Тождества групп с нильпотентным коммутантом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



московский государственный 'университет имени м.в.ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.543+512.547+512.554

Красильников Алексей Николаевич

ТОЖДЕСТВА ГРУПП С НИЛЬПОТЕНТНЫМ КОММУТАНТОМ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В.И.Ленина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Кузьмин доктор физико-математических наук, профессор А.Ю.Ольшанский доктор физико-математических наук, профессор С.П.Стрункоэ

в 16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Институт математики Сибирского Отделения Российской Академии наук

Защита диссертации состоится

1995 г.

В.Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория многообразий, изучающая алгебраические структуры (ассоциативные и лиевы алгебры, группы, полугруппы и т.п.) с точки зрения выполняющихся в них тождеств, является одной из важнейших ветвей современной алгебры. Начало ей было положено в середине 30-х годов нашего века в работах Г. Биркгофа и Б. Неймана, однако период бурного развития этой теории начался позже — в конце 50-х — начале 60-х годов. Одной из центральных 1гри исследовании тождеств алгебраической структуры или многообразия структур (класса всех алгебраических структур данного типа, удовлетворяющих данному набору тождеств) является проблема конечности базиса тождеств: эквивалентны ли все тождества этой алгебраической структуры или многообразия структур конечному множеству тождеств? Если ответ на этот вопрос положительный, то говорят, что тождества алгебраической структуры (многообразия структур) имеют конечный базис (или являются конечно базируемыми).

В теории многообразий групп с самого начала, в пионерской работе Б. Неймана [14], была поставлена проблема: Верно ли, что тождества любой группы допускают конечный базис? Эта проблема более 30 лет оставалась нерешенной. В процессе исследований было доказано, что конечный базис имеют тождества любой нильпо-гентной (Р. Линдон), любой конечной (Щ. Оутс-М. Пауэл) и любой , метабелевой (Д. Коэн [4]) группы, многих других групп и многообразий. В общем случае, однако, эта проблема в 1970 году была решена отрицательно А. Ю. Ольшанским, С. И. Адяном и М. Воон-Ли.

После того, как существование групп без конечного базиса то-

ждеств было доказано, в центре внимания оказалась проблема конечности базиса тождеств групп, "хороших" в том или ином смысле, прежде всего — матричных групп над полем и, в частности, полициклических групп. Так как каждая группа матриц над полем, удовлетворяющая нетривиальному тождеству, как заметил В. П. Платонов [16], почти разрешима, и потому (в силу теоремы Колчина-Мальцева) является конечным расширением группы с нильпотент-ным коммутантом, то особую актуальность приобрела следующая проблема, впервые поставленная М.Воон-Ли [18] в 1970 г.:

проблема 1. Верно ли, -что конечный базис имеют тождества любой группы с нилъпотентнъш хоммутантом ?

Важность этой проблемы определялась также и ее связью с задачей уточнения "границы" между шпехтовыми и нешпехтовы-ми многообразиями групп (многообразие называется шпехтовым, если тождества любой содержащейся в нем группы имеют конечный базис). Дело в том, что, как доказал М. Воон-Ли [18], группы, не допускающие конечного базиса тождеств, встречаются уже среди метанильпотентных групп (групп, являющихся расширениями нильпотентных групп с помощью нильпотентных). В течение нескольких последующих лег было приведено большое число систем тождеств метанильпотентных групп, не эквивалентных никакой конечной подсистеме [1], [10], [15] (недавно такая система то' ждеств была найдена даже для групп, у которых факторгруппа по центру является расширением абелевой группы с помощью нильпо-тентной ступени 2 [5]). В то же время тождества любой метабеле-вой группы (группы, являющейся расширением абелевой группы с помощью абелевой) имеют конечный базис (см. выше), поэтому тождества расширений нильпотентных групп с помощью абелевых (то

есть групп с нильпотентным коммутантом) привлекли повышенное . внимание специалистов.

