Тождества конечных расширений групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ шЛ.В.ЛШОНОСОВА ШаШКМШШЛИВСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ'

■ На правах рукописи УДК 512.543.2

МШМЯН ВААШ ГАМЛЕТОВ! ГЧ

ТОЗЩЕСТВА КОНЕЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ ГРУШ

01.01.06 - Математическая лопгка, алгебра и теория чисел

/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена па кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университе-■ та им.М.В.Лоцоносова.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

Защита диссертации состоится г.

в 16 часов 05 мин. на заседании специализированного Совета (Д.053.05.05) по математике при Московском государственной университете им.Ы.В.Ломоносова по адресу; 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14.08.

■ Автореферат разослан

1994 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ШТ.

Ученый секретарь специализированного Совета по . математике Д.053.С5.05 щи ИГУ, доктор физико-математических наук профессор

- доктор физико-математических наук,профессор А.2.0лыпанский

- дохтор физико-математических паук,профессор В.И.Суданский

- кандидат физико-иатематгчсских наук,доцент А.Н.Крааш>ников

- Уральский государственный университет

В„Н,Чубараков

ОБЩАЯ ХШКГЕККЛЖА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Целесообразность изучения адшш с точки зрения тохдеств, которые в ней выполняется подтверждалась неоднократно. В частности, содержательная теория почтена при решении проблемы существования конечного базиса тсвдеств груш:, (положительный ответ найден для случаев, например, конечных [ I3 , межабслевых [21 и других классов групп; в общем случае ответ отрицателен С 3 ] . Тождества расширений групп тоже изучались с помощью произведения многообразий, порожденных нормальной подгруппой расширения и факторгруппой по ней с 4,5 3

Однако можно привести много примеров, показнващих, что в целом ряде случаев тоадества расширения групп значительно сильнее тождеств произведения соответствующих многообразий. Идея работы заключается в изучении тождеств расшгрений груш с помощью специально сконструированных многообразий ii>ynn, теснее связанных с заданными расширениями. Если V), Vt яв-

I. Oe+ej SU. Powe I/ П. re-U+io*' ¡«

+ е group,. I. ¿I5.br*,±,i а«Ч, 11-4

2* CoU. а. е. ^ -f

Т.- Algebr*, 196

3. Ольшанский А.Ю. О проблеме конечного базиса, тождеств з группах, Изв.АН СССР, сзр.матем. 34, 1970, 378-84.

4. Gr- SowVL rtwA/ks О" «/•Arie"be* °-f

3--ПЖ. Ок.M CZ)US3,iolif-ffZ.

5. О* . ргоДмс-f Vt^r\erhe-s о J groups Е-Ч. A-sUI. M*+>.. ±5*1,

г. ъ 3 - 1 4 о -

ляются многообразиями, порожденными группеми, соответственно.

Ни , то такими конструкциями является а) г - прэизве-

деше *)/) о бг ( многообразие, порожденное всеми расширениями груш из V) посредством группы ); б) ^ -произве-

дение Д - (многообразие, порожденное всеми расширениями грушш Н посредством групп из ЧЛ, ).

Цель работы. Изучить тождества расширения групп с помощью Г- и - произведений. Особое внимание обратить на конечные расширения (когда нормальная подгруппа или факторгруппа по вей конечны).

Методика исследования. В работе применяются метода, конструкции и результаты теории многообразий групп; особенно техника, развитая про изучении тоддеста конечной грушш, многообразий Кросса (со- 1л,6,7] ).

Научная новизна и практическая ценность. Бее результаты диссертации являются новыми и имеют теоретический характер. В частности доказано, что:

- для любого регулярного многообразия М (т.е.такого многообразия, ни ещна свободная группа которого не вложима в

- свободцуз группу меньшего ранга) и локально конечного неабелевого многообразия Ш, произведение 'У) • 1К. имеет бесконечный базисный ранг;

е. ро^и п. ТМ«НСА/ а'-^ *о,ли

■ х офга/,сг)

, г. ±<*г.

7. ¿оийо в-^Мем""«" П■ ^йг/еУ/в«

дгс»Г1, Ргос . £рс Л,

гзг, } -^З-о - & з .

- получены результаты, из которых для шарового класса групп и многообразий следует существование в С- * г- произведениях более сильных тоэдеств, чем в классичеснзх. произведениях многообразий групц;

- решается вопрос о равенстве многообразий 4/) ° Сг и V)- \IofQ, а также многообразий и 1/$гН'2Я. йля абелгвь-групп Сг , И и абелевнх многообразий ОЛ и ;

- получаются условия для выполнения равенств

и н'чя^уй-н ъч.

для г.онечншс груш

& и Н .

Апробация работы. Результаты диссертации докалывались на научных семинарах по теории групп кафедры высшей алгебры ШУ и были вюшчены в программу Третьей мелдуиародной конференции по алгебре памяти М.И.Каргапалова (1993 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, указанных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 7 параграфов. Текст диссертации изложен на 115 страницах. Список литературы содержит 50 наименований.

