1

4. Прообразы кривой к — —,--< к <-имеют индекс 2.

4а 2а 4а

В шестом параграфе доказывается полнота векторных полей sgrad Н и sgrad К.

В седьмом параграфе исследуется топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана Н и дополнительного интеграла К. Его основной результат - следующая

1. Пустое множество над верхней границей бифуркационной диаграммы;

2. Два цилиндра под параболой к = —а к2 — к;

3. Четыре цилиндра над параболой к = — ак2 — к, но под лучом к = —к;

4. Два тора над лучом к = —к, но под лучом к — -к-\- ад2.

Восьмой параграф посвящен описанию перестроек случая Соколова на е(3).

Глава 2 посвящена исследованию случая Соколова на во(3,1) и состоит из семи параграфов.

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 2 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат - следующее

Утверждение 2.2.3. Бифуркационные значения гамильтониана случая Соколова на 8о(3,1) (при х < 0) являются следующими кривыми на плоскости

1.к = 0,де М;

2 к

причем эти точки являются критическими значениями. В третьем параграфе находится топологический тип изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказана следующая

Теорем а 7. Изоэнергетическая поверхность С)'},. для гамильтониана случая

У-)'*'_

^ / ч 7 / 7 / а — л/(а2 + — 4хр2)

Соколова па йо(3,1), к ф 0, к ф ---, диффеоморфна

2>с

открытому двумерному диску с 3 дырками, умноженному на М.

Четверный параграф посвящен нахождению бифуркационной диаграммы отображения момента. В нем доказана следующая

Теорема 8. Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на 8о(3,1) состоит из следующих кусков:

^ к,? , ч 1 ^ а - л/(а2 + х)(1 - 4яд2)

1) куска параболы к = ^к — к + ад , к ^----,

¿я

при этом в прообразе получаются2 критические окружности (0, 5*2,0, \, 0, з).

яд

2) параболы к — —ак2 — к--, /г€1,

при этом в прообразе 2 критические прямые (¿1,0,0,0, (^2,

3) отрезка к-1' 4Щ]2 -~<к< ^-х/^ + ^а-4^2)

3) отрезка к- , ^ к^

при этом в прообразе будут2 критические окружности £>2, £>3, 0, (^2,77—)-

2а

4) изолированной особой точки к — к = 0.

В пятом параграфе доказано, что гамильтоново векторное поле случая Соколова на во(3,1) неполно.

В шестом параграфе вычисляются индексы критических точек. Доказано следующее

Утверждение 2.6.1. Индексы критических точек случая Соколова наэо(3,1) имеют следующий тип:

1. Прообразы кривой к = —а/г2 — /г, — /г < —— имеют индекс 2;

2а;

2. Прообразы кривой к — —а/г2 — /г--—, /г >--имеют индекс 1;

а 2а

о 1-т , 9 , а — л/(а2 + х)(1 — 4хд2) 3. Прообразы кривой к = ^/г2 - /г + а#2, /г > -—---—

имеют индекс 2;

„ 7-г ^ 1 - 4ХО2 1 , а - л/(а2 + х)(1 - 4х#2)

4. Прообразы кривой к =-,--< п <-----

4а 2а 2х

имеют индекс 2.

В седьмом параграфе найден топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана Н и дополнительного интеграла К. Доказана следующая

Теорема 9. При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной диаграмме для отображения момента, (/г, к) совместная поверхность уровня Н и К случая Соколова на зо(3,1) имеет следующий тип:

1. Пустое множество при к > —а/г2 — /г — ^д2 и к < — пустое множество

1 - Анд2

при к >---, пустое множество при к > ^/г2 — /г + ад2;

2. Две двумерные сферы с четырьмя проколами каждая при к < —а/г2 —

Н-^д2, (М)^ (0,0) при <7^0;

3. Два двумерных тора при к > —а/г2 — /г — ^д2 и к < ^/¿2 — /г + ад2.

Основные понятия и определения

Определение 1. Симплектическое многообразие (М,си) - это гладкое 271-мерное многообразие М с заданной на нем невырожденной замкнутой 2-формой и, называемой симплектической формой.

Определение 2. Для любой гладкой функции Н на симплектическом мно-

гообразии (М, со) векторное поле косой градиент функции Н (обозначается sgrad iJ) определяется из следующего соотношения:

v(H) = u{v, sgrad Н),

где v - произвольное векторное поле на М.

Определение 3. Динамическая система на симплектическом многообразии М размерности 2п, соответствующая векторному полю sgrad Н, называется гамильтоновой системой с гамильтонианом Н и п степенями свободы. В локальных координатах (ж1, • • • ,х2п) на М она имеет вид

r)J-f

х1 = (sgrad И)1 = (^Г^,

где - матрица, обратная к матрице симплекгпической формы ш.

Определение 4. Скобкой Пуассона называется билинейная кососиммет-рическая операция на пространстве гладких функций на М, определяемая следующей формулой:

it \ f -i\Hdf д9 {/,ff} = (" * ,lr4hy

Гамильтонова система в терминах скобки Пуассона может быть записана следующим образом:

х* = {х\Н}.

Определение 5. Функция F называется (первым) интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Н, если F постоянна вдоль интегральных траекторий этой системы.

Ясно, что F — первый интеграл тогда и только тогда, когда {F, Н} = О

Определение 6. Гамилътонова система на симплектическом многообразии М2п называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций /1, • • • /п ма М2п таких, что: V /ъ """ /п ~~ первые интегралы системы; /ь • • • ;/п функционально независимы на

М2 п

то есть почти всюду

на М2п их градиенты линейно независимы (точки, в которых градиенты линейно зависимы, называются особыми);

3) {/,;, } =0 для любых I и 2 от 1 до п;

4) векторные поля sgrad полны для всех г от 1 до п, т. е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.

Теорема 1. (Лиувилля) Пусть V = sgrad^í - интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на симплектическом многообразии М2п с интегралами /ь • ■ ■ ,/«. Тогда неособая (то есть не содержащая особых точек) связная компонента совместной поверхности уровня интегралов /1, • • • , /„ диффеоморфна Тк х где Тк - к-мерный тор.

Определение 7. Отображением момента для интегрируемой гамильто-новой системы с интегралами /1, ■ ■ • , /п называется отображение Е \ М —> Мп; заданное формулой -Р(ж) = (/\(х), • • ■ , /п(х)).

Определение 8. Пусть Г: X —» У дифференцируемое отображение многообразий. Отображение называется локально-тривиальным над точкой Уо £ У, если существует такая окрестность II точки уо в У, что диффеоморфно F~1(2/o) х и, и этот диффеоморфизм Ц) замыка