Исходным пунктом для исследований, связанных с проблемой 1, являлась упоминавшаяся выше работа Д. Коэна [4], в которой существенно использовалась техника, ранее развитая Г, Хигмэном [8]. Усиливая результат Д. Коэна о конечности базиса тождеств любой метай слепой группы, М. Воон-Ли [19] доказал, что конечный базис имеют тождества всякой группы, являющейся расширением нильпотентной группы с помощью абелевой и одновременно расширением абелевой группы с помощью нильпотентной. Следующий шаг был сделан С. Маккай [13], доказавшей конечную бази-руемость тождеств любой денгрально-метабелевой группы и, более того, конечную базируемость любой группы, удовлетворяющей для некоторого п > 5 тождеству . ,

[[.Т1,а:2], [т3,14],Ж5,... ,хп] = 1

(при п = 5 получаем тождество, определяющее многообразие всех центрально-метабелевых групп). В этой же работе С. Маккай доказала, что если группа с нильпотентным ступени 2 коммутантом допускает базис, состоящий из тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных, то эта группа допускает и конечный базис тождеств (отсюда еще не следует существование конечного базиса у тождеств любой группы с нильпотентным ступени 2 коммутантом; более того, основная сложность при доказательстве конечной базируемости тождеств группы обычно как раз и состоит в„ доказательстве существования базиса тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных). Наконец, Р. Брайнт и М. Ньюмен [2], упростив и усовершенствовав технику С. Макки, доказали

конечность базиса тождеств любой группы, которая имеет нильпо-тентный коммутант и одновременно является расширением ниль-потентной ступени не выше 2 группы с помощью нильпотентной. В частности, ими была доказана конечность базиса тождеств любой группы с нильпотентным ступени не выше 2 коммутантом. В [12] с помощью техники из [2] была доказана конечность базиса тождеств любого расширения нильпотентной группы с помощью абе-левой группы ограниченного периода, в частности, любой сверхразрешимой группы. В [11] было доказано, что конечный базис имеют тождества группы с нильпотентным коммутантом, допускающей базис тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных. Некоторые частные случаи проблемы рассматривались также И. Д. Иванютой и Г. В. Шейной. Однако в общем случае проблема 1 оставалась открытой.

Для представлений групп проблему конечности базиса тождеств принято рассматривать в случае, когда основное кольцо является нетеровым. В отличие от теории многообразий групп, в теории многообразий представлений групп, которая начала активно развиваться в 70-х годах в работах Б.И.Плоткина и его учеников, проблема существования объектов без конечного базиса тождеств никогда не стояла, поскольку существование таких представлений легко вывести из существования групп, тождества которых не допускают конечного базиса. В то же время проблема конечности базиса тождеств различных представлений (представлений конечных групп, конечномерных представлений (разрешимых) групп над нолем, конечномерных триангулируемых представлений и т.п.) постоянно привлекала внимание специалистов. Было доказано, что конечный базис имеют тождества любого представления конечной группы над

полем (С. М. Вовси [21] для немодулярных представ летай, Нгуен Хунг Шон [22] в общем случае) и тождества некоторых других представлений. Остается, однако, неизвестным, всегда ли конечен базис тождеств конечномерного представления группы над полем. Даже для разрешимых групп до сих пор нет ответа на этот вопрос. В связи с этим Б. И. Плоткиным [17] была поставлена проблема, которая может быть переформулирована следующим образом:

ПРОБЛЕМА 2. Верно ли, что (над нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом с единицей) конечный базис имеют тождества любого представления группы, которое удовлетворяет тождеству

(Х1 Х2 — Х2Х1 ) ... (Х2п-1 Я2п - £2т»22П-1 ) = 0? (1)

Актуальность этой проблемы определялась тем, что тождеству (1) удовлетворяют все конечномерные триангулируемые представления групп, а над полем для любого конечномерного представления р разрешимой труппы С группа р{С) содержит триангулируемую подгруппу конечного индекса.