СОДЕРЖАЩЕ ДИССЕРТАЦИИ

Зо введении даны краткий обзор работ по теаг диссертации, обоснование актуальное^ темы и формулировки основных результатов диссертации.

В первом параграфе собраны обозначения и определения, используемые в работе. Для удобства ссылок, в виде лемм формулируется некоторые известные теоремы, который чаггэ преходится Еслользозат*. Здесь понадобятся следующие обозначения:

¿Я. - многообразие всех аб елевых групп (все определения см. т [в ] ); многообразие всех абелзвых групп экспонент

делящих и» ; - многообразие всех групп экспонент, делящих С ; ОТ^ • — многообразие всех групп , класс мильпотент-ности которвх не больше чем с ; О" - многообразие всех групп; - многообразие,' состоящее только из тривиальной

группы [£| . Если Сг - группа, то через 1/лг вг будем обозначать многообразие , порожденное группой & .Для многообразия V) через ГОУ)) ц {-¡^СЮ) обозначается

- свободные группы, соответственно, ранга к и счетного ранга. Ддя многообразий через V , и , соответственно, обозначается вербальные подгруппы в группе ¿V- -У^. , отвечапцие этим многообразиям. Из определений г- и £ - произведений ясно, что имеет

место включения

где есть лпбое расширение группы И посредством группы ¿Т. 10 = 1/«-// , IV ¿7- , а стан-

дартное произведение многообразий. V)" б- и И ° будут "ближе" к тождествам расширения ^ , чем тождества добычного) произведения /}/) - , т.е. VСи) , "Ели-

../осгь" голдеств группы к VСи) будет изучаться

■{у тем выяснения: когда вглюдняется равенства:

>Юоа-=м чл и ц° -Оп- . ш

(Этому , в основном, посвящены главы 2 и 3). В § I приводятся в. Нейман X. Многообразия групп, Ы. Пир. 1969.

» 1 * , *» varote простейшие свойства г~ и ' t- произведений, которые будут нуянн в дальнейшем.

В § 2 рассматривается вопрос об С- и ^ -разложимости. ийогообраэяй. т.е. когда многообразие И/) представимо в виде:

& к (2)

или

'ЛО - Hx'(UfVL)-) , (3)

1де группы Û-î.....отличны от

} , многообразие Y) Г-нэразлояЕио (т.е. из соотношения /j/)=.0/)/o бг' следует, что1/)'=^с или { i j ),

а многообразие ЭД, £ - неразложимо (т.е. из соотношения t?t= И'Vi' следует, что Н'= {*-} и® •<§: ).

Существуют как г - неразложимые, так и £ - керазлозимые многообразия. Не для всякого многообразия существу-

ет (конечное) t - разложение. Однако: Теоиема 2.II. Для любого многообразия

существует р - разложение (2). (Причем числа /С ограничены сверху s зависимости лишь от /Ï\I) ).

Елява 2. посвящена изучению случаев, когда равенства* (1) . имеют место для абьлевшс 'Ц . И , 6с . 3 § 3

рассматривается первое нз равенств (I). Получается следующая

Тсореиа 3.9. Д&& любой абелевол группы а) если ô~ hs имеет конечного пзриода, то

6г - -У) - W G- ( = 'V) (si),

где Т/} - любое многообразие.

б) Если Gr имеет период и- , то равенство

% Vor ß-^W-Gt-)

будет всегда иметь место при = i9t , а при 4/5 = &t m имеет место тогда и голыш тогда, когда для всех простых Р , 'делящих мл и. , факторн ¿£/>1<0>', / £гр*-ч>>-* бесконечны.

(Здесь utpiiru-cа £.) определяется так: J и- f

.и =

В § 4 изучается вопрос о втором из равенств (2) для айелевых fi к . Получена

Теорема. 4.13. Цусть /V - конечная абелева группа периода >ц >1 . Тогда:

а) всегда имеет место неравенство

б) Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда & > z

для любого простого р , делящего степени неприводи-

мых представлений грушш Ж* над полем ff^ = не

больше, чем число

Ьг1Ир""/нг»-' I.

(Или: степени неприводимых кнояитеяей полинома X над

полем ¡fc не больше, чем (4) ). Здесь к =. к- (р ) /-/ ) к

И С определяется также, как это было сделано в теореме 3.9 для группы Qr •

В главе 3 мы рассматриваем включения

¥)• Vi * H'W-- (5)

для конечных групп Сг и Н . Оказывается, что теоремы 3,9 и 4.13 в некотором смысле "неулучшаемы".

Выше мы определили понятие регулярного многообразия.

Это очень широкий класс многообразий, таковыми является, в частности, все локально разрешимые многообразия. В § 5 доказывается

Теотзема 5.6. Для любого регулярного многообразия Щ и конечной группы вг из равенства М ' Cr = CU) ■ \¡oj Cr следует, что Gr есть абелева группа.