Вопрос о конечности базиса тождеств различных многообразий гипебр Ли интенсивно изучался с начала 70-х годов в работах М. Воон-Ли, Р. Брайнта и М. Воон-Ли, В. С. Дренски, Ю. А. Бах-турина и А. Ю. Ольшанского, И. Б. Воличенко, Ю. П. Размысло-ва, А. В. Ильтякова, и многих других. Над полем характеристики 0 проблема конечности базиса тождеств произвольной алгебры Ли остается открытой, однако для многих классов алгебр, и, в частности, для любой конечномерной алгебры, существование конечного базиса тождеств доказано (А. В. Ильтяков [9]). Существенно другой оказалась ситуация для алгебр Ли над полем конечной характери-

стихи. М. Boon-Ли [20] заметил, что техника Д. Коэна позволяет доказать конечность базиса тождеств любой метабелевой алгебры Ли над любым полем. С алгебрами Ли с нильпотентным ступени 2 коммутантом дело обстоит сложнее: над полем характеристики 2 существуют такие алгебры Ли, тождества которых не допускают конечного базиса (М. Воон-Ли [20)), в то время как над полем характеристики, не равной 2, тождества любой алгебры Ли с нильпотентным ступени 2 коммутантом имеют конечный базис (Р. Брайнт и М. Воон-Ли [3]). Позднее B.C. Дренски [7] построил надполем произвольной простой характеристики р алгебры Ли с нильпотентным ступени р коммутантом, не допускающие конечного базиса тождеств, обобщив этим результат М. Воон-Ли [20]. Оставалось, однако, неизвестным, можно ли распространить результат Р.Брайнта и М.Воон-Ли [3] на алгебры Ли над полем произвольной простой характеристики р, со-отвествующая проблема была поставлена Ю. А. Бахтуриным (см. [6, вопрос 2.11])::

ПРОБЛЕМА 3. Верно ли, что любая алгебра Ли с нильпотентным ступени с коммутантом над полем простой характеристики р, р > с, допускает конечный базис тождеств t

цель работы: доказательство конечной базируемое™ тождеств любой группы с нильпотентным коммутантом, тождеств любого удовлетворяющего (1) представления группы над нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом с 1, тождеств любой алгебры Ли над полем простой характеристики р с нильпотентным ступени с, с < р, коммутантом (то есть решение проблем 1-3), а также конечности базиса тождеств некоторых других алгебраических структур.

Общая методика исследований. В работе используются методы теории групп, теории алгебр Ли, теории колец и модулей, а

также метод Хигмэна-Козна доказательства нетеровости операторных колец многочленов от счетного числа переменных и модулей над ними, основанный на использовании техники вполне предупо-рядоченных множеств.

Кроме того, в работе развит новый метод доказательства нетеровости операторных модулей над кольцами многочленов от счетного числа переменных. Этот метод включает в себя использование техники Хигмзна-Коэна, подходящим образом усовершенствованной, но главную роль в нем играют новые соображения и конструкции.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Центральным результатом диссертации является доказательство конечности базиса тождеств любой группы с нильпотентным коммутантом (теорема 1).

Кроме того, к основным результатам данной работы можно отнести следующие:

Доказательство конечности базиса тождеств любого удовлетворяющего (1) представления группы над нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом с единицей (теорема 2).

Доказательство конечности базиса тождеств любой алгебры Ли над полем простой характеристики р с нильпотентным ступени с, с < р, коммутантом (следствие 4.1).

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории групп, линейных алгебр и их, представлений в МГУ, МПГУ, Уральском университете, многих других алгебраических центрах. Кроме того, результаты дис-

сертации могут использоваться при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов.

апробация работы. Результаты диссертации докладывались с 1986 года на Всесоюзных алгебраических конференциях, симпозиумах и научных школах, на Международных конференциях по алгебре в Новосибирске в 1989 г. и в Красноярске в 1993 г., на специальной сессии "Тождества и структура алгебр"в рамках 886 заседания Американского математического общества в Колледж Стей-шн, США, в 1993 г., а также на семинарах но теории групп и теории колец МГУ, МПГУ и на алгебраических семинарах в ряде университетов Канады и США.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях и 7 тезисах докладов, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена • на 154 страницах и состоит из введения и 3-х глав. Библиография содержит 86 наименований.

Содержание работы

В первой главе диссертации рассматриваются вполне предупо-рядоченные множества. В §1.1 приводятся необходимые определения и известные утверждения, относящиеся к таким множествам. В §1.2 доказывается полнота некоторого предпорядка на множестве конечных последовательностей элементов из Iе X х где 3 - -множество неотрицательных целых чисел, с — натуральное число, а и й^2) — конечные множества (этот результат используется затем во второй главе при доказательстве предложения 2.1).

г

Во второй главе диссертации доказываются основные технические результаты, касающиеся нетеровости операторных модулей над кольцами многочленов от счетного числа переменных. Пусть К ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей, В.С{К) = |г — 1,... ,с;у £ N"1, ф — множество всех сохраняющих порядок отображений (/> множества натуральных чисел N в себя (то есть таких отображений, что если к < то >р(к) < у(/)). Определим семейства Ф и 0 эндоморфизмов и 0¡.¡(к < 1) кольца ПС(К) в соответствии с формулами

<р(из) - = О Ф 0» = + Ьк + <¿1.

Пусть N1, N2, N3 — произвольные, но фиксированные целые числа, N1, N2 > О, N3 > 0. Пусть V = У^,^,«) — множество всех таких последовательностей V — {(льУ/г)} упорядоченных пар целых чисел, что 0 ^ ^ N1 — 1,0 ^ ^ N2 — 1, для всех I € 14, причем ,3п) = 0 для почти всех значений I и среди чисел 7/2 (I £ ]Ч) не более N3 отличных от 0. Пусть Мс = МС)/угьдг2>дг3(-К')— свободный Лс(К)-модулъ, свободно порожденный всеми элементами V € Определим для любого <р € Ф, : N —► отображение множества V в себя, также обозначаемое через <р, такое, что у>({0'/ь>12)}) = {Оа'.^и')} > гДе Ят = •?*"» если ' = У(к)> и = 0, если I £ <р(№) (т = 1,2). Для любых к,1 6 N таких, что к < I, определим отображение 9ы : V —► V такое, что

^«({О'тЬ^тг)}) = Ю'т\Лп2)}у ГДе = >'Ь Зк2 = ¿т» = ¿тп при т ф 1,п = 1,2. Пусть А — семейство всех эндоморфизмов А кольца НС(К) (отображений множества V в себя), имеющих вид

где з^О, к]1 ^ "Р^) (у — 1,... ,с), ф к^ при г ф ] (включая тождественное преобразование). Также символом Л обозначим множество полулинейных преобразований Л модуля Мс таких, что А(!» • г) = А(и) • Л(г) (и 6 V, г 6 В.С(К)).

Пусть ЯС(К) — подалгебра в ВС(К), состоящая из всех многочленов д таких, что

• • ;.. • Аг, ■•■) —

для любой подстановки г на множестве {1,... ,с}. В дальнейшем для любой подалгебры Я' алгебры ЯС(К) II'-подмодули модуля выдерживающие любые преобразования из Л, мы будем для краткости называть (Д' и А)-подмодулями.

Основным результатом §2.1 является следующее предложение, которое доказывается с помощью техники Хигмена-Коэна, надлежащим образом усовершенствованной.

Предложение 2.1. Для любых целых с, N1, N1, N3 (с, N^N2 > О, N3 ^ 0) и любого нетерова ассоциативного и коммутативного кольца. К с единицей а Мс^^.л?»^) обрываются возрастающие цепи (ЯС(К) и Л)-подмодулей.