Из этой теоремы можно получить следствие, представляпцее самостоятельный интерес. Многообразие V) называется многообразием с бесконечным базисным рангом, если оно не поражается никакой своей конечно порожденной группой. Вопрос о существовании таких многообразий поставила Х.Нейман [ 9 ]. Хронологически первый пример построил Г.Хишэн С 4 ], показавший, что -бесконечный базисный ранг имеет произведения бК.р- tH. , 1Де

Р - простое число, 1%. - локально конечное, неабеле.во многообразие, порядки конечных групп которого не делятся на р . Хоутон (см.в íal ) показал, что упомянутое условие над конечными группами из Vt лишнее, а вместо (%р можно взять лсбое абелево многообразие 'W . Далее, А.Н.Красильников и '

9' Н■ Ои i'*r¡e.Tiei ->jf yo^ps. oJ

-tUir ASsooirf-eef пмг- r¡»js / М*-И ■ z , 65] , з 6-63.

А.Л.Шмелькин [ 10 J показали, что Щ) можно взять и любым нильпотентнш многообразием. Значительным усилением указанного результата будет:

Следствие 5.8. Если 1/) регулярное многообразие а - локально конечное неабелево многообразие, то произведение О/) '1К. имеет бесконечный базисный ранг.

В § 6 изучается второе из включений (5) для случая конечной группы И . Получается

Теорема 6.5. Если И { ¿1 есть конечная эдшпа, то для выполнения равенства Ц о -Щ. - 1/аг И • ( VL-

любое многообразие, отличное от

о■ и *Sc )необходимо, чтобы а) Vi было абелевым многообразием, б) И была нильпотентной группой, в) экспоненты многообразия

IX была

взаимно простой с экспопенгой группы Ц

В § 7, во-первых, приводятся следущие следствия предыдущих результатов:

Следствие 7.1, Пусть Н ость любая конечная не нильпо-тентная группа. Тогда для любой не единичной группы Q~ (с нетривиальным тождеством) любое расширение группы Н посредством (¡¡Г имеет тождество, не лежащее в V (И) , I/ , Ц - соответственно , левые части всех тождеств

хяупп И , .

Следствие 7.2. Пусть /•/ есть любая конечная нездинич-ная группа, 6с - любая неабеяева труппа ( с нетривиальным 10. Красильпжов А,Н., Шмелыган А.Л. 0 Шпехтовости и безиспсм ранге некоторых произведений кЕОГообразкй групп, Алгебра и логика, . , * 5, 198J, 54G-554.

тождеством). Тогда любое расширение группы И посредством Сг имеет тождество, не лежащее в

Следствие 7.3. Пусть И есть любая неединичная группа, порождающая регулярное многообразие, Сг - конечная неабеле-ва группа. Тогда любое расширение группы Н посредством Sr имеет тождество, не лежащее в V Ш) ).

Далее в § 7 продолжается изучение включений (5). Подразумевается следующее: есть случаи, когда неравенство 1/) об^ТУМ/я-й- ( или ЦоТЯ-ФМыН- Ж ) сохранятся какой бы конечной прямой степенью Сг (или Н* ) группы (У ( или группы Н ) ни заменить группу- & (группу И ). И только для бесконечной прямой степени С-' (степени И ) имеет место равенство

W „ Сс~= w-Ver (Сг") =У)- Vu Сг = Ч) ■ 1PL

(равенство

< н~ VL = l/rfW-;.ш = I/«H-vt-vm), •

Поэтому вводится определение: для многообразия A/f) и группы

¿5- выполняется "степенное" свойство если существует такой, что

. Аналогично вводится определение "степенного" свойства для £ -произведений.

Следствие 7.9. (теоремы 6.5). Если Н - конечная группа, то степенное свойство для Н и любого многообразия выполняется годца ж только тогда, косна. /-/ - нильпотентная группа периода f1*- ,

Vi

- абелево многообразие экспоненты уь , причем Í""/ и ) — .

Следствие 7.II. (теоремы 5.6). Если &■ -конечная группа, f\J) - регулярное многообразие, то для выполнения сте-

пенного свойства для V) и ¿г . необходимо, чтобы От была абелевой. Если (х абслева, ^Т) - нильпотентное многообразие экспоненты взаимно простой с периодом группы Сг % то для 0/) и ¿г имеет место степенное свойство.

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою закуп искреннюю благодарность своему научноцу руководителе, профессору А.Ю. Ольшанскоцу за постановку задачи, а гакне за постоянное внимание к работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следущих работах:

1. Микаелян В.Г. О тождествах некоторых конечных расширений групп. Тезисы международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргядолова (Красноярск 1393 г.) стр.228.

2. Ыикаалян В.Г. О тождествах расширений групп, ДАН Армения, 1993. Т.34-, 5, £ в О.-2.64.

3. Ыикаелян В.Г. О тождествах конечных расширений групп и расширений конечных груш. (Пронято к •к&ю.'хи.). АД.Н Армении.