Пусть ЯС(К) — /{"-подалгебра в В.С(К), порожденная всевозможными многочленами вида

а+ы^Ч.-.+м^-а+м^ + .-.+м'0), (2)

где / ^ 0, к],... ,к/ £ Ъ, а = — одночлены с еди-

ничным коэффициентом (1 ^ г ^ с, 1 ^ ] ^ I). Подчеркнем, что коэффициенты к{ в (2) могут принимать только целые значения, а не любые значения из К. Ясно, что Й.С(К) С ЯС(К). Центральным

техническим результатом диссертации, с помощью которого решаются проблемы 1 и 2, является следующее предложение.

Предложение 2.3. Для любых целых с, N1, N2, N3 (с,N¡,N2 > О, N3 ^ 0) и любого нетерова ассоциативного и коммутативного кольца К с единицей в Мс,1ч1 ,у2 ,л>3 (К) обрываются возрастающие цели Яс(К)-подмодулей, выдерживающих любые преобразования из А.

Доказательству этого предложения посвящены §§2.2-2.3. Идея использования предложения 2.1 для доказательства предложения 2.3 очень упрощенно может быть описана следующим образом. Оказывается, алгебра ЛС(К) содержит некоторый идеал 7 алгебры ЯС(К), выдерживающий любые отображения из Л и достаточно большой в том смысле, что факторалгебра ВС(К)/7 "близка" к Яг-г(К). Если

возрастающая цепочка (ЛС(А') и Л)-подмодулей из то

является, очевидно, возрастающей цепью (ДС(Х) и Л)-подмодулей, и потому стабилизируется, то есть для некоторого к

ЛГ<*>- 7 = М<*+1> •/ = ....

Пусть М• 3 = М. Множество

м = \т е Ме,циъ,Па(К)\(у\ 6 А)(Уг € 7)(Л(ш) - г € М)}

также является (Яс(К)и Л)-подмодулем в при этом,

как нетрудно проверить, М • 3 С М и М^) С М ^ = 1,2,...). В

результате мы получаем цепь

Л?-/СМ(*> С АГ(к+1) С ... С М,

и вопрос сводится к вопросу об обрыве возрастающих цепей (ЯС(К) и Л)-подмодулей в М/М ■ 1. Последний вопрос, в свою очередь, удается свести к такому же вопросу для модулей вида МС1 ^^м^н^К'), с' < с, используя то, что М — конечнонорожден-ный (ЯС(К) и Л)-модуль (по предложению 2.1), М/М • J является (ЛС(А')//)-модулем, а 11с(К)/1 "близка" к (К). Таким образом, удается применить индукцию по параметру с, при этом основание индукции (с = 1) также обеспечивает предложение 2.1 (при с = 1 КС{К) = ЩК) = ДС(К)).

Отметим, что здесь описана лишь главная идея доказательства предложения 2.3. Само же доказательство, изложенное в §§2.2 - 2.3, сложнее, в частности, описанная выше схема в действительности применяется в нем два раза.

Пусть Ьс = ЬС(К) — свободный модуль над ЯС(К), свободно порожденный всевозможными элементами (¿1,... ,»2с 6 ЭД.

Основным результатом §2.4 является следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4.2. Для любого нетерова ассоциативного коммутативного кольца К с единицей и для любого натурального с такого, что (с!) обратим в К, в ЬС(К) обрываются возрастающие цепи В.с(К)-подмодулей, выдерживающих любые отображения из Ф.

С помощью этого предложения решается проблема 3.

Третья глава посвящена доказательству основных результатов диссертации. В §3.1 доказывается

Теорема 1. Тождества любой ¡руппы с нильпотеитным коммутантом имеют конечный базис.

Так как любая связная в топологии Зарисского группа матриц над полем, удовлетворяющая нетривиальному тождеству, как следует из [16], разрешима, а каждая связная линейная разрешимая группа является 1"руппой с нильпотептньш коммутантом, то из теоремы 1 вытекает

СЛЕДСТВИЕ 1.1. Любая связная линейная группа над полем допускает конечный базис тождеств.

Каждая разрешимая группа экспоненты 4 является расширением нильпотентной группы с помощью группы экспоненты 2 (С. То-бин), поэтому из теоремы 1 вытекает следующее следствие, положительно решающее проблему, поставленную Н. Гуптой:

Следствие 1.2. Тождества любой разрешимой группы экспоненты 4 имеют конечный базис.

Пусть [®1,а;2] = х{1х^1х1х2, [®1,... ,ач] = [[хь... а:*]

для к 3 и F — .Р(91с21) — свободная группа счетного ранга многообразия всех групп с нильпотентным ступени не выше с коммутантом. Как хорошо известно, для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что для любого натурального с в обрываются возрастающие цепи вербальных подгрупп.

Пусть —свободные порождающие группы F, Ф —

множество сохраняющих порядок отображений множества натуральных чисел N в себя. Также через Ф обозначим семейство всех

эндоморфизмов у? группы Р таких, что

(р(ц) =

для всех I € N. Пусть © — семейство всех эндоморфизмов < О группы Г таких, что

= Х*ХЬ, •) = Х{ при 1^1.

Пусть, наконец, Ф — семейство всех эндоморфизмов Ф = ^*;вЧ),!,<1),...,а(*),п(*>

(¡^'eN,í|(,, € е г)

группы ^ таких, что для всех I 6 N.

Фактически вместо теоремы 1 в диссертации доказывается более сильная

ТЕОРЕМА 1'. Для любого натурального с в Г = 1) обры-

ваются возрастающие цепи нормальных подгрупп, выдерживающих любые эндоморфизмы семейств $, О и Ф.

В доказательстве теоремы 1' ключевую роль играет предложение 2.3.

В §3.2 доказывается

ТЕОРЕМА 2. Над любым нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом К с единицей любое представление группы, удовлетворяющее при некотором п тождеству (1), имеет конечный базис тождеств.

В действительности в диссертации доказывается несколько более сильная, чем теорема 2, теорема 2', доказательство которой основано на предложении 2.3.

Из теоремы 2 вытекает

следствие 2.1. Над любым нетеровым ассоциативным и коммутативным кольцом с единицей тождества любого конечномерною триангулируемого представления группы имеют конечный базис.

В теории ассоциативных РГ-алгебр (алгебр с полиномиальным тождеством) проблема конечности базиса тождеств занимает одно из центральных мест, ее исследованию для различных классов алгебр посвящены десятки работ. Для алгебр над полем характеристики 0 окончательный результат был получен А. Р. Кемером, доказавшим, что тождества любой такой алгебры имеют конечный базис. В то же время проблема конечности базиса тождеств произвольного ассоциативного кольца (произвольной ассоциативной алгебры над нетеровым ассоциативным и коммутативным кольцом с единицей) остается открытой, ее решение получено лишь для некоторых типов колец. Для алгебр над бесконечным полем конечной характеристики известно больше, чем в общем случае, здесь А. Р. Кемером получены некоторые положительные результаты, касающиеся конечно-базируемых систем тождеств (в частности, конечнобазируемой оказывается любая система тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных), однако проблема остается открытой даже для конечномерных алгебр. В частности, оставалось неясным, существует ли конечный базис для тождеств произвольной треугольной матричной алгебры (то есть подалгебры алгебры всех треугольных п х п-матриц для некоторого п).

§3.3 посвящен доказательству теоремы, являющейся следствием теоремы 2 и гарантирующей существование конечного базиса тождеств треугольных матричных алгебр над бесконечным полем.

теорема 3. Над бесконечным полем любая ассоциативная алгебра, удовлетворяющая тождеству (1), допускает конечный базис тождеств.

Для алгебр над полем характеристики 0 эта теорема впервые была доказана Г. К. Геновым и В. Н. Латышевым.

Наконец, в §3.4 доказывается

Теорема 4. Пусть К — нетерово ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, с — такое натуральное число, что с! обратим в К.

Тогда любая алгебра Ли над К с нильпотентным ступени не выше с коммутантом допускает конечный базис тождеств.

В доказательстве этой теоремы ключевую роль играет предложение 2.4.2.

Так как в поле простой характеристики р элемент (р — 1)! обратим, то из теоремы 4 вытекает

СЛЕДСТВИЕ 4.1. Над полем произвольной простой характеристики р тождества, любой алгебры Ли с нильпотентным ступени не выше р — 1 коммутантом допускают конечный базис.

Заметим, что М. Воон-Ли [20] построил пример конечномерной центрально-метабелевой алгебры Ли алгебры Ли над бесконечным полем К характеристики 2, не допускающей конечного базиса тождеств; эта алгебра может быть реализована как подалгебра алгебры Л и всех (верхне)треугольных 3 х 3-матриц над К. Над бесконечным полем К произвольной простой харатеристики р В. С. Дренски [7] построил конечномерную алгебру Ли с тем же свойством, которая может быть вложена в алгебру Ли всех (верхне)треугольных (р + 2) х (р + 2) матриц над К. Из теоремы 4 вытекает

СЛЕДСТВИЕ 4.2. Пусть б — произвольная алгебра Ли треугольных п х п -матриц над полем характеристики р, где я < р.

Тогда тождества С? имеют конечный базис.

Цитированная литература

1. Bryant R.M. Some infinitely based varieties of groups// J. Austral. Math. Soc. 1973. V. 16. P. 29-32.

2. Bryant R.M., Newman M.F. Some finitely based varieties of groups// Proc. London Math. Soc. (3). 1974. V. 28. P. 237-252.

3. Bryant R.M., Vaughan-Lee M.R. Soluble varieties of Lie algebras// Quart. J. Math. 1972. V. 23, N 89. P. 107-112.

4. Cohen D.E. On the laws of a metabelian variety// J. Algebra. 1967. V. 5, N 3. P. 267-273.

5. Gupta C.K., Krasil'nikov A.N. Some non-finitely based varieties of groups and group representations// Int. J of Algebra and Comput. 1995. V. 5, N 3. P. 343-365.

6. Днестровская тетрадь. 3-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982.

7. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли// Алгебра и логика. 1974. Т. 13, N 3. С. 265 -290.

8. Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras// Proc. London Math. Soc. (3). 1952. V. 2. P. 326-336.

9. Ильтяков A.B. Шпехтовость многообразий PI-представле-ний конечнопорожденных алгебр Ли над полем нулевой характеристики// Институт математики СО АН СССР. Препринт N 10. Новосибирск, 1991.

10. Клейман Ю.Г. О базисе произведения многообразий групп I—II// Изв. АН СССР. 1973. Т. 37, N 1. С. 95-97; Т. 38, N 3. С. 475-483.

11. Красильников А. Н. О тождествах в группах с нильпотент-ным коммутантом. М.: МГУ (рукопись депонирована в ВИНИТИ 25 августа 1983 г. No. 4644-83 Деп). 37 С.

12. Красильников А. Н. , Шмелькин A.JI. О шпехтовости и базисном ранге некоторых произведений многообразий групп// Алгебра и логика. 1981. Т. 20, N 5, С. 546-554.

13. McKay S. On centre-by-metabelian varieties of groups// Proc. London Math. Soc..(3). 1972. V. 24. P. 243-256.

14. Neumann B.H. Identical relations in groups. I// Math. Ann. 1937. V. 114. P. 506-525.

15. Newman M.F. Just non-finitely-based varieties of groups// Bull. Austral. Math. Soc. 1971. V. 4. P. 343 348.

16. Платонов В.П. Линейные группы с тождественными соотношениями// ДАН БССР. 1967. Т. 11, N 7. С. 581-582.

17. Плоткин Б.И. Многообразия в представлениях конечных групп. Локально стабильные многообразия. Матричные группы и многообразия представлений// Успехи матем. наук. 1979. Т. 34, N 4. С. 65-95.

18. Vaughan-Lee M.R. Uncountably many varieties of groups// Bull. London Math. Soc. 1970. V. 2. P. 280-286.

19. Vaughan-Lee M.R. Abelian by nilpotent varieties// Quart. J. Math. (2). 1970. V. 21. P. 193-202.

20. Vaughan-Lee M.R. Varieties of Lie algebras// Quart. J. Math. 1970. V. 21, N 83. P. 297-308.

21. Вовси C.M. О критических представлениях групп// Латв. матем. ежегодник. 1976. Т. 20. С. 141-159.

22. Вовси С.М., Нгуен Хунг Шон. Тождества почти стабильных представлений групп// Матем. сб. 1987. Т. 132, N 4. С. 578-591.

Работы автора по теме диссертации

1. Красильников А. Н. О тождествах триангулируемых матричных представлений групп// В кн.: X Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Минск, 1986. С. 127.

2. Красильников А. Н. О конечности базиса тождеств некоторых матричных групп// В кн.: V Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем. Тезисы сообщений. Барнаул, 1988. С. 37-39

3. Красильников А. Н. О тождествах триангулируемых матричных представлений групп// Труды Московск. матем. о-ва. 1989. Т. 52. С. 229-245.

4. Красильников А. Н. О конечности базиса тождеств триангулируемых матричных групп// В кн.: XI Всесоюзный симпозиум по теории групп. Свердловск, 1989. С. 65.

5. Красильников А. Н. О тождествах групп, алгебр Ли и ассоциативных алгебр с нильпотентным коммутантом// В кн.: Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск, 1989. С. 72.

6. Красильников А. Н. О конечности базиса тождеств групп с нильпотентным коммутантом//Изв. АН СССР, сер. матем. 1990. Т. 54, N 6. С. 1181-1195.

7. Красильников А. Н. О тождествах алгебр Ли треугольных матриц над полем положительной характеристики //VI Симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов, 1990. С; 76.

8. Красильников А. Н. О тождествах представлений алгебр Ли над полем положительной характеристики треугольными матрицами// VI Всесоюзная школа по теории многообразий алгебраических

систем. Тезисы сообщений. Магнитогорск, 1990. С. 17-18.

9. Красильников А. Н. Многообразие ассоциативных колец, задаваемое перестановочным тождеством, шпехтово// В кн.: Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. Барнаул, 1991. С. 59.

10. Красильников А. Н. О конечности базиса тождеств некоторых многообразий ассоциативных колец// В сб.: Алгебраические системы. Иваново, 1991. С. 18-26.

11. Красильников А. Н. О тождествах алгебр Ли с нильпотент-ным коммутантом над полем конечной характеристики// Матем. заметки. 1992. Т. 51, вып. 3. С. 47-52.

12. Krasil'nikov A.N. On the identities of representations of groups by triangular matrices over a commutative ring// Contemporary mathematics. 1992. V. 131, Part 1. P. 217-225.

13. Красильников A. H. , Шмелькин А.Л. О конечности базиса тождеств конечномерных представлений разрешимых алгебр Ли// Сиб. матем. ж. 1988. Т. 29, N 3. С. 78-86.

14. Krasil'nikov A.N., Shmel'kin A.L. On the laws of finite-dimensional representations of solvable Lie algebras and groups// In: Lecture Notes in Math. V. 1352. Springer-Verlag. Berlin, etc. 1988. P. 114-129.

15. Krasil'nikov A.N., Shmel'kin A.L. On finite bases for laws of triangular matrices// Lecture Notes in Math. V. 1456. Springer-Verlag. Berlin, etc. 1990. P. 10-13.